Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
ДЕНИСОВ ИГОРЬ ВАСИЛЬЕВИЧ
УГЛОВОЙ ПОГРАНСЛОЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
01.01.03 - математическая физика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Тула 2009
Работа выполнена на кафедре алгебры, математического анализа и геометрии Тульского государственного педагогического университета имени Л.Н.Толстого Научный консультант доктор физико-математических наук профессор Бутузов Валентин Федорович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор Галкин Валерий Алексеевич доктор физико-математических наук профессор Нестеров Андрей Владимирович доктор физико-математических наук профессор Сафонов Валерий Федорович
Ведущая организация: Ярославский государственный университет имени П.Г.Демидова
Защита состоится л 2010г. в л часов на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу:
119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ имени М.В.Ломоносова, дом 1, строение 2, физический факультет, аудитория _______.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.
Автореферат разослан л 2010г.
Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук профессор Грац Ю.В.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы.
Современная теория асимптотических разложений начинается с работы А. Пуанкаре 1886 г. [1], в которой было введено понятие асимптотического ряда. Понятие пограничного слоя и уравнений, описывающих течение в зоне пограничного слоя, ввел Л. Прандтль в 19г. [2]. Теория асимптотического интегрирования стала целенаправленно развиваться, начиная с работ Л. Шлезингера (1907) [3] и Дж. Биркгофа (1908) [4].
К середине 20 века были получены многочисленные результаты по теории дифференциальных уравнений с малым параметром. Обширная библиография на эту тему приведена в книге В. Вазова [5].
Определяющими для последующего развития теории дифференциальных уравнений с малым параметром явились работы А.Н. Тихонова конца 40-х - начала 50-х годов [6-8]. В дальнейшем оформились основные направления теории: метод пограничных функций (М.И. Вишик, Л.А.
юстерник [9], В.А. Треногин [10], А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов [11-13] и др.), метод усреднения (Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский [14-15], В.М. Волосов [16], М.М. Хапаев [17] и др.), методы типа ВКБ (В.П.
Маслов [18], М.В. Федорюк [19] и др.), теория релаксационных колебаний (Л.С. Понтрягин [2], Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов [21] и др.), метод регуляризации (С.А. Ломов [22] и др.), метод сращивания асимптотических разложений (А.М. Ильин [23] и др.). Различные направления теории сингулярных возмущений интенсивно развивались и за рубежом [24].
В 1957 г. была опубликована статья М.И. Вишика и Л.А. Люстерника [9], в которой был сформулирован общий подход к построению асимптотических разложений решений линейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными. Такие задачи возникают в химической кинетике, синергетике, биологии, астрофизике, лазерной оптике. Были рассмотрены задачи в областях с гладкими границами, и асимптотические разложения решений строились в виде суммы регулярной и погранслойной частей. В 1970-х годах В.Ф. Бутузов [25] применил метод погранфункций к задачам в областях с угловыми точками границы. Для линейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнений была исследована задача Дирихле. Были построены асимптотические разложения решений в виде суммы регулярной, погранслойной и угловой частей.
Переход к нелинейным уравнениям оказался сопряженным с принципиальными трудностями, касающимися, прежде всего, отсутствия методов решения нелинейных задач и получения необходимых оценок.
Возникающих проблем удавалось избежать при рассмотрении задачи Неймана, но для эллиптических уравнений основной интерес представляет задача Дирихле. Задача асимптотического интегрирования нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными является естественным обобщением рассмотренных ранее задач, представляет важное направление в теоретических исследованиях, имеет многочисленные приложения к модельным задачам и потому является актуальной.
Целью настоящей работы является развитие асимптотических методов решения нелинейных задач химической кинетики, широко используемых в математической физике, позволяющих эффективно исследовать значительный круг модельных задач, именно:
- разработка методов построения асимптотических приближений решений широкого класса нелинейных сингулярно возмущенных задач в областях с угловыми точками границы;
- развитие метода угловых погранфункций для указанного класса задач как эффективного средства построения асимптотических приближений;
- развитие метода барьеров (верхних и нижних решений) как эффективного средства доказательства существования решений нелинейных задач математической физики;
- развитие асимптотического метода дифференциальных неравенств доказательства теорем существования и оценки остаточных членов асимптотик, имеющих пограничные слои.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Методы, разработанные в диссертации, ориентированы на исследование прикладных задач, в частности, задач химической кинетики. Работа носит теоретический характер:
- получены асимптотические разложения решений широкого класса нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными в областях с угловыми точками границы.
- модифицирован метод угловых погранфункций и доказано, что этот метод эффективно применим к нелинейным сингулярно возмущенным эллиптическим и параболическим уравнениям с краевыми условиями 1-го рода в областях с угловыми точками границы;
- введено новое принципиальное понятие кусочно-гладких барьеров (верхних и нижних решений) для задач, определяющих угловые погранфункции;
- проведено сглаживание кусочноЦгладких барьеров и доказано существование решений угловых погранслойных задач, возникающих при использовании метода угловых погранфункций для нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными в областях с угловыми точками границы;
- модифицирован метод дифференциальных неравенств и с его помощью проведена оценка точности построенных асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных краевых задач.
Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре под руководством проф. А.Б.
Васильевой и проф. В.Ф. Бутузова (физический ф-т МГУ им. М.В.
омоносова), на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам (Бишкек, 1991), на "Понтрягинских чтениях -- VII" (Воронеж, 1996), на конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика А.Н.
Тихонова (Обнинск, 1996), на международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 1998), на Международной конференции Информатизация образования - 2006 (Тула, 2006), на 3-й и 4-й международных конференциях "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания" (Обнинск, 2006, 2008), на Международной конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, 2006), на международных конференциях "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, 2006, 2007) и других конференциях.
Публикации. Основные результаты, полученные автором и изложенные в диссертации, опубликованы в работах [32Ц41] (список литературы приведен в конце автореферата). Всего по теме диссертации опубликовано 32 работы, все они без соавторов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на 21 параграф, и заключения. Диссертация снабжена оглавлением и списком литературы из 90 наименований. Общий объем диссертации - 224 страницы.
Содержание работы.
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, научная новизна полученных результатов, а также кратко изложено содержание и основные результаты работы.
В первой главе рассматривается одна из основных модельных задач химической кинетики - сингулярно возмущенная эллиптическая задача u = F(u, x, y, ) (1) в прямоугольнике = (x, y) 0 < x < a, 0 < y < b с краевыми условиями { } первого рода u(x, y, ) = (x, y) (2) на границе прямоугольника . Здесь - малый положительный 2 параметр, = + - оператор Лапласа. Решение задачи (1), (2) x2 yищется в виде ряда по степеням , состоящего из трех частей:
u(x, y, ) = u ++ P, (3) - регулярной, погранслойной и угловой. При жестких условиях на функцию (x, y) задача (1), (2) рассматривалась в диссертации В.Ф.
Бутузова [25].
Результаты, представленные в данной главе, опубликованы в работах [32 - 34, 38, 41]. При построении асимптотики решения используется метод угловых пограничных функций В.Ф. Бутузова [13], в котором дополнительно учитываются новые члены асимптотического разложения, соответствующие нелинейным уравнениям. Вводится принципиальное понятие кусочно-гладких барьеров (верхних и нижних решений) для задач, определяющих угловые погранфункции. Строятся подходящие кусочногладкие барьеры, а затем проводится их сглаживание и доказательство существования решения угловых погранслойных задач. Используются общие методы дифференциальных уравнений с частными производными.
Для обоснования построенной асимптотики используется развиваемый для нового класса задач асимптотический метод дифференциальных неравенств, предложенный в свое время Н.Н. Нефедовым для обоснования асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных [26, 27].
В первом параграфе первой главы формулируются условия, достаточные для получения регулярной и погранслойной частей асимптотики решения задачи (1), (2). Считаются выполненными следующие условия.
Условие I. Функция F(u, x, y, ) является достаточно гладкой, а функция (x, y) - непрерывной.
Условие II. Уравнение F(u, x, y,0) = 0 в замкнутом прямоугольнике имеет решение u = u0(x, y).
Условие III. Производная Fu'(u0(x, y), x, y,0) > 0 в замкнутом прямоугольнике .
dz1 dzУсловие IV. Для системы = z2, = F(u0(x, y) + z1, x, y,0), dt dt где x, y - параметры и точка (x, y) принадлежит границе , прямые z1 = (x, y) - u0(x, y) пересекают сепаратрисы, входящие в точку покоя (z1, z2) = (0,0) при t .
Во втором параграфе первой главы проводится расщепление уравнения (1) и строится регулярная часть асимптотики. Для этого функция F(u, x, y, ) из уравнения (1) заменяется выражением, аналогичным (3):
F(u, x, y, ) = F + F + PF. (4) Формально равенство (4) оказывается неверным. Но погранфункции строятся так, что их влияние затухает экспоненциально (быстрее любой степени ) при удалении от соответствующей стороны или вершины прямоугольника . Поэтому равенство (4) оказывается верным с n точностью порядка при 0, где n - любое натуральное число. Это равенство следует рассматривать как один из шагов алгоритма построения асимптотики решения задачи (1), (2) в виде ряда по степеням .
Выражения (3) и (4) подставляются в уравнение (1), которое разделяется на части: регулярную u = F, (5) погранслойную =F (6) и угловую P = PF. (7) Регулярная часть асимптотики ищется в виде ряда по степеням k u (x, y, ) = uk (x, y). (8) k=Функция F представляется в таком же виде:
k F = F(u, x, y, ) = F (x, y), (9) k k=и разложения (8) и (9) подставляются в уравнение (5):
2 k k uk (x, y) = F (x, y).
k k=0 k=Далее приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях и получается система уравнений для нахождения коэффициентов ряда (8):
0 = F (x, y), 0 = F (x, y), uk-2(x, y) = F (x, y), k 2.
0 1 k Корень первого уравнения u0 = u0(x, y) выбирается в соответствии с условием II. Из последующих уравнений рекуррентно определяются функции uk = uk (x, y), k 1.
В третьем параграфе первой главы строится погранслойная часть асимптотики. Необходимость введения погранслойной части асимптотики вызвана тем, что регулярная часть асимптотики дает решение уравнения (1) только внутри прямоугольника , но на границе функция u (x, y, ), вообще говоря, не совпадает с граничным значением (x, y).
Для устранения невязок с граничным условием (2) вводится погранслойная часть асимптотики, которой соответствует уравнение (6). В соответствии с числом сторон прямоугольника пограничная функция разделяется на (1) (2) (3) (4) четыре типа слагаемых: = + + + . Каждое слагаемое играет роль только вблизи соответствующей стороны прямоугольника . Для построения погранфункций вводятся растянутые переменные x ya - xb - y =, =, * =, * =.
Погранфункции ищутся в виде рядов по степеням :
(1) (1) (2) (2) kk (x,, ) = (x,), (, y, ) = (, y) и т. д.
kk k=0 k=(1) (2) (3) (4) Аналогично, считается, что F = F + F + F + F, где (1) u(x, (1) F = F y, ) + (x,, ), x, y, - F(x, y, ), y= (2) u(x, (2) F = F y, ) + (, y, ), x, y, - F(x, y, ) и т. д.
x= В соответствии с числом сторон прямоугольника уравнение (6) распадается на четыре уравнения. На стороне y = 0 невязки в граничных (1) (1) условиях призвана устранить функция =(x,, ). При переходе от переменных (x, y) к переменным (x,) прямоугольник при растягивается до полуполосы 0 < x < a, 0 < . Задача для определения (1) функции (x,) имеет вид (1) (1) 2 u = F (x,0) + , x,0,0, (10a) 2 (1) (1) (x,0) = (x,0) - u0(x,0), (x,) = 0, (10b) где x играет роль параметра. Уравнение (10) эквивалентно системе из (1) условия IV, в которой следует положить z1 = (x,), y = 0, t =.
