Geum.ru
Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по техническим специальностям

На правах рукописи

Бортаковский Александр Сергеевич

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛОГИКО-ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (авиационная и ракетно-космическая техника)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2010

Работа выполнена на кафедре математической кибернетики Московского авиационного института (государственного технического университета).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Арутюнов Арам Владимирович доктор физико-математических наук, профессор Грумондз Валерий Тихонович доктор физико-математических наук, профессор Давыдов Алексей Александрович

Ведущая организация: Институт программных систем им. А.К.Айламазяна РАН

Защита состоится 11 июня 2010 г. в 10 ч. 00 мин. на заседании Диссертационного совета Д 212.125.04 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу: 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Отзыв на автореферат (в 2-х экземплярах), заверенный гербовой печатью организации, просьба направлять по указанному адресу.

Автореферат разослан "____"__________2010 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 212.125.кандидат физико-математических наук, доцент Ротанина М.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена разработке основных положений теории оптимального управления логико-динамическими системами и методов ее применения в новых актуальных приложениях, в том числе задачах авиационной и ракетно-космической техники.

Актуальность темы. Одним из важных направлений современного развития теории и практики оптимального управления является исследование гибридных систем, в которых непрерывно изменяющиеся компоненты, как правило, отражают физические законы, технологические или технические принципы, а дискретно меняющиеся моделируют работу устройств управления, например, цифровых автоматов с памятью. Разные классы гибридных систем представлены в работах Емельянова С.В., Уткина В.И. (системы с переменной структурой); Васильева С.Н., Жука К.Д., Тимченко А.А., Федосова Е.А., Федунова Б.Е.

(логико-динамические системы); Куржанского А.Б., Миллера Б.М., Рубиновича Е.Я., Сесекина А.Н., Цыпкина Я.З., Li Z., Silva G.N., Soh Y., Vinter R.V., Wen C. (импульсные системы); Аграчева А.А., Савкина А.В., Семенова В.В., Antsaklis P.J., Brockett R.W., Evans R.J, Hedlund S., Liberzon D., Rantzer A., Rischel H. (переключательные системы).

К гибридным системам относится разработанная математическая модель логико-динамических систем (ЛДС). Динамическая часть ЛДС, задающая движение объекта управления, описывается дифференциальными уравнениями, а логическая (автоматная) часть, моделирующая работу устройства управления, - рекуррентными включениями или уравнениями. Такая модель применима для описания широкого класса многорежимных систем автоматического управления техническими комплексами, технологическими и экономическими процессами, а также бортовых оперативно-советующих систем управления движением летательных аппаратов.

В отличие от непрерывно-дискретных систем, изменение состояний дискретной части которых происходит в заранее заданные (тактовые) моменты времени, переключения логической (автоматной) части ЛДС могут быть в произвольные моменты времени. Более того, выбор тактовых моментов считается ресурсом управления и подлежит оптимизации. Каждое переключение автоматной части "оценивается", и его "стоимость" учитывается в критерии качества ЛДС. Это, как правило, оказывает регуляризирующее влияние на оптимальные процессы, исключая из их числа процессы с многочисленными переключениями. Многие практические задачи оптимального управления приводят к релейным управлениям с конечным или бесконечным количеством переключений (например, задачи управления космическими и летательными аппаратами, задачи с эффектом Фуллера, задачи со скользящими режимами и др.). Эти задачи лучше рассматривать в классе ЛДС, учитывая при помощи штрафных слагаемых, что любое переключение релейного управления требует некоторых затрат.

При этом задача регуляризируется, и ее решение становится более практичным.

Например, в задаче активного гашения колебаний искусственного спутника Земли последовательность процессов, минимизирующая энергозатраты, состоит из коротких включений двигателя в моменты достижения максимальной угловой скорости. В пределе получается бесконечная последовательность мгновенных включений двигателя. Такое решение практически не реализуемо. Рассмотрение задачи в классе ЛДС предполагает, что каждое включение реактивного двигателя от его запуска до достижения номинальной тяги, а также и выключение двигателя, представляет собой немгновенный переходный процесс, сопровождаемый расходом топлива. Добавляя в критерий качества соответствующие штрафные слагаемые, получаем задачу, в которой определяется оптимальное (конечное) количество запусков двигателя, а процессы, требующие бесконечного числа включений, отбрасываются как неоптимальные.

Большой интерес представляет исследование минимизирующих последовательностей в классе ЛДС, приводящих к новым, ранее не встречавшимся в тео рии оптимального управления режимам с мгновенными многократными переключениями автоматной части (происходящих при фиксированном состоянии динамической части системы). Важным представляется тот факт, что эти новые режимы не являются редкими исключениями, напротив, они появляются в аналогах хорошо известных задач, например, в задаче управления линейными ЛДС с квадратичным критерием качества. Таким образом, исследования проблем оптимального управления ЛДС представляют теоретический интерес, поскольку рассматриваемые задачи отличаются от классических задач оптимального управления, а методы их решения не разработаны. Необходимость исследований определяется современными задачами проектирования сложных авиационных и ракетно-космических систем.

Цель работы и задачи исследования. Целью диссертационной работы является получение необходимых и достаточных условий оптимальности управления для нового класса логико-динамических систем и разработка методик их применения. В соответствии с целью работы были поставлены и решены следующие задачи:

1) вывод необходимых условий оптимальности ЛДС и анализ их применимости для синтеза оптимального программного управления;

2) вывод достаточных условий оптимальности ЛДС и разработка методики их применения для синтеза оптимального управления с обратной связью;

3) изучение нового типа минимизирующих последовательностей, приводящих к процессам с мгновенными многократными переключениями автоматной части;

4) вывод достаточных условий субоптимальности управления пучками траекторий ЛДС на основе принципа разделения.

Общие методы исследования. Для решения поставленных задач использовались математическая теория управления, вариационное исчисление, теория дифференциальных уравнений, системный анализ, оптимизация, численные методы. Вывод необходимых условий оптимальности ЛДС базируется на принци пе максимума Понтрягина. Техника вычисления вариаций функционалов при варьировании траекторий автоматной части аналогична применяемой Федоренко Р.П. для непрерывных систем. Поиск приближенного решения производился методом Черноусько Ф.Л. Для получения достаточных условий оптимальности управления ЛДС использовался подход, развитый в работах Кротова В.Ф., Гурмана В.И. Построение управления ЛДС в условиях параметрической неопределенности опирается на принцип разделения.

Научная новизна. Полученные в диссертационной работе основные результаты являются новыми, а именно: доказаны необходимые и достаточные условия оптимальности для нового класса ЛДС, выведены достаточные условия субоптимальности управления пучками траекторий ЛДС; открыт новый тип минимизирующих последовательностей, приводящих к процессам с мгновенными многократными переключениями автоматной части; доказаны условия оптимальности таких процессов.

Практическая значимость работы состоит в том, что ее теоретические результаты могут служить основой для разработки численных методов и программно-алгоритмического обеспечения решения прикладных задач синтеза гибридных систем автоматического управления техническими комплексами, в том числе, в областях авиационной и ракетно-космической техники, робототехнике и экономике.

Достоверность утверждений, представленных в диссертационной работе, подтверждена строгими математическими доказательствами. В частных случаях полученные условия оптимальности совпадают с известными классическими результатами. Диссертация содержит большое количество аналитических примеров, подтверждающих представленные теоретические результаты, а также численное решение задачи гашения колебаний спутника, полностью отвечающее физическим представлениям.

