Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Власов Александр Николаевич
УСРЕДНЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СТРУКТУРНО-НЕОДНОРОДНЫХ ПРИРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ - СКАЛЬНЫХ ПОРОД
Специальность: 01.02.04 - Механика деформируемого твёрдого тела
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учёной степени доктора технических наук
Ижевск 2010
Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте прикладной механики РАН Научный консультант доктор технических наук, профессор Ухов Сергей Борисович Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор Победря Борис Ефимович доктор физико-математических наук, профессор Вахрушев Александр Васильевич доктор физико-математических наук, Стефанов Юрий Павлович
Ведущая организация: Институт Физики Земли им. О.Ю.Шмидта РАН (г. Москва)
Защита состоится л 8 октября 2010 г. в ___ часов на заседании диссертационного совета ДМ 004.013.01 при Учреждении Российской академии наук Институте прикладной механики Уральского отделения РАН по адресу: 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34, Институт прикладной механики УрО РАН.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной механики УрО РАН.
Автореферат разослан л___ ______ 2010 г.
Учёный секретарь диссертационного совета Копысов С.П.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Большинство существующих в природе и искусственно созданных материалов характеризуются неоднородным составом. Многочисленные экспериментальные исследования показывают, что свойства структурно-неоднородных материалов (например, горных пород, композитных материалов) могут существенно отличаться от свойств отдельных компонентов, входящих в их состав. Физико-механические свойства неоднородных материалов, помимо свойств отдельных компонентов, определяются составом и пространственной структурой, которую образуют отдельные компоненты.
Помимо научного значения эти вопросы актуальны и при решении практических задач, возникающих при эксплуатации композитных материалов, при строительстве и эксплуатации сооружений, анализе сейсмических процессов.
Строительство сооружений на скальных основаниях и в массивах скальных пород и добыча полезных ископаемых, как открытым (вскрышные работы), так и закрытым (в горных выработках) способом являются весьма важными задачами, успешное решение которых обеспечивает существенный вклад в экономическое развитие и безопасность страны. Для решения этих задач необходимо знание свойств массивов скальных пород и их реакцию на те или иные воздействия.
К одним из важнейших задач механики деформируемого твёрдого тела (в частности механики скальных пород) относятся задачи деформируемости, прочности и устойчивости. Для их успешного решения необходимо уметь проводить грамотное исследование напряжённодеформированного состояния массива горных пород, что относится к одной из самых актуальных проблем механики деформируемого твёрдого тела.
Например, массивы скальных пород всегда рассечены трещинами и часто представлены как слоистые напластования. Системная трещиноватость и слоистость скальных пород приводят к необходимости рассмотрения их как анизотропных сред.
Экспериментальные исследования показывают, что для описания многих видов слоистых и трещиноватых сред (например, скальных пород), как правило, нельзя пользоваться уравнениями теории упругости, выведенными для условий однородной изотропной среды. Распределение напряжений и деформаций в анизотропных средах имеет не только количественное, но и принципиальное качественное отличие. В работе Построение инженерно-геологических и геомеханических моделей массивов горных пород для решения инженерных задач [Ухов С.Б., Газиев Э.Г., Лыкошин А.Г.], где исследовалось влияние анизотропии основания на устойчивость системы плотина-основание, приводится пример снижения коэффициента запаса устойчивости плотины на флишевом напластовании, при учёте деформационной анизотропии пород, слагающих это основание.
Структурно-неоднородным средам в сильной мере присущ масштабный эффект: характеристики породы, определённые при различных масштабах испытания, могут существенно различаться. Так как в настоящее время не существует надёжных методов перенесения результатов лабораторных испытаний на большие объёмы скальных пород, то для проектирования крупных сооружений (плотин, горных выработок большого сечения, высоких откосов и т.п.) характеристики механических свойств таких пород определяют в массиве, исследуя для этого большие объёмы породы. Однако определение этих характеристик в натурных условиях, как правило, весьма дорогостоящее (особенно дороги опыты в занапоренной камере), трудоёмкое, требует специальных технических средств и специальной организации. Причём существующие способы получения данных о деформационных и прочностных свойствах редко позволяют охватить всю область скального основания и все возможные условия его работы. Таким образом, они не всегда удовлетворяют инженеров-изыскателей и проектировщиков как с принципиальной, так и с экономической точки зрения [Ухов С.Б., Мерзляков В.П.].
Выбор участков для размещения действующих и строящихся АЭС в соответствии с российскими и международными стандартами (требованиями МАГАТЭ) необходимо проводить, исследуя геодинамический режима в радиусе до 200 км от АЭС. При таких линейных масштабах получение комплексной оценки и прогноза стабильности и устойчивости геологической среды района промплощадок АЭС невозможно без корректного определения механических свойств на различных иерархических уровнях.
Требования к безопасности АЭС и отсутствие полных и научнообоснованных знаний о состоянии земной коры создали диспропорцию, когда с одной стороны проектируются дорогостоящие мероприятия по обеспечению безопасности эксплуатации реакторов АЭС, а с другой - не решены вопросы долгосрочного прогноза стабильности и устойчивости геологической среды, являющейся основой фундамента реакторов [Морозов В.Н., Родкин М.В., Татаринов В.Н.].
Так как скальные породы всегда неоднородны, в большинстве случаев дискретны и разделяются поверхностями ослабления на отдельные, часто плотно притёртые друг к другу блоки, то решение задачи о напряжённодеформированном состоянии массивов скальных пород как граничной задачи, сопряжено с непреодолимыми трудностями. Следует также отметить, что математическое моделирование области контакта затруднено в связи с отсутствием удовлетворительной физической модели. В этой области, помимо действия сил трения и сцепления, возможно склеивание, сваривание и диффузия материала, заполняющего трещины.
Использование традиционных методов усреднения позволяет получать относительно простые оценки механических характеристик структурно-неоднородных сред (массивов скальных пород, композитных материалов). Однако в рамках данных подходов не часто удаётся получать значения эффективных механических характеристик с точностью удовлетворительной для практического применения. Поэтому возникает необходимость разработки новых методов определения эффективных характеристик механических свойств структурно-неоднородных сред.
Таким образом, необходимо наряду с экспериментальными разрабатывать теоретические модели деформируемости и аналитические и аналитико-численные методы определения механических свойств структурнонеоднородных сред, чему и посвящена тема диссертационного исследования на примере применения к скальным породам.
Предметом исследования диссертационной работы является построение математических моделей процессов деформирования (упругого и упругопластического) массивов скальных пород как структурнонеоднородных сред и прогнозирование их эффективных характеристик механических свойств.
Цель диссертационной работы. Разработка аналитических и аналитико-численных методов определения эффективных характеристик механических свойств массивов скальных пород, как структурно-неоднородных сред, на основе метода асимптотического усреднения, теоретическое исследование их механических свойств, а также для использования получаемых эффективных характеристик в решении задач напряжённодеформированного состояния, прочности и устойчивости. Создание программного комплекса, который позволяет определять эффективные характеристики механических свойств структурно-неоднородных сред, моделировать их деформационное поведение, как упругое, так и упругопластическое с учётом анизотропии свойств.
Направление исследований. Построение математических моделей массивов скальных пород как структурно-неоднородных сред и изучение их деформационных и прочностных свойств при нагружении.
Методы исследований. При решении поставленных задач в диссертации использовались функциональный анализ, методы математической физики, теория дифференциальных уравнений, методы математического моделирования и объектно-ориентированного программирования.
Научная новизна. Автором получены следующие новые научные результаты, выносимые на защиту:
1. Обоснование применимости метода асимптотического усреднения к задачам механики скальных пород.
2. Метод усреднения механических свойств структурно-неоднородных сред, с неидеальными контактными условиями (формальное асимптотическое разложение решения задачи теории упругости с неидеальными контактными условиями).
3. Алгоритм решения некраевых задач на типовом элементе структуры без внутренних симметрий для определения эффективных тензоров жёсткости структурно-неоднородных сред.
4. Упруго дилатирующая модель трещины в массивах скальных пород и методы определения её механических параметров из стандартных испытаний.
5. Корректность определения тензоров концентрации напряжений и деформаций в рамках метода асимптотического усреднения.
6. Краевые задачи на типовом элементе структуры, решения которых позволяют определять эффективные характеристики прочностных свойств в зависимости от формулировки прочностного закона, алгоритм решения этих задач и расчёты по определению эффективных характеристик механических свойств слоистых и трещиноватых скальных пород.
7. Оценка точности получаемых решений краевой задачи о напряжённом и деформированном состоянии при замене слоистого скального массива эквивалентной сплошной однородной анизотропной средой в объёме исследуемой породы.
Достоверность и обоснованность научных положений и выводов обеспечивается проводимым в работе сравнением аналитических результатов с результатами численных расчётов и сравнением основных результатов математического моделирования с экспериментальными данными по исследованию деформационных и прочностных свойств реальных геоматериалов в сложнонапряжённом состоянии.
Научное и практическое значение работы состоит в получении корректных моделей деформирования (упругого и упругопластического);
разработке методов оценки эффективных характеристик механических свойств структурно-неоднородных сред на примере слоистых и трещиноватых скальных пород; исследовании их эффективных деформационных и прочностных характеристик.
Данная диссертация является частью комплексных исследований, которые проводились на кафедре Механики грунтов, оснований и фундаментов МГСУ (МИСИ им. В.В.Куйбышева), а в настоящее время проводятся в рамках основных заданий Президиума РАН в Институте прикладной механики РАН.
Предложения об использовании полученных результатов. Результаты исследований, представленные в диссертации, являются основой для прогнозирования поведения структурно-неоднородных сред (массивов скальных пород и композитных материалов) в условиях внешнего нагружения. Разработанные методы расчёта могут быть использованы в инженерных расчётах и методических рекомендациях на стадии инженерногеологических изысканий под строительство и производства горных работ и на стадии проектирования, что будет способствовать повышению достоверности и надёжности принимаемых проектных решений.
Предлагаемые методы определения механических свойств скальных пород были применены в инженерной практике строительства впервые при строительстве торгово-рекреационного комплекса в г. Москве на Манежной площади в сложных условиях городской застройки и сложной инженерно-геологической обстановке.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Метод усреднения деформационных свойств структурно-неоднородных сред с неидеальными контактными условиями (формальное асимптотическое разложение решения задачи теории упругости с неидеальными контактными условиями).
2. Алгоритм решения некраевых задач на типовом элементе структуры без внутренних симметрий по определению эффективных тензоров жёсткости структурно-неоднородных сред.
3. Упруго дилатирующая модель трещины и методы определения её механических параметров из стандартных испытаний.
4. Формулировка краевых задач на типовом элементе структуры по определению эффективных характеристик прочностных свойств.
5. Результаты исследований зависимостей по определению эффективных механических характеристик слоистых и трещиноватых скальных пород и анализ точности решения задачи напряжённо-деформированного состояния слоистого скального массива с использованием деформационных характеристик, получаемых методом усреднения.
Апробация результатов работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на международных, всесоюзных и всероссийских научно-технических конференциях: IV Российской конференции с иностранным участием по нелинейной механике грунтов (Санкт-Петербург, 1993), X Международной конференции по механике горных пород (Москва, 1993), International Symposium on Safety and Environmental Issues in Rock Engineering (Lisboa, 1993, Portugal), XI Российской конференции по механике горных пород (Санкт-Петербург 1997), III International Conference on Advances of Computer Methods in Geotechnical and Geoenvironmental Engineering (Moscow, 2000, Russia), ISRM Regional Sym posium Eurorock on Rock Mechanics - Challenge for Society. (Espoo, 2001, Finland), Международная конференция по геотехнике Оценка состояния оснований и сооружений (Санкт-Петербург, 2001), International Conference EPMESCТVIII on Enhancement and Promotion of Computational Methods in Engineering and Science (Shanghai, 2001, China), International Symposium EUROCK 2002 on Rock for Montainous Regions. (Funchal, 2002, Portugal), Международная конференция по геотехнике, посвящённая 300летию Санкт-Петербурга Реконструкция исторических городов и геотехническое строительство (Санкт-Петербург, 2003), Regional Symposium ISRM EUROCK 2004 & 53td Geomechanics Colloquy on Rock Engineering, Theory and Practice (Salzburg, 2004, Austria), VI World Congress on Computational Mechanics in Conjunction with the Second Asian-Pacific Congress on Computational Mechanics (Beijing, 2004, China), 40th U.S. Symposium on Rock Mechanics: Rock Mechanics for Energy, Mineral and Infrastructure Development in the Northern Regions (Anchorage, 2005, USA), Международная научно-практическая конференция: Инженерные системы - 2009 (Москва, 2009).
Также основные положения и результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались в Дальневосточном научноисследовательском институте по строительству Госсторя СССР (Владивосток, ДальНИИС), на семинарах Механика горных пород под руководством академиков Е.И.Шемякина и С.А.Христиановича (Москва, ВАК) и Механика горных пород под руководством академика Е.И.Шемякина (Москва, МГГУ), на семинаре Российского университета Дружбы народов по теоретическим и прикладным проблемам механики грунтов под руководством И.Дидуха и В.А.Иосилевича (Москва, РУДН) и объединённом научно-исследовательском семинаре Московского государственного строительного университета и Научно-исследовательского института механики МГУ им. М.В.Ломоносова по теоретическим и прикладным проблемам механики грунтов под руководством академика С.С.Григоряна, З.В.Тер-Мартиросяна и В.А.Иосилевича (Москва, МГСУ).
В законченном виде диссертационная работа докладывалась на научном семинаре кафедры Механика грунтов основания и фундаменты Московского государственного строительного университета (Москва, МГСУ), научных семинарах Всероссийского научно-исследовательского института гидротехники (Санкт-Петербург, ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева), Института Геоэкологии РАН (Москва, ИГЭ РАН им. Е.М.Сергеева), Института прикладной механики РАН (Москва, ИПРИМ РАН), Института прикладной механики УрО РАН (Ижевск, ИПМ УрО РАН).
Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 37 научных работах, в том числе 2 монографиях и 1 авторском свидетельстве.
ичный вклад автора. Диссертация является самостоятельной работой, результаты которой получены автором.
Автором лично выполнена постановка цели и задач диссертационной работы, предложены пути их решения, обоснованы вынесенные на защиту положения. Полученные в диссертационной работе результаты обработаны и проанализированы автором.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения (выводы по диссертации) и списка использованной литературы. Работа содержит 340 страниц текста, включая 22 таблицы и рисунка. Список использованной литературы включает 264 наименования.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, кратко изложено состояние вопроса, поставлены цель и задачи исследований, отмечены новизна, научная и практическая значимость работы.
В первой главе излагаются инженерно-геологические особенности массивов скальных пород, в кратком изложении приводится обзор моделей деформируемости и прочности слоистых и трещиноватых скальных пород, даётся анализ современного состояния исследуемых вопросов по теме диссертации и обоснование постановки и методов исследований.
Массивы скальных пород характеризуются неоднородностью строения, состава и свойств, трещиноватостью, анизотропией, наличием сложного поля начальных напряжений. Всё это имеет количественное проявление в зависимости от исследуемого объёма пород, т.е. скальным массивам присущ масштабный эффект. Следовательно, решение задач геомеханики (напряжённо-деформированного состояния, прочности и устойчивости) возможно лишь тогда, когда указанные свойства скальных пород могут быть учтены при определении их механических характеристик.
Проведённый анализ показал, что в настоящее время в геомеханике не существует надёжных методов определения эффективных характеристик механических свойств массивов скальных пород. Однако отметим, что многих недостатков используемых в геомеханике методов лишён подход, основанный на методе асимптотического усреднения дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. Он позволяет провести гомогенизацию структурно-неоднородной среды в более сложных условиях, когда в эквивалентной среде деформация неоднородна.
Данный метод позволяет определить эффективные характеристики механических свойств неоднородного материала по значениям механических характеристик его составляющих и с учётом их геометрии.
Существо такого подхода заключается в следующем. В изучаемом массиве методами инженерной геологии выделяются некоторые типовые структуры (лячейки периодичности). Типовые структуры могут быть составлены на основе анализа фотографий и гранулометрического состава - для крупнообломочных грунтов, съёмки и описания сетей трещин - для трещиноватых скальных пород и т. п. Как и при распространении результатов испытаний образцов на массив, считается, что массив составлен из таких типовых структур. Свойства отдельных элементов композиции типовых структур изучаются в непосредственных экспериментах.
Таким образом, исследуемая область грунта идеализируется в виде периодической системы с известными характеристиками свойств отдельных компонентов. Однако фундаментальным достоинством асимптотического метода усреднения является то, что усреднение не основывается на гипотезе эквивалентной гомогенности и не привязано к представительному объёму.
Поэтому возникает необходимость развития метода асимптотического усреднения и разработки новых методов по определению эффективных характеристик механических свойств структурно-неоднородных сред, позволяющих описывать процессы деформирования с учётом физической нелинейности при внешнем воздействии.
Вo второй главе приведено обоснование применимости метода асимптотического усреднения систем дифференциальных уравнений эллиптического типа с быстро осциллирующими коэффициентами к решению задач геомеханики; продемонстрирован метод асимптотического усреднения на примере дифференциального уравнения эллиптического типа для задачи деформирования образца упругой слоистой среды при одноосном нагружении поперёк слоёв и получено решение задачи для эффективной среды (усреднённое решение) и точное решение для слоистой среды, дана оценка точности усреднённого решения. Также в этой главе асимптотический метод усреднения был обобщён на класс задач теории упругости неоднородных сред с неидеальными контактными условиями, представлен алгоритм построения асимптотического решения такой задачи и показано, что в результате усреднения определяется их эффективный тензор жёсткости; также показано, что учёт свойств симметрии областей периодичности структурно-неоднородных сред позволяет свести задачу на ячейке к краевой задаче и тем самым существенно упростить определение эффективных тензоров жёсткости; предложен и обоснован алгоритм решения некраевых (периодических) задач для определения эффективных тензоров жёсткости на типовых элементах структуры, не обладающих внутренней симметрией.
Асимптотический метод усреднения дифференциальных уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами позволяет свести исходные дифференциальные уравнения к уравнениям, коэффициенты которых не являются быстроосциллирующими, а их решения близки к решениям исходных уравнений на той же области при соответствующих граничных условиях. Эти уравнения называются усреднёнными уравнениями, а их коэффициенты - эффективными коэффициентами. Указанный метод даёт возможность асимптотически правильно описывать локальную структуру процессов на основе решения локальных задач на ячейке периодичности, определяющих, в частности, эффективные (усреднённые) характеристики и решение краевой задачи для эквивалентного, однородного материала с полученными эффективными свойствами.
Разработка и математическое обоснование этого метода представлены в работах Н.С.Бахвалова, Г.П.Панасенко, В.В.Жикова, С.М.Козлова, О.А.Олейник, Ха Тьен Нгоана, Г.А.Иосифьяна, Б.Е.Победри, А.Ю.Беляева, Э.Санчеса-Паленсии, Ж.Дюво, Ж.-Л.Лионса и др.
При деформировании композитных материалов возможны нарушения идеального контакта: отслаивание, проскальзывание одного компонента относительно другого и т.д. В геоматериалах такие контактные условия реализуются почти всегда, что обусловлено их трещиноватостью.
Пусть Aij() = ||ckilj()|| - 1-периодические матрицы-функции, бесконечно дифференцируемые всюду, кроме, быть может, некоторых поверхностей l, на которых они терпят разрывы первого рода, определяют тензор жёсткости неоднородной среды (i, j, k, l = 1,2,3). Тогда система уравнений теории упругости в перемещениях запишется в виде:
Aij() u = f(x), (1) xi xj где = x/ - вектор так называемых УбыстрыхФ переменных.
Отметим, что тензор жёсткости удовлетворяет условиям симметрии ckilj = cljki = ciklj = ckijl и УположительнойФ определённости ckiljkilj kilj, где ||ij|| - произвольная симметричная матрица, > 0, (i, j, k, l = 1,2,3).
Будем рассматривать задачу теории упругости с граничными условиями смешанного типа (рисунок 1):
u u = u0, Aij ni = F, (2) Gxj Gгде G = G1G2 - кусочно-гладкая граница рассматриваемой области пространства, занимаемая средой, G1G2 = (G1 - граница области, на которой задана поверхностная нагрузка; G2 - граница области, на которой заданы перемещения); u0 - заданный на поверхности тела вектор перемещений; F - заданная на поверхности нагрузка; n = (n1,n2,n3) - вектор нормали к границе тела; f - вектор объёмных сил.
G u G F l G Рисунок 1 - Неоднородная среда под действием внешней нагрузки Решение задачи (1), (2) понимается в обобщённом смысле. На поверхностях l, где терпят разрыв матрицы-функции Aij определяющие тензор жёсткости, предполагаем выполнение контактных условий:
u aAij ni + bu = 0, (3) xj l где a и b некоторые матрицы 63. Частным случаем контактных условий 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 (3) при a = и b = являются условия идеального кон 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0 0 такта, которые принимают следующий вид:
u [u] = 0, =. (4) A xj ni ij l l Асимптотику решения задачи отыскиваем в виде:
u(2)(x,) = v0(x) + u1(x,) + 2u2(x,), (5) где v0(x) - непрерывная вектор-функция, независящая от быстрой переменной ; ui(x,) - 1-периодические по трёхмерные вектор-функции, (i = 1,2); x = (x1,x2,x3); = (1,2,3).
Предположение относительно первого члена v0(x) о независимости его от быстрой переменной в асимптотике (5) естественно, т.к. предполагает, что он описывает решение в однородной области, эквивалентной исходной неоднородной среды.
Далее, используя стандартную для метода асимптотического усреднения процедуру построения асимптотики, подставим сумму (5) в левую часть уравнения (1) и воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Учитывая, что v0(x) не зависит от получим:
-1(Lu1 + Lxv0) + + 0(Lu2 + Lxu1 + Lxu1 + Lxxv0) + (6) + 1(Lxu2 + Lxu2 + Lxxu1) + 2Lxxu2 = f.
Здесь введено обозначение:
Aij u .
Lu = i j Приравняем слагаемые порядков -1, 0 к нулю, чтобы был возможен предельный переход при 0, и отбросим слагаемые порядков 1 и 2, которые составят невязку уравнения (1). Тогда, асимптотика решения задачи (1), (2) u(2)(x,) будет удовлетворять уравнению (1) с точностью до членов порядка . При этом функции u1(x,), u2(x,) будут определяться из следующих условий:
Lu1 = - Lxv0, (7) Lu2 = - Lxu1 - Lxu1 - Lxxv0 + f, (8) где x и считаются независимыми переменными.
Подставляя (5) в соотношения (3) и учитывая, что a, Aij и b рассматриваются в соответствии с асимптотикой двухмасштабного разложения как функции только быстрой переменной, для чего они преобразуются в локальную систему координат (т.е. приводятся к требуемому масштабному уровню), в асимптотическом представлении контактных условий матрицу коэффициентов b нужно домножить на. В результате чего они запишут ся в виде:
Учитывая выше приведённое замечание и подставляя (5) в соотношения (3), контактные условия запишутся в виде:
u(2) = -1 bv0 + [ ] aAij ni + bu(2) l xj l v0 u1 (9) +0 aAij + + bu1 + xj j ni l u1 u2 u2 + aAij + + bu2 + 2 Aij ni .
xj j ni xj l l Потребуем, чтобы в выражении (9) по три старших слагаемых обратились в ноль, причём x и будем рассматривать как независимые переменные. В результате получим:
bv0 = b v = 0, (10) [ ] [ ] ll v0 u1 a Aij + Aij ni + bu1 = 0, (11) xj j l u1 u2 a Aij + Aij ni + bu2 = 0. (12) xj j l Так как v0(x) непрерывная вектор-функция, то из условия (10), которое выполняется для всех xl, следует, что b = 0. Таким образом, при [ ] l задании контактных условий (3) потребуем, чтобы матрица b удовлетворяла требованию b = const. Такое требование, хотя и накладывает ограничения на задание контактных условий, тем не менее, оно позволяет описывать условия неидеальности контактов линейного типа.
Лемма. Пусть Aij(), F0(), Fi() - 1-периодические кусочно-гладкие матрицы-функции и Aij() удовлетворяют условиям симметрии и УположительнойФ определённости. Тогда для существования 1-периодического решения задачи LN = F0()+ Fi(), (13) i при не принадлежащем l, N a Aij - Fi ni + bN = 0, ( ) (14) j l где a и b - некоторые матрицы-константы (описывающие контактные условия), необходимо и достаточно, чтобы F0=0. При этом общее 1-периодическое решение задачи (13), (14) запишется в виде N0() = N() + C, где N0() - решение с нулевым средним по периоду:
N0() = 0, C - произвольная постоянная.
Эта лемма является следствием теоремы существования и единственности решения задачи на s-мерном торе (ячейке).
Перепишем уравнение (7) в виде:
v0 Lu1 = - Aij , (15) i xj которому соответствуют контактные условия (11).
В этом случае из леммы следует, что уравнение (15), с контактными условиями (11) имеет 1-периодическое по решение u1(x,), причём u1(x,), представимо в виде:
vu1(x,) = Ni (), (16) xi где Ni () - матрицы-функции, 1-периодические обобщённые решения уравнений (i1 = 1,2,3):
L(Ni + i E)= 0, l, (17) 1 с контактными условиями Ni + i E ( )n + bNi 0, (18) 1 aAij = i j l где E - единичная матрица 33.
Задача (17), (18) для нахождения матриц-функций Ni () непосредственно следует из подстановки (16) в (15).
Уравнение (17) называется уравнением на периодической ячейке.
Его решение необходимо для определения коэффициентов усреднённого уравнения, т.е. эффективных коэффициентов. Решение уравнения (17) с условиями на контактах (18) определяется с точностью до произвольной матрицы-константы. Будем фиксировать выбор константы условием Ni = 0.
v Далее, учитывая, что u0 = v0(x) и u1 = Ni (), уравнение (8) заxi пишется в виде:
Ni Lu2 = -Ai i2 + Ai j + (Aii Ni ) 2v0 + f, (19) 1 1 1 j i xi xi 1 а контактные условия (12) в виде:
u2 2v0 a Aij + Aii Ni + bu2 = , (20) 1 j xi xi ni 1 2 l Необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения (19) с контактными условиями (20) в классе 1-периодических функций, в соответствии с леммой, задаёт усреднённое уравнение:
Ni 2vAi i2 + Ai j = f. (21) 1 j xi xi 1 Полученное уравнение (21) запишем следующим образом:
2vi i2 = f, (22) xi xi 1 Ni i i2 = Ai i2 + Ai j где - матрицы, элементы которых не зависят от 1 1 j координат.
Пусть v0(x) - решение усреднённого уравнения (22), тогда уравнение (19) разрешимо. Представим f(x) в виде (22). В результате получим, что u2(x,) является решением уравнения:
2vLu2 = i i2 - Ti i2 , (23) ( ) ( )x xi 1 i1 Ni Ti i2 = (Aii Ni )+ Ai j + Ai iгде.
1 1 2 1 i j Рассуждая, как и в случае построения u1(x,) получим:
2vu2(x, ) = Ni i2 (), (24) xi xi 1 где Ni i2 () - 1-периодические матрицы-функции решения уравнений:
L Ni i2 + Ti i2 = i i2 (25) 1 1 с контактными условиями Ni a Aij i2 + Aii Ni ni + bNi i2 = , (26) 1 2 j l Таким образом, получаем, что v0 2vu(2) = v0 + Ni + 2Ni i. (27) 1 xi xi xi 1 1 Итак, для построения асимптотики решения задачи (1), (2) нужно:
- в классе 1-периодических матриц-функций решить три задачи на ячейке (i1 = 1,2,3):
L Ni + i E = 0, l (28) ( ) 1 с контактными условиями Ni + i E ( )n + bNi 0, (2.9) 1 Aij = i j l которые в случае идеального контакта преобразуются к виду = 0, Ni1 l Ni + i E ( )n 0 ;
1 Aij = i j l - вычислить эффективный тензор по формуле:
Ni i i2 = Ai i2 + Ai j ; (30) 1 1 j - решить усреднённую систему уравнений теории упругости с тензором жёсткости независящим от координат:
2vi i2 = f, xG (31) xi xi 1 с соответствующими граничными условиями (в рамках лэффективного модуля):
v v = u0, i i2 ni = F, (32) G1 1 xj G Построение полного асимптотического разложения решения задачи теории упругости (1), (2) проводится стандартным для асимптотического метода усреднения методом, изложение которого можно найти, например, в монографиях Н.С.Бахвалова, Г.П.Панасенко, или Б.Е.Победри, при этом следует принимать во внимание неидеальность контактных условий.
В третьей главе с использованием аппарата второй главы приведён вывод зависимостей, по которым определяются эффективные деформационные характеристики слоистых сред и массивов скальных пород, рассечённых плоскопараллельной системой трещин; для скальных пород излагается предлагаемая в диссертации лупруго дилатирующая модель трещины и выводятся зависимости для определения её параметров из стандартных испытаний; также предлагается метод оценки эффективных характеристик деформационных свойств скальных массивов блочной структуры (рассечённых несколькими системами плоскопараллельных трещин), состоящий в последовательном усреднении деформационных характеристик по системам трещин. В этой главе численно, с использованием программного комплекса UWay разработанного на принципах объектноориентированного подхода к программированию, методом конечных элементов (МКЭ) решалась задача приведения модельных скальных массивов, рассечённых плоскопараллельными и ортогональными, как непрерывными, так и прерывистыми, системами трещин.
Формулы для определения эффективных характеристик деформационных свойств слоистых сред в главных осях упругой симметрии, где слои перпендикулярны оси л1 можно представить в следующем виде:
-1 -ij = Aij + Ai1A11j - Ai1A11A1j, (33) где матрицы Cj определяются в соответствии с условиями на контактах слоёв (i, j = 1,2,3).
--1 - При выполнении условий идеального контакта Cj = A11 A11A1j и, следовательно, эффективный тензор жёсткости будет определяться зависимостью:
--1 -1 -1 -ij = Aij + Ai1A11 A11 A11A1j - Ai1A11A1j, (34) Для случая когда, каждый слой является ортотропным и направление главных осей ортотропии параллельно направлению осей координат, предположим, что на границе слоёв выполняется один из следующих типов контактных условий:
Х Идеальный контакт, где на поверхности контакта выполняются условия неразрывности перемещений ui = 0 и напряжений 1i = 0, [ ] [ ] (i = 1, 2, 3).
Х Упругий контакт, где на поверхности контакта выполняются условия неразрывности перемещений, нормальных к плоскости напластования u1 = 0 и напряжений 1i = 0, а также касательные напряжения на по[ ] [ ] верхности контакта связаны с перемещениями в плоскости контакта зависимостями 12 = k1 u2, 13 = k2 u3 (k1 и k2 коэффициенты, опреде[ ] [ ] ляющие сдвиговую жёсткость).
Х Трение скольжения без отслоения, где на поверхности контакта выполняются условия неразрывности перемещений, нормальных к плоскости напластования u1 = 0 и напряжений 1i = 0, а также касательные на[ ] [ ] пряжения на поверхности контакта связаны с нормальными к этой поверхности напряжениями законом трения Кулона 12 = 11tg 1, ( ) 13 = 11tg 2 (1 и 2 углы трения слоёв по поверхности контакта). Ча( ) стным случаем этого условия при 1 = 2 = 0 является условие проскальзывания без отслоения.