Условие IV выделяет решения задачи (10), для которых справедливы экспоненциальные оценки вида (1) (x,) Ce-, (11) где C и - некоторые положительные постоянные. Так как возможен переход с сепаратрисы на сепаратрису, то решение задачи (10) не единственно. Рассматривается единственное монотонное решение задачи (10).
(1) Задачи для определения функций (x,), k 1, получаются k линейными:
(1) (1) (1) 2 k = Fu' u (x,0) + , x,0,0 + k, (12a) 0 k 2 (1) (1) (0,) =-uk (x,0), (x,) = 0, (12b) kk (1) где неоднородности k рекуррентно выражаются через функции с j индексами j < k и имеют экспоненциальные оценки вида (11), если оценки (1) (1) такого вида имеют функции . Решение (x,) задачи (12) j k выписывается в явном виде. Если величина (x,0) - u0(x,0) не равна тождественно нулю, то решение имеет вид (1) - (x,) = -uk (x,0)(x,)-1(x,0) - (x,) (x, ) k (x, )k (x, )d d 0 (1) (x,) где (x,) =. Если величина (x,0) - u0(x,0) 0, то задача (1) упрощается, так как для задачи (10) решение (x,) 0, а коэффициент (1) при (x,) в уравнении (12) оказывается постоянным и положительным:
k (1) Fu' u0(x,0) +, x,0,0 = Fu' u0(x,0), x,0,0 > 0.
0 () (1) В любом случае для функций (x,) справедливы k экспоненциальные оценки вида (11). Аналогично определяются все (i) остальные погранфункции , i=2,3,4. Для этих функций справедливы k экспоненциальные оценки типа (11).
В четвертом параграфе первой главы ставятся задачи для угловой части асимптотики. Построение угловых пограничных функций доставляет основные трудности. Все эти функции ищутся в виде рядов по степеням :
(1) (1) (2) (2) kk P(,, ) = P (,), P(,*, ) = kk P (,*) и т. д.
k=0 k=В угловой точке (0,0) задача для определения главного члена (1) P (,) угловой части асимптотики ставится в области растянутых переменных > 0, > 0, нелинейная и имеет вид (1) (2) (1) u (1) P = F (0,0) + (0,) + (,0) + P (,),0,0,0 - 00 0 (1) (2) u u -F (0,0) + (0,),0,0,0 - F (0,0) + (,0),0,0,0, (13a) 0 0 (1) (1) (1) (2) P (0,) =- (0,), P (,0) =- (,0), (13b) 00 (1) P (,) 0 при + , (13c) (i) где , i=1,2, - пограничные функции, играющие роль вблизи соответствующих сторон прямоугольника.
(1) Для функций P (,), k 1, в области > 0, > 0 получаются k линейные задачи (1) (1) (2) (1) (1) (1) P = Fu' u0(0,0) + (0,) + (,0) + P (,),0,0,0 P + pk, (14a) k 000 k (1) (1) (1) (2) P (0,) =- (0,), P (,0) =- (,0), (14b) kk kk (1) P (,) 0 при + , (14c) k где неоднородности удовлетворяют экспоненциальным оценкам вида pk (,) Ce- ( + ), (15) (1) (1) если подобным оценкам удовлетворяют функции P (,),Е, P -(,).
0 k Здесь C и - некоторые положительные числа.
(1) Коэффициент в задаче (14) в зависимости от величины P (,) может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Кроме этого, если на промежутке u0 0,0 ; 0,0 производная ( ) ( ) Fu' u,0,0,0 принимает отрицательные значения, то коэффициент в задаче ( ) (14) будет принимать отрицательные значения в приосевых полосах 0 < , 0 < определенной ширины > 0.
Если величина (0,0) - u0(0,0) 0, то решение задачи (13) (1) P (,) 0 и коэффициент в задачах (14) постоянен и положителен:
(1) (2) (1) Fu' u0(0,0) + (0,) + (,0) + P (,),0,0,0 = Fu' u0(0,0),0,0,0 > 0.
000 () В этом случае решения задач (14) выписываются в явном виде и для них получаются экспоненциальные оценки вида (15). Если величина (0,0) - u0(0,0) не равна тождественно нулю, то мы, вообще говоря, не можем знать, имеет или нет задача (13) решение и удовлетворяет ли решение, в случае существования, экспоненциальной оценке вида (15).
Кроме этого, в задачах (14) коэффициент (1) (2) (1) Fu' u0(0,0) + (0,) + (,0) + P (,),0,0,0 может в зависимости от 0 величины (0,0) принимать как положительные, так и отрицательные значения. Нас интересует установление условия V, при котором можно доказать следующие утверждения.
Утверждение 1. Если выполнены условия I - V, то задача (13) имеет (1) решение P (,), удовлетворяющее экспоненциальной оценке вида (15).
Утверждение 2. Если выполнены условия I - V, то задачи (14) (1) имеют решения P (,), удовлетворяющие экспоненциальным оценкам k вида (15).
Утверждение 3. Если выполнены условия I - V, то для достаточно малых задача (1), (2) имеет решение u(x, y, ), для которого ряд (1) (2) (3) (4) k kkk k u (x, y) + (x,) + (, y) + (x,*) + (*, y) + k k=(1) (2) (3) (4) (16) + P (,) + P (,*) + P (*,*) + Pk (*,) kk k является асимптотическим разложением при 0 в замкнутом прямоугольнике , то есть для всех точек (x, y) максимум n+max u(x, y, ) -Un(x, y, ) c, где Un(x, y, ) - n -я частичная сумма ряда (16), c - некоторая положительная постоянная.
Если предположить разрешимость задач (13) и (14), то доказательство последнего утверждения все равно останется проблемой.
(1) Это связано с тем, что, не зная величины P (,), мы не можем знать (1) (2) (1) явного вида коэффициента Fu' u0(0,0) + (0,) + (,0) + P (,),0,0,0 0 в задаче (14), который может оказаться как положительным, так и отрицательным.
В пятом параграфе первой главы находится угловая часть асимптотики решения при выполнении следующего условия.
(1) Условие (A). Задача (13) имеет решение P (,), удовлетворяющее экспоненциальной оценке вида (15).
При выполнении условия (A) найдется положительное число такое, что в области > , > значения производной на полном (1) (2) (1) нулевом приближении Fu' u0(0,0) + (0,) + (,0) + P (,),0,0,0 , 0 где - некоторое положительное число. Однако в приграничных полосах 0 < , 0 < знак производной может быть отрицательным.
Поэтому задачи (14) не всегда будут иметь решения, удовлетворяющие экспоненциальным оценкам вида (15). В связи с этим к условию (A) нужно добавить дополнительное условие (B), которое вместе с условием (A) сформирует условие V, достаточное для доказательства утверждения 2.
Сначала предполагается выполненным следующее условие.
Условие (B1). Во всей области R2 = , > 0, > 0 значения ( ) { } + производной на полном нулевом приближении (1) (2) (1) Fu' u0(0,0) + (0,) + (,0) + P (,),0,0,0 , 0 где - некоторое положительное число.
Для доказательства утверждения 2 применяется метод верхних и нижних решений (барьеров), который заключается в том, что задача L(Z) Z - f (Z) = 0 в области D, (17a) Z = h на границе D (17b) имеет решение Z, заключенное в промежутке Z- Z Z+, если в области D выполняются неравенства L(Z+) =Z+ - f (Z+) 0, L(Z-) =Z- - f (Z-) 0, Z- Z+, а на границе D выполняются неравенства Z- h Z+.
Если выполнены условия I - IV, (A) и (B1), то для задач (14) барьеры имеют вид (1) (2) Z(,) =- (0,)e- - (,0)e- - uk (0,0)e- ( + ) re- ( + ), (18) kk где r и - некоторые положительные числа.
Если условие (B1) не выполняется, то функции вида (18) уже не подходят на роль барьерных. Более того, верхнее и нижнее решения задачи (14) не удается построить сразу в виде одной гладкой функции. Далее задача рассматривается в предположении, что выполнено следующее условие.
Условие (B2). В области > , > значения производной на полном нулевом приближении (2) (1) u (1) Fu' (0,0) + (0,) + (,0) + P (,),0,0,0 , 0 0 где - некоторое положительное число, а в приграничных полосах 0 < , 0 < области R2 значения производной + (2) (1) u (1) Fu' (0,0) + (0,) + (,0) + P (,),0,0,0 -2, где положительное 0 0 число удовлетворяет условию < / 2.
С учётом знака производной на полном нулевом приближении область R2 разбивается на части 0 = , > , > , ( ) { } + 1 = , >, 0 < и 2 = , 0 < , > . В каждой из ( ) ( ) { } { } подобластей строятся свои гладкие барьеры задачи (14), подчиненные дополнительным условиям. Именно, вводится следующее понятие.
Определение. Функции Z+(,) и Z-(,) называются кусочногладкими соответственно верхним и нижним решениями (барьерами) задачи (17), если 1) функции Z+(,) и Z-(,) непрерывны в замкнутой области D ;
2) существует разбиение области D на конечное число подмножеств, на внутренности каждого из которых функции Z+(,) и Z-(,) удовлетворяют неравенствам L(Z+) =Z+ - f (Z+) 0, L(Z-) =Z- - f (Z-) 0, Z- Z+;
3) на границе D выполняются неравенства Z- h Z+.
Доказательство существования решения задачи (14) распадается на два этапа: сначала строятся подходящих кусочно-гладкие барьеры, а затем для построенных барьеров проводится процедура сглаживания.
В подобласти 0 на роль барьеров подходят функции вида (18), где r и - некоторые положительные числа. В подобласти 1 барьеры имеют вид (1) (2) Z(,) =- (0,)e- - (,0)e- - uk (0,0)e- ( + ) h()e-, (19) kk ( + 1 - ) где функция h() = sin, [0, ], число 1 берется из 21 промежутка < 1 < +, - некоторое положительное число.
2 2 В подобласти 2 барьеры имеют вид (1) (2) Z(,) =- (0,)e- - (,0)e- - uk (0,0)e- ( + ) h( )e-. (20) kk С целью сглаживания построенных кусочно-гладких верхнего и нижнего решений задачи (14) вводятся обозначения для общей части границ подобластей 0, 1 и 2 : 01 = , , = , ( ) { } 02 = , = , и 12 = , =, 0 . Функции Z(,) ( ) ( ) { } { } не являются гладкими на линиях 01, 02 и 12. При этом все три линии сходятся в одной точке , . Поэтому известные методы ( ) сглаживания [29 - 31] неприменимы и приходится поступать следующим образом. Сначала рассматривается линия 01. По разные стороны от этой линии значения функций Z(,) задаются различными аналитическими выражениями, и сглаживать нужно функцию h(), если 0 .
re-, если Однако сглаживается не эта, а несколько иная функция. При построении барьеров допускается определенная свобода выбора параметров. Вместо параметра можно взять положительное число , чуть меньшее, чем , и такое, что в области = , >, >, во0 ( ) } { (1) (2) (1) первых, производная Fu' u0(0,0) + (0,) + (,0) + P (,),0,0,0 все 0 ещё положительна, и, во-вторых, функции Z(,) все еще являются барьерами задачи (14). Вводится новый достаточно малый положительный параметр 1 и рассматривается непрерывная функция h(), если 0 , re-, если где 0 = re- . Доказывается, что существуют положительные числа 0, и положительная функция v0(), - 20, + 2, такие, что функция ( ) h(), если 0 - 2 v (), если - 20 + 2 re-, если + 2 < дважды непрерывно дифференцируема и на промежутке - 20, + 2 удовлетворяет условию ( ) ' v0() + 1v0() 0. (21) Далее рассматривается новое разбиение области R2 на части + 1 = , >, 0 < - 20, 12 = , >, - 20 < + 2, ( ) ( ) { } { } 2 = , > + 2, > + 2, ( ) { } 23 = , - 20 < + 2, > , 3 = , 0 < - 20, > ( ) ( ) { } { } и кусочно-гладкие функции (1) (2) Z , =- (0,)e- - (,0)e- - uk (0,0)e- ( + ) ( ) kk q h()e-, если , 1 ( ) qv0()e-, если , ( ) .
qre- ( + ), если , ( ) 2 qv0( )e-, если , ( ) ( ) 3 q h( )e-, если , При выборе достаточно большого положительного коэффициента q функции Z , являются кусочно-гладкими барьерами задачи (14).
( ) Гладкость функций Z , нарушается только на линии ( ) = , 0 < + 2. Доказывается, что при пересечении линии в ( ) { } направлении нормали к ней производная функции Z , по + ( ) направлению этой нормали испытывает отрицательный скачок. Это позволяет применить результаты работ [29 - 31] и сгладить верхнее кусочно-гладкое гладкое решение задачи (14) на линии . Сглаживанием функции Z - ( ) + ( ) , =-Z , получается нижнее решение задачи (14). Так как для функций Z , выполняются экспоненциальные оценки вида ( ) (15), то задача (14) имеет решение Z , с экспоненциальной оценкой ( ) вида (15).
В шестом параграфе первой главы доказывается утверждение 3, если в качестве условия V принято следующее.
Условие V. Для каждой угловой точки прямоугольника выполнено условие типа (A) и одно из условий типа (B).
Для доказательства утверждения 3 используется модифицированная схема метода дифференциальных неравенств, предложенная ранее Н.Н.
Нефедовым [26, 27].
В седьмом параграфе первой главы рассматривается случай монотонного поведения функции F u,0,0,0 на промежутке от u0(0,0) до ( ) (0,0). В качестве дополнительного принимается следующее условие.
Условие (C1). Граничное значение (0,0) таково, что производная F ' u,0,0,0 > 0 для всех значений u, взятых из промежутка ( ) от u0 = u0(0,0) до = (0,0).
Для определенности считается, что - u0 > 0. Кроме этого, определяется класс функций F1,.
{ } Определение. Функция F(u) = F u,0,0,0 принадлежит классу ( ) F1,, если для любых значений s и t, взятых из промежутка [0, - u0], { } выполняются два условия:
1) неравенство st s t F u0 + s + t - - 1- F u0 + t - 1- F u0 + s 0, (22) ( ) ( ) - u0 - u0 - u0 либо st s t F u0 + s + t - + C+ - 1- F u0 + t - 1- F u0 + s > 0, ( ) ( ) - u0 - u0 - u0 (23) где число C+ (0, u2 -), число u2 > и производная F '(u) > 0 на промежутке [u0, u2];
2) неравенство st s t F u0 + s + t - - 1- F u0 + t - 1- F u0 + s 0, (24) ( ) ( ) - u0 - u0 - u0 либо st s t F u0 + s + t - - C- - 1- F u0 + t - 1- F u0 + s < 0, ( ) ( ) - u0 - u0 - u0 (25) где число C (0, u0 - u1), число u1 < u0 и производная F '(u) > 0 на промежутке [u1, ].
В качестве условия V принимается условие (C1) и принадлежность функции F(u) классу F1,. Методом верхних и нижних решений { } доказывается утверждение 1. В качестве барьерных подходят функции (1) (2) (0,) (,0) вида P(,) =- Ce- ( + ), где C 0, > 0 - некоторые - uпостоянные.
Принадлежность функции F(u) классу F1, является { } достаточным, но не является необходимым условием для доказательства утверждения 1. Можно определить другие классы функций, обеспечивающие доказательство этого утверждения.
Определение. Функция F(u) принадлежит классу F2,, если { } для любых значений s и t, взятых из промежутка [0, - u0], выполняются два условия:
1) неравенство (22), либо (23);
2) неравенство F u0 + s + t - 2 st - F u0 + s - F u0 + t - (st)-3/ 2 s2z(t) + t2z(s) ( ) ( ) ( ) вместо неравенства (24), либо F u0 + s + t - 2 st - C- - F u0 + s - F u0 + t - (st)-3/ 2 s2z(t) + t2z(s) < 0, ( ) ( ) ( ) w где функция z(w) = u0 + u du - wF u0 + w, вместо неравенства (25).
F ( ) () В качестве условия V можно принять выполнение условия (C1) и принадлежность функции F(u) классу F2,. Для доказательства { } утверждения 1 строятся барьеры вида (1) (2) (0,) (,0) P+(,) =- + Ce- ( + ), - u(1) (2) P-(,) =-2 (0,) (,0) - Ce- ( + ), где C 0, > 0 - некоторые постоянные.
В восьмом параграфе первой главы устанавливаются методы проверки принадлежности функции F(u) некоторому классу F,.
{ } Изложение построено в соответствии со следующим планом:
1) изучение неравенств (22), (23) и их связь с некоторыми традиционными свойствами функций;
2) выполнение неравенств (22), (23) для многочленов;
3) пример функции, удовлетворяющей условию (C1), но не принадлежащей ни классу F1,, ни классу F2, ;
{ } { } 4) изучение неравенств (24), (25) и их выполнение для квадратичных функций;
5) выполнение неравенств (24), (25) для кубических функций;
6) построение барьеров в случае квадратичной функции F(u) ;
7) выводы.
В девятом параграфе первой главы рассматривается случай немонотонного поведения функции F u,0,0,0 на промежутке от u0(0,0) ( ) до (0,0). В качестве дополнительного принимается следующее условие.
Условие (C2). Функция F u,0,0,0 является квадратичной по ( ) переменной u : F u,0,0,0 = -A(u -)(u - ), где A > 0, а корни ( ) = u0(0,0) < . Граничное значение = (0,0) находится правее вершины параболы F u,0,0,( ) + + + 0, - где 0 - некоторое число из промежутка 0 < 0 <.
Доказывается утверждение 1, в котором под условием V понимается условие (C2). Для доказательства область R2 разбивается на подобласти + 0, 1 и 2, граница которых - число определяется при доказательстве. В каждой из подобластей строятся свои гладкие барьеры задачи (13). Верхний кусочно-гладкий барьер имеет вид re- ( + ), если (,)ch Z+(,) = ()e-, если (,)1, + ch ( )e-, если (,)+ где c > 0, > 0 - некоторые постоянные, функция h+() =, + ( - )3 - a2( - )3 a 0 - некоторая постоянная. Нижний кусочно-гладкий барьер имеет вид -re- ( + ), если (,) Z-(,) = ()e-, если (,)1, -h -h-( )e-, если (,)где > 0 - некоторая постоянная, функция h-() = + ( - )3 - a2( - )2 + h0, 3 a 0, h0 > 0 - некоторые постоянные. Процесс сглаживания барьеров проводится методами, рассмотренными выше.
В конце первой главы делается вывод, что в качестве условия V можно взять следующее.
Условие V. Для каждой угловой точки прямоугольника выполнено хотя бы одно из трех условий:
1) условие типа (A) и одно из условий типа (B);
2) условие типа (C1) и условие принадлежности функции F какомулибо классу типа {F,}.
3) условие типа (C2).
Вторая глава диссертации посвящена параболической задаче 2u u = F(u, x,t, ) (26) a(x,t) x2 - t в прямоугольнике = (x,t) | 0 < x <1, 0 < t < T с начальным условием { } u(x,0, ) = (x,0), 0 x 1, (27) и краевыми условиями первого рода u(0,t, ) = (0,t), u(1,t, ) = (1,t), 0 t T. (28) В первом параграфе второй главы проводится постановка задачи. Её решение ищется в виде ряда по степеням , состоящего из следующих частей:
u(x,t, ) = u + + Q + Q* + P + P*. (29) ( ) ( ) Здесь u - регулярная часть асимптотики, , Q и Q* - пограничные функции, играющие роль вблизи сторон прямоугольника соответственно t = 0, x = 0 и x =1, P и P* - угловые пограничные функции, играющие роль вблизи вершин прямоугольника соответственно (0,0) и (1,0). Формулируются условия, достаточные для получения регулярной и погранслойной частей асимптотики решения.
Условие I. Функции a(x,t) > 0 и F(u, x,t, ) являются достаточно гладкими, а функция и (x,t) - непрерывной.
Условие II. Уравнение F(u, x,t,0) = 0 в замкнутом прямоугольнике имеет решение u = u0(x,t).
Условие III. Производная Fu'(u0(x,t), x,t,0) > 0 в замкнутом прямоугольнике .
Условие IV. Начальная задача d=-F(u0(x,0) +0, x,0,0), 0(x,0) = (x,0) - u0(x,0), (30) d с параметром x[0,1] имеет решение 0(x, ), 0, и удовлетворяет условию 0(x,) = 0.
Условие V. Для систем dz1 dz= z2, a(i,t) = F(u0(i,t) + z1,i,t,0), dy dy где i = 0, или 1, а t играет роль параметра, прямые z1 = (i,t) - u0(i,t) пересекают сепаратрисы, входящие в точку покоя (z1, z2) = (0,0) при t .
Во втором параграфе второй главы проводится расщепление уравнения (26) и строится регулярная часть асимптотики. Для этого функция F(u, x,t, ) заменяется выражением, аналогичным (29):
F(u, x,t, ) = F + F + QF + Q*F + PF + P*F. (31) ( ) ( ) Выражения (29) и (31) подставляются в уравнение (26), которое разделяется на части: регулярную, погранслойные и угловые. Регулярная часть асимптотики строится в виде ряда k u(x,t, ) = uk (x,t). (32) k =В третьем параграфе второй главы строятся погранслойные части асимптотики. Для этого вводятся растянутые переменные x 1- xt =, * =, =.
Погранфункции строятся в виде рядов по степеням :
k k k * (x,, ) = k (x, ), Q(,t, ) = Qk (,t), Q*(*,t, ) = Qk (*,t).
k =0 k=0 k=Задача для определения функции 0(x, ) имеет вид - = F u0(x,0) + 0, x,0,0, 0(x,0) = (x,0) - u0(x,0) (33) () и в силу условий III, IV имеет монотонное решение, для которого справедлива экспоненциальная оценка вида 0(x, ) Ce-, (34) где C и - некоторые положительные постоянные. Последующие функции k (x, ), k 1, определяются как решения линейных задач k - = Fu' u0(x,0) + 0, x,0,0 k + k, k (x,0) =-uk (x,0) (35) () и удовлетворяют экспоненциальным оценкам вида (34).
Задача для определения функции Q0(,t) имеет вид 2Qa(0,t) = F u0(0,t) + Q0,0,t,0, (36) () Q0(0,t) = (0,t) - u0(0,t), Q0(,t) = 0, (37) и в силу условий III, V имеет монотонное решение, для которого справедлива экспоненциальная оценка вида Q0(,t) Ce-, (38) где C и - некоторые положительные постоянные. Последующие функции Qk (,t), k 1, определяются как решения линейных задач 2Qk a(0,t) = Fu' u0(0,t) + Q0,0,t,0 Qk + qk, () Qk (0,t) = -uk (0,t), Qk (,t) = и удовлетворяют экспоненциальным оценкам вида (38). Аналогично * * * определяются погранфункции Qk (*,t) с оценками вида Qk (*,t) Ce-.
Таким образом, погранслойная часть асимптотики определяется полностью.
В четвертом параграфе второй главы ставятся задачи для угловой части асимптотики. Функции P и P* ищутся в виде рядов по степеням :
k k P(,, ) = Pk (, ), P*(*,, ) = Pk*(*, ).
k =0 k=В угловой точке (0,0) задача для определения главного члена P0(, ) угловой части асимптотики ставится в области растянутых переменных > 0, > 0, нелинейная и имеет вид 2P0 Pa(0,0) - = F u0(0,0) + 0(0, ) + Q0(,0) + P0(, ),0,0,0 - () -F u0(0,0) + 0(0, ),0,0,0 - F u0(0,0) + Q0(,0),0,0,0, (39a) ( ) ( ) P0(0, ) =-0(0, ), P0(,0) = -Q0(,0), (39b) P0(, ) 0 при + . (39c) Для функций Pk (, ), k 1, в области > 0, > 0 получаются линейные задачи 2Pk Pk a(0,0) - = Fu' u0(0,0) + 0(0, ) + Q0(,0) + P0(, ),0,0,0 Pk + hk, () (40a) Pk (0, ) =-k (0, ), Pk (,0) = -Qk (,0), (40b) Pk (, ) 0 при + , (40c) где неоднородности удовлетворяют экспоненциальным оценкам вида hk (, ) Ce- ( + ), (41) если подобным оценкам удовлетворяют функции P0(, ),Е, Pk-1(, ).
Здесь C и - некоторые положительные числа. Задачи для погранфункций Pk*(*, ), k 0, ставятся аналогично.
Как и в эллиптическом случае нас интересует установление дополнительного теперь уже условия VI, при котором можно доказать следующие утверждения.
Утверждение 4. Если выполнены условия I - VI, то задача (39) имеет решение P0(, ), удовлетворяющее экспоненциальной оценке вида (41).
Утверждение 5. Если выполнены условия I - VI, то задачи (40) имеют решения Pk (, ), удовлетворяющие экспоненциальным оценкам вида (41).
Утверждение 6. Если выполнены условия I - VI, то для достаточно малых задача (26) - (28) имеет решение u(x,t, ), для которого ряд k * (x,t) +k (x, ) + Qk (,t) + Qk (*,t) + Pk (, ) + Pk*(*, ) (42) uk k=является асимптотическим разложением при 0 в замкнутом прямоугольнике , то есть для всех точек (x,t) максимум n+max u(x,t, ) -Un(x,t, ) c, где Un(x,t, ) - n -я частичная сумма ряда (42), c - некоторая положительная постоянная.
В отличие от эллиптического случая для параболических задач отсутствует симметрия относительно вхождения независимых переменных, поэтому требуются отдельные, хотя и аналогичные, исследования.
В пятом параграфе второй главы находится угловая часть асимптотики при дополнительных условиях типа (A) и (B). Если выполнены условия I - V, (A) и (B1), то для доказательства утверждения строятся барьеры вида Z(, ) =-k (0, )e- - Qk (,0)e- - uk (0,0)e- ( + ) re- ( + ), (43) где r и - некоторые положительные числа.
Если условие (B1) не выполняется, то ставится условие типа (B2). С учётом знака производной Fu' u0(0,0) +0(0, ) + Q0(,0) + P0(, ),0,0,( ) область R2 = , > 0, > 0 разбивается на части 0, 1 и 2. В ( ) { } + каждой из подобластей строятся свои гладкие барьеры задачи (40). В подобласти 0 на роль барьеров подходят функции вида (43). В подобласти 1 барьеры имеют вид Z(, ) =-k (0, )e- - Qk (,0)e- - uk (0,0)e- ( + ) h( )e-, (44) ( + 1 - ) где h( ) = sin, [0, ], - некоторое число из 2промежутка (0,1). В подобласти 2 барьеры имеют вид Z(, ) =-k (0, )e- - Qk (,0)e- - uk (0,0)e- ( + ) h( )e-. (45) Далее проводится сглаживание построенных кусочно-гладких барьеров и доказывается существование решения задачи (40) с экспоненциальной оценкой вида (41).
В шестом параграфе второй главы доказывается утверждение 6, если в качестве дополнительного условия VI принято следующее.
Условие VI1. Для каждой угловой точки (0,0) и (1,0) прямоугольника выполнено условие типа (A) и одно из условий типа (B).
В седьмом параграфе второй главы рассматривается случай монотонного поведения функции F u,0,0,0 на промежутке от u0(0,0) до ( ) (0,0). Определение класса F2, претерпевает изменения.
{ } Определение. Функция F(u) = F u,0,0,0 принадлежит классу ( ) F2,, если для любых значений s и t, взятых из промежутка [0, - u0], { } выполняются два условия:
1) неравенство (22), либо (23);
2) неравенство F u0 + s + t - 2 st - F u0 + s - F u0 + t ( ) ( ) ( ) t -s-1/ 2t-3/ 2 s u0 + u du - stF u0 + t - tF u0 + s 0, F ( ) ( ) ( ) 0 либо F u0 + s + t - 2 st - C - F u0 + s - F u0 + t ( ) ( ) ( ) t -s-1/ 2t-3/ 2 s u0 + u du - stF u0 + t - tF u0 + s < 0.
F ( ) ( ) ( ) 0 Методами, аналогичными эллиптическому случаю, доказывается утверждение 4.
В восьмом параграфе второй главы рассматривается случай немонотонного поведения функции F u,0,0,0 на промежутке от u0(0,0) ( ) до (0,0). Доказывается утверждение 4, в котором под условием VI понимается условие (C2). Для этого область R2 разбивается на подобласти + 0, 1 и 2, граница которых - число определяется при доказательстве. В каждой из подобластей строятся свои гладкие барьеры задачи (39). Верхний кусочно-гладкий барьер имеет вид re- ( + ), если (, )ch Z+(, ) = ( )e-, если (, )1, + ch ( )e-, если (, )+ 0,8 0,9 где c > 0, > 0 - некоторые постоянные, h+( ) = -+.
