Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
АВСЯНКИН Олег Геннадиевич
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ОДНОРОДНЫМИ И БИОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ
01.01.01 математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Ростов-на-Дону 2009
Работа выполнена на кафедре дифференциальных и интегральных уравнений Южного федерального университета.
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Симоненко Игорь Борисович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Гольдман Михаил Львович доктор физико-математических наук, профессор Пилиди Владимир Ставрович доктор физико-математических наук, профессор Солдатов Александр Павлович
Ведущая организация: Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Защита состоится 6 октября 2009 г. в 1545 на заседании диссертационного совета Д 212.208.29 в Южном федеральном университете по адресу:
344090, г. РостовЦнаЦДону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального университета по адресу: г. РостовЦнаЦДону, ул. Пушкинская, 148.
Автореферат разослан 2009 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.208.29 В. Д. Кряквин
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Исследования по теории интегральных операторов являются важной составной частью современного анализа.
Данная работа посвящена многомерным интегральным операторам с однородными и биоднородными ядрами, которые рассматриваются в пространствах суммируемых функций. Наши исследования с одной стороны примыкают к классической теории интегральных операторов, а с другой тесно связаны с общей теорией банаховых алгебр, спектральной теорией и теорией проекционных методов.
В одномерном случае интегральные операторы с однородными степени (-1) ядрами, по-видимому, впервые рассматривались Г. Харди и Дж. Литтлвудом. Различные аспекты теории таких операторов отражены в трудах Л. Г. Михайлова, Н. К. Карапетянца, С. Г. Самко, А. П. Солдатова, А. А. Килбаса, Б. И. Голубова, Р. В. Дудучавы, А. В. Гиля, М. В. Цалюк, М. А. Бетилгириева, Я. Б. Рутицкого. Однако, действующие в LpЦпространствах одномерные операторы с однородными ядрами непосредственно сводятся к операторам типа свертки с помощью экспоненциальной замены.
Это позволяет перенести результаты, которые имеют место для операторов типа свертки, на интегральные операторы с однородными степени (-1) ядрами.
Многомерная ситуация принципиально сложнее и требует совершенно иных подходов. В конце 60-х начале 70-х годов Л. Г. Михайловым и его сотрудниками было начато изучение многомерных интегральных операторов с однородными степени (-n) ядрами, при дополнительном предположении инвариантности ядер относительно всех вращений в Rn Rn.
Ими были получены достаточные условия ограниченности таких операторов в различных пространствах функций, предложена схема исследования нетеровости и вычисления индекса, а также указаны некоторые достаточные условия компактности.
Дальнейшее развитие теория многомерных интегральных операторов с однородными ядрами получила в работах Н. К. Карапетянца. Отказавшись от условия инвариантности ядра относительно группы вращений, Н. К. Карапетянц установил достаточные, а в случае неотрицательного ядра и необходимые, условия ограниченности операторов с однородными ядрами в LpЦпространствах, а также получил оценки снизу для норм таких операторов. Он также получил достаточные условия ограниченности операторов в гельдеровских классах. Кроме того, в работах Н. К. Карапетянца рассматривались операторы с однородными ядрами и переменными коэффициентами, и были описаны некоторые классы коэффициентов, обеспечивающие компактность таких операторов. Эти исследования были подытожены в его докторской диссертации и частично нашли отражение в монографии Н. К. Карапетянца и С. Г. Самко1.
Вышеуказанные результаты отражают лишь некоторые аспекты теории многомерных интегральных операторов с однородными ядрами. Общая теория, подобная той, которая имеется для операторов типа свертки или для сингулярных интегральных операторов, отсутствует.
Именно поэтому представляется весьма актуальным построение общей теории многомерных интегральных операторов, ядра которых однородны степени (-n) и инвариантны относительно группы вращений SO(n) (операторы с такими ядрами мы будем называть каноническими), включающей также исследование близких операторов, в частности, с биоднородными ядрами. Изучение вышеуказанных классов операторов естественно проводить наряду с исследованием порожденных ими банаховых алгебр, поскольку такие важнейшие характеристики оператора как свойство нетеровости, обратимость, спектр и некоторые другие, имеют алгебраический характер. В связи с этим нами уделяется большое внимание банаховым алгебрам, в частности, C-алгебрам, порожденным различными классами многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами.
Другой причиной, стимулирующей интерес к многомерным интегральным операторам с однородными ядрами, является тесная связь этих операторов с дифференциальными уравнениями в частных производных. Как известно, такие операторы естественным образом возникают, если применять метод потенциалов к эллиптическим дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами в области, содержащей точку x = 0, (например, к уравнению Шр едингера).
Наконец, необходимость изучения интегральных операторов с однородными ядрами диктуется многочисленными приложениями, которые такие Karapetiants N., Samko S. Equations with involutive operators. Boston, Basel, Berlin:
Birkhuser. 2001. 427 p.
операторы находят в механике (Р. В. Дудучава), в краевых задачах теории аналитических функций (А. П. Солдатов), в теории операторов, коммутирующих с растяжениями (И. Б. Симоненко), при исследовании мультипликативных дискретных сверток (Я. М. Ерусалимский), в дифференциальной геометрии (З. Д. Усманов).
Цель работы. Разработка теории и методов исследования многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами, действующих в пространствах суммируемых функций. Развитие методов исследования банаховых алгебр, в частности, C-алгебр, порожденных такими операторами. Получение необходимых и достаточных условий нетеровости и (или) обратимости операторов из этих алгебр. Развитие теории проекционных методов применительно к интегральным операторам с однородными и биоднородными ядрами и исследование предельного поведения спектральных характеристик усеченных операторов. Модификация методов изучения обратимости и нетеровости для случая интегральных операторов, имеющих ядра более общего вида.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты.
1) Проведено полное исследование банаховых алгебр, порожденных каноническими многомерными интегральными операторами с однородными ядрами (в том числе парными операторами), а также C-алгебры, порожденной операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига. Для всех этих алгебр построено символическое исчисление, в терминах которого получены необходимые и достаточные условия нетеровости и (или) обратимости операторов и формулы для вычисления индекса нетеровых операторов.
2) Для многомерных интегральных операторов с однородными ядрами и переменными коэффициентами найдены весьма слабые условия на коэффициент, обеспечивающие компактность таких операторов. Получены необходимые и достаточные условия нетеровости (а в некоторых случаях и обратимости) операторов с однородными ядрами и радиальными осциллирующими в нуле и на бесконечности коэффициентами. Исследованы банаховы алгебры, порожденные такими операторами.
3) Разработана теория проекционных методов для канонических интегральных операторов с однородными ядрами, включая парные операторы.
Кроме того, исследовано предельное поведение спектров, -псевдоспектров и сингулярных значений усеченных интегральных операторов.
4) Изучена CЦалгебра, порожденная многомерными интегральными операторами с биоднородными ядрами: для нее построено операторнозначное символическое исчисление, в терминах которого получен критерий нетеровости операторов, и установлена топологическая формула для вычисления индекса. Найден критерий применимости проекционного метода к интегральным операторам с биоднородными ядрами, и описано предельное поведение спектральных характеристик усеченных операторов.
5) Получен критерий нетеровости многомерных интегральных операторов с квазиоднородными ядрами, и дана формула для подсчета их индекса.
Установлены необходимые и достаточные условия обратимости и нетеровости интегральных операторов с ядрами, имеющими различный характер однородности по разным группам переменных.
Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Методы и результаты работы позволяют построить достаточно полную теорию многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами, инвариантными относительно группы вращений. Методы, разработанные в диссертации, могут быть эффективно применены для изучения других классов интегральных операторов. Полученные в работе результаты можно использовать для изучения различных математических моделей, описываемых уравнениями с однородными, биоднородными и квазиоднородными ядрами.
Методологическая основа исследования. В диссертационной работе широко используются методы функционального анализа, теории банаховых алгебр, в частности, C-алгебр, и гармонического анализа на сфере. Кроме того, для исследования многомерных интегральных операторов с однородными ядрами применяются специальные методы, разработанные автором.
Аппробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались:
на международной конференции Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление, посвященной памяти Ф. Д. Гахова (Минск, 1996 г.); на международной школе по геометрии и анализу, посвященной памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002 г.); на международной конференции Математическая гидродинамика: модели и методы, посвященной 70-летию В. И. Юдовича (Ростов-на-Дону, 2004 г.); на 3Цй и 4Цй международных конференциях Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений (Минск, 2003 и 2006 гг.); на международной конференции Дифференциальные уравнения и смежные вопросы, посвященной памяти И. Г. Петровского (Москва, 2007 г.); на XIV и XVI международных конференциях Математика. Образование. Экономика. (Новороссийск, 20и 2008 гг.); на Воронежской весенней математической школе Понтрягинские чтения XIX (Воронеж, 2008 г.); на международной конференции Современные проблемы математики, механики и их приложений, посвященной 70-летию В. А. Садовничего (Москва, 2009 г.).
С докладами о результатах диссертации автор выступал: на семинаре академика РАН В. А. Ильина в Московском госуниверситете (2008 г.);
на семинаре проф. А. П. Солдатова и проф. А. М. Мейрманова в Белгородском госуниверситете (2008 г.); на заседании Ростовского математического общества (2008 г., руководитель проф. А. В. Абанин), а также многократно на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского госуниверситета Южного федерального университета (руководители проф. С. Г. Самко, проф. Н. К. Карапетянц, проф.
А. И. Задорожный).
Часть исследований по теме диссертации была выполнена при поддержке следующих грантов:
Методы обращения операторов типа потенциала и функциональные пространства дробной гладкости (РФФИ, проект 98-01-00261-а);
Операторы типа потенциала с осциллирующими ядрами или символами, аппроксимативные обратные операторы и функциональные пространства, связанные с ними (РФФИ, проект 00-01-00046-а);
Интегральные операторы с каноническими ядрами, сингулярные интегральные операторы на банаховых пространствах и порождаемые ими алгебры (РФФИ, проект 06-01-00297-а);
Псевдодифференциальные операторы и их приложения (Внутренний грант Южного федерального университета, проект K-07-T-143/8).
Публикации. Все основные результаты данной диссертации опубликованы в работах [1]Ц[22], из которых 19 работ являются публикациями в журналах из официального перечня ВАК РФ по докторским диссертациям. Результаты, выносимые на защиту
, получены соискателем самостоятельно. Из совместных работ в диссертацию вошли результаты, полученные лично соискателем, за исключением нескольких утверждений вспомогательного характера, которые включены в работу для полноты изложения и не выносятся на защиту (при этом соответствующие доказательства модифицированы соискателем).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 20 параграфов, и библиографического списка, включающего список использованной литературы и список работ соискателя. Объем работы 277 страниц машинописного текста. Список использованных источников и список работ соискателя содержат 126 и 22 наименований соответственно.
Содержание работы Во введении дается общая характеристика работы, излагается история вопроса, а также приводится подробный обзор результатов диссертации по главам и параграфам.
Первая глава посвящена изучению условий нетеровости и обратимости канонических многомерных интегральных операторов с однородными ядрами, обобщающих их парных операторов, а также описанию банаховых алгебр, порожденных такими операторами. Одним из основных объектов является оператор K, который определяется в пространстве Lp(Rn), 1 p , формулой (K)(x) = k(x, y)(y) dy, x Rn, (1) Rn где функция k(x, y) определена на Rn Rn (здесь и далее предполагается, что n 2) и удовлетворяет следующим условиям:
1 однородность степени (-n), т. е.
k(x, y) = -nk(x, y), > 0;
2 инвариантность относительно группы вращений SO(n), т. е.
k((x), (y)) = k(x, y), SO(n);
3 суммируемость, т. е.
= |k(e1, y)||y|-n/p dy < , e1 = (1, 0,..., 0).Rn Изучение операторов вида (1) и их обобщений приводит к задаче исследования соответствующих банаховых алгебр. Именно алгебрам, порожденным различными классами интегральных операторов с однородными ядрами, уделяется основное внимание в данной главе.
Подчеркнем, что исследование операторных алгебр является предметом внимания многих математиков на протяжении нескольких последних десятилетий. Не претендуя на полноту изложения, упомянем таких известных авторов как И. М. Гельфанд, М. Г. Крейн, И. Ц. Гохберг, Н. Я. Крупник, И. Б. Симоненко, А. Б. Антоневич, Б. А. Пламеневский, А. Я. Хелемский, Н. К. Никольский. В настоящее время многие операторные алгебры полностью описаны. Однако, алгебры, порожденные многомерными интегральными операторами с однородными ядрами, ранее не рассматривались.
В з 1.1 собраны необходимые обозначения, предварительные сведения, а также вспомогательные результаты, касающиеся одномерных интегральных операторов с однородными степени (-1) ядрами.
