Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Раджабова Лутфия Нусратовна
Построение точных решений одного класса двумерных интегральных уравнений Вольтерра с особенностями на границе области интегрирования
01.01.01- математический анализ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Душанбе 2008
Работа выполнена в Таджикском техническом университете им. акад. М.С.Осими
Официальные оппоненты: доктор физикоЦматематических наук, профессор Солдатов Александр Павлович, доктор физикоЦматематических наук, профессор Репин Олег Александрович доктор физикоЦматематических наук, профессор Усманов Нурулло
Ведущая организация: Самарский государственный университет
Защита состоится в 11ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/1.
С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики Академии наук Республики Таджикистан.
Автореферат разослан
Ученый секретарь диссертационного совета Халилов Ш.Б.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Изучение двумерных интегральных уравнений Вольтерра второго рода с фиксированными особыми или сильноЦособенными линиями теснейшим образом связано с теорией вырождающихся гиперболических уравнений и с теорией гиперболических уравнений с сингулярными или сверхсингулярными коэффициентами. Теории вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений посвящены работы выдающихся ученых А.В. Бицадзе, А.И. Нахушева, М.С. Салахитдинова, Т.Д. Джураева, Е.И. Моисеева, Л.Г. Михайлова, З.Д. Усманова, М.М. Смирнова, В.Ф. Волкодавова, А.И. Кожанова, О.И. Репина, А.П. Солдатова, Н.Р. Раджабова, а также работы их учеников.
Задача о нахождении непрерывных решений линейных гиперболических уравнений второго порядка с двумя граничными сингулярными линиями приводят к исследованию двумерных интегральных уравнений с фиксированными граничными особыми и сильно-особыми ядрами.
Как известно, если в интегральном уравнении x a(x)(x) + K(x, t)(t)dt = f(x) a a(x) обращается в нуль в какой-нибудь точке, то это уравнение называется интегральным уравнением третьего рода. Это уравнение, при помощи замены неизвестной функции (x) = a(x)(x), сводится к интегральному уравнению Вольтерра с граничной или внутренней неподвижной особой или сильно-особой точкой в ядре.
Аналогично, двумерное интегральное уравнение вида y x a(x, y)(x, y) + K1(x, y; t)(t, y)dt + K2(x, y; s)(x, s)ds+ a b y x + dt K3(x, y; t, s)(t, s)ds = f(x, y), a b где a(x, y) обращается в нуль на линиях x = a, y = b, можно свести к двумерному интегральному уравнению Вольтерра с граничными или внутренними неподвижными особыми или сильно-особыми линиями в ядре.
Проблеме исследования одномерных сингулярных интегральных уравнений и разработке вычислительных методов для таких уравнений посвящены работы Ф.Д. Гахова1, Н.И. Мусхелишвили2, С.М. Белоцерковского3, И.К.Лифанова3.
Исследованию интегральных уравнений с ядром однородном степени-1 посвящены работы Л.Г.Михайлова5, Б.М.Бильмана6. Исследованию нового класса особого интегрального уравнения, которое появляется при исследовании эллиптических уравнений с сингулярной точкой и других задач, посвящена монография Л.Г.Михайлова7. Исследованию двумерных сингулярных интегральных уравнений с подвижной сингулярностью посвящены работы А.Д.Джураева8, Г.Джангибекова и их учеников.
Исследованию одномерных интегральных уравнений вольтерровского типа с неподвижной особой или сильно-особой точкой, которые возникают при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярной или сверхсингулярной точкой, посвящены работы Н.Раджабова9.
В данной работе исследуются не изучавшиеся ранее двумерные интегральные уравнения типа Вольтерра с фиксированными особыми и сильно-особыми граничными линиями в ядрах.
Основной целью настоящей работы является изучение двумерных интегральных уравнений вольтерровского типа с особенностями на границе области интегрирования во всех возможных случаях, которые исследуются впервые. Особо важным является изучение модельного уравнения. Этот случай исследован полностью. Во всех возможных случаях решение найдено в явном виде. При этом важную роль играет связь между коэффициентами уравнения. В начале изучается случай, когда коэффициенты связаны между собой определенным образом, после изучается случай, когда коэффициенты не связаны между собой.
Подробно исследуется случай, когда ядра интегрального уравнения зависят от переменной интегрирования. Этот случай является интересным, так как он связан с немодельным гиперболическим уравнением второго порядка с двумя граничными сингулярными линиями.
В работе также исследуются некоторые наиболее интересные случаи общего Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977, 640с.
Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.:
Наука, 1985, 256 с.
ифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн. М.: Янус, 1985, 520с.
Михайлов Л.Г. Интегральные уравнения с ядром однородным степени -1. Душанбе.: Дониш, 1966, 47с.
Бильман Б.М. Об интегральных уравнениях с переменными пределами интегрирования, ядра которых имеют особенность типа однородной функции степени Ц1 // В сб. Дифференциальные и интегральные уравнения с сингулярными коэффициентами, Душанбе.: Дониш, 1969, с. 19Ц40.
Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе.: Изд-во АН Тадж.ССР., 1963.
Джураев А.Д. Методы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1987.
Раджабов Н. Общие интегральные уравнения типов Вольтерра с левой и правой неподвижной сингулярной точкой в ядре // Известия Академии наук Республики Таджикистан. Отд. физ.-мат., хим. и геологических наук, 2001, №1, с. 3Ц19.
двумерного интегрального уравнения с особенностями и сильными особенностями на границе области интегрирования. Данные исследования основаны на результатах, полученных для модельных двумерных интегральных уравнений с граничными фиксированными особыми и сильно-особыми ядрами, а также на результатах, полученных для немодельных двумерных интегральных уравнений с граничными особыми и сильно-особыми ядрами, зависящих от переменной интегрирования.
Цели и задачи исследования.
Изучение и нахождение решений модельных двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особенностями и сильными особенностями на границе области интегрирования.
Изучение и нахождение решений немодельных двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особыми и сильно-особыми ядрами, зависящими от переменных интегрирования.
Изучение общих двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особыми и сильно-особыми ядрами.
Приложение полученных результатов для модельных гиперболических уравнений с сингулярными линиями.
Методика исследования. Используется метод, связывающий данное интегральное уравнение с соответствующим гиперболическим уравнением и представление главной части соответствующего гиперболического уравнения в виде произведения двух линейных дифференциальных операторов с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами.
Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Впервые исследованы модельные, немодельные, а также общие двумерные интегральные уравнения типа Вольтерра с особенностями и сильными особенностями на границе области, для которых получена полная картина разрешимости. Установлено, что неоднородные интегральные уравнения типа Вольтерра с особыми и сильно-особыми линиями всегда имеют решения и общее решение содержит четыре произвольные функции одной переменной в одном случае, две произвольные функций одной переменной в двух других случаях и выделяется случай, когда неоднородное уравнение имеет единственное решение.
Для модельного гиперболического уравнения с сингулярными линиями, на основе результатов, полученных для модельного интегрального уравнения с граничными особыми линиями в ядре, получено представление многообразия решений, исследованы задачи типа Дарбу и Коши.
Практическая и теоретическая ценность. Работа является теоретической. Полученные результаты найдут применение в теории гиперболических уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами, а также в теории вырождающихся гиперболических уравнений. Кроме того, предлагаемая методика может быть использована для дальнейшего развития теории многомерных интегральных уравнений вольтерровского типа с особенностями на границе и внутри области.
Практическая ценность работы определяется прикладной значимостью интегральных уравнений вольтерровского типа и гиперболических уравнений в физике.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:
Цнаучной конференции, посвященной 60-летию Т.Собирова ФДифференциальные уравнения и их приложенияФ, 2000г., Душанбе.
Цнаучной конференции ФНекорректные и неклассические задачи математической физики и анализаФ, сентябрь 2000г., Самарканд.
ЦМеждународной научной конференции, посвященной 10-ой годовщине независимости Республики Таджикистан и 80-летию профессора М.А. Субханкулова ФМетоды теории функций и их приложенияФ, май 2000г., Душанбе.
Ц Всемирном конгрессе математиков ICM -2002, 20 - 28 августа 2002г., Пекин.
Ц Конференции ISAAC по комплексному анализу, дифференциальным уравнениям и родственным проблемам. 17-21 сентября 2002г., Ереван, Армения.
-Международной научно -практической конференции Ф 16 -ая сессия Шурои Оли Республики Таджикистан Ф, 27 - 28 октября 2003 г., Душанбе.
-Международной научной конференции ФАктуальные проблемы математики и ее приложенияФ, июнь 2003г., Худжанд.
-Международной научной конференции ФДифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатикиФ, 16 - 19 ноября 2004г., Ташкент.
-XII Международном симпозиуме ФМетоды дискретных особенностей в задачах математической физикиФ (МДОЗМФ -2005), 13 - 18 июня 2005г., Харьков -Херсон.
-Международной научной конференции ФДифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализаФ, 8 - 10 ноября 2005г., Душанбе.
-Международной научно-теоретической конференции по качественным исследованиям дифференциальных уравнений и их приложений, посвященной -летию РТСУ. 17 - 14 мая 2005г., Душанбе.
-семинарах кафедры ФМатематического анализа и теории функцийФ ФКомплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производнымиФ, 1992Ц2008г., ТГНУ.
-научном семинаре ФСингулярные интегральные уравненияФ, научный руководитель проф. И.К. Лифанов, факультет ВМК МГУ, декабрь 2005г., Москва.
-научной конференции ФМатематика и информационные технологииФ, посвященной 15-летию Независимости Республики Таджикистан, 27 октября 2006г., Душанбе.
ЦМеждународной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа ФДифференциальные уравнения, теория функций и приложенияФ, 28 мая Ц2 июня 2007 г., Новосибирск.
-6-ом Конгрессе ISAAC, 13 - 18 августа 2007г., Средне - Восточный технический университет. Анкара, Турция.
Ц Международной научной конференции "Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики", посвященной 70-летию акад. АН РТ З.Д.Усманова, 24 августа 2007г., Душанбе.
Ц International Conference Inverse Problems: modeling and Simulation ; held on may 26Ц30, 2008 at Qludeniz, Ferhiye, Turkey.
Ц Международной научной конференции Дифференциальные уравнения и смежные проблемы, 24Ц28 июня 2008 г., Стерлитамак, РФ.
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1] - [33]. Из работ, написанных совместно с Н. Раджабовым, в диссертации изложены результаты, полученные непосредственно автором диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 62 источника. Объем диссертации составляет 334 страницы машинописного текста.
Краткое содержание работы Во введении дается краткий исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам, обосновывается актуальность темы и излагаются основные результаты диссертации.
В первой главе в прямоугольнике D = {a < x < a0, b0 < y < b} рассматривается двумерное интегральное уравнение:
x b x b U(t, y) U(x, s) dt U(t, s) U(x, y) + dt - ds + ds = f(x, y), (t - a) (b - s) (t - a) (b - s) a y a y (1) где , , заданные постоянные числа, = const > 0, = const > 0, f(x, y) заданная,U(x, y)Ц искомая функции. Решение интегрального уравнения (1) будем искать в классе функций U(x, y) C(D), обращающихся в нуль на особых линиях 1 = {a < x < a0, y = b}, 2 = {x = a, b0 < y < b}. Причем будем предполагать, что искомая функция U(x, y) при x a имеет нуль порядка выше, чем - 1, а при y b нуль порядка выше, чем - 1. Отметим что в интегральном уравнении (1) двойной интеграл является перестановочным.
В начале главы вводятся определения слабой особенности, особенности и сильной особенности для модельного двумерного интегрального уравнения вольтерровского типа.
При = 1, = 1 уравнение (1) назовем двумерным модельным интегральным уравнением вольтерровского типа с граничными фиксированными особыми ядрами.
В случае, когда > 1, > 1, уравнение (1) назовем модельным двумерным интегральным уравнением вольтерровского типа с фиксированными сильноособыми ядрами.
В первом параграфе рассматривается двумерное модельное интегральное уравнение вольтерровского типа со слабыми фиксированными особенностями в ядрах.
Во втором параграфе первой главы изучается модельное двумерное интегральное уравнение с граничными фиксированными особыми ядрами вида:
x b x b U(t, y) U(x, s) dt U(t, s) U(x, y) + dt - ds + ds = f(x, y). (2) t - a b - s t - a b - s a y a y Справедливы следующие утверждения:
Теорема 1. Пусть в уравнении (2) < 0, > 0, = -. Тогда одно родное уравнение (2) в классе C(D), обращающееся в нуль на 1 и 2, имеет бесконечное число линейно-независимых решений. Общее решение однородного уравнения содержит четыре произвольные функции одного переменного и выражается формулой x U(x, y) = (b - y)1(x) + (x - a)-1(y) + (x - a)-(b - y) (t - a)2(t)dt+ a b + (b - s)-2(s)ds K1,1 [1(x), 1(y), 2(x), 2(y)], (3) y где j(x), j(y), j = 1, 2Ц произвольные непрерывные функции точек 1 и 2. При этом функции j(x), j(y) при x a, y b обращаются в нуль и их поведение определяется из асимптотических формул:
1(x) = 0[(x - a)], > 0 при x a, (4) 1(y) = 0[(b - y)], > 0 при y b, (5) 2(x) = 0[(x - a) ], где 1 > || - 1 при x a, (6) 2(y) = 0[(b - y) ], где 1 > - 1 при y b. (7) Теорема 2. Пусть в уравнении (2) < 0, > 0, = -, f(x, y) C(D) и на 1 и 2 обращается в нуль и ее поведение определяется из асимптотических формул:
f(x, y) = 0[(x - a) ], 2 > || при x a, f(x, y) = 0[(b - y) ], 2 > при y b.
Тогда неоднородное интегральное уравнение (2) всегда разрешимо и его общее решение содержит четыре произвольные функции одного переменного и дается при помощи формулы U(x, y) = K1,1[1(x), 2(x), 1(y), 2(y)] + R1,1[f(x, y)] M1,1[1(x), 2(x), 1(y), 2(y), f(x, y)], где интегральный оператор K1,1 дается при помощи формулы (3), x b t - a f(t, y) b - y f(x, s) R1,1[f(x, y)] =f(x, y) - dt + dsx - a t - a b - s b - s a y x b t - a dt b - y f(t, s) - ds, x - a t - a b - s b - s a y произвольные функции j(x), j(y), j = 1, 2 удовлетворяют условиям (4), (5), (6), (7).
В случае, когда > 0 < 0, для уравнения (2) имеет место следующие утверждение:
Теорема 3. Пусть в уравнении (2) > 0, < 0, = -, f(x, y) C(D), на 1 и 2 обращается в нуль и ее поведение определяется из асимптотических формул:
f(x, y) = 0[(x - a)], > 0 при x a, f(x, y) = 0[(b - y)], > 0 при y b, достаточно малое положительное число.
Тогда однородное интегральное уравнение (2) не имеет решения, кроме нулевого, а неоднородное уравнение имеет единственное решение, которое дается при помощи формулы U(x, y) = R11[f(x, y)].
Следствие 1. При выполнении всех условий теоремы 2, любое решение урав нения (2) из класса C(D) на 1 и 2 обращается в нуль и его поведение при x a, y b определяется из асимптотических формул:
U(x, y) = 0[(x - a)], > 0 при x a, (8) U(x, y) = 0[(b - y)], > 0 при y b. (9) Следствие 2. При выполнении всех условий теоремы 3, любое решение урав нения (2) из класса C(D) обращается в нуль на 1 и 2 с асимптотическими поведениями (8), (9).
Далее установлено, что в случае, когда > 0, > 0; < 0, < 0, интегральное уравнение (2) всегда имеет решение и общее решение неоднородного уравнение содержит две произвольные функции одного переменного.
В том случае, когда коэффициенты уравнения не связаны между собой, решение интегрального уравнения (2) будем искать в классе C(D), обращающегося в нуль на 1, 2 и представимого в виде равномерно-сходящихся обобщенных рядов. Справедливы следующие утверждения.
Теорема 4. Пусть в уравнении (2) < 0, > 0, 1 = + = 0, 1 < 0, функция f(x, y) представима в виде равномерно-сходящего обобщенного ряда вида f(x, y) = (x - a)|| (b - y) (b - y)n+ fn(x), (10) n=где fn(x) C(1), в точке x = a обращаются в нуль с асимптотическими поведениями n |1| n fn(x) = 0[(x - a) ], 2 >, n = 0, 1, 2,....
n + Тогда любое решение интегрального уравнения (2) из класса C(D), представимого в виде ряда U(x, y) = (x - a)|| (b - y) (b - y)n+Un(x), > 0, (11) n=дается при помощи формулы U(x, y) = (x - a)||(b - y) (b - y)n+ Cn + 1 + fn(x)+ n + n= |1| x n + + (-|1| - (n + )) x - a fn(t) n + + dt, n + (n + ) t - a t - a a где Cn(n = 0, 1, 2,...)Цпроизвольные постоянные, для которых существует предел Cn+lim = C и (b - b0)C < 1.
n Cn Теорема 5. Пусть в уравнении (2) < 0, > 0, 1 = + = 0, 1 > 0, функция f(x, y) представима в виде равномерно-сходящего ряда (10), где fn(x) C(1), в точке x = a обращаются в нуль с асимптотическими поведениями fn(x) = 0[(x - a)], > 0 n = 0, 1, 2,....
Тогда любое решение интегрального уравнения (2) из класса C(D), представимого в виде (11), дается формулой n + + U(x, y) = (x - a)||(b - y) (b - y)n+ n + n= x t - a fn(t) n + fn(x) - + dt.
n + x - a t - a a Следствие 3. При выполнении всех условий теоремы 4, любое решение уравнения (2) в классе функций U(x, y), представимых в виде (11), на 1 и обращается в нуль и его поведение определяется из следующих асимптотических формул:
U(x, y) = 0[(x - a)||] при x a, U(x, y) = 0[(b - y)+] при y b.
Следствие 4. При выполнении всех условий теоремы 5, любое решение уравнения (2) в классе функций U(x, y), представимых в виде (11), на 1 и обращается в нуль с асимптотическими поведениями:
U(x, y) = 0[(x - a)||+] при x a, U(x, y) = 0[(b - y)||+] при y b.
Замечание 1. Аналогичным образом уравнение (2) рассмотрено в случаях, когда > 0, < 0, 1 > 0. и > 0, < 0, 1 < 0.
В третьем параграфе изучается модельное двумерное интегральное уравнение вольтерровского типа, ядра которого имеют две граничные фиксированные сильные особенности x b x b U(t, y) U(x, s) dt U(t, s) U(x, y) + dt - ds + ds = f(x, y) (t - a) (b - s) (t - a) (b - s) a y a y (12) при > 1, > 1.
Решение уравнения (12) будем искать в классе функций U(x, y) C(D), обращающихся в нуль на 1 и 2 с асимптотическими поведениями:
U(x, y) = 0[(x - a) ], 1 > - 1 при x a, U(x, y) = 0[(b - y) ], 2 > - 1, при y b.
Справедливы следующие утверждения:
Теорема 6. Пусть в уравнении (12) < 0, > 0, = -. Функция f(x, y) C(D), на 1 и 2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями a f(x, y) = 0[e (x) (x - a) ], 1 > - 1, при x a, (13) b f(x, y) = 0[e- (y) (b - y) ], 1 > - 1, при y b. (14) Тогда любое решение уравнения (12) из класса C(D) представимо в виде x a b b U(x, y) = e- (y)1(x) + e- (y)+a (x) e- (t)2(t)dt+ a b a b b + e (x)1(y) + e- (y)+a (x) e (s)2(s)ds + f(x, y)y x b f(t, y) f(x, s) a b - e( (x)-a (t)) dt + e( (s)-b (y)) ds(t - a) (b - s) a y x b dt f(t, s) a b - e( (x)-a (t)) e( (s)-b (y)) ds (t - a) (b - s) a y K,,9 [1(x), 2(x), 1(y), 2(y), f(x, y)], 1 где a (x) =, b (y) =, ( - 1)(x - a)-1 ( - 1)(b - y)-j(x), j(y), j = 1, 2 произвольные функции точек 1 и 2, обращающихся в нуль с асимптотическими поведениями 1(x) = 0[(x - a) ], 1 > - 1 при x a, (15) a 2(x) = 0[e (x)] при x a, (16) 1(y) = 0[(b - y) ], 1 > - 1 при y b, (17) b 2(y) = 0[e- (y)] при y b. (18) Следствие 5. При выполнении всех условий теоремы 6, любое решение уравнения (12) из класса C(D) на 1 и 2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями U(x, y) = 0[(x - a) ] при x a, 1 > - 1, (19) U(x, y) = 0[(b - y) ] при y b, 1 > - 1. (20) При > 0, < 0, = - справедлива следующая.
Теорема 7. Пусть в уравнении (12) > 0, < 0, = -, функция f(x, y) C(D), на 1 и 2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями:
f(x, y) = 0[(x - a) ] при x a, (21) f(x, y) = 0[(b - y) ] при y b. (22) Тогда уравнение (12) в классе C(D) имеет единственное решение, которое выражается формулой:
U(x, y) = K,,9[0, 0, 0, 0, f(x, y)].
Следствие 6. При выполнении всех вышеуказанных условий теоремы 7, лю бое решение уравнения (12) из класса C(D) на 1 и 2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями U(x, y) = 0[(x - a) ], где 1 > - 1 при x a, (23) U(x, y) = 0[(b - y) ], где 2 > - 1 при y b. (24) Установлено, что > 0, > 0, = - и < 0, < 0, = - общее решение неоднородного уравнения (12) содержит две произвольные функции одной переменной.
Теорема 8. Пусть в уравнении (12) > 0, > 0, = -, функция f(x, y) C(D) и на 1 и 2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями (21) при x a и (14) при y b. Тогда любое решение уравнения (12) из класса C(D) представимо в виде U(x, y) = K,,9[1(x), 2(x), 0, 0, f(x, y)], где j(x), j = 1, 2Ц произвольные функции класса C(1) с асимптотическими поведениями (15) и 2(x) = 0[(x - a) ], 1 > - 1 при x a.
Следствие 7. При выполнении всех условий теоремы 8, любое решение урав нения (12) из класса C(D) на 1 и 2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями (23) при x a и U(x, y) = 0[(b - y) ], 1 > - 1 при y b.
Пусть в уравнении (12) 1 = + = 0. В этом случае решение интеграль ного уравнения (12) будем искать в виде равномерно-сходящихся функциональных рядов.
Теорема 9. Пусть в интегральном уравнении (12) < 0, > 0, 1 > 0, функция f(x, y) в области D представима в виде равномерно-сходящегося ряда a f(x, y) = e-(n+-) (x)-b (y) fn(y), (25) n= где fn(y) C(2) и в точке y = b обращаются в нуль с асимптотическими поведениями |1| e-n + b (y) fn(y) = 0 (b - y) , 2 > - 1, n = 0, 1, 2,..., при y b.
Тогда однородное интегральное уравнение (12) в классе функций U(x, y), представимых в виде a b U(x, y) = e- (y)+a (x) e-(n+) (x) 9(y), (26) n n=имеет бесконечное число линейно-независимых решений вида |1| a n+ Un(x, y) = e-(n++||) (x)-(+ )b (y), n = 0, 1, 2,...
Неоднородное интегральное уравнение в классе функций, представимых в виде (26), всегда разрешимо и представимо в виде |1| n + - a n+ U(x, y) = e-(n++||) (x)-b (y) e-(+ )b (y) Cn + n + n= b |1| fn(s) 9 (b (y)-b (s)) fn(y) - (n + ) + 1 e- n+ ds, n + (b - s) y где Cn- произвольные постоянные, удовлетворяющие условиям:
|Cn+1| a lim = C, C e- (x) < 1.
n |Cn| Следствие 8. При выполнении всех условий теоремы 9, любое решение уравнения (12) из класса функций, представимых в виде (26), на 1 и 2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями:
a U(x, y) = 0[e-(+||) (x)], при x a, b U(x, y) = 0[e- (y)], при y b.
Теорема 10. Пусть в интегральном уравнении (12) < 0, >, 1 = 0, 1 > 0, функция f(x, y) в области D представима в виде равномерносходящегося ряда (25), где fn(y) C(2). Тогда интегральное уравнение (12) в классе функций U(x, y), представимых в виде (26), имеет единственное решение, которое выражается формулой n + - a U(x, y) = e-(n++||) (x)-b (y) n + n= b 1 9 (b (y)-b (s)) fn(y) - (n + ) + 1 fn(s) en+ ds.
n + (b - s) y Замечание 3. Уравнение (12) изучено для всех остальных значений , , 1 и утверждения, аналогичные теоремам 9,10, получены, когда > 0, < 0, 1 < 0; > 0, < 0, 1 > 0; < 0, < 0, 1 < 0; < 0, < 0, 1 > 0; > 0, > 0, 1 < 0; > 0, > 0, 1 > 0.
Замечание 4. Из полученных решений для уравнений (2) и (12) при = - следует, что поведение частного решения неоднородных уравнений (2) и (12) на особых линиях 1 и 2 совпадают с поведением правой части уравнения, то есть функции f(x, y) на 1 и 2, а поведение решения однородного уравнения на 1 и 2 зависит от поведения произвольных функций, присутствующих в общих решениях однородного уравнения.
В з 4-з 9 первой главы исследованы модельные двумерные интегральные уравнения вольтерровского типа при < 1, = 1; = 1, < 1; > 1, < 1;
< 1, > 1; = 1, > 1; > 1, = для всех возможных значений , , .
Во второй главе в области D исследуется немодельное двумерное интегральное уравнение с граничными особыми и сильно-особыми ядрами, зависящими от переменных интегрирования вида x b x A(t)U(t, y) B(s)U(x, s) dt U(x, y) + dt - ds + (t - a) (b - s) (t - a) a y a b C(t, s)U(t, s) ds = f(x, y), (27) (b - s) y где A(x), B(y), C(x, y), f(x, y)Ц заданные функции соответственно на 1, и D, = constant > 0, = constant > 0, U(x, y)Ц искомая функция.
Как и для уравнения (1), решение интегрального уравнения (27) будем ис кать в классе функций U(x, y) C(D), обращающихся в нуль на особых линиях 1 и 2 соответственно с порядком выше, чем ( - 1) при x a и выше, чем - 1 при y b.
В первом параграфе второй главы рассматривается немодельное двумерное интегральное уравнение (27) со слабой особенностью по обеим переменным.
