Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Амелькин Николай Иванович
СТАЦИОНАРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА, НЕСУЩЕГО СИЛОВЫЕ ГИРОСКОПЫ, И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ
Специальность 01.02.01 - теоретическая механика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва - 2011
Работа выполнена на кафедре теоретической механики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Московский физико-технический институт (государственный университет)
Официальные оппоненты:
академик РАН, доктор физико-математических наук профессор Журавлев Виктор Филиппович доктор физико-математических наук профессор Карапетян Александр Владиленович доктор физико-математических наук профессор Степанов Сергей Яковлевич
Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт Прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН
Защита состоится 6 октября 2011 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д002.240.01 при Институте Проблем Механики им. А.Ю. Ишлинского РАН по адресу: 119526, Москва, проспект Вернадского, д.101, корп. 1.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМех РАН.
Автореферат разослан 2011 года.
Ученый секретарь диссертационного совета Д002.240.при ИПМех РАН кандидат физико-математических наук Сысоева Е.Я.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Системы управления и стабилизации вращательного движения твердого тела, использующие в качестве исполнительных элементов силовые гироскопы или роторы (маховики), разделяются на активные и пассивные. К активным относятся системы, в которых движение гироскопов или маховиков относительно несущего тела является управляемым. В таких системах управление, обеспечивающее требуемое вращательное движение несущего тела, строится на принципах обратной связи и осуществляется с помощью активных моментных устройств, устанавливаемых на осях рамок гироскопов или осях маховиков. В качестве примеров активных систем можно указать системы ориентации космических станций, в которых используются гиродины, и системы ориентации геостационарных спутников, использующие управляемые маховики.
В пассивных гиросиловых системах взаимодействие между несущим телом и гироскопами обеспечивается только за счет реакций связей и устанавливаемых в осях рамок гироскопов пассивных моментных устройств, например, пружин и демпферов. В принципах их работы помимо гироскопических свойств вращающихся тел используются также свойства внешней среды (моменты гравитационных и аэродинамических сил, магнитное поле и др.). Гироскопы (или роторы) применяются в таких системах с целью получить дополнительные восстанавливающие моменты, а также новые стационарные движения, отличные от стационарных движений твердого тела. Кроме того, использование гироскопов с демпфированием в осях рамок обеспечивает во многих случаях асимптотические свойства системы, что особенно важно для практики.
В диссертации рассматриваются задачи пассивной гироскопической и гравитационно-гироскопической стабилизации вращательного движения твердого тела. В связи с этим исследуются свойства стационарных движений твердого тела, несущего силовые гироскопы, в однородном внешнем поле (при отсутствии внешних моментов сил) и в центральном гравитационном поле.
К настоящему времени достаточно подробно изучена задача о стационарных движениях твердого тела, несущего осесимметричные силовые роторы с постоянной скоростью собственного вращения. Для случая однородного внешнего поля полное аналитическое решение этой задачи для всевозможных вариантов установки оси ротора в несущем теле приведено в книге Й. Виттенбурга Динамика систем твердых тел.
Большое число работ (В.В. Румянцев, В.Н. Рубановский, Р.В.
онгман, Р.Е. Роберсон, В.А. Сарычев, С.Я. Степанов и др.) посвящено исследованию стационарных движений спутника, несущего силовой ротор, в центральном гравитационном поле в рамках ограниченной круговой задачи. Подробное аналитическое решение прямой задачи, в которой определяется зависимость стационарных движений от величины кинетического момента ротора и главных центральных моментов инерции спутника, получено для случаев, когда ось ротора параллельна главной оси, либо главной плоскости инерции спутника (В.А. Сарычев, С.А. Мирер, А.А. Дегтярев).
Проведен сравнительный анализ стационарных движений спутника с силовым ротором в ограниченной и неограниченной задаче (В.В. Румянцев, С.Я. Степанов).
Стационарные движения твердого тела, несущего силовые гироскопы, до последнего времени были изучены в меньшей степени. В опубликованных работах на эту тему (В.А. Сарычев, С.А. Мирер, А.В. Исаков, Р.С. Суликашвили и др.) в основном исследовались отдельные стационарные движения систем с конкретной схемой установки гироскопов в несущем теле, либо анализ был ограничен узким диапазоном значений параметров системы.
В диссертации основное внимание уделено решениям прямой задачи, в которой определяется зависимость стационарных движений от таких параметров, как величина суммарного кинетического момента системы (для случая однородного внешнего поля), значения кинетических моментов роторов гироскопов, углы установки осей рамок гироскопов в несущем теле, значения главных центральных моментов инерции системы.
Целью работы является изучение свойств стационарных движений твердого тела, несущего двухстепенные и трехстепенные силовые гироскопы.
Задачами исследования являются:
- разработка эффективных методов определения стационарных движений и методов анализа их устойчивости.
- поиск решений прямой задачи о стационарных движениях твердого тела, несущего силовые гироскопы, в однородном внешнем поле и в центральном гравитационном поле.
- анализ предельных движений системы при наличии диссипации в осях рамок гироскопов.
- анализ стационарных конфигураций систем, состоящих из произвольной совокупности связанных тел, в однородном и центральном гравитационном поле.
Методы исследования. В диссертации применяются методы теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости, в том числе первая теорема Рауса и ее модификации, теоремы Ляпунова и Четаева, теоремы Барбашина и Красовского.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные новые результаты, которые выносятся на защиту:
1. Уравнения движения системы несущее тело - силовые гироскопы и алгоритм исследования устойчивости стационарных движений в однородном внешнем поле.
2. Теорема о предельных движениях гиростатов в однородном внешнем поле при наличии диссипации в осях рамок гироскопов.
3. Аналитическое решение прямой задачи о стационарных движениях твердого тела, несущего один двухстепенной силовой гироскоп, в однородном внешнем поле для различных вариантов установки оси прецессии гироскопа в несущем теле.
4. Аналитическое решение прямой задачи о стационарных движениях в однородном внешнем поле твердого тела, несущего систему двухстепенных силовых гироскопов, установленных по коллинеарной схеме.
5. Аналитическое решение прямой задачи о стационарных движениях в однородном внешнем поле твердого тела, несущего произвольное число трехстепенных силовых гироскопов в кардановых подвесах.
6. Алгоритм анализа устойчивости положений относительного равновесия спутника, несущего двухстепенные силовые гироскопы с диссипацией в осях рамок, в центральном гравитационном поле.
7. Аналитическое решение прямой задачи о положениях равновесия на круговой орбите спутника, несущего двухстепенной силовой гироскоп с осью рамки, параллельной одной из главных центральных осей инерции спутника.
8. Аналитическое решение прямой задачи о положениях равновесия на круговой орбите динамически симметричного спутника с двухстепенным силовым гироскопом при произвольном расположении оси прецессии гироскопа в корпусе спутника.
9. Алгоритм определения стационарных конфигураций и характера их устойчивости для произвольной системы связанных тел в однородном внешнем поле и в центральном гравитационном поле на круговой орбите.
Достоверность и обоснованность результатов работы обеспечивается корректностью постановок задач, наличием полных и строгих доказательств утверждений. Полученные в работе аналитические выводы подтверждаются результатами численного моделирования.
Практическая ценность работы. Полученные в работе результаты могут быть использованы при проектировании систем гироскопической и гравитационно-гироскопической стабилизации вращательного движения спутников.
Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на заседаниях Всероссийского научного семинара имени академика Румянцева В.В. (Москва, МГУ им. Ломоносова, 2008 и 2011 гг.), на заседаниях Всероссийского научного семинара Механика систем имени академика А.Ю. Ишлинского (Москва, Институт Проблем механики, 2010 г.), на международном конгрессе Нелинейный динамический анализ (Санкт-Петербург, 2007), на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006), на X международном семинаре им. Е.С. Пятницкого Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (Москва, ИПУ РАН, 2008), на X Международной конференции Устойчивость, управление и динамика тврдого тела (Донецк, 2008), на XI международном семинаре им. Е.С. Пятницкого Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (Москва, ИПУ РАН, 2010), на X Крымской международной математической школе Метод функций Ляпунова и его приложения MFL-2010 (Крым, Алушта, 2010), на XXX академических чтениях по космонавтике (Москва, 2006), на XLIX научной конференции МФТИ (Долгопрудный, 2006), на заседаниях семинара кафедры теоретической механики МФТИ (Долгопрудный, 2005Ц2011).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 научных работах, в том числе 14 статей [1Ц14] опубликовано в журналах из Перечня ведущих научных журналов и изданий ВАК и 9 тезисов докладов [15Ц22].
ичный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 249 страницах, содержит 53 иллюстрации. Библиография включает 115 наименований.
Содержание работы Во введении обосновывается актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования, дается краткий исторический обзор и краткое содержание диссертации.
Глава 1 посвящена методам исследования стационарных движений твердого тела, несущего N двухстепенных силовых гироскопов с постоянными скоростями вращения роторов (рис.1).
sk i3 xk e3 e2 Ck Rk k hk i3 R C i i1 e O i i Рис. Рассматриваются системы, не обладающие в общем случае свойством гиростата, и используются следующие обозначения:
C E ( Ce1e2 e3 ) - базис с началом в центре масс системы несущее тело - гироскопы, параллельный жестко связанному с несущим телом базису, C I ( Ci1 i2 i3 ) - базис Кенига, параллельный инерциальному базису OI ( Oi1 i2 i3 ), sk (k 1,N) - единичные векторы, определяющие фиксированные направления осей рамок гироскопов в базисе C E, xk - углы прецессии гироскопов, x - Nмерный вектор, составленный из углов xk, h (xk ) - единичные k векторы, указывающие текущие направления осей роторов, Hk (xk ) Hkh - кинетические моменты собственного вращения k роторов, H(x) - вектор суммарного кинетического момента роторов, J (xk ) - тензор инерции k-го гироскопа (ротора вместе с рамk кой) в базисе CkE, получаемом параллельным переносом базиса CE в центр масс гироскопа Ck, J(x) - тензор инерции системы в базисе C E, - угловая скорость несущего тела (базиса C E ) относительно базиса Кенига, заданная проекциями на оси базиса C E.
В разделе 1.1 дается постановка задачи и сформулированы основные допущения о геометрии системы и внешнем силовом поле.
В разделах 1.2Ц1.5 рассматриваются системы со статически уравновешенными гироскопами. В разд. 1.2 определяется зависимость тензоров инерции Jk и J от текущей конфигурации x. Получены формулы для производных от тензоров инерции:
J xk Jk xk Sk Jk Jk Sk. (1) Здесь Sk - кососимметрическая матрица, представляющая собой матричный оператор векторного умножения: Sk r sk r. Из (1) следует, что система несущее тело - гироскопы будет гиростатом, т.е. ее тензор инерции J будет неизменным, в том случае, когда помимо статической уравновешенности каждый гироскоп динамически симметричен относительно своей оси рамки sk. Для гиростатов неизменны все тензоры Jk и выполняются равенства Jk sk Ik sk, sT (rJk r) 0, (2) k где Ik - моменты инерции гороскопов относительно осей sk, r - произвольный вектор из трехмерного пространства.
Для системы со статически уравновешенными гироскопами кинетический момент K относительно центра масс С имеет вид N N K J xk H; H ; xk sk xk. (3) J H k k k1 kКинетическая энергия системы относительно базиса Кенига выражается в виде суммы T T2 T1 T0 квадратичной, линейной и ну~ левой формы скоростей , x, а обобщенная энергия V T2 T0 с точностью до аддитивной постоянной T0 ( T0 const вследствие постоянства угловых скоростей k ) определяется формулой N N ~ T V (,x,x) T JT kxk Jkxk , (4) J 1x k 2 k1 k где - потенциальная энергия всех действующих сил. Функция (4) представляет собой полную энергию движения системы относительно базиса Кенига, вычисленную при замороженных роторах гироскопов.
В разделе 1.3 выводятся уравнения движения системы относительно базиса Кенига. Они разделяются на уравнения Пуассона, описывающие движение базиса C E относительно базиса Кенига, и уравнения для фазовых переменных , x, x. Последние записываются в виде N JJ (xk xk )(xk )(Jkxk Hk )xk Jk]M. (5) [J k k k sT J ( x x ) sT ((Jk ( xk ) H )) M ; k 1,N. (6) k k k k k k Здесь M - момент действующих на систему внешних сил относительно ее центра масс, M - момент действующих на гироскоп сил k относительно оси sk. Для гиростатов уравнения (5), (6) принимают следующий упрощенный вид:
N JJ x (Ikxk H ) xk H ) M. (5*) (I k k k k k k k I (sT x )sT (Hk ) M ; k 1,N. (6*) k k k В разделе 1.4 исследуются движения системы в однородном внешнем поле (при отсутствии внешних моментов сил). В рассматриваемой задаче M 0, а моменты M обусловлены только внутk ренними потенциальными и диссипативными силами, действующими в осях рамок гироскопов, и определяются выражениями D D Mk Mk Mk, где Mk xk, Mk xk 0.
В этом случае уравнения движения (5), (6) образуют замкнутую систему порядка 2N 3 и имеют первый интеграл N ~ f (,x,x) (J xk H)2 K, (7) J k kа обобщенная энергия (4) удовлетворяет соотношению N ~ D V xk 0. (8) M k k Определение. Стационарными движениями системы в однородном внешнем поле будем называть движения, которые характеризуются постоянными значениями фазовых переменных ,x.
Уравнения для стационарных движений получаются из уравне ний (4), (5) при 0, x 0 и имеют вид (JH) 0, sT ((JkHk )) xk ; k 1,N. (9) k Теорема 1.1. Стационарные движения системы соответствуют условно-стационарным точкам функции (4) на многообразии (7) и в пространстве переменных ,x совпадают с условностационарными точками лусеченной функции ~ V (,x) V (,x,0) TJ 2 (x) (10) на лусеченном многообразии ~ f (,x) f (,x,0) (JH)2 K. (11) На основании теоремы 1.1 все стационарные движения могут быть найдены как стационарные точки функции Лагранжа с множителем:
L(,x) V f 2TJ 2 (x) (JH)2 2. (12) В разделе 1.5 излагается метод исследования устойчивости стационарных движений в однородном внешнем поле.
Теорема 1.2. В окрестности стационарной точки {*,x*,0} ~ функция V (4) на многообразии (7) представляется в виде ~ V F W(,x,K ) ; W(, x, K ) V, (13) (11) (7) где F - строго положительно определенная квадратичная форма скоростей x, а W(,x,K ) - усеченная обобщенная энергия (10), вычисленная на усеченном многообразии (11).
Из теорем 1.1 и 1.2 следует, что усеченная обобщенная энергия V (10), вычисляемая на усеченном многообразии (11), служит аналогом эффективной потенциальной энергии. Стационарные точки, в которых функция (10) имеет строгий условный минимум, устойчи вы по переменным , x, x независимо от того, действуют в осях рамок гироскопов диссипативные моменты, или нет. В дальнейшем, следуя Кельвину, все такие точки будем называть устойчивыми в вековом смысле. В свою очередь, стационарные точки, в которых функция V не имеет условного минимума, будем называть неустойчивыми в вековом смысле. Характер вековой устойчивости оп ределяется на основе анализа квадратичной формы d L на множестве вариаций d, dx, связанных уравнением df d(JH)2 0. (14) Если d L является строго положительно определенной на множестве (14), то стационарное движение устойчиво, а если она принимает отрицательные значения на некотором подмножестве множества (14), то движение неустойчиво в вековом смысле.
При наличии диссипации в осях рамок гироскопов возможен более детальный анализ устойчивости стационарных движений с использованием теоремы БарбашинаЦКрасовского:
Если стационарное движение {*,x*,0} удовлетворяет условию 1. В достаточно малой окрестности точки z* {*, x*,0} на многообразии (7) нет других предельных движений (целых ~ траекторий z0(t) z*, таких что V (z0(t)) 0 ), то в случае вековой устойчивости это движение условно асимптотически устойчиво, а в случае вековой неустойчивости - неустойчиво по Ляпунову.
Здесь под условной асимптотической устойчивостью понимается асимптотическая устойчивость по отношению к возмущениям, для которых постоянная K в интеграле (7) не меняется.
Для случая, когда диссипативные моменты действуют в осях рамок всех гироскопов, предельные движения характеризуются постоянными значениями всех углов прецессии гироскопов и описываются уравнениями J(JH) 0, (15) sTJ sT ((JkHk )) xk ; k 1,N. (16) k k k Эти уравнения образуют переопределенную систему из N 3 дифференциальных уравнений относительно трех компонент вектора , а углы xk (k 1,N) выступают в них в роли параметров.
Система (15), (16) имеет тривиальные решения const, которые соответствует стационарным движениям и описывается уравнениями (9). Для выполнения условия 1 необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемая точка {*,x*} была изолирована от других стационарных точек на многообразии (11), и чтобы переопределен ная система (15), (16) не имела нетривиальных решений в некоторой окрестности точки {*,x*} на многообразии (11).
Для анализа нетривиальных решений системы (15), (16) используются первые и частные интегралы этой системы.
Уравнение (15) имеет два первых интеграла TJ 2 T* const, (17) (J H)2 K2 const. (18) Кроме того, для совместности системы (15), (16) уравнение (15) должно иметь N частных интегралов следующего вида:
sTJ J1((JH)) sT ((J Hk )) xk ; k 1,N. (19) k k k k Первые интегралы (17) и (18) задают два эллипсоида в пространстве вектора , а каждый из частных интегралов (19) задает поверхность второго порядка, которая в частных случаях может вырождаться в пару пересекающихся плоскостей.
Теорема 1.3. Для существования нетривиальных решений системы (15),(16) необходимо и достаточно, чтобы при некоторых 2 * фиксированных значениях углов xk (k 1,N) и постоянных K и T поверхности (17)Ц(19) имели в качестве общей линии пересечения полноценную кривую (континуум) в пространстве вектора .
Теорема 1.3 применяется в разделе 2.1 при исследовании нестационарных предельных движений (нетривиальных решений системы (15), (16)) для гиростатов.
В разделе 1.6 дано обобщение результатов, полученных в разделах 1.2 Ц1.5, на случай статически неуравновешенных гироскопов.
В разделе 1.7 рассматриваются произвольные системы связанных тел (без гироскопов), не обладающие свойством гиростата. Показано, что стационарным движениям в однородном внешнем поле соответствуют конфигурации системы, доставляющие стационарные значения трем функциям Wk (x) K 2Jk (x) (x); k 1,2,3, (20) где (x) - потенциальная энергия внутренних консервативных сил, Jk (x) - главные центральные моменты инерции системы, x - вектор, задающий конфигурацию системы. Достаточным условиям устойчивости удовлетворяют точки строгого локального минимума функции W3 K 2J3 , где J3 max Jk.
k В разделе 1.8 излагается метод исследования стационарных движений (относительных равновесий) спутника, несущего двухстепенные силовые гироскопы, в центральном гравитационном поле в рамках ограниченной круговой задачи. Орбитальный базис задается единичными взаимно ортогональными векторами r R R, n 0 0, nr, где R - радиус-вектор, соединяющий центр притяжения с центром масс спутника, 0 - вектор угловой скорости орбитального базиса.
Обобщенная энергия спутника определяется выражением ~ V T2 W ; W 0 (3rTJr nTJn2nTHtrJ) 2 , (21) где T2 - строго положительно определенная квадратичная форма скоростей ,x, представляющая собой кинетическую энергию спутника относительно орбитального базиса, вычисленную при замороженных роторах гироскопов, - угловая скорость корпуса спутника относительно орбитального базиса, W - измененная потенциальная энергия, зависящая только от углов прецессии гироскопов и взаимной ориентации орбитального и связанного с корпу~ сом базиса, H(x) H 0 - приведенный суммарный кинетический момент роторов, (x) - потенциальная энергия внутренних консервативных сил. Все фигурирующие в формуле (21) векторы и тензор инерции спутника J заданы в базисе CE.
Обобщенная энергия спутника удовлетворяет условию (8), а стационарные движения соответствуют стационарным точкам функции W и при учете равенств nTn 1, rTr 1, nTr 0 могут быть найдены как стационарные точки функции Лагранжа L W 0 1nTn 22 rTr 23 nTr (22) из системы уравнений L xk 0 W xk 0; k 1, N, ~ L n 0 (Jn H) 1 n 3 r 0, (23) L r 0 3Jr r 3 n 0.
Неизвестными в этой системе являются углы прецессии гироскопов xk (k 1,N) и три переменные, определяющие ориентацию орбитального базиса относительно корпуса спутника. Для гиростатов первая группа уравнений (23) принимает вид ~ ~ ~ nT (sk Hk ) xk 0; k 1,N, 0. (23*) Анализ вековой устойчивости стационарных движений спутника сводится к исследованию второго дифференциала d L функции (22) на множестве вариаций, связанных уравнениями nTdn 0, rTdr 0, nTdr rTdn 0. (24) Вариации векторов орбитального базиса выражаются через независимые вариации u,v,w равенствами d n ur v, d r un w, (25) а множители Лагранжа определяются из уравнений (23) формулами ~ 1 nT (Jn H), 2 3rT Jr, 3 3nT Jr. (26) С учетом соотношений (25), (26) квадратичная форма d L на множестве (24) сводится к квадратичной форме от N 3 независимых вариаций u,v,w и zk dxk. Для гиростатов эта квадратичная форма принимает следующий вид:
~ ~ 2 2 d L [4(nT JnrT Jr)nT H]u (nT JnT JnT H)v (24) (27) 3(T JrT Jr)w2 6nT Juw6nT Jrvw ~ N N ~ T (Hk sk (sT Hk )) zk 2(ruv)T (sk Hk )zk [n ~ ~ z zk ].
k x xk j k1 jj В разделе 1.9 проводится анализ равновесных конфигураций произвольной системы связанных тел, не обладающей свойством гиростата, в центральном гравитационном поле на круговой орбите.
Показано, что равновесным конфигурациям соответствуют стационарные точки следующих шести функций:
~ Wi j k (x) (2Ji 2J Jk ) 2 ; i j k 1,2,3, (28) j а достаточным условиям устойчивости удовлетворяют точки строгого локального минимума функции W132, где (x) - потенциаль ная энергия внутренних консервативных сил, J1(x) J (x) J (x) - 2 главные центральные моменты инерции системы, x - вектор, задающий конфигурацию системы.
В главе 2 исследуются предельные движения системы при наличии диссипации в осях рамок гироскопов.
В разд. 2.1 проводится анализ предельных движений гиростатов в однородном внешнем поле.
Теорема 2.1. 1) Если система не обладает динамической симметрией ( A B C ), то все множество ее предельных движений исчерпывается стационарными вращениями.
2) Если A B C, то при специальном подборе значений параметров s, I, H (k 1, N) система допускает нестационарные k k k предельные движения - регулярные прецессии, изолированные от стационарных движений на многообразии (7).
Следствие из теоремы 2.1. Для гиростатов условие 1 теоремы БарбашинаЦКрасовского сводится к изолированности стационарного движения {*, x*} от других стационарных движений на 2 многообразии (11) при K [J* H(x*)].
В силу теоремы 2.1 анализ устойчивости по Ляпунову стационарных движений гиростатов в однородном внешнем поле при наличии диссипации в осях рамок гироскопов сводится в основной части к анализу вековой устойчивости, поскольку проверка изолированности стационарных движений на многообразии (11) не представляет принципиальных трудностей.
В разделе 2.2 излагается основанная на результатах работ Пожарицкого Г.К. и Лилова Л.К. методика исследования предельных движений системы с частичной диссипацией в малой окрестности положения равновесия с использованием усеченных уравнений линейного приближения.
Рассматривается автономная система, положение которой задается ( nm )-мерным вектором обобщенных координат q, где T T T T q ( xT, y ), x (x1,, xn), y (y1,, ym).
Предполагается, что известна функция фазовых переменных V (q, q), для которой в силу уравнений движения системы выпол няется условие V 0. Рассматривается случай, когда диссипация действует только по координатам x1,, xn, т.е.
(29) V 0 при x 0, V 0 при x 0.
Запишем уравнения движения системы в виде, разрешенном относительно старших производных:
z f (z, x, x), x (z, x, x). (30) T T T Здесь z (y, y ), а f и - вектор-функции фазовых переменных размерности 2m и n, соответственно.
Обозначим через q (t) целые траектории предельных движений (q системы, т.е. движений, удовлетворяющих условию V (t)) 0.
Пусть система допускает положение равновесия q 0 ( z 0, x 0 ). Поскольку в силу (29) все предельные движения характери зуются тождественным равенством x(t) 0, для отсутствия в окрестности точки z 0, x 0 целых траекторий q (t) необходимо и достаточно, чтобы в этой окрестности получаемая из (30) при x система уравнений z f (z, 0, x), 0 (z, 0, x) (31) имела только тривиальное решение z 0, x 0.
Система (31) представляет собой переопределенную систему дифференциальных уравнений относительно переменных z, а переменные x могут принимать только фиксированные значения, т.е.
выступают в роли параметров. Проведя линеаризацию уравнений (31) в окрестности положения равновесия, получим систему z AT z B x, PT z C x 0 (32) где матрицы выражаются через производные от вектор-функций f и в точке z 0, x 0 формулами AT f zT, B f xT, PT zT, C xT.
Теорема 2.2 (Пожарицкий Г.К., Лилов Л.К.). Для отсутствия нетривиальных решений системы (31) в малой окрестности положения равновесия z 0, x 0 достаточно выполнения условий AT B d det 0, rank P AP A2 P... A2m1 P 2m. (33) PT C Первое из условий (33) обеспечивает изолированность точки q 0 от других положений равновесия линейной системы (32) и означает, что в рамках нелинейной системы (30) положение равновесия q 0 не является точкой ветвления. Второе из условий (33) означает, что усеченная система z AT z, PT z 0, (34) получаемая из уравнений (32) при x 0, имеет только тривиальное решение z 0.
Для спутника, несущего силовые гироскопы с диссипацией в осях рамок, функцией V (q, q) служит обобщенная энергия (21), переменными x - углы прецессии гироскопов, а переменными y - углы ориентации спутника относительно орбитального базиса.
В разделе 2.3 выводятся линеаризованные в окрестности положений равновесия уравнения движения спутника на круговой орбите и приводится алгоритм анализа устойчивости положений равновесия при наличии диссипации в осях рамок гироскопов.
Нелинейные уравнения движения спутника-гиростата относительно орбитального базиса выводятся из уравнений (5*), (6*) и имеют следующий вид:
N J( 0 n) x (0 n ) Ikxk xk H ] 1[I k k k (35) k (0 n )[J(0 n ) H] 30 (rJr), k I [sT (0 n) x ](0 n )T (sk H ) M ; k 1,N. (36) k k k k Здесь 0 - угловая скорость орбитального базиса, - угловая скорость корпуса спутника относительно орбитального базиса, век k k k торы xk и x определяются выражениями xk sk xk, x sk x, а Mk - моменты внутренних потенциальных и диссипативных сил в осях рамок. В записанных уравнениях векторы орбитального базиса задаются в базисе, связанном с корпусом спутника, а их производные по времени выражаются равенствами n n, r r. (37) В предположении, что моменты Mk обусловлены силами пружин и демпферов, установленных на осях рамок, линеаризованные в окрестности положений равновесия уравнения движения спутника записываются в следующем виде:
N N N ~ ~ JU xk (Hk Ik n) n Hk ) F(U) f (), (38) I x (x k k k k1 k1 k~ ~ ~ ~ Ik (sTU xk ) (sk Hk )T U k xk (nTHk ck ) xk ; k 1,N, (39) k Un. (40) Здесь - вектор малого поворота корпуса спутника относительно орбитального базиса, xk - отклонения углов прецессии от их значений в положении равновесия, штрихом обозначены производные по безразмерному времени 0 t, ~ ~ ~ Hk Hk 0, k k 0, ck ck 0 ; k 1,N (41) - приведенные кинетические моменты роторов, коэффициенты вязкого трения и коэффициенты жесткости пружин, соответственно, а векторы f () и F(U) определяются формулами f() 3[(r)Jr rJ(r)], (42) ~ F(U) U(JnH)nJU. (43) В уравнениях (38)Ц(40) переменными являются компоненты векто~ ров , U и углы xk, а векторы n, r,Hk фиксированы и равны их значениям в положении равновесия.
При x 0 система (38)Ц(40) принимает вид JU F(U)f(), (44) Un, (45) ~ Ik sT U (sk Hk )T U ; k 1,N (46) k и представляет собой переопределенную систему из N 6 скалярных дифференциальных уравнений для шести переменных.
В силу теоремы 2.2 при наличии диссипации в осях рамок гироскопов в малой окрестности положения равновесия спутника заведомо нет целых траекторий других предельных движений, если это положение не является точкой ветвления, и если система (44)Ц(46) не имеет нетривиальных решений. Отсюда следует, что для анализа устойчивости положений равновесия спутника, несущего двухстепенные силовые гироскопы с диссипацией в осях рамок, применима теорема БарбашинаЦКрасовского в следующей формулировке:
Теорема 2.4. Если для положения равновесия, не являющегося точкой ветвления, усеченная линеаризованная система (44)Ц(46) имеет только тривиальное решение 0, U 0, то в случае вековой устойчивости это положение асимптотически устойчиво, а в случае вековой неустойчивости - неустойчиво по Ляпунову.
Систему (44)Ц(46) можно привести к виду (34), а отсутствие у нее нетривиальных решений описать вторым из условий (33), если разрешить уравнение (44) относительно переменной U и подставить полученное выражение в уравнения (46).
В главе 3 приводятся подробные решения прямой задачи о стационарных движениях твердого тела с двухстепенными силовыми гироскопами в однородном внешнем поле. Здесь рассматриваются системы, обладающие свойством гиростата, т.е. гироскопы статически уравновешены и обладают динамической симметрий относительно осей рамок. Предполагается также, что оси роторов ортогональны осям рамок, а в осях рамок могут действовать только диссипативные силы. Через e1,e2,e3 обозначается базис главных центральных осей инерции, а через A,B,C - соответствующие главные моменты инерции системы. Уравнения для стационарных движений таких систем выводятся из условий стационарности функции Лагранжа (12) и имеют следующий вид:
L 0 J J(JH) 0 (JH) 0, (47) L xk 0 (JH)T (sk Hk ) 0; k 1,N. (48) Для рассматриваемой системы величина суммарного кинетического момента K K является первым интегралом, а прямая задача состоит в том, чтобы из уравнений (47), (48) и (11) найти значения вектора и углов xk (векторов hk ) в зависимости от K.
Для стационарных движений векторы и K связаны формулой K JH, вследствие которой вектор однозначно определяется по значениям векторов K и x. Поэтому в большинстве случаев определяемые ниже стационарные движения описываются вектором {K,x}, где вектор K задается своими компонентами K1,K,K3 в базисе e1e2 e3. Такое описание удобно для нахождения числа стационарных движений в зависимости от величины K, а также точек ветвления, в которых меняется характер устойчивости.
Заключение о характере вековой устойчивости стационарных движений делается на основе анализа квадратичной формы N d L vT J v vT J2 v 2 vT k Hk )zk J(s k (49) N N T (s H )T (sk Hk )z zk Hk zk K j j j j,k1 kна множестве вариаций v d, zk dxk, связанных уравнением N df 0 (JH)T [Jv H )zk ] 0. (50) (s k k kДля стационарных движений с ненулевой угловой скоростью (при 0 ) уравнение (50) принимает вид vTJK 0, т.е. вариации zk в квадратичной форме (49) независимы.
Если квадратичная форма (49) на множестве (50) является строго положительно определенной, то стационарное движение удовлетворяет достаточным условиям устойчивости (устойчиво в вековом смысле). Если же квадратичная форма (49) принимает отрицательные значения на некотором подмножестве множества (50), то стационарное движение неустойчиво в вековом смысле. При наличии диссипации в осях рамок гироскопов в силу теоремы 2.1 для изолированных на многообразии (11) стационарных движений из вековой устойчивости следует условная асимптотическая устойчивость, а из вековой неустойчивости - неустойчивость по Ляпунову.
В разд. 3.1-3.5 исследуются стационарные движения системы с одним гироскопом. Система допускает стационарные движения с нулевой угловой скоростью несущего тела (неподвижные состояния). Им соответствуют решения системы (47),(48) при 0, а угол x может принимать любое значение от 0 до 2. Неподвижные состояния существуют при K H, а в пространстве вектора K они образуют окружность радиуса H, ортогональную оси прецессии s.
Как показал анализ, каждое неподвижное состояние устойчиво только по части переменных, а именно, по переменным и x. При наличии диссипации в оси рамки гироскопа неподвижные состояния обладают условной асимптотической устойчивостью по указанным переменным.
Стационарные движения с ненулевой угловой скоростью несущего тела определяются решениями системы (47),(48) при 0 и зависят от расположения оси рамки s в базисе e1,e2,e3.
В разд. 3.1 на основании уравнений (47),(48) получены формулы T (n Jn) s H (n Jn) ; n(x) h x sh(x), (51) T (n Jn) J n T (n Jn) Js K J H H (n Jn), (52) T (n Jn) J2 n дающие параметрическое представление стационарных движений системы через угол x поворота рамки гироскопа. В случае, когда ось рамки гироскопа s не параллельна ни одной из главных плоскостей инерции системы, формулы (51) и (52) определяют все множество стационарных движений системы с ненулевой угловой скоростью. Если же ось s параллельна главной плоскости инерции, то в точках x*, для которых вектор n(x*) параллелен главной плоскости или главной оси инерции, в правых частях этих формул возникает неопределенность типа 0 0. Все соответствующие указанным точкам x* стационарные движения определяются непосредственно из системы (47)Ц(48).
В разд. 3.2 исследуется система, в которой ось рамки гироскопа параллельна одной из главных центральных осей инерции: s e3, т.е. вектор h определяется выражением h e1 cos x e2 sin x. Полученные для этой системы стационарные движения с ненулевой угловой скоростью описывается следующими решениями:
h 1e1( x 0, ), K 0, K3 0, K1 2 K. (53) h 1e2 ( x 2, 2 ),, K1 0, K3 0, K2 2 K. (54) 2 h 1e1, K 0, K1 1CH (C A), K3 2 K K1. (55) 2 h 1e2, K1 0, K2 1CH (C B), K3 2 K K2. (56) Здесь и далее для записи многозначных решений используются символы 1,2,..., каждый из которых может принимать два значения 1 и 1. Все эти решения образуют прямые линии в пространстве вектора K, а число решений {K,x} в зависимости от K составляет либо 8, либо 12, либо 16.
В рассматриваемом случае без ограничения общности можно положить A B. Тогда полученные на основе анализа квадратичной формы (49) на множестве (50) результаты исследования вековой устойчивости формулируются следующим образом (здесь и далее перечисляются только стационарные движения, удовлетворяющие достаточным условиям устойчивости, а остальные движения по умолчанию неустойчивы в вековом смысле):
1). Если ось рамки гироскопа установлена параллельно оси наименьшего или среднего момента инерции ( AC ), то для каждого значения K 0, кроме точки K H, вековой устойчивостью обладают два движения, определяемые решениями (53) при 1 2 1.
2). Если ось рамки установлена параллельно оси наибольшего ~ момента инерции ( AC ), то в диапазоне 0 K K CH (C A) система имеет два устойчивых движения (53) при 1 2 1, а в ~ диапазоне K K - четыре устойчивых движения (55).
В разд. 3.3 исследуется система, в которой ось рамки гироскопа параллельна одной из главных центральных плоскостей инерции:
s e3 cos e2 sin, т.е. h e1 cos x (e2 cos e3 sin )sin x.
В этом случае множество стационарных движений с ненулевой угловой скоростью описывается следующими решениями:
h 1e1( x 0, ), K 0, K3 0, K1 2 K. (57) h 1(e2 cos e3 sin ) (x 2, 2), (58) K1 0, K3 (CH cos 1(B C)K ) K BH sin.
2 HP e cos x sinx AC B A e e3 K(x) ;
1 (A B)( AC) B C cos sin (59) 2 P C(B A)cos B(C A)sin .
Решения (57) образуют прямые линии, проходящие через начало координат, решения (58) - две гиперболы, расположенные в плоскости K2,K3, а решения (59) - эллипс с полуосями 2 2 2 2 2 a K (0) H P (A B) (AC), 2 2 (C A) (A B) 2 2 H P b K ( 2) , 2 2 2 2 (A B) (AC) (C B) cos sin плоскость которого проходит через начало координат и ортогональна вектору e3 (AC)sin e2 (A B)cos.
В зависимости от величины K система имеет либо 8, либо 12, либо 16 стационарных движений. По результатам анализа квадратичной формы (49) на множестве (50) установлено, что характер вековой устойчивости зависит от параметров системы следующим образом:
1) A B C. Для любого K 0, кроме точки K H, вековой устойчивостью обладают только два решения (57) при 1 2 1.
2) B AC, P 0. В диапазоне 0 K a достаточным условиям устойчивости удовлетворяют два решения (57) при 1 2 1, в диапазоне a K b - четыре решения (59), в диапазоне K b - два решения (58) при 1K2 HP (BC)(B A)cos .
3) B AC, P 0. Для любого K 0 вековой устойчивостью обладают только два решения (58) при 1K 0.
4) B C A, tg4 C(B A)3 B(C A)3. Для этой области параметров достаточным условиям устойчивости удовлетворяют те же движения, что и для области 3).
5) B C A, tg4 C(B A)3 B(C A)3. Во всем диапазоне 0 K достаточным условиям устойчивости удовлетворяют два решения (58) при 1K2 0. Кроме того, в диапазоне 2 H ((Bsin)2 3 (Ccos)2 3 )3 (BC)2 K bвековой устойчивостью обладают два решения (58) из интервалов HP (B C)(B A)cos K 1 H(Ccos (B Csin2 cos)1 3) (B C) В разд. 3.4 исследуется динамически симметричная система ( A B C ), в которой ось рамки гироскопа расположена под углом к оси симметрии e3. В рассматриваемом случае главные оси e1,e2 можно выбрать так, чтобы вектор s был параллелен плоскости e2,e3, т.е. s e3 cos e2 sin, а стационарные движения определить на основе решений, полученных в разд. 3.3. Установлено, что для рассматриваемой системы стационарные движения исчерпываются решениями (57) и (58), где A B. При этом, если AC, то во всем диапазоне 0 K достаточным условиям устойчивости удовлетворяют только два решения (57) при 1 2 1, а в случае AC - только два решения (58) при 0 K21 CH cos (C A).
В разд. 3.5 исследуется система, в которой все три проекции оси рамки гироскопа на главные центральные оси инерции отличны от нуля. В этом случае все стационарные движения с ненулевой угловой скоростью описываются формулой (52). С использованием этой формулы прямая задача определения зависимости стационарных движений {K,x} от величины K сводится к нахождению корней многочлена восьмой степени 2 (u b1)2(u b2)2 P4 (u a1)2(u a2)2(u 1)K2 H 0, (60) в котором коэффициенты a1,a2,b1,b2 зависят от главных центральных моментов инерции системы A,B,C и проекций sk оси s на главные оси e1,e2,e3, а P4 - многочлен четвертой степени по переменной u tg x, не имеющий вещественных корней. При этом каждому вещественному корню многочлена (60) соответствует два стационарных движения, вследствие чего для каждого значения K система имеет не более 16 стационарных движений.
Подробный анализ показал, что при любом значении K уравнение (60) имеет, по крайней мере, 4 вещественных корня и, следовательно, система имеет, по крайней мере, 8 стационарных движений. При этом для сравнительно малых значений величины K H число вещественных корней равно 4, т.е. система имеет стационарных движений, а при достаточно больших значениях K H число вещественных корней равно 6, т.е. число стационарных движений равно 12.
Более детальное исследование зависимости стационарных движений от величины K проводилось с использованием численного анализа. Исследовались корни x(K) полученного из (52) уравнения (C B)2 (AC)2 (B A)H K F(x) (nJn)T Js. (61) 2 D n1 n2 nЗдесь n(x) sh(x), nk nek ; k 1,2,3, D (AB)(BC)(C A).
Функция F(x) (61) является периодической с периодом , а число стационарных движений системы равно удвоенному числу решений x(K) уравнения (61) на полуинтервале [0, ).
По результатам численного анализа установлено, что поведение функции (61) зависит от положения оси рамки s следующим обра зом. Октант, образованный осями e1,e2,e3, делится на четыре области S0,S1,S2,S3 (рис. 2). Если вектор s лежит в центральной области S0, то функция (61) имеет на полуинтервале [0, ) единственное ненулевое стационарное значение K1 K(x1), вследствие чего в диапазоне 0 K K1 система имеет 8 стационарных движений, а в диапазоне K K1 - 12 стационарных движений.
e3 S S0 S S1 e eРис. Если вектор s лежит в одной из областей S1,S2,S3, примыкающих к главным осям инерции, то функция (61) имеет на полуинтервале [0, ) три ненулевых стационарных значения K1 K(x1), K K(x2), K3 K(x3). При этом в диапазоне 0 K K1 система имеет 8 стационарных движений, в диапазоне K1 K K2 - стационарных движений, в диапазоне K2 K K3 - 16 стационарных движений, в диапазоне K K3 - 12 стационарных движений.
Установлено, что при A B C и sS3 для любого значения K 0 система имеет только два симметричных друг другу устойчивых в вековом смысле стационарных движения {x*(K), K*(K)}, {x*(K), K*(K)}. (62) Если же sS3, то в диапазоне K2 K K3 помимо (62) система имеет еще два симметричных друг другу устойчивых в вековом смысле стационарных движения.
Из результатов проведенного в разд. 3.2Ц3.5 анализа следует, что независимо от расположения оси рамки гироскопа все стационар ные движения с ненулевой угловой скоростью представляют собой изолированные точки на многообразии (11). Поэтому в силу теоремы 2.1 при наличии диссипации в оси рамки стационарные движения, обладающие вековой устойчивостью, будут условно асимптотически устойчивыми, а все неустойчивые в вековом смысле стационарные движения будут неустойчивы по Ляпунову.
В разд. 3.6 исследуется стационарные движения твердого тела, несущего систему из N 2 двухстепенных силовых гироскопов, в однородном внешнем поле. Здесь подробно рассматривается случай, когда гироскопы установлены в несущем теле по коллинеарной схеме, т.е. оси рамок параллельны друг другу: sk s ; k 1,N.
В указанном случае стационарным движениям с нулевой угловой скоростью (неподвижным состояниям), соответствуют решения системы (47),(48) при 0, для которых углы прецессии гироскопов xk могут принимать любые значения. Полагая для определенности H1 H2 ... HN, получим, что неподвижные состояния определены в диапазоне N N K R, где R , H1 . (63) H H k k k1 kПри 0 область определения неподвижных состояний описывается неравенством K R. В пространстве кинетического момента K множеству неподвижных состояний системы соответствует расположенное ортогонально к оси s кольцо с внешним радиусом R и внутренним радиусом .
Стационарные движения с ненулевой угловой скоростью описываются двумя группами решений. Первая группа имеет вид N JK K K s, H K. (64) H sT Js k kЭти решения представляют собой вращения вокруг оси s и определены в диапазоне sTJs g K sT JsR g, где g (Js)2 (sT Js)2.
При этом для внутренних точек указанного диапазона каждому значению вектора H, определяемого соотношением (64), соответствует для случая N 2 два значения вектора x (две комбинации век торов H1,H2 ), а в случае N 3 - (N 2) -мерное множество значений вектора x.
Для второй группы решений оси роторов параллельны, т.е.
H1 H1h, Hk k Hk h; k 2,..,N ; k 1, (65) а вектор и угол x (вектор h ) определяются из системы (JH) 0, (JH)T (sh) 0, (66) которая описывает исследованные в разделах 3.2Ц3.5 стационарные движения твердого тела, несущего один двухстепенной гироскоп с N кинетическим моментом ротора H Hh, где H H1 Hk.
k kУстановлено, что в диапазоне (63) вековой устойчивостью (по переменным и x ) обладают только неподвижные состояния, образующие в совокупности устойчивое инвариантное множество.
При наличии диссипации в осях рамок всех гироскопов это множество асимптотически устойчиво, а система будет приходить в состояние покоя из любого начального состояния, для которого величина кинетического момента принадлежит отрезу K R.
При K R вековой устойчивостью обладают только те из решений системы (65),(66), для которых кинетические моменты роторов направлены в одну сторону Hk Hk h; k 1,N, и которые соответствуют устойчивым стационарным движениям системы с одним гироскопом, имеющим кинетический момент ротора H Rh.
При K вековой устойчивостью обладают только решения, для которых H1 H1h, H Hk h; k 2,N, соответствующие усk тойчивым стационарным движениям системы с одним гироскопом, имеющим кинетический момент ротора H h.
Из полученных ранее результатов (разд. 3.2Ц3.5) следует, что в диапазонах K R и K система может иметь либо два, либо четыре устойчивых в вековом смысле стационарных движения.
Аналитическое исследование стационарных движений системы при произвольной неколлинеарной схеме установки гироскопов в несущем теле оказывается намного сложнее, чем в случае коллинеарной схемы. В разд. 3.6 рассмотрен пример системы с двумя гироскопами, оси рамок которых взаимно ортогональны и параллельны главным осям инерции системы. В зависимости от величины K такая система имеет от 16 до 48 стационарных движений с ненулевой угловой скоростью, а число устойчивых в вековом смысле движений равно либо два, либо четыре, либо восемь. Установлено, что система обладает тем же свойством, что и исследованные выше системы с коллинеарной схемой установки гироскопов, т.е. при наличии диссипации в осях рамок гироскопов система асимптотически стремится к состоянию покоя, если значение модуля суммарного кинетического момента системы принадлежит отрезку возможных значений модуля суммарного кинетического момента роторов.
В главе 4 исследуются стационарные движения (относительные равновесия) спутника с одним двухстепенным силовым гироскопом в центральном гравитационном поле в ограниченной круговой задаче. Предполагается, что спутник обладает свойством гиростата, а ось рамки ортогональна оси ротора. В случае, когда потенциальные силы в оси рамки отсутствуют, система (23), описывающая стационарные движения, принимает вид Jn H 1n 3 r 0, (67) 3Jr 2 r 3 n 0, (68) sT (n H) 0, (69) sT h 0. (70) Здесь через H H h обозначен приведенный кинетический момент ротора, имеющий размерность момента инерции.
Прямая задача состоит в том, чтобы при заданном положении оси рамки s определить из уравнений (67)Ц(70) положение оси ротора h (угол x ) и взаимную ориентацию орбитального и связанного с корпусом спутника базиса в зависимости от величины H.
Для определения решений системы (67)Ц(70) использовался следующий алгоритм. Были введены скалярные функции вектора r f rTJr, g rTJ2r (rTJr)2. (71) Из уравнений (68) получены выражения 2 3 f, 3 3g, n ( f r Jr) g ; 1, (72) с учетом которых вектор H определяется из (67) формулой H ((J2 r f Jr) g 3g r 1 (Jr f r) g). (73) После подстановки соотношений (72), (73) в уравнения (69), (70) получены следующие уравнения:
(74) sTJ2 r ( f 1)sTJr (3g2 1 f )sTr 0.
. (75) sT (JrJ2r) f sT (rJ2r) ( f 3g2)sT (rJr) Уравнение (75) содержит только переменную r. Поэтому задача определения множества всех стационарных движений системы сводится к нахождению множества всех решений r уравнения (75), принадлежащих единичной сфере rTr 1. Соответствующие значения векторов n и H можно определить как двухзначные функции вектора r с помощью формул (72), (73), выразив множитель из уравнения (74). При этом решение прямой задачи может быть найдено на основе анализа поведения величины H на решениях уравнения (75).
В разд. 4.1 исследованы положения равновесия спутника в случае, когда потенциальные силы в оси рамки гироскопа отсутствуют, а ось рамки параллельна одной из главных центральных осей инерции: s e3, т.е. кинетический момент ротора выражается формулой H H h H(e1cos xe2 sinx). (76) Положения равновесия в этом случае определяются следующими группами решений:
r 1e3, n ek, h ek ; k 1,2, H (0,). (77) 2 r 1e3k, n ek, h ek ; k 1,2, H (0,). (78) 2 r 1e3k, h e, n ek cos y 2 e3 sin y, 3 k (79) cos y H ak, H (0, ak ]; k 1,2.
h 3 ek, r 1(3 e3 cos y 2 ek sin y ), n ek cos y 2 e3 sin y, (80) cos y H (4ak ), H (0,4 ak ]; k 1,2.
Здесь a1 a AC, a2 b B C.
Решения (77),(78) определяют в совокупности 32 прямых положения равновесия (главные оси инерции спутника параллельны осям орбитального базиса) для каждого значения H 0. В свою очередь, каждое из решений (79),(80) задает 16 косых положений равновесия, области существования которых ограничены полуинтервалами значений H. В правых граничных точках указанных полуинтервалов решения (79),(80) ответвляются от соответствующих решений (77),(78).
При близких к нулю значениях H число положений равновесия, описываемых формулами (77)Ц(80), равно 64, а по мере увеличения параметра H при переходе через каждую точку ветвления уменьшается на 8 единиц, достигая минимального числа 32.
Если выполняется неравенство a b 0, т.е. когда ось рамки гироскопа параллельна оси наибольшего или наименьшего моментов инерции спутника, помимо (77)Ц(80) спутник имеет следующие положения равновесия:
cos2 x [ H 2 4ab( 1) 5 a H 2 4ab ] ( 1) H n h cos y e3 sin y; cos y (H H 2 4ab)sign(C A) (81) T T T T r (J n H n(n J n n H)) J n H n(n J n n H) Диапазон значений кинетического момента H, для которых определены решения (81), задается неравенствами 16b2 4ab H 16a2 4ab при a b 4, a2 4ab H 16a2 4ab при a b 4.
Каждой точке H из диапазона существования рассматриваемых решений соответствует 16 различных положений равновесия.
В рассматриваемой задаче без ограничения общности можно положить A B. Тогда полученные на основе анализа квадратичной формы (27) результаты исследования вековой устойчивости формулируются следующим образом:
1). Если ось рамки гироскопа установлена параллельно оси наименьшего или среднего момента инерции ( A B C или AC B ), то вековой устойчивостью обладают только четыре решения (77) при k 1, для всех значений H 0.
2 2). Если ось рамки параллельна оси наибольшего момента инерции ( C A B ), то в диапазоне H C A вековой устойчивостью обладают только четыре решения (77) при k 1, , а в диапа2 зоне 0 H C A - восемь решений (79) при k 1.
Исследован характер устойчивости по Ляпунову найденных положений равновесия спутника при наличии диссипации в оси рамки гироскопа. Анализ проводился с использованием теоремы 2.4 и других известных теорем о неустойчивости.
Установлено, что прямые положения равновесия (77),(78) не удовлетворяют теореме 2.4, а диссипация в оси рамки не приводит к асимптотической устойчивости тех из решений (77), которые устойчивы в вековом смысле. В то же время показано, что все неустойчивые в вековом смысле положения равновесия из множества (77) и (78), за исключением отдельных точек ветвления, неустойчивы по Ляпунову при наличии диссипации.
Косые положения равновесия (79)Ц(81) за исключением от* дельных точек H удовлетворяют теореме 2.4. Следовательно, при наличии диссипации устойчивые в вековом смысле решения из множества (79) асимптотически устойчивы, а все остальные реше* ния (79)Ц(81) для значений H H неустойчивы по Ляпунову.
Из результатов проведенного анализа следует, что для рассматриваемых вариантов установки гироскопа в корпусе спутника (ось рамки параллельна одной из главных осей инерции спутника) асимптотически устойчивые положения равновесия реализуются только в случае, когда ось рамки гироскопа параллельна оси наибольшего момента инерции спутника.
В разд. 4.2 исследуются положения относительного равновесия динамически симметричного спутника, несущего двухстепенной силовой гироскоп с осью рамки, расположенной под углом 0 к оси динамической симметрии e3. В этом случае кинетический момент ротора выражается через угол прецессии x формулой H H h H[e1cos x (e cos e3 sin )sin x], а положения равновесия при отсутствии пружины в оси рамки определяются следующими тремя группами решений:
h 1 e1, n e1, r ek, k 2,3. (82) 2 h 1(e2 cos e3sin ), f (y) 1 P, P (C A) H, (83) n e2 cos ye3sin y, r e1.
h 1(e2 cos e3 sin ), f (y) 41 P, (84) n e2 cos ye3 sin y, r 3 (e3 cos ye2 sin y).
Здесь через f (y) обозначена функция ~ f (y) sin(y ) (cos ysin y), а f (sin2 3 cos2 3 )3 2 (85) - ее стационарные значения. Уравнения f (y) 1 P и f (y) 41 P, из которых определяются значения переменной y в (83) и (84), сводятся к алгебраическим уравнениям четвертой степени.
Решения (82) задают 16 прямых положений равновесия, которые определены для всех значений H 0. Решения (83) задают ~ положений равновесия в диапазоне P f и 16 положений равно~ весия в диапазоне P f, а решения (84) - 8 положений равновесия ~ в диапазоне 4 P f и 16 положений равновесия в диапазоне ~ ~ ~ 4 P f. Значения H1 C A f и H 4 C A f являются точками ветвления положений равновесия. При близких к нулю значениях H число положений равновесия равно 48, а по мере увеличения параметра H при переходе через каждую точку ветвления уменьшается на 8 единиц, достигая минимального числа 32.
Для симметричного спутника при близких к нулю значениях H число положений равновесия меньше, чем для несимметричного, потому, что область определения части решений вырождается в точку H 0.
Установлено, что при AC, т.е. для вытянутого вдоль оси симметрии спутника, вековой устойчивостью обладают только четыре решения (82) при k 3, 1 , определенные для любого значения H 0. При C A, т.е. для сплюснутого вдоль оси симметрии спутника, вековой устойчивостью обладают те из решений (83), которые удовлетворяют условиям 1 1, y 2 и 1 1, y 3 2. (86) Неравенства (86) выделяют из решений (83) четыре устойчивых положения равновесия, определенных для всех значений H 0.
Исследован характер устойчивости по Ляпунову найденных положений равновесия симметричного спутника при наличии диссипации в оси рамки гироскопа. Установлено, что для устойчивых в вековом смысле прямых положений равновесия из множества (82) диссипация в оси рамки не приводит к асимптотической устойчивости, а все неустойчивые в вековом смысле решения из множества (82), кроме, быть может, отдельных точек H *, неустойчивы по Ляпунову при наличии диссипации.
Решения (83),(84) за исключением отдельных точек H* удовлетворяют теореме 2.4. Отсюда следует, что при наличии диссипации устойчивые в вековом смысле решения из множества (83) обладают асимптотической устойчивостью, а все остальные решения (83),(84) * для значений H H неустойчивы по Ляпунову.
Для асимптотически устойчивых положений равновесия из множества (83) определены оптимальные по быстродействию значения параметров спутника. Для этого исследовались корни характеристического уравнения линеаризованной системы (38)Ц(40) и определялась степень устойчивости - взятое с обратным знаком значение вещественной части самого правого корня. Численным способом с применением метода случайного поиска найдено максимальное значение max 0.42, достигаемое при следующих значениях параметров:
42.7, A C 0.58, H C 1.53, C 1.2. (87) Здесь через H и обозначены приведенный кинетический момент ротора и приведенный коэффициент вязкого трения.
Исследованы положения равновесия динамически симметричного спутника с пружиной в оси рамки гироскопа, удовлетворяющей условиям x0 2, c H tg. (88) Здесь c - приведенный коэффициент жесткости пружины, а x0 2 - угол прецессии, соответствующий ненапряженному состоянию пружины. Для этого случая положения равновесия описываются следующими решениями:
h (e2 cos e3 sin ), n e2 cos ye3 sin y, (89) r e1, f (y) P.
h (e2 cos e3 sin ), n e2 cos ye3 sin y, (90) r 3 (e3 cos ye2 sin y), f (y) 4P.
В совокупности решения (89), (90) определяют 8 положений ~ равновесия в диапазоне 4 P f, 12 положений равновесия в диапа~ ~ ~ зоне f 4 P f и 16 положений равновесия в диапазоне P f.
При C A (для сплюснутого спутника) вековой устойчивостью обладают только решения (89), принадлежащие интервалам y 2, 3 2 y y2 2 arctg ((tg )1 3).
Эти решения определяют четыре устойчивых положения равнове~ сия в диапазоне 0 H H1 (C A) f и два устойчивых положения равновесия в диапазоне H H1.
При AC (для вытянутого спутника) вековой устойчивостью обладают только решения (90) из интервала 0 y , которые определяют два устойчивых положения равновесия для каждого значения параметра H 0.
Установлено, что все решения (89),(90), за исключением отдель* ных точек H *, удовлетворяют теореме 2.4. Поэтому, если H H, то при наличии диссипации в оси рамки из вековой устойчивости положения равновесия следует его асимптотическая устойчивость, а из вековой неустойчивости неустойчивость по Ляпунову.
Из результатов проведенного анализа следует, что при отсутствии пружины на оси рамки гироскопа реализация асимптотически устойчивых положений равновесия возможна только для сплюснутого вдоль оси симметрии спутника. Установка пружины на ось рамки дает возможность получить асимптотически устойчивые положения равновесия и для вытянутого спутника. Но максимально достижимое значение степени устойчивости в этом случае почти на порядок меньше, чем для сплюснутого спутника.
В главе 5 исследуются свойства стационарных движений твердого тела, несущего N трехстепенных силовых гироскопов в кардановых подвесах, в однородном внешнем поле.
Обозначим через ik, sk и hk единичные векторы, указывающие направления осей внешних рамок, внутренних рамок и роторов, соответственно. Оси внешних рамок ik фиксированы в несущем теле, положения осей внутренних рамок sk определяются углами прецессии , а положения осей роторов hk - углами прецессии k и нутации k. Предполагается, что для каждого гироскопа ось k внутренней рамки ортогональна к оси внешней рамки и к оси ротора, т.е. ik sk 0, sk hk 0, а кинетические моменты вращения роторов Hk Hk hk постоянны по величине, т.е. Hk Hk const 0.
Предполагается также, что система несущее тело - гироскопы обладает свойством гиростата. Указанное свойство можно обеспе чить соответствующим подбором моментов инерции роторов и рамок и имеет место при выполнении следующих условий:
1) ротор каждого гироскопа статически уравновешен и динамически симметричен относительно оси hk.
2) Система внутренняя рамка - ротор статически уравновешена и динамически симметрична относительно оси sk. Момент инерции этой системы относительно оси sk обозначим через Bk.
3) весь гироскоп статически уравновешен и динамически симметричен относительно оси внешней рамки ik. Момент инерции гироскопа относительно оси ik обозначим через Ak.
В предположении, что в осях рамок могут действовать только моменты внутренних диссипативных сил, движение системы в фа зовых переменных , k, k,k,k описывается уравнениями N J (J H ik Bk k sk )) (A k k k(91) N k k ik Bk (k sk k ik sk ) ( ik ksk )Hk ) 0.
(A k k k k Ak (iT )k (ik sk )T (Hk Bk )iT (Hk ) M1k ; k 1,N. (92) k k k k Bk [k sT (ik sk )T ](sk Hk )T ( ik ) M2k ; k 1,N. (93) k где M1k и M - моменты диссипативных сил в осях прецессии и 2k нутации, соответственно. Эти уравнения имеют первый интеграл N ~ f [JH ik Bk k sk )]2 K const, (94) (A k k k~ а обобщенная энергия V T2 T0, которая, как и в задаче с двухстепенными гироскопами, с точностью до аддитивной постоянной Tсовпадает с кинетической энергией движения относительно базиса Кенига, вычисленной при замороженных роторах гироскопов, удовлетворяет условию N ~ V (,,,,) M2kk ) 0. (95) (M k 1k kЗдесь и - N-мерные векторы, составленные из углов прецессии и нутации, соответственно. Уравнения для стационарных дви жений получаются из уравнений (91)Ц(93) приравниванием к нулю производных ,,,, и имеют следующий вид:
(JH) 0, (96) iT (Hk ) 0; k 1,N, (97) k sT (Hk ) 0; k 1,N. (98) k Доказанные в главе 1 теоремы справедливы и для рассматриваемой системы с трехстепенными гироскопами. По теореме 1.1 стационарные движения соответствуют условно-стационарным точкам лусеченной кинетической энергии V TJ 2 на многообразии f (,,) (JH)2 K const, (99) где K JH - лусеченный кинетический момент системы. В свою очередь, по теореме 1.2 точки строгого условного минимума функции V удовлетворяют достаточным условиям устойчивости, а точки, в которых функция V не имеет условного минимума, неустойчивы в вековом смысле.
Условно-стационарные точки функции V на многообразии (99) могут быть найдены как стационарные точки функции Лагранжа L V f 2 TJ 2 (J H)2 2 (100) из системы уравнений L J J(J H) 0 K, (101) L k KT (ik Hk ) 0 ; k=1,Е, N, (102) L k KT (sk Hk ) 0 ; k=1,Е, N, (103) которая эквивалентна системе (96)Ц(98).
Решениям системы (101)Ц(103) при 0 соответствуют стационарные движения с нулевой угловой скоростью несущего тела (неподвижные состояния). Для них углы прецессии и нутации гироскопов могут принимать любые значения. В предположении, что модули кинетических моментов роторов удовлетворяют неравенствам H1 H2 ... HN, область значений K K, в которой определены неподвижные состояния, описывается неравенством N N K R ; R , H1 . (104) H H k k k1 k При 0 неравенство (104) принимает вид K R.
Стационарные движения с ненулевой угловой скоростью описываются двумя группами решений. Первая из них имеет вид K K ei, Hk k Hk ei ; 1, k 1,N, i 1,2,3, k 1, (105) где e1, e2, e3 - главные центральные оси инерции системы. Эти стационарные движения соответствуют вращениям несущего тела вокруг главных осей инерции с угловой скоростью N ( K Hk )ei Ji ; i 1,2,3, (106) k kгде Ji - момент инерции системы относительно главной оси ei.
Каждому значению K 0 соответствует 62N решений (105).
Вторая группа стационарных движений описывается решениями H H i ; j 1,m; m1, Hk k Hk K* K* ; k m1,N, j j j j N m (107) ~ ~ K K*(1 H K* ); K* (EJ)1H*; H Hk ; H* .
H k j km1 jЗдесь каждый из символов i (i1,N) может принимать два значения +1 и Ц1, E - единичная матрица размера 33, а параметр может принимать любое значение от до . Угловая скорость несущего тела для стационарных движений (107) определяется формулой (E J)1H*.
Для решений (107) рамки первых m гироскопов сложены, т.е.
внутренняя рамка j -го гироскопа параллельна внешней. Общее число стационарных движений вида (107) составляет не менее 22N (2N 1), а для достаточно больших значений K достигает 62N (2N 1).
Установлено, что решения (107) неустойчивы в вековом смысле, а из решений (105) вековой устойчивостью обладают только следующие стационарные движения:
K K e3, Hk Hk e3; 1; K R, (108) K Ke3, H1 H1e3, Hk Hk e3; 1, k 2.N; K, (109) где e3 - ось наибольшего момента инерции системы. В диапазоне значений кинетического момента K R, где нет устойчивых в вековом смысле стационарных движений с ненулевой угловой ско ростью, устойчивы по части переменных (по переменным , , ) неподвижные состояния системы. Все они в совокупности образуют устойчивое инвариантное множество.
При наличии диссипации в осях рамок всех гироскопов решения (108), (109) и неподвижные состояния условно асимптотически устойчивы, а все остальные стационарные движения системы неустойчивы по Ляпунову. При наличии диссипации система асимптотически приходит в состояние покоя из любого начального состояния, для которого величина K суммарного кинетического момента системы принадлежит отрезку [, R] возможных значений величины H суммарного кинетического момента роторов.
В заключении перечислены основные результаты и выводы диссертационной работы.
Основные выводы диссертации:
1. Разработанные в диссертации теоретические положения дают в сочетании с теоремой БарбашинаЦКрасовского сравнительно простые и эффективные алгоритмы исследования устойчивости стационарных движений гиросиловых систем.
2. Использование силовых гироскопов в системах пассивной гироскопической и гравитационно-гироскопической стабилизации дает возможность соответствующим подбором параметров получить более широкий диапазон устойчивых стационарных движений, чем для твердого тела, а диссипацией в осях рамок обеспечить их асимптотическую устойчивость.
3. Система из двух и более гиродинов с диссипаций в осях рамок обеспечивает в определенном диапазоне начальных условий гашение угловой скорости космического аппарата до нулевого значения без использования активной системы управления.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1. Амелькин Н.И. О движениях твердого тела, содержащего двухстепенные силовые гироскопы с диссипацией в осях рамок // Изв. РАН. МТТ. 2006. №4. с. 19 - 30.
2. Амелькин Н.И. Анализ устойчивости стационарных вращений твердого тела, несущего двухстепенные силовые гироскопы с диссипацией в осях подвеса рамок // Изв. РАН. МТТ. 2007. №4.
С. 26 - 40.
3. Амелькин Н.И. О предельных движениях гиросиловой системы с внутренней диссипацией в однородном поле тяжести // Изв.
РАН. МТТ. 2008. №3. С. 23 - 32.
4. Амелькин Н.И. Об устойчивых стационарных движениях свободного твердого тела с двухстепенным силовым гироскопом, ось прецессии которого параллельна главной плоскости инерции // Изв. РАН. МТТ. 2009. №1. С. 3 - 16.
5. Амелькин Н.И. О стационарных движениях спутника с двухстепенным силовым гироскопом в центральном гравитационном поле и их устойчивости // ПММ. 2009. №2. С. 236 - 249.
6. Амелькин Н.И. Анализ устойчивости равновесий спутника, несущего двухстепенной силовой гироскоп с диссипацией в оси рамки // ПММ, 2010. Т. 74. № 4. С. 567Ц581.
7. Амелькин Н.И. О стационарных движениях твердого тела с двухстепенным силовым гироскопом при произвольном расположении оси прецессии гироскопа в несущем теле // Изв. РАН.
МТТ, 2010. №5. С. 5Ц18.
8. Амелькин Н.И. О равновесиях и устойчивости динамически симметричного спутника с двухстепенным силовым гироскопом // ПММ, 2010. Т. 74. № 5. С. 718 Ц733.
9. Амелькин Н.И. Системы гиродинов с дополнительной степенью свободы. // Космич. исслед. 2003. том 41. №3. С.295 - 300.
10. Амелькин Н.И. Показатели локальной управляемости систем силовых гироскопов //Космич. исслед. 2004. Т.42. №4. С. 424 - 430.
11. Амелькин Н.И. Об оценках уходов уравновешенного гироскопа и погрешностях формулы Магнуса // Изв. РАН. МТТ. 2009. Т.6.
С. 9 - 20.
12. Амелькин Н.И. Об асимптотических свойствах движений спутников в центральном поле, обусловленных внутренней диссипацией // ПММ, 2011. Т. 75. № 2. С. 204-223.
13. Амелькин Н.И. О свойствах стационарных движений твердого тела, несущего систему двухстепенных силовых гироскопов // ПММ, 2011. Т. 75. № 3. С. 355-369.
14. Амелькин Н.И. О стационарных движениях твердого тела, несущего трехстепенные силовые гироскопы, и их устойчивости // Изв. РАН. МТТ, 2011. № 3. С. 3-17.
15. Амелькин Н.И. Анализ устойчивости стационарных движений пассивных гиросиловых систем // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 23 - 29 августа 2006 г). Аннотации докладов. Т.1, стр. 13.
16. Амелькин Н.И. Об устойчивости стационарных движений системы связанных тел, содержащих вращающиеся роторы, в центральном поле // Международный конгресс Нелинейный динамический анализ Ц2007. Тезисы докладов, Санкт-Петербург, Россия, 4 - 8 июня 2007. С. 185.
17. Амелькин Н.И. О предельных движениях гиросиловой системы с внутренней диссипацией в однородном поле тяжести и их устойчивости. // X международный семинар Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. Москва. ИПУ РАН. 3 - 6 июня 2008г. Тезисы докладов. С. 20Ц21.
18. Амелькин Н.И. Об устойчивости стационарных вращений твердого тела с двухстепенным силовым гироскопом // Устойчивость, управление и динамика тврдого тела / Тезисы докладов X Международной конференции (5Ц10 июня 2008 года). - Донецк: Институт прикладной математики и механики НАНУ, 2008. С. 6Ц7.
19. Амелькин Н.И. Асимптотические свойства движений спутников в центральном гравитационном поле в неограниченной задаче // XI международная конференция Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. Москва. ИПУ РАН. 1Ц4 июня 2010г. Тезисы докладов. С. 15Ц16.
20. Амелькин Н.И. О стационарных движениях твердого тела, несущего силовые гироскопы, и их устойчивости // X Крымская международная математическая школа Метод функций Ляпунова и его приложения (MFL-2010). Крым, Алушта, 13Ц18 сентября 2010 г. Тезисы доклада. С. 9.
21. Амелькин Н.И. Анализ свойств устойчивости пассивных гиросиловых систем ориентации в рамках неограниченной постановки задачи // Материалы XXX академических чтений по космонавтике. Тезисы доклада. Москва, январь 2006 г. С. 94Ц95.
22. Амелькин Н.И. О сравнении двух подходов к анализу устойчивости стационарных движений гиросиловой системы // Труды XLIX научной конференции МФТИ, 2006 г. С. 24Ц25.