Апробация результатов исследования. Результаты диссертационной работы докладывались на 17 Международных конгрессах, конференциях, науч ных школах и семинарах, обсуждались на научных семинарах в Институте проблем механики РАН, Институте проблем управления РАН, Российском университете дружбы народов, Московском авиационном институте. Исследования были поддержаны РФФИ (гранты №№ 96-01-01830-а, 02-01-00099-а, 05-0100458-а, 06-08-00882-а, 08-01-00157-а, 09-08-00202-а) и Министерством образования и науки РФ: научная программа "Университеты России" (гранты №№ 015.04.01.64, 015.04.01.054, УР.04.01.021, УР.04.01.016, УР.04.01.128);

аналитическая ведомственная целевая программа Развитие научного потенциала высшей школы 2009 - 2010 (проект 2.1.1/2904).

Публикации. Основные результаты опубликованы в статьях [1-9] в журналах, входящих в перечень ведущих рецензируемых изданий ВАК РФ. Материалы диссертации вошли в монографию и учебные пособия. Всего по теме диссертации опубликовано 38 печатных работ.

Личный вклад. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Программирование и приближенные вычисления для задачи активной стабилизации спутника выполнены Пегачковой Е.А.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех разделов основной части, заключения и списка использованных источников (158 наименований). Работа изложена на 168 страницах, содержит 39 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор известных методов и задач управления гибридными системами, а также работ по управлению динамическими системами в условиях неопределенности, указывается область проведенных исследований, обосновывается их научная новизна и актуальность, сформулированы цели и задачи диссертационной работы, представлены положения, выносимые на защиту, и описана структура диссертации.

В первой главе выводятся необходимые условия оптимальности ЛДС, динамическая часть которой описывается дифференциальными уравнениями, а логическая (автоматная) - рекуррентным включением:

& x(t) = f (t, x(t), y(t),u(t)), (1.1) y(t)Y (t, x(t), y(t - 0)), (1.2) где x, y - векторы состояния динамической и логической частей ЛДС, p x X Rn, y Y Rm ; u - вектор управления, u U R ; t - время, t T = [ t0; t1] - промежуток времени функционирования системы. Для краткости изложения теоретико-функциональные требования к встречающимся функциям, а также некоторые дополнительные предположения и ограничения в автореферате опускаются.

Множество Y (t, x, y) задает совокупность тех состояний логической части системы, в которые возможен переход из состояния y при заданном в момент времени t состоянии x динамической части ЛДС. Предполагаем, что для любой абсолютно непрерывной функции x() и каждого y Y отображение t Y (t, x(t), y) непрерывно справа, т.е.

Y (t + 0, x(t + 0), y) = Y (t, x(t), y), t T. (1.3) Начальное состояние ЛДС задано начальными условиями x(t0) = x0 ; y(t0 - 0) = y0. (1.4) Множество допустимых процессов D(t0, x0, y0) составляют тройки функций (x(), y(),u()), где u() - измеримая ограниченная функция u :T U ; y() - непрерывная справа кусочно-постоянная функция y :T Y, точки разрыва которой образуют конечное множество T (тактовых моментов времени); x() - абсолютно непрерывная функция x :T X, причем пара функций (x(), y()) удовлетворяет начальным условиям (1.4) и при всех t T - рекуррентному включению (1.2), а тройка (x(), y(),u()) почти всюду на T - уравнению (1.1).

Функции x() и y() определяют траектории движения динамической и логической частей ЛДС соответственно.

На множестве D(t0, x0, y0) допустимых процессов задан функционал:

tI = f (t, x(t), y(t),u(t))dt + g0(, x(), y( - 0), y()) + F(x(t1), y(t1)). (1.5) T tСуммирование в выражении (1.5) производится по всем точкам разрыва функции y() (множество T конечное для каждого допустимого процесса). Условия g0(t, x, y,v) 0, g0(t, x, y, y) = 0 позволяют рассматривать каждое слагаемое g0(, x(), y( - 0), y()) в (1.5) как "штраф" за изменение (переключение) y( - 0) a y() состояния логической (автоматной) части системы.

Требуется найти минимальное значение функционала (1.5) и оптимальный процесс d = (x(), y(), u()), на котором это значение достигается:

I (d) = min I (d). (1.6) dD(t0, x0, y0) Если наименьшее значение (1.6) не достигается, то ставится задача нахождения минимизирующей последовательности d = (x (), y (),u ()) D(t0, x0, y0), j j j j j =1,2,..., допустимых процессов:

I(d ) inf I(d) = I при j +. (1.7) j dD(t0, x0, y0) Поставленная задача представляет собой задачу со свободным правым концом траектории и фиксированным временем. В более общей постановке момент t1 окончания процесса управления не фиксирован, а определяется условием t1 = inf {t1 > t0 | (t1, x(t1), y(t1)) } - первого попадания траектории на терминальную поверхность , заданную системой уравнений (t, x, y) = 0. В частности, для задачи быстродействия правый конец траектории фиксирован x(t1) = 0, а момент t1 не задан и находится в результате минимизации функционала.

В постановке задачи не исключается случай, когда компоненты вектора y Y являются двузначными логическими (булевыми) переменными, принимающими значения 0 или 1. Эти условия можно учесть, ограничивая либо множество Y, либо множество Y (t, x, y), например y Y Zm, (1.8) где Z - множество целых чисел. Условие вида Y ={1,2,..., N} можно использовать для объектов, совершающих типовые движения (разгон, поворот, торможение и т.п.). В этом случае состояние y(t) автоматной части соответствует "номеру" типовой траектории движения.

Чтобы исключить многократные переключения логического блока в фиксированный момент времени, предполагается, что g0(t, x, y,w) < g0(t, x, y,v) + g0(t, x,v,w) vY(t, x, y) wY (t, x,v) ;

Y (t, x, y) Y (t, x,Y(t, x, y)) y Y. (1.9) Скользящие режимы с бесконечным числом переключений автоматной части можно исключить, усиливая условие неотрицательности: g0(t, x, y,v) > 0.

Если в функционале (1.5) отсутствует "штраф" за переключения состояния логической части системы ( g0 0 ), а в рекуррентном включении (1.2) нет зависимости от предшествующего состояния (Y(t, x, y) = Y (t, x) ), то получается задача оптимального управления непрерывными системами с дополнительным кусочно-постоянным управлением y(). Если же моменты переключения логической части системы заданы заранее, то задача сводится к оптимизации непрерывно-дискретной системы.

Вывод необходимых условий оптимальности для задачи (1.1)-(1.6) имеет некоторые отличия от обычно применяемых подходов. Эти отличия касаются только вариаций траекторий y() автоматной части (для управления u() динамической части применяются обычные игольчатые вариации). Дело в том, что малые вариации функции y() недопустимы, если множество ее значений несвязно, например, при условии (1.8). Игольчатые вариации траекторий автоматной части (конечные изменения состояний автоматной части системы на множестве малой меры) тоже не всегда допустимы. Эти вариации, как и в случае непрерывных систем, приводят к малым вариациям траектории динамической части системы. Однако, вариация функционала (1.5) оказывается конечной из-за наличия штрафов за переключения (при g0 > 0 ). Поэтому в общем случае в задаче (1.1)Ц(1.6) допустимы только вариации моментов переключения автоматной части, а также малые кусочно-постоянные вариации траекторий автоматной части в случае, когда y Rm.