з 1.2 посвящен многомерным парным интегральным операторам с однородными ядрами, т. е. операторам вида A = I - K1P - K2Q, (2) где C, K1 и K2 операторы вида (1), а P и Q операторы умножения на характеристические функции внутренности и внешности единичного шара соответственно. Для оператора A вида (2) получены необходимые и достаточные условия нетеровости и формулы для вычисления дефектных чисел и индекса. Для решения этой задачи используется специальный метод, основанный на теории сферических гармоник, который позволяет Функция k(x, y) = |x|-|x - y|-n, где 0 < n, является примером функции, удовлетворяющей условиям 1, 2 и 3 при 1 < p < n/.
осуществить редукцию многомерного интегрального уравнения, соответствующего оператору A, к бесконечной диагональной системе одномерных уравнений. Этот метод является одним из основополагающих в теории операторов с ядрами, удовлетворяющими условиям 1Ц3, и неоднократно применяется в дальнейшем. В качестве следствия основной теоремы получен критерий обратимости и нетеровости оператора I - K.
Еще одним важным результатом данного параграфа является теорема о плотности множества нетеровых парных операторов вида (2) во множестве всех операторов вида (2).
В з 1.3 исследуется банахова алгебра A, которая определяется как наименьшая замкнутая подалгебра банаховой алгебры L(Lp(Rn)), 1 p , содержащая все операторы вида A + T, где A оператор вида (2), а T компактный в Lp(Rn) оператор. Для алгебры A построено символическое исчисление, т. е. каждому оператору A A поставлен в соответствие его символ некоторая вектор-функция (1,A(m, ), 2,A(m, )), непрерывная на компакте Z+R (здесь и далее Z+R компактификация локальноЦ компактного пространства Z+ R одной бесконечно удаленной точкой) и такая, что 1,A() = 2,A(). В частности, компоненты символа оператора A вида (2) имеют вид j,A(m, ) = - kj(e1, y)Pm(e1 y )|y|-n/p+i dy, j = 1, 2, (3) Rn где kj(x, y) ядро оператора Kj, e1 y скалярное произведение векторов e1 и y = y/|y|, Pm(t) многочлены Лежандра. При этом по непрерывности мы полагаем, что 1,A() = 2,A() = .
Для нахождения необходимых и достаточных условий нетеровости операторов из алгебры A, нами исследуется фактор-алгебра A/T (Lp(Rn)), где T (Lp(Rn)) множество всех компактных операторов в Lp(Rn). Показано, что пространство максимальных идеалов алгебры A/T (Lp(Rn)), снабженное топологией Гельфанда, гомеоморфно компакту M, который представ ляет собой множество, образованное двумя экземплярами компакта Z+R путем отождествления бесконечно удаленных точек. На основе этого исследования получена Теорема 1. Пусть A A. Для того чтобы оператор A был нетеровым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия j,A(m, ) = 0, (m, ) Z+R, j = 1, 2.
Если эти условия выполнены, то индекс оператора A вычисляется по формуле 2,A(m, ) ind A = dn(m) ind, (4) 1,A(m, ) m=где ind f(m, ) индекс функции f(m, ) при фиксированном m.
Здесь через dn(m) обозначена размерность пространства сферических гармоник порядка m.
Подчеркнем, что поскольку ind 2,A(m, )/1,A(m, ) = 0 начиная с некоторого номера m0, то правая часть в формуле (4) фактически представляет собой конечную сумму.
В заключительной части этого параграфа исследован матричный аналог алгебры A.
В з 1.4 рассматривается банахова алгебра D, представляющая собой наименьшую замкнутую подалгебру банаховой алгебры L(Lp(Rn)), содержащую все операторы вида I - K. Очевидно, что D является замкнутой подалгеброй алгебры A. Поэтому символическое исчисление, построенное в предыдущем параграфе для алгебры A, переносится на D. Однако, для алгебры D оно упрощается в том смысле, что каждому оператору D D ставится в соответствие только одна функция (пара равных между собой функций) символ оператора D. Доказывается, что алгебра D коммутативна, а ее пространство максимальных идеалов, снабженное топологией Гельфанда, гомеоморфно компакту Z+R. Для операторов из этой алгебры получен критерий обратимости и нетеровости, а именно:
Теорема 2. Пусть D D. Тогда следующие три условия равносильны:
1) оператор D обратим в Lp(Rn);
2) оператор D нетеров в Lp(Rn);
3) символ оператора D удовлетворяет условию D(m, ) = 0, (m, ) Z+R.
В теории операторов свертки важную роль играют операторы сдвига. Такая же роль в теории операторов с однородными ядрами отводится мультипликативным сдвигам. С этой точки зрения естественно расширить алгебру операторов с однородными ядрами посредством присоединения операторов мультипликативного сдвига. Эта задача решается в з 1.5, где изучается C-алгебра C, порожденная всеми операторами K вида (1) и всеми операторами мультипликативного сдвига U вида (U)(x) = -n/2(x/), > 0.
(в этом параграфе предполагается, что операторы действуют в L2(Rn)).
Описана структура C-алгебры C, т. е. показано, что C = P D, (5) где P C-алгебра, порожденная всеми операторами U, а D C-алгебра, порожденная всеми операторами K. На основе равенства (5) для алгебры C построено символическое исчисление, т. е. каждому оператору A C поставлена в соответствие определенная функция a(m, ) вида a(m, ) = b() + (m, ), где (m, ) C0(Z+ R), а b() равномерно почти периодическая функция на R. Особый интерес представляет описание пространства максимальных идеалов алгебры C.
Теорема 3. Множество M(m,0), состоящее из всех элементов алгебры C, символы которых обращаются в нуль в точке (m0, 0) Z+ R, является максимальным идеалом алгебры C.
Множество MP D, где MP любой максимальный идеал алгебры P, также является максимальным идеалом алгебры C.
Идеалами этих двух типов исчерпываются все максимальные идеалы алгебры C.
На основе теоремы 3, с учетом свойств равномерно почти периодических функций, установлена Теорема 4. Пусть A C. Тогда следующие три условия равносильны:
1) оператор A нетеров в L2(Rn);
2) оператор A обратим в L2(Rn);
3) символ a(m, ) оператора A удовлетворяет условию inf |a(m, )| > 0.
Z+R Заключительный параграф первой главы (з 1.6) посвящен действующим в пространстве Lp(Bn), где 1 p , Bn единичный шар в Rn, операторам вида (K)(x) = k(x, y)(y) dy, x Bn, (6) Bn где функция k(x, y) определена на RnRn и удовлетворяет условиям 1Ц3.
Здесь указаны необходимые и достаточные условия нетеровости оператора I - K и формулы для вычисления его дефектных чисел и индекса. Также рассматривается банахова алгебра K, порожденная всеми операторами вида I - K + T, где T компактный в Lp(Bn) оператор. Показано, что фактор-алгебра по идеалу компактных операторов K/T (Lp(Bn)) изоморфна алгебре D из з 1.4. Опираясь на этот факт, для алгебры K построено символическое исчисление, и получен следующий критерий.
Теорема 5. Пусть A K. Для того чтобы оператор A был нетеровым, необходимо и достаточно, чтобы его символ удовлетворял условию A(m, ) = 0, (m, ) Z+R. (7) Если условие (7) выполнено, то индекс вычисляется по формуле ind A = - dn(m) ind A(m, ). (8) m=Отметим, что в формуле (8) лишь конечное число слагаемых отлично от нуля. Теорема 5 естественным образом обобщается на матричный случай.
В этом же параграфе впервые рассмотрены многомерные вольтерровские интегральные операторы с однородными ядрами, т. е. операторы вида (V )(x) = k(x, y)(y) dy, x Bn, |y| |x| где функция k(x, y) удовлетворяет условиям 1Ц2 и кроме того |k(e1, y)||y|-n/p dy < .
Bn Исследована банахова алгебра V, порожденная всеми операторами вида I - V. Показано, что алгебра V коммутативна, а ее пространство максимальных идеалов, снабженное топологией Гельфанда, гомеоморфно ком пакту Z+C-, где C- = {z C : Im z 0}. На основе этого для операторов из алгебры V получен критерий обратимости.
Во второй главе изучаются многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и переменными коэффициентами. Хорошо известно, что поведение коэффициента может существенно влиять на свойства рассматриваемого оператора. По этой причине имеется немало работ, в которых исследуются операторы свертки, Винера-Хопфа, сингулярные интегральные операторы с теми или иными коэффициентами. Этими проблемами занимались А. Б. Антоневич, Н. К. Карапетянц, И. Б. Симоненко, В. М. Деундяк, Б. Я. Штейнберг, Ю. И. Карлович, M. Bastos, H. Cordess, F.-O. Speck и другие. В работах Н. К. Карапетянца рассматривались операторы с однородными ядрами и коэффициентами, которые в некотором смысле стабилизируются в нуле и на бесконечности. В данной главе вводится более широкий класс стабилизирующихся коэффициентов (з 2.7), а также впервые рассматриваются интегральные операторы с однородными ядрами и коэффициентами, осциллирующими в нуле и на бесконечности (зз 2.8Ц2.9). Мы также исследуем банаховы алгебры, порожденные такими операторами.
В з 2.7 введен класс A, состоящий из всех функций a L(Rn), для каждой из которых существуют такие числа a0 и a, что для любого компакта Rn выполняются условия lim |a(x) - a0| dx = 0, lim |a(x) - a| dx = 0, 0 а также класс A0 = {a A: a0 = a = 0}. Доказано, что при 1 p < справедливы утверждения:
1) если a A0, то оператор MaK, где Ma оператор умножения на функцию a, компактен в Lp(Rn);
2) если a A, то MaK = a0KP + aKQ + T, (9) где T компактный в Lp(Rn) оператор.
На основе равенства (9) показано, что при 1 p < банахова алгебра A L(Lp(Rn)), порожденная всеми операторами вида I + MaK + T, совпадает с алгеброй A из з 1.3.
В з 2.8 сначала вводится класс rad(Rn), состоящий из всех функций f(x) = f0(|x|), x Rn, где f0(t) ограниченная и непрерывная на R+ функция, слабо осциллирующая в нуле и на бесконечности, т. е. такая, что для любого компакта X R+ выполняются условия lim sup |f0(t) - f0(ht)|: h X = 0, tlim sup |f0(t) - f0(ht)|: h X = 0.
t Функции из класса rad(Rn) будем называть радиальными слабо осциллирующими функциями.
Затем рассматриваются многомерные интегральные операторы с однородными ядрами, имеющие коэффициенты из класса rad(Rn). Исследование таких операторов включает два принципиально важных момента.
Во-первых, показано, что метод редукции многомерного случая к одномерному, развитый нами в з 1.2 для парных операторов, можно эффективно применять и для операторов с радиальными коэффициентами. Это позволило исследовать операторы вида A = I + Ma Kj + T, (10) j j=где C, Ma оператор умножения на функцию aj rad(Rn), Kj j оператор вида (1), а T компактный в Lp(Rn) оператор.
Во-вторых, доказано, что коммутатор MaK - KMa, где a rad(Rn), является компактным оператором. Последнее позволило исследовать банахову алгебру, порожденную операторами с однородными ядрами и коэффициентами из класса rad(Rn), которая представляет собой замыкание в равномерной операторной топологии множества, состоящего из всех операторов A вида (10). На основе исследования фактор-алгебры по идеалу компактных операторов, для исходной алгебры построено символическое исчисление, в терминах которого получен критерий нетеровости операторов, а также формула для вычисления их индекса.
з 2.9 посвящен исследованию C-алгебры B, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами умножения на осциллирующие функции вида |x|i(= ei ln |x|). Отметим, что коэффициенты |x|i играют в теории операторов с однородными ядрами ту же роль, что и коэффициенты вида eit в теории операторов свертки.
Упомянутая алгебра B существенно некоммутативна. У такой алгебры не существует скалярного символа и при ее исследовании возникают серьезные затруднения. Для их преодоления используется подход А. Б. Антоневича, основанный на теории C-алгебр, порожденных динамическими системами. В рамках этого подхода для C-алгебры B строится операторное символическое исчисление, т. е. строится -изоморфизм : B B1, где B1 C-подалгебра C-алгебры L(L2(Z+ R)), порожденная всеми операторами умножения на функции из пространства C(Z+R) и всеми операторами U вида (Uf)(m, ) = f(m, - ), R.
Теорема 6. Пусть B B. Тогда следующие три условия равносильны:
1) оператор B нетеров в L2(Rn);
2) оператор B обратим в L2(Rn);
3) символ (B) оператора B обратим в L2(Z+ R).
Кроме того, выделены некоторые классы операторов, для которых указаны эффективные скалярные условия обратимости и (или) нетеровости.
Например, показано, что необходимым и достаточным условием обратимости и нетеровости оператора B = I + K1 + MK2, где M оператор умножения на функцию |x|i, является условие + K (m, ) = 0, (m, ) Z+R, где K (m, ) символ оператора K1.