Заметим, что в задачах механики скальных пород упругий контакт соответствует модели трещины Гудмана и описывает поведение трещины при сдвиговом нагружении, где k - сдвиговая жёсткость трещины, а трение скольжения является условием прочности трещины на сдвиг по Кулону, где - угол трения.
Ортотропный материал в главных осях упругой симметрии имеет девять независимых компонент тензора жёсткости, а именно, с1111, с1122, с1133, с2222, с2233, с3333, с1212, с1313, с2233. Для эффективного тензора жёсткости слоистых сред в случае идеального контакта, как это следует из (34), получим также девять независимых компонент, которые определяются по формулам [Б.Е.Победря, В.И.Горбачёв]:
1 c1122 c11 с1111 = ; с2222 = с2222 +- ;
1/ c1111 1/ c1111 c1111 c111 c1133 c11 с3333 = с3333 +- ;
1/ c1111 c1111 c111 c1122 1 c11 с1122 = ; с1133 = ;
(35) 1/ c1111 c1111 1/ c1111 c111 c1122 c1133 c1122c11 с2233 = с2233 +- ;
1/ c1111 c1111 c1111 c111 с1212 = ; с1313 = ; с2323 = c2323.
1/ c1212 1/ c13Точно такие же формулы получаются и для определения эффективного тензора жёсткости слоистых сред, где на контакте слоёв не выполняются идеальные контактные условия. Отличия имеются только для двух с1212 с13компонент тензора, а именно,, и. При этом, если выполняются условия упругого контакта, то -1 - 2 1 2 с1212 = + с1313 = +,, (36) k1l c1212 k2l c1313 где l - толщина УпакетовФ слоёв (размер ячейки периодичности).
Если же на контакте слоёв выполняются условия трения скольжения без отслоения, то значения этих компонент тензора жёсткости будут равны нулю, т.е.
с1212 = 0 с1313 =,. (37) Из зависимостей (35) - (37) следует, что слоистая среда в этих случаях ведёт себя как макроскопически ортотропная, направление главных осей ортотропии которой совпадает с направлением главных осей ортотропии слоёв. Из них также следует, что в главных осях упругой симметрии компоненты тензора жёсткости, определяющие модуль сдвига в плоскости ортогональной плоскости напластования, в общем случае зависят от размера ячейки периодичности (размера пакета слоёв). При этом заметим, что в случае идеальных контактных условий от размера пакета сло ёв эти модули сдвига не зависят, а в случае проскальзывании без отслоения или трении скольжения без отслоения они равны нулю. Последнее, а именно, что модули сдвига равны нулю при проскальзывании или трении скольжения без отслоения, следовало ожидать, т.к. такие условия на контактах раздела слоёв соответствуют условиям предельного равновесия.
В предлагаемой в диссертации лупруго дилатирующей модели трещины, трещина рассматривается как тонкий слой, толщина которого определяется шириной раскрытия трещины, а деформационные характеристики нормальной kn, сдвиговой ks жесткостями и коэффициентом дилатансии , определяемые из стандартных испытаний.
Для скального массива, рассечённого одной системой плоскопараллельных непрерывных трещин, были получены следующие зависимости для определения компонент эффективного тензора жёсткости:
E 1111 = G + lks knE, 2222 = 3333 =, +11( ) 1- 1- ( ) E 1122 = 1133 = 1111, 2233 = +1111, 1- 1- 1- ( ) lksG 1212 = 1313 =, 2323 = G, (38) lks + G 1112 = 1113 = - knEG, 1222 = 1233 = 1322 = 1333 = 1112, 1- 1213 = -12121112, lkn l 1- ( ) где = ; E, G, - n G + lks 1- E + 1- - 22 lkn - 22 1- EG ( )( ) ( )k ( ) ks модуль деформации, модуль сдвига и коэффициент Пуассона материала скальной породы соответственно; l - расстояние между трещинами.
Если поведение трещин описывать без учёта лупругой дилатансии ( = 0), что и делают при решении задач геомеханики [G.C.Nayak, O.C.Zienkiewicz, B.Amadei, Р.Гудман, Ching-Shung Chang, Tsan-Hwei Huang, S.Saeb; В.Г.Орехов, М.Г.Зерцалов и др.], то из (38) получаются широко известные зависимости для определения эффективных технических деформационных характеристик скального массива с плоскопараллельной системой непрерывных зияющих трещин:
lknE E =, EII = E, II, = II,II = , lkn + E (39) lksG E G =, GII =, lks + G 2 1+ ( ) ,II II, = EII E здесь ; и - модули деформации вдоль и поперёк треE EII GII G щин, соответственно; и - модули сдвига в плоскости и, соответственно, поперёк плоскости трещин.
Для проверки применимости к массивам скальных пород полученных зависимостей по определению эффективных деформационных характеристик было проведено сравнение характеристик, получаемых расчётом с результатами экспериментальных исследований на примере слоистых пород (полевые и лабораторные испытания) [С.Б.Ухов, В.Н.Бурлаков; Королёв; Хамед Зияд Сельман] и составных образцов (лабораторные испытания) [Б.Д.Зеленский; R.Yoshinaka, T.Yamabe]. Сравнение значений деформационных характеристик полученных из опытов и расчётом показало их хорошее соответствие.
На рисунке 2 приведены графики зависимости разности главных напряжений от нормальной деформации, полученные в экспериментах на составных образцах, моделирующих массив с ортогональной системой трещин [R.Yoshinaka, T.Yamabe] и результаты, полученные расчётом.
Используя изложенный во второй главе метод сведения некраевых задач на ячейке (типовом элементе структуры) к краевым, численно решалась задача приведения среды с системной трещиноватостью (задача приведения модельных скальных массивов, рассечённых плоскопараллельными и ортогональными, как непрерывными, так и прерывистыми, системами трещин) к эквивалентной сплошной среде. Существо задачи приведения заключается в том, чтобы расчёт неоднородной среды заменить расчётом эквивалентного сплошного тела, имеющего те же размеры и так же загруженного. В результате решения задачи приведения определяются эффективные характеристики деформационных свойств неоднородной среды.
Рассматривались три варианта трещиноватости, которые моделировались ячейками периодичности, представленными на рисунок 3. Для определения эффективных деформационных характеристик решались соответствующие задачи на ячейках, после чего проводилось усреднение полученных решений.
Результаты численного решения задачи приведения среды с системой прерывистых трещин (рисунок 3,б) представлены для модуля сдвига (рисунок 4). Сравнение их с аналитическим решением, полученным из решения задачи о взаимодействии двоякопериодической системы прямоли нейных трещин [Л.А.Фильштинский], где трещина рассматривалась как щелевой разрез ( = 0) без трения по берегам, показывает, что при 0, решение, получаемое методом асимптотического усреднения, стремится к аналитическому решению Фильштинского.
- угол наклона трещин к главным осям напряжений;
эксперимент; расчёт.
Рисунок 2 - Зависимость разности напряжений (1-2) от деформации Рисунок 3 - Ячейки периодичности моделей скальных массивов Рисунок 4 - Зависимость эффективного модуля сдвига (в плоскости чертежа, рисунок 3,б) от относительной длины трещины Также, на примере ортогональной системы трещин (рисунок 3,а), из численного решения задачи на ячейке была показана правомерность использования упрощённого подхода для определения эффективных деформационных характеристик скальных пород, рассечённых несколькими системами плоскопараллельных трещин, основанного на принципе суперпозиции (последовательного усреднения) и формул для ортогональных систем, полученных с его использованием.
В четвёртой главе в рамках метода асимптотического усреднения даны формальные определения тензора концентрации напряжений и тензора концентрации деформаций, доказана корректность этих определений и показано, что они эквивалентны соответствующим определениям данным Б.Е.Победрей. На примере слоистых скальных пород продемонстрировано, что для определения напряжений не всегда достаточно решения усреднённой задачи по теории лэффективного модуля.
Неоднородность полей напряжений и деформаций в периодической среде в рамках метода асимптотического усреднения можно учесть с помощью тензоров концентрации напряжений ijkl и деформаций ijkl, которые определяют связь между локальными полями напряжений ij и дефор маций ij и полями напряжений kl и деформаций kl в эффективной среде:
ij = ijklkl, ij = ijklkl. (40) Тензор концентрации напряжений определяется следующим соотношением:
nrn -ijkl = cijmn + cijpr m mnkl, (41) p а тензор концентрации деформаций следующим:
il jl 1 nk nk ijkl = ijkl ++ (42) 2 j i , nnl здесь - периодические функции (элементы матриц Nk = nnl ), опреk k -ijkl деляемые из решения задачи на ячейке (k, n, l = 1, 2, 3); - элементы тензора податливости, обратного тензору жёсткости;
ijkl = 05 ikjl + iljk - единичный тензор четвёртого ранга.
.
( ) Из (40) - (42) выводится, что напряжения ij и деформации ij и связаны между собой зависимостью ij = cijklkl, что доказывает корректность определений тензоров концентрации напряжений (41) и деформаций (42).
Затем были проведены расчёты напряжённо-деформированного состояния (плоская деформация) слоистого скального массива (рисунок 5) в трёх вариантах:
1. в скальном массиве каждый слой моделируется своими собственными характеристиками (жёсткий слой - E = 6000МПа, = 0.15; мягкий слой - E = 800МПа, = 0.15);
2. скальный массив заменяется однородной эквивалентной средой с эффективными характеристиками, полученными методом асимптотического усреднения, и при этом не учитываются концентрации напряжений;
3. скальный массив заменяется однородной эквивалентной средой с эффективными характеристиками, полученными методом асимптотического усреднения, с учётом концентраций напряжений.
Рисунок 5 - Расчётная схема слоистой среды На рисунке 6 в графическом виде представлены результаты расчётов горизонтальных напряжений (распоров) y, действующих под центром штампа, в зависимости от глубины.
первый вариант расчёта;
второй вариант расчёта;
третий вариант расчёта Рисунок 6 - Зависимость горизонтальных напряжений от глубины Из рисунков видно, что горизонтальные напряжения, в эквивалентной среде полученные по теории "эффективного" модуля, могут не давать хорошего приближения к напряжениям, действующим в неоднородных средах (рисунок 6, первый и второй варианты расчётов). Это объясняется тем, что из близости перемещений в исходной задаче и усреднённой не следует близости их производных, с помощью которых определяются напряжения. Следовательно, для правильного определения напряжений в структурно-неоднородных средах не всегда достаточно решения только усреднённой задачи по теории лэффективного модуля. В случае необходимости решение можно подправить, используя тензор концентрации напряжений (третий вариант расчётов). Заметим, что для расчётной схемы с 48 слоями значения распоров, полученных по первому и третьему вариантам расчётов, практически совпадали (рисунок 6,а).
