Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по физике
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ на правах рукописи МАРАЧЕВСКИЙ Валерий Николаевич СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ В ТЕОРИИ ЭФФЕКТА КАЗИМИРА
Специальность 01.04.02 - теоретическая физика А В Т О Р Е Ф Е Р А Т диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Санкт-Петербург - 2011
Работа выполнена на кафедре физики высоких энергий и элементарных частиц физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета
Научный консультант:
д.ф.-м.н., проф.
НОВОЖИЛОВ Юрий Викторович
Официальные оппоненты:
д.ф.-м.н., в.н.с. ФИАН БАРВИНСКИЙ Андрей Олегович д.ф.-м.н.,проф. каф. теоретической физики университета УДубнаФ ФУРСАЕВ Дмитрий Владимирович д.ф.-м.н., проф. каф. квантовой механики СПбГУ ШАБАЕВ Владимир Моисеевич
Ведущая организация:
Институт Ядерных Исследований Российской академии наук
Защита состоится У Ф 2012 г. в 15.00 часов на заседании совета Д 212.232.24 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр.,В.О.,д. 41/43,ауд.304.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.
Автореферат разослан У Ф 2012 г.
Ученый секретарь Аксенова Е.В.
диссертационного совета
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы диссертации. В настоящее время эффект Казимира [1] является активно развивающейся областью теоретической и экспериментальной физики. Изучение эффекта Казимира важно с точки зрения фундаментальной физики. Особый интерес к этой области связан с тем, что эффект Казимира является макроскопическим эффектом квантовой электродинамики. Теоретическое и экспериментальное изучение эффекта Казимира позволяет лучше понять физику систем большого числа частиц.
Другим важным аспектом эффекта является то обстоятельство, что при любом расчете нано и микроэлектромеханических устройств, в котором существенны расстояния порядка сотен нанометров, необходимо учитывать силы Казимира.
Последние несколько лет в теории эффекта Казимира активно развиваются новые математические методы для вычисления эффектов взаимодействия в сложных геометриях и с использованием различных материалов. Развитие данных методов сделало возможным детальное сравнение теории и эксперимента в данной области.
Замечательно, что энергия Казимира может быть изначально записана в конечной форме, без расходимостей. С физической точки зрения это связано с наличием вакуумной щели между неоднородностями и возможностью явным образом выделить вклад от взаимодействия разделенных вакуумной щелью частей в энергию системы. При этом наиболее эффективным методом, позволяющим вычислять силу Казимира между объектами произвольной формы в общем случае, является теория рассеяния в сочетании с комплексным анализом. Теория рассеяния позволяет удобным образом записать энергию Казимира в конечной форме с помощью коэффициентов отражения или матриц отражения электромагнитных волн. Результаты теории эффекта Казимира для периодических геометрий, развитой в диссертации, подтверждены экспериментально.
Методы, используемые при вычислении энергии Казимира и свободной энергии, проиллюстрированы в диссертации на различных примерах.
Целью настоящей работы является развитие новых эффективных методов для вычисления сил Казимира в геометриях различной формы. Часть задач в диссертации решены методами спектральных функций - с помощью методов ядра теплопроводности и дзета функции, другие задачи решены с помощью методов комплексного анализа в сочетании с теорией рассеяния. Особое внимание уделено рассмотрению периодических геометрий с использованием реалистичных моделей для диэлектрических проницаемостей материалов и сравнению теории с экспериментом. В работе также детально исследован конечнотемпературный эффект Казимира в системе графен - параллельный металл. Теория потенциала Казимира-Полдера исследуется методом функций Грина, киральная аномалия с граничными условиями MIT типа вычислена с использованием метода ядра теплопроводности.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
1. Разработана теория эффекта Казимира для двух однородных параллельных дифракционных решеток произвольной формы с совпадающими периодами, периодических в одном пространственном направлении, трансляционно инвариантных в перпендикулярном направлении и разделенных вакуумной щелью. Энергия взаимодействия выражена через коэффициенты Рэлея. Свойства материалов характеризуются заданием частотной дисперсии диэлектрических проницаемостей.
2. Объяснены результаты экспериментов по измерению нормальной силы Казимира между прямоугольными дифракционными решетками из силикона и сферой из золота, впервые измеривших отклонения от приближения близкой силы (PFA), основанного на теории Лифшица для плоскопараллельных геометрий.
3. Теория с исключительной точностью предсказала и объяснила результаты экспериментов по измерению боковой силы Казимира для дифракционных решеток синусоидальной формы с совпадающими периодами и различными амплитудами, при этом отличие результатов точной теории и теории PFA достигало 66%. Тем самым было впервые проведено сравнение точной теории, отличной от теории Лифшица, и экспериментов.
4. Аналитически вычислен однопетлевой поляризационный оператор двумерных Дираковских фермионов, распространяющихся со скоростью Ферми vF c/300 при конечной температуре. Для системы плоский лист графена - параллельный металл с плоской поверхностью исследована свободная энергия системы, получены аналитические формулы на больших и промежуточных расстояниях. Высокотемпературная асимптотика системы графен - металл совпадает с высокотемпературной асимптотикой системы металл - металл для Друде модели диэлектрической проницаемости металлов. В системе графен - металл режим высоких температур начинается на расстояниях a 0.1 мкм при T = 300K, что на порядок меньше расстояний, на которых начинается высокотемпературный режим в системе металл - металл.
Тем самым впервые в теории эффекта Казимира высокотемпературная асимптотика системы получена исходя из первых принципов, из прямого вычисления компонент поляризационного оператора и квантовой электродинамики.
5. Найдено точное аналитическое решение для энергии Казимира поршней произвольного сечения внутри бесконечного цилиндра с идеально проводящими граничными условиями.
6. Вычислена киральная аномалия с граничными условиями MIT типа. Впервые получен нетривиальный граничный вклад в киральную аномалию.
7. Разработана общая теория эффекта Казимира - Полдера в произвольной калибровке вектор-потенциалов. Вычислен потенциал Казимира - Полдера для взаимодействия нейтрального атома и плоскости с членом Черна - Саймонса.
Научная новизна проведенных исследований состоит в следующем:
1. Впервые в теории эффекта Казимира энергия систем, периодических в одном пространственном направлении и трансляционно инвариантных в перпендикулярном направлении, выражена через коэффициенты Рэлея. Предполагается наличие вакуумной щели между двумя периодическими структурами с произвольно заданными профилями, периоды структур совпадают. Для рассматриваемых геометрий разработан алгоритм вычисления энергии Казимира и свободной энергии с использованием произвольных реалистичных моделей диэлектрических проницаемостей с заданной частотной дисперсией. Задача решена с использованием матриц отражения для плоских волн, выраженных через коэффициенты Рэлея. В задаче нет разделения на поперечные электрические и поперечные магнитные моды.
2. Впервые проведено сравнение теории и экспериментов вне пределов применимости теории Лифшица для плоскопараллельных геометрий. Эксперименты по измерению боковой силы Казимира между двумя дифракционными решетками синусоидальной формы с совпадающими периодами были проведены в университете Калифорнии, Риверсайд, США. Отличие предсказаний точной теории для периодических геометрий и приближения PFA, основанного на теории Лифшица, достигало 66%. В результате теория PFA в данной системе была полностью исключена экспериментальными данными, а развитая точная теория для боковой силы Казимира подтверждена с исключительной точностью.
3. Получено аналитическое решение для энергии Казимира в геометрии поршня с произвольным поперечным сечением поршня. Предполагается, что поршень может свободно двигаться внутри бесконечного цилиндра с тем же поперечным сечением, при этом внутри цилиндра находится второй поршень такой же формы. Задача решена для идеально проводящих условий электрического и магнитного типа на поршнях и цилиндре.
4. Впервые вычислен нетривиальный граничный вклад в киральную аномалию. В задаче использовались граничные условия MIT для фермионов. Задача решена с использованием формализма ядра теплопроводности. Найдено несколько новых коэффициентов в разложении следа ядра теплопроводности.
5. Разработан формализм для вычисления потенциала Казимира-Полдера в произвольной калибровке вектор-потенциалов. Вычислен потенциал Казимира - Полдера для атома над плоскостью с членом Черна - Саймонса.
6. Впервые вычислен поляризационный оператор двумерных квазичастиц дираковского типа в графене при конечной температуре. Исследован эффект Казимира для плоского листа графена, взаимодействующего с параллельным металлом при конечных температурах. Предсказан сильный температурный эффект Казимира на расстояниях порядка нескольких сотен нанометров при температуре T = 300K.
7. В системе графен - металл впервые из первых принципов вычислена высокотемпературная асимптотика эффекта Казимира.
Достоверность полученных результатов обоснована тем, что для решения рассмотренных в диссертации проблем использованы современные методы теоретической и математической физики. В частности, использованы метод ядра теплопроводности, метод дзета функции, метод функций Грина. Также использована теория рассеяния в сочетании с комплексным анализом. Результаты сравнивались в предельных случаях с ранее известными результатами. Для вычисления коэффициентов Рэлея использовались апробированные численные методы решения систем линейных дифференциальных уравнений и матричных вычислений.
Теоретические результаты для боковой силы Казимира сравнивались с экспериментальными данными, полученными в экспериментах по измерению боковой силы Казимира, проведенных в университете Калифорнии, Риверсайд, США. Полученные результаты продемонстрировали прекрасное согласие теории и проведенных экспериментов.
Теоретическая и практическая значимость.
Разработан метод вычисления энергии Казимира в геометриях, периодических в одном пространственном направлении и трансляционно инвариантных в перпендикулярном пространственном направлении.
Также в данном формализме можно получить результат для энергии Казимира двух трансляционно инвариантных в выделенном направлении тел произвольного конечного сечения, разделенных вакуумной щелью. При разработке и расчете нано и микроэлектромеханических приложений необходимо принимать во внимание силы Казимира. Разработанный формализм решает данную задачу для вышеупомянутых геометрий.
Развитая теория для периодических геометрий позволила впервые провести детальное сравнение точной теории и эксперимента вне пределов применимости теории Лифшица для плоскопараллельных геометрий. Разработанная теория получила подтверждение в проведенных экспериментах по измерению боковой силы Казимира в системе двух дифракционных решеток синусоидальной формы с различными амплитудами и совпадающими периодами.
Разработанная квантовополевая теория графена позволяет провести детальное сравнение теории и экспериментов в системе графен - металл при конечной температуре. Предсказанный сильный конечнотемпературный эффект Казимира в системе графен - металл является интересным следствием квантовой электродинамики и квантовой теории поля, вычисленным из первых принципов.
Разработанный формализм для вычисления потенциала Казимира - Полдера может быть эффективно использован в различных калибровках вектор-потенциалов электромагнитного поля.
Геометрия поршня является одной из немногих аналитически решаемых моделей в теории эффекта Казимира. Данная модель позволяет лучше понять физику эффекта Казимира в геометриях нетривиальной формы.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на международных семинарах УQUARKS -2006Ф (Санкт-Петербург, 2006), УФоковские чтения: современные проблемы физикиФ (Санкт-Петербург, 2008), были представлены на международных конференциях : УQuantum Field Theory under the influence of external conditions - 2007Ф (Leipzig, Germany, 2007), У60 years of the Casimir effectФ (Brasilia, Brasil, 2008), У7th International Friedmann seminar on gravitation and cosmologyФ (Joao Pessoa, Brasil, 2008), УQuantum Field Theory under the influence of external conditions - 2009Ф (Norman, USA, 2009), УQuantum Field Theory under the influence of external conditions - 2011Ф (Benasque, Spain, 2011).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 21 оригинальной работе. Из них 19 в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов докторских диссертаций. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения. Библиография состоит из 264 наименований. Работа содержит 15 рисунков, размещенных внутри глав.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы задачи работы и используемые методы, описана структура работы и приведены положения, выносимые на защиту.
