Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Воробьев Юрий Михайлович
Полулокальные нормальные формы пуассоновых структур и гамильтонизация динамических систем
Специальность 01.01.03 математическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва - 2010
Работа выполнена на кафедре прикладной математики Московского государственного института электроники и математики
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор М.В. Карасев
Официальные оппоненты: академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор А.Т. Фоменко доктор физико-математических наук, профессор А.Г. Сергеев доктор физико-математических наук, профессор Г.С. Погосян
Ведущая организация: Институт теоретической физики РАН
Защита диссертации состоится 18 января 2011 г. в 16.00 на заседании диссертационного совета Д 212.133.07 при Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, г. Москва, Б.Трехсвятительский пер., 3 (ауд. 526).
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики.
Автореферат разослан " " 2010 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.133.кандидат физико-математических наук П.В. Шнурков
Актуальность темы. За последние 40 лет теория пространств с общими нелинейными скобками Пуассона стала ареной актуальных исследований, тесно взаимодействующих с различными областями математики и математической физики, такими как теория гамильтоновых систем, интегрируемость и приводимость, теория сингулярностей, теория квантования, спектральная теория (см., например, [12], [23], [26], [40], [67], [72]).
Изучение вырожденных скобок Пуассона восходит к работам Софуса Ли, который, в качестве частного случая, развил также теорию линейных скобок на векторных пространствах; сегодня они называются скобками ЛиЦПуассона и играют фундаментальную роль в различных задачах математической физики. Дальнейший рост интереса к вырожденным пуассоновых структурам был связан с обнаружением многочисленных физических моделей, в частности, моделей, обладающих группами симметрий или связями, в которых пуассоновы многообразия появляются в качестве фазовых пространств, описывающих динамику. Здесь одним из важнейших примеров является скобка Дирака, которая применяется для изучения систем со связями.
Другой мотивацией для изучения вырожденных пуассоновых структур стало развитие теории редукций и некоммутативной интегрируемости гамильтоновых систем, начатое в работах [18], [58], [59].
Интересные пуассоновы структуры были получены при решении задачи гамильтонизации уравнений движения, описывающих важные физические системы, например, для уравнения Вонга классической частицы в поле ЯнгаЦМиллса [65], для ковариантных BMT-уравнений заряженной релятивистской частицы со спином [24], для уравнения движения твердого тела [2], [15]). Задача гамильтонизации для важного класса линеаризованных гамильтоновых динамик изучалась в работах [54], [57] и, например, для модели Хиггса и уравнений ЗайбергаЦВиттена в [22]. Большой класс примеров нелинейных скобок Пуассона полиномиального типа возникают при изучении алгебр симметрий интегрируемых и суперинтегрируемых систем, в частности, резонансных алгебр (см., например, [2], [9], [16], [19], [20], [21], [49], [50], [51], [52]).
В контексте хорошо известной задачи о связи между вырожденной лагранжевой и гамильтоновой формулировками классической механики, пуассоновы структуры можно также получить из пресимплектических структур [38], [46]. Геометрический способ построения (пре)симплектических структур на расслоениях с помощью связностей, который называется методом спаривания, был предложен Стернбергом [69] и получил дальнейшее развитие в работе [47]. Кроме того, в работе [66], процедура спаривания была распространена на некоторый специальный класс векторных пуассоновых расслоений (коприсоединенных расслоений, ассоциированных с главными расслоениями) и были введены калибровочные структуры ЛиЦПуассона.
Отметим, что пуассонова геометрия связана еще с целым рядом интересных геометрико-дифференциальных объектов таких, как локальные алгебры Ли [14], алгеброиды Ли и группоиды Ли [56], и структуры Дирака [29]. Геометрически, пуассоново многообразие можно трактовать как объединение симплектических многообразий (симплектических листов), обычно различных размерностей, которые согласуются друг с другом некоторым гладким образом. Другими словами, общее пуассоново многообразие является сингулярным слоением симплектическими многообразиями в смысле [68], [70]. Например, в случае структуры ЛиЦПуассона симплектические листы являются коприсоединенными орбитами, несущими симплектическую структуру, называемую формой Кириллова [13].
В отличие от случая симплектических многообразий, локальная структура общих пуассоновых многообразий оказывается очень непростой. Важный вклад в понимание этой структуры был сделан Вайнстайном в работе [80]. Теорема Вайнстайна о локальном расщеплении дает локальную нормальную форму пуассоновой структуры и приводит к важному понятию локальной трансверсальной пуассоновой структуры.
В той же работе была сформулирована знаменитая задача линеаризации, которая положила начало многочисленным глубоким исследованиям [17], [27], [28], [33], [39], [61], [64], [82], [84], [85].
В частности, важные результаты относительно локальной линеаризации пуассоновой структуры, как в аналитическом так и в гладком случаях, были получены Конном в работах [27], [28]. Доказательство теоремы Конна о гладкой линеаризации содержит в высшей степени нетривиальные аналитические рассуждения, основанные на объединении метода Ньютона и аппроксимирующей схемы НэшаЦМозера. Только недавно в работе [33] было предложено геометрическое доказательство теоремы Конна, которое опирается на метод гомотопии Мозера и результаты о собственных групоидах и интегрируемости алгеброидов Ли [30], [31].
Одним из первых глобальных результатов в пуассоновой геометрии является теорема о симплектической реализации произвольного пуассонова многообразия, доказанная Карасевым [10] (локально см. также в [80]) и разработанная на этой основе теория соответствия между пуассоновыми многообразиями и симплектическими группоидами [11], [81].
В 1977 году, в терминах исчисления Схоутена для поливекторных полей, Лихнерович в работе [55] дал Уалгебро-дифференциальное"определение пуассоновой структуры, что послужило толчком систематического изучения пуассоновых когомологий. В частном случае симплектического многообразия, пуассоновы когомологии совпадают с когомологиями де Рама. Однако, в общем случае, даже для регулярных пуассоновых многообразий, вычисление пуассоновой когомологии является сложной задачей.
Первые результаты в этом направлении были получены в работах [8], [53] и затем в [44], [71], [83]. В сингулярном случае, в работе [63] были вычислены ростковые пуассоновы когомологии для двумерной пуассоновой структуры, обладающей простыми сингулярностями в смысле [1].
За последние 10 лет было проведено много исследований, посвященных полулокальной пуассоновой геометрии, т.е. геометрии в окрестности сингулярного симплектического листа ненулевой размерности пуассонова многообразия [25], [32], [37], [41], [42], [43], [45], [60], [62]. В работах [48], [53] было показано, что инфинитезимальные свойства листа полностью определяются его транзитивным алгеброидом Ли, который, в частности, приводит к понятию редуцированной линейной голономии листа [41], [42], [45]. В работе [48] было показано, что обращение в нуль второй группы когомологий транзитивного алгеброида Ли симплектического листа гарантирует формальную эквивалентность пуассоновых структур вблизи этого листа. В недавней работе [34], было доказано, что условие такого типа также достаточно для стабильности компактного симплектического листа в смысле работы [80]. Кроме того, как было показано в [32], явления жесткости и гибкости, известные в симплектической геометрии, также имеют место в контексте пуассоновой геометрии и теории сингулярных слоений. Все эти результаты ориентированы на изучение нормальных форм пуассоновой структуры вблизи сингулярных симплектических листов, что является предметом активных исследований в настоящее время.
Цель работы. Диссертация посвящена развитию новых дифференциально-геометрических методов изучения (вырожденных) пуассоновых структур и их применению в теории гамильтоновых систем.
Научная новизна и теоретическое значение результатов. В диссертации получены следующие новые результаты и введены новые понятия в теории скобок Пуассона и гамильтоновых систем.
Х Развит новый геометрический метод построения пуассоновых структур спаривания на расслоениях общего типа.
Х Получена полулокальная теорема расщепления пуассоновой структуры над вложенным (сингулярным) симплектическим листом. Введено понятие полулокальной трансверсальной пуассоновой структуры.
Х Получены критерии полулокальной пуассоновой эквивалентности и описание соответствующих когомологических препятствий.
Х Дано описание нового класса пуассоновых структур на расслоениях ЛиЦПуассона, ассоциированных с транзитивными алгеброидами Ли.
Х Введено понятие линеаризованной пуассоновой структуры над сингулярным симплектическим листом.
Х Доказана теорема о нормальной форме и теорема линеаризации для пуассоновой структуры над симплектическим листом компактного и полупростого типа.
Х Получены геометрические и аналитические критерии гамильтонизации проектируемой динамики на общих пуассоновых расслоениях. Дано описание возможности гамильтонизации в терминах пуассоновых структур спаривания.
Х Построен гамильтонов формализм для линеаризованной гамильтоновой динамики над сингулярным симплектическим листом пуассонова многообразия.
Эти результаты составляют основное содержание диссертации и выносятся на защиту.
Апробация работы. Основные результаты работы были доложены на 9 международных конференциях.
Х Июнь 2000 Международная конференция УPoisson 2000Ф, CIRM, Люмини, Франция.
Х Июль 2002 XXI Международная конференция УГеометрические Методы в ФизикеФ, Беловежа, Польша.
Х Май 2004 XI Международная конференция УСимметрии в ФизикеФ, Чешский Технический Университет, Прага, Чешская Республика.
Х Июль 2005 Летняя школа и конференция по пуассоновой геометрии, ICTP, Триест, Италия.
Х Июнь 2005 II Международная конференция по сверхинтегрируемым системам в классической и квантовой механике, Дубна, Россия.
Х Август 2006 Международный математический конгресс, Мадрид, Испания.
Х Июль 2008 XXVII Международная конференция УГеометрические методы в физикеФ, Беловежа, Польша.
Х Июль 2009 XIII Международная конференция УМетоды симметрии в физикеФ, Дубна, Россия.
Х Июнь 2010 VIII Международная конференция AMSЦSMM, Беркли, Калифорния, США.
Публикации. Содержание диссертации отражено в 12 научных публикациях, в том числе, в 9 статьях в научных журналах из перечня ВАК:
Х Ю.М. Воробьев, Гамильтоновы структуры систем в вариациях и симплектические связности, Мат. Сборник 191 (4), 3Ц38 (2000).
Х Ю.М. Воробьев, О линеаризованных пуассоновых структурах, Мат. Заметки 70 (4), 535Ц543 (2001).
Х Yu. Vorobjev, On Poisson realizations of transitive Lie algebroids, J. of Nonlinear Math. Phys. 11, 43Ц48 (2004).
Х Ю.М. Воробьев, О линеаризации гамильтоновых систем на пуассоновых многообразиях, Мат. Заметки 78(3), 323Ц330 (2005).
Х Ю.М. Воробьев, Линеаризуемость пуассоновых структур на сингулярных симплектических листах, Мат. Заметки 80 (6), 825Ц837 (2006).
Х Yu. Vorobiev, Averaging of Poisson structures, American Inst. of Phys. 1079, 235Ц 240 (2008).
Х Ю.М. Воробьев, Препятствия к эквивалентности пуассоновых структур вблизи симплектического листа полупростого и компактного типа, Функц. Анализ и Его Прил. 42 (2), 81Ц84 (2008).
Х G. Dvila Rascn, R. Flores Espinoza, and Yu. Vorobiev, Euler equations on so(4) as a nearly integrable Hamiltonian system, Qualitative Theory of Dynamical Systems 7 (1), 129Ц146 (2008).
Х G. Dvila Rascn and Yu. Vorobiev, A Hamiltonian approach for skew-product dynamical systems, Russian J. of Math. Phys. 15 (1), 35Ц44 (2008);
а также в статьях, помещенных в коллективные монографии:
Х Yu. Vorobjev, Coupling tensors and Poisson geometry near a single symplectic leaf.
In: Lie Algebroids and Related Topics in Differential Geometry, Banach Center Publ., Polish Acad. Sci., Warsaw, 2001, vol. 54, pp. 249Ц274.
Х Yu. Vorobjev, Poisson structures and linear Euler systems over symplectic manifolds.
Amer. Math. Soc. Transl. (2), AMS, Providence, RI, 2005, Vol. 216, 137Ц239.
Х Yu. Vorobjev, Poisson equivalence over symplectic leaf, Amer. Math. Soc. Transl.
(2), AMS, Providence, RI, 2005, Vol. 216, 241Ц277.
Все результаты, приведенные в диссертации, получены лично автором или при решающем участии автора.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, семи глав и списка литературы (169 литературных источников); имеет объем 196 страниц.
Краткое содержание диссертации Глава 1 состоит из трех разделов и, в основном, содержит предварительные сведения. В этой главе приводятся необходимые понятия, определения и факты из исчисления Схоутена, теории пуассоновых многообразий и теории связностей Эресмана, которые используются в дальнейшем тексте диссертации. В разделе 1.1 приведены определение и основные свойства скобки Схоутена [, ] : k(M)m(M) k+m-1(M) для поливекторныех полей на многообразии M, которая является естественным обобщением скобки Ли для векторных полей. Основная цель раздела 1.2 зафиксировать некоторые основные понятия и определения теории пуассоновых многообразий.
В разделе 1.3 дается краткое введение в теорию связностей Эресмана на расслоении общего вида : E B (гладкая сюръективная субмерсия). Через V = ker d T E и V0 T E обозначаются вертикальное подрасслоение и его аннулятор. Связность Эресмана на расслоении обычно задается векторнозначной 1-формой 1(E; V) такой, что |V= id, которая индуцирует разложение T E = H V, (1) где H = ker является горизонтальным подрасслоением. Горизонтальный лифт векторного поля u X(B) 1(B) обозначается через hor(u). Интегрируемость горизонтального подрасслоения H эквивалентна следующему условию: форма кривизны Curv 2(B; V) связности Эресмана обращается в нуль.
Для любого бивекторного поля на тотальном пространстве E разложение (1) порождает следующее расщепление:
= 2,0 + 1,1 + 0,2, (2) где через i,j Sec(iH) Sec(jV) обозначено 2-бивекторное поле бистепени (i, j).
Одним из основных объектов развиваемого нами исчисления является ковариантный внешний дифференциал : k(B)C(E) k+1(B)C(E), ассоциированный со связностью Эресмана , который действует на C(B)-модулях k(B)C(E) C(E)-значных k-форм на базе B. Условие кограничности для эквивалентно условию нулевой кривизны для связности . В конце раздела, собраны некоторые свойства пуассоновых связностей на пуассоновом расслоении ( : E B, ), оснащенном вертикальный пуассоновым тензором Sec(2V). Класс пуассоновых связностей определяется следующим условием согласованности: для любого u X(B), горизонтальный лифт hor(u) является инфинитезимальным пуассоновым автоморфизмом вертикального пуассонова тензора.
В главе 2 развивается геометрический подход, который называется методом спаривания, к построению пуассоновых структур на пуассоновых расслоениях общего вида (раздел 2.1) и доказывается теорема о полулокальном расщеплении (раздел 2.2). В подразделе 2.1.1 сформулированы технические результаты о факторизации тождества Якоби для некоторых классов бивекторных полей на расслоенных пространствах. В подразделе 2.1.2 изучаются горизонтально невырожденные бивекторные поля, параметризованные геометрическими данными. Для заданного расслоения : E B, под геометрическими данными мы подразумеваем тройку (, , F), состоящую из вертикального бивекторного поля Sec(2V), связности Эресмана 1(E; V) и горизонтальной 2-формы F 2(B) C(E), F = Fij(, x)di dj, где (, x) = (i, x) это (локальная) система координат на тотальном пространстве E такая, что (i) являются координатами на базе B, а (x) являются координатами вдоль слоев. Геометрические данные называются допустимыми, если 2-форма F невырожденна, det(Fij) = 0. Каждому набору допустимых геометрических данных (, , F) ставится в соответствие бивекторное поле на тотальном пространстве E, которое имеет вид = H + , (3) где горизонтальное бивекторное поле H Sec(2H) однозначно определяется парой (, F) по формуле H = - Fij(, x) hor hor (4) i j вертикальная часть задана бивекторным полем :
1 = (, x) . (5) 2 x x i Здесь FisFsj = j и hor = hor( ). Бивекторное поле (3) является горизонтально i i невырожденным в том смысле, что образ аннулятора V0 под действием индуциро ванного морфизма векторных расслоений : T E T E является дополнительным подрасслоением к вертикальному подрасслоению V T E.
В подразделе 2.1.3 сформулирован ключевой результат.
Теорема 1 ([74]). Бивекторное поле в (3) удовлетворяет тождеству Якоби [, ] = 0 (6) тогда и только тогда, когда геометрические данные (, , F) удовлетворяют структурным уравнениям [, ] = 0, (7) Lhor = 0, (8) (v) F = 0, (9) Curv(v, u) = d(F(v, u)) (10) для всех v, u X(B).
Таким образом, допустимые геометрические данные (, , F), удовлетворяющие структурным уравнениям (7)Ц(10), индуцируют пуассонов тензор (3), называемый пуассоновой структурой спаривания. Условия (7) и (8) означают, что вертикальное бивекторное поле является пуассоновым тензором и это пуассонова связность на пуассоновом расслоении (E, ). Условие (9) означает, что 2-форма F является ковариантно постоянной. В общем случае, форма кривизны пуассоновой связности принимает значения в пространстве вертикальных пуассоновых векторных полей относительно . Последнее условие (10), называемое тождеством кривизны, означает, что форма кривизны принимает значения в пространстве вертикальных гамильтоновых векторных полей.
