Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по разное nA PRAWAH RUKOPISI

tronin sERGEJ nIKOLAEWI^ operadnye i kategornye metody w teorii mnogoobrazij uniwersalxnyh algebr sPECIALXNOSTX

01.01.06 | MATEMATI^ESKAQ LOGIKA, ALGEBRA I TEORIQ ^ISEL awtoreferat DISSERTACIQ NA SOISKANIE U^ENOJ STEPENI DOKTORA FIZIKO-MATEMATI^ESKIH NAUK kAZANX |2011 rABOTA WYPOLNENA NA KAFEDRE ALGEBRY I MATEMATI^ESKOJ LOGIKI fgaouwpo \ kAZANSKIJ (pRIWOLVSKIJ) FEDERALXNYJ UNIWERSITET" oFICIALXNYE OPPONENTY:

DOKTOR FIZIKO{MATEMATI^ESKIH NAUK, PROFESSOR bOKUTX lEONID aRKADXEWI^ DOKTOR FIZIKO{MATEMATI^ESKIH NAUK, PROFESSOR aRTAMONOW wQ^ESLAW aLEKSANDROWI^ DOKTOR FIZIKO{MATEMATI^ESKIH NAUK, PROFESSOR pINUS aLEKSANDR gEORGIEWI^ wEDU]AQ ORGANIZACIQ:

gouwpo \ uLXQNOWSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET" zA]ITA SOSTOITSQ 9 I@NQ 2011 G. W 14 ^ASOW 30 MINUT NA ZASEDANII DISSERTACIONNOGO SOWETA d 212.081.24 W KONFERENC-ZALE BIBLIOTEKI kAZANSKOGO GOSUDARSTWENNOGO UNIWERSITETA (2-E ZDANIE) PO ADRESU: 420008, G. kAZANX, UL. kREMLEWSKAQ, 18.

s DISSERTACIEJ MOVNO OZNAKOMITXSQ W BIBLIOTEKE kAZANSKOGO FEDERALXNOGO UNIWERSITETA.

aWTOREFERAT RAZOSLAN \ " 2011 G.

u^ENYJ SEKRETARX DISSERTACIONNOGO SOWETA KANDIDAT FIZIKO-MATEMATI^ESKIH NAUK, DOCENT a. i. eNIKEEW ob}aq harakteristika raboty pOSTANOWKA ZADA^I I AKTUALXNOSTX TEMY DISSERTACII. pO MNENI@ `.i.mANINA, \ sTIMULIROWANNOE ktp [KWANTOWOJ TEORII POLQ | aWT.] WOZROVDENIE TEORII OPERAD BYLO KRUPNYM SOBYTIEM W TOJ TIHOJ ZAWODI, KOTOROJ KAZALASX OB]AQ A LGEBRA" [9, S. 130]. dANNU@ RABOTU MOVNO RASSMATRIWATX KAK POPYTKU UTO^NITX (I OT^ASTI PO-NOWOMU OBOSNOWATX) \TO UTWERVDENIE W ODNOM IZ WOZMOVNYH NAPRAWLENIJ.

tEORIQ OPERAD (I IH MNOGOSORTNYH OBOB]ENIJ | MULXTIKATEGORIJ) FAKTI^ESKI WOZNIKLA OKOLO 1968{1969 GODOW NEZAWISIMO W RABOTE i.lAMBEKA [24] PO KATEGORNOJ TEORII DOKAZATELXSTW, A TAKVE (POD DRUGIM NAZWANIEM) W RABOTAH PO ALGEBRAI^ESKOJ TOPOLOGII (SM. KNIGU [4]). tERMIN \ OPERADA" POQWILSQ WPERWYE W 1972 GODU W KNIGE dV. m\Q [10]. wPRO^EM, OPERADY (POD INYMI NAZWANIQMI) I PREVDE POQWLQLISX W RABOTAH DRUGIH MATEMATIKOW. nAPRIMER, W 1969 GODU W STATXE w.a. aRTAMONOWA [2] ISSLEDOWALSQ OB_EKT, KOTORYJ SEJ^AS NAZYWAETSQ \ OPERADOJ \NDOMORFIZMOW". mULXTIKATEGORII BYLI TAKVE PEREOTKRYTY a.a.bEJLINSONOM I w.g. dRINFELXDOM [14] POD NAZWANIEM PSEWDOTENZORNYH KATEGORIJ.

w NEKOTORYH TEORIQH OPERADY UVE MNOGO LET FAKTI^ESKI PRISUTSTWOWALI POD RAZNYMI IMENAMI I W NESKOLXKO IZMENENNOM WIDE. nAPRIMER, OPERADAMI OKAZALISX ZAMKNUTYE KLASSY BULEWYH FUNKCIJ (I DRUGIE FUNKCIONALXNYE SISTEMY), IZWESTNYE E]E S 1920-H GODOW. sPECIALISTY S^ITA@T, ^TO DAVE RE[ENNU@ a.n.kOLMOGOROWYM I w.i.aRNOLXDOM W KONCE 1950-H GODOW 13-@ PROBLEMU gILXBERTA MOVNO INTERPRETIROWATX KAK UTWERVDENIE O STROENII NEKOTOROJ OPERADY. lITERATURA PO TEORII OPERAD UVE DOWOLXNO OB[IRNA, I DATX EE POLNYJ OBZOR | DOSTATO^NO SLOVNAQ ZADA^A. oDNAKO SLEDUET OTMETITX, ^TO RABOT PO OPERADAM, NAPRQMU@ OTNOSQ]IHSQ K UNIWERSALXNOJ ALGEBRE, POKA E]E O^ENX NEMNOGO.

oNEKOTORYH DRUGIH NAPRAWLENIQH TEORII OPERAD, MULXTIKATEGORIJ, I IH PRILOVENIJ MOVNO UZNATX IZ RABOT [13], [14], [17], [18], [19], [20], [23], [26], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34]. oPRIMENENIQH OPERAD W ALGEBRAI^ESKOJ TOPOLOGII, KROME KNIG [4], [10] I [32], MOVNO UZNATX IZ MONOGRAFII [12], A ^TO KASAETSQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, TO WWEDENIEM MOVET SLUVITX KNIGA [32]. iZWESTNO TAKVE, ^TO GOTOWITSQ KNIGA Algebraic O perads (AWTORY | Jean-Louis Loday I Bruno Valette). sUDQ PO WSEMU, \TA KNIGA PO SODERVANI@ DOLVNA SU]ESTWENNO OTLI^ATXSQ OT NA[EJ RABOTY. sREDI RABOT, KOTORYE MOVNO OTNESTI K ALGEBRAI^ESKOJ TEORII OPERAD, PREOBLADA@T RABOTY PO LINEJNYM OPERADAM (\TO NAPRAWLENIE W NA[EJ RABOTE PREDSTAWLENO GLAWAMI 4 (OT^ASTI) I 5, I DWUMQ PARAGRAFAMI GLAWY 6). oTMETIM, ^TO W POSLEDNEE WREMQ W rOSSII BYLO ZA]I]ENO NESKOLXKO DISSERTACIJ, TAK ILI INA^E SWQZANNYH S TEORIEJ MULXTIKATEGORIJ I OPERAD: \TO KANDIDATSKIE DISSERTACII a.w.sEMENOWOJ, w.w.dOCENKO, a.s.hORO[KINA, i.a.dOLGUNCEWOJ, A TAKVE DOKTORSKAQ DISSERTACIQ p.s.kOLESNIKOWA [5].

sU]ESTWENNOE OTLI^IE NA[EJ RABOTY OT RABOT DRUGIH AWTOROW SOSTOIT W TOM, ^TO W NEJ IZU^A@TSQ MULXTIKATEGORII I OPERADY BOLEE OB]EGO, ^EM OBY^NO, WIDA | MULXTIKATEGORII I OPERADY NAD WERBALXNYMI KATEGORIQMI. pONQTIE WERBALXNOJ KATEGORII BYLO WWEDENO AWTOROM W 2002-M GODU W RABOTE [39]. pOZDNEE WYQSNILOSX, ^TO NE^TO POHOVEE (W O^ENX SVATOM WIDE) POQWILOSX TAKVE W STATXE 2005-GO GODA [22] (PO SLOWAM AWTORA [22], PODGOTOWLENNOJ E]E W 1972-MGODU), NO IDEQ, ZAKL@^ENNAQ W \TOJ RABOTE, DALXNEJ[EGO RAZWITIQ, PO-WIDIMOMU, NE POLU^ILA. nA[A RABOTA W NEKOTOROJ STEPENI WOSPOLNQET \TOT PROBEL.

cELI I METODY ISSLEDOWANIQ. oSNOWNOJCELX@ BYLO POSTROENIE OSNOW OB]EJ TEORII MNOGOOBRAZIJ ALGEBR I SUPERALGEBR NAD OPERADAMI (W MNOGOSORTNOM SLU^AE | NAD MULXTIKATEGORIQMI), I NAHOVDENIE SOOTNO[ENIQ MEVDU TEORIEJ PROIZWOLXNYH MULXTIOPERATORNYH ALGEBR, I TEORIEJ ALGEBR NAD OPERADAMI. kROME TOGO, WYQSNQLOSX, NASKOLXKO DALEKO MOVNO PRODWINUTX ANALOGI@ MEVDU KATEGORIQMI I MULXTIKATEGORIQMI (WWEDENO I ISSLEDOWANO PONQTIE ESTESTWENNOGO MULXTIPREOBRAZOWANIQ MULXTIFUNKTOROW), I SU]ESTWUET LI DLQ OPERAD PONQTIE, ANALOGI^NOE PONQTI@ KOLXCA ^ASTNYH (OKAZALOSX, ^TO W ODNOM WAVNOM ^ASTNOM SLU^AE SU]ESTWUET). pOIMO \TOGO, BYLO NESKOLXKO CELEJ WTOROGO PLANA, SWQZANNYHS POSTROENIEM I ISSLEDOWANIEM RQDA INTERESNYH OPERAD, IOPISANIEM ALGEBR NAD \TIMI OPERADAMI.

w SOOTWETSTWII S \TIMI CELQMI W RABOTE PRIMENQ@TSQ METODY UNIWERSALXNOJ (OB]EJ) ALGEBRY I METODY TEORII KATEGORIJ.

oSNOWNYE POLOVENIQ DISSERTACII, WYNOSIMYE NA ZA]ITU.

kONCEPCIQ OPERAD I MULXTIKATEGORIJ NAD WERBALXNYMI KATEGORIQMI gRUPPA REZULXTATOW, OPISYWA@]IH POLOVENIE OPERAD I MNOGOOBRAZIJ ALGEBR NAD NIMI W TEORII MNOGOOBRAZIJ UNIWERSALXNYH ALGEBR.

w SAMOM SVATOM WIDE SUTX MOVNO WYRAZITX TAK: WSQ TEORIQ MNOGOOBRAZIJ UNIWERSALXNYH ALGEB | \TO, S TO^NOSTX@ DO RACONALXNOJ \KWIWALENTNOSTI, TEORIQ MNOGOOBRAZIJ ALGEBR NAD OPERADAMI (NAD TEMI ILI INYMI WERBALXNYMI KATEGORIQMI) pRINCIP KLASSIFIKACII TOVDESTW UNIWERSALXNYH ALGEBR W SOOTWETSTWII S WERBALXNYMI KATEGORIQMI. tO^NEE, KAVDOJ WERBALXNOJ KATEGORII SOOTWETSTWUET POLNYJ ANALOG WSEJ TRADICIONNOJ UNIWERSALXNOJ ALGEBRY, GDE ESTX SWOI MNOGOOBRAZIQ, I SWOI OPERADY, \TOT ANALOG MOVNO PREDSTAWITX WNUTRI TRADICIONNOJ ALGEBRY, I KLASSIFICIROWATX MNOGOOBRAZIQ I TOVDESTWA W SOOTWETSTII S PRINADLEVNOSTX@ K OBRAZU TOGO ILI INOGO ANALGA pONQTIE KOMMUTATIWNOJ OPERADY (OBOB]ENIE PONQTIQ KOMMUTATIWNOJ ALGEBRAI^ESKOJ TEORII), I KONCEPCIQ Z -LINEJNYH ALGEBR I Z LINEJNYH OPERAD (GDE Z | KOMMUTATIWNAQ OPERADA), POZWOLQ@]AQ S EDINYH POZICIJ RASSMATRIWATX SLU^AI NELINEJNYH I LINEJNYH (W OBY^NOM SMYSLE) UNIWERSALXNYH (MULXTIOPERATORNYH) ALGEBR. oSNOWNOJ REZULXTAT ZDESX SOSTOIT W TOM, ^TO MNOGOOBRAZIE Z -LINEJNYH ALGEBR OPREDELQETSQ Z -POLILINEJNYMI TOVDESTWAMI TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONO RACIONALXNO \KWIWALENTNO MNOGOOBRAZI@ ALGEBR NAD SIMMETRI^ESKOJ Z -LINEJNOJ OPERADOJ kONCEPCIQ MULXTIOPERATORNYH SUPERALGEBR I SUPERALGEBR NAD OPERADAMI. gRUPPA REZULXTATOW, KOTORYE MOVNO RASSMATRIWATX W KA^ESTWE OSNOWY OB]EJ TEORII WSEH WOZMOVNYH SUPERALGEBR I IH PREDSTAWLENIJ pONQTIE ESTESTWENNOGO MULXTIPREOBRAZOWANIQ MULXTIFUNKTOROW I EGO PRIMENENIQ. w ^ASTNOSTI, OPISANA STRUKTURA MULXTIKATEGORIJ MULXTIFUNKTOROW I KOMMA-MULXTIKATEGORIJ. w RAMKAH \TOGO KRUGA IDEJ I REZULXTATOW KOMMUTATIWNYE OPERADY OPISYWA@TSQ KAK CENTRY MULXTIKATEGORIJ kONSTRUKCIQ \ ALGEBRAI^ESKIH TEORIJ ^ASTNYH" (ALGEBRAI^ESKIE TEORII OKAZYWA@TSQ PO-SUTI ODNOJ IZ RAZNOWIDNOSTEJ OPERAD NAD WERBALXNYMI KATEGORIQMI) I EE OBOB]ENIE NA PROIZWOLXNYE KATEGORII ^ASTNYH kONSTRUKCIQ OPERADY MATRIC NAD PROIZWOLXNOJ LINEJNOJ OPERADOJ, I REZULXTAT O TOM, ^TO DANNAQ LINEJNAQ SIMMETRI^ESKAQ OPERADA, I OPERADA KONE^NYH MATRIC NAD NEJ mORITA-\KWIWALENTNY kONSTRUKCIQ OPERAD MNOGOMERNYH \ KUBI^ESKIH" MATRIC, I TESNO SWQZANNYE S NEJ KONSTRUKCII OPERAD RAZNOOBRAZNYH GRAFOW, POZWOLQ@]IE RASSMATRIWATX TEORI@ GRAFOW KAK ^ASTX UNIWERSALXNOJ ALGEBRY mNOGO^ISLENNYE PRIMERY DRUGIH NOWYH OPERAD, W ^ASTNOSTI, OPERADNYE ANALOGI ALGEBR INCIDENTNOSTI (OBY^NYH I REDUCIROWANNYH), OPERADY SIMPLEKSOW, MNOGOMERNYH SFER I RODSTWENNYH IM OB_EKTOW, OPERADY MNOGOMERNYH STOHASTI^ESKIH I DWOQKOSTOHASTI^ESKIH MATRIC. oPISANIQ MNOGOOBRAZIJ ALGEBR NAD NEKOTORYMI IZ \TIH OPERAD.

nAU^NAQ NOWIZNA. oSNOWNYE REZULXTATY RABOTY QWLQ@TSQ NOWYMI. nOWYMI QWLQ@TSQ TAKVE PONQTIQ WERBALXNOJ KATEGORII, OPERADY (I MULXTIKATEGORII) NAD WERBALXNOJ KATEGORIEJ, PONQTIQ ESTESTWENNOGO MULXTIPREOBRAZOWANIQ MULXTIFUNKTOROW, KOMMUTATIWNOJ OPERADY, SUPERALGEBRY NAD OPERADOJ, I RQD DRUGIH PONQTIJ I KONSTRUKCIJ. nOWYMI TAKVE MOVNO S^ITATX I METODY ISSLEDOWANIQ, ISPOLXZU@]IE \TI PONQTIQ I KONSTRUKCII.

tEORETI^ESKAQ I PRAKTI^ESKAQ CENNOSTX. rABOTA NOSIT TEORETI^ESKIJ HARAKTER. mETODY I REZULXTATY RABOTY MOGUT BYTX ISPOLXZOWANY DLQ DALXNEJ[IH ISSLEDOWANIJ W OBLASTI TEORII OPERAD I MULXTIKATEGORIJ, W TEORII KATEGORIJ (PREVDE WSEGO W TEORII KATEGORIJ ^ASTNYH I IH PRILOVENIJ), W OBLASTI TEORII MNOGOOBRAZIJ ALGEBR I SUPERALGEBR, W TEORII GRAFOW I GIPERGRAFOW, W NEKOTORYH RAZDELAH GEOMETRII I TOPOLOGII, A TAKVE W TEORII WEROQTNOSTNYH AWTOMATOW.

aPROBACIQ RABOTY. rEZULXTATY RABOTY DOKLADYWADISX NA IV wSESO@ZNOJ [KOLE \ aLGEBRY lI I IH PRIMENENIQ W MATEMATIKE I FIZIKE", POSWQ]ENNOJ 80-LETI@ SO DNQ ROVDENIQ PROFESSORA w.w.mOROZOWA, NA MEVDUNARODNOJ NAU^NOJ KONFERENCII \ aLGEBRA I ANALIZ", POSWQ]ENNOJ 100-LETI@ SO DNQ ROVDENIQ n.g.~EBOTAREWA, NA NAU^NOJ [KOLEKONFERENCII \ aLGEBRA I ANALIZ", POSWQ]ENNOJ 100-LETI@ SO DNQ ROVDENIQ b.m.gAGAEWA, NA NAU^NOJ [KOLE-KONFERENCII \ tEORIQ FUNKCIJ, EE PRILOVENIQ I SMEVNYE WOPROSY", POSWQ]ENNOJ 130-LET@ SO DNQ ROVDENIQ d.f.eGOROWA, NA MEVDUNARODNOJ NAU^NOJ KONFERENCII \ aKTUALXNYE PROBLEMY MATEMATIKI I MEHANIKI", PROSWQ]ENNOJ 40-LETI@ MEHANIKOMATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA kgu, NA MEVDUNARODNOJ NAU^NOJ KONFERENCII \ aLGEBRA I ANALIZ-2004", POSSWQ]ENNOJ 200-LETI@ kAZANSKOGO GOSUDARSTWENNOGO UNIWERSITETA.

rEZULXTATY RABOTY TAKVE DOKLADYWALISX NA ZASEDANIQH kAZANSKOGO mATEMATI^ESKOGO OB]ESTWA I NA SEMINARAH KAFEDRY ALGEBRY I MATEMATI^ESKOJ LOGIKI kAZANSKOGO UNIWERSITETA.

pUBLIKACII. rEZULXTATY DANNOJ RABOTY OPUBLIKOWANY W TRINADCATI STATXQH W VURNALAH IZ SPISKA wak [35] { [47], A TAKVE W RABOTE [48], I ANONSIROWALISX W ODINNADCATI ZAMETKAH [49] { [59].

sTRUKTURA I OB_EM RABOTY. rABOTA SOSTOIT IZ WWEDENIQ, SEMI GLAW, NAS^ITYWA@]IH W OB]EJ SLOVNOSTI 35 PARAGRAFOW, I SPISKA LIA TERATURY. tEKST PODGOTOWLEN W IZDATELXSKOJ SISTEME LTEX2, I IMEET " OB_EM W 350 STRANIC. sPISOK LITERATURY SOSTOIT IZ 162 NAIMENOWANIJ.

sodervanie raboty nA^NEM S OPREDELENIQ MNOGOSORTNOGO WARIANTA PONQTIQ OPERADY | MULXTIKATEGORII. mULXTIKATEGORIQ | \TO TAKOE OBOB]ENIE KATEGORII, W KOTOROM \ STRELKI"(MORFIZMY) IME@T NE ODNO \ NA^ALO" (OB_EKT), A NESKOLXKO. tO^NOE OPREDELENIE TAKOWO. mULXTIKATEGORIQ (ILI S -OPERADA) R ESTX SLEDU@]IJ KOMPLEKS DANNYH. wO-PERWYH, ZADAN KLASS \ OB_EKTOW" S = Ob(R). dALEE, DLQ KAVDOGO NEPUSTOGO SLOWA x = x1 : : : xn W ALFAWITE S, I OB_EKTA y 2 S, OPREDELENO MNOVESTWO MULXTIMORFIZMOW (ILI MULXTISTRELOK) R(x y). nAKONEC, DLQ NEPUSTYH MNOVESTW MULXTISTRELOK OPREDELENA OPERACIQ KOMPOZICII:

R(y1 : : : ym z) R(x1 y1) : : : R(xm ym) ;! R(x1 : : : xm z) KOTORAQ BUDET OBOZNA^ATXSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:

( : : : ) ! : : : ! = :

1 m 1 m zDESX xi = xi 1xi 2 : : : xi ni, 2 R(xi yi), 1 i m, 2 R(y1 : : : ym z).

i |TO MOVNO PREDSTAWLQTX SLEDU@]IM OBRAZOM W WIDE KARTINKI:

x1 y1 1 : : :

y2 x1 nz : : : : : :

: : :

xm m ym : : :

xmnm oPERACIQ KOMPOZICII DOLVNA UDOWLETWORQTX SLEDU@]IM SWOJSTWAM.

1) (aSSOCIATIWNOSTX). dLQ TEH NABOROW STRELOK, DLQ KOTORYH KOMPOZICII SU]ESTWU@T (ZDESX = : : : ), IMEET MESTO RAWENSTWO:

i 1 i ni i ( : : : )( : : : ) = ( )( ) : : : ( ) 1 2 m 1 2 m 1 2 m 1 2 m 2) (sU]ESTWOWANIE EDINIC). dLQ KAVDOGO OB_EKTA x 2 S W R(x x) SU]ESTWUET STRELKA 1x, I DLQ L@BOJ STRELKI ! 2 R(x1x2 : : : xm y) DOLVNY WYPOLNQTXSQ SOOTNO[ENIQ !1x 1x : : : 1xm = ! =1y!:

1 eSLI DLQ WSEH x = x1 : : : xn, GDE n > 1, MNOVESTWA R(x y) PUSTY, TO MULXTIKATEGORIQ | \TO TO VE SAMOE, ^TO KATEGORIQ. eSLI VE KLASS OB_EKTOW Ob(R) SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA, TO TAKAQ MULXTIKATEGORIQ NAZYWAETSQ (NESIMMETRI^ESKOJ) OPERADOJ.

dLQ TOGO, ^TOBY DATX OPREDELENIE MULXTIKATEGORII (I OPERADY) W POLNOJ OB]NOSTI, NAM POTREBUETSQ PONQTIE WERBALXNOJ KATEGORII.

iZU^ENI@ WERBALXNYH KATEGORIJ POSWQ]ENA PERWAQ GLAW DISSERTACII.

w ODNOSORTNOM SLU^AE WERBALXNAQ KATEGORIQ | \TO PODKATEGORIQ (S TEMI VE OB_EKTAMI) KATEGORII FSet, OB_EKTY KOTOROJ | MNOVESTWA [n] = f0 1 : : : ng, A MORFIZMY | WSE WOZMOVNYE OTOBRAVENIQ, KOTORYE PEREWODQT W 0 \LEMENT 0, I TOLXKO EGO. w \TOJ KATEGORII ESTESTWENNYM OBRAZOM OPEREDELENY KONE^NYE KOPROIZWEDENIQ. pERWOE TREBOWANIE K WERBALXNOJ KATEGORII | ONA DOLVNA BYTX ZAMKNUTA OTNOSITELXNO WZQTIQ KOPROIZWEDENIQ L@BYH SWOIH DWUH MORFIZMOW. dALEE NADO RASSMOTRETX PODKATEGORI@ P KATEGORII FSet, MORFIZMY KOTOROJ | WSEWOZMOVNYE NEUBYWA@]IE OTOBRAVENIQ. rASSMOTRIM NEKOTORYJ MORFIZM f : [k] ! [m], PRINADLEVA]IJ WERBALXNOJ KATEGORII W, I PROIZWOLXNYJ MORFIZM : [n] ! [m] IZ KATEGORII P. wTOROE (I POSLEDNEE) USLOWIE, HARAKTERIZU@]EE WERBALXNU@ KATEGORI@ W, ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO W DIAGRAMME RASSLOENNOGO PROIZWEDENIQ [n] [k] ;;! [k] [m] ? ? ? ? 1 f y y [n] ;;! [m] GDE PROEKCI@ MOVNO S^ITATX NEUBYWA@]IM OTOBRAVENIEM, PROEKCIQ DOLVNA BYTX MORFIZMOM KATEGORII W. gLAWNYM REZULXTATOM PERWOJ GLAWY MOVNO S^ITATX PRIWEDENNOE W x 1.2 OPISANIE SWOJSTW RE[ETKI WERBALXNYH PODKATEGORIJ I, W ^ASTNOSTI, POSTROENIE S^ETNOGO KLASSA NETRIWIALXNYH PRIMEROW WERBALXNYH KATEGORIJ. tE PRIMERY, KOTORYE OBNARUVIWA@TSQ SRAZU | \TO SAMA KATEGORIQ FSet, A TAKVE KATEGORIQ, KLASSOM MORFIZMOW KOTOROJ QWLQETSQ SEMEJSTWO WSEH BIEKTIWNYH OTOBRAVENIJ IZ [n] W [n], KATEGORIQ Epi, KLASSOM MORFIZMOW KOTOROJ QWLQETSQ KLASS WSEH S@R_EKTIWNYH MORFIZMOW IZ FSet, I KATEGORIQ Mon, MORFIZMY KOTOROJ | WSEWOZMOVNYE IN_EKTIWNYE OTOBRAVENIQ IZ FSet.

kATEGORIQ WId, MORFIZMAMI KOTOROJ QWLQ@TSQ TOLXKO TOVDESTWENNYE OTOBRAVENIQ, TAKVE QWLQETSQ WERBALXNOJ. eSLI S^ITATX FSet I WId TRIWIALXNYMI WERBALXNYMI KATEGORIQMI, TO OKAZYWAETSQ, ^TO Mon I Epi | MAKSIMALXNYE NETRIWIALXNYE WERBALXNYE KATEGORII, | MINIMALXNAQ NETRIWIALXNAQ WERBALXNAQ KATEGORIQ, MEVDU Mon I NET WERBALXNYH PODKATEGORIJ (NO ESTX PRIMER WERBALXNOJ PODKATEGORII KATEGORII Mon, NE SODERVA]EJ ), A MEVDU Epi I SU]ESTWUET NE MENEE ^EM S^ETNOE MNOVESTWO PRIMEROW WERBALXNYH KATEGORIJ. w POSLEDNEM, TRETXEM PARAGRAFE GLAWY OPREDELQ@TSQ I IZU^A@TSQ MNOGOSORTNYE OBOB]ENIQ WERBALXNYH KATEGORIJ. wYQSNQETSQ, ^TO MNOGOSORTNYE WERBALXNYE KATEGORII W KONE^NOM S^ETE SWODQTSQ K ODNOSORTNYM, TAK ^TO NI^EGO PRINCIPIALXNO NOWOGO NE WOZNIKAET. wERBALXNYE KATEGORII (KAK PODKATEGORII KATEGORII KONE^NYH ORDINALOW) OBRAZU@T NE MENEE ^EM S^ETNU@ POLNU@ RE[ETKU. w MNOGOSORTNOM SLU^AE POLU^AETSQ TA VE SAMAQ RE[ETKA, NE ZAWISQ]AQ OT MNOVESTWA SORTOW.

w NA^ALE WTOROJ GLAWY DAETSQ OPREDELENIE MULXTIKATEGORII R NAD WERBALXNOJ KATEGORIEJ W. ~ASTX OPREDELENIQ, NE ZAWISQ]AQ OT WERBALXNOJ KATEGORII, UVE BYLA PRIWEDENA WY[E. sUTX DALXNEJ[EGO ZAKL@^AETSQ W SLEDU@]EM. eSLI f : [m] ! [n] | MORFIZM KATEGORII W, I ! 2 R(xf(1) : : : xf(m) y), TO OPREDELENA MULXTISTRELKA (MULXTIMORFIZM) !f : x1 : : : xn ! y IZ R(x1 : : : xn y), I \TA OPERACIQ UDOWLETWORQET RQDU SWOJSTW, QWNYJ WID KOTORYH DLQ PONIMANIQ OSNOWNYH REZULXTATOW DANNOJ RABOTY NE QWLQETSQ SU]ESTWENNYM. w SLU^AE, KOGDA W =, POLU^AETSQ IZWESTNOE OPREDELENIE SIMMETRI^ESKIH MULXTIKATEGORIJ (ILI OPERAD). iMENNO \TOT SLU^AJ I QWLQETSQ PREDMETOM IZU^ENIQ W PODAWLQ@]EM ^ISLE RABOT DRUGIH AWTOROW. iZU^AETSQ TAKVE SLU^AJ W = WId, SOOTWETSTWU@]IJ TAK NAZYWAEMYM NESIMMETRI^ESKIM OPERADAM (ILI MULXTIKATEGORIQM). w NA[EJ RABOTE RASSMATRIWA@TSQ MULXTIKATEGORII I OPERADY NAD PROIZWOLXNYMI WERBALXNYMI KATEGORIQMI.

sLEDUET ZAMETITX, ^TO W POSLEDNEE WREMQ U RQDA AWTOROW TERMIN \ MULXTIKATEGORIQ" ISPOLXZUETSQ W ZNA^ITELXNO BOLEE [IROKOM KATEGORNOM SMYSLE (SM. PODROBNOSTI, NAPRIMER, W [26]). oDNAKO TAKIE BOLEE OB]IE MULXTIKATEGORII NE SWQZANY NEPOSREDSTWENNO S UNIWERSALXNOJ ALGEBROJ, I PO\TOMU W NA[EJ RABOTE NE RASSMATRIWA@TSQ.

oB]AQ TEORIQ MULXTIKATEGORIJ I OPERAD | \TO DOSTATO^NO MOLODAQ MATEMATI^ESKAQ TEORIQ, EE ISTORIQ NAS^ITYWAET LI[X OKOLO SOROKA LET (HOTQ IMEETSQ I PREDYSTORIQ PRIMERNO TAKOJ VE PROTQVENNOSTI). oDNO IZ WOZMOVNYH NAPRAWLENIJ DALXNEJ[EGO RAZWITIQ SWQZANO S OBOB]ENIEM PONQTIJ TEORII KATEGORIJ I S PERENOSOM TEOREM TEORII KATEGORIJ NA MULXTIKATEGORNYJ SLU^AJ. sAMI VE AWTORY TEORII KATEGORIJ S^ITALI OSNOWNYM PONQTIEM SWOEJ TEORII PONQTIE ESTESTWENNOGO PREOBRAZOWANIQ.

\ kAK WPERWYE OTMETILI |JLENBERG I mAKLEJN, KATEGORIQ BYLA OPREDELENA, ^TOBY MOVNO BYLO O PREDELITX F UNKTOR, A F UNKTOR | ^TOBY MOVNO BYLO O PREDELITX E STESTWENNOE PREOBRAZOWANIE". [7, S.30].

cENTRALXNAQ TEMY, IZU^AEMAQ WO WTOROJ GLAWE NA[EJ RABOTY | \TO PONQTIE ESTESTWENNOGO MULXTIPREOBRAZOWANIQ MULXTIFUNKTOROW.

eGO MOVNO OPREDELITX WO WSEH SLU^AQH, KOGDA RASSMATRIWAEMYE MULXTIKATEGORII OPREDELENY NAD WERBALXNOJ KATEGORIEJ W, SODERVA]EJ (SREDI IZWESTWNYH PRIMEROW WERBALXNYH KATEGORIJ TAKIH BOLX[INSTWO), A MULXTIFUNKTORY SOHRANQ@T DEJSTWIE W. pRIWEDEM TO^NOE OPREDELENIE.

rASSSMATRIWAETSQ WERBALXNAQ KATEGORIQ W, SODERVA]AQ. oSOBU@ ROLX BUDUT IGRATX OTOBRAVENIQ 2, OPREDELENNYE DLQ WSEH n m nm NATURALXNYH n m 1 SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX 1 i n, 1 j m.

tOGDA PROIZWOLXNOE ^ISLO IZ MNOVESTWA f1 : : : nmg MOVNO ODNOZNA^NO PREDSTAWITX LIBO W WIDE j +(i ; 1)m, LIBO W WIDE i +(j ; 1)n DLQ PODHODQ]IH i j. pOLOVIM (i+(j; 1)n) = j+(i; 1)m. tOGDA DLQ PROIZWOLXNOn m GO KLASSA S W MNOGOSORTNOJ WERBALXNOJ KATEGORII WS, SOOTWETSTWU@]EJ ODNOSORTNOJ WERBALXNOJ KATEGORII W MOVNO INTERPRETIROWATX KAK n m MORFIZM IZ x1 1 : : : x1 m : : : xn 1 : : : xn m W x1 1 : : : xn 1 : : : x1 m : : : xn m. w SAMOM DELE, PUSTX v = v1 : : : vnm = x1 1 : : : x1 m : : : xn 1 : : : xn m, TAK ^TO xi j = vi+(j;1)n. aNALOGI^NO, ESLI u = u1 : : : unm = x1 1 : : : xn 1 : : : x1 m : : : xn m, TO xi j = uj+((i;1)m. eSLI f : v ! u | MORFIZM IZ WS, TO DOLVNO BYTX vk = uf(k). eSLI f =, k = i +(j ; 1)n, TO u n m(k) = uj+(i;1)m = xi j = n m vk. o^EWIDNO, ^TO ESLI LIBO n, LIBO m RAWNO EDINICE, TO ESTX n m TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE, I DLQ L@BYH n m IMEET MESTO RAWENSTWO ; =.

n m m n pUSTX K | MULXTIKATEGORIQ NAD W. tOGDA PO OPREDELENI@ SU]ESTWU@T OTOBRAVENIQ : K(x1 1 : : : x1 m : : : xn 1 : : : xn m z) ;! K(x1 1 : : : xn 1 : : : x1 m : : : xn m z) n m SOPROSTAWLQ@]IE MULXTISTRELKAM ! MULXTISTRELKI !.

n m oPREDELENIE. pUSTX DANY DWE MULXTIKATEGORII R I K NAD WERBALXNOJ KATEGORIEJ W, I MULXTIFUNKTORY A1 : : : An B : R ;! K.

oPREDELIM ESTESTWENNOE MULXTIPREOBRAZOWANIE (ILI MULXTIMORFIZM MULXTIFUNKTOROW) IZ STROKI A = A1 : : : An W B (OBOZNA^ENIE : A ! B ) KAK SLEDU@]IJ KOMPLEKS DANNYH. dLQ L@BOGO x 2 Ob(R) ZADAETSQ \LEMENT 2 K(A1(x) : : : An(x) B), I DLQ KAVDOGO ! 2 R(x1 : : : xm y) x IMEET MESTO RAWENSTWO:

A1(!) : : : An(!) = B(!) : : : (xn) n m y xw SLU^AE n = 1 m = 1 OPREDELENIE ESTESTWENNOGO MULXTPREOBRAZOWANIQ SWODITSQ K OPREDELENI@ OBY^NOGO ESTESTWENNOGO PREOBRAZOWANIQ FUNKTOROW.

iSPOLXZUQ ESTESTWENNYE MULXTIPREOBRAZOWANIQ, W x 2.2 POKAZYWAETSQ, ^TO KLASS MULXTIFUNKTOROW IZ ODNOJ MULXTIKATEGORII W DRUGU@ MULXTIKATEGORI@ (NAD DANNOJ WERBALXNOJ KATEGORIEJ W ) SAM OBLADAET ESTESTWENNOJ STRUKTUROJ W -MULXTIKATEGORII. tAKIM OBRAZOM, POLU^AETSQ OBOB]ENIE KATEGORIJ FUNKTOROW, IGRA@]IH SU]ESTWENNU@ ROLX I W ALGEBRE, I W TEORII KATEGORIJ (W ^ASTNOSTI, W TEORII TOPOSOW). w x 2.STROITSQ MULXTIKATEGORNYJ ANALOG WAVNOJ DLQ TEORII KATEGORIJ KONSTRUKCII KOMMA-KATEGORIJ (KATEGORII-ZAPQTOJ W RUSSKOM PEREWODE KNIGI [7]). u NAS \TOT ANALOG NAZYWAETSQ KOMMA-MULXTIKATEGORIEJ. pOKAZYWAETSQ, ^TO, KAK I W KATEGORNOM SLU^AE, ZADANIE ESTESTWENNOGO MULXTIPREOBRAZOWANIQ RAWNOSILXNO ZADANI@ NEKOTOROGO MULXTIFUNKTORA W KOMMA-MULXTIKATEGORI@.

tEMA x 2.4 | OB]EE OPREDELENIE ALGEBRY NAD MULXTIKATEGORIEJ KAK MULXTIFUNKTORA IZ DANNOJ MULXTIKATEGORII R W DRUGU@ MULXTIKATEGORI@ MK, KOTORAQ ESTESTWENNYM OBRAZOM STROITSQ PO STROGO MONOIDALXNOJ KATEGORII K. oB_EKTAMI MK QWLQ@TSQ OB_EKTY K, A MK(x1 : : : xm y) = K(x1 xm y). wYQSNQETSQ, KAKIM USLOWIQM DOLVNA UDOWLETWORQTX \TA STROGO MONOIDALXNAQ KATEGORIQ K, ^TOBYNA MULXTIKATEGORII WSEH MULXTIFUNKTOROW IZ R W MK (T.E. R -ALGEBR) MOVNO BYLO OPREDELITX STRUKTURU W -MULXTIKATEGORII. w \TOM VE PARAGRAFE STROITSQ RQD DRUIH WAVNYH DLQ DALXNEJ[EGO PRIMEROW MULXTIKATEGORIJ.

pODMULXTIKATEGORI@ MULXTIKATEGORII MULXTIFUNKTOROW S ODNIM OB_EKTOM | NEKOTORYM MULXTIFUNKTOROM | ESTESTWENNO NAZWATX OPERADOJ \NDOMORFIZMOW DANNOGO MULXTIFUNKTORA (OPERADOJ | POSKOLXKU \TO MULXTIKATEGORIQ S ODNIM OB_EKTOM). iZWESTNYE OPERADY \NDOMORFIZMOW DEJSTWITELXNO QWLQ@TSQ O^ENX ^ASTNYMI SLU^AQMI \TOJ OB]EJ KONSTRUKCII. w x 2.5 NA^ATO IZU^ENIE DRUGOGO ^ASTNOGO SLU^AQ | OPERADY \NDOMORFIZMOW TOVDESTWENNYH MULXTIFUNKTOROW, KOTORYE ESTESTWENNO NAZWATX CENTRAMI SOOTWETSTWU@]IH MULXTIKATEGORIJ. dANA WNUTRENNQQ HARAKTERIZACIQ \TIH OPERAD, KOTORYE NAZWANY KOMMUTATIWNYMI OPERADAMI. kOMMUTATIWNYMI QWLQ@TSQ MNOGIE WAVNYE OPERADY. kOMMUTATIWNYE OPERADY IGRA@T WAVNU@ ROLX W DALXNEJ[IH GLAWAH DANNOJ RABOTY.

pONQTIE WERBALXNOJ KATEGORII POZWOLQET RAS[IRITX KAK GRANICY TEORII OPERAD, TAK I GRANICY TRADICIONNOJ TEORII MNOGOOBRAZIJ UNIWERSALXNYH ALGEBR. sITUACI@ MOVNO W PERWOM PRIBLIVENII OPISATX SLEDU@]IM OBRAZOM. s KAVDOJ WERBALXNOJ KATEGORIEJ SWQZAN OSOBYJ KLASS \ SIGNATUR" SetW | FUNKTOROW IZ DANNOJ S POMO]X@ KOTOROGO MOVNO OPREDELITX NEKIJ ANALOG WSEJ TEORII \ OBY^NYH" UNIWERSALXNYH ALGEBR.

pRI \TOM \ OBY^NYE" UNIWERSALXNYE ALGEBRY | \TO SLU^AJ TRIWIALXNOJ WERBALXNOJ KATEGORII WId. tAKIM OBRAZOM, KAVDOJ WERBALXNOJ KATEGORII SOOTWETSTWUET POLNYJ ANALOG WSEJ TRADICIONNOJ UNIWERSALXNOJ ALGEBRY, W KOTOROM ESTX SWOI TOVDESTWA, SWOI MNOGOOOBRAZIQ, I SWOI OPERADY (OPERADY NAD DANNOJ WERBALXNOJ KATEGORIEJ). wSE \TI ANALOGI TRADICIONNYH OB_EKTOW MOVNO INTERPRETIROWATX WNUTRI TRADICIONNOJ UNIWERSALXNOJ ALGEBRY S POMO]X@ ESTESTWENNO WOZNIKA@]IH \ ZABYWA@]IH" FUNKTOROW SetW ! SetWId. |TO DAET, W ^ASTNOSTI, NEKIJ SPOSOB KRUPNOMAS[TABNOJ KLASSIFIKACII TOVDESTW: KLASSY TOVDESTW SOOTWETSTWU@T WERBALXNYM KATEGORIQM. w ^ASTNOSTI, POLILINEJNYE TOVDESTWA SOOTWETSTWU@T WERBALXNOJ KATEGORII, WSE MORFIZMY KOTOROJ BIEKTIWNY, A WSE WOZMOVNYE TOVDESTWA SOOTWETSTWU@T MAKSIMALXNOJ WERBALXNOJ KATEGORII. wSE \TO PODROBNO POKAZANO W TRETXEJ GLAWE DANNOJ RABOTY.

pRI \TOM WAVNU@ ROLX IGRAET PONQTIE RACIONALXNOJ \KWIWALENTNOSTI MNOGOOBRAZIJ, WWEDENNOE W 1959-MGODU a.i. mALXCEWYM (SM. [8], [11, GLAWA 1]). nEFORMALXNO GOWORQ, DWA MNOGOOBRAZIQ RACIONALXNO \KWIWALENTNY, ESLI ALGEBRY ODNOGO MNOGOOBRAZIQ I ALGEBRY DRUGOGO | \TO ODNI I TE VE MNOVESTWA, I OPERACII, KOTORYE OPREDELQ@T STRUKTURU ALGEBR RAZLI^NYH DWUH MNOGOOBRAZIJ NA \TIH (SOWPADA@]IH) MNOVESTWAH, MOVNO WYRAZITX DRUG ^EREZ DRUGA. aNALOGI^NOE PONQTIE MOVNO OPREDELITX I DLQ MNOGOSORTNYH UNIWERSALXNYH ALGEBR. rACIONALXNO \KWIWALENTNYE MNOGOOBRAZIQ | \TO W NEKOTOROM SMYSLE \ ODNO I TO VE" MNOGOOBRAZIE, TOLXKO PREDSTAWLENNOE S POMO]X@ RAZLI^NYH \KWIWALENTNYH DRUG DRUGU NABOROW OPERACIJ (SIGNATUR).

w x 3.1 USTANOWLENA SWQZX MEVDU FSet -OPERADAMI I ABSTRAKTNYMI KLONAMI. oKAZALOSX, ^TO \TI PONQTIQ RAWNOSILXNY (S TO^NOSTX@ DO RACIONALXNOJ \KWIWALENTNOSTI). pO KAVDOMU ABSTRAKTNOMU KLONU STROITSQ FSet -OPERADA, I NAOBOROT, PO KAVDOJ FSet -OPERADE STROITSQ ABSTRAKTNYJ KLON. sOOTWETSTWIE WZAIMNO-ODNOZNA^NO. pRI \TOM MNOGOOBRAZIQ ALGEBR NAD FSet -OPERADOJ I NAD SOOTWETSTWU@]IM EJ ABSTRAKTNYM KLONOM RACIONALXNO \KWIWALENTNY. oTMETIM, ^TO PONQTIE ABSTRAKTNOGO KLONA, W SWO@ O^EREDX, \KWIWALENTNO PONQTI@ lOWEROWSKOJ ALGEBRAI^ESKOJTEORII [25], PRI^EM ZADANIE ABSTAKTNOGO KLONA (KAK I ALGEBRAI^ESKOJ TEORII) RAWNOSILXNO ZADANI@ KATEGORII SWOBODNYH ALGEBR S KONE^NYMI BAZISAMI W MNOGOOBRAZII ALGEBR NAD DANNYM KLONOM. rEZULXTATY x 3.1 MOVNO INTERPRETIROWATX SLEDU@]IM OBRAZOM: WSQ TEORIQ ABSTRAKTNYH KLONOW (I RAWNOSILXNYH IM OB_EKTOW) QWLQETSQ, PO-SUTI, ^ASTX@ TEORII OPERAD NAD WERBALXNYMI KATEGORIQMI.

oTMETIM, ^TO NALI^IE SWQZI MEVDU TEM, ^TO POZDNEE BYLO NAZWANO OPERADAMI, I ABSTRAKTNYMI KLONAMI, O]U]ALASX (SUDQ PO NAZWANI@ RABOTY) E]E AWTOROM [2]. zNA^ITELXNO POZDNEE, W 2006-M GODU, POQWILASX STATXQ [27], W KOTOROJ BYLA SDELANA POPYTKA WYQSNITX SOOTNO[ENIE MEVDU (LOWEROWSKIMI) ALGEBRAI^ESKIMI TEORIQMI I OPERADAMI. pOSKOLXKU W RASPORQVENII AWTORA \TOJ RABOTY BYLI TOLXKO SIMMETRI^ESKIE I NESIMMETRI^ESKIE OPERADY, TO POLNOGO RE[ENIQ, RAZUMEETSQ, NE POLU^ILOSX.

sUDQ PO WSEMU, AWTOR [27] NE BYL ZNAKOM S NA[EJ BOLEE RANNEJ RABOTOJ [39], GDE ZADA^A BYLA RE[ENA POLNOSTX@. w TOMVE 2006-M GODU POQWILASX RABOTA [16], GDE TAKVE OBSUVDALASX SWQZX MEVDU OPERADAMI I KLONAMI, NO I W NEJ DELO OGRANI^IWAETSQ SIMMETRI^ESKIMI I NESIMMETRI^ESKIMI OPERADAMI. rABOTA [22] W [16] UPOMINAETSQ, NO INTERESU@]AQ NAS TEMA WERBALXNYH KATEGORIJ OSTAETSQ WNE POLQ ZRENIQ AWTORA.

dALEE W NA[EJ RABOTE (W x 3.2) OPISYWA@TSQ SWOBODNYE ALGEBRY W MNOGOOBRAZII Alg(RW) ALGEBR NAD PROIZWOLXNOJ W -OPERADOJ R.

w x 3.3 POLU^ENY SLEDU@]IE REZULXTATY. sNA^ALA DOKAZYWAETSQ, ^TO, ESLI R ESTX FSet -MULXTIKATEGORIQ S KLASSOM OB_EKTOW S, TO DLQ KAVDOGO SEMEJSTWA s1 : : : sn 2 S SEMEJSTWO fR(s1 : : : sn t)j t Sg ESTX SWOBODNAQ ALGEBRA S BAZISOM IZ n \LEMENTOW (SOOTWETSTWU@]IH s1 : : : sn ) W MNOGOOBRAZII R -ALGEBR. |TO SEMEJSTWO OSTANETSQ ALGEBROJ (NO UVE NE OBQZATELXNO SWOBODNOJ), DAVE ESLI R ESTX EpiMULXTIKATEGORIQ. s DRUGOJ STORONY, ESLI M | PROIZWOLXNOE MNOGOOBRAZIE MNOGOSORTNYH ALGEBR, TO SEMEJSTWO SWOBODNYH KONE^NO POROVDENNYH SWOBODNYH ALGEBR \TOGO MNOGOOBRAZIQ MOVNO PREWRATITX W FSet MULXTIKATEGORI@. pOKAZANO, ^TO MNOGOOBRAZIE M RACIONALXNO \KWIWALENTNO MNOGOOBRAZI@ ALGEBRNAD \TOJMULXTIKATEGORIEJ. tAKIM OBRAZOM, W DANNOM PARAGRAFE POLU^ENY (W KONE^NOM S^ETE) I MULXTIKATEGORNYE ANALOGI REZULXTATOW x 3.1, NO BEZ ISPOLXZOWANIQ PONQTIQ ABSTRAKTNOGO KLONA.

tAKIM OBRAZOM, W PERWOM PRIBLIVENII WSQ TEORIQ UNIWERSALXNYH ALGEBR RASSMATRIWAEMAQ \ PO MODUL@" RACIONALXNOJ \KWIWALENTNOSTI | \TO TEORIQ ALGEBR NAD OPERADAMI (W MNOGOSORTNOM SLU^AE | NAD MULXTIKATEGORIQMI). mOVNO DAVE SKAZATX, ^TO SOOTNO[ENIE MEVDU TEORIEJ MNOGOOBRAZIJ ALGEBR NAD OPERADAMI I KLASSI^ESKOJ TEORIEJ MNOGOOBRAZIJ MULXTIOPERATORNYH ALGEBR (OPREDELQEMYH TRADICIONNO S POMO]X@ SIMWOLOW OPERACIJ I TOVDESTW) NOSIT PRIMERNO TAKOJ VE HARAKTER, KAK I SOOTNO[ENIE MEVDU OB]EJ TEORIEJ GRUPP I KOMBINATORNOJ TEORIEJ GRUPP. pRI \TOM PO^TI IS^EZAET GRANX MEVDU UNIWERSALXNOJ ALGEBROJ I TEORIEJ KATEGORIJ: I TO, I DRUGOE WKL@^AETSQ W BOLEE OB]U@ TEORI@ MULXTIKATEGORIJ KAK ^ASTNYE SLU^AI.

w x 3.4 PO PROIZWOLXNOJ WERBALXNOJ KATEGORII W STROITSQ W OPERADA OW (W MNOGOSORTNOM SLU^AE | MULXTIKATEGORIQ). pOLU^AETSQ, TAKIM OBRAZOM, OB[IRNYJ KLASS PRIMEROW MULXTIKATEGORIJ I OPERAD, BOLX[EJ ^ASTX@ RANEE NEIZWESTNYH. w \TOT VE KLASS WHODIT I OPERADA, n-J KOMPONENTOJ KOTOROJ QWLQETSQ GRUPPA PODSTANOWOK n-J STEPENI. dALEE WY^ISLENY (S TO^NOSTX@ DO RACIONALXNOJ \KWIWALENTNOSTI) n MNOGOOBRAZIQ ALGEBR NAD OPERADAMI I MULXTIKATEGORIQMI WIDA OW.

oKAZALOSX, ^TO, NAPRIMER, DLQ OPERAD \TO WO WSEH SLU^AQH ODNO I TO VE MNOGOOBRAZIE | MNOGOOBRAZIE WSEH POLUGRUPP S EDINICEJ. w MULXTIKATEGORNOM SLU^AE POLU^A@TSQ EGO MNOGOSORTNYE ANALOGI POLUGRUPP S EDINICEJ, ZAWISQ]IE TOLXKO OT MNOVESTWA SORTOW, NO NE OT WERBALXNOJ KATEGORII W.

mETOD, ISPOLXZOWANNYJ W x 3.4 DLQ POSTROENIQ OPERAD WIDA OW, ISPOLXZUETSQ W x 3.5 DLQ POSTROENIQ SWOBODNYH W -OPERAD. pUSTX W | NEKOTORAQ WERBALXNAQ KATEGORIQ, R | NEKOTORAQ WId -OPERADA. oPREDELIM SEMEJSTWO RW = fRW(n)j n =0 1 2 : : : g SLEDU@]IM OBRAZOM:

a RW(n) = R(m) W(m n) m>=dLQ KAVDOGO n OPREDELENO OTOBRAVENIE : R(n) ! RW(n), SOPRSTAWn LQ@]EE \LEIMENTU a 2 R(n) \LEMENT (a id) 2 R(n) W(n n). ~EREZ : R ! RW OBOZNA^IM WSE SEMEJSTWO OTOBRAVENIJ. oPREDELENNOE n TOLXKO ^TO SEMEJSTWO RW QWLQETSQ W -OPERADOJ, A SEMEJSTWO | GOMOMORFIZMOM WId -OPERAD. pRI \TOM WYPOLNQETSQ SLEDU@]EE UNIWERSALXNOE SWOJSTWO. dLQ L@BOJ W -OPERADY O I PROIZWOLXNOGO GOMOMORFIZMA WId -OPERAD : R ! O SU]ESTWUET, PRITOM TOLXKO ODIN, GOMOMORFIZM W -OPERAD : RW ! O TAKOJ, ^TO =. pRI DOKAZATELXSTWE \TOGO ISPOLXZU@TSQ REZULXTATY x 3.4. oBOZNA^IM ^EREZ FO SWOBODNU@ WId OPERADU S BAZISOM (FAKTI^ESKI ESTX NEKOTORAQ SIGNATURA). kOMPONENTA \TOJ OPERADY FO (n) REALIZUETSQ KAK PODMNOVESTWO W ABSOL@TNO SWOBODNOJ -ALGEBRE Fr (x1 : : : xn), SOSTOQ]EE IZ WSEH -SLOW, W KOTORYE WHODQT WSE \LEMENTY BAZISA x1 : : : xn, PRI^EM IMENNO W UKAZANNOM PORQDKE, I KAVDYJ \LEMENT xi WHODIT W TO^NOSTI ODIN RAZ.

tEOREMA 3.5.3. oPERADA FO W QWLQETSQ SWOBODNOJ W -OPERADOJ S BAZISOM.

w DALXNEJ[EM BUDEM OBOZNA^ATX SWOBODNU@ W -OPERADU FO W ^EREZ FO W.

tEOREMA 3.5.4. mNOGOOBRAZIQ Alg(FO W) I Alg( ) RACIONALXNO \KWIWALENTNY. w ^ASTNOSTI, MOVNO OTOVDESTWLQTX SWOBODNYE FO W -ALGEBRY I S WOBODNYE -ALGEBRY.

w ^ASTNOSTI, SWOBODNU@ -ALGEBRU Fr (X) MOVNO OTOVDESTWITX SO SWOBODNOJ FO -ALGEBROJ S BAZISOM X, KOTORAQ USTROENA SLEDU@]IM OBRAZOM:

a FrFO (X) = FO (m) Xm:

m>=oTS@DA SLEDUET, ^TO \LEMENTY Fr (X) MOVNO ODNOZNA^NO PREDSTAWLQTX W WIDE wx (OTOVDESTWLQQ PARU (w x) SO STROKOJ wx ), GDE w 2 FO (m), x = x1 : : : xm, \LEMENTY x1 : : : xm 2 X NE OBQZATELXNO RAZLI^NY.

w SLEDU@]EM x 3.6 RE[AETSQ WOPROS O TOM, KOGDA MNOGOOBRAZIE UNIWERSALXNYH ALGEBR RACIONALXNO \KWIWALENTNO MNOGOOBRAZI@ ALGEBR NAD OPERADOJ, OPERDELENNOJ NAD PROIZWOLXNOJ WERBALXNOJ KATEGORIEJ W.

|LEMENT IZ Fr (X)2 BUDEM NAZYWATX W -TOVDESTWOM, ESLI ON IMEET WID (w1(xf1) w2(xf2)), GDE wi 2 FO (mi), fi 2 W([mi] [n]), i = 1 2, x = x1 : : : xn, I WSE x1 : : : xn 2 X RAZLI^NY. pRI \TOM xfi = xfi(1) : : : xfi(mi).

tEOREMA 3.6.2. sU]ESTWUET IZOMORFIZM MEVDU RE[ETKOJ KONGRU\NCIJ SWOBODNOJ W -OPERADY FO W I PODRE[ETKOJ RE[ETKI WPOLNE INWARIANTNYH KONGRU\NCIJ SWOBODNOJ -ALGEBRY Fr (X) SO S^ETNYM BAZISOM X, SOSTOQ]EJ IZ KONGRU\NCIJ, POROVDENNYH W -TOVDESTWAMI.

tEOREMA 3.6.4. eSLI R ESTX W -OPERADA, TO MNOGOOBRAZIE Alg(RW) OPREDELQETSQ W -TOVDESTWAMI.

tEOREMA 3.6.5. eSLI MNOGOOBRAZIE -ALGEBR M OPREDELQETSQ W TOVDESTWAMI, TO ONO RACIONALXNO \KWIWALENTNO MNOGOOBRAZI@ WIDA Alg(RW ), GDE R ESTX W -OPERADA.

sFORMULIROWANNYE TOLXKO ^TO REZULXTATY MOVNO S^ITATX OSNOWOJ UPOMINAW[EJSQ WY[E KLASSIFIKACII TOVDESTW, PRI KOTOROJ KLASSY TOVDESTW ( W -TOVDESTWA) SOOTWETSTWU@T WERBALXNYM KATEGORIQM W.

w SLU^AE MULXTIKATEGORIJ FORMULIROWKI I DOKAZATELXSTWA SOWER[ENNO ANALOGI^NY. nAPOMNIM, ^TO W GLAWE 1 BYLO POKAZANO, ^TO KAVDAQ MNOGOSORTNAQ WERBALXNAQ KATEGORIQ ODNOZNA^NO STROITSQ PO NEKOTOROJ ODNOSORTNOJ, PO\TOMU NI^EGO PRINCIPIALXNO NOWOGO NE WOZNIKAET.

w x 3.7 OBSUVDA@TSQ POLU^ENNYE REZULXTATY. kRATKAQ WERSIQ \TOGO OBSUVDENIQ UVE PRIWEDENA WY[E.

gLAWA 4 NA^INAETSQ S BOLEE PODROBNOGO IZU^ENIQ KOMMUTATIWNYH OPERAD. pRIWEDEM TO^NOE OPREDELENIE. pUSTX Z | OPERADA NAD NEKOTOROJ WERBALXNOJ KATEGORIEJ W, TAKOJ, ^TO W. nAZOWEM OPERADU Z KOMMUTATIWNOJ, ESLI DLQ L@BYH 2 Z(n), ! 2 Z(m) IMEET MESTO TOVDESTWO:

m n z }| { z }| { !: : : ! =(! : : : ) n m oBOZNA^IM DEJSTWIE \LEMENTA OPERADY 2 Z(n) NA \LEMENTY a1 : : : an n P ( ) IZ Z -ALGEBRY A KAK ai. eSLI OPERADA Z KOMMUTATIWNA, TO DLQ L@i=BYH 2 Z(n) I ! 2 Z(m) W L@BOJ Z -ALGEBRE IMEET MESTO TOVDESTWO:

n m m n X X X X ( ) (!) (!) ( ) ai j = ai j i=1 j=1 j=1 i=gOMOMORFIZM MEVDU ALGEBRAMI NAD KOMMUTATIWNOJ OPERADOJ W \TIH OBOn n P P ( ) ( ) ZNA^ENIQH ESTX TAKOE OTOBRAVENIE h, ^TO h( ai) = h(ai) DLQ i=1 i=L@BOGO 2 Z(n) I WEWOZMOVNYH a1 : : : an. tAKKIE GOMOMORFIZMY ESTESTWENNO NAZYWATX Z -LINEJNYMI O TOBRAVENIQMI. kAK UVE BYLO SKAZANO WY[E, KOMMUTATIWNYE OPERADY | \TO CENTRY MULXTIKATEGORIJ W TOM VE SMYSLE, W KAKOM, NAPRIMER, KOMMUTATIWNYE ASSOCIATIWNYE KOLXCA QWLQ@TSQ CENTRAMI PREDADDITIWNYH KATEGORIJ. w PERWOM PARAGRAFE GLAWY 4 POKAZANO TAKVE, ^TO ^ASTNYMI SLU^AQMI KOMMUTATIWNYH OPERAD FAKTI^ESKI QWLQ@TSQ DAWNO IZWESTNYE KOMMUTATIWNYE LOWEROWSKIE ALGEBRAI^ESKIE TEORII (SM. [15, De nition 3.10.1, p.166]). tO^NEE, WWIDU REZULXTATOW x 3.1 IMEET MESTO RACIONALXNAQ \KWIWALENTNOSTX MEVDU KOMMUTATIWNYMI FSet -OPERADAMI, I TEMI ABSTRAKTNYMI KLONAMI, KOTORYE SOOTWETSTWU@T KOMMUTATIWNYM ALGEBRAI^ESKIM (LOWEROWSKIM) TEORIQM.

mNOGOOBRAZIQ ALGEBRNAD KOMMUTATIWNYMI OPERADAMI W NEKOTOROM SMYSLE POHODQT NA KATEGORII MODULEJ NAD KOMMUTATIWNYMI KOLXCAMI. w ^ASTNOSTI, DLQ ALGEBR NAD KOMMUTATIWNYMI OPERADAMI MOVNO OPREDELITX POLILINEJNYE OTOBRAVENIQ I TENZORNYE PROIZWEDENIQ. pRIMERAMI MNOGOOBRAZIJ ALGEBR NAD KOMMUTATIWNYMI OPERADAMI QWLQ@TSQ KATEGORII MODULEJ NAD KOMMUTATIWNYMI KOLXCAMI, A TAKVE WSQ KATEGORIQ MNOVESTW. mNOGOOBRAZIE ALGEBR NAD KOMMUTATIWNOJ OPERADOJ Z OKAZYWAETSQ UDOBNYM DLQ POSTROENIQ (PO ANALOGII S TEORIEJ LINEJNYH MULXTIOPERATORNYH ALGEBR) TEORII Z -LINEJNYH MULXTIOPERATORNYH ALGEBR, W ^ASTNOSTI, ALGEBR, OPREDELQEMYH Z -POLILINEJNYMI TOVDESTWAMI. pRI \TOM POQWLQETSQ WOZMOVNOSTX OB_EDINENIQ W ODNU TEORI@ TEORIJ NELINEJNYH I LINEJNYH UNIWERSALXNYH ALGEBR, RANEE RAZWIWAW[IHSQ DOSTATO^NO IZOLIROWANNO DRUG OT DRUGA. wSE \TO TAKVE IZLOVENO W x 4.1.

w SLEDU@]EM PARAGRAFE RAZWIWAETSQ TEORIQ Z -LINEJNYH OPERAD Z -LINEJNOJ NAZYWAETSQ TAKAQ -OPERADA R, KAVDAQ KOMPONENTA KOTOROJ R(n) ESTX ALGEBRA NAD KOMMUTATIWNOJ W -OPERADOJ Z (PRI \TOM KATEGORIQ W NE OBQZANA SOWPADATX S ), A OPERACII KOMPOZICII R(m) R(n1) R(nm) ;! R(n1 + + nm) QWLQ@TSQ Z -LINEJNYMI PO WSEM TEM ARGUMENTAM IZ R(k), DLQ KOTORYH k = 0. aLGEBRY NAD TAKIMI OPERADAMI ESTESTWENNO S^ITATX TAKVE Z ALGEBRY, A OPERACII R(m) Am ! A, OPREDELQ@]IE NA A STRUKTURU R -ALGEBRY, ESTESTWENNO n > 0 S^ITATX Z -LINEJNYMI PO KAVDOMU ARGUMENTU (T.E. Z -POLILINEJNYMI).

oSNOWNOJ REZULXTAT GLAWY 4 TAKOW: MNOGOOBRAZIE MULXTIOPERATORNYH Z -LINEJNYH ALGEBR OPREDELQETSQ Z -POLILINEJNYMI TOVDESTWAMI TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONO RACIONALXNO \KWIWALENTNO MNOGOOBRAZI@ ALGEBR NAD Z -LINEJNOJ SIMMETRI^ESKOJ OPERADOJ. |TOT REZULXTAT WMESTE SO WSEMKOMPLEKSOM SOOTWETSTWU@]IH PONQTIJ I OPREDELENIJ PO^TI DOSLOWNO PERENOSITSQ NA SLU^AJ MULXTIKATEGORIJ. |TO SDELANO W x 4.I x 4.5. w PARAGRAFE 4.4 WY^ISLQ@TSQ W QWNOM WIDE DWE KATEGORII (MNOGOOBRAZIQ) ALGEBR NAD Z -LINEJNYMI MULXTIKATEGORIQMI SPECIALXNOGO WIDA. oDNA IZ NIH STROITSQ PO STROGO MONOIDALXNOJ KATEGORII, DRUGAQ | PO PROIZWOLXNOJ KATEGORII.

rEZULXTATY ^ETWERTOJ GLAWY POZWOLQ@T SDELATX WYWOD, ^TO ISPOLXZOWANIE KOMMUTATIWNYH OPERAD DAET WOZMOVNOSTX RAZWIWATX NA EDINOJ OSNOWE I TEORI@ NELINEJNYH, I TEORI@ LINEJNYH MULXTIOPERATORNYH ALGEBR, KOTORYE DO SIH POR IZLAGALISX OTDELXNO DRUG OT DRUGA (SM., NAPRIMER, IZLOVENIE TEORII LINEJNYH MULXTIOPERATORNYH ALGEBR W [6] I [3]). w NELINEJNOM SLU^AE NADO PROSTO WZQTX ZA OSNOWU MNOGOOBRAZIE ALGEBR NAD KOMMUTATIWNOJ OPERADOJ, PERWAQ KOMPONENTA KOTOROJ SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA, A OSTALXNYE PUSTY (KATEGORIQ ALGEBR NAD TAKOJ OPERADOJ \KWIWALENTNA KATEGORII MNOVESTW), A W LINEJNOM SLU^AE BERETSQ DRUGAQ KOMMUTATIWNAQ OPERADA, KOTORAQ STROITSQ PO KOMMUTATIWNOMU ASSOCIATIWNOMU KOLXCU S EDINICEJ, I ALGEBRY NAD TAKOJ OPERADOJ | \TO FAKTI^ESKI (TO ESTX S TO^NOSTX@ DO RACIONALXNOJ \KWIWALENTNOSTI) MODULI NAD DANNYM KOLXCOM. nO, RAZUMEETSQ, IMEETSQ OGROMNOE KOLI^ESTWO DRUGIH KOMMUTATIWNYH OPERAD.

w PQTOJ GLAWE STROITSQ TEORIQ MULXTIOPERATORNYH SUPERALGEBR.

tRADICIONNAQ SUPERALGEBRA | \TO Z2- GRADUIROWANNYJ MODULX NAD KOMMUTATIWNYM ASSOCIATIWNYM KOLXCOM S EDINICEJ, S ZADANNOJ NA NEM BINARNOJ BILINEJNOJ OPERACIEJ x y, OBLADA@]EJ SWOJSTWOM: ESLI x y | ODNORODNY, I x y | IH STEPENI (\LEMENTY MNOVESTWA f0 1g ), TO e e ee x y = ;(;1)xy y x. k\TOMU TOVDESTWU DOBAWLQ@TSQ DRUGIE, HARAKTERIZU@]IE SUPERALGEBRU KAK OB_EKT IZ TOGO ILI INOGO MNOGOOBRAZIQ (ASSOCIATIWNYH, LIEWSKIH, JORDANOWYH I T.P.) SUPERALGEBR. wOZMOVNO LI TAKOE OBOB]ENIE \TOGO OPREDELENIQ, KOTOROE PRIWODILO BY K TEORII, PODOBNOJ TEORII LINEJNYH MULXTIOPERATORNYH ALGEBR W DUHE RABOT [6] I [3]? nA[ OTWET NA \TOT WOPROS POLOVITELEN. pRI \TOMOKAZYWAETSQ, ^TO U KAVDOGO MNOGOOBRAZIQ \ OBY^NYH" LINEJNYH MULXTIOPERATORNYH ALGEBR, OPREDELQEMYH POLILINEJNYMI TOVDESTWAMI, IMEETSQ \ SUPER"ANALOG. iMEETSQ TAKVE ANALOG GRASSMANOWOJ OBOLO^KI SUPERALGEBRY DLQ SAMOGO OB]EGO SLU^AQ, KOTORYJ OBLADAET TO^NO TAKIM VE \ KLASSIFICIRU@]IM" SWOJSTWOM, ^TO I W SLU^AE SUPERALGEBR S ODNOJ BINARNOJ OPERACIEJ.

oPI[EM WKRATCE SODERVANIE GLAWY 5. w x 5.1 OPISYWAETSQ SPOSOB POSTROENIQ MNOGOOBRAZIJ SUPERALGEBR DLQ PROIZWOLXNOJ SIGNATURY.

oSNOWOJ DLQ OPREDELENIQ SUPERALGEBR W TAKOM OB]EM SLU^AE QWLQETSQ PREDPOLOVENIE O TOM, ^TO NA MNOVESTWE n-ARNYH OPERACIJ DEJSTWUET n SPRAWA GRUPPA PODSTANOWOK n-J STEPENI, A TAKVE NALI^IE OSOBOGO LEn WOGO DEJSTWIQ GRUPPY NA n-JTENZORNOJ STEPENI Z2 - GRADUIROWANNOGO n MODULQ L NAD KOMMUTATIWNYM KOLXCOM. iSPOLXZUQ \TO OPREDELENIE, MOVNO RAZWIWATX TEORI@ TOVDESTW I MNOGOOBRAZIJ LINEJNYH -SUPERALGEBR ANALOGI^NO TOMU, KAK \TO DELAETSQ DLQ LINEJNYH -ALGEBR. w ^ASTNOSTI, WWODITSQ PONQTIE POLILINEJNOGO TOVDESTWA. eSLI RASSMATRIWA@TSQ ALGEBRY NAD POLEM NULEWOJ HARAKTERISTIKI, TO L@BOE MNOGOOBRAZIE SUPERALGEBR OPREDELQETSQ POLILINEJNYMI TOVDESTWAMI (DLQ LINEJNYH -ALGEBR \TO HORO[O IZWESTNYJ FAKT).

w x 5.2 WWODITSQ PONQTIE SUPERALGEBR NAD LINEJNYMI -OPERADAMI (ILI SIMMETRI^ESKIMI OPERADAMI). oTMETIM, ^TO RASSMATRIWA@TSQ TOLXKO SIMMETRI^ESKIE I (INOGDA) NESIMMETRI^ESKIE OPERADY. dALEE cTROITSQ Z2-GRADUIROWANNYJ ANALOG \ OPERADY \NDOMORFIZMOW", KOTORAQ WPERWYE POQWILASX, PO-WIDIMOMU, W RABOTE [2]. |TO POZWOLQET OPREDELITX PONQTIE SUPERALGEBRY NAD OPERADOJ. pOKAZANO, ^TO MNOGOOBRAZIE SUPERALGEBR (W SMYSLE x 5.1) NAD LINEJNOJ SIMMETRI^ESKOJ OPERADOJ OPREDELQETSQ POLILINEJNYMI TOVDESTWAMI, I ^TO IZWESTNYE TIPY SUPERALGEBR (KOMMUTATIWNYE, ASSOCIATIWNYE, LIEWSKIE, JORDANOWY, ALXTERNATIWNYE, SUPERALGEBRY mALXCEWA) POLU^A@TSQ KAK SUPERALGEBRY NAD OPERADAMI, SOOTWETSTWU@]IMI MNOGOOBRAZIQM SOOTWETSTWENNO KOMMUTATIWNYH, ASSOCIATIWNYH, LIEWSKIH, IORDANOWYH I ALXTERNATIWNYH ALGEBR.

w x 5.3 DOKAZYWAETSQ, ^TO MNOGOOBRAZIE SUPERALGEBR OPREDELQETSQ POLILINEJNYMI TOVDESTWAMI TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI ONO RACIONALXNO \KWIWALENTNO MNOGOOBRAZI@ SUPERALGEBR SAlg(R) DLQ NEKOTOROJ LINEJNOJ SIMMETRI^ESKOJ OPERADY R. |TOT REZULXTAT ANALOGI^EN OSNOWNOMU REZULXTATU GLAWY 4. w x 5.4 WWODITSQ PONQTIE GRASSMANOWOJ OBOLO^KI DLQ SUPERALGEBR NAD PROIZWOLXNOJ LINEJNOJ OPERADOJ, I POKAZYWAETSQ, ^TO TRADICIONNYJ SPOSOB OPREDELENIQ PRINADLEVNOSTI SUPERALGEBRY K TOMU ILI INOMU MNOGOOBRAZI@ W SLU^AE TRADICIONNYH SUPERALGEBR c ODNOJ BINARNOJ OPERACIEJ UMNOVENIQ RAWNOSILEN TOMU SPOSOBU OPREDELENIQ MNOGOOBRAZIJ SUPERALGEBR, KOTORYJ BYL WWEDEN W x 5.1 I x 5.2. w OB]EM SLU^AE ISPOLXZOWANIE GRASSMANOWOJ OBOLO^KI POZWOLQET USTANOWITX SWQZX MEVDU MNOGOOBRAZIEM SAlg(R) SUPERALGEBR NAD OPERADOJ R, I MNOGOOBRAZIEM Alg(R) ALGEBR NAD \TOJ VE OPERADOJ. w x 5.5 WWODITSQ I ISSLEDUETSQ OPERADNYJ ANALOG PREDSTAWLENIQ SUPERALGEBR | MODULI NAD ALGEBRAMI NAD OPERADAMI. w OTLI^IE OT PREDSTAWLENIJ TRADICIONNYH SUPERALGEBR, KOTORYE UDAETSQ OPREDELITX TOLXKO W NEKOTORYH SLU^AQH, MODULI NAD SUPERALGEBRAMI NAD OPERADAMI SU]ESTWU@T WSEGDA, I \KWIWALENTNY PREDSTAWLENIQM TRADICIONNYH SUPERALGEBR W TEH SLU^AQH, KOGDA TE SU]ESTWU@T. wSEGDA OPREDELEN TAKVE ANALOG UNIWERSALXNOJ OBERTYWA@]EJ SUPERALGEBRY. dOKAZANY NEKTORYE SWOJSTWA MODULEJ NAD SUPERALGEBRAMI. w ^ASTNOSTI, POLU^ENY ANALOGI REZULXTATOW IZ x 5.4.

w GLAWE 6 SOBRAN RQD REZULXTATOW, OTNOSQ]IHSQ K RAZNOOBRAZNYM OPERADAM BOLEE SPECIALXNOGO WIDA. oB]IM DLQ BOLX[EJ ^ASTI \TIH REZULXTATOW MOVNO S^ITATX ISPOLXZOWANIE RAZLI^NYH MATRI^NYH KONSTRUKCIJ. rEZULXTATY DANNOJ GLAWY POKAZYWA@T, ^TO OBLASTX WOZMOVNYH PRILOVENIJ TEORII OPERAD WESXMA [IROKA.

w x 6.1 IZU^A@TSQ STRUKTURY OPERAD, KOTORYE MOVNO ESTESTWENNYM PUTEM OPREDELITX NA RAZLI^NYH MNOVESTWAH POME^ENNYH GIPERGRAFOW ILI GRAFOW. wNA^ALE STROQTSQ DWA BESKONE^NYH SEMEJSTWA OPERAD, OBOZNA^AEMYH ^EREZ GMn, n = 1 2 : : :, KOTORYE MOVNO NAZWATX OPERADAMI MNOGOMERNYH KUBI^ESKIH MATRIC. oB]EE OPREDELENIE ZANIMAET DOWOLXNO MNOGO MESTA, PO\TOMU OPI[EM LI[X DWA ^ASTNYH SLU^AQ, pRI n = 1 POLU^IM SLEDU@]EE. pUSTX G | NEKOTORYJ MONOID, [m] = f1 : : : mg.

|LEMENTY GM1(m) | OTOBRAVENIQ WIDA A : [m] ! G. iH MOVNO INTERPRETIROWATX KAK UPORQDO^ENNYE POSLEDOWATELXNOSTI WIDA (a1 : : : an), GDE ai = A(i). eSLI Bi 2 GM1(ki) ZAPISATX KAK (bi 1 : : : bi ki), TO OPERACIQ KOMPOZICII WYGLQDIT TAK:

AB1 : : : Bm =(a1b1 1 : : : a1b1 k : : : ambm 1 : : : ambm km) ( ) w SLU^AE n = 2. KOMPONENTA GM2(k) ESTX MNOVESTWO WSEH KWADRATNYH k k -MATRIC S \LEMENTAMI IZ G. oBOZNA^IM NEJTRALXNYJ \LEMENT G ^EREZ 0, I BUDEM RASSMATRIWATX TOLXKO MATRICY, NA DIAGONALI KOTORYH STOQT NULI. qWNYJ WID KOMPOZICII W \TOJ OPERADE TAKOW. pUSTX A GM2(n), B1 2 GM2(k1) : : : Bm 2 GM2(km). tOGDA 0 B1 a1 2 : : : a1 m B C a2 1 B2 : : : a2 m B C AB1 : : : Bm = :

B C...

.

....

@...

. A am 1 am 2 : : : Bm zDESX AB1 : : : Bm | BLO^NAQ k k -MATRICA, i j -J BLOK KOTOROJ ESTX MATRICA RAZMEROM ki kj. dIAGONALXNYE BLOKI | KWADRATNYE MATRICY Bi, 1 i m. eSLI i = j, I ai j | i j -J \LEMENT MATRICY A, TO ai j OBOZNA^AET MATRICU RAZMEROM ki kj, CELIKOMZAPOLNENNU@ ODNIM I TEM VE \LEMENTOM ai j.

dALEE STROITSQ -OPERADA, \LEMENTAMI KOTOROJ QWLQ@TSQ NEORIENTIROWANNYE KONE^NYE POME^ENNYE GRAFOY (OPERADA ORIENTIROWANNYH STROITSQ TO^NO TAK VE), I POKAZYWAETSQ, ^TO S POMO]X@ MATRIC INCIDENTNOSTI MOVNO WLOVITX \TU OPERADU W GM2. zATEM ISSLEDUETSQ WOPROS O RAZLOVIMOSTI I NERAZLOVIMOSTI GRAFOW W OPERADNU@ KOMPOZICI@.

pROIZWOLXNYJ KONE^NYJ POME^ENNYJ GRAF RASKLADYWAETSQ W OPERADNU@ KOMPOZICI@ OPERADNO NERAZLOVIMYH (PROSTYH) GRAFOW, NO W OB]EM SLU^AE \TO PREDSTAWLENIE NEODNOZNA^NO. aNALOGI^NYE RAZULXTATY IME@T MESTO I DLQ PROSTYH ORIENTIROWANNYH GRAFOW. zATEM \TA SITUACIQ NESKOLXKO KONKRETIZIRUETSQ DLQ SLU^AQ OPERADY TURNIROW. pOLU^ENO OPISANIE WSEH PODOPERAD \TOJ OPERADY, POROVDAEMYH PROSTYMI TURNIRAMI.

sMYSL WSEGO \TOGO SOSTOIT W TOM, ^TO TEORIQ GRAFOW (I | POKA | OT^ASTI GIPERGRAFOW) W RQDE OTNO[ENIJ OKAZYWAETSQ, PO-SUTI, RAZDELOMALGEBRY: MNOGIE INTERESNYE SOWOKUPNOSTI GRAFOW QWLQ@TSQ OPERADAMI OTNOSITELXNO WWEDENNYH OPERADNYH KOMPOZICIJ. iDEQ PREWRA]ENIQ MNOVESTW GRAFOW, GIPERGRAFOW, RE[EKTOK (I T.P. OB_EKTOW) BYLA ANONSIROWANA W [54], A KONSTRUKCII GM2 I HG2 POQWILISX W [40]. pOZDNEE WYQSNILOSX, ^TO KONSTRUKCII, POHOVIE NA NA[U OPERADNU@ KOMPOZICI@, W TOM ILI INOM WIDE IZWESTNY W TEORII GRAFOW, NO QZYK OPERAD W TEORII GRAFOW DO NA[IH RABOT NE ISPOLXZOWALSQ.

w x 6.2 IZU^A@TSQ MATRI^NYE LINEJNYE OPERADY, WWEDENNYE W [36].

|TI OPERADY QWLQ@TSQ OBOB]ENIQMI OPERAD TENZOROW, W KOTORYH KOMPOZICIQ ESTX SWERTKA. w STATXE [36] ISPOLXZOWALISX PRAWYE OPERADY, I \TOT QZYK SOHRANEN I W DANNOJ GLAWE. pRIWEDEM OPREDELENIE MATRI^NYH OPERAD (OPERAD MNOGOMERNYH MATRIC). pUSTX R | NEKOTORAQ K -LINEJNAQ -OPERADA, GDE K | KOMMUTATIWNOE ASSOCIATIWNOE KOLXCO S EDINICEJ (WOZMOVNO DAVE BRATX W KA^ESTWE R POLUKOLCA). pUSTX X | NEKOTOROE FIKSIROWANNOE MNOVESTWO. rASSMOTRIM MNOVESTWO M(n) = M(X R)(n), SOSTOQ]EE IZ WSEH OTOBRAVENIJ WIDA A : Xn X ! R(n), TAKIH, ^TO A(x1 : : : xn y) = 0 PO^TI DLQ WSEH NABOROW x1 : : : xn PRI KAVDOM FIKSIROWANNOM y 2 X. oPREDELIM OPERACII KOMPOZICII W STROQ]EJSQ OPERADE SLEDU@]IM OBRAZOM. |TO OTOBRAVENIQ WIDA M(n1) M(nk) M(k) ;! M(n1 + + nk) SOPOSTAWLQ@]IE ARGUMENTU (A1 : : : Am B) OTOBRAVENIE A1 : : : AmB :

Xn + +nk X ! R(n1 + + nk), OPREDELQEMOE RAWENSTWOM:

X A1 : : : AmB(x1 : : : xm z) = A1(x1 y1) : : : A(xm ym)B(y1 : : : ym z) y1 ::: ym zDESX xi = x1 i : : : xni i 2 Xni, I W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA WYRAVENIE A1(x1 y1) : : : A(xm ym)B(y1 : : : ym z) OZNA^AET OPERADNU@ KOMPOZICI@ W OPERADE R.

oSNOWNOJ REZULXTAT x 6.2 TAKOW:

tEOREMA 6.2.3. pUSTX R ESTX K -LINEJNAQ -OPERADA I X | KONE^NOE MNOVESTWO. tOGDA KATEGORII K -LINEJNYH A LGEBR AlgK(R) I AlgK(M) \KWIWALENTNY.

|TA TEOREMA QWLQETSQ PERWYM \TAPOM W POSTROENII OB]EJ TEORII \KWIWALENTNOSTI mORITY DLQ MNOGOOBRAZII ALGEBR NAD OPERADAMI. oNA BYLA OPUBLIKOWANA W [36]. pOZDNEE TOT VE REZULXTAT BYL POLU^EN W STATXE kAPRANOWA I mANINA [21]. w x 6.2 POLU^EN TAKVE SLEDU@]IJ REZULXTAT (OTSUTSTWU@]IJ U kAPRANOWA I mANINA): \KWIWALENTNOSTX MEVDU KATEGORIQMI AlgK (R) I AlgK (M) INDUCIRUET POSLOJNU@ \KWIWALENTNOSTX RASSLOENNYH KATEGORIJ MODULEJ NAD ALGEBRAMI NAD SOOTWETSTWU@]IMI OPERADAMI. nAPOMNIM, ^TO KATEGORIQ MODULEJ NAD ALGEBROJ NAD DANNOJ OPERADOJ \KWIWALENTNA KATEGORII MODULEJ NAD UNIWERSALXNOJ OBERTYWA@]EJ ALGEBROJ DANNOJ ALGEBRY NAD OPERADOJ, A \TA UNIWERSALXNAQ OBERTYWA@]AQ ALGEBRA QWLQETSQ ASSOCIATIWNYM KOLXCOM S EDINICEJ (W SLU^AE OPERADY, SOOTWETSTWU@]EJ MNOGOOBRAZI@ ALGEBR lI, \TO IZWESTNAQ UNIWERSALXNAQ OBERTYWA@]AQ ALGEBRA ALGEBRY lI). pOKAZANO TAKVE, ^TO INDUCIRUETSQ IZOMORFIZM RE[ETOK KONGRU\NCIJ OPERAD R I M, ANALOGI^NO TOMU, KOTORYJ IMEET MESTO PRI \KWIWALENTNOSTI mORITY DLQ KATEGORIJ MODULEJ NAD KOLXCAMI.

w x 6.3 RASSMATRIWAETSQ DRUGOE PRILOVENIE MATRI^NYH OPERAD, A IMENNO, STROITSQ OPERADNYJ ANALOG TEORII ALGEBR INCIDENTNOSTI, QWLQ@]IHSQ WAVNYM INSTRUMENTOM W SOWREMENNOJ KOMBINATORNOJ TEORII.

pOSTROENY, W ^ASTNOSTI, OPERADNYE ANALOGI KAK OBY^NYH, TAK I REDUCIROWANNYH ALGEBR INCIDANTNOSTI LOKALXNO KONE^NYH ^ASTI^NO UPORQDO^ENNYH MNROVESTW (SM. [1, GLAWY 4 I 5]).

w x 6.4 I x 6.5 IZU^A@TSQ NEKOTORYE KOMMUTATIWNYE OPERADY, IME@]IE NAGLQDNU@ GEOMETRI^ESKU@ INTERPRETACI@. wSE ONI QWLQ@TSQ PODOPERADAMI OPERADY R, DLQ KOTOROJ R(n) = Rn, A OPERACIQ KOMPOZICII OPREDELQETSQ PO FORMULE (*). |TA OPERADA, KAK I WSE EE PODOPERADY, QWLQETSQ KOMMUTATIWNOJ. w x 6.4 POKAZYWAETSQ, ^TO MNOGOOBRAZIE IZU^AW[IHSQ MNOGIMI MATEMATIKAMI (W TOM ^ISLE l.a.sKORNQKOWYM) KONWEKSOROW (ILI BARICENTRI^ESKIH ALGEBR) RACIONALXNO \KWIWALENTNO MNOGOOBRAZI@ ALGEBR NAD FSet -OPERADOJ, KOMPONENTY (n) KOTOROJ SUTX STANDARTNYE GEOMETRI^ESKIE SIMPLEKSY, T.E. PODMNOVESTWA W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE Rn, OPISYWEMYE USLOWIQMI:

(n) = f(x1 : : : xn) 2 Rnj xi 0 x1 + + xn =1g:

oPERADA QWLQETSQ KOMMUTATIWNOJ, I PO\TOMU, KAK I W GLAWE 4, MOVNO RASSMATRIWATX RAZNOOBRAZNYE -LINEJNYE -OPERADY I ALGEBRY NAD NIMI.

w x 6.5 WWODQTSQ OPERADY MNOGOMERNYH SFER I (POLYH) KUBOW, DOKAZYWA@TSQ NEKOTORYE IH SWOJSTWA, A TAKVE STROITSQ BOLX[OJ KLASS PRIMEROW OPERAD SHODNOGO WIDA, KOMPONENTY KOTORYH | NEKOTORYE GEOMETRI^ESKIE OB_EKTY W MNOGOMERNYH EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAH. oSNOWNOJ REZULXTAT \TOGO PARAGRAFA: WY^ISLENY ALGEBRY NAD OPERADOJ SFER. |TO OPERADA S = fS(n)j n 1g, GDE S(n) = f(x1 : : : xn) 2 Rnj x2 + + x2 =1g:

1 n lEGKO PROWERQETSQ, ^TO S ESTX -PODOPERADA OPISANNOJ WY[E OPERADY R. uKAZAN QWNYJ NABOR OPERACIJ I TOVDESTW DLQ MNOOOBRAZIQ, RACIONALXNO \KWIWALENTNOGO Alg(S ).

tAKIM OBRAZOM, W x 6.4 I x 6.5 WWEDENY I ISSLEDOWANY NOWYE ALGEBRAI^ESKIE STRUKTURY NA, KAZALOSX BY, DAWNO I HORO[O IZWESTNYH GEOMETRI^ESKIH OB_EKTAH.

w POSLEDNEM, [ESTOM PARAGRAFE GLAWY PRIMERNO TAK VE, KAK W x 6.2, STROQTSQ OPERADY MNOGOMERNYH STOHASTI^ESKIH I DWOQKOSTOHASTI^ESKIH MATRIC, A TAKVE OPERADA MNOGOMERNYH BULEWSKIH STOHASTI^ESKIH MATRIC, I DAETSQ INTERPRETACIQ WEROQTNOSTNYH AWTOMATOW (SM. [?]) KAK \LEMENTOW NEKOTORYH ALGEBR NAD OPERADOJ MNOGOMERNYH STOHASTI^ESKIH MATRIC. oTMETIM, ^TO OPERADY I ALGEBRY IZ \TOGO PARAGRAFA -LINEJNY.

w ZAKL@^ITELXNOJ, SEDXMOJ GLAWE IZU^A@TSQ FSet -OPERADY, ILI, ^TO RAWNOSILXNO (\TO BYLO POKAZANO W GLAWE 3) lOWEROWSKIE ALGEBRAI^ESKIE TEORII. wPRO^EM, ^ASTX REZULXTATOW SPRAWEDLIWA DLQ KATEGORIJ BOLEE OB]EGO WIDA. sNA^ALA POKAZYWAETSQ, ^TO ESLI K ESTX NEKOTORAQ KATEGORIQ, OBLADA@]AQ KONE^NYMI PRQMYMI PROIZWEDENIQMI, I ESTX KLASS MORFIZMOW \TOJ KATEGORII, ZAMKNUTYJ OTNOSITELXNO WZQTIQ SUPERPOZICII MORFIZMOW, I TAKOJ, ^TO IZ 2 SLEDUET idX 2 I idX 2, ;TO KATEGORIQ ^ASTNYH K[ ] TAKVE OBLADAET KONE^NYMI PRQMYMI PRO;IZWEDENIQMI, I KANONI^ESKIJ FUNKTOR K ! K[ ] SOHRANQET PRQMYE PROIZWEDENIQ. oTS@DA SLEDUET, ^TO ESLI K | lOWEROWSKAQ ALGEBRAI^ES;KAQ TEORIQ (W TOM ^ISLE I MNOGOSORTNAQ), TO I K[ ] TAKVE QWLQETSQ lOWEROWSKOJ ALGEBRAI^ESKOJ TEORIEJ (S TEM VE KLASSOMSORTOW, ^TO I K ), ;I FUNKTOR K ! K[ ] QWLQETSQ MORFIZMOM lOWEROWSKIH TEORIJ. tAKIM OBRAZOM, DLQ ALGEBR NAD FSet -OPERADAMI SU]ESTWUET UNIWERSALXNOE OBRA]ENIE GOMOMORFIZMOW KONE^NO POROVDENNYH SWOBODNYH ALGEBR. dRUGOE PRILOVENIE POLU^ENNOGO OB]EGO REZULXTATA O SU]ESTWOWANII PRQMYH PROIHWEDENIJ W KATEGORIQH ^ASTNYH (ILI RAWNOSILXNOGO REZULXTATA O SU]ESTWOWANII KOPROIZWEDENIJ) | POSTROENIE UNIWERSALXNOGO OBRA]ENIQ MORFIZMOW REDADDITIWNYH KATEGORIJ. bOLEE PODROBNO, ESLI DANA PREDADDITIWNAQ KATEGORIQ K, TO PO NEJ MOVNO POSTROITX KATEGORI@ M(K) MATRIC NAD K, OB_EKTAMI KOTOROJ QWLQ@TSQ KONE^NYE UPORQDO^ENNYE POSLEDOWATELXNOSTI OB_EKTOW K, A MORFIZMAMI | MATRICY, KOMPONENTAMI KOTORYH QWLQ@TSQ MORFIZMY K. |TA KATEGORIQ PREDADDITIWNA, I OBLADAET KONE^NYMI KOPROIZWEDENIQMI, SOWPADA@]IMI S PROIZWEDENIQMI. eSLI TEPERX WZQTX MULXTIPLIKATIWNO ZAMKNUTOE MNOVESTWO MORFIZMOW M(K), OBLADA@]EE SWOJSTWOM 2 ) t idX 2, idX t 2, ;TO M(K)[ ] STANOWITSQ PREDADDITIWNOJ KATEGORIEJ S KONE^NYMI KOPROIZWEDENIQMI, SOWPADA@]IMI S PROIZWEDENIQMI, PRI^EM SU]ESTWUET ;PREDADDITIWNAQ KATEGORIQ C, DLQ KOTOROJ M(K)[ ] M(C). |TU KA= ;TEGORI@ ESTESTWENNO OBOZNA^ITX ^EREZ K[ ]. sU]ESTWUET ADDITIWNYJ ;FUNKTOR K ! K[ ], OBLADA@]IJ TAKIM VE UNIWERSALXNYM SWOJSTWOM, KAK I W SLU^AE KOLEC ^ASTNYH. w SLU^AE, ESLI K | ASSOCIATIWNOE ;KOLXCO S EDINICEJ, K[ ] TAKVE QWLQETSQ KOLXCOM, IZOMORFNYM KOLXCU ^ASTNYH KOLXCA K W SMYSLE gERASIMOWA-mALKOLMSONA.

oTMETIM, ^TO IZWESTNY WSEGO DWA SLU^AQ, KOGDA STRUKTURU ISHODNOJ KATEGORII MOVNO PERENESTI NA KATEGORI@ ^ASTNYH. pERWYJ SLU^AJ | \TO SLU^AJ, KODGDA MNOVESTWO OBRA]AEMYH MORFIZMOW UDOWLETWORQET IS^ISLENI@ ^ASTNYH (LEWYH ILI PRAWYH). wTOROJ SLU^AJ RASSMOTREN W [35] I W GLAWE 7 DANNOJ RABOTY.

literatura [1] aJGNER, m. kOMBINATORNAQ TEORIQ/ m. aJGNER | m.: mIR, 1982. | 558 S.

[2] aRTAMONOW, w.a. kLONY POLILINEJNYH OPERACIJ/ w.a. aRTAMONOW // uSPEHI MAT. NAUK. | 1969. | t. 24. | wYP. 1. | s. 47 { 59.

[3] bARANOWI^, t.m. lINEJNYE -ALGEBRY/ t.m. bARANOWI^, m.s. bURGIN // uSPEHI MAT. NAUK. | 1975. | t. 30. | wYP. 4. | s. 61{106.

[4] bORDMAN, dV. gOMOTOPI^ESKI INWARIANTNYE ALGEBRAI^ESKIE STRUKTURY NA TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTWAH/ dV., bORDMAN, r.fOGT | m.: mIR, 1977. { 408 S. (Boardman J.M., Vogt R.M. Homotopyinvariant algebraic structures on topological spaces. | Lecture Notes in Math. | 1973. | V. 347.) [5] kOLESNIKOW, p.s. sTROENIE ASSOCIATIWNYH KONFORMNYH ALGEBR / p.s. kOLESNIKOW | aWTOREFERAT DOKTORSKOJ DISSERTACII. | nOWOSIBIRSK, 2008. | 26 S.

[6] kURO[, a.g. mULXTIOPERATORNYE KOLXCA I ALGEBRY / a.g. kURO[ // uSPEHI MAT. NAUK. | 1969. | t. 24. | wYP. 1. | s. 3 { 15.

[7] mAKLEJN, C. kATEGORII DLQ RABOTA@]EGO MATEMATIKA / s. mAKLEJN | m: fizmatlit, 2004. | 352 S.

[8] mALXCEW, a.i. sTRUKTURNAQ HARAKTERISTIKA NEKOTORYH KLASSOW ALGEBR / a.i. mALXCEW // dOKL. an sssr. | 1958. | t. 120. | 1.

| s. 29 { 32.

[9] mANIN, `.i. mATEMATIKA KAK METAFORA / `.i. mANIN | m.: mcnmo, 2008. | 400 S.

[10] m\J, dV.p. gEOMETRIQ ITERIROWANNYH PROSTRANSTW PETELX / dV.p.

m\J | wKNIGE [4], s. 267{403. (May, J.P. The geometry of iterated loop spaces / J.P. May | Lecture Notes in Mathematics, 1972.| V. 271.| 175 p.) [11] pINUS, a.g. uSLOWNYE TERMY I IH PRIMENENIE W ALGEBRE I TEORII WY^ISLENIJ / a.g. pINUS | nOWOSIBIRSK: iZD-WO ngtu, 2002. | 239 S.

[12] sMIRNOW, w.a. oPERADNYE I SIMPLICIALXNYE METODY W ALGEBRAI^ESKOJ TOPOLOGII / w.a. sMIRNOW | m.: fAKTORIAL pRESS, 2002. { 272 S.

[13] Baez, J.C. Higher-Dimensional Algebra III: n-Categories and the Algebra of Opetopes / J.C. Baez, J. Dolan // Advances in Math. | 1998. | V. 135. | 2. | P. 145{206.

[14] Beilinson A.A. Chiral algebras / A.A. Beilinson, V.G. Drinfeld | Providence, RI: AMS, 2004 (Amer. Math. Soc. Colloquium Publications, vol. 51).

[15] Borceux F. Handbook of Categorical Algebra 2. Categories and Structures / F.Borceux | Cambridge University Press, 1994.

[16] Curien, P.-L. Operads, clones, and distributive laws / P.-L. Curien | 2006. | 21 p. (dOSTUPNO NA SAJTE curien).

[17] Fresse, B. Modules over Operads and Functors / B.Fresse | SpringerVerlag, Berlin - Heidelberg, 2009. Lecture Notes in Mathematics, V. 1967.

[18] Ginzburg, V. Koszul duality for operads / V. Ginzburg, M. Kapranov // Duke Math. J. | 1994. | V. 76. | 1. | P. 203 { 272.

[19] Hermida, C. Representable Multicategories / C.Hermida // Advances in Math. | 2000. | V. 151. | 2. | P. 164{225.

[20] Kapranov, M. Operads and Algebraic Geometry / M.Kapranov // Proc.

Int. Congr. Math. Berlin, 1998. August 18-27. V. II: Invited Lectures.

(Documenta Mathematica. Extra Volume ICM. II.{ P. 277-286).

[21] Kapranov, M. Modules and Morita theorem for operads / M.Kapranov, Yu.Manin // Amer. J. Math. | 2001. | V. 123. | 5. | P. 811{838.

[22] Kelly, G.M. On the operads of J.P.May / G.M.Kelly // Reprints in Theory and Applications of Categories. | 2005. | 13. | P. 1{13.

[23] Kriz, I. Operads, algebras, modules, and motives / I.Kriz, J.P.May // Asterisque. | 1995. | V. 223. | P. 1 { 137.

[24] Lambek, J. Deductive systems and categories. II. Standard constructions and closed categories / J.Lambek // Lecture Notes in Math. | 1969. | V. 86. | P. 76{122.

[25] Lawvere, F.W. Functorial semantics of algebraic theories / F.W. Lawvere // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. | 1963. | V. 50. | 5. | P. 869{872.

[26] Leinster, T. Higher Operads, Higher Categories / T.Leinster | London Math. Soc. Lect. Notes Ser., Cambr. Univ. Press, 2003. | 410 p.

[27] Leinster, T. Are Operads Algebraic Theories? / T.Leinster // Bull.

London Math. Soc. | 2006. | V. 38. | 2. | P. 233 { 238.

[28] Loday, J.-L. La renaissance des operades / J.-L. Loday // Asterisque.

| 1996. | V. 237. | P. 47 { 74.

[29] Loday, J.-L. Encyclopedia of types of algebras / J.-L. Loday |2007. | 127 p. (dOSTUPNO NA SAJTE: loday/).

[30] Loday, J.-L. Generalized bialgebras and triple of operads / J.-L. Loday // Asterisque. | 2008. | V. 320. | 116 p.

[31] Manin, Yu.I. Frobenius Manifolds, Quantum Cohomology, and Moduli Spaces / Yu.I.Manin | Amer.Math.Soc. Colloquium publications, V. 47, 1999. | 300 p.

[32] Markl, M. Operads in Algebra, Topology and Physics / M.Markl, S.Shnider, J.Stashe | AMS, Math. Surveys and Monographs, V. 96, 2002. | 349 p.

[33] Markl, M. Operads and PROPs / M.Markl // Handbook of Algebra.

Vol. 5. 2008. | P. 87 { 140.

[34] Operads: Proceedings of Renaissance Conferences / J.-L. Loday, J.D.

Stashe, A.A. Voronov (Eds.) | Contemporary Math. | 1997. | V.

202. | 443 p.

rABOTY AWTORA PO TEME DISSERTACII [35] tRONIN, s.n. pROIZWEDENIQ W KATEGORIQH ^ASTNYH I UNIWERSALXNOE OBRA]ENIE GOMOMORFIZMOW / s.n. tRONIN // mATEM. SBORNIK. |1997.

| t. 188. | 10. | s. 109 { 130.

[36] tRONIN, s.n. mATRI^NYE LINEJNYE OPERADY / s.n. tRONIN, o.a.

kOPP // iZW. WUZOW. mATEMATIKA. | 2000. | 8. | s. 53 { 62.

[37] tRONIN, s.n. oPERADY W KATEGORII KONWEKSOROW. I / s.n. tRONIN // iZW. WUZOW. mATEMATIKA. | 2002. | 3. | s. 42 { 50.

[38] tRONIN, s.n. oPERADY W KATEGORII KONWEKSOROW. II / s.n. tRONIN // iZW. WUZOW. mATEMATIKA. |2002. | 5. | s. 61 { 69.

[39] tRONIN, s.n. aBSTRAKTNYE KLONY I OPERADY / s.n. tRONIN // sIB.

MAT. VURN. |2002. | t