Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Борисов Денис Иванович
СПЕКТРЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ, РАЗБЕГАЮЩИМИСЯ, ЛОКАЛИЗОВАННЫМИ И СИНГУЛЯРНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ
01.01.02 - дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук
Уфа-2008
Работа выполнена в ГОУ ВПО ФБашкирский государственный педагогический университет им. М. АкмуллыФ
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Доброхотов Сергей Юрьевич доктор физико-математических наук, доцент Суслина Татьяна Александровна доктор физико-математических наук, доцент Кордюков Юрий Аркадьевич
Ведущая организация: ГОУ ВПО ФМосковский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваФ
Защита состоится У10Ф октября 2008 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Институте математики с В - Уфимского научного центра РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с В - УН - РАН.
Автореферат разослан Ф Ф 2008 г.
Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н. С.В. Попёнов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Изучению спектральных свойств эллиптических операторов в неограниченных областях с различными возмущениями уделялось и уделяется достаточно много внимания как со стороны математиков, так и со стороны физиков. В немалой степени это связано с богатыми приложениями таких задач, например, в квантовой механике и акустике. Кроме того, эти задачи обладают разнообразными свойствами, интересными и с математической точки зрения. Как правило, упомянутые операторы рассматриваются как неограниченные операторы в гильбертовом пространстве, в качестве которого обычно выбирается пространство L2 на соответствующей области.
Такой подход позволяет использовать всё богатство и разнообразие методов спектральной теории операторов в гильбертовых пространствах. Наличие в операторе возмущения даёт возможность привлекать и методы теории возмущений и асимптотического анализа. Подобная комбинация во многих случаях оказывается весьма продуктивной и приводит к интересным результатам.
В диссертации рассматриваются эллиптические дифференциальные операторы в неограниченных областях с четырьмя различными типами возмущений. Первым из них является возмущение окном системы двух квантовых волноводов. Волноводы описываются парой параллельных двумерных полос либо трёхмерных слоёв с общей границей. На этой границе вырезается отверстие, которое и называется окном. В качестве оператора выбирается Лапласиан с краевым условием Дирихле.
Следующий тип возмущения, рассматриваемый в диссертации - разбегающиеся возмущения. Классическим примером является оператор Шрёдингера с двойной потенциальной ямой - + V1(x - a1) + V2(x - a2), где a1, a2 - некоторые точки, а потенциалы V1, V2 финитны либо быстро убывают на бесконечности. Если предположить, что расстояние между точками a1 и a2 растёт, то множества, где локализованы потенциалы V1 и V2, находятся на большом расстоянии друг от друга и фактически разбегаются при |a1 - a2| +. Подобные возмущения, локализованные на множествах, находящихся на большом расстоянии, будем называть разбегающимися, причём не предполагается, что возмущение обязательно описывается потенциалом.
В диссертации рассматривается оператор Лапласа в многомерных областях с разбегающимися возмущениями, описываемыми абстрактными операторами. Основное требование на возмущающие операторы - локализованность на ограниченных областях, расположенных на большом расстоянии друг от друга; данные области аналогичны носителям потенциалов из приведённого выше примера.
Третий тип возмущений, изучаемый в диссертации - малые локализованные возмущения самосопряжённого дифференциального оператора второго порядка. А именно, изучается возмущение периодического оператора достаточно произвольным линейным оператором вида L, где - малый положительный параметр. Основным свойством оператора L является его локализованность в определённом смысле на конечной части пространства. Возмущающий оператор не предполагается симметричным.
Четвёртый тип возмущений заимствован из теории усреднения и описывается быстро осциллирующими коэффициентами. Более точно, рассматривается самосопряжённый многомерный матричный оператор с коэффициентами, зависящими от медленных и быстрых переменных. По быстрым переменным коэффициенты периодичны, по медленным - ограничены вместе с некоторыми своими производными.
Основная цель исследований - изучить структуру и асимптотическое поведение спектр операторов с возмущением каждого из четырёх типов.
Остановимся на истории вопроса для каждого из рассматриваемых типов возмущений. Математическая модель квантовых волноводов, соединённых окнами, была независимо предложена в работе В. Буллы, Ф. Джестези, В. Ренджера, Б. Саймона (Proc. Amer. Math. Soc., 1997, V. 125, P. 1487-1495.), и в работе П. Экснера, П. Шебы, М. Татера, Д. Ванека (J. Math. Phys., 1996, V.
37, P. 4867-4887). Основным эффектом в данной системе является возникновение новых собственных значений из края существенного спектра при наличии окна. В двумерном и трёхмерном случаях данный эффект для окон малого размера на разном уровне строгости изучался П. Экснером, С. Вугалтером, И.Ю. Поповым, Р.Р. Гадыльшиным. Было показано, что для окон малого размера система имеет единственное собственное значение и было описано его асимптотическое поведение. В упомянутой работе П. Экснера, П. Шебы, М. Татера и Д. Ванека в двумерном случае было также показано, что дальнейшее увеличение окна приводит к возникновению новых собственных значений из границы существенного спектра. Вопрос об подробном исследовании данного эффекта, а также об установлении аналогичных результатов в трёхмерном случае, остался открытым.
Спектр оператор Шрёдингера с двумя потенциальными ямами в случае, когда ямы разделены большим расстоянием, исследовался разными авторами (Б. Дэвис, Е.М. Харрел, Р. Хёх-Крон, М. Мебкноут, М. Клаус, Б. Саймон).
В ряде случаев было описано асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций таких операторов. М. Клаус и Е.М. Харрел рассмотрели также задачу для оператора Дирака с двойной потенциальной ямой. Недавно С. Кондей и И. Веселич исследовали пример для оператора Лапласа в случае, когда возмущение описывалось дельта-потенциалом, сосредоточенным на кривых.
Известно, что спектр одномерного периодического оператора содержит только существенную компоненту и состоит из зон, разделённых лакунами.
При возмущении такого оператора вещественным быстро убывающим потенциалом непрерывная часть спектра не меняется, а в её лакунах возникают изолированные собственные значения. Вопросы существования и количества таких собственных значений изучались в работах Ф.С. Рофе-Бекетова, В.А. Желудева, Н.Е. Фирсовой, Б. Саймона и Ф. Джестези. Было показано, что в лакунах существенного спектра содержится конечно число собственных значений, в далёких по номеру лакунах - не более двух собственных значений.
Б. Саймоном и Ф. Джестези также был рассмотрен случай, когда возмущающий потенциал умножается на малую константу связи. Было установлено, что при достаточно малых значениях константы связи в каждой лакуне (а не только в далёких) содержится не более двух собственных значений, и приведены необходимые и достаточные условия, точно определяющие количество собственных значений в заданной лакуне.
Вопросам усреднения дифференциальных операторов с быстро осциллирующими коэффициентами в ограниченных областях посвящена обширная литература (Н.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко, В.В. Жиков, С.М. Козлов, О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян, А.С. Шамаев, Э. Санчес-Паленсия, А. Бенсусан, Г. Папаниколау и многие другие). Немало внимания уделяется исследованию спектральных свойств таких операторов. В гораздо меньшей степени вопросы усреднения и спектральные свойства исследованы для операторов в неограниченных областях. Вместе с тем, последний случай весьма интересен, так как он возникает во многих приложениях. Недавно М.Ш. Бирман и Т.А. Суслина предложили новую оригинальную методику для получения первых поправок в асимптотике резольвенты определённого класса дифференциальных операторов в неограниченных областях с быстро осциллирующими коэффициентами. Следует подчеркнуть, что упомянутые результаты были получены в равномерной операторной норме, в то время как большинство результатов усреднения для ограниченных областей было сформулировано в смысле сильной и слабой сходимостей. Подход М.Ш. Бирмана и Т.А. Суслиной основан на методах спектральной теории и предлагает рассматривать усреднение как пороговый эффект. Он применим для дифференциальных операторов, допускающих факторизацию, причём коэффициенты должны зависеть только от быстрой переменной; зависимость от медленной переменной не допускается.
В.В. Жиков предложил иную технику для получения неулучшаемых по порядку оценок скорости сходимости для резольвенты скалярного дифференциального оператора, а также для системы теории упругости. Здесь также предполагалось, что коэффициенты оператора периодичны и зависят только от быстрой переменной.
Настоящая диссертация посвящена дальнейшему развитию описанных выше результатов. В диссертации эти результаты нередко обобщаются на возмущения гораздо более общего вида. Ряд результатов обобщен на случаи более высокой размерности. Кроме того, для каждого из четырёх типов возмущений описана структура спектра возмущённого оператора и получены асимптотические разложения для разнообразных спектральных характеристик. Предложены новые методики для изучения рассматриваемых задач.
Цель работы. Основная цель работы - изучить влияние возмущения каждого из четырёх типов на спектр дифференциального оператора и описать структуру спектра. Ещё одной основной целью является доказательство теорем сходимости для спектра и построение асимптотических разложения для собственных значений и собственных функций.
Задачи о паре квантовых волноводов, связанных окном, изучаются в двухи трёхмерном случае. Основное внимание здесь уделяется изучению эффекта возникновения новых собственных значений из края существенного спектра при увеличении размеров окна.
Оператор Лапласа с разбегающимися возмущениями рассматривается в многомерном цилиндре и многомерном пространстве. Число возмущений конечно, они локализованы в определённом смысле и сосредоточены на большом расстоянии друг от друга. Целью является описание асимптотического поведения дискретного спектра и собственных функций возмущённого оператора.
Периодический оператор с малым локализованным возмущением рассматривается в одномерном случае, при этом само возмущение описывается абстрактным оператором, который не предполагается симметричным. Возмущённый оператор при этом оказывается, вообще говоря, несамосопряжённым.
Здесь цель - изучение качественных и асимптотических свойств спектра возмущённого оператора.
Для операторов с быстро осциллирующими коэффициентами во всем пространстве целью является построение первых членов асимптотических разложений для резольвенты, причём в равномерной операторной норме. Кроме того, целью является изучение асимптотического поведения дискретного спектра и собственных функций таких операторов.
Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми.
В задачах о паре квантовых волноводов, связанных окном, детально изучается эффект возникновения новых собственных значений из края существенного спектра при увеличении окна. В двумерном случае доказываются необходимые и достаточные условия критичности окна. Под критичным понимается такое окно, увеличение которого приводит к возникновению нового собственного значения. Для возникающих собственных значений строятся асимптотические разложения, а также описывается асимптотическое поведение соответствующих собственных функций. В трёхмерном случае показано, что ситуация в целом аналогична. А именно, увеличение окна приводит к возникновению новых собственных значений из края существенного спектра. Как и в двумерном случае, подробно исследуется эффект возникновения данных собственных значений и строятся асимптотики возникающих собственных значений и соответствующих собственных функций. Кроме того, для обоих случаев явно описана область определения рассматриваемого Лапласиана. Данный результат нетривиален, так как Лапласиан рассматривается в области с негладкой границей, имеющей коническую точку (ребро) на границе окна.
Для функций из области определения явно выделены возможные особенности в окрестности данной конической точки (ребра).
Задачи о Лапласиане с разбегающимися возмущениями рассматриваются в областях двух типов - многомерный бесконечный цилиндр и многомерное пространство. Разбегающиеся возмущения описываются произвольными абстрактными операторами, локализованными на ограниченных областях, которые расположены на большом расстоянии друг от друга. На возмущающие операторы накладываются минимальные ограничения, а именно, симметричность и ограниченность относительно Лапласиана. Структура самих операторов может быть произвольна. Такой подход позволяет в общем виде рассмотреть в качестве разбегающихся возмущений одновременно большое число различных операторов, например, потенциал, дифференциальный оператор второго порядка, интегральный оператор и т.д. Здесь основные результаты - теоремы сходимости и асимптотические разложения для изолированных собственных значений и соответствующих собственных функций возмущённых операторов. Данные результаты получены в общем случае при самых общих предположениях. Отдельно рассмотрены наиболее типичные частные случаи и получены более частные формулы для первых членов асимптотических разложений с учётом специфики случаев.
В задаче о малом локализованном возмущении периодического оператора одним из главных отличий от предшественников является тот факт, что не предполагается симметричность для возмущающего оператора. Множество возможных возмущений помимо потенциалов включает в себя широкий класс примеров разнообразной природы, таких как дифференциальный оператор, интегральный оператор, линейный функционал, дельта-потенциал с малой комплексной константой связи, быстро осциллирующий потенциал. В диссертации показано, что существенный спектр возмущённого оператора не зависит от возмущения, остаточный спектр пуст, а точечный спектр состоит из не более, чем счётного числа собственных значений конечной кратности, которые не имеют конечных точек накоплений. Приведён пример возмущения, которое порождает собственное значение, вложенное в существенный спектр.
Отметим, что подобный эффект не мог возникнуть в задачах, рассмотренных в работах Ф.С. Рофе-Бекетова, В.А. Желудева, Н.Е. Фирсовой, Б. Саймона и Ф. Джестези. Также приводятся достаточные условия, гарантирующие отсутствие вложенных собственных значений. Установлено, что собственные значения возмущённого оператора стремятся к бесконечности либо сходятся к краям лакун в существенном спектре. Доказано, что в окрестности края заданной лакуны существует не более одного такого собственного значения, приведён критерий существования, и в случае существования построено его асимптотическое разложение. Также построено асимптотическое разложение соответствующей собственной функции.
Возмущение, описываемое быстро осциллирующими коэффициентами, изучается для матричного самосопряжённого дифференциального оператора второго порядка достаточно общего вида во всем пространстве. Первым отличием нашего оператора от операторов, рассмотренных в работах М.Ш. Бирмана, Т.А. Суслиной, В.В. Жикова, является наличие младших членов. Главная часть оператора записывается в дивергентном виде. Младшие члены задаются достаточно произвольно; единственным ограничением является самосопряжённость оператора, а также полуограниченность снизу, равномерная по малому параметру. Кроме того, предполагается определённая гладкость коэффициентов. Ещё одним отличием является то, что в нашем случае коэффициенты системы зависят от медленных и быстрых переменных. Зависимость от быстрых переменных носит периодический характер. По медленным переменным коэффициенты предполагаются ограниченными; аналогичное предположение делается и для некоторых производных коэффициентов. В диссертации строится усреднённый оператор и получена первая поправка в асимптотическом разложении для резольвенты возмущённого оператора. Эта асимптотика построена для всех значений спектрального параметра, лежащих вне спектра усреднённого оператора. Асимптотика получена для резольвенты как для оператора в L2, а также как для оператора из L2 в W2. Помимо асимптотики резольвенты строятся полные асимптотические разложения собственных значений возмущённого оператора, сходящихся к изолированным собственным значениям усреднённого оператора, а также полные асимптотические разложения соответствующих собственных функций. Помимо упомянутых собственных значений возмущённый оператор может иметь и собственные значения, сходящиеся к краям существенного спектра. Данный эффект демонстрируется на примере одномерного оператора дивергентного типа в предположении, что быстрые осцилляции коэффициентов сосредоточены на конечной части пространства. Доказывается критерий существования собственного значения, сходящегося к краю существенного спектра. В случае существования для него и для соответствующей собственной функции строятся полные асимптотические разложения.
Методика исследования. В задачах о паре квантовых волноводов основные результаты получены на основе анализа поведения резольвенты в окрестности края существенного спектра. Данный анализ проводился путем аналитического продолжения по спектральному параметру. Также была использована методика, предложенная недавно Гадыльшиным Р.Р., которую уместно считать модификацией метода Бирмана-Швингера. Кроме того, были использованы принцип минимакса, метод вилки Дирихле-Неймана, и ряд методик теории дифференциальных уравнений в частных производных.
Для исследования задач с разбегающимися возмущениями была разработана новая оригинальная схема. Основная ценность этой методики в том, что она позволяет свести задачу с несколькими разбегающимися возмущениями к малому регулярному возмущению прямой суммы резольвент операторов с одним возмущением, другими словами, расщепить разбегающиеся возмущения. Подобное расщепление было основной трудностью при изучении данного класса задач и данная методика успешно решает этот ключевой момент. В диссертации она была использована для изучения асимптотического поведения спектра, при этом она комбинировалась с вышеупомянутом модифицированным методом Бирмана-Швингера. Отметим также, что общность подхода позволяет использовать его и при изучении других вопросов, связанных с разбегающимися возмущениями.
Для исследования спектра одномерного оператора с малым локализованным возмущением применяются различные методы спектральной теории неограниченных операторов, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также модифицированный метод Бирмана-Швингера, упомянутый выше. Также активно использовалось аналитическое продолжение резольвенты по спектральному параметру. Методы спектральной теории неограниченных операторов использовались в основном для установления общих качественных свойств спектра. Модифицированный метод Бирмана-Швингера и аналитическое продолжение резольвенты применялись для описания асимптотического поведения спектра.
Для получения асимптотик резольвенты матричных операторов с быстро меняющимися коэффициентами использовалась техника, предложенная недавно В.В. Жиковым. Асимптотические разложения собственных значений и собственных функций формально строились на основе метода многих масштабов. Обоснование этих асимптотик проводилось достаточно стандартным образом, на основе анализа полюсов резольвенты возмущённого оператора в окрестности предельного собственного значения. Для исследования собственных значений в окрестности края существенного спектра в одномерном случае дополнительно использовалось аналитическое продолжение резольвенты усреднённого оператора в комбинации с модифицированным методом Бирмана-Швингера.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы при изучении задач математической физики и, в частности, спектров неограниченных дифференциальных операторов. Методика исследования, применявшаяся в диссертации, может быть использована при изучении других операторов со схожими возмущениями.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, семинаре лаборатории математической физики Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова Российской Академии Наук, семинаре отдела дифференциальных уравнений Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской Академии Наук, на семинаре лаборатории механики природных катастроф Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской Академии Наук, семинаре кафедры вычислительной математики математического факультета Челябинского государственного университета, семинаре отдела теоретической физики Института ядерной физики Чешской Академии Наук (Прага, Чехия), семинаре кафедры анализа, динамики и моделирования физико-математического факультета Университета г. Штуттгарт (Штуттгарт, Германия), семинаре математического факультета Университета Гериот-Ватта (Эдинбург, Шотландия), семинаре факультета математических наук Университета г. Бата (Бат, Англия), семинаре математического факультета Королевского института технологий (Стокгольм, Швеция), семинаре Лаборатории математики Университета г.
Сэнт-Этьен (Сэнт-Этьен, Франция), семинаре Центра теоретической физики Национального Центра Научных Исследований (Марсель, Франция), семинаре кафедры анализа математического факультета Университета г. Кемниц (Кемниц, Германия). Отдельные результаты были доложены на международной конференции ФДифференциальные уравнения и смежные вопросыФ (Москва, 2004), международной конференции ФДни дифракцииФ (СанктПетербург, 2002), международной конференции ФGuided Quantum ParticlesФ (Прага, Чехия, 2002), международной конференции ФSpectra, Algorithms, and Data AnalysisФ (Градец Кралове, Чехия, 2006), международной конференции ФOperator Theory, Analysis and Mathematical PhysicsФ (Лунд, Швеция, 2006), 21-ом симпозиуме им. Макса Борна ФMathematical Problems in Nonrelativistic Quantum DynamicsФ (Вроцлав, Польша, 2006), международной конференции ФSpectral Theory and its ApplicationsФ (Кэмбридж, Англия, 2006), международной конференции ФOperator Theory in Quantum PhysicsФ (Прага, Чехия, 2006), международной конференции ФPerturbed periodic PDE, problems with singular boundaries, and their numerical aspectsФ (Кардифф, Уэльс, 2007).
Результаты диссертации были удостоены Премии Европейской Академии для молодых ученых России (2003), Государственной республиканской молодежной премии в области науки и техники Республики Башкортостан (2003), Стипендии Пьера Делиня, из средств премии Бальзана, присуждённой П. Делиню (2007), Медали Российской Академии Наук с премией для молодых ученых в области математики (2007).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]Ц[16]. Работы [2], [6], [8], [10], [11], [12], [13] выполнены совместно с Р. Р. Гадыльшиным, П. Экснером, Д. Крейчиржиком, Х. Коваржиком, Т. Экхольмом.
Из результатов этих работ в диссертацию автором включены только результаты, полученные им лично.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых в совокупности на тридцать два параграфа, двух иллюстраций, и списка литературы, содержащего 91 наименование. Общий объем диссертации - 268 страниц.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во Введении даётся обзор литературы, формулируются постановки задачи, приводятся основные результаты диссертации, а также кратко описывается содержание параграфов.
Остановимся на некоторых обозначениях, принятых в диссертации. Область определения оператора будем обозначать символом D(). Через () и p() будем обозначать спектр и точечный спектр оператора, через d() - дискретный спектр самосопряжённого оператора. Существенным спектром e(H) замкнутого оператора H в некотором гильбертовом пространстве будем называть множество C, для которых существует ограниченная некомпактная последовательность un D(H), такая что (H - )un 0, n +. Через r() := () \ (p() e()) обозначим остаточный спектр оператора. Симj вол используется для обозначения малого параметра. Через W2 () будем обозначать Соболевские пространства функций. Подпространства последних, состоящие из функций с нулевым следом на некоторой поверхности S , буj j j дем обозначать через W2 (, S). Для краткости положим W2 () := W2 (, ).
Для произвольного подмножества Q через L2(, Q) обозначим множество функций из L2() с носителями в Q. Для произвольной области через -(D) будем обозначать расширение по Фридрихсу оператора - со множе ства C0 (), через I - тождественный оператор.
В первом разделе первой главе рассматривается задача о паре двухмерных квантовых волноводах, соединённых окном. Постановка задачи такова. Пусть x = (x1, x2) - декартовы координаты в R2, + := {x : 0 < x2 < }, - := {x :
-d < x2 < 0}, d . На оси x2 = 0 выделим интервал l длины 2l с центром в нуле, который будем называть окном. Обозначим l := + - l. Положим l := l (см. рис. 1).
Основным объектом изучения является спектр оператора Hl := -(D). Наl личие окна (l > 0) приводит к непустой дискретной части спектра оператора Hl, то есть, к наличию изолированных собственных значений m(l), m 1.
Расположим данные собственные значения в порядке неубывания с учётом кратности. Через #A будем обозначать число элементов во множестве A. Положим: := /( + d). В работе П. Экснера, П. Шебы, М. Татера, Д. Ванека (J. Math. Phys., 1996, V. 37, P. 4867Ц4887) было доказано следующее утверждение.
емма 1. Для любого l > 0 оператор Hl имеет непустой дискретный спектр, состоящий из конечного числа собственных значений. Существует бесконечный набор критических значений 0 = l1 < l2 <... < ln <... длин окна l, такой что # d(Hl) = n при l (ln, ln+1]. Данные собственные значения являются невозрастающими функциями аргумента l и удовлетворяют двусторонним оценкам m-1(l) m(l) m(l), m 1, l > lm, где m(l) := 2 + 2m2/(4l2). Справедливо неравенство 2l-1 1 - 2 #disc(Hl) 2l-1 1 - 2 + 1, где [] - целая часть числа.
Положим a := {x : |x1| < a} l, a := l a. Через обозначим l l l множество всех ограниченных подобластей Q l с гладкой границей, отделённых от концов окна l на положительное расстояние; случай Q l = не исключается.
В окрестности краёв окна l края введём полярные координаты, которые обозначим через (r+, +) для правого края и через (r-, -) - для левого. Отсчёт углов выбирается так, чтобы значения = 0 соответствовали части граниРис. 1: Полосы, соединённые окном цы области l, лежащей на оси x2 = 0.
Пусть = (t) C(R) - бесконечно дифференцируемая срезающая функция, равная нулю при t > 1/3 и единице при t < 1/4.
Сформулируем основные результаты первого раздела первой главы.
Теорема 1. Пусть l > 0. Тогда существует 0 > 0, такое что любая функция u D(Hl) представляется в виде u(x) = u(0)(x)+(r+) + u(0)(x)-(r-) + u(1)(x), + u(0)(x) := a r sin, (r) := (r/d0), где u(1) W2 (l). Действие оператора Hl определяется формулой Hlu = -2u(0) + - 2u(0) - - u(0)+ - u(0)- - u(1).
+ - + Справедлива оценка C1 Hlu L (l) |a+| + |a-| + u(1) W (l) C2 Hlu L (l), 2 где константы Ci > 0 не зависят от a и u(1).
Обозначим := 1, если d < , и := 2, если d = .
Теорема 2. Верны утверждения:
1. e(Hl) = [1, +).
2. Собственные значения m(l) оператора Hl непрерывны по l, простые и удовлетворяют оценкам m-1(l) < m(l) < m(l), m 1, l > lm. (1) Соответствующие собственные функции являются чётными по x1 при нечётных m и нечётными по x1 при чётных m.
3. Длина l = ln является критической, если и только если существует ограниченное решение краевой задачи -n = n, x l, n = 0, x l, (2) принадлежащее W2 (a, a) для любого a > 0, чётное по x2 в случае l l d = , и удовлетворяющее асимптотике n(x) = 2/ sin x2 + O(e- 3x1), x2 (0, ), (3) при x1 +. Если такое решение существует, то оно единственно и является чётным по x1 при нечётных n и нечётным по x1 при чётных n.
4. При := l - ln +0 асимптотика собственного значения n(l), n 2, имеет следующий вид:
n n(l) = 1 - 22 + O(3), n = dx. (4) n ln xl Соответствующую собственную функцию можно выбрать удовлетворяющей асимптотике n(x) = 2/e- 1-n(l)|x1| sin x2 + O(e- 3-n(l)x1), x2 (0, ), при x1 +. При этом для любого R > 0 в норме W2 (R) будет l выполнено равенство n(x) = n(x) + O( ).
Замечание 1. В пункте 3 теоремы 2 решение краевой задачи (2) мы понимаем в обобщённом смысле.
Замечание 2. Функция n в утверждении 3 теоремы 2 предполагается чётной по x2 при d = . Такое условие необходимо для того, чтобы исключить из рассмотрения функцию 2/ sin x2, которая в случае d = является ограниченным решением задачи (2) и удовлетворяет асимптотике (3) для всех l 0.
В случае d < решение, подобное 2/ sin x2, отсутствует, и требование чётности по x2 здесь излишне.
Теорема 3. При l + собственные значения m(l) имеют асимптотику m(l) = m(l) + O(l-3). (5) Как следует из утверждения 4 теоремы 2, новые собственные значения возникают из границы существенного спектра и имеют асимптотики (4). Первый член данной асимптотики отличен от нуля; этот факт очевидным образом следует из формулы для n и краевой задачи для n. Из формул (4) вытекает, что коэффициент n не обладает свойством непрерывности при d . Ранее аналогичный эффект для собственного значения 1(l) при малых значениях l на формальном уровне был обнаружен И.Ю. Поповым.
Согласно теореме 3, все собственные значения m(l) стремятся к числу 2, с точностью до величины порядка O(l-3) совпадая с правыми концами интервалов из оценок (1). Отметим, что 2 - граница существенного спектра Лапласиана с краевым условием Дирихле в полосе шириной ( +d). Подчеркнём, что оценка остатка в (5) неравномерна относительно m, а первая поправка в асимптотике (5) не зависит от ширины полос d, в отличие от асимптотик (4), где ширина полос оказывала решающее влияние на вид первого члена.
Второй раздел первой главы посвящён изучению пары трёхмерных волноводов, соединённых окном. Опишем постановку задачи. Пусть x = (x1, x2), x = (x, x3) - декартовы координаты в R2 и R3, и R2 - ограниченная односвязная область с бесконечно дифференцируемой границей. Обозначим := {x : x3 (-d, 0) (0, )} , d . Множество {0} будем называть окном (см. рис. 2). Как и выше, целью является изучение спектра оператора H := -(D).
Введём вспомогательные обозначения.
Предполагая = , в малой окрестности введём координаты (, s), где s - натуральный параметр кривой , а - расстояние, измеренное в направлении внешней нормали к . Через (r, ) обозначим полярные координаты, соответствующие (, x3).
Для малых > 0 через V обозначим Рис. 2: Слои, соединённые окном множество функций 2jr a 2js 2js a sj u(x) = a0 + e- j cos + sin r sin, j s0 j s0 j= aj, C, u 2 := |a0|2 + (|aj|2 + | < , aj aj|2) V j=определённых на T := {x : r < }. Здесь s0 - длина кривой . Будет показано, что данные функции определены корректно (см. теорему 4).
Для произвольного множества S и малого > 0 через V(, S) обозначим класс функций u(x) = u(0)(x)(r/) + u(1)(x), где u(0) V, u(1) W2 (S, S).
Теорема 4. Пусть = . Тогда существует 0 > 0, такое что D(H) = V(0, ), и для любой функции u D(H) выполнено Hu = -2u(0) - u(0) - u(1), = (r/0) Справедливы оценки C1 Hu L () u(0) V + u(1) W 2 C2 Hu L (), () 2 r 2u(0) u(0) W 1 + u(0) + (T) s L2(T) 2 L2(T) r 2u(0) r 2u(0) + + C3 u(0) V, x3 L2(T) x2 L2(T) где константы Ci > 0 не зависят от u(0) и u(1).
Пусть i = i() - изолированные собственные значения оператора H, упорядоченные по возрастанию.
Теорема 5. Справедливо равенство e(H) = [1, +). Число собственных значений в дискретном спектре оператора H конечно и верны оценки:
2 + (N) i() 2 + (D), i i # (D) : (D) < 1 - 2 # d(H) # (N) : (N) < 1 - 2, i i i i где (N), (D) - собственные значения Лапласиана в с краевыми условиями i i Неймана и Дирихле соответственно.
Теорема 6. Пусть = (t) R2 - семейство ограниченных односвязных областей с бесконечно дифференцируемой границей, удовлетворяющих условию:
(C1). Для любого t0 (0, +) и всех t, близких к t0, существует диффеоморфизм M(t0, t) C3, определённый в окрестности (t0), такой что M(t0, t)(t0) = (t), M0(t0, t0) = I, причём компоненты диффеоморфизма M(t0, t) и их производные вплоть до третьего порядка являются непрерывными функциями по (x, t).
Тогда собственные значения оператора H(t) непрерывны по t. Если, дополнительно, выполнено условие (C2). Существуют функции i = i(t), i = 1, 2, такие что {x : |x | < 1(t)} (t) {x : |x | < 2(t)}, t [0, +), и lim 1(t) = +, lim 2(t) = 0;
t+ t+(t1) (t2) для всех t1 < t2;
то существует бесконечная последовательность чисел 0 = t1 < t2 t3..., такая что # d(H(t)) = n при t (tn, tn+1], и верны сходимости: tn + при n +, и n((t)) 1 - 0 при t tn + 0.
Данная теорема утверждает, что существуют критические формы окна , такие что расширение окна с такой критичной формы приводит к появлению новых собственных значений из границы существенного спектра. Для более подробного описания данного эффекта нам понадобится Лемма 2. Краевая задача - = в , = 0 на , (6) имеет конечное число нетривиальных ограниченных решений, чётных по x3, если d = . Эти решения можно выбрать так, что среди них будет не более одного решения, удовлетворяющего соотношению = sin x3 + O(|x |-1), x +, x3 (0, ); (7) не более двух решений, удовлетворяющих соотношению = (c1x1 + c2x2)|x |-2 sin x3 + O(|x |-2), x +, x3 (0, ), где |c1|2 + |c2|2 = 1; и конечное число решений, принадлежащих L2(). Каждое из этих решений бесконечно дифференцируемо вплоть до границы за исключением края {0}, в окрестности которого эти решения ведут себя следующим образом:
(x) = l(s) r sin + O(r), r 0, l C().
Фиксируя , введём в рассмотрение семейство ограниченных областей R2, чьи границы определяются как := {x : = (s)}, где +0, и C() - произвольная функция.
Теорема 7. Пусть задача (6) не имеет ограниченных нетривиальных решений, чётных по x3, если d = . Тогда оператор H не имеет собственных значений, сходящихся к единице при +0.
Теорема 8. Пусть существует единственное нетривиальное ограниченное решение задачи (6), чётное по x3, если d = , и пусть это решение удовлетворяет соотношению (7). Тогда l 0, и существует единственное решение задачи (6), удовлетворяющее условиям l(s)(s) (x) = sin + l(s) r sin + O(r), r 0, e 2 r 2 (x) = c ln |x | sin x3 + O(|x |-1), |x | +, x3 (0, ), где l C() - некоторая функция. Если 1 i1 := l ds > 0; или i1 = 0, i2 := ll ds > 0, (8) e 2 2 то существует единственное собственное значение оператора H, сходя щееся к 1 - 0 при +0. Это собственное значение простое, и i2 -2C+ii = 1 - 4e e- 1 + O(), если i1 > 0, (9) 2i = 1 - e c + O(), если i1 = 0, i2 > 0, где c - некоторая константа, а C - константа Эйлера. Соответствующая собственная функция удовлетворяет равенству = + O( ) 1 в нормах W2 (S) и W2 (S \ T) для любой ограниченной области S и любого > 0, и экспоненциально убывает:
= O(- 1-|x ||x |-1), |x | +.
Если i1 < 0, или i1 = 0, i2 < 0, то оператор H не имеет собственных значений, сходящихся к 1 - 0 при +0.
Теорема 7 даёт необходимое условие возникновения собственных значений.
Как и в двумерном случае, это условие - существование резонансных решений задачи (6) с определённым поведением на бесконечности. Теорема 8 показывает, что наличие резонансного решения, ведущего себя на бесконечности как первая поперечная мода, является и достаточным условием возникновения собственного значения при увеличении окна. Действительно, в этом случае (s) 0, а потому i1 > 0 и выполнено первое неравенство в (8). Отметим, что как и в двумерном случае, главные члены асимптотик (9) разрывны при d .
Во второй главе изучается Лапласиан с разбегающимися возмущениями. В первом разделе такая задача рассматривается в бесконечном цилиндре. Опишем постановку. Пусть x = (x1, x ) и x = (x2,..., xn) - декартовы координаты в Rn и Rn-1, n 2, - ограниченная область в Rn-1 с бесконечно дифференцируемой границей. Через обозначим бесконечный цилиндр R .
Положим := (-a, a) , где a R фиксированные положительные числа, и := (-a, a) . Через L обозначим пару линейных ограниченj ных операторов из W2 (, ) в L2(, ). Предполагается, что операторы L симметричны, и выполнены оценки (Lu, u)L () -c0 u 2 - c1 u 2, c0 < 1, (10) 2 L2() L2() 2 для всех u W2 (, ). Операторы L продолжим на пространство W2 () по следующему правилу. Функция u W2 () сужается на множество и к сужению применяется оператор L. Такие продолжения вновь обозначим через L.
На пространстве L2() определим оператор сдвига: (S(a)u)(x) := u(x1 + a, x ), и для l > 0 введём оператор Ll := S(l)L-S(-l) + S(-l)L+S(l). Действие этого оператора зависит только от значений его функции-аргумента, которые последняя принимает на множестве {x : (x1+l, x ) -}{x : (x1-l, x ) +}.
При больших l это множество состоит из двух ограниченных компонент, стоящих на расстоянии 2l друг от друга. Поэтому оператор Ll естественно интерпретировать как разбегающиеся возмущения, образованные операторами Lи L+.
В первом разделе второй главы мы изучаем оператор Hl := -(D) + Ll в L2() с областью определения W2 (). Мы также предполагаем, что операторы L таковы, что оператор Hl самосопряжён. Целью является описание поведения спектра последнего оператора при l +.
Обозначим H := -(D) + L - операторы в L2() с областью опреде ления W2 (). Будем предполагать, что они самосопряжены. Пусть 1 > 0 - наименьшее собственное значение Лапласиана в с краевым условием Дирихле. Основные результаты о спектре оператора Hl выглядят следующим образом.
Теорема 9. Существенные спектры операторов Hl, H+, H- совпадают с полуосью [1, +), а дискретные спектры состоят из конечного числа изолированных собственных значений.
Обозначим := d(H-) d(H+). Будем говорить, что - (p- + p+)кратно, если оно p--кратное собственное значение оператора H- и p+-кратное собственное значение оператора H+, и положим p = 0, если d(H).
Теорема 10. Каждое изолированное собственное значение оператора Hl сходится к одному из чисел в или к 1 при l +.
Теорема 11. Если - (p- + p+)-кратно, то совокупная кратность собственных значений оператора Hl, сходящихся к , равна p- + p+.
Пусть - (p- + p+)-кратно и i, i = 1,..., p, - соответствующие собственные функции операторов H, ортонормированные в L2(). Если p- 1, то обозначим - i(, l) := (0; L+S(2l)i ) L2(-) L2(+), T1(i)f := (f-, i )L (-), где f := (f-; f+) L2(-) L2(+), i = 1,..., p-. Если p+ 1, аналогично обозначим + + j(, l) := (L-S(-2l)i ; 0) L2(-) L2(+), T1(j)f := (f+, i )L (+), где i = 1,..., p+, j := i + p-. В четвёртом параграфе первого раздела второй главы доказывается, что оператор T2(, l)f := L-S(-2l)(H+ - )-1f+; L+S(2l)(H- - )-1fв L2(-) L2(+) удовлетворяет соотношению p T2(, l) = - i(, l)T1(i) + T3(, l), - i=для , близких к , где p := p- + p+, и норма оператора T3 стремится к нулю при l + равномерно по , близким к . Определим матрицу A(, l) := Aij(, l), где Aij(, l) := T1(i)(I + T3(, l))-1j(, l).
i,j=1,n Теорема 12. Пусть - (p- + p+)-кратно и пусть i = i(l) --- , - l+ i = 1,..., p, p := p- + p+, - собственные значения оператора Hl, взятые с учётом кратности и упорядоченные следующим образом:
0 |1 - | |2 - |... |p - |. (11) Тогда данные собственные значения являются корнями уравнения det ( - )E - A = 0, (12) где E - единичная матрица, A = A(, l). Верны асимптотики 2 4l p p i(l) = + i(l) 1 + O l e- 1-, l +. (13) Здесь i = i(l) = O(e-2l 1-), l + - нули полинома det Ep - A(, l), взятые с учётом кратности и упорядоченные следующим образом 0 |1| |2|... |p|. (14) Для собственных функций, соответствующих i, справедливы асимптотики:
pp+ - + i(x, l) = i,jj (x1 + l, x ) + i,j+p j (x1 - l, x ) + O(e-2l 1-), i=1 i=при l + в норме W2 (). Числа i,j - компоненты векторов i = i(l) = (i,1(l)... i,p(l))t; последние являются решениями системы ( - )Ep - A = 0 (15) c A = A(i(l), l), и удовлетворяют условию 1, если i = j, p (i, j)C = O(le-2l 1-), если i = j.
Согласно данной теореме, главные члены асимптотических разложений собственных значений i определяются матрицей A(, l). С другой стороны, в приложениях может быть достаточно сложно явно вычислить данную матрицу. Поэтому в следующих теоремах мы приводим ещё один способ вычисления первых членов асимптотик.
Будем говорить, что квадратная матрица A(l) удовлетворяет условию (A) при l +, если она диагонализуема и определитель матрицы, составленной из нормированных собственных векторов матрицы A(l), отделён от нуля равномерно для достаточно больших l.
Теорема 13. Пусть выполнены условия теоремы 12. Предположим, что матрица A(, l) представима в виде A(, l) = A0(l) + A1(l), где матрица A0 удовлетворяет условию (A) при l +, и A1(l) 0 при l +. В этом случае собственные значения i оператора Hl удовлетворяют асимптотикам i = + i(0) 1 + O(l2e-4l 1-) + O( A1(l) ), l +. (16) Здесь i(0) = i(0)(l) - нули полинома det Ep - A0(l), взятые с учётом кратности и упорядоченные следующим образом:
(0) (0) (0) 0 |1 | |2 |... |p |. (17) Каждый из этих корней удовлетворяет оценке i(0)(l) = O( A0(l) ), l +.
Как следует из данной теоремы, первые члены асимптотик собственных значений определяются собственными значениями матрицы A(, l). Отметим, что оценка остатка в асимптотике (16) может быть хуже, чем в (13). В следующих теоремах мы применяем теорему 13 к некоторым важным частным случаям.
Пусть 2 > 1 собственное значение Лапласиана в с краевым условием Дирихле, и 1 = 1(x ) - собственная функция, соответствующая 1 и нормированная в L2(). В пятом параграфе первого раздела второй главы доказывается Лемма 3. Пусть выполнены условия теоремы 12 и p 1. Тогда функции i можно выбрать так, что 1 (x) = e 1-x11(x ) + O(e 2-x1), i (x) = O(e 2-x1), при x1 , i = 2,..., p, где - некоторые числа, а функции i ортонормированы в L2().
В дальнейшем предполагаем, что функции i выбраны в соответствии с данной леммой.
Теорема 14. Пусть выполнены условия теоремы 13 и p+ = 0. Тогда при + собственные значения i удовлетворяют асимптотикам i(l) = + O e-2l( 1-+ 2-), i = 1,..., p - 1, (18) p(l) = - 2 1 - |-|2-e-4l 1- + O e-2l( 1-+ 2-) + l2e-6l 1-, где константа - однозначно определяется равенством 1-x1 2-x U+(x) = -e 1(x ) + O(e ), x1 -, U+ := (H+ - )-1L+ e- 1-x11(x ).
Пусть, дополнительно, -- = 0. Тогда асимптотика собственной функции p, соответствующей p, в норме W2 () имеет вид:
p(x, l) = 1 (x1 + l, x ) + O l2e-2l 1- + e-2l( 2-- 1-), l +.
Данная теорема рассматривает первый возможный случай, когда число является собственным значением только одного из операторов H;
без ограничения общности считаем, что это оператор H-. Формулы (18) дают асимптотическое разложение для собственного значения p и асимптотические оценки для остальных собственных значений. Вместе с тем, для произвольного оператора L- наиболее типичной является ситуация, когда заданное собственное значение оператора H- простое. В этом случае p = 1, по теореме существует единственное собственное значение оператора Hl, сходящееся к , и теорема 14 даёт асимптотику данного собственного значения.
Теорема 15. Пусть выполнены условия теоремы 12 и p 1. Тогда l + собственные значения i удовлетворяют асимптотикам i(l) = + O(le-4l 1-), i = 1,..., p - 2, (19) p-1(l) = - 2|-+| 1 - e-2l 1- + O(le-4l 1-), p(l) = + 2|-+| 1 - e-2l 1- + O(le-4l 1-).
Данная теорема рассматривает второй возможный случай, когда число собственное значение обоих операторов H. Как в теореме 14, формулы (19) дают асимптотики собственных значений p-1 и p, и асимптотические оценки для остальных собственных значений. Типичной здесь является ситуация, когда - простое собственное значение операторов H+ и H-. В этом случае существуют ровно два собственных значения оператора Hl, сходящихся к , и их асимптотики даются теоремой 15.
Предположим, что в условиях теоремы 15 выполнено неравенство -+ = 0. В этом случае первые поправки в асимптотиках для p-1 и p равны по модулю, но разные по знаку. Более того, данные собственные значения простые. Такая ситуация аналогична задаче об операторе Шрёдингера с двойной симметричной потенциальной ямой. Отметим, что в нашем случае мы не налагаем никаких условий симметричности на операторы L, кроме d(H-) d(H+). Таким образом, последнее условие является достаточным для возникновения описанного феномена независимо от симметричности разбегающихся возмущений.
Во втором разделе второй главы рассматривается задача о Лапласиане с разбегающимися возмущениями во всем пространстве. Опишем постановку задачи. Как и выше, через x = (x1,..., xn) будем обозначать декартовы координаты в Rn, n 1. Пусть i Rn, i = 1,..., m, - произвольные непустые ограниченные области с гладкой границей. Через Li : W2 (i) L2(Rn, i), i = 1,..., m, обозначим линейные ограниченные симметричные операторы, удовлетворяющие неравенству (Liu, u) -c0 u 2 - c1 u 2, c0 < 1, L2(i) L2(i) для всех u, u1, u2 W2 (i), где c0, c1 - некоторые константы. По аналогии с операторами L продолжим операторы Li на пространство W2 (Rn). Введём оператор сдвига: S(a)u := u( + a), где a Rn. Пусть Xi, i = 1,..., m, - точки в Rn, и X := (X1,..., Xm), Xi,j := Xi - Xj, li,j := |Xi,j|. Предполагаем, что m li,j +, i = j. Положим LX := S(-Xi)LiS(Xi).
i=Объектом исследования является оператор HX := -(D) + LX в L2(Rn) с Rn областью определения W2 (Rn). Целью является описание поведения спектра оператора HX при li,j +.
Пусть Hi := -(D) + Li - операторы в L2(Rn) с областью определения Rn W2 (Rn). Предполагаем, что они самосопряжены. Сформулируем основные результаты.
Теорема 16. Существенный спектр операторов Hi, HX совпадает с полуосью [0, +). Их дискретные спектры состоят из конечного числа изолированных собственных значений.
m Обозначим := d(Hi). Будем говорить, что - (p1 +... + pm)i=кратно, если оно pi-кратное собственное значение оператора Hi, i = 1,..., m.
Как и выше, равенство pi = 0 означает, что (Hi). Обозначим lX := min li,j.
i =j Теорема 17. Каждое изолированное собственное значение оператора HX сходится к нулю или к при lX +. Если - (p1 +... pm)кратно, то совокупная кратность собственных значений оператора HX, сходящихся к , равна p1 +... pm.
Теорема 18. Пусть - (p1+...+pm)-кратно, и пусть i = i(X) ---- lX + , i = 1,..., p, p := p1 +... + pm, собственные значения оператора HX, взятые с учётом кратности и упорядоченные согласно (11). Тогда эти собственные значения являются корнями уравнения (12), где A = A(, X), и имеют асимптотики n-- 2p X p i(X) = + i(X) 1 + O lX e-l, lX +.
Здесь A - некоторая матрица, явно выражаемая через собственные функции операторов Hi, соответствующих , операторы Li и точки Xi. Величины n-2 X i = i(X) = O lX e-l -, lX +, являются нулями полинома det Ep -A(, X), взятыми с учётом кратности и упорядоченными согласно (14). Собственные функции, соответствующие i, удовлетворяют асимптотическим представлениям pj m n- X i = S(-Xj) i, +qj,q + O lX e-l -, lX +, j j=1 q=в норме W2 (Rn), где 1 := 0, j := p1 +... + pj-1. Здесь i,j, j = 1,..., pi, - собственные функции оператора Hi, соответствующие и ортонормированные в L2(Rn). Числа i,j являются компонентами векторов i = i(X) = t i,1(X),..., i,p(X), которые, в свою очередь, являются решениями системы (15) c A = A(i(X), X) и удовлетворяют условиям 1, i = j, n-1 p (i, j)C = X O lX e-l -, i = j.
В диссертации матрица A(, X) выписывается явно. Она выражается через вспомогательные функции и операторы. Мы не приводим здесь явного выражения для данной матрицы, чтобы не перегружать текст громоздкими формулами.
Следующие теоремы являются аналогами теорем 13Ц15.
Теорема 19. Пусть выполнены условия теоремы 18 и матрица A представима в виде A(, X) = A0(X)+A1(X), где матрица A0 удовлетворяет условию (A) при lX + и A1(X) 0 при lX +. Тогда собственные значения i удовлетворяют асимптотикам n-2 X i = + i(0) 1 + O lX e-l - + O( A1(l) ) при lX +. Здесь i(0) = i(0)(X) - нули полинома det Ep-A0(X), взятые с учётом кратности и упорядоченные согласно (17). Каждый из этих корней удовлетворяет оценке i(0)(X) = O( A0(X) ) при lX +.
Теорема 20. Пусть выполнены условия теоремы 18. Тогда собственные значения i удовлетворяют асимптотикам -n+X i(X) = + i(0)(X) + O lX e-2l -, lX +.
Здесь i(0) - корни полинома det Ep - A0, взятые с учётом кратности и упорядоченные согласно (17), а матрица A0 эрмитова и имеет следующий вид: A(0)(X) := LkS(Xk,r)r,s, k,q L2(k), если k = r, A(0)(X) := 0, если k = r, i,j i,j где k = 1,..., m, q = 1,.., pk, i = k + r = 1,..., m, s = 1,..., pr, i = r + s.
. q, n-1 X Верны оценки i(0) = O lX e-l -, lX +.
Теорема 21. Пусть является (1 + 0 +... + 0)-кратным, и 1 соответствующая собственная функция оператора H1, нормированная в L2(Rn).
Тогда асимптотика собственного значения (X) ---- оператора HX - lX + имеет вид:
m (X) = - L1S(X1,j)(Hj - )-1LjS(Xj,1)1, 1 L2(1) j= 3n- 2 X + O lX e-3l -, lX +.
Соответствующая собственная функция имеет следующую асимптотику в норме W2 (Rn):
n- 2 X (x, X) = 1(x - X1) + O lX e-l -, lX +.
Теорема 22. Пусть является (1+1+0+...+0)-кратным, и i, i = 1, - соответствующие собственные функции операторов Hi, нормированные в L2(Rn). Тогда асимптотики собственных значений i, i = 1, 2, оператора HX, сходящихся к , имеют вид:
-n+X 1 = - L1S(X1,2)2, 1 L2(1) + O lX e-2l -, -n+X 2 = + L1S(X1,2)2, 1 L2(1) + O lX e-2l -, при lX +.
Как и в теореме 15, в последней теореме первые члены асимптотик собственных значений оператора HX, сходящихся к (1 + 1 + 0 +... + 0)-кратному числу из , равны по модулю и имеют разные знаки. Как и в теореме 15, мы не предполагаем здесь какой-либо симметрии для операторов Li, то есть, и в данном случае этот эффект не является проявлением каких-либо симметрийных свойств разбегающихся возмущений.
Третья глава диссертации посвящена операторам с малыми локализованными возмущениями. Опишем постановку задачи. Пусть d d H0 := - p + q dx dx - оператор в L2(R) с областью определения W2 (R). Здесь p = p(x) - 1-периодическая кусочно-непрерывно дифференцируемая вещественная функция, q = q(x) - 1-периодическая кусочно-непрерывная вещественная функции, причём p(x) p0 > 0, x R.
Без ограничения общности предполагаем, что p(0) = 1. Оператор H0 самосопряжён.
Пусть L : W2 (x0, x1) L2(x0, x1), x0 < x1 - линейный оператор, ограниченный равномерно по . Продолжим данный оператор на пространство W2,loc(R) аналогично тому, как выше были продолжены операторы L. Обозначим: H := (H0 - L) - оператор в L2(R) с областью определения W2 (R).
В диссертации доказано, что оператор H замкнут.
Основной целью является изучение структуры и поведения спектра оператора H при 0. Для формулировки основных результатов нам понадобятся дополнительные обозначения и некоторые известные факты.
Известно, что спектр оператора H0 имеет зонную структуру:
(H0) = e(H0) = +, -, n n+n=где величины + < - + < - + < - + <... являются простыми 0 1 1 2 2 3 собственными значениями краевых задач d d - p + q = , x (0, 1), n n n dx dx (20) d d n (0) + (-1)n+1(1) = 0, (0) + (-1)n+1 n (1) = 0.
n n dx dx Для a C, > 0 обозначим S(a) := { C : | arg(-a)| < }. Сформулируем основные результаты.
Теорема 23. Существуют положительные i = i() - 0, i = 1, 2, такие что для достаточно малых верно вложение (H) S () + - 1().
2 Теорема 24. При достаточно малых выполнены равенства: e(H) = e(H0), r(H) = .
Теорема 25. Точечный спектр оператора H состоит из не более, чем счётного числа собственных значений конечной кратности, и не имеет конечных точек накопления.
Теорема 26. Пусть K - произвольный компакт в комплексной плоскости такой, что K e(H0) = . Тогда при достаточно малых множество e(H) K не содержит вложенных собственных значений.
Подчеркнём, что последняя теорема не исключает случай наличия вложенных собственных значений, стремящихся к бесконечности при 0. В параграфе 3.1.2 диссертации приведён пример оператора H, у которого существует вложенное собственное значение. В следующей теореме приводятся достаточные условия отсутствия таких собственных значений.
Теорема 27. Пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий:
(1). Для любого подынтервала Q [x0, x1] справедлива оценка:
Lu L (Q) C u W 2, 2 (Q) где константа C не зависит от и выбора подынтервала Q.
d d (2). Оператор L представим в виде L = + L, где a кусочноdxa dx непрерывно дифференцируемая функция с носителем в [x0, x1], удовлетворяющая соотношению:
max |a (x)| - 0, Q а L : W2 (x0, x1) L2(x0, x1) - линейный оператор, ограниченный равномерно по .
Тогда при достаточно малых существенный спектр оператора H не содержит вложенных собственных значений.
Теорема 28. Пусть K - произвольный компакт в комплексной плоскости такой, что K e(H0) = . Тогда при достаточно малых каждое из соб ственных значений оператора H, лежащих в K для всех достаточно малых , при 0 сходится к одному из краёв лакун в части спектра оператора H0, лежащей в множестве K.
Пусть i(x, ) - решения уравнения d d - p + q - v = 0, x R, (21) dx dx удовлетворяющие начальным условиям d1 d1(0, ) = 1, (0, ) = 0, 2(0, ) = 0, (0, ) = 1, dx dx где - комплексный параметр. Для краткости обозначим: i() := i(1, ), di i() := (1, ), i = 1, 2. Положим: D() := 1() + 2().
dx Пусть - один из краёв некоторой лакуны в спектре оператора H0. Собn ственные функции задачи (20) выберем вещественными и для чётных n продолжим 1-периодически на всю вещественную ось, для нечётных n продолжим 1-антипериодически. Продолженные таким образом функции будут дважды кусочно-непрерывно дифференцируемы. Нормируем их следующим образом:
d n |(0)|2 + (0) = |1()| + |2()|.
n n n dx В диссертации показано, что правая часть данного равенства не равна нулю, а потому нормировка имеет смысл.
Пусть Gn,0 интегральный оператор, определённый на L2(R, (x0, x1)):
(Gn,0f)(x) := G (x, t)f(t) dt, n,R 1(t, )2(x, ) - 1(x, )2(t, ), t > x, n n n n G (x, t) := n,2 1(x, )2(t, ) - 1(t, )2(x, ), t < x.
n n n n Так как оператор LGn,0 ограничен равномерно по в L2(x0, x1), то при достаточно малых в L2(x0, x1) корректно определён ограниченный оператор - A(, 0) := I - LGn,0. Далее точкой сверху будем обозначать дифференn цирование по .
Теорема 29. Пусть - один из краёв некоторой лакуны в спектре операn тора H0. Тогда оператор H имеет не более одного собственного значения, сходящегося к при 0. Это собственное значение существует, если n Re A(, 0)L, > 0, n n n L2(x0,x1) и отсутствует, если выполнено одно из следующих соотношений:
Re A(, 0)L, < 0, A(, 0)L, = 0.
n n n n n n L2(x0,x1) L2(x0,x1) Если данное собственное значение существует, то оно является простым и имеет следующее асимптотическое разложение:
= A(, 0)L, (1 + O(2)), (22) ,n n n n n L2(x0,x1) 4|()| n ,1 ,2 , = 2 kn, + kn, + O(4|kn, | + 5), (23) ,n n L, LGn,0L, n n n n L2(x0,x1) L2(x0,x1) ,1 ,kn, := , kn, := .
2 |()| 2 |()| n n Асимптотическое разложение соответствующей собственной функции имеет вид:
,n = + Gn,0L + O(2) n n в норме W2 (1, 2) для любых 1, 2 R.
Замечание 3. В диссертации даны формулы для (), из которых, в частn ности, следует, что () = 0, если - край лакуны.
n n Из теорем 28, 29 вытекает Следствие 1. Пусть K - произвольный компакт в комплексной плоскости.
Тогда при достаточно малых каждое из собственных значений оператора H, лежащих в K для всех достаточно малых , является простым.
Теорема 30. Пусть - один из краёв некоторой лакуны в спектре операn тора H0. Если ,1 ,Re kn, + kn, C()2, C() - +, то существует собственное значение , и верны равенства (22), (23). Если ,n же ,1 ,Re kn, + kn, -C()2, C() - +, то оператор H не имеет собственных значений, сходящихся к при 0.
n В диссертации также описано поведение собственной функции на бесконечности. Мы не приводим здесь этих формул, так как они достаточно громоздки и требуют введения ряда вспомогательных обозначений.
В четвёртой главе исследуются операторы в многомерном пространстве с быстро осциллирующими коэффициентами. Постановка задачи выглядит следующим образом. Пусть x = (x1,..., xd) - декартовы координаты в Rd, d d 1, B = B() - матричнозначная функция вида B() = Bii, где = i=(1,..., d), Bi - постоянные матрицы размера m n с комплекснозначными коэффициентами, и m n. Предполагаем, что rank B() = n, = 0.
k k Пусть Y - некоторое банахово пространство. Через W(Rd; Y ) и W2 (Rd; Y ) обозначим Соболевские пространства функций на Rd со значениями в Y, обладающих конечными нормами ||u ||u u W k := max ess sup, u 2 = dx.
k (Rd;Y ) W2 (Rd;Y ) Zd x Y x Y + xRd Zd || k + Rd || k Для k = 0 мы будем использовать обозначения L(Rd; Y ) := W(Rd; Y ), L2(Rd; Y ) := W2 (Rd; Y ).
В пространстве Rd выберем некоторую решетку, элементарную ячейку ко торой обозначим через. Через Cper( ) обозначим пространство -периодических функций с конечными нормами Гёльдера C ( ). Норма в этом пространстве совпадает с нормой пространства C( ).
Вектор-функции f = f(x, ), -периодические по , рассматриваются как отображения точек x Rd в функции, зависящие от . Данные отображения определяются по правилу x f(x, ). Это позволяет нам говорить о принадk лежности вектор-функций f(x, ) пространству Wp (Rd; Cper( )).
Пусть A = A(x, ) - матричная функция размера m m. Будем считать, что матрица A эрмитова и -периодична по , и справедлива равномерная по (x, ) R2d оценка c1Em A(x, ) c2Em.
1 1+ 2 Также предположим, что A W(Rd; Cper ( ))W(Rd; Cper( )) для некоторого (0, 1). Через V = V(x, ), ai = ai(x, ) обозначим -периодичные по 1 1+ матричные функции размера nn. Предполагается, что ai W(Rd; Cper ( )) 2 1 W(Rd; Cper( )), V W(Rd; Cper( )). Матрицу V будем считать эрмитовой, матрицы ai и Bi - комплекснозначными. Пусть bi = bi(x) W(Rd) - комплекснозначные матричные функции размера n n.
x Для любой функции ) через f(x) обозначим функцию f x,, на f(x, x пример, A(x) := A x,. Для -периодичных по функций f(x, ) положим f = f(x, ) := | |-1 f(x, ) d.
Целью является изучение оператора H := B()AB() + a(x, ) + V в L2(Rd; Cn) с областью определения W2 (Rd; Cn). Здесь d d B() := Bii, B() := - Bi, i i=1 i=d x a(x, ) := a x,, , a(x, , ) := ai(x, )ibi(x) - b(x)ia(x, ), i i i= где = (1,..., d), i - производная по xi, а верхний индекс означает эрмитово сопряжение. В диссертации доказано, что оператор H самосопряжён и равномерно по полуограничен снизу.
Пусть 0 = 0(x, ), 1 = 1(x, ) - матрицы размера n n и n m, соответственно, являющиеся -периодическими по решениями уравнений d a i B()A(x, )B()0(x, ) - b(x) (x, ) = 0, (x, ) R2d, i i (24) i= B()A(x, ) B()1(x, ) + Em = 0, (x, ) R2d, удовлетворяющими условиям i(x, ) = 0, x Rd, i = 0, 1. (25) Здесь =,...,. В диссертации доказано, что решения задач (24), 1 d 1 2+ (25) существуют, единственны, и i W(Rd; Cper ( )).
Пусть H0 - оператор в L2(Rd; Cn), определённый равенством H0 = B()A2B() + A1(x, ) + A0, A2(x) := A(x, ) B()1(x, ) + Em, A1(x, ) := B() A(x, )B()0(x, ) + B()0(x, ) A(x, ) B() + a(x, , ), A0(x) := - B()0(x, ) A(x, )B()0(x, ) + V(x, ), с областью определения W2 (Rd; Cn). В диссертации показано, что данный оператор самосопряжён и полуограничен снизу, а его коэффициенты достаточно гладкие. Через h0 обозначим нижнюю грань оператора H0.
1 Пусть G = G(x, ) W(Rd; Cper( )) - эрмитова положительная матрица размера n n. Также предполагаем, что существуют не зависящие от x и константы gi > 0, i = 1, 2, такие что g1En G(x, ) g2En.
Положим: G0(x) := G(x, ). Введём в рассмотрение оператор x x L := 1 x, B() + 0 x,.
В диссертации показано, что для каждого значения оператор L ограничен 1 как оператор из W2 (Rd; Cn) в L2(Rd; Cn), а также как оператор из W2 (Rd; Cn) в W2 (Rd; Cn). Сформулируем основные результаты четвёртой главы.
Теорема 31. Пусть C \ [0, +), 0 := min {h0/g1, h0/g2}. Тогда при достаточно малых справедливы оценки:
(H - G)-1 - (H0 - G0)-1 L L2 C, (26) (H - G)-1 - (I + L)(H0 - G0)-1 L W2 C, где константы C не зависят от , а нормы понимаются как нормы операторов из L2(Rd; Cn) в L2(Rd; Cn) и W2 (Rd; Cn), соответственно.
Следствие 2. Спектр оператора H сходится к спектру оператора H0. А именно, если (H0), то (H) при достаточно малых , и если (H0), то существует (H), такое что 0 при +0.
Если 1, 2 R \ (H0), то для спектральных проекторов операторов H и H0 верна сходимость P(,2)(H) P(,2)(H0), +0.
1 В работах М.Ш. Бирмана, Т.А. Суслиной, В.В. Жикова рассматривался частный случай оператора H, соответствующий равенствам ai = 0, bi = 0, V = 0, а также в предположении A = A(). Для такого случая были получены оценки, аналогичные (26) в случае = -1. Следует подчеркнуть, что в цитированных работах матрицы A и G не предполагались гладкими, а лишь ограниченными. Более того, константы C в упомянутых оценках зависели лишь от L-норм матриц A, A-1, G, G-1 и от параметров решётки. В нашем случае эти константы зависят от , параметров решетки, а также от норм коэффициентов в тех пространствах, которым они принадлежат.
Пусть 0 - изолированное собственное значение оператора H0 конечной кратности N. Из следствия 2 вытекает, что существует ровно N собственных значений (i), i = 1,..., N, оператора H (с учётом кратности), сходящихся к 0 при +0. Через (i), i = 1,..., N обозначим ортонормированные в L2(Rd; Cn) собственные вектор-функции, соответствующие 0. Введём в рассмотрение матрицу T с элементами Tij := K-1(1B(x) + 0)(i), (1B(x) + 0)(j) 0 L2(Rd ;Cn) | | + (i), K0(1B(x) + 0)(j) 0 L2(Rd ;Cn) | | + K0(1B(x) + 0)(i), (j), 0 L2(Rd ;Cn) | | K-1 := B()AB(x) + B(x)AB() + a(x, , ), K0 := B(x)AB(x) + a(x, , x) + V, где x :=,...,, - частные производные по xi. Аргументами всех x1 xd xi функций в приведённых формулах, кроме (j), являются (x, ).
Матрица T, очевидно, эрмитова, поэтому существует унитарная матрица S0, такая что матрица S0TS диагональна. Обозначим N (0) (i) := Sij (j), 0 j=(0) где Sij - элементы матрицы S0. Вектор-функции (i) ортонормированы в пространстве L2(Rd; Cn). Через i, i = 1,..., N, обозначим собственные значения k матрицы T. Положим: W(Rd; Y ) := W(Rd; Y ).
i=Обозначим (i) := (1B() + 0)(0). Через (i) обозначим -периодичес1 i кие по решения уравнений B()AB()(i) = -K-1(i) - K0(i) + 0(i), (x, ) R2d, 2 1 0 (i) удовлетворяющие условию (i)(x, ) = 0, x Rd. Функцию 1 определим как решение уравнения (i) (H0 - 0)1 = (i)(i) - K-1(i) + K0(i), 1 0 2 ортогональное в L2(Rd; Cn) всем собственным функциям (j). Через (i) обо0 значим решение уравнения (i) B()AB()(i) = - K-1(i) - K0(i) + 0(i) - K-1(1B(x) + 0)3 2 1 (i) (i) - K01 + 01 + i(i), (x, ) R2d, удовлетворяющее условию (i)(x, ) = 0, x Rd. В диссертации показано, (i) что функции (i), (i) и 1 определены корректно. Обозначим 2 (i) (i).
g2 := K-1(i) + K0(i) + K0(1B(x) + 0)3 Предполагая i = j, i = j, положим (i) (g2, (j))L (Rd;Cn) (1) 0 (1) Sij =, i = j, Sii = 0.
i - j 1+ Теорема 32. Пусть A = A(x, ) W(Rd; Cper ( )), V = V(x, ) W(Rd; Cper( )), 1+ ai = ai(x, ) W(Rd; Cper ( )), bi = bi(x) W(Rd), и пусть собственные значения матрицы T различны. Тогда собственные значения (i) имеют асимп тотики (i) = 0 + j(i), (i) = i, j j=где остальные коэффициенты - некоторые, вполне определённые числа. Собственные вектор-функции, соответствующие (i), можно выбрать так, что в норме W2 (Rd; Cn) они будут иметь следующие асимптотические разложения N x (i)(x) = (i)(x) + j(i) x,, 0 j j=N (1) (i)(x) (i) = (i) + 1 + Sik (k), 1 1 k=где остальные коэффициенты - некоторые, вполне определённые функции.
В диссертации получены явные рекуррентные формулы для всех коэффициентов асимптотик из последней теоремы. Мы не приводим здесь этих формул ввиду их громоздкости.
Подчеркнём, что условие i = j, i = j, не является существенным для по строения асимптотик собственных значений и собственных вектор-функций оператора H. Мы использовали его лишь для упрощения некоторых технических деталей. Если данное условие не выполнено, то наша техника позволяет построить асимптотики и в этом случае. Также отметим, что упомянутое условие является случаем общего положения, если 0 - кратное собственное значение, и заведомо выполнено, если 0 - простое собственное значение.
Согласно следствию 2, помимо собственных значений, сходящихся к изолированным собственным значениям усреднённого оператора, оператор H может иметь также собственные значения, сходящиеся к краю существенного спектра. В диссертации данный эффект демонстрируется на примере одномерного оператора; этому посвящён второй раздел четвёртой главы. Опишем подробнее постановку задачи.
Пусть d x d x H := - A x, + V x, dx dx - оператор в L2(R) с областью определения W2 (R). Здесь A(x, ), V (x, ) C(R2) - вещественнозначные функции, 1-периодичные по . Предполагается, что функции (A(x, ) - 1), V (x, ) финитны по x для каждого значения , и функция A удовлетворяет равномерному по x и неравенству A(x, ) c > 0.
Обозначим A0(x) := A-1(x, ) -1, V0(x) := V (x, ), где g(x, ) := g(x, ) d.
Ясно, что (A0 - 1) C0 (R), A0 c > 0. Здесь и всюду далее предполагается, что по крайней мере одна из функций A(x, ) и V (x, ) нетривиально зависит от . Из теоремы 31 следует, что усреднённый оператор здесь выглядит следующим образом:
d d H0 := - A0 + Vdx dx - оператор в L2(R) с областью определения W2 (R). Ясно, что каждое из собственных значений операторов H0 и H простое. Обозначим V1(x, ) := V (x, ) - V0(x).
Спектральную точку нуль будем называть виртуальным уровнем оператора H0, если существует нетривиальное ограниченное решение уравнения d d (0) - A0 + V0 0 = 0, x R. (27) dx dx Если такое решение существует, то оно единственно с точностью до умножения на константу. Пусть C - множество всех конечных интервалов вещественной оси.
Теорема 33. Если нуль не является виртуальным уровнем оператора H0, то оператор H не имеет собственных значений, сходящихся к нулю при +0. Если нуль является виртуальным уровнем оператора H0, то оператор H имеет не более одного собственного значения, сходящегося к нулю при +0. Если данное собственное значение существует, то соответствующая собственная функция сходится к нетривиальному решению уравнения (27) слабо в W2 (Q) и сильно в L2(Q) для всех Q C.
В случае существования, собственное значение оператора H, сходящееся к нулю при +0, обозначим через (0).
Теорема 34. Пусть нуль является виртуальным уровнем оператора H0, соответствующее нетривиальное решение уравнения (27) нормировано условием 2 (0) (0) lim lim (28) x- 0 (x) + x+ 0 (x) = 1, km - первый отличный от нуля член последовательности {ki}, члены коi=торой определяются равенством 2 d A0(x) (0) k1 = - 0 (x) - 1 V1(x, t) dt d dx dx A(x, ) R 0 и формулами (4.2.54) диссертации. Тогда в случае km > 0 оператор H имеет собственное значение (0) и его асимптотическое разложение имеет следу ющий вид:
2 2m-i (0) = - iki = - i kjki-j.
i=m i=2m j=m Если же km < 0, то оператор H не имеет собственного значения (0). В частности, если A не зависит от , то k1 = 0, 1 2 (0) k2 = 0 (x) V1(x, t) dt + tV1(x, t) dt d dx > 0, R 0 0 и собственное значение (0) существует. Если V не зависит от , то (0) d0 (x) k1 = 0, k2 = - V0(x) 2(x, ) dx, dx R где определяется формулой dt t dt (x, ) := A0(x) + - -.
A(x, t) A(x, t) 0 Так как функции (A0 - 1) и V0 финитны, то при больших значениях x общим решением уравнения (27) является линейная функция. Требование огра(0) ниченности фактически означает, что функция 0 является постоянной при достаточно больших x и, в силу нетривиальности, не обращается в нуль. Поэтому нормирующее условие (28) имеет смысл.
В диссертации также строится асимптотика собственной функции, соответствующей собственному значению (0).
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ [1] Борисов Д.И. Дискретный спектр пары несимметричных волноводов, соединённых окном // Мат. сб. - 2006. - Т. 197. № 4. - С. 3-32.
[2] Борисов Д.И., Гадыльшин Р.Р. О спектре оператора Шрёдингера с быстро осциллирующим финитным потенциалом // Теор. мат. физ. 2006. Т. 147.
№ 1. С. 58-63.
[3] Борисов Д.И. О спектре оператора Шрёдингера, возмущённого быстро осциллирующим потенциалом // Проб. мат. анализа. - 2006. - Т. 33 - С.
13-76.
[4] Борисов Д.И. Асимптотики спектра оператора Шрёдингера, возмущённого быстро осциллирующим периодическим потенциалом // Доклады АН.
- 2006. - Т. 406. № 2. - С. 151-155.
[5] Борисов Д.И. О некоторых сингулярных возмущениях периодических операторов // Теор. мат. физ. - 2007. - Т. 151. - № 2. - С. 207-218.
[6] Борисов Д.И., Гадыльшин Р.Р. Cпектр периодического оператора с малым локализованным возмущением // Доклады АН. - 2007. - Т. 413. № 4. - С. 439-443.
[7] Борисов Д.И. Асимптотики собственных значений эллиптических систем с быстро осциллирующими коэффициентами // Труды ИММ УрО РАН.
- 2007. - Т. 13. № 2. - C. 33-42.
[8] Борисов Д.И., Гадыльшин Р.Р. О спектре дифференциального оператора на оси с быстро осциллирующими коэффициентами // Мат. сб. - 2007. - Т. 198. № 8. - C. 3-34.
[9] Борисов Д.И. Асимптотики для решений эллиптических систем с быстро осциллирующими коэффициентами // Алгебра и анализ. - 2008. - Т. 20.
№ 2. - С. 19-42.
[10] Borisov D., Exner P., and GadylТshin R. Geometric coupling thresholds in a two-dimensional strip // J. Math. Phys. - 2002. - V. 43. № 12. - P. 6265-6278.
[11] Borisov D., Ekholm T., and Kovak H. Spectrum of the magnetic Schrdinger operator in a waveguide with combined boundary conditions // Ann. H.
Poincar. - 2005. - V. 6. № 2. - P. 327-342.
[12] Borisov D. and Exner P. Exponential splitting of bound states in a waveguide with a pair of distant windows // J. Phys. A. 2004. - V. 37. № 10. - P.
3411-3428.
[13] Borisov D. and Exner P. Distant perturbation asymptotics in window-coupled waveguides. I. The non-threshold case // J. Math. Phys. - 2006. - V. 47. № 11. - P. 113502-1 - 113502-24.
[14] Borisov D. Distant perturbations of the Laplacian in a multi-dimensional space // Ann. H. Poincar. - 2007. - V. 8. № 7. - P. 1371-1399.
[15] Borisov D. On the spectrum of two quantum layers coupled by a window // J. Phys. A. - 2007. - V. 40. № 19. - P. 5045-5066.
[16] Borisov D. Asymptotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbation // Math. Phys. Anal. Geom. - 2007. - V. 10. № 2. - P. 155-196.