В пятой главе излагается тензорно-полиномиальная формулировка критериев прочности структурно-неоднородных сред и требования, которым должны удовлетворять эти критерии при феноменологическом их описании; излагается разработанная в диссертации методика определения эффективных характеристик прочностных свойств структурнонеоднородных сред, в том числе и скальных пород, рассечённых трещинами; проводится сравнение эффективных характеристик механических свойств, полученных из экспериментальных исследований и расчётом.
Для слоистой среды с однородными изотропными слоями, расположенными перпендикулярно оси x1 в предположении, что критерий текучести материала слоёв удовлетворяет условию Друккера-Прагера, в тензорно-полиномиальной форме был получен следующий критерий прочности (текучести) слоистой среды с однородными изотропными слоями:
2 F1111 + F22 22 + 33 + F111111 + F2222 2 + 33 + ( ) ( ) (43) 2 +2F112211 22 + 33 + 2F22332233 + 4F1212 12 + 13 + 4F23232 =1.
( ) ( ) где I1 + J2 - k = 0 - критерий текучести Друккера-Прагера; и k - положительные константы материалов слоёв; I1 - первый инвариант тензора напряжений; J2 - второй инвариант девиатора тензора напряжений.
При этом эффективные прочностные характеристики, а именно, коэффициенты тензорного полинома (43), которые сами являются тензорами соответствующих рангов, определяются по формулам:
2 2222 22 2 F11 = 1+ 2 ; F22 = F33 = + ;
( ) ( ) 22kk 1 1 2 1 F1111 = - 2 - + 42 - - 42 2211 2211 ;
3 k2 3 1 1 1 F2222 = F3333 = 2233 23- 42 2222 + 4 - 2 2 ;
k2 (44) 1 1 1 F1122 = F1133 = - 22 2211- - 2 + ;
( ) 2222 22k2 1 1 2 F2233 = - 42 2222 - + 42 2 ;
2233 23k2 11 F1212 = F1313 = ; F2323 = F2222 - F2233 = .
( ) 4k2 2k2 23 Из полученных зависимостей (43) и (44) следует, что такая слоистая среда является трансверсально-изотропной по прочностным свойствам (как и по деформационным). Тензоры прочности второго и четвёртого рангов имеют плоскость изотропии параллельную плоскости напластования, как и в случае эффективного тензора жёсткости. Причём тензор прочности F11 Fвторого ранга имеет две независимые компоненты и, а тензор прочности четвёртого ранга - пять независимых компонент, а именно:
F1111, F2222, F1122, F2233, F12.
Поверхность текучести данной слоистой среды в условиях плоской деформации представляет собой уравнение второго порядка, а именно, уравнение поверхности двуполостного гиперболоида (рисунок 7).
Рисунок 7 - Поверхность текучести слоистой среды при реализации плоской деформации в области сжимающих напряжений В инженерной практике, используются более простые формулировки, описывающие поведение материала под нагрузкой в предельном состоянии, нежели тензорно-полиномиальная. Определение параметров прочности для таких формулировок ничем не отличается от схемы, которая используется для тензорно-полиномиальной формулировки, и проводится точно по тому же алгоритму. Установочные численные эксперименты для таких формулировок определяются видом описания прочностного критерия. В инженерной практике для описания предельного состояния часто используется условие Кулона.
Для слоистой скальной породы условие предельного состояния в форме Кулона принимает следующий вид:
= + tg , (45) ( ) 11 где = c(s) 21212, = arctg tg (s) . (46) ( ) ( ) 212 Разработанная в диссертации методика была применена к определению механических свойств слоистого скального массива, сложенного осадочными породами и представляющими собой переслаивание аргиллита и песчаника и проведено сравнение полученных результатов с результатами испытаний. Данный скальный массив исследовался [Y.Miyaike, N.Mizuno, Y.Momose, J.Nakamura,] с целью его использования в качестве основания одной из атомных электростанций. В рассматриваемой породе средняя толщина слоёв аргиллита и песчаника равна 13 см и 6 см соответственно.
Угол падения плоскости напластования равен ~10. Прочность на одноосное сжатие аргиллита и песчаника составляла примерно 10 МПа и 2 МПа соответственно. Скальный массив слабо трещиноватый, имеет трещины напластования, которые более или менее однородно распределены.
В качестве закона прочности аргиллита и песчаника принималось условие, которое по результатам лабораторных экспериментов было получено в кусочно-линейной форме (имело два участка) для аргиллита:
первый участок - (1)=2.25+(1)tg(42); (1)<3.29МПа, (1)<5.21 МПа, второй участок - (1)=4.08+(1)tg(19); (1)>3.29МПа, (1)>5.21 МПа, (47) для песчаника:
первый участок - (2)=0.33+(2)tg(62); (2)<0.63МПа, (2)<1.5 МПа, второй участок - (2)=1.10+(2)tg(33); (2)>0.63МПа, (2)>1.5 МПа. (48) Деформационные характеристики скального массива определялись из трёхосных испытаний. При этом исследовалась анизотропия деформационных свойств, которая обуславливалась переслаиванием пород. На рисунке 8 показана установка, на которой проводились натурные трёхосные испытания.
Скальный массив Бетон Тефлоновые прокладки Cтальная рама Домкраты Скальный массив 5.0м Рисунок 8 - Устройство 3-х осного нагружения Результаты испытаний и расчётов (зависимости модуля деформации от угла наклона плоскости напластования к горизонтальной поверхности) представлены на рисунке 9.
Из сравнения модулей деформации, полученных опытным путём из трёхосных испытаний и по теоретическим моделям, видно хорошее согласие.
3.м м.
м.
2000.E, MПa =1.0MПa 1500.1000. =0.5MПa 500., град 30.0 60.0 90.3-х осные испытания ( - 0.5 MПa; - 1.0 MПa);
- метод асимптотического усреднения Рисунок 9 - Модули деформации Сдвиговая прочность определялась из опытов на сдвиг (одноплоскостной срез). Угол между плоскостью напластования и плоскостью сдвига (горизонтальной поверхностью) составлял ~10. На рисунке 10 показана сдвиговая установка, на которой проводились эксперименты.
Скальный массив Бетон Домкраты 1.2м Рисунок 10 - Сдвиговое устройство Результаты этих экспериментов представлены на рисунке 11. По результатам сдвиговых испытаний были получены значения прочностных характеристик csh = 0.77 МПа и sh = 34, которые на рисунке 11 соответствуют графику зависимости = 0.77 + tg(34), изображённому сплошной линией.
На рисунке 11 представлены также результаты аналитических расчётов, определяющих предельные касательные напряжения по заданным 2.м 0.м значениям нормальных к плоскости сдвига напряжений. Они изображены в виде белых кружков. Из рисунка видно, что предельные значения сдвиговых напряжений, полученные расчётом, лежат несколько выше прямой, описывающей условие прочности песчаника на сдвиг (пунктирная линия) и выше соответствующих предельных значений сдвиговых напряжений, полученных в натурных экспериментах (черные кружки, сплошная линия).
Это связано с тем, что в расчётах не учитывалась трещиноватость.
2., MПa 2.1.1.0., MПa 0.5 1.0 1.5 2. - эксперимент; - расчёт без учёта трещин;
- с учётом трещин, P=0.01; - с учётом трещин, P=0.Рисунок 11 - Сдвиговые напряжения Чтобы получить более точные значения предельных сдвиговых напряжений, необходимо учитывать трещины напластования, сведения по которой в работе [Y.Miyaike, N.Mizuno, Y.Momose, J.Nakamura], к сожалению, отсутствуют. Учёт их был осуществлён с использованием подходов статистической теории прочности. В результате было получено следующее уравнение для оценки предельных касательных напряжений:
1/ n P min = sh + sh , (49) ln где эффективное касательное напряжение сдвига (среза) sh определяется min по формуле (45), а sh в нашем случае есть минимальное значение сдвиговой прочности более слабого слоя породы. Из зависимости (48) следует, min что sh = 0.33 МПа.
Расчёты по формуле (49) представлены на рисунке 11. В расчётах принимались следующие значения указанных величин: показатель распределения Вейбулла n = 6 (его типичное значение [А.Аргон]); допустимая вероятность разрушения основания сооружения P = 0.01 и 0.03 [Строи тельные нормы и правила. Основания зданий и сооружений. СНиП 2.02.0183*]. Из рисунка 11 видно, что полученные значения прочности на сдвиг, скорректированные в соответствии с зависимостью (49), лучше согласуются с экспериментом. При этом при P = 0.03 значения очень хорошо согласуются с экспериментальными данными.
Из сопоставления результатов расчётов проведённых по предлагаемой для слоистых скальных пород методике с результатами экспериментов следует, что полученные аналитические зависимости достаточно хорошо аппроксимируют механические свойства скальных пород и могут с успехом применяться для их оценки.
Далее представим общий алгоритм определения эффективных характеристик прочностных свойств структурно-неоднородных сред. Как известно, при определении механических свойств однородных изотропных материалов исходят из условия однородного напряжённодеформированного состояния (НДС). Для структурно-неоднородных материалов реализовать такое условие в экспериментах (в том числе и численных) практически невозможно. Поэтому при определении механических свойств таких сред говорят лишь об эффективных характеристиках, описывающих их усреднённое поведение. При таком подходе механическим характеристикам эквивалентного однородного материала ставятся в соответствие эффективные характеристики механических свойств исходного материала, а однородному НДС - усреднённые поля напряжений и деформаций. Итак, при определении эффективных свойств структурнонеоднородных сред неявно предполагается, что они имеют периодическую структуру, где размеры образца принимаются за ячейку периодичности (типовой элемент структуры).
Рассмотрим бесконечную эквивалентную среду, в которой реализо вано однородное НДС с тензором напряжений и деформаций ij. Элеij ментарный объём в такой среде фактически является типовым элементом структуры, который определяет НДС эквивалентной среды. По существу, этот элементарный объём (со структурой) представляет собой точку в объёме эквивалентной среды. Таким образом, любая точка эквивалентной среды наделена структурой соответствующей типовому элементу.
