Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по физике
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт спектроскопии Российской академии наук
На правах рукописи
Карташов Ярослав Вячеславович
УЕДИНЕННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В МИКРОСТРУКТУРИРОВАННЫХ СРЕДАХ: ФОРМИРОВАНИЕ, СТАБИЛИЗАЦИЯ И КОНТРОЛЬ
Специальность 01.04.05 - оптика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Троицк - 2012
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте спектроскопии Российской академии наук
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Маймистов Андрей Иванович доктор физико-математических наук, профессор Манцызов Борис Иванович доктор физико-математических наук, профессор Сазонов Сергей Владимирович
Ведущая организация: Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова
Защита состоится 28 июня 2012 г. в 14.00 на заседании Диссертационного совета Д 002.014.01 в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте спектроскопии Российской академии наук по адресу: 142190, Московская область, г. Троицк, ул. Физическая, д. 5.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института спектроскопии РАН.
Автореферат разослан " " 2012 г.
Ученый секретарь Диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор М. Н. Попова
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Диссертационная работа посвящена обобщению нелинейной теории волн на практически важный случай микроструктурированных сред с неоднородным профилем показателя преломления и/или нелинейности, вопросам стабилизации, локализации волновых полей и управления их пространственновременной структурой. В ней рассматриваются динамика формирования, свойства и устойчивость одномерных и двумерных пространственных солитонов, а также пространственно-временных пуль в периодических профилях показателя преломления и более сложных оптических решетках, индуцированных недифрагирующими пучками. Особое внимание уделено возможности стабилизации многомерных фундаментальных солитонов или нелинейных волн высших порядков, таких как мультиполи и вихревые солитоны, благодаря поперечной модуляции параметров среды. Предсказан ряд новых явлений, возникающих при конкуренции линейных и нелинейных решеток. Анализ формирования солитонов проводится не только для локальных нелинейных сред, но и в средах с сильно нелокальным откликом, где динамика распространения и взаимодействия пучков зависит от степени нелокальности и расстояния между ними. Раскрыты особенности формирования на границе раздела периодической решетки и однородной среды одно- и двумерных поверхностных волн, сочетающих в себе свойства решеточных солитонов и нелинейных возбуждений однородной среды. Изучены бипериодические структуры, в которых добавление продольной модуляции показателя преломления позволяет контролировать скорость дифракционного расплывания, практически полностью подавлять его или делать дифракцию анизотропной. Кроме того, исследуется Андерсоновская локализация в одно- и двумерных разупорядоченных массивах волноводов, анализируется влияние беспорядка на поперечное движение солитонов и их прохождение через периодическую структуру со случайными возмущениями.
АКТУАЛЬНОСТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ Интерес к изучению нелинейных явлений, возникающих при распространении высокоинтенсивного излучения в среде, не иссякает на протяжении вот уже нескольких десятилетий [1-5]. Среди всего их многообразия особое место занимает самовоздействие излучения, которое существенно усложняет динамику распространения даже в однородной среде из-за тесного переплетения пространственных (самофокусировка, дифракция) и временных (фазовая самомодуляция, дисперсия, формирование ударных волн) эффектов. При определенных условиях эффекты нелинейного самовоздействия, дисперсия и дифракция могут устойчиво компенсировать друг друга, приводя к стационарному распространению уединенного волнового пакета в среде - т.е. к формированию оптического солитона. Теория солитонов, изначально построенная для систем, описываемых интегрируемыми эволюционными уравнениями [6], такими как однородное кубичное уравнение Шредингера, впоследствии была расширена на физические системы, описываемые неинтегрируемыми уравнениями. Наиболее существенным стимулом развития теории солитонов послужило их экспериментальное наблюдение в различных нелинейных средах.
Временные солитоны наблюдались в кварцевых световодах [7], а их пространственные аналоги были впервые получены в планарных полупроводниковых волноводах [8]. Двумерные пространственные солитоны реализованы в фоторефрактивных кристаллах [9,10], а также в квадратичных средах [11,12]. Формирование пространственно-временных солитонов или световых пуль наблюдалось в квадратичной [13] и кубичной [14] средах.
В то время как свойства солитонов в пространственно-однородных средах хорошо изучены [7-13], формирование и распространение одномерных и многомерных солитонов в неоднородных нелинейных материалах является предметом актуальных интенсивных исследований. Особый интерес представляют нелинейные микроструктуры с периодичной (поперечной к направлению распространения излучения) модуляцией показателя преломления с глубиной n 103, в которых нелинейная добавка к показателю преломления сравнима с n. В подобных структурах наблюдаются уникальные волновые явления, не имеющие аналогов в однородных средах, в частности, возможно формирование и устойчивое распространение совершенно новых типов пространственных солитонов [15,16].
Одной из причин растущего интереса к оптике нелинейных микроструктур является прогресс в технологиях их изготовления, достигнутый в течение последнего десятилетия. Здесь можно выделить высокоточную гравировку с микронной глубиной на поверхности полупроводниковых сред, в результате которой формируется периодическая система слабосвязанных дискретных волноводов, где солитоны можно наблюдать при мощностях в сотни ватт [17]. Дискретные массивы волноводов успешно изготавливаются из полимерных материалов [18]. Структуры с периодом в несколько десятков микрон и глубиной модуляции показателя преломления 103 записываются в плавленом кварце с помощью мощных сфокусированных фемтосекундных импульсов Ti:Sa лазера. Двумерные солитоны в таких массивах наблюдаются при пиковых мощностях в единицы мегаватт [19]. Нематические жидкие кристаллы с высокой ориентационной нелинейностью используются для изготовления микроструктур с периодом в единицы микрон, контролируемых внешним напряжением, приложенным к электродам на верхней и нижней плоскостях образца [20]. Типичная мощность, необходимая для формирования солитонов в этих структурах, составляет десятки милливатт при приложенном напряжении порядка вольта.
Оптическая индукция, использующая сильную анизотропию электрооптического коэффициента некоторых фоторефрактивных кристаллов, позволяет создавать полностью перестраиваемые периодические распределения показателя преломления [21]. Благодаря анизотропии электрооптического эффекта, обыкновенно-поляризованные пучки в фоторефрактивном кристалле изменяют его показатель преломления, но практически не испытывают самовоздействия.
Необыкновенно же поляризованные пучки испытывают сильную фоторефрактивную нелинейность, а также пространственную модуляцию показателя преломления, созданную обыкновенной волной. Типичный период индуцированных решеток составляет около десяти микрон, а солитоны в них формируются уже при микроваттных мощностях.
Текущий уровень развития технологий позволяет модулировать не только показатель преломления, но и нелинейный коэффициент [22]. Так, при записи массивов волноводов фемтосекундными лазерными импульсами возникает периодическая модуляция нелинейности, противофазная с линейной решеткой показателя преломления [19]. Неоднородное легирование фоторефрактивных материалов примесями, повышающими локальный нелинейный коэффициент, также используется для профилирования нелинейности. Модуляция нелинейности неизбежно присутствует в фотонных кристаллах волоконного типа [4], в которых отдельные капилляры могут быть заполнены жидкостями с ориентационными или тепловыми нелинейностями, жидкими кристаллами или другими материалами. Подбирая показатель преломления вещества, заполняющего капилляры, можно создать композиционную среду с одинаковым показателем преломления и значительной модуляцией нелинейности (нелинейную решетку). Изучение формирования и стабилизации пространственных солитонов в нелинейных и смешанных линейных-нелинейных решетках является одним из новых динамично развивающихся направлений в нелинейной оптике неоднородных сред.
Большинство технологий изготовления нелинейных микроструктур [15,16] позволяет вносить контролируемые деформации в их профили. В частности, периодическая структура может занимать лишь часть пространства, а параметры волноводного массива могут регулярно или случайным образом меняться в пространстве. Такие деформации или пространственные неоднородности приводят к качественному изменению характера распространения излучения в структуре. Например, наличие границы раздела между решеткой и однородной средой ведет к асимметричной дифракции низкоинтенсивных пучков вблизи поверхности раздела. Небольшие флуктуации положений/глубин отдельных волноводов в разупорядоченных массивах приводят к подавлению дифракционного расплывания пучков или андерсоновской локализации [23]. В настоящий момент интенсивно исследуется формирование поверхностных солитонов на границах массивов волноводов, а также влияние нелинейности на локализацию излучения в разупорядоченных массивах.
Помимо стационарных решеток, неизменных в направлении распространения излучения, возможно изготовление динамических бипериодических микроструктур, параметры которых варьируются вдоль продольной оси [24]. К продольной модуляции показателя преломления ведет, например, периодическое изменение направления гравировки на поверхности полупроводника, осцилляции скорости движения или поперечного положения фокуса пучка, записывающего волноводы в плавленом кварце, периодически изменяющаяся вдоль трассы распространения некогерентная внешняя подсветка или статическое электрическое поле, приложенное к фоторефрактивному кристаллу и т.д.
Продольной модуляцией обусловлен ряд важных резонансных явлений, таких как динамическая локализация света в линейном режиме, при которой пучок периодически расплывается по массиву и испытывает полное восстановление профиля, или подавление туннелирования, при котором пучок всегда остается в исходном канале, испытывая лишь небольшие осцилляции ширины и пиковой амплитуды. Исследования особенностей распространения излучения в модулированных нелинейных микроструктурах являются одним из приоритетных направлений в оптике неоднородных сред.
Таким образом, к началу работы над диссертацией технологический прогресс привел к появлению принципиально новых объектов для экспериментирования и развития нелинейной теории волн: микроструктурированных и композитных материалов, волоконных фотонных кристаллов. С фундаментальной точки зрения, открылась уникальная возможность синтеза достижений оптики, теории твердого тела и квантовой механики на базе упомянутых объектов. С прикладной точки зрения, возникли новые перспективы для управления света светом, направленной доставки и переключения оптического излучения, формирования сложных недифрагирующих стационарных волновых полей. На первый план вышли нерешенные и актуальные с обеих точек зрения задачи исследования свойств и устойчивости солитонных комплексов и оптических пуль в периодических микроструктурах. Стал актуальным анализ формирования солитонов и новых режимов их эволюции и взаимодействия в оптических решетках с новыми типами симметрии, индуцированными недифрагирующими пучками Бесселя, Матье и параболическими пучками. Возник целый класс нерешенных задач, связанных с формированием одномерных и двумерных поверхностных волн на границе раздела периодической и однородной сред или двух разных периодических сред. Отсутствовала информация об устойчивости и динамике формирования солитонных комплексов и вихревых солитонов в однородных и неоднородных нелокальных нелинейных средах. Требовали изучения свойства солитонов в материалах с конкурирующими линейными и нелинейными решетками и возможность их устойчивого распространения в чисто нелинейных решетках. Назрела необходимость экспериментального наблюдения различных резонансных эффектов, таких как подавление туннелирования, преобразование мод и раскачка солитонов в бипериодических микроструктурах. Обозначился класс нерешенных задач, связанных с влиянием размерности и границ разупорядоченных микроструктур на локализацию и распространение света. Решению этих актуальных комплексов проблем, находящихся на переднем крае исследований в оптике нелинейных неоднородных сред, и посвящена эта диссертационная работа.
ЦЕЛИ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ 1. Теоретическое исследование подвижности фундаментальных солитонов и распада связанных солитонных состояний в одномерных решетках показателя преломления. Анализ устойчивости одномерных и двумерных солитонных комплексов в фокусирующих и дефокусирующих периодических средах. Наблюдение солитонов в решетках с дробной размерностью и оптических пуль.
