Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по педагогике  

На правах рукописи

Голиков Алексей Иннокентьевич

ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ

МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ В УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора педагогических наук

Москва - 2008

Работа выполнена на кафедре образовательных технологий факультета педагогического образования Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Научный консультант: Член-корреспондент РАО,

  доктор физико-математических наук,

  профессор

  РОЗОВ Николай Христович

Официальные оппоненты: Член-корреспондент РАО,

  доктор педагогических наук,

  профессор

  ВИНОГРАДОВА Наталья Федоровна

 

доктор педагогических наук,

профессор

ТЕСТОВ Владимир Афанасьевич

 

доктор философских наук,

профессор

КРЕЧЕВЕ - Анатолий Николаевич

Ведущая организация: ГОУ ВПО Московский педагогический

государственный университет

Защита состоится л17 июня 2008 г. в 16.00 на заседании диссертационного совета Д 501.002.07 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, аудитория 5-А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета педагогического образования Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет педагогического образования.

Автореферат разослан л_______________2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета 

доктор физико-математических наук,

профессор В.И.Гаврилов 

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Актуальность исследования. Весь ХХ век был отмечен многочисленными попытками отойти от традиционного, технологического подхода в образовании, поисками альтернативы. Новая парандигма образования в РФ характеризуется личностной ориентацией, идеей развивающего обучения, созданием условий для самоорганизации и саморазвития личности, субъектностью образования и т.д. Иными словами, современная система образования нацелена на развитие личности ребенка, на конструирование содержания, форм и методов обучения и воспитания, обеспечивающих развитие каждого ученика, его познавательных способностей и личностных качеств.

В концепции школьного математического образования выделены основные цели обучения - обучение учащихся приемам мышления и методам познания, формирование у них качеств математического мышления, математических мыслительных способностей и умений. Важность исследований отмеченных проблем усиливается возрастающим значением применения математики в различных областях науки, экономики и производства.

Необходимость математического развития младшего школьника в учебной деятельности на современном этапе отмечается многими ведущими российскими учеными (Н.Ф.Виноградова, В.А.Гусев, Г.В.Дорофеев, Н.Б.Истомина, Ю.М.Колягин, Л.Г.Петерсон, Н.Ф.Талызина и др.). Это обусловлено тем, что на протяжении дошкольного и младшего школьного периода у ребенка не только интенсивно развиваются все психические функции, но и происходит закладка общего фундамента познавательных способностей и интеллектуального потенциала личности. Многочисленные факты свидетельствуют, что если соответствующие интеллектуальные или эмоциональные качества по тем или иным причинам не получают должного развития в раннем детстве, то впоследствии преодоление такого рода недостатков оказывается делом трудным, а подчас и невозможным1.

Серьезной проблемой современной начальной школы остается ориентировка процесса обучения на уже сформировавшиеся у ребенка в дошкольный период психические процессы: восприятие и память
(Репродуктивные методы). В основе сознательного акта учения лежит способность человека к продуктивному (творческому) воображению и мышлению. Более того, без высокого уровня развития этих процессов вообще невозможны ни успешное обучение, ни успешное самообучение.

Таким образом, новая парадигма образования, с одной стороны, предполагает максимально возможную индивидуализацию учебно-воспитательного процесса, а с другой стороны, требует разрешения проблемы создания образовательных технологий, обеспечивающих реализацию основных положений Концепции школьного математического образования. Необходимость разработки таких технологий является чрезвычайно актуальной для практики обучения и воспитания детей младшего школьного возраста.

В психологии развитие понимается как последовательные, прогрессирующие существенные изменения в психике и личности человека, проявляющиеся как определенные новообразования. Положение о возможности и целесообразности обучения, ориентированного на развитие ребенка, было обосновано еще в 1930-е годы выдающимся российским психологом Л.С.Выготским. Под влиянием обучения происходит перестройка всех его психических функций.

Одну из первых попыток практически реализовать идеи Л.С.Выготского в нашей стране предпринял Л.В.Занков - в 1950-60-е годы он разработал принципиально новую систему начального образования, которая нашла большое число последователей. В системе Л.В.Занкова для эффективного развития учащихся, в том числе и их познавательных способностей, реализуются следующие пять основных принципов: обучение на высоком уровне трудности; ведущая роль теоретических знаний; продвижение вперед быстрым темпом; сознательное участие школьников в учебном процессе; систематическая работа над развитием всех учащихся.

Теоретическое (а не традиционно эмпирическое) знание и мышление, учебную деятельность поставили во главу угла авторы другой теории развивающего обучения (учебной деятельности) - Д.Б.Эльконин и В.В.Давыдов. Они считают, что основной характеристикой развивающего обучения является изменение позиции ученинка в процессе учения. В отличие от традиционного обучения, где ученик явнляется объектом педагогических воздействий учителя, в развивающем обученнии создаются условия, при которых ученик становится субъектом обучения. Сегодня эта теория учебной деятельности признается многими учеными в качестве одной из наиболее перспективных и последовательных в плане реализации известных положений Л.С.Выготского о развивающем и опережающем характере обучения.

Однако в практической реализации систем Л.В.Занкова и Д.Б.Эльконина - В.В.Давыдова в учебном процессе далеко не все обстоит гладко. В последние годы эти две системы были подвергнуты серъезной, но не во всем справедливой критике. Так, Ю.М.Колягин отмечает, что принципы Л.В.Занкова вызывают определенные возражения у опытного педагога, а обе эти системы обучения не привели, по его мнению, к убедительным позитивным результатам2. Сходный взгляд высказывает руководитель образовательного проекта Новая Россия проф. А.Кушнир: по его словам, самое фундаментальное по притязательности и истраченным средствам педагогическое сооружение - развивающее обучение - не сумело сколько-нибудь заметно оторваться от своего традиционного близнеца3.

В отечественной педагогике, помимо этих двух систем, разработаны концепции развивающего обучения З.И.Калмыковой, Е.Н.Кабановой-Меллер, Г.А.Цукерман, С.А.Смирнова и др. Следует также отметить интересные психологические поиски П.Я.Гальперина и Н.Ф.Талызиной на основе созданной ими теории поэтапного формирования умственных действий. Однако, как отмечает В.А.Тестов, в большинстве из упомянутых педагогических систем развитие ученика является обязанностью учителя, а роль ученика сводится к следованию за развивающим воздействием учителя4.

В русле развивающего обучения появились различные программы и средства обучения по математике, как для начальных классов (учебники Э.Н.Александровой, И.И.Аргинской, Б.Д.Гельмана, Н.Б.Истоминой, Л.Г.Петерсон и др.), так и для средней школы (учебники Г.В. Дорофеева, А.Г. Мордковича, С.М.Никольского, И.Ф.Шарыгина и др.). Авторы учебников по-разному понимают развитие личнонсти в процессе изучения математики. Одни авторы делают акцент на развитие наблюдения, мышления и практических действий, другие на формирование определеннных умственных действий, третьи - на создание условий, обеспечивающих становление учебной деятельности, разнвитие теоретического мышления.

Ясно, что проблема развития математического мышления в обучении математике в школе не может быть решена только за счет совершенствования содернжания образования (даже при наличии хороших учебников). Реализанция на практике разных уровней требует от учителя принципиально нового подхода к организации учебной деятельности учащихся на уроке, в домашнней и внеклассной работе, позволяющей ему учитывать типологические и индивидуальные особенности обучаемых.

Известно, что младший школьный возраст сензитивен, наиболее благоприятен для развития познавательных психических процессов и интеллекта (Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов). Развитие мышления учащихся - одна из основных задач начальной школы. Именно на этой психологической особенности мы сконцентрировали свои усилия, опираясь на психолого-педагогическую концепцию развития мышления Д.Б.Эльконина, положение В.В.Давыдова о переходе от эмпирического мышления к теоретическому в процессе специально организованной учебной деятельности, на работы Р.Атаханова, Л.К.Максимова, А.А.Столяра, П.-Х. Ван Хиле, связанные с выявлением уровней развития математического мышления и их психологических характеристик, а также особенностями их проявления на математическом материале.

Наиболее важными для нашего дальнейшего исследования являются работы В.А.Крутецкого, связывающего математическое мышление с понятием способности, и И.Я.Каплуновича о модели структуры математического мышления, представляющей собой пересечение пяти основных подструктур: топологической, проективной, порядковой, метрической и композиционной (лалгебраической). В соответствии с индивидуальными особенностями каждого та или иная подструктура занимает место главной, ведущей, доминирующей. Она наиболее ярко выражена по сравнению с остальными, более устойчива и лучше развита. В работе В.А.Крутецкого место доминирующей занимает одна или несколько способностей. Эти две модели структуры математического мышления мы назовем моделями направленности ума.

Вместе с тем, на основе выделенных психологами закономерностей, вопросы развития мышления учащихся в процессе обучения исследовались дидактами (Ю.К.Бабанский, М.А.Данилов, И.Я.Лернер, М.Н.Скаткин, М.Н.Шардаков и др.), учеными и математиками-методистами (Ж.Адамар, Б.В.Гнеденко, В.А.Гусев, Ю.М.Колягин, А.А.Маркушевич, Н.Х.Розов, В.А.Тестов, С.Л.Трегуб, А.Я.Хинчин, С.И.Шварцбурд, П.М.Эрдниев и др.). На разработку эффективных методов и приемов решения задач посвящены исследования В.Г.Болтянского, Н.Ф.Талызиной и др. В этих исследованиях отмечается, что современное состояние математической подготовки учащихся вызывает у них серьезные опасения. Наблюдается формализм математических знаний школьников, их недостаточная действенность; недостаточный уровень математической культуры и математического мышления, тормозящие развитие. Знания и умения носят фрагментарный харакнтер, представляют набор слабо связанных между собой догматически усвоненных сведений и закрепленных навыков выполнения стандартных алгоритнмов вычислений, преобразований, решения типовых задач и т.д. Такие знанния с трудом актуализируются школьниками на уроках математики, бывают мало востребованы учеником, быстнро забываются. При этом у учащихся не возникает представления о матемантике как о единой науке со своим предметом и своими методами.

Как указывает В.А.Крутецкий, самое главное при обучении математике - формировать у учащихся обобщенные математические отношения, развивать способности к обобщению. Существуют разные пути достижения этого в зависимости от индивидуально-типологических особенностей школьников. При обучении учителю следует руководствоваться теми особенностями мышления ученика, которые наиболее сильно у него выражены, и, отталкиваясь от них, постепенно преодолевать специфически слабые черты его математического мышления. На наш взгляд, модели направленности ума могут оказать помощь в поиске ответов на нелегкие вопросы, связанные с дифференцированным обучением в начальной школе, предложить ориентиры для дальнейшей работы в направлении развития математического мышления у учащихся.

Идея Л.С.Выготского о том, что обучение должно осуществляться в зоне ближайшего развития учащихся, а эффективность обучения определяется тем, какую зону (большую или маленькую) оно подготавливает, у всех на слуху. На теоретическом (концептуальном) уровне ее разделяют почти во всем мире. Проблема заключается в ее практической реализации: как определить (измерить) эту зону и какова должна быть технология обучения, чтобы процесс познания научных основ и овладения (лприсвоения) человеческой культуры проходил именно в ней, обеспечивал максимальный развивающий эффект?

Таким образом, психолого-педагогической наукой обоснована целесообразность математического развития младших школьников, но недостаточно разработаны механизмы ее реализации. Рассмотрение понятия развитие как результата обучения с методологических позиций показывает, что это целостный непрерывный процесс, движущей силой которого является разрешение противоречий, возникающих в процессе изменнений. Психологи утверждают, что процесс преодоления пронтиворечия создает условия для развития, в результате которого отдельные знания и умения перерастают в целостное новообразование, в новую способность. Поэтому проблема исследования определена противоречиями:

- между необходимостью высокого уровня математического развития для современного человека и не соответствующей этой задаче целостной системы процесса обучения математике в начальной школе;

- между дискретностью системы обучения и необнходимостью создания в сознании ребенка целостной картины мира;

- между высоким уровнем абстракции в математике, необходимостью проводить обобщения и недостаточным уровнем развития математического мышления младшего школьника;

- между фундаментальным постулатом теории развивающего обучения (полагающим суть личности ребенка как складывающуюся в образовательном процессе саморазвивающуюся систему, поддающуюся управляемым процессам формирования и развития, посредством применения технологий развивающего обучения) и отсутствием таковых технологий в младшем школьном математическом образовании;

- между потребностью в применении учителями математики, деятельностного подхода к обучению и их практической неготовностью к такому преподаванию, к продуманной совместной деятельности учителя и школьника в зоне ближайшего развития.

В подходах к решению рассматриваемой проблемы выделяются четыре основных направления:

1. Изучение самого понятия математическое мышление; установление взаимосвязей между различными ее составляющими (компонентами) в области математики; разработка эффективных методов формирования и развития математического мышления младших школьников и соответствующей диагностики достижений учащихся.
2. Взаимосвязь понятий лучебная деятельность и развитие младших школьников. Формирование и развитие математического мышления учащихся в условиях дифференцированного обучения математике.
3. Переходы ученика от актуального уровня развития у него математического мышления к ближайшему уровню математического мышления происходит по схеме: ближайший уровень 1 - актуальный уровень 1 - ближайший уровень 2 - актуальный уровень 2 и т.д. по разработанной соответствующей индивидуальной программой коррекции его мышления.
4. Исследование эффективности формирования и развития математического мышления учащихся, в частности, разработка измерителей, средств контроля и оценивания математического мышления учащихся на каждом уровне обучения, а также определение эффективности применяемых методов, выявление и устранение причин выявляемых недостатков.

Резюмируя вышеизложенное, можно констатировать актуальность предпринятого исследования проблем математического развития младших школьников. Эта проблема требует для своего решения расширения общих подходов, выхода за рамки чистой дидактики, учета современных достижений не только психологии и физиологии, создания общей концепции формирования и развития математического мышления учащихся на более широкой теоретической основе, чем это принято в настоящее время.

Цель данного исследования состоит в построении концепции математического развития ребенка младшего школьного возраста на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей мышления школьника, позволяющей обеспечить осуществление непрерывности математического образования на дошкольной, начальной школьной ступени и 5-6 классов основной школы, его преемственности и повышение качества математической подготовки ребенка младшего школьного возраста, а также разработке и апробации ее прикладного аспекта в форме образовательной технологии (методы, средства, формы).

Объект исследования - процесс непрерывного математического развития младших школьников при обучении математики.

Предмет исследования - методическое обеспечение процесса непрерывного математического развития младших школьников.

Гипотеза исследования. Процесс математического развития младшего школьника в учебной деятельности окажется более эффективным, если система методов формирования и развития мышления младших школьников в обучении математике базируется на развитии у ребенка доминирующих индивидуально-типологических особенностей мышления, и, отталкиваясь от них постепенно преодолевать специфически слабые черты его математического мышления.  Такое целенаправленное и методически организованное формирование и развитие совокупности взаимосвязанных основных показателей и качеств математического мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности позволит учителю находится за детьми и создать им возможность для самостоятельного присвоения знаний и движения в индивидуальной для каждого зоне ближайшего развития.

Задачи исследования:

1. Обобщить имеющиеся представления о мышлении вообще, о математическом мышлении, об уровнях и стадиях развития математического мышления, о взаимосвязи понятий лучебная деятельность и развитие младших школьников.
2. На  основе  анализа  философской, психологической, педагогической, методической литературы и опытно-экспериментальной работы определить стратегию совершенствования математического развития младших школьников при обучении математике.
3. На основе проведенного анализа современного состояния теории и практики школьного математического образования  выявить и сформулировать теоретические и методические основания концепции математического развития ребенка на  начальном школьном этапе.
4. Спроектировать на основе  разработанной  концепции  модель  управления учебной деятельностью через методику формирования интеллектуальных способностей учащихся на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей математического мышления в условиях группового обучения, позволяющей учителю находится за детьми и создать им возможность для самостоятельного присвоения знаний и движения в индивидуальной для каждого зоне ближайшего развития.
5. Проанализировать проблему преемственности начального математического образования. Выявить условия рационального использования интеллектуальных игр в установлении преемственных связей ведущих видов деятельности в дошкольном и младшем школьном периоде жизни ребенка. Разработать научно-практические и методические рекомендации по внедрению динамических игр преследования (ДИП) в систему подготовки детей к школе.
6. Выявить методические особенности организации непрерывного математического развития младших школьников в учебной деятельности. Разработать методическое обеспечение подготовки будущего учителя к осуществлению руководством математическим развитием ребенка младшего возраста.
7. Осуществить  экспериментальную  проверку степени  реализуемости методики математического развития младших школьников в обучении с гарантированным положительным результатом.

Методологической основой исследования явились фундаментальные положения отечественных и зарубежных методологов, педагогов и психолонгов о диалектической сущности теории организации педагогической деянтельности; теория познания; теория развития систем деятельности; теория развития личности в процессе учебной деятельности; теория гуманизации и гуманитаризации процесса обучения; акмеология педагогической деятельнонсти и др. Теоретической базой исследования явились фундаментальные работы психологов (Л.С.Выготский, П.Я. Гальперин, В.В.Давыдов, Л.В.Занков, В.А.Крутецкий, Ж.Пиаже, Н.Ф.Талызина, Д.Б.Эльконин и др.), дидактов (Ш.А.Амонашвили, Н.Ф.Виноградова, А.М.Леушина, А.М.Пышкало, В.А.Тестов и др.), по методологии и методике преподавания математики (В.Г.Болтянский, Н.Я.Виленкин, В.А.Гусев, Г.В.Дорофеев, Ю.М.Колягин, Л.С.Метлина, А.Г.Мордкович и др.), исследования посвященные проблемам совершенствования математического образования в начальной школе (А.В.Белошистая, Н.Б.Истомина, Л.Г. Петерсон, В.М.Туркина  и др.).

Методы исследования основаны на теоретическом и практическом подходах: изучение философской и психолого-педагогической и научно-методической литературы; диссертаций, школьных программ, учебников, учебных пособий по математике для учащихся начальной школы; изучение массового и передового опыта; сравннение, обобщение, классификация, синтез психолого-педагогических коннцепций; педагогическое проектирование и моделирование педагогических систем; наблюдение деятельности учителя и учеников; анкетирование, тестирование, наблюдение, педагогический эксперимент, мониторинговые исследования и анализ их результатов и статистические методы обработки данных; метод экспертных оценок хода эксперимента; беседы с учителями, управленцами, учащимися, родителями; рефлексивный анализ результатов наблюдений и педагогического эксперимента.

На основе анализа научно-методической литературы и практики, а также собственного опыта педагогической деятельности была построена логика исследования, состоящая из четырех этапов, на каждом из которых рассматривалась одна из частных проблем в тесной связи с другими.

Первый этап ( 1992-1995 г.) Изучение философской, психолого-педагогической, научно-методической литературы, нормативно-программной и учебно-методической документации. Осмысление опыта работы, апробирование первых вариантов разработок по формированию и развитию математического мышления. Это позволило приблизиться к изучаемой проблеме и сформулировать её, определить объем и предмет исследования.

Второй этап ( 1996-1997 г.) Уточнение гипотезы, изучение многих аспектов проблемы, формирование теоретической модели динамических интеллектуальных игр преследования (ДИП) и методической системы, основанной на изучении задач с ориентацией на конструирование алгоритмических предписаний и построенной на основе логики развертывания понятия на каждом этапе его изучения с учетом возрастных особенностей. Защита кандидатской диссертации на тему Педагогические условия развития математического мышления детей дошкольного и младшего школьного возраста средствами ДИП  в диссертационном совете при ЯГУ.

Третий этап ( 1998 - 2003 г.) Обобщение, изучение и анализ комплекса условий, в результате которых технология в процессе обучения математики приводит к гарантированному положительному результату, развитию математического мышления. Экспериментальная оценка комплекса организационных мер внедрения в практику работы образовательных учреждений концепции математического развития. Опытно-экспериментальная работа по реализации концепции математического развития в процессе обучения в детских садах, начальной школе и 5-6 классах основной школы.

Четвертый этап ( 2004 - 2007 г.) Адекватное изменение в концепции и методическом обеспечении математического развития младших школьников по результатам опытно-экспериментальной работы. Апробация результатов исследования. Проведение сравнительного эксперимента и статистическая обработка их результатов и определение их качества и эффективности.

Опытно-экспенриментальной базой исследования явились образовательные учреждения Республики Саха (Якутия): на первых двух этапах -

на базе политехнинческой школы №2 г. Якутска, детских садов №10 Туллукчаан, №26 "Куснтук" г. Якутска, Сырдахского детского сада и детского сада Кустук с.Соттинцы Усть-Алданского улуса; начиная с третьего этапа на базе школ №7, №14, №8, №26, №31, частной начальной школе Т.И.Березиной, Национальной гимназии, Дворца детского творчества г. Якутска, школы с.Ой, с.Октемцы, Хангаласского улуса РС(Я) и др., в большинстве детских садов Республики Саха (Якутия).

Научная новизна и основные результаты исследования заключаются в выявлении, моделировании, систематизации и реализации теоретических основ математического развития младших школьников в учебной деятельности на базе разработанных автором концептуальных положений, в соответствии с которыми:

1. Установлена преемственная связь ведущих видов деятельности в дошкольном и младшем школьном периоде жизни ребенка средствами динамических игр преследования (ДИП), путем перехода от игры к решению задач ДИП.
2. На основе модели ДИП установлено соответствие между основными подструктурами математического мышления и его проявлениями на математическом материале: топологической, проективной, порядковой, метрической и алгебраической (композиционной), выявлены доминирующие индивидуально-типологических особенности мышления младших школьников, описанные моделях направленности ума.
3. Разработаны теоретико-методологические основания концепции математического развития младшего школьника в учебной деятельности на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей мышления школьника и отталкиваясь от них, постепенно преодолевать специфически слабые черты его математического мышления.
4. На основе разработанной концепции предложена модель управления учебной деятельностью через методику формирования интеллектуальных способностей учащихся на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей математического мышления в условиях группового обучения, позволяющей учителю находится за детьми и создать им возможность для самостоятельного присвоения знаний и движения в индивидуальной для каждого зоне ближайшего развития.
5. Выявлены новые методические особенности организации процесса мантематического развития младших школьников, ориентированного на формирование самоопренделяющейся и самореализующейся личности и основные этапы подготовки учителей к переходу на новую технологию обучения.

Теоретическая значимость исследования состоит в следующем:

• дана характеристика понятия математическое развитие младших школьников в учебной деятельности, которая представляет собой целенаправленное и методически организованное формирование и развитие совокупности взаимосвязанных основных показателей и качеств математического мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности;
• осуществлено научное решение проблемы математического развития в обучении на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей математического мышления в условиях группового обучения, позволяющей учителю находится за детьми и создать им возможность для самостоятельного присвоения знаний и движения в индивидуальной для каждого зоне ближайшего развития;
• в определении динамических игр преследования (ДИП) как средства математического развития младших школьников при переходе из игровой деятельности в учебную деятельность и выявления способных в области математики детей.
• создана системная диагностика решения учебно-воспитательных задач на основе ДИП, которая открывает путь  к  реализации педагогического  мониторинга, обеспечивающего оценку и коррекцию формирования и развития математического мышления младших школьников.

Практическая значимость исследования заключается в его методической направленности, ориентированной на разработку методики  математического развития в учебной деятельности, которая может быть использована для различных общеобразовательных учреждений.

Результаты исследования легли в основу разработки технологий обучения математических дисциплин для школ и детских садов, а также института повышения квалификации учителей Республики Саха (Якутия).

Адекватность системы средств и методов мотивационного обеспечения требованиям стимулирования и активизации учебной деятельности, и диалектический характер обучения с мотивационным обеспечением (возникновение и разрешение противоречий), позволяют превращать учебный процесс обучения математике в учебно-исследовательский, с постоянным элементом развития математического мышления и личностного потенциала обучаемых.

Разработанная методическая система математического развития
младших школьников позволяет ставить и реализовывать в
массовой практике учреждений начального образования
задачу  развивающего  обучения  математике  преемственного характера  в
условиях образовательных альтернатив в начальной школе.

По результатам исследований подготовлены и изданы пособия и методические рекомендации для преподавателей вузов, профтехучилищ, техникумов, колледжей и лицеев по вопросам технологии обучения математике; монографии, научные труды, учебные и методические пособия, раскрывающие основные подходы, пути и средства  математического развития в учебной деятельности.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Концепция математического развития ребенка младшего школьного возраста, основные положения которой формулируются следующим образом:

а) В качестве исходного понятия для математического развития младших школьников выделяется понятие учебно-математической деятельности, которая должна характеризоваться совокупностью взаимосвязанных основных компонентов и качеств математического мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности. В процессе всей учебно-математической деятельности в школе должны формироваться такие мыслительные действия, как анализ, планирование, рефлексия, которые обеспечивают овладение обобщенными способами решения математических задач.

г) Необходимо различать уровни мышления отдельно в области геометрии и отдельно в области алгебры (арифметики). Развитие учеников от одного уровня к другому включает следующие обязательные пять стадий изучения: математическая информация, управляемая ориентация, свободная ориентация, понимание, интеграция. Следование по уровням развития мышления и стадиям изучения позволяет преодолевать одну из причин, вызывающую трудности в освоении математики - несоответствие уровня представлений, которые используются в преподавании, и уровня представлений, на котором в данный момент находится ученик.

в) Процесс математического развития младшего школьника в учебной деятельности окажется более эффективным, если система методов формирования и развития мышления младших школьников в обучении математике будет базироваться на развитии у ребенка доминирующих индивидуально-типологических особенностей мышления, и, отталкиваясь от них, постепенно будет преодолевать специфически слабые черты его математического мышления.

г) Установление преемственных связей на основе единого концептуального подхода к построению методологии и содержания математического образования ребенка младшего возраста должна обеспечить непрерывность математического развития и саморазвития личности ученика в процессе деятельности.

2. Модель управления учебной деятельностью через методику формирования интеллектуальных способностей учащихся на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей математического мышления в условиях группового обучения, позволяющей учителю находится за детьми и создать им возможность для самостоятельного присвоения знаний и движения в индивидуальной для каждого зоне ближайшего развития.

Для успешной реализации данной модели первый акцент сделан на развитии сквозных математических умений: умение строить идеальные объекты, умение оперировать идеальными объектами, умение моделировать, умение обобщать, умение обосновывать, умение рассуждать и доказывать математические утверждения.

Второй акцент сделан на формирование общих умений: умение использовать свои знания в нестандартных ситуациях, самостоятельность и инициативность детей в выборе необходимых средств для решения учебной задачи; умение добывать знания, желание выполнять любую задачу творчески;  умение осознавать свое незнание, находить причину сделанной ошибки,  самостоятельность в оценке процесса и результата решения учебной задачи.

На основе этой модели теоретически доказана возможность целенаправленного математического развития младших школьников в учебном процессе.

3. Методическое обеспечение подготовки учителей начальных классов в педагогическом вузе к осуществлению математического развития ребенка младшего школьного возраста, представляющее  собой  целостную  методическую систему обучения студентов, разработанную на уровне требований, предъявляемых к модели управления учебной деятельностью. Сохранение преемственности и непрерывности изучения математики в педагогическом вузе улучшает качество подготовки учителей начальных классов.

4. Методическое обеспечение  повышения  квалификации учителей начальных классов в отношении математического развития ребенка, что существенно повысит уровень их методической компетентности и сделает процесс математического развития школьников преемственным и более эффективным.

Достоверность и обоснованность результатов исследования достигнута логической структурой построения научно-исследовательской деятельности по построении концепции математического развития в учебной деятельности и диагностике процесса обучения математике; методологической обоснованностью теоретических положений, опорой на комплексно-системный, личностно-деятельностный и дифференциро-ванный подход, обеспечивающий программно-целевую направленность в реализации поставленных задач; пролонгированным характером проведенной работы, репрезентативностью объема выборок (более 2000 обучаемых), сочетанием рангового, факторного и дисперсионного анализов, возможностью репродукции опытно-экспериментальной работы и сопоставления данных исследований с массовым педагогическим опытом и результатами работ, имеющих другую целевую установку, а также многолетним личным опытом исследователя.

Апробация работы. Результаты исследования докладывались автором на международных, всероссийских, республиканских, городских научно-практических конференциях, совещаниях, семинарах, организуемых  Минобразованием РФ, РАО, ВУЗами в период с 1992 по 2007 г.г. Вологда (2007), Воронеж (2003), Красноярск (2003), Москва (1997, 2005, 2007), В.Новгород (2007), Н.Новгород (2005), Новосибирск (1997), Париж (1996, 2007), С-Петербург (1992), Томск (2001), Улан-Удэ (2000, 2005), Якутск (1992-2007), Ярославль (2005) и др.

Авторская концепция математического развития младших школьников занимала призовые места в конкурсах методических разработок разного уровня. (Новосибирск - 1997, Золотая медаль Сибирской Ярмарки; Париж - 2001, Международная Федерация по развивающему обучению и игровой педагогике ФИДЖИП (FEDERATION INTERNATIONALE DU SYSTEME JIP); Якутск - 2003, 2007 Якутский государственный университет). Комплексная  программа ДИП Сонор по формированию математического мышления рекомендована для внедрения с 1995 г. в практику работы дошкольных образовательных учреждений, школ и учреждений дополнительного образования Министерством образования Республики Саха (Якутия),  а спецкурс Педагогические основы обучения ДИП Сонор включен в учебные планы (национально-региональный компонент) педагогических специальностей Якутского государственного университета, Саха государственной педагогической академии и Института повышения квалификации работников образования РС (Я), изданы специальные учебные пособия, методические указания и задачники для слушателей факультета.

Результаты исследования докладывались на научных семинарах Института математики и информатики Якутского государственного университета имени М.К.Аммосова, Факультета педагогического образования Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова, Факультета прикладной математики и процессов управления Санкт-Петербурского государственного университета, на Колмогоровских и Ломоносовских чтениях.

Внедрение работы. Результаты исследования внедрены в систему подготовки специалистов Якутского государственного университета (с 1997), Саха государственной педагогической академии (с 2004) и в работу Института повышения квалификации работников образования РС (Я) (с 2003), Вилюйского педагогического лицея (2004), Дворца детства и детского творчества г. Якутска (с 1997), в ряде школ и в большинстве детских садов Республики Саха (Якутия) (с 1995).

Структура и объем работы: диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка из 359 наименований. Объём диссертации составляет 356 страниц машинописного текста.

Основное содержание работы

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы объект, предмет, научная проблема, основная цель и вытекающие из нее конкретные задачи и методы, представлены гипотеза исследования, его методологическая основа и научная новизна, определены теоретическая и практическая значимость, положения, которые выносятся на защиту, этапы опытно-экспериментальной работы и апробация исследования.

В первой главе УТеоретико-методологические основы развития математического мышления младших школьников основываясь на анализе психолого-педагогической литературы по проблеме формирования и развития мышления детей, выделены принципиальные позиции, определившие подход к изучению темы и организации опытно-экспериментальной работы; дано определение математическому мышлению в аспекте конкретных целей обучения; адаптированы критерии развития математического мышления к выбранному направлению; определены показатели сформированности математического мышления и пути его формирования.

Сначала в параграфе 1.1. лПроблема формирования и развития мышления младших школьников в  психолого-педагогической литературе проанализированы философские, психолого-педагогические труды, рассматривающие вопросы формирования и развития мышления человека.

Мышление рассматривается как продукт исторического развития общественной практики, как особая теоретическая форма человеческой деятельности. Одной из первых теорий стало ассоциативное направление, представители которого основой мышления считали ассоциацию. Основоположниками этой теории были Д.Гартли, Д.Локк, П.Пристли. Выступая против ассоцианизма, представители Вюрцбургской школы (О.Кольпе, А.Майер, К.Бюлер и другие) подчеркивали качественное своеобразие процессов мышления, видели специфичность мыслительной деятельности в наличии несенсорных, неосознаваемых компонентов мышления, рассматривали процесс мышления как чистый акт. Вопросы, связанные с процессом мышления, получили своеобразное истолкование в теории бихевиоризма (Э.Торндайк, Д.Дьюи, Д.Берлайн и др.). Мышление у бихевиористов рассматривалось как система реакций организма на внешние стимулы.

Своеобразный взгляд на природу мышления представлен в работах гештальтпсихологов. Возникнув в ХХ веке, гештальтпсихология объединила в свои ряды психологов разных стран. Концепцию гештальтизма разделяли М.Вертгаймер, К.Дункер, Л.Секей и другие. В основу своей теории гештальтисты положили представления о целостных образованиях, формах (или гештальтах). Выдвинув принцип структуры в качестве основного механизма мыслительной деятельности, эта теория всю динамику процесса мышления свела к смене содержания мысли, т.е. содержание мышления подменялось изучением продуктов мыслительной деятельности.

В отечественной психологии предприняты многочисленные попытки рассмотрения внутренней мыслительной деятельности, приводящей к решению задач. Большой вклад в изучение закономерностей мышления внесли видные психологи П.П.Блонский, Д.Н.Богоявленский, А.В.Брушлинский, Л.С.Выготский, П.Я.Гальперин, В.В.Давыдов, Е.Н.Кабанова-Меллер, З.И.Калмыкова, А.Н.Леонтьев, Н.А.Менчинская, Я.А.Пономарев, С.Л.Рубинштейн, Н.Ф.Талызина и другие.

Значительный вклад в разработку теории обучения и умственного развития учащихся внесли П.П.Блонский и Л.С.Выготский. Выявленные Л.С.Выготским уровни умственного развития (уровень актуального развития и зона ближайшего развития) позволили выдвинуть очень важный тезис о том, что правильно организованное обучение ведет за собой детское умственное развитие5.

В параграфе 1.2. рассмотрены Теоретические основы формирования и развития математического мышления младших школьников.

Исследования многих отечественных и зарубежных психологов  показывают, что без целенаправленного развития математического мышления, являющегося одним из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности, невозможно достичь эффективных результатов в обучении, систематизации знаний, умений и навыков. К сожалению, единого мнения по вопросу определения понятия математического мышления в психолого-педагогической и методической литературе нет. При характеристике математического мышления возникают сложные вопросы о взаимосвязи этого понятия с понятиями мышление вообще и конкретными видами мышления.

Одни исследователи считают, что математического мышления как такового, обладающего своими специфическими формами мыслительных действий, нет; своеобразие такого мышления связано, по их мнению, лишь с характером собственно математического материала. Таким образом, представители первого подхода отрицают специфику математического мышления (З.И.Слепкань, Л.С.Трегуб, Г.Фрейденталь и др.).

Второй подход представлен исследованиями Ж.Пиаже и его сторонников (мышление как биологический процесс). Согласно Ж.Пиаже, под математическим мышлением понимается собственно логико-математическое мышление, имеющее абстракции, так называемые лабстракции действия. Теория Пиаже включает в себя два основных компонента: учение о функциях интеллекта и учение о стадиях развития интеллекта. Развитие детского мышления понимается как смена соответствующих стадий и описывается Пиаже с помощью понятий логики и математики.6

Третий подход представлен исследованиями Л.Б.Ительсона, И.Я.Каплуновича, Д.Нормана, В.А.Тестова, М.А.Холодной и др. о структуре мышления. В когнитивной психологии считается установленным фактом, что информация хранится в памяти преимущественно не в виде непосредственных слепков того, что было воспринято, а в виде более или менее обобщенных продуктов умственной переработки воспринятого - репрезентативных когнитивных структур или когнитивных схем. В процессе обучения структуры претерпевают изменения. В зависимости от характера этих изменений выделяются четыре различные формы научения: наращивание структур, создание структур, настройка структур (Д.Норман), перестройка структур (Л.Б.Ительсон, В.А.Тестов).

Несколько иная точка зрения о структуре мышления приводится в исследованиях психолога И.Я.Каплуновича. Согласно его модели, структура математического мышления представляет собой пересечение пяти основных подструктур: топологической, порядковой, метрической, композиционной (лалгебраической) и проективной кластеров. Указанные пять подструктур в математическом мышлении человека существуют не автономно, не изолированно, не равнозначны и не рядоположны, а пересекаются и находятся в определенной зависимости, иерархии по степени значимости и представительности в интеллекте. В соответствии с индивидуальными особенностями каждого та или иная подструктура занимает место главной, ведущей, доминирующей. Она наиболее ярко выражена по сравнению с остальными, более устойчива и лучше развита. Эту модель структуры мышления мы назовем направленностью ума.

Сторонники четвертого (самого распространенного) подхода (Ж.Адамар, А.Я.Хинчин, С.И.Шварцбурд, А.Пуанкаре и др.) математическое мышление характеризуют как абстрактное, логическое, обладающее способностью к формализации, обобщению, пространственным представлениям и др., т.е. наделяют качествами, которые фактически определяют характеристику мышления не только в математической, но и в любой другой предметной области. Среди характерных черт математического мышления выделяют абстрактность, широту, глубину, гибкость и другие качества.

Представители пятого подхода связывают математическое мышление с понятиями способности и лобобщения (Б.В.Гнеденко, А.Н.Колмогоров, В.А.Крутецкий и др.).  В исследовании В.А.Крутецкого были обнаружены два способа обобщения: постепенное обобщение, когда учащийся приходит к обобщению в результате длительного решения однотипных задач, а также обобщение с места, когда учащийся обобщает способ решения на основе анализа решения одной задачи, Ене испытывая затруднений, без помощи экспериментатора, без специальной тренировки в решении однотипных задач.7

Сторонники шестого подхода считают, что математическое мышление является мышлением теоретическим и имеет такую же последовательность становления от эмпирического к аналитическому, к планирующему, рефлексирующему мышлению (Р.Атаханов, В.В.Давыдов, Ле Тхи Кхань Кхо, Л.К. Максимов и др.). Л.К. Максимовым были разработаны методики, позволяющие выявить особенности проявления на математическом материале таких мыслительных действий, как анализ, рефлексия, планирование. Р.Атаханов выделил следующие уровни развития математического мышления: эмпирический уровень; уровень анализа; уровень планирования; уровень рефлексии. (Данный уровень и является теоретическим, собственно математическим мышлением)8.

Таким образом, мышление как процесс, характеризующий активность личности, получает свое наибольшее развитие в деятельности. При изучении математики такой деятельностью является процесс решения учебных задач, т.е. процесс непрерывного взаимодействия познающего субъекта с познаваемым объектом.

Под математическим мышлением мы будем понимать процесс опосредованного отражения в человеческом сознании количественных отношений и пространственных форм действительного мира; познавательную деятельность личности, характеризующуюся обобщенным и опосредованным отражением действительности. Математическое мышление связывает теорию и практику, конвергентный и дивергентный типы мышления, и характеризуется оригинальностью и изобретательностью.

Математическое мышление является составной частью мышления вообще. Тем не менее, оно обладает некоторыми особенностями, прежде всего связанными с особенностями отражения математикой реальной действительности. Математика, абстрагируясь от конкретного, обладает высокой степенью общности за счет построения многоступенчатых абстракций. Формирование этих абстрактных конструкций оказывает решающее влияние на развитие мышления учащихся, так называемого лабстрактного мышления. Это та категория мышления, без учета которой невозможно научить учащихся приложениям математики. Следующей особенностью математического мышления является строго детерминированное построение его логического аппарата, при этом методы рассуждения (аналогия, индукция и т.д.), т.е. так называемые эвристические методы, являются в математике лишь вспомогательными средствами. В математике тот или иной факт либо доказывается с исчерпывающей обоснованностью, либо беспощадно отбрасывается. Такие жесткие требования в некоторых случаях путают детей, и сложность состоит в постоянном приучении их к полноте и обоснованности аргументации.

Для создания модели, на основе которой обучение и математическое развитие может быть организовано заведомо эффективно, необходимо решить следующие задачи: 1) дать определение математического мышления в аспекте отдельных конкретных целей обучения; 2) адаптировать критерии развития математического развития; 3) определить показатель сформированности математического мышления; 4) Разработать модель развития математического мышления в обучении. Эти задачи рассматриваются в параграфе 1.3 Критерии и уровни развития математического мышления младших школьников.

Анализ психолого-педагогической литературы свидетельствует о том, что в процессе обучения школьники не только усваивают определенные знания, но и совершенствуют свои умственные способности. Однако из этого правильного положения выдвигаются далеко не одинаковые критерии развития мышления. Одни исследователи называют лишь один-два критерия в качестве ведущих, другие приводят серию критериев, но не выделяют из них наиболее важные, третьи вместо критериев формулируют требования к развитию мышления и т.п. Например, А.Н.Колмогоров, Ю.М.Колягин, В.А.Крутецкий и др. критериями развития математического мышления учащихся считают следующие компоненты математического мышления: глубина; гибкость;  обобщенность; самостоятельность; критичность; рациональность; пространственное воображение; логическое рассуждение.

В процессе учебной деятельности должны формироваться такие мыслительные действия, как анализ, планирование, рефлексия, которые обеспечивают овладение обобщенными способами решения задач. Выделяются соответственно следующие уровни развития математического мышления у детей младшего школьного возраста в соответствии со степенью овладения указанными выше мыслительными действиями: репродуктивный, продуктивный, творческий. Р.А.Атахановым установлено, что уровни развития математического мышления не могут предварять уровни развития мышления вообще. Самый высокий уровень математического мышления ограничивается уже сформировавшимся уровнем развития мышления вообще.

Отметим, что математическое мышление может развиваться не только в деятельности учащихся - а основной возможностью для математической деятельности учащихся является решение задач - но и в процессе общения (М.М.Бахтин, В.С.Библер), в результате широкого использования в обучении математической речи (Л.М.Фридман).

В области геометрии, следуя модели П.-Х. Ван Хиле, выделяют пять уровней мышления: визуальный; аналитический; неформальная дедукция; формальная дедукция; строгость. В области алгебры (арифметики) также различают пять уровней мышления. Первые два уровня характерны для учащихся младших классов, третий уровень - для учащихся средних классов и четвертый  - для учащихся старших классов. Современной науке соответствует пятый уровень.

Таким образом, под критериями развития математического мышления мы понимаем показатели (существенные признаки), свидетельствующие о достижении того или иного уровня развития математического мышления учащихся, а уровень - это степень осознанности изучаемого материала.

В параграфе 1.4 Математическое развитие как процесс развития основных компонентов и качеств математического мышления рассматриваются различные подходы понятию математическое развитие школьника. Так, при первом подходе математическое развитие школьника часто смешивается с понятием математическое образование, где математическое развитие рассматривается как следствие обучения математическим знаниям. Данный подход в значительной мере пытались реализовать специалисты школьного обучения при создании различных учебников математики для начальной школы (Л.В.Занков, В.В.Давыдов, Н.Я. Виленкин, А.М.Пышкало и др.). Второй подход к математическому развитию ребенка ассоциируется с его познавательным развитием, причем в значительном количестве случаев этот подход ассоциирует понятие математическое развитие с понятием математические способности (В.А.Крутецкий и др.). Третий подход к математическому развитию ребенка в теории и практике дошкольного и начального обучения и воспитания ассоциируется с понятием лумственное развитие, которое во многих случаях сводится к целенаправленному формированию логических приемов умственных действий и обучению ребенка оперированию формально-логическими структурами (Н.Б.Истомина и др.).

Процесс математического развития может быть обусловлен специально организованным методическим воздействием в ходе математического образования ребенка. При этом необходимо, чтобы это методическое воздействие было организовано на таком математическом материале, который помогает в наибольшей степени развивать у ребенка виды мышления, сенситивные его возрасту. Само методическое воздействие должно иметь целью формирование и развитие качеств мышления, присущих математическому мышлению. Тем самым будет решаться не только проблема усвоения математических знаний ребенком (поскольку это усвоение будет следствием развития мышления), но и проблема подготовки ребенка к успешному изучению математики в школе, поскольку на сегодня общепризнано, что недоразвитие математического мышления у ребенка является главной причиной неуспешности в усвоении содержания обучения в школе (Н.А.Менчинская, В.В.Краевский, И.Я.Лернер, Н.Ф.Талызина и др.).

Вторая глава Математическое развитие младших школьников как психолого-педагогическая проблема содержит результаты исследований, посвященных выявлению и определению тех оптимальных условий для детей, в которых обучение дает  наибольший эффект математическому развитию.

В параграфе 2.1 Развитие ученика как приоритетная цель учебной деятельности рассматривается понятие лучебная деятельность в контексте философских, психологических и педагогических изысканий (Г.Фрейденталь, А.Н.Леонтьев, Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов, П.Я.Гальперин, Н.Ф.Виноградова и др.).

В традиционном обучении развитие ученика не было прямой целью обучения, оно было побочным результатом обучения. В целях обучения формулируется ненобходимость развития ученика, но на первый план выдвигается формирование нанбора прочных знаний, умений и навыков.

Глобальные изменения в подходах к школьному образованию были порождены сменой приоритетных целей обучения, их обусловленностью на современном этапе проблемой воспитания личности ребенка на основе личностно-ориентированного деятельностного подхода. С точки зрения этого подхода, целесообразным будет тот курс математики для младших школьников, который позволял бы средствами данного предмета реализовать идею развивающего обучения, и в то же время обеспечивал усвоение соответствующих знаний и умений, готовил и позволял бы уже с первых шагов творчески использовать их при решении разнообразных задач как практического, так и теоретического характера.

В настоящее время в психологии и дидактике наибольшее развитие получили следующие теории: общего развития в обучении (Л.С.Выготский, Л.В.Занков); учебной деятельности учащихся в обучении (В.В.Давыдов, А.Н.Леонтьев, С.Л.Рубинштейн, Д.Б.Эльконин); поэтапного формирования умственных действий (П.Я.Гальперин, Н.Ф.Талызина); формирования приемов умственной деятельности и учебной ранботы (Д.Н.Богоявленский, Е.И.Кабанова-Меллер, З.И.Калмынкова, Н.А.Менчинская и др.).

По определению И.И.Ильясова, деятельность учения есть самоизменение, саморазвитие субъекта, превращение его из не владеющего определенными знаниями, умениями, навыками в овладевшего ими.  Другими словами, учебной деятельности главное - развитие ученика. Тогда приоритетной целью обучения математике в начальной школе является математическое развитие младшего школьника.

Таким образом, в качестве исходного понятия для математического развития младших школьников выделяем понятие учебно-математической деятельности, которая должна характеризоваться совокупностью взаимосвязанных основных компонентов и качеств математического мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности. В процессе всей учебно-математической деятельности в школе должны формироваться такие мыслительные действия, как анализ, планирование, рефлексия, которые обеспечивают овладение обобщенными способами решения математических задач.

В параграфе 2.2 в историческом аспекте рассматриваются  лПроблемы развивающего обучения младших школьников. Главной идеей развивающего обучения становится активизация внутнренних резервов ученика для саморазвития. Меняется и ведущая функция учителя. Учитель в этом случае старается помочь ученику овладеть многообразными спонсобами самостоятельного получения и овладения информацией, эти способы бундут способствовать становлению и развитию новой способности.

Одну из первых попыток практически реализовать идеи Л.С.Выготского в нашей стране предпринял Л.В.Занков - в 1950-60-е годы он разработал принципиально новую систему начального образования, которая нашла большое число последователей. Из анализа системы развивающего обучения Л.В.Занкова вытекает, что главный недостаток традиционного обучения преодолеть не удалось. В данной системе ученник остается объектом педагогических воздействий учителя. Развитие ученика является обязанностью учителя, роль ученика в этом процессе остается прежней: следование развивающим воздействиям учителя. Но нельзя заставить развиваться человека без его желания. Проблема создания условий для саморазвития ученика в этой системе не ставилась.

Принципиальная особенность другой системы развивающего обучения Д.Б.ЭльконинаЦВ.В.Давыдова занключается в том, что становится ясной позиция ученика в учебном процессе: лобеспечение условий для становления ребенка как субъекта учебной деятельнонсти, заинтересованного в самоизменении и способного к нему,... 9.

Однако следует отметить, что в теории Д.Б.ЭльконинаЦВ.В.Давыдова недостаточно детально проработан вопрос о диалектическом единстве эмпирического и теоретического мышления, о гармонии дедуктивного и индуктивного методов в обучении. Абсолютизация дедуктивного метода некоторыми последователями теории Д.Б.ЭльконинаЦВ.В.Давыдова привело к стремлению обучения математике от общего к частному. В исследовании Р.А.Атаханова выявлено, что отсутствие содержательного анализа (аналитический уровень, или первая ступень теоретического мышления) фиксируется у 83,3% третьеклассников, у 42,3% девятиклассников и у 40,4% студентов. Аналогичные данные были получены нами, причем у 37,2% выпускников школы отсутствует содержательный анализ.

Важнейший вклад в изучение проблем творческого мышления внесла Д.Б.Богоявленская. Она выделила показатель творческого потенциала - интеллектуальную активность. Способность к творчеству, по Д.Б.Богоявленской, является результирующей двух факторов: уровня умственных способностей и мотивационного фактора. Интеллектуальная активность - это интеллект, преломленный через мотивационную структуру.

Исследования З.И.Калмыковой связаны с формированием продуктивного (творческого) мышления в процессе развивающего обучения.

Концепция развивающего обучения Е.Н.Кабановой-Меллер связана с формированием операций мышления, которые она называет приемами учебной работы и определяет их как систему действий, служащих для решения учебных задач. В проблеме развивающего обучения Е.Н.Кабанова-Меллер выделяет два круга вопросов: показатели умственного развития и условия, определяющие это развитие, т.е. организация обучения и формирование учебной деятельности.

В работах И.С.Якиманской говорится о том, что продуктивная (творческая) деятельность является важнейшим условием построения развивающего обучения, и она оказывает положительное влияние на развитие всех психических функций.

Однако, следуя требованиям к уровню подготовки оканчивающих начальную школу и обязательного минимума содержания основных образовательных программ, принятых в государственном образовательном стандарте начального общего образования по математике обучение геометрии в начальной школе сводится в основном к измерительной деятельности. Это иллюстрирует связь понятий длина и площадь с понятием натуральное число, и удовлетворяет в основном потребность в формировании практических измерительных навыков, но не решает задачу развития пространственного, логического и абстрактного видов мышления, а, следовательно, и развития математического мышления в широком смысле.

Авторы учебников по математике для начальных классов, придерживаясь обязательного минимума содержания основных образовательных программ, включают всего от 3,5% до 14,1% геометрического материала. Количественное сравнение арифметического и геометрического материала по учебникам (1-3 (4)) показано в таблице №1.

  Таблица №1

Авторы учебников	Всего заданий	Всего геомет-рических заданий	Процент геометрических заданий
Моро М.И. и др. (1-3)	3361	116	3.5%
Моро М.И. и др. (1-4)	3884	328	8,4%
Аргинская И. И. (1-3)	2076	293	14,1%
Аргинская И. И., Е.И.Ивановская (1-4)	2231	301	13,0%
Истомина Н. Б. (1-3)	1760	200	11,7%
Истомина Н.Б. (1-4)	2233	268	12,0%
Петерсон Л.Г. (1-4)	4804	558	11,6%

Теперь посмотрим, что ожидает детей в средней школе. В 7-9 классах им придется выполнить более 3000 заданий по математике, из них более 1300, т.е. около 43% - по геометрии. В 10-11 классах процент геометрических заданий увеличивается примерно до 46%. Эти цифры показывают проблему преемственности в совершенно новом свете.

Таким образом, общеизвестный факт высокой проблемности изучения геометрии в старших классах превращается в закономерное следствие общих подходов к построению системы обучения геометрии в начальной школе.

Другой вопрос состоит в том, чтобы строить обучение в соответствии с зоной ближайшего развития каждого ученика, необходимо с каждым заниматься индивидуально, какие бы усовершенствования ни претерпевало содержание учебных планов, программ и учебников. Но при классно-урочной системе, когда все ученики класса на каждом уроке изучают один и тот же программный материал и должны укладываться в одни и те же сроки становится для учителя весьма проблематичным. Этот вопрос рассматривается в параграфе 2.3 Дифференциация обучения как принцип математического развития учащихся.

Понятие дифференциация зародилось в конце XIX века в США, истоками его явились учения: инструментализм (Дьюи) и бихевиоризм (Э.Торндайк). Одной из разновидностей дифференциации обучения в американских школах явился Дальтон-план (Е.Паркхерст, 1934 г., Долтон, США). Термин дифференциация (от франц. - differention; лат. - differentia) - разделение, расчленение, расслоение целого на части, формы, ступени10.

Классно-урочная система всегда толкала учителя к ориентации на среднего ученика, на средний уровень обычности и средний уровень умственного развития. Два фланговых слоя учащихся либо должны были равняться на этот средний уровень, либо искать свои пути становления. Фактически учитель поставлен перед необходимостью дифференциации обучения: либо дифференцировать учащихся на группы по обучаемости, либо дифференцировать учебный материал по целям и типам заданий, либо дифференцировать формы и методы работы с учениками.

Процесс обучения и усвоения знаний, тесно связанный с процессом развития учащихся, должен организовываться на основе индивидуального обучения. Индивидуализация же не может быть реанлизована иначе, чем через систему дифференциации обучения. Существуют различные подходы к пониманию дифференциации и индивидуализации обучения учащихся в средней школе, объясняющиеся тем, что указанные понятия были использованы разными авторами применительно к разным аспектам процесса обучения (целям и содержанию, формам и средствам обучения); следует различать понятия дифференциация и линдивидуализация; каждое из этих двух понятий может быть рассмотрено с точки зрения целей, содержания образования и обучения, методов, форм и средств обучения.

Термин дифференцированное обучение пришел на смену термина фуркация в конце 50-х годов, чтобы подчеркнуть отличие фуркации в зарубежной школе от фуркации в старших классах нашей школы (Н.К.Гончаров, П.Руднев). Дифференцированным обучением был назван учебно-воспитательный процесс в старших классах, скомплектованных по направлениям и профилям производственной практики в соответствии с выраженными учащимися склонностями и интересами. Позднее под дифференцированным обучением, в частности, математике стали понимать обучение учащихся в классах с углубленным изучением ряда предметов.

В современной педагогической литературе имеются различные трактовки понятия дифференцированное обучение, а именно:

- обучение учащихся в условиях учебно-воспитательного процесса, для которого характерен учет типичных индивидуальных различий учащихся;

- обучение, которое направлено на то, чтобы постоянно и постепенно поднимать слабых до уровня средних, средних - до уровня сильных, а сильным - давать задачи повышенной трудности, чтобы их мысль, их волевые усилия постоянно находились в активном состоянии;

- обучение, состоящее в том, чтобы, зная индивидуальные особенности каждого ученикаЕ определить для него наиболее целесообразный и эффективный характер работы на уроке.

Под дифференцированным обучением мы будем понимать форму организации учебной деятельности школьников, обеспечивающую учителю специализацию учебного процесса для различных групп учащихся, созданных с учетом наличия у них общих качеств, существенных для учебной деятельности.

Таким образом, проблема дифференциации обучения имеет не только научное, но и важнейшее социально-практическое значение, поскольку через нее выказынваются такие основополагающие особенности личности, как задатки, предпосылки и в конечном итоге способности, талант и одаренность каждого ученика.

В параграф 2.4. описывается Методика выявления педагогических умений учителя, влияющих на математическое развитие. Стержневой основой построения педагогически эффективной системы мы считаем набор личностных характеристик школьника, на формирование которого должны быть направлены усилия всех действующих субъектов этого процесса и все используемые ими средства. Поэтому, важно оценить уровень владения учителем теми педагогическими умениями, сформированность которых является необходимым условием эффективности формирования этих подструктур личности школьника, а также уровень значимости каждого умения для успешного преподавания предмета и уровень затруднений учителя в их применении.

На первом этапе работы параллельно с изучением экспериментаторами возрастных и индивидуальных особенностей школьников проводилось создание возрастных педагогических моделей учащихся разных классов и анализ содержания учебного материала предметов, в них преподаваемых. То и другое осуществлялось методом экспертной оценки.

Исследование показало, что учителя довольно высоко оценивают почти всю совокупность предложенных им на выбор качеств, необходимость их наличия в структуре гармонически развитой личности школьника. Оценивая же возможности всего предмета в их формировании, они значительно этот набор ограничивают. Мы составили сводную таблицу совокупных возможностей разных предметов для формирования этого набора качеств. Оказалось, что одни качества могут успешно формироваться на материале практически всех учебных предметов, предоставляющих для этого самые широкие возможности, другие почти выпадают из поля зрения всего коллектива учителей, заранее закладывая основы деформированной, ущербной по отдельным параметрам личности. Это говорит о необходимости пересмотра подходов к отбору содержания учебного материала школьных предметов, основанных на худших традициях бездетной педагогики и не предоставляющих учителю возможностей для решения тех задач формирования личности, которые только опосредованно связаны с задачами накопления знания и отработки учебных умений.

Самооценка учителем уровня значимости ряда педагогических умений для успешности преподавания предмета и решения других задач, связанных с воспитанием и развитием школьника в процессе обучения, а также уровня их затруднений в использовании этих умений показала следующие результаты:

1. Ранжирование полученных оценок по уровню дефицита в сформированности соответствующих умений (уровню испытываемых затруднений) наиболее трудных для учителя математики показано в таблице №2. Всего было перечислено 46 умений.

2. В качестве наиболее трудных для учителя умений перечислены именно те факторы отрицательного влияния на эффективность обучения, которые косвенно влияют на математическое развитие школьника.

3. Длительность эффективной работы младшего школьника в условиях однообразной деятельности невелика. Дальше наступает утомление, резко снижающее продуктивность работы ребенка. Вместе с тем, если обеспечить возможности систематической смены видов деятельности ребенка через определенные промежутки времени, наступление стресса монотонно отодвигается или вообще предупреждается.

Таблица №2

Наименование умения	Уровень Значи-мости	Уровень Затруд-нений	Разница между уровнями
Умение формировать и вызывать познавательный интерес	9,5	3,75	5,75
Осуществлять индивидуальный и дифференцированный подход, оказывать индивидуальную помощь учащимся	9,75	3,5	6,25
Анализировать свою и ученическую деятельность	9,5	3,75	5,75
Осуществлять связь с жизнью, показывать практическую значимость изучаемого материала, опираться на жизненный опыт учащихся	8,75	2,5	6,25
Проводить сравнения и аналогии	8,75	3,0	5,75
Развивать творческие способности учащихся	10	3,75	6,25
Осуществлять межпредметные связи	8,95	3,75	5,2
Адаптировать материал к возрастным и индивидуальным возможностям ученика	9,4	4,1	5,3
Организовать самостоятельную работу школьников	9,8	3,6	6,2
Подключать родителей к решению педагогических задач	9,1	3,2	5,9
Снимать психологические барьеры неуверенности ученика, страха, отрицательного отношения к предмету или учителю	9,6	3,5	6,1
Умение ставить вопросы	9,1	3,8	5,3
Строить вопросы в систему	9,6	4,6	5

На втором этапе проводилась проверка эффективности предложенной системы коррекции педагогической системы в области педагогического мастерства преподавателей. Система корректирующей работы проводилась с педагогическими коллективами базовых школ. Повторное изучение состояния преподавания по окончании проделанной работы показало:

1. Устранение комплекса ошибок, отнесенных нами к тактическим (техника постановки вопросов и заданий, решение организационных вопросов, использование конкретных педагогических приемов и др.) может осуществляться без больших трудозатрат, за относительно небольшое время и сравнительно простыми способами. Эту задачу успешно решает комплекс действий, состоящих из четырех элементов: анализ допускаемых ошибок и их возможных последствий; информация о правильных способах действий и демонстрация образцов; простейшие тренировочные упражнения в действиях.

2. Устранение ошибок, условно отнесенных нами к стратегическим (определение комплексных целей урока; отбор материала, соответствующего поставленным целям и теме урока, выделение в нем главного; компоновка отобранного материала с учетом дидактических принципов; выбор оптимальных сочетаний форм и методов обучения и др.), требует длительного времени и расширения перечня возможных способов их устранения. Корректирующая система должна включать значительное количество вариативных практических работ по педагогическому конструированию уроков с предварительно заданными целевыми установками или требованиями, разработку и использование моделей-конструкций уроков разных типов. После их апробирования педагогическими коллективами они были широко внедрены в практику работы школ республики.

Большинство учителей школ в процессе обучения вводят понятия сразу (определение), в готовом виде, без предваринтельного разъяснения, сокращая путь формирования понятий (дедуктивный метод). Только некоторая часть учителей в процессе обучения вводят понятия поэтапно, при этом учащиеся, выполняя определеннные задания, самостоятельно составляют определение этих понянтий (Индуктивный метод). В действительности на практике используются оба метода обучения - индуктивный и дедуктивный, в зависимости от темы и отводимых учебным планом часов, поэтому мы назовем их соответственно индуктивно-дедуктивный и дедуктивно-индуктивный. Распределение учащихся 4-х классов по уровням развития мышления на математическом материале (в процентах) показано в таблице №3.

Таблица №3

Группа (Применяемые методы в обучении математике)	Уровни математического мышления
	Э	А	П	Р
Х (Дедуктивно-индуктивный)	54	46	-	-
У (Индуктивно-дедуктивный)	3	73	24	-

  Э Цэмпирический, А - аналитический, П - планирующий, Р - рефлексивный

Наиболее эффективным педагогическим условием, способствующим развитию математического мышления, является формирование у детей эмоционально-положительного отношения к предстоящей умственной деятельности посредством поэтапного введения математических понятий на основе индуктивно-дедуктивного метода, раскрытия логико-генетических структур математических понятий на языке мыслительных действий и операций.

Параграф 2.5. Роль игровой деятельности в математическом развитии младшего школьника раскрывает возможности динамических игр преследования в математическом развитии детей младшего школьного возраста. Если игровая деятельность является ведущей в дошкольном детстве, то она не может внезапно смениться учебной при поступлении в школу. Каждый новый вид деятельности должен быть заложен и подготовлен на предыдущем этапе. Значит, необходим качественный структурный анализ компонентов учебной и игровой деятельности, позволяющих реализовать преемственность в формировании и развитии условий плавного перерастания одного вида деятельности в другой.

Математический материал обладает наиболее значительным потенциалом для установления преемственных связей ведущих видов деятельности в дошкольном и младшем школьном возрасте. В нашем исследовании акцент сделан на развитии всех сквозных математических умений: умение строить идеальные объекты, умение оперировать идеальными объектами, умение моделировать, умение обосновывать, умение рассуждать и доказывать математические утверждения.

Динамические игры преследования (ДИП), основанные на близких детям сюжетах,  моделирующие реальные или вымышленные процессы и явления, сочетающие простоту правил являются наиболее оптимальными средствами для использования в учебном процессе. Наиболее известна ДИП УСонорФ, которая моделирует ситуации с одним преследователем и пятью лубегающими. Целью лубегающих, сосредоточенных в начале игры на одной стороне игрового поля, является достижение противоположной стороны, чему стремится препятствовать преследователь. В случае поимки до пересечения игрового поля, результат пойманного лубегающего оценивается в зависимости, в какой из трех основных зон игрового поля он пойман (правила игры разработаны Г.В.Томским в 1988 г.).

С  помощью игры Сонор ребенок непринужденно в форме игры  знакомится и овладевает основными математическими понятиями, как свойство предмета, число, состав числа, пространство, время, отсчет числа, порядковый счет и т.д. На базе ДИП разработаны логические и математические задачи разной степени трудности. Например, одним из понятий, вызывающих большие затруднения учеников не только в начальной школе, но и в старших классах является понятие пропорциональности.

Таким образом, использование ДИП способствует решению важной проблемы образования как установление преемственных связей ведущих видов деятельности в дошкольном и младшем школьном периоде жизни ребенка.

В параграфе 2.6 рассматриваются стратегия и технология обучения математике младших школьников. В обучении наибольшую роль в образовательной среде играют следующие три основных компонента: содержание обучения; сам ученик, его личность, закономерности ее развития; все человеческое общество, с его историей, материальной и духовной культурой. Соответственно можно обозначить три основные взаимосогласованные стратегии обучения: стратегия отбора; стратегия длительного поэтапного обучения; стратегия обучения на социокультурном опыте.

Впервые эти три стратегии обучения были выделены профессором И.А.Кузьминым в программе Социокультурные истоки11.

В Словаре современного русского языка технология определяется как совокупность приемов, применяемых в каком-либо деле, мастерстве, искуснстве. ЮНЕСКО дает такое определение: Педагогическая технология (ПТ) - систенматический метод планирования, применения и оценивания всего процесса обучения и усвоения знаний путем учета человеческих и технических ресурсов и взаимодействия между ними для достижения более эффективной формы обнразования (1986).

Суть проектирования ПТ заключается в оптимизации временных и пространственнных характеристик учебного процесса, в координации деятельности обучающих и обучаемых в пространстве и синхронизации во времени их действий, которые должны приводить к гарантированному результату.

Под технологией обучения математике в начальной школе будем понимать совокупность приемов деятельности учитенля, направленных на реализацию той или иной модели уровневой дифференнциации обучения.

Успешность функционирования технологии обучения, как способа передачи учебной информации, разработанного на основе технологических моделей, зависит от уровня: знаний, умений и интеллекта преподавателя; начальной информированности, подготовленности учащихся (качественного уровня их исходной базы знаний); информативности сообщения, его насыщенности. Все это в свою очередь предопределяется: а) рейтингом класса (вектором оценок совокупного уровня развития математического мышления коллектива в целом и каждого обучаемого в отдельности); б) исходным уровнем учебного сообщения, обеспечивающего превышение порога восприятия обучаемого.

Суть технологии обучения математике младших школьников состоит в следующем:

1. Изменение организации учебной деятельности учащихся на этапе изучения нового материала за счет использования возможностей каждой формы учебной деятельности. Выбор доминирующей форнмы учебной деятельности учащихся и соответствующего ей сочетания на рассматриваемом этапе урока осуществляется в зависимости от ряда условий согласно описанным в диссертации методикам выбора.

2. Организация учебной деятельности учащихся на этапе первичного применения знаний по каждой новой теме (независимо от выбора домининрующей на этапе изучения нового материала формы деятельности) в трех формах: Фронтальный - Групповой - Индивидуальный. Указанная взаимосвязь позволяет осуществить постепенный переход от несамостоятельной совместной деятельности учанщихся с учителем - к самостоятельной коллективной деятельности учащихся в малой группе смешанного состава (звене) и затем - к самостоятельной инндивидуальной деятельности каждого.

3. Изменение содержания и характера самостоятельных работ по теме, выполняемых учащимися на этапе формирования навыков и умений за счет реализации на данном этапе взаимосвязи дифференцированных и недиффенренцированных форм учебной деятельности.

4. Разнообразие форм и методов контроля знаний и умений. Однако итоговый контроль знаний и умений по теме (плановая контрольная работа) осуществляется только в индивидуальной форме.

5. Дифференциация домашних заданий по каждой новой теме за счет вынполнения учащимися тематических дифференцированных заданий.

Системообразующими для нашей технологии является то, что если сообщаемая информация соответствует уровню знаний и умений обучаемых, а форма предъявления информации дает им возможность выбора точки зрения на предмет, то такая информация способна вызвать у обучаемых как определенные эмоции, так и интеллектуальную деятельностную активность

В третьей главе Реализация теоретических основ математического развития младших школьников в учебной деятельности параграфе 3.1 Концепция математического развития ребенка младшего школьного возраста сформулированы основные положения концепции математического развития младшего школьника в учебной деятельности на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей мышления школьника (см. с. 13).

Результаты проведенных исследований говорят о том, что одно из главных требований к учебной деятельности - это опора на доминирующие индивидуально-типологические особенности мышления у ребенка. Поскольку учитель нанчальных классов в основном учит всем основным предметам, то именно он имеет большие возможности в полной мере выявить в ходе обучения чувства, интересы, мотивы, способности каждого ребенка в классе.

В параграфе 3.2 Модель управления учебной деятельностью младших школьников на уроке математики согласно требованиям нашей концепции математического развития младшего школьника, разработана модель управления учебной деятельностью через методику формирования интеллектуальных способностей учащихся на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей математического мышления в условиях группового обучения, позволяющей учителю находится за детьми и создать им возможность для самостоятельного присвоения знаний и движения в индивидуальной для каждого зоне ближайшего развития.

На основе этой модели нами в диссертации теоретически доказана возможность целенаправленного математического развития младших школьников в учебном процессе.

В параграфе 3.3 рассматриваются Модели динамических игр преследования в математическом развитии младших школьников. Модель ДИП - это искусственная копия (схема) различных процессов преследования с помощью фигур (фишек), изображающих преследователей и убегающих.

С поступлением в школу детям приходится больше всего решать задачи с отвлеченными, абстрактными условиями, к которым они не всегда проявляют интерес, от чего существенно снижается их активность при решении этих задач. У них появляется мысль, будто бы задачи бывают практические (прикладные), т.е. нужные в жизни, и не практические (абстрактные, отвлеченные), которые никому, нигде и никогда не понадобятся. Для устранения таких ошибочных представлений целесообразно использовать любую возможность показа того, что абстрактная задача может быть связана с реальным миром, т.е. является математической моделью реального процесса или состояния.

С этой целью целесообразно рассматривать: а) адекватные задачи ДИП (имеющие одну общую математическую модель) с разными сюжетами; б) наполнение отвлеченной, абстрактной задачи практическим содержанием.

Под задачами ДИП мы понимаем задачи, поставленные вне математики и решаемые математическими средствами.

На основе модели ДИП установлено соответствие между основными подструктурами математического мышления и его проявлениями на математическом материале, выявлены доминирующие индивидуально-типологических особенности мышления младших школьников, описанные моделях направленности ума В.А.Крутецкого и И.Я.Каплуновича. Формируются такие качества мышления как гибкость, глубина, критичность, обоснованность мышления.

Особенности мыслительной деятельности учащихся в процессе решения задач ДИП условно разделим на пять этапов.

1 этап. Изучение содержания задачи, выявление законов, лежащих в основе соотношений между содержащимися в ее условии понятиями из ранее усвоенного или реальной действительности.

2 этап. Производится выбор необходимого математического аппарата для перевода условий задачи с естественного языка на язык математики.

3 этап. При исследовании построенных математических конструкций и их решений на первое место выдвигаются умения, связанные с использованием логического аппарата математики.

4 этап. Полученные решения задач ДИП заставляют ребенка выйти из лабиринта математических конструкций и осмыслить степень их соответствия реальной действительности, что имеет большое значение в формировании мышления детей младшего возраста, позволяет понять универсальность математических методов, применяемых к решению задач из окружающей действительности.

5 этап. Большую роль в формировании мышления детей младшего возраста и осознания ими особенностей отражения математикой реальной действительности имеет работа по составлению простых задач ДИП на основе предложенной модели.

Возможности ДИП как средства математического развития младших школьников заключаются: в наглядно-образности и наглядно-действенности, которые являются необходимыми компонентами процесса усвоения знаний и умений; в самостоятельности ставить, принимать и решать игровые задачи; в творческом подходе к решению поставленных задач, развитии познавательных способностей, инициативе принятия решения; в применении алгоритмов и алгоритмических предписаний, при решении задач ДИП способствуют лучшему усвоению математических знаний, повышают культуру мышления; в формировании умственных действий, способности управлять собой в сложных ситуациях.

В параграфе 3.4 описывается Методическое обеспечение математического развития младших школьников в учебной деятельности.

Задачи ДИП представляются нам комплексом, предполагающим моделирование основным способом деятельности, сама же деятельность ребенка направлена на формирование и развитие пространственного мышления посредством моделирования пространственных отношений различных типов.

На этой основе в содержательном плане у ребенка формируются геометрические представления. В то же время повышение уровня развития пространственного мышления младшего школьника будет стимулировать развитие математического мышления в целом. Усиление логической составляющей в системе логико-конструктивных заданий позволит интенсивно готовить почву для развития словесно-логического, понятийного мышления. Таким образом, задачи ДИП для начальных классов одновременно решают проблему организации математического развития ученика начальной школы и способствуют решению проблемы, связанной с изучением школьного курса геометрии. Это предположение подтверждает многолетняя работа большого количества учителей начальных классов по разработанным в ходе исследования материалам и проводящаяся в Республике Саха (Якутия) с 1991 года. Опыт 14 лет работы по экспериментальной проверке доступности и эффективности разработанных материалов показал, что дети из начальной школы прекрасно осваивают содержание, у них формируется высокий уровень представлений о геометрических фигурах, умение выделять их признаки, сравнивать, обобщать, классифицировать. Кроме того, дети в этих классах хорошо владеют чертежными инструментами (угольник, линейка, циркуль) и могут использовать их для решения задач на построение, хорошо справляются с чтением чертежа (в том числе три проекции объемного тела), обладают хорошо развитым пространственным воображением.

Уже сейчас становится ясным, что задачи ДИП открывают новые возможности в плане формирования знаний и умений младших школьников по математике, в плане развития геометрического пространственного мышления, логики, познавательной активности, интуиции и математического чутья, что в свою очередь доказывает возможность управления процессом математического развития ребенка младшего школьного возраста средствами предмета математика.

В параграфе 3.5 Организация и результаты экспериментальной работы представлены результаты опытно-экспериментальной работы.

В ходе поискового эксперимента был проведен анализ действующих учебников, учебных и дидактических пособий по математике с целью выяснения наличия в них задач прикладного характера, похожих по содержанию на задачи ДИП, методов их решения и влияния на формирование математического мышления учащихся.

В результате проведенного поискового этапа эксперимента было установлено, что: решение прикладных задач вызывает интерес учащихся, поскольку показывает, как применяется математика в разрешении проблем, возникающих в реальной действительности; учащиеся четко не представляют, из каких этапов состоит решение прикладных задач; учащиеся испытывают трудности на начальном этапе решения прикладной задачи, т.е. при составлении математической модели, и на завершающем этапе - интерпретации.

Нами выявлены причины затруднений учащихся при решении прикладных задач: а) недостаточная сформированность ориентировочной основы действий по решению задач; б) система задач, представленная в перечисленных выше учебных пособиях, не ориентирована на приложимость изучаемых математических фактов к решению задач реальной действительности, не способствует формированию специфических математических знаний и умений для решения прикладных задач, а следовательно, и развитию математического мышления.

Анализируя работу учителей начальных классов, мы пришли к выводу, что развитием мышления учащихся занимаются в основном эпизодически: не обеспечивается комплексная реализация основных психологических условий для развития мышления; не учитываются возможности содержания математики в плане познавательного интереса и не устанавливаются на этой основе взаимосвязи всех форм обучения математике; выбор методов обучения ведется интуитивно, без достаточного методологического обоснования и возможности развития мышления в каждой из форм обучения математике; в организации учебной деятельности по решению математических задач преобладает пассивная деятельность учащихся.

Основной недостаток школьного обучения математике заключается в формальном изучении материала без его направленности на математическое развитие каждого ребенка, без ориентации содержательной стороны на специфику и особенности возрастного развития ребенка.

Крен в начальном обучении математике сделан в сторону оперирования знаками и на усвоение через запоминание материала. Это служит источником формализма в знаниях учеников. Рассматриваемый возраст таков, что у учеников должно активно развиваться образное мышление и закладываться основы понятийного мышления, и если приучать их к формальному оперированию знаниями, то это нанесет большой вред дальнейшему становлению стиля мыслительной деятельности ребенка. В начальных классах преобладает деятельность учеников по применению изученных правил к выполнению операций. Ими выполняется большое число заданий. За формированием навыков теряется важная задача развития математического мышления учащихся.

Анализ материалов, полученных в констатирующих сериях опытов, показывает, что выделяется три уровня развития гибкости детского мышления. Выяснилось, что в каждой из обследуемых возрастных групп находились дети всех отмеченных уровней. Выявление этой связи опирается на умения оперировать понятиями множества. Вместе с тем растет число школьников, умеющих выделить, определить существенное, характеристическое, т.е. находящихся на третьем уровне развития гибкости. Итоги обследования по фронтальной методике на определение уровня развития математического мышления показали более высокие результаты в экспериментальных группах по сравнению с контрольными (таблица №4).

Таблица №4

Группы	Экспериментальные	Контрольные
1-й класс	30.4%	25.7%
2-й класс	50.3%	32.8%
3-й класс	64.9%	52.0%
4-й класс	70.4%	51.8%

Рост уровня развития математического мышления наблюдается и в тех, и других группах, но более активный рост - в экспериментальных группах. Содержанием проверки результатов экспериментального исследования было решение серий игровых математических задач испытуемыми. В процессе качественного анализа протоколов по методу констатирующего анализа выделены показатели математического мышления и уровни его проявления в экспериментальной и контрольной (группа из обычных классов) группах.

Результаты анализа протоколов тестирования школьников начальных классов из сельской местности выявили, что уровень развития математического мышления сельских детей существенно не отличается от их городских сверстников. Поэтому в таблице №5, показывающей уровень развития математического мышления, отражены общие результаты по городским и сельским группам.

Таблица №5

Показатели и уровни их проявления	Группа контрол. дошкол.	Группа эксперим. дошкол.	Группа контрол. мл.школ.	Группа эксперим. мл.школ.
Гибкость 1. 2. 3. Глубина 1. 2. 3. 3. Обобщенность  1. 2. 3. 4. Самостоятельность 1. 2. 3. 5. Критичность 1. 2. 3. 6. Рациональность  1. 2. 3. 7. Пространственное  1. воображение 2. 3. огическое 1. рассуждение  2. 3.	39.8 49.5 10.7 32.8 46.1 21.1 62.3 28.9 8.8 45.2 52.2 4.6 49.7 44.1 6.2 55.3 38.3 6.4 44.6 49.1 6.3 57.9 42.6 11.5	19.0 52.5 28.5 16.0 53.6 30.4 23.4 47.6 29.0 24.0 44.0 32.0 15.7 75.4 8.9 43.8 47.7 8.3 21.3 51.6 28.1 23.4 47.1 29.5	15.3 73.2 11.4 10.5 42.9 46.6 34.1 51.4 14.5 47.1 39.2 13.7 33.7 47.1 19.3 26.2 58.5 15.3 26.8 58.0 15.2 45.2 40.5 14.3	1.8 62.5 34.7 1.0 40.9 58.1 3.3 53.3 43.4 28.3 27.9 43.8 16.4 40.9 42.7 19.2 37.4 43.4 18.3 40.5 43.1 4.5 51.8 43.7

Результаты проверочных заданий испытуемых выражены в уровневых оценках от 1 до 3 по каждому из этих показателей, презентующих качества мыслительных процессов структуры математического мышления. Для детей двух групп (экспериментальной и контрольной) было проведено 2 контрольных среза: 1-й - на начальном этапе обучения, 2-й - в конце обучения (11 лет). Необходимо было выяснить, как связано умение детей образовывать проблемные ситуации с гибкостью как свойством, проявляющимся в легкости перестройки способов действия. Для этого проведем статистическую обработку количественных данных по задачам контрольных тестов, полученных нами в начале и конце эксперимента.

Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

,

где, - знак суммы, - отклонение от средней, - средняя арифметическая оценок ответов детей, полученных нами в эксперименте по методике констатирующего эксперимента, - отклонение от средней, - средняя арифметическая оценка по методике изучения по компонентам математического мышления.

Для определения уровня значимости воспользуемся критерием Стьюдента:

Достаточно высокий коэффициент корреляции свидетельствует о наличии зависимости между уровнем развития показателей математического мышления и умением преобразовывать способы действия. Результаты исследования, раскрывающие возможность проявления показателей математического мышления в еще младшем школьном возрасте в процессе его становления, доказывают развитие вместе с формированием умственных действий.

В заключении подводятся итоги работы, выделяются основные результаты, приводятся данные, подтверждающие реализацию цели, задач, гипотезы исследования. В ходе проведенного педагогического исследования были получены следующие результаты:

1. Обобщены имеющиеся представления о мышлении вообще, о математическом мышлении, об уровнях и стадиях развития математического мышления, о взаимосвязи понятий лучебная деятельность и развитие младших школьников.

2. Дана характеристика понятия математическое развитие младших школьников в учебной деятельности, которая представляет собой целенаправленное и методически организованное формирование и развитие совокупности взаимосвязанных основных показателей и качеств математического мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности;

3. Установлена преемственная связь ведущих видов деятельности в дошкольном и младшем школьном периоде жизни ребенка средствами ДИП, путем перехода от игры к решению задач ДИП.

4. На основе модели ДИП установлено соответствие между основными подструктурами математического мышления и его проявлениями на математическом материале: топологической, проективной, порядковой, метрической и алгебраической (композиционной), выявлены доминирующие индивидуально-типологические особенности мышления младших школьников, описанные в моделях направленности ума.

5. Разработаны теоретико-методологические основания концепции математического развития младшего школьника в учебной деятельности на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей мышления школьника, что помогает, отталкиваясь от них, постепенно преодолевать специфически слабые черты его математического мышления.

6. На основе разработанной концепции предложена модель управления учебной деятельностью через методику формирования интеллектуальных способностей учащихся на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей математического мышления в условиях группового обучения, позволяющую учителю находится за детьми и создать им возможность для самостоятельного присвоения знаний и движения в индивидуальной для каждого зоне ближайшего развития.

7. Выявлены новые методические особенности организации процесса мантематического развития младших школьников, ориентированного на формирование самоопренделяющейся и самореализующейся личности, и основные этапы подготовки учителей к переходу на новую технологию обучения.

Выполненное исследование открывает возможность для дальнейшей разработнки вопросов формирования и развития личности в процессе учебной деятельности на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей мышления школьника. Проведенное теоретическое и опытно-экспериментальное исследование - лишь начало разработки поставленной проблемы и не охватывало всего круга вопросов, связанных с ее решением.

Перспективами дальнейшего исследования могут быть: в образовательной сфере более углубленное изучение феномена математического мышления и математических способностей, закладывающей основы развития и становления целостной личности; исследование проблемы интеграции математического мышления с другими компонентами мышления вообще; глубокое изучение содержания, структуры и механизмов мышления в традициях народной педагогики; разработка оптимальной технологии формирования целостной личности в процессе образовательно-познавательной деятельности.

Материалы диссертационного исследования изложены в 58 публикациях, в соавторстве - 16 публикаций. В т.ч. 2 монографии, 10 учебных пособий и методических указаний, 21 статей, 12 тезисов, общим объемом более 80 печатных листов.

Основное содержание и результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях автора.

Монографии

1. Голиков, А.И. Развитие математического мышления средствами динамических интеллектуальных игр преследования: монография / А.И.Голиков. - Новосибирск: Изд-во Наука, 2002. - 132 с. (8,25 п.л.).

2. Голиков, А.И. Теория и методика математического развития младших школьников в учебной деятельности: монография / А.И.Голиков. - М.: Изд-во Московского ун-ва, 2007. - 323 с. (20,18 п.л.).

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов докторских исследований

3. Голиков, А.И. Теоретические подходы к феномену Математическое мышление / А.И.Голиков // Педагогика №7 - М.: 2007. - с. 22 - 32 (0,7 п.л.).

4. Голиков, А.И. Особенности ориентации будущего учителя математики на взаимодействие лучитель-родители / А.И.Голиков // Вестник МГУ, серия 20, педагогическое образование №1 ЦМ.: 2007. - с.90-93 (0,3 п.л.).

5. Голиков, А. И. Использование динамических игр преследования на уроках информатики и математики / А.И.Голиков // Информатика и образование №7 - М.: 2007. - с. 99-100 (0,1 п.л.).

6. Голиков, А. И. Подготовка будущих учителей к использованию информационных технологий в общении с родителями / А.И.Голиков, П.А.Степанов // Информатика и образование №8 - М.: 2007. - с. 127-128. (авторских - 1 с.; 0,1 п.л.).

7. Голиков, А.И. Преемственность ведущих видов деятельности в дошкольном и младшем школьном возрасте / А.И.Голиков // Начальная школа плюс До и После №12 - М.: 2007. - с. 67-69 (0,2 п.л.).

8. Голиков, А.И. Психолого-педагогический аспект проблемы развития пространственных представлений учащихся / А.И.Голиков // Преподаватель 21 века №1 - М.: 2008. Ц  (0,2 п.л.).

9. Голиков, А.И. Использование дедуктивного и индуктивного методов в процессе обучения математическим дисциплинам / А.И.Голиков // Вестник МГУ, серия 20, педагогическое образование №2 ЦМ.: 2008. - с.56-59 (0,2 п.л.).

10. Голиков, А.И. Психолого-педагогический аспект проблемы изучения геометрии в общеобразовательной школе / А.И.Голиков // Сибирский педагогический журнал №1 - Новосибирск: 2008. Ц  (0,4 п.л.).

11. Голиков, А.И. Использование информационных технологий в обучении математике в начальной школе / А.И.Голиков // Информатика и образование №4 - М.: 2008. - с. 126-128. (0,2 п.л.).

Учебно-методические пособия и указания

12. Голиков, А.И. Студенческая традиция: Методические указания. / А.И.Голиков, В.В.Петров - Якутск: Изд-во Полиграфист, 1992. Ц  56 с. (авторских - 28 с.; 1,8 п.л.)

13. Голиков, А.И.. О5о эйун кыра эрдэхтэн сайыннарыы. Развитие умственных способностей младших школьников: Учебно-методическая разработка на якутском языке. Пособие для воспит.,учит., студ. педагогич. профиля / Е.А.Барахсанова, А.И.Голиков, Т.Т.Саввинов -Якутск: НКИ Бичик, 1993. - 72 с. (авторских - 24 с.; 1,8 п.л.)

14. Голиков, А.И. Фестиваль педагогических идей: Учебно-методическая разработка. Метод. помощь воспитателям / А.И.Голиков - Якутск: Изд-во ГНО, 1993. - 16 с. (1 п.л.).

15. Голиков, А.И. Игра УСонорФ в педагогическом процессе дошкольного образовательного учреждения и начальной школы: Учебно-методическая разработка / Н.К.Алексеев, А.И.Голиков - Якутск: НКИ УБичикФ, 2000. - 32 с. (авторских - 16 с.; 1 п.л.)

16. Голиков, А.И. Пособие для подготовки к тестированию в ЯГУ: Учебно-методическая разработка / А.И.Голиков, А.Э.Моякунов - Якутск: ЯГУ, 2000. - 160 с. (авторских - 80 с.; 5 п.л.)

17. Голиков, А.И.. Анализ результатов ЕГЭ в Республике Саха (Якутия) в 2001 г.: Методические указания / А.И.Голиков, В.А.Егоров, И.Г.Ларионова - Якутск: МО РС (Я), ЦАККО, 2001. - 37 с. (авторских - 12 с.; 0,8 п.л.)

18. Голиков, А.И. Математика. Пособие для подготовки к вступительным испытаниям в ЯГУ: Методические указания / А.И.Голиков - Якутск: ЯГУ, 2001. - 30 с. (1,9 п.л.).

19. Голиков, А.И. Тесты по математике для подготовки к ЕГЭ:  Методические указания / А.И.Голиков - Якутск: ЯГУ, Центр тестирования, 2002. - 31 с. (1 п.л.).

20. Голиков, А.И. Комплексная программа ДИП УСонорФ для детей от 5 до 7 лет по формированию творческого мышления: Методические указания /Г.В.Томский, А.И.Говорова,  А.И.Голиков, А.И.Новгородова - Якутск: МО РС (Я), 2002. - 28 с. (авторских Ц  7 с.; 0,4 п.л.)

21. Голиков, А.И. Пособие по математике: теория, методика, решения, задачи: Учебное пособие / А.И.Голиков - Якутск: ЯГУ, 2002. - 80 с. (5 п.л.).

Статьи

22. Голиков, А.И. Педагогические условия развития математического мышления в обучении / А.И.Голиков // Педагогические науки №6 - М.: 2004. - с.66-69 (0,3 п.л.).

23. Голиков, А.И. Теоретические подходы к феномену математическое мышление / А.И.Голиков // Педагогические науки №6 - М.: 2004. - с. 70-77 (0,5 п.л.).

24. Голиков, А.И. Теоретические подходы к проблеме развития математического мышления / А.И.Голиков // Современные гуманитарные исследования №1 - М.: 2004. - с. 144-151 (0,5 п.л.).

25. Голиков, А.И. Использование Системы динамической игры преследования в образовании одаренных детей / А.И.Голиков, Г.В.Томский // Современные гуманитарные исследования №1 - М.: 2004. - с. 152 - 155. (авторских - 2 с.; 0,1 п.л.)

26. Голиков, А.И. Система динамической игры преследования в развитии математических способностей и культуры / А.И.Голиков, Г.В.Томский // Педагогические науки №6 - М.: 2004. - с. 111-115. (авторских - 3 с.; 0,2 п.л.)

27. Голиков, А.И. Система ДИП в образовании / А.И.Голиков, Г.В.Томский // Вестник ЯГУ, том 2, №1 - Якутск: ЯГУ, 2005. Ц  с.17-19. (авторских - 2 с.; 0,1 п.л.)

28. Голиков, А.И. Проблема дифференциации обучения в вузе / А.И.Голиков // Профессионально-педагогическая подготовка студентов классического университета: Материалы Всеросс. научно-практич. конф. - Улан-Удэ: БГУ, 2005. - с. 147-149 (0,2 п.л.).

29. Голиков, А.И. А.Н.Колмогоров о развитии математических способностей / А.И.Голиков, Н.Х.Розов // Труды Третьих Колмогоровских чтений. - Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2005. - с. 219-225. (авторских - 3 с.; 0,2 п.л.)

30. Голиков, А.И. Проблемы развития математического мышления, способностей и дифференциации обучения в вузе / А.И.Голиков // Сб. статей и тезисов научн. конф. Ломоносовские чтения - М.: МГУ, вып. №3, 2005. - с. 4-8 (0,3 п.л.).

31. Голиков, А.И. Развитие интеллектуальных качеств личности через динамические игры преследования / А.И.Голиков // Начальное образование №5 - М.: 2007. - с. 20-24 (0,3 п.л.).

32. Голиков, А.И. Система ДИП профессора Томского в дополни-тельном образовании / А.И.Голиков // Статьи и тезисы межд. конф. Des jeux a la creativite. Methodes d education active - Sables d Olonnes, France: 2007. - с. 13-17 (0,3 п.л.).

33. Голиков, А.И. Динамические игры преследования как средство установления преемственных связей ведущих видов деятельности в дошкольном и младшем школьном возрасте / А.И.Голиков // Сб. статей и тезисов научн. конф. Ломоносовские чтения - М.: МГУ, вып. №5, 2007. - с. 19-21 (0,2 п.л.).

---

1 Гальперин П.Я., Запорожец А.В., Карпова С.Н. Актуальные проблемы возрастной психологии. - М., 1978.

2 Колягин Ю.М. Отечественное образование: наша гордость и наша боль [о математическом образовании России] // Математика в школе №1 - М.: 2002. - с. 7-13

3 Кушнир А. Новая Россия подрастает // Народное образование, 1998. №6.

4 Тестов В.А. Социокультурные истоки в контексте развития новой образовательной парадигмы. Истоковедение. Том 7. - М., 2005. - 320 с.

5 Выготский Л.С. Избранные психологические исследования. - М.: АПН РСФСР, 1956. - 519 с.

6 Пиаже Ж. Речь и мышление ребенка / Пер. с франц. - М.; Л.: Уч-педгиз, 1932. - 410 с.

7 Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. - М.: Просвещение, 1968. - 431с.

8 Атаханов Р. Уровни развития математического мышления / Под ред. В.В.Давыдова. - Душанбе, 1993. - 174 с.

9 Эльконин Д.Б. О структуре учебной деятельности // Эльконин Д.Б. Избр. психологические труды. - М., 1989. - С.  212-243.

10 Словарь иностранных слов,18-е изд. - М.: Русский язык,1989. - 624 с.

11 Тестов В.А. Социокультурные истоки в контексте развития новой образовательной парадигмы. Истоковедение. Том 7. - М., 2005. - 320 с.

Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по педагогике