Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по физике
На правах рукописи
СМИРНОВ Дмитрий Алексеевич
РЕКОНСТРУКЦИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ И ДИАГНОСТИКА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ
01.04.03 - Радиофизика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Саратов - 2010
Работа выполнена в Саратовском филиале Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН и в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Безручко Борис Петрович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Бутковский Олег Ярославович, доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов Сергей Петрович, доктор физико-математических наук Осипов Григорий Владимирович
Ведущая организация: Институт прикладной физики РАН
Защита диссертации состоится 23 сентября 2010 г. в 1530 на заседании диссертационного совета Д 212.243.01 в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского (410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83).
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.
Автореферат разослан ___ мая 2010 г.
Ученый секретарь диссертационного совета: В.М. Аникин и
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. За почти вековую историю своего развития радиофизика и ее идейная база - теория колебаний - постоянно расширяли круг объектов исследования и приложений своих методов. Если сначала речь шла о способах генерации и преобразования регулярных сигналов для радиосвязи и локации, то в последние десятилетия в центре внимания находятся сложные и хаотические сигналы, нелинейные колебательные процессы в системах различной природы.1 Модели и методы радиофизики активно используются в различных областях - от физики до биологии, медицины и наук о Земле.
Отличительной чертой современного периода исследования колебаний является также цифровая форма представления и обработки информации: сигналы на выходе большинства современных измерительных приборов имеют вид временных рядов - дискретных последовательностей значений наблюдаемых величин. Подходы и идеи теории колебаний, нелинейной динамики, статистической радиофизики оказываются особенно плодотворными при анализе сигналов, демонстрирующих колебательный характер, нерегулярность, признаки нелинейности. В этом круге задач выделяется проблема реконструкции уравнений динамики (построения математической модели) по временным рядам, поскольку при ее успешном решении полученные уравнения могут использоваться для целого ряда приложений - от прогноза2 до диагностики взаимодействия исследуемых систем. Последнее востребовано в физике и химии,3 кардиологии4, нейрофизиологии5, климатологии6. Этими обстоятельствами обусловлена важность и актуальность темы диссертации, что подробнее обосновывается ниже.
Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.
Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.
Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.:
Наука, 1989. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Физматлит, 1997. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Наука, 2001. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания.
М.: Физматлит, 2002. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Физматлит, 2002. Матросов В.В., Шалфеев В.Д. Динамический хаос в фазовых системах. Н. Новгород: изд-во ННГУ, 2007. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Основы теории сложных систем. М.-Ижевск: Институт комп. исследований, 2007.
Farmer J.D., Sidorowich J.J. // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 845-848. Casdagli M. // Physica D. 1989. V. 35. P. 335-356. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. // Радиотехника и электроника. 1995. Т. 40, вып. 12. С. 1866-1873. Мольков Я.И., Фейгин А.М. // Нелинейные волны - 2002 / Ред. А.В. Гапонов-Грехов, В.И. Некоркин. Н. Новгород: ИПФ РАН, 2003. C.
34-53. Макаренко Н.Г. Теория и практика моделирования распределенных динамических систем методами современной математики. Дисс. на соиск. уч. ст. д.т.н. Алма-Ата, 2004.
Miyazaki J., Kinoshita S. // Phys. Rev. Lett. 2006. V. 96, 194101. Tokuda I.T. et al // Phys. Rev.
Lett. 2007. V. 99, 064101.
Rosenblum M.G. et al // Phys. Rev. E, 2002. V. 65, 041909. Prokhorov M.D. et al. // Phys. Rev. E, 2003. V. 68, 041913.
Pereda E. et al. // Progress in Neurobiology, 2005. V. 77, pp. 1-37.
Мохов И.И. и др. // Доклады академии наук, 2006. Т. 409. № 1. С.1-5.
Построение математических моделей по временным рядам получило название лидентификации систем7 в математической статистике и реконструкции динамических систем8 - в нелинейной динамике. Предшественницами современных задач реконструкции были задачи аппроксимации и статистического исследования зависимостей между наблюдаемыми величинами. Долгое время наблюдаемые процессы моделировались с помощью явных функций времени = f (t), аппроксимирующих множество экспериментальных точек на плоскости (t, ), где t - время, - наблюдаемая. Целью моделирования был прогноз будущего развития процесса или сглаживание зашумленных данных. В начале XX века серьезный шаг в развитии методов эмпирического моделирования нерегулярных процессов был сделан в математической статистике, когда было предложено использовать линейные стохастические модели. Этот подход практически не имел альтернатив в течение полувека (1920-е - 1970-е) и нашел многочисленные приложения, особенно для прогноза и автоматического управления.9 Успехи нелинейной динамики, обосновавшей возможность хаотического поведения нелинейных динамических систем малой размерности, и развитие вычислительной техники открыли перспективы успешного эмпирического моделирования сложных процессов на основе нелинейных разностных и дифференциальных уравнений.Обсуждая современное состояние проблемы, воспользуемся сложившейся типовой схемой реконструкции уравнений динамики, которая включает в себя несколько этапов. На первом получают временной ряд; на втором - выбирают структуру модельных уравнений, т.е. все, кроме конкретных значений параметров; на третьем - оценивают параметры (подгонка модели); в итоге проверяют, удовлетворительно ли полученная модель описывает наблюдаемый процесс.
Предложены теоретические идеи, обосновывающие алгоритмы действия на каждом этапе. При выборе структуры уравнений - это теоремы Такенса для восстановления значений вектора состояния и обобщенная аппроксимационная теорема для задания оператора эволюции; при оценке параметров - минимизация различных целевых функций; при проверке адекватности модели - расчет метрических и топологических характеристик аттрактора и т.д. Тем не менее, на практике получить удовлетворительную модель с помощью существующих универсальных подходов зачастую не удается. Одним из широко известных препятствий является так называемое проклятие размерности - трудности аппроксимации и требования к объему и качеству данных, резко возрастающие с ростом размерности вектора состояния модели. Но и кроме этого на каждом Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.
Chaos and Its Reconstructions / Eds. G. Gouesbet, S. Meunier-Guttin-Cluzel, O. Mnard. Nova Science Publishers, New York, 2003. Павлов А.Н., Янсон Н.Б., Анищенко В.С. // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, вып.9. С.1075-1092. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т.8, № 1. С. 29-51.
Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974.
Abarbanel H.D.I. Analysis of observed chaotic data. Springer, New York, 1996. Kantz H., Schreiber T. Nonlinear time series analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
этапе процедуры моделирования остаются нерешенные проблемы, связанные с оценкой параметров хаотических систем, оптимизацией структуры модели, выбором динамических переменных. Сложившаяся ситуация требует развития практически эффективных методов для реконструкции уравнений нелинейных колебательных систем в реалистичных условиях коротких временных рядов, хаотичности наблюдаемых процессов, нестационарности и зашумленности.
Одним из перспективных направлений представляется разработка методов, ориентированных на избранные классы систем и задач, учитывающих особенности этих классов при выборе структуры модели, расширяющих возможности физической интерпретации результатов моделирования.
Среди практических приложений реконструкции в настоящее время выделяется обнаружение и количественная оценка связей (диагностика взаимодействия) между нелинейными системами по данным наблюдений. Эта задача является обратной по отношению к исследованию динамики в ансамбле нелинейных колебательных систем с заданной структурой связей между ними. Во многих работах11 показано, что динамика существенно зависит от структуры связей в ансамбле. В частности, эти связи определяют виды синхронизации, простоту или сложность динамики, образование различных пространственно-временных структур. Поэтому оценки связей дают важную информацию при исследовании различных объектов, а методы получения таких оценок представляют значительный практический интерес. При этом особенное внимание уделяется возможности оценивания по коротким и нестационарным сигналам, широко распространенным в физике, биологии, науках о Земле.
Существуют непосредственные (не опирающиеся на построение моделей) методы выявления зависимостей между процессами, включая корреляционный и спектральный анализ, теоретико-информационные и нелинейнодинамические характеристики. Однако для оценки направленных связей, т.е.
для ответа на вопрос о том, влияет ли один процесс на другой и с какой силой, наиболее подходящим инструментом оказывается реконструкция уравнений. С 1960-х гг. широко применяется линейная оценка причинности по Грейнджеру, основанная на построении линейных авторегрессионных моделей и расчете улучшения прогноза одного процесса при учете в модели данных о другом процессе.12 Она позволяет с надежностью установить факт наличия связей между линейными системами, но сталкивается с трудностями при решении более сложных задач. Во-первых, физическая интерпретация ее количественных характеристик не очевидна: не ясно, в какой степени они отражают Афраймович В.С., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. Горький: ИПФ АН СССР, 1989. Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем.
Саратов: изд-во СГУ, 1999. Mosekilde E., Maistrenko Yu., Postnov D. Chaotic synchronization.
Applications to Living Systems. World Scientific, Singapore, 2002. Boccaletti S., Kurths J., Osipov G. et al. // Phys. Rep. 2002. V.366. P.1. Пиковский А.С., Розенблюм М.Г., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. Osipov G.V., Kurths J., Zhou C. Synchronization in oscillatory networks. Springer, Berlin, 2007.
Granger C.W.J. // Econometrica. 1969. V.37. P.424-438.
влияние связей на те или иные свойства наблюдаемой динамики. Во-вторых, при анализе нелинейных систем линейная оценка причинности по Грейнджеру часто оказывается не пригодной даже для выявления связей. Попытки ее нелинейных обобщений, использующие реконструкцию уравнений в универсальном виде, сталкиваются с упомянутыми выше общими трудностями нелинейного моделирования по временным рядам и, как следствие, с недостоверностью выводов о наличии связей. Более перспективный нелинейный метод оценки связей, предложенный для исследования колебательных систем, допускающих введение фазы, основан на моделировании фазовой динамики.13 Однако его известный вариант ориентирован на случай длинных стационарных сигналов. Для коротких или нестационарных временных рядов получаемые с его помощью результаты не надежны, т.к. не исследованы статистические свойства итоговых оценок связи и не предусмотрена оценка статистической значимости выводов.
Таким образом, для исследования взаимодействий между сложными колебательными процессами различной природы на практике требуются новые подходы, позволяющие получать физически интерпретируемые характеристики связей и применимые для исследования нелинейных систем в реалистичных постановках достаточно коротких временных рядов, нелинейных и запаздывающих связей, многих взаимодействующих систем.
Наконец, следует отметить, что теоретические идеи нелинейной динамики, на которых основаны реконструкция динамических систем, диагностика связей, решение ряда других задач, и соответствующие методы обычно тестируются на эталонных динамических системах в численном эксперименте. При этом количество работ, посвященных их приложениям для анализа реальных процессов относительно мало. Поэтому в последние годы все настойчивее интерес научного сообщества к практическим приложениям идей и методов теории колебаний и нелинейной динамики в биофизике, физиологии, науках о Земле. Таким образом, актуальность темы диссертации связана с необходимостью развития практически эффективных методов для реконструкции уравнений и диагностики взаимодействия нелинейных систем в реалистичных постановках задач, а также их востребованностью при исследовании нелинейных колебательных процессов в различных естественнонаучных областях.
Цель диссертационной работы: развитие методов реконструкции уравнений и диагностики взаимодействия нелинейных колебательных систем в условиях дефицита данных и сложности наблюдаемой динамики и их приложения для анализа колебательных процессов различной природы.
Для достижения цели решались следующие основные задачи.
1. Разработка комплекса методов, повышающих эффективность процедуры реконструкции уравнений динамики по временным рядам, включая оценку параметров хаотических систем при дефиците данных, оптимизацию модельных функций, подбор динамических переменных. Апробация развитых методов при моделировании радиотехнических и биологических систем.
Rosenblum M.G., Pikovsky A.S. // Phys. Rev. E, 2001. V. 64, 045202(R).
2. Разработка и апробация комплекса методов для диагностики взаимодействия в ансамблях нелинейных колебательных систем, ориентированного на получение достоверных выводов о наличии связей и физически интерпретируемых характеристик связи по относительно коротким временным рядам.
3. Приложения развитых методов диагностики взаимодействия для исследования колебательных процессов в реальных системах различной природы, включая радиотехнические, нейрофизиологические и климатические.
На защиту выносятся следующие положения и результаты.
1) Разработанные методы оценки параметров хаотических динамических систем по зашумленным временным рядам дают более точные результаты, чем известные подходы. А именно, модифицированный метод множественной стрельбы, допускающий разрывы фазовой траектории на интервале наблюдения, позволяет эффективно использовать сколь угодно длинные ряды и смягчает требования к стартовым догадкам для искомых параметров. Для одномерных отображений использование обратного отображения при расчете целевой функции дает оценки параметров, среднеквадратическая погрешность которых в типичном случае уменьшается с ростом длины временного ряда N как 1 N в отличие от закона 1 N для подходов, основанных на сегментировании ряда.
2) Разработанный комплекс методов для реконструкции уравнений динамики расширяет возможности моделирования нелинейных колебательных систем по временным рядам. Он включает в себя приемы подбора динамических переменных на основе тестирования аппроксимируемых зависимостей на однозначность и непрерывность, оптимизации модельных уравнений за счет исключения лишних слагаемых, описания внешних воздействий за счет использования многочленов с переменными коэффициентами. По сравнению с известными подходами это позволяет получать модели с меньшим числом динамических переменных, воспроизводящие наблюдаемую динамику в более широкой области фазового пространства.
3) Предложенный метод оценки динамического эффекта воздействий по временным рядам позволяет количественно охарактеризовать, в какой степени различные свойства одного процесса зависят от других наблюдаемых процессов (факторов). Он основан на построении эмпирической модели и анализе ее динамики при искусственных изменениях рассматриваемых факторов. Это дополняет широко используемые характеристики причинности по Грейнджеру, которые позволяют выявить наличие связей между исследуемыми системами, но не дают возможности оценить степень влияния этих связей на динамику.
4) Предложенный модифицированный метод моделирования фазовой динамики, основанный на учете корреляционных свойств фазовых шумов, позволяет с заданной доверительной вероятностью делать выводы о наличии связей между двумя нелинейными колебательными системами по временным рядам длиной от двадцати характерных периодов колебаний. Метод становится более чувствительным к слабой связи, чем известные подходы (оценка частной направленной когерентности и статистика ближайших соседей в пространствах состояний), при уменьшении коэффициентов диффузии фазы исследуемых систем и длины временного ряда.
5) Предложенные обобщения метода моделирования фазовой динамики позволяют выявлять структуру связей в ансамблях колебательных систем, получать физически интерпретируемые характеристики взаимодействий, оценивать связи, характеризующиеся нелинейностью произвольно высокого порядка, получать интервальные оценки времени запаздывания связей.
6) По эмпирическим данным за период 1856 - 2005 гг. выявлено влияние вариаций солнечной и вулканической активности и содержания углекислого газа в атмосфере на вариации глобальной приповерхностной температуры (ГПТ) с помощью оценки причинности по Грейнджеру. Согласно оценке динамического эффекта воздействий рост ГПТ в последние десятилетия объясняется эмпирической моделью только при учете в ней вариаций содержания CO2.
7) По эмпирическим данным за период с 1870 г. до начала XXI в. с помощью метода моделирования фазовой динамики и оценки причинности по Грейнджеру выявлены связи процесса Эль-Ниньо - Южное колебание (ЭНЮК) в Тихом океане с процессами в других регионах. А именно, обнаружены и количественно охарактеризованы воздействие ЭНЮК на Северо-Атлантическое колебание, воздействие экваториальной атлантической моды на ЭНЮК и двунаправленная связь между ЭНЮК и индийским муссоном.
8) При анализе записей локальных потенциалов с глубинных электродов и сигналов акселерометров с помощью метода моделирования фазовой динамики и линейной и нелинейной оценок причинности по Грейнджеру выявлена двунаправленная связь между активностью субталамического ядра (структуры мозга в базальных ганглиях) и колебаниями противоположной руки при паркинсоновском треморе. Влияние колебаний руки на активность субталамического ядра обнаруживается и линейным, и нелинейными методами. Обратное воздействие выявляется только нелинейными методами и характеризуется запаздыванием от 200 до 400 миллисекунд.
Достоверность научных выводов обусловлена теоретическим обоснованием разработанных методов реконструкции уравнений и оценки связей с позиций нелинейной динамики и математической статистики, тестированием методов на эталонных системах в численных экспериментах и установлением эмпирических критериев их применимости, согласованием результатов численных расчетов и физических экспериментов, совпадением ряда результатов с результатами других авторов. При анализе физических, физиологических и климатических процессов достоверность подтверждается также проверкой адекватности эмпирических моделей, выполнением критериев применимости методов, высокой статистической значимостью выводов согласно аналитическим оценкам и воспроизводимостью результатов.
Научная новизна результатов работы состоит в следующем.
Предложен оригинальный метод оценки параметров хаотических одномерных отображений по зашумленным временным рядам. Количественно показано, что модифицированный метод множественной стрельбы позволяет эффективно использовать для оценки параметров сколь угодно длинные хаотические ряды. Предложен и апробирован комплекс методов, повышающих эффективность реконструкции уравнений динамики нелинейных колебательных систем по временным рядам по сравнению с известными подходами.
Предложен метод оценки динамического эффекта воздействий различных факторов на исследуемый процесс, дополняющий широко используемую идею причинности по Грейнджеру. Разработан оригинальный комплекс методов для оценки связей между нелинейными колебательными системами по относительно коротким временным рядам.
На основе анализа направленных связей по эмпирическим данным выявлено и охарактеризовано воздействие различных факторов на вариации глобальной приповерхностной температуры. По эмпирическим данным выявлены связи процесса Эль-Ниньо/Южное колебание с другими крупномасштабными климатическими процессами: Северо-Атлантическим колебанием, экваториальной атлантической модой и индийским муссоном.
Впервые по эмпирическим данным выявлено воздействие субталамического ядра на колебания конечностей у пациентов с паркинсоновским тремором и получена оценка времени запаздывания этого воздействия. Показано, что в начале пик-волнового разряда у крыс линии WAG/Rij связь между ядрами таламуса и лобной корой (двунаправленная и асимметричная) резко усиливается. Показано, что автономные колебания аристы Drosophila melanogaster, вызванные введением диметилсульфоксида, адекватно описываются с помощью уравнений автогенератора с одной степенью свободы, и получены характеристики диссипации и возвращающей силы для этой системы.
Научное и практическое значение результатов работы.
В распространенной на практике ситуации, когда структура модели полностью известна из физических соображений, а все параметры и переменные имеют физический смысл, но не могут быть измерены, предложенные методы позволяют получить оценки параметров хаотических систем и восстановить временные ряды скрытых переменных.
В ситуации, когда структура модельных уравнений отчасти известна, а неизвестны входящие в них функции (характеристики объекта), которые не могут быть непосредственно измерены, предложенный метод оптимизации структуры уравнений позволяет восстановить эти характеристики по временным рядам.
Он апробирован при восстановлении эквивалентных характеристик нелинейных элементов электрических цепей. Получен патент на изобретение.
В ситуации, когда структура модели неизвестна, предложенный комплекс методов для реконструкции уравнений позволяет получать модели, точнее воспроизводящие наблюдаемую динамику в широкой области фазового пространства по сравнению с известными подходами, что имеет универсальное значение для моделирования колебательных процессов различной природы.
Метод оценки динамического эффекта воздействий позволяет установить, в какой степени те или иные свойства исследуемого процесса обусловлены различными факторами, т.е. охарактеризовать важность воздействий и предсказать изменения в наблюдаемой динамике при вариации упомянутых факторов.
Предложенный комплекс методов оценки связей между нелинейными колебательными системами позволяет решать практически важные задачи диагностики структуры связей в ансамбле и оценки нелинейности и запаздывания связей по относительно коротким временным рядам с контролируемой надежностью. Последнее обстоятельство важно при нестационарности сигналов и дефиците данных, что типично в нейрофизиологии и геофизике.
Модели автономных колебаний аристы Drosophila melanogaster и полученные нелинейные характеристики значимы для биофизических исследований.
Поскольку многие свойства спонтанных отоакустических излучений насекомых и позвоночных аналогичны, эти результаты должны быть востребованы при дальнейших исследованиях физики усилителя в улитке уха позвоночных.
Выявленное с помощью реконструкции уравнений деление эпилептического припадка на квазистационарные сегменты может стать основой для дальнейшего нейрофизиологического анализа, направленного на изучение и классификацию таких сегментов при различных формах эпилепсии.
Результаты анализа связей между колебаниями конечностей и активностью подкорковых структур мозга во время спонтанного паркинсоновского тремора важны для дальнейшего развития нейрофизиологических представлений о его механизме. Результаты соответствуют гипотезе о том, что исследуемые структуры мозга играют активную роль в генерации тремора. Однако представления о петле обратной связи, содержащей только линии проведения нервных сигналов в обоих направлениях, по-видимому, следует обновить.
Результаты анализа климатических данных расширяют сведения о характере связей между крупномасштабными климатическими процессами, что важно в теории климата для усовершенствования и исследования моделей земной климатической системы и построения прогнозов.
Разработанные в диссертации методы и программы используются при проведении научных исследований в Институте физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН (г. Москва). Результаты работы внедрены в учебный процесс на факультете нано- и биомедицинских технологий Саратовского госуниверситета. Они составили основу монографий [47,48], содержащих образовательную компоненту, предназначенную для студентов и аспирантов.
ичный вклад соискателя. Соискатель лично сформулировал рассмотренные в диссертации задачи, разработал новые методы реконструкции уравнений и оценки связей и компьютерные программы для их реализации, провел тестирование и сравнительный анализ этих методов, выполнил основную часть работ по анализу экспериментальных данных. Выбор направления исследований и интерпретация ряда результатов осуществлялись совместно с проф. Б.П. Безручко. Некоторые результаты по тестированию методов и анализу экспериментальных данных получены совместно с Т.В. Диканевым, М.Б. Бодровым, И.В.
Сысоевым, А.С. Караваевым, В.С. Власкиным, С.С. Козленко, П.И. Наконечным. Лабораторные радиотехнические макеты для тестирования развитых методов в физическом эксперименте разработаны Е.П. Селезневым и В.И. Пономаренко. Постановки задач анализа нейрофизиологических и климатических данных и интерпретация соответствующих результатов осуществлены совместно со специалистами в этих областях (И.И. Мохов, P. Tass, Е.Ю. Ситникова, E.
van Luijtelaar, R. Stoop, M. Goepfert, J.-L. Perez Velazquez, R. Wennberg).
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации составили содержание докладов на всероссийских школах Нелинейные волны (Нижний Новгород, 2002;
2004; 2006; 2008; 2010); международных школах Хаотические автоколебания и образование структур - ХАОС (Саратов, 1998; 2001; 2004; 2007); международных симпозиумах Topical problems of nonlinear wave physics (Нижний Новгород, 2003; 2005; 2008), Topical problems of Biophotonics (Нижний Новгород, 2007; 2009), Nonlinear Theory and its Applications - NOLTA (Дрезден, Германия, 2000); международных семинарах Nonlinear Dynamics of Electronic Systems - NDES (Борнхольм, Дания, 1999; Делфт, Нидерланды, 2001; Рапперсвиль, Швейцария, 2009), WE Heraues Seminar (Бад Хонеф, Германия, 2001), PASCAL (Лавин, Швейцария, 2005); международных конференциях Нелинейные колебания механических систем (Нижний Новгород, 1999; 2002; 2005; 2008), Фундаментальные проблемы физики (Саратов, 2000), Современные проблемы электроники СВЧ и радиофизики (Саратов, 2001), Synchronization of chaotic and stochastic oscillations (Саратов, 2002), European Congress on Epileptology (Мадрид, Испания, 2002), IEEE on Circuits and Systems for Communications (Москва, 2004), Dynamic Days (Пальма-де-Майорка, Испания, 2004), Идентификация систем и проблемы управления - SICPRO (Москва, 2005), Biomagnetism (Ванкувер, Канада, 2006), Nonlinear Dynamics, Chaos, and Applications (Меллас, Крым, Украина, 2006); научно-практических конференциях Системный анализ в проектировании и управлении (Санкт-Петербург, 2004), Новые технологии в экспериментальной биологии и медицине (Ростов-на-Дону, 2007); научно-технических конференциях Радиотехника и связь (Саратов, 2005), Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии (Суздаль, 2006); всероссийских симпозиумах Медленные колебательные процессы в организме человека. Теоретические и прикладные аспекты нелинейной динамики в физиологии и медицине (Новокузнецк, 2005; 2007); русско-японском семинаре по нейробиологии и нейродинамике Bridging nonlinear dynamics with cellular and molecular neuroscience (Токио, Япония, 2008); всероссийских школах-семинарах Волновые явления в неоднородных средах (Звенигород, 2008; 2009);
научных конференциях Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика (Саратов, 2006; 2007; 2008; 2009) и Состав атмосферы. Атмосферное электричество. Климатические процессы (Борок, 2008); школах-семинарах Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине (Саратов, 2007; 2008; 2009); конкурсах работ молодых ученых им. И.В.
Анисимкина (ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, Москва, 2005; 2006; 2007).
Результаты работы многократно обсуждались на научных семинарах Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Института физики атмосферы им. А.М. Обухова (г. Москва), Института медицины и Института вычислений им. Дж. фон Неймана Исследовательского центра Юлих (Германия), Центра по анализу данных и моделированию Фрайбургского университета (Германия), научной группы нелинейной динамики Потсдамского университета (Германия), факультета эпилептологии Боннского университета (Германия), Института познания и информации Наймегенского университета (Нидерланды), университета Торонто (Канада), кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии Саратовского государственного университета.
Работы были поддержаны грантом Президента РФ для молодых кандидатов наук, Российским фондом фундаментальных исследований, Фондом содействия отечественной науке, Американским фондом гражданских исследований и развития для государств бывшего Советского Союза (CRDF), Немецким научным фондом (DFG), ФЦНТП Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники на 2002-2006 годы, программами РАН и Министерства образования и науки РФ.
По теме диссертации опубликовано 67 работ (без учета тезисов докладов), в том числе монографии, 40 статей в журналах, рекомендованных ВАК, 5 статей в прочих журналах, монографиях и научных сборниках, 1 патент, 15 статей в сборниках трудов научных конференций, 4 учебно-методических пособия.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, девяти содержательных глав, сгруппированных в три части, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 390 страниц, включая 111 рисунков, 5 таблиц и список литературы из 406 наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность рассматриваемых в работе проблем, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, формулируются положения и результаты, выносимые на защиту, раскрывается научная новизна и научно-практическое значение полученных результатов, их достоверность и личный вклад соискателя, кратко описывается содержание работы.
В первой части, состоящей из трех глав, разрабатываются и апробируются методы реконструкции уравнений динамики по временным рядам. Представлена общая схема процедуры реконструкции, дана систематизация постановок задач по объему априорной информации о структуре уравнений, обсуждается проблема возможной некорректности задач. Распределение материала первой части по главам подчиняется принципу последовательного усложнения ситуации, т.е. сокращения объема априорной информации об объекте.
В первой главе рассматривается наиболее простая постановка задачи, когда структура модельных уравнений полностью известна и процедура реконструкции начинается с этапа оценки параметров. В этой постановке временной ряд переменной - набор значений (t1),(t2 )...,(tN ) (t1,t2,...,tN - моменты наблюдений, N - длина ряда) - генерируется дискретным отображением xn+1 = f(xn,c) (1) или системой обыкновенных дифференциальных уравнений dx dt = f(x,c), (2) где x - D-мерный вектор состояния, f - вектор-функция, с - P-мерный вектор параметров, n - дискретное время, t - непрерывное время. Наблюдаемая переменная = h(x) + , где h называют измерительной функцией, а случайную величину - измерительным шумом или шумом наблюдений. Временной ряд получен при значении c = c0, соответствующем хаотическому режиму. Нужно получить статистическую оценку величины c0.
Кроме того, что оценка параметров - неизбежный этап процедуры реконструкции, рассматриваемая постановка имеет самостоятельную ценность и часто возникает на практике. Как правило, при этой постановке все переменные и параметры модели имеют физический смысл, а прямого пути их измерения часто не существует, так что процедура реконструкции выступает как замена измерительного прибора. Несмотря на относительную простоту, даже в этой постановке возникают существенные трудности, связанные с использованием хаотических временных рядов: такие сигналы богаты информацией о системе, так что теоретически можно ожидать получения очень точных оценок параметров,14 но для практического достижения этой цели необходимы соответствующие методы, которые и развиваются в диссертационной работе.
В разделе 1.1 предложен метод, позволяющий повысить точность оценок параметров одномерных отображений xn+1 = f (xn,c). Известные методы в типичном случае дают оценки, среднеквадратическая погрешность которых пропор-1 циональна N. Так, при минимизации суммы квадратов невязок вида N -(n) (n) S(c, x1) = (n+1 - f (x1,c)), где f - n-я итерация отображения, x1 - на n=чальное состояние, невозможно с гарантией найти глобальный минимум целевой функции уже при умеренном N (рис.1,а). Поэтому ряд делят на короткие сегменты и усредняют оценки, полученные на каждом из них, что и дает по-1 грешность порядка N. Это - подход, основанный на сегментировании ряда, или кусочный. В диссертации предложено использовать обратное отображеN --1 (-n) ние f для расчета целевой функции S(c, xN ) = (N -n - f (xN,c)). Из не n=скольких возможных значе-ний f на каждой итерации выбирается то, которое ближе к соответствующему значению наблюдаемой. На примере квадратичного отображения показано, что при таком подходе существенно облегчается поиск глобального минимума цеРис.1. Целевые функции S(c, x1) и S(c, xN ) для левой функции (рис.1,б), а итоговые оценки парамет- квадратичного отображения xn+1 = 1- c0xn при ров имеют погрешность поN = 20, c0 = 1.85, x1 = 0.3: а) используется пря-рядка N. Аналитически мое отображение; б) используется обратное обосновано, что причина отображение. Графики соответствуют фиксиробольшей точности предлованным (истинным) значениям x1 и xN.
женных оценок состоит в -возвратах фазовой траектории в окрестность экстремума f, где функция f особенно чувствительна к x и c. Численные эксперименты показывают, что это имеет место, если уровень шума наблюдений меньше некоторого порогового значения. Дано обоснование и иллюстрация того, что область превосходства предложенного метода расширяется (т.е. он дает более точные оценки, чем кусочный подход, при больших шумах) с ростом числа оцениваемых параметров.
В разделе 1.2 рассматривается более общая и практически важная ситуация, Pisarenko V.F., Sornette D. // Phys. Rev. E. 2004. V. 69. 036122.
когда оценка параметров осложняется тем, что некоторые из компонент вектора x могут быть не наблюдаемыми (скрытые переменные). Существующие методы основаны на минимизации отклонений реализации модели от наблюдаемого ряда. Согласно методу множественной стрельбы15 исходный ряд разбивают на сегменты, начальные состояния модели на каждом сегменте рассматривают как оцениваемые величины, накладывают условия итоговой непрерывности траектории модели на всем интервале наблюдения и решают задачу условной нелинейной минимизации. Метод оказался в ряде случаев полезным на практике, но результаты сильно зависят от удачного выбора стартовых догадок для параметров и скрытых переменных, что в типичном случае невозможно гарантировать.
Эти трудности растут с ростом длины хаотического временного ряда.
В диссертационной работе показано, что модифицированный метод, основанный на отказе от непрерывности траектории модели в некоторых точках интервала наблюдения, существенно повышает практическую эффективность подхода. В численных экспериментах установлено, что оптимальная длина интервалов непрерывности должна быть порядка ляпуновского времени системы.
Введен количественный критерий эффективности методов оценки параметров и на эталонных хаотических системах показано, что модифицированный метод позволяет эффективнее использовать сколь угодно длинные хаотические ряды и существенно смягчает требования к удачности стартовых догадок для искомых параметров, что обеспечивает его более широкую применимость. Схожие результаты независимо получены другими авторами16 в рамках байесовского формализма, адаптированного для оценки параметров хаотических систем.
Во второй главе рассматривается более сложная постановка задачи, когда структура уравнений частично известна, но в них входят неизвестные функции (компоненты функции f), а не только неизвестные параметры. Эти функции часто представляют собой физические характеристики объекта, прямое измерение которых невозможно или затруднено. При реконструкции уравнений оказывается возможным восстановить такие характеристики, что повышает практическую ценность результатов моделирования. Однако неудачный выбор функции f часто ведет к неудовлетворительной модели. Для преодоления этой проблемы в работе предложены и апробированы соответствующие подходы.
В разделе 2.1 предложен метод оптимизации функции f, который можно проиллюстрировать на примере автогенератора с одной степенью свободы:
dx1 dt = x2, (3) dx2 dt = -F1(x1, x2 )x2 + F2 (x1), где x1 - переменная состояния, F2 - возвращающая сила, - F1(x1, x2 )x2 - сила трения, = x1 - наблюдаемая. Пусть известна размерность системы, но неизвестны функции F1 и F2, которые и нужно восстановить по временному ряду. Для этого целесообразно строить модель в соответствующем виде:
Baake E. et al. // Phys. Rev. A. 1992. V. 45. P. 5524-5529.
Mukhin D.N., Feigin A.M., Loskutov E.M., Molkov Ya.I. // Phys. Rev. E, 2006. V. 73. 036211.
Loskutov E.M., Molkov Ya.I., Mukhin D.N., Feigin A.M. // Phys. Rev. E, 2008. V. 77. 066214.
dx1 dt = x2, (4) dx2 dt = f (x1, x2,c), где f - алгебраический многочлен. После оценки параметров и проверки качества модели разложение f (x1, x2,) = - f1(x1, x2,1)x2 + f2 (x1,2 ) дает функции f1(x1,1) и f2(x1,2 ) - аппроксимации характеристик F1 и F2. Однако, существенная трудность состоит в том, что в случае достаточно высокого порядка нелинейности многочлен f может содержать много лишних слагаемых, которых нет в исходной системе (3). Коэффициенты при них оказываются ненулевыми из-за погрешностей оценок. Вклад таких слагаемых может привести к тому, что модель окажется неадекватной, а характеристики будут восстановлены с большими ошибками. В работе предложен метод оптимизации аппроксимирующих модельных функций, основанный на исключении лишних слагаемых, которые выявляются по наименьшей стабильности коэффициентов при реконструкции по различным участкам временного ряда. В численных экспериментах на эталонных автоколебательных системах показано, что это особенно эффективно реализуется при использовании временных рядов, соответствующих переходным процессам. Показано, что предложенный метод позволяет повысить точность воспроизведения наблюдаемой динамики в широкой области фазового пространства по сравнению с известным универсальным подходом.
В разделе 2.2 проведено эмпирическое моделирование динамики важного биологического объекта и восстановление его нелинейных характеристик. Это слуховая система насекомого Drosophila melanogaster, которая отличается высокой чувствительностью и в отношении ряда свойств аналогична слуховой системе позвоночных, хотя гораздо проще устроена и намного доступнее для наблюдений. В работе построены модели колебаний аристы (принимающей части в органе слуха), вызванных введением диметилсульфоксида и происходящих в отсутствие звука, по экспериментальным запиРис.2. Наблюдаемые ряды скорости колебасям скорости колебаний ний аристы: а) 10 минут после введения (рис.2). Экспериментальные ДМСО; б) 20 минут (развитые автоколебаданные предоставлены биофиния); в) 30 минут; г) 34 минуты.
зиками из университетов Цюриха и Кельна (M.C. Goepfert и др.).
В качестве динамических переменных выбирались различные величины:
скорость колебаний, координата (полученная численным интегрированием), ускорение (полученное численным дифференцированием), и т.д. В итоге для режима развитых автоколебаний (рис.2,б) получена адекватная эмпирическая модель в виде (4), где x1 - координата аристы. Восстановлены характеристики наблюдаемой колебательной динамики в виде алгебраических многочленов f1(x1,1) и f2 (x1,2 ) второго и пятого порядка соответственно (рис.3). График многочлена f2 отражает асимметрию наблюдаемых колебаний.
Имеет место комбиРис.3. Восстановленные характеристики для режима нация отрицательного полностью развитых автоколебаний - 20 минут после трения, которое квадвведения ДМСО (единицы измерения x1 - 10-4 мм):
ратично по смещеа) характеристика диссипации (ед. измерения 1/с), нию, и нелинейной б) возвращающая сила (ед. измерения мм/с2).
возвращающей силы, имеющей два экстремума при ненулевых смещениях. Оценка изменения f1 и f2 во времени показывает, что изменяются их коэффициенты и вид графиков.
К концу сеанса измерений (рис.2,г) сила трения и возвращающая сила приближаются практически к нулевым значениям, что соответствует исчезновению режима развитых автоколебаний.
В разделе 2.3 показано, что задача восстановления нелинейных характеристик усложняется, если исследуемые системы неавтономны, т.е. в правую часть уравнений входит явная зависимость от времени. Это связано с необходимостью точной оценки периода внешнего воздействия, для чего предложена соответствующая процедура, которая иллюстрируется на примерах диссипативных нелинейных осцилляторов с различными потенциальными функциями. В разделе 2.4 она апробируется в физическом эксперименте на неавтономных электрических контурах для получения эквивалентных характеристик нелинейных элементов в режимах больших амплитуд и хаоса. Идея состоит в том, чтобы предположить то или иное эквивалентное представление нелинейного элемента, записать структуру модельных уравнений на основе законов Кирхгофа, оценить параметры модели, проверить ее адекватность и получить характеристики как компоненты восстановленных модельных функций. На примерах неавтономных колебательных контуров с переключаемыми конденсаторами и с полупроводниковым диодом показано, что с помощью такого подхода удается получить адекватные модели и восстановить эквивалентные характеристики в режимах больших амплитуд и хаоса, где известные методики измерений, ориентированные на случай малых гармонических колебаний, не применимы.
В третьей главе рассматривается наиболее сложная постановка задачи реконструкции, когда информация о структуре модельных уравнений отсутствует. В разделе 3.1 представлен обзор известных методов, включающий в себя изложение теорем Такенса и методов реконструкции фазовой траектории, способов аппроксимации многомерных функций и других элементов процедуры моделирования. Обсуждаются трудности реконструкции при использовании известных универсальных подходов. В следующих разделах представлены оригинальные методы, развитые для преодоления этих трудностей.
В разделе 3.2 обсуждается проблема подбора динамических переменных модели, которая актуальна из-за наличия большого количества вариантов (метод временных задержек, метод последовательных производных и другие, комбинации различных методов), далеко не все из которых позволяют получить адекватную модель. Предложен метод проверки различных наборов динамических переменных, основанный на тестировании аппроксимируемых модельных зависимостей на однозначность и непрерывность. Его эффективность продемонстрирована в численных (эталонные хаотические системы) и физических (неавтономные электрические цепи с нелинейными элементами в хаотических режимах) экспериментах.
В разделе 3.3 рассматривается проблема выбора аппроксимирующих функций в модельных уравнениях. Показана возможность учета минимальной априорной информации об объекте в стандартной структуре уравнений. А именно, предложен подход для учета сведений о наличии регулярного внешнего воздействия, который состоит во введении явной временной зависимости во все коэффициенты модельного многочлена. В численном эксперименте на эталонных системах показано, что для неавтономных систем такой подход позволяет получать модели с меньшим числом динамических переменных по сравнению со стандартным подходом. Далее целесообразно использовать предложенный во второй главе метод оптимизации модельной функции. Таким образом, комплекс развитых методов расширяет практические возможности реконструкции в ситуациях, где известные универсальные подходы не дают удовлетворительного результата из-за трудностей многомерной аппроксимации.
В разделе 3.4 представлено одно из перспективных приложений реконструкции - исследование динамической нестационарности. Этот термин относится к ситуации, когда на ограниченных интервалах времени исследуемый объект может быть описан как система с постоянными параметрами (определяющими оператор эволюции на данном интервале), но эти параметры могут меняться при переходе от одного интервала времени к другому. Такие изменения часто представляют собой важную информацию о свойствах исследуемого объекта.Характеристики динамической нестационарности основаны на построении моделей по различным участкам временного ряда и выделении динамически стационарных областей, где полученные модели близки друг к другу в некотором количественном смысле. При успешном решении проблемы моделирования такой подход расширяет возможности диагностики режима функционирования колебательных систем. В работе представлены иллюстрации подхода в численном эксперименте и применение для сегментации электроэнцефалограмм (ЭЭГ) пациентов с височной эпилепсией во время эпилептического припадка. Записи ЭЭГ трех пациентов с глубинных электродов сделаны в Западной больнице Торонто и Детской больнице Торонто (J.L. Perez Velazquez, R. Wennberg). С по Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, вып. 3. С. 313-319. Anishchenko V.S., Pavlov A.N. // Phys. Rev. E. 1998. V. 57. P. 2455-2457.
Gribkov D., Gribkova V. // Phys. Rev. E. 2000. V. 61. P. 6538-6545. Фейгин А.М., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Лоскутов Е.М. // Изв. вузов. Радиофизика. 2001. Т. 44, № 5-6. С. 376-399.
мощью построения модельных отображений показано, что припадок делится на последовательные динамически различные интервалы. Это может стать основой для дальнейшего нейрофизиологического анализа.
Во второй части диссертации развиваются методы диагностики взаимодействия между исследуемыми системами на основе реконструкции уравнений по временным рядам. Дана систематизация известных методов оценки зависимостей между процессами по данным наблюдений. Большую группу составляют непосредственные методы, включая кросс-корреляционный и кроссспектральный анализ, функцию взаимной информации, кросскоррелляционный интеграл, характеристики ближайших соседей в фазовых пространствах, и др. Однако эти подходы трудно использовать для выявления направленных связей. Более подходящими для этой цели оказываются лопосредованные методы, основанные на построении эмпирических моделей, что рассматривается в главах 4 - 7.
В четвертой главе показано, что широко используемая идея причинности по Грейнджеру сталкивается с трудностями при анализе нелинейных систем и интерпретации результатов. Предлагается метод, дополняющий ее и дающий количественные характеристики важности связей (раздел 4.1). Рассматриваются возможности оценки направленных связей между нелинейными системами при учете специфической информации об их свойствах (разделы 4.2 и 4.3).
Идея оценки связи по Грейнджеру состоит в следующем. Если учет процесса x2(t) в эмпирической модели процесса x1(t) позволяет улучшить прогноз x1 по сравнению с лавто-прогнозом, основанным только на данных об x1, то делают вывод, что x2 влияет на x1. Для реализации идеи сначала строят индивидуальные авторегрессионные (АР) модели dk xk (t) = Ak,0 + Ak,i xk (t - i) + k (t), k = 1,2, (5) i=где dk - порядок модели, k - нормальный белый шум, интервал выборки равен единице. Эти модели дают ошибки прогноза на один шаг вперед с дисперсиями . Затем строят совместную АР-модель:
k d dk jk xk (t) = ak,0 + a xk (t - i) + b x (t - i - ) +k (t), j,k = 1,2, j k, (6) k,i k,i j jk i=1 i=где - пробные запаздывания, k - нормальный белый шум. Она дает jk 2 ошибки прогноза с дисперсиями 1 2 и для первого и второго процессов, 2 соответственно. Улучшение прогноза процесса xk при учете x - это характеj 2 ристика влияния j k : PI = - . Уровень статистической значимости k k j jk p (вероятность случайной ошибки) вывода о наличии влияния j k рассчитывается аналитически с помощью F-теста. На практике обычно считается удовлетворительным уровень значимости p 0.05.
В разделе 4.1 на математических примерах показано, что полученные количественные характеристики затруднительно интерпретировать физически, хотя они и полезны для установления факта наличия воздействий. Причинность по Грейнджеру напрямую отражает только эффект осведомленности исследователя о другом процессе и лишь косвенно характеризует силу воздействия одного процесса на динамику другого. В диссертационной работе развит дополняющий метод, который позволяет оценить к каким изменениям в динамике одного процесса (в спектре мощности, амплитуде колебаний, характере трендов и т.д.) привели бы изменения в другом процессе. Для оценки влияния j k строится совместная эмпирическая модель (линейная или нелинейная) и по ансамблям ее временных реализаций исследуются изменения в динамике xk при тех или иных искусственных условиях, наложенных на реализации x, рассматj риваемые как воздействие, подающееся на вход модели. Метод обоснован аналитически и проиллюстрирован в численных экспериментах на линейных АР-процессах, включая нестационарные случаи, и хаотических отображениях.
В разделе 4.2 представлен вариант реализации идеи причинности по Грейнджеру в случае нелинейных систем в физическом эксперименте. Рассмотрена задача оценки связи между автогенераторами с квадратичной нелинейностью, где имеется априорная информация о подходящей структуре уравнений. Модель строится в виде дифференциальных уравнений и оценивается уменьшение ошибки аппроксимации при учете данных от второго генератора. Демонстрируется корректное обнаружение направленных связей в различных режимах динамики, включая периодические, квази-периодические и хаотические.
В разделе 4.3 рассматривается ситуация, когда при оценке связей учитываются характерные свойства динамики исследуемых нелинейных процессов, а именно, рассматриваются системы с переключениями. Предложен метод оценки связей, основанный на анализе условных вероятностей переключений, и получена формула для оценки статистической значимости выводов. Эффективность метода показана при анализе эталонных хаотических систем и передемпфированных стохастических бистабильных осцилляторов.
В пятой главе развивается метод диагностики взаимодействия между нелинейными колебательными системами по коротким временным рядам.
В разделе 5.1 описан известный подход, основанный на моделировании фазовой динамики (МФД). Его идея состоит в том, чтобы оценить, насколько сильно будущая эволюция фазы одной системы зависит от текущего значения фазы другой системы. По исходным временным рядам 1(t) и 2(t) рассчитываются временные ряды фаз {1(t1),...,1(tN )} и {2(t1),...,2(tN )}. Предполагается, что фазовая динамика описывается уравнениями фазовых осцилляторов.Эмпирическая модель имеет вид стохастических разностных уравнений:
k (t + ) - k (t) = Fk (k (t), (t),ak ) + k (t), k, j = 1,2, j k, (7) j Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. Berlin: Springer-Verlag, 1984.
где - конечный временной интервал, равный характерному периоду колебаний, k - шумы с нулевым средним, Fk - тригонометрические многочлены:
Fk (k,,ak ) = wk + (k,m,n cos(mk - n ) + k,m,n sin(mk - n )), (8) j j j (m,n)k ak = (wk,{k,m,n, k,m,n}(m,n) ) - вектор коэффициентов, k - набор слагаемых k в многочлене. Многочлены третьего порядка оказываются подходящим вариантом для достаточно широкого круга ситуаций. Величина 2 2 сk = (Fk (k,,ak ) ) d1d2 считается характеристикой воздейст j j 2 0 вия j k. Она выражается через коэффициенты многочленов как сk = (k,m,n n2 2 + k,m,n). По временному ряду получают оценки коэффициен(m,n)k тов k,m,n и k,m,n, по ним - оценки связей сk = (k,m,n 2 n2 2 + k,m,n). Метод не (m,n)k применим для режимов, близких к фазовой синхронизации.
В разделе 5.2 показано аналитически и в численных экспериментах, что при небольшой длине ряда достоверно определить характер связи с помощью описанного метода невозможно, т.к. оценки связей не снабжены доверительными интервалами и оказываются смещенными. На рис.4 представлены результаты оценивания по ансамблю временных рядов (длиной 100 характерных периодов каждый) системы фазовых осцилляторов с двунаправленной связью:
d1 dt = 1.1+ 0.03sin(2 - 1) + 1(t), (9) d2 dt = 0.9 + 0.05sin(1 - 2 ) + 2(t), где k (t) - независимые белые шумы с нулевым средним и автоковариационными функциями k (t)k (t ) = (t - t ). Имеет место смещенность оценок сk при больших уровнях шума.
В разделе 5.3 предложен модифицированный метод, основанный на учете корреляционных Рис.4. Оценки связи по свойств фазовых шумов k, который позволяет реализациям системы (9):
устранить смещение оценок связи и получить средние по ансамблю из доверительные интервалы. Новые оценки имеют 2 1000 реализаций значения вид = k k,m,n k,m,n 2n2 2, где - оценки k 2 (m,n)k 1 (светлые кружки), дисперсий величин k,m,n и k,m,n. 95%-ные до(черные кружки), (), 2 (), значения c1,2, полу- верительные интервалы для искомых величин сk найдены полуэмпирическим путем для случая ченные по длинному ряду многочленов Fk третьего порядка.
(сплошные линии).
В разделе 5.4 исследуются пределы применимости предложенных интервальных оценок связи при изменении свойств шума и фазовой нелинейности путем анализа ансамблей временных реализаций фазовых осцилляторов и осцилляторов Ван-дер-Поля при различных значениях параметров. Показано, что предложенные оценки имеют достаточно широкую область применимости: изменения закона распределения вероятностей k не влияют на применимость метода, допустима значительная фазовая нелинейность осцилляторов.
В разделе 5.5 исследуется применимость предложенных оценок при уменьшении длины ряда, что важно при практическом применении к нестационарным нейрофизиологическим и коротким климатическим сигналам. Проблема состоит в том, что при анализе коротких временных рядов даже для несвязанных осцилляторов (с близкими частотами колебаний) велика вероятность того, что сигналы окажутся почти синхронны и будут получены ошибочные выводы о наличии связи. В численных экспериментах найдено эмпирическое условие применимости метода: он позволяет делать выводы с контролируемой надежностью (вероятность ошибки не более 0.05) по рядам длиной 20 характерных периодов и более, если оценка коэффициента фазовой когерентности не пре вышает некоторого порога c. Найдены значения c в зависимости от длины ряда и расстройки частот осцилляторов.
В шестой главе проводится сравнительный анализ предложенного выше модифицированного метода моделирования фазовой динамики с другими методами оценки связей, которые используются на практике и часто оказываются полезными. Все методы сравниваются по их чувствительности (способности обнаружения существующих слабых связей) в численном эксперименте.
В разделе 6.1 представлено сравнение метода МФД с нелинейным анализом в пространстве состояний (АПС).19 Идея последнего состоит в том, что для связанных систем возврат одной системы в окрестность некоторого (опорного) состояния повышает вероятность одновременного возврата другой системы в окрестность состояния, одновременного с опорным. Количественные характеристики рассчитываются через средние величины расстояний от опорного вектора до его ближайших соседей и до его условных соседей, определяющихся моментами возврата второй системы в окрестность вектора, одновременного с опорным. Метод АПС используют для процессов с различными свойствами, как с явно выделенной основной частотой колебаний, так и с широким спектром, включая и детерминированные хаотические режимы. В диссертации сравнительный анализ проведен на примерах хаотических систем Ресслера и Лоренца и стохастических осцилляторов Ван-дер-Поля при различных уровнях шума.
Проведено исследование ансамблей временных реализаций при различных параметрах и получены следующие выводы. Важным фактором, определяющим превосходство одного из методов, является диффузия фазы. Чем она сильнее, тем менее чувствителен метод МФД. Если она вызвана детерминированной хаотической динамикой, то на чувствительность АПС это не влияет. Если же причина в наличии случайных воздействий, то чувствительность АПС тоже Arnhold J. et al. // Physica D. 1999. V. 134. P. 419-430.
снижается с усилением диффузии фазы, но медленнее, чем для метода МФД.
АПС более требователен к длине ряда и более устойчив к шуму наблюдений.
Важно, что метод МФД имеет преимущество в случае коротких временных рядов, что существенно расширяет область его практической востребованности.
В разделе 6.2 проводится сравнение метода МФД с линейной оценкой частной направленной когерентности (ЧНК).20 Этот линейный метод связан с идеей причинности по Грейнджеру: он основан на построении совместных линейных АР-моделей и расчете характеристик связи в зависимости от частоты. Из линейных методов оценки направленных связей ЧНК наиболее уместна при анализе систем с выраженной основной частотой колебаний. Для расширения круга тестовых объектов сравнительный анализ проводился в работе на нелинейных системах с сильно неоднородной во времени динамикой. Это математические модели нейронов с колебательной активностью. Такой выбор тестовых объектов имеет самостоятельный интерес, поскольку задача выявления связей между нейронами все чаще возникает в нейрофизиологических приложениях.
Проводился анализ ансамблей временных реализаций систем ФитцХью - Нагумо, Морриса - Лекара, Хайндмарша - Розе с различными видами связей (моделирующими электрическую связь или пороговую химическую связь) в различных динамических режимах, включая периодическую генерацию спайков (импульсов), индуцированную шумом генерацию спайков, хаотическую генерацию спайков и берстов (пачек импульсов). При этом рассматривались режимы периодической генерации спайков, возникшие в результате различных бифуркаций состояния равновесия, т.к. известно, что фазовая динамика нейронных осцилляторов зависит от типа пройденной бифуркации. Показано, что методы МФД и ЧНК применимы в широких диапазонах значений параметров.
Однако они имеют разные условия наибольшей чувствительности. МФД имеет существенные преимущества в случае осцилляторов, индивидуально демонстрирующих периодическую (возможно, слабо возмущенную шумом) генерацию спайков. Он эффективен и для анализа режимов генерации берстов, если фаза определена так, что отражает динамику межберстовых интервалов. Трудности возникают в случае индуцированной шумом генерации спайков. Оценка ЧНК не применима в случае детерминированной периодической генерации. При введении слабого шума ЧНК можно использовать, но она менее чувствительна, чем метод МФД. При сильном шуме или хаотической генерации использование ЧНК становится предпочтительным. Метод МФД менее требователен к длине ряда и может быть применен к рядам, содержащим порядка 100 спайков. ЧНК требует гораздо больших объемов данных (около 1000 спайков) для получения надежных результатов, т.к. приходится строить АР-модели высокого порядка, чтобы достаточно точно воспроизвести спектры мощности наблюдаемых нелинейных процессов. Таким образом, метод МФД вновь оказывается более чувствительным при исследовании колебаний со слабой диффузией фазы и, что особенно важно на практике, в случае коротких временных рядов.
Baccala L.A., Sameshima K. // Biological Cybernetics, 2001. V. 84, pp. 463-474.
В седьмой главе метод оценки связей, основанный на моделировании фазовой динамики, обобщается на широкий круг ситуаций: ансамбли осцилляторов, произвольно сложные нелинейные связи, запаздывающие связи.
В разделе 7.1 предложен метод диагностики связей в ансамбле из M осцилляторов ( M > 2 ). Для этого строится модель в виде M фазовых осцилляторов:
k (t + ) - k (t) = Fk (1(t),2(t),...,M (t)) + k (t), k = 1,..., M, (10) где - фиксированный интервал, k - независимые гауссовские шумы с нулевым средним и автокорреляционной функцией, линейно спадающей до нуля на интервале [0, ], Fk - многочлены первого порядка (в случае осцилляторов с близкими частотами такие функции Fk содержат резонансные члены) M Fk (1(t),2 (t),...,M (t)) = k,0 + (k, j cos( - k ) + k, j sin( - k )). (11) j j j=1( jk ) В работе показано, что дисперсия приращения фазы k-го осциллятора M 2 k (t) k (t + ) - k (t) представляет собой сумму = c + , где k jk k j=1( jk ) 2 2 k - дисперсия шума k, а слагаемые c = [k, j + k, j] характеризуют силы jk воздействия j k. Таким образом, дисперсия приращения фазы (интенсивность частотной модуляции) представлена как суммарный эффект воздействия M факторов: собственного шума и M -1 осцилляторов ансамбля. Это можно толковать как физический смысл введенных количественных характеристик связи. Предложены различные варианты нормировки величин cjk, позволяющие выразить силы связи в относительных единицах. Предложены и оценки величин cjk по временным рядам, включая расчет уровня значимости выводов о наличии воздействий j k. Последний основан на доказательстве того факта, 2 что в случае несвязанных осцилляторов оценки = [k, j + k, j] при долж jk ной нормировке распределены по закону с двумя степенями свободы.
Применимость метода показана в численных экспериментах на эталонных системах с различными свойствами: ансамблях фазовых осцилляторов, осцилляторов Ван-дерПоля, хаотических систем Ресслера, цепочки генераторов, описываемой дискретным уравнением Гинзбурга - Ландау. Пример анализа ансамбля из 10 фазовых осцилляторов со случайной структурой связей (рис.5,а) по отдельному временному ряду длиной 300 характерных периодов представлен на рис.5,б,в. На диаграммах квадрат с горизонтальной координатой j и вертикальной координатой k представляет результат оценки воздействия j k.
Диаграммы показывают, что на уровне значимости p = 0.05 выявлены 18 из связей и ошибочно диагностированы 2 связи, что допустимо при данном p (рис.5,б). Значение p = 0.005 обеспечивает отсутствие ложных выводов для данного ряда, но повышает вероятность не выявить существующие связи. Достоверно обнаружить все связи можно при увеличении длины ряда. Как показывает анализ набора временных рядов, эти результаты типичны.
Рис.5. Ансамбль из 10 фазовых осцилляторов: a) структура связей;
б),в) диаграммы результатов оценки связей при p = 0.05 (б) и p = 0.005 (в).
Черный цвет означает существующую связь, выявленную на уровне значимости p; двойная штриховка - существующую связь, не выявленную на уровне p; вертикальная штриховка - отсутствующую связь, ошибочно признанную существующей; белый цвет - отсутствующую связь, не признанную существующей.
По результатам численных экспериментов сформулированы эмпирические критерии применимости метода, связанные с требованиями достаточной длины ряда, зависящей от размера ансамбля, невысокой степени синхронности колебаний, определенных корреляционных свойств фазовых шумов. Показано, что предложенный метод различает прямые и опосредованные связи и может использоваться для анализа сравнительно коротких рядов.
В разделе 7.2 метод обобщен на ситуацию, когда для описания связей требуется использовать многочлены Fk произвольно высокого порядка в уравнениях (10). Предложены теоретические характеристики связи. Для оценки статистической значимости выводов доказано, что оценки этих характеристик в случае несвязанных осцилляторов распределены по закону с числом степеней свободы, зависящим от порядка нелинейности. Эффективность метода продемонстрирована на примерах фазовых осцилляторов, осцилляторов Ван-дерПоля, систем Ресслера и систем Морриса - Лекара с различными видами связи.
В разделе 7.3 метод обобщен на случай запаздывающих связей. На основе известной точечной оценки времени запаздывания21 предложена интервальная оценка, что важно при анализе коротких рядов для получения надежного вывода о наличии ненулевого запаздывания. Идея состоит в том, что в модельные уравнения (10) вводится пробное время запаздывания и строится зависимость среднего квадрата остаточных ошибок модели от . Оценка времени запаздывания соответствует точке минимума этой зависимости с точностью до поправки, введенной в диссертационной работе для устранения смещения оценки.
Cimponeriu L. et al. // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. 046213.
Дисперсия полученной оценки рассчитывается по кривизне зависимости в точке минимума согласно формализму оценок максимального правдоподобия. По значению дисперсии рассчитывается доверительный интервал для искомого значения времени запаздывания. Эффективность метода показана в численных экспериментах на эталонных осцилляторах с запаздывающей связью.
В третьей части диссертации развитые методы диагностики взаимодействия нелинейных систем применяются для решения практически важных задач нейрофизиологии и климатологии.
В восьмой главе представлены нейрофизиологические приложения. В разделе 8.1 исследуется взаимодействие между активностью глубоких структур мозга и колебаниями конечностей при паркинсоновском треморе. Последний представляет собой непроизвольные регулярные колебания конечностей с частотами от 4 до 7 Гц, при которых имеет место синхронная генерация импульсов нейронами субталамического ядра (СТЯ) - структуры мозга в базальных ганглиях - на близкой частоте. Функциональная роль этой синхронизации остается предметом обсуждений. Гипотеза о том, что она вызывает тремор, пока не получила убедительного эмпирического подтверждения. Для выяснения механизмов генерации тремора актуальна задача определения характера связей между активностью подкорковых структур мозга и колебаниями конечностей.
Данные от пациентов с болезнью Паркинсона были получены на факультете стереотаксической и функциональной нейрохирургии Университета Кельна и в Институте нейронауки и биофизики Исследовательского Рис.6. Интервал спонтанного паркинсоновского тремоцентра Юлих (P.
ра: а), б) сигнал акселерометра (начало интервала, обTass и др.). Они щая длина которого 36 с) и одновременная запись ЛП, представляли собой исходные сигналы - серые линии, результаты фильтраодновременные зации в полосе 3Ц7 Гц - сплошные линии; в), г) оценки писи сигналов акспектров мощности обоих сигналов.
селерометров, закрепленных на руках, и локальных потенциалов с глубинных электродов, введенных в СТЯ.
Пример одного из интервалов тремора представлен на рис.6. Фазы сигналов определялись после полосовой фильтрации около частоты тремора (например, 3ЦГц на рис.6). Результаты были устойчивы к вариациям границ полосы фильтрации в широких пределах. Проводился анализ с помощью интервальных оценок связи (раздел 5.3) при учете возможного запаздывания (раздел 7.3). Услоjk вия применимости метода выполнялись. Рис.7 иллюстрирует наличие двунаправленной связи между СТЯ и тремором контралатеральной (противоположной) руки для интервала, показанного на рис.6. Оценка влияния тремора на активность СТЯ имеет максимум при нулевом пробном запаздывании. Как показано при более Рис.7. Оценки связей для интервала на рис.6 в зависиподробном исследомости от пробного запаздывания (жирные линии). Тонвании, запаздывание кие линии - критические значения, соответствующие связи в этом направпоточечному уровню значимости 0.025.
ении может быть и ненулевым, но в любом случае составляет не более 100 мс. Оценка влияния активности мозга на тремор имеет максимальное значение (335мс) = 0.1. За2паздывание в этом направлении значимо отлично от нуля.
Описанные результаты хорошо воспроизводятся для нескольких десятков интервалов тремора от четырех пациентов. Их надежность подтверждается тестами на суррогатных данных22 и на математической модели в виде связанных осцилляторов, воспроизводящих наблюдаемые спектры мощности.
Нелинейная оценка причинности по Грейнджеру выявляет двунаправленную связь, но не дает стабильных оценок запаздывания, что может быть объяснено тем, что метод относится к широкой полосе частот, а не ограничен окрестностью частоты тремора. Линейная оценка достаточно уверенно выявляет влияние тремора на активность СТЯ, но не обнаруживает обратное воздействие.
Полученные результаты подтверждают гипотезу о том, что СТЯ играет активную роль в генерации паркинсоновского тремора. При этом нелинейность и большое запаздывание воздействия СТЯ на колебания руки указывает, что это воздействие является более сложным механизмом, чем простая передача нервных импульсов. Колебательная активность подкорковых структур мозга при паркинсоновском треморе, по-видимому, является процессом, связанным со сложной многоступенчатой обработкой информации. Что касается малого запаздывания связи в обратном направлении, оно соответствует времени прохождения импульсов по нервным волокнам.
В разделе 8.2 исследуется взаимодействие между различными структурами мозга крыс линии WAG/Rij - генетических моделей абсанс-эпилепсии. Абсансэпилепсия рассматривается как неконвульсивная генерализованная эпилепсия с неизвестным происхождением. ЭЭГ у людей во время типичных абсансприпадков характеризуются последовательностями генерализованных пикволновых комплексов, которые начинаются и прекращаются внезапно. Анало T. Schreiber, A. Schmitz, // Physica D, 2000. V. 142, pp. 346-382.
гичные изменения ЭЭГ, которые называются пик-волновыми разрядами (ПВР), наблюдаются у крыс. Известно, что начало ПВР характеризуется увеличением когерентности между определенными областями мозга и предполагается, что цепочка кораЦталамусЦкора - первичный фактор возникновения и распространения ПВР. Однако действительный механизм не известен. В диссертационной работе проводился анализ взаимодействия областей мозга по одновременным записям локальных потенциалов до, во время, и после ПВР.
Экспериментальные данные предоставлены нейрофизиологами из Института высшей нервной деятельности и нейрофизиологии РАН (г. Москва) и Наймегенского университета (Нидерланды). Эксперименты проводились на пяти крысах, для каждой из которых записано несколько десятков ПВР. Записи проводились из лобной коры и вентропостеромедиального ядра таламуса, где эпилептическая активность наиболее устойчива. Оценки причинности по Грейнджеру рассчитывались в скользящих окнах различной длины. Показано, что двунаправленная связь между лобной корой и ядром таламуса присутствует всегда и резко усиливается в самом начале ПВР. При этом количественная характеристика силы воздействия ядра таламуса на лобную кору существенно больше и растет быстрее, чем для обратного воздействия.
В девятой главе представлены климатологические приложения развитых методов. Постановки задач и подбор данных для анализа осуществлены совместно с И.И. Моховым (Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН, Москва). В разделе 9.1 исследуется влияние солнечной и вулканической активности и содержания CO2 в атмосфере на вариации глобальной приповерхностной температуры (ГПТ). Важность задачи связана с тем, что один из ключевых глобальных вопросов об относительной роли различных факторов изменений климата пока не получил убедительного разрешения при анализе данных наблюдений. В диссертационной работе он исследован с использованием оценок причинности по Грейнджеру и динамического эффекта воздействий.
Для анализа использовались данные для среднегодовой ГПТ T (1856Ц20гг.),23 межгодовых вариаций потока солнечного излучения I,24 вулканической активности V,25 содержания углекислого газа в атмосфере n.26 Временные ряды всех четырех процессов представлены на рис.8. ГПТ демонстрирует рост со средней скоростью 0.02 К/год в период 1985Ц2005 гг.
Попарные оценки причинности по Грейнджеру выявили наличие воздействий всех трех факторов на ГПТ на уровне значимости p < 0.05. При этом наиболее сильной оказывается зависимость ГПТ от CO2, что еще более четко проявляется при оценке динамического эффекта воздействий. Это подробнее иллюстрируется ниже на результатах многокомпонентного анализа. Оптимальная четырехкомпонентная модель получена в виде:
Tt = a0 + a1Tt -1 + a4Tt -4 + bI It -1 + bVVt + bnnt -1 +t. (12) Climate Research Unit (University of East Anglia): Lean J. et al. // Solar Physics. 2005. V.230. P.27-53.
Sato M. et al. // J. Geophys. Res. 1993. V.98. P.22987-22994.
Conway J. et al. // J. Geophys. Res. 1994. V.99. P.22831-22855.
Рис.8. Используемые данные: а) ГПТ (отклонение от среднего значения за период 1961Ц1990 гг., К), б) солнечная постоянная (плотность мощности излучения в диапазоне от ИК до УФ, Вт/м2), в) вулканическая активность (оптическая толщина вулканического аэрозоля, безразм.), г) содержание CO2 в атмосфере (ед. измерения ppm - число частиц на миллион).
Реализации этой модели, построенной по данным 1856Ц1985 гг., при реальных условиях (т.е. при подаче ей на вход настоящих сигналов I, n, V) близки к наблюдаемому ряду ГПТ и предсказывают рост ГПТ в 1985Ц2005 гг. со средней скоростью 0.015 К/год (рис.9,а). Если на вход модели подается сигнал I с удаленным трендом или нулевая вулканическая активность, то ничего не меняется в ее поведении, т.е. динамический эффект этих факторов мал. Если же подать на вход модели величину n на уровне 1856 года вместо настоящих данных по CO2, то модель (12) не демонстрирует роста ГПТ (рис.9,б). Таким образом, 75% тренда ГПТ (0.015 К год из 0.02 К год ) объясняется только при учете антропогенного фактора (CO2) в эмпирической модели. Результаты аналогичны при моделировании по данным за период 1856 - L гг. при любых L > 1940.
Рис.9. Исходный ряд ГПТ (жирная линия) и 95%-ный интервал для ансамбля реализаций модели (12), построенной по данным за период 1856-1985 гг.: a) при реальных условиях C0, б) при условии nt = n1856 и прочих, как в C0.
В разделах 9.2, 9.3, 9.4 исследовано взаимодействие между крупномасштабными процессами в азиатско-тихоокеанском регионе и северной и экваториальной Атлантике. А именно, проведен анализ связей процесса Эль-Ниньо/Южное колебание (ЭНЮК), который отражает вариации температуры поверхности океана в экваториальных областях Тихого океана, с другими процессами. В разделе 9.2 выявлено воздействие ЭНЮК на Северо-Атлантическое колебание с помощью метода моделирования фазовой динамики и нелинейной оценки причинности по Грейнджеру по данным за период 1950Ц2004 гг. Это воздействие характеризуется эффектом запаздывания примерно на 2 года и усиливается в течение последних 10 лет. Обратного воздействия не выявлено.
В разделе 9.3 выявлено воздействие экваториальной атлантической моды (аналога ЭНЮК в экваториальной Атлантике) на ЭНЮК по данным за период 1870Ц2006 гг. с помощью линейной и нелинейной оценок причинности по Грейнджеру. Оно характеризуется временем инерционности 2 месяца и усиливается во второй половине ХХ века. Обратного воздействия не выявлено.
В разделе 9.4 выявлена двунаправленная связь ЭНЮК с индийским муссоном по данным за период 1871Ц2006 гг. Получены характеристики ее инерционности и нелинейности. Анализ вариаций оценок связи с использованием скользящего окна показывает, что взаимодействие этих процессов представляет собой чередование различных режимов, включая и интервалы почти однонаправленной связи. Полученные результаты имеют ценность для климатологии, т.к. расширяют сведения о крупномасштабных процессах, которые определяют сильные вариации климата на планете.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ В диссертационной работе развит и апробирован комплекс практически эффективных методов для реконструкции уравнений динамики и диагностики взаимодействия нелинейных колебательных систем по временным рядам в условиях дефицита данных и сложности наблюдаемой динамики:
1. Для оценки параметров хаотических одномерных отображений по временным рядам предложен метод, дающий более точные результаты, чем известные подходы, при умеренном шуме наблюдений. Это преимущество растет с ростом длины ряда.
2. Показано, что при оценке параметров хаотических систем модифицированный метод множественной стрельбы, допускающий разрывы фазовой траектории модели на интервале наблюдения, позволяет использовать сколь угодно длинные временные ряды и смягчает требования к стартовым догадкам для искомых параметров и скрытых переменных.
3. Предложен метод подбора наиболее подходящего для построения модели варианта динамических переменных на основе тестирования аппроксимируемых зависимостей на однозначность и непрерывность.
4. Предложен метод оптимизации модельной функции на основе исключения лишних слагаемых, позволяющий получить модель, воспроизводящую наблюдаемую динамику в более широкой области фазового пространства, чем при использовании известных подходов.
5. Предложен способ описания внешних воздействий в эмпирической модели с помощью многочлена с переменными коэффициентами, что позволяет получать модели неавтономных систем с меньшим числом динамических переменных по сравнению с известными универсальными подходами.
6. Предложен метод оценки динамического эффекта воздействий различных факторов (процессов) на исследуемый процесс по временным рядам.
7. Предложен метод оценки связей между системами с переключениями.
8. Для диагностики связей между автоколебательными системами по коротким временным рядам предложен модифицированный метод моделирования фазовой динамики, основанный на учете корреляционных свойств фазовых шумов для контроля статистической значимости результатов.
9. Показано, что модифицированный метод моделирования фазовой динамики становится более чувствительным к слабой связи, чем другие известные методы, при уменьшении коэффициента диффузии фазы исследуемых процессов и длины временного ряда. Показана его применимость для оценки связей между нейронными осцилляторами.
10. Предложены обобщения метода моделирования фазовой динамики для анализа направленных связей в ансамбле осцилляторов (характеристики связи интерпретируются физически, аналитическая формула для уровня статистической значимости выводов позволяет выявлять структуру связей с заданной надежностью), оценки нелинейных связей, выявления запаздывающих связей и интервальной оценки времени запаздывания.
С помощью развитых методов в диссертационной работе получены новые результаты при исследовании колебательных процессов из области радиотехники, биофизики, нейрофизиологии, климатологии:
11. Показано, что адекватное описание автономных колебаний колебаний аристы Drosophila melanogaster, вызванных введением диметилсульфоксида, достигается с помощью уравнений автогенератора с одной степенью свободы.
Получены характеристики диссипации и возвращающей силы.
12. Предложен способ получения эквивалентных характеристик нелинейных элементов электрических цепей в режимах больших амплитуд и хаоса. Он апробирован в физическом эксперименте и получен патент на изобретение.
13. Проведен анализ динамической нестационарности электроэнцефалограмм пациентов с височной эпилепсией с помощью реконструкции уравнений. Выявлены последовательные динамически стационарные участки во время эпилептического припадка.
14. Проведен анализ взаимодействия между активностью подкорковых структур мозга и колебаниями конечностей у пациентов с паркинсоновским тремором. Выявлена двунаправленная связь между этими процессами. Получены характеристики запаздывания и линейности/нелинейности воздействий.
15. Исследовано взаимодействие между различными областями мозга крыс генетической линии WAG/Rij до, во время, и после пик-волновых разрядов.
Установлено и количественно охарактеризовано усиление взаимодействия между ядрами таламуса и лобной корой в самом начале разряда.
16. Исследовано влияние солнечной и вулканической активности и содержания CO2 в атмосфере на глобальную приповерхностную температуру (ГПТ).
Показано, что при наличии влияния всех факторов рост ГПТ в последние десятилетия может быть объяснен только при учете CO2 в эмпирической модели.
17. Выявлено и количественно охарактеризовано воздействие процесса ЭльНиньо/Южное колебание (ЭНЮК) на Северо-Атлантическое колебание во второй половине ХХ века.
18. Исследована взаимосвязь процессов в экваториальных широтах Тихого и Атлантического океанов с использованием индексов ЭНЮК и экваториальной атлантической моды (ЭАМ) по данным за период 1870Ц2006 гг. Выявлено и количественно охарактеризовано влияние ЭАМ на ЭНЮК.
19. Проведен анализ взаимосвязи ЭНЮК и индийского муссона по данным за период 1871Ц2006 гг. Установлено, что связь является двунаправленной, и получены характеристики ее инерционности, нелинейности, вариаций во времени.
По мнению автора, полученные в диссертационной работе результаты вносят значительный вклад в развитие таких научных дисциплин, как теория колебаний, нелинейная динамика, статистическая радиофизика, и представляют практическую ценность для анализа нелинейных колебательных процессов различной природы по экспериментальным данным.
Список основных работ по теме диссертации Статьи в научных журналах, рекомендованных ВАК 1. Смирнов Д.А. Выявление нелинейных связей между стохастическими осцилляторами по временным рядам // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2010. Т. 18, № 2, с. 16-38.
2. Tass P., Smirnov D., Karavaev A., Barnikol U., Barnikol T., Adamchic I., Hauptmann C., Pawelcyzk N., Maarouf M., Sturm V., Freund H.-J., Bezruchko B. The causal relationship between subcortical local field potential oscillations and parkinsonian resting tremor // J. Neural Engineering, 2010. V. 7, 016009.
3. Smirnov D.A., Bezruchko B.P. Detection of couplings in ensembles of stochastic oscillators // Phys. Rev. E, 2009. V. 79, 046204.
4. Smirnov D.A., Mokhov I.I. From Granger causality to long-term causality: Application to climatic data // Phys. Rev. E, 2009. V. 80, 016208.
5. Мохов И.И., Смирнов Д.А. Эмпирические оценки воздействия естественных и антропогенных факторов на глобальную приповерхностную температуру // Доклады академии наук, 2009. Т. 426, № 5, с. 679-684.
6. Козленко С.С., Мохов И.И., Смирнов Д.А. Анализ причинно-следственных связей между Эль-Ниньо в Тихом океане и его аналогом в экваториальной Атлантике // Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2009. Т. 42, № 6, с. 754-763.
7. Smirnov D., Barnikol U.B., Barnikol T.T., Bezruchko B.P., Hauptmann C., Buehrle C., Maarouf M., Sturm V., Freund H.-J., Tass P.A. The generation of Parkinsonian tremor as revealed by directional coupling analysis // Europhys. Lett., 2008. V. 83, 20003.
8. Смирнов Д.А., Сидак Е.В., Безручко Б.П. Статистические свойства оценки коэффициента фазовой синхронизации // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2008. Т. 16, № 2, с. 109-119.
9. Мохов И.И., Смирнов Д.А. Диагностика причинно-следственной связи солнечной активности и глобальной приповерхностной температуры Земли // Известия РАН.
Физика атмосферы и океана, 2008. Т. 44, № 3, с. 283-293.
10. Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Смирнов Д.А., Тасс П.А.
Моделирование и диагностика взаимодействия нелинейных колебательных систем по хаотическим временным рядам (приложения в нейрофизиологии) // Успехи физических наук, 2008. Т. 178, № 3, с. 323-329.
11. Sitnikova E., Dikanev T., Smirnov D., Bezruchko B., van Luijtelaar G. Granger causality: Cortico-thalamic interdependencies during absence seizures in WAG/Rij rats // J.
Neuroscience Methods, 2008. V. 170, pp. 245-254.
12. Smirnov D., Schelter B., Winterhalder M., Timmer J. Revealing direction of coupling between neuronal oscillators from time series: Phase dynamics modeling versus partial directed coherence // Chaos, 2007. V. 17, 013111.
13. Смирнов Д.А., Карпеев И.А., Безручко Б.П. Выявление связи между осцилляторами по коротким временным рядам: условие применимости метода моделирования фазовой динамики // Письма в ЖТФ, 2007. Т. 33, вып. 4, с. 19-26.
14. Безручко Б.П., Смирнов Д.А., Зборовский А.В., Сидак Е.В., Иванов Р.Н., Беспятов А.Б. Реконструкция по временному ряду и задачи диагностики // Технологии живых систем, 2007. Т.4, вып. 3, с. 49-56.
15. Смирнов Д.А. Диагностика слабой связанности между автоколебательными системами по коротким временным рядам: метод и приложения // Радиотехника и электроника, 2006. Т. 51. № 5, с. 569-579.
16. Смирнов Д.А., Бодров М.Б., Безручко Б.П. Интервальные оценки связанности между системами с переключениями // Письма в ЖТФ, 2006. Т. 32, вып. 18, с. 73-81.
17. Смирнов Д.А., Диканев Т.В., Веннберг Р., Перес Веласкес Х.-Л., Безручко Б.П.
Динамическая нестационарность в электроэнцефалограммах при височной эпилепсии // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника, 2006. № 12, с.26-32.
18. Mokhov I.I., Smirnov D.A. El Nino Southern Oscillation drives North Atlantic Oscillation as revealed with nonlinear techniques from climatic indices // Geophys. Res. Lett., 2006. V. 33, L03708, doi:10.1029/2005GL024557.
19. Stoop R., Kern A., Goepfert M.C., Smirnov D.A., Dikanev T.V., Bezrucko B.P. A generalization of the van-der-Pol oscillator underlies active signal amplification in Drosophila hearing // Eur. Biophys. J., 2006. V. 35, pp. 511-516.
20. Bezruchko B.P., Smirnov D.A., Sysoev I.V. Identification of chaotic systems with hidden variables (modified Bock's algorithm) // Chaos, Solitons, & Fractals, 2006. V. 29, pp. 82-90.
21. Мохов И.И., Смирнов Д.А. Исследование взаимного влияния процессов ЭльНиньо - Южное колебание и Северо-Атлантического и Арктического колебаний нелинейными методами // Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2006. Т. 42. № 5, с. 650-667.
22. Диканев Т.В., Смирнов Д.А., Гепферт М., Керн А., Ступ Р., Безручко Б.П. Эмпирическая автоколебательная модель слуховой системы дрозофилы // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника, 2006. № 12, с.54-60.
23. Smirnov D.A., Andrzejak R.G. Detection of weak directional coupling: phase dynamics approach versus state space approach // Phys. Rev. E, 2005. V.71, 036207.
24. Smirnov D.A., Bodrov M.B., Perez Velazquez J.L., Wennberg R.A., Bezruchko B.P.
Estimation of coupling between oscillators from short time series via phase dynamics modeling: limitations and application to EEG data // Chaos, 2005. V. 15, 024102.
25. Smirnov D.A., Vlaskin V.S., Ponomarenko V.I. Estimation of parameters in onedimensional maps from noisy chaotic time series // Phys. Lett. A, 2005. V. 336, pp. 448458.
26. Смирнов Д.А., Бодров М.Б., Безручко Б.П. Оценка связанности между осцилляторами по временным рядам путем моделирования фазовой динамики: пределы применимости метода // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2004. Т.12, № 6, с.79-92.
27. Смирнов Д.А., Власкин В.С., Пономаренко В.И. Метод оценки параметров одномерных отображений по хаотическим временным рядам // Письма в ЖТФ, 2005. Т.
31, вып. 3, с.18-26.
28. Dikanev T., Smirnov D., Wennberg R., Perez Velazquez J.L., Bezruchko B. EEG nonstationarity during intracranially recorded seizures: statistical and dynamical analysis // Clin. Neurophysiol., 2005. V. 116, pp. 1796-1807.
29. Безручко Б.П., Смирнов Д.А., Сысоев И.В. Реконструкция при наличии скрытых переменных (модифицированный алгоритм Бока) // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2004. Т.12, № 6, с. 93-104.
30. Smirnov D., Bezruchko B. Estimation of interaction strength and direction from short and noisy time series // Phys. Rev. E, 2003. V. 68, 046209.
31. Смирнов Д.А., Сысоев И.В., Селезнев Е.П., Безручко Б.П. Реконструкция моделей неавтономных систем с дискретным спектром воздействия // Письма в ЖТФ, 2003. Т. 29, вып. 19, с.69-76.
32. Диканев Т.В., Смирнов Д.А., Пономаренко В.И., Безручко Б.П. Three subproblems of global model reconstruction from time series and their peculiarities // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2003. Т. 11, № 3, с.165-178.
33. Smirnov D., Bezruchko B., Seleznev Ye. Choice of dynamical variables for global reconstruction of model equations from time series // Phys. Rev. E, 2002. V. 65, 026205.
34. Безручко Б.П., Диканев Т.В., Смирнов Д.А. Тестирование на однозначность и непрерывность при глобальной реконструкции модельных уравнений по временным рядам // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2002. Т. 10, № 4, с. 6981.
35. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Смирнов Д.А., Диканев Т.В., Сысоев И.В., Караваев А.С. Special approaches to global reconstruction of equations from time series // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2002. Т. 10, № 3, с. 137-158.
36. Bezruchko B., Smirnov D. Constructing nonautonomous differential equations from a time series // Phys. Rev. E, 2001. V. 63, 016207.
37. Bezruchko B., Dikanev T., Smirnov D. Role of transient processes for reconstruction of model equations from time series // Phys. Rev. E, 2001. V. 64, 036210.
38. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Метод восстановления уравнений с гармоническим внешним воздействием по временному ряду // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2001. Т. 9, № 2, с. 27-38.
39. Безручко Б.П., Диканев Т.В., Смирнов Д.А. Глобальная реконструкция модельных уравнений по реализации переходного процесса // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2001. Т. 9, № 3, с. 3-14.
40. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов Д.А. Реконструкция уравнений неавтономного нелинейного осциллятора по временному ряду: модели, эксперимент // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 1999. Т. 7, № 1, с. 49-67.
Статьи в прочих журналах, монографиях и научных сборниках 41. Smirnov D.A., Bezruchko B.P. Nonlinear dynamical models from chaotic time series:
methods and applications // in Handbook of Time Series Analysis (eds. M. Winterhalder, B.
Schelter, J. Timmer). Berlin, Wiley-VCH, 2006, pp. 181-212.
42. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Современные проблемы моделирования по временным рядам // Известия Саратовского госуниверситета, серия "физика", 2006. Т. 6, вып. 1, с. 3-27.
43. Безручко Б.П., Бодров М.Б., Диканев Т.В., Караваев А.С., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П., Сысоев И.В., Смирнов Д.А. Некоторые проблемы реконструкции модельных уравнений по временным рядам и пути их решения // Нелинейные волны - 2004 (ред. А.В. Гапонов-Грехов, В.И. Некоркин). ИПФ РАН, Нижний Новгород, 2005. С. 381-397.
44. Пономаренко В.И., Смирнов Д.А., Бодров М.Б., Безручко Б.П. Глобальная реконструкция уравнений по временным рядам в приложении к определению направления связи // Вопросы прикладной физики: Межвузовский научный сборник. Выпуск 11 (ред. Ю.В. Гуляев, Н.И. Синицын, В.М. Аникин). Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2004. С. 192-200.
45. Bezruchko B., Smirnov D., Dikanev T., Sysoev I. Construction of dynamical model equations for nonautonomous systems from time series (peculiarities and special techniques) // in Chaos and its reconstructions (eds. G. Gouesbet, G. Meunier-Guttin-Cluzel, O.
Menard). Nova Science Publishers, 2003. P. 215-243.
Патент 46. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов Д.А., Сысоев И.В. Патент на изобретение № 2265859. МПК 7 G 01 R 27/08, 31/27. Способ определения характеристик нелинейных устройств. Патентообладатель ГОУ ВПО Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского. № 2004115469/28(016733), заявл. 24.05.2004, зарегистрировано в Государственном реестре изобретений Российской Федерации 10.12.2005.
Монографии 47. Bezruchko B.P., Smirnov D.A. Extracting knowledge from time series: An introduction to nonlinear empirical modeling. Springer, Berlin, 2010. in press.
48. Безручко Б.П., Смирнов Д.А., Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2005. 320 с.