Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по биологии
На правах рукописи
КОНОВАЛОВ АЛЕКСАНДР БОРИСОВИЧ
РЕКОНСТРУКЦИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ОПТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ МОЛОЧНОЙ ЖЕЛЕЗЫ МЕТОДОМ СРЕДНИХ ТРАЕКТОРИЙ ФОТОНОВ
03.01.02 - биофизика
Автореферат диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Саратов 2012
Работа выполнена в Федеральном государственном унитарном предприятии УРоссийский Федеральный Ядерный Центр - Всероссийский научноисследовательский институт технической физики имени академика Е.И.
ЗабабахинаФ, Госкорпорация УРосатомФ, г.Снежинск
Научный консультант: кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник В.В. Любимов (ФГУП УНаучно-производственная корпорация - Государственный оптический институт имени С.И. ВавиловаФ, г. С-Петербург)
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Д.А. Зимняков (Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.) доктор физико-математических наук, профессор В.В. Шувалов (Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова)
Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт прикладной физики Российской академии наук, г. Нижний Новгород
Защита диссертации состоится ___2 июля____2012 г. в __15:30_часов на заседании диссертационного совета Д 212.243.05 в Саратовском государственном университете имени Н.Г. Чернышевского (СГУ) по адресу:
410012, г. Саратов, ул. Астраханская, д. 83.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке СГУ.
Автореферат разослан У____Ф апреля 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета В.Л. Дербов д.ф.-м.н., профессор
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В современной практике неинвазивной диагностики рака молочной железы наряду с традиционной рентгеновской маммографией применяются и приобретают все большее значение такие методы медицинской визуализации, как рентгеновская компьютерная томография, методы ультразвуковой визуализации, методы ядерной медицины, интроскопия магнитного резонанса. Однако эффективность перечисленных методов с точки зрения постановки правильного диагноза на ранней стадии развития рака по-прежнему остается относительно невысокой. Одна из причин тому - отсутствие относительно недорогого метода, который бы позволил надежно дифференцировать злокачественную и доброкачественную опухоли на регистрируемых изображениях. Клинические исследования последних лет свидетельствуют, что с высокой степенью вероятности восполнить подобный дефицит сможет бурно развивающаяся в настоящее время диффузионная оптическая томография (ДОТ) сильно рассеивающих (оптически мутных) сред.
Подобно другим видам томографии этот метод визуализации изначально ставит прямую задачу, т.е. задачу прохождения излучения через среду, а затем формулирует и решает обратную задачу, т.е. задачу определения и визуализации пространственных распределений физических параметров среды. Однако в отличие от рентгеновской компьютерной томографии и радиоизотопной эмиссионной томографии ДОТ использует безвредное для человека лазерное излучение видимого и ближнего инфракрасного (ИК) диапазонов в так называемом терапевтическом окне прозрачности (650 - 1200 нм), где биоткани имеют минимальный уровень поглощения. ДОТ позволяет получать изображения с существенно более высоким разрешением по контрасту, чем ультразвуковая эхо-томография. ДОТ использует очень компактное простое оборудование и по сравнению с интроскопией магнитного резонанса является в значительной степени более дешевым методом медицинской визуализации. В отличие от оптической когерентной томографии ДОТ учитывает вклад в регистрируемый сигнал многократно рассеянных фотонов, что позволяет УпросвечиватьФ объемную ткань (10 - 12 см), каковой является молочная железа. Уникальная особенность ДОТ заключается в возможности раздельно восстанавливать пространственные распределения различных оптических параметров (коэффициентов поглощения и рассеяния) на разных длинах волн. Это позволяет визуализировать концентрации гемоглобина крови в окси- и дезокси- состояниях, а следовательно, получить пространственную картину степени оксигенации ткани, а также визуализировать относительный объем крови, концентрации различных цитохромов (билирубин, меланин, цитохромоксидаза), липидов и воды. Именно с визуализацией функциональных параметров связывают потенциальные перспективы ДОТ как метода маммографии, поскольку открывается возможность пространственно локализовать такое явление как васкуляризация раковых тканей, а значит - диагностировать онкологические заболевания молочной железы на сравнительно ранних стадиях их развития. При этом крайне важно, что наряду с получением информации о пространственной структуре опухоли ДОТ позволяет также наблюдать метаболические процессы и функциональное состояние ткани.
Широкому внедрению ДОТ в повседневную практику медицинской диагностики препятствует отсутствие быстродействующих алгоритмов реконструкции, позволяющих восстанавливать диффузионные томограммы в реальном масштабе времени. Проблема состоит в том, что вследствие многократного рассеяния фотоны не имеют регулярных траекторий и распределяются по всему исследуемому объему. В результате каждая точка объема вносит существенный вклад в регистрируемый сигнал, что обуславливает сильную нелинейность прямой и обратной задач ДОТ. С математической точки зрения решение обратной задачи предполагает обращение сложного интегрального уравнения с интегрированием по объему. Поэтому для восстановления пространственных распределений оптических параметров обычно используют многошаговые алгоритмы, основанные на пошаговой линеаризации задачи реконструкции и многократном обращении системы алгебраических уравнений, описывающей дискретную модель. Эти алгоритмы позволяют получить относительно высокое для диффузионных томограмм пространственное разрешение (4-6 мм внутри объекта и 1-3 мм вблизи его границ), но затрачивают десятки минут и часы на получение соответственно 2D и 3D изображений, что является совершенно неприемлемым с точки зрения современных требований медицинской диагностики.
В последние годы В.В. Любимовым и др. разработана теория альтернативного метода ДОТ, основанного на вероятностной интерпретации процесса переноса световой энергии фотонами от источника к приемнику.
Для описания процесса используются статистические характеристики распределений фотонов: средняя траектория фотонов (СТФ), среднеквадратическое отклонение (СКО) фотонов от СТФ и средняя скорость миграции фотонов. Этот метод, названный нами методом средних траекторий фотонов (методом СТФ), основан на пертурбационной модели реконструкции и позволяет перейти от многошаговой процедуры реконструкции к одношаговой. Но главное, согласно методу СТФ обратная задача ДОТ сводится к решению интегрального уравнения с интегрированием не по всему исследуемому объему, а лишь вдоль криволинейной в общем случае СТФ, связывающей точечные источник и приемник. Привязка к условным СТФ позволяет применять для восстановления диффузионных томограмм быстрые алгоритмы абсорбционной томографии и в результате более чем на порядок, по сравнению с многошаговыми алгоритмами, сократить время вычислений.
Настоящая диссертация посвящена теоретическому развитию и алгоритмической реализации метода СТФ, а также исследованию посредством численного эксперимента его эффективности для случая импульсной диффузионной оптической реконструктивной маммографии (или импульсной диффузионной оптической маммотомографии - ИДОМ), т.е.
ДОТ молочной железы, использующей импульсный способ облучения ткани и регистрации время-разрешенного сигнала.
Целями диссертационной работы являются: 1) разработка пространственных оптических моделей тканей молочной железы и моделирование измерительных данных ИДОМ; 2) проведение теоретических исследований, направленных на адаптацию метода СТФ к конкретным геометрическим схемам ИДОМ; 3) разработка и оптимизация реализующих метод СТФ быстродействующих алгоритмов реконструкции; 4) исследование посредством численного эксперимента эффективности метода СТФ для решения практических задач ИДОМ.
Для достижения целей были поставлены и решены следующие задачи.
1. Выполнить анализ оптических свойств тканей молочной железы, а также теоретических моделей распространения в них импульсного излучения терапевтического окна прозрачности.
2. Выбрать наиболее эффективные геометрические схемы ИДОМ и разработать соответствующие им пространственные оптические модели тканей молочной железы.
3. Провести теоретические исследования с целью оптимизации аналитической модели метода СТФ и ее адаптации к конкретно выбранным геометрическим схемам ИДОМ.
4. Алгоритмически и программно реализовать метод СТФ с использованием различных алгебраических и интегральных алгоритмов реконструкции 2D и 3D изображений для выбранных геометрических схем ИДОМ.
5. Оптимизировать алгоритмы реконструкции, а также разработать методы постобработки восстановленных изображений с целью улучшения точности воспроизведения структур на маммотомограммах и компенсации размытия, свойственного методу СТФ.
6. Разработать методы оценки качества изображений с целью сравнения и анализа эффективности разработанных алгоритмов реконструкции и постобработки диффузионных маммотомограмм.
7. Провести численный эксперимент по моделированию измерительных данных ИДОМ и реконструкции пространственных оптических моделей молочной железы, выполнить анализ полученных результатов.
Научная новизна работы определяется комплексом впервые выполненных исследований и впервые полученных результатов. Они сводятся к следующему.
1. Метод СТФ алгоритмически реализован и обоснован посредством проведения численного эксперимента по реконструкции пространственных оптических моделей молочной железы для трех конкретных геометрий ИДОМ.
2. На примере геометрии полубесконечной рассеивающей среды обоснована возможность применения различных граничных условий (Дирихле и Робина) для вычисления статистических характеристик распределений фотонов с использованием диффузионного приближения теории переноса.
3. В случае круговой и конусной геометрий применен быстрый алгоритм обратного проецирования, причем для улучшения пространственного разрешения маммотомограмм использована фильтрация времяразрешенных оптических проекций двойным дифференцированием по методам Вайнберга и Вайнберга-Баттерворта.
4. В случае конусной геометрии для получения 3D изображений оптических неоднородностей предложена и реализована оригинальная схема послойной реконструкции, при которой каждый слой представляет собой объемную тарелкообразную область.
5. В случае геометрии плоского слоя выведены полуаналитические соотношения для статистических характеристик распределений фотонов, использование которых позволило улучшить точность реконструкции неоднородностей, расположенных вблизи границ моделей.
6. При реализации дискретной модели реконструкции в случае прямоугольной геометрии использован оригинальный способ расчета матрицы весовых коэффициентов, основанный на замене бесконечно узких СТФ УбанановиднымиФ полосами конечной ширины.
7. Предложены и обоснованы численным экспериментом оригинальные модификации формул алгебраической реконструкции, позволившие регуляризировать итерационный процесс приближения решения и улучшить качество диффузионных маммотомограмм.
8. Для устранения размытия восстановленных маммотомограмм, обусловленного систематической погрешностью метода и связанного с усреднением изображения по пространственному распределению фотонов, применена пространственно-вариантная модель реставрации.
Научная и практическая значимость работы состоит в обосновании эффективности метода СТФ, как метода реконструкции диффузионных оптических маммотомограмм, работающего в реальном масштабе времени.
Можно ожидать, что проведенные исследования внесут весомый вклад в развитие методологии и алгоритмической базы ДОТ, а также расширят возможности методов маммографии в целом, позволят повысить их клиническую эффективность при диагностике онкологических заболеваний.
Достоверность представленных научных результатов подтверждается хорошим согласованием друг с другом результатов, полученных с использованием различных алгоритмов, а также согласованием с результатами, полученными другими исследователями. Все разработанные в диссертации модели и алгоритмы проверяются и подтверждаются численным экспериментом. Для решения уравнений в частных производных, систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и других расчетов используются стандартные, проверенные методы и алгоритмы.
Научные результаты и положения, выносимые на защиту:
1. Метод СТФ, реализованный для случая ИДОМ и включающий обращение фундаментального уравнения метода СТФ и пространственно-вариантную реставрацию восстановленных маммотомограмм, позволяет воспроизводить пространственные распределения оптических параметров молочной железы с точностью незначительно (20Е30%, если оценивать пространственное разрешение) уступающей нелинейным методам ДОТ при существенном (более порядка) выигрыше во времени получения изображений.
2. Статистические характеристики распределений фотонов, необходимые для обращения фундаментального уравнения метода СТФ, могут быть рассчитаны с помощью диффузионного приближения теории переноса с использованием граничных условий, как Робина, так и Дирихле, которые дают близкие друг к другу результаты. В случае граничного условия Дирихле и полубесконечной рассеивающей среды для статистических характеристик выводятся точные аналитические выражения.
3. Предложенная для случая прямоугольной геометрии модернизация алгоритма расчета матрицы весовых коэффициентов, а также формул итерационной алгебраической реконструкции позволяют повысить точность воспроизведения структур на маммотомограммах: на 20% улучшить пространственное разрешение, а также компенсировать ложное смещение структур, расположенных вблизи границ.
4. Предложенная и программно реализованная пространственно-вариантная модель реставрации маммотомограмм позволяет не только получить более чем 15%-ый выигрыш в пространственном разрешении, но и во многом компенсировать искажения формы и амплитуды воспроизводимых структур, обусловленные усреднением реконструированного изображения по пространственному распределению фотонов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих международных научных конференциях и семинарах: European Conference on Biomedical Optics УECBO 2001Ф (Мюнхен, Германия, 2001), 5th International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics & Biophysics УSaratov Fall Meeting 2001Ф (Саратов, Россия, 2001), European Workshop УBiophotonics 2002Ф (Ираклио, Греция, 2002), 7th International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics & Biophysics УSaratov Fall Meeting 2003Ф (Саратов, Россия, 2003), International Conference on Coherent and Nonlinear Optics УICONO 2005Ф (С-Петербург, Россия, 2005), European Conference on Biomedical Optics УECBO 2005Ф (Мюнхен, Германия, 2005), 12th International Conference on Laser Optics УLaser Optics 2006Ф (С-Петербург, Россия, 2006), International Conference on Laser Applications in Life Science УLALS 2007Ф (Москва, Россия, 2007), 3rd International Symposium on Communications, Control and Signal Processing УISCCSP 2008Ф (Сент-Джулианс, Мальта, 2008), 13th International Conference on Laser Optics УLaser Optics 2008Ф (С-Петербург, Россия, 2008), 2nd International Symposium УTopical Problems of Biophotonics - TPB 2009Ф (Нижний Новгород - Самара - Нижний Новгород, Россия, 2009), 2nd RussianChinese Seminar on Optics and Electronics for Young Scientists of State Corporation УRosatomФ and Chinese Academy of Engineering Physics (Снежинск, Россия, 2010), European Conferences on Biomedical Optics УECBO 2011Ф (Мюнхен, Германия, 2011).
Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 23 работы (главы в коллективных монографиях, 6 статей в рецензируемых журналах, входящих в перечень рекомендованных ВАК для публикации основных результатов, и 15 статей в сборниках трудов научных конференций). Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, основной части, содержащей 4 главы, заключения, списка цитируемой литературы из 434 наименований и 3-х приложений. Общий объем диссертации составляет 196 страниц, включая 10 таблиц и 63 рисунка.
ичный вклад автора состоит в участии во всем комплексе работ, связанных с теоретическими исследованиями, алгоритмической и программной реализацией метода СТФ для случая ИДОМ, постановкой и проведением численного эксперимента по реконструкции оптических неоднородностей, имитирующих рак молочной железы, обработкой, анализом и обсуждением полученных результатов.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность, определены цели и задачи исследований, отмечена научная новизна и практическая значимость работы, конкретизирован личный вклад автора, сформулированы положения, выносимые на защиту, представлен перечень работ, опубликованных по теме диссертации, приведена аннотация работы по разделам.
Первая глава является обзорной, в ней дано введение в предметную область исследований. В разделе 1.1 рассмотрены современные коммерческие методы маммографии. На основе анализа по данным литературных источников клинической эффективности этих методов обоснована необходимость разработки такого альтернативного метода маммографии, который бы позволил надежно дифференцировать злокачественную и доброкачественную патологии на изображениях. Коротко представлены развивающиеся методы маммографии, имеющие перспективу в указанном смысле. В разделах 1.2 и 1.3 рассмотрены основы оптики тканей молочной железы и дан краткий обзор методов измерения и визуализации оптических параметров. Отмечены основные факторы, определяющие потенциальную перспективу оптических методов исследования рака груди в целом и метода диффузионной оптической маммотомографии в частности. В разделе 1.изложены основы ДОТ: представлены обзор состояния разработки аппаратуры импульсной ДОТ, а также обзор методов реконструкции диффузионных томограмм. Сформулированы и кратко обсуждены основные проблемы создания быстродействующих алгоритмов решения обратной задачи ДОТ. В разделе 1.5 дано введение в метод СТФ как метод визуализации оптических неоднородностей ткани в реальном масштабе времени. В разделе 1.6 сформулированы выводы первой главы.
Вторая глава посвящена разработке пространственных оптических моделей молочной железы и моделированию измерительных данных в ИДОМ.
В разделах 2.1 и 2.2 на основе анализа литературных источников и потенциальных возможностей метода СТФ сделан выбор номенклатуры компонентов моделей груди, значений оптических параметров компонентов, а также практически эффективных геометрий ИДОМ. Обсуждено, что приближенный метод СТФ, потенциально уступающий в точности реконструкции многошаговым нелинейным методам ДОТ, не в состоянии воспроизводить УтонкуюФ высокочастотную структуру молочной железы.
Его предназначение - локализация и определение размеров и формы раковой опухоли, такой как карцинома протоков или лобулярная карцинома, а также оценка ее оптических и функциональных параметров на стадии, когда уже происходят изменения в структуре системы кровеносных сосудов ткани.
Поэтому при разработке пространственных оптических моделей груди целесообразно ограничиться тремя структурными компонентами, имитирующими жировую ткань, фиброзно-железистый компонент и раковую опухоль соответственно. Выбор значений оптических параметров (коэффициента поглощения a и транспортного коэффициента рассеяния s ) компонентов сделан на основании статистического анализа опубликованных результатов измерений in vivo в диапазоне длин волн 700 Ц900 нм. При этом учитывались результаты измерений средних значений оптических параметров груди методом спектроскопии ближнего ИК излучения, а также результаты ДОТ-измерений с применением методов локализации неоднородностей и нелинейных методов ДОТ. В результате статистической обработки данных получено a = (0.050.02)см-1, s = (9.51.5)см-1- для здоровой ткани груди и a = (0.0960.031)см-1, s = (12.9 2.7)см-1- для раковой опухоли (карциномы). При этом оказалось, что наиболее вероятные значения отношений оптических параметров раковой опухоли и здоровой ткани груди лежат в пределах 1.5 - 2.0 - в случае коэффициента поглощения и 1.0 -1.35 - в случае транспортного коэффициента рассеяния. В результате анализа литературных данных для коэффициента поглощения имитаторов жировой ткани, фиброзно-железистого компонента и раковой опухоли выбраны значения 0.05, 0.06 и 0.075 см-1 соответственно. Транспортный коэффициент рассеяния положен равным 10 см-1 у всех трех структурных компонентов моделей. Также проанализированы основные геометрии, используемые для регистрации измерительных данных в оптической маммотомографии. В результате анализа решено исследовать три, наиболее эффективные из них: круговую геометрию, геометрию плоского слоя (В работе рассматривается ее 2D аналог - прямоугольная геометрия) и конусную геометрию.
Рис. 1. Исследуемые геометрии ИДОМ (верхняя строка) и примеры соответствующих им пространственных моделей молочной железы (нижняя строка).
На рис. 1 эти геометрии представлены визуально (верхняя строка изображений). Нижняя строка демонстрирует примеры соответствующих геометриям пространственных моделей молочной железы. Все представленные на рис. 1 модели содержат неоднородности, имитирующие рак, а модель прямоугольной формы (среднее изображение нижней строки) - еще и УзигзагообразныеФ структуры, имитирующие фиброзно-железистую ткань молочной железы. В целом для оценки эффективности метода СТФ предложена достаточно широкая номенклатура моделей. Например, круглые модели с одной неоднородностью предназначены для качественной оценки точности воспроизведения структур, удаленных на различные расстояния от границы среды; а модели с двумя неоднородностями - для количественной оценки предела пространственного разрешения. Для синтеза пространственной структуры компонента, моделирующего фиброзножелезистую ткань груди, предложен оригинальный метод, основанный на использовании теории клеточных автоматов. Диаметр круглых моделей выбран равным 6.8 см. Прямоугольные модели имеют размеры 118 см2. 3D модель, выполнена в виде усеченного конуса с высотой 7 см и диаметрами оснований - 12 и 6 см. Линейные размеры неоднородностей, моделирующих рак, изменяются в пределах от 0.6 до 2.0 см.
В разделе 2.3 представлен обзор теоретических моделей распространения импульсного оптического излучения в мутных средах и обоснован выбор диффузионного приближения теории переноса для моделирования измерительных данных ИДОМ. Рассмотрены и проанализированы некоторые аналитические решения уравнения диффузии для граничных условий Дирихле и Робина, а также дан обзор численных методов расчета оптического сигнала. В разделе 2.4 введены в рассмотрение измерительные данные ИДОМ, используемые далее в численном эксперименте, а именно - время-разрешенные оптические проекции (ВРОП):
g(rs,rd,td ) =-log (rs,rd,td ) / 0(rs,rd,td ), (1) [ ] где (rs,rd,td ) и 0(rs,rd,td ) - скалярные потоки фотонов от помещенного в точку rs источника, соответственно измеренный для исследуемого объекта с неоднородностями и вычисленный для однородного УреферентногоФ объекта в точке приемника rd для времени задержки td. Особенностью измерительных данных (1) является то, что они определяются для одногоединственного времени задержки приемника. При этом рабочие времена, позволяющие получить наименьшее размытие структур, соответствуют переднему фронту временной функции рассеяния точки и для моделей рис. лежат в диапазоне 600Е1600 пс. Обсуждены проблемы использования приложения MATLAB PDE Toolbox, возникшие при обеспечении требуемой точности МКЭ-расчетов ВРОП. Исследована чувствительность ВРОП к шуму. Показано, что в условиях эксперимента, когда временная функция рассеяния точки регистрируется в режиме счета фотонов, шум ВРОП не превышает 3.5%. Примеры зашумленных таким шумом измерительных данных, рассчитанных для круглой и прямоугольной моделей рис. 1, приведены на рис. 2 в виде синограмм (2D полутоновых изображений, оси координат которых проградуированы в индексах источников и приемников соответственно). В разделе 2.5 сформулированы выводы второй главы.
30 25 20 15 10 5 10 20 30 10 20 индексы источников индексы источников Рис. 2. Синограммы зашумленных ВРОП, рассчитанных для круглой и прямоугольной моделей рис.1.
В третьей главе изложены теоретические основы метода СТФ. В разделе 3.представлена вероятностная модель миграции фотонов в оптически мутной среде. В разделе 3.2 выведены следующие соотношения, описывающие пертурбационную модель реконструкции в случае, когда в качестве измерительных данных используются ВРОП:
g(rs,rd,td ) = (rs,rd,td,r)a(r) +WD(rs,rd,td,r) D(r) d3r, (2) Wa V td W (rs,rd,td,r) = c P r,t | (rs,0) (rd,td ) dt, (3) [] a индексы приемников индексы приемников td 1 WD(rs,rd,td,r) =- P r,t | (rs,0) (rd,td ) + log0(r,t) dt, (4) [] ca t D где a(r) и D(r) - локальные возмущения соответственно коэффициентов поглощения a и диффузии D, c - скорость света в среде, P r,t | (rs,0) (rd,td ) - плотность условной вероятности того, что фотон, [] мигрирующий из пространственно-временной точки источника (rs,0) в пространственно-временную точку приемника (rd,td ), в момент времени t окажется в точке r исследуемого объекта объема V, 0(r,t) - решение уравнения диффузии для однородной среды. На основании этих соотношений выведено фундаментальное уравнение метода СТФ:
F(r,t) g(rs,rd,td ) =- dl, (5) L v(l) F(r,t) = F(r,t )P r,t | (rs,0) (r,t) d3r, (6) [ ] V где F(r,t) - функция распределения оптических неоднородностей (в случае поглощающих неоднородностей F(r,t) = -a(r)), L - СТФ, соединяющая точки rs и rd, v(l) - относительная средняя скорость миграции фотонов вдоль СТФ. Выполнен качественный анализ уравнения (5) и отмечено, что при его обращении относительно функции F(r,t) структуры на диффузионных томограммах будут восстанавливаться размытыми вследствие воздействия усредняющего оператора < >. Сделано предположение о необходимости дополнительной постобработки томограмм.
В разделе 3.3 рассмотрены различные подходы к расчету статистических характеристик распределений фотонов: численный, аналитический и аппроксимация простыми функциями. Численный подход используется для сравнения граничных условий Дирихле и Робина. На примере полубесконечной рассеивающей среды показано, что с точки зрения вычисления статистических характеристик оба граничных условия дают очень близкие результаты. При этом СКО, вычисленные с использованием названных граничных условий, фактически полностью совпадают друг с другом. Несовпадение же средних траекторий становиться визуально заметным только при больших временах задержки и в случае td < 3000пс не превосходит 5% от величины СКО. Подобный вывод позволяет в дальнейшем для вычисления статистических характеристик распределений фотонов использовать более простое граничное условие Дирихле. Показано, что в случае полубесконечной среды для статистических характеристик могут быть получены точные аналитические соотношения. Пусть мгновенный точечный источник располагается в полубесконечной среде z 0 в точке (0,0, zs), причем zs 1/ s, а приемник - на границе среды в точке (xd,0,0). Тогда СТФ можно описать следующими параметрическими соотношениями, представляющими собой выражения для координат центра масс распределения P r,t | (rs,0) (rd,td ) :
[] xd X (t) = t, Y (t) = 0, Z(t) = td (7) 1/ 2 1/ 2Dct + zs(td - t) erf zs (td - t) 4Dct(td - t) exp zs (td - t) + zs td 4Dcttd td 4Dcttd , где efr ( ) = exp(- )d - интеграл вероятности. Соответственно для составляющих средней скорости миграции фотонов справедливо xd dX (t) / dt =, dY (t) / dt = 0, dZ(t) / dt = td (8) 1/ 2 1/ 2Dc - zs erf zs (td - t) 4Dct exp zs (td - t) zs td 4Dcttd - td (td - t) 4Dcttd .
Для СКО получено следующее выражение 1/ 10Dct(td - t) zs (td - t)2 (t) = + - Z (t). (9) tdtd Показано, что соотношения (7)-(9) могут быть эффективно использованы в случае геометрии плоского слоя. Обсуждено, что в случае круговой и конусной геометрий, когда вывод точных аналитических соотношений затруднен, вместо трудоемких численных расчетов целесообразно использовать аппроксимацию статистических характеристик простыми функциями. Коротко рассмотрены основные принципы приближения СТФ и относительной средней скорости миграции фотонов трехзвенной ломанной.
В разделе 3.4 изложены теоретические основы раздельной реконструкции пространственных распределений поглощающих и рассеивающих неоднородностей, что имеет принципиальное значение для визуализации распределений функциональных параметров молочной железы, таких как степень оксигенации ткани и относительный объем крови. В разделе 3.сформулированы выводы третьей главы.
Четвертая глава посвящена собственно решению обратной задачи ИДОМ с помощью метода СТФ, т.е. реконструкции и реставрации диффузионных маммотомограмм. Под реконструкцией понимается обращение фундаментального уравнения метода СТФ относительно усредненной функции распределения оптических неоднородностей. Реставрация же применяется как метод постобработки маммотомограмм для компенсации размытия, вызванного усреднением.
В разделах 4.1 и 4.2 рассмотрены два основных подхода к обращению фундаментального уравнения метода СТФ: алгебраический и интегральный.
В основе алгебраического подхода - построение дискретной модели реконструкции и сведение обратной задачи к обращению СЛАУ. Подход реализован следующими алгоритмами:
Х алгоритм неотрицательных наименьших квадратов (ННК), Х алгоритм наименьших квадратов с QR-факторизацией (НКФ), Х алгоритм сопряженных градиентов для решения задачи наименьших квадратов (СГНК), Х аддитивный алгебраический алгоритм реконструкции (Р), Х мультипликативный алгебраический алгоритм реконструкции (МААР).
Интегральный подход предполагает использование уже готовых аналитических решений интегрального уравнения, описывающего задачу реконструкции, например, инверсии Радона. Поскольку это решение справедливо только для случая прямолинейных траекторий, то интегральный подход в принципе позволяет восстановить только внутреннюю часть рассеивающего объекта, где СТФ близки к прямым линиям. Сколько-нибудь точно реконструировать же структуры, примыкающие или близко расположенные к границам объекта, не представляется возможным. В диссертации интегральный подход реализован алгоритмами:
Х алгоритм обратного проецирования с фильтрацией ВРОП сверткой (ОП-ФС), Х алгоритм обратного проецирования с фильтрацией ВРОП двойным дифференцированием (ОП-ФДД), Х алгоритм обратного проецирования с фильтрацией ВРОП по ВайнбергуБаттерворту (ОП-ФВБ).
Фильтрация двойным дифференцированием (по Вайнбергу) призвана усилить высокочастотные составляющие структур и, следовательно, улучшить пространственное разрешение УразмытыхФ вследствие воздействия оператора < > диффузионных томограмм. Идея комбинированной фильтрации по Вайнбергу-Баттерворту является оригинальной и имеет целью компенсацию шумов, свойственных изображениям Вайнберга.
На рис. 3 в качестве примера показаны результаты реконструкции круглой модели с неоднородностью, расположенной вблизи границы, полученные с использованием алгебраического (НКФ) и интегрального (ОП-ФДД) подходов. Из рис. 3 видно, что во втором случае структура корректно не воспроизводится.
В случае конусной геометрии для получения 3D изображений методом СТФ предложена и реализована оригинальная схема послойной реконструкции, при которой каждый слой представляет собой объемную тарелкообразную область. Каждый слой восстанавливается отдельно с учетом только УсвоихФ связей между источниками и приемниками. При визуализации между слоями выполняется интерполяция сплайнами. Рис. представляет результаты реконструкции 3D модели, полученные с использованием алгоритмов МААР и ОП-ФВБ.
0.012 см-1 0.028 см--0.002 см-1 -0.01 см-Рис. 3. Результаты реконструкции круглой модели с неоднородностью, расположенной на расстоянии 3 мм от границы, полученные с помощью алгоритмов: НКФ (слева) и ОП-ФДД (справа). Здесь и далее оси координат проградуированы в сантиметрах, а визуализируется локальное возмущение коэффициента поглощения.
0.01 см-0.013 см--0.004 см-Рис. 4. Результаты реконструкции 3D модели, полученные с помощью алгоритмов: МААР (верхняя строка изображений) и ОП-ФВБ (нижняя строка).
Из рис. 4 видно, что в случае, когда неоднородности достаточно удалены от границ, интегральный подход (ОП-ФВБ) дает приемлемые результаты.
При реализации алгебраического подхода в случае реконструкции прямоугольных моделей молочной железы пришлось столкнуться с проблемой плохой сходимости алгоритмов наименьших квадратов. Поэтому основное внимание уделено более устойчивым алгебраическим алгоритмам (Р и МААР). Предложены следующие модификации, позволяющие регуляризировать итерационный процесс реконструкции.
Х Вместо кусочно-линейной аппроксимации статистических характеристик распределений фотонов использованы полуаналитические соотношения, основанные на выражениях (7)-(9).
Х Вместо бесконечно узких СТФ при вычислении матрицы весовых коэффициентов СЛАУ рассмотрены УбанановидныеФ полосы, толщины которых пропорциональны СКО.
Х Модифицированы формулы введения поправок в приближение решения.
Новые формулы учитывают неравномерность распределений по ячейкам изображения суммы весовых коэффициентов и числа поправок. Кроме того, на каждой итерации выполняется взвешенное сглаживание с учетом названных распределений.
Эффективность предложенных модификаций демонстрирует рис. 5, на котором представлены результаты реконструкции прямоугольной модели с двумя неоднородностями, близко расположенными к границе.
0.02 см-Рис. 5. Результаты реконструкции прямоугольной модели с двумя неоднородностями, расположенными на расстоянии 3 мм от границы, полученные с помощью алгоритмов:
модифицированного МААР (слева) и немодифицированного МААР (справа). Показаны содержащие неоднородности фрагменты томограмм с размерами 54 см.
Слева на рис. 5 показан результат, полученный с помощью модифицированного МААР, а справа - с помощью традиционных формул введения поправок и кусочно-линейной аппроксимации статистических характеристик. Кружками показаны истинные границы неоднородностей. В целом же этап реконструкции позволяет решить лишь задачу локализации опухоли, но не дает сколько-нибудь точной информации ни о ее размерах, ни о ее форме, ни о ее значениях оптических параметров.
В разделе 4.3 рассмотрен метод пространственно-вариантной реставрации, предназначенной для компенсации размытия маммотомограм.
В основе метода - деление изображения на несколько областей, каждая из которых описывается своей пространственно-инвариантной функцией рассеяния точки. Задача реставрации сводится к обращению СЛАУ, матрица которой содержит информацию о всех пространственно-инвариантных функциях рассеяния точки, участвующих в описании. Метод реализован двумя алгоритмами: СГНК и алгоритмом наискорейшего спуска для минимизации нормы невязки решения (НСНН). Исследованы некоторые вопросы, связанные с регуляризацией итерационного процесса реставрации.
Отмечено, что деление изображения более чем на 25 областей нецелесообразно вследствие значительного увеличения времени счета.
Исследован вопрос об устойчивости алгоритмов реставрации к шуму измерительных данных. На массив ВРОП, рассчитанных для круглой модели с двумя неоднородностями, накладывался шум, заведомо превышающий уровень реального шума, а именно: 5 и 10%. Такие зашумленные синограммы представлены на рис. 6 слева. Центральный столбец изображений демонстрирует томограммы с размытием, полученные с помощью ОП-ФС.
Результаты их реставрации по алгоритму НСНН даны на рис. 6 справа. Из рис. 6 видно, что искажения на реставрированных томограммах минимальны и визуально почти неразличимы.
2 0 -2 --10 20 30 -2 0 2 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.004 0.008 0.01 0.--10 20 30 -2 0 2 -2 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.005 0.0.01 0.Рис. 6. Зашумленные синограммы (слева), восстановленные томограммы (в центре) и результаты реставрации с использованием НСНН (справа): круглая модель с двумя неоднородностями диаметром 1.4. см Уровень шума сверху вниз составляет 5 и 10%.
0.01 см-1 0.026 см-0.01 см-1 0.027 см-0 Рис. 7. Результаты реставрации (справа) в сравнении с размытыми томограммами (слева), полученные для прямоугольных моделей с двумя неоднородностями диаметром 1 см.
Рис. 7 демонстрирует эффект, полученный в случае реставрации прямоугольных моделей. Рассмотрены две модели, содержащие по две круглые неоднородности диаметром 1 см. В одном случае среда, окружающая неоднородности, однородная, в другом - случайнонеоднородная (см. рис. 1) Слева показаны восстановленные томограммы, а справа - результаты их реставрации. Эти, а также другие представленные в диссертации результаты демонстрируют, что этап реставрации позволяет компенсировать искажения формы неоднородностей, приблизится к их истинным размерам и истинным значениям оптических параметров.
В разделе 4.4 представлен подход, используемый для оценки предела пространственного разрешения метода СТФ, т.е. разрешения в центральной части изображения, где диффузионное размытие максимально велико.
Подход основан на определении модуляционной передаточной функции, которая характеризует, с каким контрастом воспроизводятся на изображении различные пространственные частоты, и представляет собой зависимость коэффициента передачи модуляции (КПМ) от пространственной частоты.
КПМ определяется на основании анализа изображения модели, содержащей две неоднородности одинакового размера, которые образуют периодическую структуру. КПМ находится по профилю сечения изображения, визуализирующего неоднородности, как относительный перепад интенсивности между двумя пиками. На рис. 8 представлены модуляционные передаточные функции, полученные в результате анализа изображений круглых моделей.
НКФ ОП-ФС 1МААР ОП-ФС+СГНК ОП-ФС ОП-ФС+НСНН ОП-ФВБ 0.4 0.5 0.6 0.4 0.5 0.6 0.7 0.пространственная частота, пл/см пространственная частота, пл/см Рис. 8. Модуляционные передаточные функции, построенные по изображениям круглых моделей с двумя неоднородностями.
Графики слева сравнивают по точности воспроизведения структур четыре алгоритма реконструкции, а графики справа показывают, какой выигрыш дают методы реставрации. Если задаться условным пределом визуального разрешения, который согласно критерию Релея соответствует 20%-му уровню контраста, то по графикам рис. 8 можно оценить предел пространственного разрешения. Так в случае реконструкции круглых моделей он составляет 10.0 мм, если применяется НКФ, 9.1 мм - если МААР или ОПЦФС и 7.5 мм - если ОПЦФВБ. А реставрация восстановленных с помощью ОПЦФС томограмм алгоритмами СГНК и НСНН позволяет улучшить разрешение до 7.4 и 6.5 мм соответственно. Подобные оценки получены и для прямоугольных моделей. Показано, что сочетание модифицированного МААР (реконструкция) и НСНН (реставрация) позволяет улучшить оценочное значение предела разрешения до 6.0 мм. Эта цифра лишь немного уступает разрешению многошаговых алгоритмов Ньютоновского типа, которое для центральной области объемных (8Е12 см) объектов оценивается как 4Е6 мм. При этом на реконструкцию 2D томограмм на ПК Pentium 4 Ц1.7 ГГц с оперативной памятью 512 Мб КПМ, % КПМ, % тратиться несколько секунд, а на реконструкцию 3D изображений - не более двух минут. В разделе 4.5 сформулированы выводы четвертой главы.
В заключении формулируются выводы по результатам проведенных работ.
Также коротко освещены представляющие интерес направления дальнейших исследований, касающихся применения метода СТФ в диффузионной маммотомографии.
В приложении 1 представлены две наиболее распространенные в клинической практике системы классификации рака молочной железы.
В приложении 2 дан вывод аналитических соотношений для статистических характеристик распределений фотонов в полубесконечной среде.
В приложении 3 дано пошаговое описание некоторых алгоритмов решения СЛАУ, используемых для реконструкции и реставрации изображений.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1. Показано, что метод СТФ является перспективным методом ИДОМ, поскольку он работает в реальном масштабе времени и позволяет восстанавливать диффузионные маммотомограммы с приемлемой точностью. Полученные оценки предела разрешения (6.0Е6.5 мм), позволяют заключить, что метод СТФ совсем немного (20Е30%) уступает многошаговым нелинейным методам ДОТ в точности воспроизведения структур. Но для того чтобы обеспечить такую точность, метод СТФ должен быть реализован последовательностью двух этапов. Первый этап - это обращение фундаментального уравнения метода СТФ. Второй этап - пространственно-вариантная реставрация полученных в результате обращения уравнения диффузионных маммотомограмм, размытых вследствие усреднения по пространственному распределению фотонов.
2. Показано, что для обращения фундаментального уравнения метода СТФ требуется знание статистических характеристик распределений фотонов:
средней траектории фотонов, среднеквадратического отклонения фотонов от СТФ и средней скорости миграции фотонов. Эти характеристики могут быть определены с помощью диффузионного приближения теории переноса с использованием граничных условий, как Дирихле, так и Робина, которые дают приблизительно одинаковые результаты. В случае граничного условия Дирихле и полубесконечной рассеивающей среды для статистических характеристик получены точные аналитические выражения. Показано, что эти выражения эффективно работают и в практически важном для ИДОМ случае трансмиссионной геометрии плоского слоя. В других практически важных случаях круговой и конусной геометрий, когда получение точных выражений затруднено, статистические характеристики могут быть аппроксимированы кусочно-линейными функциями.
3. Численным экспериментом продемонстрировано, что фундаментальное уравнение метода СТФ может быть обращено с помощью как алгебраического, так и интегрального подхода. Интегральные алгоритмы, как правило, оказываются более быстрыми. В свою очередь алгебраические алгоритмы позволяют получить лучшее качество изображений в условиях значительной недостаточности данных, а также в случае, когда реконструируемые неоднородности ткани располагаются вблизи границ.
4. Показано, что преимущество модифицированного МААР в точности реконструкции над другими рассмотренными алгоритмами является следствием предложенных новаторских подходов. К таковым относятся:
использование полуаналитических соотношений для статистических характеристик, использование банановидных полос для расчета матрицы весовых коэффициентов, а также модернизация формул введения поправок в приближение решения в процессе итерационной реконструкции. Эти модификации позволили регуляризировать решение, на 20% улучшить пространственное разрешение, а также компенсировать ложное смещение структур, расположенных вблизи границ.
5. Показано, что метод пространственно-вариантной реставрации позволяет во многом скомпенсировать искажения формы неоднородностей, обусловленные усреднением реконструированного изображения по пространственному распределению фотонов, приблизиться в результате реставрации к истинным размерам неоднородностей, а также к истинным значениям реконструируемых оптических параметров. Кроме того, достигается существенный выигрыш в пространственном разрешении: более 25% в случае реставрации круглых моделей и более 15% в случае реставрации прямоугольных моделей молочной железы.
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в журналах, рекомендованных ВАК:
1. Lyubimov V. V., Kalintsev A. G., Konovalov A. B., Lyamtsev O. V., Kravtsenyuk O. V., Murzin A. G., Golubkina O. V., Mordvinov G. B., Soms L. N., Yavorskaya L. M. Application of photon average trajectories method to real-time reconstruction of tissue inhomogeneities in diffuse optical tomography of strongly scattering media // Phys. Med. Biol. - 2002. - Vol. 47. - P. 2109-2128.
2. Konovalov A. B., Lyubimov V. V., Kutuzov I. I., Kravtsenyuk O. V., Murzin A. G., Mordvinov G. B., Soms L. N., Yavorskaya L. M. Application of transform algorithms to high-resolution image reconstruction in optical diffusion tomography of strongly scattering media // J. Electron. Imaging. - 2003. - Vol. 12. - P. 602-612.
3. Любимов В. В., Коновалов А. Б., Кутузов И. И., Кравценюк О. В., Калинцев А. Г., Мурзин А. Г., Голубкина О. В., Сомс Л. Н., Яворская Л. М.
Возможность увеличения пространственного разрешения в диффузионной оптической томографии // Оптический журнал. - 2003. - Т. 70. - № 10. - С. 37-43.
4. Коновалов А. Б., Власов В. В., Калинцев А. Г., Кравценюк О. В., Любимов В. В. Импульсная диффузионная оптическая томография на основе использования аналитических статистических характеристик траекторий фотонов // Квантовая электроника. - 2006. - Т. 36. - № 11. - С. 1048-1055.
5. Konovalov A. B., Vlasov V. V., Kravtsenyuk O. V., Lyubimov V. V. Spacevarying iterative restoration of diffuse optical tomograms reconstructed by the photon average trajectories method // EURASIP J. Adv. Sign. Process. - 2007. - Vol. 2007. - Art. No. 34747. - 14 pages.
6. Коновалов А. Б., Власов В. В., Могиленских Д. В., Кравценюк О. В., Любимов В. В. Алгебраическая реконструкция и постобработка в одношаговой диффузионной оптической томографии // Квантовая электроника. - 2008. - Т. 38. - № 6. - С. 588-596.
Другие публикации автора по теме диссертации:
7. Kalintsev A. G., Kravtsenyuk O. V., Lyubimov V. V., Murzin A. G., Golubkina O. V., Konovalov A. B., Lyamtsev O. V., Mordvinov G. B., Volegov P. L. Optical diffuse tomography reconstruction using photon average trajectory // Proc. SPIE. - 2001. - Vol. 4242. - P. 275-281.
8. Kravtsenyuk O. V., Lyubimov V. V., Murzin A. G., Kalintsev A. G., Golubkina O. V., Konovalov A. B., Lyamtsev O. V., Mordvinov G. B., Volegov P. L., Yavorskaya L. M. Application of photon average trajectory approach for diffuse tomography reconstruction of strongly scattering objects with complex macroinhomogeneities // Proc. SPIE. - 2001. - Vol. 4250. - P. 443-448.
9. Kalintsev A. G., Konovalov A. B., Kravtsenyuk O. V., Kutuzov I. I., Lyamtsev O. V., Lyubimov V. V., Murzin A. G., Soms L. N. Use of backprojection algorithms of filtered shadows for optical tomography of strongly scattering media // Proc. SPIE. - 2001. - Vol. 4431. - P. 266-274.
10. Golubkina O. V., Kalintsev A. G., Konovalov A. B., Kravtsenyuk O. V., Lyamtsev O. V., Lyubimov V. V., Mordvinov G. B., Murzin A. G., Soms L. N., Tokareva N. O., Yavorskaya L. M. Application of photon average trajectories method for separate mapping of absorbing and scattering macroinhomogeneities using time-domain measurements technique // Proc.
SPIE. - 2001. - Vol. 4431. - P. 275-281.
11. Lyubimov V. V., Konovalov A. B., Kutuzov I. I., Kravtsenyuk O. V., Kalintsev A. G., Murzin A. G., Golubkina O. V., Soms L. N., Yavorskaya L. M. Influence of fast reconstruction algorithms on spatial resolution of optical diffuse tomography by photon average trajectories method // Proc. SPIE. - 2002. - Vol. 4707. - P. 53-59.
12. Konovalov A. B., Lyubimov V. V., Kutuzov I. I., Kravtsenyuk O. V., Murzin A. G., Mordvinov G. B., Soms L. N., Yavorskaya L. M. Application of integral transform algorithms to high-resolution reconstruction of tissue inhomogeneities in medical diffuse optical tomography // Proc. SPIE. - 2002. - Vol. 4916. - P. 9-21.
13. Konovalov A. B., Lyubimov V. V. High-resolution restoration of diffuse optical images reconstructed by the photon average trajectories method // Proc.
SPIE. - 2004. - Vol. 5474. - P. 66-79.
14. Konovalov A. B., Mogilenskikh D. V., Lyubimov V. V. Space-varying restoration of diffuse optical tomograms reconstructed by the filtered backprojection algorithm // Proc. SPIE. - 2005. - Vol. 5859. - Art. No. 585918. - 9 pages.
15. Konovalov A. B. Diffuse optical tomogram restoration with spatially variant point spread function // Proc. SPIE. - 2006. - Vol. 6257. - Art. No. 62570Q. - 12 pages.
16. Kravtsenyuk O.V., Lyubimov V.V., Konovalov A.B., Kutuzov I. I. Fast sliceto-slice 3D method of reconstruction for optical diffuse mammography // Proc.
2nd International Advanced Research Workshop on In Silico Oncology / Eds.
K. Marias, G. Stamatakos. - Kolympari, Chania, Greece, September 2006. - P. 40-41.
17. Konovalov A. B., Mogilenskikh D. V., Vlasov V. V., Kiselev A. N. Algebraic reconstruction and post-processing in incomplete data computed tomography:
from X-rays to laser beams // Vision Systems: Applications / Eds. G. Obinata, A. Dutta. - Vienna: I-Tech Education and Publishing, 2007. - Chapter 26. - P. 487-518.
18. Konovalov A. B., Vlasov V. V., Mogilenskikh D. V., Uglov A. S., Kravtsenyuk O. V. The photon average trajectory method for one-step diffuse optical tomography: algebraic reconstruction and postprocessing // Proc. 3rd International Symposium on Communications, Control and Signal Processing / Eds. J. A. Briffa, I. Tabus. - St. Julians, Malta, March 2008. - P. 723-728.
19. Konovalov A. B., Vlasov V. V., Mogilenskikh D. V., Kravtsenyuk O. V., Lyubimov V. V. Methods for postprocessing in single-step diffuse optical tomography // Computer Vision / Ed. X. Zhihui. - Vienna: I-Tech Education and Publishing, 2008. - Chapter 11. - P. 169-188.
20. Konovalov A. B., Vlasov V. V., Mogilenskikh D. V., Pavlov I. V. Nonlinear color segmentation of optical diffusion tomograms reconstructed by the photon average trajectory method // Proc. SPIE. - 2009. - Vol. 7369. - Art. No. 73690I. - 6 pages.
21. Konovalov A. B., Vlasov V. V., Mogilenskikh D. V., Kravtsenyuk O. V., Lyubimov V. V. Time-domain diffuse optical tomography based on the photon average trajectory method: reconstruction, restoration and segmentation // Proc. 2nd International Symposium УTopical Problems of Biophotonics - 2009Ф/ Eds. N. Krivatkina, M. Chernobrovtseva. - Nizhny Novgorod - Samara - Nizhny Novgorod, Russia, July 2009. - P. 53-54.
22. Konovalov A. B., Uglov A. S., Lyubimov V. V. Diffuse optical mammotomography based on backprojection algorithm with VainbergButterworth filtration // Proc. 4th International Symposium on Communications, Control and Signal Processing / Eds. C. S. Pattichis et al. - Limassol, Cyprus, March 2010. - Art. No. 5463376. - 5 pages.
23. Konovalov A. B., Vlasov V. V., Uglov A. S., Lyubimov V. V. A semianalytical perturbation model for diffusion tomogram reconstruction from timeresolved optical projections // Proc. SPIE. - 2011. - Vol. 8088. - Art. No. 80880T. - 8 pages.