Пуассонов тензор = H + является результатом спаривания невырожденный 2-формы F и вертикального пуассонова тензора посредством пуассоновой связности . В общем случае, горизонтальная компонента H не явлется пуассоновым тензором, но имеет постоянный ранг. Вертикальная компонента является вертикальной пуассоновой структурой, отражающей сингулярные эффекты симплектического слоения пуассоновой структуры спаривания .
Множество пуассоновых структур спаривания на заданном расслоении : E B также можно описать следующим образом. Всякое горизонтально невырожденное бивекторное поле на E индуцирует связность Эресмана , горизонтальное подрасслоение которой задается уравнением H = (V0). (11) Тогда в разложении (2), ассоциированном с подрасслоением (11), имеем 1,1 = 0, и бивекторное поле принимает вид (3), где H = 2,0, (12) = 0,2. (13) Следствие 2 ([74]). Всякий горизонтально невырожденный пуассонов тензор на E является пуассоновой структурой спаривания, для которой допустимые геометрические данные (, , F) задаются формулами (11)Ц(13) и соотношением F(u1, u2) = H(1, 2) при u1, u2 X(B) и 1, 2 Sec(V0) такими, что H(1) = hor(u1) и H(2) = hor(u2).
Теорема 1 распространяет на случай общего пуассонова расслоения процедуру спаривания, первоначально разработанную для симплектических расслоений и для коприсоединенных расслоений. Дальнейшие результаты относительно общей процедуры спаривания, введенной в [74], были получены в [73] и в [79] (для случаев многообразий со слоениями и структур Дирака).
В разделе 2.1.4 описывается частный случай пуассоновых структур спаривания, ассоциированных с плоскими пуассоновыми связностями.
Предложение 3. Пусть ( : E B, ) пуассоново расслоение над симплектическим многообразием (B, ). Тогда любая плоская пуассонова связность Эресмана = flat на E, Lhor = 0, (u) Curv = 0, индуцирует пуассонов тензор спаривания flat на E, ассоциированный с геометрическими данными (, flat, 1) и имеющий вид flat = hor() + . (14) Здесь 2(B) это невырожденный пуассонов тензор, соответствующий симплектической форме и hor() это горизонтальный лифт тензора относительно связности .
Пуассонов тензор flat в (14) называется плоской пуассоновой структурой спаривания. Его горизонтальная компонента H является пуассоновым тензором, образующим пуассонову пару с вертикальной компонентой .
В разделе 2.1.5 описываются симметрийные свойства структурных уравнений.
Пусть ( : E B) векторное расслоение и (, , F) некоторые геометрические данные, удовлетворяющие структурным уравнениям (7)Ц(10), где 2-форма F не обязательно является невырожденный. Тогда имеем дифференциальный комплекс 0 ... - k-1(B)Casim(E, ) - k(B)Casim(E, ) - k+1(B)Casim(E, ) -...
где кограничный оператор 0 определен как ограничение def 0 = |k (15) (B)Casim(E,) ковариантного дифференциала на подпространства, состоящие из всех k-форм на B, принимающих значения в пространстве функций Казимира Casim(E, ) вертикальной пуассоновой структуры .
Теорема 4 ([78]). Геометрические данные (, , F), удовлетворяющие структурным уравнениям (7)Ц(10), и любая пара (Q, C), состоящая из 1-формы Q 1(B) C(E) и 2-коцикла C 2(B) Casim(E, ), 0 C = 0, индуцируют новое решение (, , F) уравнений (7)Ц(10), которое имеет вид = - dQ, (16) F = F - (Q + {Q Q}) + C. (17) В частности, можно положить C = 1, где 2(B) произвольная замкнутая 2-форма на B.
Следствие 5. Если (, , F) геометрические данные пуассонова тензора спари вания и преобразование (16), (17) сохраняет невырожденность формы F, то пара (Q, C) индуцирует деформированную пуассонову структуру спаривания , ассоци ированную с геометрическими данными (, , F).
Другой тип симметрий структурных уравнений происходит из следующего наблюдения: всякое решение (, , F) уравнений (7)Ц(10) индуцирует однопараметрическое семейство решений (1, , F), где R \ {0}.
Предложение 6 ([36], [76], [78]). Пусть ( : E B, ) пуассоново расслоение над симплектическим многообразием (B, ). Пусть (, , F) некоторые геометрические данные на E, удовлетворяющие структурным уравнениям (7)Ц(10). Тогда, для любой открытой области N E с компактным замыканием и для всех достаточно малых = 0, набор ( , , F = 1 + F) (18) дает допустимые геометрические данные, которые индуцируют пуассонов тензор спаривания на N. В частности, если тотальное пространство E компактно, то можно выбрать N = E.
Пуассонов тензор , ассоциированный с геометрическими данными (18), называется пуассоновой структурой слабого спаривания и имеет следующее координатное представление:
1 1 ij = - F (, x) hor hor + (, x) , (19) i j 2 2 x x is i где F (sj + Fsj) = j.
В подразделе 2.1.6 описываются симплектические слоения пуассоновых структур спаривания. В частности, показано, что в случае симплектического расслоения, наш подход приводит к результатам [47]. В подразделе 2.1.7, инфинитезимальные пуассоновы автоморфизмы пуассоновой структуры спаривания описываются в терминах ее геометрических данных. При заданном пуассоновом тензоре спаривания = H +, ассоциированном с геометрическими данными (, , F), вводится следующая подалгебра Ли:
P = {A Poiss(E, ) | AV Ham(E, )} в алгебре Ли Poiss(E, ) инфинитезимальных пуассоновых автоморфизмов. Здесь AV обозначает вертикальную компоненту а расщеплении A = AH + AV относительно разложения (1), соответствующего пуассоновой связности .
Теорема 7. (a) Элементы A подалгебры P Poiss(E, ) параметризуются парами (G, ), состоящими из произвольной функции G C(E) и 0 -коцикла 1(B) Casim(E, ), 0 = 0.
юбой элемент A P имеет вид A = AH + V dG, где горизонтальная составляющая AH однозначно определена условием iA F = -G.
H (b) Первая группа горизонтальных пуассоновых когомологий изоморфна первой группе 0 -когомологий, P Ham(E, ) = H (E).
(c) Пусть первая группа вертикальных пуассоновых когомологий HV (E, ) = PoissV (E, ) Ham(E, ) вертикальной пуассоновой структуры тривиальна; тогда 1 H (E) = H (E).
Здесь H (E) первая группа когомологий пуассоновой структуры .
В подразделе 2.1.8 показано, что сохраняющие слои диффеоморфизмы сохраняют класс пуассонов структур спаривания.
Теорема 8 ([77], [78]). Пусть g : E сохраняющий слои диффеоморфизм между двумя расслоениями : E B и : B. Пусть = H + пуассо нов тензор спаривания , ассоциированный с геометрическими данными (, , F).
Тогда опускание = g является пуассоновым тензором спаривания на , ассоциированным с геометрическими данными (g, g, gF).
В разделе 2.2, используя результаты предыдущих разделов, выводится теорема полулокального расщепления, которая утверждает, что произвольная пуассонова структура вблизи (сингулярного) симплектического листа реализуется как пуассонова структура спаривания. Пусть задано пуассоново многообразие (M, ) с вложенным симплектическим листом (B, ). Рассмотрим нормальное расслоение E = TBM T B над листом B с проекцией : E B. Под экспоненциальным отображением будем понимать диффеоморфизм f : E M из тотального пространства E на открытую окрестность листа B в M такой, что f |B = idB и dBf = . Здесь : TBM E является естественным проектированием и : TBE E это проекция вдоль T B по отношению к каноническому разложению TBE = T B E.
Теорема 9 ([74], [77]). При заданном экспоненциальном отображении f : E M, существует открытая окрестность N нулевого сечения B E такая, что ограничение пуассонова тензора f на N является пуассоновой структурой спаривания, ассоциированной с геометрическими данными (, , F), = H + на N. (20) Нулевое сечение B E является симплектическим листом пуассоновой структуры , и геометрические данные имеют следующие свойства:
(i) вертикальная пуассонова структура обращается в нуль в точках симплектического листа, = 0 на B N;
(ii) горизонтальное подрасслоение H T E пуассоновой связности задается соотношением Hm = (dmf-1) m (dmf-1)(E(m)) (m N) и совпадает с касательным расслоением T B в точках нулевого сечения B;
(iii) ограничение формы спаривания на симплектический лист (B, ) совпадает с симплектической формой , F(u, v) |B= (u, v) для всех u, v X(B).
Кроме того, вертикальный пуассонов тензор в разложении (20) не зависит от выбора экспоненциального отображения f с точностью до полулокального диффеоморфизма на E, который является тождественным на B.
Этот результат является полулокальным обобщением локальной теоремы расщепления, полученной в [80].
Из теоремы 9 следует, что в окрестности = f(N) симплектического листа B M пуассонов тензор допускает разложение = reg + sin, где регулярная компонента reg = fH является бивекторным полем постоянного ранга (rank reg = dim B). Сингулярная компонента sin = f является пуассоновым тензором, обращающимся в нуль в точках листа (rank sin = 0 на B) и однозначно определенным с точностью до полулокального изоморфизма. Пуассонов тензор sin на M (и, соответственно, его представитель на E) называется полулокальной трансверсальной пуассоновой структурой над симплектическим листом B. Он дает важную информацию о сингулярном симплектическом слоении пуассоновой структуры вблизи B.
Следствие 10. Если замкнутый симплектический лист (B, ) пуассонова многообразия (M, ) является регулярным, то полулокальная трансверсальная пуассонова структура над листом B является нулевой. В окрестности листа B пуассонова структура изоморфна пуассоновой структуре спаривания , ассоциированной с геометрическими данными (V = 0, , F = 1), которые включают плоскую связность Эресмана . Следовательно, полулокальная нормальная форма пуассоновой структуры вблизи B является плоской пуассоновой структурой спаривания на нормальном расслоении E, которая задается как горизонтальный лифт невырожденного пуассонова тензора на листе (B, ) относительно плоской связности , flat = hor().
В конце этой главы, в подразделе 2.2.2, для иллюстрации общих результатов вычисляются трансверсальные пуассоновы структуры двумерных коприсоединенных орбит коалгебр so(4) и e(3).
В главе 3 изучается полулокальная эквивалентность пуассоновых структур спаривания с помощью контравариантной версии метода гомотопии Мозера.
В подразделах 3.1.1 и 3.1.2 развивается общая идея метода гомотопии и получены некоторые технические результаты. Пуассонов изоморфизм между двумя пуассоно выми тензорами и на многообразии E строится методом гомотопии в три шага:
(1) выбирается гладкий путь {t}t[0,1] пуассоновых тензоров на E, соединяющий и , 0 = , 1 = ;
(2) решается уравнение для зависящего от времени векторного поля At на E:
t LA t + = 0; (21) t t (3) определяется пуассонов диффеоморфизм между и как поток за еди ничное время t = 1 векторного поля At, = .
Уравнение (21) можно переформулировать в терминах когомологии дифференциального оператора Лихнеровича пуассонова тензора t, а именно: класс когоt t мологий 2-коцикла равен нулю для любого t [0, 1]. В симплектическом случае, t разрешимость уравнения (21) следует из соображений невырожденности. Чтобы применить похожие соображения в пуассоновом случае, мы разложим пуассонову структуру на регулярную и сингулярную компоненты, применяя процедуру спаривания.
Пусть ( : E B) расслоение и {t}t[0,1] гладкое однопараметрическое семейство пуассоновых тензоров на E такое, что для любого t [0, 1], t является пуассоновой структурой спаривания, ассоциированной с геометрическими данными (, t, Ft), t = (t)H + , (22) где это вертикальная пуассонова структура на E, не зависящая от t.
Теорема 11 ([74], [77]). Предположим, что зависящие от параметра t данные (t, Ft) удовлетворяют следующему условию: существует гладкое семейство {Qt} 1-форм Qt 1(B) C(E) такое, что t hor (u) = hor (u) + dQt(u), (23) 0 Ft = F0 - ( Qt + {Qt Qt}) (24) для всех t [0, 1] и u X(B). Тогда, зависящее от t горизонтальное векторное поле At Sec(Ht), однозначно определяемое равенством Qt iA Ft =, (25) t t является решением уравнения (21), ассоциированным с семейством пуассоновых структур (22).
Здесь Ht T E это горизонтальное подрасслоение связности t, и {, } обозначает скобку Пуассона, порожденную тензором .
Теорема 12 ([77]). Если условие (23) выполняется для некоторого гладкого семейства {Qt} 1-форм и уравнение (22) допускает решение вида At = Zt + dht, (26) для некоторого Zt Sec(Ht) и ht C(E), то семейство {Qt} можно выбрать так, чтобы выполнялось условие (24).
В подразделе 3.1.3 изучается класс Coup(E, ) пуассоновых тензоров спаривания на пуассоновом расслоении ( : E B, ), вертикальные компоненты которых фиксированы и равны . В этом классе вводится соотношение эквивалентности: два пуассоновых тензора спаривания , Coup(E, ), ассоциированных с геометриче скими данными (, , F) и (, , F), эквивалентны, если пуассоновы связности и удовлетворяют условию = - d(Q) (27) для некоторой 1-формы Q 1(B) C(E). В этом случае мы пишем Q . Каж дой такой паре (, ) ставится в соответствие 2-форма C 2(B) Casim(E, ) на базе B, принимающая значения в пространстве Casim(E, ) функций Казимира вертикальной пуассоновой структуры и определяемая соотношением def C = F - F + (Q + {Q Q}). (28) Теорема 13 ([74], [77]). (a) 2-Форма C, заданная соотношением (28), является 2-коциклом, 0 C = 0, (29) у которого класс 0 -когомологий [C] не зависит от выбора 1-формы Q в (27).
(b) Для любых пуассоновых тензоров спаривания , , Coup(E, ) из одного и того же класса эквивалентности, выполняются следующие тождества:
[C ] = -[C ], [C ] + [C ] + [C ] = 0.
2-Форма C называется относительным 2-коциклом Казимира пары (, ) пуас соновых тензоров, удовлетворяющих соотношению эквивалентности (27).
В этих терминах, достаточные условия (23), (24) для разрешимости уравнения t (21), приведенные в теореме 11, имеют вид t Q 0 и C 0 = 0 для всех t [0, 1].
t t Теорему 12 можно переформулировать следующим образом: если t Q 0 и уравнение (21) допускает решение вида (26), то необходимо, чтобы условие [C 0] = t выполнялось для всех t [0, 1].
Следствие 14. Если первая группа вертикальных когомологий пуассоновой струк туры тривиальна, HV (E, ) = {0}, то любые два пуассоновых тензора , Coup(E, ) удовлетворяют соотношению эквивалентности (27) и, следовательно, относительный 2-коцикл Казимира C хорошо определен. Класс его 0 -когомологий [C] является внутренней характеристикой пары (, ).
Отметим также следующее свойство: класс когомологий относительного коцикла Казимира сохраняется при естественном действии группы Inn((E, ) внутренних пуассоновых автоморфизмов на Casim(E, ).
В разделе 3.2 изучается эквивалентность пуассоновых структур вблизи общего симплектического листа. В подразделе 3.2.1 формулируется постановка задачи.
Пусть : E B векторное расслоение над связной симплектической базой (B, ), которое отождествляется с некоторым вложенным подмногообразием в E посредством нулевого сечения. Через Coup (E) обозначим множество всех пуассоновых B структур на E, для которых подмногообразие (B, ) является симплектическим листом. В некоторой открытой окрестности листа, всякий элемент Coup (E) B является пуассоновым тензором спаривания = H + , вертикальный компонента которого представляет трансверсальную пуассонову структуру листа.
Через Diff (E) обозначим псевдогруппу всех полулокальных изотопий на E, тожB дественных на B. Это означает, что, для любого Diff (E), существует открытая B окрестность N листа B в E и гладкое однопараметрическое семейство полулокальных диффеоморфизмов {t}t[0,1] на E такое, что N Dom(t) t [0, 1] и 0 = id, 1 = на N t |B= idB.
Также введем псевдогруппу Gau (E) полулокальных калибровочных изотопий на E, B состоящую из всех элементов Diff (E), сохраняющих слои векторного расслоеB ния.
В подразделах 3.2.2 и 3.2.3, получены некоторые свойства трансверсальных пуассоновых структур. В частности, показано, что из Diff (E)-эквивалентность пуасB соновых структур в Coup (E) следует Gau (E)-эквивалентность трансверсальных B B пуассоновых структур.
Теорема 15 ([77]). Пусть , Coup (E) две пуассоновы структуры, и , B соответствующие трансверсальные пуассоновы структуры. Если и изоморф ны, т.е. = для некоторого Diff (E), то существует полулокальная B калибровочная изотопия g Gau (E) такая, что = g.
B В подразделе 3.2.4 сформулированы основные результаты относительно полулокальной пуассоновой эквивалентности.
Теорема 16 ([74], [77]). Пусть , Coup (E) два пуассоновых тензора спаB ривания, ассоциированных с геометрическими данными (, , F) и (, , F) и определенных на некоторых открытых окрестностях N и листа B в E, соответственно. Предположим, что (a) вертикальные компоненты бивекторных полей и совпадают, = on N ;
(b) существует 1-форма Q 1(B) C(N ) такая, что hor(u) = hor(u) + dQ(u), (30) F = F - (Q + {Q Q}). (31) Тогда пуассоновы структуры и изоморфны при помощи полулокального диффеоморфизма Diff (E), B = , где Dom() N и (Dom()) .
Наконец, выводятся следующие необходимые и достаточные условия для существования пуассонова изоморфизма в случае произвольных пуассоновых тензоров в Coup (E).
B Теорема 17 ([77]). Пусть , Coup (E) два пуассоновых тензора спариваB ния, ассоциированных с геометрическими данными (, , F) и (, , F) и определенных на открытых окрестностях N и листа B в E, соответственно. Тогда и изоморфны в классе полулокальных диффеоморфизмов из псевдогруппы Diff (E) B тогда и только тогда, когда соответствующие геометрические данные удовлетворяют условию: существует полулокальный диффеоморфизм g Gau (E), где B Dom(g) N, g(Dom(g)) , такой, что трансверсальные пуассоновы структуры изоморфны при помощи g, g = на N . Dom(g), и поднятия g и gF связности и 2-формы F связаны с данными (, F) посредством формул horg (u) = hor(u) + V dQ(u), (32) gF = F - (Q + {Q Q} ) (33) V для некоторой 1-формы Q 1(B) C(N Dom(g)).
Кратко, условия (32), (33) можно выразить следующим образом: g Q и Cg = 0.
В главе 4 описан новый класс пуассоновых структур на векторном расслоении ЛиЦПуассона, ассоциированным с транзитивными алгеброидами Ли.
Теорема 18 ([74], [75]). Пусть (A, : A B, {, }A) транзитивный алгеброид Ли над замкнутым симплектическим многообразием (B, ). Пусть E = g расB слоение дуальное изотропии gB = ker и : T B A связность на A. Тогда пара (A, ) индуцирует пуассонову структуру спаривания A, на E, ассоциированную с допустимыми геометрическими данными (, , F) и состоящую из Х линейного вертикального пуассонова тензора на E, однозначно определенного послойной структурой алгебры Ли на расслоении gB, 1 = () x ;
2 x x Х однородной связности Эресмана на E, Lhor () = () (u) u (для всех Sec(gB) и для всех u X(B));
Х 2-формы F 2(B) Caff(E), определенной симплектической формой и формой кривизны R 2(B; gB) связности , F = 1 - (R) Здесь через : Sec(gB) Clin(g ) обозначена естественная идентификация, а B через обозначена присоединенная связность на расслоении алгебр Ли (gB, [, ]g ), B индуцированная .
Пуассонов тензор A, хорошо определен в окрестности нулевого сечения B в E = g и имеет следующее представление:
B 1 A, = - F(, x)ij hor hor +. (34) i j В частности, подмногообразие (B, ) является симплектическим листом этой пуассоновой структуры. Скобка Пуассона, соответствующая A, не сохраняет пространство послойно линейных функций на E, что отличает её от хорошо известных скобок на алгеброидах Ли [29]. В частном случае транзитивного алгеброида Ли, ассоциированного с главным расслоением, формула (34) приводит к так называемой калибровочной структуре ЛиЦПуассона, введенной в [66].
Следовательно, для заданного алгеброида Ли A, имеем семейство пуассоновых структур A,, параметризованное связностями . Однако, следующий результат утверждает, что ростки над B пуассоновых тензоров A, остаются изоморфными при различных выборах связности .
Теорема 19 ([74], [75]). Пусть A, и A, два пуассонова тензора спаривания на E, индуцированных связностями и на транзитивном алгеброиде Ли A. Тогда 0 существует полулокальный диффеоморфизм Diff (E) такой, что A, = B A,.
Кроме того, в подразделе 4.2.3 получен более сильный результат: изоморфные алгеброиды Ли A и с произвольными связностями и индуцируют пуассоновы структуры A, и ,, которые изоморфны в окрестности нулевого сечения B.
В главе 5 рассматривается проблема полулокальной линеаризации и изучаются нормальные формы вблизи замкнутого (сингулярного) симплектического листа (B, ) ненулевой размерности в пуассоновом многообразии (M, ).
В разделе 5.1 введено понятие линеаризованной пуассоновой структуры на нормальном расслоении E = TBM T B. В отличие от нульмерного случая, эта структура не может быть непосредственно получена линеаризацией (вырожденного) пуассонова тензора над B, поскольку процедура линеаризация не сохраняет тождество Якоби, которое является существенно нелинейным уравнением.
Зафиксируем трансверсаль L к листу B M, т.е. подрасслоение L TBM такое, что TBM = T B L. Возьмем экспоненциальное отображение f : E M такое, что (dBf)(E) = L. Рассмотрим пуассонов тензор спаривания = f = H + на E, ассоциированный с геометрическими данными (, , F). Применяя оператор растяжения t : E E (t R) на нормальном расслоении E, t(, x) = (, tx), (1) определим линеаризованные геометрические данные (, (1), FL ), формулами L = lim t(), (35) t t(1) = lim , (36) L t t(1) FL = 1 + lim (F - 1). (37) t tt Здесь является линейным вертикальным пуассоновым тензором на E, совпадающим с линеаризованной трансверсальной пуассоновой структурой над симплектиче(1) ским листом B. Пара ((1), FL ) однозначно определяется выбором трансверсали L L (1) и состоит из однородной связности Эресмана (1) на E и 2-формы FL на B, приниL мающей значения в пространстве послойно аффинных функций Caff(E) на E.
(1) Предложение 20. Линеаризованные геометрические данные (, (1), FL ) в (35)Ц L (1) (37) удовлетворяют структурным уравнениям (7)Ц(10). 2-Форма FL 2(B) Caff(E) является невырожденный в окрестности нулевого сечения B E.
Через ExB(E) Diff (E) обозначим псевдогруппу, состоящую из всех полулоB кальных диффеоморфизмов на E, тождественных на B, и таких, что dB = idE, где : E TBE это отображение включения.
Теорема 21 ([4], [74], [77]). Пусть (M, ) пуассоново многообразие с замкнутым симплектическим листом (B, ). Пусть E = TBM T B нормальное расслоение.
Для любой трансверсали L TBM, линеаризованные геометрические данные (, (1) (1), FL ) в (35)Ц(37) индуцируют пуассонов тензор спаривания (1), который хороL L шо определен в окрестности нулевого сечения B E и имеет следующие свойства:
(i) подмногообразие (B, ) является симплектическим листом пуассоновой структуры (1);
L (ii) вертикальная компонента пуассонова тензора спаривания (1) совпадает с L линеаризованной трансверсальной пуассоновой структурой над листом B M, (1) = ((1))H + ;
L L (iii) для любого экспоненциального отображения f : E M такого, что dBf(E) = L, бивекторное поле (1) дает первую аппроксимацию вблизи B для поднятого тензора = f, = (1) + O2;
L (iv) пуассонов тензор (1) не зависит от выбора трансверсали L с точностью L до полулокального диффеоморфизма из псевдогруппы ExB(E).
Этот результат позволяет ввести следующее понятие: пуассонов тензор спаривания (1) называется линеаризованной пуассоновой структурой над симплектическим L листом B M, ассоциированной с трансверсалью L. Росток над B линеаризованной пуассоновой структуры зависит от выбора трансверсали L, но различные выборы приводят к эквивалентным ростковым пуассоновым структурам.
Через CasimB обозначим пространство ростков над нулевым сечением B E функций Казимира для линейной вертикальной пуассоновой структуры , обращающихся в нуль на B.
Предложение 22. Существует дифференциальный оператор (1) 0 : k(B) CasimB k+1(B) CasimB, определенный равенством def (1) (1) (1) L L 0 = 0 |k, (B)CasimB (1) L где : k(B) C(E) k+1(B) C(E) это ковариантный внешний дифференциал для однородной связности (1) на E, ассоциированной с трансверсалью L L к B. Это определение не зависит от выбора трансверсали L.
(1) Кограничный оператор 0 назовем однородным дифференциальным оператором, ассоциированным с замкнутым симплектическим листом B пуассонова многообразия (M, ).
Теорема 23 ([77]). Всякая пара (L, C), состоящая из трансверсали L и 2-коцикла (1) C 2(B) CasimB(E), 0 C = 0, индуцирует C-деформированную линеаризованную пуассонову структуру (1), определяемую как пуассонов тензор спаривания, L,C ассоциированный с допустимыми геометрическими данными (1) (1) (, (1), FL,C = FL + C).
L (1) Если класс 0 -когомологий 2-коцикла C тривиален, [C] = 0, то существует полулокальный пуассонов диффеоморфизм ExB(E) между (1) и (1), L,C L (1) = (1).
L,C L В подразделе 5.1.4 показано, что альтернативный способ определить линеаризованную пуассонову структуру дает использование пуассоновой структуры, ассо циированной с транзитивными алгеброидами Ли. Пусть T M, #, {, }T M, кокасательный алгеброид Ли пуассонова многообразия (M, ) [81]. При заданном замкнутом симплектическом листе (B, ) пуассонова многообразия (M, ) скобка Ли {, }T M на 1-формах на M индуцирует структуру алгебры Ли {, }T M на пространB стве сечений ограниченного на B кокасательного расслоения TBM. Результатом яв ляется транзитивный алгеброид Ли (TBM, {, }T M, B) листа B с якорным отображеB нием B = # |T M. Всякая трансверсаль L TBM к листу B индуцирует связность B L : T B TBM на транзитивном алгеброиде Ли TBM = L0 (T B)0, задаваемую соотношением L = (B |L )-1. (38) Теорема 24 ([74], [77]). Линеаризованная пуассонова структура (1) симплектиL ческого листа B M, ассоциированная с трансверсалью L, совпадает с пуассоновой B структурой спаривания T M,L, индуцированной транзитивным алгеброидом Ли (TBM, {, }T M, B) симплектического листа и связностью L (38), B B (1) = T M,L.
L В разделе 5.2 рассматриваются полулокальная линеаризация и нормальные формы. Предположим, что задано пуассоново многообразие (M, ) с замкнутым симплектическим листом (B, ) и пусть E = TBM T B является нормальным расслоением.
Определение 25 ([6], [74], [77]). Пуассонова структура называется линеаризуемой над симплектическим листом B, если существует экспоненциальное отображение f : E M, являющееся полулокальным пуассоновым изоморфизмом между и линеаризованной пуассоновой структурой (1), ассоциированной с трансверсалью L L = dBf(E) TBM, а именно:
f = (1) (вблизи B E).
L В силу теоремы 21, это определение является корректным в том смысле, что не зависит от выбора представителя (1) в классе линеаризованных пуассоновых L структур симплектического листа.
Пусть E (T B)0 конормальное расслоение листа. Тогда E является локально тривиальным расслоением алгебр Ли, типовой слой которого обозначается через g и называется изотропией симплектического листа. Предположим, что g полупростая компактного типа. (39) Из этого условия следует, что симплектический лист должен быть сингулярным, т.е.
ранг пуассоновой структуры не является постоянным вблизи симплектического листа B.
Через Exgau(E) обозначим псевдогруппу, состоящую из всех полулокальных дифB феоморфизмов g ExB(E), сохраняющих слои нормального расслоения.
Зафиксируем экспоненциальное разложение f : E M и рассмотрим пуассонов тензор спаривания = f = H + на E, ассоциированный с геометрическими данными (, , F). Пусть (1) = ((1))H + линеаризованная пуассоL L нова структура, ассоциированная с линеаризованными геометрическими данными (1) (, (1) = (1), F(1) = FL ), где L = dBf(E).
L Следующее предложение существенным образом опирается на результаты относительно локальной линеаризации, полученные Конном [28].
Предложение 26 ([6], [77]). Трансверсальная пуассонова структура линеаризуема над B в том смысле, что существует полулокальный диффеоморфизм g Exgau(E) такой, что B g = . (40) Кроме того, существуют открытая окрестность N нулевого сечения B в E и 1 форма Q 1(B) CB (N) такие, что (1) horg (u) = hor (u) + dQ(u) (41) для всех u X(B).
(1) Фиксируя g в (40) и Q в (41), введем 0 -коцикл C 2(B) CasimB(E, ), определенный как относительный 2-коцикл Казимира пуассоновой структуры g и (1), L (1) def C = Cg ,(1) = gF - F(1) + ( Q + {Q Q}). (42) (1) Предложение 27 ([6], [77]). Класс ростковых 0 -когомологий [C] 2-коцикла Казимира C (42) не зависит от выбора полулокального диффеоморфизма g, 1-формы Q и экспоненциального отображения f.
Используя 2-коцикл Казимира C (42), определим C-деформированную линеаризованную пуассонову структуру (1) как пуассонов тензор спаривания на E, ассоL,C (1) (1) циированный с геометрическими данными (, (1), FC,L = FL + C).
L Следствие 28. C-Деформированная линеаризованная пуассонова структура (1) L,C определена однозназно по модулю полулокальных диффеоморфизмов в псевдогруппе Ex (E).
B Теорема 29 ([6], [7], [77]). Если замкнутый симплектический лист (B, ) пуассонова многообразия (M, ) удовлетворяет условию (39), то выполняются следующие утверждения.
(a) (Нормализация). Пуассонова структура изоморфна C-деформированной линеаризованной пуассоновой структуре (1) на E при помощи диффеоморфизма m :
L,C N U между двумя открытыми окрестностями N E и U M листа B, тождественного на B, m = (1), L,C m |B= id.
(b) (Критерий линеаризуемости). Пуассонова структура линеаризуема над B (1) тогда и только тогда, когда класс ростковых 0 -когомологий 2-коцикла Казимира C (42) нулевой, [C] = 0.
В разделе 5.2.4 приводятся некоторые примеры нелинеаризуемых пуассоновых структур, которые были также построены с использованием Казимир-взвешенных произведений в [37].
В главе 6 рассматривается задача гамильтонизации для проектируемых динамических систем на пуассоновом расслоении общего типа. Наш подход базируется на теории спаривания пуассоновых структур, развитой в предыдущих главах, и на теории инвариантных нелинейных связностей, представленной в разделе 6.1. Несколько критериев существования согласованных гамильтоновых структур для проектируемых векторных полей на пуассоновом расслоении получены в разделе 6.2. Пусть ( : E B, ) пуассоново расслоение, оснащенное вертикальной пуассоновой структурой Sec(2V). Предположим, что база расслоения является связным симплектическим многообразием (B, ) и задано гладкое сечение s : B E, s = idB, такое, что = 0 на s(B). Кроме того, предположим, что пуассоново расслоение допускает плоскую пуассонову связность 0, согласованную с сечением s с помощью следующего условия: горизонтальное подрасслоение H0 связности 0 совпадает с касательным расслоением T s(B) во всех точках подмногообразия s(B) E.
Рассмотрим проектируемое векторное поле V на E, вида V = hor (vf) + d, (43) для некоторых функций f C(B) и C(B). Здесь через vf обозначено гамильтоново векторное поле на (B, ) функции f C(B). Подмногообразие s(B) инвариантно относительно потока векторного поля V.
Теорема 30. Пусть в окрестности N подмногообразия s(B) в E существует горизонтальная 1-форма Q 1(B) C(N), удовлетворяющая уравнению Lhor (vf )Q + {, Q} = , (44) и условие Q(u1, u2) |s(B)= 0 выполняется для любых u1, u2 X(B). Тогда, в окрестности N подмногообразия s(B), это решение Q индуцирует пуассонову структуру спаривания Q, ассоциированную с геометрическими данными (, Q, FQ), задаваемыми формулами Q = 0 - dQ, (45) 0 FQ = 1 - ( Q + {Q Q}).
Кроме того, проектируемое векторное поле V является гамильтоновым на относительно Q и функции H = f + ( - iv Q), f т.е. V = QdH.
Уравнение (44) имеет следующую геометрическую интерпретацию: горизонтальное подрасслоение HQ связности Q инвариантно относительно дифференциала потока векторного поля V.
Также имеет место следующая версия этой теоремы для случая слабого спаривания, где вместо существования согласованных сечений требуется условие компактности.
Теорема 31. Пусть ( : E B, , 0) плоское пуассоново расслоение над симплектической базой (B, ). Пусть V проектируемое векторное поле V вида (43) на E. Если в открытой области N E уравнение (44) допускает решение Q 1(B)C(N), то для любой открытой области N с компактным замыканием и для всех достаточно малых = 0 векторное поле V является гамильтоновым относительно функции H = f + ( - iv Q), (46) f и пуассонова тензора слабого спаривания Q,, ассоциированного с геометрическими Q данными (1, Q, F ), задаваемыми (45) и равенством 0 Q F = 1 - ( Q + {Q Q}).
В подразделе 6.2.3 рассматривается случай тривиального пуассонова расслоения, когда E = B P является произведением симплектического многообразия B и пуассонова многообразия P. Предположим, что пуассонова структура на P обращается у нуль в точке x0 P. Через {, }B и {, }P обозначим канонические лифты, на тотальное пространство E, скобок Пуассона на B и P, соответственно. Проектируемую динамическую систему векторного поля (43) можно записать в виде скобочных соотношений di = {f B, i}B, (47) dt dx = {, x}P, (48) dt где = (i) B, x = (x) P и B : B P B каноническая проекция. Эта система имеет инвариантное подмногообразие B {x0}. В соответствии с каноническим разложением T E = T B T P имеем плоскую пуассонову связность 0, ассоциированную с горизонтальным подрасслоением H0 = T B. Внешний ковариантный дифференциал совпадает с внешним дифференциалом dB на E вдоль B.
Теорема 32 ([36], [78]). Если в окрестности сечения B {p0} в E = B P существует горизонтальная 1-форма Q = Qi(, x)di, удовлетворяющая уравнению гомологического типа Lv Q + {, Q} = dB f и условию Qi(, 0) = 0, то проектируемая динамическая система (47), (48) является гамильтоновой относительно пуассоновой структуры Q, ассоциированной с этим решением и функцией (46).
В разделе 6.3 изучается задача гамильтонизации линейных векторных полей на расслоениях ЛиЦПуассона. В этом разделе вводится класс согласованных пуассоновых структур на расслоении ЛиЦПуассона и формулируются различные критерии существования гамильтоновой структуры для линейных уравнений Эйлера. Пусть E = B g тривиальное расслоение ЛиЦПуассона над связной симплектической базой (B, ), типовой слой которого является коалгеброй g алгебры Ли g. Рассмотрим линейную систему Эйлера на E вида d = vf() ( B), (49) dt dx = ad x (x g) (50) () dt для некоторых f C(B) и C(B) g.
Теорема 33 ([76]). Предположим, что алгебра Ли g удовлетворяет условиям g = Cent(g) [g, g], (51) H1(g; g) = 0. (52) Зафиксируем в (50) условием C(B) [g, g]. Тогда разрешимость уравнения гомологического типа Lv + [, ]g = dB f для 1-формы 1(B)[g, g] является необходимым и достаточным условием для того, чтобы система Эйлера (49), (50) была гамильтоновой в классе согласованных пуассоновых структур на E = B g.
Заметим, что условия (51), (52) выполняются, если g полупростая алгебра Ли.
Для случая g = so(3), применения этой теоремы приведены в [35].
Наконец, в разделе 6.4, рассматривая задачу гамильтонизации для проектируемых векторных полей на симплектическом векторном расслоении, мы улучшаем результаты, полученные в работе [3].
В главе 7 изучается линеаризованная гамильтонова динамика над сингулярным симплектическим листом (B, ) пуассонова многообразия (M, ) в контексте задачи гамильтонизации. Пусть XF гамильтоново векторное поле на (M, ) функции F C(M). Соответствующая линеаризованная динамика над листом B задается линейным векторным полем var (XF ) на нормальном расслоении E = TBM T B;
B это поле называется системой в вариациях векторного поля XF. В терминах экспоненциального отображения f : E M это поле можно определить как предельное выражение varB(XF ) = lim(f)XF, которое не зависит от выбора экспоненциального отображения f. Кроме того, линейное векторное поле varB(X) дает первую аппроксимацию для XF в том смысле, что (f )XF = var (XF ) + O(), B и нулевое сечение B E инвариантно при действии потока этого векторного поля. В общем случае, var (XF ) не наследует какую-либо гамильтонову структуру от исходB ной гамильтоновой системы (M, , F ), поскольку поднятие пуассоновой структуры (f ) не имеет предела при 0.
Теорема 34 ([5], [76]). Пусть (M, , F ) гамильтонова система на пуассоновом многообразии и B M замкнутый симплектический лист. Выполнены следующие утверждения:
(a) Если существует расщепление TBM = T B L, инвариантное относительно дифференциала потока гамильтонова векторного поля XF, то система в вариациях var (XF ) является гамильтоновой относительно B линеаризованной пуассоновой структуры (1), ассоциированной с XF -инвариантной L трансверсалью L, (1) varB(XF ) = ((1)) d(f + FL ), L (1) где f = F |B и FL = lim0 1[f)F - (F |B)] первая вариация функции F на B вдоль трансверсали L.
(b) Наоборот, если линейное векторное поле varB(XF ) гамильтоново относительно линеаризованной пуассоновой структуры (1), соответствующей трансL версали L к листу B, то подрасслоение L TBM является XF -инвариантным.
Список литературы [1] В.И. Арнольд, Замечания о пуассоновых структурах на плоскости и других степенях форм объема, Труды Сем. им. И.Г. Петровского 12, 37Ц46 (1987).
[2] А.В. Борисов и И.С. Мамаев, Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике, Удмуртский государственный университет, Ижевск, 1999.
[3] Ю.М. Воробьев, Гамильтоновы структуры систем в вариациях и симплектические связности, Мат. Сборник 191 (4), 3Ц38 (2000).
[4] Ю.М. Воробьев, О линеаризованных пуассоновых структурах, Мат. Заметки 70 (4), 535Ц543 (2001).
[5] Ю.М. Воробьев, О линеаризации гамильтоновых систем на пуассоновых многообразиях, Мат. Заметки 78(3), 323Ц330 (2005).
[6] Ю.М. Воробьев, Линеаризуемость пуассоновых структур на сингулярных симплектических листах, Мат. Заметки 80 (6), 825Ц837 (2006).
[7] Ю.М. Воробьев, Препятствия к эквивалентности пуассоновых структур вблизи симплектического листа полупростого и компактного типа, Функц.
Анализ и Его Прил. 42 (2), 81Ц84 (2008).
[8] Ю.М. Воробьев и М.В. Карасев, О пуассоновых многообразиях и скобке Схоутена, Функц. Анализ и Его Прил. 22 (1), 1Ц11 (1988).
[9] Я.И. Грановский, А.С. Жеданов и И.М. Луценко, Квадратичные алгебры и динамика в искривленном пространстве. Проблема Кеплера, Теорет. Мат. Физ.
91 (3), 396Ц400 (1992).
[10] М.В. Карасев, Условия квантования Маслова в высших когомологиях и аналоги объектов теории Ли для канонических расслоений симплектических многообразий, Москва, МИЭМ, 1981, ВИНИТИ № 1091Ц82, 1092Ц82; на англ.яз.: Selecta Math. Sov. 8 (3), 213Ц258 (1989).
[11] М.В. Карасев, Аналоги объектов теории групп Ли для нелинейных скобок Пуассона, Изв. Акад. Наук СССР, сер. матем. 50 (3), 508Ц538 (1986).
[12] М.В. Карасев и В.П. Маслов, Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование, Наука, Москва, 1991.
[13] А.А. Кириллов, Элементы теории представлений, Наука, Москва, 1972.
[14] А.А. Кириллов, Локальные алгебры Ли, Успехи Мат. Наук 31, 55Ц75 (1976).
[15] В.В. Козлов, Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой динамике, Удмуртский государственный университет, Ижевск, 1995.
[16] И.М. Кричевер и А.В. Забродин, Спиновое обобщение модели РейсенарсаЦ Шнайдера, неабелева двумеризованная цепочка Тода и представления алгебры Склянина, Успехи Мат. Наук 50 (6), 3Ц56 (1995).
[17] О.В. Лычагина, Нормальные формы пуассоновых структур, Мат. Заметки (2), 220Ц235 (1997).
[18] А.С. Мищенко и А.Т. Фоменко, Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем, Функц. Анализ и Его Прил. 12 (2), 46Ц56 (1978).
[19] С.П. Новиков, Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса, Успехи Мат. Наук 37 (5), 3Ц49 (1982).
[20] М.А. Ольшанецкий, Эллиптическая гидродинамика и квадратичные алгебры векторных полей на торе, Теорет. Мат. Физ. 150 (3), 355Ц370 (2007).
[21] О.Е. Орел, Алгебро-геометрические скобки Пуассона в проблеме точного интегрирования, Регул. и Хаотич. Дин. 2 (2), 90Ц97 (1997).
[22] А.Г. Сергеев, Об адиабатическом пределе в некоторых нелинейных уравнениях калибровочной теории поля, Современная Математика. Фундаментальные направления 3, 33Ц42 (2003).
[23] Л.А. Тахтаджян и Л.Д. Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов, Наука, Москва, 1986.
[24] A. Bette, Twistor phase space dynamics and the Lorentz force equation, J. Math.
Phys. 34 (10), 100Ц130 (1993).
[25] O. Brahic, Normal forms of Poisson structures near a symplectic leaf, ArXiv:math.
SG/0403136, 2004.
[26] A. Cannas da Silva and A. Weinstein, Geometric models for noncommutative algebras. In: Berkeley Mathematics, Lectures, American Math. Soc., Providence, 1999, vol. 10.
[27] J. Conn, Normal forms for analytic Poisson structures, Annals of Math. 119, 576Ц 601 (1984).
[28] J. Conn, Normal forms for smooth Poisson structures, Ann. of Math. 121, 565Ц5(1985).
[29] T.J. Courant, Dirac manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 319 (2), 631Ц661 (1990).
[30] M. Crainic and R.L. Fernandes, Integrability of Lie brackets, Ann. Math. 157 (2), 575Ц620 (2003).
[31] M. Crainic and R.L. Fernandes, Integrability of Poisson brackets, J. Differ. Geom.
66, 71Ц137 (2004).
[32] M. Crainic and R.L. Fernandes, Rigidity and flexibility in Poisson geometry, Travaux Mathematiques 16, 53Ц68 (2005).
[33] M. Crainic and R.L. Fernandes, A geometric approach to ConnТs linearization theorem, arXiv:0812.3060, 2008.
[34] M. Crainic and R.L. Fernandes, Stability of symplectic leaves, Inventions of Mathematics 180 (3), 481Ц533 (2010).
[35] G. Dvila Rascn, R. Flores Espinoza and Yu. Vorobiev, Euler equations on so(4) as a nearly integrable Hamiltonian system, Qualitative Theory of Dynamical Systems 7 (1), 129Ц146 (2008).
[36] G. Dvila Rascn and Yu. Vorobiev, A Hamiltonian approach for skew-product dynamical systems, Russian J. of Math. Phys. 15 (1), 35Ц44 (2008).
[37] B.L. Davis and A. Wade, Nonlinearizability of certain Poisson structures, Travaux Mathematiques, 16, 69Ц85 (2005).
[38] B.A. Dubrovin, M. Giordano, G. Marmo, and A. Simoni, Poisson Brackets on presymplectic manifolds, Intern. J. Moden Phys. 8, 3747Ц3771 (1993).
[39] J.-P. Dufour, Linarisation de certaines structures de Poisson, J. Diff. Geom. (2), 415Ц428 (1990).
[40] J.-P. Dufour and N.T. Zung, Poisson structures and their normal forms, Birkhuser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 2005, 321 p.
[41] R.L. Fernandes, Connections in Poisson geometry I: Holonomy and invariants, J.
Differential Geom. 54 (2), 303Ц365 (2000).
[42] R.L. Fernandes, Lie Algebroids, Holonomy, and characteristic>
170, 119Ц179 (2002).
[43] R.L. Fernandes, The symplectization functor, Real Soc. Mat. Esp. 11, 67Ц82 (2008).
[44] V.L. Ginzburg, Equivariant Poisson cohomology and a spectral sequence asociated with a momentum map, Internat. J. Math. 10 (8), 977Ц1010 (1999).
[45] V.L. Ginzburg and A. Golubev, Holonomy on Poisson manifolds and the modular>
[46] M. Gotay, R. Lashof, J. Sniatycki, and A. Weinstein, Closed forms on symplectic fiber bundles, Comment. Math. Helv. 58, 617Ц621 (1983).
[47] V. Guillemin, E. Lerman, and S. Sternberg, Symplectic fibrations and multiplicity diagrams, Cambridge Univ. Press., Cambridge, 1996.
[48] V.M. Itskov, M. Karasev, and Yu.M. Vorobjev, Infinitesimal Poisson geometry, Amer. Math. Soc. Transl. (2), AMS, Providence, RI, 1998, Vol. 187, pp. 327Ц360.
[49] E.G. Kalnins, G.C. Williams, W. Miller, Jr., and G.S. Pogosyan, Superintegrability in three-dimensional Euclidean space, J. Math. Phys. 40, 690Ц708 (1999).
[50] E.G. Kalnins, W. Miller, and G.S. Pogosyan, Superintegrability on the 2Dimensional Hyperboloid, J. Math Phys. 38, p. 5416 (1997).
[51] M. Karasev, Noncommutative algebras, nanostructures, and quantum dynamics generated by resonances. In: Quantum Algebras and Poisson Geometry in Mathematical Physics (M.V. Karasev, ed.), AMS, Providence, RI, 2005, pp. 1Ц18.
[52] M. Karasev and E. Novikova, Polynomial commutation relations for a quantum particle in electric and magnetic fields. In: Quantum Algebras and Poisson Geometry in Mathematical Physics (M.V. Karasev, ed.), AMS, Providence, RI, 2005, pp. 19Ц 136.
[53] M.V. Karasev and Yu.M. Vorobjev, Deformations and cohomology of Poisson manifolds, Lecture Notes in Math., Vol. 1453, SpringerЦVerlag, Berlin, 1990, pp. 271Ц289.
[54] M.V. Karasev and Yu.M. Vorobjev, Adapted connections, Hamilton dynamics, geometric phases, and quantization over isotropic submanifolds, Amer. Math. Soc.
Transl. (2), AMS, Providence, RI, 1998, Vol. 187, pp. 203Ц326.
[55] A. Lichnerowicz, Les varits de Poisson et leurs algbres de Lie associetes, J.
Differential Geom. 12, 253Ц300 (1977).
[56] K.C.H. Mackenzie, Lie groupoids and Lie algebroids in differential geometry. In:
LMS Lecture Note Ser., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987, Vol. 124.
[57] J.R. Marsden, T.S. Ratiu, and G. Raugel, Symplectic connections and the linearization of Hamiltonian systems, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 117, 329Ц 380 (1991).
[58] J.R. Marsden and A. Weinstein, Reduction of symplectic manifolds with symmetry, Rep. Math. Phys. 5 (1), 121Ц130 (1974).
[59] K.R. Meyer, Symmetries and integrals in mechanics. In: Dynamical Systems (M.M. Peixoto, ed.), Academic Press, 1973, pp. 259Ц273.
[60] E. Miranda and N.T. Zung, A note on equivariant normal forms of Poisson structures, Math. Research Letters 13 (6), 1001Ц1012 (2006).
[61] P. Monnier and N.T. Zung, Levi decomposition for smooth Poisson structures, J.
Diferential Geom. 68 (2), 347Ц395 (2004).
[62] E. Miranda, Some rigidity results for symplectic and Poisson group actions, Publ.
de la Real Sociedad Matemtica Espaola 11, 176Ц182 (2007).
[63] P. Monnier, Poisson cohomology in dimension two, Israel J. Math. 129, 189Ц2(2002).
[64] P. Monnier and R.L. Fernandes, Linearization of Poisson brackets, Lett. Math. Phys.
69 (1), 89Ц114 (2004).
[65] R. Montgomery, Canonical formalism of a>
[66] R. Montgomery, J.E. Marsden, and T. Ratiu, Gauged LieЦPoisson structures. In:
Fluids and Plasmas: Geometry and Dynamics (J. Marsden, ed.), Cont. Math. 28, 101Ц114 (1984).
[67] J.-P. Ortega and T.S. Ratiu, Momentum maps and Hamiltonian reduction. In:
Progress in Math., Birkhuser Boston Inc., Boston, 2004, Vol. 222.
[68] P. Stefan, Accessible sets,orbits, and foliations with singularities, Proc. London Math. Soc. (3) 29, 699Ц713 (1974).
[69] S. Sternberg, Minimal coupling and the symplectic mechanics of a>
[70] H.J. Sussmann, Orbits of families of vector fields and integrability of distributions, Trans. Amer Math. Soc. 180, 171Ц188 (1973).
[71] I. Vaisman, Remarks on the LichnerowiczЦPoisson cohomology, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 40 (4), 951Ц963 (1990).
[72] I. Vaisman, Lectures on the geometry of Poisson manifolds, in Progress in Math., Birkhuser, Boston, 1994, Vol. 118, 205 p.
[73] I. Vaisman, Coupling Poisson and Jacobi structures on foliated manifolds, Intern.
J. of Geometric Methods in Modern Physics 1 (5), 607Ц637 (2004).
[74] Yu. Vorobjev, Coupling tensors and Poisson geometry near a single symplectic leaf.
In: Lie algebroids and related topics in differential geometry, Banach Center Publ., Polish Acad. Sci., Warsaw, 2001, Vol. 54, pp. 249Ц274.
[75] Yu. Vorobjev, On Poisson realizations of transitive Lie algebroids, J.of Nonlinear Math. Phys. 11, 43Ц48 (2004).
[76] Yu. Vorobjev, Poisson structures and linear Euler systems over symplectic manifolds, Amer. Math. Soc. Transl. (2), AMS, Providence, RI, 2005, Vol. 216, pp. 137Ц239.
[77] Yu. Vorobjev, Poisson equivalence over symplectic leaf, Amer. Math. Soc. Transl.
(2), AMS, Providence, RI, 2005, Vol. 216, pp. 241Ц277.
[78] Yu. Vorobiev, Averaging of Poisson structures, American Inst. of Phys. 1079, 235Ц 240 (2008).
[79] A. Wade, Poisson fiber bundles and coupling Dirac structures, Annals of Global Analysis and Geometry 33 (3), 207Ц217 (2008).
[80] A. Weinstein, The local structure of Poisson manifolds, J. Diff. Geom. 18, 523Ц5(1983).
[81] A. Weinstein, Symplectic groupoids and Poisson manifolds, Bull. Amer. Math. Soc.
16, 101Ц104 (1987).
[82] A. Weinstein, Linearization Problem for Lie algebroids and Lie groupoids, Lett.
Math. Phys. 52, 93Ц102 (2000).
[83] P. Xu, Poisson cohomology of regular Poisson manifolds, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 42 (4), 967Ц988 (1992).
[84] N.T. Zung, A geometric proof of ConnТs linearization theorem for analytic Poisson structures, Preprint math. (2002) SG/0207263.
[85] N.T. Zung, Levi decomposition of analytic Poisson structures and Lie algebroids, Topology 42 (6), 1403Ц1420 (2003).