Перейдем к изложению результатов третьей главы. Проекционные методы решения операторных уравнений являются важной составляющей современной теории операторов, причем с развитием компьютерной математики и численных методов их значение только возрастает. Классическая теория проекционных методов нашла отражение в известной монографии И. Ц. Гохберга и И. А. Фельдмана3. Впоследствии А. В. Козаком было установлено, что вопрос о применимости проекционного метода можно свести к исследованию обратимости элементов некоторой банаховой алгебры. Это дало новый импульс проекционным методам и близким аспектам теории операторов. Современное изложение теории проекционых методов имеется, например, в монографиях A. Bttcher, B. Silbermann4 и R. Hagen, S. Roch, B. Silbermann5. Отметим также работы ростовских математиков: И. Б. Симоненко, С. М. Грудского, А. В. Козака, В. С. Пилиди, Л. И. Сазонова.
В свою очередь, развитие теории проекционных методов приводит к проблеме сопоставления спектральных свойств исходного и усеченного операторов. В настоящее время для операторов свертки, Винера-Хопфа и Теплица предельное поведение спектральных характеристик усеченных операторов изучено достаточно полно (И. Б. Симоненко, С. М. Грудский, Н. К. Никольский, P. Anselone и I. Sloan, A. Bttcher, B. Silbermann, S. Roch, H. Widom). Целью данной главы является разработка проекционных методов для интегральных операторов с однородными ядрами, а также исследование предельного поведения спектров, псевдоспектров и сингулярных значений усеченных операторов.
В з 3.10 строится теория проекционных методов для канонических интегральных операторов с однородными ядрами в скалярном и матричном случаях. Основным результатом является критерий применимости проекционного метода к матричному парному интегральному оператору A, который задается в пространстве s-мерных вектор-функций Ls(Rn), p 1 p < , формулой (A)(x) = (x) - k1(x, y)(y) dy - k2(x, y)(y) dy, x Rn, |y| 1 |y|>где k1(x, y) и k2(x, y) матрицы-функции s-го порядка, элементы которых удовлетворяют условиям 1Ц3. Определим в Ls(Rn) проектор P,p Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. 352 с.
Bttcher A., Silbermann B. Analysis of Toeplitz operators. Berlin, Heidelberg, New York:
Springer-Verlag. 1990. 512 p.
Hagen R., Roch S., Silbermann B. Spectral theory of approximation methods for convolution equations. Basel, Boston, Berlin: Birkhuser, 1995. V. 74. 373 p.
(0 < 1 < 1, 1 < 2 < ) равенством (x), 1 < |x| < 2, (P,2)(x) = 0, |x| < 1 |x| > 2;
и обозначим через {P,2} класс линейных ограниченных операторов, к которым применим проекционный метод по системе проекторов {P,2} при 1 0, 2 . Пусть пара матриц-функций (S1(m, ), S2(m, )), заданных на компакте Z+R, является символом оператора A.
Теорема 7. Для того чтобы A {P,2}, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
1) det SN(m, ) = 0, (m, ) Z+R, N = 1, 2;
2) для любого фиксированного значения m Z+ все правые индексы матрицы-функции S2(m, ) и все левые индексы матрицы-функции S1(m, ) равны нулю;
3) для любого фиксированного значения m Z+ все правые индексы матрицы-функции S-1(m, )S1(m, ) равны нулю.
В качестве следствия этой теоремы получены необходимые и достаточные условия применимости проекционного метода к оператору A вида (2), а также к оператору I - K, где K определяется равенством (1). В заключительной части параграфа из основной теоремы выводятся критерии применимости проекционного метода для оператора I - K, где K оператор вида (6), и его матричного аналога.
з 3.11 носит промежуточный характер. Здесь рассматривается несколько различных и важных для дальнейшего вопросов. В качестве основных выделим следующие два результата. Во-первых, доказана теорема о композиции усеченных операторов вида K = PKP, где K оператор (6), а проектор P (0 < 1) определяется формулой (x), < |x| < 1, (P)(x) = (11) 0, |x| < .
Во-вторых, изучено предельное поведение при 0 нормы оператора A = P(I - K)P + PT P + RLR, (12) где T и L компактные операторы, а оператор R задается формулой n/p x , < |x| < 1, (R) (x) = |x|2 |x| 0, |x| < .
Решение этого вопроса требует весьма сложной и нестандартной техники.
Результатом является Теорема 8. Пусть A оператор вида (12). Тогда предел lim A существует, причем справедливо равенство lim A = max{ I - K + T, I - K + L }, где оператор K определяется равенством n n p p |y| K (x) = k(y, x) (y) dy, x Bn. (13) |x| Bn Подчеркнем, что данная теорема самым существенным образом используется в следующем параграфе.
В з 3.12 исследуется предельное поведение -псевдоспектров усеченных операторов K при 0. Напомним, что -псевдоспектром оператора A L(X), где X банахово пространство, называется множество Sp(A) = C : Sp(A) или (A - I)-1 1/.
По-видимому, впервые псевдоспектры усеченных операторов Теплица и Винера-Хопфа рассматривал H. Landau в контексте физических задач.
Значительно позднее эти вопросы изучали L. Reichel и L. Trefethen, а также S. Reddy. Весьма активное изучение псевдоспектров началось после публикации в 1994 году работы A. Bttcher6. При этом почти всегда предполагалось, что операторы действуют в пространстве L2. Случай, когда операторы действуют в Lp при p = 2, принципиально сложнее и рассмат ривался лишь в работе A. Bttcher, S. M. Grudsky, B. Silbermann7.
Bttcher A. Pseudospectra and singular values of large convolution operators // J.
Integral Equations Appl. 1994. V. 6, № 3. P. 267Ц301.
Bttcher A., Grudsky S. M., Silbermann B. Norms of inverses, spectra, and pseudospectra of large truncated Wiener-Hopf operators and Toeplitz matrices // New York J. Math. 1997. V. 3. P. 1Ц31.
В з 3.12 также предполагается, что операторы действуют в пространстве Lp(Bn), где 1 < p < . Здесь важным моментом является нахождение предела норм операторов (I-K)-1 обратных к усеченным, т. е. получение равенства lim (I - K)-1 = max (I - K)-1, (I - K)-1.
Опираясь на него, устанавливается основной результат этого параграфа, который приведен ниже.
Теорема 9. Пусть K оператор вида (6). Тогда для любого > lim Sp(K) = Sp(K) Sp(K), (14) где K определяется формулой (13).
Здесь и далее предел по параметру семейства множеств понимается в смысле следующего определения.
Определение 1. Пусть {E}(0,1) семейство множеств E C.
Пределом множеств E при 0 назовем множество E, состоящее из всех C, для каждого из которых найдутся убывающая последовательность {s} (0, 1), такая что lim s = 0, и последовательность s {s} C, такая что s E и lim s = .
s s При p = 2 формула (14) преобразуется к равенству lim Sp(K) = Sp(K).
Теорема 9 обобщается на матричный случай. Показано также, что для спектров аналогичное утверждение, вообще говоря, не имеет места.
В заключение изучено предельное поведение -псевдоспектров усеченных операторов K, где K оператор вида (K)(x) = k(x, y)(y) dy, x (-1, 1), -ядро k(x, y) которого однородно степени (-1), но не является инвариантным относительно вращений.
В последнем параграфе третьей главы (з 3.13) исследуется предельное поведение спектров и сингулярных значений усеченных операторов K, действующих в пространстве P(L2(Bn)). Доказана Теорема 10. Пусть ядро k(x, y) оператора K вида (6) кроме условий 1Ц3 удовлетворяет также условию k(y, e1) = eik(e1, y), (15) где некоторое вещественное число. Тогда имеет место равенство lim Sp(K) = Sp(K) = e-i/2[a1, a2], где числа a1 и a2 вычисляются с помощью символа K(m, ) оператора K по формулам a1 = inf (ei/2K(m, )), a2 = sup (ei/2K(m, )).
Z+R Z+R Далее, напомним, что множеством сингулярных значений оператора D L(H), где H гильбертово пространство, называется множество (D) = s [0, ): s2 Sp(DD). В данном параграфе показано, что без предположения (15) множество (K) аппроксимируется (в смысле определения 1) множествами (K).
Основным объектом исследования четвертой главы являются многомерные интегральные операторы с биоднородными ядрами, т. е. операторы вида (A)(x, y) = (x, y) + k1(x, t)(t, y) dt + Bn+ k2(y, t)(x, t) dt + k3(x, t)k4(y, z)(t, z) dt dz, Bn2 Bn1 Bnгде C, а функции kj(x, y) (j = 1, 2, 3, 4) удовлетворяют условиям 1Ц 3, причем степень однородности в условии 1 равна (-n1), если j = 1, 3 и (-n2), если j = 2, 4. Такие операторы рассматриваются нами в пространстве L2(Bn Bn ). Рассматриваются также некоторые обобщения этих 1 операторов, и исследуются порожденные ими C-алгебры. Для операторов из этих алгебр выясняются условия нетеровости, и в топологических терминах вычисляется индекс. Кроме того, изучается вопрос о применимости проекционного метода к интегральным операторам с биоднородными ядрами и описывается предельное поведение спектральных характеристик усеченных операторов.
Отметим, что исследования данной главы тесно примыкают к теории операторов Теплица и Винера-Хопфа в четверть-плоскости, а также к теории бисингулярных операторов. Пионерскими работами в этом направлении, по-видимому, следует считать работы R. Douglas, R. Howe8 и L. Coburn, R. Douglas, I. Singer9. Не претендуя на полноту изложения, упомянем исследования И. Б. Симоненко, В. М. Деундяка, Р. В. Дудучавы, В. А. Малышева, Э. А. Пасенчука, В. С. Пилиди, близкие к тематике этой главы.
Технической основой четвертой главы является аппарат тензорных произведений C-алгебр, развитый в работах T. Turumaru, E. Effros, E. Lance, M. Takesaki и др.
Остановимся подробнее на результатах з 4.14. В нем рассматривается C-алгебра Kn,n2 = Kn Kn, 1 1 где Kn наименьшая C-подалгебра C-алгебры L(L2(Bn )), содержащая j j все операторы вида I - K + T, здесь K оператор вида (6), а T компактный оператор. (В общем случае, т. е. когда 1 p , алгебра Kn(= K) рассматривалась в з 1.6.) Для C-алгебры Kn,n2 строится пара -эпиморфизмов (1) : Kn,n2 S1 = C(Z+R) Kn, 1 (2) : Kn,n2 S2 = Kn C(Z+R), 1 называемых частичными символами, а также -эпиморфизм (0) : Kn,n2 S0 = C(Z+R) C(Z+R), называемый слабым символом. Полным символом C-алгебры Kn,n2 называется -эпиморфизм (1,2) : Kn,n2 S, (1,2)(A) = ((1)(A), (2)(A)), где S некоторая специальная C-подалгебра C-алгебры S1 S2.
Показано, что оператор B Kn,n2 нетеров тогда и только тогда, когда его полный символ (1,2)(B) обратим в алгебре S, т. е. каждый частичный Douglas R., Howe R. On the C-algebra of Toeplitz operators on the quarter-plane // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. V. 158. № 1. P. 203Ц217.
Coburn L. A., Douglas R. G., Singer I. M. On index theorem on the discrete quarterplane // J. Diff. Geom. 1972. № 4. P. 587Ц593.
символ (j)(B) обратим в алгебре Sj, j = 1, 2; если оператор B нетеров, то его слабый символ (0)(B) обратим в алгебре S0.
Слабый символ дает эффективные необходимые условия нетеровости оператора. Выделим класс операторов, для которых невырожденность слабого символа является также достаточным условием нетеровости. Рассмотрим оператор D = (I1 I2) + (K1 K2), слабый символ которого определяется равенством (0)(D) (m, ;, ) = + K (m, )K (, ).
1 Теорема 11. Оператор D нетеров тогда и только тогда, когда выполнены условия = 0, + K (m, )K (, ) = 0, (m, ), (, ) Z+ R.
1 Наибольшую сложность представляет задача вычисления индекса операторов из алгебры Kn,n2. Одним из ключевых моментов для решения этой задачи является построение мономорфизма подобия n : Kn W(T ), где W(T ) C-алгебра операторов Винера-Хопфа с компактными коэффициентами. Это позволяет построить мономорфизм n n : Kn,n2 W(T ) W(T ), 1 2 в силу которого для любого нетерового оператора B Kn,n2 имеет место равенство ind(B) = ind((n n )(B)).
1 На основе результатов для C-алгебры W(T ) W(T ), на группе компонент линейной связности 0(GS, I) определяется гомоморфизм топологического индекса i(t) : 0(GS, I) Z Kn1,n(здесь через GS обозначена группа обратимых элементов C-алгебры S).
Теорема 12. Пусть оператор B Kn,n2 нетеров. Тогда ind(B) = i(t) [(1,2)(B)], Kn1,nгде [(1,2)(B)] элемент группы 0(GS, I), содержащий символ (1,2)(B) оператора B.
В заключительной части этого параграфа установлен аналог теоремы С. Ошера, т. е. указан один класс операторов с биоднородными ядрами, для которых нетеровость равносильна обратимости. Точнее, пусть A = (1I1 + K1) (2I2 + K2) + I1 (I2 + K), (16) где операторы I1 и K1 действуют в пространстве L2(Bn ), а операторы I2, K2 и K действуют в L2(Bn ).
Теорема 13. Оператор A вида (16) обратим тогда и только тогда, когда он нетеров.
В з 4.15 изучается применимость проекционного метода к оператору A = (I1 I2) + (K1 I2) + (I1 K2) + (K3 K4), (17) где C, операторы I1, K1, K3 действуют в пространстве L2(Bn ), а операторы I2, K2, K4 действуют в L2(Bn ). Проекционный метод рассматривается по системе проекторов {P P }, где P (j = 1, 2) определяется 1 2 j в пространстве L2(Bn ) формулой (11).
j Пусть F множество всех семейств {B,2} операторов B,2, действу1 ющих в (P P )(L2(Bn Bn )), таких что 1 2 1 {B,2} := sup B,2 < .
1 0<1,2<Относительно покомпонентно выполняемых операций и указанной нормы множество F образует C-алгебру. Поскольку множество F0 = {C,2} F: lim C,2 = 1 12является замкнутым двусторонним идеалом алгебры F, то фактор-алгебра F/F0 является C-алгеброй. Обозначим через B наименьшую C-подалгебру C-алгебры F/F0, содержащую все элементы вида {A,2} + F0, где A,2 определяется формулой A,2 = (P P ) A (P P ), (18) 1 1 2 1 здесь A оператор вида (17).
Основные усилия в данном параграфе направлены на изучение условий обратимости в алгебре B. Каждому элементу {B,2} + F0 B определенным образом сопоставляются четыре предельных оператора: B, B1, B2, B(соответствующие формулы мы опускаем ввиду ограниченности объема).
Теорема 14. Для того чтобы элемент {B,2} + F0 B был обратим в C-алгебре B, необходимо и достаточно, чтобы операторы B, B1, B2 и B12 были обратимы в L(L2(Bn Bn )).
1 В частности, для элемента {A,2} + F0 B имеем:
A1 = (I1 I2) + (K1 I2) + (I1 K2) + (K3 K4), A2 = (I1 I2) + (K1 I2) + (I1 K2) + (K3 K4), где Kj определяется формулой (13) при p = 2. Из теоремы 14 вытекает Теорема 15. Пусть A оператор вида (17). Для того чтобы A {P P }, необходимо и достаточно, чтобы операторы A и A1 (или 1 A и A2) были обратимы в L(L2(Bn Bn )).
1 з 4.16 посвящен исследованию предельного поведения спектров, псевдоспектров и множества сингулярных значений усеченных операторов A,вида (18). Доказывается Теорема 16. Пусть A оператор вида (17). Тогда для любого > справедливо равенство lim Sp(A,2) = Sp(A) Sp(A1) = Sp(A) Sp(A2).
12Если оператор A является самосопряженным, то аналогичное равенство справедливо для спектров.
Для предела множества сингулярных значений (A,2) установлено следующее соотношение (A) (Ai) lim (A,2) (A) (Ai) {0}, 12где i = 1 или i = 2. В частности, если число s = 0 является сингулярным значением оператора A, то предел множества (A,2) равен (A)(Ai).
В з 4.17 изучается C-алгебра An,n2 = An An, 1 1 j где An наименьшая C-подалгебра C-алгебры L(L2(Rn )), содержаj щая все парные операторы вида A + T, здесь A оператор вида (2), T компактный оператор (в общем случае, т. е. когда 1 p , алгебра An(= A) рассматривалась в з 1.3). Для алгебры An,n2 в основном исследуются те же вопросы, что и для алгебры Kn,n2 в з 4.14. А именно, для C-алгебры An,n2 строится операторнозначное символическое исчисление, в терминах которого получены критерий нетеровости операторов и топологическая формула для вычисления их индекса.
В главах 1Ц4 предполагалось, что ядра изучаемых интегральных операторов удовлетворяют условиям 1Ц3. При этом наиболее важными являются условия 1 и 2 (условие 3 нужно для того, чтобы обеспечить ограниченность оператора в пространстве Lp ). Представляется вполне естественным отказаться от условий 1 и 2, заменив их более общими условиями.
Этим вопросам и посвящена пятая глава. В зз 5.18Ц5.19 мы отказываемся от условия 1 и рассматриваем операторы, ядра которых имеют более общий характер однородности, а в з 5.20 отказываемся от условия инвариантности ядра относительно группы вращений SO(n).
Отметим, что ранее Н. К. Карапетянцем изучались интегральные операторы с ядрами, имеющими сложный характер однородности ((a, b)Цоднородность, квазиоднородность), причем без предположения типа 2. Однако, его результаты касались только ограниченности этих операторов. Наши исследования главным образом направлены на выяснение условий нетеровости и обратимости рассматриваемых операторов.
В з 5.18 изучаются многомерные интегральные операторы с квазиоднородными ядрами, т. е. интегральные операторы вида (B)(x) = q(x, y)(y) dy, x Bn, Bn где функция q(x, y) определена на Rn Rn и при этом 1) -однородна (квазиоднородна) степени ( > 0, = 1, R), т. е.
q(x, y) = q(x, y), > 0;
2) инвариантна относительно группы вращений SO(n), т. е.
q((x), (y)) = q(x, y), SO(n);
3) удовлетворяет следующему условию суммируемости + n q = |q(e1, y)||y|-dy < , =.
- Rn Исследование таких операторов осуществляется в контексте исследования операторов вида A = I - K - B, где K оператор вида (6). Оператор A рассматривается в пространстве L-n/p(Bn) с весом |x|-n/p.
p Теорема 17. Для того чтобы оператор A был нетеров в пространстве L-n/p(Bn), необходимо и достаточно, чтобы для любого m Z+ выполp нялись условия:
m() = - k(e1, y)Pm(e1 y )|y|-+idy = 0, ;
Rn 1/p|m(0)| > q(e1, y)Pm(e1 y )|y|-dy.
Rn В этом случае индекс оператора A вычисляется по формуле ind A = - dn(m) ind m(). (19) m=Как и ранее, правая часть формулы (19) фактически является конечной суммой, так как ind m() = 0 для всех m, начиная с некоторого m0.
В заключение рассмотрены парные операторы, естественным образом обобщающие оператор A.
