Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям
На правах рукописи
КЛИМОВА ЕКАТЕРИНА СЕРГЕЕВНА
СИСТЕМЫ СДВИГОВ И ЭКСПОНЕНТ КАК БЕССЕЛЕВЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ФРЕЙМЫ
01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Воронеж - 2012
Работа выполнена в Самарском государственном университете
Научный консультант:
доктор физико-математических наук, доцент Новиков Сергей Яковлевич, Самарский государственный университет декан механико-математического факультета
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, доцент Гельман Борис Данилович, Воронежский государственный университет доцент кафедры математического анализа доктор физико-математических наук, профессор Насыров Семен Рафаилович, Казанский (приволжский) федеральный университет зав. кафедрой математического анализа
Ведущая организация: Саратовский государственный университет.
Защита состоится 4 сентября на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу:
394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет, ауд. 333.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.
Автореферат разослан " " июня 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.22, доктор физ.-мат. наук, профессор Гликлих Ю.Е.
Общая характеристика работы
Актуальность работы. Наряду с методами классического гармонического анализа в последние десятилетия большое внимание стало уделяться негармоническому анализу, в котором информация (сигналы) представляются в виде рядов по неортогональным или линейно зависимым (избыточным) системам. Такие представления имеют ряд преимуществ: неограниченный объем, возможности выбора оптимальных представлений по разным критериям и т.д. Например, широко используются фреймовые представления для удаления шумов, использующие нетривиальность ядра оператора синтеза.
Понятие фрейма впервые было введено в 1952 году Даффином и Шеффером, в связи с изучением негармонических рядов Фурье. Следует отметить, что ранее в работах Бари, Наймарка была развита теория фреймов. В последние годы фреймы получили широкое распространение в различных научных направлениях. В квантовой механике фреймы помогают представлять когерентные состояния. Цифровая обработка сигналов использует фреймы для борьбы с шумами. В общем, фреймы это "избыточное"множество векторов в гильбертовом пространстве, для которого сохраняется ослабленное равенство Парсеваля-Стеклова. Именно свойство избыточности обеспечивает в цифровой обработке сигналов устойчивость к потерям информации. Базисы Рисса являются фреймами, но образуют лишь малую часть во множестве фреймов. Интерес к фреймам связан с тем, что в отличие от классического базиса в определении фрейма отсутствует требование линейной независимости, что позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема. Общая теория фреймов подробно описывается в работах О. Christensen, И. Добеши, К.
Блаттера. Ряд прикладных задач потребовал изучения фреймов специального вида, таких как фреймы, полученные сдвигами одного элемента гильбертова пространства, а также фреймы комплексных экспонент. Естественной является задача сравнения критериев базисности Рисса и фреймовости различных систем, таких как системы сдвигов, системы комплексных экспонент, весовых экспонент. Для того, чтобы применять фреймы, скажем, в цифровой обработке сигналов, желательно, чтобы элементы фрейма обладали похожей структурой, иными словами, являлись когерентными. В этом смысле, целесообразно строить и изучать фреймы, которые получаются из одного элемента некоторого гильбертова пространства при помощи оператора сдвига. Данной задаче посвящены работы О. Christensen, Olevski A., Терехина П.А. Базисn ные свойства систем экспонент {ei x}nZ изучались на протяжении многих десятилетий и являлись объектами исследований таких выдающихся математиков, как Н. Винер и Р. Пэли, Даффин, Шеффер, А.Ф. Леонтьев, А.М Седлецкий и др. В диссертации получены некоторые аналоги этих результатов при замене свойств базисности Рисса на свойства бесселевости и фреймовости соответствующих систем.
Цель работы. Построение фреймов из сдвигов вектора в конечномерном пространстве над полем вещественных чисел; нахождение критерия бесселевости системы векторов, построенной из сдвигов вектора в конечномерном пространстве; исследование систем весовых экспонент в конечномерном пространстве над полем комплексных чисел; нахождение необходимых и достаточных условий на вес, для того, чтобы система весовых экспонент образовывала фрейм, бесселеву систему; определение фрейма для конечномерного пространства над полем p- адических чисел и доказательство основных теорем о фреймовом представление, построение фреймов в пространстве над полем p- адических чисел; исследование систем, образованных с помощью целых и произвольных сдвигов функции в пространстве L2 (R), построение фреймовой последовательности; нахождение критериев фреймовости сиn n стем экспонент {ei x}nZ, весовых экспонент {g (x) ei x}nZ в пространстве L2 (-, ); исследование устойчивости фреймов.
Методика исследований. Использовались методы теории функций и функционального анализа, элементы комплексного анализа и преобразования Фурье.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные.
1. Найдены необходимые и достаточные условия фреймовости и бесселевости системы весовых экспонент в конечномерном пространстве.
2. Введено определение фрейма в N-мерном пространстве над полем pадических чисел, построены фреймы Парсеваля-Стеклова и исследованы свойства соответствующих фреймам операторов.
3. Найдены критерии фреймовости и бесселевости системы сдвигов функции в пространстве L2 (R).
4. Найдены необходимые условия на последовательность вещественных чисел {n}nZ, чтобы соответствующая система экспонент образовывала фрейм, являлась бесселевой.
5. Получены условия на весовую функцию, для того, чтобы соответствующая система весовых экспонент образовывала фрейм, бесселеву последовательность.
6. Введены радиусы притяжения вещественной числовой последовательности {n}nZ, которые характеризуют устойчивость комплексных экспонент n {ei x}nZ, как базисов Рисса (фреймов) по отношению к сдвигам чисел n.
Доказано, что переход от базисов Рисса к фреймам не увеличивает радиус притяжения, что является обобщением классической теоремы Кадеца об.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для дальнейшего изучения фреймов сдвигов и экспонент, а также найти применение в частотно-временном анализе.
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах Самарского государственного университета; на семинарах кафедры Математических моделей и информационных технологий Самарской академии государственного и муниципального управления; на международной конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы"в г. Воронеж (2009, 2011); на международной Саратовской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приложения"( 2010, 2012); на седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи"в г. Самара (2010); на 2-ой всероссийской научнопрактической конференции "Математическое моделирование, численные методы и информационные системы"в г. Самара (2010); на десятой международной Казанской летней научной школе-конференции в г. Казань (2011);
Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в работаx автора [1]Ц[13]. Из совместной работы [13] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично автором. Работы [6], [10] и [11] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям