Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
УДК 517.9 ТРОИЦКАЯ
Сауле Джумабековна ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ В КОНТЕЙНЕРАХ С РЕБРАМИ
Специальность 01.01.03 - математическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва 2012
Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор Доброхотов Сергей Юрьевич доктор физико-математических наук Кордюков Юрий Аркадьевич доктор физико-математических наук профессор Шкаликов Андрей Андреевич Ведущая организация : Математический институт РАН имени В. А. Стеклова
Защита состоится 17 апреля 2012 г. в 16 час. 30 мин. на заседании диссертационного Совета Д 212.133.07 при Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, г. Москва, Б.
Трехсвятительский пер., 3 (ауд. 526)
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики.
Автореферат разослан У Ф 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.133.кандидат физико-математических наук П. В. Шнурков
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы.
Изучение поведения вращающейся жидкости представляет собой важную задачу, актуальность которой в настоящее время сильно возросла, что обусловлено целым рядом обстоятельств. Во-первых, в классических областях ее применения, таких, как геофизическая гидродинамика, существенно развились средства и системы получения и обработки данных, что продвинуло теоретические исследования гораздо ближе к задачам оперативного прогнозирования. Во-вторых, модели, описывающие вращающиеся жидкости, оказались важными и для других, бурно развивающихся отраслей естествознания, в первую очередь, для астрофизики и физики высоких энергий. В-третьих, возросло число технических приложений свойств вращающейся жидкости: это многочисленный класс задач, связанных с вращением твердых тел с полостями, содержащими жидкость.
Настоящая диссертация посвящена исследованию математических проблем, возникающих при изучении фундаментальных свойств вращающейся жидкости, которые рассматриваются здесь для случая идеальной несжимаемой жидкости, целиком заполняющей контейнер, но которые проявляются во всех системах, содержащих вращающиеся жидкости. Эти свойства связаны с эффектами локализации энергии внутри жидкости и возникновением УопасныхФ режимов колебаний. Наиболее существенное проявление этих свойств происходит в тех случаях, когда содержащие жидкость контейнеры имеют ребра, т.е. когда их граница образована несколькими гладкими поверхностями, пересекающимися по некоторым кривым Ч ребрам. Примером такого контейнера может служить ограниченный прямой круговой конус. Изучению поведения жидкости именно в таких контейнерах и посвящена данная диссертация.
Система уравнений, описывающих малые колебания идеальной несжимаемой жидкости, целиком заполняющей некоторый контейнер G, который равномерно вращается вокруг оси с направляющим вектором k, имеет вид Ut + 2 U = -p (G), (1) k U = 0 (G), (2) U = 0 (G). (3) n Кроме того, чтобы сделать ее решение определенным, задают условие U = U0. (4) t= Здесь U = (u, v, w) Ч вектор скоростей частиц жидкости во вращающейся системе координат, жестко связанной с контейнером G, p Ч гидродинамическое давление, Ч единичный вектор внешней нормали к граниn це G (везде далее мы будем предполагать, что G является кусочногладкой, и G удовлетворяет известному Уусловию конусаФ). Задача отыскания инерционных мод колебаний, т.е. решений системы (1 Ч 3), зависящих от времени по закону e-it, может быть сведена к следующей задаче:
2p - ( )2p = 0 (G), (5) k -2 p + 4( k)( p) + 2i( p = 0 (G). (6) n n k k n) Эта задача, часто называемая задачей Пуанкаре о вращающейся жидкости, известна своей исключительной трудностью. Ее изучению были посвящены многочисленные работы, поскольку свойства ее решений являются определяющими для многих практических задач. Помимо этой задачи, в математической физике, геофизике и астрофизике рассматривают также задачи с другими граничными условиями, в частности, с условием:
p = 0 (G). (7) Последняя задача, в некотором смысле, является более простой для исследования, а для осесимметричных колебаний существует взаимнооднозначное соответствие между решениями этих двух задач.
Кроме того, ввиду сложности трехмерных задач, изучают также их двумерные аналоги. А именно, в предположении, что компоненты ско рости U и давления p зависят только от двух пространственных переменных x и z, а область, занимаемая жидкостью, является бесконечным цилиндром с образующей, параллельной оси Oy, основанием которого является некоторая область D в плоскости Oxz, вместо системы (1 Ч 3) рассматривают систему:
u p v w p = v -, = -u, = - (D), (8) t x t t z u w + = 0 (D), (9) x z un1 + wn3|D = 0, (10) где = (n1, n3) Ч вектор нормали к D в плоскости Oxz. Тогда соотn ветствующая функция тока является решением следующей задачи:
( ) 2 2 2 2 + + = 0, (x, z; t) из D (0, ), (11) t2 x2 z2 z|D(0,) = 0, (12) |t=0 = 0, t|t=0 = 1, (13) К этой же самой задаче приводит соответствующий двумерный аналог задачи (1, 2, 7). Изучение двумерных задач является важным для прогнозирования возможных особенностей поведения жидкости в цилиндрических контейнерах конечной длины с образующей, перпендикулярной оси вращения, что было установлено в известной работе В.П.Маслова1 и подтверждено недавними экспериментальными исследованиями2.
Одним из наиболее важных вопросов, возникающих при решении практических задач, является возможность разложения всякого решения системы (1 Ч 3) в ряд по инерционным модам U( t) AmUm( exp (imt), (14) r, r) p( t) A m( exp (imt). (15) r, r) m Маcлов В.П., Сиб. матем. журнал. 1968. Т. 9, N 6. С. 1351 - 1359.
Manders A.M.M., Duistermaat J.J., Maas L.R.M. Phys. D. 2003. V. 186, N 3-4. P. 109 - 132.
Представление о том, что невязкие колебания для почти всех контейнеров имеют нормальные моды, является глубоко укоренившимся. Так, к примеру, техника решения многих практических задач, описывающих поведение вязкой вращающейся жидкости в различных контейнерах, заключающаяся в асимптотическом приближении решения методом теории пограничного слоя, основана как раз на предположении, что для инерционных волн имеет место разложение вида (14). Кроме того, фактически существование такого представления часто используется в теоретических исследованиях и в неявном виде, а именно, если молчаливо предполагается, что внутри вращающейся жидкости не может появиться областей концентрации энергии, где частицы жидкости с течением времени приобретут скорости, по абсолютной величине сильно превышающие скорости начального возмущения. Возникает естественный вопрос о том, всегда ли разложение (14) возможно.
Известно, что для двух видов контейнеров Ч прямых круговых цилиндров и эллипсоидов вращения, оси симметрии которых совпадают с осью вращения, Ч этот вопрос решается положительно. Поведение вращающейся жидкости в них было изучено Ч как теоретически, так и экспериментально Ч с более или менее достаточной полнотой. В обоих случаях было установлено наличие инерционных мод, отвечающих собственным частотам, всюду плотно заполняющим отрезок [-2, 2] (моды были найдены в явном виде), а также возможность представления (14) всякого движения невязкой жидкости, возникающего в таких контейнерах, в виде суперпозиции этих мод. Это означает, что все малые колебания в эллипсоидах и цилиндрах являются почти-периодическими функциями по t, что гарантирует отсутствие локализации энергии начального возмущения внутри жидкости с течением времени t. Но оказывается, что этим список полостей, для которых инерционные моды найдены, и ограничивается. Для контейнеров же произвольной конфигурации этот вопрос является чрезвычайно сложным.
Первым, кто обратил внимание на то обстоятельство, что в контейнерах с ребрами на границе, подобных конусу, законность разложения Maas L. R. M., Benielli D., Sommeria J., Lam F.-P.A. Nature, 1997, V. 388. P. 557 - 561.
Гринспэн Х. Теория вращающихся жидкостей. Л.:Гидрометеоиздат, 1975.
(14) совсем не очевидна, был Х. Гринспэн. Рассматривая модельный случай цилиндрического контейнера бесконечной длины, нормальное сечение которого является треугольником, Х. Гринспэн высказал предположение о том, что Успектр инерционных волн здесь должен быть непрерывным, а собственные функции Ч сингулярными в угловых точкахФ, и что эти же проблемы следует ожидать и в случае, когда вращающаяся жидкость находится в контейнере, имеющем форму прямого кругового конуса. Позже тот факт, что движение жидкости в конусе принципиально отличается от движения в сфере, было подтверждено эксперимен6 тально Р. Бердсли, а затем и Р. Картером (Лаборатория M.I.T.). Теоретического же объяснения этих эффектов получено не было, и поэтому эти работы в то время не оказали должного влияния на распространенное представление об общем характере невязких колебаний, а именно, что разложение (14) справедливо для контейнеров произвольной конфигурации. Так, например, три года спустя (в 1973 г.) при исследовании устойчивости стационарного вращения твердого тела с заполненной жидкостью полостью, имеющей форму прямого кругового конуса с малым углом раствора, Л.В. Докучаев и Р.В. Рвалов опирались именно на предположение о существовании в произвольной полости инерционных мод и разложении по ним всякого невязкого колебания жидкости. Позже линеаризованная система уравнений движений такого тела, полученная на основании этого разложения, использовалась во многих работах.
То, что в контейнерах определенных конфигураций возможны такие режимы колебаний вращающейся жидкости, которые приводят к локализации энергии, стало широко известным относительно недавно. Изучению этих эффектов, связанных с наличием так называемых Уволновых аттракторовФ (Уwave attractorsФ), посвящены работы многих авторов в геофизике и астрофизике, причем основное внимание при изучении этого явления уделяется: в трехмерном случае Ч исследованиям в сферических оболочках, а в двумерном Ч в бассейнах с одной или двумя Greenspan H.P. Stud. in Appl. Math. - 1969. V. 48, № 1. P. 19 - 28.
Beardsley R.C., Stud. Appl. Math. 1970. V. 49, N 2. P. 187 - 196.
Carter R.M., S.M.Thesis, Dept. of Geology and Geophysics, M.I.T., 1969.
Докучаев Л.В., Рвалов Р.В., Изв. АН СССР. Мех. тв. тела, 1973. N 2. С. 6 - 14.
9 скошенными гранями,, что связано с большой практической значимостью таких задач. В частности, было экспериментально установлено, что в контейнерах со скошенными гранями возможны такие УопасныеФ режимы колебаний, которые аккумулируют энергию начального возмущения в окрестности ребра Ч линии пересечения плоских граней.
Исследования рассматриваемых задач в таких контейнерах активно ведутся и в настоящее время как с помощью попыток построения УприближенныхФ решений, так и с помощью численного моделирования, что является естественным в связи с развитием компьютерной техники и методов программирования, точных же решений во всех этих исследованиях получено не было.
Учитывая сказанное выше, представляется актуальным и необходимым развернутое математическое исследование поведения вращающейся жидкости в контейнерах, границы которых имеют особенности такого типа.
Цель работы. Целью настоящей диссертации является изучение задач (1 Ч 4), (1, 2, 4, 7) и (11 Ч 13) в областях специального вида, границы которых имеют особенности в виде ребер: получение нового метода исследования спектральных свойств операторов, связанных с этими задачами, основанного на естественной идее использовать в этом круге вопросов корректную разрешимость краевых задач для гиперболических уравнений на плоскости типа задач Гурса и Дарбу; установление с помощью этого метода достаточных условий, определяющих конфигурацию контейнера, при которых изучаемые задачи имеют решения, не представимые в виде (14), получение явных представлений точных решений нестационарной задачи (11 Ч 13) в некоторых областях со скошенными гранями, где ранее экспериментально был установлен эффект локализации энергии, и объяснение этого эффекта путем исследования поведения этих решений при неограниченном увеличении времени.
Методы исследования. В диссертации используются методы функционального анализа и теории уравнений с частными производными.
Hazewinkel J., Breevoort P.V., Dalziel S.B., Maas L.R.M., J. Fluid Mech., 2008, V. 598. P. 373 - 3Cacchione D., Wunsch C., J. Fluid Mech., 1974, V. 66, part 2. P. 223 - 2Wunsch C., Deep-Sea Research, 1968, V. 15. P. 251Ц258.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Они заключаются в следующем:
1. Для первой и второй краевых задач о малых колебаниях вращающейся идеальной жидкости в случае, когда область, занимаемая жидкостью, симметрична относительно оси вращения, получены разложения пространств соленоидальных векторов, которым принадлежат решения этих задач, в бесконечные ортогональные суммы их некоторых подпространств, и доказано, что изучение спектров операторов, связанных с рассматриваемыми задачами, может быть сведено к изучению спектров их ограничений на указанные подпространства, что позволяет вместо возникающих здесь известных трехмерных краевых задач для гиперболических уравнений рассматривать их аналоги на плоскости.
2. Исследована первая краевая задача, являющаяся обобщением известной задачи Дарбу и заключающаяся в нахождении для гиперболического уравнения в плоской области D, ограниченной двумя гладкими кривыми, выходящими из одной точки и целиком лежащими в характеристическом угле с вершиной в этой точке, и отрезками характеристик, обобщенного решения из пространства С.Л.Соболева W2 (D), принимающего на этих кривых заданные значения; доказана корректность этой задачи.
3. Исследована вторая краевая задача для гиперболических уравнений с двумя переменными, заключающаяся в нахождении обобщенного решения гиперболического уравнения, принадлежащего пространству С.Л.Соболева W2 (D), где плоская область D ограничена двумя гладкими кривыми, выходящими из одной точки и целиком лежащими в характеристическом угле уравнения с вершиной в этой точке, и отрезками характеристик, - такого, которое удовлетворяет граничным условиям с частными производными, заданным на этих кривых, и принимает некоторое наперед заданное значение в вершине угла; установлены условия, касающиеся расположения этих кривых и коэффициентов при частных производных в граничных выражениях, при которых данная задача корректна.
4. Получен новый метод изучения поведения вращающейся идеальной несжимаемой жидкости, суть которого заключается в исследовании спектральных задач соответствующих операторов с помощью теории корректной разрешимости первой и второй краевых задач для гиперболических уравнений на плоскости, являющихся обобщениями классических задач типа Гурса и Дарбу. Этот метод применим к задачам в трехмерных областях специального вида с кусочно-гладкой границей, содержащей ребра и, быть может, конические точки, и к соответствующим двумерным областям с угловыми точками.
5. С помощью разработанного нового метода получено объяснение качественно различного поведения вращающейся жидкости в сферических и конических контейнерах, наблюдаемого экспериментально. Построены конкретные примеры осесимметричных трехмерных областей с ребрами, для которых не пуст непрерывный спектр инерционных волн, а также описан некоторый класс таких областей; доказано, в частности, что всякая осесимметричная область, ограниченная коническими поверхностями, принадлежит этому классу независимо от взаимного расположения конусов и их углов раствора, что означает обязательное существование не почти-периодических движений вращающейся жидкости в таких контейнерах. Приведены примеры, доказывающие существенную неустойчивость характера поведения жидкости по отношению к малым деформациям границы контейнера. Аналогичные результаты получены для модельной двумерной задачи.
6. С помощью разработанного нового метода исследования рассматриваемых задач для плоской треугольной области впервые в явном виде построены точные решения нестационарной двумерной модельной задачи, исследованы свойства этих решений, доказано, что их L2-нормы убывают при t .
7. Впервые установлено, что существуют такие решения нестационарной двумерной модельной задачи, L2-нормы которых убывают при t быстрее любой отрицательной степени t, а вся энергия, которой они обладают, со временем оказывается почти полностью сосредоточенной в сколь угодно малых окрестностях угловых точек. Это объясняет некоторые обнаруженные в известных экспериментальных исследованиях особенности поведения вращающейся жидкости в контейнерах рассматриваемых конфигураций, что не могло быть сделано ранее.
Эти результаты составляют основное содержание диссертации и выносятся на защиту.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается математически строгой доказательностью всех устанавливаемых утверждений. Они согласуются с известными ранее теоретическими результатами, полученными для более простых случаев, а также объясняют ряд экспериментальных данных. Полученные результаты могут применяться для дальнейших фундаментальных теоретических исследований, для численных решений конкретных практических задач, для объяснения и организации экспериментальных исследований и численного моделирования процессов, происходящих во вращающейся жидкости.
ичный вклад автора. Все работы выполнены без соавторов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях и конгрессах ICM-1994 (Цюрих, Швейцария, 1994 г.), УDifferential equations and applicationsФ (Руссе, Болгария, 1995 г.), КРОМШ-VI (Ласпи, Украина, 1996 г.), УФункциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы матем. образованияФ (Москва, 1998 г.), HYP-1998 (Цюрих, Швейцария, 1998 г.), Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (Москва, 1998 г.), Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения В. А. Рохлина (С.-Петербург, 19г.), УОбратные и некорректно поставленные задачиФ (Москва, 1999 г. и 2000 г.), неоднократно на совместных заседаниях-конференциях ММО и семинара Петровского и других конференциях, а также докладывались на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, Математического института РАН им. В. А. Стеклова, Московского физико-технического института, Института проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, факультета естественных наук университета Грайфсвальд (Германия), обсуждались на кафедре квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, в Лаборатории геометрических методов математической физики механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова и др.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1Ц11] в ведущих периодических изданиях. Всего по теме диссертации автором опубликовано 28 работ.
Структура работы. Работа состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы, содержащего 153 наименования. Общий объем диссертации Ч 269 страниц.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации и приводится краткий обзор предшествующих исследований. Кроме того, в нем кратко изложено содержание и основные результаты работы.
Начало исследований системы уравнений (1)Ч(2) было положено 12 в известных работах лорда Кельвина и А. Пуанкаре. Фундаментальный вклад в исследование разрешимости смешанных задач и задачи Коши для этой системы был сделан С.Л.Соболевым, вслед за которым вопросы, связанные с их разрешимостью в различных классах функций, оценками и асимптотическим поведением решений этой системы, а также ее обобщений, активно изучались в работах Р.А.Александряна, В.Н.Масленниковой, М.Е. Боговского, Thomson W. Phil. Mag. S. 5. Vol. 10. No 61. Sept 1880. P. 155 - 168.
Poincar H. Acta math. 1885. V. 7. P. 259 - 380.
Соболев С.Л., Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. Т. 18, N 1. С. 3 - 50.
С.В.Успенского, Г.В.Демиденко, Е.Н.Васильевой, А.М.Ильина, А.Г. Костюченко, А.А. Шкаликова, Т.И.Зеленяка, М.В. Фокина, В.В. Сказки, С.А. Габова, В.А.Свешникова, Н.Д.Копачевского, С.И. Янова и многих других.
В главе 1 диссертации для системы уравнений (1)Ч(2), описывающей колебания вращающейся жидкости, в которой, без ограничения общно сти, положено k = (0, 0, 1/2), рассматриваются две задачи с граничными условиями (7) и (3) и начальным условием (4). Эти задачи в дальнейшем называются задачами A и B, соответственно. Для их исследования естественно ввести операторы A и B, с помощью которых задачи A и B могут быть записаны в виде обобщенных задач Коши.
Пусть H Ч пространство вектор-функций U = (u1, u2, u3), ui L2(G), i = 1, 2, 3 со скалярным произведением ( ) U, V = (u1v1 + u2v2 + u3v3)dxdydz. (16) H G В H рассмотрим подпространства SA и SB соленоидальных векторов :
SA = {U H : (U, p)H = 0 для всех p (G)}, (17) W SB = {U H : (U, p)H = 0 для всех p W2 (G)}, (18) 1 где (G) и W2 (G) Ч пространства комплекснозначных функций, обобW щенные производные которых квадратично суммируемы на G, причем первое из них является подпространством второго, и состоит из функций, обращающихся в ноль на границе G. Обозначим через PA и PB соответственно операторы ортогонального проектирования на эти подпространства. Определим линейные операторы:
( ) AU = 2PA U k, A : SA SA, (19) ( ) BU = 2PB U k, B : SB SB. (20) Тогда задачи A и B могут быть соответственно записаны в виде :
Ut = AU, U(0) = U0 SA, (21) Ut = BU, U(0) = U0 SB. (22) Операторы A и B ограничены и косоэрмитовы, A = 1 и B = 1.
