Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по физике
На правах рукописи
Ковалев Алексей Андреевич
РАСЧЕТ ДИФРАКЦИИ МОНОХРОМАТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НА СПИРАЛЬНЫХ ФАЗОВЫХ ПЛАСТИНКАХ И АКСИКОНАХ, ФОРМИРУЮЩИХ СИНГУЛЯРНЫЕ ЛАЗЕРНЫЕ ПУЧКИ
01.04.05 - Оптика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Самара - 2011
Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет) (СГАУ) на кафедре технической кибернетики и в Учреждении Российской академии наук Институте систем обработки изображений РАН Научный консультант доктор физико-математических наук, профессор Котляр Виктор Викторович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, в.н.с.
Абрамочкин Евгений Григорьевич доктор физико-математических наук, доцент Ежов Евгений Григорьевич доктор физико-математических наук, профессор Ивахник Валерий Владимирович
Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт автоматики и электрометрии Сибирского отделения РАН
Защита состоится 7 октября 2011 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.215.01, созданного при государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет), по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе, д. 34.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГАУ.
Автореферат разослан л 2011 г.
Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н., профессор В.Г.Шахов
Общая характеристика работы
В диссертации теоретически исследуется дифракция (параксиальная, непараксиальная и векторная) когерентного света на спиральной фазовой пластинке, спиральном аксиконе и логарифмическом спиральном аксиконе.
Актуальность темы. В последние несколько лет происходит выделение в отдельный раздел (лсингулярная оптика) раздела оптики, занимающегося исследованием сингулярных пучков - световых пучков с фазовыми особенностями. Частным случаем таких пучков являются вихревые лазерные пучки, обладающие орбитальным угловым моментом, и формируемые, например, при прохождении света через спиральную фазовую пластинку (СФП) (А.Е. Березный, А.М. Прохоров, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер, 1984).
Вихревым пучкам посвящены многочисленные исследования и публикации как российских учных-оптиков, так и их зарубежных коллег. В последнее время активно изучаются свойства подобных пучков на основе мод Бесселя, Лагерра-Гаусса (ЛГ), Эрмита-Гаусса (ГЭ) и других (S. Sato, 2009).
Область применения оптических вихрей постоянно расширяется. В частности, в задачах нанофотоники их предлагается использовать для манипулирования микро- и нанообъектами (M. Dienerowitz, 2008). Использование оптических вихрей в фотолитографии позволяет достичь разрешения / 10 ( - длина волны света). (M. Levenson, 2003). К числу других применений оптических вихрей относится, например, интерферометрия (A. Jesacher, 2006). С помощью спиральных фильтров выполняется контрастирование и рельефное изображение фазовых объектов нанометрового размера (S. Bernet, 2006). СФП используется также в звездном коронографе, в котором свет от яркой звезды преобразуется в кольцо и диафрагмируется, а слабый свет от планет этой звезды проходит через диафрагму и регистрируется. (T. van Dijk, 2009).
СФП также применяется для оптического выполнения радиального преобразования Гильберта (В.В. Котляр, 1992, J.A. Davis, 2001). Фазовые дислокации представляют собой перспективное средство в метрологии, информация об объекте может быть определена с очень высокой точностью (В.П. Тычинский, 2008). На этом подходе основывается метод оптико-вихревой метрологии, успешно примененный в оптиковихревом интерферометре, позволяющем отслеживать смещение объектов с нанометрической точностью (W. Wang, 2006).
1. Впервые СФП была рассмотрена в 1984 году (В.А. Сойфер, 1984) как элемент Бессель-оптики. В 1992 году СФП была изготовлена как амплитудная решетка с вилкой (V.Yu. Bazhenov, 1992), как радиально-спиральная амплитудная решетка (N.R. Heckenberg, 1992) и без несущей пространственной частоты как фазовый элемент (S.N. Khonina, 1992). Ранее теоретически рассматривалась дифракция неограниченной плоской волны на СФП (V.V. Kotlyar, 2005). Однако дифракция плоской волны, ограниченной круглой диафрагмой, на СФП не была рассмотрена. Также не было показано, что комплексная амплитуда света при дифракции на СФП выражается через гипергеометрические функции.
2. Аксикон известен с 1954 года (J.H. McLeod, 1954). Это стеклянный конус, который освещается со стороны основания, а оптическая ось проходит вдоль высоты конуса. Он, как правило, используется в оптике для создания узкого бездифракционного лазерного пучка или совместно с линзой для формирования узкого кольцевого распределения интенсивности света. При совмещении аксикона со спиральной фазовой пластинкой получается оптический элемент, называемый спиральным аксиконом. Впервые дифракционный спиральный аксикон (СА) был изготовлен по технологии фотолитографии и экспериментально использован для формирования Бесселевых пучков высших порядков в 1992 году (S.N. Khonina, 1992). СА в комбинации со сферической линзой был изготовлен немного ранее с помощью отбеливания на желатине и был использован для фокусировки в кольцо с устранением центрального максимума (В.Г. Волостников, 1992).
В некоторых работах предприняты попытки математически описать дифракцию света на аксиконе. В частности, было получено выражение для поля в каустике аксикона (И.Г. Пальчикова, 1986), однако аксикон рассматривался не спиральный, и использовался метод стационарной фазы, который подходит только для случая малых длин волн. Была также получена приближенная формула для распределения интенсивности в окрестности фокуса (C. Zapata-Rodriguez, 2006). Там также исследовался не спиральный аксикон. Явных аналитических выражений, описывающих дифракцию когерентного света на СА получено не было.
3. Лазерные пучки с радиальной поляризацией используются для острой субволновой фокусировки. Ранее распространение радиально-поляризованных пучков рассматривалось без оптических вихрей (G. Wu, 2007).
Однако не были получены явные аналитические выражения для радиальной, азимутальной и осевой проекций вектора напряженности электрического поля, возникающего при непараксиальной дифракции Гауссовых оптических вихрей с начальной радиальной и азимутальной поляризациями.
4. При изготовлении СФП по технологии литографии получается ступенчатый микрорельеф. Многоуровневые СФП исследовались ранее (K. Sueda, 2004), но в прежних работах СФП анализируется с помощью разложения в ряд по угловым гармоникам. Однако не было получено аналитического выражения (не в виде ряда) для описания дифракции Фраунгофера плоской волны на многоуровневой (квантованной) СФП.
5. В современных научных исследованиях интерес к различным типам лазерных пучков заметно возрос. Например, продолжаются исследования хорошо известных мод Лагерра-Гаусса (M. Gao, 2007). Было рассмотрено (V.V. Kotlyar, 2007) новое семейство параксиальных лазерных пучков - гипергеометрические моды. Однако теоретически не было сделано обобщение гипергеометрических мод и не были получены гипергеометрические лазерные пучки.
6. В последнее время возрос интерес к точным решениям параксиального уравнения типа Шредингера в цилиндрической системе координат. Недавно были открыты гипергеометрические-гауссовые пучки (E. Karimi, 2007). Однако аналогичных непараксиальных гипергеометрических лазерных пучков, которые получаются как решения уравнения Гельмгольца, получено не было.
7. Известны работы, в которых показана самофокусировка кольцевых лазерных пучков (Y. Shin, 2001). Но не было показано, что непараксиальные векторные гипергеометрические лазерные пучки с топологическим зарядом n = 0, 1 также обладают свойством самофокусировки (то есть смещением перетяжки от начальной плоскости).
8. Интерес к фокусировке лазерного света в продольный осевой отрезок, в том числе с субволновым диаметром, не ослабевает (M.K. Bhuyan, 2010). Численно показано, что вблизи вершины стеклянного аксикона при определенных параметрах может возникнуть субволновое фокусное пятно диаметром FWHM = 0,30 (V.V. Kotlyar, 2010). Было также установлено, что при прохождении через логарифмический акикон (ЛА) осевая интенсивность вдоль отрезка в среднем более постоянная, в отличие от конического линейного аксикона (L.R. Staronski, 1992), у которого средняя интенсивность растет вдоль осевого отрезка. Но не были получены аналитические выражения для параксиальной комплексной амплитуды дифракции Гауссова пучка на логарифмическом аксиконе.
9. В последнее время возрос интерес к планарным градиентным и фотоннокристаллическим линзам, которые способны обеспечить субволновую фокусировку лазерного света (X. Wang, 2004). Часто в качестве планарной градиентной линзы используется линза, показатель преломления которой зависит от поперечной координаты как гиперболический секанс (ГС). ГС-линза Микаэляна является частным случаем градиентного волновода Эпштейна. Задача распространения света в ГС-волноводе и ГС-линзе решалась в геометрооптическом и волновом (W. Streifer, 1967) приближениях. Однако не было показано, что моды планарного ГС-волновода могут быть выражены через многочлены Якоби, и что любая композиция ТЕ-мод ГС-волновода периодически повторяется при распространении.
Целью диссертационной работы является теоретическое исследование дифракции когерентного света на спиральной фазовой пластинке, спиральном аксиконе и логарифмическом спиральном аксиконе.
В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:
1. Получить явные аналитические выражения для описания скалярной дифракции плоской волны на СФП, а также установить свойства формирующейся дифракционной картины.
2. Получить явные аналитические выражения для описания скалярной дифракции плоской волны на СА. Исследовать влияние аксикона на картину дифракции на СФП.
3. Получить явные аналитические выражения для векторной дифракции Гауссова пучка с различным состоянием поляризации на СФП. Исследовать фокусировку радиально поляризованных Гауссовых пучков.
4. Получить явные аналитические выражения для описания дифракции Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП. Установить свойства оптических вихрей, формирующихся при дифракции на СФП с малым числом уровней квантования.
5. Получить явные аналитические выражения для описания скалярной параксиальной дифракции Френеля и установить свойства гипергеометрических лазерных пучков и мод, формирующихся при прохождении Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей через спиральный логарифмический аксикон.
6. Получить явное выражение для непараксиальной дифракции гипергеометрических лазерных пучков в свободном пространстве.
7. Получить явные аналитические выражения для трех проекций вектора напряженности электрического поля гипергеометрического лазерного пучка в слабом непараксиальном приближении. Исследовать фокусировку гипергеометрических пучков.
8. Получить выражение для дифракции Френеля Гауссова пучка на спиральном логарифмическом аксиконе (ЛА), а также для эффективного радиуса картины дифракции. Исследовать возможность преодоления дифракционного предела с помощью ЛА.
9. Получить явные выражения для мод планарного гиперболического секансного (ГС) волновода. Определить величину периода Тальбота. Установить изображающие свойства отрезка ГС-волновода.
Научная новизна работы.
В диссертационной работе впервые получены следующие результаты:
1. Получены явные аналитические выражения для комплексной амплитуды света, описывающей скалярную дифракцию на спиральной фазовой пластинке (СФП). В случае освещения СФП плоской волной учтена ее ограниченность круглой диафрагмой (раньше это учитывалось только для СФП первого порядка). В случае освещения Гауссовым пучком комплексная амплитуда выражена через гипергеометрическую функцию, что позволило рассмотреть дифракцию Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей и обобщить известные выражения для оптических вихрей.
2. Получены явные аналитические выражения для комплексной амплитуды света, описывающей скалярную дифракцию плоской неограниченной и ограниченной круглой диафрагмой волн на спиральном аксиконе. Использование спирального аксикона позволило управлять контрастом периферийных колец на дифракционной картине оптического вихря, изменяя параметр аксикона.
3. С помощью вычисления интегралов Рэлея-Зоммерфельда в слабом непараксиальном приближении получены явные аналитические выражения для амплитуды трех компонент вектора напряженности электрического поля, описывающей дифракцию Гауссова пучка на СФП с произвольным целым топологическим зарядом n. Рассмотрено прохождение через СФП Гауссова пучка с радиальной и азимутальной начальной поляризацией (ранее радиально поляризованные Гауссовы пучки рассматривались в свободном пространстве без СФП). Полученные выражения позволили обосновать формирование радиально и азимутально поляризованных световых пучков при интерференции Гауссовых оптических вихрей с правой круговой поляризацией и n = Ц1 и левой круговой поляризацией и n = +1, а также необходимость использования СФП с единичным топологическим зарядом для фокусировки в пятно, а не кольцо.
4. Получены явные аналитические выражения для комплексной амплитуды света, описывающей скалярную параксиальную дифракцию Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП. Новизна состоит в том, что рассматривалась СФП в форме правильного многоугольника, состоящего из конечного числа треугольных секторов с постоянной фазой в каждом из них. Это позволило показать, что оптические вихри можно сформировать при прохождении плоской волны света через СФП всего с тремя или четырьмя уровнями квантования, которая является более простой в изготовлении по сравнению с непрерывной СФП.
5. Рассмотрено трехпараметрическое семейство гипергеометрических лазерных пучков, комплексная амплитуда которых является решением параксиального уравнения Гельмгольца и пропорциональна функции Куммера. Гипергеометрические лазерные пучки формируются при прохождении Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей через логарифмический аксикон, совмещенный с СФП.
6. Найдено решение уравнения Гельмгольца, которое описывает распространение гипергеометрических лазерных пучков в свободном пространстве без использования параксиального приближения. Это семейство решений выражается через произведения двух линейно-независимых решений уравнения Куммера, и описывает световые поля, распространяющиеся как в прямом, так и в обратном направлении вдоль оптической оси. Эти пучки являются еще одним примером непараксиальных оптических вихрей или сингулярных световых полей с радиальной симметрией поперечной интенсивности и винтовой (спиральной) фазой.
7. Рассмотрены векторные гипергеометрические лазерные пучки, для которых получены аналитические выражения для амплитуд трех проекций вектора напряженности электрического поля. Также получены формулы для осевой интенсивности таких пучков с нулевым и единичным топологическим зарядом. Эти формулы позволили обнаружить смещение положения перетяжки пучка от начальной плоскости и определить величину этого смещения.
8. Получено явное аналитическое выражение для комплексной амплитуды света, описывающей дифракцию Френеля Гауссова пучка на спиральном логарифмическом аксиконе. Это позволило оценить эффективный радиус картины дифракции, обосновать уменьшение этого радиуса с ростом модуля отрицательного параметра аксикона, и показать с помощью моделирования возможность формирования субволнового фокусного пятна с диаметром, равным одной пятой длины волны.
9. Получены явные выражения для комплексных амплитуд TE и TM мод планарного гиперболического секансного (ГС) волновода. Новизна состоит в выражении амплитуды TE мод через полиномы Якоби, а также в том, что показано наличие периода Тальбота для TE-поляризованного излучения и отсутствие такового для TMполяризованного. Отрезок ГС-волновода (ГС-линза) рассмотрен в качестве изображающей системы с субволновым разрешением и предложено для увеличения разрешения вместо интенсивности регистрировать проекцию вектора Умова-Пойнтинга на оптическую ось.
Практическая ценность работы.
Полученные в диссертационной работе результаты имеют также и прикладное значение. Полученные аналитические выражения могут применяться при расчетах и моделировании в таких оптических задачах, как - создание оптических ловушек, в которых осуществляется захват диэлектрических микрочастиц в световое кольцо и вращение по нему;
Ц создание устройств оптической обработки изображений, в котором спиральный оптический элемент может использоваться в качестве пространственного фильтра для подчеркивания контуров на оптическом изображении;
Ц субволновая фокусировка лазерного излучения с помощью логарифмического аксикона или гиперболической секансной линзы.
Положения, выносимые на защиту.
1. При скалярной дифракции на спиральной фазовой пластинке (СФП) с целым топологическим зарядом n формируется световое поле, комплексная амплитуда которого описывается гипергеометрической функцией при дифракции плоской волны и функцией Куммера при дифракции Гауссова пучка. В случае дифракции Фраунгофера на СФП ограниченной плоской волны комплексная амплитуда оптического вихря также пропорциональна конечной сумме функций Бесселя, а в случае дифракции Френеля Гауссова пучка - сумме двух модифицированных функций Бесселя.
2. В случае дифракции Фраунгофера плоской волны, ограниченной круглой диафрагмой, на спиральном аксиконе (СА) комплексная амплитуда света описывается рядом из гипергеометрических функций 1F2(a, b, c, z). При дифракции Френеля Гауссова пучка на СА комплексная амплитуда описывается рядом из функций Куммера F1(a, b, z) (вырожденных гипергеометрических функций). Использование аксикона совместно с СФП позволяет сформировать дифракционную картину с низким контрастом периферийных колец.
3. При векторной дифракции света на СФП комплексная амплитуда описывается конечной суммой из функций Бесселя (в случае параксиальной дифракции Фраунгофера плоской волны с эллиптической поляризацией) и линейной комбинацией двух модифицированных функций Бесселя (для дифракции Гауссова пучка как с эллиптической, так и с радиальной поляризацией). В случае начальной радиальной поляризации Гауссова пучка положение фокуса оказывается смещенным от геометрического в сторону перетяжки.
4. При дифракции Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП в форме правильного многоугольника световое поле описывается конечной суммой плоских волн. В случае треугольной или квадратной СФП с тремя или четырьмя уровнями фазы в центре дифракционной картины в области размером, равным диску Эйри, формируется оптический вихрь с единичным топологическим зарядом.
5. При прохождении Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей через спиральный логарифмический аксикон формируется световой пучок, комплексная амплитуда которого в зоне дифракции Френеля описывается функцией Куммера (вырожденной гипергеометрической функцией). При наличии амплитудной особенности в начале координат эти световые пучки переходят в гипергеометрические моды, сохраняющие при распространении вид кольцевой интенсивности в поперечном сечении, меняясь только масштабно. Пространственная частота светлых колец на дифракционной картине линейно возрастает при удалении от оптической оси.
6. Комплексная амплитуда гипергеометрического лазерного пучка в непараксиальном приближении описывается произведением двух линейно-независимых решений уравнения Куммера.
7. В слабом непараксиальном приближении амплитуды трех проекций вектора напряженности гипергеометрического лазерного пучка описываются функциями Куммера. При распространении такого пучка с нулевым или единичным топологическими зарядами в свободном пространстве происходит самофокусировка, заключающаяся в смещении перетяжки пучка (области с максимальной осевой интенсивностью) от начальной плоскости.
8. При дифракции Френеля Гауссова пучка на спиральном логарифмическом аксиконе размер формируемого светового пятна находится в обратной зависимости от параметра аксикона. С помощью логарифмического аксикона может быть осуществлена субволновая фокусировка Гауссова пучка сразу за аксиконом.
9. Комплексная амплитуда TE и TM мод планарного гиперболического секансного волновода описывается соответственно полиномами Якоби и Гауссовыми гипергеометрическими функциями. Для TE мод существует период Тальбота, через который дифракционная картина самовоспроизводится. Планарная гиперболическая секансная линза, являющаяся отрезком гиперболического секансного волновода, позволяет разрешить по критерию Рэлея два когерентных точечных источника, разделенных расстоянием равным 0,15 длины волны света.
Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертационную работу, представлялись на 11 конференциях, в том числе на 9 международных и двух всероссийских:
Международная конференция SPIE Photon Management II (Strasbourg, France, 2006);
Международная конференция ICO Topical Meeting on Optoinformatics / Information Photonics (г. Санкт-Петербург, Россия, 2006); Международная конференция SPIE Nanoengineering: Fabrication, Properties, Optics, and Devices III (San Diego, CA, USA, 2006); XXVI Школа по когерентной оптике и голографии (Иркутск, Россия, 2007);
Международная конференция Optics, Photonics and Metamaterials Ц2009 (Харьков, Украина, 2009); Международная конференция молодых ученых и специалистов Оптика-2009 (Санкт-Петербург, Россия, 2009); Международная конференция SPIE Optical Technologies for Telecommunications 2009 (Самара, Россия, 2009); Международная конференция Optical Techniques and Nano-Tools for Material and Life Sciences (Минск, Беларусь, 2010); Седьмая международная конференция ГОЛОЭКСПО-2010 (HOLOEXPO-2010), XXVII Школа по когерентной оптике и голографии (Москва, Россия, 2010); Международная конференция с элементами научной школы для молодежи Перспективные информационные технологии для авиации и космоса (Самара, Россия, 2010); II Всероссийский научный семинар Оптика нано- и микроструктур (Самара, Россия, 2010).
ичный вклад автора. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Также автор самостоятельно проводил моделирование и сравнение экспериментальных данных с результатами моделирования. Постановка задач и обсуждение результатов проводились совместно с научным консультантом.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 33 статьях в реферируемых отечественных и зарубежных журналах, а также в материалах 11 научных конференций.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка цитируемой литературы (201 наименований). Работа изложена на 249 страницах и содержит 98 рисунков и 5 таблиц.
Содержание работы Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы ее цель и задачи, дан краткий обзор научных работ по рассматриваемым вопросам, показана научная новизна полученных результатов, приводятся положения, выносимые на защиту, и описана структура диссертации.
В первой главе рассматривается скалярная дифракция некоторых световых полей на СФП (рис. 1). Рассмотрим дифракцию Фраунгофера плоской волны единичной амплитуды конечного радиуса R на СФП. Плоская волна с волновым числом k = 2/, где - длина волны, описывается комплексной амплитудой при z = 0:
E0(r,) circl r R, (1) Рис. 1. Спиральная фазовая пластинка где (r, ) - полярные координаты, circl x 1при x 1, circl x 0 при x 1. Пусть плоская волна (1) падает на СФП с функцией пропу скания () = exp(in), где n = 0,1,2Е - номер СФП. Картина дифракции Фраунгофера плоской волны (1) на СФП формируется в задней фокальной плоскости сферической Фурье-линзы с фокусным расстоянием f и описывается комплексной амплитудой:
n (i)n1 exp(in) kR2 kR n 2 n 4 kR En(, ) F2,,n 1, , (2) (n 2)n! f 2 f 2 2 2 f где (, ) - полярные координаты в Фурье-плоскости, F2(a, b, c, x) - гипергеометрическая функция:
a1 k... am k xk Fn a1,...,am,b1,...,bn, x , m b1 k... bn k k! k где (a)k = (a + k) / (a) - символ Похгаммера, (a) - Гамма-функция:
Из (2) видно, что дифракционная картина состоит из набора концентрических колец. Радиус первого светлого кольца равен n = fan/(R), где an - некоторая постоянная, зависящая только от номера СФП.
Кроме формулы (2), комплексная амплитуда светового поля для дифракции Фраунгофера ограниченной плоской волны на СФП n-го порядка может быть выражена через конечную сумму функций Бесселя:
n2 n 1 J0 y 2 J2m y yJn1 y,n 2m, n m i f exp in En , (3) y n1 k2 n 0 J t dt 2 J2m1y yJn1y,n 2m 1, m 0 y где y = kR / f, Jn(x) - функция Бесселя n-го порядка первого рода, а J0 t dt выра жается через функции Струве.
Рассмотрим теперь дифракцию Френеля ограниченной плоской волны на СФП.
Параксиальная дифракция волны (1) на СФП будет описываться выражением nn 2 iz0 z iz0 En ,, z exp in zn! (4) m iz0 z 2m n 2 2m n 4 z0 F2 ,,n 1, , 2m n 2 !m! 2 2 z m0 R где z0 = kR2/2 - длина Рэлея,. Уравнение (4) отличается от (2) тем, что гипергеометрические функции 1F2 появляются как слагаемые ряда. Из уравнения (4) видно, что с ростом z в значение суммы будут давать вклад только несколько первых членов ряда, а в дальней зоне (z ) вклад в амплитуду будет давать только первый член при m = 0, который совпадает с (2).
На рис. 2 показаны экспериментальная и расчетная картины дифракции на СФП (n = 3) плоской волны с радиусом R = 1,25 мм и длиной волны = 633 нм на расстоянии z = 80 мм. Нарушение круговой симметрии связано со смещением центра СФП от центра круга) б) лой диафрагмы. По виду спирали на Рис. 2. Картина дифракции Френеля плорис. 2 можно определить знак n.
ской волны с радиусом R = 1,25 мм и длиДля плоской волны с теми же параной волны = 633 нм на расстоянии z = метрами картина дифракции Фраунмм от СФП: эксперимент (а) и теория (б) гофера, полученная с помощью CCDкамеры в фокусе линзы (f = 150 мм), показана на рис. 3. Среднеквадратичное отклонение теоретических и экспериментальных кривых составило 14,3%.
Более простое выражение для оптического вихря в дальней зоне получается, если СФП расположить в перетяжке Гауссова пучка. Тогда комплексная амплитуда исходного светового поля будет иметь вид:
rEnog r, exp in, (5) а) б) w2 Рис. 3. Картина дифракции Фраунгофера на где w - радиус перетяжки Гауссова СФП: распределение интенсивности (негапучка, а комплексная амплитуда в зоне тив) (а), вертикальное сечение интенсивнодифракции Фраунгофера (в фокальной сти (б) (теория, --*---*---эксперимент) плоскости сферической линзы с фокусным расстоянием f) будет иметь вид:
kw2 , (6) Enfg , exp n 1 in y 2 y y I y I n1 ni 4 f 2 2 где y = (1/2)[kw / (2f)]2, I(n1)/2(y) - модифицированная функция Бесселя.
Из уравнения (6) видно, что в центре Фурье-плоскости интенсивность будет равна нулю (n 0). Сомножители y exp(Ц2y) в интенсивности показывают, что в дальней зоне формируется кольцевое распределение интенсивности. Радиус первого кольца можно найти из уравнения: (n 4y)I(n1)/2(y) (n 4y)I(n1)/2(y) 0.
В случае дифракции Френеля Гауссова пучка на СФП комплексная амплитуда также выражается через сумму двух функций Бесселя второго рода. Ниже приводится выражение для той же комплексной амплитуды, но через вырожденную гипергеометрическую функцию:
ik2 k 1 n Enzg , exp n 1 in i 2 2z 2z n! (7) n n k 1 ik n 2 k , F1 ,n 1, 2z w2 2z 1 ik 2z w2 2z где (x) - гамма-функция, 1F1(a, b, x) - функция Куммера.
На рис. 4 показано экспериментальное распределение интенсивности в фокальной плоскости сферической линзы с фокусным расстоянием f = 135 мм. Длина волны лазерного пучка была равна = 0,633 мкм. Кольцевое распределение интенсивности на рис. 4 получено в результате дифракции Гауссова пучка с радиуРис. 4. Дифракция Фра- Рис. 5. Дифракция Гауссом перетяжки w = 0,8 мм на унгофера Гауссова пучка сова пучка на СФП: СФП второго порядка (n = 2).
(радиус перетяжки экспериментальное и На рис. 5 показано сравнение w = 0,8 мм) на СФП по- ** теоретическое растеоретического и эксперименрядка n = 2 пределения интенсивнотального профиля кольцевого сти в сечении картины на распределения интенсивности, рис. показанного на рис. 4. Из рис. видно, что экспериментальная и теоретическая кривые хорошо согласуются.
Исходные световые поля (1) и (5) интересны с практической точки зрения, так как могут быть реализованы с помощью фазовых дифракционных оптических элементов, а Гауссов пучок - является основной модой лазерных источников. Рассмотрим теперь другие оптические вихри, которые описываются более простыми функциями (например одной функцией Бесселя первого рода), хотя сформировать такие простые оптические вихри можно только с помощью световых полей со степенной амплитудной.
Пусть комплексная амплитуда исходного светового поля имеет вид:
n rr Enoi r, exp in circl . (8) RR Комплексная амплитуда, описывающая дифракцию Фраунгофера поля (8), будет иметь вид:
kR2 Jn1 x, Enfi , exp n 1 in (9) i f x где x' = kR/f. Первое нулевое кольцо интенсивности на картине дифракции будет на расстоянии от центра равном 1,0 = n+1,1f/(kR), где n+1,1 - первый нуль функции Бесселя Jn+1(x).
Радиус первого кольца (максимума интенсивности) вихря можно найти из уравне ния x Jn1 x Jn1 x, где Jn1 x - производная функции Бесселя.
Во второй главе рассматривается скалярная дифракция на спиральном аксиконе (СА). В качестве освещающего поля сначала рассматривается неограниченная плоская волна, а затем волна, ограниченная круглой апертурой. Рассматривается также дифракция Гауссова пучка на СА.
Функция пропускания СА имеет вид fn(r,) exp(ir in), n 0,1,2,..., где (r, ) - полярные координаты, - параметр аксикона, n - номер СФП.
В случае дифракции Фраунгофера плоской неограниченной волны на СА комплексная амплитуда света в полярных координатах будет иметь вид:
n 2 in , , n 3/ 2 2 2 i k Fn(,) exp(in) (10) f n 2 i n , , n 3/ 2 2 2 где (, ) - полярные координаты в Фурье-плоскости, k f, k = 2/ - волновое число, - длина волны, f - фокусное расстояние линзы.
Из (10) видно, что в Фурье-плоскости формируется световое кольцо радиусом 0 = f/k с бесконечной плотностью энергии. На рис. 6а показан вид функции интенсивности для разных значений номера n (k/f = 1 ммЦ2).
а) б) в) Рис. 6. Радиальное распределение интенсивности в Фурье-плоскости при дифракции плоской волны на СА ( = 2 ммЦ1, k/f = 1 ммЦ2): (а) апертура - бесконечная, различные порядки сингулярности n: 0 (кривая A), 3 (кривая B) и 5 (кривая C), (б) апертура конечна (R = 35 мм), различные порядки сингулярности n: 0, 3, 5, 10 (кривые A, B, C и D), и (в) порядок сингулярности n = 3, различные апертуры - бесконечная (кривая A), R = 50 мм, 35 мм, и 20 мм (кривые B, C, и D) На рис. 6б,в показаны результаты численного моделирования дифракции Фраунгофера плоской волны конечного радиуса R на СА. Показана зависимость распределения интенсивности I, вычисленной с помощью преобразования Фурье, от радиальной переменной (размерность пространственной частоты). Из рис. 6б видно, что с ростом порядка СА n происходит незначительное уменьшение максимального значения интенсивности на главном кольце (при 2мм1 ) из-за незначительного расширения кольца, и незначительного сдвига макимальной интенсивности в сторону больших значений радиальной переменной .
Из рис. 6в видно, что уменьшение радиуса R приводит к расширению главного кольца на дифракционной картине и уменьшению максимального значения интенсивности (самое узкое распределение соответствует бесконечному радиусу). Радиус кольца остается почти неизменным.
На рис. 7 показано сравнение теоретического и экспериментального профилей кольцевого распределения интенсивности. Экспериментальная картина дифракции была получена в фокальной плоскости сферической линзы с фокусным расстоянием f = 135 мм в при прохождении плоской волны радиуса R = 2,5 мм через дифракционный аксикон с параметром = 44,5 ммЦ1 и СФП пятого порядка (n = 5). Длина волны лазерного пучка была равна = 0,633 мкм, мощность - один милливатт.
Радиус кольца на рис. 7 приблизительно равен оценке Рис. 7. Дифракция плоской из выражения (10): 0 = af/k = 605 мкм. Из рис. 7 видно, волны на СА: экспечто экспериментальные и теоретические кривые соглариментальное и ** теосуются.
ретическое сечения распреРассмотрим скалярную параксиальную дифракцию деления интенсивности плоской волны конечного радиуса R с комплексной амплитудой (1) на СА с параметрами и n. Тогда комплексная амплитуда света Fn(, ) в фокальной плоскости идеальной сферической линзы с фокусным расстоянием f имеет вид:
n1 n i exp in kR2 kR Fn , n! f 2 f (11) m i R m n 2 m n 4 kR F2,,n 1, , m n 2 m! 2 2 2 f m где (, ) - полярные координаты в плоскости дифракции Фраунгофера, k = 2/ - волновое число, 1F2(a, b, c, x) - гипергеометрическая функция.
Из выражения (11) следует, что картина дифракции представляет собой набор концентрических колец. Радиусы l локальных максимумов и минимумов картины дифракции должны удовлетворять выражению: l f l R, где l - постоянные, зависящие только от номера кольца l = 1,2,Е картины дифракции.
Вместо ряда (11), состоящего из гипергеометрических функций, можно получить для комплексной амплитуды, описывающей дифракцию Фраунгофера плоской волны радиуса R на СА, выражение в виде ряда из функций Бесселя:
n i 2k exp iR in iR m 1 (12) Fn , i Um Um Jnm1 R, f 2 m0 где k f, Jm+n(x) - функция Бесселя, Um(x) и U'm(x) - полиномы Чебышева второго рода и их производные.
|E| |E| Из этого выражения при = следует выражение для комплексной амплитуды дифракции Фраунгофера плоской волны конечного радиуса на СФП (3).
,мм ,мм На рис. 8 показаны рассчитанные модули амплитуды |En(, )| 0 радиальных сечений картин дифра0 0,4 0,8 0 1,а) б) кции Фраунгофера (f = 100 мм) плоРис. 8. Рассчитанные модули комплексной амской волны радиуса R = 1 мм и с плитуды от радиальной координаты при разных длиной волны = 633 нм на СФП с номерах СФП: n = 16 (а), n = 50 (б) номерами n = 16,50. Из рис. 8 видно, что с ростом n уменьшается контраст боковых лепестков графика модуля амплитуды.
Для координаты v первого максимума амплитуды |En(v, )| (радиус воронки) можно получить приближенное равенство: v n f kR, где n n,1 2, n, n,и 'n,1 - первые корни функции Бесселя n-го порядка и ее производной.
Далее рассмотрим скалярную параксиальную дифракцию на спиральном аксиконе (с параметрами n и ) Гауссова пучка с радиусом перетяжки w и комплексной амплитудой (5). В этом случае дифракция Френеля описывается выражением:
ni k n n2 ik2 k Fn ,, z exp ikz in 2z z 2z 2n1n! (13) m m 2 i m n 2 m n 2 k ,n 1, F1 , m! 2 2z m0 где (, ) - полярные координаты в плоскости z, k = 2/ - волновое число, = 1/w2Ц ik/(2z). Из (13) следует, что картина дифракции представляет собой набор концентрических колец. Радиусы l локальных максимумов и минимумов картины дифракции 1 должны удовлетворять выражению l wzal z0 1 z0 z2, где al - постоянные, зависящие только от номера кольца l = 1,2,Е картины дифракции и параметра , z0 = kw2/2 - длина Рэлея. При z z z0, из выражения (13) следует соотноше ние для комплексной амплитуды дифракции Фраунгофера Гауссова пучка на СА ( = 1/w2):
ni z0 n ik2 z0 Fn ,, z expin ikz 2n n!z 2z zw (14) m iw m n 2 m n 2 z0 F1,n 1, , 1 m! 2 2 zw m0 где 1F1(a, b, x) - функция Куммера.
На рис. 9 показан радиальный профиль 0,|F8()| картины дифракции Френеля (при z = 200 мм) Гауссова пучка с радиусом перетяжки 0,w = 1 мм и длиной волны = 633 нм на спиральном аксиконе (n = 8) с параметром ,мм = 20 ммЦ1 (а), = 50 ммЦ1 (б). Видно, что 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 радиус главного максимума модуля амплиа) туды увеличивается с ростом значения .
0,|F8()| Используя слабый аксикон совместно с СФП, можно подавлять боковые лепестки на 0,дифракционной картине без уменьшения прошедшей энергии света и без увеличения ,мм радиуса кольца на дифракционной картине.
Эксперимент с использованием программи0 0,5 1 1,5 2 2,5 б) руемого жидко-кристаллического дисплея Рис. 9. Амплитуда |Fn(, )| на рассто(ЖКД) это подтверждает (рис. 10). Как в эксянии z = 200 мм для Гауссова пучка перименте, так и в моделировании, была рас( = 633 нм, w = 1 мм) на СА (n = 8):
смотрена апертура радиусом R = 4,6 мм и = 20 ммЦ1 (а), = 50 ммЦ1 (б) СФП с n = 10. Картина дифракции Фраунгофера исследовалась в задней фокальной плоскости сферической линзы с фокусным расстоянием f = 2 м. Было обнаружено существенное снижение контраста боковых лепестков при = 0,584 ммЦ1 (рис. 10б).
а) б) Рис. 10. Дифракция Фраунгофера плоской волны на СФП (n = 10) (а) и на СА (n = 10, = 0,584 ммЦ1, по горизонтальной оси - отсчеты): жирная кривая - теория, тонкая кривая - эксперимент.
В третьей главе на основе интегралов Рэлея-Зоммерфельда и его приближений рассматривается векторная дифракция плоской волны и Гауссова пучка на СФП.
Сначала рассматривается параксиальное векторное приближение. В случае, когда в плоскости z = 0 расположена СФП n-го порядка радиуса R и линза с фокусным расстоянием f, в геометрическом фокусе линзы, т.е. при z = f, получим выражения:
kAx, y ik nEx, y ,, f i exp in ikf f 2 f n 2 n J0 y 2 J2m y yJn1 y,n 2 p, (15) 1 m y n1 n t dt 2 J2m1 y yJn1 y,n 2 p 1, 0 J m 0 n R i k ik2 kr Ez ,, f exp in ikf Ax iAy exp i n2 J f r dr 2 f 2 f 0 (16) RR kr Ax iAy exp i kr nJ f r dr 2i Ax cos Ay sin Jn f rdr.
0 0 где y = kR / f, (, ) - полярные координаты в задней фокальной плоскости линзы, k = 2/ - волновое число, - длина волны, Ax и Ay - комплексные амплитуды плоской волны, падающей на СФП с линзой. Последний интеграл в (16) вычисляется подобно (15). Для первых двух интегралов также можно получить аналитические выражения для четных значений порядка СФП n, так как для нечетных p p3 1 p2 x2 p p p1 px J cxdx c3 J0cx 2 J2q cx c J x c2 xJ x. (17) q В отличие от плоской волны Гауссов пучок не требуется ограничивать апертурой, так как вся его энергия сосредоточена вблизи оптической оси. Векторную дифракцию Гауссова пучка на СФП, помещенной в перетяжке, будем рассматривать в слабом непараксиальном приближении, которое в декартовых координатах имеет вид:
ikz exp ikD Ex, y u,v, z E x, y,0expikLdxdy, 2 D2 R2 x, y (18) E u,v, z ik exp ikD x Ex x, y,0 v y Ey x, y,0 ikL dxdy, z u 2 D2 R2 exp где D = (z2 + x2+ y2)1/2, L = [x2 + y2 - 2(ux + vy)]/(2D), (x, y) и (u, v) - декартовы координаты в начальной плоскости и в плоскости, отстоящей на расстоянии z.
В этом приближении для дифракции Гауссова пучка с эллиптической поляризацией на СФП (т.е. Ex, y r,, z 0 Bx, y exp r2 w2 in ), можно записать:
Bx, ykz exp in ik z2 c nexp y y I y I , x, y E ,, z i z2 8 p3 2 n1 n1 2 Ez ,, z i n 2 k exp ik 2 z2 in 2 exp y z2 8 p (19) Bx iBy exp i n 3 3y y I y y y I y I I n1 n3 n1 n 2 2 2 2 Bx iBy exp i n 1 3y y I y y y I y I I n1 n1 n3 n 2 2 2 2 i Bx cos By sin c y I y .
I n1 n 2 2 где (, ) - полярные координаты в плоскости, отстоящей на расстоянии z от плоскости СФП, w - радиус перетяжки Гауссова пучка, In(x) - модифицированная функция Бесселя n-го порядка, y = c2/8p, p 1 w2 ik 2 2 z2,c k 2 z2.
При численном моделировании использовались следующие значения параметров:
длина волны = 633 нм; радиус перетяжки Гауссова пучка w = 1 мкм, порядок СФП n = 3, расстояние вдоль оптической оси z = 10 мкм, амплитуды составляющих Гауссова пучка Bx = 1 и By = 0,2i. Распределения напряженности электрического поля, полученные с помощью (19) и с помощью интеграла Рэлея-Зоммерфельда, для данного набора параметров практически совпали (в отличие от параксиальных формул). Моделирование также показало, что даже при таких небольших расстояниях z продольная составляющая Ez не дает существенного вклада в общую интенсивность. Однако при n = 1 на оптической оси будет не равна нулю только продольная составляющая и для определения осевой интенсивности надо использовать вторую формулу из (19).
Рассмотрим в слабом непараксиальном приближении дифракцию на СФП Гауссова оптического вихря с начальной радиальной поляризацией, т.е. с распределением в начальной плоскости Er r,,0 E0 2 0 exp ar2, где a 1 0 ik 2 f, 0 - r радиус перетяжки Гауссова пучка, k - волновое число, f - фокусное расстояние линзы.
В плоскости, перпендикулярной оптической оси, сформируется световое поле со следующей радиальной и азимутальной составляющей электрического вектора:
n i kzE Er ,, z 3 4 20 z2 (20) n 4x I x n 4x I x ik z2 2 x in, exp n1 n1 ni n kzE0 E ,, z I x I x exp ik z2 2 x in. (21) n1 n1 4 20 z2 2 2 2 n i ikE Ez ,, z exp ik z2 2 x in 4 2 0 z2 (22) n 2 n 2 x i n 4x In1 x 2 x i n 4x I x .
n 22 22 где (, ) - полярные координаты в плоскости, отстоящей на расстоянии z от плоскости СФП n-го порядка, x = 2/(8), k z2 2, aq z2 2, q z2 2 ik 2a.
Если сложить два пучка (19), один с правой круговой поляризацией (Bx = +iBy) и n = 1, а другой с левой круговой поляризацией (Bx = ЦiBy) и n = Ц1, то из (19) получается пучок с радиальной поляризацией:
Bxkzc , exp ik 2 z2 y y I1 y Er ,, z I4 2 z2 p3 E ,, z 0, (23) Ez ,, z iBxk exp ik 2 z2 y 4 2 z2 p3 2 3y ic y I1 y y y I2 y , I0 I1 где y, p и c те же, что и в (19).
Аналогично, вычитая поля (19), одно из которых имеет правую круговую поляризацию и n = 1, а другое - левую круговую поляризацию и n = Ц1, можно получить пучок с азимутальной поляризацией:
Er ,, z Ez ,, z 0, (24) iBxkzc E ,, z .
exp ik 2 z2 y y I1 y I4 2 z2 p3 При численном моделировании FDTD-методом (www.rsoftdesign.com) были использованы следующие значения параметров: длина волны = 633 нм, мощность пучка E0 = 1 Вт/см2, радиус перетяжки Гауссова пучка 0 = 1 мкм, фокусное расстояние параболической линзы f = 4 мкм, расстояние, пройденное светом z = 4 мкм (т.е.
поле рассматривалось в геометрическом фокусе линзы), n = 0, 1, полярный угол в выходной плоскости = 0.
На рис. 11а показана мгновенная амплитуда |Ex| в плоскости XZ для невихревого пучка (n = 0) с радиальной поляризацией (прерывистой линией показано расположение фокуса). На рис. 11б показана усредненная по времени интенсивность в плоскости z = 4 мкм, а на рис. 11в - ее горизонтальное сечение, которое совпадает с распределением интенсивности, полученным по формулам (20), (22).
На рис. 12а показана мгновенная амплитуда |Ex| в плоскости XZ для вихревого пучка (n = 1) с начальной радиальной поляризацией (прерывистой линией показано расположение фокуса). На рис. 12б показана усредненная по времени интенсивность в плоскости z = 4 мкм, а на рис. 12в - ее горизонтальное сечение, которое по своей структуре совпадает с распределением, полученным по формулам (20)-(22). На рис. 12в ширина фокусного пятна по полуспаду интенсивности равна FWHM = 1,4, хотя числовая апертура линзы равна NA 1/(1+42)1/2 0,243. Согласно скалярной теории должно быть FWHM 0,5/NA 2,06.
Рис. 11. Моделирование невихревого Гаус- Рис. 12. Моделирование вихревого Гасова пучка (n = 0) с радиальной поляриза- уссова пучка (n = 1) с радиальной поцией в начальной плоскости (z = 0) FDTD- ляризацией в начальной плоскости методом (z = 0) FDTD-методом В обоих случаях, когда пучок вихревой (n = 1) и когда он невихревой (n = 0), фокус пучка находится ближе, чем геометрический (z = f). Это хорошо известное смещение фокуса (Y. Li, E. Wolf, 1981). На рис. 11a и 12a видно, что смещение фокуса от геометрического составляет почти 50%: вместо z = f = 4 мкм фокус находится на z 2 мкм. Оценить осевое смещение фокуса для n = 0 можно с помощью уравнения (22), положив = 0. Фокус будет находиться в точке на оси z, когда |Ez| максимально, так как Er = 0 при = 0. Была получена следующая формула для оценки осевого сме1 2 щения фокуса: z f f 1 z0 f, где z0 k0 2 - длина Рэлея, которая дает смещение фокуса 40%.
В четвертой главе рассматривается дифракция Фраунгофера на многоуровневых (квантованных) СФП, получаемых при изготовлении по технологии электронной литографии. Рассмотрим дифракционный оптический элемент, имеющий форму правильного многоугольника = A0A1ЕAPЦ1 с вершинами в точках Am и вписанного в окружность радиуса R с центром в начале координат O. Пусть внутри каждого треугольника OApAp+1 глубина микрорельефа имеет постоянное значение, тогда внутри OApAp+1 и функция комплексного пропускания ДОЭ будет постоянна: (x, y) = exp(ip). В случае СФП, выберем p = np. p = (2/P)p. Пользуясь уравнением для дифракции на многоугольном отверстии (N. Saga, 1987), было получено выражение для комплексной амплитуды, описывающей дифракцию Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП:
P if cos P exp i 2sin p E , sin p 2 k2 p 0 sin p cos cos P p p (25) kR kR cos exp i cos cos exp i cos , p 1 p ppf f где (, ) - полярные координаты в Фурье-плоскости, k = 2/ - волновое число, - длина волны, f - фокусное расстояние линзы, p p P , P 3.
На рис. 13 показаны картины дифракции Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП (n = 6), полученные по формуле (25). При расчете использовались следующие значения параметров: длина волны = 633 нм, фокусное расстояние сферической линзы f = 150 мм, радиус апертуры R = 2 мм.
а) б) в) г) д) е) Рис. 13. Картины дифракции Фраунгофера плоской волны на квантованной ограниченной СФП: фаза ДОЭ (а, г), амплитуда (б, д) и фаза (в, е) в зоне дифракции Фраунгофера. Число секторов: 18 (а-в), 54 (г-е) В таблице 1 показана зависимость среднеквадратичного отклонения картины дифракции Фраунгофера плоской волны на ограниченной квантованной СФП (n = 6) от картины дифракции на ограниченной непрерывной СФП при меняющемся количестве секторов. Видно, что с ростом числа секторов СКО убывает.
На рис. 14а показан вид СФП, ограниченной правильным Таблица треугольником, площадь которого разделена на три равных треЧисло СКО секторов угольника с постоянными фазами 0, 2/3 и 4/3. Вблизи оптической оси, при P = 3 из формулы (25) можно получить:
18 19,1430 1,90 3 3k2R3 E1 0, exp i, (26) 42 0,13 48 f 54 0,04где (, ) - полярные координаты в Фурье-плоскости, k - волновое число света, f - фокусное расстояние сферической Фурье-линзы, R - радиус описывающей треугольник окружности.
На рис. 14б и в показаны рассчитанные интенсивность и фаза в плоскости Фурьеспектра при дифракции плоской волны на СФП, показанной на рис. 14а. Параметры расчета: длина волны = 633 нм, R = 2 мм, f = 155 мм. Из рис. 14б,в видно, что в центре картины дифракции (около оптической оси, в области, примерно равной диску Эйри с диаметром 1,22f/R) имеется изолированный ноль интенсивности, фаза вблизи которого носит спиральный характер и имеет топологический заряд 1.
y R x 2/4/а) б) в) Рис. 14. Дифракция Фраунгофера плоской волны на трехуровневой СФП с треугольной апертурой, фаза ДОЭ (а), интенсивность (б) и фаза (в) света в Фурье-плоскости На рис. 15а показана четырехуровневая СФП, разделенная на четыре треугольника с фазами 0, /2, и 3/2. Вблизи оптической оси (в области, примерно равной диску Эйри) также сформируется оптический вихрь с топологическим зарядом 1:
k2R3 E20 0, exp i. (27) 4 2 f где R a 2.
y R x /2 3/ а) б) в) Рис. 15. Дифракция Фраунгофера плоской волны на четырехуровневой СФП с квадратной апертурой, разделенной на треугольные субапертуры: фаза ДОЭ (а), интенсивность (б) и фаза (в) света в Фурье-плоскости (пунктиром показан диск Эйри) Так как рассмотренные ранее малоуровневые СФП имеют апертуру в виде правильного треугольника и квадрата, то с помощью них можно формировать сложные (составные) СФП, присоединяя одну ячейку к другой как в домино. Например, при объединении четырех квадратных СФП (рис. 15а), повернутых одна относительно другой на /2 против часовой стрелки; в центре картины дифракции сформировался оптический вихрь с топологическим зарядом n = 2. Аналогично, путем объединения шести одинаковых треугольных трехуровневых СФП (рис. 14а) в центре картины дифракции также формируется оптический вихрь с топологическим зарядом n = 2.
В пятой главе исследуются гипергеометрические лазерные пучки, формируемые при дифракции Гауссова пучка на СФП и логарифмическом аксиконе. Рассмотрим световое поле с начальной функцией комплексного пропускания вида:
m 1 r r2 r E n r,,0; exp i ln in, (28) w 2 w где (r, ) - полярные координаты в начальной плоскости (z = 0), - действительный параметр логарифмического аксикона, w - масштабный множитель, - радиус перетяжки Гауссова пучка, n - номер СФП, m - вещественный параметр, показатель амплитудной степенной составляющей.
При параксиальном распространении поля (28) его комплексная амплитуда на расстоянии z будет определяться в полярных координатах следующим выражением:
mi n n i z0 2 k ikE nm ,, z exp in 2 n! zq2 wq 2z 2qz (29) n m 2 i n m 2 i k ,n 1, , F1 2qz где (, ) - полярные координаты в плоскости, перпендикулярной оптической оси, k - волновое число, z0 = k2, q = (1Цiz0/z)1/2, 1F1(a, b, x) - функция Куммера.
При m = Ц1 и при (т.е. Гауссов пучок переходит в плоскую волну) выражение (29) описывает гипергеометрическую моду, сохраняющую свою структуру при распространении:
n1i 2 wnn n 1 i ikw2 n 1 i ikE,n,1 ,, z exp in F .
2,n 1, (30) 2n! 2 2z 2z Мода (30) формируется из начальной комплексной амплитуды (z = 0) c особенностью в начале координат, поэтому практически такая мода может быть реализована, например, с помощью кольцевой диафрагмы. На практике это не приводит к значительным искажениям дифракционной картины.
Гипергеометрические пучки (ГГ-пучки) (29) и моды (30) зависят от квадрата радиальной переменной.
Это означает, что пространственная частота картины дифракции увеличивается при удалении от оптической оси. На рис. 16 показано радиальное сечение интенсивности гипергеометрического пучка при следующих параметрах: длина волны = 532 нм, радиус перетяжки Гауссова пучка = 5 мм, показатель амплитудной Рис. 16. Радиальное сечение степенной составляющей m = 0, порядок спиральной интенсивности гиперфазовой пластинки n = 20, масштабирующий коэффигеометрического пучка (29) циент w = 5 мкм, расстояние вдоль оптической оси z = 7 мкм, параметр логарифмического аксикона = Ц200. Из рис. 16 видно, что на одной длине волны умещается около двух-трех максимумов интенсивности.
С помощью электронной литографии был изготовлен бинарный фазовый ДОЭ, размером 55 мм с разрешением 10 мкм для длины волны 532 нм. На рис. 17а показана картина дифракции Френеля, сформированная после освеа) б) щения ДОЭ плоским пучком Рис. 17. Экспериментальная (а) и расчетная (в) картисвета диаметром 4 мм от ны дифракции плоской волны на ДОЭ для гипергеотвердотельного лазера с длиметрической моды (n = 7, = 10) ной волны 532 нм и мощностью 500 мВт. На рис. 17 показаны экспериментальная (а) и расчетная (б) картины дифракции плоской волны на ДОЭ для формирования гипергеометрической моды (n = 7, = 10). Из рис. 17 видно, что обе картины дифракции удовлетворительно соответствуют друг другу. Среднеквадратичное отклонение их радиальных сечений составляет 27 %.
Рассмотрим некоторые частные случаи ГГ-пучков. При = i(m+1) выражение (29) примет вид:
n i k ik2 2 2 ik2 Eim1,n,m ,, z exp in 2 In 2 , (31) 2zq 2R1 z 2 z 2 z 2R z 2 2 2 где I(x) - модифицированная функция Бесселя, z 2 1 z2 z0, 2 R z 2z 1 z2 z0, R1 z R z 1 2z2 z0.
Световые пучки (31) сходны с квадратичными пучками Бесселя-Гаусса (КБГпучки) (C.F.R. Caron, 1999). Но КБГ-пучки и пучки (31) порождаются разными начальными световыми полями. Поля (31) можно назвать модифицированными квадратичными пучками Бесселя-Гаусса.
Положив = im, из общего вида (29) для ГГ-пучков можно получить частный случай в явной форме:
n i z0 k ik2 2 Eim,n,m ,, z exp in 2 I y I y , (32) n1 nzq2 2R1 z 2 z 4 2qz 2 1 k 2 ikгде y .
2 2 z 2R z 2qz Световое поле (32) можно реализовать с помощью дифракции Гауссова пучка на СФП. Поэтому световые пучки, описываемые комплексной амплитудой (32), могут быть названы Гауссовыми оптическими вихрями.
Рассмотрим дифракцию полого Гауссова пучка на СФП:
1 rr exp in .
E0,n,1 r,, z 0 (33) 2 2 Из общего уравнения (29) при условии = i(mЦ1), следует явное выражение для таких световых пучков:
Eim1,n,m ,, z n (34) i k ik2 2 1 n exp in 2 y I y yI y , n nzq3 2R1 z 2 z 2 2 где y такое же, как в (32). Световые поля (34) с учетом вида порождающего их поля (33) можно назвать полыми Гауссовыми оптическими вихрями.
На рис. 18 показаны распределение амплитуды в плоскости y = 0 (а), в плоскости z = 33 (б), а также фазы в плоскости z = 33 (в) для полого Гауссова оптического вихря, порождаемого начальным полем (33) при следующих значениях параметров:
= 633 нм, = = 3, n = 3. Рис. 18 получены с помощью конечно-разностного метода распространения пучка (BPM-метода) (www.rsoftdesign.com).
а) б) в) Рис. 18. Распределение модуля комплексной амплитуды в плоскости y = 0 (а), в плоскости z = 33 (б), а также фазы в плоскости z = 33 (в) Подберем параметры гипергеометрической функции в (29) так, чтобы m = Ц1, n + 1 - i = Ц2p, где p - целое число (p Цn/2). Тогда из (29) получим:
n2 p nn i p! z0 2 ikFin12 p,n,1 ,, z t 2 exp t Ln t. (35) in 2z p 2 zq2 wq k где t 2qz, Ln x - присоединенный многочлен Лагерра.
p Световые пучки, описываемые комплексной амплитудой (35), можно назвать модифицированными элегантными пучками Лагерра-Гаусса (МЭЛГ-пучки). Логично назвать эти новые световые пучки элегантными, так как аргумент многочлена Лагерра комплексный, как и у обычных элегантных пучков Лагерра-Гаусса (ЭЛГ-пучки). Но зависимость аргумента многочлена Лагерра в (35) от переменной z отличается от аналогичной зависимости в обычных элегантных пучках ЛГ. В общепринятой форме элегантные пучки ЛГ имеют форму xn 2 exp x Ln x, которая отличается от (35) посто p янными множителями и фазовой Гауссовой экспонентой. Таким образом, обнаружена еще одна разновидность элегантных пучков ЛГ, которые являются частным случаем ГГ-пучков. Отличие возникает из-за разных начальных полей.
Рассмотрим теперь ГГ-пучки в непараксиальном случае. Можно показать, что следующие функции 2n 1 2n E r,, z exp i2n ikz kr (36) 2n 1 2n U,2n 1,x 1F1 ,2n 1,x .
являются решениями уравнения Гельмгольца. Здесь 1F1(a, b, x) и U(a, b, x) - первое и второе решения уравнения Куммера.
Если в выражении (36) для прямой волны E+(r, , z) устремить z к бесконечности, получим выражение, которое с точностью до постоянного множителя совпадает с выражением для комплексной амплитуды параксиальной ГГ-моды (29).
I 0,Было проведено численное моделирование путем решения уравнений Масквелла методом FDTD. В 0,плоскости z = 0 было задано электромагнитное линейно поляризоr,мкм ванное вдоль оси x поле (36) при = 0, n = 1, = 633 нм. На рис. 19а -2,5 -1 0 1 2,а) б) показана картина дифракции такого Рис. 19. Картина дифракции поля в плоскости z = 1 мкм. На I Ex Ey Ez (а) и ее горизонтальное рис. 19б показано радиальное сечение картины дифракции, которое сечение (плоскостью y = 0) (б) для непараксихорошо согласуется с решением, ального гипергеометрического пучка при = 0 с полученным с помощью углового начальной (z = 0) комплексной амплитудой (36) спектра плоских волн.
на расстоянии z = 1 мкм В шестой главе исследуется фокусировка векторных гипергеометрических лазерных пучков, дифракция Гауссова пучка на логарифмическом аксиконе, а также рассматривается распространение мод в планарном гиперболическом секансном волноводе.
Пусть при z = 0 имеется две поперечные проекции электрического вектора светового поля, пропорциональные комплексной амплитуде параксиального гипергеометрического пучка:
m r r2 r Ex, y r,, z 0 Bx, y exp i ln in. (37) w w2 w где (r, ) - полярные координаты в начальной плоскости, Bx,y - постоянные, w - радиус перетяжки Гауссова пучка, n - топологический заряд оптического вихря, - параметр логарифмического аксикона, m - параметр, характеризующий порядок кольцевого пучка. Тогда, в произвольной поперечной плоскости сформируется световое поле со следующей комплексной амплитудой:
kn1Bx, ynz n1 n m 2 i Ex, y ,, z i nm2i 2n1 n 1 Dn2W wmi (38) n m 2 i k2exp in ikD F1 ,,n 1, 24DW n k Ez ,, z i exp ikD in nm2i Dn2W wmi n1 n m 4 i k Bx iBy 2 n m 4 i k2 exp i F1 ,n 2, 2 2n2 DW n 2 2 4D2W n1 n m 2 i (39) k D Bx iBy 2 n m 2 i k2 exp i F1 ,n, 2 2n n 2 4D2W n n m 2 i k 2 n m 2 i k2 i Bx cos By sin F1 ,,n 1, 2n1 n 1 2 4D2W где (, ) - полярные координаты, z - координата вдоль оптической оси, k = 2/ - волновое число, - длина волны, D = (2 + z2)1/2, W = 1/w2 - ik/(2D), 1F1(a, b, x) - вырожденная гипергометрическая функция.
При n = 0 амплитуда на оптической оси ( = 0) Ez = 0 и интенсивность имеет вид:
m2 2 2 m 2 i 2 zR zR 2 zR I 0,0, z Bx By 1 exp arctan , (40) 2 z2 z2 z где zR = kw2/2. Максимум осевой интенсивности достигается при условии zmax zR 8m 4. Из этого следует, что при m = 0 расстояние самофокуси ровки пучка, который уже не будет кольцевым, равно zmax = zR/2.
При n = 1 на оптической оси будет отлична от нуля только продольная составляющая (Ex,y = 0), и осевая интенсивность будет иметь вид:
mzRw2 Bx iBy m 3 i 2 zR 2 zR. (41) I 0,0, z Ez 1 exp arctan 4z4 2 z2 z Расстояние самофокусировки, на котором достигается максимум осевой интенсивности, равно zmax zR 16 m 1 8.
Самофокусировка гипергеометрических пучков, рассчитанных FDTD-методом, видна на рис. 20. Параметры расчета: длина волны = 532 нм, w = , (, m) = (0, 3) (рис. 20а) и (, m) = (-5, 3) (рис. 20б).
а) б) Рис. 20. Самофокусировка векторных гипергеометрических пучков: интенсивность в плоскости (x, z) Далее рассмотрим в скалярном параксиальном приближении дифракцию Гауссова пучка на спиральном логарифмическом аксиконе (СЛА) и просто на логарифмическом аксиконе (ЛА) с параметром . Функция пропускания СЛА имеет вид T r, expi ln r in, где - масштабный параметр СЛА, (r, ) - полярные координаты. Из (29), пользуясь приближенной формулой для нулей гипергеометрической функции, была получена оценка ширины поперечного распределения интенсивности вблизи оптической оси, из которой следует, что выбором достаточно большого значения || ( < 0) можно с помощью ЛА получить вблизи плоскости z = световое пятно с любым малым субволновым диаметром. Рассмотрим двумерный ЛА и проведем моделирование с помощью FDTD-метода.
Рис. 21. Вид двумерного ЛА с парамет- Рис. 22. Усредненное по времени распределение интенсивности сразу за аксикорами: радиус 4, параметр = Цном (при z = 2) На рис. 21 показан рельеф двумерного ЛА (n = 0). Граница области моделирования: [Ц4, +4] [0, 3], время моделирования: cT = 30, c - скорость света, дискретизация по x (горизонтальная ось) и по z (вертикальная) /50, по времени T/100. Высота рельефа: /(n'Ц1) = 2, показатель преломления: n' = 1,5, длина волны освещающего света = 532 нм, параметры аксикона = Ц20 и = 4. ЛА освещается Гауссовым пучком света с ТЕ-поляризацией и радиусом перетяжки w = 3. Ширина по полуспаду центрального максимума интенсивности на рис. 22 равна FWHM = 108 нм = 0,20.
Это меньше, чем дифракционный предел в среде в 2D случае FWHM = 0,44 / n' = 0,293 (для стекла n' = 1,5).
В предыдущих главах исследовались лазерные пучки, описываемые гипергеометрическими функциями, распространяющиеся в свободном пространстве. Рассмотрим теперь планарный гиперболический секансный волновод (ГС-волновод) с зависимостью показателя преломления вида n(x) = n0chЦ1(x/a), где n0 - показатель преломления на оси z при x = 0, x - поперечная координата волновода, a - полуширина волновода по спаду показателя преломления в 1,54 раза. Можно показать, что ТЕ-моды ГСволновода имеют вид:
exp i z a F1 m,m , 1,y Em x, z , (42) m ch x a 1 y или Em x, z exp i z a 1 w2 Pm, w, (43) где k = 2/ - волновое число света, y = exp(2x/a), m - положительное целое число, w = th(x/a), 2F1(a, b, c, x) - гипергеометрическая функция Гаусса, а Pm, w - многочле ны Якоби, = 0 + m, где 0 ( 1 4k2a2n2 1) / 2. Показано, что произвольное световое поле в ГС-волноводе будет повторяться с периодом L = 2a, названным периодом Тальбота.
С помощью разностного решения системы уравнений Максвелла FDTDЦметодом было промоделировано распространение в ГСволноводе ТЕ-моды (m = 4). Параметры моделирования были следующие: a = /2, = 1,55 мкм, n0 = 3,47 (кремний), ГСЦволновод ограничен размером b = 1,5 мкм. На рис. показано мгновенное распределение реальной части Е-вектора TE-моды, распространяющейся в ГС-волноводе.
Рис. 23. Распространение моды Периодическое повторение светового поля (m = 4) в ГС-волноводе с ТЕ-поляризацией в ГС-волноводе, показано на рис. 24. На этом рисунке показано мгновенное распределение амплитуды ТЕ-моды с номером m = 3, распространяющейся в ГСволноводе (таком же как на рис. 23), но ширина которой была уменьшена в 3 раза a' = a/3.
Она уже перестает быть модой и распространяется как линейная комбинация мод, поэтому при распространении такого светового поля наблюдается периодическое повторение поперечного сечения интенсивности с периодом Рис. 24. Распространение немодового /2.
светового поля в ГС-волноводе В случае прохождения через ГС-волновод TM-мод выражения для них имеют вид:
exp i z a F1 m,m , 1,y Hm x, z , (44) m ch x a 1 y 2 где 2 2 1 1 4k2a2n0 2m 1, H - проекция магнитного вектора на ось y.
В отличие от TE-мод, ТМ-поляризованное излучение не фокусируется в ГСволноводе.
ГС-волновод с длиной, равной одному или половине периода Тальбота, может быть использован для формирования изображений и для фокусировки света. Такой ГС-волновод будем далее называть гиперболической секансной ГС-линзой. На рис. 25а показано формирование изображения двух точечных источников такой линзой (ширина линзы 6 мкм, длина 4,92 мкм, материал - кремний n0 = 3,47). Ширина источников 50 нм, расстояние между ними 300 нм, расстояние от источников до передней плоскости линзы 10 нм, длина волны = 1 мкм. На рис. 25б показано усредненное распределение потока мощности (проекции на оптическую ось вектора УмоваПойнтинга Sz), рассчитанное за выходной поверхностью ГС-линзы на расстоянии 10 нм. Из рис. 25б видно, что два источника разрешаются, при этом величина разрешения равна 0,3.
а) б) Рис. 25. Мгновенная картина амплитуды электрического вектора световой волны с ТЕ-поляризацией в ГС-линзе, когда перед входной поверхностью на расстоянии 10 нм находятся два точечных источника (а); усредненный по времени поток мощности, рассчитанный на расстоянии 10 нм от задней плоскости линзы (б) Оказалось, что поток мощности позволяет разделять источники лучше, чем интенсивность. В рассмотренном примере для расстояния 0.25 источники разрешаются по потоку мощности и едва разрешаются по интенсивности. На рис. 26 источники, разделенные расстоянием 0.15, разрешаются только по потоку мощности. А источники, разделенные расстоянием 0.12, не разрешаются ни по потоку мощности, ни по интенсивности.
а) б) Рис. 26. Усредненные по времени интенсивность (а) и мощность (б), вычисленные за выходной плоскостью ГС-линзы для двух источников света Заключение В диссертации на основе волнового уравнения, а также на основе интегральных преобразований, описывающих распространение монохроматического излучения, решена задача расчета дифракции света на спиральных фазовых пластинках и аксиконах, формирующих сингулярные лазерные пучки.
Основные результаты диссертационной работы.
1. Показано, что при прохождении плоской волны, ограниченной круглой диафрагмой, через спиральную фазовую пластинку (СФП) с произвольным целым топологическим зарядом n в дальней зоне формируется картина дифракции Фраунгофера, комплексная амплитуда которой описывается конечной суммой функций Бесселя, вид которой отличается для четных и нечетных n. Радиус первого светлого кольца на картине дифракции пропорционален диаметру диска Эйри, умноженному на сумму первых нулей функции Бесселя n-го порядка и ее производной.
2. Исследована дифракция Фраунгофера плоской волны, ограниченной круглой диафрагмой радиуса R, на спиральном аксиконе (СА) с параметром и топологическим зарядом n. Комплексная амплитуда описывается рядом из функций Бесселя и полиномов Чебышева второго рода. Показано, что аксикон, добавленный к СФП, позволяет снижать контраст периферийных колец оптического вихря. При моделировании и в эксперименте контраст уменьшался в два раза при условии R 2,7 (n < 10).
3. Показано влияние поляризации на картину дифракции Гауссова пучка на СФП.
Как при эллиптической поляризации, так и при радиальной и азимутальной, комплексная амплитуда всех компонент вектора напряженности электрического поля описывается линейной комбинацией двух модифицированных функций Бесселя. СФП с единичным топологическим зарядом совместно с линзой фокусирует Гауссов пучок с начальной радиальной поляризацией в пятно (без СФП происходит фокусировка в кольцо). При этом осевое смещение фокуса от геометрического может достигать половины фокусного расстояния.
4. Исследовано влияние квантования фазы, которое возникает при изготовлении СФП по технологии электронной литографии. Установлено, что при скалярной дифракции Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП в форме правильного многоугольника световое поле представляет собой конечную сумму плоских волн. В случае треугольных трехуровневых и квадратных четырехуровневых СФП в центре дифракционной картины в области, примерно равной диску Эйри, формируется оптический вихрь с единичным топологическим зарядом.
5. Решена задача дифракции Френеля Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей на СФП, совмещенной с логарифмическим аксиконом. Показано, что в этом случае формируется оптический вихрь, комплексная амплитуда которого пропорциональна вырожденной гипергеометрической функции. Множество таких оптических вихрей (гипергеометрических пучков) составляет трехпараметрическое семейство. При наличии амплитудной особенности в центре плоского освещающего пучка формируется гипергеометрическая мода, сохраняющая поперечную структуру интенсивности при распространении с точностью до масштаба. Пространственная частота световых колец на дифракционной картине линейно возрастает при удалении от оптической оси к периферии.
6. В рамках скалярной теории дифракции исследованы непараксиальные гипергеометрические лазерные пучки. Показано, что комплексная амплитуда таких пучков в поперечной плоскости описывается произведением двух линейно-независимых решений уравнения Куммера.
7. Получено распределение осевой интенсивности при прохождении Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей через спиральный логарифмический аксикон с нулевым или единичным топологическим зарядом. Показано, что имеет место безлинзовая фокусировка, состоящая в смещении положения перетяжки вдоль оптической оси. При отсутствии оптического вихря и логарифмического аксикона величина смещения перетяжки пропорциональна расстоянию Рэлея и квадратному корню от показателя амплитудной степенной составляющей. При отсутствии оптического вихря и амплитудной степенной составляющей величина этого смещения пропорциональна расстоянию Рэлея и параметру логарифмического аксикона.
8. Получена оценка для эффективного радиуса картины дифракции Френеля Гауссова пучка на логарифмическом аксиконе (ЛА). Размер формируемого пятна интенсивности находится в обратной зависимости от параметра ЛА. С помощью моделирования конечно-разностным методом решения уравнений Максвелла показано, что с помощью двумерного ЛА можно преодолеть дифракционный предел: сразу за выходной поверхностью диаметр светового пучка по полуспаду интенсивности может составлять пятую часть длины волны.
9. Показано, что в планарном градиентном волноводе с секансным распределением показателя преломления комплексная амплитуда TE мод описывается полиномами Якоби, а TM мод - Гауссовыми гипергеометрическими функциями. Установлено, что для TE мод существует период Тальбота, через который дифракционная картина повторяется. Для TM-мод такого периода не существует. Гиперболическая секансная линза, являющаяся гиперболическим секансным волноводом с длиной, равной периоду Тальбота, позволяет достигать субволновое разрешение при изображении двух точечных источников TE-поляризованного излучения (при моделировании FDTDметодом были разрешены источники с расстоянием между ними 0,3 длины волны).
Использование проекции вектора Умова-Пойнтинга на оптическую ось вместо интенсивности позволило увеличить разрешение до 0,15 длин волн.
Основные результаты опубликованы в следующих работах Статьи в реферируемых журналах и изданиях, рекомендованных ВАК 1. Котляр, В.В. Дифракция конической волны и гауссового пучка на спиральной фазовой пластинке [Текст] / В.В. Котляр, А.А. Ковалев, С.Н. Хонина, Р.В. Скиданов, В.А. Сойфер, Я. Турунен // Компьютерная оптика. - 2005. - № 28.
Ц С. 29Ц36.
2. Котляр, В.В. Дифракция плоской волны конечного радиуса на спиральной фазовой пластинке [Текст] / В.В. Котляр, С.Н. Хонина, А.А. Ковалев, В.А. Сойфер // Компьютерная оптика. - 2005. - № 28. - С. 37Ц40.
3. Kotlyar, V.V. Diffraction of conic and Gaussian beams by a spiral phase plate [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, S.N. Khonina, R.V. Skidanov, V.A. Soifer, H. Elfstrom, N. Tossavainen, J. Turunen // Appl. Opt. - 2006. - Vol. 45. - No. 12. - P. 2656-2665.
4. Kotlyar, V.V. Diffraction of a plane, finite-radius wave by a spiral phase plate [Текст] / V.V. Kotlyar, S.N. Khonina, A.A. Kovalev, V.A. Soifer, H. Elfstrom, J. Turunen // Opt. Lett. - 2006. - Vol. 31. - No. 11. - P. 1597-1599.
5. Котляр, В.В. Дифракция Гауссового пучка на спиральном аксиконе [Текст] / В.В. Котляр, А.А. Ковалев, Д. Коджек, В. Гарбини, Е. Феррари // Компьютерная оптика. - 2006. - № 30. - С. 30-35.
6. Котляр, В.В. Дифракция плоской волны конечного радиуса на спиральном аксиконе и спиральной фазовой пластинке: сравнение [Текст] / В.В. Котляр, А.А. Ковалев, В.А. Сойфер, Д.А. Девис, С. Тувей, Д. Коттрел // Компьютерная оптика. - 2006. - № 30. - С. 36-43.
7. Kotlyar, V.V. Sidelobe contrast reduction for optical vortex beams using a helical axicon [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, V.A. Soifer, C.S. Tuvey, J.A. Davis // Opt.
Lett. - 2007. - Vol. 32. - No. 8. - P. 921-923.
8. Ковалев, А.А. Параксиальные гипергеометрические лазерные пучки с особенностью в центре перетяжки [Текст] / А.А. Ковалев, В.В. Котляр, С.Н. Хонина, В.А. Сойфер // Компьютерная оптика. - 2007. - Т. 31. - № 1. - С. 9-13.
9. Ковалев, А.А. Дифракция плоской волны на ограниченной спиральной фазовой пластинке: параксиальная векторная теория [Текст] / А.А. Ковалев, В.В. Котляр // Компьютерная оптика. - 2007. - Т. 31. - № 2. - С. 4-8.
10. Kotlyar, V.V. Diffraction of a finite-radius plane wave and a Gaussian beam by a helical axicon and a spiral phase plate [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, R.V. Skidanov, O.Yu. Moiseev, V.A. Soifer // J. Opt. Soc. Am. A. - 2007. - Vol. 24. - No. 7. - P. 1955-1964.
11. Ковалев, А.А. Дифракция Фраунгофера на многоуровневой (квантованной) спиральной фазовой пластинке [Текст] / А.А. Ковалев, В.В. Котляр // Компьютерная оптика. - 2007. - Т. 31. - № 3. - С. 9-13.
12. Ковалев, А.А. Непараксиальная векторная дифракция гауссового пучка на спиральной фазовой пластинке [Текст] / А.А. Ковалев, В.В. Котляр // Компьютерная оптика. - 2007. - Т. 31. - №4. - С. 19-22.
13. Ковалев, А.А. Гипергеометрические лазерные пучки общего вида и их известные частные случаи [Текст] / А.А. Ковалев, В.В. Котляр // Компьютерная оптика. - 2007. - Т. 31. - №4. - С. 29-32.
14. Kotlyar, V.V. Simple optical vortices formed by a spiral phase plate [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, R.V. Skidanov, S.N. Khonina, O.Y. Moiseev, V.A. Soifer // J. Opt. Technol. - 2007. - Vol. 74. - No. 10. - P. 686-693.
15. Kotlyar, V.V. Family of hypergeometric laser beams [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev // J. Opt. Soc. Am. A. - 2008. - Vol. 25. - No. 1. - P. 262-270.
16. Kotlyar, V.V. Fraunhofer diffraction of the plane wave by a multilevel (quantized) spiral phase plate [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev // Opt. Lett. - 2008. - Vol. 33.
Ц No. 2. - P. 189-191.
17. Котляр, В.В. Трех- и четырехуровневые спиральные фазовые пластинки [Текст] / В.В. Котляр, А.А. Ковалев // Компьютерная оптика. - 2008. - Т. 32. - № 1. - С. 914.
18. Котляр, В.В. Некоторые типы гипергеометрических лазерных пучков для оптического микроманипулирования [Текст] / В.В. Котляр, А.А. Ковалев, Р.В. Скиданов, С.Н. Хонина // Компьютерная оптика. - 2008. - Т. 32. - № 2. - С.
180-186.
19. Котляр, В.В. Непараксиальные гипергеометрические моды [Текст] / В.В. Котляр, А.А. Ковалев // Компьютерная оптика. - 2008. - Т. 32. - № 3. - С. 222-225.
20. Kotlyar, V.V. Generating hypergeometric laser beams with a diffractive optical element [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, R.V. Skidanov, S.N. Khonina, J. Turunen // Appl. Opt. - 2008. - Vol. 47. - No. 32. - P. 6124-6133.
21. Kotlyar, V.V. Nonparaxial hypergeometric beams [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev // J. Opt. A Pure Appl. Opt. - 2009. - Vol. 11. - No. 4. - P. 045711.
22. Nalimov, A.G. Three-Dimensional Simulation of a Nanophotonics Device with Use of Fullwave Software [Текст] / A.G. Nalimov, A.A. Kovalev, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer // Optical Memory and Neural Networks (Information Optics). - 2009. - Vol. 18. - No.
2. - P. 85-92.
23. Kotlyar, M. Photonic crystal lens for coupling two waveguides [Текст] / M. Kotlyar, Y. Triandaphilov, A. Kovalev, V. Soifer, M. Kotlyar, L. O'Faolain // Appl. Opt. - 2009. - Vol. 48. - No. 19. - P. 3722-3730.
24. Ковалев, А.А. Непараксиальное распространение векторного гауссова оптического вихря с начальной радиальной поляризацией [Текст] / А.А. Ковалев, В.В. Котляр // Компьютерная оптика. - 2009. - Т. 33. - № 3. - С. 226Ц232.
25. Котляр, В.В. Градиентные элементы микрооптики для достижения сверхразрешения [Текст] / В.В. Котляр, А.А. Ковалев, А.Г. Налимов // Компьютерная оптика. - 2009. - Т. 33. - № 4. - С. 369Ц378.
26. Ковалев, А.А. Аналитическое описание радиально и азимутально поляризованного света и моделирование преобразования поляризации с помощью субволновых ДОЭ [Текст] / А.А. Ковалев, А.Г. Налимов, В.В. Котляр // Компьютерная оптика. - 2009. - Т. 33. - № 4. - С. 393Ц400.
27. Kotlyar, V.V. Nonparaxial propagation of a Gaussian optical vortex with initial radial polarization [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev // J. Opt. Soc. Am. A. - 2010. - Vol.
27. - No. 3. - P. 372-380.
28. Котляр, В.В. Моды планарного градиентного гиперболического секансного волновода [Текст] / В.В. Котляр, А.А. Ковалев, Я.Р. Триандафилов, А.Г. Налимов // Компьютерная оптика. - 2010. - Т. 34. - № 2. - С. 146Ц155.
29. Котляр, В.В. Самофокусировка гипергеометрических лазерных пучков [Текст] / В.В. Котляр, А.А. Ковалев // Компьютерная оптика. - 2010. - Т. 34. - № 3. - С.
286Ц291.
30. Kotlyar, V.V. Subwavelength focusing with a Mikaelian planar lens [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, V.A. Soifer // Optical Memory and Neural Networks (Information Optics). - 2010. - Vol. 19. - No. 4. - P. 273-278.
31. Котляр, В.В. Дифракция гауссового пучка на логарифмическом аксиконе: преодоление дифракционного предела [Текст] / В.В. Котляр, А.А. Ковалев, С.С. Стафеев // Компьютерная оптика. - 2010. - Т. 34. - № 4. - С. 436Ц442.
32. Kotlyar, V. Diffraction of a Gaussian beam by a logarithmic axicon [Текст] / V. Kotlyar, A. Kovalev, S. Stafeev, V. Soifer // J. Opt. Soc. Am. A. - 2011. - Vol. 28.
Ц No. 5. - P. 844-849.
33. Kotlyar, V.V. Lensless focusing of hypergeometric laser beams [Текст] / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, V.A. Soifer // J. Opt. - 2011. - Vol. 13. - No. 7. - P.
075703.