Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
УДК 531.01 Рамоданов
Сергей Михайлович ДИНАМИКА ТВЕРДЫХ ТЕЛ И ВИХРЕВЫХ СТРУКТУР В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Специальность 01.02.01 теоретическая механика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва 2009
Работа выполнена в лаборатории "Динамического хаоса и нелинейности" Института компьютерных исследований Удмуртского государственного университета Научный консультант - доктор физико-математических наук, профессор Борисов Алексей Владимирович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Бардин Борис Сабирович доктор физико-математических наук, профессор Косенко Иван Иванович доктор физико-математических наук Резник Григорий Михайлович Ведущая организация - Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
Защита состоится " " сентября 2009 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.14 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу: 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета) по адресу: 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4.
Автореферат разослан " " 2009 г.
Ученый секретарь диссертационного совета к. ф-м. н., доцент В.Ю. Гидаспов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
В диссертации выведены уравнения, описывающие движение в идеальной жидкости а) твердого тела и точечных вихрей, б) нескольких твердых тел, в) деформируемого твердого тела. Проведено исследование полученных уравнений, представляющих собой конечномерные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, с использованием теории групп и алгебр Ли, нелинейных пуассоновых структур, а также современных компьютерных методов.
Актуальность темы. Исследования, связанные с изучением движения в жидкости нескольких твердых тел, а также твердых тел, взаимодействующих с точечными вихрями, представляются исключительно важными с практической точки зрения, но вместе с тем достаточно сложными и весьма далекими от завершения. Помимо широко известных феноменологических теорий (дорожка Кармана) на сегодняшний день известно лишь очень незначительное число точных аналитических решений в этих задачах. В связи с этим становится актуальным получение точных уравнений движения (наподобие знаменитых уравнений Кирхгофа), описывающих поведение тел, взаимодействующих с вихрями, а также системы нескольких тел. Подобные системы исключительно важны не только для непосредственного вычисления гидродинамического сопротивления, испытываемого телом, движущемся в завихренном потоке, но и для исследования задач турбулентности и перемешивания. Родственная задача о самопродвижении тела в жидкости имеет важное значение для моделирования и проектирования подводных аппаратов. Интерес к ней связан с изучением механизма плавания рыб, а также явления кавитации. Дальнейшие исследования в этих областях без применения теории групп и алгебр Ли, а также компьютерных методов уже немыслимы из-за необычайной сложности и объемности аналитических выкладок. При этом применение компьютерных методов, частично основанных на системе символьных вычислений MAPLE, не должно ограничиваться простым моделированием, а должно прежде всего базироваться на глубоком аналитическом изучении задачи.
Таким образом, вывод и исследование уравнений, описывающих взаимодействие тел и вихрей в жидкости, изучение механизмов самопродвижения тела, а также развитие новых методов анализа и редукции получающихся динамических систем, является одной из актуальных проблем в современной гидродинамике и теоретической механике.
Цель работы. Целью работы является вывод уравнений, описывающих взаимодействие одного или нескольких тел и вихревых структур в идеальной жидкости; развитие новых методов исследования и редукции получившихся уравнений; применение полученных результатов к исследованию конкретных механических систем.
Научная новизна. В диссертации впервые математически строго получены уравнения, описывающие движение твердого тела, взаимодействующего с точечными вихрями, а также уравнения описывающие движение нескольких твердых тел (двух цилиндров или двух сфер). Полученные уравнения, в сочетании с развитым в работе ли-алгебраическим подходом к исследованию подобных уравнений, позволили провести качественное исследование движения в задаче о взаимодействии тела с точечными вихрями как на плоскости, так и в простейшем случае искривленного пространства (на поверхности двумерной сферы). Предельным переходом в задаче о движении двух цилиндров получены совершенно новые гидродинамические объекты, массовые вихри, и подробно изучена задача о движении двух таких вихрей. В классической задаче о движении в идеальной жидкости двух сфер выполнена редукция к системе с двумя степенями свободы и указан новый вид частных движений. Выведены общие уравнения движения в жидкости тела с изменяющейся границей. Доказана теорема о полной управляемости тела, обеспечиваемой за счет внутреннего перераспределения масс при сохранении формы оболочки.
