Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по разным специальностям

На правах рукописи

Диденко Владимир Борисович

Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, порожденных линейными отношениями

01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2012

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Баскаков Анатолий Григорьевич, Воронежский государственный университет зав. кафедрой математических методов исследования операций

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент Бичегкуев Маирбек Сулейманович, Северо-Осетинский государственный университет зав. кафедрой функционального анализа и дифференциальных уравнений.

доктор физико-математических наук, профессор Перов Анатолий Иванович, Воронежский государственный университет профессор кафедры нелинейных колебаний

Ведущая организация: институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится 16 октября 2012 года в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан Ф Ф сентября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.д.ф.-м.н., профессор Ю.Е. Гликлих

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Диссертация посвящена исследованию вопросов существования и качественных свойств решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами и граничными условиями, заданными при помощи линейных отношений, исследованию дифференциальных уравнений с многозначными импульсными воздействиями и дифференциальных уравнений (операторов) с периодическими коэффициентами.

Состояние качественной теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах долгое время отражали известные монографии Ю.Л.

Далецкого, М.Г. Крейна УУстойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространствеФ, Х.Массера, Х. Шеффера УЛинейные дифференциальные уравнения и функциональные пространстваФ, авторы которых отмечали крайнюю важность развития соответствующей теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в связи с приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.

В последние семнадцать лет была установлена глубокая связь между теорией дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами, теорией полугрупп операторов, теорией разностных операторов (как непрерывного аргумента, так и дискретного), спектральной теорией линейных отношений. Новые подходы развивались в работах А.Г.

Баскакова, Ю.Д. Латушкина, Ф. Ребигера, Р. Шнаубельта, А. Фавини, А.

Яги, Д. Хенри, М.С. Бичегкуева, В.М. Брука, Г.В. Демиденко.

Необходимость в использовании спектральной теории линейных отношений возникает также при изучении дифференциальных уравнений с необратимым оператором при производной. Изучению таких дифференциальных уравнений посвящено большое число работ, в частности, монографии А. Фавини, А. Яги УDegenerate evolution equations in Banach spacesФ, Г.В.

Демиденко, С.В. Успенского УУравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производнойФ.

Дифференциальные уравнения на конечном промежутке с граничными условиями, заданными парой линейных операторов на конечномерном фазовом пространстве изучались в монографии Ф. Аткинсона УДискретные и непрерывные граничные задачиФ. В ней отмечалось (стр. 9): УВ высшей степени желательно было бы развить соответствующую теорию для уравнений в частных производных и их аналогов; однако дискретная теория, и, тем более, синтез двух теорий, представляются здесь очень слабо развитымиФ.

Таким образом, развиваемая в диссертации теория краевых задач для абстрактных параболических уравнений является актуальной.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании вопросов существования и свойств решений дифференциальных уравнений с абстрактными граничными условиями, заданными при помощи линейных отношений, в исследовании дифференциальных уравнений с многозначными импульсными воздействиями, а также в исследовании дифференциальных уравнений на всей оси с неограниченными периодическими коэффициентами.

Методика исследования. В работе используется спектральная теория линейных операторов и линейных отношений, методы дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, методы функционального анализа.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке:

1. Найдены необходимые и достаточные условия нахождения в определенном состоянии обратимости дифференциального оператора с граничными условиями, заданными при помощи линейного отношения.

Полученные результаты применяются к случаю, когда граничные условия задаются при помощи упорядоченной пары линейных операторов.

2. Описан спектр дифференциального оператора с граничными условиями, заданными при помощи линейного отношения.

3. Найдены необходимые и достаточные условия непрерывной обратимости и фредгольмовости дифференциального оператора с многозначным импульсным воздействием в фиксированный момент времени.

4. Найдены необходимые и достаточные условия нахождения в определенном состоянии обратимости дифференциального оператора с неограниченными периодическими коэффициентами как в пространстве периодических, так и непериодических функций.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, изложенные в диссертации, имеют в основном теоретическую ценность. Они могут быть использованы для исследования дифференциальных уравнений с краевыми условиями, задаваемыми упорядоченной парой линейных операторов, исследования дифференциальных уравнений с многозначными импульсными воздействиями, а также для исследования дифференциальных уравнений на всей числовой оси с неограниченными периодическими коэффициентами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2008, 2010, 2012, на Крымских осенних математических школах 2008, 2009, 2010, 2011, на конференции DFDE 2011 (Москва), на семинарах А.Г. Баскакова, а также на научных сессиях ВГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1 - 11]. Работы [7, 8] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по разным специальностям