Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по физике
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ На правах рукописи
ШЕЛЮТО Валерий Александрович
ТЕОРИЯ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК К СВЕРХТОНКОМУ РАСЩЕПЛЕНИЮ И ЛЭМБОВСКОМУ СДВИГУ В ЛЕГКИХ ОДНОЭЛЕКТРОННЫХ АТОМАХ специальность
01.04.02 - теоретическая физика А В Т О Р Е Ф Е Р А Т диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Санкт-Петербург 2010
Работа выполнена во ФГУП Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии им. Д. И. Менделеева
Официальные оппоненты:
ФАУСТОВ Рудольф Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор ХРИПЛОВИЧ Иосиф Бенционович, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН ШАБАЕВ Владимир Моисеевич, доктор физико-математических наук, профессор
Ведущая организация:
Объединенный институт ядерных исследований, Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова
Защита состоится " " 2010 г. в часов в ауд.
на заседании совета Д. 212.232.24 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Средний пр., д. 41/43.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.
Автореферат разослан " " 2010 г.
Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор А. К. Щёкин
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы Легкие одноэлектронные атомы являются классическим предметом исследования в квантовой физике. Само становление и дальнейший прогресс квантовой механики тесно связаны с изучением спектра атома водорода. С того момента, как квантовая электродинамика успешно объяснила происхождение и величину лэмбовского сдвига, идет непрерывное соревнование теории и эксперимента при исследовании простейших атомных систем. В последние годы прецизионные эксперименты с водородоподобными атомами достигли нового уровня точности. Этот прогресс был, в первую очередь, обеспечен развитием методов бездопплеровской двухфотонной спектроскопии. В результате, экспериментальная погрешность измерения атомных уровней энергии была уменьшена на несколько порядков величины. Достаточно отметить, что относительная погрешность измерения частоты перехода 1S - 2S в атомарном водороде снижена до рекордного уровня 1.8 10-14. Эти выдающиеся экспериментальные результаты в 2005 г. были отмечены Нобелевской премией.
Кроме атома водорода, другим уникальным объектом среди легких одноэлектронных атомов является мюоний - связанное состояние электрона и положительно заряженного мюона. Из-за своей чисто лептонной природы, мюоний идеально подходит для точных квантовоэлектродинамических расчетов, относительно небольшой вклад сильных взаимодействий появляется только при учете адронной поляризации вакуума. С другой стороны, мюоний является одной из немногих чисто лептонных систем, доступных для прецизионных экспериментов, относительная погрешность измерения сверхтонкого расщепления основного состояния в мюонии достигла уровня 1.2 10-8.
Указанные экспериментальные достижения представляют серьезный вызов современной теории связанных состояний в квантовой электродинамике. Дальнейшее продвижение в этой области невозможно без учета многопетлевых радиационных поправок к уровням энергии. Стимулом для вычисления радиационных поправок все более высоких порядков является не только сама возможность прецизионной проверки предсказаний теории возмущений, но и необходимость уточнения значений фундаментальных физических констант, таких как постоянная Ридберга R, постоянная тонкой структуры , отношение масс мюона и электрона.
Цель работы Целью настоящей диссертации является развитие методов вычисления многопетлевых радиационных поправок к уровням энергии двухчастичных атомных систем, вычисление всех неизвестных поправок третьего порядка малости по параметрам , Z и m/M (m - масса легкой частицы, Z и M - заряд и масса тяжелой частицы), исследование и вычисление поправок четвертого порядка к сверхтонкому расщеплению основного состояния мюония и лэмбовскому сдвигу в водороде.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
1. Исследованы все калибровочно-инвариантные наборы двухпетлевых фейнмановских диаграмм, дающие вклад порядка 2(Z)5m в лэмбовский сдвиг и порядка 2(Z)EF (EF - энергия Ферми) в сверхтонкое расщепление. Вычислен наиболее сложный вклад в лэмбовский сдвиг, индуцированный двухпетлевыми вставками в электронную линию. Получена полная поправка порядка 2(Z)5m в лэмбовский сдвиг в водороде.
Это наибольший неизвестный на момент вычислений квантовоэлектродинамический вклад в лэмбовский сдвиг.
Вычислен вклад всех калибровочно-инвариантных наборов в сверхтонкое расщепление. Это единственный неизвестный на момент вычислений вклад третьего порядка малости для сверхтонкого расщепления в мюонии. Вычисление вкладов в лэмбовский сдвиг и сверхтонкое расщепление проведено в едином формализме.
Учет найденных поправок привел к существенному повышению точности теории лэмбовского сдвига в водороде и сверхтонкого расщепления в мюонии.
2. Изучены вклады четвертого порядка малости в сверхтонкое расщепление и лэмбовский сдвиг. Получены вклады порядка 3(Z)EF в сверхтонкое расщепление и порядка 3(Z)5m в лэмбовский сдвиг, индуцированные диаграммами со вставками трехпетлевой поляризации вакуума и диаграммами с различными комбинациями двухпетлевого поляризационного оператора и однопетлевых вставок в электронную линию.
3. Разработана теория радиационных поправок к отдаче к сверхтонкому расщеплению для многопетлевых диаграмм Фейнмана. Показано, что трехпетлевые поправки к отдаче представляют собой полином третьей степени по большому логарифму ln (M/m). Найдены полные вклады порядка 2(Z)(m/M)EF в сверхтонкое расщепление основного состояния мюония, связанные со вставками двухпетлевой поляризациии вакуума, различных комбинаций однопетлевых вставок в фермионные линии и однопетлевого поляризационного оператора. Все вклады со степенями логарифма ln (M/m) вычислены аналитически.
4. Предложен эффективный метод вычисления радиационных поправок к отдаче в случае лэмбовского сдвига. На его основе вычислены аналитически все вклады порядка (Z)5(m/M)m в лэмбовский сдвиг в водороде. Новый аналитический результат разрешил долговременное противоречие между результатами двух групп, существовавшее в литературе.
5. Развит метод вычисления радиационных поправок к отдаче во втором порядке по отношению масс. С его помощью найдены все вклады порядка (Z)(m/M)2EF в сверхтонкое расщепление в мюонии. Такие поправки играют важную роль в случае мюония, где отношение масс того же порядка, что и постоянная тонкой структуры.
6. Исследованы адронные вклады высших порядков в сверхтонкое расщепление в мюонии. Найдены вклады адронной поляризации вакуума и адронного рассеяния света на свете. Получено простое соотношение, связывающее вклады высших радиационных петель с ведущим адронным вкладом, и не зависящее от деталей последнего. Указанные поправки не могут быть вычислены из первых принципов, а требуют использования экспериментальных данных или моделей. Точность их вычисления является принципиальным ограничением на возможность проверок квантовоэлектродинамических вычислений, и подобные оценки важны при подготовке нового поколения экспериментов с мюонием.
7. Получены замкнутые выражения для двухпетлевых радиационных вставок в калибровке Йенни. Эти выражения нашли многочисленные применения при вычислении вкладов в сверхтонкое расщепление и лэмбовский сдвиг. Важную роль при многопетлевых вычислениях играют инфракрасные и ультрафиолетовые асимптотики отдельных диаграмм в различных калибровках. Калибровка Йенни выделяется среди остальных мягкостью инфракрасных асимптотик. Предложена и изучена новая калибровка, которая улучшает одновременно и инфракрасное и ультрафиолетовое поведение диаграмм.
Научная новизна В работах, положенных в основу диссертации, впервые в теории связанных состояний инфракрасно конечная калибровка Йенни применена для анализа двухпетлевых радиационных поправок. Впервые вычислены все радиационные поправки относительного порядка 2(Z) к лэмбовскому сдвигу и сверхтонкому расщеплению.
Вычислены новые радиационные вклады относительного порядка 3(Z) в сверхтонкое расщепление и лэмбовский сдвиг, соответствующие диаграммам с трехпетлевой поляризацией вакуума и диаграммам с различными комбинациями двухпетлевого поляризационного оператора и однопетлевых вставок в электронную линию.
Развиты методы вычисления многопетлевых радиационных поправок к отдаче и получены новые вклады относительного порядка 2(Z)(m/M) к сверхтонкому расщеплению в мюонии, соответствующие диаграммам с различными комбинациями поляризации вакуума и однопетлевых вставок в фермионные линии. Впервые в теории связанных состояний исследованы диаграммы с одновременными радиационными вставками в обе фермионные линии.
Впервые вычислены радиационные поправки к ведущему адронному вкладу в сверхтонком расщеплении в мюонии. Получено простое соотношение, связывающее радиационные поправки с ведущим адронным вкладом, и не зависящее от деталей ведущего вклада.
Впервые исследованы радиационные поправки к отдаче во втором порядке по отношению масс. Найден аналитически новый вклад относительного порядка (Z)(m/M)2 в сверхтонкое расщепление в мюонии.
Получен новый аналитический результат для радиационных поправок к отдаче относительного порядка (Z)(m/M) к лэмбовскому сдвигу в водороде. При выполнении работы был предложен эффективный способ вычисления отдачных поправок к лэмбовскому сдвигу, позволивший более чем на порядок сократить объем вычислений.
В калибровке Йенни получены новые удобные инфракрасно конечные представления для различных классов поддиаграмм, прежде всего для однопетлевой вершинной функции и двухпетлевого неприводимого массового оператора. Указанные строительные блоки неоднократно использовались при вычислении более сложных диаграмм и являются надежно установленными.
Предложена новая калибровка фотонного пропагатора с улучшенными инфракрасными и ультрафиолетовыми свойствами. Показано, что на однопетлевом уровне данная калибровка сочетает в себе достоинства калибровки Ландау в ультрафиолетовой области и калибровок Йенни или кулоновской в инфракрасной области.
Практическая ценность Полученные в диссертации результаты находят свое применение при сравнении теории с экспериментальными данными по мюонию, водороду и дейтерию, что, в свою очередь, позволяет уточнить значения ряда фундаментальных физических констант.
В частности, результаты по теории лэмбовского сдвига необходимы при уточнении значения постоянной Ридберга и радиуса протона. В то же время, совместное использование новых высокоточных значений постоянной тонкой структуры из данных по аномальному магнитному моменту электрона, рамановской спектроскопии, квантовому эффекту Холла и эффекту Джозефсона и теоретического выражения для сверхтонкого расщепления в мюонии позволяет значительно увеличить точность определения отношения масс мюона и электрона.
Изложенные в диссертации оригинальные результаты сыграли существенную роль в повышении точности прецизионной теории лэмбовского сдвига и сверхтонкого расщепления.
Работы, положенные в основу диссертации, неоднократно использовались при подготовке официальных значений фундаментальных физических констант, вырабатываемых Международной рабочей группой КОДАТА. Результаты работ применялись во всех последних обработках 1998, 2002 и 2006 г.г. Ожидается, что работы последних четырех лет также будут использованы в новом Согласовании фундаментальных физических констант 2010 г.
Уточненные значения фундаментальных физических констант, в свою очередь, находят применение в качестве стандартных справочных данных, в том числе и в Обзоре свойств элементарных частиц.
Апробация работы Результаты, представленные на защиту и изложенные в диссертации, неоднократно докладывались на сессиях Отделений ядерной физики АН СССР и РАН, а также на 25-й конференции Европейской группы по атомной спектроскопии (Кан, 1993), на XXI Съезде по спектроскопии (Звенигород, 1995), на Конференции по прецизионным электромагнитным измерениям (Брауншвейг, 1996), на Международной конференции по прецизионной физике простых атомных систем (Флоренция, 2000; СанктПетербург, 2002; Мангаратиба, 2004; Венеция, 2006), на XIX Международной конференции по атомной физике (Рио-де-Жанейро, 2004), на Всероссийских совещаниях по Квантовой метрологии и фундаментальным физическим константам (Санкт-Петербург, 2008) и Прецизионной физике и фундаментальным физическим константам (Дубна, 2009). Работы, вошедшие в диссертацию, излагались на семинарах ВНИИМ, ПИЯФ, ОИЯИ, Петербургского и Гетеборгского университетов.
Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 35 работах: монографии [1], обзоре [2] и 33 оригинальных статьях.
Структура диссертации Диссертация состоит из Введения, семи глав, Заключения и Приложения. Ее общий объем 224 страницы машинописного текста, в том числе рисунок и 3 таблицы. Список литературы включает 182 наименования.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во Введении сформулирована цель проведенных в диссертации исследований, обоснованы их актуальность и новизна, перечислены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации по главам.
Кроме того, здесь обсуждается зависимость радиационных поправок от входящих в задачу параметров , Z и m/M и проводится классификация поправок. В данной работе исследуются как чисто радиационные поправки, так и радиационные поправки к отдаче к двум основным физическим величинам: сверхтонкому расщеплению и лэмбовскому сдвигу.
Указанные поправки часто удобно классифицировать по суммарной степени малых параметров сверх величины основного вклада. Так, относительный порядок радиационных поправок к сверхтонкому расщеплению отсчитывается от ведущего вклада - энергии Ферми EF, а лэмбовский сдвиг выражается в единицах тонкой структуры (Z)4m. При такой классификации рассматриваемые в данной работе вклады в сверхтонкое расщепление и лэмбовский сдвиг будут иметь одинаковый относительный порядок, зависящий от количества радиационных петель в фейнмановской диаграмме.
В первой главе исследуются чисто радиационные поправки относительного порядка n(Z), причем разделы 1.1 и 1.2 носят обзорный + 2 2 + a b 2 + 4 + c + 2 + d 2 loops + + f e Рис. 1: Шесть калибровочно-инвариантных наборов диаграмм, содержащие вклады порядка 2(Z)5m в лэмбовский сдвиг.
характер. В разделе 1.1 рассматривается зависимость релятивистских поправок от приведеной массы, обсуждаются основные понятия, такие как лэмбовский сдвиг и сверхтонкое расщепление. В разделе 1.2 в приближении внешнего поля рассмотрены простейшие однопетлевые радиационные поправки относительного порядка (Z) и заложена основа для вычисления многопетлевых чисто радиационных поправок вида n(Z).
В разделе 1.3 вычисляются все двухпетлевые радиационные поправки относительного порядка 2(Z), такие как поправка 2(Z)EF к сверхтонкому расщеплению в мюонии и поправка 2(Z)5m к лэмбовскому сдвигу в водороде. Всего в данном порядке имеется шесть калибровочноинвариантных наборов диаграмм, изображенных Рис. 1, каждому из них посвящен свой подраздел.
В подразделах 1.3.1 и 1.3.2 вычисляются диаграммы Рис. 1a и Рис. 1b с двумя однопетлевыми и неприводимой двухпетлевой поляризациями вакуума. Подразделы 1.3.3 и 1.3.4 содержат вычисление диаграмм Рис. 1c и Рис. 1d с однопетлевыми радиационными поправками к электронной линии и поляризационными вставками в обменный либо радиационный фотоны. В подразделе 1.3.5 найден вклад диаграмм Рис. 1e, содержащих блок рассеяния света на свете. Для перечисленных выше пяти калибровочно-инвариантных наборов подробно вычисляются вклады в сверхтонкое расщепление и кратко обсуждаются известные вклады лэмбовский сдвиг.
Подраздел 1.3.6, являющийся центральным в данной главе, посвящен вычислению вкладов в лэмбовский сдвиг и сверхтонкое расщепление, связанных с последним и самым сложным калибровочно-инвариантным набором Рис. 1f. В явном виде указанный набор, содержащий двухпетлевые радиационные вставки в электронную линию, представлен на Рис. 2.
Ранее, при вычислении диаграмм с однопетлевыми радиационными вставками в электронную линию (Рис. 1c и Рис. 1d) конкретный выбор калибровки радиационного фотона был не очень важен, так как в этом случае можно было относительно легко получить калибровочноинвариантный результат для суммы всех диаграмм в любой ковариантной калибровке. Все ультрафиолетовые и инфракрасные расходимости сокращались в полном наборе, а инфракрасная асимптотика содержала дополнительный смягчающий фактор k2/m2. Можно написать калибровочно-инвариантное представление и для суммы диаграмм Рис. 2, не содержащее ни ультрафиолетовых, ни инфракрасных расходимостей, + 2 + a b c + 2 + 2 + 2 + d e f g + + 2 + 2 + h i j k + + 2 + 2 + l m n o + 2 + 2 + + p q r s Рис. 2: Диаграммы с двухпетлевыми радиационными вставками в электронную линию.
однако для получения такого представления необходимо дополнительно провести большой объем аналитических преобразований. Техническая трудность состоит в том, что в отдельных диаграммах Рис. 2 знаменатели, а следовательно, и инфракрасные слагаемые устроены по-разному и содержат различное количество фейнмановских параметров. Естественным же способом взаимного сокращения инфракрасных расходимостей является интегрирование по частям по фейнмановским параметрам, требующее приведения вкладов всех диаграмм к единому виду.
Один из возможных способов вычисления диаграмм Рис. 2 состоит в удержании конечной массы радиационных фотонов и исследовании поведения вкладов отдельных диаграмм в пределе 0. Все инфракрасные расходимости обязаны сократиться в сумме диаграмм Рис. 2, но из-за сингулярного поведения отдельных диаграмм происходит большая потеря точности.
Возможен другой способ вычисления диаграмм Рис. 2, использующий инфракрасно конечную калибровку Йенни 1 2qq D(q) = g +, (1) q2 + i qв которой радиационные поправки имеют более мягкие низкоэнергетические асимптотики, поэтому можно не вводить массу фотона в качестве инфракрасного регулятора. В отношении ультрафиолетовых расходимостей калибровка (1) не имеет преимуществ по сравнению с фейнмановской калибровкой. Хорошо известно, что при проведении стандартной перенормировки на массовой поверхности в некоторых изначально инфракрасно конечных диаграммах могут возникать инфракрасные расходимости, вызванные дополнительным дифференцированием фермионного пропагатора по внешним импульсам. В качестве примера можно привести однопетлевой массовый оператор в фейнмановской калибровке.
Калибровка Йенни отличается тем, что даже двукратное дифференцирование по внешним импульсам в процессе перенормировки не приводит к инфракрасным расходимостям. Более подробно калибровка Йенни и родственные калибровки рассмотрены в седьмой главе, здесь же только отметим, что вклады всех диаграмм Рис. 2 в калибровке (1) инфракрасно конечны по отдельности. К сожалению, указанная конечность индивидуальных графиков достигается только с помощью трудоемкого аналитического сокращения инфракрасно опасных частей, соответствующих поперечной и продольной частям фотонного пропагатора (1). Каждая дополнительная петля удваивает количество слагаемых, поэтому при вычислении в калибровке Йенни двухпетлевых диаграмм на Рис. 2 количество слагаемых увеличивается в четыре раза по сравнению с калибровкой Фейнмана. В каждой петле в каждой из диаграмм необходимо сократить инфракрасные члены, используя интегрирование по частям по фейнмановским параметрам. Масса фотона при этом не вводится, а в качестве инфракрасного регулятора используется малая виртуальность внешних импульсов. После проведения всех необходимых сокращений можно положить = 0. Данная программа вычислений была выполнена в едином формализме одновременно для сверхтонкого расщепления и лэмбовского сдвига, результаты собраны в Таблице 1.
Диаграмма СТР Лэмбовский сдвиг 2(Z) 2(Z)r EF (m )3m n3 n3 m a 9/4 b -6.65997(1) 2.9551(1) c 3.93208(1) -2.2231(1) d -3.903368(79) -5.238023(56) e 4.566710(24) 5.056278(81) f -3.404163(22) -1.016145(21) g 2.684706(26) -0.1460233(52) h 33/16 153/i 0.054645(46) -5.51683(34) j -7.14937(16) -7.76815(17) k 1.465834(20) 1.959589(33) l -1.983298(95) 1.74815(38) m 3.16956(16) 1.87540(17) n -3.59566(14) -1.30584(18) o 1.804775(46) -12.06751(47) p 3.50608(16) 6.13776(25) q -0.80380(15) -7.52453(34) r 1.05298(18) 14.36733(44) s 0.277203(27) -0.930268(72) Сумма -0.6726(4) -7.724(1) Таблица 1: Вклад двухпетлевых поправок к электронной линии в сверхтонкое расщепление (СТР) и лэмбовский сдвиг.
Следует отметить, что из диаграмм d, f, i, m, o, p на Рис. 2, соответствующих вкладу двухпетлевой вершинной функции, были вычтены вклады предыдущего порядка по Z. Так, из подынтегрального выражения для вклада в сверхтонкое расщепление был вычтен аномальный магнитный момент, пропорциональный формфактору F2(0), а из вклада в лэмбовский сдвиг была вычтена инфракрасно расходящаяся часть вида [ 4 F1 (0) + F2(0) ]. Здесь F1 и F2 - части формфакторов Дирака и Паули, соответствующие вкладам двухпетлевой вершинной функции без фермионных петель в радиационном фотоне, причем наклон двухпетле вого формфактора Дирака F1 (0) не содержит инфракрасного логарифма и конечен в нуле.
Результат для вклада диаграмм Рис.1f в лэмбовский сдвиг сразу после его получения вызвал удивление среди специалистов своей большой величиной, значительно превышавшей ожидаемую. В конце подраздела 1.3.приведены качественные оценки вклада калибровочно-инвариантного набора Рис. 1f в лэмбовский сдвиг в водороде и показано, что хотя указанный вклад и велик численно, но, тем не менее, имеет естественный масштаб для данного типа радиационных поправок. Из-за своей большой величины вклад диаграмм Рис. 1f чрезвычайно важен для теории лэмбовского сдвига. Так, соответствующая ему величина сдвига 1S уровня в водороде, равная -334. 2 кГц, даже на момент получения вклада в 1995 г., в пять раз превышала экспериментальную погрешность. В настоящее время экспериментальная погрешность определения сдвига 1S уровня в водороде находится на уровне 4 кГц.
Первая глава заканчивается разделом 1.4, где суммированы вклады всех шести калибровочно-инвариантных наборов Рис. 1 и получены окончательные результаты для вкладов порядка 2(Z)5m в лэмбовский сдвиг в водороде 2(Z)5 mr ELamb = m l0 [ - 6. 862 (1) ], (2) n3 m и порядка 2(Z)EF в сверхтонкое расщепление в мюонии 2(Z) EHF S = EF [ 0. 771 7 (4) ]. (3) nСравнивая выражение (2) и данные в Таблице 1, видим, что вклад последнего калибровочно-инвариантного набора Рис. 1f в лэмбовский сдвиг доминирует над остальными наборами Рис. 1. Это наибольший неизвестный на момент вычислений квантовоэлектродинамический вклад в лэмбовский сдвиг, и его учет привел к существенному повышению точности теории. Вклад в сверхтонкое расщепление (3) был последним неизвестным вкладом третьего порядка малости по параметрам , Z и m/M.
Для дальнейшего уточнения теории сверхтонкого расщепления и лэмбовского сдвига необходимо исследовать поправки четвертого порядка малости по всем параметрам , Z и m/M.
Вторая глава диссертации посвящена развитию методов вычисления поправок четвертого порядка малости вида 3(Z) к сверхтонкому расщеплению и лэмбовскому сдвигу. Такие поправки связаны с трехпетлевыми фейнмановскими диаграммами, являющимися непосредственным обобщением шести калибровочно-инвариантных наборов двухпетлевых диаграмм на Рис. 1. При добавлении еще одной радиационной петли к диаграммам на Рис. 1 возрастает как число калибровочно-инвариантных наборов, так и количество диаграмм в каждом из них. Во второй главе диссертации вычислены вклады диаграмм, полученные из первых четырех наборов Рис. 1 увеличением на единицу суммарной степени поляризации вакуума. За редким исключением, при вычислении указанных диаграмм используются уже готовые строительные блоки для поляризации вакуума и радиационных поправок к электронной линии, что повышает надежность полученных результатов.
В разделе 2.1 вычислены три калибровочно-инвариантных набора диаграмм, содержащих только поляризационные вставки: три однопетлевые, комбинацию двухпетлевой и однопетлевой и неприводимую трехпетлевую. В разделе 2.2 содержится вычисление двух наборов диаграмм с однопетлевым электронным фактором и поляризацией вакуума второго порядка в обменных фотонах. В разделе 2.3 вычислен калибровочно-инвариантный набор диаграмм с однопетлевыми поляризационными вставками в радиационном и обменных фотонах. Раздел 2.4 содержит вычисление двух калибровочно-инвариантных наборов с двухпетлевой поляризацией вакуума в радиационном фотоне. В разделе 2.5 суммированы найденные во второй главе вклады первых восьми калибровочно-инвариантных наборов и получен частичный результат для вкладов порядка 3(Z)EF в сверхтонкое расщепление в мюонии и порядка 3(Z)5m в лэмбовский сдвиг в водороде.
В третьей главе рассматриваются радиационные поправки к отдаче вида n(Z)(m/M)EF к сверхтонкому расщеплению. Целью данной главы является как развитие методов вычисления, так и непосредственное вычисление поправок четвертого порядка малости 2(Z)(m/M)EF.
Разделы 3.1 и 3.2 являются вводными, в них обсуждается структура поправок и двухфотонные скелетные диаграммы. В разделе 3.3 в едином формализме вычисляются известные однопетлевые поправки к отдаче порядка (Z)(m/M)EF. В подразделе 3.3.1 рассматриваются диаграммы с электронной и мюонной поляризацией вакуума, в подразделе 3.3.2 радиационные вставки в электронную линию, в подразделе 3.3.3 - радиационные вставки в мюонную линию.
Раздел 3.4 посвящен двухпетлевым радиационным поправкам к отдаче искомого порядка 2(Z)(m/M)EF. Диаграммы, генерирующие указанный вклад, можно получить, восстанавливая пропагатор тяжелой частицы (далее мюона) в шести наборах диаграмм на Рис. 1. Для калибровочной инвариантности необходимо лестничные обмены дополнить перекрестными. Полученные таким образом шесть калибровочноинвариантных наборов будут содержать диаграммы с тремя петлями:
двумя радиационными и одной обменной. Из-за наличия мюонного пропагатора масштаб характерных импульсов повышается, и возникает вклад от логарифмической области интегрирования m k M. В результате вклад в сверхтонкое расщепление усилен степенями логарифма отношения масс мюона и электрона 2(Z) m 4 M 4 M M E = EF - ln3 + ln2 + C1 ln + C0.
3 M 3 m 3 m m (4) Ведущие вклады с кубом и квадратом большого логарифма хорошо известны (они кратко обсуждаются в подразделе 3.4.1), а коэффициент Cперед линейной степенью логарифма и константа C0 получены в данной работе.
+ 2 + + 2 + + 2 + + 2 + Рис. 3: Пример диаграмм, дающих вклад порядка 2(Z)(m/M)EF.
Слагаемое с кубом логарифма отношения масс возникает только от первого калибровочно-инвариантного набора с двумя электронными однопетлевыми поляризациями вакуума в асимптотическом режиме, члены с квадратом логарифма генерируются первыми пятью наборами, а первая степень логарифма и константа присутствуют во всех вкладах. Легко видеть, что шестью калибровочно-инвариантными наборами, полученными восстановлением мюонного пропагатора в диаграммах на Рис. 1, вклады порядка 2(Z)(m/M)EF не исчерпываются. Следует дополнительно учесть диаграммы с мюонной поляризацией вакуума и радиационными поправками к мюонной линии. Например, четвертому набору на Рис. 1d в порядке 2(Z)(m/M)EF будут соответствовать диаграммы, изображенные на Рис. 3, где жирная линия отвечает мюонному пропагатору.
Для калибровочной инвариантности к диаграммам Рис. 3 следует прибавить такие же, но с перекрестными линиями обменных фотонов. Каждая строчка на Рис. 3, дополненная перекрестными диаграммами, является калибровочно-инвариантным поднабором. Несмотря на внешнюю похожесть диаграмм из разных строчек Рис. 3, физика у них разная. Так, диаграммы из первой строчки содержат только один номинальный тяжелый пропагатор, поэтому их вклад, как и вклад скелетных диаграмм без радиационных поправок, набирается от широкой области импульсов интегрирования. Логарифмическая область m k M дает члены с квадратом и первой степенью большого логарифма, а импульсы порядка электронной массы k m вносят вклад в константу. Диаграммы во второй и третьей строчках на Рис. 3 содержат дополнительно два, а диаграммы в последней строчке - четыре тяжелых пропагатора, поэтому их вклады подавлены степенями отношения k2/M2. Ненулевой вклад порядка 2(Z)(m/M)EF в последних диаграммах может происходить только от характерных импульсов интегрирования порядка мюонной массы k M. Так как логарифмическая область интегрирования в данных диаграммах отсутствует, то их вклады должны быть простыми константами.
Тем не менее, диаграммы из третьей строчки Рис. 3 все же дают вклад с одной степенью логарифма ln (M/m), так как при характерных импульсах интегрирования k M электронный поляризационный оператор находится в асимптотическом режиме и привносит дополнительную степень логарифма. В этом случае коэффициент перед логарифмом можно легко получить из ренормгрупповых соображений, используя лишь известный результат для однопетлевых радиационных поправок к мюонной линии.
Оригинальные результаты для вкладов порядка 2(Z)(m/M)EF получены в подразделах 3.4.2 - 3.4.5. Так, в 3.4.2 и 3.4.3 вычислены диаграммы с двумя однопетлевыми и неприводимой двухпетлевой поляризациями вакуума. В подразделах 3.4.4 и 3.4.5 найдены вклады диаграмм с радиационными поправками к электронной линии и поляризацией вакуума в обменном либо радиационном фотоне. Полный результат для всех наборов диаграмм с поляризационными вставками равен 3 m M Epol = EF 3(3) - 62 ln 2 + 2 - 8 ln + 27. 666 (2). (5) 3 M m В формуле (5) выписаны только новые вклады, известные вклады (4) с кубом и квадратом логарифма опущены.
В подразделе 3.4.6 подробно рассмотрен вклад диаграмм Рис. 4 с одновременными радиационными вставками в обе фермионные линии. Однопетлевой блок в указанных диаграммах включает массовый оператор, вершинную функцию и диаграмму с охватывающим фотоном. Весь 1-loop 1-loop + 1-loop 1-loop Рис. 4: Порядок 2(Z)(m/M)EF. Диаграммы с одновременными радиационными вставками в обе фермионные линии.
калибровочно-инвариантный набор диаграмм Рис. 4 может быть вычислен аналитически (Z2)(Z) m 15 152 272 1Eem = EF - (3) + ln 2 + -. (6) 3 M 8 4 16 При получении результата (6) решающую роль играли ультрафиолетовые и инфракрасные асимптотики фермионных линий и свойство калибровочной инвариантности.
В подразделе 3.4.7 получен частичный результат для вкладов порядка 2(Z)(m/M)EF в сверхтонкое расщепление в мюонии. Все вклады со степенями большого логарифма ln (M/m), а также значительная часть постоянных слагаемых вычислены аналитически.
В четвертой главе развит эффективный метод вычисления радиационных поправок к отдаче порядка n(Z)5(m/M)m к лэмбовскому сдвигу, индуцированных диаграммами с радиационными вставками в электронную линию. Получено аналитическое выражение для поправок к отдаче порядка (Z)5(m/M)m к лэмбовскому сдвигу в водороде, соответствующих сумме диаграмм Рис. 5 и аналогичных диаграмм с перекрещенными линиями обменных фотонов.
+ 2 + Рис. 5: Радиационные поправки к электронной линии.
Полный вклад диаграмм Рис. 5 для сдвига энергии содержит как отдачные вклады (Z)5(m/M)m, так и неотдачные вклады порядка (Z)5m, рассмотренные в первой главе диссертации. Там же было показано, что характерные импульсы интегрирования по порядку величины равны массе электрона m. Вклад малых импульсов атомного масштаба k m подавлен радиационными поправками к электронной линии, а вклад больших импульсов порядка M подавлен высокой степенью импульсов в знаменателе. В результате вклады порядка (Z)5(m/M)m не содержат логарифма отношения масс ln(M/m), который мог бы возникнуть только от логарифмической области интегрирования m k M.
Отсутствие логарифма ln(M/m) позволяет радикально (более чем на порядок) сократить объем вычислений, продифференцировав исходное выражение по тяжелой массе и перейдя к пределу k/M 0. В результате предельного перехода из исходного выражения для вклада в энергию полностью удален тяжелый пропагатор, а вместе с ним и нетривиальная зависимость от отношения масс m/M.
В разделах 4.1 - 4.3 последовательно вычисляются вклады массового оператора, вершинной функции и диаграммы с охватывающим фотоном.
В разделе 4.4 приведен полный вклад порядка (Z)5(m/M)m в лэмбовский сдвиг, индуцированный диаграммами Рис. (Z)5 m mr 3 3ELRR = m (3) - 22 ln 2 + - 14. (7) 2n3 M m Аналитическое вычисление вклада (7) позволило разрешить долговременное противоречие между двумя группами численных результатов.
Пятая глава посвящена анализу некоторых радиационных поправок высшего порядка к отдаче в сверхтонком расщеплении. Ранее уже были рассмотрены вклады (Z)(m/M) EF и 2(Z)(m/M) EF в сверхтонкое расщепление в мюонии. Интересно оценить масштаб поправок к указанным вкладам. Здесь следует подчеркнуть, что все полученные в данной диссертации результаты являются строгими в пределе 0, Z и m/M 0. Процедура вычислений была устроена таким образом, что даже численные результаты точно соответствуют предельному случаю.
Поправки высшего порядка к указанным вкладам можно получить, например, увеличивая число радиационных петель, учитывая следующие члены разложения по параметрам m/M и Z, либо вводя поляризационные петли с тяжелой частицей.
В разделе 5.1 оценивается масштаб поправок к отдаче, соответствующий четырехпетлевым фейнмановским диаграммам. В главном логарифмическом приближении вклад в сверхтонкое расщепление легко получить из разложения эффективного заряда 3(Z) m 8 M 2(Z) m E4log = EF - ln4 +... EF [ - 1. 67 ].
4 M 9 m 3 M (8) Слагаемые с низшими степенями логарифма и константа несколько уменьшат конечный результат (8), но его масштаб останется прежним.
Из выражения (8) видно, что ведущий четырехпетлевой вклад (пятого порядка малости) должен быть учтен при окончательном вычислении всех вкладов четвертого порядка 2(Z)(m/M) EF.
В разделе 5.2 рассмотрен еще один тип поправок четвертого порядка малости - квадратичные по отношению масс поправки (Z)(m/M)2EF к сверхтонкому расщеплению. Такие вклады генерируются однопетлевыми радиационными вставками в электронную линию (как показано на Рис. 5), аналогичными радиационными вставками в мюонную линию, а также диаграммами с поляризацией вакуума в обменном фотоне. Сложность исследования квадратичных по отношению масс вкладов состоит в том, что их приходится рассматривать на фоне вкладов нулевого порядка (Z)EF и логарифмически усиленных вкладов первого порядка (Z)(m/M)EF. В данной диссертации разработаны методы вычисления таких поправок и получен полный аналитический результат.
В подразделе 5.2.1 найден вклад диаграмм с электронной поляризацией вакуума, в подразделе 5.2.2 показано, что диаграммы с мюонной поляризаций вакуума не дают вклада второго порядка по отношению масс. В подразделах 5.2.3 и 5.2.4 получены аналитические результаты для радиационных вставок в электронную и мюонную линии. В подразделе 5.2.5 приведен окончательный результат для квадратичных по отношению масс поправок 2 m 3 3 EmM2 = (Z) EF + - 6 ln 2 - - Z2. (9) M 4 2 Отдельные слагаемые в выражении (9) соответствуют вкладам электронной поляризации вакуума и радиационных поправок к электронной и мюонной линиям.
В разделе 5.3 рассмотрены диаграммы Рис. 6 с -лептонной поляризацией вакуума и получен их вклад в сверхтонкое расщепление основного 2 + Рис. 6: Диаграммы с -лептонной поляризацией вакуума.
состояния в мюонии (Z) mem 6 m E EF ln +. (10) 2 m2 5 m Численно имеем (Z) mem 2(Z) me EF EF, (11) 2 m2 3 m поэтому вклад -лептонной поляризации вакуума по порядку величины соответствует слагаемым без логарифмического усиления в рассмотренных в третьей главе двухпетлевых радиационных поправках к отдаче.
С другой стороны, масса -лептона m 1780 МэВ имеет существенно адронный масштаб, следовательно, вклад (10) определяет величину адронных поправок к сверхтонкому расщеплению.
В шестой главе исследуются неопределенности теории сверхтонкого расщепления основного состояния в мюонии, связанные с сильными взаимодействиями. Даже чисто лептонные системы, такие как мюоний, не свободны от сильных взаимодействий, которые возникают при учете 2 + Рис. 7: Ведущий адронный вклад в сверхтонкое расщепление в мюонии.
виртуальных адронных промежуточных состояний.
В разделе 6.1 рассмотрен ведущий адронный вклад, соответствующий диаграммам Рис. 7 со вставками адронной поляризации в один из обменных фотонов, и получено следующее представление для вклада в сверхтонкое расщепление (Z) mem E (had) = 2 EF ds KMu(s) (s), (12) 2 m2 - m e где интегральное ядро при s m2 равно e 4m 1 + 1 4ms s KMu(s) = - + 2 1 - ln 4m4m2 s 1 - 1 s s 3 s + + ln -. (13) 4m2 2 m2 Главным достоинством этого представления является разделение двух задач: квантовоэлектродинамической и адронной. Первый множитель представляет собой решение задачи об однопетлевом вкладе диаграммы Рис. 7 с массивным фотоном в сверхтонкое расщепление, тогда как второй множитель отвечает спектральной функции фотонного пропагатора (s) с учетом эффектов адронной поляризации вакуума. Полученное в диссертации представление (12) аналогично по форме известному представлению для ведущего адронного вклада в аномальный магнитный момент мюона.
В разделе 6.2 ведущий адронный вклад E (lead), полученный с использованием истинной спектральной плотности (s), выражен через простую модельную плотность M(s), соответствующую сумме вкладов , и -мезонов и фоновых вкладов. Спектральная плотность M(s) содержит ряд свободных параметров, позволяющих изменять баланс между вкладами резонансов и фона при сохранении нормировки на ведущий адронный вклад. Данная модель предназначена для исследования поправок старших порядков к ведущему адронному вкладу Рис. 7, ее точность достаточна для вычисления двухпетлевых радиационых поправок, рассмотренных в следующем разделе.
Раздел 6.3 содержит непосредственное вычисление двухпетлевых адронных поправок, соответствующих диаграммам на Рис. 8 (плюс перекрестные диаграммы). Здесь вычислены вклады диаграмм a - g на Рис. 8, e a b c d e f g h Рис. 8: Адронные вклады старших порядков в сверхтонкое расщепление в мюонии.
являющихся однопетлевыми радиационными поправками к диаграммам Рис. 7. Показано, что вклад радиационных поправок слабо зависит от деталей ведущего вклада. Особо рассмотрены диаграммы h на Рис. 8 с блоком адронного рассеяния света на свете и показано, что их вклад в сверхтонкое расщепление крайне мал и его можно не учитывать при сравнении теории и эксперимента.
В разделе 6.4 приведен окончательный результат для адронного вклада в сверхтонкое расщепление в мюонии, учитывающий однопетлевые радиационные поправки порядка E (lead) m E (had) E (lead) 1 + ln - 1. 94 (5). (14) me Таким образом, полный вклад в расщепление представлен в виде произведения ведущего вклада E (lead) и соответствующего радиационным поправкам множителя, слабо зависящего от деталей ведущего вклада.
Суммарный вклад радиационных поправок равен 6.5 Гц, что в два раза превышает погрешность определения ведущего адронного вклада из экспериментальных данных. Так как точности вычисления радиационных поправок более чем достаточно для сравнения теории и эксперимента, то дальнейшее уточнение адронного вклада в сверхтонкое расщепление в мюонии будет связано только с уточнением величины ведущего вклада E (lead) по формулам (12)Ц(13) на основании новых экспериментальных данных для (s).
В седьмой главе рассматриваются некоторые формальные вопросы, связанные с проблемой выбора калибровки фотонного пропагатора при вычислении радиационных поправок к атомным уровням энергии.
В разделе 7.1 продемонстрированы особенности инфракрасно конечной калибровки Йенни. Полученные в диссертации замкнутые выражения для однопетлевой вершинной функции и двухпетлевого массового оператора в калибровке Йенни имеют самостоятельную ценность, так как многократно использовались при вычислении различных радиационных поправок и являются надежно установленными.
В разделе 7.2 предложена новая калибровка, сочетающая в себе достоинства калибровки Ландау в ультрафиолетовой области и калибровок Йенни или кулоновской в инфракрасной области. Фотонный пропагатор в данной калибровке имеет вид 1 qq + qq D(q) = g +, (15) q2 + i qгде q 2(q) - q, а - произвольный времениподобный единичный вектор. Однопетлевой множитель перенормировки волновой функции в калибровке (15) 3 Q2 - Z2 (, Q2) 1 + + 2 ln - 5, (16) 2 m2 как и в калибровке Ландау, не содержит параметра ультрафиолетового обрезания . Величина Q2 = p2 - (p)2, являющаяся коэффициентом перед логарифмом электронной виртуальности , зависит от конкретного выбора вектора . В частном случае = (1, 0) имеем Q2 = -p2, следовательно, при атомных импульсах коэффициент перед инфракрасным логарифмом, как и в кулоновской калибровке, подавлен множителем p2/m2. Специальным выбором вектора = p/ p2 величину Q2 можно -тождественно обратить в нуль и получить равенство Z2 = 1 + 3/2.
В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.
Приложение содержит вспомогательные интегралы и определения величин, использовавшихся при вычислении радиационных поправок.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:
[1] M. I. Eides, H. Grotch, and V. A. Shelyuto, Theory of Light Hydrogenic Bound States. Springer Tracts in Modern Physics 222, Springer, Berlin - Heidelberg - New York, 2007.
[2] M. I. Eides, H. Grotch, and V. A. Shelyuto, Theory of light hydrogenlike atoms, Physics Reports 342 (2001) 63-261.
[3] M. I. Eides, S. G. Karshenboim, and V. A. Shelyuto, New Contributions to Muonium and Hydrogen Hyperfine Splitting Induced by Vacuum Polarization Insertions in External Photons, Phys. Lett. B 229 (1989) 285-288.
[4] С. Г. Каршенбойм, В. А. Шелюто, М. И. Эйдес, Новые поправки к сверхтонкому расщеплению в мюонии и водороде, Письма в ЖЭТФ 50 (1989) 3-6.
[5] С. Г. Каршенбойм, В. А. Шелюто, М. И. Эйдес, Первые поправки порядка (Z)2EF к сверхтонкому расщеплению в мюонии и водороде, Ядерная физика 50 (1989) 1636-1646.
[6] M. I. Eides, S. G. Karshenboim, and V. A. Shelyuto, Last Vacuum Polarization Contribution of Order 2(Z)EF to Muonium and Hydrogen Hyperfine Splitting, Phys. Lett. B 249 (1990) 519-522.
[7] С. Г. Каршенбойм, В. А. Шелюто, М. И. Эйдес, Еще один вклад порядка 2(Z)EF в сверхтонкое расщепление в мюонии и водороде, Письма в ЖЭТФ 52 (1990) 937-939.
[8] M. I. Eides, S. G. Karshenboim, and V. A. Shelyuto, Purely Radiative Contribution to Muonium and Hydrogen Hyperfine Splitting induced by Light by Light Scattering Insertion in External Photons, Phys. Lett.
B 268 (1991) 433-436.
[9] С. Г. Каршенбойм, В. А. Шелюто, М. И. Эйдес, Вклад диаграмм рассеяния света на свете в сверхтонкое расщепление в мюонии и водороде, Ядерная физика 55 (1992) 466-474.
[10] M.I.Eides, S.G.Karshenboim, and V.A.Shelyuto, First Corrections of Order 2(Z)5 to Hyperfine Splitting and Lamb Shift Induced by TwoLoop Insertions in the Electron Line, Phys. Lett. B 312 (1993) 358-365.
[11] С. Г. Каршенбойм, В. А. Шелюто, М. И. Эйдес, First Corrections to Hyperfine Splitting and Lamb Shift Induced by Diagrams with Two External Photons and Second Order Radiative Insertions in the Electron Line, Ядерная физика 57 (1994) 1309-1325.
[12] С. Г. Каршенбойм, В. А. Шелюто, М. И. Эйдес, Corrections to Hyperfine Splitting and Lamb Shift Induced by the Overlapping TwoLoop Electron Self-Energy Insertion in the Electron Line, Ядерная физика 57 (1994) 2246-2259.
[13] M. I. Eides and V. A. Shelyuto, New Corrections to Hyperfine Splitting and Lamb Shift and the Value of the Rydberg Constant, Письма в ЖЭТФ 61 (1995) 465-470.
[14] M. I. Eides and V. A. Shelyuto, Corrections of order 2(Z)5 to the hyperfine splitting and the Lamb shift, Phys. Rev. A 52 (1995) 954-961.
[15] M. I. Eides, S. G. Karshenboim, and V. A. Shelyuto, Correction to hyperfine splitting and Lamb shift induced by diagrams with secondorder radiative insertions in the electron line, IEEE Trans. Instrum.
Meas., 44 (1995) 481-483.
[16] В. А. Шелюто, Однопетлевые радиационные поправки в калибровке с улучшенными инфракрасными и ультрафиолетовыми свойствами, ЖЭТФ 110 (1996) 1153-1167.
[17] M. I. Eides, H. Grotch, and V. A. Shelyuto, Analytic Contribution of Order 2(Z)5m to the Lamb Shift, Phys. Rev. A 55 (1997) 2447-2450.
[18] M. I. Eides, H. Grotch, and V. A. Shelyuto, Second Order in Mass Ratio Radiative-Recoil Corrections to Hyperfine Splitting in Muonium, Phys.
Rev. D 58 (1998) 013008, 12pp.
[19] L. N. Labzovsky, A. Mitruschenkov, G. Soff, and V. A. Shelyuto, The second-order electron self-energy counterterms in bound state QED, Phys. Lett. A 240(1998) 225-234.
[20] L. N. Labzovsky, A. Mitruschenkov, G. Soff, and V. A. Shelyuto, Counterterms for second order electron self energy in bound state QED, Phys. Rev. A 57 (1998) 4038-4040.
[21] M. I. Eides and V. A. Shelyuto, One-Loop Electron Vertex in Yennie Gauge, Eur. Phys. J. C 63 (2001) 489-494.
[22] M. I. Eides, H. Grotch, and V. A. Shelyuto, Radiative-Recoil Corrections of Order (Z)5(m/M)m to Lamb Shift Revisited, Phys.
Rev. A 63 (2001) 052509, 8pp.
[23] S. G. Karshenboim and V. A. Shelyuto, Hadronic Vacuum Polarization Contribution to the Muonium Hyperfine Splitting, Phys. Lett. B 5(2001) 32-36.
[24] S. I. Eidelman, S. G. Karshenboim, and V. A. Shelyuto, Hadronic effects in leptonic systems: Muonium hyperfine structure and anomalous magnetic moment of muon, Can. J. Phys. 80 (2002) 1297-1303.
[25] M. I. Eides, H. Grotch, and V. A. Shelyuto, Two-Loop Polarization Contributions to Radiative-Recoil Corrections to Hyperfine Splitting in Muonium, Phys. Rev. D 65 (2002) 013003, 8pp.
[26] M. I. Eides and V. A. Shelyuto, New Polarization Operator Contributions to Lamb Shift and Hyperfine Splitting, Phys. Rev. A 68 (2003) 042106, 10pp.
[27] M. I. Eides, H. Grotch, and V. A. Shelyuto, Three-Loop RadiativeRecoil Corrections to Hyperfine Splitting in Muonium, Phys. Rev. D 67 (2003) 113003, 16pp.
[28] M. I. Eides, H. Grotch, and V. A. Shelyuto, Three-Loop RadiativeRecoil Corrections to Hyperfine Splitting Generated by One-Loop Fermion Factors, Phys. Rev. D 70 (2004) 073005, 7pp.
[29] M. I. Eides and V. A. Shelyuto, Three-Loop Reducible Radiative Photon Contributions to the Lamb Shift and Hyperfine Splitting, Phys. Rev. A 70 (2004) 022506, 4pp.
[30] M. I. Eides, H. Grotch, and V. A. Shelyuto, Three-Loop RadiativeRecoil Corrections to Hyperfine Splitting in Muonium, Can. J. of Physics, 83 (2005) 363-373.
[31] S. G. Karshenboim, S. I. Eidelman, P. Fendel, V. G. Ivanov, N. N.
Kolachevsky, V. A. Shelyuto, and T. W. Hnsch, Study of hyperfine structure in simple atoms and precision tests of the bound state QED, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 162 (2006) 260-263.
[32] M. I. Eides and V. A. Shelyuto, Three-Loop Radiative Corrections to Hyperfine Splitting in Muonium, Can. J. Phys. 85 (2007) 509-519.
[33] S. G. Karshenboim, V. A. Shelyuto, and A. I. Vainshtein, Hadronic Light-by-Light Scattering Contribution to Muonium Hyperfine Splitting, Phys. Rev. D 78 (2008) 065036, 7pp.
[34] M. I. Eides and V. A. Shelyuto, Radiative-Recoil Corrections to Hyperfine Splitting: Polarization Insertions in the Muon Factor, Phys.
Rev. D 80 (2009) 053008, 6pp.
[35] M. I. Eides and V. A. Shelyuto, Three-Loop Radiative-Recoil Corrections to Hyperfine Splitting: Diagrams with Polarization Loops, Phys. Rev. Lett. 103 (2009) 133003, 4pp.