В прикладных задачах нередко возникают интегральные операторы с ядрами, имеющими различную структуру однородности по разным группам переменных. В связи с этим в з 5.19 рассматриваются многомерные интегральные операторы вида (A)(x, y) = k(x, y, u, v)(u, v) du dv, (20) Rn Rm где функция k(x, y, u, v) задана на Rn+m Rn+m и при этом 1) однородна степени (-n) и инвариантна относительно группы вращений SO(n) по переменным x, u;
2) покоординатноЦоднородна векторной степени (-1) по переменным y, v, т. е.
-1 -1 -k(x, y, u, v) = 1 2... m k(x, y, u, v), Rm, + здесь y = (1y1,..., mym), v = (1v1,..., mvm);
3) удовлетворяет следующему условию суммируемости m kj, = |k(e1, j, u, v)||u|-n/p |vs|-1/pdu dv < , s=Rn где j, = 1, 2,..., 2m; вершина куба {x Rm : |xj| 1, j = 1, 2,..., m}, причём 1 = (1, 1,..., 1); октант в Rm, содержащий точку ; а v = (v1,..., vm).
При вышеуказанных предположениях доказана ограниченность оператора A в пространстве Lp(Rn+m), 1 p .
Далее, оператору I - A ставится в соответствие последовательность матриц-функций (), Z+, следующего вида:
m 2m m+1 s ()=E- k(e1, j, u, v)P(e1u )|u|-n/p+i |vs|-1/p+i du dv, j, =s=Rn где E единичная матрица 2m-го порядка, а = (1, 2,..., m+1).
Теорема 18. Пусть A оператор вида (20). Тогда следующие условия равносильны:
a) оператор I - A нетеров в Lp(Rn+m), b) оператор I - A обратим в Lp(Rn+m), c) выполняются условия det () = 0, m+1, Z+, где m+1 одноточечная компактификация пространства Rm+1.
Перейдем к з 5.20. Во всех предыдущих параграфах на ядро интегрального оператора накладывалось условие его инвариантности относительно группы вращений SO(n). Это условие играет ключевую роль, так как позволяет осуществить редукцию многомерного случая к одномерному.
В данном параграфе мы рассматриваем интегральные операторы с однородными степени (-2) ядрами на плоскости и при этом заменяем условие инвариантности относительно всех вращений более слабыми условиями.
Новые условия, однако, также обеспечивают редукцию двумерного оператора к бесконечной последовательности матричных одномерных операторов. Для парных интегральных операторов с ядрами, удовлетворяющими новым условиям, построен матричный символ, и получены критерий нетеровости, формула для вычисления индекса, а также критерий применимости проекционного метода.
Список публикаций соискателя [1] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. Многомерные интегральные операторы с однородными степени -n ядрами // Докл. РАН. 1999. Т. 368, № 6. С. 727Ц729.
[2] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. Об алгебре многомерных интегральных операторов с однородными ядрами с переменными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 2001. № 1. С. 3Ц10.
[3] Авсянкин О. Г. О применении проекционного метода к парным интегральным операторам с однородными ядрами // Изв. вузов. Математика. 2002. № 8. С. 3Ц7.
[4] Авсянкин О. Г. Об алгебре парных интегральных операторов с однородными ядрами // Мат. заметки. 2003. Т. 73, вып. 4. С. 483Ц493.
[5] Авсянкин О. Г., Деундяк В. М. О вычислении индекса многомерных интегральных операторов с биоднородными ядрами // Докл. РАН.
2003. Т. 391, № 1. С. 7Ц9.
[6] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. Псевдоспектры многомерных интегральных операторов с однородными ядрами // Докл. РАН. 2003.
Т. 392, № 1. С. 7Ц9.
[7] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. О псевдоспектрах многомерных интегральных операторов с однородными степени -n ядрами // Сиб.
мат. журн. 2003. Т. 44, № 6. С. 1199Ц1216.
[8] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. Проекционный метод в теории интегральных операторов с однородными ядрами // Мат. заметки. 2004.
Т. 75, вып. 2. С. 163Ц172.
[9] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. Интегральные операторы с однородными ядрами // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки.
2004. Спецвыпуск. Математика и механика сплошной среды. С. 17Ц24.
[10] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. Интегральные операторы с однородными ядрами на плоскости // Труды Института математики НАН Беларуси. Минск. 2004. Т. 12. № 1. С. 5Ц12.
[11] Авсянкин О. Г. Об алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами Вольтерра с однородными степени (-n) ядрами // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2005. Спецвыпуск. Псевдодифференциальные уравнения и некоторые проблемы математической физики. С. 21Ц25.
[12] Авсянкин О. Г., Деундяк В. М. Об индексе многомерных интегральных операторов с биоднородными ядрами и переменными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 2005. № 3. С. 3Ц12.
[13] Авсянкин О. Г. Проекционный метод для матричных многомерных парных интегральных операторов с однородными ядрами // Владикавказский мат. журн. 2006. Т. 8, вып. 1. С. 3Ц10.
[14] Авсянкин О. Г. Многомерные интегральные операторы с биоднородными ядрами: проекционный метод и псевдоспектры // Сиб. мат.
журн. 2006. Т. 47, № 3. С. 501Ц513.
[15] Авсянкин О. Г. О сингулярных значениях усеченных многомерных интегральных операторов с однородными степени (-n) ядрами // Труды 4-й международной конференции, посвященной 100-летию Ф. Д. Гахова. Минск, 2006. В трех томах. Т. 2. С. 12Ц16.
[16] Авсянкин О. Г. О нетеровости многомерных интегральных операторов с однородными и квазиоднородными ядрами // Изв. вузов. Математика. 2006. № 11. С. 3Ц10.
[17] Авсянкин О. Г. Многомерные интегральные операторы с ядрами, имеющими смешанный характер однородности // Изв. вузов. Математика. 2007. № 8. С. 66Ц69.
[18] Авсянкин О. Г., Деундяк В. М. Об алгебре многомерных интегральных операторов с однородными SO(n)-инвариантными ядрами и радиально слабо осциллирующими коэффициентами // Мат. заметки.
2007. Т. 82, № 2. С. 163Ц176.
[19] Авсянкин О. Г. О многомерных интегральных операторах с однородными ядрами и осциллирующими радиальными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, № 9. С. 1193Ц1196.
[20] Авсянкин О. Г. О C-алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига // Докл. РАН. 2008. Т. 419, № 6. С. 727Ц728.
[21] Авсянкин О. Г. О спектрах и сингулярных значениях многомерных интегральных операторов с биоднородными ядрами // Сиб. мат.
журн. 2008. Т. 49, № 3. С. 490Ц496.
[22] Авсянкин О. Г. О C-алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и коэффициентами вида |x|i // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2008.
№ 5. С. 10Ц14.