Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям
На правах рукописи
Смирнов Владимир Владимирович
ПРЯМОЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Специальность 05.13.01. - "Системный анализ, управление и обработка информации (в наук
е и промышленности) по техническим наукам"
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Нижний Новгород 2012
Работа выполнена на кафедре Теория цепей и телекоммуникации Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е.
Алексеева.
Научный консультант: доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Есипенко Валентин Иванович
Официальные оппоненты: Моругин Станислав Львович доктор технических наук, доцент, НГТУ им. Р.Е.Алексеева, заведующий кафедрой УКомпьютерные технологии в проектировании и производствеФ Аристархов Василий Юрьевич кандидат технических наук, ЗАО л Интел А.О, старший инженер по разработке программного обеспечения
Ведущая организация: ФГУП "НПП "Полет", Нижний Новгород
Защита состоится л 5 апреля 2012г. в 15 часов в ауд. 1258 на заседании диссертационного совета Д 212.165.05 при Нижегородском государственном техническом университете им. Р.Е. Алексеева по адресу:
603600, Нижний Новгород, ГСП-41, ул. К.Минина, 24.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева.
Автореферат разослан л 3 марта 2012г.
Ученый секретарь Суркова Анна Сергеевна
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В современном мире технических устройств повышающиеся требования к надежности, помехоустойчивости, точности управления и другим параметрам приводят к необходимости строгого учета даже незначительных флуктуаций полезных сигналов на фоне искажений различной природы. Математический аппарат стохастических процессов, шумов в радиофизике, радиотехнике, системах автоматического управления и других областях науки и техники постоянно совершенствуется работами многих авторов, и этот процесс, видимо, далек от завершения.
Наличие на выходах различных технических устройств внутренних шумов, имеющих разнообразную природу (тепловой шум, дробовой шум, фликкерный шум и др.), а также воздействие на входы устройств различных внешних шумов (космические шумы, шумовые помехи от внешних источников и т.д.) в подавляющем числе практических случаев, строго говоря, дает нам возможность рассуждать о вероятностной составляющей любого обрабатываемого техническим устройством (в том числе линейными непрерывными динамическими системами (ЛНДС)) сигнала.
Среди многообразия методов обработки сигналов следует особо выделить нелинейные преобразования с последующей фильтрацией полезного сигнала, как наиболее перспективные и эффективные. Введение нелинейности наряду с очевидными преимуществами порождает также ряд трудностей, связанных, в первую очередь, с преобразованиями спектров сигналов и их последующей линейной фильтрацией. Особенно остро эта проблема касается случайных процессов (СП), т.к. нелинейные преобразования изменяют их тип распределения.
Наиболее просто плотность распределения вероятностей (ПРВ) СП на выходе линейной динамической системы можно найти, если на входе действует гауссовский СП. Однако, если входной СП имеет распределение, отличное от нормального, вычисление вероятностных характеристик выходного СП представляется сложной задачей.
Решению данной задачи посвящены работы Р.Л. Стратановича, П.И.
Кузневова, В.И. Тихонова, А.Н. Малахова, Ш.М. Чабдарова, Д. Миддлтона, В.Б. Довенпорта, В.Л. Рута, Б.Р. Левина, Ю.С. Шинакова, А.П. Трофимова, Н.А. Лифшица, В.Н. Пугачева и многих других широко известных авторов.
При нахождении статистических характеристик выходного СП при входном негауссовком СП широко применяется процесс нормализации закона распределения при его прохождении через линейное звено. Он заключается в том, что процесс на выходе приближается к нормальному закону, в то время как процесс на входе отличается от нормального. Множество исследований, явно или не явно опираясь на центральную предельную теорему (ЦПТ), декларируют, что СП на выходе системы является гауссовским независимо от статистики шума на входе. В этом случае, входной шум также принято аппроксимировать как белый гауссовский шум и использовать хорошо разработанные методы работы с гауссовскими СП.
Основные проблемы возникают в случаях, когда воспользоваться ЦПТ не представляется возможным или ее использование влечет за собой существенные погрешности, которые порой сопоставимы с полученным результатом. Наличие корреляционных связей между СП на входе, превалирование отсчетов одного СП над другими - все это фактически запрещает использование ЦПТ и порождает проблему нахождения многомерной ПРВ СП на выходе линейной динамической системы при входном негауссовском СП.
В ряде работ подчеркивается тот факт, что рассмотрение случайной величины (СВ) исследуемого параметра как априори подчиняющегося нормальному закону есть само по себе, серьезное допущение. Так, качество приема и обработки сигналов при тривиальной аппроксимации входного СП гауссовским распределением в ряде случаев становится неприемлемым.
Например, если квадратурные составляющие сигнала имеют нормальное распределение, то амплитуда этого сигнала - распределение Релея.
В настоящее время известен ряд статистических методов, направленных на разрешение данной проблемы, большинство из которых не позволяют найти ПРВ размерности n > 2 на выходе линейных систем.
В последнее годы был разработан прямой статистический анализ, основой которого является описание параметров исследуемых систем в вероятностном смысле. Показано, что для широкого класса линейных динамических систем, математические модели которых представимы интегральными уравнениями, можно получить многомерную произвольной размерности n плотность распределения вероятностей выходного случайного процесса. В частности, для линейных динамических систем, описываемых интегральным уравнением Вольтерра 2 рода (в первую очередь для систем автоматического управления) предложены два основных способа решения: метод резольвентного ядра и принцип сжатых отображений.