Каждая точка эквивалентной среды индуцирует на типовом элементе соответствующее НДС. Справедливо и обратное - НДС типового элемента структуры порождает НДС, которое определяется усреднением полей напряжений и деформаций по объёму типового элемента в некоторой точке эквивалентной среды, связанной с этим типовым элементом. Если в какойлибо точке или области типового элемента структуры реализуется условие предельного состояния, то решается задача его нелинейного деформирования. Эту процедуру решения можно осуществить для любой траектории нагружения среды. При этом для эквивалентной среды в пространстве напряжений и деформаций выделяются области линейного и нелинейного деформирования. Программу численных экспериментов по определению эффективных прочностных свойств проводят в зависимости от вида принимаемой аппроксимирующей зависимости. Если в качестве прочностного критерия выбирается тензорный полином, то минимальный его порядок может быть явно определён из таких экспериментов, в которых этот критерий согласовывался бы соответствующим разбросом прочностных характеристик материала.
Для реализации вышеизложенного алгоритма следует рассмотреть образец в форме прямоугольного параллелепипеда, составленного из достаточно большого количества структурных элементов. Однородное НДС, которое реализуется в эквивалентной среде, имитирующей этот образец, однозначно определяется граничными условиями в перемещениях, где выполнено требование параллельности противоположных граней. В этом случае в эквивалентной среде и образце все грани структурных элементов, будут оставаться взаимно параллельными и их смещения в эквивалентной среде будут равны соответствующим значениям в образце.
Было показано, что эффективные прочностные характеристики могут быть определены из решения соответствующих нелинейных задач на ячейке с заданием граничных условий в перемещениях, которые принимают следующий вид:
v1 = 11x1 + 212x2 + 213x v = 22x2 + 223x (50) v = 33x где х = (x1, x2, x3) - вектор координат, v = (v1, v2, v3) - вектор перемещений, ij - элементы тензора деформаций (i, j = 1,2,3).
При этом закрепления будут иметь вид, показанный на рисунке 12.
x3,(3) x2,(2) x1,(1) Рисунок 12 - Закрепления Итак, для определения прочностных свойств структурнонеоднородных сред нагружение ячейки периодичности задаётся в перемещениях, в соответствии с заданной траекторией нагружения, которые пол ностью определяют тензор деформации ij эквивалентной среды. Опреде ление прочностных свойств соответствует началу неупругого деформирования ячейки (упругопластического деформирования, а в частом случае и хрупкого разрушения). В этом случае НДС определяет точку на поверхности текучести (в частом случае на поверхности хрупкого разрушения), при этом тензор напряжений эквивалентной среды определяется пересчётом ij по тензору деформаций ij и эффективным характеристикам деформационных свойств, полученным методом асимптотического усреднения из решения задачи на ячейке. Дальнейшее нагружение позволяет определить закон течения (ассоциированный или неассоциированный, с упрочнением или без упрочнения). Напряжённое состояние в эквивалентной среде в этом случае определяется пересчётом по упругой части тензора деформаций и эффективным упругим деформационным характеристикам эквива лентной среды. Здесь предполагается, что полный тензор деформаций ij ij ij является суммой e упругих и пластических p деформаций. При этом полный тензор деформаций определяется граничными условиями в перемещениях, а упругая его часть подсчитывается непосредственно на деформированной ячейке периодичности в численном эксперименте. Нагружение может продолжаться вплоть до исчерпания несущей способности на заданной траектории (если таковое состояние возможно), что определяет точку на предельной поверхности.
Таким образом, предлагаемый алгоритм позволяет описывать полностью упругопластическое деформирование эквивалентной среды, а следовательно и соответствующее ему поведение структурно-неоднородной среды, как в формулировке по деформациям, так и по напряжениям.
Приведённый алгоритм основан на предположении о том, что при нагружении боковые грани структурных элементов, определяющие границы образца, остаются плоскими. Такое условие легко реализовать при кинематическом нагружении.
В общем случае под действием нагрузки боковые грани структурных элементов, определяющие границы образца, могут искривляться (например, при действии равномерно распределённой силовой нагрузки). Если искривлением боковых граней структурных элементов на границах образца пренебречь нельзя, то чтобы его учесть воспользуемся тем, что элементарный объём (ячейка периодичности) обладает структурой, т.к. представляет собой структурный элемент. Следовательно, элементарный объём в силу своего неоднородного строения индуцирует неоднородное напряжённо-деформированное состояние в эквивалентной среде, которое необходимо учесть при определении эффективных прочностных свойств структурно-неоднородных сред. Для этого на однородное напряжённодеформированное состояние в эквивалентном теле нужно наложить флюктуации, определяемые первой поправкой в асимптотическом разложении.
При этом перемещения с учётом первой поправки, в соответствии с асим птотическим методом усреднения, покомпонентно будут определяться следующей зависимостью:
ip ui = vi + nk pk, (51) vp vk где pk = + ; i, p, k = 1,2,3.
2 xk xp Для того чтобы определить граничные условия в задаче на ячейке по определению прочностных свойств структурно-неоднородной среды, учитывая при этом флюктуации относительно усреднённых полей напряжений и деформаций в элементарном объёме, необходимо в (51) положить = 1, т.к. здесь область состоит из одной ячейки. Таким образом, принимая во внимание (50) выражения (51), определяющие граничные условия в перемещениях в задаче в задаче определения прочностных свойств структурнонеоднородных сред на ячейке, примут следующий вид:
k u1 = 11x1 + 212x2 + 213x3 + n1ppk u = 22x2 + 223x3 + nkppk 2 . (52) = 33x3 + nkppk u Граничные условия (52) являются согласованными, т.е. деформированная структурно-неоднородная среда может быть составлена из продеформированных в соответствии с граничными условиями (52) ячеек без нарушения сплошности. Это непосредственно следует из периодичности ip функций nk (i, p, k = 1,2,3).
Применим к определению механических свойств модельных образцов массивов скальных пород рассечённых ортогональными системами трещин предлагаемые методы, в основе которых лежит метод асимптотического усреднения, и сравним результаты определения, с результатами лабораторных исследований.
Рассмотрим исследования, которые проводились на модельных массивах скальных пород в условиях одноосного нагружения [M.Singh, K.S.Rao, T.Ramamurthy]. Модель массива представляла собой кубический образец составленный из блоков песчаника в форме куба с ребром равным h=2.5 см (рисунок 13).
По результатам лабораторных испытаний определялись модуль деформации и прочность на одноосное сжатие вдоль оси нагружения исследуемых образцов, моделирующих массив скальных пород. Результаты этих испытаний представлены на рисунке 14 и соответственно на рисунках 15 и 16.
Из рисунка 14 видно хорошее соответствие между значениями модуля деформации вдоль оси нагружения исследуемых образцов, полученных из экспериментов и по результатам расчётов, что даёт основания для обос нованного их использования в проведении расчётов по оценке их прочностных свойств.
Рисунок 13 - Модельный образец массива скальных пород - эксперимент; - расчёт Рисунок 14 - График зависимости модуля деформации от угла падения системы трещин № В численных экспериментах поведение блоков ненарушенной скальной породы описывалось упругопластической моделью сплошной среды с критерием Хоека-Брауна:
a 1 = 3 + Rc m + s, (53) Rc где 1 к 3 - наибольшее и наименьшее главные напряжения, соответственно; Rc - предел прочности на одноосное сжатие ненарушенной скаль ной породы; m, a и s - параметры скального грунта, причём для ненарушенной скальной породы a = 0.5 и s = 1.
Трещины моделировались контактным элементом с критерием на сдвиг по Кулону:
пр = ci + ntg(j), (54) где пр - сдвиговая прочность трещины, а n - нормальное к плоскости трещины напряжение, j - угол внутреннего трения трещин; cj - удельное сцепление (зацепление), которое принималось равным нулю.
- эксперимент; - расчёт Рисунок 15 - Зависимость прочности на одноосное сжатие от величины перевязки блоков Результаты численного моделирования экспериментов на типовых элементах структуры по оценке прочности на одноосное сжатие модельных образцов массивов скальных пород, рассеченных ортогональными системами трещин с перевязкой, представлены в графическом виде на рисунке 15. Из этого рисунка следует, что эффективные прочностные характеристики скальных массивов рассечённых трещинами зависят от величины перевязки блоков.
Из рисунка 15 также видно хорошее соответствие между значениями прочности на одноосное сжатие исследуемых образцов, полученных из экспериментов и по результатам расчётов. Расхождение между значениями лабораторных определений и полученных из численных экспериментов не превышало 10 %.
Результаты численного моделирования экспериментов на типовом элементе структуры по оценке прочности на одноосное сжатие модельных массивов скальных пород, рассечённых трещинами без перевязки, в зависимости от их угла падения представлены в графическом виде на рисунке 16.
- эксперимент;
- расчёт без учёта флюктуаций деформаций;
- расчёт с учётом флюктуаций деформаций Рисунок 16 - Зависимость прочности на одноосное сжатие от угла падения системы трещин №Значения прочности на одноосное сжатие модельных образцов массивов скальных пород рассечённых трещинами, были получены расчётом без учёта и с учётом флюктуаций относительно усреднённых полей деформаций, что моделировалось заданием граничных условий с использованием зависимостей (50) и (52), соответственно. Из рисунка 16 видно, что значения прочности на одноосное сжатие полученные без учёта и с учётом флюктуаций деформаций сильно различаются для угла падения системы трещин №1 равных 10 и 80. С другой стороны, значения, полученные с учётом флюктуаций и в результате лабораторных определений, показали между собой удовлетворительное соответствие (дали приемлемые, сопоставимые результаты).
Завышенные значения прочности на одноосное сжатие, полученные при испытании образцов без перевязки при углах падения системы трещин №1 равных 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 и 80 в результате лабораторных определений, могут быть объяснены тем, что в лабораторном эксперименте блочный образец скреплялся восемью круглыми резинками, в силу чего возникало боковое обжатие, которое не позволило провести чистый опыт по определению прочности на одноосное сжатие. В проведённых лабораторных экспериментах был проявлен стабилометрический эффект, при котором осевые разрушающие нагрузки в условиях бокового обжатия превышают разрушающие нагрузки в условиях одноосного сжатия.
В шестой главе даны примеры применения разработанных в диссертации методов в численных расчётах при научно-техническом сопровож дении проектирования и строительства подземного комплекса на Манежной площади в городе Москве и в расчётах коэффициента запаса устойчивости откоса в горной местности под дорожное строительство.
Проект Торгово-Рекреационного Комплекса (ТРК) на Манежной площади в г. Москве, был завершён в сентябре 1997 г. и явился в то время крупнейшим проектом подземного гражданского строительства в России и Европе.
Комплекс на Манежной площади имеет размеры в плане (380150) м2.
