Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по физике
На правах рукописи
ПРУДНИКОВ ПАВЕЛ ВЛАДИМИРОВИЧ
ТЕОРЕТИКО-ПОЛЕВЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ СЛОЖНЫХ ОДНОРОДНЫХ И СТРУКТУРНО НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ МНОГОВЕРШИННЫМИ МОДЕЛЯМИ
Специальность 01.04.07 - физика конденсированного состояния
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Махачкала - 2011
Работа выполнена на кафедре теоретической физики Омского государственного университета им. Ф.М. Достоевского
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, профессор Муртазаев Акай Курбанович доктор физико-математических наук, профессор Суслов Игорь Михайлович доктор физико-математических наук, профессор Аплеснин Сергей Степанович
Ведущая организация:
Казанский физико-технический институт им. Е.К. Завойского КазН - РАН
Защита состоится " " 2011 г. в на заседании диссертационного совета Д 002.095.01 при Институте физики ДагН - РАН по адресу: 367003, г. Махачкала, пр. Шамиля, 39 А Отзывы на автореферат просьба направлять по адресу:
367003, г. Махачкала, ул. М. Ярагского, д. 94, Институт физики ДагН - РАН, секретарю диссертационного совета
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики ДагН - РАН Автореферат разослан " " 2011 г.
Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук А.Б. Батдалов
Общая характеристика работы
Актуальность темы Проблема фазовых переходов второго рода и связанных с ними критических явлений является одной из наиболее интересных и актуальных задач физики конденсированного состояния. Наблюдаемые по мере приближения к точке фазового перехода аномально большие по амплитуде и долгоживущие флуктуации некоторых термодинамических переменных характеризуются эффективно сильным взаимодействием между собой. В результате любое слабое взаимодействие становится вблизи критической точки настолько сильным, что не позволяет применять теорию возмущений. Большой практический интерес к изучению фазовых переходов обусловлен тем, что вблизи температуры фазового перехода даже незначительное изменение внешних условий может вызвать существенное изменение характеристик системы.
Многие передовые технологии в техническом перевооружении человечества, реализованные на протяжении последних десятилетий, опираются на использование сильного изменения свойств различных материалов при фазовых переходах в них.
Выявленная общность свойств фазовых переходов второго рода в различных веществах позволила сформулировать принцип универсальности критических явлений и предложить модель, в основе которой лежала гипотеза масштабного подобия флуктуаций (А.З.Паташинский, В.Л.Покровский, 1964, 1966; Л.Каданов, 1966). Идеи использования метода ренормализационной группы и последующая их иллюстрация с помощью метода - разложения (К.Вильсон, М.Фишер, 1971, 1972) позволили сделать еще несколько шагов в качественном понимании фазовых переходов и в их количественном описании. Дальнейшее развитие этих идей привело к появлению теоретикополевого подхода к описанию критических явлений (С.Ди Кастро, Г.Иона-Лазинио, Г.Паризи, С.Л.Гинзбург, 1975), дающему более точные количественные результаты для непосредственно трехмерных систем при применении методов суммирования асимптотических рядов (Г.Бейкер, Б.Никел и др., 1976; Е.Брезин и др., 1977; И.М.Суслов, 2001, 2008).
В критической точке наряду с особенностями равновесных характеристик сингулярное поведение демонстрируют кинетические коэффициенты и динамические функции отклика, что обусловлено аномально большими временами релаксации сильно флуктуирующих величин. Критическая динамика исследовалась ренормгрупповыми методами, совмещенными с -разложением, в работах ряда авторов (Б.Гальперин, П.Хоэнберг, Ш.Ма, 1972, 1974; Ж.Мазенко, К.Кавасаки, 1975 и др.). Однако исследование динамических свойств критических флуктуаций сталкивается с трудностями более сложными, чем при описании равновесных свойств. Это вызвано как необходимостью учета взаимодействия флуктуаций параметра порядка с другими долгоживущими возбуждениями (Б.Гальперин, П.Хоэнберг, 1967; А.М.Поляков, К.Кавасаки, 1969), так и более слабой сходимостью получаемых рядов по и большим числом существенных диаграмм уже в низших порядках теории возмущений. В динамике фазовых переходов и понятие универсальности приобретает более широкий смысл - становятся существенными законы сохранения для локальной плотности долгоживущих переменных. Для описания критической динамики в однородных и неупорядоченных системах был развит теоретико-полевой вариант ренормгруппы, позволяющий исследовать динамику трехмерных и двумерных систем без использования -разложения (В.В.Прудников, 1992, 1997, 1998; К.Ердинг, 1995).
Одной из нерешенных задач теории критических явлений остается описание неравновесного критического поведения макроскопических систем, далеких от состояния равновесия. Это, прежде всего, относится к явлениям критической релаксации однородных и структурно неупорядоченных систем при фазовых переходах второго рода и фазовых переходах первого рода близких ко второму. Критическое замедление времени релаксации и аномально большие времена корреляции различных состояний для данных систем приводят к реализации динамического скейлингового поведения даже когда системы находятся в состояниях, далеких от состояния равновесия. Значительный интерес к исследованию подобных систем обусловлен предсказываемыми и наблюдаемыми в них свойствами старения при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния и нарушениями флуктуационно-диссипативной теоремы (Г.Янсен и др.,1989; Б.Ченг и др.,1999; П.Калабрезе,2005).
Структурный беспорядок, обусловленный присутствием примесей или других дефектов структуры, наличие в эффективном гамильтониане нескольких типов конкурирующих взаимодействий, задающих состояние системы, зачастую играют важную роль в поведении реальных материалов и физических систем. Эти факторы, действующие по отдельности или проявляющиеся одновременно в структурно неупорядоченных системах, могут индуцировать новые типы фазовых переходов, задавать новые классы универсальности критического поведения, модифицировать кинетические свойства систем и обуславливать низкочастотные особенности в динамике системы. Поэтому усилия многих исследователей были направлены на понимание того, как характеристики фазовых переходов изменяются с введением в систему случайно распределенных примесей. Рассеяние флуктуаций на дефектах структуры, вызывающих нарушение трансляционной инвариантности системы, обусловливает дополнительное взаимодействие флуктуаций параметра порядка, характеризующееся специфическими законами сохранения. Особенно интересно влияние замороженных дефектов, чье присутствие может проявляться в виде случайного возмущения локальной температуры перехода, например, для ферро - и антиферромагнитных систем в отсутствие внешнего магнитного поля или как случайные магнитные поля для антиферромагнитных систем в однородном магнитном поле.
Наибольших успехов исследователи достигли при изучении влияния некоррелированных дефектов с эффектами случайной локальной температуры на критическое поведение неупорядоченных систем. Ренормгрупповой анализ с использованием - разложения (Д.Е.Хмельницкий, Т.Лубенски, 1975), а затем в рамках более точного теоретико-полевого подхода (А.И.Соколов, Б.Н.Шалаев, 1981,1989; И.О.Майер, 1989; Д.В.Пахнин, А.И.Соколов, 1999) выявил, что поведение неупорядоченных изингоподобных систем характеризуется новым набором критических индексов. Эксперимент (Р.Биржено и др., 1983,1988) подтвердил численное отличие статических критических индексов для неупорядоченных систем от их значений для однородных систем и показал хорошее согласие с теоретическими результатами. Однако влияние дефектов структуры на критическую динамику значительно менее исследовано (У.Крей, Г.Гринстейн и др., 1977, Прудников В.В., 1983, 1992), несмотря на ожидаемое более сильное их проявление в неравновесных характеристиках. По критической динамике разбавленных систем до сих пор существует скудная экспериментальная информация (Д.Беланджер и др.,1988). При этом достигнутая точность результатов низка для достоверной проверки результатов теоретических расчетов. Нет и достаточно обоснованных теоретических оценок динамического индекса z.
Для описания критического поведения неупорядоченных систем используются многовершинные модели, для которых предсказания, сделанные на основе применения метода - разложения, не являются надежными. Это объясняется конкуренцией различных типов критического поведения в многопараметрическом пространстве модели, что делает протяжку 1, 2 невозможной без пересечения областей стабильности различных фиксированных точек. Для получения достоверных результатов требуется разработка более надежных методов описания.
Для неупорядоченных систем остается невыясненным главный вопрос: является ли критическое поведение примесных систем универсальным, а значения критических индексов не зависящими от концентрации примесей вплоть до порога перколяции. В последнее десятилетие широкое распространение получили компьютерные методы моделирования как статического, так и динамического критического поведения различных систем, которые стали альтернативой физическим экспериментам. В результате возникла потребность в более точных значениях критических индексов для однородных и слабо неупорядоченных систем, вычисляемых теоретически, и в проведении компьютерного моделирования критического поведения систем при изменении концентрации примесей в широком интервале.
Статистические особенности описания систем с замороженным беспорядком и эффекты критического замедления, усиливаемые дефектами структуры, создают значительные трудности как для аналитического описания, так и численного моделирования поведения подобных систем. Поэтому для их исследования требуется развитие новых концепций и методов описания.
Цель работы 1. Развитие методики и осуществление теоретико-полевого описания неравновесного критического поведения однородных и структурно неупорядоченных систем с замороженными дефектами структуры в многопетлевом приближении с применением методов суммирования. Исследование влияния неравновесных начальных состояний и создаваемых ими нарушений трансляционной симметрии во времени на медленную эволюцию систем с сильно коррелированными состояниями в критической точке. Теоретико-полевое и численное исследование статического и динамического критического поведения неупорядоченных трехмерных систем с дальнодействующей пространственной корреляцией дефектов структуры.
2. Численное исследование критического поведения неупорядоченной ферромагнитной модели Изинга численными методами Монте-Карло. Компьютерное моделирование неравновесных процессов критической релаксации трехмерных систем методом коротковременной динамики при изменении концентрации дефектов структуры в широком интервале от уровня слабого разбавления до концентраций, близких к порогу перколяции. Проведение сопоставления результатов теоретико-полевого расчета с результатами компьютерного моделирования критической динамики однородных и слабо неупорядоченных систем. Выяснение вопроса об универсальности неравновесного критического поведения неупорядоченных систем.
3. Ренормгрупповое исследование критического и мультикритического поведения сложных однородных и структурно неупорядоченных спиновых систем. Разработка методики теоретического описания влияния дефектов структуры и эффектов их корреляции на аномальное поведение характеристик распространения ультразвука в твердых телах при температуре фазового перехода второго рода. Исследование влияния поверхности и ее ориентации относительно направления анизотропии кристалла на мультикритическое поведение системы в окрестности обобщенной точки Лифшица m-го порядка.
Научная новизна результатов 1. Впервые проведен расчет значений динамического критического индекса z, определяющего релаксационные свойства системы, в высоких порядках теории для однородных и структурно неупорядоченных трехмерных и двумерных изингоподобных систем с последовательным применением различных методов суммирования асимптотических рядов.
2. Осуществлено теоретико-полевое описание влияния неравновесных начальных значений параметра порядка на его эволюцию в критической точке для однородных систем. В рамках диссипативной модели впервые в рекордном трехпетлевом приближении проведен расчет критического индекса коротковременной эволюции с использованием метода -разложения.
3. Разработано и осуществлено исследование одновременного влияния неравновесных начальных состояний, дефектов структуры и эффектов их корреляции на эволюцию структурно неупорядоченных систем в критической точке. Впервые реализовано теоретико-полевое описание неравновесного критического поведения непосредственно трехмерных систем и проведен расчет критического индекса коротковременной эволюции в двухпетлевом приближении без использования -разложения. Значения динамических критических индексов и z, полученные с применением методов суммирования, находятся в лучшем соответствии с результатами компьютерного моделирования, чем результаты применения метода -разложения.
4. Осуществлены численные Монте-Карло исследования равновесного критического поведения неупорядоченной ферромагнитной модели Изинга в широком интервале изменения концентрации немагнитных атомов примеси. Для термодинамических и корреляционных характеристик методом конечноразмерного скейлинга впервые определены универсальные скейлинговые функции, вычислены критические температуры и статические критические индексы с учетом ведущих поправок к скейлингу. На основе выявленных концентрационных изменений скейлинговых функций и значений критических индексов сделан вывод о существовании двух универсальных классов критического поведения разбавленной модели Изинга с различными характеристиками для слабо и сильно неупорядоченных систем.
5. Осуществлено численное исследование методом коротковременной динамики неравновесного критического поведения для анизотропных ферромагнетиков, описываемых моделью Изинга, в широкой области изменения концентрации точечных дефектов структуры для различных начальных неравновесных состояний системы. На основе выявленной концентрационной зависимости динамических и статических характеристик впервые показано, что неравновесное поведение слабо и сильно неупорядоченных систем также принадлежит к различным классам универсальности критического поведения с несовпадающими в пределах статистических погрешностей значениями динамических показателей и z.
6. Впервые в рамках теоретико-полевого подхода в двухпетлевом приближении с применением методов суммирования осуществлено описание критического поведения трехмерных структурно неупорядоченных систем с нарушенной репличной симметрий (НРС) без использования -разложения. Для систем с произвольной размерностью от 3 до 4 проведен ренормгрупповой анализ эффективного гамильтониана модели с НРС. Выявлена устойчивость критического поведения трехмерных систем относительно эффектов НРС.
7. Впервые осуществлено теоретико-полевое описание статического и неравновесного критического поведения непосредственно трехмерных систем с дальнодействующей корреляцией дефектов для различных значений числа компонент параметра порядка и показателя корреляции a с применением методов суммирования. Полученная картина областей устойчивого критического поведения данных систем и значения критических индексов существенно отличаются от предсказанных ранее в рамках двухпараметрического , - разложения. Показано, что эффекты дальнодействующей корреляции дефектов меняют критическое поведение всех систем, для описания критического поведения которых используются базовые теоретические модели Изинга, XY и Гейзенберга с многокомпонентным параметром порядка, в то время как некоррелированные дефекты модифицируют критическое поведение только изингоподобных систем.
8. Проведено численное исследование методом коротковременной динамики критического поведения различных модельных трехмерных систем с линейными протяженными дефектами в широкой области изменения концентрации дефектов. Выявлены особенности влияния дальнодействующей корреляции дефектов на неравновесную критическую динамику. Впервые получено подтверждение предсказаний ренормгрупповой теории о существенности влияния дальнодействующей корреляции дефектов на поведение систем, описываемых моделями Изинга, XY и Гейзенберга. Показано, что поведение слабо и сильно неупорядоченных систем с протяженными дефектами принадлежит к различным классам универсальности.
9. Разработано и впервые осуществлено ренормгрупповое описание особенностей влияния дефектов структуры и эффектов их дальнодействующей корреляции на характеристики распространения ультразвука в твердых телах при фазовых переходах второго рода с учетом как флуктуационного, так и релаксационного механизмов рассеяния при фиксированной размерности системы d = 3 в двухпетлевом приближении с применением методов суммирования асимптотических рядов. Выделено асимптотическое поведение коэффициента поглощения и дисперсии скорости ультразвука от частоты и температуры в гидродинамической, переходной и критической областях для однородной и структурно неупорядоченных систем.
10. Впервые проведено теоретико-полевое описание фазовых превращений в сложных неупорядоченных системах с двумя взаимодействующими параметрами порядка без применения метода -разложения. В двухпетлевом приближении с применением техники суммирования рядов проведен ренормгрупповой анализ многовершинной модели, выделены фиксированные точки, соответствующие устойчивому мультикритическому поведению и проведено исследование влияния дефектов структуры на характер фазовых диаграмм и свойства систем в окрестности мультикритических точек. Выявлено существенное изменение областей устойчивости различных типов мультикритического поведения по сравнению с результатами -разложения.
11. Впервые осуществлено описание мультикритического поведения d-мерной системы с многокомпонентным параметром порядка с учетом влияния поверхности системы, перпендикулярной оси анизотропии кристалла, в окрестности обобщенной точки Лифшица m-го порядка. Про() веден расчет независимого поверхностного критического индекса L для трехмерных систем, полученные значения находятся в хорошем согласии с результатами проведенных ранее численных исследований модели Изинга для одноосной точки Лифшица (m = 1).
Научно-практическая значимость работы Развитые в диссертации методы и полученные результаты, вносят существенный вклад в обоснование и развитие представлений теории критических явлений. Научная ценность проведенных в диссертации исследований обусловлена построением корректной методики для теоретического описания фазовых превращений в материалах с пространственным беспорядком.
Выявленное в результате проведенных расчетов существенное влияние дефектов структуры на характеристики критического поведения различных систем могут найти применение при отработке методики и постановке реальных физических и компьютерных экспериментов, а также практическом использовании направленной модификации свойств материалов, испытывающих фазовые превращения, за счет их легирования, что служит научной основой для создания материалов с новыми, перспективными физико-химическими свойствами.
Исследования, составившие основу диссертации, были поддержаны грантами РФФИ № 0002-16455-мас, 02-02-06181-мас, 05-02-16188, 10-02-00787 (2000-2012 гг.), грантами Президента РФ № МК-8738.2006.2, МК-3815.2010.2 (2006-2011 гг.), грантом совместной программы УМихаил ЛомоносовФ Минобрнауки РФ и Германской службы академических обменов (2004-2005 гг.) и грантами Минобрнауки РФ № А03-2.9-73 (2003-2004 гг.), № 2.1.1/930 и 2.1.1/13956 программы УРазвитие научного потенциала высшей школыФ (2009-2012 гг.), № 02.740.11.0541 программы УНаучные и научно-педагогические кадры инновационной РоссииФ (2010-2012 гг.) ичный вклад автора. В работах, выполненных с соавторами, вклад автора диссертации является определяющим как на стадии постановки задач, так и на этапах проведения аналитических ренормгрупповых и численных Монте-Карло расчетов, а также при интерпретации полученных результатов.
Основные положения, выносимые на защиту 1. Методика теоретико-полевого описания критического поведения структурно неупорядоченных систем, характеризуемых многовершинными моделями, с фиксированной пространственной размерностью с последовательным применением к рядам теории методов суммирования асимптотических рядов.
2. Результаты теоретического исследования влияния начальных состояний на неравновесную эволюцию однородных и структурно неупорядоченных систем в критической точке. Теоретикополевое описание влияния на критическое поведение двумерных и трехмерных неупорядоченных систем спинстекольных эффектов, вызванных НРС.
3. Методика и результаты теоретико-полевого описания влияния эффектов дальнодействующей корреляции дефектов на критическое поведение систем с многокомпонентным параметром порядка. Показано, что корреляция дефектов приводит к проявлению влияния неупорядоченности в поведении более широкого круга систем, вызывая существенное изменение статических и динамических характеристик критического поведения. Выявлено, что с усилением корреляции дефектов происходит существенное замедление процессов критической релаксации по сравнению с однородными системами и системами с некоррелированными дефектами.
4. Методика и результаты теоретического описания влияния дефектов структуры и эффектов их пространственной корреляции на характеристики распространения ультразвука в твердых телах вблизи температуры фазового перехода. Показано, что наличие дефектов структуры и усиление их корреляции приводит к увеличению поглощения и дисперсии скорости ультразвука по сравнению с однородными системами.
5. Методика расчета и результаты численного исследования равновесных критических характеристик неупорядоченных систем с применением процедуры конечноразмерного скейлинга и учета ведущих поправок к асимптотической зависимости измеряемых величин.
6. Методика и результаты численного исследования влияния дефектов и эффектов их корреляции на неравновесное критического поведение трехмерных систем с многокомпонентным параметром порядка методом коротковременной динамики. Полученные данным методом для слабо неупорядоченных систем характеристики подтверждают результаты теоретико-полевого описания и проведенного моделирования равновесного критического поведения.
7. Возникновение при концентрациях спинов большей порога спиновой перколяции двух классов универсального критического поведения, отвечающих слабой и сильной неупорядоченности систем.
8. Методика и результаты теоретико-полевого описания мультикритического поведения сложных однородных и структурно неупорядоченных систем с двумя взаимодействующими параметрами порядка и исследования влияния поверхности на мультикритическое поведение в окрестности точки Лифшица.
Апробация работы Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: Second International Workshop on Cooperative Phenomena In Condenced Matter УQuantum Phases and Phase TransitionsФ (Pamporovo, Bulgaria, 2001); Международной зимней школе по теоретической физике УКоуровкаФ (Екатеринбург, 2002, 2004, 2006, 2008, 2010); Seminar der Stipendiaten des УMichail LomonosovФ Programms (Bonn, Germany, 2005); III международной конференции УФундаментальные проблемы физикиФ (Казань, 2005); IX конференции молодых ученых УПроблемы физики твердого тела и высоких давленийФ (Туапсе, 2006); 3rd International Workshop on Simulational Physics (Hangzhou, China, 2006); Молодежном семинаре по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2006, 2007, 2010); Международной конференции УФазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средахФ (Махачкала, 2007, 2009, 2010); International conference УRenormalization Group & Related TopicsФ (Dubna, 2008);
семинаре УМетоды численного моделирования актуальных задачФ (Москва, 2009).
Публикации По теме диссертации опубликовано 94 печатных работ, из которых 34 - статьи в ведущих международных и российских журналах, монография и 2 обзора в научных сборниках.
Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, семи глав и заключения. Объем диссертации - 336 страниц машинописного текста, в том числе 85 рисунков, таблиц и список цитируемой литературы из 332 наименований.
Краткое содержание работы Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертационной работы и сформулированы основные цели исследований.
В первой главе, носящей обзорный характер, в краткой форме излагается содержание ряда концепций и методов, применяемых для описания критических явлений. Основное внимание уделяется вопросам динамики критических явлений и влиянию замороженных дефектов на критическое поведение систем. Выделен теоретико-полевой метод описания, позволяющий наиболее последовательно описывать эффекты аномально сильного взаимодействия флуктуаций параметра порядка в окрестности критической точки. На основе анализа современного состояния теории критических явлений сделан ряд выводов и поставлены задачи для исследования.
Во второй главе осуществлено теоретико-полевое описание неравновесного критического поведения однородных и неупорядоченных систем с некоррелированными дефектами структуры.
В первом параграфе проведен расчет динамического критического индекса z, определяющего критическое замедление времени релаксации системы рел z |T - Tc|-z вблизи температуры Tc фазового перехода второго рода ( - корреляционная длина, - индекс корреляционной длины) в высоких порядках теории с применением методов суммирования.
Индекс z для однородной системы определяется на основе ренормгрупповых (РГ) функций (g) и (g):
z = 2 + (g), (1) где неподвижная точка g находится из уравнения (g) = 0. РГ функции (g) и (g) могут быть вычислены в виде рядов по g. Для размерности пространства d, близкой к четырем, координата неподвижной точки g функции (g) принимает малые значения. В этом случае применимы методы теории возмущений по константе связи g 4 - d и можно провести расчет критических индексов. Для реальных систем с d = 3, 2 ряды по g являются асимптотическими и для их суммирования нужно применять специальные методы, не основанные на представлениях теории возмущений. Явный вид (g) для трехмерных систем в шестипетлевом приближении и для двумерных систем в четырехпетлевом приближении был получен в работах (Байкер Г.А и др., 1976,1978), (Ле Гуйилоу, Зин-Жустен, 1977,1978)2. В работе (Прудников В.В. и др.,1997)был проведен расчет динамических скейлинговых функций для двумерной и трехмерной модели Изинга в четырехпетлевом приближении.
Асимптотическое поведение коэффициентов рядов теории подчиняется уравнению:
(g) = cngn, cn c(-a)nnbn![1 + O(1/n)] (n ). (2) n=Сшивка асимптотики (2) со значениями первых коэффициентов дает информацию обо всех членах ряда и позволяет приближенно восстановить функцию (g) при применении процедуры суммирования асимптотических рядов. Разработаны специальные методы суммирования подобных рядов, из которых наиболее эффективными показали себя методы Паде-Бореля, Паде-БореляЛероя и конформного отображения.
Данные методы суммирования были применены в диссертации к расчету динамического критического индекса z для однородной модели Изинга, описывающей критическое поведение систем с размерностями d = 2, 3. Процедура усреднения результатов с учетом аппроксимант порядка N 4 позволила получить следующие значения заряда g в неподвижной точке и индекса z при применении методов Паде-Бореля (ПБ) g = 1.7987(285), z = 2.0847(27) для G.A. Baker, B.G. Nickel, et.al. // Phys. Rev. Lett. 1976. - V.36. - P.1351; Phys. Rev. B. 1978. - V.17. P.1365.
J.C. Le Guillou, J. Zinn-Justin // Phys. Rev. Lett. 1977. - V.39. - P.95; Phys. Rev. B. - 1980. - V. 21. - P. 3976.
В.В. Прудников, А.В. Иванов, А.А. Федоренко // Письма в ЖЭТФ. 1997. - Т. 66. - С. 793.
d = 2, g = 1.4270(79), z = 2.0171(2) для d = 3; Паде-Бореля-Лероя (ПБЛ) g = 1.7012(163), z = 2.0757(15) для d = 2, g = 1.4125(49), z = 2.0168(1) для d = 3; и конформного Паде-Бореля (КБ) g = 1.8193, z = 2.0922 для d = 2, g = 1.4231(21), z = 2.0372(1) для d = 3. Полученные значения заряда g в неподвижной точке для d = 3 хорошо согласуются с результатом работы Ле Гийу, Зин-Жустина: g = 1.416(5). Усреднение приведенных выше значений, полученных разными методами, дает итоговые величины: g = 1.4205(38), z = 2.0213(18) для d = 3;
g = 1.7638(278), z = 2.0826(33) для d = 2.
При описании критического поведения неупорядоченных систем с замороженными некоррелированными дефектами структуры возникает дополнительная вершина взаимодействия v, определяющая эффекты взаимодействия флуктуаций параметра порядка через поле дефектов.
В этом случае РГ функции g и v представляются в виде двухпараметрических асимптотических рядов. Явный вид РГ функций g, v и был получен в работах (Пелисетто А., Викари Е., 2000)4 и (Прудников В.В. и др., 1998)5, соответственно, в шестипетлевом и трехпетлевом приближениях. В диссертации в модифицированных на двухпараметрический случай методах Паде-Бореля и Паде-Бореля-Лероя при суммировании ряда для функции 2 + использовалась наилучшая для них аппроксиманта третьего порядка [2/1], а в методе конформного Паде-Бореля - аппроксиманта [1/2]. Процедура усреднения координат неподвижной точки и индекса z при N 3 дала следующие значения:
ПБ : v = -0.7019(119), g = 2.2569(52), z = 2.1788(30);
ПБЛ : v = -0.7059(36), g = 2.2563(29), z = 2.1802(9);
КБ : v = -0.7070(108), g = 2.2410(245), z = 2.1786(29).
Полученные различными методами близкие значения координат неподвижной точки и индекса z, практически совпадающие в пределах погрешностей, говорят о достоверности полученных результатов. Усреднение данных значений, полученных разными методами, дало итоговые величины: v = -0.7050 0.0052, g = 2.2514 0.0081, z = 2.1792 0.0013.
Во втором и третьем параграфах проведено исследование влияния неравновесных начальных состояний на эволюцию намагниченности m(t) однородных и структурно неупорядоченных ферромагнитных систем. Представлены методика и результаты исследования процессов критической релаксации из начального неравновесного состояния системы, созданного при температурах много больших критической и характеризуемого поэтому малой корреляционной длиной, в сильно коррелированное состояние при критической температуре или близких к ней.
Как показано в работе (Янсен Г. и др., 1989)6, критическая эволюция системы из начального неравновесного состояния с малой намагниченностью m0 = m(0) 1 приводит к универсальному скейлинговому поведению для m(t) на коротковременном этапе ее критической эволюции и характеризуется аномальным увеличением намагниченности системы со временем, описыва емым степенным законом m(t) t. Вычисление показателя было осуществлено в работе (Янсен Г. и др.,1989) методами ренормгруппы и -разложения в двухпетлевом приближении.
Последующее исследование неравновесного поведения трехмерной модели Изинга в короткоPelissetto A., Vicari E. // Phys. Rev. B. - 2000. - V. 62. - P. 6393.
Прудников В. В., Белим С. В., Иванов А. В., и др. // ЖЭТФ. - 1998. - Т. 114. - С. 972.
Janssen H.K., Schaub B., Schmittmann B. // Z. Phys. B. - 1989. - V. 73. - P. 539.
Рис. 1. График неравновесной эволюции намагниченности m(t) из начального состояния с m0 = 0.для трехмерной модели Изинга при критической температуре Tc = 3.49948 для p = 0.8 (Прудников П.В. и др., Phys.Rev.E, 2010).
временном режиме методами компьютерного моделирования (Ястер А. и др., 1999)7 подтвердило предсказание теории о степенном характере эволюции намагниченности, однако определенное значение показателя = 0.108(2) находится в неудовлетворительном соответствии с теоретическим значением = 0.130, получаемым при непосредственной подстановке = 1, или значением = 0.138, получаемым при использовании метода Паде-Бореля для суммирования имеющегося очень короткого ряда по . В диссертации впервые был осуществлен расчет показателя коротковременной эволюции в следующем трехпетлевом приближении РГ теории в рамках метода -разложения и получено хорошее согласие с результатами компьютерного моделирования при применении метода Паде-Бореля для суммирования трехчленного ряда.
В соответствии с теорией скейлинга сингулярная часть потенциала Гиббса sing(t, , h, m0), определяющая состояние системы в критической области, характеризуется обобщенной однородностью относительно основных термодинамических переменных t h m sing(t, , h, m0) = bsing(ba t, ba , ba h, ba m0), времени t, приведенной температуры , поля h и начальной намагниченности m0, здесь b - фактор подобия, ai - показатели подобия. Как следствие этого, в критической точке ( = 0, h = 0) намагниченность m = -/h характеризуется следующей временной зависимостью h m m(t, m0) = t-(a +1)/atFm(m0t-a /at). (3) m Разложение правой части в (3) по малой величине m0t-a /at приводит к степенной зависимости h m(t) t-(a +am+1)/at t. Все ai, за исключением am, можно связать с известными критическими индексами, описывающими поведение системы без эффектов влияния неравновесных начальных состояний. Поэтому в работе (Янсен Г. и др., 1989) были введены новые динами ческие критические индексы и , характеризующие в коротковременном режиме неравно весное поведение функции отклика G(t, t) (t/t) и параметра порядка m(t) t и связанные скейлинговым соотношением = + (2 - z - )/z. Было показано, что при временах t > tcr m(0)-1/( +/z) начальный режим, характеризующийся увеличением намагниченности m(t), переходит в традиционный режим критической релаксации системы к равновесному состоянию. Этот этап критической релаксации характеризуется степенной временной зависимостью намагниченности m t-/z (рис. 1).
Jaster A., Mainville J., Schulke L., Zheng B. // J. Phys. A. - 1999. - V. 32. - P. 1395.
Для описания критического поведения однородных систем в состоянии равновесия используется модельный гамильтониан Ландау-Гинзбурга-Вильсона n n 1 g HGL[s] = ddx (s(x))2 + s2 (x) + s2 (x), (4) 2! 4! =1 =где s(x) - поле n-компонентного параметра порядка, - приведенная температура фазового перехода второго рода, g - амплитуда взаимодействия флуктуаций параметра порядка.
Пусть реализация в системе любой конфигурации параметра порядка в момент времени t определяется условием, что в начальный момент t = 0 для системы с начальной намагниченностью m0 распределение для поля параметра порядка s(x, 0) = s0(x) характеризуется функцией распределения P [s0] exp(-H0[s0]), где H0[s0] = ddx s0(x) - m0(x). (5) Будем рассматривать случай чисто релаксационной динамики параметра порядка (модель А)8, задаваемой уравнением Ланжевена HGL[s] ts(x, t) = - + (x, t), (6) s где - кинетический коэффициент, (x, t) - гаусcовая случайная сила, моделирующая короткоживущие возбуждения, с моментами (x, t) = 0; (x, t)(x, t) = 2 (x - x)(t - t).
В рамках теоретико-полевого описания динамики критических явлений (Бауш Р. и др., 1976) вводится вспомогательное поле s(x) и производящий функционал W [h, h] для динамических корреляционных функций C(x1, t1, x2, t2) и функций отклика G(x1, t1, x2, t2) в виде 2W [h, h] 2W [h, h] C(x1, t1, x2, t2) =, G(x1, t1, x2, t2) =, h(x1, t1)h(x2, t2) h(x1, t1)h(x2, t2) h,h= h,h= n W [h, h] = ln D(s, is) exp (-L[s, s] - H0[s0]) exp ddx dt (hs + hs), (7) =в котором функционал действия L системы характеризуется выражением:
n n g L[s, s] = dt ddx s + ( - 2)s + s s2 - . (8) s =1 =Рассмотрение гауссовой составляющей функционала (8) при g = 0 позволяет при граничном условии Дирихле (0 = ) получить выражения для затравочной функции отклика G0(p, t - t) (D) и затравочной корреляционной функции C0 (p, t, t) :
(D) (e) (i) G0(p, t - t) = exp[-(p2 + )|t - t|], C0 (p, t, t) = C0 (p, t - t) + C0 (p, t + t), (9) exp [-(p2 + )|t - t|] exp [-(p2 + )(t + t)] (e) (i) C0 (p, t - t) =, C0 (p, t + t) = -. (10) p2 + p2 + При РГ анализе модели для устранения возникающих в пределе 0 при учете взаимодействия критических флуктуаций параметра порядка расходимостей в динамических корреляционных функциях и функциях отклика была применена процедура размерной регуляризации и схема Hohenberg P.C. and Halperin B.I. // Rev.Mod.Phys. - 1977. - V. 49. - P. 435.
Bausch R., Janssen H.K., Wagner H. // Z. Phys. B. - 1976. - V. 24.- P. 113.
Рис. 2. Диаграммы, определяющие вклад в вершинную функцию (eq). Линиям соответствует равно1,весный коррелятор (10), линиям со стрелкой - затравочные функции отклика. УПоверхностьФ t = 0 обозначена вертикальной чертой.
минимальных вычитаний с последующим переопределением параметров гамильтониана и мультипликативной перенормировкой полей в (7):
1/s Z1/2s, s Zs s, s0 (ZsZ0)1/2 s0, s (11) -1 - (Zs/Zs)1/2 , Zs Z2, g ZgZs g, где = 4 - d, - размерный параметр. За счет введения в теорию начальных условий вида (5), возникает необходимость в перенормировке функции отклика s(p, t)s0(-p, 0), задающей влияние начальных состояний системы. Поправочные слагаемые в собственно-энергетической части функции отклика, возникающие за счет эффектов взаимодействия флуктуаций параметра порядка, характеризуются приводимыми динамическими диаграммами Фейнмана, поскольку их вычисление осуществляется с использованием коррелятора (9), не обладающим свойством трансляционной инвариантности во времени. В работе (Г.Янсен и др.,1989) было введено следующее представление для данной функции отклика:
t G(i) (p, t) = s(p, t)s0(-p, 0) = dt 1,1(p, t, t) (i) (p, t)[s ]. (12) 1,1 1,0 Одночастичная вершинная функция (i) (p, t)[s ] с одной вставкой поля s0 в трехпетлевом при 1,0 ближении описывается диаграммами, характеризуемыми требованием, чтобы они содержали (i) хотя бы один коррелятор C0. Множитель 1,1(p, t, t) определяется равновесной составляющей (e) коррелятора C0 в (9). Отметим, что он отличен от равновесной функции отклика G(eq)(p, t - t) 1,по причине интегрирования в (12) по времени от начального момента с t = 0 вместо t = -.
Между ними можно установить функциональную связь, вводя вместо функционала (5) функционал HGL[s0] (4) с новой вершиной взаимодействия в функционале действия (8) n g dt ddx (s0s0) (s0)2. (13) ,=За счет усреднения по начальным полям возникает дополнительная вершинная функция (eq), 1,локализованная на Уповерхности Ф t = 0. Подобно (12), имеет место следующее выражение:
t G(eq)(p, t - t) = dt1,1(p, t, t)(eq)(p, t)[s(t )]. (14) 1,1 1,t t Решив интегральное уравнение (t-t) = dtK(q, t, t)(eq)(q, t)[s(t )] в каждом порядке теории 1,t было найдено его ядро K(q, t, t), флуктуационные поправки к которому для данной модели возникают только в третьем порядке теории (рис.2). Используя выражения (12) и (14), а также осуществляя перенормировку полей в соответствии с (11), можно установить следующее выражение для определения перенормировочной константы Z0:
Таблица 1. Результаты расчета индекса для моделей Изинга и XY Модель 2-петлевое приближение 3-петлевое приближение Подст. = 1 Метод ПБ Подст. = 1 Метод ПБ Комп. моделирование Модель Изинга 0.130 0.138 0.0791 0.1078(22) 0.108(2)XY-модель 0.154 0.170 0.0983 0.1289(23) 0.144(10) -1/ Z0 dte-it1,0(q = 0, t)[s ], (15) из требования устранения полюсов по в данном выражении в каждом порядке теории, т.е. конечности выражения (15) в пределе 0. Последовательная реализация изложенной процедуры и расчет диаграмм с использованием метода -разложения позволили вычислить константу перенормировки Z0 в трехпетлевом приближении:
g 2 n + n + 2 g n + 2 n + 5 Z0 = 1 + + + ln 2 - + (n + 5)(n + 6) + 6 12 3 2 2 g 1 + (-19 + 9 ln 2)(n + 2) + (-7 + 6 ln 2)(n + 8) - 1.18679(n + 3.13882)2. (16) 6 3 Для коротковременого режима неравновесной критической релаксации принципиально новой является лишь РГ функция 0, которая в трехпетлевом приближении, как показали наши расчеты, принимает следующее выражение n + 2 0 = - g 1 + ln 2 - g - 0.0988989 (n + 3.13882) g2 + O(g4). (17) 6 При определении значения индекса были использованы результаты работы (Кляйнерт Г. и др., 1991)10 по определению координаты устойчивой неподвижной точки g и полученное нами выражение для динамического критического индекса z:
2 4 n + 2 6(3n + 14) z = 2 + 6 ln - 1 1 + - 0.4384812. (18) 2 3 (n + 8)2 (n + 8)В итоге выражение для критического индекса принимает следующий вид:
(n + 2) 6 3 7.2985 = 1 + n + 3 + (n + 8) ln - n3 + 17.312n2 + 153.267n + 383.54(n + 8) (n + 8)2 2 (n + 8)(19) К ряду (19) для индекса был применен метод суммирования Паде-Бореля (ПБ). Полученные результаты представлены в табл. 1.
Проведенное сопоставление значений с результатами компьютерного моделирования моде11 лей Изинга (Ястер A. и др., 1999) и XY (Прудников П.В. и др., 2007) наглядно демонстрирует, что результаты расчета в трехпетлевом приближении находятся в гораздо лучшем согласии с результатами компьютерного моделирования, чем результаты двухпетлевого приближения.
Третий параграф главы посвящен исследованию одновременного влияния эффектов нарушения пространственной трансляционной симметрии системы, создаваемых присутствием дефектов структуры, и эффектов нарушения временной трансляционной симметрии, обусловленKleinert H., Neu J., Schulte-Frohlinde U., et. al. // Phys.Lett. B. - 1991. - V. 272. - P. 39.
Jaster A., Mainville J., Schulke L., Zheng B. // J.Phys.A: Math.Gen. - 1999. - Vol. 32. - P. 1395.
Прудников П.В., Гергертд Е.А. и др. // Вестник ОмГУ. - 2007. - Вып. 4. - С. 32.
ных неравновесными начальными условиями системы, на характеристики аномально медленного неравновесного критического поведения различных систем.
Для описания критического поведения структурно неупорядоченных изинговских систем в состоянии равновесия используется модельный гамильтониан Ландау-Гинзбурга-Вильсона 1 g HGL[s] = ddx (s(x))2 + (x)s2(x) + s4(x), (20) 2! 4! где s(x) - поле параметра порядка, (x) - приведенная случайная локальная температура фазового перехода второго рода, g - амплитуда взаимодействия флуктуаций параметра порядка.
Случайную температуру можно представить в виде (x) = +V (x), где - приведенная температура фазового перехода для однородной системы, а V (x) - потенциал случайного поля дефектов.
Пространственное распределение системы замороженных некоррелированных дефектов характеризуется гауссовым распределением P [V ] и полностью определяется значениями первого и второго моментов для случайных величин V (x):
V (x) = 0, V (x)V (y) = v(x - y), (21) где v -положительная константа, пропорциональная концентрации дефектов и квадрату величины их потенциала.
В соответствии с теоретико-полевым подходом вводится производящий функционал W [h, h] W [h, h] = ln D(s, is)P [V ] exp (-LV [s, s, V ] - H0[s0]) exp ddx dt(h + hs), (22) s в котором функционал действия LV [s, s, V ] неупорядоченной системы характеризуется выраже нием:
s(x, t) HGL[s] LV [s, s, V ] = dt ddx s + - . (23) s t s(x, t) В (22) можно осуществить усреднение по случайным полям дефектов V (x) P [V ] exp (-LV [s, s, V ]) = exp (-L[s, s]) (24) и получить функционал действия L[s, s], независящий от случайных полей V (x) и являющийся трансляционно инвариантным:
s g L[s, s] = dt ddx s + ( - 2)s + s3 - - v dt ddx ss. (25) s t 6 0 Вычисление всех констант перенормировки Zi при фиксированной размерности системы d = 3, кроме Z0, проведено в работе (Прудников В.В. и др., 1998)13. В диссертации представлен расчет Z0 для неупорядоченных систем в двухпетлевом приближении теории при d = 3.
За счет введения в теорию начальных условий вида (5), возникает необходимость в перенормировке функции отклика s(p, t)s0(-p, 0), задающей влияние начальных состояний системы.
По аналогии с однородными системами для описания поправочных слагаемых в собственноэнергетической части функции отклика за счет эффектов взаимодействия флуктуаций параметра порядка вводится в соответствии с (18) одночастичная вершинная функция (i) (p, t)[s ] 1,0 Прудников В.В., Белим С.В., Иванов А.В. и др. // ЖЭТФ. - 1998. - Т. 114. - С. 972.
Рис. 3. Диаграммы, определяющие вклад в вершинные функции (i). Линиям соответствуют корре1,(i) ляторы C0, линиям со стрелкой - функции отклика G0, вершинам g - жирная точка, v волнистая линия.
с одной вставкой поля s0. Она в двухпетлевом приближении описывается диаграммами, пред ставленными на рис. 3 и характеризуемыми требованием, чтобы они содержали хотя бы один (i) коррелятор C0. Множитель 1,1(p, t, t) в (18) определяется равновесной составляющей корре(e) лятора C0 в (9). Отметим, что он отличен от равновесной функции отклика G(eq)(p, t - t) по 1,причине интегрирования в (12) по времени от начального момента с t = 0 вместо t = -.
Между ними можно установить функциональную связь, если вместо функционала (5) ввести функционал HGL[s0] (20) с новыми вершинами взаимодействия в функционале действия (25) g dt ddx s0s3 - v dt ddx (s0s0). (26) 6 За счет усреднения по начальным полям возникает дополнительная вершинная функция (eq), 1,локализованная на УповерхностиФ t = 0. От первого слагаемого в (26), как показано в (Прудников П.В. и др., 2008)14, флуктуационные поправки в (eq) возникают только начиная с трехпет1,левого приближения, в то время как за счет второго слагаемого в (26), обусловленного влиянием структурных дефектов, флуктуационные поправки в (eq) возникают уже начиная с двухпетле1,вого приближения (рис. 4). Для определения константы Z0 зададим следующее нормировочное соотношение :
-1/Z0 R (p = 0, i/2 = 2) = 1, (27) 1,где R (p, ) - Фурье-образ перенормированной одночастичной вершинной функции 1,0(p, t), 1,рассчитываемой в удобной для нормировки точке с импульсом p = 0 и частотой i/2 = 2.
Последовательная реализация изложенной процедуры и расчет диаграмм при d = 3 позволили вычислить константу перенормировки Z0 и РГ функцию 0 в двухпетлевом приближении:
2 2 Z0 = 1 + gR + 0.012682gR - 0.608932gRvR, 0 = - gR + 0.457127gR - 0.614995gRvR, (28) 3 где gR и vR - перенормированные константы связи. Неподвижная точка РГ преобразований (g, v) определяется из уравнений: g(g, v) = 0, v(g, v) = 0. В результате, для неупорядоченной модели Изинга были получены следующие выражения для динамических критических индексов:
z = 2 - 0.25v + 0.00840(g)2 + 0.030862gv + 0.053240(v)2, (29) = g - 0.1142817(g)2 + 0.174582gv, = g + 0.125v - 0.123968(g)2 + 0.14680608gv - 0.0156245(v)2.
Прудников П.В., Прудников В.В., Калашников И.А., Циркин С.С. // ЖЭТФ. - 2008. - Т. 133. - С. 1251.
Рис. 4. Диаграммы, определяющие вклад в вершинную функцию (eq).
1,Для дальнейших вычислений нами были использованы значения констант связи в неподвижной точке с g = 2.2514(42), v = 0.7049(13), определенные в работе (Прудников П.В. и др.,2006) и представленные во второй главе диссертации. Для получения физически разумных значений критических индексов к рядам (29) были применены методы суммирования Паде-Бореля, ПадеБореля-Лероя и конформного отображения. В результате были вычислены следующие значения z и : z = 2.2009867, = 0.091898 (ПБ); z = 2.198340, = 0.120284 (ПБЛ при значении пара метра b = 2.221426 (Прудников П.В. и др., 2006)); z = 2.205156, = 0.104441 (КБ).
Итоговые средние значения критических индексов:
z = 2.202(2); = 0.106(8).
Отметим, что данные значения динамического критического индекса z, вычисленные в двухпетлевом приближении, превышают его значения (со средним z = 2.1792(13)), рассчитанными в (Прудников П.В. и др., 2006; Прудников В.В. и др., 1998) в трехпетлевом приближении теории с применением различных методов суммирования. Это служит отражением наблюдаемых в рядах теории критических явлений осциллирующих в каждом последующем порядке теории отклонений суммы ряда от его асимптотического значения, уменьшающихся с ростом порядка теории за счет применения обоснованных методов суммирования. Полученные значения критического индекса z находятся в прекрасном согласии со значением z = 2.18(10), выявленным экспериментально в (Розов Н. и др., 1992)15 методом мессбауэровской спектроскопии в результате высоко прецезионного измерения динамического уширения мессбауэровских линий в слабо разбавленном образце изинговского магнетика Fe0.9Zn0.1F2.
Третья глава посвящена компьютерному моделированию критического поведения трехмерных спиновых систем с некоррелированными дефектами структуры.
В первом параграфе главы осуществлено компьютерное моделирование неупорядоченной трехмерной модели Изинга, определены функциональная форма скейлинговых функций и значения критических температур и критических индексов.
Рассматривается модель неупорядоченной спиновой системы в виде кубической решетки с линейным размером L и наложенными граничными условиями. Микроскопический гамильтониан неупорядоченной модели Изинга записывается в виде H = -J pipjSiSj, (30) i,j где J > 0 - короткодействующее обменное взаимодействие между закрепленными в узлах решетки спинами Si, принимающими значения 1. Немагнитные атомы примеси образуют пустые узлы. Числа заполнения pi принимают значения 0 или 1 и описываются функцией распределения P (pi) = (1 - p)(pi) + p(1 - pi) (31) с p = 1 - c, где c - концентрация атомов примеси. Примесь равномерно распределяется по всей системе, и при моделировании ее положение фиксируется для отдельной примесной конфигуRosov N., Hohenemser C., Eibschutz M. // Phys. Rev. B. - 1992. - V. 46. - P. 3452.
рации. В процессе исследования были рассмотрены неупорядоченные системы со значениями спиновых концентраций p = 0.95, 0.80, 0.60, 0.50.
Для снижения влияния эффектов критического замедления и корреляции различных спиновых конфигураций в работе был применен наиболее эффективный в этом смысле однокластерный алгоритм Вольфа. За один шаг Монте-Карло на спин (MCS/s) принималось от 10 до 20 переворотов кластера Вольфа в зависимости от линейного размера моделируемой решетки, спиновой концентрации системы и близости температуры к критической точке. Процедуре установления термодинамического равновесия в системе отводилось 104 MCS/s и 105 MCS/s отводилось на статистическое усреднение моделируемых величин при заданной примесной конфигурации. Для определения средних значений термодинамических и корреляционных функций наряду со статистическим усреднением применялось усреднение по различным примесным конфигурациям: для систем с p = 0.95 усреднение проводилось по 3000 образцов, для p = 0.по 5000 образцов, для p = 0.60, 0.50 по 10000 образцов.
В процессе моделирования различных спиновых систем на решетках с линейным размером L осуществлялся расчет корреляционной длины L и восприимчивости L в соответствии со следующими соотношениями:
1 = - 1, = S2, (32) 2 sin(/L) F pL 3 2ixn,i где S = pii, F = [ ] /pL3, = pii exp, (x1,i, x2,i, x3,i) - координаты n=1 i 3 L i i-го узла решетки,... означает статистическое усреднение по шагам Монте-Карло, а [... ] усреднение по примесным конфигурациям. Была определена температурная зависимость L(T ) и L(T ) в интервале = (T - Tc)/Tc 5 10-4 - 10-2 для образцов с p = 0.95 и линейными размерами в интервале L = 20 - 400, для образцов с остальными спиновыми концентрациями температуры и линейные размеры решеток выбирались в интервалах 10-3 - 10-2 и L = 20 - 300. Значение Lmax для каждой температуры ограничивалось решеткой, для которой корреляционная длина и восприимчивость выходили на свои асимптотические значения.
Т.к. аномалии характеристик фазового перехода второго рода проявляются лишь в термодинамическом пределе, то для определения асимптотических значений термодинамических величин A(T ) по их значениям AL(T ), определяемым на конечных решетках, применяются различные методы конечноразмерного скейлинга. В диссертации был применен метод, предложенный в (Ким Ж.К. и др., 1996)16 для анализа результатов моделирования критического поведения двумерной и трехмерной однородных моделей Изинга.
Согласно теории скейлинга, размерная зависимость величины AL в отсутствие внешнего магнитного поля может быть представлена в критической области в виде AL(T ) = A(T )QA(xL(T )), xL(T ) = L(T )/L. (33) Это приводит к соотношению, позволяющему определять асимптотическое значение A(T ) на основе измеряемых значений AL и скейлинговой функции QA от xL(T ) = L(T )/L. Скейлинговая функция QA(xL) в критической области должна удовлетворять асимптотическому условию lim QA(x) 1. С учетом этого скейлинговые функции для восприимчивости и корреляционной xKim J.K., de Souza A.J., Landau D.P. // Phys. Rev. E. - 1996. - V. 54. - P. 2291.
Рис. 5. Усредненные скейлинговые функции для корреляционной длины (а) и восприимчивости (б), полученные с использованием полиномиальной от x (символы) и от exp(-1/x) (сплошные линии) аппроксимаций длины выбирались в виде полиномиальной зависимости от x: QA(x) = 1 + cnxn, и полиноn= миальной функции от экспоненты e-1/x: QA(x) = 1 + cne-n/x, с подбираемыми по методу n=наименьших квадратов коэффициентами cn для каждой температуры T. На рис. 5 представлены усредненные по различным температурам скейлинговые функции для корреляционной длины (рис. 5(a)) и восприимчивости (рис. 5(б)) для различных полиномиальных аппроксимаций и спиновых концентраций p. Данные скейлинговые функции наглядно демонстрируют существование двух классов универсального критического поведения для разбавленной модели Изинга с различным характером их поведения для слабо (p = 0.95, 0.80) и сильно (p = 0.60, 0.50) неупорядоченных систем. На основе усредненных скейлинговых функций был проведен расчет асимптотических значений (T ) и (T ), отвечающих T = 4.265 4.335 для p = 0.95, T = 3.51 3.для p = 0.80, T = 2.430 2.460 для p = 0.60 и T = 1.851 1.874 для p = 0.50.
Асимптотический критический индекс термодинамической величины A() описывается выражением ln A() = - lim, A() = A||-, (34) ln || где A+ и A- - критические амплитуды выше и ниже критической точки, соответственно. Степенной закон типа (34) является точным лишь в пределе 0. Для расчета критических индексов в промежуточном неасимптотическом режиме необходимо вводить дополнительные поправочные слагаемые к степенному закону (34). В соответствии с разложением Вегнера A() = A0 + A1 + A22 +... - ( > 0), (35) где Ai - неуниверсальные амплитуды, - критический индекс поправки к скейлингу. В диссертации для расчета характеристик учитывалась только первая ведущая поправка к асимптотическому поведению для корреляционной длины и восприимчивости:
() = - A + A, () = - (A + A), = . (36) 0 1 0 Был проведен расчет значений критических индексов , и , а также критических температур, используя метод наименьших квадратов для наилучшей аппроксимации асимптотических значений (T ) и (T ) выражениями (36). В табл. 2 представлены усредненные по применяемым аппроксимациям значения критических характеристик для различных спиновых концентраций p. Видно, что критические индексы образуют две группы, близкие по значениям в пределах погрешностей вычисления: одна группа с p = 0.95, 0.80, т. е. для слабо неупорядоченных систем со спиновыми концентрациями p, большими порога примесной перколяции pimp (для кубичеТаблица 2. Усредненные значения критических характеристик p Tc p=0.95 0.6909(33) 1.3385(54) 0.137(56) 4.26267(4) p=0.80 0.6956(29) 1.3447(40) 0.178(87) 3.49948(18) p=0.60 0.7253(36) 1.4154(107) 0.199(103) 2.42413(9) p=0.50 0.7370(33) 1.4283(33) 0.207(100) 1.84509(6) ских систем pimp = 0.69), другая с p = 0.60, 0.50, т. е. для сильно неупорядоченных систем с pc < p < pimp, где pc - порог спиновой перколяции (для кубических систем pc = 0.31), когда в системе существуют два взаимопроникающих протекающих кластера - спиновый и примесный. Фрактальные эффекты этих двух пронизывающих друг друга кластеров могут явиться причиной изменения характера критического поведения для сильно неупорядоченных систем.
В качестве итоговых можно рассматривать усредненные значения критических индексов = 0.693(5), = 1.342(7), = 0.157(92) для слабо неупорядоченных систем и = 0.731(11), = 1.422(12), = 0.203(106) для сильно неупорядоченных систем. Отметим, что значения индексов для слабо неупорядоченных систем хорошо соотносятся со значениями = 0.678(10), = 1.330(17), = 0.170(71) ( = 0.25(10)), рассчитанными в (Пелисетто А., Викари Э., 2000) РГ методами в шестипетлевом приближении.
Полученные в диссертации значения критических индексов и находятся также в достаточно хорошем согласии с имеющимися результатами экспериментальных исследований разбавленных изингоподобных магнетиков и с результатами моделирования методом Монте-Карло критического поведения разбавленной модели Изинга (Фольк Р. и др., 2003)17.
Во втором параграфе главы представлено численное исследование влияния неравновесных начальных состояний на эволюцию намагниченности m(t) ферромагнитной структурно неупорядоченной системы в критической точке.
В соответствии с работами (Янсен Г., 1989; Ястер А., 1999) при описании неравновесного критического поведения спиновой системы с начальным значением намагниченности m0 выражение для k-го момента намагниченности системы уже после микроскопически малого промежутка времени хаотизации tmic может быть описано следующим скейлинговым выражением:
m(k) (t, , L, m0) = b-k/m(k) b-zt, b1/, b-1L, bx m0, (37) где t - время, = (T - Tc)/Tc, b - произвольный масштабный фактор, L - линейный размер решетки, , , z - известные критические индексы, x0 - новый независимый критический индекс, задающий масштабную размерность начального значения намагниченности m0. На ранней стадии эволюции системы корреляционная длина еще достаточна мала и конечность размера моделируемой системы оказывается не существенной. Полагая в (37) b = t1/z, для первого момента намагниченности (k = 1) и малой величины m0t1/z получаем следующее выражение:
m(t, , m0) m0t F (t1/z, tx /zm0) = m0t (1 + at1/z) + O(2, m2), где = (x0 - /)/z. Для 0 и достаточно малых t получаем асимптотическое поведение m(t) t. Временной интервал увеличения намагниченности tcr m-z/x заметно растет с Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. // УФН. - 2003. - Т. 173. - С. 175.
уменьшением m0. С течением времени коротковременная динамика увеличения параметра порядка сменяется на привычную долговременную динамику уменьшения параметра порядка со временем по степенному закону m(t) t-/z.
Для численного определения показателя была рассмотрена неупорядоченная модель Изинга (30), задаваемая на кубической решетке с линейным размером L = 128 и наложенными граничными условиями. Для моделирования спиновых конфигураций в системе был применен алгоритм Метрополиса. Алгоритм Метрополиса, реализующий динамику односпиновых переворотов, наилучшим образом соответствует релаксационной модели в классификации ГальперинаХоэнберга и позволяет провести сравнение результатов моделированиия и проведенного во второй главе ренормгруппового описания.
В данном параграфе представлены результаты численного исследования неравновесного поведения слабо неупорядоченной системы со спиновой концентрацией p = 0.80 и сильно неупорядоченной с p = 0.60. Осуществлялось численное определение временной зависимости k-го момента намагниченности m(k)(t) в виде k Ns m(k)(t) = piSi(t), (38) Ns i где Ns = pL3 - число спинов в решетке. Проводилось усреднение вычисляемых величин по 40различным примесным конфигурациям с 25 прогонками для каждой примесной конфигурации.
Для независимого вычисления динамических критических индексов и z, а также отношения статических критических индексов / на каждом этапе эволюции системы наряду с намагниченностью (k = 1) определялись автокорреляционная функция Ns A(t) = piSi(t)Si(0), (39) Ns i и второй момент намагниченности m(2)(t). Их скейлинговый анализ показывает (Ястер А. и др., 1999), что при m0 = 0 и T = Tc данные величины характеризуются степенной зависимостью от времени a A(t) t-c, M(2)(t) tc, (40) где ca = d/z - , c2 = (d - 2/)/z, d - размерность системы.
Моделирование осуществлялось при критических температурах Tc = 3.49948(18) и 2.42413(9) для систем с p = 0.80 и 0.60, соответственно, определенными при Монте-Карло исследованиях неупорядоченной модели Изинга в равновесном состоянии (Прудников П.В. и др., 2007).
Временное поведение намагниченности с начальными значениями m0 = 0.01, 0.02 и 0.03 исследовалось на временах до 1000 МCS/s. На рис. 6a представлены в двойном логарифмическом масштабе временные зависимости для намагниченности системы m(t) для различных спиновых концентраций при моделировании из начального состояния с m0 = 0.01 для случая p = 0.8 и с m0 = 0.005 для p = 0.6. Они позволяют определять показатели (m0) и их асимптотическое значение (m0 0) на основе линейной аппроксимации значений (m0) при m0 0.
На рис. 6 для данных систем, стартующих из неравновесного начального состояния с близким к нулю значением m0 = 0.0001, представлены временные зависимости для второго момента намагниченности (Рис. 6б) и автокорреляционной функции (Рис. 6в), изображенные в двойном логарифмическом масштабе. Анализ данных зависимостей позволяет определять значения Рис. 6. Временные зависимости для намагниченности m(t) при эволюции из начального состояния m0 (a), второго момента m(2)(t) (б) и автокорреляционной функции A(t) (в).
показателей ca и c2 в соответствии с (40). На временных зависимостях данных величин могут быть выделены по два линейных участка: для временных интервалов в среднем от 10 до MCS/s и от 300 до 800 MCS/s. Это связано с наблюдаемым уже при моделировании структурно неупорядоченных систем с линейными дефектами (Прудников П.В. и др., 2007) явлением кроссовера, т.е. перехода от критического поведения, характерного для однородных систем, к поведению, характеризуемого влиянием дефектов структуры. Был проведен расчет показателей для каждого линейного участка исследуемых величин.
При анализе был также осуществлен учет поправок к асимптотической зависимости измеряемых величин за счет влияния конечности моделируемых систем и неточности в определении их критической температуры. Учет данных поправок к скейлингу позволяет получать корректные значения критических индексов. Для этого были применены следующие выражения для временной зависимости наблюдаемых величин:
X(t) t(1 + Axt-/z), (41) где AX - неуниверсальные амплитуды, является хорошо известным критическим индексом поправки к скейлингу, а показатель = в случае X m(t), = -ca в случае X A(t) и = c2 в случае X m(2)(t). Для расчета значений критических индексов , ca, c2 и /z на временном интервале, соответствующем влиянию структурного беспорядка, был использован метод наименьших квадратов для наилучшей аппроксимации значений m(t), A(t) и m(2)(t) выражением (41). Процедура заключалась в следующем: 1) временной интервал проявления влияния дефектов структуры разбивался на всевозможные участки t, начиная от участков с t = до участков с t = 550; 2) на каждом из участков t осуществлялось определение значения показателя при фиксированном значении /z; 3) найденные значения усреднялись по выбранным участкам с определением среднего значения и погрешности аппроксимации ; 4) показатель /z определялся из условия минимальности значений относительных погрешностей проведенных аппроксимаций.
Наряду с аппроксимационной погрешностью для показателей определялась их статистическая погрешность. Для этого общее количество используемых для усреднения примесных конфигураций делилось на 4 группы. Для каждой из групп вычислялись показатели , ca и c2, а затем определялись отклонения от показателей, найденных при использовании усредненных по общему числу примесных конфигураций значений m, A и m(2). Полученные значения критических индексов представлены в табл. 3.
В случае исследования влияния неравновесного состояния с начальным значением намагниPrudnikov P.V., Prudnikov V.V., Zheng B. et.al. // Progr. Theor. Phys. - 2007. - V. 117. - P. 973.
Рис. 7. Временные зависимости для намагниченности m(t) (а), кумулянта U2(t) (б) и логарифмической производной намагниченности ln m(t)| =0 (в) для различных спиновых концентраций p.
ченности m0 = 1 не возникает зависимости характеристик неравновесного критического поведе ния от нового динамического показателя . Исследования показали, что динамический процесс, начинающийся с полностью упорядоченного состояния (m0 = 1), более предпочтителен из-за меньшего влияния флуктуаций на результаты. В критической области 1 для временного поведения намагниченности справедлива следующая зависимость m(t, ) = t-/zm(1, t1/z) = t-/z 1 + at1/z + O(2), (42) где в пределе 0, оно приобретает вид:
m(t) t-/z. (43) Представляя (42) в виде ln m(t, ) = (-/z) ln t + ln m(1, t1/z) и дифференцируя по можно получить соотношение для логарифмической производной намагниченности ln m(t, )|=0 t1/z. (44) Другой характеристической величиной, определяющей неравновесное критическое поведение является кумулянт Биндера, характеризуемый выражением U2(t) = m(2) (m)2 - 1. (45) Размерный анализ показывает, что в критической точке поведение кумулянта Биндера описывается степенным законом U2(t) td/z. Численное определение намагниченности, ее логарифмической производной и кумулянта Биндера позволяет рассчитать динамический индекс z и статические индексы и .
Осуществлялось моделирование кубических решеток с размерами L = 128 при критических температурах Tc = 4.26267, 3.49948, 2.42413 и 1.84509 для систем со спиновыми концентрациями p = 0.95, 0.80, 0.60 и 0.50, соответственно. Временное поведение намагниченности и кумулянта Биндера исследовалось для слабо неупорядоченных систем на временах до 1200 МCS, а для сильно неупорядоченных систем на временах до 3000 МCS. Для систем с p = 0.95 проводилось усреднение вычисляемых величин по 6000 различным примесным конфигурациям, с p = 0. - по 50000, p = 0.60 - по 10000 и p = 0.50 - по 7000 примесным конфигурациям. Для вычисления логарифмической производной ln m осуществлялся расчет намагниченности для двух температур, смещенных относительно Tc на интервал T = 0.005.
На рис. 7 представлены в двойном логарифмическом масштабе усредненные временные зависимости для намагниченности m(t) (рис. 7a), кумулянта U2(t) (рис. 7b) и логарифмической производной намагниченности ln m(t) для спиновых концентраций p = 0.95, 0.80, 0.60, 0.50.
Таблица 3. Значения критических индексов и сравнение их с результатами компьютерного моделирования (MC), теоретико-полевого описания (FTM) и эксперимента (exp) z / p = 0.95, m0 = 1 2.185(25) 0.533(13) 0.668(14) 0.356(6) 0.369(96) p = 0.80, m0 = 1 2.208(32) 0.508(17) 0.685(21) 0.348(11) 0.404(110) p = 0.80, m0 1 2.191(21) 0.127(16) 0.504(14) 0.256(55) p = 0.60, m0 = 1 2.525(15) 0.496(15) 0.682(13) 0.339(12) 0.286(10) p = 0.50, m0 = 1 2.664(37) 0.443(7) 0.760(30) 0.337(19) 0.242(4) p = 0.60, m0 1 2.589(52) 0.167(18) 0.485(18) 0.461(55) Pelissetto, Vicari, 2000; (FTM) 0.515(15) 0.678(10) 0.349(5) 0.25(10) Prudnikov, et.al., 2006; (FTM) 2.1792(13) Rosov, et.al., 1988,1992 FepZn1-pF2 p = 0.9; (exp) 2.18(10) 0.350(9) Slani et.al., 1999, FepZn1-pF2 p = 0.93; (exp) 0.70(2) c, Prudnikov, Vakilov, 1992, p = 0.95, 2.19(7) p = 0.80, 2.20(8) p = 0.60, 2.58(9) p = 0.40; (MC) 2.65(12) Wiseman, Domany, 1998, p = 0.80, 0.505(2) 0.682(2) p = 0.60; (MC) 0.437(21) 0.717(6) Ballesteros, et.al., 1998, p = 0.90 0.40; (MC) 0.519(8) 0.684(5) 0.355(3) 0.370(63) Parisi, et.al., 1999, p = 0.90 0.40 (MC) 2.62(7) 0.50(13) Murtazaev, et.al., 2004, p = 0.95, 0.646(2) 0.306(3) p = 0.9, 0.664(3) 0.308(3) p = 0.8, 0.683(4) 0.310(3) p = 0.6 (MC) 0.725(6) 0.349(4) Schehr, Paul, 2006; (MC) 0.10(2) Hasenbusch, et.al., 2007, p = 0.8; (MC) 2.35(2) Prudnikov, et.al., 2007, p = 0.95 0.80, 0.532(12) 0.693(5) 0.26(13) p = 0.60 0.50; (MC) 0.524(13) 0.731(11) 0.28(15) В слабо неупорядоченных системах с p = 0.95; 0.80 в отличие от поведения однородных систем может быть выявлено два универсальных динамических режима со степенным временным изменением m(t), U2(t) и ln m(t), а именно: на раннем временном интервале t = [20, 200] реализуется поведение, соответствующее поведению однородной системы, определяемое индексом z = 2.03(1), а лишь затем, проходя через режим кроссоверного поведения, реализуется режим поведения неупорядоченной системы. Для сильно неупорядоченных систем динамического режима с характеристиками однородной системы не наблюдается. При определении показателей был проведен учет ведущих поправок к асимптотической зависимости измеряемых величин, согласно (41). В табл. 3 приведены полученные итоговые значения критических показателей.
На основе проведенных в данном параграфе численных исследований (табл. 3) можно сделать следующие выводы: слабо и сильно неупорядоченные системы принадлежат к различным классам универсальности критического поведения с несовпадающими в пределах статистиче ских погрешностей значениями критических индексов и z; полученные значения индексов для слабо неупорядоченных систем находятся в хорошем согласии с результатами теоретикополевого описания и компьютерного моделирования другими методами, а также согласуются с результатами экспериментальных исследований изинговских неупорядоченных магнетиков.
В четвертой главе осуществлено ренормгрупповое описание модели слабо неупорядоченной системы с введенным потенциалом взаимодействия четвертого порядка по флуктуациям параметра порядка, задающим нарушение репличной симметрии (НРС), и описываемой тремя вершинами взаимодействия. В рамках теоретико-полевого подхода для систем произвольной размерности от трех до четырех без использования метода -разложения проведено в двухпетлевом приближении описание модели с эффективным репличным гамильтонианом n m n m n m 1 1 Heff = ddx [a(x)]2 + [a(x)]2 + gab[a(x)]2[b(x)]2, (46) i i i j 2 2 i=1 a=1 i=1 a=1 i,j=1 a,b=где индекс i определяет число компонент параметра порядка (x), индекс a нумерует реплики (образы) однородной составляющей в исходном гамильтониане неупорядоченной системы, матрица gab задает эффективное взаимодействие флуктуаций (m n) - компонентного параметра порядка через поле дефектов. Данная статистическая модель термодинамически эквивалентна исходной неупорядоченной модели в пределе m 0. Наличие дефектов структуры приводит к реализации в системе большого числа локальных минимумов энергии и матрица gab уже не является реплично-симметричной, а имеет структуру НРС Паризи (Доценко Вик. и др., 1995)19. Так, в пределе m 0, матрица gab характеризуется диагональными элементами g и недиагональ ными элементами, задаваемыми функцией g(x), которая определена на интервале 0 < x < 1:
gab ( g(x)). Реплично-симметричной ситуации соответствует g(x) = const, не зависящая от g, x. В работе (Доценко Вик. и др., 1995) была выявлена ступенчатая структура функции g(x). Мы ограничились рассмотрением функции g(x) одноступенчатого вида: g(x) = g0 для 0 x x0, и g(x) = g1 для x0 < x 1, где координата ступеньки 0 x0 1 остается произвольным параметром, который не меняется при масштабных преобразованиях. В результате РГ преобразования репличного гамильтониана с НРС задаются тремя параметрами g, g0, g1.
РГ описание модели, задаваемой репличным гамильтонианом (46), нами было осуществлено в рамках теоретико-полевого подхода в двухпетлевом приближении как непосредственно для трехмерного случая, так и для 3 < d < 4. Возможные типы критического поведения и их устойчивость определяются коэффициентами i( g0, g1) РГ уравнений для вершинных частей g, неприводимых функций Грина. Для их определения был применен метод диаграмм Фейнмана и процедура перенормировки. Искомые -функции были получены в виде степенных рядов по параметрам g, g0, g1. Для их пересуммирования был применен метод Паде-Бореля.
Природа критического поведения определяется существованием устойчивой фиксированной точки (ФТ), удовлетворяющей системе уравнений i(, g0, g1) = 0, (i = 1, 2, 3). В результате g решения данной системы для значений числа компонент параметра порядка n = 1, 2, 3 было выделено три типа нетривиальных ФТ в представляющей физический интерес области значений параметров g, g0, g1 0. Так, фиксированная точка первого типа ФТ1 с g = 0, g0 = g1 = 0 соответствует критическому поведению однородной системы, ФТ2 с g = 0, g0 = g1 = 0 критическому поведению неупорядоченной системы с репличной симметрией, а ФТ3 с g = 0, g0 = 0, g1 = 0 - критическому поведению неупорядоченной системы с НРС. При этом значения параметров g, g1 в ФТ3 зависят от координаты ступеньки x0.
Возможность реализации того или иного типа критического поведения для каждого n определяется устойчивостью соответствующей фиксированной точки. Требование устойчивости ФТ Dotsenko Vik.S., Feldman D.E. // J. Phys. A. - 1995. - V. 28. - P. 5183.
сводится к условию, чтобы действительные части собственных значений i матрицы устойчи вости Bi,j = i(, g0, g1) /gj были положительны. Для каждого типа ФТ был проведен чисg ленный расчет собственных значений матрицы устойчивости i при изменении размерности системы от 3 до 4. Пороговые размерности системы, разделяющие области различных типов устойчивого критического поведения, определялись по изменению знака хотя бы одного из i.
Уточнение пороговой размерности системы осуществлено с точностью до 0.001.
Анализ устойчивости полученных ФТ позволил сделать следующие выводы:
1) для модели Изинга (n = 1) при размерности системы d ниже пороговой dc = 3.986 устойчива ФТ2. А т.к. во всем интервале изменения размерности системы 3 d < 4 остальные фиксированные точки остаются неустойчивыми (n = 1), следовательно, при d 3.986 в системе за счет эффектов НРС вообще не реализуется устойчивое критическое поведение.
2) для трехмерной XY-модели получаемые малые положительные значения i указывают на слабую устойчивость реплично-симметричной ФТ2 (n = 2). Однако уже при dc = 3.1 устойчивой становится ФТ3 с эффектами НРС. При этом критическое поведение, определяемое ФТ3, является неуниверсальным и зависящим от величины параметра x0, а, следовательно, от концентрации примесей. Выявлено, что ФТ3 устойчива лишь для интервала 0 x0 xc(d), где xc - пороговое значение параметра, зависящее от размерности системы. Так, для d = 3.1 xc = 0.1, а для d = 3.999 xc = 0.3. В интервале xc(d) < x0 < 1 ни одна из ФТ не является устойчивой;
3) для изотропной трехмерной модели Гейзенберга (n = 3) устойчивой становится ФТ1, в то время как в других ФТ константы g0,g1 принимают нефизические отрицательные значения.
Лишь при d 4.0 значения констант g0,g1 для ФТ3 принимают физические значения и одновременно ФТ3 становится устойчивой для интервала 0 x0 0.4. В интервале 0.4 < x0 < 1 ни одна из ФТ не является устойчивой.
Таким образом, проведенные исследования показали, что критическое поведение двумерных и трехмерных систем устойчиво относительно влияния эффектов НРС. В системах с n = 1 реализуется критическое поведение, определяемое структурным беспорядком с репличносимметричной фиксированной точкой. Наличие слабого беспорядка не влияет на критическое поведение систем c n 2.
В пятой главе осуществлено теоретико-полевое описание и численное исследование влияния эффектов корреляции дефектов на критическое поведение трехмерных систем.
В первом параграфе главы проведено теоретико-полевое описание критического поведения систем с изотропной дальнодействующей корреляцией пространственного распределения дефектов на основе модели Вейнриба-Гальперина (Вейнриб А. и Гальперин Б.И., 1983)20. Модель характеризуется эффективным гамильтонианом m m 1 uHeff = ddx (r02 + (i)2) + (2)2 - ddx ddy g(x - y)2(x)2(y) (47) i i i j 2 4! i=1 i,j= n где 2 = ()2 и (x) - (mn)-компонентный параметр порядка, g(x-y) - корреляционная i =1 i i функция потенциала поля дефектов, которая, для модели с дальнодействующей корреляцией дефектов задается в виде g(x - y) |x - y|-a. При этом, фурье-образ вершины g(x - y) имеет Weinrib A., Halperin B.I. // Phys. Rev. B. - 1983. - V. 27. - P. 413.
n Рис. 8. Области устойчивого критического поведения системы с дальнодействующей корреляцией дефектов определенные в настоящей работе в рамках теоретико-полевого подхода для d = 3.
при малых волновых векторах k вид g(k) = v0 + w0ka-d. Из положительной определенности g(k) следует, что для a > d вклад слагаемого с w0 = 0 несущественен, поэтому v0 0, и гамильтониан (47) описывает примесную модель с некоррелированными дефектами. Для a < d определяющим становится вклад второго слагаемого, пропорционального w0, поэтому w0 0. Таким образом, ренормгрупповые преобразования гамильтониана (47) задаются тремя параметрами u0, v0, w0.
Система с дальнодействующей корреляцией дефектов структуры является типичным примером многовершинной модели, для которой предсказания, сделанные на основе применения метода -разложения (Вейнриб А. и Гальперин Б.И., 1983), не являются надежными. Это объясняется конкуренцией различных типов фиксированных точек в многопараметрическом пространстве модели, что делает протяжку 1 невозможной без пересечения областей стабильности различных фиксированных точек.
Теоретико-полевое описание модели в двухпетлевом приближении и расчет соответствующих диаграмм Фейнмана, дающих вклад в двух- и четырехточечные вершинные функции, непосредственно при d = 3 и численных значениях параметра корреляции 2 a 3, проведенный с шагом a = 0, 01, позволили определить - и - функции - коэффициенты РГ уравнений, в виде рядов по перенормированным константам связи u, v, w. С применением обобщенного на трехпараметрический случай метода Паде-Бореля были определены фиксированные точки модели и условия их устойчивости. Было выделено три типа фиксированных точек в представляющей физический интерес области значений параметров u, v, w: I - соответствует критическому поведению однородной системы (u = 0, v, w = 0), II - системы с некоррелированными дефектами (u, v = 0, w = 0) и III - системы с дальнодействующей корреляцией дефектов (u, v, w = 0).
Анализ устойчивости фиксированных точек позволил определить области существования различных типов критического поведения на плоскости (a, n), где n - число компонент параметра порядка (рис.8). Картина областей устойчивого критического поведения существенно отличается от полученной ранее в (Вейнриб А. и Гальперин Б.И., 1983) в рамках , - разложения.
В диссертации предсказаны возможные изменения областей критического поведения в более высоких порядках теории.
Для различных n и 2 a 3 были вычислены значения критических индексов (табл. 4), характеризующих как равновесное, так и неравновесное критическое поведение (Прудников П.В.
и др., 2000, 2011)21. Полученные значения индексов существенно отличаются от предсказываеPrudnikov V.V., Prudnikov P.V., Fedorenko A.A. // Phys. Rev. В. - 2000. - V. 62. - P. 8777;
Прудников П.В., Куликов Д.Н.// Письма в ЖЭТФ - 2011 - Т. 93. - Вып. 2. - С. 1Таблица 4. Критические индексы для системы с дальнодействующей корреляцией дефектов n = 1 n = 2 n = a z z z 3.0 0.021(15)0.669(02)2.168(02)0.129(10) 0.019(13)0.655(09)2.000(01)0.172(11) 0.018(13)0.696(07)2.000(01)0.204(13) 2.8 0.018(13)0.688(04)2.252(04)0.129(11) 0.014(10)0.717(04)2.150(01)0.171(14) 0.013(09)0.734(11)2.109(06)0.206(17) 2.6 0.014(10)0.701(05)2.317(06)0.131(12) 0.006(06)0.736(06)2.202(06)0.175(16) 0.007(06)0.768(11)2.143(14)0.212(19) 2.4 0.009(11)0.711(05)2.377(11)0.133(13)-0.004(07)0.763(10)2.268(08)0.178(17)-0.010(08)0.789(10)2.205(24)0.217(20) 2.2 0.001(12)0.725(06)2.436(15)0.135(14)-0.014(11)0.775(12)2.324(12)0.182(18)-0.021(16)0.796(10)2.253(29)0.222(22) 2.0-0.018(14)0.735(06)2.505(19)0.138(14)-0.032(23)0.825(37)2.376(20)0.185(19)-0.020(15)0.802(14)2.309(48)0.226(23) мых в рамках метода , - разложения. Дополнительно к результатам ранней работы (Прудников П.В. и др., 2000) в работе (Прудников П.В. и др., 2010)22 для пересуммирования рядов теории наряду с методом Паде-Бореля были применены методы Паде-Бореля-Лероя и автомодельного приближения (Юкалов В.И., 1997)23. В табл. 4 представлены средние значения критических индексов и их погрешности, полученные с применением данных методов.
Вычисленные в диссертации значения динамических индексов z и демонстрируют, что с увеличением пространственной корреляции дефектов (уменьшением параметра a) происходит значительное замедление процессов критической релаксации в системе и усиление влияния неравновесных начальных состояний по сравнению с однородными системами и системами с некоррелированными дефектами.
Во втором параграфе главы осуществлено численное исследование трехмерных систем с линейными дефектами, изотропно ориентированными в образце.
Была рассмотрена неупорядоченная модель с гамиьтонианом (30), где Si - это n-мерный единичный вектор в узле. Общая спиновая концентрация в системе была выбрана равной p=0.80.
Полагается, что дальнодействующие эффекты корреляции между точечными дефектами реализуются в виде случайно ориентированных линий с корреляционными характеристиками, спадающими по степенному закону с показателем a = 2. Для этого был использован следующий способ создания примесных конфигураций: из заполненной спинами трехмерной решетки случайным образом удалялись линии, параллельные осям координат, до достижения заданной концентрации примесей. Для обеспечения изотропности распределения дефектов в кристалле число удаляемых линий в каждом из трех направлений поддерживалось одинаковым.
Было осуществлено определение критической температуры системы методом кумулянтов Биндера 4-го порядка. Данный кумулянт задается следующим выражением U4(T, L) = 3 - [ M(4) ] [ M(2) ], (48) U4(L, T ) имеет важную для описания поведения конечных систем скейлинговую форму U4(L, T ) = u[L1/(T - Tc)], которая позволяет определить критическую температуру Tc(L = ) для бесконечной системы через координату точки пересечения кривых, задающих температурную зависимость U4(L, T ) для различных L. Для уменьшения эффектов критического замедления использовался кластерный алгоритм моделирования Вольфа. За один шаг Монте-Карло на спин (MCS/s) принималось 5 переворотов кластера Вольфа. Процедуре установления термодинамиПрудников П.В., Яковлев М.И., Бакланов А.В. и др. // Вестн. Омск. Унив. - 2010. - Вып. 2. - С. 62.
Gluzman S., Yukalov V.I. // Phys. Rev. Lett. - 1997. - V. 79. - P. 4.
(б) (в) ( ) Рис. 9. Температурные зависимости кумулянта U4(T, L) для трехмерных моделей Изинга (a), XY (б) и Гейзенберга (в) с линейными дефектами для различных линейных размеров решетки L ческого равновесия в системе отводилось 104 MCS/s и 105 MCS/s отводилось на статистическое усреднение вычисляемых характеристик системы при заданной примесной конфигурации. Для определения средних значений термодинамических и корреляционных функций наряду со статистическим усреднением применялось усреднение по различным примесным конфигурациям:
для решеток с L = 16 и 32 - по 15000 образцам, для решеток с L = 64 и 128 - по 10000 образцам.
В результате анализа температурного поведения кумулянтов (рис. 9) и отношения /L (32) для кубических решеток с размерами L от 16 до 128 были определены критические температуры: для трехмерной модели Изинга с линейными дефектами - Tc = 3.9281(1), XY-модели - Tc = 1.8626(5), модели Гейзенберга - Tc = 1.197(2). При данных критических температурах для каждой модельной системы было осуществлено численное моделирование релаксации из полностью упорядоченного начального состояния с m0 = 1, а также эволюции из начальных состояний с m0 1. Временная зависимость логарифмической производной намагниченности была получена на основе квадратичной интерполяции по трем кривым m(t) при температурах T = 3.9250, 3.9281, 3.9310. Результирующие кривые были получены усреднением по 30образцам с различными конфигурациями линейных дефектов.
Анализ зависимости кумулянта U2(t) показал, что во временном интервале [50,150] MCS/s, степенному характеру зависимости U2(t) соответствует значение динамического индекса z 2.02, описывающее критическое поведение однородной модели Изинга (Ченг Б., 1998)24, а влияние линейных дефектов начинает проявляться лишь на временах t > 400 MCS/s. Выявленные динамические кроссоверные явления были учтены и при анализе временных зависимостей намагниченности и ее логарифмической производной. При определении показателей, определяющих режим критического поведения неупорядоченной системы, был проведен учет ведущих поправок к асимптотической зависимости измеряемых величин, согласно (41).
При исследовании критической эволюции систем из начальных состояний с m0 1 осуществлялось численное определение временной зависимости следующих величин: намагниченности m(t) (38), второго момента намагниченности m(2)(t) и автокорреляционной функции A(t) (40).
На основе показателей, характеризующих степенное поведение данных величин, были опреде лены критические индексы , / и z.
В слабо неупорядоченных системах c дальнодействующей корреляцией дефектов в отличие от поведения однородных систем было выявлено два универсальных динамических критических режима: на раннем временном интервале t = [10, 100] реализуется неравновесное критическое Zheng B. // Int. J. Mod. Phys. B. - 1998. - V. 12. - P. 1419.
Таблица 5. Критические индексы для системы с дальнодействующей корреляцией дефектов модель z / Изинга m0 = 1 2.489(21) 0.719(22) 0.375(45) 0.8(1) XY m0 = 1 2.364(7) 0.778(26) 0.37(30) 1.05(4) Гейзенберга m0 = 1 2.245(60) 0.757(26) 0.388(15) 0.786(45) Изинга m0 1 2.517(32) 0.149(11) 0.492(28) XY m0 1 2.342(57) 0.374(11) 0.534(35) Гейзенберга m0 1 2.330(72) 0.365(71) 0.457(60) 0.275(14) Изинга t < 100 MCS/s m0 1 2.049(27) 0.101(10) 0.501(27) Изинга, однородная m0 1 2.041(18) 0.108(2) 0.510(14) поведение, соответствующее однородной системе (с критическими индексами, например, для модели Изинга = 0.101(10), z = 2.049(27), / = 0.501(27)), а затем, проходя на временах t = [100, 200] MCS/s через режим кроссоверного поведения, реализуется динамический режим критического поведения неупорядоченной системы (табл. 5).
Итоговые значения критических индексов для рассмотренных трехмерных моделей Изинга, XY и Гейзенберга с линейными дефектами при моделировании как из полностью упорядоченного начального состояния m0 = 1, так и из начального состояния с m0 1 приведены в табл. 5.
Сопоставление полученных значений с результатами теоретико-полевого подхода для случая a = 2 (табл. 4) показывает их хорошее согласие, особенно для модели Изинга и ХY-модели, в пределах статистических погрешностей моделирования и аппроксимаций.
С целью проверки применимости метода коротковременной динамики для численного описания структурно неупорядоченных систем и полученных с его помощью результатов в диссертации было реализовано также компьютерное моделирование трехмерной модели Изинга с линейными дефектами традиционными методами Монте-Карло в состоянии равновесия. Для моделирования использовался однокластерный алгоритм Вольфа. В состоянии равновесия при критической температуре Tc = 3.9281 был проведен расчет различных термодинамических и корреляционных функций, таких как намагниченность, восприимчивость, корреляционная длина, теплоемкость и кумулянт Биндера U4, для решеток с линейными размерами L = 16 128 и спиновой концентрацией p = 0.80. Применение к рассматриваемым функциям процедуры учета конечноразмерных скейлинговых поправок C(L) L/(1 + aL-), M(L) L-/(1 + bL-), dU4(L) (L) L/(1 + cL-), L1/(1 + dL-) позволил определить критические индексы , dT , , и с помощью статистической обработки данных моделирования. Для этого проводилась линейная аппроксимация зависимостей (XL-) от L-, где X - исследуемая функция, - соответствующий критический показатель. Затем исследовались графики зависимостей погрешности аппроксимации функций XL-(L-) при варьировании значений параметров и . По минимуму определялись значения показателей. Минимум погрешности аппроксимации наблюдался при = 0.90 для /, = 0.65 для /, = 0.70 для /, = 0.80 для . Было взято среднее значение = 0.76(5), при котором и были рассчитаны окончательные значения показателей: = -0.078(30), = 0.362(20), = 1.441(15), = 0.710(10). Полученные значения находятся в хорошем согласии в пределах погрешностей измерений с результатами применения метода коротковременной динамики и теоретико-полевого описания.
В третьем параграфе главы представлены результаты компьютерного моделирования трехмерных моделей Изинга и XY с линейными дефектами в области их сильной неупорядоченности с p = 0.60. Ставилось целью проверить, проявляется ли в критическом поведении систем с дальней пространственной корреляцией дефектов зависимость от их концентрации.
Для получения значений критических температур для сильно неупорядоченных моделей Изинга и XY было осуществлено вычисление равновесных значений кумулянта Биндера U4 (48).
Из пересечения температурных зависимостей U4(T ) для решеток с размерами L = 64, 96, 128 были получены значения Tc = 3.1956(34) для модели Изинга, и Tc = 1.4455(5) для XY-модели. В этом случае для моделирования применялся однокластерный алгоритм Вольфа (25 переворотов кластера за MCS/s). Было использовано 5000 MCS/s для термализации и 50000 MCS/s для статистического усреднения по спиновым конфигурациям. Окончательные результаты были получены усреднением по 500 образцам с различными конфигурациями линейных дефектов.
Далее методом коротковременной динамики была исследована релаксация данных моделей из начального состояния с m0 = 1. Анализировались временные зависимости намагниченности m(t) (43), ее логарифмической производной по температуре ln m(t) (44) и кумулянта U2(t) (45). Результирующие кривые были получены усреднением по 80 образцам для модели Изинга и по 200 образцам для XY-модели с различными конфигурациями распределения линейных дефектов в решетке и по 25 прогонкам для каждого образца. Зависимость логарифмической производной намагниченности при критической температуре была получена на основе разностной схемы по двум кривым m(t) при температурах T = 3.1956 и T = 3.2180.
Анализ данных зависимостей с применением процедуры учета поправок к скейлингу позволил рассчитать значения критических показателей для модели Изинга: / = 0.396(52), z = 2.707(34), = 0.420(97), = 1.061(155) и для XY-модели: / = 0.51(1), z = 2.589(52), = 0.511(72), = 1.001(143).
При исследовании эволюции системы из начальных состояний с m0 1 осуществлялся анализ временных зависимостей следующих величин: намагниченности m(t) (38), второго момента намагниченности m(2)(t) и автокорреляционной функции A(t) (40). При расчете критического индекса было реализовано компьютерное моделирование при значениях начальной намагниченности m0 = 0.002 и m0 = 0.01 для модели Изинга и при значениях m0 = 0.004, m0 = 0.0и m0 = 0.002 для XY-модели с последующей линейной аппроксимацией результатов к m0 = 0.
Данные усреднялись по 30 для модели Изинга и по 1300 для XY-модели различным примесным конфигурациям при 25 УпрогонкахФ для каждой примесной конфигурации. Анализ времен ных зависимостей позволил определить значения показателей = 0.210(19), / = 0.409(52), z = 2.699(90) для модели Изинга и = 0.393(45), / = 0.564(48), z = 2.511(95) для XY-модели.
Сопоставление значений показателей, характеризующих неравновесное поведение сильно неупорядоченной модели Изинга при эволюции из различных начальных состояний, показывает их хорошее согласие в пределах погрешностей. Итоговые усредненные значения критических индексов представлены в табл. 6. Полученные результаты показывают, что наличие высокой концентрации дефектов с дальнодействующей корреляцией оказывает сильное влияние на критическое поведение как трехмерной модели Изинга, так и трехмерной XY-модели. Анализ временных зависимостей исследуемых величин не выявил при этом временных режимов, соответствующих Таблица 6. Значения критических показателей для систем с линейными дефектами при p = 0.z (/) модель Изинга 2.703(48) 0.403(38) 0.420(97) 1.061(155) 0.210(19) XY-модель 2.550(54) 0.537(25) 0.511(72) 1.001(143) 0.393(45) критическому поведению однородной системы, как в случае неравновесного поведения слабо неупорядоченных систем. Критические индексы, вычисленные для слабо и сильно неупорядоченных систем, демонстрируют значительные отличия в их значениях.
Шестая глава диссертации посвящена исследованию влияния дефектов структуры и эффектов их пространственной корреляции на аномальные особенности распространения ультразвука в твердых телах при фазовых переходах второго рода.
В первом параграфе главы представлено теоретико-полевое описание процесса распространения ультразвука в твердых телах вблизи температуры фазового перехода второго рода для однородных и неупорядоченных систем с некоррелированными дефектами структуры.
Рассматривается гамильтониан трехмерной неупорядоченной сжимаемой модели Изинга в виде H = Hel + Hop + Hint + Himp. (49) Вклад деформационных степеней свободы определяется следующим образом 0 0 Hel = ddx C11 u2 + 2C12 uu + 4C44 u2, (50) < k где u(x) - компоненты тензора деформаций и Cij - упругие постоянные. Использование приближения изотропности для Hel обусловлено тем, что в критической области характеристики поведения системы определяются изотропной фиксированной точкой РГ преобразований, а эффекты анизотропии оказываются несущественными. Магнитная составляющая Hop представлена в форме гамильтониана Ландау-Гинзбурга-Вильсона 1 1 Hop = ddx 0S2 + (S)2 + u0S4, (51) 2 2 где S(x) - спиновый параметр порядка; u0 - положительная константа взаимодействия, 0 = (T - T0c)/T0c. Составляющая Hint задает спин-фононное взаимодействие Hint = ddx g0 uS2, (52) где g0 параметр квадратичной стрикции. Himp описывает влияние дефектов структуры на критическое поведение системы Himp = ddx (x)S2 + ddx h(x) u, (53) где посредством случайных и гауссовски распределенных переменных (x) и h(x) задаются флуктуации локальной температуры фазового перехода и случайные поля напряжений. Функция (x) характеризует потенциал случайного поля дефектов в точке x со средним значением по распределению дефектов равным нулю (x) = 0 и вторым моментом (x) (y) = g(x - y), (54) характеризующим корреляционные свойства пространственного распределения дефектов. В случае рассмотрения однородных систем g(x - y) = 0, а в случае некоррелированных точечных дефектов g(x - y) = vd(x - y), где v - вершина, характеризующая взаимодействие флуктуаций параметра порядка через поле дефектов.
После перехода к фурье-образам переменных и проведения интегрирования по несущественным для критического поведения системы в упруго-изотропной среде недиагональным компонентам тензора деформации искомый эффективный гамильтониан принимает вид:
1 H = ddq 0 + q2 Sq S-q + ddq q Sq Sq + ddq q hq Qq, + a0 ddq q2 Qq, Q-q, 1 1-q 2 - b0 ddq (Sq S-q) (Sq S-q) - g0 ddq q Q-q, Sq Sq-q + u0 ddq Sq Sq Sq S-q. (55) 1 1 1 2 3 1-q2-qПроцедура усреднения функционала свободной энергии по случайным полям q и hq восстанавливает его трансляционную инвариантность, что позволяет применить для дальнейшего описания критического поведения ренормгрупповую технику.
Релаксационная критическая динамика сжимаемых систем описывается динамическими уравнениями типа обобщенных уравнений Ланжевена H H q = -0 + q + 0hS, Qq, = - - q2D0Qq, + q + hQ, (56) q q, S-q Q-q, где 0 и D0 - затравочные кинетические коэффициенты; q(x, t) и q(x, t) - гауссовски распределенные величины, имеющие характер случайной силы; hS и hQ - поля, термодинамически q q, сопряженные соответственно спиновым и деформационным переменным.
В результате итерационного решения системы нелинейных уравнений (56) с гамильтонианом (55) могут быть выделены функция отклика для упругих переменных D(q, ) и функция отклика для спиновых переменных G(q, ) [ Qq,, ] [ Sq, ] D(q, ) = = [ Qq,,Q-q,-, ], G(q, ) = = [ Sq,S-q,- ], (57) hS hQ q, q,, где... обозначает статистическое усреднение по случайным ланжевеновским силам, [...] - усреднение по флуктуациям случайных полей -q и hq, определяемых дефектами структуры. Диаграммное представление собственно-энергетической части (q, ) функции отклика D(q, ) для системы с некоррелированными структурным беспорядком в двухпетлевом приближении имеет следующий вид () = 4g2 - 96g2u - 12g2uM+ 16g2v + 16g2v + 16g2v - 12g2uM+ 16g2v + 16g2v + 16g2v - 12g2uMгде сплошной линии соответствует G0(q, ) = 1 /(i /0 + (0 + q2)), линии с крестом - C0(q, ) = -1 2-1 (/0)2+(q2 + 0)2, вершине с прерывистой линией - v = ()2. Слагаемые пропорциональные M2 описывают релаксационный вклад, обусловленный тем, что при T < Tc спиновая плотность Sq = Mq,0 + q наряду с флуктуационной частью q содержит намагниченность системы M = B |T - Tc|, где B - феноменологический релакcационный параметр.
Рис. 10. Скейлинговые функции (y) (а) и f(y) (б) для однородной (1) и неупорядоченной (2) систем при T > Tc, (1Т) и (2Т) соответственно при T < Tc.
Таблица 7. Асимптотическое поведение коэффициента поглощения и дисперсии скорости звука Коэффициент поглощения (, ) Режим Однородная Неупорядоченная T < Tc T > Tc T < Tc T > Tc Критический y = 101 103 0.98-0.08 1.05-0.17 1.12-0.10 1.21-0.Предкритический y = 1 102 1.08-0.21 1.20-0.37 1.22-0.25 1.37-0.Гидродинамический y = 10-3 10-1 2-1.38 2-1.38 2-1.44 2-1.Дисперсия скорости звука c2(, ) - c2(0, ) Режим Однородная Неупорядоченная T < Tc T > Tc T < Tc T > Tc Критический y = 101 103 0.11-0.25 0.34-0.54 0.26-0.31 0.49-0.Предкритический y = 1 102 0.30-0.49 1.08-1.48 0.41-0.54 1.01-1.Гидродинамический y = 10-3 10-1 2-2.65 2-2.65 2-2.95 2-2.Cобственноэнергетическая часть (q, ) непосредственно связана с характеристиками распространения ультразвука: коэффициентом поглощения и дисперсией скорости звука (, ) Im(), c2(, ) - c2(0, ) Re (() - (0)). (58) Из теории рассеяния ультразвука в твердых телах вблизи температуры фазового перехода известно, что в асимптотическом пределе ( 0, 0) могут быть введены следующие выражения для мнимой и действительной составляющих (, ) Im() = --z(y), Re ((0, ) - (0, 0)) = - (f(y) - f(0)), (59) со скейлинговыми функциями (y) и f(y), зависящими от единственной обобщенной переменной y = -z /0. В диссертации непосредственно для трехмерных систем в двухпетлевом приближении был осуществлен расчет динамических скейлинговых функций с применением метода суммирования Паде-Бореля. Их поведение представлено на рис. 10.
Результаты проведенных расчетов асимптотических зависимостей коэффициента поглощения и дисперсии скорости звука для критической (y z 1) и гидродинамической (y z (q)z 1) областей представлены в табл. 7. Показатели их частотной и температурной зависимостей для гидродинамического режима определялись для интервала 10-3 y 10-1, а критического режима для 10 y 103. Реальной температурной области с 10-3 10-1 для ультразвуковых исследований фазовых переходов соответствует интервал 1 y 102, т.е. он захватывает кроссоверную область и начало критической области (предкритический режим).
а б Т, К Рис. 11. Температурное поведение коэффициента поглощения (, ) для систем: однородной (a1), с некоррелированными дефектами (a2), с дальнодействующей корреляцией дефектов (б) Из представленных в табл. 7 результатов следует, что наличие дефектов структуры приводит к более сильному, чем для однородной системы, увеличению коэффициента поглощения и дисперсии скорости звука по мере приближения к критической температуре уже в гидродинамической области. В критической области для структурно неупорядоченных систем должна наблюдаться как более сильная частотная, так и температурная зависимость акустических характеристик по сравнению с их однородными аналогами. Особенно важным представляется предсказываемое проявление динамических эффектов влияния дефектов структуры в аномальном поглощении и дисперсии скорости звука в более широком температурном интервале относительно критической температуры, чем в других экспериментальных методах, в которых для выявления данных эффектов необходимо проводить исследования в узком температурном интервале вплоть до 10-4. Данные выводы находят подтверждение в модельном представлении результатов расчета температурного критического поведения коэффициента поглощения и дисперсии скорости звука (рис. 11) для однородной и неупорядоченной систем, проведенных при значениях параметров B = 0.3 и /0 = 0.0015.
Во втором параграфе главы исследовано влияние дальнодействующей корреляции дефектов структуры на поведение коэффициента поглощения и дисперсии ультразвука в твердых телах вблизи температуры фазового перехода второго рода.
Была применена модель изотропной дальнодействующей корреляции дефектов, задаваемая в (54) корреляционной функцией g(x - y) |x - y|-a с a - показателем корреляции. При a < 3 эффекты корреляции являются существенными и определяют новый тип критического поведения.
При a 3 реализуется критическое поведение, характерное для некоррелированных дефектов.
Случай с a = 2 соответствует поведению систем со случайно ориентированными линейными дефектами, с 2 < a < 3 - системам с примесными фрактальными структурами.
Диаграммное представление дополнительных по сравнению с рассмотренным выше случаем системы с некоррелированными дефектами вкладов в собственно-энергетическую часть (q, ) динамической функции отклика D(q, ), возникающих в двухпетлевом приближении, может быть представлено в виде:
16g2w + 16g2w + 16g2w + 16g2w + 16g2w + 16g2w, где волнистая линия в диаграммах характеризует влияние эффектов корреляции дефектов через вершину взаимодействия w с передачей импульса qa-d.
б а Рис. 12. Скейлинговые функции (y) (а) и f(y) (б) для различных значений a В диссертации был осуществлен расчет в двухпетлевом приближении динамических скейлинговых функций для различных значений параметра корреляции 2 a 3. Поведение скейлинговых функций (y) и f(y) для системы с дальнодействующей корреляцией дефектов, рассчитанное с применением метода суммирования Паде-Бореля, представлено на рис. 12 в двойном логарифмическом масштабе. Для различных интервалов изменения переменной y в поведении (y) и f(y) были выделены асимптотические области гидродинамического, предкритического и критического поведения системы, а затем проведен расчет коэффициента поглощения (, ) и дисперсии скорости звука c2(, )-c2(0, ) для соответствующих областей и выделены значения показателей их частотной и температурной зависимостей.
Анализ значений данных показателей позволил сделать следующие выводы: для систем с дальнодействующей корреляцией дефектов предсказывается более сильное, чем для систем с некоррелированными дефектами, увеличение коэффициента поглощения по мере усиления эффектов корреляции (характеризуется уменьшением параметра a в интервале 2 a < 3) при приближении к температуре фазового перехода уже в гидродинамической области; в критической области эффекты корреляции дефектов проявляются в виде более сильной как частотной, так и температурной зависимостей коэффициента поглощения по сравнению со случаем некоррелированного структурного беспорядка; аналогичные выводы справедливы для частотной и температурной зависимостей дисперсии скорости звука в критической области.
Сказанное находит подтверждение в модельном представлении результатов расчета температурного критического поведения коэффициента поглощения для неупорядоченных систем с различными значениями параметра корреляции, проведенных при значениях параметров B = 0.и /0 = 0.0015 (рис.11б).
Седьмая глава посвящена изложению методики и результатов описания мультикритического поведения однородных и неупорядоченных систем с двумя параметрами порядка и выявлению влияния поверхности на мультикритическое поведение в окрестности точки Лифшица.
В первом параграфе проведено в двухпетлевом приближении описание критического поведения непосредственно трехмерных систем с двумя взаимодействующими параметрами порядка, которое выявило существенное изменение областей с различным типом устойчивого мультикритического поведения на плоскости (n - m) - числа компонент для параметров порядка, по сравнению с полученными ранее результатами (рис. 13) при использовании -разложения. Показано, что устойчивое мультикритическое поведение, соответствующее изотропной ФТ1 с флуктуациРис. 13. Области устойчивости фиксированных точек, определенные в первом порядке -разложения (а) и в рамках теоретико-полевого подхода в двухпетлевом приближении при d = 3 (б).
онно индуцированной асимптотической симметрией системы SO(n + m), возможно только для n + m < 2.91, т.е. наивысшей асимптотической симметрией системы является SO(2). Значительное изменение претерпели области стабильности и остальных двух типов фиксированных точек:
ФТ2 (с симметрией SO(n) SO(m)) и ФТ3 (с симметрией SO(n) SO(m)), соответствующих устойчивому тетракритическому поведению. Показано, что изменение областей стабильности фиксированных точек приводит к заметному изменению типов фазовых диаграмм систем во флуктуационной области. Устойчивое бикритическое поведение предсказывается в диссертации только для взаимодействующих однокомпонентных параметров порядка (n, m = 1) с критическими индексами, соответствующими XY-модели. Тетракритическое же поведение должно иметь более широкую реализацию среди систем с многокомпонентными параметрами порядка.
Обсуждены эффекты флуктуационной неустойчивости мультикритического поведения.
Во втором параграфе проведено исследование влияния точечных замороженных примесей, создающих в системах с двумя параметрами порядка флуктуации случайной локальной температуры, на характер фиксированных точек и их устойчивость. Показано, что присутствие примесей приводит к флуктуационному расцеплению связи параметров порядка и осуществлению единственного типа устойчивого мультикритического поведения - тетракритического с общей симметрией системы SO(n) SO(m). В случае однокомпонентных параметров порядка (n = m = 1) наличие примесей существенно и приводит к критическому поведению с индексами, соответствующими индексам неупорядоченной модели Изинга. Для систем с многокомпонентными параметрами порядка присутствие примесей не сказывается и мультикритическое поведение носит тетракритический характер однородной системы. Наличие примесей приводит к существенному сокращению по сравнению с однородными системами возможных типов фазовых диаграмм. Принципиальный момент изменения связан с невозможностью реализации в неупорядоченных системах фазовой диаграммы, содержащей бикритическую точку.
В третьем параграфе главы проведено теоретико-полевое описание мультикритического поведения d-мерной системы с многокомпонентным параметром порядка с учетом влияния поверхности системы, перпендикулярной оси анизотропии кристалла, в окрестности обобщенной точки Лифшица m-го порядка.
Хорошо известно, что в критической точке параметр порядка характеризуется изотропной масштабной инвариантностью (x) = b (b-1x) с = (d - 2 + )/2. В случае критического поведения вблизи точки Лифшица m-го порядка проявляется анизотропная масштабная инвариантность, и координатные оси x могут быть разделены на две группы x = (x, x) с различным пространственным масштабом: (x, x) = b (b-x, b-1x), где - индекс анизотропии, индексом отмечены оси модуляции, - немодулированные оси. принимает значения от 1 до m, а от m + 1 до d.
Критическое поведение системы чувствительно к влиянию границы образца, т.к. дальнодействующий характер взаимодействия флуктуаций параметра порядка модифицируется вблизи поверхности. В окрестности точки Лифшица возможно два сценария влияния поверхности на критическое поведение: параллельный случай, когда все оси модуляции параллельны поверхности (Диль Г.В. и др., 2003)25 и, более сложный случай, когда оси модуляции перпендикулярны поверхности. Для описания критического поведения полубесконечной системы был применен га мильтониан H = Lb(x) dmxdd-mx + L(x) dm-1xdd-mx, (60) V B с объемной m d m 1 Lb(x) = + ()2 + ()2 + 2 + ||4, (61) 2 2 2 2 4! =1 =m+1 =и поверхностной плотностью c m L = 2 + ()2 +n + (n)2. (62) b 2 2 =Из действия определяемого гамильтонианом (60) могут быть получены граничные условия m-1 m- 3 2 2 + (- + - [ + (f - n b ) n b )n c )n] = 0, -n + +- (f + = 0. (63) =1 =Для описания критического поведения локальной намагниченности в точке Лифшица вблизи () поверхности (z = 0) может быть введен критический индекс L () L m(z = 0) ||, 0, (64) причем значения данного индекса существенно отличаются от значения индекса для бесконечной системы. Для устранения ультрафиолетовых расходимостей в корреляционных функциях была применена процедура размерной регуляризации с последующим переопределением параметров гамильтониана (60) и мультипликативной перенормировкой:
1/ = Z ren, = Z , -m/4 = Fm, Zuu, (65) - = 2Z + A 2, (- = Z, (66) LP LP)-1/где = d - d, d = 4 + m/2 - верхняя критическая размерность системы, Fm, = [(1 + /2) 2(1 - /2) (m/4)]/[(4)(8+m-2)/4 (2 - ) (m/2)].
За счет введения в теорию двух граничных условий вида (63), возникает необходимость в перенормировке величины n, задающей поверхностное поведение параметра порядка :
1/2 1/2 n = Z2 Z (n)ren = Z2 nren. (67) Рассчитанное в однопетлевом приближении выражение для константы перенормировки Z2 имеет вид: n + 2 u Z2 = 1 - g0(m) + O(u2), (68) 3 4 3 24 (2)1/2 (2m - 5)(m - 1) (m/2) g0(m) = 2-m- 2-m+ - + F1[2, (m-1)/2; (m+2)/2; -1].
4 - m m + 2 8 [(m + 1)/2] m Diehl H.W., Gerwinski A., Rutkevich S. // Phys. Rev. B. - 2003. - V. 68. - P. 224428.
Взятие производной -uu от Z2 позволяет определить РГ функцию 2. Подстановка значения u в фиксированной точке u = 6/(n + 8) + O(2) дает выражение n + 2 n + 2 2 = g0(m) u + O (u)2 = g0(m) + O(2). (69) 12 n + 8 Используя известное -представление для индекса может быть получено итоговое выражение () для независимого поверхностного критического индекса L в виде ряда по :
n + () L = (/2)[4 - + 2] + O(2) = 1 + n - 4 + gm(m) + O(2). (70) 4(n + 8) Для случая одноосной модели Изинга m = n = 1 выражение упрощается -11 () L = 1 - + O(2) = 1 + + O(2). (71) 24 Просуммированное с Паде-апроксимантом [0/1] в точке = 3/2 для d = 3 значение индекса () L = 0.59 хорошо согласуется с результатами компьютерного моделирования 0.62(1) (Плеймлинг М., 2002)26.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертации.
Основные результаты и выводы 1. В рамках единого подхода, основанного на формализме динамического производящего функционала для корреляционных функций и функций отклика, осуществлено теоретико-полевое описание неравновесного критического поведения с учетом влияния начальных состояний системы, нарушающих трансляционную инвариантность во времени, и квазиравновесной критической динамики, когда влияние неравновесных начальных состояний самоусреднилось, для однородных и неупорядоченных систем с некоррелированными дефектами и дефектами с дальнодействующей пространственной корреляцией.
2. Впервые показано, что в неравновесной критической релаксации однородных систем только начиная с трехпетлевого приближения в динамической функции отклика возникают флуктуационные поправки за счет влияния начальных неравновесных состояний. С учетом данных флуктуационных эффектов проведен расчет независимого динамического критического индекса , задающего эволюцию n-компонентного параметра порядка системы в коротковременном режиме, и при применении метода -разложения были получены значения , согласующиеся с результатами компьютерного моделирования.
3. Впервые реализовано теоретико-полевое описание неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем с некоррелированными дефектами с учетом влияния начальных состояний при фиксированной размерности системы d = 3 и в двухпетлевом приближении проведен расчет динамических критических индексов и z с последовательным применением к рядам теории различных методов суммирования. Численные значения критических индексов находятся в лучшем соответствии с результатами компьютерного моделирования, чем результаты применения метода -разложения.
4. Впервые осуществлено последовательное применение методов суммирования Паде-Бореля, Паде-Бореля-Лероя и конформного Паде-Бореля к рядам теории, полученным в многопетлевом Pleimling M. // Phys. Rev. B. - 2002. - V. 65. - P. 184406.
приближении с целью определения значений динамического критического индекса z для однородных трехмерных и двумерных систем, описываемых моделью Изинга, а также для неупорядоченных изингоподобных систем. Вычисленные значения индекса z находятся в хорошем согласии с результатами экспериментальных исследований критической динамики изинговских антиферромагнетиков и результатами компьютерного моделирования критической динамики.
5. Разработана методика теоретико-полевого описания критического поведения структурно неупорядоченных спиновых систем с эффектами нарушения репличной симметрии (НРС) при их фиксированной размерности. На примере данных систем, описываемых многовершинными моделями, показано, что предсказания, основанные на применении метода - разложения, не являются надежными. Конкуренция различных типов фиксированных точек в многопараметрическом пространстве вершин взаимодействия не позволяет осуществлять протяжку 1, без пересечения областей стабильности различных фиксированных точек.
6. Для двумерных, трехмерных систем и систем произвольной размерности от трех до четырех в двухпетлевом приближении проведен ренормгрупповой анализ эффективного репличного гамильтониана модели с потенциалом взаимодействия, не являющимся реплично-симметричным и определяемым тремя вершинами взаимодействия флуктуаций. Для случая одноступенчатого НРС с применением техники суммирования Паде-Бореля были выделены возможные типы критического поведения и осуществлен анализ возможности их реализации. Было установлено, что критическое поведение двумерных и трехмерных систем устойчиво относительно влияния эффектов НРС. Показано, что наличие слабого беспорядка не влияет на критическое поведение систем с многокомпонентным параметром порядка, а в системах с однокомпонентным параметром порядка реализуется критическое поведение, определяемое структурным беспорядком с реплично-симметричной фиксированной точкой.
7. Выявлено: эффекты НРС проявляются лишь при размерностях неупорядоченной системы больших трех, при этом пороговые значения dc зависят от числа компонент параметра порядка n и величины параметра x0, определяющего координату ступеньки для потенциала взаимодействия с НРС. Определены значения пороговых размерностей dc(n), отделяющих область критического поведения с эффектами НРС dc(n) < d < 4 от области, в которой данные эффекты несущественны. Эти пороговые размерности задают одновременно и нижнюю границу области применимости результатов -разложения к описанию модели слабо неупорядоченных систем с эффектами НРС. Показано, что возможные типы устойчивого критического поведения и критические индексы, полученные для неупорядоченных систем в рамках стандартного метода реплик для размерностей систем ниже пороговых dc(n), являются достоверными и реализуется прежний сценарий влияния замороженного беспорядка на критическое поведение.
8. Осуществлено теоретико-полевое описание статических свойств критического поведения и неравновесной критической динамики неупорядоченных трехмерных систем с дальнодействующей корреляцией дефектов в двухпетлевом приближении с использованием методов пересуммирования рядов теории. Для различных значений числа компонент параметра порядка и показателя корреляции a определены типы устойчивого критического поведения и значения критических индексов. Полученная картина областей устойчивого критического поведения и значения критических индексов существенно отличаются от предсказанных ранее в рамках двухпараметрического , - разложения. Показано, что корреляция дефектов приводит к проявлению влияния неупорядоченности в поведении более широкого круга систем, вызывая существенное изменение статических и динамических характеристик критического поведения. В частности, с усилением корреляции дефектов происходит замедление процессов критической релаксации в системе и усиление влияния неравновесных начальных состояний по сравнению с однородными системами и системами с некоррелированными дефектами.
9. Осуществлены численные Монте-Карло исследования равновесного критического поведения трехмерной спиновой модели Изинга в широком интервале изменения концентрации немагнитных атомов примеси. Для образцов с различными спиновыми концентрациями и различными линейными размерами была определена температурная зависимость корреляционной длины и магнитной восприимчивости. С помощью метода конечноразмерного скейлинга для данных величин были определены скейлинговые функции, демонстрирующие универсальное поведение в критической области, а также вычислены критические температуры и статические критические индексы с использованием ведущих поправок к асимптотической зависимости данных величин.
На основе выявленных концентрационных изменений скейлинговых функций и значений критических индексов сделан вывод о существовании двух универсальных классов критического поведения разбавленной модели Изинга с различными характеристиками для слабо и сильно неупорядоченных систем.
Полученные значения критических индексов для слабо неупорядоченных систем находятся в хорошем согласии в пределах статистических погрешностей моделирования и применяемых численных аппроксимаций с результатами теоретико-полевого описания и согласуются с результатами экспериментальных исследований критического поведения слабо разбавленных изингоподобных антиферромагнетиков.
10. Впервые для исследования влияния дефектов структуры и эффектов их корреляции на критическое поведение спиновых систем был применен численный метод коротковременной динамики. Изучено влияние различных начальных состояний системы со структурным беспорядком на характеристики критического поведения в коротковременном режиме при изменении концентрации спинов p в широком интервале от слабого разбавления до сильно неупорядоченного состояния. При сопоставлении результатов, полученных методом коротковременной динамики и традиционными методами Монте-Карло, показано, что данный метод может служить надежной альтернативой традиционным численным методам при исследовании как однородных систем, так и систем со структурным беспорядком, обеспечивая при меньших машинных затратах получение более полной информации о критическом поведении структурно неупорядоченных систем, недоступной традиционным методам Монте-Карло.
11. На основе проведенных численных исследований методом коротковременной динамики критического поведения трехмерной модели Изинга со спиновыми концентрациями p = 0.95, 0.80, 0.60 и 0.50 можно сделать следующие выводы: поведение слабо и сильно неупорядоченных систем принадлежит к различным универсальным классам критического поведения с несовпадающими в пределах статистических погрешностей значениями динамических критических индексов и z; в неравновесном поведении слабо неупорядоченных систем с p = 0.95 и 0.80 выявлено два режима со степенным временным изменением измеряемых величин: на раннем временном интервале реализуется критическое поведение с характеристиками однородной системы, и затем, проходя через интервал кроссоверного поведения реализуется режим поведения неупорядоченной системы; в неравновесном поведении сильно неупорядоченных систем с p = 0.60 и 0.50 не выявлено режима с характеристиками однородной системы; для слабо неупорядоченных систем значения критических индексов, полученные с учетом ведущих поправок к скейлингу, находятся в хорошем согласии с результатами теоретико-полевого описания, результатами моделирования другими методами, а также согласуются с результатами экспериментальных исследований слабо неупорядоченных изинговских магнетиков; для сильно неупорядоченных систем значения динамического критического индекса z, полученные при анализе эволюции из разных начальных неравновесных состояний, находятся в хорошем согласии друг с другом, согласуются со значениями, определенными другими численными методами, а значение индекса коротковременной эволюции намагниченности = 0.186(39) получено впервые.
12. С целью исследования влияния дальнодействующей корреляции дефектов структуры на критическое поведение впервые осуществлено численное исследование методом коротковременной динамики поведение трехмерных модельных спиновых систем (Изинга, XY и Гейзенберга) с линейными дефектами при общей спиновой концентрации p = 0.80. В неравновесном критическом поведении данных систем выявлено два динамических режима со степенным временным изменением измеряемых величин: на раннем временном интервале реализуется поведение с характеристиками однородной системы, а после интервала кроссоверного поведения реализуется динамический режим неупорядоченной системы. Определены значения совокупности динамических и статических критических индексов при применении методики учета ведущих поправок к скейлингу, соответствующих режиму неупорядоченной системы. Полученные значения критических индексов находятся в хорошем согласии с результатами теоретико-полевого описания на основе модели Вейнриба-Гальперина с показателем корреляции a = 2 и результатами проведенного моделирования равновесного критического поведения. На примере исследования XY-модели и модели Гейзенберга впервые получено численное подтверждение существенности влияния дальней пространственной корреляции дефектов на критическое поведение систем с многокомпонентным параметром порядка.
13. Впервые осуществлено численное исследование неравновесного критического поведения трехмерных сильно неупорядоченных при p = 0.60 спиновых моделей Изинга и XY с дальнодействующей корреляцией дефектов, моделируемой изотропно распределенными линейными дефектами. Сопоставление полученных значений критических индексов со значениями для слабо неупорядоченных с p = 0.80 моделей Изинга и XY позволяют сделать вывод о существовании различных универсальных классов критического поведения для рассматриваемых систем, соответствующих областям слабой и сильной структурной неупорядоченности.
14. Осуществлено теоретико-полевое описание аномальных свойств распространения ультразвука в однородных и структурно неупорядоченных твердых телах вблизи температуры фазового перехода второго рода с учетом как флуктуационного, так и релаксационного механизмов рассеяния. Разработана методика и проведен расчет скейлинговых функций для коэффициентов поглощения и дисперсии скорости звука, а также самих коэффициентов при фиксированной размерности системы d = 3 в двухпетлевом приближении с применением методов суммирования асимптотических рядов. Представлены численные значения показателей, характеризующих частотную и температурную зависимости скейлинговых функций, коэффициентов поглощения и дисперсии ультразвука в гидродинамической (10-3 y = -z/0 10-1), предкритической (1 y 102) и критической (10 y 103) областях.
Рассчитанное для однородных систем поведение коэффициента поглощения (, ) демонстрирует аномально сильное поглощение ультразвука в критической области и хорошо согласуется с результатами экспериментальных исследований в образцах F eF2.
Исследование влияния некоррелированных дефектов структуры на характеристики распространения ультразвука в изингоподобных твердых телах показало, что наличие структурного беспорядка приводит в критической области к существенному увеличению поглощения ультразвука и усилению аномальной дисперсии скорости звука, характеризующемуся как более сильной частотной, так и температурной зависимостью данных коэффициентов по сравнению с однородными системами. Предсказывается также более сильное, чем для однородных систем, увеличение коэффициента поглощения и изменение дисперсии скорости звука по мере приближения к температуре фазового перехода уже в гидродинамической области.
15. Впервые исследовано влияние эффектов дальнодействующей корреляции дефектов на аномальное рассеяние ультразвука в твердых телах при фазовых переходах второго рода. Показано, что усиление корреляции дефектов приводит к увеличению поглощения ультразвука и усилению дисперсии скорости звука в критической области. Предсказывается более сильное, чем для однородных систем и систем с некоррелированными дефектами, температурное изменение характеристик ультразвука при приближении к критической температуре уже в гидродинамической области. В результате, экспериментальное исследование критической динамики ультразвуковыми методами позволяет выявить влияние дефектов и эффектов их корреляции в более широком температурном интервале относительно критической температуры (10-3 10-1), чем в других экспериментальных методах, в которых для выявления данных эффектов необходимо проводить исследования в узком температурном интервале вплоть до 10-4.
16. Теоретико-полевое описание мультикритического поведения однородных систем с двумя параметрами порядка в рамках метода с фиксированной d = 3 размерностью выявило в двухпетлевом приближении существенное изменение областей различного типа устойчивого мультикритического поведения на плоскости (n - m) - числа компонент данных параметров порядка по сравнению с результатами применения - разложения. Это приводит к изменению характеристик мультикритического поведения и возможных типов фазовых диаграмм системы во флуктуационной области.
Показано, что присутствие дефектов структуры в системе приводит к флуктуационному расцеплению связи параметров порядка и осуществлению единственного типа устойчивого мультикритического поведения - тетракритического. В случае однокомпонентных параметров порядка (n, m = 1) наличие дефектов существенно и приводит к мультикритическому поведению с индексами, соответствующими индексам неупорядоченной модели Изинга. Для систем с n, m присутствие дефектов не сказывается на мультикритическом поведении и оно носит тетракритический характер однородной системы. Влияние дефектов проявляется в сокращении по сравнению с однородными системами возможных типов фазовых диаграмм.
17. Впервые исследовано влияние поверхности, перпендикулярной оси анизотропии кристалла, на мультикритическое поведение d-мерной системы вблизи точки Лифшица m-го порядка.
Полученное значение нового независимого поверхностного критического индекса = 0.59 подтверждает результаты численного исследования модели Изинга для случая точки Лифшица с m, n = 1.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1. Prudnikov P.V., Prudnikov V.V., Fedorenko A.A. Static and dynamic critical properties of 3D systems with long-range correlated quenched defects. // J. Phys. A: Math.Gen. - 1999. - V. 32. - N. 49. - P. 8587-8600.
2. Прудников П.В., Прудников В.В., Федоренко А.А. Мультикритическое поведение слабо неупорядоченных систем с двумя параметрами порядка. // ЖЭТФ. - 1999. - Т. 116. - Вып. 2. - С. 611-619.
3. Prudnikov P.V., Prudnikov V.V., Fedorenko A.A. Field-theory approach to critical behavior of systems with long-range correlated defects. // Phys. Rev. В. - 2000. - V. 62. - N. 13. - P. 8777-8786.
4. Прудников П.В., Прудников В.В., Федоренко А.А. Мультикритическое поведение неупорядоченных систем с двумя параметрами порядка. // Физика твердого тела. - 2000. - Т. 42. - Вып. 1. - С. 158-162.
5. Prudnikov P.V., Prudnikov V.V., Fedorenko A.A. Stability of critical behaviour of weakly disordered systems to introduction of potentials with replica symmetry breaking. // J. Phys. A: Math.Gen. - 2001.
- V. 34. - N. 12. - P. L145-L152.
6. Prudnikov P.V., Prudnikov V.V., Fedorenko A.A. Stability of critical behaviour of weakly disordered systems with respect to the replica symmetry breaking. // Phys. Rev. B. - 2001. - V. 63. - N. 18. - P. 184201-184206.
7. Прудников П.В., Прудников В.В., Федоренко А.А. Устойчивость критического поведения слабо неупорядоченных систем к нарушению репличной симметрии. // Письма в ЖЭТФ. - 2001. - Т. 73.
- Вып. 3. - С. 153-158.
8. Прудников П.В., Прудников В.В., Федоренко А.А. Устойчивость критического поведения слабо неупорядоченных систем к введению потенциала взаимодействия с нарушенной репличной симметрией. // Физика твердого тела. - 2001. - Т. 43. - Вып. 9. - С. 1688-1692.
9. Prudnikov P.V., Prudnikov V.V. Critical behaviour of weakly disordered systems with replica symmetry breaking potentials. // J. Phys. Stud. - 2001. - V. 5. - N. 3/4. - P. 285-292.
10. Прудников П.В., Прудников В.В. Критическое поведение неупорядоченных систем с эффектами нарушения репличной симметрии. // ЖЭТФ. - 2002. - Т. 122. - Вып. 3. - С. 636-646.
11. Prudnikov P.V., Prudnikov V.V., Dorofeev S.V., Kolesnikov V.Yu. Monte Carlo studies of critical behaviour of systems with long-range correlated disorder. // Condensed Matter Physics. - 2005. - V. 8. - N. 1. - P. 213-224.
12. Prudnikov P.V., Prudnikov V.V. The influence of disorder on the critical sound attenuation in solids.
// J. Phys.: Condens. Matter. - 2005. - V. 17. - P. L485-L492.
13. Прудников П.В., Прудников В.В., Криницын А.С. Расчет динамического критического индекса методом суммирования асимптотических рядов. // Теоретическая и математическая физика. - 2006. - Т. 147. - Вып. 1. - С. 138-155.
14. Diehl H.W., Shpot M.A., Prudnikov P.V. Boundary critical behaviour at m-axial Lifshitz points of semiinfinite systems with a surface plane perpendicular to a modulation axis. // J. Phys. A: Math.Gen. - 2006. - V. 39. - P. 7927-7942.
15. Prudnikov P.V., Prudnikov V.V. Critical sound attenuation of three-dimensional Ising systems. // Condensed Matter Physics. - 2006. - V. 9. - N. 2. - P. 403-410.
16. Prudnikov P.V., Prudnikov V.V., Zheng B., Dorofeev S.V., Kolesnikov V.Yu. Short-time critical dynamics of the three-dimensional systems with long-range correlated disorder. // Progress of Theoretical Physics.
- 2007. - V. 117. - N. 6. - P. 973-991.
17. Прудников В.В., Прудников П.В., Вакилов А.Н., Криницын А.С. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга. // ЖЭТФ. - 2007. - Т. 132.
- Вып. 2. - С. 417-425.
18. Прудников П.В., Прудников В.В., Носихин Е.А. Аномальное поглощение ультразвука в твердых телах при фазовых переходах второго рода с учетом эффектов релаксации. // Физика металлов и металловедение. - 2007. - Т. 104. - Вып. 3. - С. 235-240.
19. Прудников П.В., Прудников В.В. Влияние структурного беспорядка на аномальное критическое поглощение ультразвука в твердых телах. // Известия вузов. Физика. - 2007. - Вып. 5. - С. 43-49.
20. Прудников П.В., Прудников В.В., Носихин Е.А. Влияние дефектов структуры на аномальные особенности распространения ультразвука в твердых телах при фазовых переходах второго рода.
// ЖЭТФ. - 2008. - Т. 133. - Вып. 5. - С. 1027-1035.
21. Прудников П.В., Прудников В.В., Калашников И.А., Циркин С.С. Ренорм-групповое описание процессов неравновесной критической релаксации в коротко-временном режиме: трехпетлевое приближение. // ЖЭТФ. - 2008. - Т. 133. - Вып. 6. - С. 1251-1257.
22. Prudnikov P.V., Prudnikov V.V. Influence of long-range correlated defects on critical ultrasound propagation in solids. // Phys. Rev. B. - 2009. - V. 80. - P. 024115-1 - 024115-11.
23. Прудников В.В., Прудников П.В., Вакилов А.Н., Криницын А.С., Рычков М.В. Компьютерное моделирование неравновесной критической динамики структурно неупорядоченных ферромагнетиков. - Научное издание. Труды Семинара по вычислительным технологиям в естественных науках. Вып. 1. Вычислительная физика / Под ред. Р. Р. Назирова.- М. : Изд-во Книжный Дом Университет, 2009. - С. 240-263.
24. Прудников П.В., Прудников В.В., Колесников В.Ю., Медведева М.А., Желтышев П.А. Численное исследование влияния протяженных дефектов структуры на критическое поведение трехмерных систем методом коротковременной динамики. - Научное издание. Труды Семинара по вычислительным технологиям в естественных науках. Вып. 1. Вычислительная физика / Под ред. Р. Р.
Назирова.- М. : Изд-во Книжный Дом Университет, 2009. - С. 264-278.
25. Прудников В.В., Вакилов А.Н., Прудников П.В. Фазовые переходы и методы их компьютерного моделирования. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 224 с.
26. Прудников П.В., Медведева М.А., Желтышев П.А. Численное исследование неравновесного критического поведения трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами. // Вестник Омского университета. - 2009. - Вып. 4. - C. 108-113.
27. Прудников П.В., Прудников В.В., Калашников И.А., Рычков М.В. Неравновесная критическая релаксация структурно неупорядоченных систем в коротко-временном режиме: ренорм-групповое описание и компьютерное моделирование. // ЖЭТФ. - 2010. - Т. 137. - Вып. 2 - С. 287-300.
28. Prudnikov P.V., Prudnikov V.V., Krinitsyn A.S., Vakilov A.N., Pospelov E.A., Rychkov M.V. Shorttime dynamics and critical behavior of the three-dimensional site-diluted Ising model. // Physical Review E. - 2010. - V. 81. - P. 011130-1 - 011130-11.
29. Прудников П.В., Анкилов Н.Н., Анкилова Г.А. Теоретико-полевое описание мультикритического поведения n-компонентных сжимаемых систем. // Вестник Омского университета. - 2010. - Вып. 2. - С. 57-61.
30. Прудников П.В., Яковлев М.И., Бакланов А.В., Воронина А.О., Горохова О.В. Теоретический расчет критических характеристик неупорядоченной системы с дальнодействующей корреляцией дефектов. // Вестник Омского университета. - 2010. - Вып. 2. - С. 62-66.
31. Прудников П.В., Кормилов В.К. Суммирование многопараметрических асимптотических рядов в теории критических явлений методом конформного отображения. // Вестник Омского университета. - 2010. - Вып. 2. - С. 67-70.
32. Прудников П.В., Рычков М.В., Кузнецова Ю.С. Численное исследование неравновесного критического поведения неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных полей. // Вестник Омского университета. - 2010. - Вып. 2. - С. 77-80.
33. Прудников П.В., Медведева М.А., Желтышев П.А. Численное исследование влияния эффектов корреляции дефектов структуры на критическую динамику модели Гейзенберга. // Вестник Омского университета. - 2010. - Вып. 4. - C. 64-69.
34. Прудников П.В., Куликов Д.Н. Неравновесная критическая динамика структурно неупорядоченных систем с дальнодействующей корреляцией дефектов. // Письма в ЖЭТФ. - 2011. - Т. 93. - Вып. 2 - С. 106-111.