Принцип сжатых отображений, позволяющий найти решение уравнения Вольтерра 2 рода методом последовательных приближений, хорошо представлен в литературе. Доказано существование и единственность решения уравнения, приведены условия сходимости ряда приближений и т.д.
Однако теоретические основы метода последовательных приближений в рамках прямого статистического анализа все еще недостаточно разработаны, их совершенствование - есть предмет исследования данной диссертационной работы.
Целью диссертационной работы является развитие математического аппарата метода последовательных приближений при прямом статистическом анализе линейных непрерывных динамических систем.
Указанная цель достигается решением следующих задач:
1) разработать математическую модель приближения произвольного порядка m многомерной произвольной размерности n плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной непрерывной динамической системы с детерминированными параметрами;
2) разработать математическую модель приближения произвольного порядка m многомерной произвольной размерности n плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной непрерывной динамической системы со случайными параметрами;
3) проанализировать зависимость полученных математических моделей от структурных изменений линейной непрерывной динамической системы;
4) разработать программные продукты, реализующие найденные математические модели;
5) экспериментально оценить статистические характеристики выходных случайных процессов линейных непрерывных динамических систем с помощью разработанных математических моделей.
Методы исследования. При решении поставленных задач применялись методы теории вероятностей, вычислительной математики, теории функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории автоматического управления, имитационного компьютерного моделирования.
Научная новизна состоит в следующем:
1) Доказана истинность найденного аналитического выражения для приближения произвольного порядка m многомерной произвольной размерности n плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной непрерывной динамической системы при произвольном (в том числе негауссовском) входном воздействии.
2) Получены аналитические выражения для приближений произвольного порядка m решения интегрального уравнения Вольтерра 2 рода линейной непрерывной динамической системы с детерминированными и случайными параметрами.
3) Выполнен анализ полученных решений при нулевых и частичнонулевых параметрах линейной непрерывной динамической системы.
4) С помощью разработанных программных продуктов получены методом последовательных приближений при прямом статистическом анализе характеристики случайных процессов на выходе линейных непрерывных динамических систем при негауссовских случайных воздействиях.
Практическая значимость и внедрение. Предложенные в диссертационной работе математические модели и разработанные программные продукты позволяют выполнить прямой статистический анализ методом последовательных приближений линейных непрерывных систем автоматического управления, измерительных приборов и прочих линейных динамических систем произвольного порядка с детерминированными и случайными параметрами при произвольных (в том числе негауссовских) случайных процессах с известными характеристиками на входе с получением всех необходимых характеристик выходного случайного процесса.
Доказанная общая закономерность построения приближения произвольного порядка m решения интегрального уравнения Вольтерра 2 рода и выполненный анализ учета структурных изменений ЛНДС могут быть использованы при решении аналогичных задач применительно к нелинейным непрерывным системам автоматического управления, а также к линейным и нелинейным цифровым системам автоматического управления.
Полученные результаты использованы в фирме ООО Телека при расчете производительности межпроцессорного взаимодействия.
Часть результатов диссертационной работы использованы в учебном процессе на кафедре Теория цепей и телекоммуникации Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева при проведении занятий для студентов по направлению 2104Телекоммуникации.
Отдельные результаты исследований вошли в состав отчетов по НИР "Повышение качественных характеристик динамических систем" (№ гос.
регистрации 01.2.007 03945) в 2007, 2009 гг.
Результаты внедрения подтверждены соответствующими документами.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических международных конференциях: Международная научно-техническая конференция "Обработка сигналов в системах наземной радиосвязи и оповещения" (г.Нижний Новгород, 2007); VIII Международная научнотехническая конференция Физика и технические приложения волновых процессов (г.Санкт-Петербург, 2009); Международная научно-техническая конференция УНАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ - 2010Ф (г.Мурманск, 2010).
Основные положения, выносимые на защиту заключаются в следующем:
1) Формулировка и доказательство утверждения о построении приближения произвольного порядка m решения интегрального уравнения Вольтерра 2 рода является основой синтеза общей математической модели искомой плотности распределения вероятностей произвольной размерности n выходного случайного процесса линейной непрерывной динамической системы при произвольных (в том числе негауссовских) входных случайных воздействиях и разработки соответствующего программного обеспечения.
2) Выполненный анализ решения уравнения Вольтера 2-го рода для детерминированных, случайных, нулевых и частично-нулевых параметров показал, что прямой статистический анализ позволяет при произвольном случайном воздействии находить методом последовательных приближений любые статистические характеристики выходного случайного процесса для широкого класса линейных непрерывных динамических систем: систем с детерминированными или случайными параметрами, систем с задержкой и пр.
3) Аналитическое представление приближения произвольного порядка m искомой многомерной произвольного порядка n плотности распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной непрерывной динамической системы позволяет существенно проще, по сравнению с известными методами, адаптировать решение при изменении как характеристик входного случайного процесса (вид распределения, математическое ожидание, дисперсия, и пр.), так и параметров исследуемой системы (изменение номиналов элементов системы, структурные изменения и т.д.).
4) Разработанные программные продукты обеспечивают получение решений задач статистического анализа реализуемых линейных непрерывных динамических систем любого порядка при входных в общем случае негауссовских коррелированных случайных процессах.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах. Из них 4 статьи депонированы в ВИНИТИ РАН, 3 статьи опубликованы в изданиях рекомендованных ВАК для публикации научных результатов диссертации на соискание ученой степени доктора или кандидата наук, 2 главы в отчетах по НИР "Повышение качественных характеристик динамических систем", 4 тезиса докладов в трудах международных научнотехнических конференций. В Федеральной Службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам получены 2 свидетельства об официальной регистрации разработанных программ.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состроит из введения, трех глав, заключения и списка использованных литературных источников. Общий объем работы составляет 158 страниц, включая рисунков. Список литературы состоит из 120 наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении приведен обзор статистических методов, существующих на сегодняшний день. Рассмотрены следующие методы:
Ц метод моментных функций;
Ц метод кумулянтных функций;
Ц метод полигауссовых представлений;
Ц метод дифференциальных уравнений;
Ц метод ортогональных разложений ядра интегрального уравнения;
Ц метод статистического моделирования (Монте-Карло);
Для каждого из этих методов приведены его особенности, методология использования, достоинства и недостатки. Показано, что практически для каждого метода характерен ряд недостатков, затрудняющих анализ:
Ц возможность получения в основном математического ожидания и дисперсии выходного СП;
Ц низкая точность;
Ц сложная адаптация при изменении параметров самой системы или СП на ее входе.
Последним рассмотрен метод прямого статистического анализа.
Показано, что он свободен от недостатков, рассмотренных ранее методов и позволяет в общем случае решить проблему статистического анализа динамических систем произвольной сложности при произвольных (в том числе негауссовских) входных случайных процессах.
Первая глава посвящена нахождению на основе прямого статистического анализа решения уравнения Вольтерра 2 рода в общем виде методом последовательных приближений для линейных систем с детерминированными параметрами.
В разделе 1.1 приводится один из методов преобразования классического дифференциального уравнения связывающего вход и выход линейной непрерывной динамической системы к интегральному виду.
Показано, что уравнение вида ak (t) x(k)(t) ak 1(t) x(k 1)(t)... a0(t) x(t) (l) (l 1) bl (t) (t) bl 1(t) (t)... b0(t) (t), (1) где x(t) {x1(t), x2(t),..., xn(t)}T - вектор выходных сигналов системы;
(t) { (t), (t),..., (t)}T - вектор входных воздействий;
1 2 m наборы переменных параметров {ak (t),ak 1(t),..., a0(t)} и {bl (t),bl 1(t),..., b0(t)} состоят из матриц размерностей n n и n m соответственно;
в результате ряда преобразований переходит в эквивалентное линейное интегральное уравнение Вольтерра 2 рода t ak (t) x(r)(t) Kr (t, ) x(r)( )d tt (r) (r) bl (t) (t) Lr (t, ) ( )d fr (t,t0), kl t(2) где 1, i j - символ Кронекера;
ij 0, i j t0 - момент начала функционирования системы;
t - текущий момент времени (t0 t b), b const ;
f (t,t0) { f1(t,t0), f2(t,t0),..., fn(t,t0)}T - свободный член, определяемый накопленным системой управления запасом энергии до момента t0 ;
x(t) {x1(t), x2(t),..., xn(t)}T - вектор выходных сигналов системы;
(t) { (t), (t),..., (t)}T - вектор входных воздействий;
1 2 m K11(t, ) K12(t, )K1n(t, ) L11(t, ) L12(t, ) L1m(t, ) K21(t, ) K22(t, )K2n(t, ) L21(t, ) L22(t, )L2m(t, ) и L(t, ) - K(t, ) Kn1(t, ) Kn2(t, )Knn(t, ) Ln1(t, ) Ln2(t, ) Lnm(t, ) ядра интегральных операторов Вольтерра;
k11(t) k12(t) k1n(t) l11(t) l12(t) l1m(t) k21(t) k22(t) k2n(t) l21(t) l22(t) l2m(t) k(t) и l(t) - kn1(t) kn2(t) knn(t) ln1(t) ln2(t) lnm(t) переменные матрицы; если специально не оговорено, то матрица k(t) считается невырожденной и предполагается, что она равна единичной матрице I ;
K(t, ),L(t, ),k(t),l(t) и f (t,t0) - известные непрерывные функции;
символом T справа вверху у векторов обозначены операции транспонирования вектора или матрицы;
r - произвольно выбранное натуральное число из отрезка 0,k.
Условием возможности подобного преобразования является физическая реализуемость системы. Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие l k дифференциального уравнения (1), т.е. значение выходного сигнала в момент времени t должно определяться только значениями входного воздействия в этот и предшествующие моменты и не должно зависеть от последующих изменений сигнала (t).
Раздел 1.2 посвящен решению интегрального уравнения (2) при детерминированных параметрах с помощью принципа сжатых отображений.
Принцип сжатых отображений позволяет найти решение x(t) уравнения (2) методом последовательных приближений, которые строятся по схеме t t xn 1(t,t0 ) l(t) (t) L(t, ) ( )d f (t,t0 ) K(t, )xn (,t0 )d, (3) t0 tгде в качестве x0 (t,t0 ) можно взять любую функцию f (t,t0 ) из пространства C[t,t0] непрерывных на интервале [t0,t] функций с заданной метрикой.
Выражение для первого приближения x1(t,t0 ) :
t t x1(t,t0) l(t) (t) L(t, ) ( )d f (t,t0) K(t, ) f (,t0)d, (4) t0 tПри решении, интегралы в (4) аппроксимированы верхними интегральными суммами:
n n x1(t,t0) l1(t) (t) ( )L1(t, ) f1(t,t0) f (,t0)K1(t, ) 1 1 i i i i i i i 1 i n n (5) L1i l1(t) (t) f1(t,t0) f K1i, 1i 1 1i i 1 i где ( ) ; L1i L1(t, ) ; f f (,t0 ) ; K1i K1(t, ) ;
1i 1 i i i 1i 1 i i i ti ti ; t0,t1,..., tn - моменты времени из интервала (t0,t) ; ti i ;
i tn t.
Введены многомерные ПРВ детерминированных функций l(t), L(t,t0 ), K(t,t0), f (t,t0 ) и f (t,t0 ). Для удобства введен дополнительный индекс при функциях, обозначающий номер вычисляемого приближения. Выражения для ПРВ соответствующих функций имеют вид n n qn (l11,..., l1n;t1,..., tn ) П [l1i lr ( )] П (l1i lri), i i 1 i n n qn (L11,..., L1n;t1,..., tn ) П [L1i Lr (t, )] П (L1i Lri), i i 1 i n n (6) qn (K11,..., K1n;t1,..., tn ) П [K1i Kr (t, )] П (K1i Kri), i i 1 i n n qn ( f11,..., f1n;t1,..., tn ) П [ f1i fr ( )] П ( f1i fri), i i 1 i n n qn( f,..., f ;t1,..., tn) П [ f f (,t0)] П ( f f ), 11 1i r i 1i ri 1n i 1 i где индекс r указывает на регулярность (детерминированность) величин.
Входной СП в выражении (5) для каждого приближения представлен дважды. Для удобства, входной СП в выражении (5), являющийся аргументом интеграла, обозначен как ( ).
С учтом (6), совместная многомерная ПРВ величин, составляющих правую часть выражения (5) имеет вид,...,,,...,,l11,...,l1n, L11,..., L1n, W7n 11 1n 11 1n (,,..., ;t1,t2,..., tn ), f11,..., f1n, K11,..., K1n, f,..., f ;t1,..., tn n 11 12 1n 11 1n n n n n П (l1i lri) П ( ) П ( L1i Lri) П ( f1i fri) 1i 1i i 1 i 1 i 1 i n n (7) П ( K1i Kri) П ( f f ).
1i ri i 1 i Далее, над членами выражения (7) произведен ряд функциональных преобразований, соответствующий действиям в уравнении (5).
Приведем пример первого функционального преобразования - преобразования величин L11,..., L1n, входящих в (7).
Прямые функции: Обратные функции однозначны:
x11 11 L11, L11 x11 /, x12 12 L2, L12 x12 /, x1n 1n L1n. L1n x1n /.
1n Якобиан преобразования от величин L11,..., L1n к x11,..., x1n имеет вид n ( L11,..., L1n ) Dn П.
1i i (x11,..., x1n ) С учетом преобразований, выражение (7) принимает вид,...,,,...,,l11,..., l1n, x11,..., x1n, f11,..., f1n, K11,..., K1n, W7n 11 1n 11 1n, f,..., f ;t1,..., tn 11 1n n n n x1i (,,..., ;t1,t2,...,tn ) П (l1i lri) П ( ) П n 11 12 1n 1i 1i 1i i 1 i 1 i Lri n n n n П ( f1i fri) П ( K1i Kri) П ( f f ) П Lri.
1i ri (8) i 1 i 1 i 1 i В процессе выполнения функциональных преобразований производится интегрирование промежуточных результатов по тем лишним СВ, которые более не примут участия в преобразованиях. Например, интегрируя выражение (8) по переменным,..., четвертого сомножителя в правой 11 1n части, получим,...,,l11,..., l1n, x11,..., x1n, f11,..., f1n, W6n 11 1n (,,..., ;t1,t2,..., tn ) n 11 12 1n, K11,..., K1n, f,..., f ;t1,..., tn 11 1n n n n n x1i П (l1i lri) П П ( f1i fri) П ( K1i Kri) i 1 i 1 i 1 i Lri 1i n n П ( f f ) П Lri.
1i ri i 1 i (9) После выполнения всех функциональных преобразований и интегрирования по всем лишним переменным, получено выражение для искомой многомерной произвольной размерности n ПРВ первого приближения x1(t,t0) СП x(t,t0) на выходе ЛНДС:
Wn(x11,..., x1n;t1,t2,..., tn) n (10) ( f11(x11), f12(x11, x12),..., f1n (x11,..., x1n);t1,t2..., tn) П( Lri lri), n i где f1 j (x11, x12,..., x1 j ) (x1 j ) 1 j Lrj lrj Lr, j (x1, ) 1, j 1 j Lrj lrj Lr, j 1 lr, j Lr, j 2 lr, j (x1, ) 1, j 2 j Lrj lrj Lr, j 2 lr,n 2 Lr, j 1 lr, j lr, j 1 Lr1 lr2 lr(x11) ;
Lrj lrj Lr1 lr1 Lr2 lr2 Lr3 lr3 Lr, j 1 lr, j j (x1 ) x1 frj ( f Kri).
1 j j j ri i Уравнение Вольтерра 2 рода для второго приближения имеет следующий вид:
t t x2(t,t0) l(t) (t) L(t, ) ( )d f (t,t0) K(t, )x1(,t0)d.
(11) t0 tАлгоритм отыскания ПРВ второго приближения в целом совпадает с вышеописанной процедурой, однако отметим, что одним из параметров выражения (11) является x1(,t0), т.е. значения первого приближения. Имея в виду, второе приближение, можно задать на этапе записи выражения (7) совместную многомерную ПРВ необходимой размерности и произвести преобразования для нахождения первого приближения.
В итоге, вместе выражения (10), мы получим совместную ПРВ величин, входящих в уравнение (11), которая является основой для получения ПРВ второго приближения СП x(t,t0) :
x11,..., x1n,,...,,,...,,l21,..., l2n, 21 2n 21 2n W7n, L21,..., L2n, f21,..., f2n, K21,..., K2n;t1,..., tn n ( f11(x11), f12(x11, x12),..., f1n(x11,..., x1n);t1,t2..., tn) П (l2i lri) n i n n n П ( f1i (x11,..., x1i )) П ( f1i (x11,..., x1i )) П ( L2i Lri) 2i 2i i 1 i 1 i n n n П ( f2i fri) П ( K2i Kri) П ( Lri lri).
i 1 i 1 i (12) Выявление строгой зависимости между выражениями для многомерных ПРВ и их коэффициентами для каждого последующего приближения стало возможным только после вычисления первых 8 приближений.
Выражение для многомерной произвольной размерности n и произвольного приближения m ПРВ СП на выходе ЛНДС с детерминированными параметрами, имеет вид:
Wn (xm1,..., xmn;t1,..., tn ) ( fm1(xm1), fm2(xm1, xm2),..., fmn(xm1,..., xmn);t1,t2..., tn ) n n n m П( Lri lri) П Kri j, i 1 i j (13) где fmj(xm1, xm2,..., xmj) (xm1,..., xmj) mj Lrj lrj Lr, j (xm1,..., xm, j 1) m, j Lrj lrj Lr, j 1 lr, j Lr, j 2 lr, j (xm1,..., xm, j 2) m, j Lrj lrj Lr, j 2 lr, j 2 Lr, j 1 lr, j lr, j 1 Lr1 lr2 lr(xm1) ;
mLrj lrj Lr1 lr1 Lr2 lr2 Lr3 lr3 Lr, j 1 lr, j j m xmj Krji frj Krjm 1 ( f Kri) ri i 0 i (xm1,..., xmj) ;
mj m m Krji ( Krjm i *xm,i, j 1(xm1,..., xm, j 1)) i i j Krjh 1 ( f Kri) ri h xmj h i Krji mhj * i xmhj(xm1,..., xmj) ( Krjh i *xm,i, j 1(xm1,..., xm, j 1)) ;
m i Krji m i ( Krjm i *xm,i, j 1(xm1,..., xm, j 1)) i h Krjm h Krj m 1,h, j m Krji i.
mhj m Krji i m Krji i Доказательство справедливости выражения (13) произведено методом математической индукции и с точностью до индексов приближений при используемых величинах совпадает с нахождением второго приближения или приближения более высокого порядка.
Во второй главе получены решения для уравнения Вольтерра 2 рода со случайными параметрами, а также произведен анализ изменения решения при структурных изменениях ЛНДС.
В разделе 2.1 получено решение для уравнения Вольтерра 2 рода со случайными параметрами.
Описание ЛНДС уравнением Вольтерра 2 рода со случайными параметрами не имеет видимых отличий от случая детерминированных параметров. Члены уравнения Вольтерра, переменные матрицы ( l(t) и f (t,t0) ) и интегральные ядра ( L(t, ) и K(t, ) ) уравнения (3) приобретают вероятностный смысл - каждый из элементов может являться СП. В наиболее общем случае случайными могут оказаться все элементы уравнения.
Для решения уравнения Вольтерра 2 рода методом последовательных приближений с тем или иным случайным параметром использовано решение уравнения Вольтерра 2 рода с детерминированными параметрами. При этом в выражении (3) заменены значения из ряда детерминированного параметра на соответствующие СВ. На конечном этапе получившееся выражение проинтегрировано по области определения случайного параметра.
Решение уравнения Вольтерра 2 рода для наиболее общего случая для ЛНДС со всеми случайными параметрами:
Wn (xm1,..., xmn;t1,..., tn ) fm1(xm1), fm2(xm1, xm2),..., n, fmn(xm1,..., xmn);t1,..., tn K1,...,Kn fm 0,..., fmn L1,..., Ln lm 0,...,lmn (lm1,..., lmn;t1,..., tn) ( Lm1,..., Lmn;t1,..., tn) n n n ( fm1,..., fmn;t1,..., tn) (Km1,..., Kmn;t1,..., tn) П ( Lmk lmk) n n k n m П (Kmk )i dlm1...dlmnd Lm1...d Lmndfm1...dfmndKm1...dKmn, k (14) i * где функции fmn(xm1,..., xmn), (xm1,..., xmn), xmhn(xm1,..., xmn) и mn совпадают с аналогичными из (13).
mhn В разделах 2.2-2.3 получены решения уравнения Вольтерра 2 рода с нулевыми и частично-нулевыми параметрами.
Детерминированные параметры интегрального уравнения при решении описаны с вероятностной точки зрения как произведения дельта-функций с аргументами, равными значениям параметра в рассматриваемое время.