Контур сооружения вписан в пространство между существующими тоннелями метрополитена и коммуникациями и поэтому имеет вытянутую неправильную в плане форму. Сооружение комплекса имеет до четырёх подземных этажей с максимальной глубиной (15 17) м. Подземное пространство зонально разделяется на малозаглубленную и глубокую части, различающиеся как по глубине заложения, так и технологии возведения.
Инженерно-геологические и гидрогеологические условия площадки строительства характеризовались как сложные. В инженерногеологическом строении принимают участие насыпные грунты культурного слоя; аллювиальные отложения, представленные песками, супесями и суглинками; юрские отложения, представленные глинами оксфордского яруса, и каменноугольные отложения, в составе которых встречены измайловские известняки, мещеринские глины, перхуровские известняки, неверовские глины и ратмировские известняки. Типичная инженерно-геологическая колонка и гидрогеологические условия грунтов приведены на рисунке 17.
Рисунок 17 - Инженерно-геологическая колонка площадки строительства Программа научно-технического сопровождения проекта включала в себя следующие направления работ и исследований: анализ инженерногеологических изысканий и дополнительные исследования свойств грунтов;
прогноз изменений гидрогеологического режима на площадке строительства;
разработку мероприятий по сохранению существующих гидрогеологических условий; анализ работы ограждающих котлован конструкций в зависимости от технологии ведения работ и разработку рекомендации по их устройству; численное моделирование напряжённо-деформированного состояния грунтового массива и прогноз деформаций окружающих зданий и сооружений; разработку системы мониторинга на строительной площадке, включающей в себя наблюдения за ограждающими конструкциями ТРК, существующими зданиями и тоннелями метрополитена; ряд экологических исследований.
Одной из проблем при строительстве подземного комплекса на Манежной площади было определение характеристик механических свойств крупнообломочных и скальных грунтов связанное с необходимостью испытания образцов больших размеров. Во многих случаях это крайне затруднительно, а иногда и невозможно. Такое положение случилось, в силу ряда причин, при строительстве подземного комплекса на Манежной площади в г. Москве с определением механических характеристик каменноугольных известняков. Поэтому программа дополнительных исследований грунтов включала в себя определение механических характеристик крупнообломочных (элювий известняка) и скальных грунтов расчётноаналитическими методами.
Расчётно-аналитические методы, которые были положены в основу исследований механических свойств крупнообломочных и скальных грунтов представляли собой методы определения механических свойств структурно-неоднородных сред, изложенные в предыдущих главах диссертации.
На основе данных инженерно-геологических изысканий были разработаны типовые элементы структуры крупнообломочных и скальных грунтов, которые отражали особенности строения изучаемых зон массива - содержание фаз (элементов неоднородности), их размеры, форму, взаимное расположение и т.п. Схематичное изображение типовых элементов структуры представлено на рисунке 18.
Механические характеристики ненарушенных кусков и блоков известняка, а также заполнителя трещин и заполнителя щебня представлены в таблице 1.
Таблица УНенарушенныеФ куски и Заполнитель трещин и блоки известняка заполнитель щебня E, МПа Rc, МПа Rt, МПа E, МПа 0 c, МПа 5000.0 - 10000.0 14.0 - 24.0 2.0 - 5.0 17.0 - 30.0 26.0 0.0 Численные расчёты по оценке эффективных характеристик механических свойств каменноугольных известняков района Манежной площади проводились в соответствии с типовыми элементами структуры (рисунок 18).
Результаты расчётов представлены на рисунке 19 (известняки, разрушенные до щебня) и в таблице 2 (известняки блочной структуры).
Рисунок 18 - Типовые структуры каменноугольных известняков Расчёты показали, что известняки, разрушенные до щебня с суглинистым и глинистым заполнителем, представляли собой изотропную по деформационным и прочностным свойствам среду.
На рисунке 19 эффективные механические характеристики известняков, разрушенных до щебня, с суглинистым и глинистым заполнителем представлены в виде его паспорта прочностных и деформационных свойств.
В таблице 2 эффективные характеристики деформационных свойств известняков блочной структуры представлены в главных осях упругой симметрии, где направление л1 направлено поперёк горизонтальной системы трещин, а направление л2 - поперёк вертикальных трещин, а эффективные прочностные характеристики приведены для случая сдвига вдоль горизонтальной системы трещин.
Важной задачей, относящейся к расчётно-аналитической части работ Программы научного обеспечения проекта на Манежной площади, являлось выполнение математического моделирования влияния строительства на окружающие здания и сооружения, которое было обусловлено изменением напряжённо-деформированного состояния грунтового массива в целом.
Рисунок 19 - Паспорт прочностных и деформационных свойств известняков, разрушенных до щебня, с суглинистым и глинистым заполнителем Таблица Эффективные характеристики Известняк деформационные прочностные E1, МПа E2, МПа G12, МПа c0, МПа 12 ИГЭ-13 1159.6 1045.3 132.9 0.06 0.173 ИГЭ-15 1324.5 1168.7 255.0 0.05 0.194 Моделирование изменений напряжённо-деформированного состояния массива грунтов основания Манежной площади, включающего фундаменты прилегающих зданий, расположенные в массиве грунта, тоннели метрополитена, и само подземное сооружение, в зависимости от принятой технологии строительства проводилось с помощью численных расчётов с использованием программного комплекса UWay.
Основной целью моделирования изменения напряжённодеформированного состояния массива грунтов являлся прогноз перемещений и напряжений в любой точке массива в процессе строительства и, в первую очередь, подъёма дна котлована, перемещений ограждающих и фундаментных конструкций, давления на эти конструкции, перемещений фундаментов зданий и тоннелей метрополитена, давления на обделки тоннелей при поэтапной разработке котлована мелкой и глубокой частей сооружения.
Ограждающие конструкции глубокой части котлована со стороны Александровского сада и Моховой улицы были выполнены способом стена в грунте с толщиной стены 900 мм, а со стороны гостиницы Москва выполнены из буросекущихся свай диаметром 750 мм. Ограждающие конструкции были заглублены до отметки 115 м. Расстояние от стены в грунте до существующих тоннелей метрополитена составляло 6 м. Строительство на Манежной площади осуществлялось в чрезвычайно сжатые сроки. Поэтому при проектировании ограждающих котлован конструкций отказались от применения распорных конструкций и грунтовых анкеров.
Выполненные на площадке измерения показали хорошее соответствие результатов геотехнического прогноза и математического моделирования с результатами инструментального мониторинга. На рисунке 20 приведено сопоставление расчётных и измеренных величин горизонтальных перемещений стены в грунте со стороны Александровского сада и Моховой улицы.
Рисунок 20 - Перемещения стены в грунте Дополнительные осадки окружающих зданий, вызванные строительством ТРК, не превысили (0.5 1.0) см, а относительная неравномерность осадок - 0,0005. Таким образом, строительство не оказало влияния на нормальные условия эксплуатации зданий. Дополнительные усилия в обделках тоннелей метрополитена, вызванные строительством, не оказали влияния на их прочность и не помешали нормальной эксплуатации тоннелей.
В заключение отметим, что работы, выполненные в рамках Программы научного сопровождения проекта на Манежной площади, помогли выработать эффективные и надёжные проектные решения комплекса.
ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ 1. Дано обоснование применимости методов механики сплошной среды с использованием метода асимптотического усреднения к задачам механики скальных пород.
2. Асимптотический метод усреднения обобщён на класс задач теории упругости неоднородных сред с неидеальными контактными условия ми. Приведён алгоритм построения формального асимптотического разложения решения статической задачи теории упругости неоднородных сред с неидеальными контактными условиями, и показано, что в результате усреднения определяется эффективный тензор жёсткости.
3. Получена общая оценка погрешности решения одномерной задачи, которая даёт представление о величине погрешности метода асимптотического усреднения.
4. Решение некраевой задачи на ячейке (типовом элементе структуры), обладающей внутренними симметриями, сведено к решению краевой задачи, что тем самым существенно упрощает определение эффективных тензоров жёсткости структурно-неоднородных сред.
5. Разработан алгоритм решения некраевых задач на типовом элементе структуры без внутренних симметрий для определения эффективных тензоров жёсткости структурно-неоднородных сред.
6. Показано, что в инженерных расчётах при отношении модулей деформации пород, составляющих слоистый скальный массив, не превосходящем пяти, влиянием анизотропии в соответствии со СНиП 2.02.02-п.2.23 [Строительные нормы и правила, 1986] можно пренебречь.
7. Для массивов скальных пород разработана лупруго дилатирующая модель трещины и методы определения её механических параметров из стандартных испытаний.
8. Предложен метод оценки эффективных характеристик деформационных свойств скальных массивов блочной структуры, состоящий в последовательном усреднении деформационных характеристик по плоскопараллельным системам трещин.
9. В рамках метода асимптотического усреднения даны определения тензоров концентрации напряжений и деформаций и доказана их корректность. Показано, что данные определения тензоров концентрации напряжений и деформаций эквивалентны соответствующим определениям данным Победрей Б.Е. [Победря Б.Е., 1984].
10. Получены аналитические зависимости показывающие, что разрушение слоистого композита может наступить при действии всестороннего равномерного обжатия, несмотря на то, что материал каждого слоя в отдельности при всестороннем равномерном обжатии не разрушается.
11. Сопоставление результатов расчётов проводимых по предлагаемой для слоистых скальных пород методике с результатами экспериментальных исследований позволяет сделать вывод о том, что полученные аналитические зависимости достаточно хорошо для инженерной практики аппроксимируют механические свойства скальных пород и могут применяться для их оценки.
12. Сформулированы краевые задачи на типовом элементе структуры с возможностью учёта флюктуаций напряжённо-деформированного состояния на локальном уровне, решения которых позволяют определить полный набор эффективных характеристик прочностных свойств в зависимости от формулировки прочностного закона.
13. На примере модельных массивов скальных пород рассечённых трещинами показана необходимость, в некоторых случаях, учёта флюктуаций относительно усреднённых полей деформаций при определении эффективных прочностных характеристик.
14. Предлагаемые методы определения механических свойств скальных пород были применены впервые в инженерной практике строительства ТРК в г. Москве на Манежной площади в сложных условиях городской застройки и сложной инженерно-геологической обстановке. Применение этого подхода к определению механических свойств позволило оценить деформационные и прочностные свойства известняков, которые затем использовались в расчётах.
Основные положения диссертации изложены в следующих публикациях:
1. А.с. 1427037 (СССР). Устройство для нагружения массива грунта касательной нагрузкой / Ухов С.Б., Королёв М.В., Власов А.Н. Опубл.
1988. Бюл. № 3.
2. Власов А.Н., Мерзляков В.П., С.Б.Ухов С.Б. Эффективные характеристики деформационных свойств слоистых пород // Основания, фундаменты и механика грунтов. Ц1990. Ц№ 1. ЦС. 19-21.
3. Власов А.Н. Метод асимптотического осреднения в анализе анизотропии скальных оснований // Строительная механика и расчет сооружений. Ц1991. Ц№ 4. ЦС. 32-37.
4. Власов А.Н. Влияние полигональных сетей трещин на деформационные характеристики скальных пород // Основания, фундаменты и механика грунтов. Ц1993. Ц№ 3. ЦС. 6-9.
5. Власов А.Н., Мерзляков В.П., Ван Чжен Асимптотический метод осреднения в расчете нелинейных деформационных характеристик скальных грунтов // Тр. IV Рос. конф. с иностранным участием. "Нелинейная механика грунтов". СПб. Изд-во : СПбГАСУ. Ц1993. ЦТ. 1. - С. 19-25.
6. Vlasov A.N., Merzlyakov V.P. Deformability parameters of stratified and jointed rock // Safety and Environmental Issues in Rock Engineering. Eurock93/Lisboa/Portugal. Proc. ISRM Int. Symp. / 1993.06.21-24.
A.A.Balkema/Rotterdam/Brookfield. Ц1995. ЦP. 975-981.
7. Власов А.Н., Потапов В.Н., Яновский Ю.Г. Объектноориентированное программирование метода конечных элементов для задач механики неоднородных сред. Часть 1. Идеология объектноориентированного подхода и его приложение к методу конечных элементов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1996. ЦТ. 2, Ц№ 1. ЦС. 94-109.
8. Власов А.Н., Мерзляков В.П. Качественное поведение образца скальной породы под нагрузкой и количественная оценка трещинной пустотности // Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве. ЦМ. : МГСУ. Ц1997.
ЦС. 140-146.
9. Власов А.Н., Мерзляков В.П., Ухов С.Б. Метод асимптотического усреднения в применении к определению механических характеристик скальных грунтов // Тр. XI-й Рос. конф. по механике горных пород.
"Проблемы механики горных пород". СПб. Изд-во : СПбГАСУ. Ц1997.
ЦС. 81-86.
10. Власов А.Н., Рогозинский А.В., Ухов С.Б. Определение угла дилатансии в скальных породах при сдвиге по трещине // Тр. XI-й Рос. конф.
по механике горных пород. "Проблемы механики горных пород". СПб.
Изд-во : СПбГАСУ. Ц1997. ЦС. 87-82.
11. Власов А.Н., Мерзляков В.П. Аналитическое описание поведения составного образца скального грунта под нагрузкой // Тр. XI-й Рос.
конф. по механике горных пород. "Проблемы механики горных пород". СПб. Изд-во : СПбГАСУ. Ц1997. ЦС. 307-313.
12. Мерзляков В.П., Власов А.Н. Численный анализ результатов одного эксперимента с моделью, имитирующей скальную породу с системной трещиноватостью // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. ЦМ. : МГСУ. Ц1999. ЦС. 109-114.
13. Власов А.Н. О корректности определений тензоров концентрации напряжений и деформаций в методе асимптотического усреднения // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики.
ЦМ. : МГСУ. Ц1999. ЦС. 162-168.
14. Vlasov A.N., Mnushkin M.G., Yanovsky Yu.G. Object-oriented approach in programming of finite element method // Geoecology and Computers.
S.A.Yufin (ed.). Proc. of the third Int. Conf. on Advances of Computer Methods in Geotechnical and Geoenvironmental Engineering. Moscow / Russia / 1-4 February 2000. A.A.Balkema / Rotterdam / Brookfield. Ц2000.
ЦP. 367-372.
15. Власов А.Н., Мерзляков В.П., Ухов С.Б. Метод асимптотического усреднения в механике скальных грунтов // ДАН. Ц2000. ЦТ. 372. - № 4.
ЦС. 1-4.
16. Власов А.Н., Мнушкин М.Г. Моделирование задач геомеханики на основе объектно-ориентированного подхода // Современные методы инженерных изысканий в строительстве. ЦМ. : МГСУ. Ц2001.
ЦС. 152-166.
17. Власов А.Н., Мнушкин М.Г. Использование современных методов программирования в решении задач геомеханики // Стройклуб. Ц2001.
Ц№ 1. ЦС. 18-21.
18. Yufin S.A., Vlasov A.N., Zertsalov M.G.,.Sidorova P.A, Zimmermann Th.
Numerical approach to generating constitutive models of jointed rock // Rock Mechanics - a Challenge for Society. P.Sarkka & P.Eloranta (eds.).
Proc. of the ISRM Regional Symp. Eurorock. Espoo/Finland/ 4-7 June 2001. A.A.Balkema Publishers Lisse / Abingdon / Exton (pa) / Tokyo.
Ц2001. ЦP. 547-551.
19. Власов А.Н. Метод асимптотического усреднения в определении механических свойств скальных оснований // Труды международной конференции. "Геотехника. Оценка состояния оснований и сооружений". СПб. Изд-во : ПГУПС. Ц2001. ЦТ. 1. ЦС. 9-15.
20. Vlasov A.N., M.G.Mnushkin, Yanovsky Yu.G. Object-oriented programming of finite element method and its application for mechanics // Proc.
EPMESCТVIII. Int. Conf. on Enhancement and Promotion of Computational Methods in Engineering and Science. Shanghai, 25-28 July, 2001.
Shanghai San Lian Publisher. Ц2001. ЦP. 280-281.
21. Vlasov A.N., Yufin S.A., Zimmermann Th. Method of asymptotic homogenization for evaluation of deformation and strength properties of layered rock // EUROCK 2002. C.Dinis da Gama & L.Ribeiro e Sousa (eds.). Proc.
of the ISRM Int. Symp. on Rock for Montainous Regions. Funchal, 20November 25-28. Published by Sociedade Portuguesa de Geotecnia. Ц2002.
ЦP. 727-736.
22. Власов А.Н., Гаврилов А.Н., Грязнова Е.М., Мнушкин М.Г. Применение программного комплекса UWay к решению задач геомеханики // Труды международной конференции по геотехнике, посвящённой 300-летию Санкт-Петербурга. "Реконструкция исторических городов и геотехническое строительство". СПб. Изд-во : ПГУПС. Ц2003. ЦТ. 2, - С. 305-309.
23. Курсова Е.В., Власов А.Н. Оценка механических свойств массива скальных пород, рассечённого ортогональной системой трещин, методом численного моделирования эксперимента // Известия Тульского государственного университета. Сер. Геомеханика. Механика подземных сооружений. Тула. Изд-во ТГУ. ЦВып. 1. Ц2003. ЦС. 54-58.
24. Яновский Ю.Г., Бабешко В.А., Власов А.Н., Курсова Е.В. Численная оценка механических свойств массива скальных пород с ортогональной системой трещин // Механика композиционных материалов и конструкций. Ц2003. ЦТ. 9, Ц№ 4. ЦС. 449-456.
25. Власов А.Н., Мерзляков В.П., Ухов С.Б. Определение деформационных и прочностных свойств слоистых скальных пород методом асимптотического усреднения // Основания, фундаменты и механика грунтов. Ц2003. Ц№ 6. ЦС. 2-7.
26. Yufin S.A., Kursova E.V., Vlasov A.N. Application of existing numerical models of continua for representing rock masses with stepping joint system // Rock Engineering. Theory and Practice. Edited by W.Schubert. Proc. of the ISRM Regional Symp. EUROCK 2004 & 53td Geomechanics Colloquy.
October 7-9. Austria. Salzburg. Ц2004. ЦP. 733-738.
27. Vlasov A.N., Mnushkin M.G., Yanovsky Yu.G., Popov A.A. Solving geomechanical problems with UWay FEM package in V.P. Iu (editor) // Computational Methods in Engineering and Science. Taylor & Francis.
Ц2004. ЦP. 453-461.
28. Власов А.Н. Усреднение механических свойств структурно неоднородных сред // Механика композиционных материалов и конструкций.
Ц2004. ЦТ. 10, Ц№ 3. ЦС. 424-441.
29. Власов А.Н., Мерзляков В.П. Анализ результатов испытаний составных образцов, моделирующих скальную породу // Основания, фундаменты и механика грунтов. Ц2004. Ц№ 6. ЦС. 2-7.
30. Яновский Ю.Г., Власов А.Н. Численное моделирование определяющих соотношений слоистых и трещиноватых скальных пород // Экологический вестник научных центров черноморского экономического сотрудничества (ЧЭС). Ц2005. Ц№ 1. ЦС. 43-50.
31. Образцов И.Ф., Власов А.Н., Яновский Ю.Г. Расчётный метод оценки прочностных свойств структурно неоднородных сред // ДАН. Ц2006.
ЦТ. 406, Ц№ 2. ЦС. 196-199.
32. Yufin S.A., Lamonina E.V., Postolskaya O.K., Vlasov A.N., Zimmermann Th. Numerical modeling of jointed rock masses // Numerics in Geotechnics & Structures. Th. Zimmermann & A.Truty (eds.). ЦElmepress Int: Lausanne. Ц2006. ЦP. 115-128.
33. Власов А.Н. Усреднение характеристик деформационных свойств структурно неоднородных сред с неидеальными условиями на контактах // Механика композиционных материалов и конструкций. Ц2006.
ЦТ. 12, Ц№ 2. ЦС. 200-218.
34. Власов А.Н., Мерзляков В.П. Деформация образца скальной породы с системной трещиноватостью и количественная оценка трещинной пустотности // Механика композиционных материалов и конструкций.
Ц2006. ЦТ. 12, Ц№ 3. ЦС. 356-363.
35. Власов А.Н. Определение прочностных характеристик структурнонеоднородных сред // Механика композиционных материалов и конструкций. Ц2007. ЦТ. 13, Ц№ 2. ЦС. 209-218.
36. Власов А.Н., Мерзляков В.П. Приведение периодических задач на ячейке в методе асимптотического усреднения к краевым // Сб. научных тр. "Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве". М. : МГСУ, Ц2008. - Вып. 11. ЦС. 133-144.
37. Власов А.Н., Саваторова В.Л., Талонов А.В. Описание физических процессов в структурно неоднородных средах. -М. : РУДН, Ц2009.
Ц258 с.
38. Власов А.Н., Мерзляков В.П. Усреднение деформационных и прочностных свойств в механике скальных пород. -М. : Изд-во Ассоциации строительных вузов, Ц2009. Ц208 с.
Подписано в печать Формат 6084/Усл. печ. л. 2,88. Тираж 100 экз. Заказ № Отпечатано в типографии Издательства ИжГТУ 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая,
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное