Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Рудаков Бронислав Петрович
УСЛОВИЯ И МЕТОДЫ СПРЯМЛЯЕМОСТИ НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТКАНЕЙ, НОМОГРАФИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ И ПРИВЕДЕНИЯ ИХ К КАНОНИЧЕСКИМ ФОРМАМ
Специальность: 01.01.04 - Геометрия и топология
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Екатеринбург - 2009
Работа выполнена на кафедре высшей математики Тюменского государственного архитектурно-строительного университета П.В.НИКОЛАЕВ
Научный консультант: к.ф.-м.н., профессор
Официальные оппоненты:
доктор физ.-мат. наук, профессор Евтушик Леонид Евгеньевич доктор физ.-мат. наук Максимов Вячеслав Иванович доктор физ.-мат. наук Толстихина Галина Аркадьевна
Ведущая организация:
Уральский государственный педагогический университет
Защита состоится л 7 июля 2009 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу:
620219, г. Екатеринбург, ул. Ковалевской, д. 16.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики и механики УрО РАН
Автореферат разослан л _____________ 2009 г.
Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук В.В.Кабанов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследования. Тема работы связана с важными и взаимосвязанными разделами математики: геометрией ткани, номографией, проблемами приведения уравнений к каноническим формам.
Геометрия тканей, как направление в дифференциальной геометрии, появилась на рубеже 20-30-х годов прошлого века в трудах виднейшего геометра, руководителя Гамбургской математической школы Вильгельма Бляшке, его многочисленных учеников и сотрудников. Однако и до настоящего времени остаётся большое число вопросов, на которые не получены ответы. Формулируя нерешённые проблемы, относящиеся к тканям, в том числе, образованными поверхностями, В.Бляшке [1] назвал фундаментальной проблему отыскания необходимых и достаточных условий спрямляемости тканей, т.е. условий, при выполнении которых ткань была бы топологически эквивалентна ткани, образованной плоскостями. При этом отметил, что УЕнепосредственное нахождение условий спрямляемости представляется безнадежным. Несколько более доступным кажется доказательство следующего предложения об однозначностиФ, аналогичное гипотезе Гронвэлла (F.H.Gronvall (1912 г.)): УОбразованная поверхностями ткань, не являющаяся шестиугольной, допускает (с точностью до коллинеаций) не больше одной реализации в виде ткани из плоскостейФ. В.Бляшке ставит также вопросы о проективной классификации тканей, видах их уравнений, о преобразованиях, допускаемых уравнениями тканей.
В.Бляшке установил, что Учение о тканях тесно связано с номографией, которую применяют в технике, для того чтобы графически представить функциональную зависимость [1]. Так, если из уравнений семейств поверхностей в трёхмерном пространстве, образующих 4-ткань в некоторой области G, t (x, y, z) t сonst., ( j 1 4), j j исключим переменные x,y,z, то получим зависимость f (t1,t2,t3,t4 ) 0, связывающую четыре поверхности ткани Т, принадлежащих различным семействам, проходящие через одну точку в области G.
Если задана ткань Т и указаны значения параметра ti, отвечающего поверхностям каждого семейства, то Т представляет собой номограмму полученной зависимости. Такие пространственные номограммы не нашли широкого практического применения. Если же ткань Т спрямляется, то двойственным образом спрямлённой ткани будет номограмма из выравненных точек, имеющая большое научное и техническое приложения.
В.Бляшке заключает [1], что столь необходимая для техники номография может быть включена в наше учение о тканях.
Номография как наука появилась раньше Геометрии тканей. Но и до настоящего времени остаются нерешёнными немало ключевых теоретических и практических проблем, поставленных в 1912 г. Гронвэллом [2].
Многие вопросы, относящиеся к Геометрии тканей, или к Номографии, часто удаётся решить путём приведения заданных уравнений к той или иной канонической форме. В.Бляшке уделяет этому вопросу особое внимание, поскольку все ткани с одним и тем же уравнением ткани Уэквивалентны в малом относительно рассматриваемого топологического преобразованияФ [1].
Для уравнений с тремя переменными решение отдельных вопросов указанных проблем, относящихся как к тканям, так и к номографии, можно найти в работах Т.Гронвэлла, Н.А.Глаголева, С.В.Бахвалова, Г.С.Хованского, П.В.Николаева, М.В.Пентковского, С.В.Смирнова, Г.Е. Джемс-Леви, М.А.Акивиса, В.В.Гольдберга и др. авторов. Однако и до последнего времени остаются нерешенными некоторые вопросы общей проблемы.
Вопросы спрямляемости 4-ткани, образованной поверхностями, и связанные с ними проблемы номографирования уравнений с четырьмя переменными, также привлекают внимание исследователей. Следует назвать В.Бляшке, Н.А.Глаголева, С.В.Смирнова, Е.Н. Кузьмина, О.В. Ермолову, Г.С.
Хованского, Л.Я. Нейшуллер, Е. Goursat, М.Czyzykowski, J. Wojtowicz, В.В. Казьмина, M.D. Ocagne, E.Hsel, M.Maria, Т.Н.Солнцеву, С.Н. Буланова, Ю.И. Боголюбова, Р.Петрова, И.С.Глазырину и др.
К вопросу приведения уравнений со многими переменными к каноническим формам, в частности, разделению переменных по одному или на различные пары, обращались в своих работах Н.А.Глаголев, Г.С.Хованский, Л.Я. Нейшуллер, Bal Lascu, Ю.И. Боголюбов, Е..Goursat, А.М. Бухвалов, Нгуен Ши Туэн, Р.И.Новобранова, О.В. Ермолова, Г.М.Плотникова, Г.С.
Прокопьев, Мазаева Г.А. и др.
Остановимся на актуальности проблем, которым посвящена работа. Нередко приходится слышать, что в век компьютерных технологий номография и основанные на ней методы численного анализа давно утратили свою актуальность, а теория тканей не нашла широкого резонанса среди математиковпрофессионалов и не имеет достаточно интересных приложений.
В ответ заметим, что номография и компьютеры не перекрывают друг друга, а скорее дополняют. Один из ведущих руководителей номографического направления в СССР Г.С.Хованский [7] отмечал, что основными проблемами теоретической номографии являются проблемы представимости и единственности. Исследования в этом направлении представляют особый интерес в связи с возможностью использования компьютеров для реализации найденных алгоритмов.
Номограммы дают, в частности, возможность строить на плоскости геометрические изображения зависимостей с числом переменных более трёх, что способствует наглядному исследованию влияния каждой переменной на результат. Они до сих пор являются удобным инструментом для эффективного анализа и прогнозирования во многих научно-исследовательских работах различного профиля. Этого и в настоящее время не удаётся получить с помощью компьютеров. И до сих пор в стране (естественно, и за рубежом) не исчезли исследователи, занимающиеся и практической номографией, и раз решением многих теоретических её проблем, поскольку сила номографии - в её методах, что, в частности, использовано в диссертации.
В Геометрии тканей с использованием номографических методов соискателю удалось решить немало проблем, связанных со спрямляемостью тканей, в том числе, решить проблемы единственности. На этом пути была опровергнута приведённая выше гипотеза, сформулированная в 1912 г. в трудах Гронвэлла, и продолженная в 50-х годах В.Бляшке [1]. Этот факт изложен в диссертации.
На сайте www.booknik.ru/news/chronicles/?id=11019 опубликована заметка от 16 августа 2006 г. следующего содержания:
УВ 1955 году известный немецкий математик Вильгельм Бляшке опубликовал статью, в которой изложил основы новой области математики - так называемой геометрии сетей. За полвека, прошедшие с тех пор, теория Бляшке нашла ряд важных применений в физике и экономике. Тем не менее, один из главных результатов геометрии сетей (так называемая проблема ранга для планарных сетей) оставался недоказанным.
И только сейчас профессор New Jersey Institute of Technology (Технический институт штата Нью-Джерси) Владислав Гольдберг совместно с Максом Акивисом из израильского университета им. Бен-Гуриона и Валентином Лычагиным из самого северного университета в мире - университета Тромсё в Норвегии - нашли решение этой задачи. Решение потребовало огромных вычислений: ученые использовали для этого современные компьютерные программыЕ..Ф.
Цель работы. Работа посвящена решению теоретических и практических проблем геометрии тканей для уравнения с четырьмя переменными.
В.Бляшке [1] указывает, что решение проблемы спрямляемости ткани в общем виде, или, что т же, возможности построения номограмм из выравненных точек, наталкивается на большие вычислительные трудности. Естественны, поэтому, попытки решить вопрос до конца в отдельных частных случаях, имеющих к тому же важное прикладное значение.
В диссертации подробно рассматриваются шестиугольные пространственные ткани, спрямляемые четырьмя пучками плоскостей с попарно пересекающимися осями (назовём их T ), и нешестиугольные ткани, спрямляемые связкой плоскостей и тремя пучками плоскостей, причём оси двух пучков принадлежат одной плоскости, направляющая связки плоскостей и ось третьего пучка принадлежат другой плоскости. Эти ткани обозначим Tj j 1 4 ).