При условии, что тот или иной параметр принимает нулевые значения, его многомерная ПРВ имеет соответствующий вид (например, для нулевого L(t, ) ):
n n qn(L1,..., Ln;t1,..., tn) П [Lk Lr (t, )] П (Lk 0). (15) k k 1 k В этом виде ПРВ используется при составлении многомерной ПРВ выходного процесса и в соответствующих функциональных преобразованиях.
Результат отличается от выражения (13) нулевыми значениями ряда Lr1,..., Lrn :
Wn (xm1,..., xmn;t1,..., tn ) [ fm1(xm1), fm2(xm1, xm2),..., fmn(xm1,..., xmn);t1,..., tn ] n n n m П lrk П (Krk )i, (16) k 1 k i где fmn(xm1, xm2,..., xmn) (xm1, xm2,..., xmn), mn lrn * а выражения для (xm1,..., xmn), xmhn(xm1,..., xmn) и не изменятся по mn mhn отношению к (13), т.к. не зависят от Lr1,..., Lrn.
В процессе анализа выявлены два исключительных случая:
K(t,t0) 1) Нулевое ядро.
В этом случае, последующее приближение не зависит от предыдущего, поэтому первое приближение является уже окончательным.
K (t,t0) Решение уравнения Вольтерра 2 рода при нулевом :
Wn (x11,..., x1n;t1,..., tn ) n [ f1(x11), f2(x11, x12),..., fn (x11,..., x1n );t1,..., tn ] П ( Lrk lrk ), n k (17) где совокупность f (x11, x12,..., x1n) не изменится по отношению к (13), j (x1 ) (x1 frj).
j j j 2) Одновременно нулевые интегральное ядро L(t, ) и матрица l(t).
В данном случае, итоговое выражение для ПРВ выходного процесса теряет вероятностную составляющую входного СП, а в случае детерминированных параметров, также имеет детерминированный вид:
n Wn(xm1,..., xmn;t1,..., tn) П (xmk gmk ), (18) k где j gmj frj Krjgm 1,i; g0 j f ri Решение уравнения Вольтерра 2 рода для частично-нулевых параметров подчинено той же логике: в моменты времени, когда те или иные параметры принимают нулевое значение, следует пользоваться выражениями, полученными в рамках исследования системы с нулевыми параметрами (по примеру (16)-(18)); в остальные моменты времени - выражением для полностью определенных параметров.
Третья глава посвящена экспериментальной части работы.
Раздел 3.1 посвящен вопросам разработки программных продуктов для прямого статистического анализа с учетом поставленных целей.
Программа Автоматизированная система анализа плотности распределения вероятностей реализует математическую модель прямого статистического анализа ЛНДС с детерминированными параметрами.
Программа выполнена на языке Visual C++ с использованием библиотеки MFC.
Входными параметрами для расчета являются:
тип СП (поддерживаются 4 встроенных типа многомерных СП:
равномерное, Гаусса, Релея и Райса); в данной версии программы СП на входе может быть только некоррелированным;
математическое ожидание и дисперсия для каждого ti ;
область определения аргумента ПРВ x ;
шаг интегрирования по этой области определения x ;
метод расчета (поддержана возможность расчета методом резольвентного ядра и последовательных приближений);
номер рассчитываемого приближения;
общее время эксперимента t в секундах;
начальный момент времени принят равным нулю: t0 0 ;
порядок вычисляемой многомерной ПРВ Wn (x1,..., xn;t1,..., tn ) ;
индекс второй СВ (для расчета двумерных ПРВ);
параметры исследуемой системы: матрицы-строки для интегральных ядер и переменных матриц Вольтерра.
Выходные данные:
Целью прямого статистического анализа является нахождение многомерной ПРВ на выходе исследуемой системы. Запись многомерной ПРВ затруднена и требует значительного объема памяти, поэтому было принято решение ограничиться выводом одномерной или двумерной ПРВ выходного СП.
С развитием вычислительных мощностей, эта проблема будет, очевидно, снята и выходные данные без особенных затрат можно будет представить в виде полноценной ПРВ произвольного порядка n.
Результат полной архитектурной переработки программного кода с поддержкой всего спектра разработанного математического аппарата был опубликован в программе Вычисление уравнения Вольтера 2 рода методом последовательных приближений. Оба продукта имеют схожий пользовательский интерфейс, но разную программную реализацию.
Основные усовершенствования новой программы:
более быстрые методы интегрирования и работы с матрицами;
добавлена поддержка случайных параметров:
каждый параметр исследуемой системы может быть задан случайным процессом; учет вероятностной характеристики каждого параметра задается в текстовом файле (тип СП; математические ожидания и дисперсии этого СП в каждый момент времени; область определения аргумента; шаг интегрирования по аргументу; корреляционная матрица;) введено понятие корреляционной матрицы СП:
корреляционная матрица может быть задана для входного СП (в отдельном текстовом файле) и для каждого случайного параметра (в текстовых файлах настроек каждого из параметров);
добавлена область расчета аргумента СП:
добавлена функция сохранения результатов после расчета каждой точки.
В разделе 3.2 приведена последовательность шагов при статистическом анализе системы автоматического управления - следящей системы первого рода, заданной дифференциальным выражением вида d x(t) K(t) x(t) (t), (19) dt где (t) - СП на входе системы; x(t) - СП на выходе системы;
d / dt - оператор дифференцирования; K(t) - коэффициент обратной связи.
После приведения уравнения (19) к интегральному виду, получили:
t t xn 1(t,t0 ) ( )d K xn (,t0 )d.
(20) t0 tПараметры системы:
- K(t, ) K [ 0.5, 0.3, 0.1,0.1,0.3,0.5] ;
- L(t, ) 1 ;
- переменные матрицы f0(t,t0) и l(t) заданы нулевыми векторами.
Параметры входного СП и расчетов:
- порядок приближения: 1;2;...;7;
- значения параметра K: 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5;
- тип входного СП: Гаусс, Релей, Райс;
- дисперсия: 0.32; 1.0; 1.44;
- математическое ожидание: 0.0; 1.0; 2.5 (Гаусс).
- область допустимых значений аргумента x :[0;5] Экспериментально полученные математическое ожидание и дисперсия выходного СП хорошо согласуется с характеристиками, полученными оригинальным решением исследуемой задачи методом моментных функций.
Рис. 1. Семейство одномерных ПРВ Рис. 2. Двумерная ПРВ на выходе на выходе системы при входном системы при входном релеевском распределении Райса с различными СП дисперсиями (0.32; 1.0; 1.44) В разделе 3.3 получена автокорреляционная характеристика для ЛНДС второго порядка, описываемой дифференциальным уравнением вида Y(t)// (2 V22)Y(t)/ ( V21)Y(t) X (t), (21) 0 где X (t) - входной СП; Y (t) - выходной СП; V22(t),V21(t) - параметрические белые шумы с заданными интенсивностями;, - параметры системы.
Автокорреляционная функция найдена как второй центральный момент, а математическое ожидание как первый начальный момент выходного СП.
Таким образом, задача нахождения автокорреляционной функции СП сведена к вычислению всех одномерных и двумерных ПРВ этого процесса.
Параметры интегрального уравнения системы принимают вид K(t, )... 2 (t ) 0.01; f0(t,t0)... 0 ;
L(t, )... t ; l(t)... 0.
Подставляя получившиеся значения в уравнение (3), получим:
t t xn 1(t,t0) (t ) ( )d (0,2 (t ) 0.01)xn(,t0)d.
(22) t0 tВ качестве модели входного СП для исследуемой системы выбран некоррелированный Релеевский СП (единичная корреляционная матрица) с постоянной дисперсией 0.32.
x Момент начала наблюдений выбран нулевым: t0 0 сек. Интервал наблюдения (t0,t) 1 сек поделен на 5 частей; отрезок допустимых значений аргумента x :[0;30] с шагом интегрирования x 0.1.
Опытным путем было установлено, что при заданном времени ожидания расчетов не более 1 часа на точку, точность порядка 0.1% (каждое следующее приближение уточняет расчетную величину не более чем в 0.001 раз) достигается при приближении m 5.
Значения переменных параметров уравнения Вольтерра рассчитывались при t 1 сек; t 0,2 сек.
i После определения и задания параметров программно были рассчитаны все одномерные W1(x5i;ti ) и двумерные W2(x5i, x5 j;ti,t ) j ПРВ для 5-го приближения при i, j 1,...,5.
Подставив, получившиеся значения в соответствующие выражения, получили автокорреляционную характеристику Рис.5. Автокорреляционная функция СП на СП (рис.5).
выходе ЛНДС В разделе 3.4 рассмотрена задача нахождения статистических характеристик для ЛНДС, заданной с помощью интегрального уравнения Вольтерра с коррелированными случайными параметрами при входном СП негауссовского типа.
Параметры исследуемой ЛНДС:
exp( 0.1 ),t i l(t) ;
0,t f (t,t0) const 0.2 ;
Интегральные ядра L(t, ) и K(t, ) описаны нестационарными СП релеевского типа с ненулевыми корреляционными зависимостями и 2 дисперсиями, соответственно, и. Корреляционные связи заданы Lx Kx соответствующими матрицами размером 5х5. Отрезок допустимых значений аргумента и шаг интегрирования переменных параметров совпадают:
xL, xK :[0;15] ; xL xK 0.1.
Параметры входного СП:
тип распределения: Райса;
задан вектор дисперсии для моментов времени t0,t1,.., t5 ;
амплитуда немодулированной несущей a 0.3 ;
отрезок допустимых значений аргумента: x :[0;20] ;
шаг интегрирования по аргументу: x 0.1 ;
неединичная корреляционная матрица.
Графики полученных одномерных и двумерных ПРВ выходного СП представлены на рис.4 и рис.5.
Рис.4. Семейство одномерных ПРВ Рис.5. Двумерная ПРВ СП на выходе цепи в моменты W2(x55, x52;t5,t2) СП на выходе цепи времени t3, t4, tв моменты времени t5,tВ заключении изложены основные научные и практические результаты диссертационной работы.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:
1) Найдено решение уравнения Вольтерра 2 рода с детерминированными параметрами методом последовательных приближений при прямом статистическом анализе и доказана справедливость его построения. Полученное решение представляет собой приближение произвольного порядка m плотности распределения вероятностей произвольной размерности n случайного процесса на выходе линейной непрерывной динамической системы. Тип многомерного распределения входного случайного процесса может быть произвольным, в том числе коррелированным негауссовским.