Во втором параграфе второй главы рассматривается немодельное двумерное интегральное уравнение с граничными особыми ядрами вида:
x b x b A(t)U(t, y) B(s)U(x, s) dt C(t, s)U(t, s) U(x, y)+ dt- ds+ ds = f(x, y).
t - a b - s t - a b - s a y a y (28) Справедливы следующие утверждения:
Теорема 11. Пусть в уравнении (28) A(x) C(1), B(y) C(2) и в окрестности точек x = a, y = b удовлетворяют условию Гельдера, A(a) < 0, B(b) > 0, C(x, y) = -A(x)B(y). Тогда однородное уравнение (28) в классе C(D), обращающемся в нуль на 1 и 2, имеет бесконечное число линейнонезависимых решений. Общее решение однородного уравнения содержит четыре произвольные функции одного переменного и дается при помощи формулы 1 1 B B U11(x, y) = e-W (y) (b - y)B(b) 1(x) + e-W (y)-WA(x) (x - a)-A(a) (b - y)B(b) b 1 B A eW (s) (b - s)-B(b)1(s)ds + e-W (x) (x - a)-A(a)2(y)+ y x 1 1 A A +e-W (x)-WB(y) (x - a)-A(a)(b - y)B(b) eW (t)2(t)dt a a,b K1,1[1(x), 1(y), 2(x), 2(y)], (29) где j(x), j(y), j = 1, 2Ц произвольные непрерывные функции точек 1 и 2, обращающееся в нуль при x a, y b со следующими асимптотическими поведениями:
1(x) = 0[(x - a)], > 0 при x a, 1(y) = 0[(b - y) ], где 1 > B(b) - 1 при y b, (30) 2(x) = 0[(x - a) ], 1 > |A(a)| - 1 при x a, 2(y) = 0[(b - y)], > 0 при y b.
Теорема 12. Пусть в уравнении (28) A(x) C(1), B(y) C(2) и в окрестности точек x = a, y = b удовлетворяют условию Гельдера, A(a) < 0, B(b) > 0, C(x, y) = -A(x)B(y), f(x, y) C(D) и на 1 и 2 обращается в нуль, ее поведение на 1 и 2 определяется из асимптотических формул f(x, y) = 0[(x - a) ], 2 > |A(a)| при x a, f(x, y) = 0[(b - y) ], 2 > B(b) при y b.
Тогда неоднородное интегральное уравнение (28) всегда разрешимо и его общее решение содержит четыре произвольные функции одного переменного и дается при помощи формулы:
a,b a,b U(x, y) = K1,1 [1(x) 1(y), 2(x), 2(y)] + P1,1 [f(x, y)] = a,b = M1,1[1(x), 2(x), 1(y), 2(y), f(x, y)], a,b где интегральный оператор K1,1 дается при помощи формулы (29), а интеa,b гральный оператор P1,1 при помощи формулы x A(a) 1 1 t - a A(t) a,b A P1,1 [f(x, y)] = f(x, y) - eW (t)-WA(x) f(t, y)dtx - a t - a a b b B(b) 1 1 b - y B(s) 1 B B - eW (s)-WB(y) f(x, s)ds + eW (s)-WB(y) b - s b - s y y x B(b) A(a) b - y B(s) 1 1 t - a A(t) A eW (t)-WA(x) f(t, s)ds, b - s b - s x - a t - a a произвольные функции j(x), j(y) удовлетворяют условиям (30).
В случае A(a) > 0, B(b) < 0 для уравнения (28) имеем:
Теорема 13. Пусть в уравнении (28) функции A(x), B(y) удовлетворяют всем условиям теоремы 11, кроме условий A(a) < 0, B(b) > 0. Пусть A(a) > 0, B(b) < 0. Тогда однородное интегральное уравнение (28) в классе C(D) не имеет решения, кроме нулевого.
Теорема 14. Пусть в уравнении (28) A(x) C(1), B(y) C(2), и в окрестности точек x = a, y = b удовлетворяют условию Гельдера, A(a) > 0, B(b) < 0, C(x, y) = -A(x)B(y), f(x, y) C(D) и на 1, 2 обращается в нуль и ее поведение определяется из асимптотических формул:
f(x, y) = 0[(x - a)], > 0 при x a, f(x, y) = 0[(b - y)], > 0 при y b.
Тогда интегральное уравнение (28) имеет единственное решение, которое выражается формулой:
a,b U(x, y) = P1,1 [f(x, y)].
Следствие 9. При выполнении всех условий теоремы 12, любое решение урав нения (28) из класса C(D), на 1 и 2 обращаются в нуль, причем его поведение при x a и y b определяется из следующих асимптотических формул:
U(x, y) = 0[(x - a)], > 0 при x a, (31) U(x, y) = 0[(b - y)], > 0 при y b. (32) Следствие 10. При выполнении всех условий теоремы 14, любое решение урав нения (28) из класса C(D) также обращается в нуль на 1 и 2 с асимптотическими поведениями (31), (32).
Теперь исследуем уравнение (28) в случае C(x, y) + A(x)B(y) = 0. Исполь зуя метод, подобный методу регуляризации для одномерных сингулярных интегральных уравнений, данное уравнение представим в виде:
x b A(a) B(b) dt 1 1 1 1 t - a b - y A U(x, y) + eW (t)-WA(x)+WB(s)-WB(y) t - a x - a b - s a y C(t, s) + A(t)B(s) a,b ds = M1,1[1(x), 2(x), 1(y), 2(y), f(x, y)].
b - s При A(a) < 0, B(b) > 0 справедливо следующее утверждение:
Теорема 15. Пусть в уравнении (28) A(x) C(1), B(y) C(2), C(x, y) C(D), A(a) < 0, B(b) > 0, C1(x, y) = C(x, y) + A(x)B(y) = 0, A(x), B(y) соответственно в окрестности точек x = a и y = b удовлетворяют условию Гельдера, функция C1(x, y) на 1 и 2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями C1(x, y) = 0[(x - a)], > 0 при x a, C1(x, y) = 0[(b - y)], > 0 при y b.
Функция f(x, y) C(D) и на 1, 2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями f(x, y) = 0[(x - a) ], 4 > |A(a)|, при x a, f(x, y) = 0[(b - y) ], 4 > B(b) при y b.
Тогда интегральное уравнение (28) всегда разрешимо и его общее решение содержит четыре произвольные функции точек 1, 2 и дается формулой 1 A U(x, y) = (x - a)|A(a)| (b - y)B(b) e-W (x)-WB(y) x b F3(x, y) - dt 1,2(x, y; t, s)F3(t, s)ds, (33) a y где 1 A F3(x, y) = (x - a)-|A(a)| (b - y)-B(b) eW (x)+WB(y) M1,1[1(x), 2(x), 1(y), 2(y), f(x, y)], 1,2(x, y; t, s)Црезольвента интегрального уравнения x b dt C1(t, s) 1(x, y) + 1(t, s)ds = F3(x, y), t - a b - s a y причем 1 A 1(x, y) = (x - a)-|A(a)| (b - y)-B(b)eW (x)+WB(y) U(x, y), j(x), j(y), j = 1, 2 произвольные функции соответственно точек 1 и 2, удовлетворяющие условиям j(x) = 0[(x - a) ], 3 > |A(a)|, j = 1, 2 при x a, j(y) = 0[(b - y) ], 3 > B(b) j = 1, 2 при y b.
Причем любое решение вида (33) из класса C(D) на 1 и 2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями:
U(x, y) = 0[(x - a)|A(a)] при x a, U(x, y) = 0[(b - y)B(b)] при y b.
Таким же образом уравнение (28) исследовано при C1(x, y) = 0, когда A(a) > 0, B(b) > 0; A(a) < 0, B(b) < 0; A(a) > 0, B(b) < 0. Причем при A(a) > 0, B(b) > 0; A(a) < 0, B(b) < 0 общее решение неоднородного уравнения содержит две произвольные функции одного переменного, при A(a) > 0, B(b) < 0 решение единственно.
В третьем параграфе второй главы в области D рассматривается немодельное двумерное интегральное уравнение (27) с граничными сильно-особыми ядрами вида:
x b x A(t)U(t, y) B(s)U(x, s) dt U(x, y) + dt - ds + (t - a) (b - s) (t - a) a y a b C(t, s)U(t, s) ds = f(x, y). (34) (b - s) y Справедливы следующие утверждения:
Теорема 16. Пусть в уравнении (34) > 1, > 1, A(x) C(1) и в окрестности точки x = a удовлетворяет условию:
|A(x) - A(a)| M1(x - a), где 1 > - 1, B(y) C(2) и в окрестности точки y = b удовлетворяет условию |B(b) - B(y)| M2(b - y), где 1 > - 1.
Далее, пусть C(x, y) = -A(x)B(y), A(a) < 0, B(b) > 0. Тогда однородное уравнение (34) в классе C(D), обращающемся в нуль на 1 и 2, имеет бесконечное число линейно-независимых решений. Общее решение однородного уравнения содержит четыре произвольные функции одного переменного и дается при помощи формулы b b U(x, y) =e-B(b) (y)-WB(y) 1(x) - e-B(b) (y)-WB(y)+A(a)a (x)-WA(x) b a b eB(b) (s)+WB(s) 1(s)ds + eA(a) (x)-WA(x) 2(y)+ y x a A + eA(a) (x)-WA(x)-B(b)b (y)-WB(y) eW (t)-A(a)A(t) 2(t)dt = a = K,[1(x) 2(x), 1(y), 2(y)], (35) где j(x), j(y), j = 1, 2 произвольные непрерывные функции точек 1 и 2. При этом функции j(x), j(y) при x a, y b обращаются в нуль и их поведение определяется из асимптотических формул 1(x) = 0[(x - a) ], 1 > - 1 при x a, b 1(y) = 0[(b - y)e-B(b) (y)] при y b, (36) a 2(x) = 0[(x - a)eA(a) (x)] при x a, 2(y) = 0[(b - y) ], 1 > - 1 при y b.
Теорема 17. Пусть в уравнении (34) > 1, > 1, функции A(x), B(y), C(x, y) удовлетворяют всем условиям теоремы 16, f(x, y) C(D), на 1, 2 обращается в нуль и ее поведение при x a, y b определяется из асимптотических формул A f(x, y) = 0 eA(a) (x) (x - a), где 2 > - 1, B f(x, y) = 0 e-B(b) (y) (b - y), где 2 > - 1.
Тогда неоднородное интегральное уравнение (34) всегда разрешимо, его общее решение содержит четыре произвольные функции одного переменного и дается при помощи формулы:
U(x, y) = K,[1(x), 2(x), 1(y), 2(y)] + P,[f(x, y)] = = M,[1(x), 2(x), 1(y), 2(y), f(x, y)], где интегральный оператор K, дается при помощи формулы (35), а интегральный оператор P,[f(x, y)] при помощи формулы x A(t) a a P,[f(x, y)] = f(x, y) - eA(a) (x)-WA(x) e-A(a) (t)+WA(t) f(t, y)dt+ (t - a) a b B(s) b b + e-B(b) (y)-Wb (y) eB(b) (s)+Wb (s) f(x, s)ds(b - s) y b B(s) b b - e-B(b) (y)-Wb (y)+A(a)a (x)-WA(x) eB(b) (s)+Wb (s) ds (b - s) y x A(t) A eW (t)-A(a)a (t) f(t, s)dt, (t - a) a произвольные функции j(x), j(y), j = 1, 2 удовлетворяют условиям (36).
Теорема 18. Пусть в уравнении (34) функции A(x), B(y), C(x, y) удовлетворяют всем условиям теоремы 16, кроме условий A(a) < 0, B(b) > 0.
Пусть A(a) > 0, B(b) < 0. Тогда однородное интегральное уравнение (34) в классе C(D) не имеет решения, кроме нулевого.
Теорема 19. Пусть в уравнении (34) функции A(x), B(y), C(x, y) удовле творяют всем условиям теоремы 18. Кроме того, пусть f(x, y) C(D) и ее поведение при x a, y b определяется из асимптотических формул:
f(x, y) = 0 (x - a), где 2 > - 1, f(x, y) = 0 ((b - y) ), где 2 > - 1.
Тогда неоднородное интегральное уравнение (34) в классе C(D) имеет единственное решение, которое дается при помощи формулы:
U(x, y) = M,[0, 0, 0, 0, f(x, y)].
Аналогичным образом установлено, что при A(a) > 0, B(b) > 0; A(a) < 0, B(b) < 0 общее решение неоднородного уравнения содержит две произвольные функции одной переменной.
Исследование случая, когда в уравнении (34) C(x, y) = -A(x)B(y). Используя метод, подобный методу регуляризации для одномерных сингулярных интегральных уравнений, для уравнения (34) будем иметь:
Теорема 20. Пусть в уравнении (34) функции A(x) C(1), B(y) C(2), A(a) > 0, B(b) < 0, C(x, y) C(D), C1(x, y) = C(x, y)+A(x)B(y) = 0, C1(x, y) на 1 и 2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями C1(x, y) = 0[(x - a) ], 1 > - 1 при x a, C1(x, y) = 0[(b - y) ], 1 > - 1 при y b.
Функция b F1(x, y) = eB(b) (y)-A(a)a (x)+Wa (x)+Wb (y) M,[1(x), 2(x), 1(y), 2(y), f(x, y)] E,[1(x), 2(x), 1(y), 2(y), f(x, y)] (37) на 1 и 2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями a F (x, y) = 0[e-A(a) (x) (x - a) ], 2 > - 1, при x a.
b F (x, y) = 0[eB(b) (y) (b - y) ], 2 > - 1. при y b.
Функции A(x), B(y) в окрестности точек x = a, y = b удовлетворяют условиям A(x) - A(a) = 0[(x - a) ], 1 > - 1, B(b) - B(y) = 0[b - y) ], 1 > - 1.
Тогда задача о нахождении решения уравнения (34) в классе функций U(x, y), обращающихся в нуль на 1 и 2 соответственно с порядками больше, чем ( - 1) и ( - 1), эквивалентна задаче о нахождении решения уравнения x b dt C1(t, s)(t, s) (x, y) + ds = F1(x, y), (38) (t - a) (b - s) a y где b (x, y) = eB(b) (y)-A(a)a (x)+Wa (x)+Wb (y) U(x, y), в классе функций, обращающихся в нуль на 1 и 2 с асимптотическими поведениями a (x, y) = 0[e-A(a) (x) (x - a) ], 2 > - 1 при x a, b (x, y) = 0[eB(b) (y) (b - y) ], 2 > - 1 при y b.
Теорема 21. Пусть функции A(x), B(y), C(x, y) удовлетворяют всем условиям теоремы 20. Тогда уравнение (34) имеет единственное решение, которое дается при помощи формулы a U(x, y) = eA(a) (x)-B(b)b (y)-Wa (x)-Wb (y) {E,(0, 0, 0, 0, f(x, y)) x b - dt ,(x, y; t, s)E,(0, 0, 0, 0, f(t, s))ds = T,[f(x, y)], a y где функция E,(0, 0, 0, 0, f(x, y)) определяется формулой (37), ,(x, y; t, s)Ц резольвента двумерного интегрального уравнения Вольтерра со слабой особенностью (38). Причем данное решение на 1 и 2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями U(x, y) = 0[(x - a) ], 2 > - 1 при x a, U(x, y) = 0[(b - y) ], 2 > - 1 при y b.
Аналогичным образом уравнение (34) исследовано также при C1(x, y) = 0 в случаях A(a) < 0, B(b) > 0; A(a) > 0, B(b) > 0; A(a) < 0, B(b) < 0. Причем при A(a) > 0, B(b) > 0; A(a) < 0, B(b) < 0 общее решение неоднородного уравнения содержит две произвольные функции одной переменной, при A(a) < 0, B(b) > 0 общее решение содержит четыре произвольные функции одной переменной.
В з4-з9 изучается немодельное интегральное уравнение (28) в случаях когда < 1, = 1; = 1, < 1; > 1, < 1; < 1, > 1; = 1, > 1;
> 1, = 1 для всех возможных значений A(a), B(b).
В третьей главе в области D исследуется общее двумерное интегральное уравнение с граничными особыми и сильно-особыми ядрами вида x b K1(x, y; t)U(t, y) K2(x, y; s)U(x, s) U(x, y) + dt - ds+ (t - a) (b - s) a y x b dt K3(x, y; t, s)U(t, s) + ds = f(x, y), (39) (t - a) (b - s) a y где K1(x, y; t), K2(x, y; s), K3(x, y; t, s)- заданные непрерывные функции, при чем K1(a, b; a) = 0, K2(a, b; b) = 0, K3(a, b; a, b) = 0, f(x, y) C(D) заданная функция в области D.
Как и для уравнений (1) и (27), решение уравнения (39) будем искать в классе функций U(x, y) C(D), обращающихся в нуль на особых линиях 1 и 2, причем искомая функция U(x, y) при x a и y b имеет соответственно нули порядка выше, чем ( - 1) и ( - 1).
В первом параграфе третьей главы рассматривается общее двумерное интегральное уравнение со слабой особенностью по обеим переменным.
Во втором параграфе третьей главы изучается общее двумерное интегральное уравнение с граничными особыми ядрами, то есть изучается уравнение (39) при = 1, = 1. Данное уравнение изучается в следующих возможных случаях: = K1(a, b; a) < 0, = K2(a, b; b) > 0, = K3(a, b; a, b) = -; > 0, < 0, = -; > 0, > 0, = -; < 0, < 0, = -; = -;
A(a) = K1(a, b; a) > 0, B(b) = K2(a, b; b) < 0, C1(t, s) = C(t, s) + A(t)B(s) = 0;
где C(t, s) = K3(a, b; t, s) = 0; A(t) = K1(a, b; t) = 0; B(s) = K2(a, b; s) = 0;
A(a) < 0, B(b) > 0, = -, C1(t, s) = 0; A(a) > 0, B(b) > 0, = -, C1(t, s) = 0; A(a) < 0, B(b) < 0, = -, C1(t, s) = 0.
Используя метод, подобный методу регуляризации для одномерных сингулярных интегральных уравнений, для уравнения (39) при < 0, > 0, = - будем иметь Теорема 22. Пусть в уравнении (39) при = 1, = 1, = K1(a, b; a) < 0, = K2(a, b; b) > 0, = K3(a, b; a, b) = -, f(x, y) C(D), в точке (x, y) = (a, b) обращается в нуль и при x a, y b для нее справедлива оценка:
1 |f(x, y)| H1(x - a) (b - y), где 1 > ||, 1 > .
Функции K1(x, y; t), K2(x, y; s), K3(x, y; t, s) соответственно по своим переменным являются непрерывными для всех (x, y) D и (t, s) из той же области. Кроме того, допустим, что разности K1(x, y; t)-K1(a, b; a), K2(x, y; s)K2(a, b; b), K3(x, y; t, s) - K3(a, b; a, b) при x a, y b, t a, s b обращаются в нуль и для них справедлива оценка:
1 1 |K1(x, y; t) - K1(a, b; a)| H2(x - a) (b - y) (t - a), 1 1 |K2(x, y; s) - K2(a, b; b)| H3(x - a) (b - y) (b - s) ), 1 1 2 |K3(x, y; t, s) - K3(a, b; a, b)| H4(x - a) (b - y) (t - a) (b - s) ), где 1 > ||, 2 > 0, 1 > , 2 > 0. Тогда задача о нахождении общего решения двумерного интегрального уравнения (39) эквивалентна задаче о нахождении решения двумерного интегрального уравнения вольтерровского типа со слабыми особенностями x b N1(x, y; t)U(t, y) N2(x, y; s)U(x, s) U(x, y) + dt + ds+ t - a b - s a y x b dt N3(x, y; t, s)U(t, s) + ds = P(x, y), (40) t - a b - s a y где N1(x, y; t), N2(x, y; s), N3(x, y; t, s)- известные функции, непрерывные по переменным (x, y), имеющие нуль порядка больше, чем > 0 по переменным (t, s), x 1(y) (b - y) P (x, y) = (b - y)1(x) + + (t - a)2(t)dt+ (x - a) (x - a) a s x (b - y) t - a f(t, y) + (b - s)-2(s)ds + f(x, y) + dt+ (x - a) x - a t - a y a b x b b - y f(x, s) t - a dt b - y f(t, s) + ds - ds b - s b - s x - a t - a b - s b - s y a y M1,1[1(x), 2(x), 1(y), 2(y), f(x, y)], произвольные функции 1(x), 2(x), 1(y), 2(y) при x a и y b удовлетворяют условиям:
1(x) = 0 ((x - a)), > 0 при x a, 2(x) = 0 (x - a), 1 > || при x a, 1(y) = 0 ((b - y)), > 0 при y b, 2(y) = 0 ((b - y) ), 1 > при y b.
Теорема 23. Пусть функция f(x, y), ядра K1(x, y; t), K2(x, y; s), K3(x, y; t, s), произвольные функции 1(x), 2(x), 1(y), 2(y) удовлетворяют всем услови ям теоремы 22. Тогда интегральное уравнение (39) в классе C(D), имеющее нуль порядка больше, чем на 1 и 2, всегда разрешимо. Общее решение содержит четыре произвольные функции одного переменного и выражается формулой:
x b U(x, y) = P(x, y) - 1(x, y; t)P(t, y)dt - 2(x, y; s)P(x, s)dsa y x b - dt 3(x, y; t, s)P(t, s)ds, a y где 1(x, y; t), 2(x, y; s), 3(x, y; t, s) являются резольвентами интегрального уравнения со слабой особенностью (40).
Следствие 11. При выполнении всех условий теоремы 23, любое решение уравнения (39) из класса C(D) на 1, 2 обращается в нуль и его поведение при x a, y b определяется из асимптотических формул:
U(x, y) = 0 ((x - a)), > 0 x a, U(x, y) = 0 ((b - y)), > 0 y b.
Аналогичным образом уравнение (39) исследовано при > 0, < 0, = -, < 0, < 0, = -; > 0, > 0, = -, причем при > 0, < уравнение (39) имеет единственное решение, при > 0, > 0; < 0, < общее решение неоднородного уравнение содержит две произвольные функции одной переменной.
В случае, когда = -, используя метод, подобный методу регуляризации для одномерных сингулярных уравнений, для ура внения (39) будем иметь:
Теорема 24. Пусть в уравнении (39) при = 1, = 1 K1(a, b; t) = A(t), K2(a, b; s) = B(s), K3(a, b; t, s) = C(t, s), причем C1(t, s) = C(t, s) + A(t)B(s) = 0, A(a) = K1(a, b; a) < 0, B(b) = K2(a, b; b) > 0. Функция f(x, y) C(D), в точке (x, y) = (a, b) обращается в нуль и для нее при x a, y b справедлива оценка:
6 |f(x, y)| H5(x - a) (b - y), 6 > |A(a)|, 6 > B(b).
Функции K1(x, y; t), K2(x, y; s), K3(x, y; t, s) соответственно по своим переменным являются непрерывными для всех (x, y) D и (t, s) из той же области. Кроме того, допустим, что разности K1(x, y; t) - K1(a, b; t), K2(x, y; s) - K2(a, b; s), K3(x, y; t, s) - K3(a, b; t, s) при x a, y b, t a, s b обращаются в нуль и для них справедлива оценка 6 |K1(x, y; t) - K1(a, b; t)| H6(x - a) (b - y) (t - a) 6 |K2(x, y; s) - K2(a, b; s)| H7(x - a) (b - y) (b - s), 6 |K3(x, y; t, s) - K3(a, b; t, s)| H8(x - a) (b - y) (t - a)(b - s), где 6 > |A(a)|, 6 > B(b), > 0, а также A(t) C(1), B(s) C(2) и соответственно в окрестности точек t = a, s = b удовлетворяют условию Гельдера, C1(t, y) = C(t, s) + A(t)B(s) (D) и при t a, s b для нее справедлива оценка |C(t, s) + A(t)B(s)| H9(t - a)(b - s).
Тогда задача о нахождении общего решения двумерного интегрального уравнения (39) эквивалентна задаче о нахождении решения двумерного интегрального уравнения вольтерровского типа со слабыми особенностями x b x R1(x, y; t)(t, y) R2(x, y; s)(x, s) dt (x, y) + dt + ds + t - a b - s t - a a y a b R3(x, y; t, s) + C1(t, s) ds = F2(x, y), (41) b - s y где 1 A (x, y) = (x - a)A(a)(b - y)-B(b)eW (x)+WB(y) U(x, y), R1(x, y; t), R2(x, y; s), R3(x, y; t, s) известные функции, непрерывные по переменным (x, y) и имеющие нуль порядка выше, чем по переменным x, y и t, s, 1 A F2(x, y) = (x - a)A(a)(b - y)-B(b)eW (x)+WB(y)M1,1[1(x), 2(x), 1(y), 2(y), f(x, y)], причем произвольные функции j(x), j(y), j = 1, 2 при x a, y b, удовлетворяют условиям j(x) = 0 [(x - a) ], 7 > |A(a)|, j = 1, 2 при x a, j(y) = 0 [(b - y) ], 7 > B(b), j = 1, 2 при y b.
Теорема 25. Пусть функция f(x, y), ядра K1(x, y; t), K2(x, y; s), K3(x, y; t, s), произвольные функции j(x), j(y), j = 1, 2 удовлетворяют всем условиям теоремы 24. Тогда интегральное уравнение (39) в классе функций u(x, y) C(D), имеющих нуль порядка U(x, y) = 0 [(x - a)|A(a)|], при x a, U(x, y) = 0 [(b - y)B(b)], при y b, на 1 и 2 всегда разрешимо. Общее решение содержит четыре произвольные функции одного переменного и выражается формулой x 1 A U(x, y) = (x - a)|A(a)|(b - y)B(b)e-W (x)-WB(y) F2(x, y) - 11(x, y; t) a b x b F2(t, y)dt - 21(x, y; s) F2(x, s)ds - dt 31(x, y; t, s)F2(t, s)ds, y a y где 11(x, y; t), 21(x, y; s), 31(x, y; t, s) - являются резольвентами двумерного интегрального уравнения вольтерровского типа со слабой особенностью (41).
Уравнение (39) при = 1, = 1 исследовано и в случаях A(a) > 0, B(b) < 0, C1(t, s) = C(t, s) + A(t)B(s) = 0; A(a) < 0, B(b) < 0, C1(t, s) = C(t, s) + A(t)B(s) = 0 и A(a) > 0, B(b) > 0, C1(t, s) = C(t, s) + A(t)B(s) = 0.
В третьем параграфе третьей главы изучается общее двумерное интегральное уравнение с граничными сильно-особыми ядрами x b K1(x, y; t)U(t, y) K2(x, y; s)U(x, s) U(x, y) + dt - ds+ (t - a) (b - s) a y x b dt K3(x, y; t, s)U(t, s) + ds = f(x, y) (39) (t - a) (b - s) a y при > 1, > 1. Данное уравнение изучается в следующих случаях:
= K1(a, b; a) < 0, = K2(a, b; b) > 0, = K3(a, b; a, b) = -; > 0, < 0, = -; > 0, > 0, = -; < 0, < 0, = -.
Используя метод, подобный методу регуляризации для одномерных сингулярных уравнений, задачу о нахождении решения интегрального уравнения (39) сводим к задаче о нахождении решения интегрального уравнения типа Вольтерра со слабой особенностью. Отметим, что при > 0, > 0, = -;
< 0, < 0, = - общее решение уравнения (39) содержит две произвольные функции одной переменной и при > 0, < 0, = - двумерное интегральное уравнение с граничными сильно-особыми ядрами (39) имеет единственное решение.
Справедливы следующие утверждения:
Теорема 26. Пусть в уравнении (39) = K1(a, b; a) < 0, = K2(a, b; b) > 0, K3(a, b; a, b) = = -, f(x, y) C(D), в точке (x, y) = (a, b) обращается в нуль и при x a, y b удовлетворяет условию:
1 a |f(x, y)| H1(x - a) (b - y) e (x)-b (y), где 1 > - 1, 1 > - 1. Функции K1(x, y; t), K2(x, y; s), K3(x, y; t, s) соответственно по своим переменным являются непрерывными для всех (x, y) D и (t, s) из той же области. Кроме того, допустим, что разности K1(x, y; t) - K1(a, b; a), K2(x, y; s) - K2(a, b; b), K3(x, y; t, s) - K3(a, b; a, b) при x a, y b, t a, s b обращаются в нуль и для них справедливы оценки 1 1 |K1(x, y; t) - K1(a, b; a)| H2(x - a) (b - y) (t - a) e (x)-b (y), 1 1 a |K2(x, y; s) - K2(a, b; b)| H3(x - a) (b - y) (b - s) e (x)-b (y), 1 1 2 a |K3(x, y; t, s) - K3(a, b; a, b)| H4(x - a) (b - y) (t - a) (b - s) e (x)-b (y), где 1 > -1, 1 > -1, 2 > -1, 2 > -1. Тогда задача о нахождении общего решения двумерного интегрального уравнения (39) эквивалентна задаче о нахождении решения двумерного интегрального уравнения вольтерровского типа со слабыми особенностями x b N1(x, y; t)U(t, y) N2(x, y; s)U(x, s) U(x, y) + dt + ds+ (t - a) (b - s) a y x b dt N3(x, y; t, s)U(t, s) + ds = P,(x, y), (42) t - a (b - s) a y где N1(x, y; t), N2(x, y; s), N3(x, y; t, s)Ц известные функции, непрерывные по переменным (x, y) и имеющие нуль порядка больше, чем - 1 и - 1 соответственно по переменным t и s, s a a b b P,(x, y) = e- (y)1(x) + e (x)1(y) + e (x)-b (y) e (s)2(s)ds+ y x x f(t, y) a a a +e (x)-b (y) e- (t)2(t)dt + f(x, y) - e( (x)-a (t)) dt+ (t - a) a a b f(x, s) b + e( (s)-b (y)) ds(b - s) y x b dt f(t, s) a b - e( (x)-a (t)) e( (s)-b (y)) ds, (t - a) (b - s) a y где произвольные функции 1(x), 2(x), 1(y), 2(y) при x a и y b удовлетворяют условиям 1(x) = 0 (x - a), где 1 > - 1 при x a, a 2(x) = 0 e (x) при x a, 1(y) = 0 ((b - y) ), где 1 > - 1 при y b, b 2(y) = 0 e- (y) при y b.
Теорема 27. Пусть функция f(x, y), ядра K1(x, y; t), K2(x, y; s), K3(x, y; t, s), произвольные функции 1(x), 2(x), 1(y), 2(y) удовлетворяют всем услови ям теоремы 28. Тогда интегральное уравнение (39) в классе C(D), имеющее нуль порядка больше чем - 1 и - 1 соответственно на 1, 2, всегда разрешимо. Общее решение содержит четыре произвольные функции одного переменного и выражается формулой:
x b U(x, y) = P,(x, y) - 1(x, y; t)P,(t, y)dt - 2(x, y; s)P,(x, s)dsa y x b - dt 3(x, y; t, s)P,(t, s)ds, a y где 1(x, y; t), 2(x, y; s), 3 (x,y;t,s) являются резольвентами интегрального уравнения со слабой особенностью (42).
Следствие 12. При выполнении всех условий теоремы 27, любое решение уравнения (39) из класса C(D), на 1 и 2 обращается в нуль. Причем его поведение при x a, y b определяется из асимптотических формул:
U(x, y) = 0 (x - a), 3 > - 1 при x a, U(x, y) = 0 ((b - y) ), 3 > - 1 при y b.
В четвертой главе приводится приложение полученных результатов главы для модельного гиперболического уравнения с сингулярными линиями.
В первом параграфе четвертой главы на основе результатов, полученных для уравнения (2), находятся многообразия решений уравнения 2U U U f(x, y) - + + U = (43) xy b - y x x - a y (x - a)(b - y) (x - a)(b - y) в случае, когда = - и > 0, > 0; < 0, < 0; < 0, > 0;
> 0, < 0.
Полученные интегральные представления дают возможность для уравнения (43) ставить и исследовать задачи типов Дарбу.
Через C2(D) обозначим класс функций U(x, y) C1(D), для которых Uxy(x, y) C(D).
Теорема 28. Пусть в уравнении (43) < 0, < 0, = -, f(x, y) C(D), f(a, y) = 0, f(x, b) = 0 с асимптотическими поведениями 1 f(x, y) = 0[(x - a) (b - y) ], 1 > ||, 1 > ||.
Тогда любое решение уравнения (43) из класса C2(D) представимо в виде U(x, y) = K1,1[1(x), 2(x), 1(y), 2(y)] + Tx (Ty(f)), (44) a b где b b - s K1,1[1(x), 2(x), 1(y), 2(y)] = (x - a)|| 1(y) + 2(s)ds + b - y y x 1(x) + t - a 2(t)dt ;
+(b - y)|| x - a a x b t - a dt b - s f(t, s) x Ta (Tby(f)) = - ds, x - a t - a b - y b - s a y j(x), j(y), j = 1, 2 произвольные непрерывные функции точек 1 и 2, причем 1(x) C1(1), 1(y) C1(2), 2(x) C(1), 2(y) C(2) обращаются в нуль на 1 и 2 с асимптотическими поведениями 1(x) = 0[(x - a)], > 0 при x a, 1(y) = 0[(b - y)], > 0 при y b, 2(x) = 0[(x - a) ], 1 > || при x a, 2(y) = 0[(b - y) ], 1 > || при y b.
При этом решение вида (44) на 1 и 2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями U(, y) = 0[(x - a)], > 0 при x a, U(x, ) = 0[(b - y)], > 0 при y b.
Для гиперболического уравнения (43) ставятся и исследуются задачи типа Дарбу.
Задача D1. Требуется найти решение уравнения (43) из класса C2(D) по граничным условиям [(b - y)U(x, y)]y=b = A(x), (D1) y [(x - a)P(U)]x=a = B(y), (D1) y где P -, A(x)Ц заданная непрерывная функция точек 1, B(y) y b - y заданная непрерывная функция точек 2.
Задача D2. Требуется найти решение уравнения (43) из класса C2(D), по граничным условиям:
(x - a)U(x, y) = B1(y), (D2) x=a x [(b - y)P (U)]y=b = A1(x), (D2) x где P +, A1(x), B1(y) заданные функции точек 1 и 2.
x - a Теорема 29. Пусть в уравнении (43) параметры и правая часть удовлетворяют условиям одной из теорем 28, 4.1.2, 4.1.3 или 4.1.4. В условиях (D1 ) и (D1) A(x) C1(1), B(y) C1(2). Причем при выполнении условий теоремы 28 A(a) = 0 с асимптотическим поведением A(x) = 0[(x - a)], > 0 при x a, B(b) = 0 с асимптотическим поведением B(x) = 0[(b - y)], > 0 при y b.
Тогда задача D1 имеет единственное решение, которое при < 0, < выражается формулой x U(x, y) = (x - a)||B(y) + (b - y)||A(x) + Ta (Tby(f)), а в остальных случаях формулой x U(x, y) = (x - a)-B(y) + (b - y)-A(x) + Ta (Tby(f)).
Теорема 30. Пусть в уравнении (43) параметры , , и правая часть f(x, y) удовлетворяют условиям одной из теорем 28, 4.1.2. - 4.1.4 В условиях 1 (D2) и (D2) A1(x) C1(1), B1(y) C1(2), причем при выполнении условий теоремы 28 A1(a) = 0 с асимптотическим поведением A1(x) = 0[(x - a)], > 0 при x a, B1(b) = 0 с асимптотическим поведением:
B1(y) = 0[(b - y)], > 0 при y b.
Тогда задача D2 имеет единственное решение, которое при < 0, < выражается формулой x U(x, y) = (x - a)||B1(y) + (b - y)||A1(x) + Ta (Tby(f)), а в остальных случаях выражается формулой:
x U(x, y) = (x - a)-B1(y) + (b - y)-A1(x) + Ta (Tby(f)).
Во втором параграфе четвертой главы изучается дифференциальное уравнение (43) при = -, < 0, < 0.
В третьем параграфе четвертой главы рассматривается дифференциальное уравнение (43) при = -, > 0, > 0.
В четвертом параграфе четвертой главы исследуется дифференциальное уравнение (43) при = -, > 0, < 0.
В пятом параграфе четвертой главы рассматривается уравнение (43) при = -, < 0, > 0.
Теорема 31. Пусть в уравнении (43) < 0, > 0, 1 = + > 0, f(x, y) C(D) и представима в виде равномерно - сходящегося функционального ряда f(x, y) = (x - a)n+ fn(y), (45) n= fn(y) C(2), fn(b) = 0 с асимптотическими поведениями 7 n fn(y) = 0[(b - y) ], n > + .
n + - Тогда любое решение уравнения (43) в классе функций U(x, y), представимых в виде U(x, y) = (x - a)n+ Un(y), где > ||, (46) n=выражается формулой + n+-|| U(x, y) = (x - a)n+ (b - y) Cnn= b + n+-|| 1 b - y fn(s) - ds, n + - || b - s b - s y где Cn произвольные постоянные, удовлетворяющие условию Cn+lim = B, (a0 - a) B < 1.
n |Cn| Причем это решение принадлежит классу C(D) Cxy(D).
В шестом параграфе четвертой главы на основе полученных многообразий решений уравнения (43), в зависимости от знаков , и 1 = + , ставятся и исследуются различные задачи типов Коши. Например:
Задача K5. Требуется найти решение уравнения (43), представимое в виде (46), при < 0, > 0, 1 > 0, по граничным условиям:
(b - y)-m + - ||- m (x - a)- U(x, y) = A5, m xm x=a y=b m = 0, 1, 2, 3,..., (K5) где A5 - заданные постоянные.
m Теорема 32. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (43) удовлетворяют условиям теоремы 31, постоянные A5 в условиях (K5) удовлетвоn ряют условию An+lim = B1, B1(a0 - a) < 1.
n (n + 1) |A5| n Тогда задача K5 имеет единственное решение, которое выражается формулой + AU(x, y) = (x - a)n+ (b - y)n + - || n n! n= b + 1 b - y fn(s) n + - || - ds.
n + - || b - s b - s y В седьмом параграфе четвертой главы найдено многообразие решений уравнения (43) при 1 = + = 0, в классе функций, представимых в виде:
U(x, y) = (b - y)n+ n(x).
n=Публикации по теме диссертации 1. Раджабова Л.Н. Некоторые случаи для одного класса линейных уравнений третьего порядка с сингулярной точкой // ДАН Республики Таджикистан, Душанбе. 1999. т.17.№4. с.41-49.
2. Раджабова Л.Н. Интегральное представление для одного класса линейных уравнений со сверхсингулярной точкой // Труды Международного симпозиума УМетоды дискретных особенностей в задачах математической физикиФ (МДОЗ МФ -2000). Орел, 2000. 28 мая 2 июня, с. 370-373.
3. Rajabova L.N. The explicit Representation of Manifold solutions for a third order equation with super singular point. Boundary Value Problems, Integral Equations and Related Problems, World Scientific, New Jersey, London, Hong Gong, 2000. P, 150-154.
4. Раджабова Л.Н. К теории дифференциального уравнения третьего порядка со сверхсингулярной точкой // Тезисы докладов научной конференции УНекорректные и неклассические задачи математической физики и анализаФ. Самарканд, 2000, с.72.
5. Раджабова Л.Н. Интегральные представления для одного случая дифференциального уравнения третьего порядка со сверхсингулярной точкой // Тезисы докладов международной конференции УДифференциальные уравнения и их приложенияФ. Душанбе, 2002, с.73-74.
6. Rajabova L. About>
7. Раджабова Л.Н. Об одном случае дифференциального уравнения третьего порядка с сингулярной точкой // Материалы международной научной конференции, посвященной 10-ой годовщине независимости Республики Таджикистан и 80-летию профессора М.А.Субхонкулова УМетоды теории функций и их приложенияФ. Душанбе, 2000, с. 35-36.
8. Rajabova L. On explicit Solution to a>
9. Раджабова Л.Н. К теории одного класса двумерного интегрального уравнения, когда ядро имеет граничные особые точки // Материалы международной научно-практической конференции У16-я сессия Шурои Оли Республики Таджикистан (12 созыва) и ее историческая значимость в развитии науки и образованияФ. Душанбе, 27-28 сентября 2002, с. 186-187.
10. Раджабова Л.Н. Об одном классе двумерных линейных интегральных уравнений Вольтерровского типа с фиксированными граничными сингулярными ядрами // Материалы Международной школы-конференции УОбратные задачи, теория и приложенияФ. ХантыЦМансийск. Россия, август, 11-19, 2002, с. 67Ц69. (Раджабов Н.) 11. Раджабова Л.Н. Явное решение одного класса двумерного линейного интегрального уравнения вольтерровского типа с двумя граничными сингулярными линиями // Международная научная конференция УДифференциальные уравнения и их приложенияФ. Самара, 2002, с. 286-288.
12. Rajabova L. An explicit to a>
Miscolc, 2003, v4, №1, p.65-76.
14. Раджабова Л.Н. Исследование одного класса двумерного интегрального уравнения с фиксированными сингулярными ядрами, связанное с гиперболическим уравнением // ДАН России, 2003, т.391, №1, с.20-22. (Раджабов Н.) 15. Раджабова Л.Н. Явное решение одного класса двумерного немодельного интегрального уравнения Вольтерровского типа с двумя сингулярными линиями // Материалы международной научной конференции УАктульные проблемы математики и ее приложенияФ. Худжанд, 2003. с.107-110.
(Раджабов Н.).
16. Раджабова Л.Н. Явное решение одного класса немодельного двумерного интегрального уравнения Вольтерровского типа с одной сверхсингулярной и одной сингулярной граничной линией // Труды международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, 25-28 октября 2003, с. 131-134.
(Раджабов Н.) 17. Раджабова Л.Н. Явное решение одного класса немодельного интегрального уравнения Вольтерровского типа с одной сингулярной и одной слабосингулярной линией // Труды международной конференции УДифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатикиФ. Ташкент, 16-19 ноября 2004г., том 4, с. 78-80.
18. Раджабова Л.Н. К теории одного класса двумерного немодельного интегрального уравнения вольтерровского типа со сверхсингулярными граничными линиями в ядрах // ДАН России, 2005, том 400, №5, с. 602-605. (Раджабов Н.) 19. Раджабова Л. Н. УОб одном общем интегральном уравнении типа Вольтерра с одной сингулярной и одной сверхсингулярной линиямиФ// Труды XII Международного симпозиума УМетоды дискретных особенностей в задачах математической физикиФ (МДОЗМФ -2005) Харьков-Херсон, 2005, с. 3-306.
20. Раджабова Л.Н. Об одном общем интегральном уравнении типа Вольтерра с сингулярными линиями // Труды международной научноЦтеоретической конференции по качественным исследованиям дифференциальных уравнений и их приложении, посвященной 10-летию РТСУ. Душанбе, 12-14 мая 2005, с. 96-98.
21. Раджабова Л.Н. Об одном общем интегральном уравнении типа Вольтерра с одной сингулярной и одной сверхсингулярной линиями // Материалы международной научной конференции УДифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализаФ. Душанбе, 2005, с. 153-156.
22. Раджабова Л.Н. Об одном общем интегральном уравнении типа Вольтерра со сверхсингулярными линиями // Вестник национального университета (научный журнал). Душанбе, 2005, №2, с. 116-123.
23. Раджабова Л.Н. Об одном классе гиперболического уравнения с сингулярными линиями // Вестник национального университета (научный журнал) Душанбе, 2006, №5, с.44-51.
24. Раджабова Л.Н. К теории одного класса гиперболического уравнения с сингулярными линиями // ДАН РТ, 2006, т.49., №8, с.710-717.
25. Раджабова Л.Н. Об одной классе модельного гиперболического уравнения с двумя граничными особенными линиями // Материалы научной конференции УМатематика и информационные технологииФ, посвященной 15летию независимости Республики Таджикистан. Душанбе, 27 октября 2006, с. 66 -68.
26. Раджабова Л.Н. Об одном общем двухмерном интегральном уравнении типа Вольтерра с особенностью и сильной особенностью на границе области // Тезисы международной конференции УДифференциальные уравнения, теория функций и приложенияФ. Новосибирск, 2007, с. 458-459.
27. Раджабова Л.Н. Об одном общем двухмерном интегральном уравнении типа Вольтерра с особенностями на границе области // Вестник ТГНУ. Серия естественных наук. Душанбе, 2007, №3 (35), с. 30-38.
28. Lutfya Rajabova. Theory of a>
29. Раджабова Л.Н. К теории одного класса общего двумерного интегрального уравнения типа Вольтерра с особенностями на границе области // Материалы международной научной конференции УАктуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатикиФ, посвященной 70-летию акад. АН З.Д.Усманова. Душанбе, 24-25 августа 2007, с. 92-94.
30. Раджабова Л.Н. О некоторых случаях одного двумерного интегрального уравнения типа Вольтерра с сильными особенностями на границе области // Материалы международной научной конференции УАктуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатикиФ, посвященной 70-летию акад. АН З.Д.Усманова. Душанбе, 24-25 августа 2007, с. 94-97.
31. Раджабова Л.Н. К теории одного класса двумерного транспонированного интегрального уравнения типа Вольтерра с двумя сильно-особенными линиями // Материалы III международной научно-практической конференции Перспективы развития науки и образование в XXI веке. Душанбе, 2008, с. 257Ц258.(Раджабов Н.) 32. Rajabova L. Investigation one>
(Rajabov N.) 33. Раджабова Л.Н. К теории одного класса двумерного сопряженного интегрального уравнения вольтерровского типа с граничными фиксированными сингулярными ядрами // Труды международной научной конференции Дифференциальные уравнения и смежные проблемы. Стерлитамак, 24Ц 28 июня 2008, том I, с. 164Ц168.