Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям
1 На правах рукописи
АББАСОВ Ифтихар Балакиши
оглы МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ЯВЛЕНИЙ В ГИДРОДИНАМИКЕ И ГИДРОАКУСТИКЕ МЕТОДАМИ РАСЩЕПЛЕНИЯ И МАЛОГО ПАРАМЕТРА
Специальность: 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук
Таганрог - 2012
Работа выполнена в Технологическом институте Южного федерального университета в г. Таганроге.
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Сухинов А.И.
Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Ромм Я.Е.
(Таганрогский государственный педагогический институт, г. Таганрог);
доктор технических наук, доцент Максимов Ф.А.
(Институт автоматизации проектирования РАН, г. Москва);
доктор технических наук, доцент Барахнин В.Б.
(Институт вычислительных технологий СО РАН, г. Новосибирск).
Ведущая организация: Северо-Кавказский государственный технический университет, г. Ставрополь
Защита состоится л21 июня 2012 г. в 14 час. 20 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 при Южном федеральном университете по адресу: 347928, Ростовская область, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, аудитория Д-406.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.
Автореферат разослан л___ __________ 2012 г.
Ученый секретарь А.Н. Целых диссертационного совета Д212.208.доктор технических наук, профессор
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В связи с исследованием экосистем мелководных прибрежных районов Мирового океана немаловажную роль играют волновые явления, происходящие на поверхности и в толще водной среды. Эти явления, как и любые природные явления, носят сложный, нелинейный характер. Следовательно, их прогнозирование и диагностика должна быть основана на применении нелинейных математических моделей реальных процессов.
Теория волновых движений жидкости является классическим разделом гидродинамики, и имеет трехсотлетнюю историю. Интерес к волновым явлениям на поверхности жидкости, можно объяснить достаточной распространенностью и доступность этого физического процесса. Несмотря на огромное количество исследований, теория волновых движений жидкости ещё остается не завершенной. В связи с этим актуальным является вопрос исследования и моделирования волновых явлений на поверхности мелководных акваторий, влияние поверхностных гравитационных волн на береговые образования и гидротехнические сооружения. Поэтому вопрос трехмерного моделирования распространения и рефракции нелинейных поверхностных волн может играть немаловажную роль для целей мониторинга и прогнозировании устойчивого развития экосистем этих районов. В нашем случае в качестве модели будут использованы гидрофизические условия Таганрогского залива Азовского моря.
Для дистанционной диагностики водной толщи прибрежных акваторий в настоящее время широко используются гидроакустические локационные системы на основе акустической параметрической антенны. При решении вопроса об анализе свойств неоднородностей водной среды, параметрические антенны, в отличие от линейных антенн имеют преимущество в широкополосности и узконаправленности, что является немаловажным для целей локации. Учитывая неоднородность реальных водных сред, в качестве рассеивателей рассматриваются взвеси и неоднородности водной среды, имеющие как биологическое, так и техногенное происхождение. Для оперативной передачи информации о подводной обстановке, могут быть использованы автономные радиогидроакустические системы в прибрежной зоне.
В данной работе представлены результаты исследований по изучению и моделированию динамики нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелководье и диагностике неоднородностей водной среды методами нелинейной акустики. Исследование и моделирование волновых явлений проведено на основе четырех нелинейных уравнений. Для их решения использованы приближенные аналитические и численные методы решения нелинейных уравнений гидродинамики и акустики. Аналитические методы решения нелинейных уравнений основаны на применении метода малого параметра. При численном решении нелинейных уравнений используется метод расщепления по физическим процессам.
Для исследования и моделирования динамики нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелководье использовано нелинейное уравнение (уравнение Кортевега и де Вриза без дисперсионного члена):
u u u + c = -u.
t x x Для точного описания нелинейных гравитационных волн на мелководье использованы нелинейные уравнения мелкой воды без дисперсии и диссипации:
+ [(H + )u]= t x u u + u + g = 0.
t x x Уравнения мелкой воды и уравнение Кортевега и де Вриза имеют точные аналитические решения. При распространении нелинейных поверхностных гравитационных волн по мелководью инварианты Римана и неизменность форм кноидальных волн не позволяют проследить за динамикой волнового процесса.
Для двумерного и трехмерного численного моделирования процесса набегания нелинейных поверхностных гравитационных волн на береговые склоны применяется уравнение Навье-Стокса:
v + (v)v = -p +v.
t Нелинейные волновые процессы при рассеянии взаимодействующих акустических волн на неоднородностях водной среды описаны нелинейным волновым уравнением для акустических волн:
1 2 p 2 pp - = -.
2 c0 t2 c0 0 tНелинейное уравнение Кортевега и де Вриза (без дисперсионного члена) и нелинейное волновое уравнение были решены аналитически методом малого параметра. Для моделирования динамики нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелководье был использован метод расщепления по физическим процессам при численном решении уравнений мелкой воды в одномерном случае, в двумерном и трехмерном случае при решении уравнения НавьеСтокса.
Можно отметить также, что в случае волн малой амплитуды, существует полная аналогия между волнами мелкой воды и звуковыми волнами, волновое уравнение выглядит так же, как и уравнение для распространения звука.
Основная научная проблема. Исследования, представленные в диссертационной работе, посвящены решению фундаментальных проблем описания волновых явлений на поверхности прибрежных районов Мирового океана и диагностики неоднородностей его толщи методами математического моделирования.
Цель работы. На основе приближенных аналитических и численных методов решения нелинейных уравнений гидродинамики и акустики:
Ц в целях прогнозирования и мониторинга исследование и моделирование динамики нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелководье (без учета и с учетом дисперсии);
Ц для корректного описания физического процесса разработка математической модели волновых процессов на мелководье с учетом турбулентного обмена, трения о дно и рельефа дна;
Ц для моделирования нелинейных волновых явлений построение дискретной конечно-объемной модели исследуемой задачи, исследование погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности;
Ц разработка комплекса программ для построения двумерных и трехмерных моделей набегания поверхностных волн на береговые образования;
Ц в целях диагностики толщи водной среды исследование и моделирование полей рассеяния нелинейных акустических волн на неоднородностях водной среды;
Ц разработка комплекса программ для построения трехмерных моделей диаграмм рассеяния на неоднородностях водной среды поля акустического давления.
Методы исследования. Для решения нелинейных уравнений гидродинамики и акустики использованы приближенные аналитические и численные методы. Для расчета и моделирования волновых процессов были использованы современные методы вычислительной математики, специализированная программная среда MathCAD и язык программирования С++.
Научная новизна. Положения и результаты, выносимые на защиту.
Научная новизна заключается в постановке задач, в использованных методах решения и полученных результатах исследований. В диссертационной работе были получены следующие положения и результаты, выносимые на защиту:
- предложен новый графоаналитический метод описания трансформации нелинейных поверхностных гравитационных волн при распространении на мелководье, с помощью которого получено аналитическое описание не только первичного заострения гребней волны, но и дальнейшего укручения их переднего фронта;
- с помощью предложенного графоаналитического метода разработана новая математическая модель, позволяющая описывать трехмерные процессы распространения и рефракции нелинейных поверхностных гравитационных волн в прибрежных акваториях с различной топографией дна, как без учета, так и с учетом дисперсии;
- на основе разработанной модели и построенных алгоритмов создан комплекс программ для прогнозирования поведения поверхностных волн в прибрежных акваториях;
- построены и реализованы, конечно-объемные модели наката поверхностных волн на основе расщепления уравнений Навье-Стокса, отличающиеся от известных большей адекватностью, и учитывающие такие параметры, как трехмерная топография дна и берега, трение о дно, турбулентный обмен, изменение уровня возвышения жидкости;
- разработан программный комплекс, реализующий двумерные и трехмерные численные модели наката и обрушения поверхностных волн на береговых образованиях различной топографии, и позволяющий оценивать силовые воздействия на берегозащитные сооружения;
- впервые получены приближенные аналитические решения нелинейного волнового уравнения методом малого параметра, описывающие процесс рассеяния нелинейных акустических волн на жестком цилиндре и на жестком вытянутом сфероиде;
- разработан комплекс программ для решения нового класса задач по построению трехмерных моделей диаграмм рассеяния акустического давления волн вторичного поля на цилиндре и вытянутом сфероиде, позволяющие диагностировать неоднородности водной среды.
Научная и практическая значимость. Разработанные и полученные автором в диссертационной работе научные положения в совокупности можно квалифицировать как новое крупное научное достижение в области моделирования нелинейных волновых явлений на поверхности и в толще мелководья на основе решения нелинейных уравнений гидродинамики и акустики.
Результаты аналитических и численных исследований по моделированию распространения и набегания нелинейных поверхностных гравитационных волн в условиях мелководных заливов могут быть использованы для мониторинга и прогнозирования волновых явлений, воздействия их на процесс транспорта наносов и взвешенного вещества.
Результаты трехмерного численного моделирования распространения нелинейных поверхностных гравитационных волн в условиях мелководья могут быть использованы для оценки силового воздействия на берегозащитные сооружения, также для обнаружения выступов подводного рельефа, береговых рифов на основе волновой картины на поверхности акватории.
Результаты аналитических исследований по рассеянию нелинейных акустических волн на цилиндрических и сфероидальных рассеивателях могут быть использованы при дистанционной диагностике неоднородностей водной среды.
Они могут быть применены в дефектоскопии и медицинской томографии.
Разработанные в диссертационной работе аналитические и численные модели могут быть также использованы для описания нелинейных волновых явлений в следующих областях: ионно-звуковые волны в холодной плазме, продольные волны в упругих стержнях, течение вязкого газа в аэродинамике, рассеяние электромагнитных волн на телах различной проводимости.
Результаты диссертационной работы могут быть использованы в учебном процессе, в научно-исследовательской деятельности студентов и аспирантов при изучении нелинейных волновых явлений в механике сплошных сред.
Результаты диссертационной работы использованы:
- в исследовательском проекте Министерства образования Российской Федерации и Американского фонда гражданских исследований и развития CRDF REC-004 Научно-образовательный эколого-аналитический центр системных исследований, математического моделирования и геоэкологической безопасности Юга России Таганрогского технологического института ЮФУ в 1999 - 2003 гг., автор был победителем конкурса научно-исследовательских работ молодых ученых в области математического моделирования экосистем в рамках проекта;
- в междисциплинарном гранте Интеграция научной и образовательной деятельности в рамках проведения исследований по приоритетным научным направлениям и в инновационных научно-образовательных проектах Программы развития Южного федерального университета на 2007-2011 годы;
- в конструкторском бюро морской электроники Вектор (г. Таганрог) в разработке морских и гидроакустических тренажеров, при имитации волнения водной поверхности в системе трехмерной визуализации надводной и подводной обстановки навигационно-промыслового тренажера, в разработке панорамного эхолота-видеоплоттера ПЭВ-К с параметрическим трактом для поиска подводных объектов искусственного и естественного происхождения;
- в Высокогорном геофизическом институте (г. Нальчик) в рамках выполнения федеральной целевой программы Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы для моделирования гидродинамических селевых процессов, в научно-образовательном центре института при подготовке магистров по специальности Геофизика и физика околоземного пространства;
- в учебном процессе кафедры высшей математики Таганрогского технологического института ЮФУ при подготовке магистров по направлению 0104Прикладная математика и информатика в дисциплинах Математические модели природных систем и Нелинейные модели в курсе механики сплошных сред.
Акты использования результатов диссертационной работы в исследовательских проектах, в учебном процессе и в промышленных предприятиях приведены в приложении.
Достоверность и обоснованность результатов. Обоснованность научных положений вытекает из того, что исследования проводились с использованием классических методов решения нелинейных уравнений математической физики, а также современных методов вычислительной математики. Достоверность полученных теоретических результатов обеспечивается сравнением их с данными натурных исследований и численных экспериментов, известными в литературе.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены на международных конференциях:
- International Conference Advances in Fluid Mechanics-2000. Montreal. Canada.
2000; II международная конференция стран СНГ Молодые ученые-науке, технологиям и профессиональному образованию для устойчивого развития: проблемы и новые решения. Москва. 2000; Fifth International Conference on Coastal Engineering. Rhodes, Greece. 2001; IV международная научно-техническая конференция Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов. Ульяновск. УГУ. 2001; VI International Congress on Mathematical Modeling. Nizhny Novgorod, University of Nizhny Novgorod. 2004; международная научная конференция Мониторинг окружающей среды. Российская академия естествознания. Рим, Италия. 2010; XII международная конференция по математическому моделированию МКММ2011, Херсонский национальный технический университет, Херсон. 2011; XX Международная конференция Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность, НИИ механики МГУ, Москва, 2012.
На всероссийских конференциях и школах-семинарах:
- I всероссийская научно-практическая конференция Измерения, автоматизация и моделирование в промышленности и научных исследованиях (ИАМП2000). Алтайский гос. техн. унив., Бийск. 2000; всероссийская научная конференция с международным участием Экология 2000-море и человек. Таганрог.
2000; III научная конференция по гидроавиации Гидроавиасалон-2000. Центральный аэрогидр. институт им. Н.Е. Жуковского (ЦАГИ). Москва. 2000; IX, X научная школа-семинар Л.М. Бреховских "Акустика океана", Москва, АКИН.
2002, 2004; всероссийская конференция Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение. Институт гидродинамики. Новосибирск. 2004; XVIII сессия Российского акустического общества. Таганрог.
2006; IV, V всероссийские конференции Актуальные проблемы прикладной математики и механики, посвященная памяти академика А.Ф. Сидорова. УрО РАН, Абрау-Дюрсо. 2008, 2010; XII, XIII, XIV всероссийские конференциисеминары с международным участием Современные проблемы математического моделирования. Абрау-Дюрсо. ЮГИНФО ЮФУ. 2007, 2009, 2011.
Результаты диссертационной работы докладывались на научных семинарах: кафедры высшей математики ТТИ ЮФУ (Таганрог, 2004, 2010, 2011); кафедры электрогидроакустической и медицинской техники ТТИ ЮФУ (Таганрог, 2009); лаборатории шельфа и морских берегов Института океанологии им.
П.П. Ширшова РАН (Москва, 2009); отделения гидрофизики и гидроакустики Института прикладной физики РАН (Нижний Новгород, 2010); ЮжноРоссийского регионального центра информатизации ЮФУ (Ростов на-Дону, 2010), конструкторского бюро морской электроники Вектор (Таганрог, 2012).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 41 работа, из них: две монографии в издательстве Физматлит; глава в монографии, изданной за рубежом; 17 статей с основными результатами диссертации в ведущих рецензируемых научных журналах рекомендованных ВАК; в том числе две - в зарубежных журналах.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, содержащего 289 наименований и приложения. Объем диссертации составляет 340 стр., в том числе 113 рисунка.
В приложении представлены алгоритмы разработанных программ и акты использования результатов диссертационной работы.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи диссертационной работы, перечислены полученные в диссертации новые результаты, их научная и практическая ценность, представлены положения и результаты, выносимые на защиту.
В первой главе в разделах 1.1 и 1.2. описаны особенности математических моделей нелинейных волновых явлений, приведены нелинейные уравнения гидродинамики и акустики. Рассмотрены методы их аналитического и численного решения: метод малого параметра и метод расщепления, приведены условия применимости данных методов.
В разделе 1.3 сделан обзор исследований по поверхностным гравитационным волнам, представлены особенности современного состояния существующих теорий волн на мелкой воде. Приведены и анализированы работы по исследованию нелинейных поверхностных гравитационных на мелкой воде, вопросы их рефракции в прибрежной зоне, особенности распространения волн цунами. В разделе 1.4 рассмотрены системы уравнений, описывающие нелинейные поверхностные гравитационные волны, а также уравнения мелкой воды, уравнения Буссинеска, Кортевега и де Вриза.
В разделе 1.5 сформулирована постановка задачи распространения нелинейных поверхностных волн на мелкой воде. Для слежения за динамикой процесса распространения поверхностных гравитационных волн рассмотрено уравнение с квадратичной нелинейностью:
u u u + c = -u (1) t x x Уравнение (1) является частью уравнения Кортевега и де Вриза без учета дисперсии волн. Пока влиянием дисперсии из-за её незначительности на мелководье мы пренебрегаем. В качестве граничных условий на поверхности предполагается выполнение кинематического и динамического условий, и на дне условия непротекания. Начальное возмущение задается в виде гармонической функции. Нелинейное уравнение (1) решается методом последовательных приближений в виде разложения по малому параметру (<1), ограничиваясь первыми двумя членами, причем считаем, что u(n+1) < u(n).
В первом приближении решается линейное уравнение, а во втором приближении неоднородное линейное уравнение. В решении для горизонтальной скорости частиц амплитуда основной гармоники остается постоянной, а амплитуда второй гармоники растет линейно со временем (из-за векового члена). Поэтому в отсутствии дисперсии при любом как угодно малом значении наступит момент неустойчивости (обрушения) волны, который определяется путем приравнивания амплитуд скоростей первого и второго приближений.
Однако до этого момента, с ростом второй гармоники начнет усиливаться её взаимодействие с основной гармоникой. Это взаимодействие приведет к возбуждению третьей, четвертой и т.д. гармоник. Следовательно, со временем в спектре волн будут возникать все более высокие частоты, которые приведут к трансформации профиля волны. Для выявления этих изменений ищется решение исходного нелинейного уравнения (1) методом последовательных приближений с новыми начальными условиями:
(1) 2 (uвт.(x,t) = uперв.(x,t) + uвт).(x,t) (2) После аналогичных преобразований окончательное решение в двух приближениях для горизонтальной скорости частиц среды имеет вид:
2 3 uвт.(x,t) =[ U0 exp(ikx) - ikt U0 exp(2ikx)] + 2 5 3 4 +[k t2 U0 exp(ikx) + ikt U0 exp(2ikx) + (3) 2 5 3 6 + 3k t2 U0 exp(3ikx) - 2ik3t3 U0 exp(4ikx)]+ (к.с.) Анализируя полученное выражение можно отметить, что в результате взаимодействия основной волны k со второй 2k возникают вторичные волны не только с удвоенными значениями 2k и 4k, но и комбинационные волны k и 3k приводящие к искажению профиля волны.
Согласно полученному выражению (3) по истечении определенного промежутка времени в результате быстрого роста амплитуд второго слагаемого наступит неустойчивость волны, т.к. второе слагаемое содержит более высокие степени зависимости от времени. Это характерное время также можно определить путем приравнивания слагаемых. Однако зависимость здесь имеет более сложный вид, поэтому аналитическое определение выражения для характерно(2) го времени tхар. для данного взаимодействия будет достаточно трудоемким, поэтому предлагается далее использование графического способа.
Раздел 1.6. посвящен моделированию распространения нелинейных поверхностных гравитационных волн в условиях мелководья. Для исследований в качестве модели используются гидрофизические условия Таганрогского залива Азовского моря. Для средней глубины 5м, условиям мелководности будут удовлетворять поверхностные гравитационные волны с длинами свыше 30м. Дно ровное, поверхностное натяжение отсутствует, в качестве исходных поверхностных волн рассматриваются волны зыби, т.е. влияние ветра не учитывается.
Следует отметить некоторые физические особенности волновых процессов. В выражении (3) амплитуды всех гармоник (кроме основной) со временем растут. Однако по выражению амплитуда основной гармоники при этом остается постоянной. Хотя высшие гармоники энергетически подпитываются от ос(1) новной гармоники. Следовательно, амплитуда первичных волн uперв.(x,t) должна со временем уменьшаться, в противном случае это приведет к нарушению закона сохранения энергии.
(1) На рис.1а представлены графики скоростей первичных uперв.(x,t) и вто(2 ( ( ричных uвт).(x,t) волн, а также основной u11) (x,t) и второй u21) (x,t) гармоник.
Прослеживая изменения профиля гравитационной волны после вхождения в залив можно отметить, что неустойчивость волны наступает на расстоянии (2) xхар.10 км, однако наша модель является корректной до расстояния x 6 км, т.е.
до тех пор, пока выполняется первичное условие u(n+1) < u(n), когда значение для второго приближения на порядок меньше значения для первого приближения.
На основе анализа рис.1а, можно отметить, что с ростом суммарной амплитуды вторичных волн амплитуда первичных волн и основной гармоники падают. А амплитуда второй гармоники медленно нарастает, и к моменту неустойчивости резко падает. Таким образом, закон сохранения энергии для данного волнового процесса полностью соблюдается.
Рассмотрим изменение профиля исходной гравитационной волны до расстояния корректности модели x 6км. На рис.1б и1в представлены зависимости изменения горизонтальной скорости u(x,t) от расстояния пробега поверхностной волны. Волна с изначально косинусоидальным профилем за время пробега постепенно искажается, гребни заостряются, а впадины становятся все более пологими. Это является результатом возрастающего влияния высокочастотных гармоник.
Рис.1. Основные характеристики поверхностной гравитационной волны с параметрами: частота f =0,2Гц; длина =35м; скорость распространения c=7м/с; начальная крутизна Ц2a/=0,024; a=0,413м; kH=0,89; =0,083.
Были рассчитаны также основные характеристики для поверхностных волн с длинами =77,8м; 155,6м. С увеличением начальной крутизны 2a/ значение расстояния неустойчивости уменьшается, с уменьшением длины волны (при постоянной крутизне) это расстояние увеличивается, т.к. уменьшается значение нелинейного параметра. Представлены трехмерные модели распространения по заливу поверхностной гравитационной волны на различных участках пути.
В разделе 2.4 анализированы и описаны причины заострения гребней и укручения их переднего склона в рамках разработанной модели. Профиль реальных поверхностных гравитационных волн асимметричен: гребни относительно крутые и короткие, заостренные, а впадины пологие и широкие. Эти особенности объясняются теорией Стокса появлением высокочастотных гармоник основной волны. Такие профили приобретают поверхностные волны для разработанной модели на начальных участках распространения, что можно наблюдать на рис.1б.
Кроме описанного типа асимметрии, ещё наблюдается другой тип асимметрии. Он выражается в том, что передний склон трансформирующейся волны становится более крутым, чем задний. Этот тип асимметрии профиля реальных поверхностных волн не описывается теорией Стокса, а также большинством других теорий. Для нашего рассмотрения профили поверхностных волн на втором участке распространения как раз и приобретают такой вид асимметрии, рис.1в. Одно из объяснений этого явления заключается в том, что высшие гармоники постепенно смещаются по фазе относительно основной волны.
Для оценки влияния четных гармоник, а особенно четвертой гармоники на профиль поверхностной гравитационной волны представлены графики горизонтальной скорости u(x,t) частиц среды для одинакового участка пути распространения. Особое влияние четвертой гармоники связано с её наиболее быстрым ростом, следовательно, наибольшей энергоемкостью среди вторичных волн. Когда в выражении (3) мнимость амплитуды четвертой гармоники заменена на вещественность (т.е. фазовый сдвиг между гармоникой и основной волной отсутствует), это приводит к симметричности гребня волны относительно вертикальной оси.
Замена отрицательного знака перед амплитудой четвертой гармоники на положительный знак приводит к смене укручения переднего фронта гребня волны на задний фронт (волна повернутая вспять). В данном случае четвертая гармоника опережает по фазе основную волну на /2. Если в выражении (3) одновременно заменить отрицательный знак на положительный, также мнимость четвертой гармоники на вещественность, то амплитуда четвертой гармоники будет суммироваться с амплитудой основной волны синфазно, усиливая заострение гребня волны. Данный профиль напоминает стоксовые волны конечной амплитуды на глубокой воде.
Следует обратить внимание, также на появление местного возвышения в ложбине между гребнями. Это возвышение тоже связано с четвертой гармоникой, и оно меняет свою локализацию в зависимости от фазы. Появление возвышения между основными гребнями поверхностной волны в береговой зоне отмечены также в литературе при натурных экспериментах. Следовательно, предложенный графоаналитический метод позволяет описать как процесс начального заострения гребней, так и последующее укручение их переднего фронта.
Для расчета скорости частиц поверхностных гравитационных волн была разработана программа л3DSurfWave, представлен алгоритм работы данной программы.
В разделе 1.7 рассматриваются волновые процессы, происходящие при подходе нелинейных гравитационных поверхностных волн к берегу в условиях мелководья. Смоделированы береговые склоны разной крутизны в условиях залива. Для представления линии дна использованы функции синуса и Бесселя пятого порядка в пределах от 0 до 10км по оси x. Глубина уменьшается с H=5м до нуля, крутизна склона не превышает значения 0,010. Линия дна на основе функции синуса является пологой по всей протяженности дна, а на основе функции Бесселя более крутой у берега.
При распространении поверхностной волны к берегу, глубина постепенно уменьшается. В нашем случае среднее изменение глубины для самой высокочастотной волны (удовлетворяющей условиям мелководности H/<1) с длиной =30 м составляет менее 0,01. Для слежения за трансформацией профиля нелинейной поверхностной гравитационной волны используется полученное выражение для горизонтальной скорости частиц среды (3).
Так как в данном случае глубина залива уменьшается, ускоряется процесс обрушения поверхностной волны. Волна, приходящая в неустойчивость на расстоянии 10км для постоянной глубины, для медленно поднимающегося в начале дна (на основе функции Бесселя) приходит в неустойчивость на расстоянии 7,3 км, а для равномерно поднимающегося дна (на основе функции синуса) наступает на расстоянии 5 км.
Была разработана программа л3DRefrWave для расчета скорости частиц поверхностной волны при распространении и рефракции по мелководью, представлен алгоритм её работы, также особенности сетки для залива. Для трехмерного моделирования рефракции нелинейной поверхностной гравитационной волны были созданы трехмерные модели береговых образований. Смоделированные береговые образования можно обнаружить в Таганрогском заливе в районе Беглицкой и Александровской косы.
На рис.2 представлена трехмерная модель рефракции нелинейной поверхностной гравитационной волны на мысу в пределах от 0 до 4,5км по осям x и y.
С приближением к мысу фронт нелинейной поверхностной волны начинает искривляться и стремится стать нормальным к береговой линии. По направлению оси x наряду с уменьшением длины волны наблюдается искажение профиля волны, который становится все круче.
Раздел 1.8 посвящен моделированию распространения и рефракции нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелководье с учетом дисперсии. Выражение (3) было получено решением уравнения с квадратичной нелинейностью в отсутствии дисперсии. Пренебрежение дисперсией было связано с её слабостью на мелкой воде. Однако даже слабая дисперсия на мелкой воде может препятствовать обрушению волны. Влияние дисперсии на процесс распространения мы учтем в первоначальном виде, через известный закон дисперсии для круговой частоты поверхностных гравитационных волн.
Рис.2. Трехмерная модель рефракции на мысу нелинейной поверхностной гравитационной волны с начальными параметрами: f =0,045Гц; =155,6м;
H=5м; 2a/=0,0076; =00.
Для нашего рассмотрения считаем, что соблюдается условие синхронизма для первичных взаимодействующих волн: основной и второй гармоники, т.е.
2 = 2 и они распространяются с одинаковой скоростью c0.
С учетом обозначений для волновых чисел выражение для горизонтальной скорости частиц (3) преобразуется к виду:
(1) 2 (2 2 3 uвт.(x,t) = uперв.(x,t) + uвт).(x,t) =[ U0 exp(ikx) - ikt U0 exp(2ikx)] + 5 3 4 +[(- ikt2 U0) ik1 exp[ik1x]+ (t U0 2) ik2 exp[ik2x]+ 5 3 2 6 + (- ikt2 U0) ik3 exp[ik3x]+ (- k t3 U0 2) ik4 exp[ik4x]+] + (к.с.) (4) Амплитудные составляющие скорости вторичных волн имеют разную степенную зависимость от времени, фазовая часть скорости содержит волновое число, которое будет зависеть от скорости каждой гармоники. Следовательно, для высоких гармоник скорость распространения будет уменьшаться, что является следствием дисперсии. Поэтому, вторичные волны, появляющиеся в результате нелинейных эффектов, из-за нарушения синхронизма могут не приводить к укручению гребня волны.
Были рассчитаны основные характеристики поверхностной гравитационной волны с учетом дисперсии. Для поверхностной волны с начальными параметрами =77,8м; 2a/=0,014 без учета дисперсии неустойчивость наступала на расстоянии 10км, с учетом дисперсии это расстояние уменьшается до 6,6км.
Уменьшение расстояния неустойчивости связано с быстрым ростом амплитуды вторичных волн из-за обратной зависимости их от скорости распространения. С учетом дисперсии скорость распространения вторичных волн принимает следующие значения: c1=6,8м/с; c2 =6,4м/с; c3=5,8м/с; c4 =5,3м/с. Скорость распространения в рамках мелководной модели составляет при этом c0 =7м/с, следовательно, изменение скорости для четвертой гармоники будет составлять c4 =1,7м/с, т.е. будет на 25% меньше.
Для сравнения на рис.3а приведен профиль поверхностной волны без учета дисперсии (на основе выражения (3)), а на рис.3б с учетом дисперсии (на основе выражения (4)). Значения расстояний пробега выбраны по принципу равных энергетических уровней вторичных волн.
Рис.3. Профили поверхностной гравитационной волны без учета (а) и с учетом (б) дисперсии: f =0,09Гц; =77,8м; 2a/=0,014; kH=0,4;=0,107; =0,004.
Явление дисперсии приводит к нарушению синхронизма между вторичными волнами, и профиль волны перестает быть периодическим, происходит расползание цуга волны. Чем лучше будет выполняться условие мелководности, тем менее ощутима будет дисперсия. Дисперсия также может компенсировать укручение гребня волны на начальном этапе распространения, тем самым, откладывая её обрушение по заливу. Были представлены трехмерные модели распространения нелинейной поверхностной волны по заливу и процесса рефракции на мысу с учетом дисперсии.
В разделе 1.9 для проверки адекватности, полученные результаты моделирования были обсуждены и сравнены с известными в литературе экспериментальными наблюдениями. В результате сравнения было отмечено, что предлагаемая модель трансформации поверхностных гравитационных волн на мелководье имеет хорошее согласие с экспериментальными наблюдениями, как по профилям поверхностных волн, так и по динамике их спектрального состава.
В разделе 1.10 для определения достоверности результатов, была установлена область сходимости метода последовательных приближений по малому параметру. Было определено значение радиуса круга сходимости используемого метода, оценена продолжительность характерного времени наступления неустойчивости для первичного и вторичного разложения.
Во второй главе рассмотрены проблемы и особенности моделирования поверхностных гравитационных волн на основе численного решения уравнений мелкой воды и Навье-Стокса методом расщепления. В разделе 2.1 анализированы исследования по численному моделированию задач волновой гидродинамики. Описаны работы по численному решению, как нелинейных и нелинейнодисперсионных уравнений мелкой воды, так и нелинейно-дисперсионных уравнений Буссинеска, Кортевега и де Вриза. Проведен анализ работ по моделированию волновых процессов в вязкой несжимаемой жидкости на основе уравнения Навье-Стокса. Описаны численные методы решения уравнений НавьеСтокса для вязкой несжимаемой жидкости. При этом были отмечены работы, как по двумерному, так и по трехмерному моделированию набегания поверхностных волн на береговые образования мелководных акваторий.
В разделе 2.2 была сформулирована постановка задачи по трансформации поверхностных волн, приведены начальные и граничные условия, построена дискретная модель. Для точного описания нелинейных гравитационных волн на мелководье использованы нелинейные уравнения мелкой воды без дисперсии и диссипации:
+ [(H + )u]= t x (5) u u + u + g = 0.
t x x где = (x, y,t) - функция возвышения возмущенной поверхности. В качестве граничных условий на поверхности задаются кинематическое и динамическое условия, на дне условие прилипания. Начальное возмущение задается в виде синусоидальной функции. Методом расщепления по физическим процессам была получена система дифференциальных уравнений:
~ u - u u 2u + u = - x x ~ ~ (u ) ( (uH ) + =g + H ) - (6) t x x x x ~ - u = -g x Алгоритм работы системы уравнений (6) заключается в следующем:
- через компоненты скорости на текущем временном слое Цu, из первого ~ уравнения находятся компоненты на вспомогательном временном слое Цu ;
- затем, из второго уравнения находится функция возвышения уровня - ;
- из третьего уравнения находятся компоненты скорости на следующем временном слое .
Разностная схема была разработана с помощью интегро-интерполяционного метода на равномерной сетке по неявной схеме. Был построен дискретный аналог системы уравнений.
В разделе 2.3 определен порядок аппроксимации дискретной модели, исследованы условия устойчивости. Для расчета выбран метод прогонки, разработана программа BayWaves для расчета скорости частиц и функции возвышения свободной поверхности. Представлено описание структуры и алгоритма работы программы.
В разделе 2.4 были представлены результаты численного расчета и их анализ. Для моделирования распространения нелинейных поверхностных гравитационных волн использованы батиметрические условия Таганрогского залива.
Были рассчитаны и приведены зависимости для скорости частиц и функции возвышения поверхностной гравитационной волны от начальной крутизны и от глубины. Волна с исходным синусоидальным профилем постепенно трансформируется, передний склон гребня волны становится все более крутым, а задний склон более пологим. Уменьшение глубины при постоянной амплитуде приводит к увеличению крутизны переднего склона.
Далее проведено численное моделирование рефракции нелинейных гравитационных поверхностных волн на береговых склонах разной крутизны. Линии дна были смоделированы на основе графиков степенных функций. Глубина уменьшается с H=3м до нуля, крутизна склона не превышает значения 0,010.
Одна линия дна является более пологой, а другая более крутой у берега.
С уменьшением глубины уменьшается скорость распространения поверхностной волны. Наряду с уменьшением длины волны у берега наблюдается укручение переднего фронта гребня волны, что приведет в дальнейшем к её обрушению. Для разных профилей дна было выявлено, что при пологом входе в море береговой линии поверхностная волна быстрее укручивается, и, следовательно, может обрушиться, не доходя до берега. Для медленно поднимающегося дна фронт волны укручивается, подходя к линии уреза.
В разделе 2.5 для проверки достоверности полученных результатов численного моделирования проведено их сравнение с существующими в литературе численными и экспериментальными данными. В результате отмечено, что результаты численного моделирования поверхностных волн на основе уравнений мелкой воды в целом имеют хорошее совпадение с экспериментальными измерениями.
Для проверки корректности были также сравнены результаты моделирования на основе разработанного графоаналитического метода с результатами численного расчета. Проведенное сравнение подтвердило корректность результатов предложенного графоаналитического метода для описания нелинейных поверхностных волн на мелководье.
В разделе 2.6 рассмотрены вопросы двумерного численного моделирования набегания нелинейных поверхностных гравитационных волн. Для описания этих волн используются двумерное уравнение Навье-Стокса, уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости и уравнение для гидродинамического давления. Согласно геометрии задачи ось Ox системы координат совмещена с поверхностью невозмущенной жидкости и направлена в сторону берега, ось Oz направлена вертикально вверх. Заданы граничные условия на дне области, на свободной поверхности жидкости, на боковой границе.