2) Получено решение уравнения Вольтерра 2 рода со случайными параметрами. Расчет аргументов многомерной плотности распределения вероятностей производится по тем же соотношениям, что и в случае детерминированных параметров. Показаны характерные особенности решения: интегрирование получившегося решения по области определения случайных параметров.
3) Выполнен анализ решения уравнения Вольтерра 2 рода для линейных непрерывных динамических систем с нулевыми или частичнонулевыми параметрами. Найдены и рассмотрены все исключительные случаи, ведущие к изменению полученного решения.
4) Разработаны программные продукты реализующие расширенный математический аппарат прямого статического анализа методом последовательных приближений. Для работы программ должны быть заданы параметры входного случайного процесса и исследуемой системы (матрицывекторы соответствующих интегральных ядер и переменных матриц уравнения Вольтерра 2 рода).
5) Решены задачи статистического анализа линейных непрерывных динамических систем различного порядка. Рассмотрены системы автоматического управления с детерминированными и случайными параметрами при входных негауссовских случайных процессах. Найдены выходные статистические характеристики для наиболее сложной системы - системы со случайными параметрами при входном многомерном коррелированном негауссовском случайном процессе. Рассмотрение подобных задач в литературе отсутствуют.
ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:
1. Смирнов, В.В. Прямой статистический анализ линейной системы управления первого порядка методом последовательных приближений [Текст] / Есипенко В.И., Смирнов В.В. // Информационноизмерительные и управляющие системы. - 2010. - №2. - С. 46-2. Смирнов, В.В. Метод последовательных приближений при прямом статистическом анализе линейных непрерывных систем управления с переменными параметрами [Текст] / Есипенко В.И., Смирнов В.В. // TCOMM: ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ И ТРАНСПОРТ. - 2011. - №4. - С. 41-3. Смирнов, В.В. Метод последовательных приближений при отыскании автокорреляционной функции выходного случайного процесса линейной непрерывной системы автоматического управления при негауссовском входном (прямой статистический анализ) [Текст] / Есипенко В.И., Смирнов В.В. // T-COMM: ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ И ТРАНСПОРТ. - 2011. - №11. - С. 24-Свидетельства о регистрации программ:
4. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2009615926. Автоматизированная система анализа плотности распределения вероятностей [Текст] / Смирнов В.В., Шушин С.Е. // Официальный бюллетень федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. - М., 2010. - №5. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010616097. Вычисление уравнения Вольтера 2 рода методом последовательных приближений [Текст] / Смирнов В.В. // Официальный бюллетень федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. - М., 2010. - №Публикации в прочих изданиях:
6. Смирнов, В.В. Последовательные приближения в прямом статистическом анализе непрерывных систем управления при входных негауссовских воздействиях [Текст] / Есипенко В.И., Смирнов В.В., Шушин С.Е. // Материалы Международной научно-технической конференции "Обработка сигналов в системах наземной радиосвязи и оповещения". - Н.Новгород: Москва, 2007. - с.106-17. Смирнов, В.В. Резольвенты и итерация ядер в прямом статистическом анализе непрерывных систем управления при входных негауссовских воздействиях [Текст] / Есипенко В.И., Смирнов В.В., Шушин С.Е. // Материалы Международной научно-технической конференции "Обработка сигналов в системах наземной радиосвязи и оповещения". - Н.Новгород: Москва, 2007. - с.109-18. Научно-исследовательская работа на тему "Повышение качественных характеристик динамических систем". Отчет [Текст] / г.Н.Новгород, НГТУ им Р.Е.Алексеева 2007 год, рег.№ 01.2.007 03945, инв.№ 022801033, с.42-19. Научно-исследовательская работа на тему "Повышение качественных характеристик динамических систем". Отчет [Текст] / г.Н.Новгород, НГТУ им Р.Е.Алексеева 2009 год, рег.№ 01.2.007 03945, инв.№ 02.2.901667, с.33-10. Смирнов, В.В. Прямой статистический анализ линейной следящей системы с детерминированными параметрами [Текст] / Есипенко В.И., Смирнов В.В. // Материалы VIII Международной научно-технической конференции Физика и технические приложения волновых процессов, г.Санкт-Петербург, 15-18 сентября 2009г. с.287-211. Смирнов, В.В. Метод последовательных приближений при прямом статистическом анализе линейных непрерывных систем уравнения [Текст] / Есипенко В.И., Смирнов В.В., // М.: Деп. в ВИНИТИ №790-В 2009 от 10.12.2009 - 64 с.
12. Смирнов, В.В. Решение уравнения Вольтера 2 рода со случайными параметрами методом последовательных приближений [Текст] // Есипенко В.И., Смирнов В.В. // М.: Деп. в ВИНИТИ №75-В 2010 от 16.02.2010 - 38 с.
13. Смирнов, В.В. Решение уравнения Вольтера 2 рода с нулевыми параметрами методом последовательных приближений [Текст] // М.:
Деп. в ВИНИТИ №74-В 2010 от 16.02.2010 - 46 с.
14. Смирнов, В.В. Оптимизация метода последовательных приближений при прямом статистическом анализе [Текст] // Материалы международной научно-технической конференции УНАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ - 2010Ф, г.Мурманск, 5-9 апреля 2010г. с.1317-1315. Смирнов, В.В. Решение уравнения Вольтера 2 рода с частично нулевыми параметрами методом последовательных приближений [Текст] // М.:
Деп. в ВИНИТИ №423-В 2010 от 06.07.2010 - 73 с.
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям