Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Нуров Исхокбой Джумаевич
ОПЕРАТОРНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МАЛЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
01.01.02 - дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук
Душанбе - 2008
Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Юмагулов Марат Гаязович Официальные опоненты: доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент АН РТ Мухамадиев Эргашбой Мирзоевич доктор физико-математических наук Пенкин Олег Михайлович доктор физико-математических наук, профессор Терехин Михаил Тихонович
Ведущая организация: Магнитогорский государственный университет
Защита состоится 2008 г. в 11ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики АН РТ, 734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/1.
С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики АН РТ.
Автореферат разослан 2008 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Халилов Ш.Б.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Современный этап развития теории дифференциальных уравнений характеризуется как стремлением к анализу и переосмыслению огромного количества накопленного научнопрактического материала, так и созданием новых, более общих и содержательных точек зрения, разработкой новых качественных и приближенных методов исследования дифференциальных уравнений, направленных на решение сложных задач теории и практики. Указанным направлениям исследования посвящена обширная литература.
Современные методы качественного анализа дифференциальных уравнений берут свое начало в работах А.Пуанкаре, А.М.Ляпунова, А.А.Андронова и др. Эти методы условно можно разбить на две группы. Первая группа методов ориентирована на изучение нелокальной теории дифференциальных уравнений, когда решения изучают либо во всем фазовом пространстве, либо в существенной ее части. Вторая группа ориентирована на изучение локальной теории дифференциальных уравнений, когда решения изучают, например, в окрестностях особых точек, периодических решений, инвариантных многообразий и т.
п.
Методы нелокальной теории развивались по ряду направлений.
Упомянем лишь некоторые из большого числа методов, показавших свою эффективность при решении многих задач теории и практики.
Были разработаны методы инвариантных многообразий, методы построения вполне непрерывных операторов, неподвижные точки которых определяют периодические решения систем дифференциальных уравнений, методы теории абсолютной устойчивости, с наибольшей полнотой разработанные в нелокальных проблемах теории управления, и многие другие. Особую роль в задачах о периодических решениях систем, близких в том или ином смысле к резонансным линейным системам, играет метод гармонического баланса.
При изучении локальной теории дифференциальных уравнений возникают две принципиально различные ситуации.
Первая ситуация связана с тем, что линеаризованное уравнение в окрестности особой точки является невырожденным. Поведение решений таких уравнений хорошо изучено, здесь разработан ряд эффективных методов, таких как метод малого параметра, метод усреднения, метод аналитического продолжения (Н.Н.Боголюбов, А.Н.Крылов, А.А.Митропольский, И.Г.Малкин, М.Розо, И.З. Штокало и другие).
Вторая ситуация возникает в задачах исследования поведения решений дифференциальных уравнений, когда линеаризованное уравнение является вырожденным. При этом, как правило, дифференциальные уравнения содержат различные параметры. Возникающие здесь задачи приводят к необходимости исследования эволюции поведения системы в окрестностях особых точек в зависимости от значений параметров. Типичными здесь являются такие эффекты как ветвление решений и различные бифуркации (положений равновесия, периодических или почти периодических колебаний и т.п.). Существенный вклад в развитие теории бифуркаций и теории ветвления решений нелинейных уравнений внесли В.И.Арнольд, Р.И.Богданов, В.В.Вайнберг, Н.К.Гаврилов, Дж.Гукенхеймер, Д.Джосеф, Ю.С.Ильяшенко, Ж.Йосс, Ю.А.Кузнецов, М.МакКракен, Дж.Марри, Дж.Марсден, Ф.Такенс, М.Т.Терехин, В.А.Треногин, Ф.Холмс, Л.П.Шильников, А.Н.Шошитайшвили и др.
Важный раздел локальной теории дифференциальных уравнений составляют задачи о рождении малых циклов из положений равновесия автономных и неавтономных систем при изменении параметров системы. Этой проблематике, восходящей к классическим работам А.Пуанкаре, А.А.Андронова и Е.Хопфа, посвящена обширная литература. Методы исследования бифуркаций Андронова-Хопфа в системах с гладкими нелинейностями основаны на использовании аналитической теории, теорем о центральном многообразии, нормальных форм.
Негладкая ситуация впервые изучена М.А.Красносельским, который предложил и использовал специальный метод функционализации параметров.
В задачах исследования поведения решений дифференциальных уравнений в окрестностях особых точек широкое распространение получил подход, основанный на применении методов функционального анализа, алгебры и геометрии. Этот подход, который можно называть операторным, показал свою эффективность в работах В.И.Арнольда, П.П.Забрейко, М.А.Красносельского, Э.М.Мухамадиева, Е.Н.Розенвассера, В.А.Треногина и многих других математиков. На основе разработанных методов удалось решить ряд важных для теории и практики задач, в частности, классифицировать основные типы локальных бифуркаций в нелинейных динамических системах, получить эффективные признаки различных ветвлений и бифуркаций, провести анализ устойчивости решений, предложить методы построения решений и др.
Многие вопросы современной теории дифференциальных уравнений и многочисленные приложения требуют дальнейшего развития операторных методов. Здесь особо актуальны следующие основные направления исследований. Первое связано с разработкой методов, приводя их не только к признакам ветвления или бифуркации решений, но и к возможности приближенного построения решений, получения асимптотических (по параметрам) формул, проведения анализа устойчивости решений и т.д..