Проводится проективная классификация рассматриваемых тканей. Ставится цель найти не только условия спрямляемости этих тканей, но и указать эффективные методы решения проблемы. Рассматривается задача об условиях и методах приводимости уравнений тканей к каноническим формам. Исследуется также вопрос о возможных преобразованиях найденных канонических уравнений ткани. Во всех случаях исследуется проблема единственности.
Отметим, что все поставленные вопросы доведены в диссертации до практической реализации.
Кроме описанных тканей проведена проективная классификация и указаны условия спрямляемости более сложных шестиугольных тканей, образованных двумя пучками плоскостей двух переменных с осями, расположенных в одной плоскости, и связками плоскостей двух других переменных, являющиеся касательными плоскостями к одной конической поверхности;
либо четырьмя связками плоскостей, являющиеся касательными плоскостями к двум коническим поверхностям, направляющие которых расположены в разных плоскостях.
Рассмотрены нешестиугольные ткани, спрямляемые связками плоскостей двух переменных, являющиеся касательными к одной конической поверхности, пучком и связкой плоскостей двух других переменных. Проведена их проективная классификация, указаны условия такой спрямляемости ткани.
Методы исследования. Основными методами исследования явились:
классические теоретические номографические методы, методы геометрии тканей, многие разделы классических областей математики, теория непрерывных групп преобразований, методы проективной и дифференциальной геометрии, дифференциальные уравнения в частных производных, формы Пфаффа, теория графов.
Отметим следующее. В приведённых исследованиях много говорится о двойственных образах спрямлённых тканей - о номограммах, поскольку лексика, терминология, алгебра, графическое изображение, наконец, достаточно разработанная номографическая теория, часто более наглядны и удобны в изложении материала работы. Другими словами, с одной стороны, используя номографические методы, удалось найти много неизвестного в геометрии тканей, с другой стороны, используя различные алгебраические многообразия геометрии тканей, найдено немало новых результатов в теоретической и практической номографии.
Научная новизна и практическая ценность. Все представляемые к защите результаты получены автором. Их новизна, в частности, для тканей, характеризуется тем, что впервые:
1. Проведена проективная классификация рассматриваемых типов тканей.
2. Получены аналитические условия шестиугольности и нешестиугольности тканей.
3. Найдены эффективные условия спрямляемости рассматриваемых тканей.
4. Приведены конечные формулы (в квадратурах) вычисления неизвестных функций, составляющие уравнения изучаемых тканей.
5. Для рассмотренных тканей исследованы проблемы единственности.
6. Аналогичные вопросы решены для соответствующих номограмм нулевого и первого жанров и некоторых типов номограмм второгочетвертого жанров.
7. Дано описание, наглядное изображение, указаны условия спрямляемости, решены проблемы единственности значительного количества шестиугольных и нешестиугольных пространственных 4-тканей.
Как было сказано, диссертационная работа является результатом собственных исследований автора. Вместе с тем следует отметить, что направления исследований по теме были предложены автору моим учителем профессором П.В. Николаевым (1902-1970 г.г.) [3],[6].
Объём и структура работы. Диссертация объёмом 278 страниц состоит из введения, четырёх глав, 15 параграфов, 64 авторских теорем, 16 следствий, 13 таблиц. Список литературы содержит 127 наименований. В работе приведены примеры.
Нумерация теорем, следствий даётся тремя цифрами в квадратных скобках, например, теорема [2.3.6] - теорема шестая третьего параграфа второй главы. Формулы имеют ту же структуру в обозначениях с использованием круглых скобок, например, (3.2.37). Нумерация рисунков и таблиц сквозная.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении после краткой историографии проблемы ставится задача, которой посвящена работа.
Рассматривается совокупность четырёх семейств поверхностей t (x, y, z) t сonst., ( j 1 4), (1) j j определяющая ткань трёхмерного пространства. Исключение x,y,z из (1) приводит к уравнению ткани; возьмём его в виде t4 f (t1,t2,t3 ). (2) Особый интерес представляет тот случай, когда ткань (1) с известным уравнением (2) является спрямляемой. В этих случаях коррелятивное преобразование пространства преобразует ткань из плоскостей в номограмму из выравненных точек, определяемую уравнением Массо fi1(ti ); fi2(ti ); fi3(ti ); 1 0 i 14.
В данной работе рассматриваются ткани, имеющие большое практическое применение, а именно те ткани, коррелятивный образ которых (после спрямления, если это возможно) даёт номограмму из четырёх плоских шкал, лежащих попарно в двух плоскостях. Для определённости будем считать, что шкалы t1,t2 принадлежат координатной плоскости y 0, а шкалы t3,t4 - плоскости z 0, чего, очевидно, можно достигнуть надлежащим проективным преобразованием пространства. При этих условиях детерминантное уравнение Массо номограммы принимает вид:
fi1(ti ), 0, fi2 (ti ), 0 (i 1, 2; k 3, 4), (3) fk1(tk ), fk 2 (tk ), 0, Пространственная номограмма с этим уравнением, как показал Соро, допускает плоский эквивалент-составную номограмму из двух подномограмм с общей прямолинейной немой шкалой :
fi1, fi2, 1 fk1, fk 2, 0, 0, (3) 0 1 0 f где здесь и в дальнейшем - сокращенное обозначение функции f (t ) jr jr j ( j 1 4; r 1,2 ).
Первая глава посвящена вопросу спрямляемости ткани (1) четырьмя пучками плоскостей, оси которых разделены на пары t1, t2 и t, t, располо3 женные в двух различных плоскостях (рис.1). Двойственным образом такой ткани является номограмма из выравненных точек нулевого жанра, прямолинейные носители шкал которой также разделены на те же пары (рис.2). Такие ткани (и номограммы) обозначим T0.
СПРЯМЛЁННАЯ ТКАНЬ НОМОГРАММ А ИЗ ВЫ РАВНЕННЫХ ТОЧЕК НУЛЕВОГО ЖАНРА t t t t t t t t 14 Рис. 1 Рис. Проведена проективная (с точностью до параметризации шкал) классифкация графов номограмм T0. В этих целях рассматриваются плоские графы, состоящие из оси - оси Ох и четырёх прямых - носителей шкал перемен- ных t j14. Очевидно, возможны лишь графы с символами j 4, 3,1, 2,2, 2,1,1, 1,1,1,1, где число круглых скобок означает количество различных узлов на оси , а цифра в круглых скобках - индекс узла.
Определение. Две номограммы T0 и T0* будем называть проективными с точностью до параметризации шкал, если проективны соответствующие им графы, т.е., если найдётся пространственная коллинеация, совмещающая каждую из четырёх прямых t первой номограммы с соответствующей j прямой t* второй номограммы.
j Теорема [1.1.1]. Номограммы T с графами первых четырёх символов образуют в точности 14 проективно различных (с точностью до параметризации шкал) типов. Номограммы T с графом символа 1,1,1,1 образуют однопараметрическое семейство, две номограммы которого проективны (с точностью до параметризации шкал) лишь при одном и том же сложном отношении четырёх узлов графа.
В дальнейшем считаем, что две канонические формы F1, F2, F3, F4, 0 и F1, F2, F3, F4, 0 j 1 4 эквиваj j лентны, если существует замена переменных Fj Fj , j , пеj j j реводящая одно из уравнений в другое.
Каждое из уравнений (3), соответствующих различным типам тканей T0, приводится к канонической форме F1, F2, F3, F4 0, где Fi Fi ti и - линейная функция относительно каждой из переменных Fi. Показано (теорема [1.1.2]), что всем 15 типам непроективных тканей T0 отвечает не более восьми канонических форм уравнений (2). Результаты теоремы отражены в таблице 1.
В последней форме сложное отношение конечно и отлично от 0; Таблица Графы тканейTКанонические формы [( t, t, t, t )], [( t, t ), (t, t )], 1 2 3 4 1 4 2 I F F F F (0) 1 2 3 [( t, t ), (t, t )] 2 4 1 II (t, t, t ), (t ), (t, t, t ), (t ) F F F F (0) 2 3 4 1 1 3 4 2 3 4 1 III(0) t, t, t , t , t, t, t , t F F F F 1 2 3 4 1 2 4 3 3 4 1 IV(0) F F t, t , t, t 1 1 2 3 F F 3 t, t , t , t , t, t , t , t , 2 3 1 4 2 4 1 V F F 1 F F t, t , t , t , t, t , t , t (0) 3 4 1 1 4 2 3 1 3 2 VI F F t, t , t , t (0) 1 3 4 1 F F 3 VII(0) F F 1 t, t , t , t 3 1 2 3 F F 1 1 VIII F (0) t , t , t , t F F 1 1 2 3 3 Из таблицы видно, например, что к канонической форме I(0) приводятся уравнения (2) тканей T0 с графами трех проективно различных типов, имеющих, соответственно, следующие геометрические изображения:
tt3 tt1 t2 ttttt t3 t В зз 2-5 первой главы исследованы условия и приведены методы спрямляемости тканей с уравнением (1) в виде тканей T0. При этом в работе предполагается, что однозначная функция t4 f t1,t2,t3 обладает в прямоугольной области G непрерывными частными производными достаточно f высокого порядка и отличными от нуля производными fi 0, i 1 3.
ti Отсюда следует, что используемые далее функции / / / / M t4 : t4 1, M t4 : t4 1 (4) 2 будут достаточно гладкими и не обращающимися в нуль в точках области G.
Относительно неизвестных функций fij, fkj уравнения (3) будем предполагать, что они обладают производными необходимого порядка. Доказана Теорема [1.2.1] (типа Гронвэлла). Уравнение (2) представимо в области G номограммой (3) любого жанра, но с прямолинейной ответной шкалой t4, тогда и только тогда, когда при заданных функциях M и M (4) существует решение относительно функций frj r 1 3; j 1,2 системы дифференциальных уравнений:
/ / f12 f11 f f22 f12 f22 f21 21 2 M / / f22 f11 f21 f12 f12 f22 f11 , 1 / / / f11 f22 f12 f21 f11 f22 f12 f21 f32 f12 f22 f31 f32 f32 f31 3 3 M . (5) / / f22 f11 f21 f12 f12 f22 f11 f31 f1 Следствие [1.2.1]. Если уравнение (2) представимо номограммой (3) любого жанра, но с прямолинейной шкалой t, то функция M (4) удовлетворяет условию:
/ M . (6) Справедливость (6) непосредственно следует из (5). Заметим, что это условие эквивалентно условию Л.Я.Нейшуллера [9] разъединения переменных в уравнении (2) на пары.
Выше отмечалось, что коррелятивным образом пространственной номограммы из выравненных точек уравнения с четырьмя переменными является пространственная ткань, образованная четырьмя семействами плоскостей. В частности, коррелятивным образом номограммы (3) в общем случае, т. е. когда все шкалы криволинейны, является пространственная ткань с уравнением f t,t,t t 0, образованная четырьмя семействами плоскостей t, 1 2 3 4 j причём семейства плоскостей t1,t2 принадлежат двум различным связкам, семейства плоскостей t3,t4 принадлежат двум другим связкам. Такую ткань и коррелятивно соответствующую ей номограмму обозначим Т (рис. 3, 4).
НОМОГРАММА ИЗ ВЫРАВНЕННЫХ СПРЯМЛЁННАЯ ТКАНЬ ТОЧЕК ЧЕТВЁРТОГО ЖАНРА t t2 j t 1i tt t3 p t t 4k Рис.3 Рис.На плоскостях любого семейства плоскостей t ткани T плоскости осj тальных трёх семейств высекают прямолинейные ткани. Их кривизны обозначим k j 1 4, причем последние удовлетворяют условию Дюбурдье:
j a a a 0. Кривизны ткани Т обозначим ai i 1 3, где k j 1 2 jВычисляя кривизны тканей T [1], учитывая результаты теоремы [1.2.1], шестиугольность ткани T0, условие (6) и условие Дюбурдье, получены следующие условия шестиугольности ткани:
// // / M3 0, ln M 0, ln M 0. (7) 12 Теорема [1.2.2]. Для представления уравнения (2) номограммой T0 необходимо, чтобы функции M, M (4) удовлетворяли в области G условиям (7).
В з 3 главы I рассмотрены графы номограмм T0, относящиеся к канонической форме I(0) ( см. табл. 1):
[(t1,t2,t3,t4 )], [(t2,t4 ),(t1,t3)], [(t1,t4 ),(t2,t3)]. (8) Теорема [1.3.1]. Для представления уравнения (2) номограммой T0 любого из указанных графов необходимо и достаточно выполнения в области G условий (7) и условия / M ln A 0. ( 9 ) M Теорема [1.3.2]. Уравнение (2) при условиях (7), (9) допускает единственную (с точностью до коллинеаций) номограмму с графом [(t1,t2,t3,t4 )] и однопараметрическое семейство номограмм с каждым из графов [(t2,t4),(t1,t3)], [(t1,t4),(t2,t3)]. При этом элементы номограмм (3) определяются с помощью лишь квадратур.
Номограммы T0 (3) с графами (8) не проективны (теорема [1.1.1]). В то же время, для представления уравнения (2) каждой из указанных номограмм, получены одни и те же условия представимости. Удалось найти связь между элементами непроективных номограмм, что представляет определённый интерес для практической номографии. Показано, что если fi - элементы номограммы T0 с графом [(t1,t2,t3,t4 )], то элементы номограмм T0 (3) с графами [(t2,t4 ),(t1,t3 )], [(t1,t4 ), (t2,t3 )] определяются, соответственно, по формулам ( - параметр):
f12 e f1, f22 e f2, f32 e f ;
3 f1 3 f2 3 ff e, f e, f e.
1 2 В случае графа t1,t4 ,t2,t3 соответствующая система дифференциальных уравнений (5) допускает четырёхпараметрическую непрерывную группу преобразований af1 f1, f2 a33 f2, f3 a22 f3, aи с точностью до преобразований этой группы номограмма T0 с указанным графом будет определяться единственным образом.
Аналогичные результаты получены и для номограмм T с графом [(t2,t4 ),(t1,t3)].
В з 3 рассмотрены также вопросы, связанные со спрямляемостью тканей с уравнением (2) тканями T0 с графами, соответствующими каноническим формам II0 V0 (см. таблицу 1). При исследовании вопроса о единственности оказалось, что уравнение (2), приводимое к одной из канонических форм II0 V0, допускает (с точностью до коллинеаций) единственную ткань Tкаждого типа, относящуюся к данной канонической форме (см. табл.1) (теоремы [1.3.3]- [1.3.10]).
В з4 первой главы изучены ткани с графами, приводящие, соответственно, к каноническим формам VI и VII0 (см. табл.1).Так, при изучении 0 ткани T0 типа t1,t2 ,t3 ,t4 , относящейся к канонической форме VII(0), доказана Теорема [1.4.3]. Если уравнение (2) допускает ткань T0 с графом t1,t2 ,t3 ,t4 , то функции M, M (4) удовлетворяют условиям (7) и условию E 0, (10) / M / ln / где E C ln MMAС, A , С ln MA.
1 M Без нарушения общности, рассмотрим ткань T0 с уравнением (3), где f12 1, f22 1, f31 0, f41 1. (11) При этих условиях система (5) примет вид:
/ / f1 f2 f1 f2 2 f3 f 2 2 M , M . (12) / / f 2 f1 f1 1 Условие (10) найдется как условие интегрируемости [4] системы дифференциальных уравнений в частных производных, эквивалентных системе (12).
Теорема [1.4.4]. Условия теоремы [1.4.3] являются не только необходимыми, но и достаточными спрямляемости ткани с уравнением (2) тканью T0 с графом t1,t2 ,t3,t4 . При этом существуют две системы элементов определителя (3), однозначно определяющихся (с точностью до проективных преобразований пространства) с помощью лишь квадратур.
Система дифференциальных уравнений (12) допускает двухпараметрическую группу преобразований:
f f a, f f a, f a f, (13) 1 1 13 2 2 13 3 22 являющейся подгруппой проективных преобразований пространства, что позволяет присоединить к системе (12) начальные условия; возьмём их в виде:
при ti ti1: f1 0, f3 1 i 1;3, (14) где ti ti1 - любая точка области G. Эти начальные условия совместны и полны.
От системы уравнений (12) удаётся перейти [4] к канонической системе дифференциальных уравнений, не содержащей справа функции f2 ; при этом получим:
A (15) A (19) f2 f1 1 ; f2 f1 1;
2C A 2C A / / (16) (20) fi ij yi i 1,3; j 1 3, fi ij yi i 1,3; j 1 3, j j A (17) A (21) где y1 C, где y1 C, 2C A 2C A y3 f3M A2C A ; (18) y3 f3M A2C A ; (22) ij - символ Кронекера.
Исходная система уравнений (12) распалась на две системы: (15-16) и (19-20). При условиях (7), (10) системы уравнений (16), (20) являются вполне интегрируемыми. Отсюда имеем, что пфаффовы системы уравнений, соответствующие системам (16), (20), являются вполне интегрируемыми.
При заданных начальных условиях каждая из систем имеет единственное решение [5].
При начальных условиях (14) из уравнений (17-18) однозначно и с помощью лишь квадратур находятся функции f1, f3 ; при известной функции f из уравнения (15) определится функция f2. Из уравнений (19-20) при тех же начальных условиях (14) найдётся вторая система функций f i 1 3 i (обозначим их fi 2).
Из теоремы [1.2.1] следует, что условия теоремы [1.4.3] являются не только необходимыми, но и достаточными для представления уравнения (2) тканью T0 с графом t1,t2 ,t3 ,t4 .
Следствие [1.4.2]. Для уравнения (2) все ткани T0 с графом t1,t2 ,t3 ,t4 (если они существуют) могут быть двух проективно различных типов.
Сравнивая решения уравнений (15-16) с решениями fi2 уравнений (1920), найдём:
f12 f1, f22 2 f2, f32 . (23) fСправедливость предложения следует из (13) и (23).
В зз 3- 5 главы I аналогично получены условия спрямляемости тканей с уравнением (2) тканями T0 всех типов, отвечающих каноническим формам II VI, VIII. Во всех случаях задача представления решается с помощью 0 0 0 лишь квадратур, и даются конечные формулы для вычисления неизвестных функций f j 1 3; r 1, 2 уравнения (3).
jr При рассмотрении ткани T0 с графом t3, t4 ,t1,t2 , уравнение (3) которой приводится к канонической форме VI, оказалось, как и при исследова0 нии номограмм T0 типа t1,t2 ,t3,t4 (VII ), что для заданного уравнения 0 t4 f t1, t2, t3 существует по две непроективные номограммы. Найдены зависимости, по которым, зная элементы одной из непроективных номограмм, находятся элементы другой.
В з 5 главы I исследованы проблемы спрямляемости тканей, сводящихся к типу t1,t2 ,t3,t4 [1]. В этом случае исходная система дифференциальных уравнений (5) распадается в области G на четыре самостоятельные системы. Все вместе они эквивалентны исходной системе и приводят к четырём непроективным тканям T0 с данным графом. При этом исследованы два случая, приводящие к принципиально различным результатам: случай, когда четвёрка точек ai является гармонической (теорема [1.5.2]), и случай конечного , отличного от 0, 1 (теорема [1.5.3]).
В случае 1 для одного и того же уравнения (2) существуют четыре непроективные ткани T0 на одних и тех же носителях. В случае конечного 0, 1 существуют два значения : 1 и 2 ; для каждого из них для уравнения (2) существуют по две непроективные ткани T0 на одних и тех же носителях.
Как в случае 1, так и в случаях конечного 0, 1, получены зависимости, по которым, зная элементы одной из четырёх непроективных тка- ней, определяются элементы трёх других (следствия [1.5.1]- [1.5.2]).
В таблице 2 приведены условия спрямляемости рассмотренных тканей.
Вместе с тем они являются условиями представимости уравнений (2) соответствующими типами номограмм нулевого жанра.
Таблица Каноническая Необходимые и достаточные №№ Следствия форма условия спрямляемости I( 0 ) F1 F2 F3 F4 A II( 0 ) F3 F4 F1 FB III( 0 ) F3 F4 F1 FC IV( 0 ) F1 FB C F3 FM/ =0, / V( 0 ) F3 F4 1 F1 F ln MB 1 (lnM)// =0, VI( 0 ) F1 F2 D 0 B C F3 FVII( 0 ) (ln M )// =F3 F4 1 E 0 B C F1 FВ случае 1: D2 AB В случае конечного , 1 F1 FVIII( 0 ) / отличного от 0, 1:
F3 F4 1 l n M D D A2 D2 2 AB D2 AB 1 / M ln / / Здесь A , B ln MA1, C B A, D Bln MMAB, M / E Cln MMAC.
В з 6 первой главы рассмотрены вопросы приведения уравнений t f t, t, t к каноническим формам I0 VIII, доказательству несовме0 4 1 2 стности и полноты этих форм.
Теорема [1.6.1]. Существуют в точности восемь канонических форм уравнений (2), спрямляемых тканями T (3) (формы I VIII ).
0 0 0 Из теорем [1.1.2], [1.6.1] следует несовместность и полнота канонических форм I0 VIII, в том смысле, что если уравнение (2) спрямляется тка0 нью T0, то оно приведётся к одной и только одной из этих канонических форм. Справедливо и обратное предложение: если уравнение (2) ткани приводится к некоторой из канонических форм I0 VIII, то она спрямляется 0 тканями T только с теми графами, которые к данной канонической форме относятся (следствие [1.6.1]) (см. таблицы 1, 2). Таким образом, условия и методы представления уравнений (2) тканями T0 можно рассматривать и как условия и методы приведения уравнений (2) к каноническим формам I0 VIII, в каждой из которых переменные разделены по одному.
0 Сформулируем, например, предложения, относящиеся к приведению уравнения (2) к канонической форме II0 : F3 F4 F1 F2.
Уравнение II0 можно записать в виде уравнения Массо (3), где f11 0, f22 1, f42 1, f32 1, (24) 2 fположив F1 , Fj f j 2 4. (25) j f1 Здесь и далее fk, Fj - краткое обозначение функций fkr tk , Fjt j k 1 4; r 1,2.
Вычисляя из уравнения (3) с условиями (24) функции M, M (4), получим:
/ 2 / f1 f1 1 f2 f1 1 f3 2 M , M . (26) / / f1 f2 2 f1 f1 Теорема [1.6.2]. Для приведения уравнения (2) к форме II0:
F3 F4 F1 F2 необходимо и достаточно, чтобы функции M, M (4) удовлетворяли условиям:
// // / / M3 0, ln M 0, ln M 0, B ln MA 0 ;
12 13 при этом среди решений системы (26) существует решение, удовлетворяющее начальным условиям:
при t t : f 1, f 1, f 0 i 1 3 (где t t - любая точка i i1 1 2 3 i iобласти G), и оно однозначно (с точностью до коллинеаций пространства) определяется лишь квадратурами.
В теореме [1.3.4] получены формулы, определяющие функции f :
j t1 t Adt1 MAdt 2 f1 f2 tt11 t f1 1/1 2, f2 , f3 MAdt3.
f1 t По формулам (25) найдутся функции Fj j 1 3. Функцию F4 иногда удаётся определить непосредственно из уравнения (2) по найденным функциям Fj j 1 3. В общем случае функция F4 определяется таблично, используя уравнение II, в котором считаются известными Fj j 1 3.
0 Система дифференциальных уравнений (26) допускает трёхпараметричес- a33 f1 aкую группу преобразований f1 , f2 f2, f3 a11 f3 a12.
a33 1f1 1 aСледовательно, функции Fj j 1 3, определяющиеся по формулам (25), aдопускают преобразования F1 a33F1, F2 F2, F3 a11F3 a12.
a Аналогичными исследованиями найдены условия и указаны эффективные методы приведения уравнений (2) к каноническим формам I0, III0 VIII0.
Во второй и третьей главах рассмотрены вопросы, связанные с проблемами спрямляемости ткани с уравнением (2) связкой и тремя пучками плоскостей, причём оси двух пучков принадлежат одной плоскости (рис.5).
Двойственным образом таких тканей являются номограммы с уравнением (3) первого жанра, т. е. когда одна из шкал t j 1 4 в номограмме с уравне- j нием Массо (3) криволинейна (рис. 6). Такие номограммы обозначим T. На j рисунках 5,6 изображены спрямлённая ткань и двойственный ей образ - номограмма с криволинейной шкалой переменной t4.
НОМОГРАММА из выравненных точек СПРЯМЛЁННАЯ ТКАНЬ первого жанра с криволинейной ответной шкалой t t 2 j t t 1i t t 3p t 4k t Рис.5 Рис.В з 1 главы II проведена проективная классификация номограмм (и тканей) T. Доказана теорема о существовании точно пяти проективно j различных (с точностью до параметризации шкал) типов номограмм Tj для каждого из значений j 1 4 (теорема [2.1.1] ).
Результаты исследований приведены в таблице 3, в которой m, n = 1, 2;
p,j= 3,4 или m, n = 3, 4; p, j = 1, 2 (m n, p j ).
Таблица Граф тканей Графическое №/ Каноническая форма изображение № I j tn t j Fp F Fm Fn j j t, t, t tm m n p t p II j tn Fp F Fm Fn j j t, t ,t t t m p n j m t p III tn j Fp Fj j Fm Fn tm, tn ,t tm t p j t p IV j t t tm j Fp F n j j Fm Fn tm ,tn ,t t p p Параграфы 2, 3 второй главы посвящены условиям и методам представления уравнений (2) номограммами T с криволинейной шкалой j t j 2,3. Показано, что задача решается в квадратурах и даны конечные j формулы для вычисления неизвестных функций fij уравнения (3) (теоремы [2.2.1]-[2.2.9]).
При исследовании вопроса о единственности получены следующие результаты.
1. Если уравнение (2) представимо тканью T2 с графом t1,t3,t4 или с графом t3,t4 ,t1, то для заданного уравнения (2) указанные ткани определяются (с точностью до коллинеаций пространства) единственным образом (теоремы [2.2.3], [2.2.7] ).
Если уравнение (2) спрямляется тканью T2 с графом t1,t3 ,t4 , то это же уравнение допускает и непроективную ткань T2 с графом t1,t4 ,t3 , и обратно (теорема [2.2.4]). При этом найдены преобразования, переводящие одну из тканей в другую 2. Если уравнение (2) спрямляется тканью с графом t1,t3,t4 , то оказалось, что существуют (на одних и тех же носителях) две проективно различные ткани с этим графом (теорема [2.2.9]).