2. Изучение свойств фундаментальных солитонов в оптически индуцированных решетках Бесселя, Матье и параболических решетках. Анализ устойчивости вихревых и мультипольных солитонов в радиально-симметричных и модулированных решетках Бесселя, выявление связи между симметрией решетки и максимальным топологическим зарядом вихревого солитона.
3. Анализ возможности существования локализованных поверхностных солитонов на границе решетки с дефокусирующей нелинейностью. Наблюдение двумерных поверхностных солитонов на границе периодической и однородной сред, а также на границе двух периодических решеток. Наблюдение векторных и изучение свойств вихревых поверхностных солитонов.
4. Теоретическое исследование устойчивости одномерных и двумерных мультипольных солитонов, а также вихревых солитонов в нелокальных нелинейных средах. Наблюдение двумерных мультиполей в среде с тепловой нелинейностью. Анализ влияния нелокальности нелинейности на подвижность солитонов в глубине решетки и формирование стационарных поверхностных волн.
5. Изучение устойчивости и подвижности одномерных и вихревых солитонов в конкурирующих линейных и нелинейных решетках. Подтверждение возможности стабилизации двумерных солитонов в кубичной чисто нелинейной решетке. Доказательство возможности существования устойчивых светлых солитонов в средах с неоднородной дефокусирующей нелинейностью.
6. Анализ явлений резонансной раскачки осцилляций солитонов и преобразования мод в волноводных структурах с продольной модуляцией показателя преломления. Наблюдение эффекта подавления туннелирования в линейных и нелинейных одномерных массивах волноводов. Предсказание этого эффекта в двумерных сотовых массивах и демонстрация анизотропной дифракции.
7. Наблюдение андерсоновской локализации на границе раздела одномерной разупорядоченной решетки и однородной среды. Наблюдение эффекта кросслокализации в двумерных массивах с одномерным недиагональным беспорядком и перехода от одномерной к двумерной локализации в массивах волноводов с дробной размерностью. Изучение диффузии солитонов в случайных профилях показателя преломления.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА 1. Впервые продемонстрирована возможность распада связанных солитонных состояний и управление его продуктами в периодических решетках. Получены и экспериментально наблюдались в одномерном массиве ранее неизвестные устойчивые солитонные комплексы. Экспериментально исследованы солитоны в решетках с дробной размерностью. Впервые наблюдались оптические пули.
2. Исследовано ранее неизвестное вращательное движение солитонов в бесселевых решетках показателя преломления с фокусирующей нелинейностью и предсказано формирование радиально-симметричных устойчивых вихревых солитонов в дефокусирующих решетках Бесселя. Выведено правило зарядов для вихревых солитонов в решетках с дискретной вращательной симметрией.
3. Установлено, что граница раздела периодической и однородной сред поддерживает локализованные солитоны даже при дефокусирующей нелинейности. Впервые наблюдались двумерные поверхностные солитоны на границе раздела решетки и однородной среды, а также на границе решеток с разными топологиями. Найдены устойчивые вихревые поверхностные солитоны.
4. Обнаружено и доказано, что устойчивые одномерные солитонные комплексы в жидких кристаллах и средах с тепловой нелинейностью не могут содержать более четырех пиков интенсивности, а топологический заряд устойчивых вихревых солитонов в этих средах не может превышать двойки. Впервые наблюдались двумерные солитонные комплексы в средах с тепловой нелинейностью.
Установлено, что нелокальность повышает подвижность солитонов в периодических решетках.
5. Предсказана повышенная мобильность солитонов в конкурирующих линейных-нелинейных решетках. Впервые показано, что периодическая модуляция кубичной нелинейности может стабилизировать двумерные фундаментальные солитоны. Найдены светлые солитоны в неоднородной дефокусирующей среде, существование которых ранее полагалось невозможным.
6. Впервые поставлена и решена задача о резонансной параметрической раскачке осцилляций солитонов в продольно-модулированных волноводных структурах. Наблюдалось подавление туннелирования в одномерных линейных и нелинейных массивах с противофазной модуляцией показателя в соседних волноводах. Предсказано подавление туннелирования в сотовых модулированных массивах и возможность формирования в них оптических пуль при пониженных уровнях энергии.
7. Наблюдалась андерсоновская локализация у поверхности разупорядоченного полубесконечного массива волноводов. Впервые проанализирован переход от одномерной к двумерной локализации в массивах с постепенно увеличивающейся размерностью, а также эффект кросс-локализации в двумерных массивах, вызванный эффективно одномерным беспорядком. Обнаружена ранее неизвестная аналогия между диффузией солитонов в спеклообразных случайных решетках и движением броуновских частиц.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РАБОТЫ Полученные результаты важны как с фундаментальной, так и с практической точек зрения. В частности, выявленные в диссертации особенности режимов распространения, самовоздействия и нелинейного взаимодействия пучков в линейных и нелинейных решетках показателя преломления могут быть использованы для решения ряда инженерных задач лазерной физики, включая построение нелинейных систем управления света светом, высокоскоростных оптических переключателей и разветвителей, проблему передачи без искажений в линейных и нелинейных средах сложных изображений, содержащих множество световых пучков (пикселей), контроль скорости и направления дифракционного расплывания света, контроль выходных распределений интенсивности в многоканальных структурах, и, наконец, управление самой траекторией распространения излучения в объеме среды.
ДОСТОВЕРНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ Достоверность полученных в диссертационной работе результатов гарантируется тем, что используемые математические модели основаны на известных и апробированных практикой фундаментальных уравнениях. Аналитические результаты сопоставлены и согласуются с данными компьютерного моделирования. Во многих случаях теоретические результаты полностью подтверждены экспериментальными данными, а также последующими теоретическими работами других авторов.
ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ 1. В одно- и двумерных периодических решетках существуют устойчивые солитонные комплексы, которые наблюдались в массивах волноводов в фотовольтаических кристаллах. Поперечная модуляция показателя преломления стабилизирует световые пули в кубичной нелинейной среде и позволяет наблюдать их экспериментально в гексагональных массивах кварцевых волноводов.
2. Радиально-симметричные решетки Бесселя поддерживают устойчиво вращающиеся фундаментальные солитоны в фокусирующей среде, а также устойчивые радиально-симметричные вихревые солитоны в дефокусирующей среде.
Дискретная вращательная симметрия решетки Бесселя с азимутальной модуляцией накладывает ограничения на максимальный заряд вихревых солитонов.
3. Граница раздела однородной и периодической дефокусирующих сред поддерживает устойчивые локализованные солитоны. Существование двумерных поверхностных солитонов на границе периодической решетки и однородной среды с фокусирующей нелинейностью подтверждено экспериментально.
4. Существует ограничение на число пиков интенсивности в устойчивых мультипольных солитонах в нелокальных нелинейных средах. Двумерные мультипольные солитоны в среде с нелокальной тепловой нелинейностью реализованы экспериментально. Нелокальность нелинейного отклика значительно увеличивает подвижность одномерных решеточных солитонов.
5. Двумерная чисто нелинейная решетка может стабилизировать фундаментальные солитоны в кубичной среде. В среде с пространственно-неоднородной дефокусирующей нелинейностью, растущей к периферии, существуют устойчивые светлые фундаментальные, мультипольные и вихревые солитоны.
6. Подавление туннелирования света в одномерных линейных и нелинейных массивах с противофазной продольной модуляцией показателя преломления в соседних волноводах реализовано экспериментально. Продольная модуляция показателя преломления в двумерных сотовых массивах позволяет подавить туннелирование и дает возможность управлять анизотропией дифракции.
7. Для достижения той же степени андерсоновской локализации на поверхности разупорядоченного массива, что и в его глубине, требуется больший уровень беспорядка. Наблюдался переход от одномерной к двумерной андерсоновской локализации в массивах с увеличивающимся числом рядов.
ИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА Подавляющее большинство теоретических результатов, представленных в диссертации, получено автором лично, либо при его определяющем участии в постановке задачи, компьютерном моделировании и подготовке публикаций.
Экспериментальные данные, вошедшие в диссертацию, были получены при участии коллег автора в Клаустальском технологическом университете (Клаусталь, Германия), Институте прикладной физики (Йена, Германия) и Технионе (Хаифа, Израиль), как правило, по инициативе автора.
ПУБЛИКАЦИИ По теме диссертации опубликовано 57 статей в регулярных рецензируемых отечественных и международных журналах. Список публикаций приведен в конце автореферата.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ Результаты исследований, составивших основу диссертации, докладывались на следующих всероссийских и международных конференциях: Международной конференции ICONO по когерентной и нелинейной оптике (Санкт-Петербург, Россия, 2005 г.); Международной конференции "CLEO/ Europe-EQEC" (Мюнхен, Германия, 2005 г.); Конференции "Nonlinear guided waves and their applications" (Дрезден, Германия, 2005 г.); 12-ой Конференции "Оптика Лазеров" (Санкт-Петербург, Россия, 2006 г.); на первом съезде Европейского оптического общества (Париж, Франция, 2006 г.); Международном симпозиуме "Coherent nonlinear optics of artificial media" (Лиссабон, Португалия, 2006 г.);
Симпозиуме "Instabilities, patterns, and spatial solitons" (Метц, Франция, 20г.); Международной конференции ICONO по когерентной и нелинейной оптике (Минск, Беларусь, 2007 г.); Международной конференции "CLEO/EuropeEQEC" (Мюнхен, Германия, 2007 г.); Конференции "Nonlinear waves: Theory and experiment" (Ташкент, Узбекистан, 2008 г.); Международной конференции "СLEO/QELS" (Сан-Хосе, США, 2008 г.); 1-ой Конференции "Nonlinear waves - theory and applications" (Бейджинг, Китай, 2008); 13-ой Конференции "Оптика Лазеров" (Санкт-Петербург, Россия, 2008 г.); Международной конференции "CLEO Europe - EQEC" (Мюнхен, Германия, 2009 г.); Конференции "ACOLSACOFT", проводимой совместно с симпозиумом по диссипативным солитонам (Аделаида, Австралия, 2009 г.); Международной конференции "CLEO/QELS" (Сан-Хосе, США, 2010 г.); 8-ой Конференции "AIMS International conference on dynamical systems, differential equations and applications" (Дрезден, Германия, 2010 г.); 2-ой Международной конференции "Nonlinear waves - theory and applications" (Бейджинг, Китай, 2010); Международной конференции "Frontiers in Optics 2010" (Рочестер, США, 2010 г.); Международной конференции "СLEO/QELS" (Балтимор, США, 2011 г.); 7-ой Международной конференции "IMACS international conference on nonlinear evolution equations and wave phenomena" (Атенс, США, 2011 г.); 5-ом Международном симпозиуме "Nonlinear guided waves" (Стамбул, Турция, 2011 г.); Международной конференции "Applications of optics and photonics" (Брага, Португалия, 2011 г.); Конференции "CLEO/Europe-EQEC" (Мюнхен, Германия, 2011 г.); 1-ом Международном симпозиуме "Nonlinear photonics: theory, materials, applications" (Санкт-Петербург, Россия, 2011 г.).
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы.
Общий объем диссертации составляет 354 страницы, включая 152 рисунка.
Список цитируемой литературы содержит 443 наименования.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы ее цели, показана научная новизна и практическая значимость полученных результатов, а также изложены защищаемые положения и краткое содержание диссертации.
В первой главе исследуется подвижность одномерных солитонов, а также свойства одно- и двумерных фундаментальных солитонов, солитонных комплексов и оптических пуль в периодических решетках показателя преломления.
В параграфе 1.1 обсуждаются различные режимы распространения одномерных солитонов в периодических решетках показателя преломления (рис. 1).
Эволюция световых пучков описывается кубичным уравнением Шредингера для безразмерной амплитуды светового поля q :
q 1 2q i q q pR()q, (1) 2 где , - нормированные поперечная и продольная координаты, p - глубина решетки, параметр 1 соответствует самофокусировке, а профиль решетки Рис. 1. Распределения q(, ), иллюстрирующие режимы распространения солитонов в периодических решетках. (a) Дрейф без потерь на излучение при cr, (b) периодические осцилляции в центральном канале при cr, (c) захват солитона при cr, (d) распад солитона при угле, близком к брэгговскому.
с пространственной частотой задается функцией R() cos(). В уравнении (1) первый член описывает дифракцию пучка, второй - его самомодуляцию, а третий член ответственен за рефракцию. В з1.1 с использованием модели эффективных частиц выводится уравнение, описывающее эволюцию интегрального центра int солитона с профилем q q0 sech[(int)]exp[i(int)], амплитудой q0, форм-фактором и углом распространения . Определяется входной критический угол cr 2[p(/2)sinh1(/2)]1/2, при котором солитон начинает двигаться вдоль решетки [рис. 1(а)]. Показано, что в процессе движения солитон теряет мощность на излучение и может быть захвачен в одном из ее каналов, номер которого определяется исходным углом распространения пучка [рис. 1(с)]. Проиллюстрирована возможность разрушения солитона при углах распространения, близких к брэгговским [рис. 1(d)].
В параграфе 1.2 анализируется динамика контролируемого распада связанных состояний q(, 0)N sech()exp(iin), где N - число солитонов, в одномерных решетках показателя преломления. В однородной кубичной среде связанные состояния (с нулевой энергией связи) осциллируют, периодически восстанавливая исходный профиль. Мелкая решетка показателя преломления стимулирует их распад. В результате образуются N фундаментальных солитонов с амплитудами, близкими к k 2k 1, и углами распространения k, k 1,...,N. Углы распространения выходных пучков k определяются глубиной решетки и входным углом in.
Рис. 2. Экспериментальное наблюдение линейной дискретной дифракции (а), солитонов с двумя (b) и тремя (с) синфазными пиками. Выходные распределения интенсивности наложены на теоретические рисунки, показывающие динамику распространения внутри кристалла. (d)-(e) Временная динамика формирования четного солитона. (f) Формирование нечетного солитона после блокировки пучка в правом канале решетки.
В з1.3 обсуждаются семейства одномерных солитонов, являющихся стационарными решениями уравнения Шредингера с насыщением нелинейности и периодической модуляцией показателя преломления:
q 1 2q q q i pR()q, (2) 2 2 1S qгде S - параметр насыщения. Получены семейства нечетных солитонов, центрированных на одном из локальных максимумов периодической решетки, четных солитонов, центр которых находится между двумя локальными максимумами R, а также мультиполей, поле которых меняет знак в соседних каналах решетки. Благодаря насыщению нелинейности области устойчивости четных и нечетных солитонов в фокусирующей среде чередуются. В фокусирующей среде устойчивые солитонные комплексы состоят из противофазных пучков, а в дефокусирующей среде, наоборот, из синфазных.
Приведено экспериментальное наблюдение двух- [рис. 2(b)] и трехсолитонных [рис. 2(с)] синфазных комплексов в массивах волноводов, изготовленных в фоторефрактивных кристаллах с дефокусирующей нелинейностью. Исследована временная динамика формирования солитонов [рис. 2(d)-2(f)].
Параграф 1.4 посвящен исследованию самосогласованных решений в двумерных гармонических решетках R(,) cos()cos(). Получен целый ряд солитонных решений, которые существуют лишь выше порогового значения мощности в отличие от солитонов в одномерной решетке. Показано, что периодическая модуляция показателя преломления подавляет коллапс простейших пучков в кубичной среде и открывает возможности формирования сложных устойчивых комплексов, представляющих из себя целые изображения. Установлено, что в двумерной решетке с фокусирующей нелинейностью могут быть устойчивы только те комплексы, в которых соседние пучки противофазны.
В параграфе 1.5 экспериментально и теоретически исследуются солитоны в массивах дробной размерности, записанных фемтосекундными лазерными импульсами в плавленом кварце. Изменение размерности массива достигается за счет постепенного увеличения числа рядов n волноводов. Массив с n одномерен, а двумерный массив получается при n . Установлено, что пороговые мощности формирования солитонов на границе и в центре массива растут с увеличением его размерности, хотя скорости роста несколько различны. В то время как в одномерной системе пороговая мощность для формирования поверхностных солитонов существенно выше, уже для массива с примерно тремя рядами становится легче возбудить поверхностные солитоны. При одинаковом уровне входной мощности локализация выходного распределения интенсивности в эксперименте заметно уменьшается с ростом размерности массива (рис. 3).
Параграф 1.6 раскрывает особенности генерации солитонов в бинарных решетках, состоящих из двух подрешеток с различными глубинами p1 и p2, N профили которых задаются функцией R(,) p1 n,mN G(nd,md) N p2 n,m(N1)G(nd d /2,md d /2), где d - период решетки, а функция 2 G(k,k ) exp[(k )2 /w ( k )2 /w ] описывает эллиптичные профили волноводов. Теоретически и экспериментально подтверждено, что даже небольшая разница в показателях преломления подрешеток приводит к существенной разнице в порогах формирования солитонов, центрированных на мелких и глубоких волноводах. Солитоны, центрированные на глубокой подрешетке, возбуждаются легче.
Рис. 3. Частичная локализация света в центральном волноводе при входной мощности 1.0 MW [панели (a),(c),(e)] и в угловом волноводе при мощности 0.7 MW [панели (b), (d),(f)]. Панели (a), (b) соответствуют массиву 71 волноводов, панели (c),(d) - массиву 72 волноводов, а панели (e),(f) - массиву 7волноводов.
В параграфе 1.7 рассматриваются оптические пули в двумерных решетках показателя преломления, динамика которых описывается уравнением:
q 1 2q 2q 2q i (3) q q 2 pR(,)q, 2 2 2 2 в котором помимо дифракции, нелинейности и рефракции учтена аномальная (при 0 ) дисперсия групповых скоростей. Предсказано, что периодическая поперечная модуляция показателя преломления R(,) cos()cos() стабилизирует оптические пули. Стабилизация достигается для ограниченного диапазона энергий солитонов, если глубина решетки превосходит пороговое значение. Представлено первое экспериментальное наблюдение оптических пуль в гексагональных массивах кварцевых волноводов. На рис. 4 показан переход от дискретной дифракции, сопровождающейся временным уширением импульса в центральном канале, при пиковой мощности P 0.2 MW [рис. 4(а)-4(с)], к пространственно-временной локализации [ P 0.4 MW, рис. 4(d)-4(f)] и формированию серии световых пуль [ P 1.0 MW, рис. 4(g)-4(i)].
Рис. 4. Экспериментальное наблюдение световых пуль в 40 mm массиве волноводов. Пространственное распределение интенсивности (первая колонка), нормированная временная кросс-корреляционная функция в центральном волноводе (вторая колонка, красная кривая), и пространственно-временные распределения поля (третья колонка). Три ряда соответствуют разным уровням мощности.
Вторая глава диссертации сфокусирована на анализе уникальных особенностей солитонов в оптически-индуцированных решетках Бесселя, Матье и параболических решетках. Используется описание профилей недифрагирующих пучков, основанное на интеграле Уиттекера:
2 qnd(,, ) exp(ikt /2) G()exp[ikt( cos sin )]d, (4) 2 где kt (k k )1/2 - безразмерное поперечное волновое число, определяющее характерный масштаб пучка, - азимутальный угол, , - поперечные координаты, G() - угловой спектр пучка. Профиль решетки определяется распределением интенсивности, т.е. R(,) qnd(,, ).
В з2.1 описываются свойства фундаментальных и мультипольных солитонов в радиально-симметричных бесселевых решетках. Солитоны, локализованные в центральном канале решетки, устойчивы во всей области существования и являются беспороговыми в достаточно глубоких решетках. Солитоны формируются и в кольцах бесселевой решетки [рис. 5(а)], они обладают порогом по мощности и могут вращаться практически без излучения [рис. 5(b),5(c)].
Взаимодействия солитонов в одном или разных кольцах могут приводить к формированию вращающихся солитонных пар, периодическим столкновениям с изменением направления вращения [рис. 5(d)], или их слиянию, в зависимости от разности фаз и скоростей вращения.
Рис. 5. (a) Профиль солитона в первом кольце бесселевой решетки. Распределения интенсивности на разных расстояниях иллюстрирующие вращение солитонов в первом (b) и втором (c) кольцах решетки. (d) Взаимодействие противофазных солитонов в первом и втором кольцах решетки. Направления вращения указаны стрелками.
Параграф 2.2 посвящен исследованию самосогласованных решений в решетках, индуцированных азимутально-модулированными пучками Бесселя R(,)Jn[(2kt)1/2r]cos2(n). Эти решетки поддерживают устойчивые мультиполи с 2n противофазными пиками, имеющими кольцевую структуру. Область устойчивости мультиполей расширяется по мере увеличения p, и в достаточно глубоких решетках они становятся устойчивыми во всей области существования. Фундаментальные солитоны, запущенные тангенциально, могут смещаться по азимуту, переключаясь из одного канала в другой. Из-за потерь на излучение возможен захват солитона в одном из каналов, т.е. азимутальное переключение.
В параграфе 2.3 рассмотрены радиально-симметричные решетки R(,)J1 [(2kt)1/2r ], где r2 2 2, индуцированные в дефокусирующей среде пучком Бесселя первого порядка qnd J1[(2kt)1/2r ]exp(ikt i), с единичным топологическим зарядом и минимумом показателя преломления на оси, что облегчает формирование вихревых солитонов. Азимутальные неустойчивости вихревых солитонов q(,, )w(r)exp(im)exp(ib) с топологическими зарядами m 0 и кольцевыми распределениями интенсивности подавляются благодаря дефокусирующей нелинейности, a радиальная локализация достигается из-за убывания глубины модуляции показателя преломления при r . Для стабилизации вихревого солитона необходима некая минимальная глубина решетки, которая растет с увеличением топологического заряда m [рис. 6(а)].
Пример устойчивого распространения вихревого солитона c m 1 приведен на рис. 6(b).
Рис. 6. (a) Области устойчивости (белые) и неустойчивости (серые) на плоскости (b, p) для вихревых солитонов с m 1. (b) Пример устойчивого распространения вихревого солитона с m 1, b 0.7, p 15. На рисунке показан срез интенсивности в точке 0.
Влияние дискретной вращательной симметрии решетки Бесселя R(,)Jn[(2kt)1/2r]cos2(n) на максимально возможный топологический заряд вихревого солитона в фокусирующей кубичной среде составляет предмет параграфа 2.4. Симметрия решетки задает структуру вихревых солитонов q(,, )[wr(,)iwi(,)]exp(ib), где wr,wi - действительная и мнимая части поля, которые не обладают радиальной симметрией, а топологический заряд определяется циркуляцией градиента фазы arctan(wi /wr) вокруг фазовой дислокации, расположенной на оси. Примеры профилей и фазовых распределений вихревых солитонов с различными m представлены на рис. 7. С помощью численного анализа и теории групп установлено, что возможные заряды вихревых солитонов удовлетворяют правилу:
0m n 1. (5) На основе линейного анализа сформулировано условие устойчивости:
n /2m n 1, (6) с единственным исключением для n 2, когда вихревой солитон с m 1 может быть устойчив.
Рис. 7. Модуль поля (верхний ряд) и распределение фазы (нижний ряд) для вихревых солитонов с m 1 (а), m 2 (b) и m 3 (с) в решетке Бесселя с n 4, p 28 при b 1.6.
Параграф 2.5 посвящен распространению солитонов во вращающихся решетках, наведенных парой интерферирующих пучков Бесселя Jm[(2km)1/2r] exp(imikm), Jn[(2kn )1/2r ]exp(inikn) с различными топологическими за, рядами mn и поперечными волновыми числами km,kn, подобранными так, что первый максимум обеих функции Jn[(2kn )1/2r] и Jm[(2km )1/2r ] достигается при r 1. Такая решетка может захватывать не только фундаментальные, но и мультипольные солитоны, которые устойчиво вращаются с минимальными потерями на излучение. Период вращения солитонов определяется поперечными, волновыми числами km,kn и зарядами mn. Обнаружено, что критическая мощность захвата пучка монотонно падает с увеличением глубины решетки.
В з2.6 анализируются солитоны в решетках, индуцированных недифрагирующими пучками Матье, поле которых записывается с помощью интеграла (4), a угловой спектр G() задается четными cem(,kt2 /2), m 0,1,2... или нечетными sem(,kt2 /2), m 1,2, 3... угловыми функциями Матье с межфокальным параметром . Эти решетки связывают семейства бесселевых (воспроизводимых при 0 ) и квазиодномерных периодических (воспроизводимых при ) решеток. Изменение топологии решетки кардинально влияет на подвижность и устойчивость солитонов. В частности, подвижность фундаментальных солитонов вдоль одной из осей растет при , а мультипольные солитоны, устойчивые в решетках с малыми значениями , становятся неустойчивыми в квазиодномерных периодических решетках.
Рис. 8. (а) Параболическая решетка показателя преломления. Распределения модуля поля для фундаментальных солитонов (b),(c), дипольного (d), трипольного (e) солитонов и солитона с пятью пиками (f). Значения постоянных распространения и фазы отдельных пиков указаны на рисунках. Во всех случаях p 4, E 10, S 1.
Самосогласованные решения в решетках, индуцированных недифрагирующими параболическими пучками, исследуются в з2.7 с использованием модели отклика фоторефрактивного кристалла, пренебрегающей его анизотропией, но учитывающей насыщение:
q 1 2q 2q i (7) Eq(S q 2 pR)(1S q 2 pR)1, 2 2 2 где E - безразмерное статическое поле, приложенное к кристаллу, а профиль оптической решетки R(,) определяется распределением интенсивности недифрагирующего параболического пучка qnd со спектром G() 0 для , 0) и G()( sin )1/2 exp(i ln tan /2 ) для [0, ). Параболическая [ решетка характеризуется наличием последовательности искривленных каналов, из которых крайний левый является наиболее широким и глубоким [рис.
8(а)]. Помимо фундаментальных солитонов, эллиптичность профилей которых уменьшается с ростом мощности [рис. 8(b),8(c)], эти решетки поддерживают семейства мультипольных солитонов с искривленными осями, которые ответвляются от линейных мод по мере роста мощности [рис. 8(d)-8(f)]. Несмотря на асимметрию профилей, мультиполи могут быть устойчивы в большей части области их существования. Благодаря специфической симметрии решетки, центр фундаментального солитона, движущегося вдоль канала по параболической в среднем траектории, слегка осциллирует.
В третьей главе рассматриваются одно- и двумерные поверхностные солитоны на границах раздела периодических решеток и однородных сред с фокусирующей или дефокусирующей нелинейностями.
Рис. 9. Профили солитонов с постоянными распространения из первой запрещенной зоны при (а) b 0.02, p 2, (b) b 0.35, p 4. В областях, закрашенных серым R() 0, а в белых областях R()0.
В з3.1 предсказано существование устойчивых одномерных поверхностных солитонов, локализованных на границе полубесконечной периодической решетки с дефокусирующей нелинейностью. Распространение излучения описывается уравнением (1) с 1, предполагается, что R() 0 при 0, a при 0 имеем R()1cos(). Свойства солитонов на границе дефокусирующей решетки представляют собой уникальную комбинацию свойств нелинейных решений в однородной и периодических средах. Поверхностные солитоны существуют, если их мощность превышает пороговую; постоянные распространения b принадлежат к ограниченным запрещенным зонам в спектре собственных значений. Глубина проникновения солитона в однородную среду растет при b 0, a глубина проникновения в решетку максимальна, когда b близка к одной из границ запрещенной зоны (рис. 9). Поверхностные солитоны существуют, если глубина модуляции показателя преломления в решетке превышает критическую.
Параграф 3.2 концентрируется на анализе свойств поверхностных солитонов в решетках, параметры которых (такие, как частота или глубина) изменяются в поперечном направлении. Рассмотрен случай амплитудной модуляции, когда показатель преломления растет по направлению к границе по зако ну R() exp[(md)8 /w ]exp(m), где w - ширина волновода, - mпараметр модуляции. Подобные решетки были записаны фемтосекундными лазерными импульсами в плавленом кварце. Амплитудная модуляция приводит к появлению градиента среднего показателя преломления, в результате чего пучки отклоняются к границе решетки (рис. 10). Она также приводит к резкому уменьшению пороговой мощности и даже к существованию беспороговых поверхностных солитонов, экспериментальное наблюдение которых представлено в з3.2.
Рис. 10. Экспериментальные распределения интенсивности для маломощного пучка, запущенного в первый канал модулированной решетки. Верхняя и нижняя границы каждой панели соответствуют входной и выходной плоскостям образца соответственно. Скорость модуляции 0 (а), 0.014 (b), 0.0(c), 0.042 (d).
Первое экспериментальное наблюдение и анализ свойств двумерных поверхностных волн на плоской границе и в углу периодических решеток составляют основу параграфа 3.3. Показано, что двумерные поверхностные солитоны существуют при превышении мощностью некоторого порога, который падает с ростом глубины решетки. Вблизи порога поверхностные солитоны расширяются вглубь решетки, а при значительном его превышении происходит локализация света в поверхностном канале. Границы двумерных решеток могут поддерживать неизвестные ранее угловые типы солитонов (рис. 11). Угловые поверхностные солитоны обладают меньшей пороговой мощностью, чем солитоны, расположенные на плоской границе.
В з3.4 экспериментально и теоретически исследуются поверхностные солитоны в гексагональных массивах волноводов, занимающих различные угловые секторы n /3, n 1,...,5 пространства. Угол раствора заметно влияет на динамику распространения в линейном режиме: темп дискретной дифракции увеличивается, а скорость смещения центра светового пучка вглубь массива падает с ростом . Пороговая мощность угловых солитонов монотонно растет с , поскольку большая нелинейность требуется для компенсации более сильного дифракционного расплывания. Представлено экспериментальное наблюдение угловых солитонов для разных углов раствора массива.
Рис. 11. Возбуждение поверхностных солитонов в углу массива. Первый ряд - эксперимент, второй ряд - теория. Входная мощность 1.2 MW (а), 1.8 MW (b) и 4.8 MW (с). Пунктирные линии показывают границу массива.
Параграф 3.5 посвящен исследованию поверхностных солитонов на границе квадратного и гексагонального массивов волноводов с одинаковыми ps ph или разными глубинами модуляции показателя преломления. При ps ph пороговые мощности формирования поверхностных солитонов в квадратной и гексагональной частях массива практически равны, хотя солитон глубже проникает в гексагональную решетку, поскольку плотность волноводов в ней больше. Увеличение глубины одной из решеток существенно понижает порог формирования поверхностного солитона в ней, но заметно повышает этот порог по другую сторону от границы. Поверхностные солитоны, возбужденные в более глубокой решетке, заметно расширяются в ней вблизи границы области существования, но практически не проникают в более мелкую решетку.
Наоборот, для солитонов, сформированных в более мелкой решетке, заметен эффект затягивания поля в область с более глубокой модуляцией показателя преломления. Представлено экспериментальное наблюдение поверхностных солитонов на границах массивов с различными симметриями.
Экспериментальное наблюдение и анализ свойств двумерных векторных солитонов на границе раздела периодического нелинейного массива и однородной среды изложены в параграфе 3.6. Используется система нелинейный уравнений Шредингера для безразмерных амплитуд qx и qy двух взаимно когерентных, ортогонально поляризованных световых волн, распространяющихся вдоль границы массива:
qx 1 2qx 2qx 2 i q qx 2 qy 2 qxqy pxRx(,)qx, 2 2 2 x 3 (8) 2 qy 2qy 2qy i qy qy 2 qx 2 qyqx pyRy(,)qy.
2 2 2 3 Здесь, помимо дифракции и фазовой самомодуляции, учтены кроссмодуляция, четырехволновое смешение (в отсутствие фазовой расстройки) и пространственная неоднородность показателя преломления. В соответствии с экспериментом, функциональные профили Rx,Ry и глубины модуляции px, py показателя преломления для компонент поля qx и qy слегка различаются. Семейства эллиптически поляризованных векторных солитонов ответвляются от семейств скалярных солитонов с qy 0 ; близко к точке ветвления векторный солитон обладает хорошо локализованной компонентой поля qx и слабо локализованной компонентой qy. Векторные поверхностные солитоны существуют при мощностях, превышающих пороговую.
Параграф 3.7 нацелен на исследование вихревых поверхностных солитонов на границе двух квадратных решеток с различными глубинами модуляции показателя преломления, распространение которых описывается двумерным уравнением Шредингера с насыщающейся нелинейностью:
q 1 2q 2q q q i (9) 2 R(,)q.
2 2 2 1S q Здесь профиль решетки R(,)pH()(p /4)[1cos()][1cos()], p - ее глубина, - частота, функция H() 0 при 0 и H()1 при 0, p - величина скачка показателя преломления на границе. Найдены поверхностные вихревые солитоны с единичным топологическим зарядом, для которых характерно наличие четырех максимумов интенсивности по разные стороны от границы (рис. 12); несмотря на сильную асимметрию профилей, они могут быть устойчивы. Вихревые солитоны существуют при p pcr, a критическое значение скачка показателя преломления падает с ростом p ; асимметрия профилей сильнее выражена в мелких решетках.
Рис. 12. Распределения модуля поля для поверхностных вихревых солитонов при b 8, p 4.5, S 0.05 и (a) p 1, (b) p 4. (c) Профиль решетки при p 4.5 и p 1. Распределения модуля поля для сильно асимметричных вихревых солитонов при b 3, p 4, S 0.2 и (d) p 0.8, (e) p 1.3, (f) p 0.6.
Во всех случаях 4.
В четвертой главе исследуются фундаментальные, мультипольные и вихревые солитоны в однородных и неоднородных нелокальных средах.
Параграф 4.1 посвящен анализу устойчивости одномерных мультиполей в однородных нелокальных средах с различными функциями отклика. В частности, рассматривается их формирование в жидких кристаллах, где распространение излучения описывается системой уравнений для безразмерной амплитуды поля q и нелинейной добавки к показателю преломления n :
q 1 2q 2n i qn, n d q, (10) 2 2 где параметр d описывает степень нелокальности ориентационного отклика жидкого кристалла. Нелокальность нелинейного отклика радикально меняет характер взаимодействия противофазных пучков: знак взаимодействия становится зависимым от расстояния между их центрами и возникает возможность формирования устойчивых солитонных комплексов (рис. 13). Как в жидких кристаллах, так и в средах с тепловой нелинейностью одномерные мультипольные солитоны могут быть устойчивы, если число пиков интенсивности не превышает четырех.
Рис. 13. Профили диполя (а) и триполя (b), а также соответствующие распределения показателя преломления при b 1.5, d 5.
В з4.2 исследуются движущиеся серые солитоны в дефокусирующих нелокальных нелинейных средах. Для их профилей характерно наличие затухающих к периферии осцилляций интенсивности, с контрастом, растущим при увеличении скорости движения. Нелокальность нелинейного отклика существенно понижает максимально возможную скорость движения, а также контраст в сером солитоне с заданной амплитудой. Серые солитоны могут формировать устойчивые связанные состояния, в которых все составляющие распространяются с одинаковой скоростью.
Анализ устойчивости и экспериментальное наблюдение двумерных мультипольных солитонов в среде с тепловой нелинейностью представлены в параграфе 4.3. Распространение излучения описывается системой уравнений:
q 1 2q 2q 2n 2n i (11) nq, q 2, 2 2 2 2 где нелинейная добавка к показателю преломления пропорциональна приращению температуры среды. В образце размера LL, границы которого термостатированы, система уравнений (11) решалась нами с граничными условиями q,n,L/2 0. Среда с тепловой нелинейностью поддерживает широкий спектр мультипольных солитонов, включая кольцевые (рис. 14), которые являются метастабильными. Неустойчивость солитонных комплексов настолько слаба, что их формирование легко наблюдается на длине экспериментально доступных образцов. Эксперимент по наблюдению мультипольных солитонов, результаты которого описаны в параграфе 4.3, был проведен в свинцовых стеклах.
Рис. 14. Сравнение экспериментальных (верхний ряд) и теоретических (нижний ряд) результатов для кольцевых солитонов. Левая колонка показывает входные пучки, центральная - выходные распределения при низком уровне мощности, правая - выходные распределения при высоком уровне мощности.
В з4.4 рассматривается устойчивость вихревых солитонов в цилиндрических образцах с фокусирующей тепловой нелинейностью. Проанализированы свойства радиально-симметричных вихревых солитонов с различными топологическими зарядами и показано, что нелокальность нелинейного отклика подавляет азимутальные неустойчивости, если топологический заряд солитона m 2. Такое же ограничение на заряд устойчивого вихревого солитона существует и в жидких кристаллах. В отличие от локальной среды, где возмущения exp(ik) с широким спектром азимутальных индексов k являются одинаково разрушительными, в среде с тепловой нелинейностью распад вихревого солитона может быть вызван лишь специфическими возмущениями. Так, солитоны с зарядом m 3 неустойчивы по отношению к возмущениям с азимутальным индексом k 3, а распад вихревого солитона с m 4 происходит лишь под действием возмущений с k 3, 4.
Параграф 4.5 посвящен исследованию влияния нелокальности нелинейного отклика на свойства фундаментальных, четных и мультипольных солитонов в периодических решетках показателя преломления. Распространение излучения описывается системой уравнений q 1 2q 2n i qn pR()q, n d q, (12) 2 2 в которой параметр d определяет степень нелокальности нелинейного отклика, а профиль решетки описывается функцией R() cos(). Найдены нечетные, четные и мультипольные солитонные решения для которых ширина профиля нелинейной добавки к показателю преломления заметно превосходит ширину распределения интенсивности при d 1. Нелокальность существенно ослабляет неустойчивость четных солитонов и ведет к повышению пороговой мощности формирования мультиполей. Нелокальность уменьшает высоту барьера Пайерлса-Набарро, определяемую как разность H Heven Hodd гамильтонианов четного и нечетного солитонов одинаковой мощности U (рис.
15). Здесь гамильтониан вводится как 2 H [ q / 2pR() q ]d (13) 2 q d () q() d, где ()(1/2d1/2)exp( /d1/2) - функция отклика среды. Это уменьшение обуславливает повышение подвижности солитонов, которые при d 1 двигаются вдоль решетки практически без потерь на излучение.
Рис. 15. Высота барьера Пайерлса-Набарро как функция мощности солитона при d 4 (a) и как функция степени нелокальности нелинейного отклика при p 3 (b).
Свойства одномерных солитонов в слоистой среде с тепловой нелинейностью являются предметом параграфа 4.6. В нем на основе системы уравнений 2T q 1 2q q i ()qT,, (14) 2 где T - безразмерная температура, а ()a sgn[cos( /d)]b - функция, пропорциональная термооптическому коэффициенту, исследуется распространение излучения в среде с переменным знаком тепловой нелинейности. Такие среды поддерживают ряд устойчивых самосогласованных решений, включая мультиполи и солитоны, смещенные от центра образца, которые не существуют в однородной тепловой среде.
В з4.7 показано, что граница раздела между периодической и однородной нелокальной средами поддерживает новые типы устойчивых мультипольных солитонов с пиками интенсивности по разные стороны от границы. Формирование этих структур обусловлено притяжением противофазных пучков, составляющих мультиполь; модуляция показателя преломления может приводить к заметной асимметрии профилей. Распространение излучения описывается системой (12), в которой функция R() 0 при 0 и R()1cos() при 0.
Примеры устойчивых асимметричных поверхностных дипольных солитонов приведены на рис. 16.
Рис. 16. Профили дипольных поверхностных солитонов, соответствующие b 1.3 (a) и b 3.2 (b) при p 1, d 3. В серых областях R()1, а в белых областях R()1.
Пятая глава диссертации посвящена особенностям формирования одномерных и двумерных пространственных солитонов в средах с совместной поперечной модуляцией показателя преломления и нелинейности, а также в чисто нелинейных решетках.
В з5.1 исследуются преобразования профилей и подвижность одномерных солитонов в противофазных линейной и нелинейной решетках. Для описания динамики распространения пучков используем уравнение Шредингера q 1 2q i [1R()] q q pR()q, (15) 2 где профиль линейной решетки R() cos2(), а нелинейный коэффициент ()1R() принимает максимальные значения в тех точках, где линейный показатель преломления минимален. Конкуренция между решетками приводит к значительным искажениям профилей солитонов с ростом мощности.
Рис. 17. Критический угол как функция постоянной распространения для (а) нечетных и (b) четных солитонов. (с) Динамика распространения нечетного солитона с b 9.8, запущенного в решетку под разными углами. Распределения модуля поля для разных углов наложены друг на друга. Во всех случаях 0.4.
Нечетные солитоны могут приобретать двугорбые распределения интенсивности, а пики четных солитонов сливаются в один пик, находящийся между каналами линейной решетки. Преобразования профилей сопровождаются изменением устойчивости: возможна дестабилизация нечетных солитонов и стабилизация четных. При постоянных распространения, соответствующих смене устойчивости, резко возрастает подвижность солитонов. Зависимость критического угла запуска cr, при котором четные и нечетные солитоны начинают двигаться вдоль решетки, от b приведена на рис. 17 вместе с типичной динамикой распространения.
Преобразования профилей вихревых солитонов по мере увеличения их мощности и их устойчивость в конкурирующих линейной и нелинейной решетках являются предметом параграфа 5.2. Упомянутая конкуренция приводит к ограничению максимальной мощности вихревых состояний и появлению новых семейств солитонов.
Параграф 5.3 посвящен стабилизации двумерных солитонов в чисто нелинейных решетках в фокусирующей кубичной среде, распространение излучения в которых описывается уравнением q 1 2q 2q (,)q q.
i (16) 2 2 2 Стабилизация фундаментальных солитонов возможна в решетке, состоящей из нелинейных цилиндров, внедренных в линейную среду, т.е. при ступенчатом изменении нелинейного коэффициента. В соответствии с критерием ВахитоваКолоколова, о стабилизации солитонов свидетельствует появление на зависимостях U(b) участков с dU/db 0 [рис. 18(а)]. Стабилизация возможна в узком диапазоне мощностей Uth U UT, где UT 5.85 - мощность солитона Таунса в однородной кубичной среде, а Uth - пороговая мощность, падающая с увеличением периода ws [рис. 18(b)]. Стабилизация вихревых и мультипольных солитонов требует наличия насыщения нелинейности.
Рис. 18. (а) Мощность фундаментального солитона как функция b для нескольких значений ws. (b) Пороговая мощность как функция периода ws. Горизонтальные пунктирные линии на панелях (a) и (b) соответствуют мощности солитона Таунса UT 5.85.
Многообразие устойчивых векторных солитонов с различными симметриями компонент поля в нелинейных решетках обсуждается в параграфе 5.4.
Показывается, что кросс-модуляционное взаимодействие между устойчивыми и неустойчивыми скалярными состояниями, описываемое связанными уравнениями Шредингера для амплитуд пучков q1 и qq1 1 2qi ()q1( q1 2 C q2 2), 2 (17) q2 1 2qi ()q2(C q1 2 q2 2), 2 с периодической нелинейностью m cos2()1, может привести к формированию устойчивых векторных решений. Как при слабом кроссмодуляционном взаимодействии с C 1, так и при C 1, обнаружены области устойчивости для солитонов с фундаментальной первой и дипольной второй компонентами, а также для солитонов с четной первой и дипольной второй компонентами.
Рис. 19. (а) Профили двумерных солитонов с различными топологическими зарядами при b 10 и (b) при m 2 и различных значениях b. Во всех случаях 0.5.
В з5.5 анализируется возможность формирования светлых солитонов в среде с неоднородной дефокусирующей нелинейностью. Используется уравнение:
q i 2q (r) q q, (18) где r (,, ) - вектор, задающий координату точки в поперечной плоскости, 2 2/2 2/2 2/2, параметр описывает силу дефокусирующей (r) нелинейности, которая изменяется в радиальном направлении. Показано, что одно-, двух- и даже трехмерные светлые солитоны в дефокусирующей среде могут формироваться в том случае, если коэффициент нелинейности достаточно быстро нарастает от центра к периферии среды. Возможность их существования связана с нелинеаризуемостью уравнения (18) при r .Aсимптотики солитонов определяются законом изменения нелинейности, причем светлые солитоны возможны даже при сравнительно медленном нарастании нелинейности (r)rD с 0, где D - размерность системы. Неоднородная дефокусирующая нелинейность поддерживает не только фундаментальные, но и устойчивые вихревые и мультипольные солитоны. Примеры вихревых солитонов приведены на рис. 19 при (r) exp(r2).
В шестой главе диссертации исследуются новые физические явления в периодических решетках и других волноводных структурах, показатель преломления которых периодически модулирован в направлении распространения излучения.
Рис. 20. Параметрическая раскачка осцилляций солитона в бипериодической решетке (а) и в параболическом потенциале (b). Во всех случаях p 0.25, 0.25, 1, 1, и выполнено условие 20 параметрического резонанса.
