Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по физике
На правах рукописи
ВОЛКОВ МИХАИЛ ЮРЬЕВИЧ
РЕАЛИЗАЦИЯ КВАНТОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СПИНОВ ЭЛЕКТРОНОВ И ЯДЕР В КАЧЕСТВЕ ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ
01.04.17 - химическая физика, горение и взрыв, физика экстремальных состояний вещества
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Казань - 2012
Работа выполнена в лаборатории спиновой физики и спиновой химии Федерального государственного бюджетного учреждения науки Казанского физико-технического института им. Е.К. Завойского КазНЦ РАН.
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Салихов Кев Миннулинович
Официальные оппоненты: Фельдман Эдуард Беньяминович доктор физико-математических наук, ИПХФ РАН, заведующий лабораторией Фаткуллин Наиль Фидаиевич доктор физико-математических наук, профессор, Институт физики КФУ, профессор кафедры
Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт УМеждународный томографический центрФ СО РАН
Защита состоится У____Ф ____________ 2012 года в 1630 часов на заседании диссертационного совета Д 002.191.01 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Казанского физико-технического института им. Е.К. Завойского КазНЦ РАН: 420029, Казань, Сибирский тракт, 10/7.
Отзывы на автореферат (два заверенных экземпляра) просим отправить по адресу:
420029, Казань, Сибирский тракт, 10/7.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Казанского физико-технического института им. Е.К. Завойского КазНЦ РАН.
Автореферат разослан У____Ф ____________ 2012 года.
Ученый секретарь диссертационного совета Шакирзянов Масгут Мазитович
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Во всем мире ведутся работы по созданию квантовых компьютеров. Перспективы использования квантовых компьютеров в будущем связаны с тем, что они позволят решать задачи, которые не могут быть решены в настоящее время на классических компьютерах за приемлемое время. Такими задачами, например, являются сортировка больших массивов данных, разложение больших чисел на множители, секретная передача информации с использованием квантовой криптографии. Одной из самых актуальных проблем создания квантового компьютера является поиск физических систем, которые можно было бы использовать в качестве элементной базы. В данной диссертационной работе исследуется потенциал использования электронных спинов в качестве кубитов.
Цель диссертационной работы заключалась в исследовании возможности реализации квантовых вычислений на электронных спинах с использованием импульсных методов ЭПР и создании импульсных последовательностей, осуществляющих квантовые логические операции в системах электронных спинов, демонстрации возможности использования ядерных спинов в качестве полигона для проверки квантовых алгоритмов и формулировки критериев применимости к системам электронных спинов импульсных последовательностей, разработанных для ядерных спинов.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. В диметиловом эфире фосфоновой кислоты экспериментально реализована квантовая логическая операция CNOT и алгоритм Дойча.
2. В системах электронных спинов проведено компьютерное моделирование квантовой логической операции CNOT с использованием импульсных последовательностей, разработанных для ядерных спинов.
3. Впервые сконструированы импульсные последовательности, реализующие квантовую логическую операцию CNOT и квантовую логическую операцию обмена в системах электронных спинов.
Научная и практическая значимость:
1. Реализация квантовых алгоритмов CNOT и Дойча позволяет нам в дальнейшем использовать ядерные спины в качестве эталонной системы для проверки на них квантовых алгоритмов, предназначенных для реализации в системах электронных спинов.
2. Расчёт применения к системам электронных спинов импульсных последовательностей, разработанных для реализации на ядерных спинах, позволил сформулировать критерии к веществам, которые являются перспективными для использования их в качестве систем электронных спинов.
3. Разработанные нами импульсные последовательности позволяют реализовать в системах электронных спинов любые квантовые алгоритмы.
Достоверность результатов работы обеспечена использованием современного научного оборудования, многократной повторяемостью экспериментов, достаточно хорошим совпадением полученных экспериментальных результатов с теоретическими расчётами.
На защиту выносятся следующие результаты и положения:
1. Экспериментальная реализация квантовых алгоритмов CNOT и алгоритма Дойча на новых системах ядерных спинов.
2. Формулировка условий для магнитно-резонансных параметров систем электронных спинов, при выполнении которых импульсные последовательности, разработанные для ядерных спинов, применимы к системам электронных спинов.
3. Методология конструирования импульсных последовательностей, реализующих любые квантовые логические операции в системах электронных спинов, с помощью математического аппарата проекционных (идемпотентных) операторов.
4. Конкретные импульсные последовательности, которые позволяют реализовать квантовые логические операции CNOT и SWAP в системах электронных спинов.
ичный вклад автора:
1. Для ЯМР спектрометра Bruker Avance 400 написаны программные модули, на основе которых формируются последовательности радиочастотных импульсов, осуществляющие квантовую логическую операцию CNOT и алгоритм Дойча.