Выше отмечалось, что для пространственной ткани В.Бляшке [1] формулирует гипотезу:
Образованная поверхностями ткань, не являющаяся шестиугольной, допускает (с точностью до коллинеаций) не больше одной реализации в виде ткани из плоскостей.
Из теоремы [2.2.1] следует, что коррелятивным образом номограмм Tявляется нешестиугольная пространственная ткань. Полученные результаты показывают, что одно и то же уравнение t4 f t1,t2,t3 может допускать две непроективные номограммы T2 с графами t1,t3,t4 , t1,t4 ,t3 или две непроективные номограммы T с одним графом t1,t3 ,t4 . Эти выводы не подтверждают гипотезу В. Бляшке.
Аналогичными исследованиями получены выводы при изучении номограмм первого жанра с криволинейной шкалой t (з 3, глава II). Некоторые результаты исследований приведены в таблице 4.
Таблица №/ Тип тканей Канонические Необходимые и достаточные № Tформы условия спрямляемости I3 F3F4 3 F1 Ft1,t2,t4 C // / / II3 F3F4 3 F1Ft1,t4,t2, ln MC 0, C3 ln M t2,t4,t1 III3 1 / F3F4 3 R AR AC 0, ln MR R, / F1 F2 M 0, t1,t2,t4 / / ln R MR, R3 E 4R2 4AR 2AC 0, / IV3 // ln ME 0, E/ 0j 2,3, F3F4 3 ln M 0 1 j F1F2 t1,t2,t4 / E E 4R / R3 0, ln , R 1 4R ME 4R2 ln R/ 4R / / M ACln / / Здесь: A , C ln MA, E Cln MMAC, R .
1 // M 2ln M В з 4 главы II рассмотрены условия и методы приведения уравнений (2) к каноническим формам I IV( j), j 2,3. Доказаны теоремы [2.4.1], [2.4.2] о ( j) полноте и несовместности (в указанном выше смысле) полученных канонических форм.
В третьей главе изучен случай представления уравнения (2) номограммой с уравнением (3), в которой криволинейной является ответная шкала t4 (рис.5,6). Такую номограмму обозначим T. Важным результатом з 1 главы III является теорема [3.1.1], дающая предварительное условие представимости уравнения (2) номограммой Т с уравнением (3) со всеми криволинейными шкалами (рис. 3,4).
Введём следующие обозначения.
/ / / // // / // / // U UU U12 U1/ U U3 U11 U1 Uj 3 j 1, 2; 3 ; 4 ;
j / // // // // V V3/ V3/ V12 V1/ V23 V3/ V11 V1/ Vj / // / // / // / // U3 U U U13 U1 U33 U1 U23 5 ; 6 ; 7 , (27) // // // // V3/ V23 V3/ V13 V1/ V33 V1/ Vf12 f f32 f11 f22 f12 f21 f где U , V .
f12 f22 f31 f11 f f12 f f12 f22 f31 f11 f22 f12 f22 Теорема [3.1.1] (типа Гронвэлла). Уравнение (2) тогда и только тогда представимо номограммой Т (3), когда при заданных функциях M, M (4) существует решение относительно функций f j 1 3; r 1,2 следующей jr системы дифференциальных уравнений:
3 / 1 / 1 M 2 0, ln M ln M 0, 1 M 2 5 6 7 3 1 / / M ln M 0. (28) 2 M 2 1 1 2 M В зз 1, 2 главы III проведена проективная классификация номограмм первого жанра T с криволинейной ответной шкалой, найдены условия и указаны методы представления уравнений (2) этими типами номограммам (теоремы [3.1.2], [3.2.1]-[3.2.8]). Показано, что задача представления решается с помощью лишь квадратур, и даются формулы для вычисления неизвестных функций frj уравнения (3). Выведены канонические формы уравнений (2), соответствующие графам T4. Кратко приведем методы и результаты этих исследований.
Из теоремы [2.1.1] имеем, что существует в точности пять проективно различных типов номограмм T4, а именно, номограммы с графами t1,t2,t3, t1,t3,t2 , t2,t3,t1, t1,t2,t3, t1,t2 ,t3, (29) имеющими, соответственно, следующие геометрические изображения:
Из теоремы [2.1.2] следует, что существует не более четырёх канонических форм уравнений (2), представимых номограммой T4 :
F3 F4 4 F1 F2, I4 F3 F4 4 F1 F2, II 4 1 F3 F4 4 , F3 F4 4 III. IV4 4 F1 F2 F1 F2 К форме I4 приводит, по крайней мере, граф t1,t2,t3 ; к форме II - гра4 фы t1,t3 ,t2 , t2,t3 ,t1; к формам III4, IV4 приводят, соответственно, графы t1,t2 ,t3 , t1,t2,t3 .
Теорема [3.1.2]. Если уравнение t4 f t1,t2,t3 представимо номограммой T4, то функции M, M (4) удовлетворяют условиям:
// // / M 0, ln M 12 0, ln M 0. (30) 3 Теорема [3.2.3]. Для представления уравнения (2) номограммой T4 любого из графов (29): t1,t3,t2, t2,t3,t1 необходимо, чтобы в области G, кроме условий (30), выполнялись условия:
/ / ln MS 0, S3 0, (31) / / / / / MA ln M M t4 t4 ln 3 2 S A M , M где,, / / M t4 t4 MA 1 Рассмотрим, для определённости, номограмму T4 с графом t2,t3,t1.
После надлежащего проективного преобразования можно считать, что в уравнении (3) f12 1, f 0 j 2,3. (32) jВыполнимость условий (30) следует из теоремы [3.1.2].
Составляя систему уравнений (28) из уравнения (3) с условиями (32), получим:
/ // / f1 f22 M, f111 f11 ln M 1 0, / / / f f11 f2 f2 1 f1// / / f3 f3 f1 / 33 3 2 M MA ln M 0. (33) / f3 f f3 Запишем эту систему в виде следующей системы уравнений в частных производных:
/ / j fi ij yi, yk k zk i, j 1 3; k 1,3, (34) j j y1 y/ где z1 y1ln M , y2 f2 f2 1M, f1 fy3 y1 / z3 2 y3 M MA - lnM. (35) 3 f3 f / Из условия интегрируемости z3 0 системы (34) получим новое уравнение y1 f1 S, (36) налагающее условие на неизвестные функции системы. Дифференцируя это уравнение по t1 и подставляя вместо производных z1, y1 их выражения из / / (34), (36), получим условие ln MS 0. Второе из условий (31): S3 получим дифференцированием уравнения (36) по t3.
/ Заметим, что условие ln MS 0 предполагает, что в области G функ/ ция S 0. В противном случае из (36) имели бы, что y1 f1 0, что / / приводит к несуществованию функции M t4 2: t4 1, что видно из (33) Последнее противоречит условиям, наложенным на функцию t4 f t1,t2,t3 .
Теорема [3.2.4]. Условия (30), (31) являются не только необходимыми, но и достаточными для представления уравнения (2) номограммой T4 с любым из графов t1,t3,t2 ,t2,t3 ,t1. При этом уравнение (2) допускает, с точностью до коллинеаций, единственную номограмму с каждым из отмеченных графов, и элементы этих номограмм находятся с помощью лишь квадратур.
Cистема уравнений (33) допускает четырёхпараметрическую группу проективных преобразований пространства, автоморфных относительно y 0, x 0, x 0, , , - носителей плоскостей y = 0, z = 0 и прямых z 1 y 0 z шкал номограммы (3) с условиями (32):
a11x a22 y a33z x , y , z . (37) a42 y a33 1z 1 a42 y a33 1z 1 a42 y a33 1z Это даёт возможность присоединить к системе (33) с неизвестными f i 1 3 начальные условия. Возьмём их в виде:
i / при ti ti1 : fk 1, f2 1, f3 1 i 1 3;k 1,3, (38) где ti ti1 - любая точка области G.
С помощью уравнения (36) от системы (34) можно перейти к системе, не содержащей в правых частях функции y1; получим:
/ / j fi ij yi, y3 3 z3 i, j 1 3, (39) j j где y1 f1 S, y2 f2 f2 1M S, y/ z3 2 y3M A S-lnM . (40) f Из метода получения системы (39) ясно, что решения исходной системы (33) (в случае их существования) являются и решениями системы (39). Об/ // ратно, подставляя в (33) вместо производных f , f i 1,2; j 1,3 их i j i jj значения из системы (39) получим, что в силу условий теоремы [3.2.3] левые части уравнений (33) тождественно равны правым частям. Следовательно, система (39) эквивалентна исходной системе (33).
При условиях (30-31) система уравнений (39) является вполне интегрируемой. Отсюда следует полная интегрируемость системы Пфаффа, соответствующей системе (39) При заданных начальных условиях она имеет решение и оно единственно.[5]. Следовательно, имеет решение и исходная система (33). В силу теоремы [3.1.1] заключаем, что условия (30-31) являются не только необходимыми, но и достаточными для представления уравнения t f t,t,t номограммой T4 с графом t2,t3,t1.
