Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по физике
На правах рукописи
АНДРЕЕВ Валерий Филиппович
ПЕРЕНОС ТЕПЛА В ПЛАЗМЕ ТОКАМАКА В ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССАХ ПРИ ЭЦР НАГРЕВЕ
01.04.08 - физика плазмы А В Т О Р Е Ф Е Р А Т диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
МОСКВА 2010
Работа выполнена в Институте физики токамаков Российского научного центра УКурчатовский институтФ
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Батанов Г.М.
доктор физико-математических наук, профессор Дмитриев В.И.
доктор физико-математических наук, Пастухов В.П.
Ведущая организация:
Учреждение Российской академии наук Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН
Защита состоится л 2010 г. в часов на заседании диссертационного совета Д520.009.02 по адресу: 142190, г. Москва, пл.
Курчатова д.1, РНЦ УКурчатовский институтФ.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РНЦ УКурчатовский институтФ.
Автореферат разослан л 2010 г.
Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук А.В. Демура I.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
В диссертации представлены результаты исследования переноса тепла в плазме токамака в переходных процессах при электронно-циклотронном резонансном нагреве (ЭЦРН) на основе решения обратных задач. Поставлены и решены обратные задачи для широкого класса задач восстановления распределенных параметров плазмы в токамаке. В экспериментах на нескольких установках обнаружено аномально быстрое изменения переноса тепла после включения/отключения ЭЦР нагрева. Показана связь самосогласованного профиля давления плазмы в токамаке и аномально быстрого изменения переноса тепла. Исследовались условия формирования электронного внутреннего транспортного барьера (ВТБ), получены режимы с электронным ВТБ после отключения нецентрального ЭЦР нагрева.
Актуальность темы. Изучение переноса тепла и частиц является важной задачей физики плазмы токамака особенно для будущих термоядерных реакторов. Исторически изучать транспорт начинали с вычисления таких глобальных величин, как время удержания энергии E и время удержания частиц P, которые могли быть измерены экспериментально. Это привело к созданию скейлингов для E в терминах инженерных параметров (полный ток в плазме, тороидальное магнитное поле, большой и малый радиус плазмы, коэффициент запаса устойчивости на границе и т.д.).
С развитием диагностик стали изучать локальные характеристики переноса тепла и частиц. Были разработаны транспортные модели баланса энергии и частиц в установках токамак. При своей относительной простоте они оказались чрезвычайно гибкими и удобными для изучения медленных, эволюционных процессов в тороидальной плазме. Была создана УнеоклассическаяФ теория переноса в аксиально-симметричных тороидальных системах, в которой показано, что усложнение конфигурации магнитного поля, и связанное с этим усложнение траекторий частиц, приводят к существенному neo увеличению коэффициентов переноса ineo и e. Изменяется также характер их зависимости от частоты столкновений.
Однако расчеты энергобаланса на основе неоклассической модели neo коэффициентов переноса ineo и e и анализ экспериментальных данных, проведенные в 70-х годах показали, что результаты расчетов завышают электронную температуру и энергетическое время жизни плазмы в целом. Это указывает на существование потерь по электронному и ионному каналу, которые моделью не учитываются. В дальнейшем эти дополнительные потери были названы УаномальнымиФ.
Для согласования транспортной модели с экспериментом в нее включают an аномальную теплопроводность электронов e и ионов ian, т.е. формулы для потоков тепла электронов и ионов принимают следующий вид:
Ti Te an qi = -(ineo + ian )n, qe = -(ineo + e )n. (1) an При этом величины аномальных коэффициентов e и ian в различных режимах могут отличаться в несколько раз.
Физические причины аномального переноса связаны с турбулентностью плазмы. В ряде работ для объяснения этого явления привлекаются модели, основанные на различных неустойчивостях плазмы. В других работах используется более простой эмпирический подход. Однако задача нахождения коэффициентов переноса в плазме токамака до сих пор остается актуальной.
При разработке моделей коэффициентов переноса важную информацию дает анализ экспериментальных данных. Однако при обработке экспериментов возникают большие трудности. Например, анализ стационарных состояний позволяет получать достаточно надежную информацию об общем балансе тепла. Если тепловой поток содержит диффузионную и конвективную части, то восстановить каждую часть теплового потока на стационаре невозможно.
Можно анализировать распространение различного рода возмущений в плазме (пилообразные колебания, модуляция газонапуска, инжекция пеллеты, лазерная абляция примесей, модуляция нагрева и т.д.). Однако сами возмущения могут изменять коэффициенты переноса и, в результате находится реакция коэффициентов переноса на данное возмущение. К тому же при анализе возмущенных экспериментальных данных, как правило, используются различного рода упрощающие предположения, как о самих коэффициентах переноса, так и, например, линеаризация уравнения для описания эволюции возмущения. Такие упрощающие предположения могут также привести к неправильной трактовке экспериментальных данных.
Дополнительной сложностью при вычислении коэффициентов переноса из экспериментальных данных является то, что в плазме токамака существуют внутренние транспортные барьеры - узкие зоны, в которых коэффициенты переноса в несколько раз меньше коэффициентов переноса в других областях плазменного шнура. Такая радиальная зависимость коэффициентов переноса существенно усложняет использование стандартных методик анализа эксперимента.
Все эти трудности подчеркивают необходимость разработки новых математических моделей и методов анализа экспериментальных данных, которые позволили бы восстановить детальную радиальную и временную эволюцию коэффициентов переноса. При этом желательно использовать самые общие предположения, как о самих коэффициента переноса, так и об уравнениях, с помощью которых описывается распространение возмущения в плазме токамака.
Отметим, что в этом направлении очень перспективным подходом является решение обратных задач, которые позволяют восстановить коэффициенты переноса и источники нагрева на основе анализа различных переходных процессов. Именно развитию и применению этого подхода для восстановления коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака уделяется основное внимание в диссертации.
Задачей диссертационной работы является изучение переноса тепла в плазме токамака в переходных процессах при ЭЦР нагреве на основе решения обратных задач. В диссертационной работе рассматриваются следующие основные направления исследований:
1. Постановка обратных задач и разработка численных алгоритмов восстановления коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака для уравнений транспортной модели.
2. Решение обратных задач для широкого класса задач восстановления распределенных параметров плазмы в токамаке.
3. Разработка математической модели для описания переходного процесса после включения и отключения электронно-циклотронного резонансного нагрева, включающая нелинеаризованное уравнение теплопроводности, локальную и нелокальную модель коэффициентов переноса.
4. Экспериментальное исследование переноса тепла и частиц в плазме токамака при переходных процессах после включения и отключения электронно-циклотронного резонансного нагрева.
5. Экспериментальное исследование условий формирования электронного внутреннего транспортного барьера в плазме токамака.
Апробация работы: Основные результаты работы докладывались автором и обсуждались на XX, XXII Международных конференциях МАГАТЭ по физике плазмы и УТС (Vilamoura 2004, Geneva 2008), на XXIV, XXVI, XXVII, XXVIII, XXX, XXXI, XXXIV Европейских конференциях по УТС и физике плазмы (Berchtesgaden 1997, Maastricht 1999, Budapest 2000, Funchal 2001, St.Petersburg 2003, London 2004, Warsaw 2007), на XXVI, XXVII, XXXI, XXXII, XXXIII, XXXIV Звенигородских конференциях по физике плазмы и УТС (1999, 2000, 2004, 2005, 2006, 2007), на X, XI Международных конференциях по физике плазмы (Alushta 2004, Alushta 2006), на Международных конференциях по СВЧ волнам в плазме в Н.Новгороде (1999, 2002, 2006), на Международной конференции по обратным задачам (Москва 1991), на 9th Европейскоамериканском рабочем совещании по транспорту (Cordoba 2002), на XIII объединенном совещании по электронно-циклотронному излучению и ЭЦР нагреву (Н.Новгород 2004), на X техническом совещании МАГАТЭ по физике Н-моды и транспортным барьерам (St.Petersburg 2005), на научных семинарах отдела Т, ИЯС, РНЦ УКурчатовский институтФ (1993-2009), на научном семинаре токамака JET (Калэм, Великобритания, 2003-2007), на научном семинаре токамака ASDEX Upgrade (Гаршинг, Германия, 2002, 2003, 2004), на научном семинаре токамака TEXTOR (Юлих, Германия, 2006, 2007), на научном семинаре токамака TCV (Лозанна, Швейцария, 2001).
Публикации.
По материалам диссертации опубликовано 39 работ, 14 в реферируемых журналах, из них 14 из списка ВАК.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из Введения, пяти глав, Заключения и списка литературы.
Общий объем диссертации составляет 298 страниц, включая 96 рисунков, таблицы и список литературы из 199 наименований.
II. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор литературы по рассматриваемым вопросам, формулируются основные задачи и цели работы, приводится структура диссертации.
В первой главе задача восстановления коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака формулируется, как обратная задача для системы транспортных уравнений. Применительно к обратным задачам физики плазмы численно реализован градиентный алгоритм минимизации функционала невязки на основе метода итерационной регуляризации.
В з1 обсуждаются общие вопросы применения метода итерационной регуляризации для решения некорректных обратных задач теплообмена: а) построение градиента функционала невязки; б) условия регуляризуемости итерационных методов; в) выбор параметра регуляризации; г) учет априорной информации о решении; д) модификация градиентных методов для решения многопараметрических задач.
Во втором параграфе формулируется обратная задача для восстановления коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака по экспериментальным измерениям плотности, электронной и ионной температур.
Эволюция плазменных параметров описывается транспортной моделью с неизвестными коэффициентами переноса и источниками нагрева и частиц:
n 1 + [n]= S, (1) t 3 1 5 n (nTe ) + (nTi )= qe + 2 Ten + n 2 t (2) = QOH + Qe - Qei + PEC, 3 1 5 n (nTi ) + (nTi )= Qi + Qei, (3) qi + 2 Tin 2 t n B E 1 4 = c, (B )= j. (4) t c где - радиус магнитной поверхности, n(,t) - плотность электронов, Te(,t) - температура электронов, Ti(,t) - температура ионов, B(,t) - полоидальное магнитное поле, E(,t), j(,t) - тороидальное электрическое поле и ток, qe, qi - электронный и ионный поток тепла, n - поток частиц, PEC, QOH, Qe, Qi, Qei, S - различные стоки и источники тепла и частиц.
Сформулируем обратную задачу. Будем предполагать, что транспорт тепла и частиц в токамаке описывается уравнениями транспортной модели (1)(4). Также будем полагать, что поток частиц n имеет следующую структуру:
n n = D + dr = -Dn + nn, (5) а тепловые потоки qe, qi имеют структуру:
Te Ti qe = -ne +enTe, qi = -ni +inTi. (6) где Dn - коэффициент диффузии, n - скорость пинчевания частиц, e, i - коэффициенты теплопроводности электронов и ионов, e, i - скорости конвективного переноса тепла для электронов и ионов. Поэтому основным элементом в структуре потоков (5), (6) являются неизвестные коэффициенты переноса Dn, n, e, i, e, i.
Рассмотрим, основанный на решении обратных задач, подход к нахождению коэффициентов переноса и неизвестных источников для уравнений транспортной модели (1)-(4). Предположим, что имеются экспериментальные измерения плотности nexp(i,t ), электронной температуры j Teexp(i,t ) и ионной температуры Tiexp(i,t ) в нескольких точках по радиусу j j i, i = 1, N и в несколько моментов времени t, j = 1, M.
j Запишем следующий функционал невязки:
N M J = [Te(i,t ) - Teexp(i,t )] + i j j i =1 j =N M + [Ti j (7) (i,t ) - Tiexp(i,t )] + i j i =1 j =N M + [n(i,t ) - nexp(i,t )].
i j j i =1 j =где , i, i - весовые множители, которые выбираются в соответствии с i достоверностью экспериментальных данных по каждому каналу измерения;
Te(,t), Ti (,t) и n(,t) - расчетные величины, найденные из решения системы (1)-(4). Таким образом, функционал невязки (7) отражает разницу между транспортной моделью и экспериментом.
Постановка обратной задачи.
1) Пусть транспорт тепла и частиц в плазме токамака описывается уравнениями транспортной модели (1)-(4).
2) Пусть поток частиц и тепловые потоки имеют вид (5), (6).
3) Пусть имеются экспериментальные измерения плотности nexp(i,t ), j электронной температуры Teexp(i,t ) и ионной температуры Tiexp(i,t ).
j j 4) Требуется найти коэффициенты переноса D, n, e, i, e, i, источники частиц S и тепла QOH, Qe, Qi такие, чтобы решение Te(,t), Ti(,t) и n(,t) системы (1)-(4) доставляло минимум функционалу невязки (7).
Таким образом, задача нахождения неизвестных коэффициентов переноса и источников нагрева в уравнениях (1)-(4) сводится к минимизации функционала невязки (7).
В з3 главы I описывается градиентный метод минимизации функционала невязки (7) и восстановления коэффициента теплопроводности, скорости конвекции и источника нагрева в уравнении для электронной температуры (2).
Для этого используется параметризация искомых величин. При построении градиента функционала невязки, формулируется задача для приращения температуры и сопряженная краевая задача для сопряженной переменной.
Осуществляется модификация градиентного метода наискорейшего спуска для решения многопараметрической задачи.
Четвертый параграф посвящен численной реализации градиентного метода минимизации функционала невязки (7) в конечномерном пространстве, которое порождается разностной аппроксимацией исходного уравнения теплопроводности (2). При этом в разностном виде формулируется задача для приращения температуры, сопряженная краевая задача для сопряженной переменной и выводится формула для градиента функционала невязки.
В з5 предлагается метод, позволяющий учесть эволюцию равновесия плазмы с некруглым поперечным сечением при решении обратной задачи для системы уравнений транспортной модели (1)-(4). Метод основан на приближении эволюции двумерного равновесия плазмы электродинамическими моментами в каждый момент времени.
На основе разработанных методов и численных алгоритмов, изложенных в з1-з5 первой главы, был создан численный код COBRA - решение обратных задач для восстановления распределенных параметров плазмы в токамаке, учитывающий эволюцию равновесия плазмы, в том числе с некруглым поперечным сечением.
Во второй главе диссертации на нескольких модельных задачах изучается возможность восстановления коэффициентов переноса и правых частей при различных предположениях о функциональном виде неизвестных величин. Исследуется единственность восстановления коэффициентов переноса и источников нагрева в зависимости от погрешности в экспериментальных данных. Формулируется и решается несколько типов обратных задач актуальных в физике плазмы токамака.
В з1 изучается обратная задача для уравнения теплопроводности в цилиндрических координатах (2). Рассматривается задача нахождения коэффициентов теплопроводности и конвективного переноса частиц в классе кусочно-постоянных функций, имеющих границу разрыва, которая также подлежит определению. Из эксперимента считается известной температура в ряде внутренних точек в некоторые моменты времени. Так как экспериментальная информация задана с ошибкой, то одним из важных вопросов при решении обратных задач является исследование единственности решения. Этот вопрос также подробно исследуется в данном параграфе.
На рис.1. приведены линии уровня функционала невязки J(K,V) с K*=1, V*=10 и нулевом источнике Q=0, J(K*,V*)=0 для следующей модельной краевой задачи:
Ut = KUxx +VUx, Ux (0,t) = 0, U(1,t) = 0, (8) U (x,0) = (x), 0 x 1, 0 t tm.
Где K - коэффициент теплопроводности, V - конвективный член, (K*=1, V*=Ц решение задачи (8)). Из рисунка видно, что функционал невязки (7) имеет два вытянутых оврага. Данное обстоятельство существенно замедляет сходимость градиентных методов минимизации функционала невязки. Так как экспериментальные данные заданы с ошибкой, то наличие двух оврагов может привести к тому, что решение обратной задачи будет неединственным.
Рис.1. Линии уровня функционала J(K,V) при K*=1, V*=10, Q=0, J(K*,V*)=0.
Во втором параграфе предлагается новый метод восстановления структуры теплового потока (6), т.е. нахождения его диффузионной T Wdiff = -n и конвективной части Wconv =nT. Метод основан на анализе r переходных процессов с большой амплитудой возмущения плазменных параметров после включения и отключения дополнительного ЭЦР нагрева.
Коэффициент теплопроводности , скорость конвективного переноса тепла и источник ЭЦР нагрева PEC находятся из решения обратной задачи, которая формулируется для исходного уравнения теплопроводности (2).
В з3 главы II изучается задача восстановления коэффициентов теплопроводности , конвективного переноса и электропроводности в плазме токамака по экспериментальным измерениям температуры. Обратная задача формулируется для системы двух одномерных нелинейных уравнений - электронной температуры (2) и магнитного поля (4). Источник омического нагрева QOH находится из решения уравнения диффузии магнитного поля (4), связанного с уравнением для температуры (2) через зависимость коэффициента электропроводности от температуры. В результате исследований выяснено, в каких режимах удержания и нагрева плазмы важен учет уравнения для магнитного поля (4) при восстановлении коэффициентов переноса , и .
В четвертом параграфе рассматриваются два алгоритма вычисления коэффициента диффузии и скорости пинчевания частиц в плазме токамака при импульсном напуске газа. Первый алгоритм учитывает знание стационарных распределений плотности до начала газонапуска и после окончания газонапуска, что дает возможность определения величины газонапуска.
Решается серия прямых задач и в результате определяются параметры, остававшиеся неизвестными.
Второй алгоритм определения коэффициента диффузии и скорости пинчевания частиц основан на решении обратной задачи, который работает при самых общих предположениях. Для описания переходного процесса после импульсного газонапуска используется уравнение (1) транспортной модели, в которой неизвестными считаются коэффициент диффузии Dn, скорость пинчевания частиц n, а также величина источника частиц S. Для восстановления неизвестных величин формулируется и решается обратная задача.
В третьей главе диссертации разрабатывается математическая модель для описания переходного процесса после включения и отключения ЭЦР нагрева, и анализируются две модели коэффициентов переноса - локальная и нелокальная. Исследуется точность восстановления коэффициентов переноса и профиля ЭЦР мощности, в зависимости от погрешности в измерениях электронной температуры. Решается обратная задача восстановления профиля ЭЦР нагрева, когда в качестве экспериментальной информации используются данные мягкого рентгеновского излучения.
В з1 формулируется математическая модель для описания переходного процесса после включения/отключения ЭЦР нагрева в токамаке. Переходный процесс рассматривается на конечном, но достаточно малом интервале времени. Небольшой отрезок позволяет пренебречь изменением интегральных параметров плазмы и записать нелинеаризованное уравнение теплопроводности (2) в приращениях от стационарного состояния. Модель включает уравнение ~(r,t) теплопроводности для вариации электронной температуры T и две модели коэффициентов переноса.
окальная модель - когда коэффициенты переноса в потоке тепла (6) зависят только от локальных параметров плазмы:
e = e(n,T,n,T ), e =e(n,T,n,T ). (9) В этом случае уравнение (2) для описания переходного процесса после включения/отключения ЭЦР нагрева имеет следующий вид:
~ 3 1 T 1 ~ ~ (nST )= rK - (rVT )+ PEC + 2 t r r r r r (10) ~, +[(POH T )S + (Q T )S]T с коэффициентами переноса:
S S S K = nS [e + (e T )S T + (e T )S T ], (11) S S S V = nS [e + (e T )S T + (e T )S T ].
где индекс s относится к стационарным значениям величин.
Нелокальная модель - когда коэффициенты переноса в потоке тепла (6) могут изменяться в любом месте плазменного шнура, даже если локальные параметры плазмы в данном месте остаются неизменными:
S S ~ ~ e(r,t) = e (r) + e(r,t), e(r,t) =e (r) +e(r,t), (12) 0, t tS ~ 0, t tS ~ e(r,t) =, e(r,t) = ~ (r), t > tS.
~ (r), t > tS e e В этом случае уравнение (2) для описания переходного процесса после включения/отключения ЭЦР нагрева имеет следующий вид:
~ 3 1 T 1 ~ ~ (nST )= rK - (rVT )+ PEC + 2 t r r r r r (13) +[POH + Q]+[P - Pu], S 1 T 1 ~ ~ S P = rK (rVT ).
, Pu = r r r r r С коэффициентами переноса:
~ S S ~ K(r) = K (r) + K(r) = nS (r) [e (r) + e(r)], (14) ~(r) S S ~ V (r) = V (r) +V = nS (r) [e (r) +e(r)].
Разработанная модель переходного процесса после включения и отключения ЭЦР нагрева используется для анализа различных экспериментов и восстановления коэффициентов переноса , и источника ЭЦР нагрева PEC.
Во втором параграфе анализируется точность восстановления профиля вложенной ЭЦР мощности PEC, коэффициента теплопроводности и скорости конвективного переноса в зависимости от погрешности в измерениях электронной температуры. Проведенные численные исследования позволили дать оценку точности восстановления искомых величин и сформулировать необходимые требования к измерениям электронной температуры. Найдены коэффициент теплопроводности , скорость конвективного переноса тепла и ЭЦР нагрев PEC, а также получены оценки точности их восстановления для серии экспериментов с нецентральным ЭЦР нагревом на токамаке Т-10.
В з3 третьей главы рассматривается метод вычисления профиля вложенной ЭЦР мощности на основе решения обратной задачи для уравнения теплопроводности. Анализируется переходный процесс после отключения ЭЦР нагрева. Данный процесс рассматривается на конечном, но достаточно малом интервале времени. Небольшой отрезок позволяет пренебречь изменением интегральных параметров плазмы и записать нелинеаризованное уравнение теплопроводности в приращениях от стационарного состояния. В связи с тем, что измерения электронной температуры по 2-ой гармонике ЭЦИ не всегда имели необходимое пространственное разрешение, то для восстановления профиля ЭЦР нагрева использовались данные рентгеновской диагностики, у которых было существенно лучшее пространственное разрешение.
В четвертом параграфе анализируется переходный процесс после отключения нецентрального ЭЦР нагрева в установке Т-10 на основе двух моделей коэффициентов переноса - локальной и нелокальной. Показано, что локальная модель коэффициентов переноса (9) не позволяет согласованно описать эволюцию электронной температуры в центре плазменного шнура и в области вложения ЭЦР мощности. В то время как нелокальная модель (12) описывает переходный процесс с хорошей точностью. Показано, что в переходном процессе скачком изменяются коэффициенты переноса по всему сечению плазмы (за время jump существенно меньшее времени удержания энергии E, вычисленного по балансу тепла).
В четвертой главе диссертации изучается аномально быстрое изменение переноса тепла в переходных процессах после включения/отключения ЭЦР нагрева. Показано, что изменение коэффициента теплопроводности происходит за время jump, которое существенно меньше времени удержания энергии E.
Поэтому при изучении переноса тепла на диффузионных временах вводится термин - скачок коэффициентов переноса. Исследуется связь аномально быстрого переноса тепла и самоорганизации профиля давления в плазме токамака. Показано, что гипотеза сохранения самосогласованного профиля давления позволяет объяснить эксперименты с ЭЦР нагревом.
В первом и втором параграфе анализируются результаты двух серий экспериментов по исследованию аномально быстрого переноса тепла в переходных процессах после включения и отключения ЭЦР нагрева на Т-10. На установке Т-10 имеется двухчастотная система гиротронов (130 ГГц и 140 ГГц), которая позволяет проводить различные эксперименты по изучению электронного транспорта в плазме токамака. Отметим, что характерное время выхода ЭЦР мощности на максимальное значение после включения гиротрона составляет ~150-200 мкс, а время вывода ЭЦР мощности после отключения гиротрона ~50 мкс (питание от батарей системы УБЕТОНФ). Поэтому в экспериментах удается сформировать крутой фронт роста электронной температуры, что позволяет исключить влияние изменения мощности источника нагрева при анализе быстрых переходных процессов.
В первой серии экспериментов одна группа гиротронов (140 ГГц) подавляла пилообразные колебания за счет нецентрального ЭЦР нагрева. После подавления пилообразных колебаний включался еще один гиротрон (130 ГГц) от БЕТОНа, который вкладывал мощность в центр плазмы.
В этих экспериментах было обнаружено, что за время jump, много меньшее времени удержания энергии E, возникает аномальный поток тепла, за счет которого большая часть ЭЦР мощности выносится из зоны центрального ЭЦР нагрева на периферию. Эксперименты показали, что аномальный поток тепла практически не зависит от локальных параметров плазмы (плотности, температуры и т.д.), а определяется только величиной ЭЦР мощности. Сам поток тепла является, в основном, конвективным потоком частиц, который возникает после включения ЭЦР нагрев (известный эффект Уdensity pump-outФ).
Коэффициенты переноса при этом возрастают в ~10-20 раз за время не более jump500 мкс при времени удержания энергии E~10 мс.
Во второй серии экспериментов изучалось распространение тепла в переходном процессе после отключения нецентрального ЭЦР нагрева, с помощью которого подавлялись пилообразные колебания. Был обнаружен обратный эффект - аномально быстрое уменьшение коэффициентов переноса по всему сечению плазмы (улучшение удержания). Результаты подтверждены анализом экспериментов на токамаках TEXTOR, ASDEX Upgrade.
В з1 анализируются эксперименты по изучению переноса тепла в переходных процессах после отключения нецентрального ЭЦР нагрева на токамаках Т-10, TEXTOR и ASDEX Upgrade. Для этого на установках на Т-10 и TEXTOR были проведены одинаковые эксперименты, для которых восстанавливались коэффициенты переноса и источник нагрева из решения обратных задач. Далее в параграфе приведены результаты анализа экспериментов по изучению переноса тепла в переходном процессе после включения/отключения ЭЦР нагрева на токамаке ASDEX Upgrade. При этом использовались два различных подхода: 1) прямое моделирование с эмпирической моделью критического градиента для коэффициентов переноса;
2) решение обратных задач.
Сравнение результатов анализа экспериментов для трех различных установок позволили обосновать вывод об аномально быстром изменении переноса тепла в переходном процессе после отключения нецентрального ЭЦР нагрева - коэффициенты переноса уменьшаются по всему сечению плазмы (отклик на внешнее воздействие).
Во втором параграфе изучается аномальный поток тепла, который возникает при включении центрального ЭЦР нагрева в режимах с предварительно подавленными пилообразными колебаниями в Т-10. Обработка экспериментов на основе решения обратных задач позволила аккуратно вычислить вложенную ЭЦР мощность по скачку производной электронной температуры. На основе подробного анализа многочисленных экспериментов можно сделать следующий вывод. После включения центрального ЭЦР нагрева аномально быстро растут коэффициенты переноса, причем характерное время изменения коэффициентов jump~200300 мкс. Дополнительные исследования показали, что возникает конвективный поток, который выносит горячие частицы из зоны центрального ЭЦР нагрева на периферию плазмы.
В з3 главы IV эксперименты с центральным и нецентральным ЭЦР нагревом объясняются на основе самоорганизации плазмы, приводящей к существованию самосогласованных профилей давления в токамаке. На рис.приведена эволюция экспериментальных профилей электронной температуры, плотности и нормированного давления плазмы для режима, в котором включался центральный ЭЦР нагрев.
Рис.2. (a) - эволюция центральной электронной температуры и средней хордовой плотности при центральном ЭЦР нагреве; (b) - профили электронной температуры Te; (c) - профили плотности ne; (d) - профили нормированного давления PN для моментов времени, показанных вертикальными пунктирными линиями на рисунке (а).
Из рисунка 2 видно, что, несмотря на большое изменение электронной температуры Te и плотности плазмы ne при центральном ЭЦР нагреве, нормированный профиль давления PN остается неизменным. Локальный ЭЦР нагрев стремится исказить самосогласованный профиль давления, поэтому в плазме возникают дополнительные потоки тепла, которые приводят к восстановлению самосогласованного профиля давления. Например, при быстром росте центральной электронной температуры, вызванным ЭЦР нагревом, плотность в зоне нагрева должна спадать, так как именно дополнительный конвективный поток частиц позволяет обеспечить сохранение самосогласованного профиля давления. Это хорошо можно наблюдать на рис.2.
В четвертом параграфе приведены результаты применения модели Упесочной кучиФ для описания аномально быстрого распространения тепла из зоны нагрева на периферию после включения центрального и нецентрального ЭЦР нагрева и формирования критического градиента профиля температуры в омическом режиме. Проведенное сравнение показали хорошее согласие результатов моделирования и экспериментальных данных.
Пятая глава диссертации посвящена экспериментальному исследованию условий формирования электронного ВТБ в плазме токамака. Изучается влияние профиля запаса устойчивости q(r) на формирование ВТБ в токамаках Т-10 и TEXTOR. Приведены результаты различных экспериментов с ЭЦР нагревом и их анализ, позволяющие выявить основные параметры, влияющие на формирование электронного ВТБ.
В з1 анализируется очень интересное явление, которое впервые получено в режимах с отключением нецентрального ЭЦР нагрева в токамаке Т-10. После отключения нецентрального ЭЦР нагрева электронная температура Te в центре плазмы падала не сразу, как это должно быть, если бы коэффициент теплопроводности e постоянен во времени для всей плазмы после отключения нагрева. В экспериментах температура в центре оставалась постоянной в течение нескольких десятков миллисекунд, и только потом начинала падать.
Иногда наблюдался рост Te в центре плазмы, при этом длительность задержки спада d температуры может составлять несколько времен удержания энергии E (рис.3).
Рис.3. Эволюция центральной электронной температуры Te(=0.1) в зоне электронного ВТБ, температуры в зоне нагрева Te(=0.36) снаружи от ВТБ и мощности нецентрального ЭЦР нагрева для импульса №32913 со следующими параметрами: Bt=2.33 Tл, Ip=180 кА, n=1.51019м-3, PECRH=550 кВт.
Тот факт, что центральная температура остается постоянной в течение некоторого времени после отключения нагрева, а температура вдали от центра уменьшается и, следовательно, градиент электронной температуры Te увеличивается, при постоянной мощности внутри центральной зоны плазмы (только омической), означает, что коэффициенты переноса должны уменьшаться по всему сечению плазмы. Это было подтверждено расчетами OH стационарных коэффициентов теплопроводности e для омической стадии и EC e в конце стадии ЭЦР нагрева (код ASTRA) и восстановлением коэффициента теплопроводности e для переходной стадии после отключения нецентрального ЭЦР нагрева (код COBRA, решение обратной задачи). На рис.приведен коэффициент теплопроводности e для нескольких стадий разряда.
OH Рис.4. Электронная теплопроводность e на омической стадии (пунктирная EC кривая), e в конце стадии ЭЦР нагрева (сплошная кривая) и e после отключения ЭЦР нагрева (штрихпунктирная кривая). Восстановленный профиль вложенной мощности ЭЦР нагрева Pab.
Анализ этого явления показал, что длительность задержки d спада центральной температуры зависит от величины локального магнитного шира S=r/qq/r около рациональной поверхности q=1, который при этом близок к нулю. Измерения флуктуаций плотности в транспортном барьере корреляционным рефлектометром, а также численное моделирование эволюции турбулентности показали, что сразу после отключения ЭЦР нагрева уровень флуктуаций снижается, что подтверждает выводы о формировании ВТБ. Таким образом, улучшение удержания внутри зоны электронного ВТБ, который был сформирован после отключения нецентрального ЭЦР нагрева, подтверждает тот факт, что для образования ВТБ основным фактором является профиль запаса устойчивости вблизи q1, а не введенная мощность.
Во втором параграфе приведены результаты экспериментов по оптимизации условий формирования электронного ВТБ при отключении нецентрального ЭЦР нагрева. При фиксированных параметрах плазмы от импульса к импульсу изменялось тороидальное магнитное поле, что приводило к смещению вклада ЭЦР мощности относительно поверхности q=1.
Показано, что при увеличении расстояния между поверхностью q=1 и вкладом ЭЦР мощности увеличивается длительность задержки d спада центральной температуры после отключения ЭЦР нагрева. Отметим, что при этом, по-видимому, уменьшается магнитный шир S в районе рациональной поверхности q=1 за счет уплощения плотности тока между q=1 и местом вклада мощности. Численные расчеты, проведенные по коду ASTRA, подтвердили это предположение.
Найдены оптимальные условия для формирования электронного ВТБ после отключения нецентрального ЭЦР нагрева, при которых d80 мс, что составляет 2-3 времени удержания энергии в омическом режиме с такими же параметрами. Изучение свойств электронного ВТБ проводилось с помощью инжекции углеродной пеллеты и включения дополнительного центрального ЭЦР нагрева на токамаке Т-10 (рис.5).
Рис.5. Временная эволюция нормированной температуры для нескольких радиусов после инжекции пеллеты на t798 мс и отключения нецентрального нагрева на t910 мс. TS(r) - стационарный профиль температуры перед инжекцией (импульс №43961). Стрелками показано положение ВТБ.
В з3 главы V анализируется распространение тепла после включения дополнительного центрального и нецентрального ЭЦР нагрева в режимах с предварительно подавленными пилообразными колебаниями (нецентральный ЭЦР нагрев). Приведенные оценки коэффициента теплопроводности в зоне электронного ВТБ показывают их очень низкое значение, что подтверждает факт, что именно нецентральный ЭЦР нагрев создает необходимые условия для формирования электронного ВТБ - низкий магнитный шир S в окрестности рациональной поверхности.
В четвертом параграфе обсуждаются различные причины образования электронного ВТБ, а также исследуется взаимосвязь между ВТБ и самосогласованным профилем давления. Представлена экспериментальная информация, накопленная на токамаках T-10 и TEXTOR. Приводятся доводы в пользу необходимости одновременного сосуществования обоих явлений.
Показано, что радиальное распределение коэффициентов переноса в плазме определяется необходимостью поддержания самосогласованного профиля давления при различных внешних воздействиях. Рассмотрена и обсуждена гипотеза о промежутках между турбулентными ячейками в окрестности рациональных поверхностей с низкими номерами m и n, позволяющая объяснить связь электронного ВТБ и рациональной поверхности.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.
III. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Научная новизна. Научная новизна, полученных в диссертации результатов, заключается в следующем.
1. Впервые задача восстановления коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака сформулирована как обратная задача для системы транспортных уравнений. Разработана математическая модель для описания переходного процесса после включения/отключения ЭЦР нагрева, которая включает нелинеаризованное уравнение теплопроводности, локальную и нелокальную модель коэффициентов переноса.
2. Реализованы численные методы решения обратных задач восстановления распределенных параметров в плазме токамака, включающие в себя градиентный алгоритм минимизации функционала невязки на основе метода итерационной регуляризации, параметрическое представление искомых величин и согласование разностных аппроксимаций уравнений на каждом этапе численного алгоритма. Предложен метод, позволяющий учесть эволюцию равновесия плазмы с некруглым поперечным сечением при решении обратной задачи для системы транспортных уравнений.
3. Исследована единственность и точность решения обратной задачи при восстановлении коэффициентов переноса и источников нагрева в зависимости от структуры функционала невязки и погрешности экспериментальных данных. Найдены условия, при которых из решения обратной задачи однозначно находится структура теплового потока - его диффузионная и конвективная части.
4. Впервые при изучении переноса тепла и частиц в плазме токамака использован подход, основанный на решении обратных задач для анализа переходных процессов. Поставлена и исследована обратная задача восстановления коэффициента теплопроводности, скорости конвекции и источника нагрева по измерениям электронной температуры плазмы, а также обратная задача восстановления коэффициентов теплопроводности, скорости конвекции и электропроводности для системы транспортных уравнений. Сформулирована и изучена обратная задача восстановления коэффициента диффузии, скорости пинчевания и источника частиц по измерениям электронной плотности. Предложен метод вычисления профиля ЭЦР мощности из экспериментальных данных на основе решения обратной задачи для переходного процесса после включения-отключения нагрева.
Сравнение с существующими методами нахождения профиля ЭЦР нагрева показало его высокую точность и эффективность.
5. Показано, что в переходном процессе после включения/отключения ЭЦР нагрева возникает аномально быстрое изменение переноса тепла за время jump, много меньшего времени E. После отключения нецентрального ЭЦР нагрева коэффициенты переноса уменьшаются по всему сечению плазмы, а после включения центрального ЭЦР нагрева возникает дополнительный конвективный поток тепла, выносящий тепло из зоны нагрева на периферию. Результаты подтверждены анализом многочисленных экспериментов на токамаках Т-10, TEXTOR и ASDEX Upgrade.
6. Показано, что величина и профиль запаса устойчивости q(r) вблизи рациональной поверхности в режимах с нецентральным ЭЦР нагревом является одним из основных факторов, влияющим на образование электронного ВТБ в токамаке. Создание вблизи рациональной поверхности области с низким магнитным широм S=r/qdq/dr0 позволяет наиболее эффективно формировать электронный ВТБ внутри этой области.
7. Получены режимы с электронным ВТБ после отключения нецентрального ЭЦР нагрева на токамаках Т-10 и TEXTOR. Показано, что в режимах с подавленными пилообразными колебаниями после отключения нецентрального ЭЦР нагрева формируется зона с улучшенным удержанием в центре плазмы. За счет оптимизации места вложения нецентрального ЭЦР нагрева удалось улучшить удержание в центре плазмы на токамаке Т-10 и поддерживать это состояние в течение 80 мс, что в 2-3 раза превосходит время удержания энергии в омическом режиме.
Научное и практическое значение работы Показанное автором аномально быстрое изменение переноса тепла в переходном процессе после включения/отключения ЭЦР нагрева вносит вклад в понимание процессов переноса в плазме токамака.
Проведенные экспериментальные исследования роли профиля запаса устойчивости q(r) вблизи рациональной поверхности q=1 в режимах с нецентральным ЭЦР нагревом на токамаке Т-10 показали, что профиль q(r) является одним из основных факторов, влияющим на образование электронного ВТБ в плазме токамака. Найдено, что создание вблизи рациональной поверхности области с dq/dr0 позволяет формировать электронный ВТБ внутри этой области наиболее эффективно.
Автором получены режимы с электронным ВТБ после отключения нецентрального ЭЦР нагрева на токамаках Т-10 и TEXTOR, которые показывают, что электронного ВТБ можно сформировать за счет изменения профиля запаса устойчивости q(r) и оптимизации места вложения нецентрального ЭЦР нагрева.
Разработанный автором новый подход анализа экспериментальных данных - восстановление коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака на основе решения обратных задач для системы транспортных уравнений, позволяет анализировать большие объемы информации при обработке экспериментов.
Созданная автором математическая модель для описания переходного процесса после включения/отключения ЭЦР нагрева позволяет анализировать различные переходные процессы при самых общих предположениях о коэффициентах переноса и источниках нагрева в плазме токамака.
Разработанный автором численный алгоритм восстановления распределенных параметров в плазме токамака, включающий градиентный алгоритм минимизации функционала невязки на основе метода итерационной регуляризации, параметрическое представление неизвестных величин и согласование разностных аппроксимаций уравнений на каждом шаге численного алгоритма позволяет его использовать для решения широкого класса обратных задач в физике плазмы.
Созданный автором, численный код COBRA может использоваться для анализа больших объемов экспериментальных данных и решения обратных задач для восстановления распределенных параметров плазмы в токамаке с учетом эволюции равновесия плазмы с некруглым поперечным сечением.
ичный вклад автора Эксперименты на термоядерных установках проводятся большими коллективами. Отдавая должное вкладу большого числа сотрудников и специалистов в подготовку и проведение экспериментов, необходимо отметить, что автор принимал непосредственное участие в проведении экспериментов на термоядерных установках в качестве ведущего программы, им создан пакет компьютерных программ для обработки экспериментальных данных. Во всех исследованиях, представленных в диссертации, ему принадлежит постановка научной задачи и метода исследований, обработка экспериментальных данных, анализ экспериментальных результатов и их интерпретация.
Достоверность и обоснованность результатов исследований основаны на анализе экспериментов, проведенных в широком диапазоне параметров плазмы на различных установках (Т-10, TEXTOR, ASDEX Upgrade, TCV, JET).
Полученные автором результаты прошли апробацию на российских и международных конференциях, опубликованы в ведущих отечественных и зарубежных журналах по физике плазмы.
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Применен новый метод восстановления коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака, основанный на решении обратных задач для системы транспортных уравнений, учитывающий эволюцию равновесия плазмы, в том числе с некруглым поперечным сечением.
2. Создана математическая модель для описания переходного процесса после включения/отключения ЭЦР нагрева, включающая нелинеаризованное уравнение теплопроводности, локальную и нелокальную модель коэффициентов переноса.
3. Реализован численный алгоритм восстановления распределенных параметров в плазме токамака, включающий градиентный метод минимизации функционала невязки на основе метода итерационной регуляризации, параметрическое представление неизвестных величин и согласование разностных аппроксимаций уравнений при решении обратной задачи.
4. Предложен метод вычисления профиля ЭЦР нагрева из экспериментальных данных на основе решения обратной задачи для переходного процесса после включения и отключения нагрева.
5. Обнаружено аномально быстрого изменения переноса тепла в переходных процессах после включения/отключения ЭЦР нагрева на токамаках Т-10, TEXTOR и ASDEX Upgrade. Показано, что после отключения нецентрального ЭЦР нагрева скачком уменьшаются, а после включения центрального нагрева скачком увеличиваются коэффициенты переноса по всему сечению плазмы за время jump, гораздо меньшее времени удержания энергии E.
6. Результаты исследований роли величины и профиля запаса устойчивости q(r) = 1 вблизи рациональной поверхности в режимах с нецентральным ЭЦР нагревом на токамаке Т-10, как одного из факторов, влияющих на образование электронного ВТБ в плазме токамака. Показано, что создание вблизи рациональной поверхности области с низким магнитных широм S=r/q dq/dr позволяет формировать электронный ВТБ внутри этой области наиболее эффективно.
7. Экспериментальное получение режимов с электронным ВТБ после отключения нецентрального ЭЦР нагрева на токамаках Т-10 и TEXTOR.
8. Разработка численного кода COBRA - решение обратных задач для восстановления распределенных параметров плазмы в токамаке, учитывающий эволюцию равновесия плазмы, в том числе с некруглым поперечным сечением.
Основные положения диссертации содержатся в следующих опубликованных работах:
1. Андреев В.Ф., Днестровский Ю.Н., Черкасов С.В. Определение коэффициента диффузии и скорости пинчевания в плазме токамака при импульсном напуске газа // Физика плазмы. - 1998. - Т.24. - N08. - С.690696.
2. Андреев В.Ф., Днестровский Ю.Н., Разумова К.А., Сушков А.В. Скачок транспортных коэффициентов при ЭЦР нагреве в токамаке Т-10 // Физика Плазмы. - 2002. - Т.28. - N05. - С.403-418.
3. Андреев В.Ф., Касьянова Н.В. Точность восстановления коэффициентов переноса и профиля ЭЦР нагрева в токамаке из решения обратных задач // Физика Плазмы. - 2005. - Т.31. - N09. - С.771-782.
4. Andreev V.F., Dnestrovskij Yu.N., Popov A.M. Reconstruction of Transport Coefficients from Tokamak Experimental Data // Nuclear Fusion. - 1993. - V.33.
Ц N03. - P.499-504.
5. Razumova K.A., Donn A.J.H., Andreev V.F., Hogeweij G.M.D., BelТbas I.S., Borschegovskij A.A., Dnestrovskij A.Yu., Chistyakov V.V., Jaspers R., Kislov A.Ya., IТlin V.L., Krupin D.A., Krylov S.V., Kravtsov D.E., Liang Y., Lysenko S.E., Maslov M.V., Min E., Myalton T.B., Notkin G.E., Ossipenko M.V., Piterskij V.V., Petrov D.P., Roi I.N., Ryzhakov D.V., Shelukhin D.A., Sushkov A.V., Trukhin V.M., Vershkov V.A., Westerhof E., T-10 team and TEXTOR team.
Reduced core transport in T-10 and TEXTOR discharges at rational surfaces with low magnetic shear // Nuclear Fusion. - 2004. - V.44. - P.1067-1074.
6. Dnestrovskij Yu.N., Razumova K.A., Donne A.J.H., Hogeweij G.M.D., Andreev V.F., BelТbas I.S., Cherkasov S.V., Danilov A.V., Dnestrovskij A.Yu., Lysenko S.E., Spakman G.W. and Walsh M. Self-consistency of pressure profiles in tokamaks // Nuclear Fusion. - 2006. - V.46. - N011. - P.953-965.
7. Razumova K.A., Andreev V.F., Kislov A.Ya., Kirneva N.A., Lysenko S.E., Pavlov Yu.D., Shafranov T.V. and T-10 team, Donn A.J.H., Hogeweij G.M.D., Spakman G.W., Jaspers R. and TEXTOR team and Kantor M. Tokamak plasma self-organization and possibility to have the peaked density profile in ITER // Nuclear Fusion. - 2009. - V.49. - P.065011 (6pp).
8. Андреев В.Ф., Днестровский Ю.Н., Лысенко С.Е., Разумова К.А., Сушков А.В. Определение профиля вложенной мощности при ЭЦР нагреве на токамаке Т-10 // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез. - 2000. - Вып.1. - С.116-120.
9. Касьянова Н.В., Андреев В.Ф. Модель Упесочной кучиФ для анализа быстрого переноса тепла после включения ЭЦР нагрева в токамаке Т-10 // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез. - 2009. - В.1.
Ц С.53-63.
10. Razumova K.A., Andreev V.F., Boshchegovskii A.A., Chistyakov V.V., Grashin S.A., Kakurin A.M., Kislov A.Ya., Krupin D.A., Lysenko S.E., Merezhkin V.G., Myalton T.B., Notkin G.E., Pavlov Yu.D., Petrov D.P., Poznyak V.I., Ossipenko M.V., Roi I.N., Savrukhin P.V., Sushkov A.V., Trukhin V.M., Tsaun S.V., Volkov V.V. and Zhuravlev V.A. Effect of the q(r) profile on electron transport barrier formation in the T-10 tokamak // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2003. - V.45. - P.1247-1260.
11. Andreev V.F., Dnestrovskij Yu.N., Ossipenko M.V., Razumova K.A. and Sushkov A.V. The ballistic jump of the total heat flux after ECRH switching on in the T-10 tokamak // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2004. - V.46. - P.319-335.
12. Kirov K.K., Andreev V.F., Leuterer F., Pereverzev G.V., Ryter F., Sushkov A.V.
and ASDEX Upgrade team. Analysis of ECRH switch on/off events in ASDEX Upgrade // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2006. - V.48. - P.245-262.
13. Razumova K.A., Andreev V.F., Donne A.J.H., Hogeweij G.M.D., Lysenko S.E., Shelukhin D.A., Spakman G.W., Vershkov V.A. and Zhuravlev V.A. Link between self-consistent pressure profiles and electron internal transport barriers in tokamaks // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2006. - V.48. - P.1373Ц1388.
14. Razumova K.A., Andreev V.F., Dnestrovskij A.Yu., Kislov A.Ya., Kirneva N.A., Lysenko S.E., Pavlov Yu.D., Poznyak V.I., Shafranov T.V., Trukhina E.V., Zhuravlev V.A. and T-10 team, Donn A.J.H., Hogeweij G.M.D. and RTP team.
Main features of self-consistent pressure profile formation // Plasma Phys.
Control. Fusion. - 2008. - V.50. P.105004 (13pp).
15. Danilov A.V., Dnestrovskij A.Yu., Andreev V.F., Cherkasov S.V., Dnestrovskij Yu.N., Lysenko S.E., Vershkov V.A. Particle transport simulations based on selfconsistency of pressure profiles in tokamaks // Problem of Atomic Science and Technology. Series: Plasma Physics (12). - 2006. - N06. - P.44-46.
16. Андреев В.Ф., Попов А.М. Обратные задачи определения коэффициентов переноса в плазме по экспериментальным измерениям температуры. - В сб.:
Вопросы кибернетики. Анализ больших систем / Под ред.: В.В. Федорова, В.Г. Карманова. М. - 1992. - С.18-33.
17. Андреев В.Ф., Попов А.М. Управление распределенными параметрами плазмы. - В сб.: Математические модели и оптимизация вычислительных алгоритмов / Под ред.: акад. А.Н. Тихонова, акад. А.А. Самарского. М. Издво МГУ. - 1993. С.192-118. Андреев В.Ф., Попов А.М. Обратные коэффициентные задачи для транспортных уравнений физики плазмы. - В сб.: Математическое моделирование и решение обратных задач математической физики / Под ред.: акад. А.Н. Тихонова и акад. А.А. Самарского. Изд-во МГУ. - 1994. - С.160-171.
19. Андреев В.Ф., Попов А.М.. Восстановление коэффициентов переноса для системы транспортных уравнений плазмы. - В сб.: Численные методы в математической физике. Учебное пособие / Под ред.: А.А. Самарского и В.И. Дмитриева. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ им.
М.В. Ломоносова. - 1996. - С.110-114.
20. Andreev V.F., Danilov A.V., Dnestrovskij Yu.N., Ossipenko M.V., Razumova K.A., Sushkov A.V. Evolution of the transport coefficients for the transient processes after ECRH switch-on/off in the T-10 tokamak // Proc. 20th IAEA Fusion Energy Conference. Vilamoura, Portugal, 1-6 November 2004. - IAEACSP-25/CD. - TH/P3-1.
21. Westerhof E., Donne A.J.H., Hoekzema J.A., Hogeweij G.M.D., Andreev V.F., BelТbas I.S., de Bock M.F.M., Farshi E., Finken K.H., Jaspers R.J.E., Koslowski H.R., Kramer-Flecken A., Lazaros A., Loozen X., Lopes Cardozo N.J., Maslov M.V., Merkulov A., Razumova K.A., Schuller F.C., Wolf R. and TEC Team.
Physics Studies with Electron Cyclotron Resonance Heating and Current Drive on TEXTOR // Proc. 20th IAEA Fusion Energy Conference. Vilamoura, Portugal, 1-November 2004. - IAEA-CSP-25/CD. - EX/P5-16.
22. Razumova K.A., Andreev V.F., Kislov A.Ya., Kirneva N.A., Lysenko S.E., Pavlov Yu.D., Shafranov T.V. and T-10 team, Donn A.J.H., Hogeweij G.M.D., Spakman G.W., Jaspers R. and TEXTOR team, Kantor M. Tokamak Plasma SelfOrganization and Possibility to Have the Peaked Density Profile in ITER // Proc.
22th IAEA Fusion Energy Conference. Geneva, Switzerland, 13-18 October 2008.
Ц IAEA-CSP-25/CD. - EX/P5-18.
23. Andreev V.F., Dnestrovskij Yu.N., Sushkov A.V., Razumova K.A.
Reconstruction of Transport Coefficients and ECRH Power Deposition Profile from SXR Intensity in Tokamak T-10 // Proc. 24th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics. Berchtesgaden 1997. - ECA Vol.21A, Part II. - P.937-940.
24. Andreev V.F., Dnestrovskij Yu.N., Lysenko S.E., Razumova K.A., Sushkov A.V.
Reconstruction of the ECRH Power Deposition Profile in T-10 Tokamak // Proc.
26th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics. Maastricht, 14-June, 1999. - ECA Vol.23J. - P.853-856.
25. Sushkov A.V., Andreev V.F., Dnestrovskij Yu.N., Lysenko S.E., Razumova K.A.
Determination of the heat flux structure after switch-off(-on) ECRH in T-10 // Proc. 27th EPS Conf. Controlled Fusion and Plasma Phys. Budapest, 12-16 June 2000. - ECA Vol.24B. - P.812-815.
26. Andreev V.F., Dnestrovskij Yu.N., Razumova K.A., Sushkov A.V. The jump of transport coefficients at ECRH switch-on or switch-off in T-10 // Proc. 28th EPS Conference Controlled Fusion and Plasma Physics. Funchal, 2001. - ECA Vol.25A. - P.1173-1176.
27. Andreev V.F., Kirov K.K., Sushkov A.V., Dnestrovskij Yu.N., Leuterer F., Pereverzev G., Razumova K.A., Ryter F. and ASDEX Upgrade team. Analysis of ECRH switch on/off events in ASDEX Upgrade // Proc. 30th EPS Conference Control. Fusion and Plasma Phys. St. Petersburg, 2003. - ECA Vol.27A. - P1.186.
28. Andreev V.F., Dnestrovskij Yu.N., Ossipenko M.V., Razumova K.A., Sushkov A.V. The Jump of the Total Heat Flux After the ECRH Switch on in T-10. Proc.
30th EPS Conference Control. Fusion and Plasma Phys. St. Petersburg, 2003. - ECA Vol.27A. - P-3.209.
29. Razumova K.A., Andreev V.F., Boshchegovskii A.A., Dnrstrovskij Yu.N., Dremin M.M., Chistyakov V.V., Kislov A.Ya., IТlin V.I., Krupin D.A., Krylov S.V., Kravtsov D.E., Lysenko S.E., Myalton T.B., Notkin G.E., Pavlov Yu.D., Piterskij V.V., Petrov D.P., Poznyak V.I., Roi I.N., Ryzhakov D.V., Sushkov A.V., Shelukhin D.A., Trukhin V.M., Tsaun S.V., Vershkov V.A., Zhuravlev V.A.
and T-10 team, G.M.D. Hogeweij, R.J.E. Jaspers, E.Min and TEXTOR team.
Decrease of transport coefficients in the plasma core after off-axis ECRH switch off // Proc. 30th EPS Conference Control. Fusion and Plasma Phys. St. Petersburg 2003. - ECA Vol.27A. - P-3.148.
30. Hogeweij G.M.D., Andreev V.F., Donn A.J.H., Jaspers R.J.E., Liang Y., Min E., Razumova K.A., Westerhof E. Transiently improved confinement after off-axis ECRH in TEXTOR // Proc. 31th EPS Conference Control. Fusion and Plasma Phys. London 2004. - ECA Vol.28A. - P1-119.
31. Min E., Andreev V.F., de Blank H.J., Hogeweij G.M.D., Krupin V.A., Ossipenko M.V., Razumova K.A., Thyagaraja A. Turbulence modelling of T-10 ECRH switch-off experiments // Proc. 31th EPS Conference Control. Fusion and Plasma Phys. London 2004. - ECA Vol.28A. - P4-148.
32. BelТbas I.S., Andreev V.F., Gorshkov A.V., Poznyak V.I., Razumova K.A., Sannikov V.V., Sushkov A.V., Donne A.J.H., Hogeweij G.M.D., van der Meiden H.J., Oyevaar T., Varshney S.K. Investigation of internal transport barrier in OH mode with sawtooth oscillation and in discharges where sawtooth are suppressed by off-axis ECRH // Proc. 32th EPS Conference on Plasma Phys. Tarragona, June - 1 July 2005. - ECA Vol.29C. - P-5.066.
33. Razumova K.A., Andreev V.F., Dnestrovskij Yu.N., Dnestrovskij A.Yu., Kislov A.Ya., Kirneva N.A., Lysenko S.E., Novikov A.Yu., Pavlov Yu.D., Poznyak V.I., Shafranov T.V., Trukhina E.V., Zhuravlev V.A. and T-10 team, Hogeweij G.M.D.
and RTP team. Main features of self-consistent pressure profile formation // Proc.
34th EPS Conference on Plasma Phys. Warsaw, 2 - 6 July 2007. - ECA Vol.31F. - P-1.083.
34. Andreev V.F., Zotov I.V., Popov A.M. Inverse problems for partial differential equations in computational plasma diagnostic // ILL-Posed Problems. Abstracts of the Reports at the International Conference. August 19-25, 1991, Moscow. Printed at the Keldysh Inst. Of Appl. Math. P.47.
35. Андреев В.Ф., Касьянова Н.В. Эволюция коэффициентов переноса для переходной стадии после включения/отключения ЭЦР нагрева в токамаке Т10 // Тезисы докладов XXXI Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, 16-20 февраля 2004 г., г. Звенигород, стр.81.
36. Разумова К.А., Андреев В.Ф., Шелухин Д.А. Связь между внутренними транспортными барьерами и самосогласованными профилями в токамаке // Тезисы докладов XXXII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, 14-18 февраля 2005 г., г. Звенигород, стр.25.
37. Андреев В.Ф., Данилов А.В., Днестровский Ю.Н., Лысенко С.Е.
Моделирование переноса частиц на Т-10 при центральном и нецентральном ЭЦР нагреве. Тезисы докладов XXXII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, 14-18 февраля 2005, г. Звенигород, стр.80.
38. Разумова К.А., Андреев В.Ф., Днестровский Ю.Н., Журавлев В.А., Кирнева Н.А., Павлов Ю.Д., Трухина Е.В. Самосогласованный профиль давления и пикированность профиля концентрации // Тезисы докладов XXXIV Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС, 12Ц16 февраля 2007 г.
39. Андреев В.Ф. Код COBRA - решение обратных задач для восстановления распределенных параметров плазмы в токамаке // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010610432.
Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 11 января 2010 г.