Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Бичегкуев Маирбек Сулейманович
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ВЫРОЖДЕННЫЕ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ
Специальность 01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ
Автореферат диссертации на соискание уч степени еной доктора физико-математических наук
Воронеж 2011
Работа выполнена в Северо-Осетинском государственном университете им. К. Л. Хетагурова
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Баскаков Анатолий Григорьевич, доктор физико-математических наук, профессор Мухамадиев Эргаш Мирзоевич, доктор физико-математических наук, Пискар Сергей Игоревич ев
Ведущая организация: Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН
Защита состоится 7 июня 2011 г. в 15 часов 10 минут на заседании совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу:
394006, г. Воронеж, Университетская пл. 1, ауд. 3
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.
Автореферат разослан апреля 2011 года
Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор Гликлих Ю. Е.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Диссертация посвящена исследованию геометрических (качественных) свойств решений разностных уравнений, разностных включений и дифференциальных уравнений с неограниченным операторным коэффициентом методами спектральной теории линейных операторов и линейных отношений.
Состояние качественной теории дифференциальных уравнений долгое время в значительной мере отражали известные монографии Ю.Л.Далецкого, М.Г.Крейна ФУстойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространствеФ и Х.Массера, Х.Шеффера ФЛинейные дифференциальные уравнения и функциональные пространстваФ, авторы которых отмечали крайнюю важность развития соответствующей теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в связи с приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными:
ФАвторы отчетливо сознают, что арена бесконечномерных пространств требует присутствия неограниченных операторов, без которых невозможна настоящая теория устойчивости систем с бесконечным числом степеней свободыФ. (Ю.Л.Далецкий, М.Г.Крейн, стр.12) Ф... мы совершенно игнорируем возможность распространения теории на случай, когда значения A (в уравнении вида + Ax = h - прим. автора) суть неограниченные операторы в X. Такое обобщение теории представило бы конечно, огромный интерес особенно ввиду возможных приложений к уравнениям в частных производныхФ. (Х.Массера, Х.Шеффер, стр.11) Существенный вклад в теорию дифференциальных уравнений с неограниченными операторами был сделан В.В.Жиковым. Полученные результаты были изложены затем в монографии Б.М.Левитана, В.В.Жикова.
В последние пятнадцать лет была установлена глубокая связь между теорией дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами, теорией полугрупп операторов и теорией разностных операторов как непрерывного аргумента, так и дискретного. Эта связь с разностными операторами прослеживается в двух направлениях.
Первое направление связано со следующим методом исследования. Рассматриваемому дифференциальному уравнению сопоставляется линейный дифференциальный оператор, действующий в подходящем функциональном пространстве. Далее для исследования этого дифференциального оператора используется полугруппа разностных операторов, введ Хоуленная эндом в 1974 году, действующих в том же функциональном пространстве.
Важная роль этой полугруппы проявилась значительно позже в работах А.Г. Баскакова, Ю.Д. Латушкина, С. МонтгомериЦСмита, в которых было установлено, что соответствующий дифференциальному уравнению дифференциальный оператор является генератором (инфинитезимальным оператором) полугруппы разностных операторов Хоулэнда. При этом важно отметить, что для этой полугруппы операторов имеет место теорема об отображении спектра, которая была доказана одновременно в статьях А.Г. Баскакова, Ю.Д. Латушкина и С. МонтгомериЦСмита, Ф. Р ебигера и Р. Шнаубельта. Эта теорема позволяет свести изучение дифференциального оператора к изучению ограниченных разностных операторов, действующих в тех же функциональных пространствах.
Второе направление исследования дифференциальных операторов связано с использованием разностных операторов, действующих в подходящем банаховом пространстве односторонних или двусторонних последовательностей.
Теория разностных операторов и связанные с ней разностные уравнения с дискретным и непрерывным аргументом играют важную роль в описании процессов и явлений, изучаемых во многих областях современной науки.
Первые исследования, посвященные разностным операторам, появились еще в конце XIX - начале XX столетия. Так в работах О.Перрона и А.Пуанкаре изучались вопросы поведения на бесконечности некоторых типов разностных операторов, связанных с операторами взвешенного сдвига.
Особое внимание к разностным операторам и уравнениям, их содержащим, обусловлено прежде всего применением аппарата разностных операторов в исследованиях разрешимости различных дифференциальных, интегральных и функциональных уравнений. Подобные исследования различных классов уравнений осуществлялись в работах многих авторов, в частности А.Б.Антоневича, А.Г.Баскакова, Р.Беллмана и К.Л.Кука, И.Ц.Гохберга и И.А.Фельдмана, Г.В.Демиденко, П.П.Забрейко и Нгуен Ван Миня, В.Г.Курбатова, Х.Л.Массера и X.X.Шеффера, В.М.Тюрина, Д.Хенри.
Разностные операторы являются также объектом исследования в спектральной теории динамических систем, что отражено в монографиях З.Нитецки, П.Халмоша, Ю.Д. Латушкина и А.М. Степина и многих других. Связь разностных операторов с задачами теории функций рассматривались в работах Ю.Ф.Коробейника, А.А.Миролюбова и М.А.Солдатова, Н.К.Никольского, В.Д.Степанова и А.Л.Шилдса.
Спектральные свойства разностных операторов исследовались А.Б.Антоневичем, Э.М.Мухамадиевым и Б.Н.Садовским.
Условия обратимости разностных операторов находят широкое применение в теории дифференциальных операторов. Как правило, исследования обратимости дифференциального и связанного с ним разностного операторов приводятся в терминах экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Связь экспоненциальной дихотомии с разрешимостью неоднородных дифференциальных уравнений в пространстве непрерывных ограниченных на числовой прямой функций установлена О.Перроном. Дальнейшие исследования в этой области для уравнений в банаховых пространствах с ограниченными коэффициентами проводились Х.Массера и Х.Шеффером. Однако, даже для обыкновенного дифференциального оператора с ограниченными коэффициентами достаточно долго не удавалось доказать эквивалентность его обратимости и экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства. В монографии Ю.Л.Далецкого и М.Г.Крейна аналог этого утверждения получен при некоторых дополнительных условиях. Этот результат, для случая неограниченных операторных коэффициентов, получен в работах В.В.Жикова и А.Г.Баскакова.
Экспоненциальную дихотомию для разностных уравнений в банаховом пространстве рассматривали С.Коффман и Х.Шеффер, делая упор на связь дихотомии и допустимости. В работе В.Е.Слюсарчука доказана эквивалентность обратимости разностного оператора с ограниченными операторными коэффициентами, содержащего взвешенный сдвиг, и экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Аналогичный результат для случая ограниченных коэффициентов, определяющих (возможно) неограниченную операторнозначную функцию, получен в монографии Д.Хенри. В обеих работах операторы рассматривались в пространстве ограниченных двусторонних последовательностей векторов из банахова пространства.
Техника исследования дифференциальных операторов, основанная на использовании разностных операторов в пространствах последовательностей, и использование теории полугрупп операторов позволили за последние пятнадцать лет существенно развить теорию дифференциальных операторов с неограниченными коэффициентами. Именно такая техника исследования положена в основу получения основных результатов диссертации.
Часть результатов диссертации связана с исследованием разностных операторов, действующих в пространстве последовательностей векторов из банахова пространства. Для исследования таких операторов, ввиду их ограниченности, применимы методы спектральной теории операторов и, более общо, спектральной теории линейных отношений (многозначных линейных операторов).
Использование спектральной теории линейных отношений для спектрального анализа разностных операторов систематически используется в главах 1 - 3 диссертации. При этом очень важным является построение проекторов Рисса по спектральной компоненте из спектра подходящего линейного отношения. Прямому использованию спектральной теории операторов для дифференциальных операторов мешает неограниченность спектральных компонент из спектра таких операторов.
Применение результатов, полученных для разностных операторов, к исследованию дифференциальных проходит по следующей схеме. Обратимость разностного оператора, построенного по дифференциальному оператору, влеч круговую дихотомию спектра для полугруппы операторов, геет нератором которой является операторный коэффициент. Этот факт позволяет построить функцию Грина для обратного оператора к исследуемому дифференциальному оператору.
Ставшие классическими результаты из отмеченных монографий Ю.Л.
Далецкого, М.Г. Крейна и Х. Массера, Х. Шеффера относились к пространствам функций, инвариантных относительно сдвигов. Возникает естественная проблема изучения дифференциальных и разностных уравнений в весовых пространствах функций, определ енных на бесконечном промежутке, и последовательностей векторов (односторонних и двусторонних).
Такая проблема рассматривается во второй главе диссертации, в которой получен ряд основных результатов. Да полное описание спектра как ется разностных, так и дифференциальных операторов. Полученные результаты являются новыми даже для обыкновенных дифференциальных операторов. Важно отметить, что фактически отсутствуют ограничения на весовую функцию. Основной метод получения результатов главы основан на преобразовании подобия исследуемого оператора в весовом пространстве к оператору, действующему в невесовом пространстве, но уже с переменными коэффициентами.
Отметим, что один из известных нам результатов, связанных с разрешимостью в пространстве растущих функций, получен в теореме 7.6.3 из монографии Д. Хенри, в которой при условии экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов получена разрешимость дифференциального уравнения в классе растущих функций. Какаялибо содержательная теория рассматриваемых операторов в весовых пространствах отсутствует.
Как отмечалось, в первой главе диссертации широко используется новая, недавно появившаяся техника исследования разностных операторов, основанная на применении спектральной теории линейных отношений.
В третьей главе диссертации осуществляется построение полугруппы операторов по секториальному линейному отношению, то есть фактически получены условия разрешимости дифференциальных включений. Построенная полугруппа операторов будет заведомо вырожденной, если линейное отношение не является оператором. Получена теорема об отображении спектра для такой полугруппы операторов. Кроме того, получены приложения к разрешимости дифференциальных уравнений с необратимым оператором при производной. Приводимые в этой главе результаты тесно связаны с результатами П.П.Забрейко, А.Ф.Зафиевского, С.И. Пискар ева, Ю.Т.Сильченко, П.Е.Соболевского, В.И.Ф едорова по исследованию полугрупп операторов с особенностями в нуле.
Более подробно (на языке формул) опишем два новых направления в исследовании геометрических свойств решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами, связанными с применением разностных операторов.
Пусть J один из бесконечных промежутков R+ = [0, ), R = (-, ). Рассматриваются линейные дифференциальные уравнения dx = A(t)x, t J, (1) dt dx = A(t)x + f(t), t J, (2) dt где A(t) : D(A(t)) X X, t J, семейство замкнутых операторов, действующих в комплексном банаховом пространстве X. Одним из центральных вопросов геометрической теории (качественной теории) таких уравнений является исследование асимптотического поведения решений, а также исследование условий существования ограниченных решений. Асимптотические свойства решений уравнений (1), (2) соотносятся с соответствующими свойствами дифференциального оператора dx L = - A(t), dt рассматриваемого в подходящем функциональном пространстве F(J, X).
Одним из наиболее важных пространств является банахово пространство Cb(J, X) непрерывных и ограниченных на J функций со значениями в банаховом пространстве X. Построение оператора L осуществляется в условиях корректности задачи Коши x(s) = x0 X, (3) для однородного дифференциального уравнения (1). Это влеч существоет вание семейства эволюционных операторов U : J LB(X), где J = {(t, s) J J : s t}, LB(X) банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X, которое решает задачу Коши (1), (3).
Пусть F(J, X) одно из функциональных пространств Lp(J, X), p [1, ]; Cb(J, X). Построение оператора L : D(L) F(R, X) F(R, X) осуществляется следующим образом. Функция x F(R, X) Cb(R, X) относится к области определения D(L) оператора L, если существует функция f F(R, X) такая, что для всех s t из R верны равенства t x(t) = U(t, s)x(s) - U(t, )f()d. (4) s При этом полагается Lx = f. Оператор L также обозначается символом d L = - + A(t).
dt Если J = R+ = [0, ) и E замкнутое подпространство из X, то оператор LE : D(LE) F(R+, X) F(R+, X) определяется с помощью семейства эволюционных операторов U : R + LB(X). Пара функций (x, f) из F(R+, X) относится к графику оператора LE, если x Cb(R+, X), x(0) E и для всех 0 s t < верны равенства (4).
В банаховом пространстве функций F(R, X) (инвариантном относительно оператора сдвига) корректно определена полугруппа операторов Хоулэнда {TU (t) : t 0} вида (TU(t)x)(s) = U(s, s - t)x(s - t), s R, t 0, x F(R, X). (5) Каждый из операторов TU(t), t 0, является разностным оператором взвешенного сдвига. Эта полугруппа операторов сильно непрерывна в любом из банаховых пространств Lp(R, X), p [1, ), C0(R, X), а е генератором е (инфинитезимальным оператором) является оператор LU, при этом оператор LU непрерывно обратим тогда и только тогда, когда обратим разностный оператор I - TU(1). Соответствующие результаты получены в работах А.Г.Баскакова.
Другой подход в исследовании дифференциальных уравнений (1) и (2) основан на использовании разностных операторов и разностных отношений на соответствующих весовых пространствах последовательностей. В банаховом пространстве lp(Z, X), где p [1, ], оператору L : D(L) Lp(R, X) Lp(R, X) ставится в соответствие разностный оператор D :
lp(Z, X) lp(Z, X), p [1, ], вида (Dx)(n) = x(n) - U(n, n - 1)x(n - 1), n Z, x lp(Z, X).
Одним из определяющих результатов является свойство одновременной обратимости оператора L и разностного оператора D.
Для изучения оператора LE в диссертации используется разностный оператор DE, определенный формулой (DEx)(n) = x(n + 1) - U(n, n - 1)x(n), n 0, с областью определения D(DE) = {x lp(Z+, X) : x(0) E}. В свою очередь для изучения оператора DE применяется спектральная теория линейных отношений. Таким образом, спектральная теория линейных отношений служит основой для исследования как разностных, так и дифференциальных операторов.
Цель работы. Целью диссертации является разработка метода исследования дифференциальных и разностных операторов, основанного на использовании спектральной теории линейных операторов и линейных отношений. Получение приложений к вопросам разрешимости линейных дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами. На основе спектральной теории операторов взвешенного сдвига разработка нового метода исследования разностных и дифференциальных операторов, действующих в весовых пространствах последовательностей и функций. Описание спектра разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах. Изучение экспоненциальной дихотомии и спектра разностных операторов, связанных с полугруппой Хоулэнда. Изучение ослабленной задачи Коши для линейного дифференциального включения и получение формул для решений. Построение теории вырожденных бесконечно дифференцируемых полугрупп операторов. Доказательство теоремы об отображении спектра для базового генератора бесконечно дифференцируемой полугруппы операторов.
Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке:
1. На основе спектральной теории линейных отношений разработан новый метод исследования разрешимости разностных включений.
2. Получены приложения к разностным уравнениям, а также к вопросам разрешимости линейных дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами.
3. На основе спектральной теории операторов взвешенного сдвига создан новый метод исследований разностных и дифференциальных операторов, действующих в весовых пространствах последовательностей и функций.
4. Описан спектр разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах двусторонних векторных последовательностей и векторных функций, определенных на вещественной прямой.
5. Найден спектр разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах односторонних векторных последовательностей и векторных функций на полуоси.
6. Получены необходимые и достаточные условия обратимости разностных и дифференциальных операторов весовых пространствах.
7. Изучена экспоненциальная дихотомия разностных операторов непрерывного и дискретного аргументов, связанных с полугруппой Хоулэнда.
8. Исследован спектр разностных операторов, связанных с полугруппой Хоулэнда.
9. Впервые рассмотрена ослабленная задача Коши для линейного дифференциального включения. Получена формула для ослабленных решений.
10. Построена теория вырожденных бесконечно дифференцируемых полугрупп операторов.
11. Доказана теорема об отображении спектра для базового генератора бесконечно дифференцируемой полугруппы операторов.
Методы исследования. В работе используются спектральная теория линейных операторов и линейных отношений, функциональное исчисление операторов, методы дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, теория полугрупп операторов, теория коммутативных банаховых алгебр.
Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании разрешимости разностных уравнений и включений; дифференциальных уравнений и включений; спектральных свойств разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах. При дальнейшем развитии теории вырожденных полугрупп операторов с использованием спектальной теории линейных отношений, выступающих в качестве генератора полугруппы.
Многие из полученных в диссертации результатов могут быть включены в специальные курсы, читаемые студентам и аспирантам математических специальностей университетов.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: Международная научная конференция "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения"(28 января 4 февраля, Воронеж, 2000); Воронежская зимняя математическая школа им. С.Г.Крейна (2006-2010); Международная научная конференция "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования"(Владикавказ, 2006, 2008, 2010); 20-я Крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КРОМШ 2009).
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 12 публикациях. Список работ приведен в автореферате. Все 12 работ опубликованы в журналах из списка ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 225 страницах и состоит из списка обозначений, введения и трех глав. Список литературы содержит 113 наименований.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
.
Во Введении рассматривается связь между теорией разностных операторов, теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами и теорией полугрупп в е историческом развитии.
е Это позволяет обосновать актуальность и цель настоящего исследования, показать теоретическую и практическую ценность диссертации, дать характеристику е структуры и содержания. В главе 1 получены условия е разрешимости разностных уравнений и включений, а также рассматриваются приложения к вопросу о разрешимости дифференциальных уравнений и включений с неограниченными операторными коэффициентами. Глава посвящена описанию спектра разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах (односторонних, двусторонних) последовательностей и векторных функций, при минимальных ограничениях на весовую функцию, а также изучению экспоненциальной дихотомии разностных операторов, связанных с полугруппой Хоулэнда. В главе 3 рассматривается ослабленная задача Коши для линейного дифференциального включения и теория вырожденных бесконечно дифференцируемых полугрупп операторов.
Глава 1. Об условиях разрешимости разностных уравнений и включений. Приложения к разрешимости дифференциальных уравнений Глава состоит из 5 параграфов. В з1 приводятся основные сведения из спектральной теории линейных отношений (многозначных линейных операторов) и элементы спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов, необходимые для дальнейшего изложения.
В з2 рассматривается задача о разрешимости в банаховом пространстве lp(Z+, X), p [1, ], односторонних последовательностей x : Z+ = N {0} X векторов из X разностного уравнения вида x(n + 1) = Bx(n) + f(n), f lp(Z+, X), n Z+, (6) решение x lp(Z+, X) которого удовлетворяет условию x(0) E, (7) где E замкнутое подпространство из X и оператор B принадлежит алгебре LB(X).
Основным результатом параграфа является Теорема 2.1. Для того, чтобы задача (6), (7) имела единственное решение x lp(Z+, X) для любой последовательности f lp(Z+, X), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия:
1) (B) T = ; 2) E = KerP0, где P0 проектор Рисса, построенный по спектральному множеству int = { (B) : || < 1}, т.е.
P0 = - R(, B)d, 2i T где T = { C : || = 1} и R(, B)- резольвента оператора B.
Теорема 2.2. Пусть (B)T = и KerP0 = E для проектора Рисса P0, определенного в теореме 2.1. Тогда задача (6), (7) имеет единственное решение x lp(Z+, X) для любой последовательности f lp(Z+, X) (оператор T непрерывно обратим) и оно представимо в виде x(n) = G(n - m - 1)f(m), n Z+, m=где функция G : Z LB(X) имеет вид BkP0, k 0, G(k) = -Bk, k < 0, оператор B LB(X) нулевой на подпространстве ImP0, а на подпростран стве ImP1 однозначно определяется из равенств BB = BB = P1 = I - P0.
Далее в этом параграфе приводятся оценки решений разностного уравнения (6), удовлетворяющих условию (7).
В з3 рассматриваются вопросы разрешимости и представления решений разностного включения в пространствах lp(Z+, X), p [1, ], вида x(n) Ax(n - 1) + f(n), n Z+\{0} = N, (8) где f lp(Z+, X) и A принадлежит множеству LRC(X) замкнутых линейных отношений на банаховом пространстве X, т.е. A = A X X.
По отношению A LRC(X) на банаховом пространстве последовательностей lp(Z+, X), p [1, ], построим отношение A LR(lp(Z+, X)) вида A = {(x, y) lp(Z+, X) lp(Z+, X) : x(k - 1), y(k) A, k 1}. (9) Полученное таким образом линейное отношение A назовем разностным отношением взвешенного сдвига.
Теорема 3.1. Для того чтобы разностное включение (8) имело единственное решение для любой последовательности f lp(Z+, X), необходимо и достаточно, чтобы отношение A было непрерывно обратимо и r(A-1) < для спектрального радиуса оператора A-1 LB(X) или, что эквивалентно, выполнено условие (A) { C : || > 1}.
Теорема 3.2. Если отношение A непрерывно обратимо и r(A-1) < 1, то отношение D = I - A непрерывно обратимо, и оператор D-1 определяется формулой D-1 = A-n-1S(n + 1), n= где A = {(x, y) lp(Z+, X) lp(Z+, X) : (x(n), y(n)) A, n Z+}, (Sx)(n) = x(n + 1) оператор сдвига.
Теорема 3.3. Спектр (A) отношения A совпадает с одним из следующих подмножеств вида:
1) (A) = C (это равенство имеет место тогда и только тогда, когда 0 (A) и (A) содержит хотя бы одно ненулевое число);
2) (A) = C \ B(0, r), где B(0, r) = { C : || < r}, r > 0 (это представление возможно тогда и только тогда, когда A LRC(X) непрерывно обратимо и r(A-1) = r);
3) (A) = (т.е. A-1 LB(X)- квазинильпотентный оператор).
Теорема 3.4. Разностное включение (8) имеет хотя бы одно решение из lp(Z+, X) для любой последовательности f lp(Z+, X), если спектр (A) отношения A обладает свойством (A) T = . (10) Следствие 3.3. Если выполнено условие (10), то любое решение x lp(Z+, X) разностного включения (8) удовлетворяет равенствам x(n) = G(n - k)f(k) + P-x(n), n Z+, k=где функция G : Z LB(X) определяется равенствами AmP-y, m 0, G(m)y = y X, -AmP+y, m < 0, + а P- проектор Рисса, построенный по int = { (A) : || < 1}.
Рассмотрим приложения теорем 3.1 и 3.4 к разрешимости разностного уравнения вида Bx(n) = Cx(n - 1) + g(n), g lp(Z+, X), n N, (11) где C, B : X Y операторы из банахова пространства LB(X, Y ) линейных ограниченных операторов, определенных на X со значениями в банаховом пространстве Y, причем оператор B имеет ненулевое ядро KerB.
Разрешимость разностного уравнения (11) сводится к задаче о разрешимости разностного включения y(n) Ary(n - 1) + f(n), n N, (12) где отношение Ar = CB-1.
Теорема 3.5. Для того, чтобы включение (12) имело единственное решение для любой последовательности f lp(Z+, X), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
1) A-1 = BC-1 LB(Y ), что эквивалентно одновременному выполнеr нию условий: Im C = Y, Ker C Ker B;
2) r(BC-1) < 1.
Следствие 3.4. Если оператор C непрерывно обратим, r(BC-1) < 1 и выполнены условия теоремы 3.5, то решение x уравнения (11) определяется формулой x(n) = (BC-1)k+1C-1f(n + k + 1), n Z+.
k=В з4 изучается задача о существовании и единственности решений в lp(Z, X), p [1, ], разностного включения вида x(n) Ax(n - 1) + f(n), n Z, (13) где f lp(Z, X) и A LRC(X). При этом под решением этого включения понимается последовательность x lp(Z, X), для которой верны включения (13).
Теорема 4.1. Для того чтобы разностное включение (13) имело единственное решение x lp(Z, X), 1 p , для любой последовательности f из lp(Z, X), необходимо и достаточно, чтобы спектр (A) отношения A обладал свойством (10).
Теорема 4.2. Если для отношения A LRC(X) выполнено условие (10), то любое решение разностного включения (13) представимо формулой x(n) = G(n - m)f(m), n Z, mZ где функция G : Z LB(X), определена соотношениями AkP0, k 0, G(k) = -Ak, k -1, (здесь P0 - проектор Рисса, построенный по int, P1 = I - P0 - допол нительный проектор, оператор A1 LB(X) однозначно определяется из следующих условий: A = 0 на ImP0, A1P1 = P1A1 = P1).
Теорема 4.3. Для того, чтобы разностное уравнение вида (11) имело единственное решение x lp(Z, X) для любой последовательности g lp(Z, X), необходимо и достаточно, чтобы (B, C)T = , где (B, C) спектр упорядоченной пары.
В з5 рассмотрены приложения полученных результатов из з4 к задаче разрешимости дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.
Пусть A : D(A) X X - инфинитезимальный оператор сильно непрерывной полугруппы операторов T : [0, ) LB(X) класса C0 (по терминологии Хилле - Филлипса). В банаховом пространстве Lp(R+, X), p [1, ], рассмотрим дифференциальное уравнение (t) = Ax(t) + f(t), t 0, f Lp(R+, X). (14) Обобщенным решением этого уравнения будем называть непрерывную функцию x : R+ X, принадлежащую Lp(R+, X), для которой имеет место равенство t x(t) = T (t)x(0) + T (t - )f()d, t 0. (15) Пусть E замкнутое подпространство из X. Будем искать обобщенное решение уравнения (14), удовлетворяющее условию x(0) E. (16) Исследование задачи (14), (16) проводится, привлекая дифференциальd ный оператор L = LE = - A : D(L) Lp(R+, X) Lp(R+, X), dt область определения D(L) которого задается следующим образом. Функцию x Lp(R+, X) Cb(R+, X) отнес к D(L), если существует функция ем f Lp(R+, X) такая, что выполняется равенство (15). Положим Lx = f.
Наряду с оператором L рассмотрим разностный оператор D = DE : D(D) lp(Z+, X) lp(Z+, X), (Dx)(n) = x(n + 1) - T (1)x(n), с областью определения D(D) = {x lp(Z+, X) : x(0) E}.
Теорема 5.1. Следующие условия эквивалентны:
1) L : D(L) Lp(R+, X) Lp(R+, X), p [1, ], непрерывно обратимый оператор;
2) D : D(D) lp(Z+, X) lp(Z+, X) непрерывно обратимый оператор;
3) (T (1)) T = , KerP0 = E, где P0 проектор Рисса для оператора T (1), построенный по спектральной компоненте int = { (T (1)) :
|| < 1}.
Если выполнено одно из этих условий, то обратный к L оператор имеет вид (L-1f)(t) = G(t - s)f(s)ds, f Lp(R+, X), где функция G : R LB(X) определена соотношениями T ()P0, 0, G() = -T (), < 0, P1 = I - P0.
Оператор T (), < 0, однозначно определяется равенствами T ()P1x = 0, x ImP0; (T ())T (-) = T (-)(T ()) = P1, < 0, и функция G допускает оценку ||G()|| Me-, 0, для некоторых M 1, > 0.
d Теорема 5.2. Пусть E = {0}, и L = L{0} = - + A дифференdt циальный оператор, отвечающий этому подпространству, тогда следующие условия эквивалентны:
1) L = L{0} : D(L) Lp(R+, X) Lp(R+, X) непрерывно обратимый оператор;
2) D : D(D) lp(Z+, X) lp(Z+, X) (D(D) определяется по E = {0}) непрерывно обратимый оператор;
3) r(T (1)) < 1.
Если выполнено условие 3), то обратный к L оператор определяется формулой t (L-1f)(t) = T (t - )f()d, f Lp(R+, X), t 0. (17) При выполнении условия (T (1)) T = интегральный оператор, определенный формулой (17), является левым обратным для оператора L.
Теорема 5.3. Следующие условия эквивалентны:
1) L : D(L) Lp(R+, X) Lp(R+, X) непрерывно обратимый оператор;
2) D : D(D) lp(Z+, X) lp(Z+, X) непрерывно обратимый оператор;
3) T (1) непрерывно обратимый оператор и r(T (1)-1) < 1.
Если выполнено условие 3), то (L-1f)(t) = - T (t - )f()d, f Lp(R+, X), t 0.
t Если выполнено условие (T (1)) T = , то оператор L-1 является правым обратным к L и, в частности, L сюръективен.
Глава 2. Спектральная теория разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах Глава 2 состоит из 4 параграфов. В з1 описывается спектр оператора p p p K : l(Z, X) l(Z, X), (Kx)(n) = Bx(n - 1), n Z, x l(Z, X), p p где оператор B LB(X) и l = l(Z, X), p [1, ], банахово пространство двусторонних последовательностей x : Z X векторов из X, суммируемых с весом : Z (0, ) с нормой x = x p, = p p x(n), p [1, ), и ограниченных относительно с нормой (n) nZ x(n) x = x , = sup, p = .
(n) nZ Всюду считается, что весовая функция : Z (0, ) удовлетворяет условию (n - 1) () = sup < . (18) (n) nZ Основные результаты получены с использованием величин n (k) out() = lim sup, (19) n (k + n) kZ n (k) int() = lim inf, (20) n (k + n) kZ построенных по весу : Z (0, ).
Суть основного подхода к исследованию рассматриваемых разностных и дифференциальных операторов состоит в использовании преобразования подобия исследуемого оператора в оператор, действующий в "невесовом" пространстве. С помощью него устанавливается один из основных результатов данного параграфа.
Теорема 1.1. Спектр (K) оператора K представим в виде (K) = T(B)[int(), out()] = = {s : T, (B), s[int(), out()]}.
Далее рассматривается приложение сформулированного результата к исследованию спектра дифференциальных операторов, действующих в весовых функциональных пространствах. Дифференциальные операторы будут определяться с помощью семейства эволюционных операторов.
Определение 1.3. Под семейством эволюционных операторов на банаховом пространстве X понимается сильно непрерывная операторнозначная функция U : = {(t, s) R R : s t} LB(X) со свойствами: 1) U(t, t) = I, t R; 2) U(t, s)U(s, ) = U(t, ) для всех s t из R; 3) существуют постоянные M 1, R, такие, что U(t, s) M exp (t - s) для всех (t, s) .
Функцию : R (0, ) назов допустимым весом, если скалярное ем семейство (s) U : LB(R) R, U(t, s) =, (t, s) , (t) является семейством эволюционных операторов.
Для допустимого веса : R (0, ) символом Lp (R, X), где p [1, ], обозначим банахово пространство измеримых (по Бохнеру) функций x :
R X, для которых конечна величина p p x(t) x = x ,p = dt, p [1, ), (t) R x(t) x = x , = vrai sup, p = . (21) (t) tR Через Cb,(R, X) обозначим подпространство непрерывных функций из p L(R, X), для которых конечна величина (21). Наконец, через S(R, X) = p S, p [1, ), обозначим (весовое пространство Степанова) банахово про странство измеримых функций x : R X, для которых конечна величина p t+ p x() p x = x S = sup d, p [1, ).
() tR t Далее символом F = F(R, X) будет обозначаться одно из перечисленных функциональных пространств. Если = 1, то соответствующие "невесо вые" пространства будут обозначаться через Lp(R, X), Cb(R, X), Sp(R, X) и, вместо F(R, X), использовать обозначение F(R, X).
Пусть U : LB(X) семейство эволюционных операторов. Определим оператор LU : D(LU) F F = F(R, X) следующим образом.
Пару функций (x, f) F F отнесем к графику оператора LU, если для всех (t, s) имеют место равенства t x(t) = U(t, s)x(s) - U(t, )f() d, s t.
s Таким образом, x D(LU) и LUx = f. Это определение корректно, т. е.
функция f единственная для данной функции x F.
Пусть T : R+ = [0, ) LB(X) сильно непрерывная полугруппа операторов класса C0 (по терминологии Хилле - Филлипса) и A е инфинитее зимальный оператор. Тогда семейство U(t, s) = T (t-s), (t, s) , является семейством эволюционных операторов. Определяемый этим семейством опеd ратор LU : D(LU) F(R, X) F(R, X) обозначим через L = - + A.
dt Далее через обозначим сужение веса : R (0, ) на Z и, наряду с оператором L : D(L) F(R, X) F(R, X), рассмотрим разностный оператор D = I - KT : F(Z, X) F(Z, X), где оператор KT имеет вид (KT x)(n) = T (1)x(n - 1), n Z, x F(Z, X).
Здесь банахово пространство последовательностей F(Z, X) совпадает с p пространством l(Z, X), p [1, ] и называется ассоциированным с пространством F(R, X).
Теорема 1.2. Если int() > 0, то (L) = { C : exp T(T (1))[int(), out()]}, и если int() = 0, out() > 0, то (L) = { C : Re g(T ) ln out()}, ln T (t) где g(T ) = lim. Спектр (L) оператора L пуст, если out() = 0.
t t В з2 изучаются спектральные свойства операторов Bx(n - 1), n 1, p p p K+ : l,+ l,+ = l(Z+, X), (K+x)(n) = 0, n = 0, p D+ = I - K+, (D+x)(n) = x(n) - (K+x)(n), n Z+, x l(Z+, X), где оператор B LB(X), символ I обозначает тождественный оператор в p любом из рассматриваемых банаховых пространств и l(Z+, X), p [1, ], банахово пространство односторонних последовательностей x: Z+ X векторов из X, суммируемых с весом : Z+ (0, ) с нормой x = p p x(n) x p, =, p [1, ), и ограниченных относительно с n 0 (n) x(n) нормой x , = sup < , p = . Будем считать, что вес : Z+ (n) n (0, ) удовлетворяет условию supn 1 (n-1) < .
(n) Основные результаты получены с использованием величины m (n) () = lim sup. (22) m (n + m) n Одним из основных результатов параграфа является Теорема 2.1. Спектры (K+), (D+) операторов K+, D+ имеют следующие представления (K+) = { C : || ()r(B)}, (D+) = { C : | - 1| ()r(B)}, где r(B) спектральный радиус оператора B. В частности, оператор K+ квазинильпотентен тогда и только тогда, когда выполнено условие ()r(B) = 0.
Теперь рассмотрим приложения привед енных результатов к исследованию дифференциальных операторов в весовых функциональных пространствах.
Функцию : R+ (0, ) назовем допустимым весом, если (скалярное) семейство (s) U : + R LB(R), U(t, s) =, (t, s) +, (t) является семейством эволюционных операторов.
Для любой непрерывной функции : R+ (0, ) символом Lp (R+, X) обозначим банахово пространство измеримых (по Бохнеру) функций x: R+ X, для которых конечна величина p p x() x(t) x p, = d, p [1, ), x , = vrai sup, p = .
() (t) t Символом Cb,(R+, X) обозначим банахово пространство непрерывных функций x: R+ X, ограниченных относительно (подпространства p L(R+, X)), а S(R+, X), 1 p < , банахово пространство (весо вое пространство Степанова) измеримых функций, для которых конечна величина p t+ p x() p x S = sup d, p [1, ).
() t t Далее символом F(R+, X) будет обозначаться одно из этих про p странств, т.е. F(Z+, X) {Lp (R+, X), C,b(R+, X), S(R+, X). Если 1, то соответствующие пространства будут обозначаться через Lp(R+, X), Cb(R+, X), Sp(R+, X) и, вместо F(R+, X), будет использовать ся символ F(R+, X).
По семейству эволюционных операторов U : + LB(X) определим линейный оператор LU : D(LU) F(Z+, X) F(Z+, X) следующим обра зом. Непрерывную функцию x F(Z+, X) отнесем к области определения D(LU) оператора LU, если существует функция f F(Z+, X) такая, что функция x представима в виде t x(t) = - U(t, )f()d.
При этом полагается LUx = f.
Пусть T : R+ LB(X) сильно непрерывная полугруппа операторов класса C0 и A е инфинитeзимальный опeрaтор. Тогда семейство е U(t, s) = T (t - s), (t, s) + является семейством эволюционных операторов и оно порождает определяемый выше оператор LU, который для d такого U будет далее обозначаться через L или через - + A и называться dt дифференциальным оператором (с неограниченным операторным коэффициентом), определяемым начальным условием x(0) = 0.
Теорема 2.2. Пусть : R+ (0, ) допустимый вес. Тогда спектр (L) оператора d L = - + A: D(L) F(Z+, X) F(Z+, X) dt допускает представление (L) = { C : Re ln(()r(T (1)))}, если ()r(T (1)) > 0,и (L) = , если ()r(T (1)) = 0, где () из (22).
В з3 получены необходимые и достаточные условия обратимости оператора p p p DE : D(DE) l,+ l,+, (DEx)(n) = x(n + 1) - Bx(n), n Z+, x l,+, p x(n+1) p с областью определения D(DE) = x l,+ : x(0) E, l+, (n) nZ+ p где E замкнутое подпространство из X, оператор B LB(X) и l,+ = p l(Z+, X), p [1, ], банахово пространство односторонних последовательностей векторов из X, определенное в з2.
Весовая функция : Z+ (0, ) удовлетворяет условию (n) +() = sup < . (23) (n + 1) nZ+ Введ следующие величины ем 1/n (k) + () = lim sup, (24) out n (k + n) kZ+ 1/n (k) + () = lim inf, (25) int n kZ+ (k + n) построенных по весу .
Основные результаты этого параграфа, связаны с исследованием разностного оператора DE.
Теорема 3.1. Пусть + () > 0 и E инвариантное подпространство int относительно оператора B LB(X). Для того, чтобы оператор DE был непрерывно обратим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
([+ (), + ()](B)) T = ; ImPout = E, int out где Pout проектор, построенный по спектральному множеству out = { (B) : ||+ () > 1}. При выполнении этих условий обратный оператор int p -DE LB(l,+) к DE определяется формулой p -(DE y)(n) = G(n - m - 1)y(m), n Z+, y l,+, m=где двусторонняя последовательность G : Z LB(X) определена формулой BkPint, k 0, G(k) = -BkPout, k -1, где B LB(X) был определ в теореме 2.2 главы 1 (в данном случае ен P0 = Pint, Pout = P1).
Теорема 3.2. Пусть + () = 0 и E ненулевое инвариантное подint пространство относительно оператора B, тогда оператор DE не является непрерывно обратимым.
Теорема 3.3. Пусть + () = 0 и E = {0}. Тогда оператор D{0} непреint рывно обратим в том и только в том случае, когда + ()r(B) < 1.
out Теорема 3.4. Пусть + () > 0 и E = X. Тогда оператор DX непрерывint но обратим в том и только в том случае, когда B непрерывно обратим и r(B-1) < + (). В частности, если + () = + () = 1, то второе условие int int out означает, что (B) лежит вне единичной окружности T.
Далее привед приложения теоремы 3.1 к исследованию условий обраем тимости дифференциальных операторов, действующих в весовых функциональных пространствах.
Пусть U : + LB(X) семейство эволюционных операторов и E замкнутое линейное подпространство в X. Определим оператор LE = LE, : D(LE) F(R+, X) F(R+, X) следующим образом. Пару функций (x, f) F(R+, X) F(R+, X), где x непрерывная функция, отнесем к графику оператора LE, если x(0) E и t x(t) = U(t, s)x(s) - U(t, )f()d, 0 s t < .
s Таким образом, x D(LE) и LEx = f.
Пусть T : R+ LB(X) сильно непрерывная полугруппа операторов класса C0 и A е инфинитезимальный генератор. Тогда семейство е U(t, s) = T (t - s), (t, s) +, является семейством эволюционных операторов. Определяемый этим семейством оператор LE : D(LE) F(R+, X) d F(R+, X) обозначим LE = - + A. Далее через обозначим сужение веса dt : R+ (0, ) на Z+. Символом F(Z+, X) будем обозначать простран p ство l(Z+, X), если F(R+, X) = Lp (R+, X), p [1, ), и F(Z+, X) = l (Z+, X), если F(R+, X) = L(R+, X) или F(R+, X) = Cb,(R+, X).
В следующей теореме используются приводимые в теореме 3.1 условия для оператора B = T (1) и для проектора Pout, построенного по спектральному множеству out.
Теорема 3.7. Пусть + () > 0. Тогда оператор LE непрерывно обраint тим тогда и только тогда, когда выполнены условия:
([+ (), + ()](T (1))) T = ; ImPout = E, int out где Pout проектор, построенный по спектральному множеству out = { (B) : ||+ () > 1}. При выполнении этих условий обратный оператор int L-1 к LE определяется формулой E L-1f (t) = G(t - s)f(s)ds, f F(R+, X), E где функция G : R+ R+ LB(X) задана равенствами -T ()Pint, 0, G() = R.
T (), < 0, Операторы T (), < 0, однозначно определяются равенствами T (-)T () = T ()T (-) = Pout = I - Pint.
В з4 изучается линейный разностный оператор (Dx)(t) = x(t) - B(t)x(t - h), t R, x F(R, X), где h некоторое ненулевое число из R и B : R LB(X) функция из пространства Cb(R, LB(X)). Получены необходимые и достаточные условия его непрерывной обратимости в рассматриваемых функциональных пространствах.
Символом F(R, X) обозначается одно из следующих функциональных пространств: Lp(R, X), Cb(R, X), Cb,u(R, X), C0(R, X).
Символом F(Z, X) обозначается одно из следующих банаховых пространств последовательностей: lp(Z, X), 1 p , c0(Z, X).
Введем в рассмотрение последовательность операторнозначных функций B(t)B(t - h)... B(t - (k - 1)h), k 1, Bk(t) = t R, (26) I, k = 0, из пространства Cb(R, LB(X)). Да определение экспоненциальной диется хотомии этой последовательности.
Теорема 4.3. Пусть B Cb,u(R, LB(X)). Для обратимости оператора D = I -K : F(R, X) F(R, X), необходимо и достаточно, чтобы семейство (26) функций Bk(t), k 0, t R, обладало свойством экспоненциальной дихотомии. При этом задающая дихотомию проекторнозначная функция P : R LB(X) равномерно непрерывна в равномерной операторной топологии (т. е. P Cb,u(R, LB(X))). Обратный оператор D-1 LB(F(R, X)) определяется формулой (D-1x)(t) = Dk(t)x(t - kh), t R, x F(R, X), kZ где Dk(t) = P (t)Bk(t), k 1, t R; D0(t) = P (t), t R, и операторы Dk(t), k -1, t R, были заданы в условии 4) определения 4.1.
Теорема 4.4. Пусть оператор B LB(X). Для непрерывной обратимости оператора D : F(R, X) F(R, X), (Dx)(t) = x(t) - Bx(t - h), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (B) T = . При этом обратный оператор D-1 задается формулой - (D-1x)(t) = BkPintx(t - kh) + Bkx(t - kh), k=0 k=- где Pint проектор Рисса, построенный по спектральному множеству int = { (B) : || < 1} и Pout = I - Pint дополнительный к Pint проектор.
Оператор Bk LB(X), k -1, однозначно определяется из равенств:
B-k(Bk) = (Bk)B-k = Pout, k -1.
Теорема 4.5. Спектр оператора D0,d LB(F(Z, X)), (D0,dx)(n) = (n-1) Bx(n - 1), n Z, x (F(Z, X)) совпадает с множеством (n) T(B)[int(), out()]= s : T, (B),s[int(),out()]. (27) Глава 3. Бесконечно дифференцируемые вырожденные полугруппы операторов Глава состоит из 3 параграфов. В з1 будем рассматривать введ енное С.Г. Крейном понятие ослабленного решения, адаптированное к дифференциальным включениям с линейным отношением A LRC(X) вида (t) Ax(t). (28) Функция x C(R+; D(A)) C1( ; X), = (0, ), удовлетворяюR R + + щая включению (41), т.е. (x(t), (t)) A, при всех t , называется его R + ослабленным решением.
Под ослабленной задачей Коши для дифференциального включения (28) понимают задачу нахождения ослабленного решения, удовлетворяющего начальному условию x(0) = x0. (29) (Отметим, что элемент x0 может не принадлежать области определения отношения A.) Теорема 1.1. Пусть отношение A LRC(X) удовлетворяет условиям:
1) C = { C : Re } (A) для некоторого R;
ln R(,A) 2) lim = 0;
Re Re 3) существует монотонно возрастающая функция : [, ) такая, R + ln R(,A) что lim (t) = , lim = 0, для всех U() = { C :
|| t || Re (Im)}.
Тогда ослабленное решение x : R+ X задачи Коши линейного дифференциального включения (28), (29) единственно и представимо в виде +i x(t) = - etR(, A)x(0)d, 2i -i где интеграл понимается в смысле главного значения.
В з2 под полугруппой операторов понимается сильно непрерывная опе раторнозначная функция T : LB(X), удовлетворяющая условию R + T (t + s) = T (t)T (s), t, s > 0. При этом отметим, что отсутствуют такие традиционные дополнительные ограничения, как 1) ядро полугруппы T удовлетворяет условию Ker T = Ker T (t) = {0}; 2) образ полугруппы t> Im T = Im T (t) плотен в X.
t>Для столь общих полугрупп операторов естественным образом вводится понятие инфинитезимального оператора A : D(A) X X полугруппы T с областью определения T (t)x - x D(A) = x X : lim t0+ t и полагается T (t)x - x Ax = lim, x D(A).
t0+ t Однако отсутствие указанных ограничений на T может ослабить традиционные свойства инфинитезимального оператора. Например, его область определения D(A) может быть не плотна в X и, более того, его резольвентное множество (A) может быть пустым. Это приводит к большим затруднениям, связанным с использованием оператора A для исследования полугруппы T.
В данной работе мы придерживаемся подхода А.Г.Баскакова к определению инфинитезимального оператора полугруппы (он получает новое название: генератор полугруппы), который для столь общих полугрупп может оказаться линейным отношением (многозначным линейным оператором) на X, т.е. линейным подпространством из декартова произведения X X двух экземпляров банахова пространства X.
Определение 2.1. Множество A пар векторов (x, y) X X, где x Im T, для которых при всех 0 < s t из верны равенства R + t T (t)x - T (s)x = T ()y d, s называется старшим генератором полугруппы операторов T : R + LB(X).
Определение 2.2. Строгим инфинитезимальным производящим опе ратором полугруппы T : LB(X) называется оператор A0 : D(A0) R + X X, D(A0) = {xD(A) : AxXc(T )} и A0x = Ax, где Xc(T ) = {x X : lim T (t)x = x}. Очевидно, что A0 A.
t0+ Определение 2.3. Любое отношение A LR(X), удовлетворяющее условиям: 1) A0 A A; 2) A перестановочно с операторами T (t), t > 0, называется генератором полугруппы T : LB(X). Генератор A поR + лугруппы T называется базовым, если резольвентное множество (A) отношения A содержит полуплоскость C = { C : Re > } для некоторого (T ) = lim (ln T (t) /t).
t Множество всех генераторов полугруппы T обозначим символом Gener(T ).
Для разрешимости и построения решений (в том или ином смысле) дифференциального включения (t) Ax(t), t > 0, (30) (в УклассическомФ варианте уравнения = Ax с линейным оператором A : D(A) X X) с начальным условием x(0) = x0 X. (31) используется теория (столь общих) полугрупп операторов.
Определение 2.4. Полугруппа операторов T : LB(X) называетR + ся разрешающей для дифференциального включения (или ассоциированной с дифференциальным включением) (30), если любое решение x : R+ X представляется в виде x(t) = T (t)x0, t > 0, для некоторого x0 X.
Замыкание в X множества начальных условий вида (31), для которых существует решение задачи (30), (31), назовем фазовым пространством дифференциального включения (30) и обозначим через (A).
Определение 2.5. Пусть T : LB(X) - разрешающая полугруппа R + для дифференциального включения (30). Любая функция x : R+ X вида x(t) = T (t)x0, t > 0, где x0 (A), называется слабым решением включения (30.).
В дальнейшем для отношения A LRC(X) считается выполненным Предположение 2.1. Отношение A LRC(X) удовлетворяет двум условиям:
1) C = { C : Re } (A) для некоторого R;
2) существуют числа m N, M > 0, (0, 1] такие, что R(, A)m (M(1 + | Im |))-m C.
В дальнейшем через будем обозначать функцию () = c(1 + ||), R, (0, 1], и по функции будем рассматривать область U(), ограниченную кривой (). Они определяются равенствами U() = { C : Re - (Im )}, () = {-(y) + + iy : y R}.
Теорема 2.2. Пусть для отношения A выполнено предположение 2.1.
Тогда равенство T (t) = - etR(, A) d, t > 0, (32) 2i () определяет бесконечно дифференцируемую полугруппу операторов T : LB(X), прич имеют место следующие свойства:
ем R + 1) отношение A перестановочно с T (t), t>0, A0 A и A(Im T Im T )A и, в частности, A - базовый генератор полугруппы T, если Im T = X;
(k) 2) T (t)x = T (t)y, k N, t > 0, x D(Ak), y - любой вектор из Akx;
3) (A) = D(A0).
Теорема 2.3 (об отображении спектра). Для отношения A LRC(X), удовлетворяющего условиям предположения 2.1, и полугруппы операторов T : LB(X), определ енных формулой (32), имеет место равенство R + (T (t)) \ {0} = {et : (A)}.
Если (A) = , то полугруппа Т ненулевая.
Предположение 2.2. Существуют число m N и последовательность (n) из C, для которой lim |n| = , sup (nR(n, A))m = L < .
n n Теорема 2.4. Пусть для отношения A выполнены предположения 2. и 2.2. Тогда полугруппа T : LB(X), определенная формулой (32) R + (помимо свойств из теоремы 2.2), обладает следующими свойствами:
1) подпространства X, X0, X являются инвариантными для операторов T (t), t > 0;
2) сужение T : LB(X) полугруппы T на X = Am0 есть R + нулевая полугруппа;
3) для сужения T0 : LB(X0) полугруппы T на X0 верны равенства R + Im T0 = X0 = D(Am) = Im T ;
4) оператор A0 - базовый генератор полугруппы T0;
5) (A) = D(Am) = D(Am) = D(A) = X0;
6) T = T0T, если векторы из Am0 разделяют функционалы из (A)m0.
Следствие 2.3. Для любого x X0 = D(Am) имеет место равенство x = lim (-nR(n, A))mx.
n Определение 2.6. Функцию : R R отнесем к классу , если она удовлетворяет следующим условиям: (i) положительна, непрерывно дифференцируема и не убывает с возрастанием ||; (ii) () при || ; (iii) () ограничена; (iv) e-t() d < при любом t > 0.
- Такой класс функций введ в монографии Е.Хилле и Р.Филлипса.
ен Предположение 2.3. Отношение A LRC(X) удовлетворяет следующим двум условиям: 1) C (A) для некоторого R; 2) существуют m N, M > 0, такие, что R(, A)m M((Im ))-m, C.
Теорема 2.6. Пусть для отношения A выполнено предположение 2.3.
Тогда формула (32), в которой контур () заменяется контуром (), , определяет бесконечно дифференцируемую полугруппу операторов T : LB(X), причем верны свойства 1) - 3) из теоремы 2.2.
R + Теорема 2.7. Для отношения A LRC(X), удовлетворяющего усло виям предположения 2.3, и полугруппы операторов T : LB(X), R + определ равенством (32), где заменяется , имеет место равенство енной (T (t)) \ {0} = {et : (A)}.
Если (A) = , то полугруппа T ненулевая.
В з3 получены достаточные условия на отношение A LRC(X), при которых оно является базовым генератором некоторой бесконечно дифференцируемой полугруппы операторов. При этом обобщаются соответствующие результаты из монографии Е.Хилле, Р.Филлипса, а также некоторые результаты работ Ю.Т.Сильченко, П.Е.Соболевского. Рассматривается класс линейных отношений из LRC(X), имеющих резольвенту, поведение которой регулируется функциями из класса (см. определение 2.6).
Теорема 3.1. Пусть отношение A LRC(X) удовлетворяет следующим условиям:
1) (A) C+ = { C : Re 0};
2) существуют функция и число M > 0 такие, что R(i, A) M, R;
() 3) резольвента отношения A удовлетворяет в C+ оценке R(, A) M1(1 + ||), C+ для некоторого -1 и M1 > 0.
Тогда отношение A является базовым генератором бесконечно дифференци руемой полугруппы операторов T : LB(X), определяемой формулой R + a+i T (t) = - etR(, A) d, t > 0, (33) 2i a-i M где a > -a0, a0 = inf. При этом сходимость интеграла в (33) по() R нимается в смысле главного значения. Кроме того, справедлива оценка T (t) M2eat, t > 0, где M2 > 0.
СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в рецензируемых научных журналах, включ енных в реестр ВАК МОиН РФ 1. Бичегкуев М.С. Интегральные операторы, порожденные оператором взвешенного сдвига / М.С. Бичегкуев // Матем. заметки. 1996.
Т.59. № 3. С.452-454.
2. Бичегкуев М.С. Об одном интегральном уравнении на полуоси / М.С.
Бичегкуев //Вестник СОГУ. 1999. № 1. C. 3 4.
3. Бичегкуев М.С. Интегральные операторы взвешенной свертки / М.С.
Бичегкуев // Влад.матем. журн. 2002. Т.4. № 2. C. 17Ц22.
4. Бичегкуев М.С. Взвешенная производная и дифференциальные уравнения / М.С. Бичегкуев // Влад.матем. журн. 2003. Т. 5. № 4.
C. 32Ц42.
5. Бичегкуев М.С. Об ослабленной задаче Коши для линейного дифференциального включения / М.С. Бичегкуев // Матем. заметки. 2006.
Т. 79. № 4. C. 483 487.
6. Бичегкуев М.С. Условия разрешимости разностных включений / М.С.
Бичегкуев // Изв.РАН. Сер. матем. 2008. Т.72. № 4. C. 25Ц36.
7. Бичегкуев М.С. Об ограниченных решениях разностных включений / М.С. Бичегкуев // Изв.вузов. Математика. 2008. № 8. C. 16Ц24.
8. Бичегкуев М. С. Линейные разностные и дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами в весовых пространствах / М.С. Бичегкуев // Матем. заметки. 2009. Т.86.
№ 5. С. 673Ц680.
9. Бичегкуев М. С. О спектре разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах/ М.С. Бичегкуев // Функц. анализ и его прил.. 2010. Т.44. № 1. С.80Ц83.
10. Бичегкуев М.С. К теории бесконечно дифференцируемых полугруппп операторов / М.С. Бичегкуев // Алгебра и анализ. 2010. Т. 22.
№ 2. C. 1Ц13.
11. Бичегкуев М.С. Об условиях разрешимости разностных уравнений с начальным условием из подпространства / М.С. Бичегкуев // Сиб. матем. журн. 2010. Т. 51. № 4. C. 751Ц768.
12. Бичегкуев М.С. О некоторых классах бесконечно дифференцируемых полугрупп операторов / М.С. Бичегкуев // Дифференц.уравнения.
2010. Т. 46. № 2. C. 220Ц234.