4 1 2 При начальных условиях (38) из системы (39) находим:
t1 t2 t / Sdt1 M Sdt2 M AS ln M 3dt t3 t f1 t11, f2 1/1 2t21, f3 1/1 dt3 . (41) t Элементы f41, f42 последней строки определителя (3) найдутся по формулам:
/ / 2 f f f f f M 1 2 3 3 1 1 f .
41 / / 42 / / 1 f f f M f f , f f f M f f 2 1 1 3 1 3 3 1 3 1 3 Из однозначности решений системы (33) следует, что номограммы T4 с графом t2,t3 ,t1 уравнения t f t,t,t проективны.
4 1 2 Аналогичные исследования проведены при рассмотрении номограммы T4 с графом t,t ,t . При этом найдены те же самые условия представи1 3 мости, с помощью лишь квадратур найдены функции f (в отличие от решеi 2 ний (41) обозначим их f ). Номограммы T4 с уравнением (3) с графами i t2,t3 ,t1,t1,t3 ,t2 , не проективны (теорема [2.1.1]). Однако по элементам одной из этих номограмм можно указать элементы другой:
f1 2 f2 2 f12 , f22 , f f.
3 f1 2 f2 При исследовании вопроса о единственности оказалось, что для одного и того же уравнения t f t,t,t могут существовать по две непроективные 4 1 2 номограммы T либо с различными графами, либо с одним и тем же графом.
Так как коррелятивным образом номограмм T является нешестиугольная пространственная ткань (теорема [3.1.2]), то указанная выше гипотеза В.
Бляшке вновь не получает подтверждения.
В з 3 главы III даются условия и методы приведения уравнений (2) к каноническим формам, соответствующих номограммам T4. Доказана теорема [3.3.1] о существовании точно четырех канонических форм I4 IV4 уравнения (2), представимых номограммами T4. Эта система канонических форм является полной и несовместной (в указанном выше смысле). Найдены дополнительные преобразования функций, входящих в канонические уравнения.
В четвертой главе рассмотрены вопросы о представлении уравнений (2) некоторыми составными шкальными номограммами из выравненных точек более высоких жанров: второго жанра с уравнением (3), когда шкалы переменных t1,t2 (или t3,t4 ) принадлежат одному коническому сечению, а носителями других шкал являются прямые линии; четвёртого жанра, когда одному коническому сечению принадлежат шкалы переменных t1,t2, другому коническому сечению - шкалы t3,t4. Рассмотрен и вопрос о представлении уравнений (2) номограммами третьего жанра, когда шкала t j 1 4 одj ной из подномограмм с уравнением (3') криволинейна, а носителем шкал переменных другой подномограммы является одно и то же коническое сечение.
В з 1 главы IV проведена проективная классификация номограмм второго и четвёртого жанров и найдены соответствующие им канонические формы.
Пусть в номограмме (3) одному коническому сечению принадлежат шкалы t1, t2, а шкалы t3,t4 - прямолинейны. Такую номограмму второго жанра обозначим T12. Номограмме T12 поставим в соответствие граф (его также обозначим T12 ), состоящий из одного конического сечения - носителя шкал переменных t1, t2 и трёх прямых: оси пересечения плоскостей z 0, y 0 и двух прямых - носителей шкал переменных t3, t4. Точки пересечения коники и прямых t3,t4 с осью назовём узлами графа. Индексом узла графа будем называть число ветвей t12, t3, t4, проходящих через этот узел.
Ясно, что сумма индексов всех узлов графа равна четырём. Следовательно, возможны лишь графы с символами:
4, 3,1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, (42) где, как и раньше, цифра в круглых скобках означает индекс узла, а число круглых скобок символа означает количество узлов графа.
В случае графа с символом 1, 1, 1, 1 через обозначим сложное отношение четырёх различных точек с абсциссами a12, 12, a3, a4 :
a12, , a3, a4 .
Теорема [4.1.1]. Номограммы T12 с уравнением (3) с узлами первых четырёх символов (42) образуют в точности десять проективно различных (с точностью до параметризации шкал) типов. Номограммы T12 с графом символа 1, 1, 1, 1 образуют однопараметрическое семейство, две номограммы которого проективны (с точностью до параметризации шкал) лишь при одном и том же сложном отношении четырёх узлов графа.
Теорема [4.1.2]. Существует точно восемь канонических форм уравнений (2), представимых номограммой T12, а именно формы I0 VIII0.
Результаты теорем отражены в таблице 5.
Таблица Канонические фор- Граф номо- Канонические формы Граф номомы граммы граммы F1 F2 F3 F4 F1 F2 F3 F4 I0 V0 t12,t12,t3,t4 t12,t3 ,t12 ,t4 t12,t3,t12,t4 t12,t4,t12,t3 II0 F1 F2 F3 F4 VI0 t12,t3,t4 ,t12 F1 F2 1 t3,t4 ,t12 ,t12 F3 FIII0 F1 F2 F3 F4 VII0 t12,t12,t3,t4 F3 F4 1 t12,t12 ,t3 ,t4 F1 Ft12,t12,t4 ,t3 t12 ,t12 ,t3 ,t4 IV0 F1 F2 1 VIII0 t12,t12,t3,t4 F1 FF3 F4 F3 F4 1 Из теорем [1.1.2], [1.6.1] следует, что уравнение (2), представимое номограммой T12, приводится в точности к одной из канонических форм I0 VIII0 ; каждое из уравнений I0, III0, V0 допускает по два непроективных типа номограмм T12; уравнение VIII0 допускает однопараметрическое семейство, две номограммы которого проективны лишь при одном и том же сложном отношении .
Условия представимости уравнения (2) номограммами T12 получены в главе I.
Аналогичные проблемы решены для случаев, когда в номограмме (3) одному коническому сечению принадлежат шкалы t3, t4, а шкалы t1,t2 - прямолинейны ( номограммы второго жанра T34).
В случае, когда в номограмме (3) одному коническому сечению принадлежат шкалы t1,t2, другому сечению - шкалы t3, t4 (номограммы четвёртого жанра) поставим в соответствие граф T12, состоящий из одной прямой - оси пересечения плоскостей y 0, z 0, и двух конических сечений, из которых одно является носителем шкал переменных t1, t2, а другое - носителем шкал переменных t3, t4. При этом возможны лишь графы также с символами (42).
Теорема [4.1.5]. Номограммы T12 с уравнением (3) с графами первых четырёх символов (42) образуют в точности восемь проективно различных (с точностью до параметризации шкал) типов. Номограммы T12 с графом символа 1,1,1,1 образуют однопараметрическое семейство, две номо граммы которого проективны (с точностью до параметризации шкал) лишь при одном и том же сложном отношении .
Теорема [4.1.6]. Существуют точно восемь канонических форм уравнений (2), представимых номограммой T12 с уравнением (3), а именно, канонические формы I0 VIII.
0 Следствие [4.1.1]. Одно и то же уравнение t4 f (t1,t2,t3) может быть представимо номограммами с уравнением (3) как нулевого T0, так и второго T12, T34, и четвёртого T12 жанров, относящимися к какой-либо одной из канонических форм I0 VIII0.
Коррелятивным образом рассмотренных номограмм (в главах первой и з1 главы четвёртой) являются шестиугольные ткани [1], спрямлённые либо четырьмя пучками плоскостей, разделённых на пары, носители которых расположены в двух различных плоскостях;
либо двумя пучками плоскостей с носителями, расположенными в одной плоскости, и двумя связками плоскостей двух других переменных, являющихся касательными плоскостями к одной квадрике;
либо четырьмя связками плоскостей, являющихся касательными плоскостями к двум коническим поверхностям, направляющие которых расположены в разных плоскостях.
В таблице 6 приведены некоторые результаты исследований.
Таблица КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА F1 F2 F3 F4 Допускаемые проективно различные типы тканей t1 t t1,tj t tt1,t t2 ti tk t t4 tm t4 ti, j 1,2; i j, k, m 3,4; k m tt1,t2 t1,t t t2 t3,t4 t t3,t t3,t t3,tЗаметим, что ткани с уравнением F1 F2 F3 F4 0 являются октаэдрическим [1]. Из таблицы 6, в частности, видно, что октаэдрические ткани с одним и тем же уравнением ткани (2) порождаются а) четырьмя пучками плоскостей;
б) двумя пучками и двумя связками плоскостей, являющиеся касса- тельными плоскостями к одной и той же конике;
в) четырьмя связками плоскостей, разделённых на пары, и являющие- ся общими касательными плоскостями к двум различным поверх- ностям второго порядка.
В з 2 четвертой главы рассматриваются аналогичные вопросы для номограмм третьего жанра, когда шкала t одной из подномограмм (3) j криволинейна, а носителем шкал переменных другой подномограммы является общее коническое сечение. Вкладывая в понятия лузла графа, линдекса узла графа тот же смысл, что и выше, нетрудно видеть, что возможны лишь графы с символами [(3)], [(2), (1)], [(1), (1), (1)]. (43) Такие номограммы (и соответствующие им спрямлённые ткани) обозначены Ti 4,T1 2 i1,2; j3,4. Показано, что эти ткани являются нешестиуголь j ными. Условия приведения, а значит и условия спрямляемости соответствующими тканями, изложены в главах II и III. Доказаны следующие теоремы.
Теорема [4.2.1]. Номограммы T23 4 с уравнением (3) с графами символов (43) образуют в точности четыре проективно различных (с точностью до параметризации шкал) типов.
Теорема [4.2.2]. Существует точно четыре канонические формы уравнений (2), представимых номограммами T23 4 :
I2 Е F1 F2 2 F3 F4 II2 Е F1 F2 2 F3 F1 III Е F1 F2 2 IV2Е F1 F2 2 F3 F4 F3 F4 Аналогичные результаты можно было бы получить, когда в номограмме (3) шкала t1 криволинейна, t2 - прямолинейна, а шкалы t3, t4 принадлежат одной конике. Рассмотрены также случаи, когда на общей конике лежат шкалы t1, t2, одна из шкал t (j=3,4) криволинейна, т.е. рассмотрены номограмj мы T1 2. Некоторые результаты исследований помещены в таблицах 7, 8.
j Следствие [4.2.1]. Одно и то же уравнение (2) может быть представимо номограммами (3) как первого жанра Tk k 1 4, так и третьего жанра (Ti34, T12 i 1,2; j 3,4), относящихся к какой-либо одной из ка j нонических форм I2 IV2, I3 IV3, I4 IV4. (см. таблицу 3).
Следствие [4.2.2]. Если уравнение (2) допускает номограмму (3) первого жанра с криволинейной шкалой t, j 1,2(номограмму T j ), то оно допусj кает и номограмму третьего жанра, получающуюся из T j заменой пары прямолинейных носителей t3,t4, принадлежащих одной полуплоскости номограммы (3'), одним коническим сечением при сохранении узлов и их индексов в графах.
Двойственным образом номограмм, указанных в таблицах 7,8, являются нешестиугольные ткани, которые не являются проективными. Условия спрямляемости всех тех тканей, которые относятся к одному и тому же каноническому уравнению, одни и те же. И здесь мы вновь имеем случаи, не подтверждающие сформулированную выше гипотезу В.Бляшке. Так, если уравнение ткани (2) приводится к канонической форме I j :
F Fj F1 F2, то ткань спрямляется следующими видами:
p j а) двумя пучками плоскостей переменных t1, t2 и одной связкой и пучком плоскостей других переменных, б) одним пучком и тремя связками плоскостей, причём две связки плоскостей переменных t1, t2 являются касательными плоскостями к одной и той же поверхности второго порядка.
При этом сохраняется количества узлов графа и их индексы.
Таблица Допускаемые проективно различные типы Каноническая форма №/№ номограмм I жанра III жанра t t p F Fj F1 Ft1,t2 t I j p j p t t j ( p, j 3,4; p j ) t j tn t1,t tm t j II j F Fj F1Fp j t j t p ( p, j 3,4; p j ) t p m,n 1,2; m n t t1,tFp Fj j III j F1 F t2 t t j j ( p, j 3,4; p j ) t t p p t t1,tIV j t2 t t Fp Fj j j j F1F2 ( p, j 3,4; p j ) t t p p Таблица Допускаемые проективно различные типы номограмм №№ Каноническая форI жанра III жанра ма tn tn FmFn т F3 F tm tm Im m, n 1,2; m n t3 t3,t t tn tm tn tm Fm Fn m F3 FIIm t3,tk, j 3,4; tk m, n 1,2; m n t k j j tn tn Fm Fn m F3 F tm t3 tm IIIm m, n 1,2; m n t4 t3,t tm tn tm tn Fm Fn n F3F4 IV m t3 t3,tm, n 1,2; m n t
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ Научная значимость и практическая ценность представляемых к защите результатов характеризуется тем, что впервые в области номографии:
1. Проведена проективная классификация рассматриваемых типов номограмм. Доказаны теоремы о существовании точно 15 проективно различных графов номограмм нулевого жанра.
2. Получены необходимые и достаточные условия представимости уравнения t4 f t1,t2,t3 номограммами рассмотренных типов.
3. Приведены конечные формулы (в квадратурах) вычисления неизвестных функций в уравнении (3), соответствующих рассмотренным номограммам, и их возможные преобразования.
4. Выделены графы номограмм, определяющие для заданного уравнения - единственные номограммы нулевого жанра;
- однопараметрические семейства номограмм нулевого жанра ;
- графы номограмм, определяющие по две непроективные номограммы нулевого жанра;
- графы номограмм, определяющие для заданного уравнения четыре непроективные номограммы нулевого жанра.
5. Номограммам нулевого жанра соответствует точно восемь канонических форм их уравнений, обладающих свойством полноты и несовместности.
6. Рассмотрены типы непроективных номограмм более высоких жанров (см. таблицу 11 диссертации), эквивалентные в малом [1] рассмотренным 15 типам номограмм нулевого жанра. Это номограммы, в которых носителями шкал переменных, лежащих в одной плоскости, являются прямые линии, тогда в другой плоскости носителем шкал является одно коническое сечение (номограммы второго жанра), или в обеих плоскостях носителями шкал являются конические сечения (номограммы четвёртого жанра). Их количество 31, для них указаны условия представимости, они обладают свойством полноты и несовместности 7. Аналогичные исследования проведены и с номограммами первого жанра. Их оказалось точно по пять непроективных графов номограмм для каждого из четырех случаев номограмм первого жанра.
8. Для номограмм первого жанра существуют в точности 16 канонических форм уравнений, образующих полную и несовместную группу.
9. Рассмотрены типы номограмм третьего жанра, эквивалентные в малом рассмотренным номограммам первого жанра.
в области геометрии тканей:
10. В геометрии тканей получены условия шестиугольности тканей. Найдены типы шестиугольных тканей, условия их спрямляемости. Определены канонические уравнения рассмотренных шестиугольных пространственных тканей, изучены проблемы единственности. Условия теоремы [1.3.1] являются условиями октаэдричности пространственных тканей [1], выраженные через функцию тканей. Указаны девять, эквивалентных в малом [1], октаэдрических пространственных тканей.
11. Найдены 46 шестиугольных пространственных тканей. Для них определены условия спрямляемости.
12. Получены условия спрямляемости пространственных нешестиугольных тканей. Найдены канонические уравнения таких тканей. Исследована проблема единственности. Приведены результаты, впервые опровергающие гипотезу о единственности спрямляемости нешестиугольных тканей, сформулированную В. Бляшке в 1959 году.
13. Доказано, что для составных шкальных номограмм нулевого жанра существуют в точности восемь канонических форм уравнений t4 f t1,t2,t3, представимых номограммами этого жанра. Найденная система канонических форм полна и несовместна. Для всех найденных канонических форм указаны дополнительные возможности их преобразования.
14. Для всех рассмотренных в работе 82 непроективных типов номограмм и тканей найдено ядро канонических форм уравнения t4 f t1,t2,t3 , состоящее из 24 уравнений, обладающих свойствами полноты и несовместности.
15. Для каждой из 24 канонических форм найдены условия и указаны методы приводимости уравнений t4 f t1,t2,t3 к этим формам.
16. Рассмотрен класс типов номограмм более высоких жанров (второго, третьего, четвёртого), и двойственных к ним тканей, уравнения которых приводятся к какой-нибудь из 24 канонических форм, и при том оказалось, что к какой-либо другой из них не приводятся.
17. Все полученные результаты без каких-либо дополнительных исследований пригодны для практики.
18. Теория, представленная в диссертационной работе, может быть использована для построения специальных курсов для студентов и аспирантов математических факультетов. Приведёнными в работе методами можно продолжить исследования по представлению уравнений с четырьмя переменными номограммами второго-четвертого жанров общего вида кривых - носителей шкал переменных составной номограммы, и связанных с ними проблем геометрии тканей. Доказательства фундаментальных предложений на этот счет приведены в работе (теоремы [1.2.1], [3.1.1], следствия [1.2.1], [3.1.1], [3.1.2]).
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Первой Всесоюзной номографической конференции (Москва, 1965 г.), на научных конференциях математиков педагогических вузов и университетов Урала и Сибири: в Казани, Екатеринбурге, Челябинске, Иванове, Тюмени, семинарах кафедры геометрии Свердловского педагогического института, кафедры высшей математики Тюменского индустриального института, кафедры высшей математики Тюменского архитектурно-строительного университета, на научном семинаре математических кафедр Тюменского государственного университета (февраль, 2009 г.), семинарах на ВДНХ (г.
Москва), в В - АН СССР, на международных конференциях в Пущино (январь, 2007 г.), Твери (март, 2007 г.), Чебоксарах (июнь, 2007 г.), Дубне (январь, 2008 г.), Москве (МГУ, мат. инст. им. Л. С. Стеклова, июнь, 20г.), на семинаре института математики и механики РАН (Уральское отделение) (январь, 2006 г., январь, 2009 г.).
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ИЗЛОЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:
1. Дураков* Б.П. О представлении уравнений с четырьмя переменными составными номограммами нулевого жанра. // Уч.зап. Свердл. гос. пед.
ин-та, вып.31.- Свердловск. - 1965.- С..29-49.
2. Дураков Б.П. Составные номограммы первого жанра с четырьмя пере менными. // Уч.зап.Свердл. гос. пед. ин-та, вып.31. - Свердловск. - 1965. - С.50-72.
3. Дураков Б.П. Об условиях спрямляемости некоторых пространственных тканей.// Тезисы докл. I межвуз. номографич. конф. - М.:- 1965. - С.22 24.
4. Дураков Б.П. О представлении уравнений с четырьмя переменными со ставными номограммами первого жанра с прямолинейной ответной шкалой. // Тез.докл. I межвуз. конф.- М.: -1965. - С..24-25.
5. Дураков Б.П и другие.. О представлении уравнений спрямляемыми пространственными тканями, допускающими построение плоских со ставных номограмм.// Тез. докл. и сообщений XXY научно-пед. конф.
матем. кафедр педвузов Уральской зоны.- Свердловск. - 1967. - С.58 59.
6. Дураков Б.П., Мазаева Г.А., Николаев П.В.. Представление уравнений пространственными номограммами, допускающими реализацию в виде составных плоских номограмм.// - III межвузовская научная конфе ренция по проблемам геометрии. - Казанский государственный универ ситет, тез. докладов. - Казань. - 1967. - С. 105-106.
7 Дураков Б.П. О приведении уравнений с четырьмя переменными к не которым каноническим формам. // Номографич. сб., №4 - Изд.В - АН СССР. ЦМ. - С.220-227.
8. Рудаков Б.П. Об условиях и методах номографирования уравнений, до пускающих по две непроективные номограммы нулевого жанра. // Тр.
Тюменского индустр. ин-та "Бурение скважин и трубопроводный транспорт нефти и газа" ЦТюмень. - 1969.- С.244-254.
9. Рудаков Б.П. Номографирование уравнений, допускающих четыре не проективные номограммы нулевого жанра. // Тр. Тюменского индустр.
ин-та "Бурение скважин и трубопроводный транспорт нефти и газа". Тюмень. Ц1969. С.254-264.
10. Рудаков Б.П. К вопросу единственности спрямляемости некоторых про странственных нешестиугольных тканей. // Тр. Тюменского индустр.
ин-та "Бурение скважин и трубопроводный транспорт нефти и газа". - Тюмень. - 1969. - С.264-280.
11. Рудаков Б.П. О приведении уравнений с четырьмя переменными к ка ноническим формам пятого номографического порядка. // Номографич.
сб. №6. - Изд. В - АН СССР.ЦМ.. - 1969. - С.190-199.
12. Рудаков Б.П., Мазаева Г.А., Прокорьев Г.С., Смирнов С.В. Памяти П.В.Николаева. // Номографич. сб №8.- Изд. В - АН СССР. - М. - 1971. - С.10-13.
13. Рудаков Б.П. О применении в плановых расчетах одного вида номо грамм.// "Комплексное планирование на промышленных предприяти ях".- Научн. Тр. Тюменского индустр. ин-та, вып.23. - Тюмень - 1973. - С.132-141.
14. Рудаков Б.П. К вопросу о приведении уравнений с четырьмя перемен ными к некоторым каноническим формам.// Номографич. сб. № 10. - Изд. В - АН СССР. - М. Ц1975. - С.178-185.
15. Рудаков Б.П., Федотов В.П. Построение номограмм для оперативного учёта и прогнозирования наработки оборудования буровых установок.// Тюменский индустриальный институт, учебное пособие. - Тюмень. - 1988. - С. 38.
16. Рудаков.Б.П. Условия и методы спрямляемости некоторых пространст венных тканей, номографирования уравнений и приведения их к кано ническим формам.- Тюмень: Издательство Вектор Бук - 2003. - С.246.
17. Рудаков Б.П. О приведении уравнений с четырьмя переменными к не которым каноническим формам, допускающих представление состав ными шкальными номограммами первого жанра. // "Вестник" Тюмен ского гос. университета, № 4. - Тюмень. - 2005. - С. 112-121.
18. Рудаков Б.П. О представлении уравнений с четырьмя переменными не которыми видами составных номограмм второго и четвёртого жанров.
// "Вестник" Тюменского гос. университета, № 4. - Тюмень. - 2005. - С.
121-130.
19. Рудаков Б.П. О предварительных условиях спрямляемости некоторых пространственных тканей.//"Вестник" Тюменского гос. университета, № 5. - Тюмень. - 2006. - С.156-165.
20. Рудаков Б.П. Козлов В.Д. О приведении уравнений с четырьмя пере менными к каноническим формам (F1F2 + 1) (F3 + F4) = 1, (F3F4 + 1) (F1 + F2) = 1. // Тюменский гос. университет: Математическое и ин формационное моделирование: сборник научных трудов, выпуск 8. - Тюмень. - 2006. - С. 174-181.
21. Рудаков Б.П. Об условиях и методах спрямляемости некоторых про странственных шестиугольных тканей.// Математика. Компьютер. Об разование. Материалы XIV Международной конференции, тезисы докладов. - Москва. - 2007.- С.17.
22. Рудаков Б.П. О полной и несовместной группе канонических форм уравнений 4-тканей, допускающих реализацию в виде составных номо грамм первого и третьего жанров.// Третьи Курдюмовские чтения.
Синергетика в естественных науках. Материалы Международной на учной конференции. - Тверь. - 2007.- С. 123-127.
23. Рудаков Б.П. О полной и несовместной группе некоторых шестиуголь ных 4-тканей. // XIV Международная конференция Математика. Обра зование. - Чебоксары. - 2007. - С.248.
24. Рудаков Б.П. О представлении уравнений с четырьмя переменными не которыми видами составных номограмм первого и третьего жанров.// Вестник кибернетики, №6. - Изд-во ИПОС СО РАН. - Тюмень. - 2007. - С. 47-54.
25. Рудаков Б.П. Об условиях и методах спрямляемости некоторых про странственных шестиугольных тканей.// Математика. Компьютер.
Образование, т.2 - Москва, Ижевск: Изд-во НИ - Регулярная и хао тическая динамика. - 2007. ЦС. 91-101.
26. Рудаков Б.П. О полной и несовместной группе некоторых шести угольных четыре-тканей.// Математика и образование, №3 - Изд во Чувашского университета. - Чебоксары. - 2007. - С.278-283.
27. Рудаков Б.П. Об эффективных условиях и методах спрямляемости некоторых пространственных нешестиугольных тканей.// Математи ка. Компьютер. Образование, вып. 15. - Изд-во НИ - Регулярная и хаотическая динамика. - Дубна. - 2008. - С. 448.
28. Рудаков Б.П. Об условиях и методах спрямляемости 4-тканей, обра зованных поверхностями.// Материалы международной конференции Дифференциальные. уравнения и топология. - Москва: Математ.
Ин-т Стеклова, МГУ. - 2008. - С. 480.
29. Рудаков Б.П. К проблеме спрямляемости и единственности некоторых нешестиугольных пространственных тканей тремя пучками и связ кой плоскостей.// Вестник кибернетики, №7 - Изд-во ИПОС СО РАН. - Тюмень. - 2008. - С. 53-61.
30. Рудаков Б.П. Об условиях и методах спрямляемости некоторых нешестиугольных пространственных тканей. К гипотезе В.Бляшке.// - Математика. Компьютер. Оборазование (Дубна): Сб. научных трудов.
Том.2. - М.-Ижевск: НИ - "Регулярная и хаотическая динамика".- 2008.
- С.76-83.
*) Дураков Б.П. сменил фамилию на Рудаков 7 мая 1969 г. (в г. Тюмени) Список цитированной литературы 1. Бляшке В. Введение в геометрию тканей.- М., 1959.
2. Gronwall T.H. Sur les quations entre trios variables reprsentables par les nomogrammes a points aligns // Journ. mathem. pures et appliqus, ser. 6, 8. - Paris, 1912.
3. Николаев П.В. О представлении уравнений номограммами второго жанра.// ДАН СССР, т. 157, №6, 1964.
4. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. - М.:, 1947.
5. Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. ЦМ.:, В - АН СССР, 1964.
6. Николаев П.В. О номограммах второго жанра с ответной криволинейной шкалой.// Ученые записки Свердловского пединститута, серия УМатематикаФ, сборник 79, 1969.- C.56-65.
7. Хованский Г.С. Основы номографии.- М.: изд-во Наука, 1976. С. 38. Нейшуллер Л.Я. Уравнения с четырьмя разъединяющимися переменными и оптимальное двучленное табулирование их // ДАН, №6 - М.,1954.