2. В диметиловом эфире фосфоновой кислоты экспериментально реализованы импульсные последовательности, реализующие квантовую логическую операцию CNOT и алгоритм Дойча.
3. Для систем электронных спинов проведено компьютерное моделирование квантовой логической операции CNOT и алгоритма Дойча с использованием импульсных последовательностей, разработанных для ядерных спинов.
4. Используя идемпотентные операторы, сконструированы импульсные последовательности, реализующие квантовую логическую операцию CNOT и квантовую логическую операцию обмена в системе электронных спинов.
Апробация работы. Результаты работы были представлены на следующих научных конференциях: Европейский конгресс по магнитному резонансу УEuromarФ (Санкт-Петербург, 2008), Всероссийская конференция УСтруктура и динамика молекулярных системФ (пансионат УЯльчикФ, Республика Марий-Эл, 2009), Международная конференция УСпиновая физика, спиновая химия и спиновые технологииФ (Казань, 2011).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 1 статья - в рецензируемом журнале, включённом в перечень ВАК, 3 статьи - в сборниках трудов вышеперечисленных конференций, 1 статья - в ежегоднике Казанского физико-технического института им. Е.К. Завойского.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка авторской литературы и списка цитируемой литературы, содержащего 80 наименований. Работа изложена на 100 страницах, включая рисунков и список условных обозначений.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, научная и практическая значимость работы, сформулированы цели и задачи, научная новизна, дано краткое описание структуры и содержания диссертации.
Первая глава диссертации посвящена обзору представленных в литературе теоретических и экспериментальных исследований в области квантовых вычислений. Рассмотрены способы реализации квантовых вычислений на некоторых физических системах: оптических фотонах, ионах в ловушках, ядерных спинах, а также возможности использования электронных спинов в качестве кубитов.
Во второй главе приведены результаты теоретических расчётов функционирования импульсных последовательностей, которые приготавливают систему спинов в начальном состоянии и осуществляют логическую операцию CNOT и алгоритм Дойча, а также продемонстрирована экспериментальная реализация этих логических операций в молекулах диметилового эфира фосфоновой кислоты. Выбор данного вещества в качестве спиновой системы связан с тем, что молекулы этого эфира содержат непосредственно связанные друг с другом атомы водорода и фосфора, у которых ядра основных изотопов 1H и 31P имеют ядерный спин и почти стопроцентное естественное содержание.
огическая операция CNOT состоит в том, что если первый кубит (управляющий кубит) находится в некотором определенном состоянии, например,, то состояние второго кубита (управляемого кубита) изменяется, в противном случае его состояние остается неизменным. Импульсная последовательность, осуществляющая логическую операцию CNOT, подробно описана в статье [1]. Эта последовательность имеет вид:
902y - 1/4J - 1801,2x - 1/4J - 1801,2x - 901y - 901x - 90Ц1,2y - 902x, где 902y означает 90 импульс, применённый ко второму спину по оси y, 1/4J означает эволюцию спиновой системы в течение времени =1/4J под действием спин-гамильтониана H = -1 I - 2 I + 2 J I I, (1) 1z 2z 1z 2z 1801,2x означает 180 импульс, применённый к обоим спинам по оси x и т.д. С помощью расчетов можно убедиться, что эта последовательность осуществляет преобразование, соответствующее квантовой логической операции CNOT. Именно эта импульсная последовательность использовалась нами для экспериментальной реализации квантовой логической операции CNOT на ядерных спинах атомов водорода и фосфора диметилового эфира фосфоновой кислоты.
Для того чтобы убедиться в эксперименте, что данная импульсная последовательность действительно осуществляет квантовую логическую операцию CNOT, прежде всего, нужно приготовить двухспиновую систему в четырех чистых состояниях 00 = 00 00, 01 = 01 10, 10 = 10 10, 11 = 11 11. Изначально наша система находится в состоянии теплового равновесия. Для того чтобы перевести систему в любое из этих состояний, необходимо понизить температуру до значений много меньших 1К. Однако так как все применяемые нами преобразования являются унитарными, и они никак не влияют на единичную матрицу, которая не проявляется экспериментально в магнитном резонансе, мы можем в качестве входных состояний вместо чистых состояний использовать состояния, которые являются линейной суперпозицией единичной матрицы и какого-либо чистого состояния. Такие состояния называются псевдочистыми состояниями. Они ведут себя аналогично чистым состояниям. Псевдочистые состояния можно приготовить при комнатной температуре из состояния теплового равновесия с помощью последовательностей рч импульсов и градиентов магнитного поля [2,3].
В данной работе в эксперименте для приготовления псевдочистого состояния 00 использовалась следующая импульсная последовательность:
2x - grad - 45Ц1x - 1/4J - 1801,2x - 1/4J - 1801,2x - 451y - grad.
Угол равен arcos(22/1), где 1 и 2 - это зеемановские частоты первого и второго спинов. Для ядерных спинов 1H и 31P угол равен примерно 36. Термин УgradФ означает импульс градиента магнитного поля вдоль оси z. Для того чтобы получить остальные псевдочистые состояния 01, 10, 11, нужно после действия данной импульсной последовательности применить 180 импульс для первого или второго спина или применить оба импульса одновременно.
Перед тем как провести эксперименты по реализации квантовой логической операции CNOT на выбранной нами физической системе, сначала были проведены теоретические расчеты того, какими должны получиться ЯМР спектры до и после применения квантовой логической операции CNOT к псевдочистым состояниям 00, 01, 10, 11. Рассмотрим спиновую систему, которая состоит из двух ядерных спинов, которые эволюционируют под действием описанного выше спингамильтониана. Мы приготавливаем эту систему в каждом из псевдочистых состояний с помощью описанных выше импульсных последовательностей, а затем мы применяем к ним импульсную последовательность, осуществляющую квантовую логическую операцию CNOT. В итоге, ЯМР спектры до и после применения квантовой логической операции CNOT к псевдочистым состояниям 00, 01, 10, 11 будут выглядеть так, как это показано на рисунках 1 и 2.
а б в г Рис. 1. Смоделированные спектры двухспиновой системы, которая находится в псевдочистых состояниях 00 (а), 01 (б), 10 (в), 11 (г). Две левые линии принадлежат первому спину, а две правые линии принадлежат второму спину. Каждая спектральная линия расщепляется на две из-за наличия скалярного J-взаимодействия.
а б в г Рис. 2. Смоделированные спектры двухспиновой системы после применения квантовой логической операции CNOT к псевдочистым состояниям 00 (а), 01 (б), 10 (в), 11 (г).
Сравним теоретически рассчитанные ЯМР спектры до и после применения квантовой логической операции CNOT к псевдочистым состояниям 00, 01, 10, 11.
Выберем направление частотной шкалы таким образом, чтобы сигналы от первого спина отображались слева, а сигналы от второго спина отображались справа. Две левые линии каждого спектра показывают состояние первого (управляющего) кубита, а две правые линии показывают состояние второго (управляемого) кубита.
Из ЯМР спектров псевдочистых состояний можно заметить, что если кубит находится в состоянии 0, то сигнал, соответствующий этому кубиту, имеет положительную фазу, а если кубит находится в состоянии 1, то он имеет отрицательную фазу. Поэтому мы можем определять состояния кубитов по знаку фазы соответствующих им сигналов в ЯМР спектрах. После применения логической операции CNOT спектры соответствующих состояний изменяются следующим образом: состояние 00 преобразуется в состояние 00, состояние в 01, а состояние 10 преобразуется в состояние 11 и состояние 11 в 10. Таким образом, если первый кубит находится в состоянии 0, то состояние второго кубита не изменяется, если же первый кубит находится в состоянии 1, то состояние второго кубита инвертируется, что соответствует сути квантовой логической операции CNOT.
Рис. 3. H1 (слева) и P31 (справа) ЯМР спектры раствора диметилового эфира фосфоновой кислоты в дейтерированной воде.
В данной работе для реализации логической операции CNOT спины ядер атомов водорода использовались в качестве управляющего кубита, а спины ядер атомов фосфора использовались в качестве управляемого кубита. В качестве образца мы использовали помещённый в 5 мм стеклянную ампулу раствор диметилового эфира фосфоновой кислоты в дейтерированной воде в отношении примерно один к шести. Все ЯМР эксперименты были выполнены при комнатной температуре с использованием ЯМР спектрометра Bruker Avance 400.
На рисунке 3 показаны 1H и 31P ЯМР спектры этого образца. Две левые линии H спектра являются сигналами от ядер атомов водорода, соединенных с атомами фосфора, центральная линия образуется от ядер атомов водорода молекул обычной воды, которая содержится в дейтерированной воде, а самая правая линия принадлежит ядрам атомов водорода метильных групп. Две крайние линии P спектра относятся к молекулам, в которых атомы фосфора связаны с атомами водорода, при этом наблюдаются три линии в центре, которые означают, что в некоторой части молекул эфира атомы водорода замещаются атомами дейтерия вследствие H-D обмена.
а б в г Рис. 4. Экспериментально полученные ЯМР спектры системы, в которой спины ядер атомов водорода и фосфора приготовлены в псевдочистых состояниях 00 (а), 01 (б), 10 (в), 11 (г) с помощью описанных выше импульсных последовательностей.
ЯМР спектры, которые показаны на рисунке 4, были экспериментально получены после приготовления рассматриваемой спиновой системы в каждом из псевдочистых состояний 00 (а), 01 (б), 10 (в), 11 (г) посредством описанных выше импульсных последовательностей. Каждый из спектров содержит две линии H спектра слева, которые показывают состояние управляющего кубита, и две линии P спектра справа, которые показывают состояние управляемого кубита.
Три центральные линии 31P спектра не показаны на рисунках 4 и 5, так как они не представляют интерес для нас.
а б в г Рис. 5. Экспериментально полученные ЯМР спектры после применения квантовой логической операции CNOT к приготовленным псевдочистым состояниям 00 (а), 01 (б), 10 (в), 11 (г).
ЯМР спектры, которые показаны на рисунке 5, были экспериментально получены после применения квантовой логической операции CNOT к приготовленным псевдочистым состояниям 00 (а), 01 (б), 10 (в), 11 (г). Из этих спектров видно, что фазы сигналов от первого и второго спинов согласуются с ожидаемыми значениями для логической операции CNOT. Наблюдаемые различия амплитуд сигналов между рассчитанными и экспериментально полученными спектрами, а также небольшие несоответствия фаз линий чистому поглощению или излучению могут быть связаны с эффектами эволюции одного из спинов во время применения радиочастотного импульса к другому спину, которые не учитывались в теоретических расчетах.
В третьей главе приведены расчеты надёжности реализации квантовых логических операций в системах электронных спинов при использовании импульсных последовательностей, предназначенных для реализации квантовых логических операций в системах ядерных спинов. Исходя из анализа полученных результатов, были сформулированы критерии к системам электронных спинов, в которых данные последовательности достаточно хорошо реализуют квантовые логические операции.
В нашей работе мы рассматриваем квантовые логические операции, применяемые к двум кубитам. Так как мы используем спины в качестве кубитов, то рассмотрим подробно систему с двумя электронными спинами. Предположим, что спины помещены в постоянное магнитное поле с индукцией В0, и спингамильтониан имеет вид:
H = 1 I + 2 I + J (I I + I I + I I ). (2) 1z 2z 1x 2x 1y 2 y 1z 2z В случае использования ядерных спинов, как правило, выполняется условие |J|<|1Ц2|, поэтому мы можем оставить только секулярную часть гамильтониана J-взаимодействия и использовать спин-гамильтониан (1). Импульсные последовательности, реализующие двухбитные квантовые логические операции на ядерных спинах, зачастую содержат в себе эволюцию в течение некоторого времени под действием гамильтониана (1). Однако если мы используем электронные спины в качестве кубитов, то условие |J|<|1Ц2| не всегда выполняется, и в этом случае необходимо использовать гамильтониан (2). Поэтому давайте посмотрим, что изменится, если мы применим импульсную последовательность, реализующую логическую операцию CNOT в системе двух ядерных спинов, к системе, содержащей два электронных спина.
Для того чтобы узнать, насколько правильно работает импульсная последовательность, которая осуществляет квантовую логическую операцию CNOT, прежде всего, нужно приготовить двухспиновую систему в четырех псевдочистых состояниях, которые описываются матрицами плотности 00, 01, 10, 11. Рассмотрим приготовление какого-нибудь псевдо чистого состояния, например, 00. Его можно приготовить при комнатной температуре из состояния теплового равновесия с помощью последовательности рч импульсов и градиентов магнитного поля вдоль оси z, которая была уже описана выше. В отличие от ЯМР спектрометра в ЭПР спектрометре может отсутствовать катушка градиента магнитного поля. В этом случае для того чтобы избавиться от поперечной намагниченности можно использовать неоднородное уширение.
Если в этой импульсной последовательности эволюция происходит под действием гамильтониана (1), то система переходит в состояние, описываемое матрицей плотности:
1 1 1 = ((1- ) E+ 00)/ 4. (3) 4kT kT Однако в случае электронных спинов, когда система будет эволюционировать под действием гамильтониана (2), матрица плотности будет иметь вид:
1 1 2 = ((1- )E+ (00+ 1))/ 4, (4) 4kT kT где матрица 1, которая отличает 2 от 1, имеет следующий вид:
-k1 0 0 0 k2 0 1 =. (5) 0 0 k3 0 0 0 -k4 В этой матрице коэффициенты k1, k2, k3, k4 зависят от модуля отношения константы взаимодействия к разнице частот спинов так, как это показано на рисунке 6.
а б в г Рис. 6. Зависимости коэффициентов k1 (а), k2 (б), k3 (в), k4 (г) от модуля отношения константы взаимодействия к разнице частот спинов.
Аналогичная ситуация обстоит и для импульсной последовательности, осуществляющей квантовую логическую операцию CNOT, которая описана в статье [1]. Если мы подействуем импульсной последовательностью CNOT на псевдо чистое состояние с матрицей плотности 1, то в случае использования гамильтониана (1) на выходе мы получили то же самое состояние с матрицей плотности 1. В случае, когда необходимо использовать гамильтониан (2), на выходе будет состояние с матрицей плотности 3:
1 1 3 = ((1- )E+ (00+ 2))/ 4, (6) 4kT kT где матрица 2 имеет следующий вид:
-k5 -k6 k7 -k7 -k6 k8 -k9 k9 2 = k7 -k9 k6 -k6 . (7) -k7 k9 -k6 k6 Зависимости коэффициентов k5, k6, k7, k8, k9 от модуля отношения константы взаимодействия к разнице частот спинов показаны на рисунке 7.
а б в г д Рис. 7. Зависимости коэффициентов k5 (а), k6 (б), k7 (в), k8 (г), k9 (д) от модуля отношения константы взаимодействия к разнице частот спинов.
Как видно из всех этих зависимостей, все эти коэффициенты с ростом отношения J /(1 -2) сначала начинают осциллировать вблизи нуля, а затем возрастают.
Точка, с которой начинается монотонное возрастание, имеет абсциссу, равную примерно 0.25. Поэтому системы с двумя электронными спинами, в которых модуль отношения константы их взаимодействия друг с другом к разнице их частот составляет не более одной четвертой, являются перспективными для реализации на них квантовых алгоритмов, так как в этом случае все коэффициенты ki будут достаточно малы, и мы сможем считать, что система с высокой точностью приготавливается в псевдо чистых состояниях и на ней реализуется квантовая логическая операция CNOT.
В четвёртой главе подробно описан метод построения импульсных последовательностей, а также продемонстрировано использование этого метода для построения импульсных последовательностей, осуществляющих квантовые логические операции CNOT и SWAP в системе двух электронных спинов.
Для построения импульсных последовательностей при реализации квантовых логических операций с заданной матрицей преобразования можно использовать метод идемпотентных операторов [4]. Идемпотентные операторы - это такие проекционные операторы E, которые удовлетворяют следующим условиям:
E + E- = E, (E )2 = E, E E- = 0. (8) + + Важным свойством идемпотентов является то, что они помогают упростить экспоненциальные операции следующим образом:
eAE = eA E + E, (9) при условии, что A,E = 0. Для системы, состоящей из двух спинов , полезными идемпотентами являются:
1 1 2 E E E E E = + I, E- = - I, E = + I, E- = - I, + 1z 1z + 2z 2z 2 2 2 1,2 1, E E E = + I I, E- = - I I. (10) + 1z 2z 1z 2z 2 Для двухкубитной операции матрица преобразования имеет размерность 44, то есть, она содержит всего 16 независимых элементов. Поэтому оператор преобразования можно разложить только в базисе из 16 независимых операторов.
Базис приведенных операторов недостаточен для того, чтобы представить произвольное преобразование в пространстве состояний двух кубитов. Однако, используя определения операторов E+, E-, I1x и I2x, можно найти полный базис операторов. Произвольную матрицу U ={Uij} можно разложить в базисе, 1 2 1 составленном из произведения четырёх идемпотентных операторов E+E+, E+E-, 1 2 1 E-E+, E-E- и четырех операторов E, I1x, I2x, I1xI2x :
1 2 1 2 1 2 1 U =U11 E E + 2U12 I E E-+ 2U13 I E- E + 4U14 I I E- E-+ + + 2x + 1x + 1x 2x 1 2 1 2 1 2 1 2U21 I E E +U22 E E-+ 4U23 I I E- E + 2U24 I E- E-+ 2x + + + 1x 2x + 1x 1 2 1 2 1 2 1 2U31 I E E + 4U32 I I E E-+U33 E- E + 2U34 I E- E-+ 1x + + 1x 2x + + 2x 1 2 1 2 1 2 1 4U41 I I E E + 2U42 I E E-+ 2U43 I E- E +U44 E- E-. (11) 1x 2x + + 1x + 2x + Рассмотрим построение импульсной последовательности, осуществляющей квантовую логическую операцию CNOT. Исходя из выражения (11), её матрицу преобразования можно записать в виде:
1 2 1 2 1 2 1 U = E E + E E-+ 2I E- E + 2I E- E-. (12) CNOT + + + 2x + 2x Используя свойства идемпотентов (8), матрицу преобразования UCNOT можно упростить до следующего выражения:
1 U = E + 2 I E-. (13) CNOT + 2x 1 Далее, добавив два нулевых слагаемых, содержащих произведение E-E+, оператор UCNOT можно привести к виду:
1 1 1 1 1 1 1 U = E E + (-2i I E-)(i E-)+i E- E 2i I E- E = CNOT + + 2x +- 2x + 1 1 1 (E +i E-)(E 2i I E-). (14) + +- 2x Учитывая, что I2x коммутирует с E-, ei /2 = cos( / 2) + isin( / 2) = i и e-i I2x = E cos( / 2)-2iI2x sin( / 2) = -2iI2x, а также формулу (9) и определение оператора E- (10), получаем:
i E- 1z 2x i -i I -i I 2 4 2 U = e e-i I2x E- = e e e ei I1z I2x. (15) CNOT Таким образом, нам удалось представить матрицу преобразования квантовой логической операции CNOT в виде произведения экспоненциальных операторов, -i I1z каждый из которых можно реализовать экспериментально. Операторы e и -i I2x e являются операторами селективного вращения первого и второго спинов на угол /2 вокруг осей z и x, соответственно. Эти операции можно реализовать экспериментально действием соответствующих импульсов микроволнового поля.
Операция ei I1zI2x могла бы быть легко реализована, если бы между двумя спинами имело место спин-спиновое взаимодействие, которое бы описывалось спингамильтонианом Hi = -JI1zI2x. В этом случае эволюция спинового состояния за время давалась бы оператором e-iHi / = eiJ I1zI2x. Отсюда следует, что при выполнении условия J = в результате спиновой эволюции осуществилось бы нужное для операции CNOT преобразование ei I1zI2x. Общий фазовый множитель ei /4 в дальнейших рассуждениях можно опустить. Отметим также, что все сомножители в выражении (15) коммутируют друг с другом, поэтому их можно расположить в любом порядке.
-i Ix i Ix -i Iy i Iy 2 2 2 Используя известные формулы Iz = e Iye, Ix = e Ize и ReQR-1 = eRQR-1, где R, Q - операторы, имеем:
-i I i I i I -i I 1x 1x 2 y 2 y 2 2 2 e-i I1z = e e-i I1ye, ei I1z I2 x = e e-i I1z I 2ze. (16) Подставляя (16) в (15), матрицу преобразования UCNOT можно записать в виде:
-i I -i I -i I i I i I -i I 2x 1x 1y 1x 2 y 2 y 2 2 2 2 2 U = e e e e e e-i I1z I2ze. (17) CNOT Оператор UCNOT действует на произвольную матрицу плотности двухспиновой -системы 0 следующим образом: 1 =UCNOT 0UCNOT. Следовательно, на матрицу -i I2 y плотности 0 сначала подействует оператор e, затем оператор e-i I1zI2z и т.д.
Поэтому импульсная последовательность строится на основе выражения (17) справа налево: 902y, L, 90Ц2y, 90Ц1x, 901y, 901,2x. В этой последовательности преобразование L = e-i I1zI2z может быть осуществлено как результат эволюции спиновой системы в течение времени = /J под действием спин-спинового взаимодействия, которое описывается спин-гамильтонианом H = JI I. (18) 1z 2z Если бы спин-гамильтониан двух спинов, на которых реализуется операция CNOT, давался выражением (18), то последовательность (17) была бы достаточной для выполнения операции CNOT. Однако гамильтониан пары взаимодействующих спинов имеет более общий вид. Если масштаб спин-спинового взаимодействия меньше зеемановской энергии каждого из спинов пары, то спин-спиновое взаимодействие можно рассматривать как сравнительно малое возмущение к зеемановскому взаимодействию и в первом порядке теории возмущений в спинспиновом взаимодействии можно рассматривать только спин-гамильтониан вида:
H = 1 I +2 I + J I I + B(I I + I I ). (19) 1z 2z 1z 2z 1x 2x 1y 2 y Для пар электронных спинов именно такой вид спин-гамильтониана является типичным и используется в ЭПР спектроскопии. Спин-спиновое взаимодействие может быть вызвано гейзенберговским обменным взаимодействием и/или дипольдипольным взаимодействием. Если доминирует обменное взаимодействие H = JI1I2, то параметры спин-спинового взаимодействия равны, B = J. Если доминирует диполь-дипольное взаимодействие, то выполняется соотношение B = -J /2. В случае слабого спин-спинового взаимодействия, когда масштаб этого взаимодействия меньше разности зеемановских энергий спинов пары, в первом порядке теории возмущений достаточно рассматривать спин-гамильтониан в виде:
H = 1 I +2 I + J I I. (20) 1z 2z 1z 2z Такая ситуация слабого спин-спинового взаимодействия имеет место для ядерных спинов. Поэтому при построении последовательностей импульсов в экспериментах по реализации квантовых логических операций на ядерных спинах используется спин-гамильтониан (20).
Далее мы построим последовательности для реализации CNOT в ситуациях, когда спин-гамильтониан пары имеет вид (19) или (20). Тогда согласно (17) задача сводится к тому, чтобы осуществить преобразование L = e-i I1zI2z при условии, что спины эволюционируют не с гамильтонианом вида H = JI1zI2z, а с гамильтонианом (19) или (20). Сначала рассмотрим ситуацию слабого взаимодействия спинов. В этом случае эволюция спинов описывается оператором e-i (1I1z +2I2z +JI1zI2z ). Это не совсем то, что нужно для реализации CNOT: мешает присутствие эволюции за счет зеемановского взаимодействия. Но можно исключить вклад зеемановского взаимодействия, если учесть, что зеемановское и спин-спиновое взаимодействие совершенно по-разному реагируют на вращение на угол вокруг оси х. При этом зеемановская часть спин-гамильтониана (20) меняет знак, а спин-спиновое взаимодействие не изменяет своего знака. Это свойство позволяет решить задачу следующим образом. Интервал времени разбиваем на две равные части. В момент времени /2 применяем 180 импульс для обоих спинов по оси х, а в момент времени применяем 180 импульс обоих спинов по оси Цх. В результате получаем:
H = ei (I1x +I2x )e-i(1I1z +2 I2z +J I1z I2z ) /2e-i (I1x +I2x )e-i(1I1z +2 I2z +J I1z I2z ) /2 = e-iJ I1z I2z. (21) Если интервал для эволюции спинов выбрать равным = /J, то L1 как раз дает нужное для реализации CNOT преобразование L = e-i I1zI2z. В итоге импульсная последовательность для реализации CNOT примет вид:
902y, /(2J), 1801,2x, /(2J), 180Ц1,2x, 90Ц2y, 90Ц1x, 901y, 901,2x.
Такая последовательность импульсов применительно к ядерным спинам была получена в работе [4].
Для реализации CNOT в системе электронных спинов надо найти соответствующую последовательность для спин-гамильтониана (19). В этом случае, для того чтобы достичь эффективного спин-гамильтониана (18), нам нужно разделить каждый из отрезков времени эволюции спинов на четыре равных отрезка и применить следующую последовательность импульсов вращения. В момент времени /4 применяем 180 импульс для одного из спинов, например, для первого спина по оси z (который можно реализовать с помощью трех импульсов (16)). В момент времени /2 применяем 180 импульс для того же первого спина по оси Цz. Затем применяем 180 импульс для обоих спинов по оси х. Далее в момент времени 3/4 опять применяем 180 импульс для первого спина по оси z. В момент времени применяем 180 импульс для первого спина по оси Цz. Затем применяем 180 импульс для обоих спинов по оси Цх. При применении этих импульсов полную эволюцию состояния спинов можно представить как спиновую эволюцию, происходящую под действием четырех разных эффективных спин-гамильтонианов:
H1, H2, H3 и H4 в интервалах времени (0, /4), (/4, /2), (/2, 3/4) и (3/4, ), соответственно. Этими эффективными спин-гамильтонианами являются:
H = 1 I +2 I + J I I + B(I I + I I ), 1 1z 2z 1z 2z 1x 2x 1y 2 y H =1 I +2 I + J I I - B(I I + I I ), 2 1z 2z 1z 2z 1x 2x 1y 2 y H = -1 I -2 I + J I I + B(I I + I I ), 3 1z 2z 1z 2z 1x 2x 1y 2 y H = -1 I -2 I + J I I - B(I I + I I ). (22) 4 1z 2z 1z 2z 1x 2x 1y 2 y Полный оператор спиновой эволюции равен:
L1 = e-iH4 /4e-iH3 /4e-iH2 /4e-iH1 /4 = e-iJI1zI2z. (23) В результате, мы получили требуемый оператор преобразования.
Таким образом, в случае использования электронных спинов в качестве кубитов, импульсная последовательность примет вид:
902y, /(4J), 90Ц1x, 1801y, 901x, /(4J), 90Ц1x, 180Ц1y, 901x, 1801,2x, /(4J), 90Ц1x, 1801y, 901x, /(4J), 90Ц1x, 180Ц1y, 901x, 180Ц1,2x, 90Ц2y, 90Ц1x, 901y, 901,2x.
Аналогичным образом можно найти импульсную последовательность, осуществляющую квантовую логическую операцию обмена. Матрицу преобразования логической операции обмена можно представить в виде суммы четырёх слагаемых:
1 2 1 2 1 2 1 U = E E + 4I I E E-+ 4I I E- E + E- E-. (24) SWAP + + 1x 2x + 1x 2x + USWAP Используя описанную выше процедуру, матрицу преобразования можно представить в виде произведения следующих экспоненциальных операторов:
-i I1y -i I2 y i I1y i I2 y -i I1x -i I2x i I1x i I2x 2 2 2 2 2 2 2 USWAP = e-i I1zI2ze e e-i I1zI2ze e e e e-i I1zI2ze e. (25) Таким образом, импульсная последовательность имеет вид: 90Ц1,2x, L, 901,2x, 90Ц1,2y, L, 901,2y, L. Символ L означает эволюцию в течение времени =/J под действием взаимодействия, которое описывается спин-гамильтонианом (18). Для того чтобы построить импульсную последовательность для реализации логической операции SWAP в ситуации, когда спин-гамильтониан пары имеет вид (20), нужно в качестве L использовать группу импульсов /(2J), 1801,2x, /(2J), 180Ц1,2x. Если же нам требуется построить импульсную последовательность для реализации логической операции SWAP со спин-гамильтонианом (19), то в качестве L нужно использовать группу импульсов /(4J), 90Ц1x, 1801y, 901x, /(4J), 90Ц1x, 180Ц1y, 901x, 1801,2x, /(4J), 90Ц1x, 1801y, 901x, /(4J), 90Ц1x, 180Ц1y, 901x, 180Ц1,2x.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ:
1. Экспериментально реализованы двухкубитные логические операции CNOT и алгоритм Дойча в ансамбле молекул диметилового эфира фосфоновой кислоты на ядре атома водорода и ядре атома фосфора, которые непосредственно связаны друг с другом и образуют практически изолированную двухспиновую систему. Показано, что фазы сигналов ЯМР от первого и второго спинов согласуются с ожидаемыми из теоретических расчетов значениями для логической операции CNOT и алгоритма Дойча. Наблюдаемые различия амплитуд сигналов между рассчитанными и экспериментально полученными спектрами, а также небольшие несоответствия фаз линий чистому поглощению или излучению могут быть связаны с эффектами эволюции одного из спинов во время применения радиочастотного импульса к другому спину, которые не учитывались в теоретических расчетах.
2. Проведены численные эксперименты по реализации CNOT в системе электронных спинов с использованием последовательности СВЧ импульсов, предложенных для реализации CNOT в системе ядерных спинов. Показано, что для достижения достоверности реализации квантовой логической операции выше 90%, необходимо, чтобы константа спин-спинового обменного (или диполь-дипольного) взаимодействия составляла не более 1/4 разности зеемановских частот неспаренных электронов двух парамагнитных центров.
Показано, что наличие сверхтонкой структуры спектров ЭПР негативно сказывается на надежности реализации квантовых вычислений на электронных спинах.
3. С использованием математического аппарата проекционных (идемпотентных) операторов впервые получены последовательности СВЧ импульсов для реализации двухкубитных логических операций CNOT и SWAP при использовании электронных спинов в качестве кубитов. Полученные последовательности переходят в известные в литературе последовательности для РЧ импульсов, предложенные для ядерных спинов, при соответствующей замене спин-гамильтониана электронных спинов на ядерный спингамильтониан.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Jones J.A. Implementation of a quantum algorithm on a nuclear magnetic resonance quantum computer / J.A. Jones, M. Mosca // The Journal of Chemical Physics. - 1998. - V. 109, № 5. - P. 1648Ц1653.
2. Cory D.G. Nuclear magnetic resonance spectroscopy: An experimentally accessible paradigm for quantum computing / D.G. Cory, M.D. Price, T.F. Havel, // Proceedings of the Fourth Workshop on Physics and Computation. - 1998. - V. 120, № 1Ц2. - P. 82Ц101.
3. Quantum simulations on a quantum computer / S. Somaroo, C.H. Tseng, T.F. Havel et al. // Physical Review Letters. - 1999. - V. 82, № 26. - P. 5381Ц5384.
4. Construction and implementation of NMR quantum logic gates for two spin systems / M.D. Price, S.S. Somaroo, C.H. Tseng et al. // Journal of Magnetic Resonance. - 1999. - V. 140, № 2. - P. 371Ц378.
СПИСОК АВТОРСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:
A1. Volkov M.Yu. Implementation of a quantum algorithm by magnetic resonance / M.Yu. Volkov, R.B. Zaripov, K.M. Salikhov // EUROMAR Magnetic Resonance International Conference, 6-11 July, 2008, St.Petersburg. - 2008. - P.119.
A2. Волков М.Ю. Реализация алгоритма квантового компьютера с помощью метода ЯМР / М.Ю. Волков, К.М. Салихов // Ежегодник КФТИ-2008, Казань. - 2008. - С. 17Ц19.
A3. Волков М.Ю. Реализация квантового алгоритма CNOT с помощью магнитного резонанса / М.Ю. Волков, К.М. Салихов // Сборник тезисов докладов и сообщений XVI Всероссийской конференции Структура и динамика молекулярных систем. - Йошкар-Ола. - 2009. - С. 46.
A4. Volkov M. Application to the Electron Spins of Pulse Sequences Designed for the Nuclear Spins / M. Volkov, K.M. Salikhov // Abstracts of the international conference УSpin Physics, Spin Chemistry and Spin TechnologyФ, November 1-5, 2011, Kazan. - 2011. - P. 224Ц225.
A5. Volkov M.Yu. Pulse protocols for quantum computing with electron spins as qubits / Volkov, M.Yu. and Salikhov, K.M. // Applied Magnetic Resonance. - 2011. - V.
41, № 2Ц4. - P. 145Ц154.