Поэтому решения обеих этих задач существуют и определяются единственным образом по вектору начального возмущения:
U(t) = eAtU0, (23) соответственно, U(t) = eBtU0. (24) Известно, что для произвольной области G спектры операторов iA и iB совпадают с отрезком [-1, 1], качественные же свойства решений задач A и B Ч инерционных волн Ч зависят от структуры этих спектров, которые, в свою очередь, определяются конфигурацией контейнера G.
В силу своей исключительной трудности, спектральные задачи для операторов A и B еще очень далеки от сколько-нибудь полного исследования. Как это уже было отмечено выше, полностью спектральные свойства операторов A и B изучены лишь для прямых круговых цилиндров и эллипсоидов вращения: в обоих этих случаях найдены собственные функции операторов A и B и доказана их полнота. Если G является произвольным эллипсоидом или цилиндром произвольного сечения с образующей, параллельной оси вращения, полнота собственных функций оператора A была доказана Р.Т. Денчевым Для оператора B аналогичный результат для цилиндров произвольного компактного сечения был получен Ю.Н. Григорьевым. Исследуя задачу A в цилиндрах конечной длины, с образующей, параллельной оси Oy, В. П. Маслов доказал, что если задача (11Ч 13) в некоторой области D, являющейся сечением такого цилиндра, имеет не почти-периодические решения (т.е. соответствующий ей оператор имеет непустой непрерывный спектр), то подобные решения имеет и задача A (следовательно, оператор A также имеет непустой непрерывный спектр). М.В. Фокин доказал, что при увеличении длины такого цилиндра участки непрерывного спектра оператора A в некоторых инвариантных подпространствах стремятся в пределе к соответствующим промежуткам непрерывного спектра двумерной задачи. А.А. Ляшенко доказал существование тороидальной области G, для Ralston J. V., J. of Math. Anal and Appl. 1973. V. 44, N. 2. P. 366Ц383.
которой не пуст непрерывный спектр оператора B. Нашей же целью является исследование спектров операторов A и B в областях, границы которых имеют особенности в виде ребер и, быть может, конических точек Ч областях, Уподобных конусуФ.
В главе 1 исследуются общие свойства инерционных волн в случае, когда контейнер G симметричен относительно оси вращения Oz. Хорошо известно, что в этом случае после перехода к цилиндрической системе координат рассматриваемые системы уравнений допускают естественное разделение переменных, что позволяет свести их к изучению последовательности двумерных задач. Этот прием использовался с разными целями в работах многих авторов. В наших рассуждениях разделение переменных играет важную роль в исследовании спектральных задач для операторов A и B, поэтому при переходе к изучению последовательности двумерных задач нам необходимо точно описать пространства, которым принадлежат их решения, и установить связь между спектрами трехмерных и двумерных задач.
Пусть (r, , ) Ч цилиндрическая система координат, связанная с (x, y, z): x = r cos, y = r sin, z = и пусть D Ч область в полуплоскости = 0, которая заметает G при вращении вокруг оси O. Через L(P ), H(P ), и W (P ) обозначим пространства, в которые перейдут W 1 при этом пространства L2(G), H, и W2 соответственно. Обозначим W через L(D) и W(k,)(D), k = 0, 1, 2,.. пространства функций на D с нормами f(r, )2 = |f|2 r drd, (25) L(D) D { } g g 2 kg(r, )2 = |g|2 + + + |g|2 r drd, (26) W(k,)(D) r t rD соответственно, а через (D), k = 0, 1, 2,.. - подпространства W (k,) пространств W(k,)(D), состоящие из функций, следы которых на границе D\, := G {r = 0}, равны нулю. Пусть cos - sin T := sin cos 0 0 Тогда справедлива Теорема 1.
+ L(P ) = L(D)eik, (27) k=- + { } 1 W (P ) = W(k,)(D) eik W(0,)(D) {1}, (28) k=0,k=- + 1 (P ) = (D) eik, (29) W W (k,) k=- + H(P ) = H(k,), (30) k=- где элементы пространств H(k,) имеют вид:
fT eik, fi(r, ) L(D), i = 1, 2, 3, f fи суммы ортогональны относительно соответствующих скалярных произведений.
Обозначим через S(A,) и S(B,) пространства, в которые перейдут SA и SB при цилиндрической замене координат, через Pk - операторы ортогонального проектирования H(P ) на подпространства H(k,).
Теорема 2.
+ S(A,) = S(A,k,), (31) k=- + S(B,) = S(B,k,), (32) k=- S(A,k,) состоит из всех таких Uk H(k,), что ( ) -1 T U, c(pk(r, )eik) = 0 для всех pk(r, ) (D), (33) W (k,) H(P ) S(B,k,) состоит из всех таких Uk H(k,), что ( ) -1 T U, c(pk(r, )eik) = 0 для всех pk(r, ) W(k,)(D), (34) H(P ) 1 где c := (r,, ). При этом PkPA = PAPk, PkPB = PBPk для всех r k = 0, 1, 2,...
Теорема 3. Пространства S(A,k,) приводят оператор A, а простран ства S(B,k,) приводят оператор B. При этом для любого U SA:
APkU = PkAU, и для любого U SB: BPkU = PkBU, k = 0, 1, 2,...
Таким образом, если инерционная волна такова, что в какой-то момент времени функция давления в жидкости является k-той гармоникой по угловой переменной , т.е. имеет вид p = pk(r, )eik, то во все последующие моменты времени она будет обладать тем же свойством, причем вне зависимости от того, является ли она инерционной модой или соответствует непрерывному спектру. В з 1.4 доказано, что спектром каждого из операторов iAk и iBk Ч сужений операторов iA и iB на соответствующие подпространства S(A,k,) и S(B,k,) Ч является отрезок [-1, 1]:
Теорема 4. (iAk) = [-1, 1], (iBk) = [-1, 1], k = 0, 1, 2,...
Этот факт является важным, в частности, при исследовании стационарной устойчивости вращающихся твердых тел с полостями, заполненными жидкостью. Установленная существенная непростота спектра указанных операторов означает исключительное богатство инерционных волн, не учитываемое, к сожалению, в некоторых работах, рассматривающих лишь осесимметричные движения жидкости. На основании полученных результатов в з 1.5 показано, что исследование спектра инерционных волн в случае осесимметричных областей может быть сведено к исследованию спектральных задач IA,k и IB,k для операторов iAk и iBk, представляющих собой краевые задачи для уравнения 2pk 1 pk 1 2pk k2pk + - - = 0, a2 =, (D), (35) r2 r r a2 2 r2 1 - в которых обобщенные решения должны принадлежать пространствам 1 W(k,)(D) и (D) соответственно и удовлетворять граничным услоW (k,) виям: для операторов iAk pk|D\ = 0, (36) а для операторов iBk (( ) ) pk kpk 1 pk - cos( r) - cos( ) = 0. (37) n, n, r r a2 D\ Заметим, что эти задачи отличаются от известных краевых задач, предложенных ранее в ряде работ для случая осесимметричных контейнеров.
В з 2.1 главы 2 диссертации установлена связь между задачей A в коническом контейнере и обобщенной первой краевой задачей для гиперболических уравнений. Последняя заключается в нахождении в области D := {(x, y) : x < x < 0, 0 < l2(x) < y < l1(x)}, где функции li(x) C2[x, 0], i = 1, 2, такие, что li(x) < 0, для любого x (x, 0), i = 1, 2, (38) l1(0) = l2(0) = 0, 0 < lim |l2(x)| < lim |l1(x)|, (39) x-0 x-обобщенного решения гиперболического уравнения Lu := uxy + aux + buy + cu = f, (40) с коэффициентами a, b C1(D0), c C(D0), D0 D, принадлежащего пространству W2 (D) и удовлетворяющего условиям u |y=l (x) = i, i = 1, 2, (41) i где функции i W2 (x, 0), и 1(0) = 2(0). Для регулярных решений корректность этой задачи известна давно. В случае обобщенных решений в подавляющем большинстве работ, посвященных этой задаче, изучаются ее частные случаи, когда из кривых i, задаваемых уравнениями y = li(x), либо одна, либо обе являются характеристиками, а i 0, Бабский В. Г., Копачевский Н. Д., Мышкис А. Д., Слобожанин Л. А., Тюпцов А. Д., Гидромеханика невесомости. М.: Наука, 1976.
Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных Ч М.: Наука, 1981.
18 19 см.,,. В случае, когда a = b = c = 0, а i являются отрезками прямых, единственность обобщенного решения такой задачи в простран1 15 стве W2 (D) доказана в В работе существование и единственность сильного решения из W2 (D) и справедливость соответствующей априорной оценки показана в случае, когда a = b = c = 0, i = 0, i = 1, 2, а одна из i является отрезком нехарактеристической прямой. Нам же для получения нового метода исследования спектральных свойств задач A и B необходимо изучить общую задачу (40 - 41), для произвольного уравнения (40) с, вообще говоря, ненулевыми младшими членами и ненулевыми граничными значениями. Кроме того, принципиально важным для дальнейших рассуждений является то, что кривые здесь могут быть произвольными, не обязательно совпадающими с характеристиками уравнения (40).
В з 2.2 установлены общие свойства обобщенных решений уравнения (40), принадлежащих пространству функций W2 (S), производные которых являются квадратично суммируемыми на некоторой области S специального вида. С помощью этих свойств в з 2.3 обоснована возможность применения метода Римана, часто используемого в классической форме для исследования динамики геофизических жидкостей, к обобщенным решениям гиперболических уравнений, доказана справедливость формулы Римана для таких решений. В з 2.4 доказана корректная разрешимость в пространстве W2 обобщенных задач Гурса и Дарбу, получены n,n априорные оценки решений в пространствах W2 (S), n 0 с нормой { } n i+jf n,n f2 = dx dy. (42) W2 (S) xiyj i,j=S Обозначим через Cn,n(S), где S - некоторая область с кусочно-гладкой границей, множество всех функций r(x, y), имеющих непрерывные на S i+jr(x,y) смешанные производные, i, j = 0, 1,..n. В з 2.4 доказана осxiyj новная теорема о корректной разрешимости обобщенной первой краевой задачи:
Капустин Н.Ю., Шония З.В. Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, N 1. С. 85 - 91.
Врагов В.Н. Дифференциальные уравнения. 1972. Т. 8, N 1. С. 7 - 16.
Коврижкин В.В. Дифференциальные уравнения. 1972. Т. 8, N 1. С. 68 - 75.
Кальменов Т.Ш., Садыбеков М.А. Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, N 1. С. 60 - 65.
Теорема 5. Для любой функции f L2(D), любых i W2 (x, 0), i = 1, 2, 1(0) = 2(0), в пространстве W2 (D) всегда существует и притом единственное обобщенное решение u(x, y) уравнения (40), удовлетворяющее условиям u(x, li(x)) = i(x), x (x, 0), i = 1, 2, и для него справедлива оценка { } u2 c f2 + 12 + 22, (43) 1,1 1 L2(D) W2 (x,0) W2 (x,0) W2 (D) где c не зависит от f, i, i = 1, 2.
Если a, b Cn+1,n+1(D0), c Cn,n(D0), (D0 D), li(x) Cn+2[x, 0], n,n n+f W2 (D), а функции i W2 (x, 0), i = 1, 2, n 0, то решение n+1,n+u(x, y) принадлежит пространству W2 (D) и { } n,n u2 cn f2 + 12 + 22, (44) n+1,n+1 n+1 n+W2 (D) W2 (D) W2 (x,0) W2 (x,0) где cn не зависит от f, i, i = 1, 2.
В з 2.6 приведены примеры, показывающие, что сформулированные в работе условия являются не только достаточными, но и необходимыми для корректной разрешимости обобщенной первой краевой задачи для гиперболических уравнений, а также примеры, демонстрирующие ее отличие от классической первой краевой задачи.
В главе 3 диссертации изучена вторая краевая задача для гиперболических уравнений с двумя переменными, заключающаяся в нахождении обобщенного решения уравнения (40) в области D, принадлежащего пространству W2 (D) и удовлетворяющего условиям i1ux + i2uy + iu |y=l (x) = i, x (x, 0), i = 1, 2, (45) i u(0, 0) = u0, (46) В з 3.1 показано, что к изучению именно такой задачи приводят задача B в коническом контейнере, а также модельный двумерный аналог задачи Пуанкаре в бассейне с треугольным сечением, который является важным ввиду его тесной связи с так называемой береговой проблемой (the beach problem). Для этого двумерного случая проведен общий анализ сингулярных решений, часто обсуждаемых в литературе и приводящих в данном случае к образованию Уточечного волнового аттрактораФ в вершине угла, показано, что условие квадратичной суммируемости производных функции тока исключает такие сингулярные решения из физически значимых.
В отличие от первой краевой задачи, рассматриваемая задача в такой постановке не была исследована и в регулярном случае. Похожие по по24 25 становке задачи изучались ранее в работах,,. Наиболее близкой к нашему случаю является работа С.С. Харибегашвили, в которой, однако, такая задача изучалась при других условиях относительно расположения кривых i - носителей граничных условий. Оказалось, что, вообще говоря, для разрешимости этих задач в классах Ck (k 2) необходимы условия согласования функций f, 1, 2, а также их производных до порядка k включительно в точке O(0, 0). При выполнении этих условий, а также некоторых условий на коэффициенты уравнений (45) С.С. Харибегашвили доказал, что число линейно независимых регулярных класса Ck решений соответствующих однородных задач совпадает с числом линейно независимых решений некоторой системы линейных алгебраичеi+ju ских уравнений относительно неизвестных (0, 0), 0 i + j k.
xi yj Кроме того, С.С. Харибегашвили показал что, вообще говоря, в задачах такого вида наличие младших членов в основном уравнении и в краевых условиях может оказать влияние на их корректность, что не характерно для основных классических краевых задач.
В зз 3.2 Ч 3.6 диссертации доказано, что в отличие от других задач такого вида, задача (40, 45, 46), условия расположения кривых в которой описаны выше (см. (38), (39)), имеет все свойства классических краевых задач. А именно, доказано, что в классе C1,1(D) ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от данных задачи. Как это видно из Wunsch C., J. Fluid Mech., 1969, V. 35, part 1. P. 131 - 144.
Lam F.-P. A., Maas L.R.M. Fluid Dynamics Research. 2008, V.40. P. 95 - 122.
Szmydt Z. Ann. Polon. Math. 1958. V. 4. P. 165 - 182.
Мельник З.О. Укр. матем. журнал. 1980. Т. 32, N. 5. С. 671 - 674.
Aziz A.K., Diaz J.B. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1962. V. 10, N. 1. P. 1 - 28.
Харибегашвили С. С. ДАН СССР. 1985. Т. 280, N. 6. С. 1313 - 1316.
формулировки условий задачи, наличие младших членов в уравнении не влияет на ее корректность. Отметим, что в нашем случае никаких условий согласования данных задачи в точке O(0, 0) не нужно - даже для ее разрешимости в классах Ck (k 1). При этом вне зависимости от k ядро оператора, соответствующего задаче (40, 45) (при подходящей гладкости данных) всегда одномерно, поэтому условие (46) является необходимым и достаточным для однозначного выбора ее решения.
В зз 3.7 Ч 3.8 установлена корректность обобщенной второй краевой задачи для гиперболических уравнений:
Теорема 6. Пусть функции i(x) C[x, 0], i(x) L2(x, 0), i = 1, 2, а функции ij(x) C1[x, 0], i, j = 1, 2, таковы, что a). i2(x) - li(x)i1(x) = 0 для всех x [x, 0], i = 1, 2, 11(0)22(0) l2(0) b)., 12(0)21(0) l1(0) c). 12(x) = 0, 21(x) = 0 для всех x [x, 0].
Тогда для любой f L2(D), для любых i L2(x, 0), i = 1, 2 и для любого числа u0 C в пространстве W2 (D) всегда существует и притом единственное (обобщенное) решение u(x, y) уравнения (40), непрерывный представитель uc(x, y) которого при почти всех x (x, 0) удовлетворяет граничным условиям (45), а также условию lim uc(x, y) = u0 < , (x,y)(0,0) (x,y)D и для него справедлива оценка { } u2 c f2 + 12 + 22 + |u0|2, 1,L2(D) L2(x,0) L2(x,0) W2 (D) где c не зависит от f, i, u0.
Если a, b Cn+1,n+1(D0), c Cn,n(D0), (D0 D), li(x) Cn+2[x, 0], n,n i(x) Cn[x, 0], ij(x) Cn+1[x, 0], i, j = 1, 2, f W2 (D), а функn ции i W2 (x, 0), i = 1, 2, n 1, то решение u(x, y) принадлежит n+1,n+пространству W2 (D) и справедлива оценка { } n,n u2 cn f2 + 12 n + 22 n + |u0|2, n+1,n+W2 (D) W2 (x,0) W2 (x,0) W2 (D) где cn не зависит от f, i, u0.
В з 3.9 проведено обсуждение условий, накладываемых на кривые, определяющие конфигурацию области, а также рассмотрены примеры, показывающие, что эти условия являются необходимыми для корректной разрешимости задачи, в том смысле, что нарушение их приводит к появлению посторонних решений.
Глава 4 диссертации посвящена исследованию спектральных свойств операторов A и B в осесимметричных контейнерах с ребрами с помощью нового метода, основанного на использовании результатов, полученных в главах 1, 2 и 3, и заключающегося, в частности, в выявлении интервалов непрерывного спектра инерционных колебаний. В зз 4.1, 4.2 доказаны:
Теорема 7. Пусть G Ч осесимметричный контейнер, который при вращении вокруг оси O заметает область D = {(r, ) : 0 c < r < d, 0 < 1(r) < 2(r)}, (см. рис. 1а), где 1, 2 - непрерывные кусочно-гладкие на [c, d] функции, и либо 1(c) = 2(c), (c = 0), lim (r) = lim (r), (47) 1 rc+0 rc+либо 1(d) = 2(d), lim (r) = lim (r), (48) 1 rd-0 rd-{ } i(r) - i(r) i(r) - i(r) M := max lim, lim, i = 1, 2 < .
c r d rr+0 rr-r - r r - r ( ) ( ) Тогда на интервалах - 1, 0 0, операторы iA (1+M2) (1+M2) и iB0 имеют чисто непрерывный спектр, т.е. на этих интервалах отсутствуют собственные значения операторов iA и iB0.
Теорема 8. Пусть G Ч осесимметричный контейнер, который при вращении вокруг оси O заметает область D = {(r, ) : c < d, 0 < 1() < r < 2()}, где 1, 2 - непрерывные кусочно-гладкие на [c, d] функции, и либо 1(c) = 2(c), lim () = lim (), (49) 1 c+0 c+либо 1(d) = 2(d), lim () = lim (). (50) 1 d-0 d-{ } i()-i() i()-i() Если M := max lim, lim, i = 1, 2 <, -0 - c t d +0 - ( ) ( ) M то для области G на интервалах -1, - M , (1+M2) (1+M2) операторы iA и iB0 имеют чисто непрерывный спектр, т.е. на этих интервалах отсутствуют собственные значения операторов iA и iB0.
Рис. 1.
Из этих теорем непосредственно следует, что в коническом контейнере (т.е. если осесимметричная область G ограничена коническими поверхностями), возможны такие колебания жидкости, которые являются не почти-периодическими функциями по времени t, причем существование таких режимов колебаний, вопреки предположениям некоторых работ, не зависит от величины угла при ребре. В з 4.2 описан метод, позволяющий устанавливать наличие не почти-периодических режимов колебаний жидкости на основе анализа конфигурации контейнера и во многих тех случаях, когда форма контейнера не удовлетворяет условиям теорем 7, (как, например, на рис. 1б). Применение этого метода позволяет утверждать, что класс таких контейнеров достаточно широк. В параграфе приведены различные конкретные примеры таких контейнеров. Параграф з 4.3 посвящен изучению характера спектра инерционных волн в тороидальных контейнерах. Условие тороидальности контейнера обеспечивает регулярность коэффициентов уравнения (35) и краевых условий (36) и (37) задач IA,k и IB,k и позволяет установить факт полного отсутствия нестационарных осесимметричных инерционных мод у некоторых видов контейнеров, например, таких, сечением полуплоскостью которых является треугольник:
Теорема 9. Если D Ч произвольный треугольник в плоскости Or, отделенный от прямой r = 0, а G Ч тороидальный контейнер, который заметает D при вращении вокруг оси O, то для G на интервалах (-1, 0)(0, 1) спектр операторов iA и B(0,) является чисто непрерывным, т.е. на этих интервалах отсутствуют собственные значения операторов iA и B(0,).
Условие тороидальности позволяет также установить наличие интервалов непрерывного спектра для задачи B не только у осесимметричных колебаний, но и у колебаний, отвечающих всем другим гармоникам по :
Теорема 10. Пусть осесимметричный контейнер G получен при вращении вокруг оси O криволинейного треугольника D, удовлетворяющего условиям теоремы 7 при c > 0. Тогда для любого k = 1, 2,..., любого > 0 точечный спектр оператора iB(k,) на интервалах ( ) ( ) - 1 + , - , - либо пуст, либо состоит из (1+M2) (1+M2) конечного числа собственных значений кратности 1.
При этом ясно, что если мы будем рассматривать области G R3, полученные в результате вращения вокруг оси O криволинейных треугольников D, расположенных в плоскости Or так, как в теореме 8, то то для таких областей G( любого > 0 точечный спектр оператора для ) ( ) M iB(k,) на интервалах -1 + , - M - + , 1 - (1+M2) (1+M2) либо пуст, либо состоит из конечного числа собственных значений кратности 1.
В з 4.4 выявлена сильная неустойчивость характера УблагополучныхФ, т.е. почти-периодических невязких колебаний по отношению к очень малым деформациям границ контейнеров. В частности, приведен пример, показывающий, что к появлению не почти-периодических колебаний может привести сколь угодно малый изъян на экваторе сфероида. Параграф з 4.5 содержит обсуждение результатов и выводов, сделанных ранее в известных работах Р. Бердсли, описывающих экспериментальные исследования поведения вращающейся жидкости в прямом круговом конусе, а также результаты некоторых исследований по устойчивости стационарного вращения твердого тела с заполненной жидкостью полостью, имеющей форму конуса.
В главе 5 диссертации исследуются двумерные аналоги задач A и B. В этом модельном случае обе задачи сводятся к исследованию задачи (11 Ч 13). Кроме того, к задаче (11 Ч 13) сводится изучение внутренних волн в стратифицированной жидкости Буссинеска постоянной частоты Вяйсяля-Брента в УдвумерномФ контейнере: ввиду тесной связи систем уравнений, описывающих поведение такой жидкости с рассматриваемыми уравнениями, для ее функция тока получается такая же краевая задача, как и для вращающейся жидкости.
Несмотря на УдвумерностьФ, сложность исследования таких задач хорошо известна. Подобно задачам A и B, поведение решений задачи (11 Ч 13) полностью изучено лишь в двух случаях: когда D является эллипсом, либо прямоугольником, оси симметрии которых параллельны осям координат. В обоих случаях все решения этой задачи почти периодичны по времени. Для произвольной же области описание поведения решений представляет существенную трудность.
Целью изучения задачи (11 Ч 13) в настоящей диссертации является построение ее точных решений в явном виде с помощью разработанного выше аппарата и исследование их поведения в важном частном случае, когда D имеет вид :
D := {(x, z) | 0 < x <, 0 < z < x}, (0 < +). (51) Как уже было отмечено выше, именно для таких треугольных областей эта задача изучалась во многих работах - как теоретических, так и экспериментальных - в связи с изучением Убереговой проблемыФ. В частности, экспериментально был выявлен прогрессивный характер внутренних волн в таких контейнерах.
Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей, М., Наука, 1986.
Результаты работы переносятся (с соответствующими изменениями) на некоторый достаточно широкий класс областей с угловыми точками. В диссертации же разобран именно такой случай в целях максимального упрощения изложения материала.
Для изучения задачи (11 Ч 13) естественно ввести в рассмотрение сле дующий оператор A, действующий в пространстве (D): на гладких W финитных в D функциях h он определяется как решение задачи 2h (A h) =, A h (D), (52) W zа затем расширяется по непрерывности до ограниченного оператора в (D), самосопряженного относительно скалярного произведения W (f, g)1 = (f, g) dx dz. (53) D Используя оператор A, задачу (11Ч 13) можно переписать в виде абстрактной задачи Коши = -A, (0) = 0, (0) = 1, (54) 1 где t (x, z, t) - функция со значениями в (D), а 0, 1 (D).
W W 2 Известно, что для любой области D спектром оператора A является отрезок [0, 1], однако, как и для операторов A и B, его качественная структура существенно зависит от вида области. Изучение тонкой структуры спектра оператора A для разных областей представляет собой сложную задачу. Большой вклад в исследование различных спектральных свойств оператора A и связанных с ними вопросов поведения решений задачи (11 Ч 13) был сделан в работах Р.А Александряна, Т.И.Зеленяка, Дж.В.Ральстона, М.В. Фокина, А.А. Ляшенко и др. (см., например, обзор в работе ).
В нашем случае, используя разработанный нами выше метод исследования краевых задач для гиперболических уравнений, можно легко установить наличие интервалов чисто непрерывного спектра оператора A для широкого класса Уобластей с угламиФ, а именно:
Теорема 11. Для области D, ( )удовлетворяющей условиям теоремы 7, на интервале 0, спектр оператора A является чисто (1+M2) непрерывным, т.е. на этих интервалах отсутствуют собственные значения оператора A.
Фокин М.В., Матем. тр., 2001, Т. 4, № 2. С. 155 - 206.
Теорема 12. Для области D, ( )удовлетворяющей условиям теоремы 8, Mна интервале , 1 спектр оператора A является чисто (1+M2) непрерывным, т.е. на этих интервалах отсутствуют собственные значения оператора A.
При этом точно так же, как и в трехмерном случае, существует большой класс областей, формально не удовлетворяющих условиям теорем 11 и 12, но таких, что применение указанного метода сразу дает возможность определить наличие интервалов непрерывного спектра.
Из теорем 11 и 12 следует, что в такой области D нестационарные инерционные моды полностью отсутствуют, т.е. спектр A является чисто непрерывным. В области D рассмотрим уравнение 2 1 2 - = 0, a2 =. (55) x2 a2 z2 1 - Пусть (0, (1 + 2)-1). Тогда лучи, выпущенные из концов вертикального отрезка вдоль характеристик уравнения (55) в направлении вершины, ведут себя так, как показано на рис. 2. Пусть 1 L2(0, 1) Ч z B B C B C x A2 AO A Рис. 2.
произвольная функция. Из результатов глав 2 и 3 диссертации следует, что в области D, рассматривая последовательно треугольники ABC, 1 1 BCB, ABA2 и т.д., можно единственным образом построить решение u(x, z; 1; ) уравнения (55), такое, что оно удовлетворяет условиям u u|D = 0, = 1, x AB и принадлежит пространству W2 (D {x > }) для любого малого > 0.
Функция u(x, z; 1; ) является так называемым сингулярным решением (такое название появилось в геофизике и астрофизике в работах, связанных с исследованием эффектов локализации энергии во вращающихся и стратифицированных жидкостях ) : она отличается от настоящей собственной функции оператора A тем, что имеет особенность в вершине треугольника и не принадлежит поэтому пространству (D).
W Пусть теперь ((1 + 2)-1, 1), а 2(x) L2(0, 1/) Ч произвольная функция. Аналогично тому, как для (0, (1 + 2)-1) была построена функция u(x, z; 1; ), построим сингулярное решение v(x, z; 2; ) :
функция v является обобщенным решением уравнения (55), принадлежащим W2 (D {z < 1 - }) для любого 0 < 1 и удовлетворяющим соотношениям v|D = 0 и vz|[OA] = 2. Рассмотрим функцию { u(x, z; 1; ), при 0 < (1 + 2)-1, w(x, z; ) := (56) v(x, z; 2; ), при (1 + 2)-1 < 1.
Теорема 13. Пусть 1 0(x, z) := 0() w0(x, z; ) d, 1(x, z) := 1() w1(x, z; ) d, (57) 0 где w0, w1 построены описанным выше способом по функциям (0) (0) (1) (1) 1, 2, 1, 2 соответственно, а носители гладких функций i лежат в объединении интервалов (0, (1 + 2)-1) и ((1 + 2)-1, 1). Тогда функция (x, z; t) := 1 1 sin( t) = cos( t) 0() w0(x, z; ) d + 1() w1(x, z; ) d, (58) 0 является решением задачи (11 - 13), причем (x, z; t)L (D) при t .
Для сравнения отметим здесь, что в случае выпуклой области D с аналитической границей Т.И. Зеленяком доказано, что если вектор начального возмущения принадлежит некоторому подпространству, где спектр Harlander U., Adv. Geosci., 2008, V. 15, P. 3 - 9.
оператора A абсолютно непрерывен, то решения задачи (11 Ч 13) стремятся в L2(D) к нулю при t . При этом М.В. Фокиным доказано, что если граница области класса C, то у спектра оператора A возможно появление сингулярной компоненты, и если начальные данные принадлежат подпространству, где спектр оператора A сингулярный, то поведение решения (x, z; t) при t по сравнению с почти-периодическими решениями и решениями, отвечающими абсолютно непрерывному спектру, обладает Упромежуточными свойствамиФ.
В з 5.3 проведено исследование полученных решений, установлено, что среди инерционных волн в двумерном треугольном контейнере существуют такие колебания, у которых L2-нормы функции тока убывают с течением времени быстрее любой степени t.
(0) (1) (0) (1) Теорема 14. Пусть 1, 1 C0 [0, 1], 2, 2 C0 [0, 1/], i() C0 [0, 1], носители supp i лежат в объединении интервалов (0, (1 + 2)-1) и ((1+2)-1, 1), i = 0, 1. Тогда для любого n = 1, 2,... существует такая постоянная Kn, не зависящая от t, что при всех t (0, ) справедлива оценка:
Kn (x, z; t)L (D), (59) tn где (x, z; t) определена в (58).
Кроме того, параграф содержит обсуждение результатов и выводов, сделанных ранее в известных работах К. Вунша, описывающих экспериментальные исследования внутренних волн в стратифицированной жидкости Буссинеска постоянной частоты Вяйсяля-Брента в УдвумерномФ контейнере, сечением которого является треугольник.
В з 5.4 установлен прогрессивный характер соответствующих инерционных волн, доказано, что среди инерционных волн в двумерном треугольном контейнере существуют такие УопасныеФ режимы колебаний, вся энергия начального состояния которых со временем оказывается почти полностью сосредоточенной в сколь угодно малых окрестностях ребер, а именно справедлива Теорема 15. Пусть выполнены условия теоремы 14. Тогда для любых > 0 и > 0 существует такое T = T (, ), что для соответствующего решения U = (u, v; w) задачи (8 Ч 10) при всех t > T ( ) E(t, D) := |u|2 + |v|2 + |w|2 dx dz < , (60) D где D := D {x > } {z < 1 - }.
В з 5.5 проведено дальнейшее обсуждение и объяснение результатов известных экспериментальных исследований Р. Бердсли и Р. Картера поведения вращающейся жидкости в прямом круговом конусе.
В Заключении формулируются основные результаты диссертации, выносимые на защиту.
Основные публикации автора по теме диссертации [1] Троицкая С. Д. О спектре одной задачи С.Л.Соболева // Успехи матем. наук. Ч 1992. Ч Т. 47, № 5. Ч С. 191Ц192.
[2] Троицкая С. Д. О не почти периодичности решений задачи С.Л.Соболева в областях с ребрами // Изв. РАН. Сер. матем. Ч 1994. Ч Т. 58, № 4. Ч С. 97Ц124.
[3] Троицкая С. Д. Об одной корректной краевой задаче для гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными // Успехи матем. наук. Ч 1995. Ч Т. 50, № 4. Ч С. 124Ц125.
[4] Троицкая С. Д. О единственности обобщенного решения задачи Дарбу // Успехи матем. наук. Ч 1996. Ч Т. 51, № 5. Ч С. 149Ц150.
[5] Троицкая С. Д. О спектре кориолисова оператора в осесимметричных областях с ребрами // Матем. заметки. Ч 1996. Ч Т. 60, № 2. Ч С. 304Ц309.
[6] Троицкая С. Д. О непрерывном спектре задачи Соболева // Успехи матем. наук. Ч 1998. Ч Т. 53, № 4. Ч С. 158.
[7] Троицкая С. Д. Об одной краевой задаче для гиперболических уравнений // Известия РАН. Сер. матем. Ч 1998. Ч Т. 62, № 2. Ч С. 194Ц 225.
[8] Троицкая С. Д. О первой краевой задаче для гиперболического уравнения на плоскости // Матем. заметки. Ч 1999. Ч Т. 65, № 2. Ч С. 294Ц306.
[9] Троицкая С. Д. Построение точных решений модельной задачи о колебаниях вращающейся жидкости в областях с угловыми точками // Вестник МГУ, Серия 3. Физика. Астрономия. Ч 2010. Ч № 6. Ч С. 14Ц20.
[10] Троицкая С. Д. Свойства решений модельной задачи о колебаниях вращающейся жидкости в областях с угловыми точками // Вестник МГУ, Серия 3. Физика. Астрономия. Ч 2010. Ч № 6. Ч С. 21Ц27.
[11] Troitskaya S. D. Behavior as t of solutions of a problem in mathematical physics // Russ. J. Math. Phys. Ч 2010. Ч Vol. 17, no. 3. Ч Pp. 342Ц362.