32 Нижний кусочно-гладкий барьер имеет вид -re- ( + ), если (, ) Z-(, ) = ( )e-, если (, )1, -h -h-( )e-, если (, )где > 0 - некоторая постоянная, функция 3 h-( ) = + ( - )3 - a ( - )2 + h0, 3 a 0, h0 > 0 - некоторые постоянные. Процесс сглаживания барьеров проводится методами, рассмотренными выше.
В конце второй главы делается вывод, что в качестве условия VI можно взять следующее.
Условие VI. Для угловых точек (0,0) и (1,0) прямоугольника выполнено хотя бы одно из трех условий:
1) условие типа (A) и одно из условий типа (B);
2) условие типа (C1) и условие принадлежности функции F какомулибо классу типа {F,}.
3) условие типа (C2).
В третьей главе диссертации рассматриваются другие эллиптические и параболические задачи.
В первом параграфе третьей главы рассматривается эллиптическое уравнение u u - A(x, y) = F(u, x, y,) y в прямоугольнике = (x, y) | 0 < x < a, 0 < y < b с краевыми условиями { } первого рода на границе : u(x, y, ) = (x, y). Здесь - положительный действительный параметр. Если 1, то погранслойная структура u решения - такая же, как без слагаемого A(x, y). Если 0 <1, то y можно построить только 0-е и 1-е приближения решения задачи. Это связано с тем, что задачи для определения угловых погранфункций (1) 2 (1) P (,) содержат производные P -(,), которые не ограничены в k k окрестности угловой точки. Это не позволяет продолжить итерационный (1) процесс определения функций P (,) дальше первого шага.
k Во втором параграфе третьей главы в прямоугольнике = (x,t) | 0 < x <1, 0 < t < T рассматривается параболическая задача { } 2u u 2v v a2 - = f (u,v, x,t, ), b2 - = g(u,v, x,t, ), x2 t x2 t u(x,0, ) = (x), u(0,t, ) = 1(t), u(1,t, ) = 2(t), v(x,0, ) = (x), v(0,t, ) =1(t), v(1,t, ) =2(t).
Строится только 0-е и 1-е приближения решения задачи. Это связано с тем, что в задаче для определения функции v2(x,t) начальное и граничные условия оказываются несогласованными в угловых точках (0,0) и (1,0). Вследствие этого функция v2(x,t) будет негладкой, а производные 2v2 v и - неограниченными в окрестностях этих точек.
x2 t В четвертой главе диссертации рассмотрены некоторые приложения.
В первом параграфе четвертой главы рассмотрены уравнения химической кинетики и другие приложения.
Во втором параграфе четвертой главы строится конкретный пример краевой задачи типа (1), (2) в случае немонотонного поведения функции F(u) :
u =-u(u - 2) в квадрате = (x, y) 0 < x <1, 0 < y <1, { } u(x, y, ) =1,0на границе прямоугольника . Граничное значение =1,0находится правее вершины параболы F(u) = -u(u - 2). Решение задачи ищется в виде (3). Для регулярной и погранслойной частей асимптотики выписываются члены 0-го и 1-го порядков. Именно, u0(x, y) = u1(x, y) = 0, (1) (2) (3) (4) (x,) = ), (, y) = ( ), (x,*) = *), (*, y) = (*), где ( ( 0 0 0 12 exp - 2 ( ) 3 - 1,9) =, =, ( 1+ exp - 2 3 + 1,9( ) (1) (2) (3) (4) (x,) = (, y) = (x,*) = (*, y) = 0.
111 (1) Главный член P0 = P (,) угловой части асимптотики определяется из задачи P0 = -P02 - 2 () + ( ) + P0 P0 - 2()( ), (46a) ( ) P0(0,) = -), P0(,0) = - ), (46b) ( ( P0(,) 0 при + , (46c) Область R2 = , > 0, > 0 разбивается на части ( ) { } + 0 = , > , > , 1 = , >, 0 < и ( ) ( ) { } { } 2 = , 0 < , > , где = lnt =1,065Е ( ) { } -( ) (t = 3 - + 9 - 6 , = 0,14). Решение задачи (46) находится между барьерами Z(,) :
0,44e-0,15( + ), если (,)1,32-2h ()e-0,15, если (,)1, Z+(,) = + 1,32-h+( )e-0,15, если (,) где h+() = 3 -2 + , и 3 -re-0,15( + ), если (,) Z-(,) = ()e-0,15, если (,)1, -h -h-( )e-0,15, если (,)где h-() = 3 -2 + + 6, r = h-()e0,15 = 7,483Е 3 (2) (3) (4) Угловые погранфункции P, P. Т.37, № 5. С.181 - 182.
33. Денисов И.В. Дифференциальные уравнения с конечномероморфным операторным коэффициентом в банаховом пространстве // Доклады АН СССР. 1985. Т.282, № 6. С. 1289 - 1293.
34. Денисов И.В. Квазилинейные сингулярно возмущенные эллиптические уравнения в прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995.
Т.35. №11. С. 1666 - 1678.
35. Денисов И.В. Первая краевая задача для квазилинейного сингулярно возмущенного параболического уравнения в прямоугольнике // Ж.
вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. №10. С. 56 - 72.
36. Денисов И.В. Оценка остаточного члена в асимптотике решения краевой задачи // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. №12. С.
64 - 67.
37. Денисов И.В. Первая краевая задача для линейного параболического уравнения в пространстве Rn+1 // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34, №12. С. 1616 - 1623.
38. Денисов И.В. Задача нахождения главного члена угловой части асимптотики решения сингулярно возмущенного эллиптического уравнения с нелинейностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999.
Т.39. №5. С. 779 - 791.
39. Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнениях // Ж. вычисл. матем. и матем.
физ. 2001. Т.41. №3. С. 390 - 406.
40. Денисов И.В. Угловой погранслой в немонотонных сингулярно возмущенных краевых задачах с нелинейностями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т.44, №9. С. 1674 - 1692.
41. Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических задачах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.
2008. Т.48. № 1. С. 62 - 79.