Geum.ru
Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по техническим специальностям

На правах рукописи

Кузнецова Екатерина Львовна

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ СО СМЕШАННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ А в т о р е ф е р а т диссертации на соискание ученой степени доктора физикоматематических наук

Москва - 2011

Работа выполнена на кафедре Вычислительная математика и программирование Московского авиационного института (национального исследовательского университета)

Научный консультант: Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Формалев Владимир Федорович

Официальные оппоненты: Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Киреев Владимир Иванович Лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники, доктор физико- математических наук, профессор Волков Игорь Куприянович доктор физико-математических наук, профессор Валишин Анатолий Анатольевич

Ведущая организация: Учреждение Российской Академии наук Институт прикладной механики (ИПРИМ РАН)

Защита состоится ___________ на заседании Диссертационного совета Д 212.125.04 при Московском авиационном институте (национальном исследовательском университете) по адресу: 125993, г.Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Отзыв на автореферат (в 2-х экземплярах), заверенный гербовой печатью организации, просьба направлять по указанному адресу.

Автореферат разослан __________

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 212.125.04, кандидат физикоматематических наук, доцент _____________ Ротанина М.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена разработке новых численных и аналитических методов решения прямых и обратных задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, и применению их к задачам тепломассопереноса в анизотропных средах.

Актуальность темы. Многие физические процессы, такие как теплопроводность, фильтрация, диффузия, вязкие течения газа, электропроводность и т.п. характеризующиеся полями температур, давлений, массы, плотности, электрического заряда соответственно, описываются градиентными законами переноса потенциала - Фурье, Дарси, Фика, Ньютона - и, следовательно, являются потенциальными векторными полями. Уравнения в частных производных, выведенные на основе этих законов, имеют параболический тип, и если среда, в которой рассматривается перенос потенциала, является изотропной, то соответствующие уравнения не содержат смешанных дифференциальных операторов. Такие уравнения и соответствующие потенциальные поля хорошо изучены, например, по теории изотропной теплопроводности и фильтрации имеются сотни публикаций.

Для анизотропных сред перенос потенциала носит тензорный характер, вследствие чего дифференциальные уравнения содержат смешанные производные по пространственным переменным, что приводит к существенным трудностям при решении начально-краевых задач для таких уравнений. Например, известный метод разделения переменных, на основе которого построены практически все остальные аналитические методы решения уравнений в частных производных, не применим к уравнениям, содержащим смешанные дифференциальные операторы, поскольку в этом случае пространственные переменные не разделяются. Для решения таких задач остаются в основном численные методы, однако построение экономичных абсолютно устойчивых методов численного решения задач, содержащих смешанные дифференциальные операторы наталкивается на значительные трудности, связанные с аппроксимацией именно этих операторов.

Достаточно напомнить, что все существующие экономичные методы численного решения (в основном это методы расщепления по координатным направлениям) аппроксимируют смешанные производные на нижних временных слоях (явно), что приводит к условной устойчивости и даже неустойчивости таких известных методов, как метод переменных направлений (МПН) Писмена-Рэчфорда, метод дробных шагов (МДШ) Н.Н.Яненко, центрально-симметричный метод (ЦСМ) А.А.Самарского, метод стабилизирующей поправки (МСП) Дж.Дугласа и Дж.Е.Гана и др.

Среди работ по экономичным численным методам решения многомерных задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, следует отметить работы Н.Н. Яненко, А.А. Самарского, Г.И. Марчука, И.В. Фрязинова, Е.Г.

Дьяконова, В.К. Саульева, Н.Д. Сафронова, Д. Писмена и Х. Рэчфорда, Дж. Дугласа и Дж. Е. Гана. Однако все эти методы аппроксимируют смешанные производные явно, что приводит при определенных условиях к их неустойчивости.

По аналитическим методам решения задач для уравнений параболического типа со смешанными производными следует отметить работы Пэдовена Д., Пуня К.С., Цзоу Р.С., Чжана Ю.П., В.Ф. Формалева, С.А. Колесника. Решения получены методами операционного исчисления и таких решений насчитывается не более десятка.

Среди важнейших работ по решению прямых задач переноса потенциала можно отметить работы Карслоу Г. и Егера Д., А.В.Лыкова, Э.М. Карташова, В.С. Зарубина, Р. Бермана, М.Г. Бернадинера, Ю.В.

Полежаева, А.А. Шишкова, Г.И. Баренблатта, Ю.И. Димитриенко и др., а по обратным задачам - работы А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, О.М.

Алифанова, Е.А. Артюхина, Дж. В. Бэка, М.Н. Оцизика, Ц.Х. Хуанта, И.К. Хонта, С.В. Баека, А.А. Самарского и П.Н. Вабищевича и многих других. Однако во всех этих работах рассматривались задачи переноса потенциала в изотропных средах с дифференциальными уравнениями без смешанных производных.

Таким образом, публикации по методам решения как прямых, так и обратных задач переноса потенциала в анизотропных средах практически отсутствуют, хотя большинство естественных и искусственных материалов являются анизотропными со степенью анизотропии от 1 до 200. Поэтому неучет тензорного характера переноса потенциала в анизотропных средах приводит не только к количественному, но и к качественному искажению результатов решения соответствующих задач.

В этой связи тема диссертационной работы Разработка математического аппарата численно-аналитического решения уравнений со смешанными производными и его применение к математическому моделированию тепломассопереноса является актуальной.

Нерешенность перечисленных актуальных проблем обусловила цель данной диссертации:

разработка математического аппарата на основе численных и аналитических методов решения прямых и обратных задач для уравнений параболического типа со смешанными дифференциальными операторами и применение его к математическому моделированию анизотропного тепломассопереноса.

Для достижения данной цели необходимо было разработать:

новые экономичные абсолютно устойчивые методы численного решения задач для уравнений параболического типа (в том числе и нелинейных), содержащих смешанные дифференциальные операторы;

методы аналитического решения задач, содержащих смешанные производные, с граничными условиями различных родов; методологию решения обратных граничных и коэффициентных задач для уравнений параболического типа со смешанными производными; комплексную универсальную математическую модель тепломассопереноса для большинства анизотропных композиционных материалов (КМ), используемых в качестве теплозащитных для гиперзвуковых летательных аппаратов (ЛА) и для ее решения использовать разработанный математический аппарат.

Методы исследования. Для решения комплекса проблем использовались: численные методы решения многомерных задач, методы математической физики, методы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления, методы математического моделирования и сравнительного анализа, а также методы идентификации и обратных задач для уравнений параболического типа со смешанными производными.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

- разработан и обоснован по аппроксимации и устойчивости новый класс экономичных абсолютно устойчивых методов расщепления численного решения задач для уравнений параболического типа (в том числе и нелинейных), содержащих смешанные дифференциальные операторы, на основе использования апостериорной информации о решении, полученной на верхних временных слоях, и на более глубоком, чем в классических методах, расщеплении смешанных дифференциальных операторов;

- проведено сравнительное тестирование предложенных и классических методов расщепления численного решения нелинейных задач со смешанными дифференциальными операторами на аналитическом решении существенно нелинейной задачи;

- впервые получен ряд аналитических решений задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, с граничными условиями II-го и III-го родов;

- разработана методология численного решения обратных граничных и коэффициентных задач для уравнений параболического типа со смешанными производными на основе неявного метода градиентного спуска, новых аналитических и численных методов;

сформулированы условия существования и единственности решения обратных задач;

- предложена комплексная математическая модель тепломассопереноса в анизотропных КМ, используемых в качестве тепловой защиты гиперзвуковых ЛА и методология ее численного решения на основе разработанных численных методов; математическая модель учитывает фазовые превращения внутри КМ, образование пиролизных газов и пористого коксового остатка, фильтрацию пиролизных газов через пористый остаток и вдув их в высокотемпературный пограничный слой, унос массы с наружной поверхности ЛА, наличие трех нестационарно подвижных границ фазовых превращений;

- получены новые универсальные законы разложения связующих КМ и нелинейной фильтрации пиролизных газов, пригодные для большинства КМ, используемых в качестве теплозащитных; эти законы включены в комплексную математическую модель;

- впервые получены многочисленные результаты численного решения прямых и обратных задач тепломассопереноса в анизотропных телах на основе разработанных комплексов программ.

Практическая значимость. Предложенные численные методы могут быть использованы для эффективного численного решения задач переноса потенциала в анизотропных линейных и нелинейных средах;

аналитические решения могут быть использованы не только для тестирования численных методов, но и для получения точных решений задач переноса потенциала в анизотропных средах; методология решения обратных задач может быть использована при восстановлении краевых условий II-го и III-го родов, а также характеристик тензора переноса потенциала.

Достоверность утверждений, представленных в диссертационной работе, подтверждается строгими математическими доказательствами, адекватными математическими моделями, аналитическими решениями и сравнением численных решений с аналитическими.

Апробация результатов исследования. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, научных школах и семинарах: 9Ц17 Международных симпозиумах Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред им. А.Г. Горшкова (Ярополец, Моск. обл. 2003Ц20г.г.), 3-й и 5-й Международных конференциях Авиация и космонавтика (Москва, 2004, 2006 г.г.); 1-й Международной конференции, посвященной 90-летию акад. В.Н. Челомея (Москва-Реутов, 2004 г.); 20-х академических чтениях Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики (Москва, 2005 г.); 12 и 13 Международных конференциях Математические модели физических процессов (Таганрог, 2007, 20г.г.); 8-й и 9-й Международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях (Алушта, Крым, 2010, 2011 г.г.); 6-й школесеминаре академика РАН В.Е. Алемасова Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении (Казань, 2008 г.); 1-й Всероссийской школе-семинаре Компьютерный инженеринг в промышленности и вузах, посвященном 80-летию МАИ (2009 г.); 10-й Всероссийской научно-технической конференции Научные исследования в области транспортных, авиационных и космических систем (Воронеж, 2009 г.); 5-й Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 2011 г.); Всероссийской конференции Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред (ИПРИМ РАН, 2010 г.); 7-й Международной конференции Современные вопросы науки (Тамбов, 2011 г.); 31-й Всероссийской конференции по проблемам науки и технологий МСНТ (г. Миасс, 2011 г.).

Результаты диссертационной работы использованы в НИР по грантам РФФИ, в трех из которых автор была научным руководителем, а также Минобрнауки РФ в рамках Федеральной целевой программы Научные и научно-педагогические кадры инновационной России. В 2008Ц2011 г.г. - обладатель трех грантов Президента РФ в общероссийских конкурсах Молодые кандидаты (№№ МК-646. 2008.8;

МК-1184. 2009.8; МК-309. 2011.8), а также обладатель Гранта клуба выпускников МАИ 2009 г.

Публикации. По тематике диссертационной работы опубликованы две монографии [1, 2], из них одна в соавторстве, и работ, из них 25 работ [3Ц27] опубликованы в журналах, входящих в перечень ведущих рецензируемых изданий ВАК РФ, а также учебное пособие [59].

ичный вклад. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Программирование и получение численных результатов по обратным граничным и коэффициентным задачам теплопереноса выполнены совместно с доц. Колесником С.А.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения с обзором литературы, шести глав, заключения, списка использованной литературы и краткого описания программных комплексов. Работа изложена на 330 страницах, содержит 54 рисунка и 13 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе предложен и обоснован по аппроксимации, устойчивости и сходимости новый класс экономичных абсолютно устойчивых конечно-разностных методов расщепления численного решения задач для дифференциальных уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы. Экономичность и устойчивость достигаются использованием информации о решении на верхнем временном слое, уже полученной в левых пространственных сечениях конечно-разностной сетки и на расщеплении по координатным направлениям центрально симметричного шаблона таким образом, чтобы каждая подсхема была полностью неявной. Весь класс предлагаемых новых экономичных абсолютно устойчивых конечно-разностных схем расщепления рассматривается для случая p 2, а затем распространяется на общий случай p -мерного эвклидова пространства Rp или на p 3.

В параграфе 1.1 формулируется следующая задача для уравнения параболического типа, содержащая смешанные дифференциальные операторы в пространстве Q x1, x2,..., xp и описывающая распределение функции u x1,..., xp,t :

u Lu f x,t, x Q, t 0,, t p 2u Lu Lu, Lu k ; (1) xx , __ u x,0 u0 x, x Q Q Q; (2) u x,t x,t, x Q, t 0,, (3) где коэффициенты k k образуют симметрический тензор второго ранга и удовлетворяют условию сильной эллиптичности p p p c1 k c2 , c1,c2 0, (4) 1 , 1 причем k k могут иметь произвольные знаки. Для p выполняются условия элиптичности k11 0, k22 0, k11k22 k12 0, k12 k21, (5) где k r r, r cos r, x, r cos r, x, , 1,2. (6) k r r Для численного решения задачи (1)Ц(3) при p 2 вводится конечно-разностная сетка по пространственным переменным x1, x______ h x i1h1,i2h2, i 0, N ; N h l, 1,2, (7) где h h h, h Q h, h h \h и на промежутке t 0; - конечно-разностная сетка по времени _________ t tj / 2, tj j, j 0, j0 1; j0 , 1,2, (8) и на этих сетках вводятся следующие сеточные функции:

j j1/2 j1 u i1h1,i2h2,t yij,i, u i1h1,i2h2,t yij,i1/2, u i1h1,i2h2,t yij,i1.

1 2 1 2 1 Для всех известных в настоящее время экономичных конечноразностных схем смешанные производные аппроксимируются по одному из шаблонов, представленных на рис. 1:

u Lu k y a y - для шаблона рис. 1а;

x x x x Lu y a yx a yx / 2 - для шаблона рис. 1б;

_ x x a Lu y a yx y / 2 - для шаблона рис. 1в, _ x x _ x где индекс x - означает центральную разность, x - разность назад, x - разность вперед, откуда следует, что оператор не может быть записан на верхнем временном слое (неявно), если поставлена задача построить экономичную, чисто неявную схему расщепления, использующую только скалярные прогонки по координатным направлениям.

Для устранения этого существенного недостатка предлагается следующая полностью неявная экономичная схема глубокого расщепления (МГР) (с использованием пока однородного краевого условия):

j1/2 j y y 1 1 j1/2 j1/2 j1/2, 11y 12 y 12 y, (9) j1 j1/y y 1 1 j1 j 1 j 22 y y 21y, (10) j /y x,0 u0 x, x h; y 0, x h, 1,2, (11) где 11y k11yx x1, 22 y k22 yx x2, 12 y k12 yx x1, 1 2 12 y k12 yx x1, y k21yx x1, y k21yx x1, signk12, j 0,1,..., j0 1.

21 2 2 Шаблоны схемы (9), (10) представлены на рис. 2. Из них видно, что смешанные конечно-разностные операторы 12 y и 21y расщеплены по координатным направлениям таким образом, что при реализации скалярной прогонки вдоль линии x2 i2 h2 на дробных временных слоях j 1/ 2 (подсхема (9)) имеется только три искомых значения сеточной 1/ 1/ 1/ функции yij1,i2, yij,i1/2, yij1,i2, а значения yij,i1/ 2, yij1,i2 1, при 1 или 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1/ yij1,i2 1, yij,i1/ 2 при 1 уже определены на верхнем полуслое j 1/ 1 2 1 при реализации прогонки вдоль координатной линии x2 i2 1 h2.

Аналогично, при реализации скалярной прогонки вдоль линии x1 i1h1 на целых временных слоях j 1 (подсхема (10)) имеется три неизвестных 1 1 yij,i11, yij,i1, yij,i11, а значения слева yij1,i, yij1,i 1, при 1, либо yij1,i, 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 yij1,i 1 справа при 1 уже определены из прогонки вдоль линий 1 x1 i1 1 h1 (при 1) или x1 i1 1 h1 (при 1). Таким образом, схема МГР (9), (10) - полностью неявная, из чего следует ожидать, что она абсолютно устойчива и, что имея частичную аппроксимацию на каждом дробном слое, обладает суммарной аппроксимацией, т.к.

наложение шаблонов при 1 или при 1 приводит к центральносимметричному шаблону (рис. 1б,в).

Имеет место следующая Теорема 1.1 (об аппроксимации схемы (9), (10)). Пусть u x,t C4 Q, Q Q 0,. Тогда схема (9), (10) обладает свойством суммарной аппроксимации на решении u x,t задачи (1)Ц(3) с погрешностью аппроксимации O h1 h2 .

Методом гармонического анализа доказана теорема 1.2 о том, что неучет знака параметра приводит к условной устойчивости с условием 4 3 3 k11h12h2 2k12h1 h2 k22h2 h .

4 k11h2 k12h1h2 k22h12 k12h1h Таким образом, обосновывается необходимость введения параметра , при наличии которого имеют место следующие теоремы:

Теорема 1.3 (об абсолютной устойчивости схемы (9), (10)).

Пусть компоненты k тензора задачи (1)Ц(3) удовлетворяют условию сильной эллиптичности (4). Тогда схема (9), (10) абсолютно устойчива по начальным данным, так что для решения задачи с начальным условием y x,0 u0 x справедлива оценка j1 j y y ... y x,0 u0 x, т.е. выполняется принцип максимума.

Доказательство проводится методом энергетических неравенств в гильбертовом функциональном пространстве.

Теорема 1.4 (об устойчивости схемы (9), (10) по правой части).

Пусть выполнены условия теоремы 1.3. Тогда схема (9), (10) устойчива по правой части уравнения (1)и для решения справедлива оценка j j1 k y u0 B1 f, где B E A1 A2 A1A2, k 1 1 1 1 A1 11 12 12 , A2 22 .

21 22 Таким образом, согласно теории сходимости и теоремы эквивалентности из устойчивости и аппроксимации с порядком O h1 h2 2 следует сходимость численного решения по схеме (9), (10) к точному при ,h1,h2 0 со скоростью O h1 h2 2.

Схема легко обобщается на случай p -мерного эвклидова p пространства R, в частности, на трехмерный случай.

В параграфе 1.2 на основе схемы МГР предложена двусторонняя схема для параболических уравнений, содержащих смешанные производные и переменные коэффициенты и при определенных условиях имеющая второй порядок аппроксимации по времени. Существо метода рассматривается в Rp при p 2, для чего уравнение (1) представляется в виде суммы 2 p операторов 2 p 2 p u 1 L11 L12 1 L L 1 L11 L12 1 L L 21 22 21 4 t 2 2 1 u 1 f x,t 2 p 1 1 1 y x,t, 21 22 22 2 11 12 2 2 11 12 2 21 откуда следует j1/4 j y y j1/4 j1/ 11y 12 y (12) j1/2 j1/y y j1/2 j1/ 11y 12 y (13) j3/4 j1/y y j3/4 j3/ y y (14) 21 j1 j3/y y j1 j y y, (15) 21 y y k yx x k yx x , 1 1 y k yx k yx, x x _____ 1 1 y k yx k yx, , 1,2.

x x Двусторонняя схема (12)Ц(15) является полностью неявной и следует ожидать, что она абсолютно устойчива, а также экономичной, поскольку реализуется с помощью скалярных прогонок вдоль координатных направлений x1, x2. С помощью подсхем (12), (13) скалярные прогонки осуществляются вдоль переменной x1 в противоположных направлениях, т.е. если подсхема (12) реализуется ___________ слева направо, вдоль переменной x1 для всех i2 1, N2 1, то подсхема ___________ (13) - справа налево вдоль переменной x1 для всех i2 N2 1,1.

Аналогично для подсхем (14), (15), т.е. подсхема (14) реализуется вдоль ___________ переменной x2 снизу вверх для всех i1 1, N1 1, а подсхема (15) - сверху ___________ вниз для всех i1 N1 1,1.

Имеют место следующие теоремы об аппроксимации и сходимости двустороннего метода глубокого расщепления.

Теорема 1.5. Пусть решение задачи (1)Ц(3) принадлежит классу C4 Q, тогда схема (12)Ц(15) обладает свойством суммарной p аппроксимации с погрешностью O h2, h2 .

h k k Теорема 1.6. Пусть u x,t C4 Q - решение задачи (1)Ц(3).

Тогда схема (12)Ц(15) сходится на функции u x,t и имеет точность O h2.

Несмотря на то, что суммарная аппроксимация имеет порядок O h2, сходимость удается доказать только со скоростью O h2, однако если u x,t C5 Q, то можно доказать сходимость со скоростью O h2.

Замечание. Схему (12)Ц(15) можно схематически представить так A1 A2 A3 A4. Однако, если скалярные прогонки осуществлять по схеме A1 A3 A2 A4, то по теореме 1.5 можно получить порядок O h2.

В параграфе 1.3 на основе классического метода переменных направлений (МПН) предложена экономичная, абсолютно устойчивая схема численного решения задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные производные. Назовем эту схему ассиметричной схемой переменных направлений (АМПН). В случае R2 схема имеет вид (ее шаблон представлен на рис. 3):

yn1/2 yn 11yn1/2 12 yn1/2 12 yn 22 yn n1/2, (16) / yn1 yn1/ 11yn1/2 yn1/2 yn1 22 yn1 n1, (17) 21 / 1 1 где 12 y k12 yx x1 k12 yx x1 ;

2 1 1 12 y k12 yx x1 k12 yx x1, 2 signk12, n f x,tn, y k yx x, 1,2.

Справедливы следующие теоремы: Теорема 1.7. Пусть коэффициенты задачи (1)Ц(3) удовлетворяют условиям сильной эллиптичности (4). Тогда схема (16), (17) устойчива по начальным данным и по правой части и для решения задачи (16), (17) верна априорная оценка 1/t 1 y t y 0 , y Ay, y. (18) t' A AA t' 0 Т е о р е м а 1.8. Если u x,t C4 Q, то схема (16),(17) сходится в сеточной норме (18) со скоростью O h2.

В параграфе 1.4 схема МГР распространена на задачи для уравнений параболического типа со смешанными дифференциальными операторами и краевыми условиями, содержащими производные. Для граничных узлов интегро-интерполяционным методом сохранен порядок аппроксимации, присущий внутренним узлам и консервативность конечно-разностной схемы.

В параграфе 1.5 рассмотрена схема метода переменных направлений с экстраполяцией (МПНЭ), построенной по тому же принципу использования апостериорной информации, полученной на верхнем временном слое, что и в схеме МГР. Схема базируется на основе метода переменных направлений Писмена-Рэчфорда, но от последней отличается аппроксимацией всех дифференциальных операторов на верхнем временном слое (неявно). В R2 она имеет вид (шаблон представлен на рис. 4):

j1/2 j y y j1/2 j1/2 j 1/2 j1/ 11y 12 y 21yJ 1/2 22 y , (19) / где k11 1/ j1/11y yij1/i2 2yij,i1/2 yij1,i2 ;

1 2 1 2 1 h1 1, k12 1/ 1/ j 1/2 1/ 12 y yij1,i2 1 yij1,i2 1 yi 1,i2 1 yij1,i2 1 ;

1 2 1 2 1 1 4hhk21 1/ 1/ 1/ 1/ j1/21y yij1,i2 1 yij1,i2 1 yij1,i2 1 yij1,i2 1 ;

1 2 1 2 1 2 1 4hh__________ __________ k22 j1/22 y yij,i1/2 2yij,i1/2 yij,i1/2, i1 1, N1 1, i2 1, N2 1;

1 2 1 2 1 h2 j 2 j j 2 ymi1/1 2ym,i 1 ymi1/1 O , m i1 1,i1,i1 1;

,, 2 2 j1 j1/y y j 1 j1 j1 j 1 j 11y 12 y 21y 22 y , (20) / k11 1 j 1/11y yij1,i 2yij,i1 yij1,i ;

1 2 1 2 1 hk12 1 1 1 j12 y yij1,i 1 yij1,i 1 yij1,i 1 yij1,i 1 ;

1 2 1 2 1 2 1 4hhk21 1 1 1 j21y yij1,i 1 yij1,i 1 yij1,i 1 yij1,i 1 ;

1 2 1 2 1 2 1 4hh__________ __________ k22 j 22 y yij,i11 2yij,i1 yij,i11, i1 1, N1 1, i2 1, N2 1;

1 2 1 2 1 h1 1/2 yij1,m 2yij1,m yij1,m O , m i2 1,i2,i2 1.

1 1 Схема (19), (20) обладает сильным диагональным преобладанием, вследствие чего по запасу устойчивости она не имеет аналогов.

Имеют место следующие теоремы об аппроксимации и устойчивости:

Теорема 1.9. Пусть решение уравнения (1) u x1, x2,t C4 G, Тогда схема (19), (20) аппроксимирует на точном решении дифференциальное уравнение (1) с порядком O h h1 h2 где , 2 h h1 h2.

Теорема 1.10. Пусть выполнены условия эллиптичности k11 0, k22 0, k11k22 k12 0. Тогда схема (19), (20) абсолютно устойчива по начальным данным.

В главе 2 разработана методология применения класса методов, разработанного в главе 1, к решению задач для нелинейных уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, а также проведен сравнительный анализ точности разработанных и классических экономичных методов решения нелинейных задач со смешанными производными на аналитическом решении существенно нелинейной задачи.

В параграфе 2.1 к задаче (1)Ц(3), в которой вместо уравнения (1) в Rp рассматривается нелинейное уравнение вида p u u u u L0u, L x,t,u,, L0u q0 x,t,u, (21) L t x q x x 1 с условиями гладкости и параболичности ____ ____ u q 1 ____ 2q , 1 q x,t,u, Q C2 Q , C1 Q , C3 x u u u x x x u q x,t,u, p p p ____ 2qx 1 C0 Q , c1 c2 , u / x 1 , u u x x _____ , , 1, p, (22) применяется двусторонняя разностная схема МГР, которая в R2 имеет вид j1/4 j y y j1/4 j1/ q1 x1, x2,t, y, yxj 1/4, yxj1/ 1 x j2/4 j1/y y j2/4 j2/ q1 x1, x2,t, y, yxj2/4, yxj2/4 (23) 1 x j3/4 j2/y y j3/4 j3/ q2 x1, x2,t, y, yxj3/4, yxj3/ 1 x j1 j3/y y j1 j q2 x1, x2,t, y, yxj1, yxj1, 1 x причем для реализации задачи (23) используется итерационный процесс Ньютона.

Доказывается следующая теорема об аппроксимации задачи (21), (2), (3) схемой (23) в суммарном смысле:

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия гладкости и параболичности (22), тогда погрешность аппроксимации оценивается сверху выражением R h2, где ____ 1 2u R max , S , S2 S2 1, 1,2, x,t Q , 2 t2 и S - производные по пространственным переменным до четвертого порядка в главном члене погрешности, ,1 - символ Кронекера.

В параграфе 2.2 для применения схемы метода МПНЭ к задаче (21), (2), (3) необходимо продифференцировать дивергентный оператор в уравнении (21) по пространственным переменным x1, xu q1 u q2 u q1 2u q1 2u t u x1 u x2 x2xxu u x1 x 2q2 2u 2q2 2u (24) x1x2 xu u x1 x и к полученной задаче применить схему метода МПНЭ (19), (20).

Имеют место следующие теоремы об аппроксимации и абсолютной устойчивости:

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия гладкости и параболичности (22). Тогда схема метода МПНЭ для задачи (21), (2), (3) аппроксимирует эту задачу с порядком O h h1 h .

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия (22) в задаче (21), (2), (3).

Тогда схема МПНЭ абсолютно устойчива по начальным данным.

В параграфе 2.3 проведен сравнительный анализ методов глубокого расщепления с модификациями и переменных направлений с экстраполяцией, с одной стороны, и классических методов расщепления - с другой, путем сравнения с аналитическим решением 2 2 u x1, x2,t x1 x2 t2 следующей существенно нелинейной задачи:

11 2 u u 1 u 12 u u c 11 12 22 2ct 10, t x1 x1 2 x2 x2 3 x1 x2 2 3 2 2 u x1, x2,0 x1 x2, x1, x2 Q, u 0, x2,t x2 t2, 0 x2 l2, 11 22 2 3 2 u l1, x2,t l12 x2 t2, 0 x2 l2,u x1,0,t x1 t2, 0 x1 l1, 11 22 2 2 u x1,l2,t x1 l2 t2, 0 x1 l1, 11 На рисунках 5, 6 представлены результаты сравнения максимальных абсолютных погрешностей c t max yi,i2 t ui,i2 t, где y - сеточная i1,i2 1 функция, u - точное решение, для следующих входных данных:

l1 l2 0,08 м, 0,6c, c 1000 кДж(м3 К), 450, h1 h2 h при варьировании главных коэффициентов тензора переноса потенциала , и различных значениях чисел 4 Ku Ku , 0,001, max ,.

h2 c Из рисунков видно, что при значениях Ku 1 (в области устойчивости классической явной схемы) и 0,025 погрешности указанных схем одного порядка. С увеличением Ku до значения 1 (рис.

6) резкий скачок c явной схемы, схем переменных направлений и дробных шагов иллюстрирует их неустойчивость для нелинейных задач, в то время как схемы глубокого расщепления, переменных направлений с экстраполяцией, асимметричной схемы переменных направлений остаются устойчивыми. Схема МПНЭ, хотя и имеет первый порядок по времени в соответствии с теоретическими выкладками, однако численные эксперименты показывают, что эта схема имеет наивысшую точность. Это подтверждают и результаты, приведенные на рис. 7, где приведены максимальные абсолютные погрешности для классических схем (явной, МПН, МДШ) и предлагаемых схем (МГР, АМПН, МПНЭ), которые показали не только абсолютную устойчивость схем с использованием апостериорной информации на верхних временных слоях, но и большую точность, чем в классических схемах. Кроме этого, схемы с полной аппроксимацией на дробных шагах (АМПН, МПНЭ) значительно точнее схем с суммарной аппроксимацией (например, МГР), достаточно сравнить рисунки 7, 7e, с одной стороны, и рисунок 7г - с другой.

Глава 3 посвящена применению интегральных методов решения задач для уравнений параболического типа со смешанными производными и граничными условиями 1-го, 2-го, 3-го родов. Впервые полученные аналитические решения используются не только для тестирования новых численных методов и результатов конкретных задач, но и для решения обратных задач для уравнений со смешанными производными. Поскольку аналитические решения получены в виде интегралов по времени от функциональных рядов, то вычисление таких решений представляет значительные трудности, особенно в окрестности t 0. Разработан метод, позволяющий точно просуммировать интегралы от функциональных рядов в окрестности t 0.

Здесь приведено точное решение следующей второй начальнокраевой задачи в анизотропной полосе толщиной :

2u 2u 2u u 11 212 22 c, x ;, y 0;, t 0; (25) x2 xy y2 t u u 21 22 q1 l1 x, x ;, y 0, t 0; (26) x y u u 22 q2 l2 x, x ;, y , t 0; (27) x y u x, y,0 0, x ;, y 0,, t 0, (28) которое имеет вид q2 t k y k2 k u x, y,t t 1 1 2 1 cos exp 22 0 k 1 l2 x y l2 x y d erf erf 2 t 2 t q1 t yk2 k (29) t exp 1 1 2 1 cos k 22 0 k 1 l1 x y l1 x y d, erf erf 2 t 2 t 2 где 12 / 22, 1122 12 / 22, c / 22, z 1, z 0 и z 0, z 0.

Для полубесконечного тела решение (29) упрощается t q 1 y2 u x, y,t 1 exp 4t 2 22 0 t l x y l x y erf erf d, (30) 2 t / 2 t / Для обоснования решения (29) доказана следующая теорема:

Теорема 3.1. Пусть функция u x, y,t определена и непрерывна в анизотропной полосе толщиной и удовлетворяет дифференциальному уравнению (25). Тогда, в отсутствие источников, задача (25) имеет единственное решение.

Кроме этого, доказана теорема о мероморфности изображения по Лапласу, благодаря чему удалось изображение разложить в ряд по количеству простых полюсов и, тем самым, получить обратное преобразование.

В главе 4, на основе неявных градиентных методов минимизации функционала невязки и новых аналитических и численных методов, изложенных в главах 1Ц3, впервые решены граничные и коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа со смешанными производными.

В параграфе 4.1 изложена методология численного решения обратных задач для уравнений параболического типа со смешанными производными с использованием аналитического решения (30) в анизотропном полупространстве, для чего вводится квадратичный функционал I J S (31) u ui, , i, j j i1 j где 12... - искомый вектор восстанавливаемых параметров, заложенных в экспериментальные значения потенциала ui, j в _____ j пространственных точках x, y, i 1, I и в моменты времени t, i _____ j j 1, J, определенных с погрешностью , ui, j u x, y,t, 1 ;

i ui, j - расчетные значения потенциала в тех же точках по формуле (30). Минимизация функционала (31) осуществляется с помощью неявного метода градиентного спуска.

n n 1 ngrad S n1, (32) где n - номер итерации, n - параметрические шаги. Окончание итерационного процесса устанавливается по условию grad S n1 , где - заданная точность. Для вычисления градиента функционала и n n n определения вектора 1 функция ui, j n1 разлагается в ряд Тейлора в окрестности n с сохранением линейных относительно n n членов, дальнейшим вычислением компонентов S 1 / k, _____ k 1, K с получением градиента функционала grad S n1 ZT n n u ZT n Z n n, u подставляя который в (32), получим n n nZ n Z n Z n n u (33) E , u ui, j n _____ , i 1,9, j 1,2,..., J, k 1,2,..., K - где матрица Z n k матрица коэффициентов чувствительности. Доказывается теорема существования и единственности итерационного процесса (33).

Теорема 4.1. Пусть матрица Z чувствительности такова, что для любой итерации процесса (33) выполняются неравенства 1 nn1 Zn1 n Zn и ZT nZn , (34) 2 n n где Z - любая матричная норма транспонированной матрицы чувствительности, - параметр спуска. Тогда итерационный процесс (33) удовлетворяет принципу сжимающих отображений n1 p n, p 1, т.е. существует единственная точка , к которой стремится последовательность n, n 0,1,2,... как к своему пределу lim n .

n На основе этой методологии в параграфе 4.2 разработаны алгоритмы восстановления краевых условий и линейных компонентов тензора переноса потенциала в анизотропных телах.

В параграфе 4.3 разработана методология численного решения коэффициентных обратных задач по восстановлению нелинейных компонентов тензора переноса потенциала. В основу методологии положен метод МПНЭ численного решения многомерных задач со смешанными производными, как метод с наибольшим запасом устойчивости и точностью, а также метод параметрической идентификации и метод, изложенный в параграфе 4.1.

В соответствии с предлагаемым методом нелинейные компоненты 11 u, 12 u, 22 u, зависящие от потенциала, представляются в виде линейных комбинаций кусочно-постоянных или ______ линейно-непрерывных базисных функций Nm u, m 1, M, задаваемых ______ на конечных элементах um, m 1, M, связанных с равномерной конечно-разностной сеткой по времени и неравномерной крупной конечно-элементной сеткой по функции u um1,um, где m - число блоков по времени:

M M M 11 22 11 u Nm u, 22 u Nm u, 12 u Nm u. (35) m m m m1 m1 mКоличество M блоков по времени (конечных элементов), внутри _______ каждого из которых Km m 1, M шагов по времени определяются из tкон umax umin соотношений I Km , Km , M , um , где - 9 Km M погрешность метода градиентного спуска, - погрешность экспериментальных данных, I 9.

В качестве расчетных значений потенциала ui, j в (31) принимаются значения, полученные методом МПНЭ из решения задачи, аналогичной задаче (25)Ц(28), в которой вместо линейных используются нелинейные компоненты 11 u, 22 u, 12 u тензора переноса потенциала, а для определения коэффициентов чувствительности ______ u u u zm , m , wm , m 1, M на каждом отрезке u um1,um 11 12 m m m необходимо численно решить прямую задачу относительно u x, y,t, а, затем - задачи, полученные путем дифференцирования прямых задач по 11 12 параметрам m, m, m. Таким образом, методология, изложенная и обоснованная в параграфе 4.1, используется при восстановлении 11 12 постоянных коэффициентов m, m, m на каждом m -м промежутке ______ u um1,um, m 1, M.

В главе 5 разработанный математический аппарат применен к математическому моделированию тепломассопереноса в теплозащитных композиционных материалах в условиях высокотемпературного нагружения.

В параграфе 5.1 изложены физические основы функционирования теплозащитных композиционных материалов (КМ) в условиях высокотемпературного нагружения, показано возникновение новых фаз в виде пористого остатка, пиролизных газов, трех нестационарно подвижных границ фазовых превращений в результате различных физико-химических процессов, происходящих внутри КМ и позволяющих эффективно использовать их в качестве теплозащитных.

В параграфе 5.2 разработана комплексная физикоматематическая модель тепломассопереноса в теплозащитных КМ при высокотемпературном нагружении. Она включает в себя следующие соотношения:

w g Ie Iw grad T w Tw cp V Tw cp w mQ Ie Tw T, x, y F x, y,t, t 0; (36) T ceff T eff div eff gradT cp V gradT, g t x, y , t tk ; (37) кс T Tk, x, y fk x, y,t, t tk ; (38) T ceff T eff T div eff gradT x, y,t Q t x, y cpV gradT, x, y n, t tн ; (39) g T Tн, x, y fн x, y,t, t tн ; (40) Tн grad T Tн gradT mн Q, fн 0 fн T T T, x, y fн x, y,t, t tн ; (41) fн 0 fн eff Tk grad T eff Tk gradT mk Q, fk 0 fk T T Tk, x, y fk x, y,t, t tk ; (42) fk 0 fk w2 Te2 Tw2 grad T w2Tw2 0, x, y w2, t 0; (43) wg div gVg 0, x, y , t tk ; (44) кс t pg Mg g , x, y t tk ; (45) кс Rg T p x, y pw, x, y w ; (46) w 0 g Rg Tk p0 g ; (47) M g rк g ; (48) r 0 t н r,t dr rн T x, y,0 T x, y, x, y ; fн x, y,0 x, y, x, y fн x, y,0 ; fk x, y,0 x, y, x, y fk x, y,0 ; (49) Tн Tk T, fн x, y,t fk x, y,t F x, y,t. (50) В математической модели введены следующие обозначения: - тензор теплопроводности; Q - теплота фазовых превращений; - пористость; V - скорость фильтрации; T - температура; c, - теплоемкость, плотность; I - энтальпия газа; - коэффициент ___ теплоотдачи; m - масса; R - газовая постоянная; M - средняя молекулярная масса; - коэффициент газации; - наружная граница уноса массы; - границы зоны пиролиза; н Цначало; к - конец; g - газы; w, w2 - наружная и внутренняя границы тела; eff - эффективный;

kc - кокс.

Для замыкания математической модели (36)Ц(50) в параграфах 5.3 и 5.4 идентифицированы закон разложения связующих КМ и закон нелинейной фильтрации пиролизных газов. Закон разложения связующих КМ выведен на основе известных из экспериментов для большинства КМ температур Tн, Tк и плотностей н, к начала и окончания разложения связующих КМ и экспоненциональной зависимости плотности КМ от температуры в зоне пиролиза и имеет вид:

T к (51) tк r rн ln rн / н r,t н exp ln rн , r rн rн rк ln t rcp Tк T Tн где r - радиус-вектор точки в зоне пиролиза: T ;

T Tк Tн rн rн . Верхняя оценка относительной погрешности плотности rк rн КМ , полученной из закона (51) при известных относительных погрешностях температур Tн, Tк начала и окончания разложения связующих, имеет вид к Tк Tн ln Tн Tк. (52) н Tк Tн Исследованы влияние погрешностей температур Tн, Tк на скорости движения трех границ фазовых превращений rw, rн, rк и температурное поле в вычислительных экспериментах с математической моделью (36)Ц(50), которые показали, что при 10%-й погрешности Tн, Tк погрешности по скоростям движения границ не превышают 2%, а по температуре - 4%.

Закон нелинейной фильтрации выведен на основе учета инерционных членов в уравнениях движения пиролизных газов в капиллярах путем введения неизвестной зависимости скорости V g фильтрации от фильтрационного числа Рейнольдса ReL V, где 3/ 2 g - тензор проницаемости, , g, g - пористость, плотность, динамическая вязкость, причем эта функция определяется из решения системы уравнений течения газа в капиллярах в приближении пограничного слоя. В результате получен закон в виде следующего соотношения:

K V gradp, (53) g T 1 ReL в соответствии с которым для нелинейной фильтрации динамическая вязкость g увеличивается в 1 ReL раз. Определяются границы применимости этого закона по градиенту давления gradp 1,7105 Па/м.

В параграфе 5.5 приведена методология численного решения всей комплексной проблемы с учетом второго порядка аппроксимации по пространственным переменным граничных условий II-IV-го родов, включая и пространственные подвижные границы фазовых превращений, для чего метод МПНЭ модифицирован путем использования интегроинтерполяционного метода.

На основе разработанного программного комплекса, реализующего математическую модель (36)Ц(53) получены многочисленные результаты по тепломассопереносу в анизотропных теплозащитных композиционных материалах в условиях фазовых превращений и уноса массы.

На рис. 8 приведен один из таких результатов определения температурного поля (рис. 8а) и двумерной границы фазовых превращений (рис. 8б) в анизотропном прямоугольнике l1 l2 0,15 м0,05 м с главными компонентами тензора теплопроводности 1, 0,5 кВТ/м К, / 4, c 1000 кДж/м3 К, Tн 600K, Tк 1000K с симметричным относительно оси x l1 / тепловым потоком.

а) б) Рис. 8. Температурное поле в момент времени tкон 10с (а) и динамика движения границы фазовых превращений (б) в анизотропном композиционном материале Из рисунка видно, что при симметричном тепловом нагружении видна существенная несимметрия границы фазовых превращений, нестационарно продвигающейся вглубь тела, а также температурного поля, причем если температурное поле смещается в направлении главной оси с большим коэффициентом теплопроводности, то подвижные границы фазовых превращений продвигаются в противоположном направлении.

На рисунках 9 приведены вертикальные сечения полей давления фильтрации в пористой области с нестационарно подвижной границей фазовых превращений для фенольного стеклопластика (рис. 9а) и углепластика (рис. 9б).

а) б) Рис. 9. Распределение давления фильтрации в нестационарно расширяющемся двумерном пористом остатке фенольного стеклопластика (а), и углепластика (б): 1 - x=0.15м; 2 - x=0.135м; 3 - x=0.12м; 4 - x=0.105м; 5 - x=0.09м;6 - x=0.015м; 7 - x=0.045м; 8 - x=0м;

9 - x=0.03м.

(а) (б) Рис.10. Изменение по времени подвижной границы фазовых превращений (а) и температур (б) для импульсного нагрева анизотропного композиционного материала На рис. 10 приведены результаты решения задачи типа Стефана при импульсном нагреве анизотропных тел, когда площадь действия импульса в точке x l1 / 2, y l2 равна нулю.

Отклонение температурного поля (рис. 10б) и границы фазового перехода (рис. 10а) от оси x l1 / 2 дает основание сделать предположение о том, что если материал новой фазы удаляется, то отверстие в анизотропном материале может искривляться в том же направлении, что и температурное поле.

В главе 6 приведены результаты численного решения граничных и коэффициентных обратных задач теплопроводности в анизотропных телах по идентификации как скалярных величин, так и нелинейных компонентов тензора теплопроводности на основе аналитического и численного решения прямых задач анизотропной теплопроводности.

В таблицах 1 и 2 приведены результаты численного решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности по восстановлению нелинейных компонентов тензора теплопроводности, заложенных в k экспериментальные значения температур Ti, j, с абсолютной погрешностью 0 и 10 К соответственно в виде зависимостей:

12 11 T 0,0025T 11N1 T 11N2 T ; 22 T 0,0015T 22N1 T 22N2 T ;

12 T 0,000866T 12N1 T 12N2 T, где искомыми являются 1 2 1 2 1 коэффициенты 11, 11, 22, 22, 12, 12, N1 T T maxT T maxT min ; N2 T T T min T maxT min, k 1 причем в экспериментальные значения Ti, j заложены 11 1,375, 11 3,5;

1 2 1 22 0,825, 22 2,1, 12 0,476314, 12 1,21244.

Таблица 1, 1 1 1 2 2 Номер S n 11 22 12 11 22 итерации 0 1,12Е+06 1 1 0 1 1 0 1 115443 3,23927 1,40083 0,967038 1,09177 1,69459 - 0,1712 1106,93 2,74605 0,938084 0,744596 3,00184 2,05214 1,34424 3 21,9547 1,189 0,827484 0,439727 3,5639 2,10083 1,2009 4 0,154373 1,36677 0,824827 0,475127 3,5017 2,09957 1,21203 5 0,000167 1,37484 0,824989 0,476294 3,50002 2,09999 1,21243 6 5,05Е-08 1,375 0,825 0,476314 3,5 2,1 1,21244 Таблица 2, 10К 1 1 1 2 2 Номер S n 11 22 12 11 22 итерации 0 1,72Е+06 1 1 0 1 1 0 1 151923 3,26393 1,35639 1,01665 1,08613 1,71674 -0,1307 2 6562,79 0,937527 0,905392 0,431408 4,00696 2,05979 1,55763 3 1550,78 1,30691 0,846076 0,455453 3,53964 2,09224 1,24731 4 1539,48 1,33133 0,846509 0,452776 3,53128 2,09431 1,25444 5 1539,47 1,33196 0,846568 0,452835 3,53114 2,09438 1,25444 6 1539,47 1,33197 0,846569 0,452836 3,53114 2,09438 1,25444 7 1539,47 1,33198 0,846569 0,452836 3,53114 2,09438 1,25444 Из таблиц 1, 2 следует, что погрешность в определении шести 1 2 1 2 1 коэффициентов 11, 11, 22, 22, 12, 22 равна нулю, когда k экспериментальные значения Ti, j заданы точно и с погрешностью 1 2 1 2 11 3,1%, 11 0,9%, 22 2,6%, 22 0,3%, 12 4,9%, 2 k 12 3,5%, если экспериментальные значения Ti, j заданы с однопроцентной относительной погрешностью. На рисунке k приведены заложенные в экспериментальные значения Ti, j нелинейные компоненты тензора теплопроводности (пунктирные линии) и восстановленные (сплошные линии).

Рис. 11. Восстановленные нелинейные компоненты тензора теплопроводности при наличии погрешности 10К в определении экспериментальных k значений Ti, j (сплошные линии - восстановленные, пунктирные - k заложенные в Ti, j ).

Основные научные результаты 1. Разработан и обоснован по аппроксимации и устойчивости новый класс экономичных абсолютно устойчивых методов расщепления численного решения задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, на основе апостериорной информации на верхних временных слоях и на более глубоком, чем в классических методах, расщеплении смешанных дифференциальных операторов [12, 13].

2. Предложенные методы распространены на нелинейные уравнения, содержащие смешанные производные, в соответствии с чем проведен сравнительный анализ разработанных и классических методов расщепления на точном решении задачи для существенно нелинейного уравнения параболического типа со смешанными производными, показавший не только абсолютную устойчивость, но и более высокую точность предложенных методов по сравнению с классическими методами [5, 11, 16].

3. Впервые получен ряд аналитических решений задач для уравнений параболического типа со смешанными производными с граничными условиями 2-го и 3-го родов [3, 6, 15, 16].

4. Разработана методология численного решения обратных граничных и коэффициентных задач для уравнений параболического типа со смешанными производными на основе неявного метода градиентного спуска и новых аналитических и численных методов [17, 18].

5. Разработанный математический аппарат применен к методологии математического моделирования задач тепломассопереноса в анизотропных композиционных материалах (КМ), используемых в качестве теплозащитных для гиперзвуковых летательных аппаратов (ЛА). Математическая модель учитывает фазовые превращения внутри КМ с образованием новых фаз, неизотермическую анизотропную фильтрацию пиролизных газов, их вдув в пограничный слой, унос массы пористого остатка и многие виды нелинейностей [21, 23].

6. Получен новый закон разложения связующих КМ, позволивший обойти химическую кинетику и тем самым применить его к большинству КМ, используемых в качестве теплозащитных, а также нелинейный закон фильтрации пиролизных газов. Эти законы замыкают комплексную математическую модель [4, 5].

7. Разработаны комплексы программ многомерного нестационарного тепломассопереноса в анизотропных КМ и решения обратных граничных и коэффициентных задач в многомерных анизотропных средах. На основе этих программных комплексов впервые получены многомерные температурные поля и поля давления многомерной анизотропной фильтрации, а также восстановлены краевые условия и нелинейные компоненты тензора теплопроводности в анизотропных телах [7, 17Ц19].

Монографии 1. Кузнецова Е.Л. Математическое моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах при высокотемпературном нагреве в элементах ракетно-космической техники. - М.: Изд-во МАИ. 2010. 158с.

2. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л. Тепломассоперенос в анизотропных телах при аэрогазодинамическом нагреве. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ. 2010. 308с.

Статьи в журналах, входящих в перечень ВАК 3. Кузнецова Е.Л. Аналитическое исследование задач типа Стефана в композиционных материалах с двумя нестационарно подвижными границами// Вестник Саратовского государственного технического университета, №2(45), 2010. С. 24Ц31.

4. Кузнецова Е.Л. Моделирование теплового состояния композиционных материалов на основе универсального закона разложения связующих // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Серия Физ-мат науки. 2010. № 5(21). С.170Ц178.

5. Кузнецова Е.Л. Тепломассоперенос в композиционных материалах на основе нелинейного закона фильтрации// Известия РАН.

Серия Энергетика. 2011. № 1. С.40Ц46.

6. Кузнецова Е.Л., Колесник С.А. Моделирование сопряженного теплообмена на границах анизотропных тел с использованием аналитических решений// Вестник Московского Авиационного Института. 2010. Т. 17. № 2. С. 121Ц126.

7. Кузнецова Е.Л. Тепломассоперенос в теплозащитных композиционных материалах при высокотемпературном нагружении// Вестник Московского авиационного института. 2010. Т. 17. № 3. С. 30 - 36.

8. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. О тепловых волнах в нелинейном анизотропном пространстве // Инженерная физика. Серия Теплофизика и тепломеханика. 2010. № 5. С. 43Ц47.

9. Кузнецова Е.Л. Селин И.А., Формалев В.Ф. Задача типа Стефана с произвольным числом подвижных границ фазовых превращений// Вестник МГТУ им.Баумана. Серия Естественные науки.

2010. 2(37). С. 49Ц57.

10. Кузнецова Е.Л., Колесник С.А., Формалев В.Ф. Сопряженный теплообмен на границах композиционных анизотропных материалов// Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. Т. 16. № 2.

С. 232Ц240.

11. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Волновой теплоперенос в нелинейном анизотропном пространстве// Нелинейный мир. 2010. Т. 8. № 4. С. 208Ц212.

12. Кузнецова Е.Л. Численное моделирование тепломассопереноса в нелинейном двухфазном пространстве// Нелинейный мир. 2010. Т. 8. № 8. С. 497Ц508.

13. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Экономичный полностью неявный метод численного решения параболических уравнений, содержащих смешанные производные// Вычислительные технологии.

2010. Т. 15. № 5. С. 72Ц80.

14. Кузнецова Е.Л. Аналитическое исследование нелинейного тепломассопереноса при пленочном охлаждении тел.// Нелинейный мир.

2010. Т. 8. № 10. С. 621Ц628.

15. Кузнецова Е.Л., Колесник С.А., Формалев В.Ф. Методология численного решения обратных граничных задач теплопереноса в анизотропных материалах на основе аналитического решения// Нелинейный мир. 2011. Т. 9. № 2. С. 71Ц77.

16. Кузнецова Е.Л. Моделирование теплопереноса в нелинейном анизотропном пространстве на основе аналитического решения// Математическое моделирование. 2011. Т. 23. № 12. С. 21Ц30.

17. Кузнецова Е.Л. Восстановление характеристик тензора теплопроводности на основе аналитического решения задачи теплопереноса в анизотропном полупространстве// Теплофизика высоких температур. 2011. Т. 49. № 6. С. 1Ц8.

18. Кузнецова Е.Л., Колесник С.А. Восстановление тепловых потоков путем решения обратной граничной задачи теплопереноса в анизотропной полосе// Известия РАН. Серия Энергетика. 2011. № 6. С.

196Ц203.

19. Кузнецова Е.Л., Колесник С.А. Обратная коэффициентная задача теплопереноса в анизотропном полупространстве// Известия РАН.

Серия Энергетика. 2011. № 4. С. 117Ц123.

20. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Анализ погрешностей линеаризации лучистых тепловых потоков при высоких температурах// Нелинейный мир. 2011. Т. 9. № 10. С. 274Ц281.

21. Формалев В.Ф., Федотенков Г.В., Кузнецова Ек.Л. Общий подход к моделированию теплового состояния композиционных материалов при высокотемпературном нагружении// Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. Т. 12. № 1. С. 141 - 156.

22. Формалев В.Ф., Федотенков Г.В., Кузнецова Ек.Л.

Теплоперенос в условиях фазовых переходов в телах с анизотропией свойств// Теплофизика высоких температур. 2006. Т. 44. № 5. С. 756Ц763.

23. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л. Многомерный теплоперенос при наличии фазовых переходов в анизотропных композиционных материалах// Механика композиционных материалов и конструкций.

2007 г. Т.13. № 4. С.129Ц141.

24. Формалев В.Ф., Колесник С.А., Кузнецова Е.Л. Влияние продольной неизотермичности на сопряженный теплообмен между пристенными газодинамическими течениями и затупленными анизотропными телами// Теплофизика высоких температур. 2009. Т.

47.№ 2 С.247Ц253.

25. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л., Селин И.А. Аналитическое исследование задач типа Стефана в композиционных материалах с произвольным числом подвижных границ фазовых превращений// Механика композиционных материалов и конструкций. 2009. Т 15. № 2.

С. 256Ц264.

26. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л. Селин И.А. Возникновение и распространение тепловых волн в нелинейном анизотропном пространстве// Известия РАН. Серия Энергетика. 2010. № 3. С. 136 - 141.

27. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л. Селин И.А. Моделирование тепловых волн в нелинейном анизотропном пространстве// Вестник Самарского государственного технического университета. 2010. № 1(20).

С. 239Ц243.

Основные публикации в других изданиях 28. Кузнецова Е. Л., Формалев В.Ф., Чипашвилли А.А. Моделирование теплового разрушения композиционных материалов// В сб. науч. тр. Х-го Межд.

симпоз. Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред. Изд-во МАИ. 2004. Т. 2. С. 131Ц141.

29. Кузнецова Е.Л., Федотенков Г.В., Формалев В.Ф. Численное моделирование многомерного нестационарного теплопереноса в анизотропных телах с подвижной границей// В сб. научн. Тр. ХI-го Межд. симп.

Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред. Изд-во МАИ. 2005. Т. 2. С. 105Ц116.

30. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф., Колесник С.А. О законе разложения связующих композиционных материалов при высокотемпературном нагружении// В тр. 12-й Международной конференции Математические модели физических процессов. Таганрог, Россия. 14-15 сентября 2007. Т. 1. С. 95Ц98.

31. Кузнецова Е.Л. Новый подход к математическому моделированию тепломассопереноса в композиционных материалах при высокотемпературном нагружении// Инженерная физика. 2010. №11. С. 3Ц10.

32. Кузнецова Е.Л. Новый подход к моделированию теплового состояния композиционных материалов на основе универсального закона разложения связующих// В тр. РНКТ-5, 2010. Т. 3. С. 255Ц259.

33. Кузнецова Е.Л., Федотенков Г.В., Формалев В.Ф. Численное моделирование плоской нестационарной задачи тепломассопереноса с подвижной границей разложения связующего в анизотропных телах// Материалы докладов (VI школа-семинар молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова). Проблемы тепломасообмена и гидродинамики в энерго-машиностроении. 16-18 сентября 2008 г., Казань, Россия. С. 279Ц282.

34. Кузнецова Е.Л. Аналитическое исследование задачи теплопереноса в композиционных материалах при наличии подвижных границ фазовых превращений// Материалы XVI Международного симпозиума Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред имени Горшкова А.Г. Ярополец,16-20 февраля 2010 г. М: Издательство МАИ, Т. 2.

С.191Ц199.

35. Formalev V.F., Kuznetsova E.L., Selin I.A. Analitical study of Stefan - type problems in composites with an arbitrary number of moving boundaries of phase transitions // Composites, Mechanics, Computations, Applications. An International Jornal. V. 1. Issue. 2010. p.25Ц35.

36. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л., Колесник С.А. Аналитическое решение задачи типа Стефана с двумя подвижными границами// В тр. 12-й Международной конференции Математические модели физических процессов. Таганрог, Россия. 14-15 сентября 2007 г. Т. 1. С. 98Ц102.

37. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л., Колесник С.А. Аналитическое решение задачи сопряженного теплообмена на границах анизотропных тел// В тр. 13-й Международной научно-технической конференции Модели и алгоритмы для имитации физико-химических процессов. Таганрог, Россия. 8-сентября 2008 г. С. 170Ц177.

38. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л., Колесник С.А. Исследование тепломассопереноса при пленочном охлаждении тел в условиях высокоинтенсивного нагрева// В тр. 13-й Международной научно-технической конференции Модели и алгоритмы для имитации физико-химических процессов. Таганрог. Россия. 8-12 сентября 2008 г. Т. 1. С. 177Ц185.

39. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Исследование теплонапряженного состояния охлаждаемых лопаток турбин// Тез. докл. на IХ Межд. симпоз.

Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред. Ярополец, Моск. обл. 10-14 февр. 2003 г.

40. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф., Колесник С.А. Численное моделирование многомерных задач теплопроводности в составных анизотропных телах// Тез. докл. На 1-ой Межд. научно-технич. конф., посвященной 90-летию со дня рожд. акад. В.Н.Челомея. Москва - Реутов, 24-мая 2004 г.

41. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф., Чипашвилли А.А. Численное моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах в условиях аэрогазодинамического нагрева// Тез. докл. на 3-й Межд. конф. Авиация и космонавтика. Москва, 1-4 ноября 2004 г.

42. Кузнецова Е.Л., Федотенков Г.В. Об экономичном абсолютно устойчивом методе численного решения задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные производные// Тез. докл. на ХI-м Межд. симпоз.

Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред. Ярополец, Моск. обл. 14-18 февр. 2005 г.

43. Кузнецова Е.Л., Федотенков Г.В., Формалев В.Ф. Идентификация законов термического разложения композиционных материалов// Тез. докл. на ХII Межд. симп. Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред. Ярополец, Моск. обл. февр. 2006 г.

44. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф.Численное моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах при высокоинтенсивном тепловом нагружении// Тез. докл. на конф. Авиация и космонавтика 2006 г. Москва, октябрь 2006 г.

45. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Численное моделирование нестационарного тепломассопереноса в композиционных материалах с подвижной границей// Тез. докл. на ХIV Межд. симп. Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред. имени А.Г. Горшкова. Ярополец, Моск. обл. 18-22 февраля 2008 г. Т 1. С.137Ц138.

46. Кузнецова Е.Л., Федотенков Г.В., Формалев В.Ф. Общий подход к моделированию теплового состояния композиционных материалов при высокоинтенсивном нагреве// Тез. докл. на ХIII Межд. симп. Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред. имени А.Г. Горшкова. Ярополец, Моск. обл. 12-16 февраля 2007 г. Т 1. С. 155.

47. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Задача типа Стефана с произвольным числом нестационарно подвижных границ фазовых превращений// Материалы XV Международного симпозиума Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред имени Горшкова А.Г. Ярополец, 16-20 февраля 2009 г. Т 1. С.101.

48. Кузнецова Е.Л. Математическое моделирование теплового состояния композиционных материалов при высокоинтенсивном аэрогазодинамическом нагреве летательных аппаратов// I Всероссийская научно-техническая школа школа-семинар Компьютерный инженеринг в промышленности и вузах, посвященная 80-летию МАИ. 2009.

49. Кузнецова Е.Л. Моделирование теплогидрогазодинамических процессов системы охлаждения с автоматическим регулированием подачи специального охладителя// Материалы XVI Международного симпозиума Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред имени Горшкова А.Г. Ярополец, 16-20 февраля 2010 г. Т.1.

С.113.

50. Кузнецова Е.Л. Математическое моделирование теплового состояния композиционных материалов при высокоинтенсивном нагреве с учетом разложения связующих и фильтрации// Х Всероссийская научно-техническая Конференция и школа молодых ученых, аспирантов и студентов. Научные исследования в области транспортных, авиационных и космических систем.

АКТ-2009 Воронеж 11-13 ноября 2009 г.

51. Кузнецова Е.Л. Математическое моделирование теплового состояния композиционных материалов при высокоинтенсивном нагреве с учетом разложения связующих и фильтрации// Материалы VIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2010) 25-мая 2010 г. Алушта, Крым. С.502Ц503.

52. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Исследование задач тепломассопереноса с нестационарно подвижными границами фазовых превращений в композиционных материалах// Всероссийская Конференция Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред (к 90-летию со дня рождения академика И.Ф.Образцова).

23-25 ноября 2010 г. С. 64.

53. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Методология численного решения обратных коэффициентных задач теплопереноса в анизотропных материалах на основе аналитического решения// Тезисы доклада XVII Международного симпозиума Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред имени А.Г. Горшкова. Ярополец, Моск. обл., февраль 2011г.

54. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Новый класс экономичных абсолютно устойчивых методов расщепления численного решения уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы// Тезисы доклада IX международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2011) май 2011 г. Алушта, Крым.

55. Кузнецова Е.Л. Методология численного решения обратных коэффициентных задач теплопереноса в композиционных анизотропных материалах по определению компонентов тензора теплопроводности// Тезисы доклада VII Международной заочной научно-практической конференции Современные вопросы науки - XXI век Издательство ТОИПКРО Тамбов2011, 28-29 марта 2011 г.

56. Кузнецова Е.Л. Обратная коэффициентная задача теплопереноса в анизотропных телах на основе аналитического решения// Тезисы доклада XXXI Всероссийской конференции по проблемам науки и технологий МСНТ (14-16 июня 2011 г., г.Миасс).

57. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л., Чипашвили А.А. Моделирование нестационарной задачи Стефана в двумерных областях в условиях уноса массы анизотропных композиционных материалов// Тез. докл. на Х-м Межд. симпоз.

Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред. Ярополец, Моск. обл. 9-13 февр. 2004 г.

58. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л., Чипашвили А.А. Математическое моделирование теплопереноса в анизотропных затупленных носовых частях летательных аппаратов// Тез. докл. на 29-х академических чтениях Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики. Москва, январь 2005 г.

Учебное пособие 59. Кузнецова Е.Л. Уравнения параболического типа, содержащие смешанные производные и их приложение к теории тепломассопереноса в анизотропных средах. Учебное пособие для прикладных математиков и механиков. Издательство МАИ. 2011.103с.

Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по техническим специальностям