В первой главе дано историческое введение, представлен краткий обзор современных теоретических и экспериментальных исследований по эффекту Казимира. Заключительная часть главы посвящена проблеме высокотемпературной асимптотики результатов в эффекте Казимира. В процессе изложения определенное внимание уделено и результатам автора, вошедшим в диссертацию. Чтение данной главы может быть существенно для понимания основных понятий, используемых в последующих главах. За исключением первой главы, в работе использованы единицы = c = kB = 1.
Во второй главе дается краткое введение в математический формализм методов ядра теплопроводности и дзета функции. Киральная аномалия с локальными граничными условиями MIT типа вычисляется с использованием данных методов. Найдено несколько новых коэффициентов в разложении следа ядра теплопроводности.
Рассмотрим оператор Дирака на n-мерном Римановом многообразии [] D = + V + iA5 - [, ] (1) во внешнем векторном V и аксиально-векторном A полях. Мы полагаем, что V и A являются антиэрмитовыми матрицами в пространстве [] некоторого представления калибровочной группы, - спин-связность.
Оператор Дирака преобразуется ковариантно при инфинитезимальных локальных калибровочных преобразованиях (локальное калибро вочное преобразование есть D exp(-)D exp()):
A = [A, ] V = + [V, ] D D + [D, ] (2) и при инфинитезимальных локальных киральных преобразованиях (ло кальное киральное преобразование есть D exp(i5)D exp(i5)):
A = + [V, ], V = -[A, ], D D + i{D, 5}. (3) и - антиэрмитовы матрицы.
Киральная аномалия по определению равна изменению эффективного действия W под действием инфинитезимального кирального преобразования. Для этого нужно использовать тождество:
+ + dt dt ln(/0) = - e-t - e-t0 (4) t t =Тогда изменение эффективного действия Фока-Швингера при инфинитезимальных киральных преобразованиях может быть записано:
+ 1 dt A = - ln det D2 = tr e-tD = 2 2t = + + 2 = -itr {5, D2}e-tD = 2itr5 e-tD = t =0 = = -2 lim tri5 e-tD = -2an(i5, D2). (5) tЗдесь an - n-ый коэффициент разложения следа ядра теплопроводности.
Наложим локальные граничные условия:
-|M = 0, - = 1 - 5n, (6) которые являются евклидовым вариантом граничных условий MIT меш ка [2]. Для дифференциального оператора второго порядка L = Dнеобходимы граничные условия на оставшиеся компоненты. Они определяются условием самосогласования [3]:
-D|M = 0, (7) которые эквивалентны граничному условию Робена (n + S) +|M = 0, + = 1 + 5n (8) с S = - +Laa. (9) Киральная аномалия вычисляется c использованием формулы (5).
Граничная часть киральной аномалии является новой:
-Abound = d3x h tr 12 i abc {Ab, }DaAc 180 (2)M +24{, Aa}{Aa, An} - 60 [Aa, ](Vna - [An, Aa]) +60(Dn)DA. (10) Она получена в работе при дополнительном условии равенства нулю внешней кривизны границы: Lab = 0.
В третьей главе рассматривается эффект Казимира с идеально проводящими граничными условиями на взаимодействующих поверхностях. Вначале рассмотрены два классических примера: две параллельные плоскости и полость в форме прямоугольного параллелепипеда.
Результаты для данных геометрий получены спектральными методами. Далее методом дзета функции получены результаты для геометрии поршня с произвольным поперечным сечением и граничными условиями идеального проводника. На малых расстояниях между взаимодействующими поршнями используется метод ядра теплопроводности для вывода асимптотики свободной энергии. В конце главы мы строим идеально проводящую полость в форме прямоугольного параллелепипеда и вычисляем изменение энергии в этом процессе.
Чтобы вычислить силу, действующую на поршень (пластину) внутри бесконечного цилиндра с поперечным сечением M (Рис.1), удобно провести следующий мысленный эксперимент. Допустим, что внутрь цилиндра вставлены 4 параллельные пластины, затем удалим две внешние пластины на большое расстояние. В этом случае получаемая геометрия в точности совпадает с геометрией трех идеально проводящих полостей, касающихся друг друга. Энергия каждой из полостей записывается с учетом известных в явном виде собственных частот полости методом дзета функции. Из энергии этой системы нужно вычесть энергию Казимира неограниченного цилиндра без поршней внутри него.
В результате получаем силу притяжения, действующую на каждый из поршней при нулевой температуре:
E(a) F (a) = -, (11) a E(a) = ln(1 - exp(-2a wave)), (12) wave где сумма берется по всем T E и T M собственным частотам wave для цилиндра с поперечным сечением M неограниченной длины.
Рис. 1 Две пластины внутри неограниченного цилиндра Используя свойство + + 1 dp K1(2l a) ln 1 - exp(-2a 2 + p2) = -, (13) 2 2 2 l - l=можно переписать (12) в виде:
+ 1 kDK1(2lkDa) iN K1(2liN a) E(a) = - +, (14) 2 l l l=1 kD iN где kD и iN являются собственными значениями двумерного оператора Лапласа с граничными условиями Дирихле и Неймана на границе M:
(2)fk(x, y) = -2 fk(x, y), (2)gi(x, y) = -2 gi(x, y), kD iN gi(x, y) fk(x, y)|M = 0, = 0.
n M Из выражения (14) и его обобщения на случай конечных температур получены асимптотики в случае больших и малых расстояний между поршнями. Для получения асимптотики малых расстояний использован метод ядра теплопроводности.
В четвертой главе исследуется электромагнитное поле в пятимерной геометрии Калуцы-Клейна. Рассматривается взаимодействие двух идеально проводящих параллельных пластин в трехмерном пространстве, получено выражение для силы Казимира между пластинами, исследована его зависимость от радиуса дополнительного измерения.
Рассматривается разложение Калуцы - Клейна для 4+1 (5D) Максвелловского действия на два сектора в 4D: безмассовый и массивный (Прока) сектор. Безмассовый сектор содержит 4D Максвелловское действие и 4D безмассовое скалярное поле. Прока сектор дает бесконечный набор 4D массивных калибровочных полей A(n) (и A(n) ) с массами mn = n/R, где n - положительное целое число и R - радиус компактного измерения. Преимущество такого разложения состоит в том, что задача может быть проанализирована в четырех пространственно - временных измерениях без ссылки на дополнительное пятое компактное измерение.
В 4D Прока секторе массивный фотон имеет три поляризации изза наличия продольной моды в дополнение к двум поперечным. Однако даже при наличии идеально проводящих пластин не все три моды идеально отражаются на границе пластин. Отличительным свойством данного решения является наличие моды, которая проникает вглубь проводника с идеально проводящими граничными условиями.
Электрическое и магнитное поля внутри идеальных проводников равны нулю, но калибровочные потенциалы нулю не равны, давая вклад в ненулевую плотность энергии, равный m2 ((A0)2 + A2 ), где m - масса.
Проникающая мода требует анализа только третьей компоненты векторного потенциала Az [4], где ось z перпендикулярна поверхности пластин. Граничные условия на Az и его производную z Az сводятся к их непрерывности на границах, эти граничные условия оказываются эквивалентными граничным условиям на поперечную электрическую (TE) моду, распространяющуюся между плоскими параллельными диэлектриками с различными диэлектрическими проницаемостями. Тем самым вклад в энергию Казимира от проникающей моды может быть вычислен с использованием теории Лифшица, и данный вклад в энергию зависит от толщины каждой из идеально проводящих параллельных пластин.
В пятой главе получена свободная энергия для геометрий, периодических в одном пространственном направлении, трансляционно инвариантных в другом пространственном направлении и разделенных вакуумной щелью. Свободная энергия выражена через коэффициенты отражения Рэлея электромагнитной волны от каждой из периодических поверхностей. Математический аппарат теории рассеяния, необходимой для вычисления коэффициентов Рэлея, приводится в деталях, необходимых для проведения расчетов. Заключительная часть главы посвящена сравнению теории с проведенными экспериментами.
Рассмотрим две диэлектрические (или металлические) дифракционные решетки произвольного профиля в плоскости x, y с периодом d в направлении x, разделенные щелью в трехмерном пространстве (Рис.2).
Система инвариантна относительно сдвига в направлении z (направление z перпендикулярно рисунку) и, таким образом, формирует волновод. В общем случае верхняя и нижняя дифракционные решетки могут иметь различную форму и различные диэлектрические (металлические) свойства. На Рис.2 высота периодически меняющейся области равна h для нижней дифракционной решетки. Определение бокового сдвига становится понятным из сравнения Рис.2 с Рис.3 и Рис.4. Для простоты предполагается, что пространство между двумя решетками заполнено вакуумом, удовлетворяющим условию = = 1.
Рассмотрим дифракцию электромагнитных волн на нижней дифракционной решетке, когда верхняя дифракционная решетка отсутствует.
Нас интересует решение задачи для произвольных значений z-компоненты волнового вектора kz. Продольные компоненты электромагнитного поля в области y > h могут быть записаны с использованием базиса Рэлея [5]:
(e) (1) Ez(x, y) = Ip exp(ipx - ip y) + + (e) (1) Rnp exp(inx + in y), (15) n=- (m) (1) Hz(x, y) = Ip exp(ipx - ip y) + + (m) (1) Rnp exp(inx + in y), (16) n=- y y L h s d x Рис. Система из двух параллельных дифракционных решеток с совпадающим периодом d, разделенных вакуумной щелью где (1)2 p = kx + 2p/d, p = 2 - kz - 2, (17) p (1)2 n = kx + 2n/d, n = 2 - kz - 2, (18) n p - целое число, суммирование производится по всем целочисленным n, -/d < kx < /d. Другие компоненты электромагнитного поля могут быть выражены через продольные компоненты Ez, Hz с использованием формул, хорошо известных из теории волноводов. Это решение верно вне любой одномерной периодической структуры в трехмерном пространстве (т.е. при y > h).
Для решения уравнений Максвелла удобно рассмотреть фиксированное число членов в разложениях (15), (16), где n меняется от -N до N. Решение может быть получено с любой необходимой точностью при достаточно большом N.
В общем случае в данной задаче нет разделения на T E и T M моды.
Поэтому матрица отражения R1down для отражения от нижней дифракционной решетки может быть определена следующим образом:
R1down = (EE) (e) (m) (EH) (e) (m) Rn1q1 (Ip = pq1, Ip = 0) Rn2q2 (Ip = 0, Ip = pq2) =. (19) (HE) (e) (m) (HH) (e) (m) Rn3q3 (Ip = pq3, Ip = 0) Rn4q4 (Ip = 0, Ip = pq4) Для вычисления энергии Казимира необходимо определить собственные частоты всех нормальных мод колебаний электромагнитного поля между двумя дифракционными решетками. Эти собственные частоты могут быть просуммированы с использованием принципа аргумента:
1 d () ln f()d = (0) - (), (20) 2i d где 0 - нули и - полюса функции f() внутри контура интегрирования, вырожденные собственные значения суммируются согласно вырождению. Для энергии Казимира имеем () = /2. Уравнение на собственные частоты соответствующей проблемы классической электродинамики есть f() = 0.
В качестве мысленного эксперимента предположим, что мы удалили верхнюю дифракционную решетку из системы. Матрица отражения волны, распространяющейся вниз, есть R1down. Представим теперь, что мы удалили нижнюю дифракционную решетку из системы. Обозначим матрицу отражения для волны, распространяющейся вверх, как R2up.
Матрицы отражения R1down, R2up зависят от волновых векторов падающих волн, параметров дифракционных решеток и взаимного расположения дифракционных решеток. Уравнение нормальных мод системы из двух дифракционных решеток имеет вид:
R1downR2upi = i, (21) где i - собственный вектор, соответствующий нормальной моде с частотой i. Отсюда получаем условие на собственные частоты системы:
det(I - R1downR2up) = 0. (22) y d x Рис. Воображаемая дифракционная решетка, для которой вычисляется R2down yy L s xd Рис. Верхняя дифракционная решетка из Рис.2, для которой вычисляется матрица отражения R2up. Нормальный и боковой сдвиги от воображаемой дифракционной решетки, показанной на Рис.3, обозначены L и s соответственно Отсюда следует, что функция f в принципе аргумента (20) равна f = det(I - R1downR2up).
Предположим, что матрица отражения R2down для отражения от фиктивной (воображаемой) дифракционной решетки, расположенной как на Рис.3, известна в координатах (x, y). Выполняя замену координат y = -y1 + L, x = x1 - s (s < d) в разложениях (15), (16), можно получить матрицу отражения R2up для отражения волн, распространяющихся вверх от дифракционной решетки того же профиля, полученной зеркальным отражением и сдвинутой от нижней дифракционной решетки на x = s, y = L (см. Рис.4). Таким образом, получаем R2up = Q(s)KR2downKQ(s), (23) где R2down - матрица отражения для волн, распространяющихся вниз, от дифракционной решетки в системе координат (x, y), изображенной на Рис.3. Здесь K - диагональная 2(2N + 1) матрица вида G1 K =, (24) 0 G 2m с членами exp -L 2 + kz + (kx + )2, m = -N... N, на главной d диагонали матрицы G1. Диагональная матрица бокового сдвига с 2(2N+ 1) матричными элементами Q(s) имеет вид G2 Q(s) =, (25) 0 Gгде матричные элементы exp (2ims/d), m = -N... N, расположены на главной диагонали матрицы G2.
Суммирование по собственным частотам может быть выполнено с использованием принципа аргумента (20), в результате получаем энергию Казимира двух параллельных дифракционных решеток на период d и единичной длины в направлении z:
+ + d d E = d dkz dkx (2)0 - d ln det I - R1down(kx, kz, i)R2up(kx, kz, i, L, ), (26) здесь = 2s/d, s - боковой сдвиг двух дифракционных решеток, в формуле (26) восстановлена явная зависимость матриц отражения от волновых векторов, частот и параметров, характеризующих рассматриваемую геометрию. Выражение (26) является точным для двух параллельных дифракционных решеток произвольной формы c совпадающими периодами d, разделенных вакуумной щелью при нулевой температуре. Выражение (26) легко обобщается на случай конечных температур, который также детально рассмотрен в пятой главе.
В эксперименте [6] измерялась сила Казимира между сферой радиуса R, покрытой золотым слоем, и силиконовой поверхностью с прямоугольными канавками. В этом эксперименте, впервые показавшем отличие экспериментальных данных от приближения близкой силы, основанного на теории Лифшица для плоскопараллельных геометрий, измерялось изменение резонансной частоты микромеханического крутильного осциллятора, которое пропорционально производной силы Казимира по расстоянию между поверхностями. В приближении PFA эта производная равна F (L - h) = -2RP (L - h), (27) где P - давление Казимира между дифракционной решеткой с прямоугольными канавками и параллельной плоскостью, L - h - минимальное расстояние между сферой и дифракционной решеткой. Результаты расчетов точной теории, проведенные автором, оказались в хорошем согласии с экспериментальными данными работы [6] и приведены в заключительной части главы.
Впервые детальное сравнение теории эффекта Казимира и экспериментов вне области применимости теории Лифшица было осуществРис. Фазовая зависимость боковой силы Казимира для двух синусоидальных дифракционных решеток с амплитудами 85.4 нм, 13.7 нм и периодом d = 574.7нм. Среднее расстояние между решетками Y = 124.7нм. Экспериментальные данные показаны точками. Теоретическая кривая показана сплошной линией лено при измерениях боковой силы Казимира для двух синусоидальных дифракционных решеток из золота с совпадающими периодами и разными амплитудами. Эксперименты были проведены в университете Калифорнии, Риверсайд, США. Теория для периодических геометрий, изложенная в пятой главе, была детально проверена и подтверждена в проведенных экспериментах. Впервые экспериментально обнаружена асимметрия боковой силы Казимира. В заключительной части пятой главы приводится описание экспериментов по измерению боковой силы Казимира. Также приводятся результаты проведенных расчетов и сравнение теории с экспериментальными данными. Типичные результаты сравнения теории и эксперимента приведены на Рис.5 и Рис.6, на больших расстояниях отличие точной теории от приближения PFA составило 66%.
В шестой главе построена теория для вычисления потенциала Казимира-Полдера в произвольной калибровке вектор-потенциалов. С использованием данной теории получено выражение для потенциала Казимира-Полдера нейтрального атома над поверхностью с членом ЧернаРис. Максимальные по амплитуде экспериментальные значения боковой силы Казимира показаны точками. Непрерывная и прерывистая линии - предсказания точной теории и теории PFA соответственно. Y - среднее расстояние между поверхностями, амплитуды синусоид равны 85.4 нм и 13.7 нм, период d = 574.7нм Саймонса. Также рассмотрено решение для потенциала Казимира-Полдера нейтрального атома внутри идеально проводящего клина.
Атом как локализованный в точке (x1, x2, x3) = (0, 0, l) электрический диполь моделируется классическим внешним полем J(x) J0(x) = pi(t)i(x1)(x2)(x3 - l), (28) i=Ji(x) = -i(t)(x1)(x2)(x3 - l), i = 1, 2, 3, (29) для которого выполняется условие сохранения тока:
J = 0.
Здесь p(t) - случайная функция с гауссовым распределением с нулевым средним и коррелятором + i e-i(t1-t2) pj(t1)pk(t2) = - jk()d, (30) e2 2 - где jk() при > 0 совпадает с атомной поляризуемостью.
Взаимодействие плоской поверхности с электромагнитным полем A описывается действием вида S(A) = - FF + Sdef (A), (31) где F = A - A и Sdef (A) = aV 3A(x)A(x)(x3)d4x, (32) где Sdef - действие с членом Черна-Саймонса, aV - безразмерный параметр, характеризующий взаимодействие.
Для расчета энергии E взаимодействия атома с плоскостью воспользуемся ее представлением в виде i E = ln exp (iS(A) + JA) dA - ln exp (iS(A)) dA, (33) T (aV ) где { }(aV ) означает, что у стоящей внутри скобок функции от aV следует вычесть ее значение при aV = 0: {g(aV )}(aV ) g(aV ) - g(0).
Проинтегрировав по фотонному полю, получим exp {iS(A) + iJA} dA ln = - J{D}(aV )J (34) exp {iS(A)} dA (aV ) где {D}(aV ) = D - D|aV =0, D - пропагатор фотонного поля при наличии плоскости с членом Черна-Саймонса. Таким образом, для энергии E, которая определяется правой частью (33), получаем следующее выражение J{D}(aV )J E = -i, (35) 2Tгде T1 - временной интервал, стремящийся к +.
Энергия основного состояния нейтрального атома при наличии плоскости с членом Черна - Саймонса равна:
+ 1 aV E = - de-2l2(1 + 2l)33(i) 642l3 1 + aV + (36) + de-2l(1 + 2l + 42l2) 11(i) + 22(i) 1 aV + + de-2l2 1 + 2l 12(i) - 21(i).
642l2 1 + aV В предельном случае aV + результат совпадает с результатом Казимира-Полдера [7] для энергии взаимодействия нейтрального атома с идеально проводящей плоскостью. Существенной особенностью результата (36) является член, зависящий от антисимметричной части атомной поляризуемости при конечных значениях параметра aV.
В седьмой главе вычислены компоненты однопетлевого поляризационного оператора для квазичастиц дираковского типа в графене.
Вычислена свободная энергия взаимодействия плоского листа графена с параллельным металлом. Детально рассмотрены исключительные свойства данной системы при конечных температурах.
Динамика квазичастиц в графене хорошо описывается в рамках 2 + 1 - мерной модели Дирака. Все наиболее важные свойства низкоэнергетических возбуждений включены в эту модель: линейность спектра при энергиях ниже примерно 2 эВ, очень малая массовая щель и Ускорость светаФ внутри слоя графена vF. Более того, взаимодействие квазичастиц с классическим или квантовым электромагнитным полем напрямую описывается в рамках этой модели введением ковариантной производной с помощью электромагнитного вектор - потенциала A. Таким образом, имеем дело с моделью, описываемой следующим классическим действием (предполагая, что плоскость графена лежит при x3 = 0):
/ S = - d4x F + d3xD, (37) где / D = (i0 - - eA0)0 + vF [1 (i1 - eA1) + 2 (i2 - eA2)] - m. (38) В формуле (38) - химический потенциал, m - массовая щель. Так как в графене имеется N = 4 типа фермионов, то имеем прямую сумму четырех 2 2 представлений (две копии каждого из двух неэквивалентных), 0 = -(1,2)2 = 1.
В квадратичном приближении эффективное действие Seff(A) для взаимодействия дираковских квазичастиц с электромагнитным полем есть 1 d3p Seff(A) = Aj(p)jl(p)Al(p), (39) 2 (2)где поляризационный оператор mn может быть записан в импульсном пространстве как dq0d2q mn(p0, p) = ie2 tr (q0, q)m(q0 - p0, q - p)n, (40) (2)и пропагатор квазичастиц в графене равен (q0 + )0 - vF q - m / /-(q0, q) D |A=0 = -. (41) (q0 + + i sgnq0)2 - vF q2 - mЗаметим, что из-за квазирелятивистской природы возбуждений в графене также зависит от скорости Ферми vF. Здесь qj = (q1, q2), q = / 1q1 + 2q2.
Из-за лоренцевой и калибровочной инвариантности поляризационный тензор в пустом пространстве может быть полностью определен вычислением одной скалярной функции. При наличии среды, характеризуемой скоростью u, для полного определения четной по четности части ij необходимы две функции [8] m n mn = j jiA(p0, p) + p2jiB(p0, p) i (42) 0 0 u vF pjpi pjpi pjui + ujpi ujui ji = gji -, ji = - + p 0 u p2 p2 (pu) (pu) где = diag(1, vF, vF ), и A, B - скалярные функции. Заметим, в этом выражении мы учли вышеупомянутую квазирелятивистскую природу возбуждений в графене, введя подходящую зависимость от vF. Векторы с тильдой отмасштабированы домножением пространственных компоj нент на vF, т.е., pj i pi = (p0, vF p).
В системе покоя среды, u = (1, 0, 0), скалярные функции A, B могут быть выражены через временную компоненту поляризационного оператора и его след следующим образом (p2 p2 - p2, p2 p2 - vF p2):
3 0 3 p2 1 p2 + p 3 3 A = 00 + tr, B = 00 + tr. (43) p2 vF p2 pЯсно, что мы можем выразить A, B через любую пару компонент .
Мы выбираем tr m и 00 для удобства дальнейших вычислений.
m Определим e2 4 = 4/137. В результате суммирования по фермионным Мацубаровским частотам при температуре T получаем следующее представление для 00 и tr:
2NT 0 + b 0 + b tr,00 = - dx ftr,00 tanh - ln 2 cosh vF 0 2T 2T + (0 -0), (44) где 0 = m2 - x(1 - x)(p2 - vF p2), b = p0x - , и -2vF p2x(1 - x) - p0(1 - 2x)0 + 2f00 =, (45) 4T 2 2m2vF + 2x(1 - x)vF pftr = 4T 2 p0(1 - 2vF )(1 - 2x) - 2(1 - vF )-. (46) 4T Для дальнейшего использования в формуле Лифшица для свободной энергии Казимира находятся коэффициенты отражения для поперечной магнитной и поперечной электрической волн электромагнитного поля в терминах компонент поляризационного тензора:
p300 p200 + p2tr rTM =, rTE = -. (47) p300 + 2ip2 p200 + p2(tr - 2ip3) Подчеркнем, что результаты (47) получены для свободного отдельно стоящего листа графена.
В 1955 году Лифшиц показал, что взаимодействие Казимира между двумя параллельными диэлектрическими слоями может быть выражено в замкнутом виде, если известны их диэлектрические проницаемости на мнимых частотах [9]. Кац показал [10], что для любых двух параллельных поверхностей, разделенных расстоянием a с коэффициентами (1) (2) отражения rTE,TM, rTE,TM для TE и TM электромагнитных мод, плотность свободной энергии Лифшица можно записать d2p (1) (2) (1) (2) F = T ln[(1 - e-2pnarTErTE)(1 - e-2pnarTMrTM)], (48) 8n=- где pn = n + p2, и n = 2nT - Мацубаровские частоты. Коэффициенты отражения здесь берутся при евклидовых импульсах r = r(n, p).
Выбирая в качестве взаимодействующих поверхностей плоский лист графена и параллельный идеально проводящий металл, подставим в формулу (48) соответствующие коэффициенты отражения. Для идеального проводника имеем (2) (2) rTM = 1, rTE = -1. (49) Коэффициенты отражения листа графена при евклидовых импульсах могут быть найдены после подстановки p0 = i2nT = in в формулы (44)Ц(47).
Высокотемпературная асимптотика свободной энергии (4T a 1) для взаимодействия плоского листа графена с идеальным металлом дается выражением T (3) (0) F0TM = - FDrude|T = Fid|T , (50) 16a2 что в точности совпадает со взаимодействием двух металлов при высокой температуре, описываемых моделью Друде, или, эквивалентно, равно половине асимптотики взаимодействия двух идеальных металлов при высокой температуре, Fid. Вклад TE моды на больших расстояниях подавлен фактором vF и дополнительным фактором 1/a. Таким образом, на больших расстояниях (или при высоких температурах) получаем очень сильное взаимодействие Казимира для системы одноатомной толщины. Эта особенность дает великолепную возможность для экспериментального изучения температурного эффекта Казимира в системах графен-металл, графен-графен при комнатных температурах. Энергия на больших расстояниях практически не зависит от модели, которая используется для описания проводимости металла.
При vF 0 вклад в свободную энергию системы графен - идеальный металл при стремлении температуры к нулю равен N N F T 0= - ln 1 + 8/(N) -, (51) 128a3 256aРис. (0) Отношение 1 свободной энергии к высокотемпературной асимптотике F0TM. Использованы значения m = = 0, T = 300K т.е. составляет около 2.6% от взаимодействия двух идеально проводящих параллельных пластин. Отличие между (51) и результатом при температуре T = 0 и vF = 1/300 скорости света составляет менее 1%.
Далее в седьмой главе получена приближенная аналитическая формула для суммы ненулевых Мацубаровских членов в свободную энергию. Показано, что при T = 300K на расстояниях a порядка 100 нм в системе графенЦметалл происходит переход к режиму высоких температур.
На Рис.7 показано отношение 1 свободной энергии Лифшица F (0) (48), деленной на высокотемпературную асимптотику F0TM (50) при T = 300K для двух систем: графен - идеальный металл и идеальный металл - идеальный металл. Из Рис. 7 следует, что система графен - идеальный металл приближается к асимптотическому значению существенно быстрее, чем система идеальный металл - идеальный металл.
Это объясняется следующим поведением компонент поляризационного Рис. Отношение 2 свободной энергии для системы графен - идеальный металл при условиях = m = 0 к свободной энергии системы идеальный металл - идеальный металл при температуре T = 300K оператора при ненулевых частотах p2cn 00(n) + O(p4), tr(n) T cn + O(p2), n 1, |p|0 T |p|которое дает дополнительное подавление соответствующих вкладов в свободную энергию. Из-за этого подавления нулевой Мацубаровский TM член доминирует в температурной зависимости свободной энергии для системы графен - металл на значительно более коротких расстояниях, чем в системе металл - металл.
На Рис. 8 изображено отношение 2 свободной энергии системы графен - металл к свободной энергии идеальный металл - идеальный металл на расстояниях менее 300 нм и T = 300K. В численных расчетах свободной энергии для полупространства из золота и параллельного слоя графена использована плазма модель для диэлектрической проницаемости золота (i) = 1 + p/2 с плазменной частотой p = 9.эВ, коэффициенты отражения от полупространства из золота являются стандартными коэффициентами Френеля для TM, TE мод. Заметим, на малых расстояниях поведение свободной энергии для системы золото - графен отличается на одну степень a от свободной энергии системы графен - идеальный металл. Данное изменение степенного закона закономерно при приближении к малым расстояниям, так как переход от режима запаздывания к режиму без запаздывания происходит на расстояниях, характеризуемых длиной волны материала p = 2/p.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Цитируемая литература 1. H. B. G. Casimir, On the Attraction Between Two Perfectly Conducting Plates, Proc. Kon. Ned. Akad. Wetensch. 51, 793Ц795 (1948).
2. A. Chodos, R. L. Jaffe, K. Johnson, C. B. Thorn and V. F. Weisskopf, A New Extended Model Of Hadrons, Phys. Rev. D 9, 3471Ц3495 (1974).
3. T. P. Branson and P. B. Gilkey, Residues of the eta function for an operator of Dirac type, J. Funct. Anal. 108, 47Ц87 (1992); Residues of the eta function for an operator of Dirac type with local boundary conditions Differential Geom. Appl. 2, 249Ц267 (1992) 4. G. Barton and N. Dombey, Casimir effect for massive photons, Nature 311, 336 - 339 (1984); The Casimir effect with finite - mass photons, Ann. Phys. 162, 231 - 272 (1985).
5. O. M. Rayleigh, On the Dynamical Theory of Gratings, Proc.Roy.Soc.A 79, 399 - 416 (1907).
6. H. B. Chan, Y. Bao, J. Zou, R. A. Cirelli, F. Klemens, W. M. Mansfield, and C. S. Pai, Measurement of the Casimir Force between a Gold Sphere and a Silicon Surface with Nanoscale Trench Arrays, Phys. Rev. Lett.
101, 030401, 1Ц4 (2008).
7. H. B. G. Casimir and D. Polder, The Influence of Retardation on the London-van der Waals Forces, Phys. Rev. 73, 360Ц372 (1948).
8. V. Zeitlin, QED2+1 with nonzero fermion density and the quantum Hall effect, Phys. Lett. B 352, 422Ц427 (1995).
9. Е. М. Лифшиц, Теория сил Ван-дер-Ваальса, ЖЭТФ 29, 94Ц104 (1955).
10. Е. И. Кац, Влияние эффектов нелокальности на вандерваальсовское взаимодействие, ЖЭТФ 73(1), 212-220 (1977).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах:
1. A.Lambrecht and V. N. Marachevsky, Casimir Interaction of Dielectric Gratings, Phys.Rev.Lett. 101, 160403, 1Ц4 (2008).
2. A. Lambrecht and V. N. Marachevsky, Theory of the Casimir effect in one-dimensional periodic dielectric systems, Int. J. Mod. Phys. A 24, 1789Ц1795 (2009).
3. A. Lambrecht and V. N. Marachevsky, New geometries in the Casimir effect: dielectric gratings, Journal of Physics: Conference Series 161, 012014, 1Ц8 (2009).
4. В. Н. Марачевский, Теория эффекта Казимира для трёхмерных систем с одномерной периодичностью, Вестник Санкт-Петербургского университета, Сер. 4, Вып. 4, 297Ц302 (2009).
5. V. N. Marachevsky, Theory of the Casimir effect for gratings, 280Ц288, in Quantum Field Theory under the influence of external conditions (QFEXT09) (World Scientific, Singapore, 2010).
6. H.-C. Chiu, G. L. Klimchitskaya, V. N. Marachevsky, V. M. Mostepanenko, and U. Mohideen, Demonstration of the asymmetric lateral Casimir force between corrugated surfaces in the nonadditive regime, Phys. Rev. B 80, 121402, 1Ц4 (2009).
7. H.-C. Chiu, G. L. Klimchitskaya, V. N. Marachevsky, V. M. Mostepanenko, and U. Mohideen, Lateral Casimir Force Between Sinusoidally Corrugated Surfaces: Asymmetric Profiles, Deviations from the Proximity Force Approximation, and Comparison with Exact Theory, Phys. Rev. B 81, 115417, 1Ц20 (2010).
8. V. N. Marachevsky and D. V. Vassilevich, Chiral anomaly for local boundary conditions, Nucl.Phys.B 677, 535Ц552 (2004).
9. V. N. Marachevsky, Spectral functions and their applications, in УLectures on the Physics of Highly Correlated Electron Systems VIII: Eight Training CourseФ, edited by A.Avella and F.Mancini, AIP Conf. Proceedings 715, 215Ц224 (2004).
10. V. N. Marachevsky, Chiral anomaly with MIT bag boundary conditions, Czechoslovak Journal of Physics 55, 651Ц656 (2005).
11. V. N. Marachevsky, Casimir energy of two plates inside a cylinder, QUARKS-2006 Proceedings, 1Ц7 (2006).
12. V. N. Marachevsky, Casimir interaction of two plates inside a cylinder, Phys.Rev.D 75, 085019, 1Ц6 (2007).
13. V. N. Marachevsky, Casimir interaction: pistons and cavity, J.Phys.A:
Math.Theor. 41, 164007, 1Ц7 (2008).
14. A. Edery and V. Marachevsky, The perfect magnetic conductor (PMC) Casimir piston in d+1 dimensions, Phys.Rev.D 78, 025021, 1Ц10 (2008).
15. A. Edery and V. N. Marachevsky, Compact dimensions and the Casimir effect: the Proca connection, JHEP 12, 035, 1Ц18 (2008).
16. В.Н.Марачевский, Ю.М.Письмак, Эффект Казимира-Полдера для плоскости со взаимодействием Черна-Саймонса, Вестник СанктПетербургского университета, Сер.4, Вып.4, 102Ц108 (2008).
17. V. N. Marachevsky and Yu. M. PisТmak, Casimir-Polder effect for a plane with Chern-Simons interaction, Phys.Rev.D 81, 065005, 1Ц6 (2010).
18. I. V. Fialkovsky, V. N. Marachevsky and D. V. Vassilevich, Finite temperature Casimir effect for graphene, Phys.Rev.B 84, 035446, 1Ц(2011).
19. V. N. Marachevsky, Casimir energy of a dilute dispersive dielectric ball:
realistic microscopic model, Int. J. Mod. Phys. A 17, 786Ц789 (2002).
20. V. N. Marachevsky, Casimir energy of dielectric systems, Nucl.Phys.B Proc.Suppl. 104, 169Ц172 (2002).
21. В. Н. Марачевский, Эффект Казимира и квантовая теория поля в диэлектриках, Теоретическая и Математическая Физика 131, 26Ц(2002).