На рис.1 изображены допустимые вариации траектории логической части системы. Полужирными линиями обозначена оптимальная траектория y(t), t T, а светлыми - возмущенная траектория y(t) + y(t), t T. Вариации 1, 2 двух моментов переключения автоматной части указаны на рис.1,а, малые кусочно-постоянные вариации y(t), t T, изображены на рис.1,б.

y y y(t) 1 tt0 1 + 1 2 + 2 t t0 1 t tt б а Рис. Обозначим для системы (1.1)Ц(1.2) с функционалом качества (1.5) гамильтониан (анормальные случаи в диссертации не рассматриваются) n f (t, x, y,u) - f (t, x, y,u), H (t,, x, y,u) = j j j=где = (1,...,n)T - вектор вспомогательных переменных.

Теорема 1.1 (необходимые условия оптимальности при однократных переключениях автоматной части). Пусть (x(), y(),u()) - оптимальный процесс, причем 1, 2,Е, N - точки разрыва функции y(), t0 < 1 <... < N < t1. Тогда существует такая непрерывная справа функция () :T Rn - абсолютно непрерывная на T, за исключением, быть может, точек разрыва функции y(), в которых () непрерывна справа и имеет предел слева, что:

1) почти всюду на T функция H(t,(t), x(t), y(t),u) достигает максимума по управлению (по аргументу u ) при u = u(t) :

max H (t,(t), x(t), y(t),u) = H (t,(t), x(t), y(t),u(t)); (1.10) uU 2) в каждой точке = k ( k =1,2,..., N ) разрыва функции y() имеет место равенство gt0(, x(), y( - 0), y()) + g0(, x(), y( - 0), y()) f (, x(), y( - 0),u()) + x + H((),, x(), y(),u()) - H ((),, x(), y( - 0),u()) = 0; (1.11) 3) функция () почти всюду на T удовлетворяет уравнению & (t) = - Hx(t,(t), x(t), y(t),u(t)), (1.12) в конечный момент времени t1 - краевому условию (t1) = -Fx(x(t1), y(t1)) (1.13) и в каждой точке k, k =1,2,..., N, - условию скачка (k - 0) = (k ) - g0(k, x(k ), y(k - 0), y(k )). (1.14) x Если для оптимального процесса (x(), y(),u()) допустимы малые кусочнопостоянные вариации y() функции y(), то для любых допустимых вариаций y() выполняются неравенства [g0(1, x(1), y, y(1)) - ((t),t, x(t), y(t),u(t))dt] y(t0) 0, (1.15) y y H y= y(1-0) t [gv (k-1, x(k-1), y(k-1 - 0),v) + g0(k, x(k ), y, y(k )) - y v= y(k-1) y= y(k -0) k y -H ((t),t, x(t), y(t),u(t))dt] y(k ) 0, k = 2,...,N ; (1.16) k- [gv (N, x(N ), y(N - 0),v) + Fy(x(t1), y(t1)) - v= y(N ) t - ((t),t, x(t), y(t),u(t))dt] y(N ) 0. (1.17) y H N Теорема представляет собой необходимые условия локального минимума в задаче с фиксированным временем и свободным конечным состоянием системы. Рассматриваются модификации условий для задачи с подвижным правым концом траектории. В частности, для задачи быстродействия с фиксированным конечным состоянием x(t1) = 0 и свободным временем окончания t1 добавляется условие H (t1,(t1), x(t1), y(t1),u(t1)) = 0 вместо (1.13). Условия (1.11), (1.15), (1.17) соответственно изменяются, если переключения автоматной части происходят в начальный t0 и конечный t1 моменты времени.

Для оптимального управления динамической частью системы выполняется принцип максимума. Для оптимальной траектории логической части, как и случае дискретных или непрерывно-дискретных систем, получены менее конструктивные условия - равенство (1.11) и неравенства (1.15)Ц(1.17), причем эти неравенства не используются, если множество допустимых состояний автоматной части является дискретным (несвязным), например, при (1.8). Если выполняется равенство g0(t, x, y, y) = 0, то неравенства (1.15)Ц(1.17) справедливы также для точек k T, в которых у оптимальной траектории нет переключений. Это обстоятельство можно использовать для обнаружения дополнительных переключений автоматной части на неоптимальном процессе. В целом, ус ловия теоремы слабее принципа максимума и не всегда образуют "полную систему соотношений, достаточную для решения задачи".

Методика применения необходимых условий следующая. Из условия (1.10) максимума гамильтониана определяется структура оптимального управления u() динамической частью. Управление u выражается через вектор состояния z = (x, y) и вектор вспомогательных переменных . Для вспомогательных переменных записывается сопряженная система (1.12), краевые условия (1.13), условие скачка (1.14), а также равенство (1.11), связывающее вектор () вспомогательных переменных со значениями y( - 0) и y() в точке разрыва .

Если допустимы малые кусочно-постоянные вариации y(), то, применяя неравенства (1.15)Ц(1.17), получаем соотношения (равенства или неравенства) для значений y( - 0) и y(). В результате получаем двухточечную краевую задачу для системы 2n дифференциальных уравнений относительно функций x(),() с дополнительными условиями (равенствами или неравенствами) при наличии конечного числа точек разрыва функции ().

Применение условий оптимальности демонстрируется на примерах.

В примере 1.1 решается задача оптимального управления ЛДС & x = y(t) + u(t), y(t)R, u(t) R, 0 t 1; x(0) = 3, y(-0) = 2;

1 1 I = [ u2(t) + y2(t)]dt + + x2(1) + y2(1) 2 2 2 в случаях: а) =10 ; б) =1; в) = 0,1. Применяя необходимые условия, находим структуру оптимального управления динамической частью. Выясняем, что у оптимального процесса нет переключений автоматной части на интервале (0,1). Следовательно, условиям оптимальности удовлетворяют 4 процесса:

1) без переключений автоматной части; 2) с одним переключением в начальный момент времени; 3) с одним переключением в конечный момент времени; 4) с двумя переключениями в начале и в конце. Непосредственно вычисляя функ ционал, выделяем оптимальный: в случае "а" - процесс 1), в случае "б" - процесс 2), в случае "в" - процесс 4).

В примере 1.2 решается задача оптимального управления ЛДС & x = y(t), y(t){1}, 0 t 1; x(0) = 0, y(-0) =1, x(1) = 0;

, =.

I = x(t) dt + y() - y( - 0) Поскольку малые вариации траекторий y() не существуют, то неравенства (1.15)Ц(1.17) не используются. Остальные необходимые условия приводят к выводу, что оптимальная траектория динамической части является равнозвенной ломаной (только первое и последнее звенья в x два раза короче остальных). Однако оптиt O мальное количество звеньев, т.е. количество 1 - Рис.переключений автоматной части, условия теоремы найти не позволяют (в этом проявляется слабость полученных условий оптимальности). Поэтому имеем последовательность процессов, зависящую от количества переключений. Оптимальное количество переключений (3 для заданного значения ) находится путем дискретной минимизации. Оптимальная траектория динамической части изображена на рис.2.

В примере 1.3 решается задача оптимального управления ЛДС & x(t) = u(t) - y(t), y(t)[y(t - 0), + ), u(t) R, 0 t 1; x(0) = 37, y(-0) = 0 ;

1 I = u2(t)dt + (1- )2( y() - y( - 0)) + x2(1) + y2(1), = 27.

2 2 Модель описывает процесс торможения ( x - скорость движения) при помощи 2-х устройств: ускорение u меняется непрерывно, а y - нарастает скачками (такой процесс характерен, например, для торможения самолета при помощи реверса тяги реактивного двигателя и тормозных парашютов). Необходимые условия оптимальности выделяют единственный процесс, который и оказывается оптимальным.

В примере 1.4 решается задача оптимального управления ЛДС & & h(t) = sin (t), (t) = y(t), y(t)R, 0 t t1; h(t1) = 0, (t1) = 0, t I = dt + y() - y( - 0), 6 6 для а) h(0) = +, (0) = -; б) h(0) = 5, 0 = -. Модель, ана- 3 2 3- логичная так называемой машине Дубинса, описывает движение материальной точки с постоянной линейной скоростью по прямым (при y = 0 ) или окружностям (при y 0). В критерии качества учитывается "штраф" за изменение кривизны траектории. Необходимые условия для начального состояния ("а" или "б") выделяют единственный процесс, который оказывается оптимальным.

В разделе 1.4 рассмотрена задача активной стабилизации спутника с минимальным расходом топлива. В классической постановке оптимальное управление представляет собой последовательность режимов торможения в окрестности положения равновесия. Торможение производится с максимальной тягой двигателя. Чем короче промежуток работы двигателя при каждом включении, тем больше таких включений необходимо сделать для гашения колебаний. Однако общие затраты топлива при этом уменьшаются. В пределе получаем бесконечную последовательность импульсных включений (на бесконечно малое время) двигателя с максимальной тягой, при этом общее время стабилизации неограниченно возрастает. Разумеется, что это управление, практически нереализуемое, является абстрактным, идеальным решением, показывающим предельные возможности (экономии топлива) данной математической модели.

Математическая модель колебаний спутника в плоскости круговой орбиты имеет вид:

& (t) = , t0 t t1, & (t) = - sin 2 + l u, где - угол отклонения штанги от местной вертикали; - угловая скорость 3(Jx - Jz ) вращения спутника; = 2, - угловая скорость движения спутни2J y L ка по круговой орбите; J, J, J - моменты инерции спутника; l =, L - x y z Jx длина штанги; t0 = 0, t1 - моменты начала и окончания процесса управления.

Тяга двигателя u направлена перпендикулярно штанге в плоскости орбиты (в одном из двух противоположных направлений: в одном u > 0, в другом u < 0 ) и ограничена максимальным значением Umax : u Umax. Начальное и конечное состояния системы заданы: (0) = 0, (0) = 0, (t1) = 0, (t1) = 0. Время tокончания процесса управления фиксировано. Предполагаем, что секундный расход топлива пропорционален тяге двигателя, т.е. затраты топлива вычисляются по формуле t I0 = u(t) dt.

tТребуется найти оптимальное управление, минимизирующее этот функционал Это классическая постановка задачи для непрерывной динамической системы.

Оптимальный процесс, найденный с использованием принципа максимума, имеет 11 включений двигателя.

Будем рассматривать задачу в классе ЛДС, учитывая перерасход топлива при включении и выключении двигателя. Такая постановка задачи ближе к практике, чем классический вариант. При запуске реактивного двигателя максимальная тяга достигается не сразу, часть топлива тратится на переходный процесс. В некоторых конструкциях топливо используется также для запуска и работы турбонасосного агрегата. Кроме того, при включении и выключении двигателя часть топлива дожигается менее эффективно, чем при номинальном режиме. Поэтому предлагается оценивать качество процесса управления следующим функционалом t I = Umax | y(t)|dt +, tгде > 0 - величина "штрафа" за включение двигателя. Суммирование происходит по всем моментам включения двигателя. Кусочно-постоянная непрерывная справа функция y() :[t0,t1] Y задает траекторию автоматной части ЛДС. Она связана с тягой u() двигателя равенством u(t) = Umax y(t), t0 t t1, т.е. значение y(t) определяет рабочее состояние двигателя: y = 0 - двигатель выключен; y > 0 или y < 0 - двигатель включен; а также направление тяги.

Оптимальный процесс, найденный при помощи необходимых условий оптимальности ЛДС, имеет 5 включений двигателя.

Исследования показали, что оптимальные процессы в классе логикодинамических систем могут иметь новые, ранее не встречавшиеся, режимы с конечным или счетным числом мгновенных (т.е. происходящих в один и тот же момент времени) переключений автоматной части при фиксированном состоянии динамической части системы. Например, на рис.3,а изображена кусочнопостоянная функция с тремя разрывами в точках - 2, - , и значениями y0 = y( - 2 - 0), y1 = y( - 2), y2 = y( - ), y3 = y(). При +0 получаем кусочно-постоянную функцию с трехзначным разрывом в точке (рис.3,б).

y y y3 yy2 yy1 yy0 y - 2 - t t б а Рис. Заметим, что все эти мгновенные многократные переключения автоматной части совершенно не влияют на траекторию динамической части системы, поскольку они происходят на множестве меры нуль. Важным представляется тот факт, что эти новые режимы не являются редкими исключениями, напротив, они появляются в аналогах хорошо известных задач, например, в задаче управления линейными ЛДС с квадратичным критерием качества.

Пополним множество D(t0, x0, y0) процессами, в которых функции y() имеют конечное число точек многозначных разрывов, и определим на нем функционал tK () 0 i i I = f (t, x(t), y(t),u(t))dt + g0(, x(), y-1, y) + F(x(t1), y(t1)). (1.18) T i=t Теорема 1.2 (необходимые условия оптимальности при мгновенных многократных переключениях автоматной части). Пусть (x(), y(),u()) - оптимальный процесс, минимизирующий функционал (1.18), траектория y() автоматной части которого имеет точки 1, 2,Е, N (t0 < 1 <... < N < t1) многозначных разрывов, причем в каждой точке k автоматная часть совершает K (k ) переключений K 0 y(k - 0) = yk a y1 a yk a K a yk (k ) = y(k ), k =1,2,K, N.

k Тогда существует такая непрерывная справа функция () :T Rn, абсолютно непрерывная на T, за исключением точек k, в каждой из которых она имеет многозначный разрыв, принимая последовательно значения K (k - 0) = 0 1 k K k (k ) = (k ), k k что: 1) почти всюду на T функция H(t,(t), x(t), y(t),u) достигает максимума по управлению (по аргументу u ) при u = u(t) :

max H (t,(t), x(t), y(t),u) = H (t,(t), x(t), y(t),u(t));

uU 2) в каждой точке k ( k =1,2,..., N ) выполняется равенство K (k ) [ gt0(k, x(k ), ykj-1, ykj ) + g0(k, x(k ), ykj-1, ykj ) f (k, x(k ), ykj-1,u(k )) + x j= j j + H (k,k, x(k ), ykj,u(k )) - H (k,k, x(k ), ykj-1,u(k ))] = 0;

3) функция () почти всюду на T удовлетворяет уравнению & (t) = - H (t,(t), x(t), y(t),u(t)), x в конечный момент времени t1 - краевому условию (t1) = -Fx(x(t1), y(t1)) и в каждой точке k, k =1,2,..., N, - рекуррентному уравнению j j k-1 = k - gx (k, x(k ), ykj-1, ykj ), j =1,2,K, K (k ).

Если для оптимального процесса (x(), y(),u()) допустимы малые кусочнопостоянные вариации y() функции y(), то для любых допустимых вариаций y() выполняются неравенства [g0(1, x(1), y, y(1)) - ((t),t, x(t), y(t),u(t))dt] y(t0) 0, y y H y= y(1-0) t [gv (k, x(k ), ykj-1, ykj) + g0(k, x(k ), ykj, ykj+1)] ykj 0, y j =1,2,K, K (k ) -1, k =1,2,K, N, K [gv (k, x(k ), yk (k )-1, y(k )) + g0(k +1, x(k +1), y(k ), y1 ) - y k +k+ - H ((t),t, x(t), y(t),u(t))dt ]y(k ) 0, k =1,2,K, N -1, y k K K [gv (N, x(N ), yN (N )-1, yN (N )) + Fy (x(t1), y(t1)) - t - ((t),t, x(t), y(t),u(t))dt] y(N ) 0.

y H N Применение необходимых условий демонстрируется на примере 1.5 решения задачи оптимального управления ЛДС:

& x = u(t) + y(t), y(t)R, u R, 0 t 1;

K() i i 1 1 I = x2(1) + y2(1) + u2(t)dt + {1 + [ y - y-1]2}, 2 2 2 8 i=для начальных условий: а) x(0) = 4, y(-0) = 4; б) x(0) =1, y а y(-0) =1. В каждом случае оптимальное управление динамической части оказывается постоянным. В случае "а" б оптимальная траектория автоматной части имеет 12 пере0,5 1 ключений при t = 0, 3 переключения при t =1 и постоянна x -0,при 0 t <1 (рис.4,"а"); в случае "б" - 2 переключения -при t = 0, затем постоянна при 0 t 1 (рис.4,"б").

Рис. Вторая глава посвящена достаточным условиям оптимальности ЛДС, динамическая часть которой описывается дифференциальными уравнениями, а логическая (автоматная) - рекуррентным уравнением:

& x(t) = f (t, x(t), y(t),u(t)), (2.1) y(t) = g(t, x(t), y(t - 0),v(t)), (2.2) где v - вектор управления логической (автоматной) частью, v V Rq, функция g :T X Y V Rm, удовлетворяет при всех t, x, y условию g(t, x, y,o) = y, где o - некоторый нейтральный элемент, oV. Множество допустимых процессов D(t0, x0, y0) образовано четверками функций (x(), y(),u(),v()), где функция v :T V (управление логической (автоматной) частью ЛДС) всюду на T \ T равна нейтральному элементу (v(t) = o ) и отлична от него только в тактовые моменты времени из T. Остальные обозначения как в главе 1.

На множестве D(t0, x0, y0) допустимых процессов задан функционал t I = f (t, x(t), y(t),u(t))dt + g0(, x(), y( - 0),v()) + F(x(t1), y(t1)). (2.3) T t Ставятся задачи нахождения наименьшего значения функционала (2.3) и оптимального процесса; минимизирующей последовательности процессов, если минимум функционала не достигается, а также задача синтеза оптимального позиционного управления (управления с обратной связью) u :T X Y U, v :T X Y V, которое для любых начальных условий x() = x, y( - 0) = y, t0 t1, (x, y) X Y, (2.4) порождает оптимальный процесс (x(), y(),u(),v()) D(t, x, y) с программными управлениями u(t) = u(t, x(t), y(t)), v(t) = v(t, x(t), y(t - 0)), t t1, минимизирующий функционал оставшихся потерь t I = f (t, x(t), y(t),u(t)) dt + g0(, x(), y( - 0),v()) + F(x(t1), y(t1)). (2.5) Как и в главе 1, рассматриваются разные модификации постановки задачи, например, с терминальными условиями, в частности, задача быстродействия.

На основе принципа оптимальности Кротова В.Ф. доказываются достаточные условия оптимальности процесса управления (теорема 2.1), минимизирующей последовательности (теорема 2.2). Из теоремы 2.1 следует "уравнение Беллмана для ЛДС".

Пусть t - множество скалярных функций (t, x, y), определенных на T X Y, непрерывных вместе со своими частными производными t, x на всей области определения, за исключением, быть может, конечного числа точек промежутка T, в которых они имеют предел слева и непрерывны справа по t.

Обозначим через W множество допустимых управлений с обратной связью.

Теорема 2.3 (достаточные условия оптимальности управления с обратной связью). Если существуют функция t и управление (u,v) W с обратной связью, удовлетворяющие условиям:

а) (t1, x, y) = F(x, y);

б) (t - 0, x, y) = (t, x, g(t, x, y,v(t, x, y))) + g0(t, x, y,v(t, x, y));

в) min min P(t, x, g(t, x, y,v),u) = 0, uU vV (t,x, y) г) u(t, x, y) Arg min [x (t, x, y) f (t, x, y,u) + f (t, x, y,u)];

uU д) v(t, x, y) Arg min P(t, x, g(t, x, y,v), u(t, x, g(t, x, y,v))), vV (t,x, y) то управление ( u(t, x, y),v(t, x, y) ) с обратной связью является оптимальным, при этом величина предела слева ( - 0, x, y) равна минимальному значению функционала оставшихся потерь (2.5) ( - 0, x, y) = min I(d). (2.6) dD(,x, y ) Здесь: P(t, x, y,u) = t (t, x, y) + x (t, x, y) f (t, x, y,u) + f (t, x, y,u) - производная функции (t, x, y) в силу уравнения движения;

V (t, x, y) = Arg min[ (t, x, g(t, x, y,v)) + g0(t, x, y,v) ] (2.7) vV - множество точек глобального минимума.

Отметим, что оптимальное управление автоматной частью находится в результате двух операций минимизации. Сначала определяется множество (2.7), а затем в этом множестве, согласно условию "в", выбирается искомое управление. Эта процедура отличается от применяемых для НДС "упрощенных" условий, когда управление дискретной частью определяется только из условия:

v(t, x, y) Argmin[(t, x, g(t, x, y,v)) + g0(t, x, y,v)], (2.8) vV а уравнение в) имеет вид x(t, x, y) + min[x(t, x, y) f (t, x, y,u) + f (t, x, y,u)] = 0. (2.9) uU "Упрощенные" достаточные условия сильнее условий теоремы 2.3, поэтому их область применения же. Это подтверждает пример 2.1, в котором решается задача синтеза оптимального позиционного управления ЛДС & x(t) = 2y(t)u(t), y(t) = y(t - 0) - v(t), 0 t 1;

I = u2(t)dt + v() + x(1) - y(1), где xR, y {0,1}, u R, v{0,1}. Условиям теоремы 2.3 удовлетворяют функция (t, x, y) = t + x - y -1 и оптимальные управления u(t, x, y) = - y, v(t, x, y) = 1- y. Равенство (2.9) для этих функций нарушается, а условие (2.8) выполняется как для оптимального, так и для неоптимального управлений.

В теореме 2.4 формулируются достаточные условия оптимальности автоматной части для модели ЛДС, описываемой уравнениями (1.1),(1.2). В примере 2.2 синтезирована оптимальная позиционная конструкция автоматной части y(t, x, y) для задачи, рассмотренной в примере 1.2. На рис.5 показаны области переключения автоматной части: переключение 1a -1 на рис.5,а; переключение -1 a 1 на рис.5,б. Двойными сплошными линиями изображена оптимальная траектория динамической части, которая была получена в примере 1.2 (по два звена этой ломаной в каждой половине рис.5).

x x F 1 1 y(t - 0) = -F y(t - 0) = E E Линия переключения 1 -Область Переключений переключения 1 -нет C A B D G G t O DO t BACПереключений Область переключения нет -1 Линия переключения -1 E - - 1 Fа б Рис. В примере 2.3 найдены функция (t, x, y), оптимальное управление u(t, x, y) динамической частью и оптимальная позиционная конструкция y(t, x, y) автоматной части для ЛДС, модель которой рассмотрена в примере 1.3.

Предельным переходом, на основе теоремы 2.2, доказываются условия оптимальности при мгновенных многократных переключениях автоматной части.

Теорема 2.5 (достаточные условия оптимальности ЛДС при мгновенных многократных переключениях автоматной части). Если существуют функции (k) t и управление (u, v(k)) W с обратной связью, удовлетворяющие условиям:

а) (0)(t1, x, y) = F(x, y) ;

б) (k)(t, x, y) = (k -1)(t, x, g(t, x, y,v(k)(t, x, y))) + g0(t, x, y,v(k)(t, x, y)) ;

в) min min P(k -1)(t, x, g(t, x, y,v),u) = 0 ;

(k ) uU vV (t,x, y) г) u(t, x, y) Arg min [ (0)(t, x, y) f (t, x, y,u) + f (t, x, y,u)];

x uU д) v(k)(t, x, y) Arg min P(k -1)(t, x, g(t, x, y,v),u(t, x, g(t, x, y,v)));

(k ) vV (t,x, y) е) k(t, x, y) Arg min (k)(t, x, y) ;

k =0,1,2,...

ж) (0)(t - 0, x, y) = (k(t,x, y))(t, x, y), где k =1,...,k(t, x, y), то управление ( u(t, x, y),v(k)(t, x, y) ) с обратной связью является оптимальным, при этом величина предела слева (0)( - 0, x, y) равна минимальному значению функционала оставшихся потерь (2.5) (0)( - 0, x, y) = min I(d).

dD(,x, y ) ( Здесь: P(k)(t, x, y,u) = tk)(t, x, y) + (k)(t, x, y) f (t, x, y,u) + f (t, x, y,u) - проx изводная функции (k)(t, x, y) в силу уравнения движения;

(k) V (t, x, y) = Arg min[(k)(t, x, g(t, x, y,v)) + g0(t, x, y,v)] vV - множество точек глобального минимума.

Разработана методика приближенного решения уравнений а)Цж) теоремы 2.5, в которой фиксируются моменты возможных мгновенных многократных переключений автоматной части, а операция минимизации д) откладывается и выполняется уже после интегрирования уравнения в).

Применение условий оптимальности демонстрируется на задаче управления линейной ЛДС с квадратичным критерием качества:

& x(t) = A(t)x(t) + B(t)y(t) + C(t)u(t), (2.10) y(t) = At x(t) + Bt y(t - 0) + Ctv(t), (2.11) t J (z0, w) = xT (t)D(t)x(t) + xT (t)G(t) y(t) + uT (t)Q(t)u(t) ]dt + [ 2 t1 1 + [ + xT ()Dx() + xT ()G y( - 0) + yT ()F y() + vT ()Qv()] + 2 2 T 1 + xT (t1)D1x(t1) + xT (t1)G1y(t1) + yT (t1)F1y(t1), > 0. (2.12) 2 Эта задача аналогична проблеме аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) А.М.Летова, но только для ЛДС. Показано, что функции (k)(t, x, y), k = 0,1,..., являются квадратичными 1 (k)(t, x, y) = xT k (t)x + xT k (t) y + yT k (t) y + k (t), k = 0,1,2,..., 2 - матрицы 0(t), 0(t), 0(t) и скалярная функция 0(t) удовлетворяют на T дифференциальным уравнениям:

& 0(t) + 0(t)A(t) + AT (t)0(t) + D(t) - 0(t)C(t)Q-1(t)CT (t)0(t) = 0, & 0(t) + 0(t)B(t) + AT (t)0(t) + G(t) - 0(t)C(t)Q-1(t)CT (t)0(t) = 0, T T & & 0(t) + 0 (t)B(t) + BT (t)0(t) - 0 (t)C(t)Q-1(t)CT (t)0(t) = 0, 0(t) = 0 ;

- в конечный момент времени выполняются терминальные условия:

0(t1) = D1, 0(t1) = G1, 0(t1) = F1, 0(t1) = 0;

- при любом фиксированном t T матрицы k (t), k (t), k (t) и скалярная функция k (t) удовлетворяют рекуррентным уравнениям:

T T k+1(t) = k (t) + k (t) At + AtTk (t) + At [k (t) + Ft ]At + Dt - LT (t)Kk (t)Lk (t), k k +1(t) = {k (t) + AtT [k (t) + Ft ]}Bt + Gt - LT (t)Kk (t)Mk (t), k T k +1(t) = BtT [k (t) + Ft ]Bt - Mk (t)Kk (t) Mk (t), k +1(t) = k (t) + t, T T где Kk (t) ={Qt + CtT [k (t) + Ft ]Ct}-1, Lk (t) = Ct {k (t) +[k (t) + Ft ]At}, T Mk (t) = Ct [k (t) + Ft]Bt, k = 0,1,2,...;

- оптимальное управление динамической частью имеет вид u(t, x, y) = -Q-1(t)CT (t)[0(t)x + 0(t) y]; (2.13) - оптимальное управление автоматной частью имеет вид v(k+1)(t, x, y) = - Kk (t)[Lk (t)x + Mk (t) y], k = 0,1,2,...; (2.14) - оптимальное количество k(t, x, y) переключений автоматной части находится по формуле k(t, x, y) = argmin (k)(t, x, y) ;

k=0,1,2,...

- функция (0)(t, x, y) удовлетворяет условию скачка (0)(t - 0, x, y) = (k(t,x, y))(t, x, y).

Оптимальное позиционное управление (2.13),(2.14) реализуется линейными регуляторами, как и в классических случаях проблемы АКОР для непрерывных, дискретных или непрерывно-дискретных систем. Однако в задаче АКОР ЛДС функция Беллмана (0)(t - 0, x, y) оказывается кусочно-квадратичной, т.е. при фиксированном t пространство состояний X Y можно разбить на области, в каждой из которых функция (0)(t - 0, x, y) квадратичная. В примере 2.4 решена задача синтеза оптимального позиционного управления ЛДС:

& x = y(t) + u(t), y(t) = y(t - 0) + v(t), 0 t 1;

K () i 1 1 1 I = u2(t)dt + {1 + [v()]2}+ x2(1) + y2(1).

2 8 2 2 i=где xR, y R, u R, vR. На рис.6 представлено приближенное разбиение пространства начальных состояний на области (многоугольники), в каждой из которых функция Беллмана квадратичная. В этих областях через дефис ( k0 - k1) указаны оптимальные количества переключений автоматной части в начальный и конечный моменты времени соответственно. Оптимальная траектория (полужирная ломаная), исходящая из состояния x0 = 4, y0 = 4, совпадает с траекторией, найденной при помощи необходимых условий в примере 1.5.

y 10-14-4 15-11-1 12-2 13-3 16-9-12-3 14-10-1 11-2 13-4 15-8-9-1 10-2 13-3 13-5 14-12-7-8-1 9-2 13-10-3 12-11-6-12-7-1 8-2 9-11-10-5-11-6-1 8-3 9-4 10-7-4-5-1 9-6-2 10-8-7-3-5-2 9-1 4-1 8-6-3 7-2-4-2 8-7-3-1 6-5-1-x 0 2-1 5-3-2 7-6-4-1 0-6-1-1 2-4-5-3-1-1-3-4 4--1 0-5-2-2-1-4-3-0-2 2-1-1-3-0 2--2 0-3 1-4 2-5 3-3-4-0 2-1-0-4 1-5 2--Рис. В третьей главе рассматривается задача управления ЛДС в условиях параметрической неопределенности. Предполагается, что начальное состояние ЛДС z0 = (x0, y0) точно не известно, а известно целое множество 0 возможных состояний (0 Z = X Y ), т.е. речь идет об управлении пучком траекторий.

Синтез управления ЛДС производится с целью минимизации среднего или максимального значений показателя качества (2.3) управления изолированной траекторией. Для управления пучками траекторий предлагается использовать оптимальное управление с обратной связью, в котором вместо неизвестного состояния системы подставляется его оценка (либо оптимальная гарантирующая, либо оптимальная в среднем). Таким образом, для управления пучком траекторий применяется оптимальное управление для одной, специальным образом выбранной траектории системы. Разумеется, что получаемое таким способом управление пучком является субоптимальным. Однако оно может оказаться удовлетворительным для практики.

Управление ЛДС (2.1),(2.2) в условиях параметрической неопределенности будем искать, используя оптимальное управление (u,v(k))W с полной обратной связью. По определению субоптимальное управление является оптимальным для некоторой траектории. Поэтому оно может быть построено по оптимальному управлению с полной обратной связью согласно закону:

(t) = u(t, x(t), (t)), v(t) = v(t, x(t), (t - 0)), t0 t t1, (3.1) где (t) = (x(t), (t)) - оптимальная траектория, полученная при управлении (3.1).

Для построения достаточных условий субоптимальности вводится функция ( - 0, z, ) = I(d(z,w )), (3.2) которая равна значению функционала оставшихся потерь (2.5), вычисленному на траектории, исходящей из позиции (, z) при управлении w, оптимальном для траектории, исходящей из позиции (, ). Функция ( - 0, z, ) является обобщением функции Беллмана и совпадает с ней при z = :

( - 0, , ) = ( - 0, ).

В случае многозначного переключения в позиции (t, z, ) обозначим через (k)(t, z, ) функцию (3.2) после k переключений автоматной части. Из определения и теоремы 2.5 следует, что она удовлетворяет уравнениям:

(0)(t1, z, ) = F(z), (k)(t, z, ) = (k -1)(t, x, g(t, z,v(k)(t, )), x, g(t, ,v(k)(t, ))) + g0(t, z,v(k)(t, )), (0)(t - 0, z, ) = (k(t,))(t, z, ), min P(k-1)(t, x, g(t, x, y,v), x, g(t, x, ,v),u(t, x, g(t, x, ,v))) = 0, (k ) vV (t,x, y) u(t, )Аrgmin [ (0)(t, ) f (t, ,u) + f (t, ,u)], x uU v(k)(t, ) Argmin P(k-1)(t, x, g(t, ,v), x, g(t, ,v),u(t, x, g(t, ,v))), (k ) vV (t,) k(t, ) Argmin (k)(t, , ), k=0,1,2,...

где t T, x X, y Y, z = (x, y), = (x, ), k =1,2,...,k(t, z) ;

( P(k)(t, z, ,u) = tk)(t, z, ) + (k)(t, z, ) f (t, z,u) + (k)(t, z, ) f (t, ,u) + f (t, z,u) x x - производная функции (k)(t, z, ) в силу уравнений движения;

(k+1) V (t, x, ) =Argmin[(k)(t, x, g(t, x, ,v)) + g0(t, x, ,v)] vV - множество точек глобального минимума.

Из условия минимума максимального значения оставшихся потерь или минимума их среднего значения находятся оценки г (t0) или с(t0) для используемой в законе управления оптимальной траектории (теорема 3.1):

г (t0)Argmin max (0)(t0 - 0, z, ), с(t0)Argmin (z)(0)(t - 0, z, )dz.

Z z0 Z В примере 3.1 найдены субоптимальное в среднем и субоптимальное гарантирующее управления пучком траекторий линейной системы из примера 2.4, ис ходящих из квадрата 0 = [0,2][0,2]. Субоптимальное в среднем управление совпадает с оптимальным управлением для траектории, исходящей из центра (1,1) квадрата 0, а оптимальное гарантирующее - с оптимальным для траектории, исходящей из состояния (55, ).

46 Представляют интерес задачи, в которых субоптимальное управление пучком оказывается оптимальным для пучка. Для непрерывных линейных систем с квадратичным критерием качества известно, что оптимальное в среднем управление совпадает с оптимальным управлением для траектории, исходящей из геометрического центра тяжести множества 0, а оптимальное гарантирующее - для траектории, исходящей из выпуклого замыкания co 0. Эти результаты удалось перенести (теорема 3.3) на задачи управления линейными ЛДС (2.10),(2.11) с квадратичным критерием качества (2.12), предварительно доказав их для соответствующей непрерывно-дискретной системы (теорема 3.2). Из теоремы 3.3 следует, что субоптимальные управления, найденные в примере 3.1, оказываются на самом деле оптимальными для пучка траекторий.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ 1. Разработана новая математическая модель логико-динамических систем, описывающая широкий класс гибридных систем автоматического управления, качество управления которых оценивается функционалом, учитывающим переключения логической части [1Ц4,6,7,9]. Показано, что такая конструкция функционала отвечает потребностям практики [9].

2. Доказаны необходимые условия оптимальности логико-динамических систем, проведен анализ их применимости для синтеза оптимального программного управления [3,4].

3. Доказаны достаточные условия оптимальности логико-динамических систем, разработана методика их применения для синтеза оптимального позиционного управления [1,2,7] 4. Открыт новый тип минимизирующих последовательностей, приводящих к процессам с мгновенными многократными переключениями логической (автоматной) части. Необходимые и достаточные условия оптимальности доказаны для таких процессов [1,2,4,7].

5. Поставлена и решена задача оптимального управления линейной логикодинамической системой с квадратичным критерием качества, обобщающая известную проблему аналитического конструирования оптимальных регуляторов [7].

6. Доказаны достаточные условия субоптимального в среднем и субоптимального гарантирующего управлений пучком траекторий детерминированных логико-динамических систем. Показано, что для линейно-квадратичной задачи субоптимальные управления оказываются оптимальными [5,6,8].

7. Решена задача активной стабилизации колебаний спутника с учетом неэффективных затрат топлива при включении и выключении реактивного двигателя [9].

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в журналах, входящих в перечень ВАК 1. Бортаковский А.С. Достаточные условия оптимальности автоматной части логико-динамической системы // Известия РАН. Теория и системы управления, 2006, №6. - С.77Ц92.

2. Бортаковский А.С. Субоптимальное управление логико-динамическими системами в условиях параметрической неопределенности // Автоматика и телемеханика. - 2007. - №11. - С.105-121.

3. Бортаковский А.С. Необходимые условия оптимальности управления логико-динамическими системами // Известия РАН. Теория и системы управления, 2007, №6. - С.16Ц33.

4. Бортаковский А.С. Необходимые условия оптимальности автоматной части логико-динамической системы // Тр. МИАН. - 2008. - Т.262. - С.50Ц63.

5. Бортаковский А.С. Оптимальное и субоптимальное управления пучками траекторий детерминированных непрерывно-дискретных систем // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2009. - №1. - С.18Ц33.

6. Бортаковский А.С. Оптимальное и субоптимальное управления пучками траекторий детерминированных логико-динамических систем // Известия РАН.

Теория и системы управления. - 2009. - №6. - С.27Ц45.

7. Бортаковский А.С. Синтез логико-динамических систем на основе достаточных условий оптимальности // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2010. - №2. - С.54Ц68.

8. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Достаточные условия оптимальности управления непрерывно-дискретными системами // Автоматика и телемеханика. - 1987. - №7. - С.57-66.

9. Бортаковский А.С., Пегачкова Е.А. Синтез управления активной стабилизацией спутника на основе необходимых условий оптимальности логикодинамических систем // Вестник Московского авиационного института. - 2008.

- Т.15. - № 2. - С.28Ц35.

Основные публикации в других изданиях 10. Бортаковский А.С. Управление детерминированными системами в условиях неопределенности при оптимальности эффективных управлений / Управление и навигация ЛА в условиях параметрической неопределенности. М.: Издво МАИ, 1991. - С.18-23.

11. Бортаковский А.С. Достаточные условия оптимальности управления детерминированными логико-динамическими системами. // Информатика. Сер.

Автоматизация проектирования. - М.: ВНИИМИ, 1992. - Вып. 2-3. - С.72-79.

12. Бортаковский А.С. Управление непрерывно-дискретными системами в условиях параметрической неопределенности при оптимальности эффективных управлений / VI Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" - Тезисы докладов. - М.: ИПУ, 2000. - С.65.

13. Бортаковский А.С. Управление логико-динамическими системами в условиях неопределенности // Международная школа по динамическим и управляемым системам, г. Суздаль, 2001. Тезисы докладов. - Владимир: ВГУ, 2001. - С.12-17.

14. Бортаковский А.С. Оптимальное конструирование автоматной части логико-динамических систем // Второй международный конгресс "Нелинейный динамический анализ", г. Москва, 2002. - Тезисы докладов. - М.: Изд-во МАИ, 2002. - С.104.

15. Бортаковский А.С. Оптимальное управление линейными логикодинамическими системами // Международный научный семинар, посвященный 75-летию со дня рождения И.Я.Каца, Екатеринбург, 2006 - Устойчивость, управление и моделирование динамических систем: Сб. научн. трудов // Под ред.Г.А.Тимофеевой, д.ф.м.н. - Екатеринбург: УрГУПС.Ц№54(137).2006. - С.33.

16. Бортаковский А.С. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов в классе логико-динамических систем // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, г. Суздаль, 2006.

- Тезисы докладов. - Владимир: ВГУ, 2006. - С.47Ц49.

17. Бортаковский А.С. Оптимальное управление системами автоматного типа // Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации: труды ХVI Международного научно-технического семинара.

Сентябрь 2007, Алушта. - Тула: Изд-во ТуГУ, 2007. - С.11.

18. Бортаковский А.С. Оптимальное и субоптимальное управления пучками траекторий детерминированных непрерывно-дискретных систем // Международная конференция по математической теории управления и механике, г. Суздаль, 2009. - Тезисы докладов. - М: МИАН, 2009. - С.44Ц45.

19. Бортаковский А.С., Волокитин Д.А. Синтез оптимального позиционного управления линейными логико-динамическими системами // Вторая междуна родная конференция "Устойчивость и управление для нелинейных трансформирующихся систем" Москва-Россия 2000. Тезисы докладов. - М: Академия нелинейных наук, 2000. - С.46.

20. Бортаковский А.С., Волокитин Д.А. Оптимальное управление сближением космических летательных аппаратов в классе логико-динамических систем / Шестая международная конференция "Системный анализ и управление космическими комплексами", Евпатория, 2001. - Тезисы докладов. М.: МАИ, 2001.

21. Бортаковский А.С., Волокитин Д.А. Метод синтеза оптимального позиционного управления дискретной логико-динамической системой с линейной динамической частью // Межвузовский сборник научных трудов УТеоретические вопросы вычислительной техники и программного обеспечения". - Изд-во МИРЭА, 2003. - С.110-116.

22. Бортаковский А.С., Пегачкова Е.А. Оптимальное управление линейными логико-динамическими системами с квадратичным критерием качества // Межвуз. сб. науч. трудов "Теоретические вопросы вычислительной техники и программного обеспечения". - М.: Изд-во МИРЭА, 2006. - С.56-61.

23. Бортаковский А.С., Пегачкова Е.А. Синтез оптимальных детерминированных систем автоматного типа // Международная конференция по математической теории управления и механике, г. Суздаль, 2007. - Тезисы докладов. - Владимир: ВГУ, 2007. - С.18.

24. Бортаковский А.С., Пегачкова Е.А. Синтез оптимального управления линейными логико-динамическими системами // "Труды МАИ", №27. - (25.04.2007) 25. Бортаковский А.С., Пегачкова Е.А. Синтез оптимальных детерминированных систем автоматного типа // Межвуз. сб. науч. трудов "Теоретические вопросы вычислительной техники и программного обеспечения". - М.: Изд-во МИРЭА, 2008. - С.102Ц107.

26. Bortakovskii A.S. Sufficient conditions of optimality of logic-dynamical systems // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2000. - Владимир: ВГУ, 2000. - С.21.

27. Bortakovskii A.S. Synthesis of optimal automaton part of deterministic logicdynamical system // IFAC Workshop: Modelling and Analysis of Logic Controlled Dynamic Systems. ЦIrkutsk: Inst. Syst. Dyn. and Control Theory Sib. Branch RAS, 2003. - C.198-202.

28. Bortakovskii A. Optimal Control of Automaton Type Dynamical Systems // Дифференциальные уравнения и топология: Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина: Тезисы докладов. - М.:

Изд. отдел фак-та ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова, 2008. - С.227.

29. Bortakovskii A.S., Pegachkova E.A. Optimal automaton component synthesis of logic-dynamical system // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, г.Суздаль, 2008: Тезисы докладов.

- Владимир, изд-во ВГУ, 2008. - С.277.

30. Bortakovskii A.S., Volokitin D.A. Synthesis of the automaton part of optimal logic-dynamical system. // Journal of mathematical sciences. - 2005. - v.126. - №6.

- p.1536-1541.

Монография 31. Пантелеев А.В., Руденко Е.А., Бортаковский А.С. Нелинейные системы управления. - М.: Вузовская книга, 2008. - 312 с.

Учебные пособия 32. Семенов В.В. Пантелеев А.В., Руденко Е.А., Бортаковский А.С. Методы описания, анализа и синтеза нелинейных систем управления. - М.: Изд-во МАИ, 1993. - 312 с.

33. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 2003. - 583 с.

Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по техническим специальностям