Положения и результаты, выносимые на защиту.
1. Получены уравнения движения для кругового цилиндра, взаимодействующего с n точечными вихрями в идеальной жидкости. Доказана интегрируемость данной системы при n = 1 и выполнено качественное исследование движения в этом случае.
2. Уравнения движения обобщены на случай произвольного тела, взаимодействующего с точечными вихрями. Указана неинтегрируемость задачи о взаимодействии эллиптического цилиндра и вихря.
3. Выведены уравнения движения для кругового тела на поверхности двумерной сферы, взаимодействующего с одним точечными вихрем.
Доказана интегрируемость этой системы, и для нее выполнен качественный анализ движения.
4. Получены уравнения движения двух круговых цилиндров в идеальной жидкости. Предельным переходом получены новые гидродинамические объекты (массовые вихри). Для системы, состоящей из двух массовых вихрей, указана неинтегрируемость в общем случае, а также найден и исследован ряд интегрируемых случаев.
5. Используя метод цепочек подалгебр, выполнена редукция задачи о движении двух сфер в идеальной жидкости к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. С помощью редуцированных уравнений удалось обнаружить новое частное движение в ограниченной задаче.
6. Указанный алгоритм редукции распространен на случай, когда алгебра редуцированных переменных не является алгеброй Ли, и применен к задаче о движении двух сфер в идеальной жидкости на поверхности трехмерной сферы и классической задаче о движении на сфере трех точечных вихрей.
7. Исследована задача о самопродвижении твердого тела в идеальной жидкости. Выведены общие уравнения движения тела с изменяющейся границей. В отличие от традиционных подходов, связывающих самопродвижение с изменением формы тела и сходом вихрей с острых кромок, доказано, что при достаточно общих предположениях, полная управляемость тела (возможность перевести тело в любое наперед заданное положение) может быть обеспечена лишь за счет перераспределения масс внутри тела, тогда как форма оболочки остается неизменной.
Практическая и теоретическая ценность. Полученные в диссертации уравнения, описывающие взаимодействие твердых тел и точечных вихрей, а также уравнения движения деформируемого тела могут быть использованы для строгого исследования движения механических систем достаточно широкого класса.
Разработаны эффективные алгоритмы понижения порядка и качественного исследования, позволяющие выполнять аналитическое построение и изучать свойства новых классов движений в задачах классической механики и гидродинамики.
В диссертации впервые выполнено строгое исследование ряда гидродинамических задач. Полученные результаты имеют как теоретическое значение для развития классической механики, гидродинамики и алгебраических методов исследования гамильтоновых систем, так и практическую важность для описания крупномасштабной динамики атмосферы и океана, анализа движений различных вихревых образований, таких как циклоны, торнадо, океанические вихри, анализа динамики примесей, а также конкретных задач по расчету гидродинамических реакций, вызванного сходом вихрей с острых кромок тела.
Часть результатов диссертации может быть включена в качестве дополнительных глав к общему курсу теоретической механики и гидродинамики, а также в спецкурсы по кафедре теоретической механики.
Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно обсуждались на семинарах Удмуртского государственного университета, Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Института машиноведения им. А. А. Благонравова РАН, Института Математики и Механики УрО РАН, а также докладывались на российских и международных конференциях:
1. IX Международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твёрдого тела", Донецк, Украина, 5-10 сентября 2005 г.
2. Второй международной конференции "Устойчивость и управление для нелинейных трансформируемых систем", Москва, 25-28 сентября 2000 г.
3. International workshop Dynamical System Methods in Fluid Mechanics.
Oberwolfach, Germany, 31 июля - 6 августа 2005 г.
4. IUTAM 2006, IUTAM Simposium on Hamiltonian Dynamics, Vortex Structures, Turbulence, August 25th-30th 2006, Moscow, Russia 5. Конференция "Классические задачи динамики твердого тела", посвященная 300-летию Эйлера (ИПММ НАНУ), Донецк, Украина, 9-13 июня 206. VI международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, Россия, 1-6 августа 2007 года 7. Симпозиум Международного союза теоретической и прикладной механики (IUTAM), 150 лет вихревой динамике, Датский Технический Университет, Копенгаген, 12-16 октября 2008 г.
Публикации. Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в 20 работах. В том числе 18 в научных печатных изданиях и статьях [1Ц18], рекомендованных ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, основного текста, разбитого на три главы и приложение, заключения и списка литературы из 158 наименований. Работа содержит 56 рисунков. Общий объем диссертации составляет 215 страниц.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Первая глава посвящена классической задаче о взаимодействии в жидкости твердых тел и точечных вихрей. Дается строгий аналитический вывод основных уравнений, описывающих взаимодействие в идеальной жидкости кругового цилиндра и точечных вихрей. Известно, что при движении твердого тела в бесконечном объеме идеальной жидкости, совершающей безвихревое движение и покоящейся на бесконечности, действие жидкости на тело проявляется в эффекте присоединенных масс, а если циркуляция скорости жидкости вокруг тела отлична от нуля, то на тело еще действует подъемная сила Жуковского, приложенная в конформном центре тела. В диссертации доказано, что при наличие точечного вихря на тело действует дополнительная сила. Выражение для нее может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, первое из которых пропорционально скорости самого вихря, а второе (в случае кругового цилиндра) скорости его инверсного образа. Уравнения движения цилиндра и n точечных вихрей имеют вид ri = -v+ grad i|r=r, rc = v i n n av1 = v2- i(i-i), av2 = -v1+ i(i-i), i=1 i= i = /2, i = /2, n R2 y y - yi y - yi (r) = - (r, v) - arctg + i arctg - arctg.
r2 x x - xi x - xi i=(1) Доказано что эта система гамильтонова, а именно имеет место Теорема Уравнение движения (1) представимы в виде H = {i, H} = {i, k} (2) i k k = (xc, yc, v1, v2, x1, y1... xn, yn), Рис. 1: Круговой цилиндр и точечные вихри в идеальной жидкости Jij() = {i, j} удовлетворяет тождеству Якоби.
Jjk Jij Jki Jil + Jkl + Jjl = 0 i, j, k.
l l l l Наличие пуассоновой структуры {, }, (обнаруженной в ходе численных экспериментов; явные выражения для компонент тензора здесь не приводится ввиду их громоздкости), позволило найти, помимо гамильтониана H, дополнительный первый интеграл и тем самым доказать что 1. Задача о движении цилиндра и одного вихря интегрируема по Лиувиллю.
2. Если = 0 и суммарный импульс системы равен нулю, то задача о цилиндре и двух вихрях интегрируема по Лиувиллю.
В диссертации дан полный качественный анализ задачи о движении цилиндра и одного вихря. Для структуры (2) выполнена редукция Дирака, что позволило записать уравнения движения цилиндра и точечных вихрей (1) в виде, практически аналогичном классическим уравнениям Кирхгофа, описывающим движения точечных вихрей. Показано, что задача о движении цилиндра и двух вихрей не является интегрируемой.
Полученные уравнения затем обобщаются на случай цилиндра произвольной формы и указывается на неинтегрируемость задачи о движении эллиптического цилиндра и одного вихря; этот факт иллюстрируется зонами хаотического поведения на сечении Пуанкаре (рис. 2).
В частности, доказана Рис. 2: Сечение Пуанкаре в задаче о движении эллиптического цилиндра и вихря Теорема Уравнения движения твердого тела и вихрей могут быть записаны в форме Кирхгофа в следующем виде d T () T () - + - = k V, dt V V V V d T () T () - k + V - = 0, dt V V () = 2i, = 1... n, = 0 = u cos - v sin , 0 = u sin + v cos , = , V = (u, v, 0), k = (0, 0, 1), = k, где x0, y0 координаты конформного центра контура в неподвижной системе координат, угол, задающий положение подвижной системы координат относительно неподвижной, T кинетическая энергия системы тело+жидкость в отсутствие циркуляции ( = = 0).
В заключении, развивая идеи Э. Цермело, И.С. Громеки, В.А. Богомолова, заложивших основы гидродинамики на двумерных поверхностях, исследуется задача о движении на поверхности двумерной сферы кругового твердого тела (сферического сектора), взаимодействующего с точечными вихрями. Доказано, что в случае одного вихря система является интегрируемой и проведен качественный анализ ее движения. Получившиеся уравнения движения обобщают уравнения (1) и в пределе неискривленного пространства (радиус сферы стремится к бесконечности) совпадают с ними.
Во второй главе рассматривается задача о движении в жидкости нескольких тел в безграничном объеме идеальной жидкости. В отличие от классической задачи о движении одного тела, получившей глубокое развитие в классических трудах Томсона, Тэта и Кирхгофа и на сегодняшний день представляющейся достаточно хорошо изученной, строгих аналитических результатов в задаче о движении нескольких тел известно очень немного. Хотя общие уравнения движения нескольких тел в форме уравнений Лагранжа и указывались еще в трактатах Бассета и Ламба, эти уравнения носят весьма общий характер и для каждой конкретной задачи нуждаются в значительных и нетривиальных уточнениях. В имеющихся обширных классических исследованиях, восходящих к Стоксу, проанализирована в основном задача о движении двух сфер, причем лишь в одномерном случае (вдоль линии центров). В первом параграфе исследуется движение двух круговых цилиндров при наличии циркуляции вокруг каждого из них. Доказано, что уравнения движения имеют вид уравнений Пуанкаре на группе E(2) R1 (прямое произведение группы движений плоскости и одномерной абелевой группы) d R R d R R - = 0, + = 0, dt u1 u2 dt u2 ud R R R d R R + u1 - u2 = 0, - = 0.
dt u2 u1 dt s где u1, u2 - компоненты абсолютной скорости центра первого цилиндра, угловая скорость, связанной с цилиндрами системы координат, а функция Рауса R представима в виде R = a1(s)u2 + a2(s)u2 + a3(s)2 + a4(s)2 + 1 (3) +b1(s)u2 + b2(s)u1 - 2(s) - (s)u2 - (s).
Коэффициенты ai, bi, , , - известные функции от расстояния между центрами цилиндров s. Выполнено сведение к системе с двумя степенями свободы и указана неинтегрируемость в общем случае. Подробно проанализирована задача о движении цилиндров вдоль линии центров в различных постановках. В частности, дано аналитическое обоснование сформулированному Бьеркнесом принципу "кинетической плавучести". Суть его в следующем. Предположим, что один из цилиндров совершает гармонические колебания вдоль линии центров, а второй цилиндр вдоль линии центров движется свободно. Бьеркнес установил экспериментально, что если плотность свободного цилиндра больше плотности жидкости, то он будет притягиваться к осциллирующему, если же плотность меньше плотности жидкости, то если расстояние между центрами мало - по-прежнему имеет место притяжение, если же расстояние больше некоторого критического, то имеет место отталкивание.
Устремляя затем радиусы цилиндров к нулю, считая при этом их массы неизменными, получены новые гидродинамические объекты, так называемые массовые вихри. Подробно исследовано движение двух массовых вихрей с интенсивностями i и массами mi, динамика которых описывается уравнениями 12 r1 - rm1r1 = -1J1 +, 2 |r1 - r2| 0 12 r1 - rm2r2 = 2J2 -, J =, 2 |r1 - r2|-1 r1 = (x1, y1), r2 = (x2, y2).
Показано, что в общем случае эта система неинтегрируема. Указана лагранжева (и гамильтонова) форма этих уравнений, проведена редукция, найдены случаи интегрируемости и выполнен качественный анализ. В частности, исследована устойчивость для решения типа вихревой пары (массовые вихри противоположных интенсивностей движутся по параллельным прямым).
Рассмотренная далее задача о движении в жидкости двух сфер оказывается менее тривиальной с точки зрения приведения. Эта система с шестью степенями свободы (в силу идеальности жидкости и, следовательно, отсутствия трения, вращение сфер происходит независимо от движения их центров и потому не изучается). Для выполнения редукции к системе с двумя степенями свободы применен метод цепочек подалгебр. Выбрав в качестве новых переменных 1. квадрат расстояния между центрами f1 = s2 = (xi - qi)2;
i=3 2. квадраты импульсов f2 = yi, f3 = p2;
i i=1 i=3. скалярные произведения 3 3 f4 = (xi - qi)yi, f5 = (xi - qi)pi, f6 = yipi, i=1 i=1 i=и применив для алгебры Ли {f1,..., f6} метод цепочек подалгебр, удалось, введя новые образующие S1, S2, S3, N1, N2, N3 по формулам 2 Nf1 = 22(S2 - S3), f2 = - (S3 + S2) - 3N2 +, 2 2 N3 f3 = - (S2 + S3) + 3N2 +, f4 = N1 + 2S1, 2 2 2 N3 f5 = -2S1 + N1, f6 = (S2 + S3) +, = 3, 2 2 построить на ее орбите симплектические координаты (l, g, L, G), аналогичные переменным Андуайе в динамике твердого тела:
S1 = L2 - G2 sin l, S2 = L2 - G2 cos l, S3 = L, L2 - G2 - L g l g l N1 = F (L, G) sin cos - cos sin, G 2 2 2 L - L2 - G2 g l g l N2 = F (L, G) sin sin - cos cos, G 2 2 2 (L + L2 - G2) (D2 - 4P G2) где F (L, G) =.
G Переменные L, G, l, g являются каноническими, через них может быть выражен гамильтониан, правда, весьма громоздким способом. Таким образом, получена приведенная гамильтонова систему с двумя степенями свободы. Запись уравнений в симплектических переменных позволила обнаружить нетривиальное винтовое стационарное решение в ограниченной задаче о движении двух сфер. Указанный алгоритм редукции затем распространен на случай, когда редуцированные переменные образуют уже, вообще говоря, нелинейную структуру.
В главе 3 изучается классическая задача о самопродвижении тела в идеальной жидкости, то есть обсуждается следующий вопрос: может ли тело, пребывая изначально в состоянии покоя, переместится в наперед заданное положение лишь под действием внутренних сил? Ответ на этот вопрос положительный, в то время как при отсутствии жидкости этого, очевидно, добиться невозможно. В диссертации доказывается обобщение теоремы Лиувилля о вращении деформируемого тела (вне жидкости) вокруг неподвижной точки, и на основании этого обобщения, выводятся общие уравнения движения для деформируемого тела, погруженного в жидкость. В публикациях, посвященных этой задаче, самопродвижение связано с изменением формы тела, а также сходом вихрей с острых кромок. Основным результатом третьей главы является утверждение о том, что для гидродинамически несимметричного тела самопродвижение возможно за счет изменения распределения массы внутри тела, тогда как форма оболочки остается неизменной. Так для тела с тремя ортогональными плоскостями симметрии при условии, что не все его присоединенные массы равны между собой, доказано, что за счет изменения геометрии масс его можно перевести в любое наперед заданное положение.
В Приложении приведено описание использованного при исследованиях программного комплекса. Данный комплекс построен на модульной основе, что позволяет успешно применять его для исследования практически любой динамической системы, описываемой конечномерной системой дифференциальных уравнений. При этом не требуется переделывать весь комплекс в целом, необходимо лишь написать дополнительные модуль описывающий конкретную задачу, а все методы исследования ранее включенные в комплекс, будут доступны для исследования новой задачи. Модульность программного пакета также приводит к естественному накоплению базы данных исследуемых задач. Так в процессе работы с пакетом в него было добавлено уже более ста задач из различных областей теории динамических систем.
Особое внимание в программном комплексе уделено системам с двумя или двумя с половиной степенями свободы. В этих случаях задачи можно исследовать с помощью построения отображения Пуанкаре, и пакет программ содержит наибольшее количество инструментов для исследования именно такого типа задач.
Хотя с увеличением размерности число возможностей для исследования конкретной задачи падает, пакет предоставляет ряд инструментов и для исследования многомерных динамических систем. Сюда следует отнести поиск периодических решений, исследование их устойчивости, частотный анализ колебаний, расчет показателей Ляпунова. Все эти инструменты совместно с аналитическими вычислениями позволяют всесторонне исследовать практически любую динамическую систему.
По теме диссертации опубликованы следующие работы:
1. Борисов А.В., Газизуллина Л.А., Рамоданов С.М. Диссертация Э.Цермело о вихревой гидродинамике на сфере // Нелинейная динамика, 2008, т. 4, №4, стр. 497-513.
2. Борисов А.В., Мамаев И.С., Рамоданов С.М. Движение двух сфер в идеальной жидкости. I. Уравнения движения в евклидовом пространстве. Первые интегралы и редукция // Нелинейная Динамика, 2007, т. 3, вып.3, с. 411-422.
3. Борисов А.В., Мамаев И.С., Рамоданов С.М. Алгебраическая редукция систем на двумерной и трехмерной сферах // Нелинейная динамика, 2008, т. 4, №4, стр. 407-416.
4. Козлов В.В., Рамоданов С.М. О движении изменяемого тела в идеальной жидкости // Изв. РАН, ПММ, Том 65, 2001.
5. Козлов В.В., Рамоданов С.М. О движении в идеальной жидкости тела с твердой оболочкой и меняющейся геометрией масс // ДАН РФ, 2002, №2.
6. Рамоданов С.М. К задаче о движении твердого тела в жидкости под действием следящей силы // М.:Вестник МГУ, сер.матем.мех. 1992, №1.
7. Рамоданов С.М. К пространственной задаче о движении твердого тела в жидкости под действием следящей силы // Изв. АН СССР МТТ, 1995г, №5.
8. Рамоданов С.М. О влиянии циркуляции на падение тяжелого твердого тела в жидкости // Изв. АН СССР МТТ, 1996, №5, стр. 19-24.
9. Рамоданов С.М. Асимптотика решений уравнения Чаплыгина // М.:
Вестник МГУ, сер.матем.мех. 1995г, Сер. 1, №3.
10. Рамоданов С.М. К задаче о движении двух массовых вихрей в идеальной жидкости // Нелинейная Динамика, 2006, Т.2, №4,стр.435-443.
11. Borisov A.V., Mamaev I.S., Ramodanov S.M. Dynamics of a circular cylinder interacting with point vortices // Discrete and Contin. Dyn. Syst.
B., 2005, v. 5, №1, p. 35-50.
12. Borisov A.V., Mamaev I.S., Ramodanov S.M. Dynamics of two interacting circular cylinders in perfect fluid // Discrete and Continuous Dynamical Systems, 2007, vol.19, no. 2, pp.235-253.
13. Borisov A.V., Mamaev I.S., Ramodanov S.M. Motion of a circular cylinder and n point vortices in a perfect fluid // Regular and chaotic dynamics, V.8, №4, 2003.
14. Borisov A.V., Mamaev I.S., Ramodanov S.M. The dynamic interaction of point vortices and a 2-D cylinder // J. Math. Phys. 48, 1, 2007.
15. Ramodanov S.M. Dynamical interaction of a rigid body and point vortices on a two-dimensional sphere // Regular and chaotic dynamics., 2008. v.7, №3, p.181-198.
16. Ramodanov S.M. Motion of a circular cylinder and a vortex in an ideal fluid. // Regular and chaotic dynamics. 2001, v.6, №1, p.33Ц38.
17. Ramodanov S.M. Motion of a circular cylinder and N point vortices in a perfect fluid. // Regular and chaotic dynamics., 2002, v.7, №3, p.291-298.
18. Ramodanov S.M. Motion of two circular cylinders in a perfect fluid, // Regular and chaotic dynamics., 2003, v. 8, №3, p.313-318.