В з6.1 показана возможность резонансной раскачки амплитуды осцилляций центра солитона, подобной раскачке параметрического маятника, в модулированных потенциалах. Для описания распространения света используется уравнение:
q 1 2q i q q pQ()R()q, (19) 2 в котором продольная модуляция показателя преломления задается гармонической функцией Q()1 cos(), где 1 - глубина, а - частота продольной модуляции. Рассматриваются два вида поперечной модуляции показателя преломления: гармоническая с R() cos() и параболическая с R()1)2 /2, где - пространственная частота. С использованием мето( да эффективных частиц выведено уравнение движения центра солитона, эквивалентное уравнению движения параметрически раскачиваемого нелинейного маятника. При выполнении условия параметрического резонанса 20, где 0 - частота малоамплитудных осцилляций центра солитона в немодулированном потенциале (для периодической решетки и профиля солитона q(, ) q0 sech[(int)]exp[i(int)] имеем 0 [p2( /2)sinh1( /2)]1/2 ), происходит экспоненциальная раскачка колебаний центра пучка. В гармонической решетке система выходит из параметрического резонанса с ростом амплитуды, a в параболическом потенциале раскачка осцилляций происходит монотонно (рис. 20).
Рис. 21. (а) Динамика преобразования третьей моды (постоянная распространения b3 ) гауссовского волновода с p 2.3 в первую моду (постоянная распространения b1 ) под действием продольной модуляции показателя преломления с глубиной 0.15 и частотой b3 b1. (b) Динамика каскадного преобразования пятая-третья-первая моды при 0.15 в гауссовском волноводе с p 6, когда частота продольной модуляции изменяется от значения b5 b3 до b3 b1 на некотором расстоянии. По завершении перекачки энергии в первую моду продольная модуляция отключается.
Параграф 6.2 посвящен изучению резонансного преобразования мод при продольной модуляции показателя преломления. Показано, что в волноводных структурах, поддерживающих несколько мод (гауссовских волноводах, пространственно-ограниченных периодических структурах и т.д.), возможен периодический энергообмен между модами с одинаковой четностью, стимулированный мелкой продольной модуляцией показателя преломления с частотой, равной разности постоянных распространения мод. Выведены уравнения для описания динамики этого процесса, выявлена его аналогия с осцилляциями Раби. Показана возможность каскадного преобразования мод (см. пример динамики на рис. 21). В нелинейном режиме преобразование мод сопровождается потерями на излучение, но оно возможно даже при значительных нелинейных добавках к показателю преломления.
Контролируемый дрейф солитонов в динамических решетках показателя преломления, индуцированных в фоторефрактивном кристалле, изучается в з6.3. Используется одномерный аналог уравнения (7), в котором решетка индуцируется тремя плоскими волнами: a exp(i)exp(i2 /2), b exp(i)exp(i2 /2), где a,b - действительные амплитуды, а , - углы распространения, одна из волн полагается слабой b a. В результате интерференции формируется динамическая решетка R(, ) 4a2 cos2()b2 4ab cos()cos[ (2 2) /2] с выделенным направлением, которая может передавать поперечный импульс солитонам, запущенным вдоль оси , вызывая их дрейф. Средний угол дрейфа монотонно растет с увеличением мощности U входного солитона и амплитуды контрольной волны b.
Рис. 22. Экспериментально измеренные распределения интенсивности излучения в массиве волноводов для возбуждения поверхностного [(a),(b)] и центрального [(c),(d)] волноводов. Панели (a),(с) соответствуют немодулированному массиву, а панели (b),(d) - модулированным массивам с частотами модуляции /b 1.3 для поверхностных возбуждений и /b 1.38 для возбуждения центрального канала (здесь b - частота биений света в двухканальной системе). При этом глубина модуляции в (b),(d) 0.2.
В з6.4 представлен теоретический анализ и первое экспериментальное наблюдение эффекта подавления туннелирования света в массивах волноводов с продольной модуляцией показателя преломления. Распространение света моделировалось с помощью уравнения:
q 1 2q i q q pR(, )q, (20) 2 (n1)/где функция R(, ) [11)m sin()]exp[(md)6 /w ] описыва( m(n1)/ет профиль показателя преломления, , - глубина и частота продольной модуляции. Подавление туннелирования для одноканальных возбуждений возможно при противофазной периодической модуляции показателя преломления в соседних волноводах. Этот резонансный эффект наблюдается для ряда частот , которые практически линейно растут с увеличением . Подавление туннелирования возможно в линейном режиме и при наличии нелинейности.
Увеличение входной мощности сначала приводит к делокализации пучка, сменяющейся локализацией при уровнях мощности, необходимых для формирования солитонов в немодулированных массивах. Подавление туннелирования наблюдалось в двухканальных системах, на границе и в глубине периодического массива волноводов, записанных фемтосекундными лазерными импульсами (рис. 22).
Влияние фокусирующей нелинейности на подавление туннелирования в двухканальной системе с противофазной продольной модуляцией показателя преломления исследуется в з6.5. Увеличение пиковой амплитуды пучка приводит к уширению резонансов в зависимости мощности во входном канале, усредненной по всей трассе распространения, от частоты продольной модуляции.
Уширение резонанса пропорционально входной мощности. Продольная модуляция показателя преломления значительно понижает пороговую мощность динамического возбуждения солитонов, которая растет по мере увеличения отстройки частоты модуляции от резонансной. Представлено экспериментальное подтверждение эффекта уширения резонансов за счет нелинейности.
Параграф 6.6 посвящен подавлению туннелирования двумерных пучков в продольно-модулированном сотовом массиве. Именно в таком массиве возможна ситуация, когда каждый канал окружен тремя противофазно модулированными волноводами, что и приводит к локализации в нем света в линейном режиме [рис. 23(b)]. В двумерном случае подавление туннелирования резонансно, а фокусирующая нелинейность приводит к понижению порогов формирования солитонов. Благодаря разнообразию геометрии, двумерные массивы открывают широкие перспективы для управления распространением излучения. При определенном выборе групп волноводов, для которых модуляция показателя преломления является противофазной, в таких массивах может быть реализована анизотропная дифракция [рис. 23(с)]. Показана возможность неискаженной передачи сложных пучков (таких как вихревые пучки с шестью максимумами интенсивности) в линейном случае.
Возможность формирования оптических пуль при пониженных уровнях мощности в продольно-модулированных сотовых массивах волноводов обсуждается в параграфе 6.7. Эффективная дифракция волнового пакета контролируется частотой продольной модуляции и кардинально влияет на пороговую энергию возбуждения световых пуль и их динамику. Для фиксированной частоты продольной модуляции показателя преломления существует оптимальная амплитуда входного волнового пакета, приводящая к формированию оптической пули. Эта амплитуда минимальна при частоте модуляции, равной резонансной, и растет по мере увеличения отстройки.
Рис. 23. (а)-(с) Дискретная дифракция в немодулированном сотовом массиве и (d)-(f) подавление туннелирования в модулированном массиве. (g)-(k) Анизотропная дифракция в массиве, в котором лишь волноводы, находящиеся на линии, параллельной одной из осей массива осциллируют синфазно. Во всех случаях показаны распределения интенсивности на разных расстояниях.
Седьмая глава диссертации посвящена андерсоновской локализации света в разупорядоченных линейных массивах волноводов, анализу передачи и диффузии солитонов через неупорядоченные массивы.
В з7.1 теоретически и экспериментально исследуются особенности андерсоновской локализации вблизи границы раздела неупорядоченного массива волноводов и однородной среды. Для теоретического описания используется уравнение (1) с 0 и разупорядоченным профилем показателя преломления (n1)/R() exp[(m md)6 /w ], где d - среднее расстояние между m(n1)/волноводами, а m - случайный сдвиг центра m -го волновода, равномерно распределенный на сегменте [Sd,Sd ]. Степень этого "недиагонального" беспорядка определяется максимально возможным сдвигом центров волноводов Sd. По мере увеличения степени беспорядка в выходном распределении интенсивности, усредненном по ансамблю реализаций, наблюдается переход от регулярной дискретной дифракции к экспоненциальной андерсоновской локализации (см. рис. 24, где представлены экспериментальные усредненные выходные распределения интенсивности для различных значений Sd ). Из-за отталкивания от границы раздела требуется больший уровень беспорядка для достижения той же степени локализации света вблизи границы массива, что и в его глубине.
Рис. 24. Усредненные экспериментальные выходные распределения интенсивности для возбуждения центрального (слева) и поверхностного (справа) каналов. Уровень беспорядка Sd 0 m (a), Sd 2 m (b) и Sd 7 m (c).
Параграф 7.2 основан на результатах исследования явления кросслокализации в двумерных разупорядоченных массивах волноводов. Явление состоит в том, что недиагональный некоррелированный беспорядок, который приводит к флуктуациям положений центров волноводов вдоль одной из осей массива (например, оси ), но не меняет расстояния между рядами волноводов вдоль другой оси , вызывает андерсоновскую локализацию света вдоль обоих направлений. Скорости экспоненциального затухания усредненных выходных распределений интенсивности по обеим осям оказываются практически одинаковы, несмотря на то, что малые флуктуации положений волноводов вдоль оси в одном ряду вызывают еще меньшие флуктуации расстояний между ближайшими волноводами, принадлежащими к разным рядам. Представлено экспериментальное подтверждение этого эффекта.
Экспериментальное наблюдение перехода от одномерной к двумерной андерсоновской локализации представлено в з7.3. Постепенное изменение размерности реализовано за счет увеличения числа рядов в массиве волноводов. Анализ усредненных по ансамблю реализаций выходных характеристик пучка, таких как интенсивность Iav, горизонтальная интегральная ширина whor и форм-фактор Iav Q1 qk 2, k1,Q 2 whor U Q1 2 qk 2 dd, (21) k1,Q 2 U Q1 qk 4 dd, k1,Q где Q 103 - число реализаций массивов, а U - мощность пучка, показал, что размеры системы в одном направлении влияют на локализацию в ортогональном направлении. Степень локализации усредненного выходного распределения интенсивности выше в одномерном массиве (рис. 25). При фиксированном уровне беспорядка с увеличением числа рядов n в массиве интегральная ширина пучка и обратный форм-фактор монотонно возрастают, демонстрируя тенденцию к насыщению при n 10.
Рис. 25. Экспериментально (левая колонка) и теоретически (правая колонка) полученные усредненные выходные распределения интенсивности и фотографии разупорядоченных массивов волноводов (центральная колонка). Количество рядов в массиве равно (сверху вниз) n 1, 3, 5 и 17.
В з7.4 исследуется отражение солитонов от разупорядоченных массивов конечной ширины, внедренных в однородную среду с фокусирующей кубичной нелинейностью. В регулярном случае, в зависимости от угла падения, происходит частичное отражение и пропускание падающего солитона, причем существуют полосы почти полного пропускания и полного отражения. Установлено, что наличие беспорядка может привести к просветлению массива для тех углов падения солитона, при которых в регулярном случае происходит полное отражение. Наоборот, в диапазоне углов, для которых солитон свободно проходит через массив волноводов, беспорядок приводит к увеличению доли отраженного излучения. При росте амплитуды исходного солитона наибольшие изменения коэффициентов пропускания и отражения возможны при малых уровнях беспорядка.
Наконец, в з7.5 исследуется динамика распространения солитонов в спеклообразных случайных профилях показателя преломления, индуцированных оптически в фоторефрактивных кристаллах. Для описания распространения излучения используется уравнение (7), где профиль решетки показателя преломления R(,) qnd 2 задается распределением интенсивности в случайном пучке, сгенерированном с использованием интеграла Уиттекера (4). Угловой спектр G() пучка является случайной функцией с нормальным распределением при фиксированном азимутальном угле , нулевым средним значением G() 0 и единичной дисперсией |G()|2 1 (угловые скобки обозначают статическое усреднение). Несмотря на спеклообразное распределение интенсивности [рис. 26(a)], эти пучки не дифрагируют и могут быть использованы в методе оптической индукции. В определенном диапазоне параметров солитоны диффундируют в поперечной плоскости, взаимодействуя со случайными неоднородностями показателя преломления, подобно тому, как броуновские частицы диффундируют благодаря столкновениям с молекулами жидкости [рис. 26(b)].
Рис. 26. (a) Пример случайной спеклообразной решетки. (b) Динамика диффузии солитонов для различных реализаций решетки. На панели (b) показаны выходные распределения интенсивности при 20, а белые линии указывают траекторию движения центров солитонов в поперечной плоскости.
В заключении сформулированы основные результаты работы, которые сводятся к следующему:
1. Показано, что как одномерные, так и двумерные периодические решетки могут поддерживать сложные устойчивые мультипольные солитоны. Симметрия и устойчивость этих волновых полей определяется положением постоянной распространения солитона в зонной структуре решетки. В фокусирующей среде устойчивы уединенные решения с противофазными пиками, а в дефокусирующей среде для устойчивости необходима синфазность всех пиков в профиле.
Реализовано экспериментальное наблюдение одномерных солитонов высшего порядка в дефокусирующей среде. Экспериментально продемонстрирован рост пороговой мощности формирования солитонов в массивах волноводов с увеличивающимся числом рядов при увеличении размерности системы. Предсказана стабилизация световых пуль в кубичной нелинейной среде за счет поперечной модуляции показателя преломления и представлено их первое экспериментальное наблюдение в гексагональных массивах волноводов.
2. Установлено, что недифрагирующие пучки Бесселя, Матье и параболически пучки могут индуцировать в фоторефрактивных кристаллах стационарные решетки разнообразной топологии, свойства солитонов в которых радикально отличаются от таковых в периодических решетках. Так, в радиально симметричных решетках Бесселя с фокусирующей нелинейностью возможно вращение фундаментальных солитонов без потерь на излучение, а решетки Бесселя с дефокусирующей нелинейностью поддерживают устойчивые радиальносимметричные вихревые солитоны. Решетки с азимутальной модуляцией показателя преломления позволяют реализовать азимутальное переключение фундаментальных солитонов. С использованием теории групп было показано, что степень дискретной вращательной симметрии определяет максимально возможный заряд вихревых солитонов. Параболические решетки и решетки Матье поддерживают солитоны с симметрией, отражающей топологию решетки.
3. Обнаружено, что граница раздела периодической решетки и однородной среды поддерживает локализованные поверхностные солитоны даже в дефокусирующей среде. Представлено экспериментальное наблюдение беспороговых поверхностных волн вблизи границ модулированных решеток. Впервые наблюдались двумерные солитоны, локализованные на боковой поверхности и в углах ограниченной периодической решетки. В гексагональных секторных массивах экспериментально исследовано влияние угла раствора сектора на линейную динамику распространения пучка и пороги формирования солитонов. Наблюдались поверхностные солитоны на границе раздела квадратной и гексагональной решеток. Доказана возможность существования устойчивых вихревых солитонов с асимметричными профилями на границе двух квадратных решеток с разными глубинами.
4. Впервые установлено, что нелокальность нелинейного отклика качественно меняет характер взаимодействия противофазных пучков, которые могут формировать одномерные и двумерные солитонные комплексы даже в однородной фокусирующей среде. В жидких кристаллах и средах с тепловой нелинейностью одномерные комплексы устойчивы, если они содержат не более четырех пиков.
Двумерные солитонные комплексы метастабильны, что позволило наблюдать их в эксперименте. Показано, что именно нелокальность накладывает ограничения на максимальную скорость движения серых солитонов в дефокусирующей среде. Вихревые солитоны в средах с тепловой нелинейностью устойчивы, если их топологический заряд не превышает двойки. При наличии линейной решетки показателя преломления нелокальность нелинейного отклика радикально повышает подвижность одномерных солитонов.
5. Теоретически показано, что наличие периодической модуляции нелинейности, противофазной с линейной решеткой показателя преломления, радикально увеличивает подвижность солитонов. Такая модуляция ведет к необычным преобразованиям профилей одномерных и вихревых солитонов по мере роста их мощности. Впервые обнаружено, что чисто нелинейная решетка может стабилизировать двумерные солитоны в кубичной среде, если нелинейность изменяется ступенчато. Установлено, что векторные взаимодействия световых полей в нелинейных решетках приводят к формированию устойчивых солитонных комплексов со сложной внутренней структурой поля. Пространственнонеоднородная дефокусирующая нелинейность может поддерживать светлые солитоны во всех трех измерениях, при условии, что нелинейный коэффициент достаточно быстро растет к периферии материала.
6. Периодическая продольная модуляция показателя преломления в различных волноводных структурах приводит к параметрической раскачке осцилляций центра солитона и может быть использована для стимулированного преобразования профилей направляемых мод одинаковой четности. Экспериментально продемонстрировано, что противофазная продольная модуляция показателя преломления в соседних волноводах многоканальных систем приводит к резонансному подавлению туннелирования света между волноводами. Этот эффект может быть использован для передачи сложных изображений в сотовых продольно-модулированных массивах волноводов и для создания массивов с анизотропной дифракцией. Показано, что продольная модуляция существенно понижает энергетический порог для формирования солитонов даже при наличии отстройки частоты модуляции от резонансной, что может быть использовано для формирования оптических пуль при пониженных уровнях энергии в продольно-модулированных сотовых массивах волноводов.
7. Впервые экспериментально продемонстрирована Андерсоновская локализация света на границе между однородной средой и разупорядоченным массивом волноводов. Установлено, что для достижения той же степени Андерсоновской локализации у границы, что и в центре, требуется больший уровень беспорядка, чем в центре массива, из-за отталкивания от границы. Экспериментально прослежен постепенный переход от одномерной к двумерной Андерсоновской локализации в массивах с беспорядком и увеличивающимся числом рядов и показано, что степень локализации максимальна в одномерном массиве. Показано, что введение беспорядка в пространственно-ограниченный одномерный массив может привести к существенному уменьшению коэффициента внешнего отражения солитонного пучка, даже для тех углов падения, при которых в регулярном случае отражение является полным. Установлено, что динамика солитонов в случайных спеклообразных профилях показателя преломления подобна диффузии броуновских частиц.
ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Kartashov Y. V., Zelenina A. S., Torner L., Vysloukh V. A. Spatial soliton switching in quasi-continuous optical arrays// Optics Letters, 2004, v. 29, № 7, p. 766-768.
2. Kartashov Y. V., Crasovan L.-C., Zelenina A. S., Vysloukh V. A., Sanpera A., Lewenstein M., Torner L. Soliton eigenvalue control with optical lattices// Physical Review Letters, 2004, v. 93, № 14, p. 143902.
3. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Torner L. Soliton trains in photonic lattices// Optics Express, 2004, v. 12, № 13, p. 2831-2837.
4. Kartashov Y. V., Egorov A. A., Torner L., Christodoulides D. N. Stable soliton complexes in two-dimensional photonic lattices// Optics Letters, 2004, v. 29, № 16, p. 1918-1920.
5. Mihalache D., Mazilu D., Lederer F., Kartashov Y. V., Crasovan L. C., Torner L. Stable three-dimensional spatiotemporal solitons in a twodimensional photonic lattice// Physical Review E, 2004, v. 70, № 5, p.
055603(R).
6. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Torner L. Rotary solitons in Bessel optical lattices// Physical Review Letters, 2004, v. 93, № 9, p. 093904.
7. Kartashov Y. V., Egorov A. A., Vysloukh V. A., Torner L. Stable soliton complexes and azimuthal switching in modulated Bessel optical lattices// Physical Review E, 2004, v. 70, № 6, p. 065602(R).
8. Kartashov Y. V., Egorov A. A., Vysloukh V. A., Torner L. Rotary dipolemode solitons in Bessel optical lattices// Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics, 2004, v. 6, № 11, p. 444-447.
9. Kartashov Y. V., Torner L., Vysloukh V. A. Parametric amplification of soliton steering in optical lattices// Optics Letters, 2004, v. 29, № 10, p.
1102-1104.
10. Mihalache D., Mazilu D., Lederer F., Malomed B. A., Kartashov Y. V., Crasovan L. C., Torner L. Stable spatiotemporal solitons in Bessel optical lattices// Physical Review Letters, 2005, v. 95, № 2, p. 023902.
11. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Torner L. Stable ring-profile vortex solitons in Bessel optical lattices// Physical Review Letters, 2005, v. 94, № 4, p. 043902.
12. Kartashov Y. V., Ferrando A., Egorov A. A., Torner L., Soliton topology versus discrete symmetry in optical lattices// Physical Review Letters, 2005, v.
95, № 12, p. 123902.
13. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Torner L. Soliton spiraling in optically induced rotating Bessel lattices// Optics Letters, 2005, v. 30, № 6, p. 637639.
14. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Torner L. Soliton control in chirped photonic lattices// Journal of the Optical Society of America B, 2005, v. 22, № 7, p. 1356-1359.
15. Xu Z., Kartashov Y. V., Torner L. Upper threshold for stability of multipolemode solitons in nonlocal nonlinear media// Optics Letters, 2005, v. 30, № 23, p. 3171-3173.
16. Xu Z., Kartashov Y. V., Torner L. Soliton mobility in nonlocal optical lattices// Physical Review Letters, 2005, v. 95, № 11, p. 113901.
17. Kartashov Y. V., Torner L., Christodoulides D. N. Soliton dragging by dynamic optical lattices// Optics Letters, 2005, v. 30, № 11, p. 1378-1380.
18. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A. Anderson localization of solitons in optical lattices with random frequency modulation// Physical Review A, 2005, v.
72, № 2, p. 026606.
19. Kartashov Y. V., Egorov A. A., Vysloukh V. A., Torner L. Shaping soliton properties in Mathieu lattices// Optics Letters, 2006, v. 31, № 2, p. 238240.
20. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Torner L. Surface gap solitons// Physical Review Letters, 2006, v. 96, № 7, p. 073901.
21. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Torner L. Surface lattice kink solitons// Optics Express, 2006, v. 14, № 25, p. 12365-12372.
22. Kartashov Y. V., Torner L. Multipole-mode surface solitons// Optics Letters, 2006, v. 31, № 14, p. 2172-2174.
23. Kartashov Y. V., Egorov A. A., Vysloukh V. A., Torner L. Surface vortex solitons// Optics Express, 2006, v. 14, № 9, p. 4049-4057.
24. Rotschild C., Segev M., Xu Z., Kartashov Y. V., Torner L., Cohen O. Twodimensional multipole solitons in nonlocal nonlinear media// Optics Letters, 2006, v. 31, № 22, p. 3312-3314.
25. Kartashov Y. V., Torner L., Vysloukh V. A. Lattice-supported surface solitons in nonlocal nonlinear media// Optics Letters, 2006, v. 31, № 17, p.
2595-2597.
26. Smirnov E., Rter C. E., Kip D., Kartashov Y. V., Torner L. Observation of higher-order solitons in defocusing waveguide arrays// Optics Letters, 2007, v. 32, № 13, p. 1950-1952.
27. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Torner L. Dynamics of surface solitons at the edge of chirped optical lattices// Physical Review A, 2007, v. 76, № 1, p.
013831.
28. Szameit A., Kartashov Y. V., Dreisow F., Pertsch T., Nolte S., Tnnermann A., Torner L. Observation of two-dimensional surface solitons in asymmetric waveguide arrays// Physical Review Letters, 2007, v. 98, № 17, p.
173903.
29. Kartashov Y. V., Torner L. Gray spatial solitons in nonlocal nonlinear media// Optics Letters, 2007, v. 32, № 8, p. 946-948.
30. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Torner L. Stability of vortex solitons in thermal nonlinear media with cylindrical symmetry// Optics Express, 2007, v. 15, № 15, p. 9378-9384.
31. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Torner L. Resonant mode oscillations in modulated waveguiding structures// Physical Review Letters, 2007, v. 99, № 23, p. 233903.
32. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A. Torner L., Highly asymmetric soliton complexes in parabolic optical lattices// Optics Letters, 2008, v. 33, № 2, p.
141-143.
33. Szameit A, Kartashov Y. V., Dreisow F., Heinrich M., Pertsch T., Nolte S., Tnnermann A., Vysloukh V. A., Torner L. Observation of surface solitons in chirped waveguide arrays// Optics Letters, 2008, v. 33, № 10, p. 11321134.
34. Szameit A., Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Heinrich M., Dreisow F., Pertsch T., Nolte S., Tnnermann A., Lederer F., Torner L. Angular surface solitons in sectorial hexagonal arrays// Optics Letters, 2008, v. 33, № 13, p. 1542-1544.
35. Szameit A., Kartashov Y. V., Dreisow F., Heinrich M., Vysloukh V. A., Pertsch T., Nolte S., Tnnermann A., Lederer F., Torner L. Observation of two-dimensional lattice interface solitons// Optics Letters, 2008, v. 33, № 7, p. 663-665.
36. Ye F., Kartashov Y. V., Torner L. Stabilization of dipole solitons in nonlocal nonlinear media// Physical Review A, 2008, v. 77, № 4, p. 043821.
37. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Torner L. Propagation of solitons in thermal media with periodic nonlinearity// Optics Letters, 2008, v. 33, № 15, p. 1774-1776.
38. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Torner L. Soliton modes, stability, and drift in optical lattices with spatially modulated nonlinearity// Optics Letters, 2008, v. 33, № 15, p. 1747-1749.
39. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Torner L. Power-dependent shaping of vortex solitons in optical lattices with spatially modulated nonlinear refractive index// Optics Letters, 2008, v. 33, № 19, p. 2173-2175.
40. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Torner L. Brownian soliton motion// Physical Review A, 2008, v. 77, № 5, p. 051802(R).
41. Szameit A., Kartashov Y. V., Dreisow F., Heinrich M., Pertsch T., Nolte S., Tnnermann A., Vysloukh V. A., Lederer F., Torner L. Soliton excitation in waveguide arrays with an effective intermediate dimensionality// Physical Review Letters, 2009, v. 102, № 6, p. 063902.
42. Heinrich M., Kartashov Y. V., Ramirez L. P. R., Szameit A., Dreisow F., Keil R., Nolte S., Tnnermann A., Vysloukh V. A., Torner L. Observation of twodimensional superlattice solitons// Optics Letters, 2009, v. 34, № 23, p.
3701-3703.
43. Heinrich M., Kartashov Y. V., Szameit A., Dreisow F., Keil R., Nolte S., Tnnermann A., Vysloukh V. A., Torner L. Observation of two-dimensional coherent surface vector lattice solitons// Optics Letters, 2009, v. 34, № 11, p. 1624-1626.
44. Kartashov Y. V., Malomed B. A., Vysloukh V. A., Torner L. Twodimensional solitons in nonlinear lattices// Optics Letters, 2009, v. 34, № 6, p. 770-772.
45. Kartashov Y. V., Malomed B. A., Vysloukh V. A., Torner L. Vector solitons in nonlinear lattices// Optics Letters, 2009, v. 34, № 23, p. 3625-3627.
46. Szameit A., Kartashov Y. V., Dreisow F., Heinrich M., Pertsch T., Nolte S., Tnnermann A., Vysloukh V. A., Lederer F., Torner L. Inhibition of light tunneling in waveguide arrays// Physical Review Letters, 2009, v. 102, № 15, p. 153901.
47. Szameit A., Kartashov Y. V., Heinrich M., Dreisow F., Keil R., Nolte S., Tnnermann A., Vysloukh V. A., Lederer F., Torner L. Nonlinearityinduced broadening of resonances in dynamically modulated couplers// Optics Letters, 2009, v. 34, № 18, p. 2700-2702.
48. Kartashov Y. V., Szameit A., Vysloukh V. A., Torner L. Light tunneling inhibition and anisotropic diffraction engineering in two-dimensional waveguide arrays// Optics Letters, 2009, v. 34, № 19, p. 2906-2908.
49. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Torner L. Soliton shape and mobility control in optical lattices// Progress in Optics, 2009, v. 52, p. 63-148.
50. Lobanov V. E., Kartashov Y. V., Torner L. Light bullets by synthetic diffraction-dispersion matching// Physical Review Letters, 2010, v. 105, № 3, p.
033901.
51. Szameit A., Kartashov Y. V., Zeil P., Dreisow F., Heinrich M., Keil R., Nolte S., Tnnermann A., Vysloukh V. A., Torner L. Wave localization at the boundary of disordered photonic lattices// Optics Letters, 2010, v. 35, № 8, p. 1172-1174.
52. Minardi S., Eilenberger F., Kartashov Y. V., Szameit A., Rpke U., Kobelke J., Schuster K., Bartelt H., Nolte S., Torner L., Lederer F., Tnnermann A., Pertsch T. Three-dimensional light bullets in arrays of waveguides// Physical Review Letters, 2010, v. 105, № 26, p. 263901.
53. Kartashov Y. V., Malomed B. A., Torner L. Solitons in nonlinear lattices// Reviews of Modern Physics, 2011, v. 83, № 1, p. 247-305.
54. Borovkova O. V., Kartashov Y. V., Torner L., Malomed B. A. Bright solitons from defocusing nonlinearities// Physical Review E, 2011, v. 84, № 3, p.
035602(R).
55. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Torner L. Disorder-induced soliton transmission in nonlinear photonic lattices// Optics Letters, 2011, v. 36, № 4, p.
466-468.
56. Sttzer S., Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Tnnermann A., Nolte S., Lewenstein M., Torner L., Szameit A. Anderson cross-localization// Optics Letters, 2012 (в печати).
57. Naether U., Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Nolte S., Tnnermann A., Torner L., Szameit A. Observation of the gradual transition from onedimensional to two-dimensional Anderson localization// Optics Letters, 2012, v. 37, № 4, p. 593-595.
ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Агравал Г. П. Нелинейная волоконная оптика: Перевод с английского/ Под редакцией П. В. Мамышева - Москва: Мир, 1996, 323 с.
2. Kivshar Y. S., Agrawal G. Optical solitons: from fibers to photonic crystals - London: Academic Press, 2003, 540 с.
3. Желтиков А. М. Оптика микроструктурированных волокон - Москва:
Наука, 2004, 281 с.
4. Манцызов Б. И. Когерентная и нелинейная оптика фотонных кристаллов - Москва: Физматлит, 2009, 206 с.
5. Maimistov A. I., Basharov A. M. Nonlinear optical waves - Dordrecht:
Kluwer Academic Publishers, 2010, 664 с.
6. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. - Москва: Наука, 1980, 320 с.
7. Mollenauer L., Stolen R., Gordon J. Experimental observation of picosecond pulse narrowing and solitons in optical fibers// Physical Review Letters, 1980, v. 45, № 13, p. 1095-1098.
8. Maneuf S., Desailly R., Froehly C. Stable self-trapping of laser beams: Observation in a nonlinear planar waveguides// Optics Communications, 1988, v. 65, № 3, p. 193-198.
9. Duree G. C., Shultz J. L., Salamo G. J., Segev M., Yariv A., Crosignani B., Di Porto P., Sharp E. J., Neurgaonkar R. R. Observation of self-trapping of an optical beam due to the photorefractive effect// Physical Review Letters, 1993, v. 71, № 4, p. 533-536.
10. Iturbe-Castillo M., Marquez-Aguilar P., Sanchez-Mondragon J., Stepanov S., Vysloukh V. Spatial solitons in photorefractive Bi12TiO20 with drift mechanism of nonlinearity// Applied Physics Letters, 1994, v. 64, № 4, p.
408-410.
11. Torruellas W. E., Wang Z., Hagan D. J., VanStryland E. W., Stegeman G. I., Torner L., Menyuk C. R. Observation of two-dimensional spatial solitary waves in a quadratic medium// Physical Review Letters, 1995, v. 74, № 25, p. 5036-5039.
12. Карамзин Ю. Н., Сухоруков А. П. Нелинейное взаимодействие дифрагирующих световых пучков в среде к квадратичной нелинейностью;
взаимофокусировка пучков и ограничение эффективности оптических преобразователей частоты// Письма в Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики, 1974, т. 20, № 11, с. 734-739.
13. Liu X., Qian L. J., Wise F. W. Generation of optical spatiotemporal solitons// Physical Review Letters, 1999, v. 82, № 23, p. 4631-4634.
14. Minardi S., Eilenberger F., Kartashov Y. V., Szameit A., Rpke U., Kobelke J., Schuster K., Bartelt H., Nolte S., Torner L., Lederer F., Tnnermann A., Pertsch T. Three-dimensional light bullets in arrays of waveguides// Physical Review Letters, 2010, v. 105, № 26, p. 263901.
15. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Torner L. Soliton shape and mobility control in optical lattices// Progress in Optics, 2009, v. 52, p. 63-148.
16. Stegeman G. I, Christodoulides D. N., Silberberg Y., Segev M., Lederer F., Assanto, G. Discrete optical solitons// Physics Reports, 2008, v. 463, № 13, p. 1-126.
17. Eisenberg H. S., Silberberg Y., Morandotti R., Boyd A. R., Aitchison J. S.
Discrete spatial optical solitons in waveguide arrays// Physical Review Letters, 1998, v. 81, № 16, p. 3383-3386.
18. Pertsch T., Zentgraf T., Peschel U., Brauer A., Lederer F. Beam steering in waveguide arrays// Applied Physics Letters, 2002, v. 80, № 18, p. 32473249.
19. Szameit A., Burghoff J., Pertsch T., Nolte S., Tnnermann A., Lederer F.
Two-dimensional soliton in cubic fs laser written waveguide arrays in fused silica// Optics Express, 2006, v. 14, № 14, p. 6055-6062.
20. Fratalocchi A., Assanto G., Brzdakiewicz K. A., Karpierz M. A. Discrete propagation and spatial solitons in nematic liquid crystals// Optics Letters, 2004, v. 29, № 13, p. 1530-1532.
21. Fleischer J. W., Segev M., Efremidis N. K., Christodoulides D. N. Observation of two-dimensional discrete solitons in optically induced nonlinear photonic lattices// Nature, 2003, v. 422, p. 147-150.
22. Kartashov Y. V., Malomed B. A., Torner L. Solitons in nonlinear lattices// Reviews of Modern Physics, 2011, v. 83, № 1, p. 247-305.
23. Anderson P. W. Absence of diffusion in certain random lattices// Physical Review, 1958, v. 109, № 5, p. 1492-1505.
24. Longhi S. Quantum-optical analogies using photonic structures// Laser and Photonics Reviews, 2009, v. 3, № 3, p. 243-261.