Второе направление связано с разработкой методов, учитывающих специфику данного дифференциального уравнения для различных классов динамических систем, в частности, для задачи о возникновении вынужденных и свободных колебаний, для дифференциальных уравнений теории управления и др.
Третье направление относится к приложениям, в частности, к разработке алгоритмов и программ численного исследования поведения решений дифференциальных уравнений. Сложное поведение решений дифференциальных уравнений в окрестностях особых точек часто выдвигает на первый план именно компьютерное моделирование системы. В этой связи особый интерес вызывает разработка операторных методов, которые могут быть доведены до алгоритмов и программ численного исследования системы.
Цель работы. Разработка новых общих операторных методов исследования поведения решений нелинейных дифференциальных уравнений в окрестностях особых точек, приводя их к качественным и количественным характеристикам решений.
Конструирование семейств операторных уравнений, определяющих основные сценарии поведения решений широкого класса дифференциальных уравнений в окрестностях вырожденных особых точек. Разработка итерационных процедур приближенного исследования операторных уравнений.
Получение новых признаков бифуркаций периодических и почти периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, основанных на анализе эффективно вычисляемых спектральных характеристик особых точек.
Исследование сценариев бифуркационного поведения систем с медленно меняющимися и слабоосциллирующими параметрами в окрестностях особых точек.
Разработка пакета программ компьютерного моделирования поведения решений дифференциальных уравнений, основанных на итерационных процедурах численного построения решений эквивалентных операторных уравнений.
Методы исследования. В работе использовались методы общей и качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории нелинейных колебаний, теории устойчивости, теории бифуркаций и ветвления решений операторных уравнений, теории управления, теории приближенного решения операторных уравнений, метод функционализации параметра, методы усреднения и малого параметра.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.
1. Разработан новый операторный метод исследования поведения решений нелинейных дифференциальных уравнений в окрестностях особых точек, близких к линейным резонансным системам. В основе метода положено конструирование семейств операторных уравнений, решения которых позволяют исследовать основные сценарии бифуркационного поведения дифференциальных уравнений. Предложена схема итерационного построения решений операторных уравнений, определены асимптотические формулы для решений.
2. Предложена новая схема исследования бифуркации нелинейных колебаний в дифференциальных уравнениях теории управления, основанная на эффективном использовании аппарата импульсночастотных характеристик и функций Грина, что позволило получить новые необходимые и достаточные условия существования периодических колебаний.
3. Предложены новые условия бифуркации малых автоколебаний, основанные на вычислении характеристик специально конструируемых векторных полей. Полученные результаты являются новыми для широкого класса динамических систем и дифференциальных уравнений теории управления.
4. На основе предложенных методов получены новые результаты в задачах исследования различных модельных уравнений (уравнение Льенара, Ван-дер-Поля, Лоренца и др.) 5. Получены новые результаты в задаче об основных сценариях бифуркационного поведения нелинейных систем с медленно меняющимися и слабоосцилирующими параметрами. Установлено, что при достаточно об их предположениях бифуркация двукратного равновесия преобразуется в бифуркацию вынужденных колебаний, а бифуркация свободных колебаний в бифуркацию почти периодических колебаний.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация в значительной степени носит теоретический характер. В ней на основе функционально-операторного подхода изучаются вопросы локальной теории нелинейных дифференциальных уравнений, зависящих от параметров, разработаны методы исследования периодических колебаний в окрестностях особых точек, их приближенное построение, анализ устойчивости, исследованы основные сценарии бифуркационного поведения динамических систем, предложена и обоснована новая итерационная процедура численного исследования бифуркации автоколебаний. Полученные результаты доведены до расчетных формул, составлены и отлажены соответствующие программы. Предложенная итерационная процедура позволяет эффективно строить бифурцирующие решения, а также позволяет в новых условиях обнаруживать возникновение периодических колебаний при изменении параметров.
Полученные результаты важны в задачах локальной теории дифференциальных уравнений, в задачах приближенного построения периодических колебаний нелинейных динамических систем теории управления. Предложенные методы итерационного построения решений могут быть использованы при составлении алгоритмов и программ численного исследования колебаний.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, МГУ, 2007 г.); на Международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100-летию И.Н. Векуа (Новосибирск, 2007 г.); на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(Душанбе, 2002 г.);
на Международной конференции "7 th International Pure Mathematics conference"(Пакистан, Исламабад, 2006 г.); на Международной конференции "International Congress on Ghiyath Al-Din Jamshid Kashani (ICGK, 2000 г.)"(Kashan, I.R. Iran); на Второй Международной конференции по проблемам управления, (Москва, ИПУ РАН 1999 г.); на Второй и Третьей Всероссийских научных конференциях "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB"(Москва, ИПУ РАН, 2004 г. и Санкт-Петербург, СПбГУ, 2007 г.); на Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, 2005 г.); на семинаре ICTP, Триест (Италия, 2005 г., руководитель - профессор - Д. Ли); на семинаре в Институте проблем управления Российской академии наук (Москва, 2002 г., руководитель - профессор Н.А.Бобылев); на семинарах Сибайского института Башгосуниверситета (2004-2007 гг., руководитель - профессор М.Г.Юмагулов); на семинарах в Институте математики АН Республики Tаджикистан (2000-2007 гг.);
Публикации и личный вклад. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Tеоремы 1, 6 и 7 получены совместно с М.Г.Юмагуловым.
По теме диссертации опубликовано более 20 научных статей. Список основных публикаций приведен в автореферате.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав и приложения. Главы разбиты на параграфы. Список литературы содержит 103 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
В Введении обосновывается актуальность рассматриваемых в диссертационной работе задач, приводится обзор литературных источников, формулируется цель исследований, кратко излагается основное содержание работы.
Первая глава (зз1.1-1.5) носит вспомогательный характер и содержит 5 параграфов.
В з1.1 вводятся в рассмотрение дифференциальные уравнения вида dx = f(x), x RN, dt dx = f(x, t), x RN, dt в которых функции f(x) и f(x, t) определены и непрерывны во всем пространстве RN и при всех t, а также уравнения вида dx = Ax + (x).
dt dx = A(t)x + (x, t), dt где A и A(t) - квадратные матрицы, а функции (x) и (x, t) содержат слагаемые высшего порядка малости по x в окрестности нуля.
Для таких уравнений сформулированы задачи о периодических решениях и указаны способы перехода к эквивалентным интегральным уравнениям.
В з1.2 и з1.3 приводятся вспомогательные сведения из качественной теории дифференциальных уравнений: вопросы структурной устойчивости, краткие сведения из теории бифуркаций.
В з1.4 приводятся основные положения метода функционализации параметра, предложенного М.А.Красносельским для решения задач со связными континуумами неподвижных точек. Такими являются, например, задачи о периодических решениях автономных дифференциальных уравнений, ряд краевых задач для уравнений с частными производными. Соответствующие операторные уравнения, как правило, содержат параметры, и интересующие решения обычно существуют при неизвестных значениях параметров. Для решения таких задач М.А.Красносельский предложил метод перехода к эквивалентным в естественном смысле задачам с изолированными решениями, основанный на том, что параметры задачи заменяются специально сконструированными функционалами.
В з1.5 приводятся основные положения метода Ньютона-Канторовича в той форме, в которой он используется в работе. В заключительном параграфе первой главы приводятся краткие сведения о дифференциальных уравнениях с почти периодическими коэффициентами.
Вторая глава (зз2.1-2.6) содержит основные результаты диссертации, связанные с разработкой качественных и приближенных методов исследования свободных колебаний дифференциальных уравнений в окрестностях вырожденных особых точек.
В з2.1 приводятся основные положения операторного метода исследования бифуркационных задач. Рассматривается зависящее от скалярного параметра операторное уравнение вида x = A()x + a(x, ), x E, (1) где E - банахово пространство, A() : E E - вполне непрерывный оператор; a(x, ) удовлетворяет соотношению a(x, ) = o( x ), x 0.
Число 0 называют точкой бифуркации малых решений уравнения (1), если существует последовательность n 0 такая, что при = n уравнение (1) имеет ненулевые решения xn : xn 0.
Необходимым условием бифуркации является требование, чтобы оператор A(0) имел собственное значение 1. Уравнение (1) исследуется с помощью метода функционализации параметра, т.е. параметр заменяется функционалом = f(x):
x = A[f(x)]x + a[x, f(x)]. (2) Для изучения бифурцирующих решений уравнения (1) предлагается итерационная процедура, основанная на применении к уравнению (2) метода Ньютона-Канторовича, дается обоснование ее сходимости.
В з2.2 рассматривается автономная система x = F (x, ), x RN, R1, (3) в которой N 2. Предполагается, что F (x, ) является дифференцируемой по x и . Пусть система (3) при всех имеет изолированное положение равновесия x 0. Пусть матрица A() = Fx(0, ) при = 0 имеет одну простую пару чисто мнимых собственных значений iw0, w0 > 0. В этом случае в системе (3) в окрестности решения x = 0 могут возникать устойчивые или неустойчивые предельные циклы - это явление обычно связывают со следующим понятием.
Число 0 называют точкой бифуркации Андронова-Хопфа системы (3), если найдется последовательность n такая, что пpи каждом = n система (3) имеет ненулевое пеpиодическое решение x = xn(t) некоторого периода Tn, пpи этом n 0 и max |xn(t)| 0 пpи t n .
Бифуркация Андронова-Хопфа является локальной бифуркацией коразмерности один. Наиболее типичной ситуацией, отвечающей бифуркации Андронова-Хопфа, является та, когда матрица A() = Fx(0, ) в подходящей системе координат в точке 0 имеет вид:
0 - A(0) = 0 0, 0 B где 0 > 0, а матрица B не имеет собственных значений на мнимой оси. Другими словами, матрица A(0) имеет пару простых чисто мнимых собственных значений 0i, а остальные ее собственные значения имеют ненулевые вещественные части.
Ниже для простоты действующие в RN линейные операторы и соответствующие ими квадратные матрицы будут обозначаться одинаково. Так как A() = Fx(0, ), то систему (3) можно представить в равносильном виде x = A()x + a(x, ), x RN, (4) где a(x, ) - нелинейная вектор-функция равномерно по удовлетворяющая соотношению a(x, ) = ( x ) при x 0.
Так как собственные значения 0i матрицы A0 = A(0) и транспонированной к ней матрицы A простые, то найдутся такие пары линейно независимых векторов e, g RN и e, g RN, что A0e = -0g, A0g = 0e, Ae = 0g, Ag = -0e;
0 e = g = 1, (e, e) = (g, g) = 1, (e, g) = (g, e) = 0.
Пространство RN единственным образом разложимо в прямую сумму RN = E0 E0 инвариантных для оператора A0 подпространств, при этом пространство E0 является двумерным с базисом из векторов e и g. Разложение RN = E0 E0 порождает операторы 0 проектирования P0 : RN E0 и P : RN E0, причем P = I - Pи P0x = (x, e)e + (x, g)g.
Положим A = A (0) и определим число = (A e, e) + (A g, g).
Теорема 1. Пусть = 0. Tогда значение 0 параметра является точкой бифуркации Андронова-Хопфа для системы (4).
В з2.3 и з2.4 изучаются задачи о свободных колебаниях дифференциальных уравнений теории управления.
В начале з2.3 приводятся вспомогательные сведения из теории автоматического управления, такие как линейное звено, интегральное звено первого порядка, звено с дробно-рациональной передаточной функцией, импульсно-частотная характеристика и т.п. Рассматриваются также нелинейные дифференциальные уравнения теории автоматического управления.
Во многих динамических нелинейных системах периодические движения на выходе линейной части оказываются близкими к синусоидальным. При исследовании такого типа автоколебательных режимов естественной является гипотеза "авторезонанса", состоящая в том, что возникающие в нелинейной системе автоколебания близки по форме к колебаниям в "порождающей"линейной системе. Эта гипотеза лежит в основе приближенных методов исследования автоколебаний, таких, как методы малого параметра, эквивалентной линеаризации и гармонического баланса. Она же является основной в предлагаемом методе исследования свободных колебаний дифференциальных уравнений теории управления.
Рассматривается нелинейная система дифференциальных уравнений, динамика которой описывается уравнением d d L ; x = M ; f(x, ), (5) dt dt где L(p, ) = pn + a1()pn-1 + a2()pn-2 +... + an(), (6) M(p, ) = b0()pm + b1()pm-1 +... + bm() (7) - многочлены с нерерывно зависящими от скалярного параметра вещественными коэффициентами, n > m 0; характеристика f(x, ) нелинейного звена системы предполагается непрерывной по совокупности переменных, причем представимой в виде f(x, ) = c()x + (x, ), (8) где функции c() и (x, ) непрерывны по своим переменным и равномерно по выполнено условие |(x, )| = (|x|), |x| 0.
Систему (5) называют одноконтурной системой управления, линейное звено которой имеет дробно-рациональную передаточную функцию M(p, ) W (p, ) =, (9) L(p, ) а нелинейная обратная связь - характеристику (8).
Пусть при некотором = 0 выполнены условия:
U11 Уравнение L(p, 0) - c(0)M(p, 0) = 0 (10) имеет два чисто мнимых корня p = 0i, 0 > 0, и не имеет корней вида i0k, где k = 0, 2, 3, ;
U12 Имеют место соотношения L(0ki, 0) = 0, k = 0, 1, 2, .
Tогда уравнение d d L ; 0 x = c(0)M ; 0 x dt dt имеет решения вида A sin 0t и A cos 0t. Естественно считать, что значение 0 будет бифуркационным для системы (5), т.е. в ней могут 2 возникать периодические колебания с периодом близким к T0 =.
Значение 0 является точкой бифуркации Андронова-Хопфа уравнения (5), если существует последовательность n 0 такая, что при = n уравнение (5) имеет ненулевые периодические решения xn(t), причем max |xn(t)| 0 пpи n .
t Для изучения бифуркации малых решений уравнения (5) использован метод функционализации параметра. С этой целью для чисел q > 0 определяются области q = {y(t) CF : y(t) - q sin 2t 1/4}. (11) CF Здесь CF - пространство непрерывных на [0, 1] функций, ряды Фурье которых сходятся абсолютно; норма элемента y(t) CF вводится равенством y(t) = |yk|, где yk - коэффициенты Фурье функции y(t). Ясно, что 0 не принадлежит q для любого q > 0.
Далее строятся функционалы q[y(t)] = 0 + q-1[2 y() sin 2d - q], (12) Tq[y(t)] = T0 + 2q-1 y() cos 2d. (13) Затем вводится понятие оператора (T, ) периодической задачи для линейной системы L(T, )x = M(T, )u; (14) этот оператор каждой T -периодической функции u(t) ставит в соответствие единственное T -периодическое решение x(t) системы (14).
Задача о бифуркации малых решений уравнения (5) равносильна задаче о бифуркации малых решений уравнения Gq(y) + Wq(y) = 0, (15) где y = y(t) CF [0, 1] и Gq(y) = c[q(y)](Tq(y); q(y))y - y, (16) Wq(y) = (Tq(y); q(y))[y; q(y)]. (17) Если y = yq(t) - какое-либо решение уравнения (15), то функция xq(t) = yq(t/Tq), где Tq = Tq(yq(t)), будет Tq -периодическим решением уравнения (5) при = q(yq(t)).
Уравнение (15) является основным в наших построениях; его решения ищутся в области (11). При изучении уравнения (15) установлены следующие вспомогательные утверждения.
емма 1. Нелинейные операторы (16) и (17) действуют и непрерывны в пространстве CF [0, 1].
емма 2. Пусть коэффициенты многочленов (6) и (7) и функция c() дважды непрерывно дифференцируемы по . Tогда нелинейный оператор (16) дифференцируем по Фреше при любом y(t) q, причем его производная G q(y) удовлетворяет условию Липшица G q(x) - G q(y) L0q-1 x - y (x, y q), CF CF в котором число L0 от q не зависит.
емма 3. Производная G q(y) оператора (16) при y = q sin 2t от q не зависит и представляется в виде G q(q sin 2t)h = Re[i(1Reh1 + 2Imh1)exp(2it)]+ + Rkhk exp(2kit), (18) k =где hk - комплексные коэффициенты ряда Фурье функции h(t) CF, 2 2 2 1 = c(0)W( ; 0) + c (0)W (, 0), 2 = c(0)Wp( ; 0), T0 T0 T(19) 2ki Rk = c(0)W ( ; 0) - 1, k = 1; (20) Tздесь W (p, ) - передаточная функция (9).
емма 4. Для того, чтобы оператор G q(q sin 2t) : CF CF был непрерывно обратим, необходимо и достаточно, чтобы числа (19) удовлетворяли условию Im(12) = 0 (21) Пусть выполнено соотношение (21). Тогда определен оператор 0 = [Gq(q sin 2t)]-1 : CF CF. В силу леммы 3 оператор 0 от q не зависит. Далее, положим Dq(y) = 0Wq(y), где Wq(y) - оператор (17).
емма 5. Пусть нелинейность (y, ) дважды непрерывно дифференцируема по совокупности переменных. Тогда оператор Dq(y) удовлетворяет оценкам:
Dq(y) q (q) (y q), CF Dq(x) - Dq(y) (q) x - y (x, y q), CF 2 CF где (q), (q) - 0 при q - 0.
1 Положим l(q) = 2 0 L0 (q) + (q), CF r(q) = ( 0 L0)-1[1 - (1 - 2 0 L0 (q))1/2]q.
CF CF Основным в з2.3 является следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть выполнено условие (21). Пусть q l(q) < 1, r(q) Тогда уравнение (15) имеет в области q единственное решение yq(t), которое может быть получено как предел последовательных приближений yn+1(t) = yn(t) - 0[Gq(yn) + Wq(yn)] (n = 0, 1,...), (22) где y0(t) = q sin 2t. При этом сходимость yn(t) - yq(t) CF является геометрической и справедливы соотношения q(yq(t) и Tq(yq(t) T0 при q 0.
Затем приводится алгоритм построения малых автоколебаний. Для этого операторы Gq(y) и Wq(y) вычисляются по следующим формулам (см. (16) и (17)):
2ki Gq[y(t)] = c() ykW ( ; ) exp(2kit) - y(t) T k=- 2ki Wq[y(t)] = kW ( ; ) exp(2kit), T k=- где = q(y(t)), T = Tq(y(t)), а yk и k комплексные коэффициенты Фурье функций y(t) и [y(t); ] соответственно.
В з2.3 проводится анализ устойчивости бифурцирующих решений t xq(t) = yq( ) уравнения (5), возникающих при = q = q[yq(t)].
Tq Прежде всего приведем следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть уравнение (10) имеет корень с положительной вещественной частью. Тогда бифурцирующие решения xq(t) уравнения (5) неустойчивы при достаточно малых q > 0.
Пусть теперь уравнение (10) не имеет корней с положительной вещественной частью.
Так как уравнение (10) имеет корни i0 и коэффициенты многочленов L(p, ) и M(p, ), а также функция c() непрерывны, то уравнение L(p, q) - c(q)M(p, q) = при малых q > 0 имеет ровно два решения p = q iq, где q 0, q 0 при q 0, причем вещественные части всех остальные решений этого уравнений не превосходят некоторого -0 < 0.
Теорема 4. Пусть все корни уравнения (10), за исключением корней i 0, лежат в левой полуплоскости. Пусть q < 0 и, кроме того, | (q sin 2t, )| = o(|q|), q 0. (23) Tогда бифурцирующие решения xq(t) уравнения (5) орбитально асимптотически устойчивы при всех малых q > 0.
Теорема 5. Пусть q > 0 и выполнено соотношение (23). Tогда бифурцирующие решения xq(t) уравнения (5) является неустойчивыми при всех малых q > 0.
В з2.4 приводится метод импульсно-частотных характеристик (ИЧХ) решения задачи о бифуркации для дифференциальных уравнений вида (5), в которых функции L(p, ) и M(p, ) либо имеют вид (6) и (7), либо могут быть квазимногочленами вида r n-L(p, ) = pn + pj e-psdj(s, ), (24) j=r m M(p, ) = b0pm + pj e-psdj(s, ), (25) j=где j(t, ) и j(t, ) - функции ограниченной вариации, определенные при t [0, r] и непрерывные по .
Понятие ИЧХ тесно связано с введенным выше понятием оператора (T, ) периодической задачи для линейного звена (14), а именно, оператор (T, ) представим в виде T (T, )u(t) = G(t - s, T, ) ds;
ядро этого оператора, т.е. функцию G(t, T, ), называют ИЧХ или функцией Грина линейного звена (14) в задаче о T -периодических решениях.
Известны различные представления для ИЧХ. Например, если все нули j многочлена (6) простые, то ИЧХ G(t, T ) описывается равенством n M(j) exp(jt) G(t, T ) =, 0 t < T.
Lp(j)(1 - exp(jT )) j=В случае кратных нулей для G(t, T ) имеют место более сложные представления. Аналогичные формулы известны для квазиполиномов (24) и (25). Ограничимся приведением результатов, относящихся к многочленам (6) и (7).
Пусть многочлены L(p, ) и M(p, ) удовлетворяют указанным выше условиям U11 и U12.
Пусть j - нули многочлена (6), при этом все эти нули являются простыми. Определим числа n n n mj M(j, 0) jmj = T0, =, =, j j j j=1 j=1 j=где M(j, 0)Lp(j, 0) - M(j, 0)L p(j, 0) mj =, L p(j) 2 j Tj = Lp(j, 0)(1 + ).
4Теорема 6. Пусть выполнены условия U11 и U12. Пусть , = 0.
Tогда 0 - точка бифуркации для уравнения (5) в задаче о T0 - периодических решениях.
В з2.5 в качестве иллюстрации приводятся результаты исследования некоторых модельных уравнений (уравнение Ван-дер-Поля, Льенара и др.) В з2.6 приводятся доказательства основных утверждений второй главы.
Tретья глава (зз3.1-3.3) посвящена рассмотрению двумерных динамических систем.
Для таких систем изучаются условия возникновения периодических решений при потере устойчивости стационарных состояний (задача о бифуркации Андронова-Хопфа). Приводится новое доказательство теоремы о признаках бифуркации, основанное на методах теории вращения векторных полей.
В з3.1 изучаются динамические системы, описываемые дифференциальным уравнением второго порядка x + a()x + b()x = (x, ), (26) в котором коэффициенты a() и b() и функция (x, ) зависят от скалярного параметра . Предполагаются выполненными следующие условия:
1 коэффициенты a() и b() и функция (x, ) непрерывно дифференцируемы;
2 равномерно по параметру выполнено соотношение (x, ) = (|x|), |x| 0 ;
3 при некотором = 0 выполнены соотношения:
a(0) = 0, a (0) = 0, b(0) > 0, при этом b(0) =, k = 2, 3,...
k2 - Положим 2 0 = b(0), T0 =.
Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 7. Пусть выполнены условия 1-3. Тогда число 0 будет точкой бифуркации Андронова-Хопфа в задаче о рождении T0 -периодических решений уравнения (26).
Доказательство этой теоремы приводит к локализации бифурцирующих решений и указывает основные характеристики коэффициентов уравнения (26), влияющих на свойства бифуркации. Полученные результаты основаны на методах теории вращения векторных полей.
В з3.2 рассматривается уравнения Льенара вида x + a1()x + a2()x = f(x, x ; ), (27) правая часть которого представима в виде f(x, y; ) = b1()(x; )y + b2() (; )d, (28) при некоторой непрерывной функции (x, ) такой, что (0, ) = 0.
Для уравнения (27) получены необходимые и достаточные условия бифуркации периодических решений, при этом для построения решений разработана итерационная процедура.
В з3.3 приводятся доказательства основных утверждений третьей главы.
В четвертой главе (зз4.1-4.4) основным объектом исследования снова является дифференциальное уравнение вида (4):
x = A()x + a(x, ), x RN. (29) Число = 0 называют точкой бифуркации двукратного равновесия системы (29), если существуют последовательности n и xn 0, xn = 0, такие, что A(n)xn + a(xn, n) = 0. Бифурка ция является суб(супер)критической, если числа n удовлетворяют неравенству n < 0 (n > 0 ).
В процессе функционирования системы ее параметры обычно медленно эволюционируют по какому-либо закону. При этом естественно эффекты бифуркации могут меняться.
Исследуется ситуация, когда параметр слабо осциллирует по периодическому закону в окрестности точки бифуркации 0 :
= f(t) = 0 + (t), (t + T ) (t), | | 1.
В этом случае уравнение (29) принимает вид:
x = A[f(t)]x + a[x, f(t)], (30) в котором является параметром.
Число = 0 называют точкой бифуркации вынужденных колебаний системы (30), если существует последовательность n 0 такая, что при = n система (30) имеет ненулевое T - периодическое решение xn(t) такое, что xn(t) 0.
C Бифуркация является суб(супер)критической, если числа n удовлетворяет неравенству n < 0 (n > 0).
Предполагается, что выполнены нижеприводимые условия U1 и U2.
U1. Число 0 является простым собственным значением матрицы A(0).
Обозначим через e0 собственный вектор матрицы A(0), соответствующий нулевому собственному значению, а через g0 собственный вектор транспонированной матрицы A(0), соответствующий нулевому собственному значению.
U2. Lмеет место соотношение k0 = (A (0)e0, g0) = 0.
Здесь A () - матрица, полученная дифференцированием элементов матрицы A().
Из общей теории бифуркаций следует, что если выполнены условия U1 и U2, то 0 является точкой бифуркации двукратного равновесия уравнения (29).
Положим T 0 = ()d. (31) Теорема 8. Пусть выполнены условия U1 и U2. Пусть 0 = 0.
Tогда = 0 является точкой бифуркации вынужденных колебаний системы (30).
Таким образом, бифуркация двукратного равновесия системы (29) преобразуется (при условии 0 = 0) в бифуркацию вынужденных ко лебаний системы (30).
Пусть, например, 0 > 0. Tогда при > 0 функция = 0 + (t) принимает свои значения в основном при > 0, а при < 0 - при < 0. Естественными являются следующие вопросы:
1) если бифуркация в системе (29) является суперкритической (субкритической), то будет ли бифуркация в системе (30) также является суперкритической (субкритической)? 2) пусть тип бифуркации в системах (29) и (30) одинаков. Одинаковы ли тогда свойства устойчивости бифурцирующих решений? Исследование этих вопросов проводятся в предположении, что нелинейность a(x, ) в системе (29) представима в виде a(x, ) = a2(x, ) + a3(x, ) + b(x, ), (32) где a2(x, ) и a3(x, ) содержат квадратичные и кубические по x cлагаемые соответственно, a b(x, ) содержит члены более высокого порядка малости.
Имеют место следующие утверждения.
Теорема 9. Пусть (a2(e0, 0), g0) = 0. Тогда бифуркации в системах (29) и (30) являются двусторонними, при этом существует одно семейство бифурцирующих решений x = x() для системы (29) и одно семейство x = x(t, ) для системы (30).
Теорема 10. Пусть (a2(e0, 0), g0) = 0, (a3(e0, 0), g0) = 0. Тогда бифуркации в системах (29) и (30) являются односторонними: суперкритическими или субкритическими. При этом, если 0 > 0 и бифуркация в системе (29) является суперкритической (субкритической), то бифуркация в системе (30) также является суперкритической (субкритической).
В з4.1 рассматривается также вопрос об устойчивости бифурцирующих решений систем (29) и (30).
В з4.2 система (30) исследуется в предположении, что для системы (29) значение 0 является точкой бифуркации Андронова-Хопфа. Другими словами, здесь изучается вопрос о том, во что может преобразоваться бифуркация Андронова-Хопфа в ситуации, когда ее параметры слабо осциллируют в окрестности точки бифуркации.
Бифуркация Андронова-Хопфа в системе (29) возможна лишь тогда, когда матрица A(0) имеет собственные значения с нулевой вещественной частью.
Теорема 11. Пусть для системы (29) выполнены условия теоремы 1. Пусть 0 < 0 (0 > 0); тогда x = 0 является асимптотически устойчивым(неустойчивым) решением уравнения (30) при малых > 0.
Отметим, что в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа для системы (29) решение x = 0 становится неустойчивым при ( - 0) > 0; т.
е. если, например, > 0, то решение x = 0 неустойчиво при > 0.
Число = 0 называют точкой бифуркации почти периодических колебаний уравнения (30), если существует последовательность n такая, что при каждом = n уравнение (30) имеет ненулевое почти периодическое решение xn(t), при этом xn(t) 0. Здесь x(t) C C означает норму функции x(t) в равномерной метрике.
Теорема 12. В условиях теоремы 11 при всех малых > 0 система (30) имеет семейство ненулевых почти периодических решений x(t, ), представимых в виде x(t, ) = x0(t, ) + h(t, ), где x0(t, ) - периодическое решение некоторого периода T = T () 2 так, что T () T0 =, а h(t, )- это почти периодическая функция, удовлетворяющая соотношению h(t, ) = ( x0(t, ) ) при C 0. Функция x0(t, ) - это бифурцирующее решение задачи о бифуркации Андронова-Хопфа для усредненной системы x = [A(0) + 0A (0)]x + a(x, ), (33) T где a(x, ) = a[x, 0 + (t)]dt.
Таким образом, явление бифуркации Андронова-Хопфа является в естественном смысле устойчивым по отношению к малым периодическим возмущениям параметров системы: она преобразуется в бифуркацию почти периодических колебаний.
Теорема 12 позволяет определить асимптотику (по малому параметру > 0) для почти периодических решений x(t, ) системы (30).
Оказывается, возникающие почти периодические колебания x(t, ) системы (30) в первом приближении аппроксимируются периодическими функциями x0(t, ), являющимися решениями автономной системы (33) и для построения которых применимы, в частности, методы приведенные выше.
В зз4.3 и 4.4 приводятся примеры исследования дифференциальных уравнений на основе методов, изложенных в зз4.1-4.2, а в з4.приводятся доказательства основных утверждений четвертой главы.
Приведем один из рассмотренных в з4.4 примеров. Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля вида x + (3x2 - )x + x = 0, (34) которое представимо в операторной форме:
d d L(, )x = M( )F (x), dt dt где L(p, ) = p2 + (1 - )p + 1, M(p) = p, F (x) = x - x3.
Критическим значением параметра в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа для уравнения (34) будет 0 = 0, при этом возникающие периодические решения будут иметь период близкий к T0 = 2.
В работе разработана программа численного исследования бифуркации, основанная на теореме 2. Указанная программа вынесена в Приложение. После вычислений по этой программе для уравнения (34) получен ряд численных результатов, некоторые из которых приведены в таблице 1.
Tаблица 1.
T X(y = 0) T X(y = 0) 0.0250019 6.283460 0.1822563 0.025 6.28343 0.1820.0500001 6.284166 0.2579640 0.05 6.28417 0.2580.1000173 6.287109 0.3651145 0.1 6.28711 0.3640.2000306 6.298851 0.5163732 0.2 6.29888 0.515Первые три колонки таблицы относятся к результатам, полученным в работе на основе предложенной процедуры численного исследования бифуркации; следующие три колонки относятся к "точным"результатам. Здесь - значение параметра, при котором строилось бифурцирующие решение (при этом значение строилось на основе процедуры, приведенной в теореме 2), T - значение периода этого решения, X(y = 0) - значение решения x(t) уравнения (34) в момент времени t0, когда x (t0) = 0.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ 1. Разработаны теоретические положения о новом операторном методе исследования поведения решений нелинейных дифференциальных уравнений в окрестностях вырожденных особых точек.
2. Предложены новые семейства операторных уравнений в задачах о бифуркации периодических и почти периодических колебаний нелинейных дифференциальных уравнений, решения которых изолированы в соответствующих пространствах и могут быть построены итерационными процедурами.
3. Получены новые признаки бифуркации периодических и почти периодических решений нелинейных систем, основанные на анализе эффективно вычисляемых спектральных характеристик особых точек.
4. Исследованы общие свойства функций Грина в задаче о периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений теории управления, позволившие получить новый метод построения периодических решений дифференциальных уравнений, возникающих в окрестностях особых точек.
5. Предложена новая процедура исследования основных сценариев бифуркационного поведения систем с медленно меняющимися и слабоосцилирующими параметрами.
6. Разработаны алгоритмы и программы численного исследования бифуркации периодических и почти периодических колебаний нелинейных дифференциальных уравнений.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах:
1. Нуров И.Д. Об одном способе численного исследования бифуркации малых автоколебаний в нелинейных системах управления. - Деп.
в ВИНИТИ, 1990 г., №5734-T90, 26 с.
2.Нуров И.Д. О приближенном исследовании бифуркации малых автоколебаний в нелинейных системах. - Доклады АН Tадж. ССР, 1991 г., №4, С. 7-12.
3. Нуров И.Д. О численном исследовании и анализе устойчивости бифурцирующих решений уравнений нелинейных систем управления.
Ц Деп. в ВИНИТИ №4521-T91 6 декабря 1991 г., 19 с.
4. Юмагулов М.Г., Нуров И.Д. О численном исследовании бифурцирующих решений нелинейных систем и анализе их устойчивости. - Тезисы докладов республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Куляб, 1991 г., С. 191-192.
5. Нуров И.Д., Юмагулов М.Г. Приближенное исследование малых периодических колебаний систем автоматического регулирования. - Автоматика и телемеханика, 1993 г., №3, С. 101- 108.
6. Юмагулов М.Г., Нуров И.Д., Матвеенко Н.И. Операторные методы исследования автоколебаний в динамических системах. - Сборник статей региональной конференции "Резонансные и нелинейные явления в конденсированных средах". Изд. Башгосуниверситета, Уфа, 1999, Т. 2, С. 46-47.
7. Юмагулов М.Г., Нуров И.Д. Операторные методы исследования автоколебаний двумерных динамических систем. - Материалы Международной конференции "Проблемы управления", Москва, 29 июня 2 июля 1999 г., С. 99-101.
8. Нуров И.Д., Юмагулов М.Г. Об одном методе исследования бифуркации периодических решений уравнения Льенара. - Доклады АН РТ, 2002 г., Том XLV, №3-4, С. 35-39.
9. Нуров И.Д., Юмагулов М.Г. Импульсно-частотные характеристики в бифуркационных задачах. - Автоматика и телемеханика, 20г., №5, С. 34-40.
10. Нуров И.Д. Об анализе устойчивости автоколебательных решений нелинейных систем управления. - Доклады АН РТ, 2002 г., Том XLV, №5-6, С. 35-41.
11. Нуров И.Д., Юмагулов М.Г. Задача о малых автоколебаниях в системах управления и метод функционализации параметра. - Доклады АН РТ, 2003 г., Том XLVI, №3-4, С. 28-33.
12. Nurov I. and Yumagulov M. Operator approach to the study of periodic solutions to Lienard equation. - Italian Journal of Pure and Applied Mathematics., 2003, №13, P. 71-81.
13. Юмагулов М.Г., Нуров И.Д. Методы теории вращения векторных полей в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа. - Вестник МаГУ, 2004 г., Вып. 5. Естественные науки, Магнитогорск, С. 191- 194.
14. Юмагулов М.Г., Нуров И.Д., Шарафутдинов И.В. Алгоритмы приближенного исследования задачи о бифуркации АндроноваХопфа. - Вторая Всероссийская научная конференция "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB", Москва, ИПУ РАН, 25-26 мая 2004 г.
15. Нуров И.Д. Локализация бифурцирующих решений в нелинейных автоколебательных системах. - Доклады АН РТ., 2005 г., Том XLVIII, №3-4, С. 44-50.
16. Нуров И.Д. Алгоритм приближенного исследования бифуркации Хопфа в нелинейных системах. - Вестник ТГНУ(серия математика), 2005 г., №2., C. 95-102.
17. Нуров И.Д. Бифуркационные проблемы со слабоосцилирующими параметрами. - Доклады АН РТ., 2006 г.,T49, №8, С. 704-709.
18. Нуров И.Д. Математическое моделирование бифуркационных задач в системе Maple. - Материалы Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной И.Г.Петровскому, МГУ, 2007 г., С. 218-219.
19. Нуров И.Д. Моделирование бифуркационных задач со слабоосциллирующими параметрами. - Материалы Международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100-лети И.Д. Векуа, Новосибирск, 2007 г., С.
242-243.
20. Юмагулов М.Г., Вышинский А.А., Нуров И.Д. Материалы Третьей Всероссийской научной конференции "Проектирование инженерных и научных приложений в среде Matlab". - Cанкт-Петербург, 23-октября 2007 г.
21. Юмагулов М.Г., Вышинский А.А., Нуров И.Д. Моделирование бифурцирующих решений k-параметрических динамических систем. - Доклады АН РТ, 2007 г., T. 50. №5, С. 409-416.
22. Юмагулов М.Г., Ибрагимова Л.С., Музафаров С.М., Нуров И.Д.
Бифуркация Андронова-Хопфа со слабоосцилирующими параметрами. - Автоматика и телемеханика, 2008 г., №1, С. 36-41.