С помощью метода расщепления по физическим процессам проводится аппроксимация исходных уравнений по временной переменной. Согласно данному методу расчет осуществляется в три этапа:
- на первом этапе считается поле скоростей;
- на втором этапе рассчитывается давление;
- на третьем этапе уточняется поле скоростей по давлению.
Для аппроксимации исходных дифференциальных уравнений по пространственным координатам используется интегро-интерполяционный метод.
Метод поправки к давлению представляет собой аддитивную схему расщепления по физическим процессам. Данный метод является устойчивым и гарантирует выполнение баланса массы.
В разделе 2.7 разрабатывается дискретная конечно-объемная модель исследуемой задачи с учетом коэффициента заполненности ячеек. Расчетная область по пространственным направлениям представляет собой прямоугольник.
Для численной реализации дискретной математической модели задачи используется равномерная сетка. Получены дискретные аналоги уравнений для расчета составляющих вектора скорости, поля давления, также дискретные аналоги граничных условий. При этом дискретные уравнения для расчета составляющих вектора скорости и поля давления рассчитываются по неявной схеме, дискретные уравнения для уточнения компонент поля скорости рассчитываются по явной схеме.
В разделе 2.8 было проведено исследование консервативности дискретной модели. Было установлено, что для сеточного аналога разностного уравнения соблюдается интегральный закон сохранения импульса. Найдена погрешность аппроксимации конечно-разностной схемы ( + hx + hz 2 ). Проведено исследование устойчивости задачи на основе принципа максимума, получены ограничения на шаги по времени и по пространственным координатам.
Для решения сеточных уравнений был использован метод верхней релаксации, представлено обоснование выбора данного метода и особенности его работы. Разработана программа л2DBayWaves для расчета двумерного поля скоростей и поля давления водной среды при численном моделировании наката и обрушения нелинейной поверхностной гравитационной волны. Приведено описание структуры и алгоритма работы программы.
В разделе 2.9 приведены результаты двумерного численного моделирования набегания нелинейных поверхностных гравитационных волн на береговые образования мелководных акваторий. Смоделированы береговые склоны разных видов, представлены графики изменения профиля поверхностной гравитационной волны набегающей на береговые склоны.
На рис.4 представлен процесс набегания поверхностной волны на береговые склоны разной крутизны. Из сравнения можно отметить, что наибольшие искажения претерпевает профиль волны на береговом склоне с равномерным подъемом, т.е. глубина уменьшается быстрее всех склонов.
В результате численного моделирования набегания нелинейных поверхностных гравитационных волн на береговые образования было установлено:
- с приближением к берегу, глубина залива уменьшается, волна начинает ощущать дно, возрастает влияние нелинейных эффектов. Это приводит к укручению переднего фронта гребня поверхностной волны и в дальнейшем происходит её обрушение. Далее уменьшается высота волны и подтапливается береговой склон (накат волны). Откатывающаяся назад волна сбивает следующую волну, что ещё больше усиливает укручение и ускоряет обрушение последующей волны;
Рис.4. Накат поверхностной гравитационной волны на береговые склоны разной крутизны, начальные параметры волны: f =0,39Гц; =10м; c=4м/с; H=5м;
a=0,5м; kH=3,14; =0,1; (сверху вниз) 1) крутой подъем t=6,2с; 2) линейный подъем t=7,3с; 3) пологий подъем t=6,8с.
- увеличение начальной крутизны поверхностной волны приводит к обрушению волны в процессе наката на сухой берег, с уменьшением начальной крутизны накат происходит без обрушения волны;
- с уменьшением длины волны условия мелководности выполняются хуже, нелинейные искажения профиля волны из-за глубины уменьшаются, накат на берег происходит в виде непрерывного потока воды;
- линейно поднимающееся дно усиливает нелинейные искажения по сравнению с медленно поднимающимся дном. При медленном уменьшении глубины поверхностная волна может обрушиться на берегу фактически без начального искажения профиля;
- в случае крутого подъема берегового склона на линии уреза образуется отраженная волна отката, которая накладывается на набегающую волну. В случае наложения в противофазе происходит взаимное гашение волн;
- при накате штормовых волн или волн цунами на акватории с протяженным мелководьем может произойти полное подтопление берега и суши.
В разделе 2.10 для проверки адекватности результаты двумерного численного моделирования наката поверхностных волн были сравнены с существующими численными и экспериментальными данными. В результате сравнения было установлено хорошее согласие их с данными других авторов, особенно по начальным этапам искажения профиля поверхностной волны.
В третьей главе рассмотрены вопросы трехмерного численного моделирования наката нелинейных поверхностных гравитационных волн на основе уравнения Навье-Стокса.
В разделе 3.1 была сформулирована постановка задачи, описаны граничные и начальные условия. Геометрия задачи трехмерной задачи представлена на рис.5. Согласно геометрии задачи ось Ox системы координат совмещена с поверхностью невозмущенной жидкости и направлена в сторону берега, ось Oy направлена вдоль берега, ось Oz направлена вертикально вверх.
Трехмерные волны на поверхности жидкости в поле гравитации с учетом вязкости описываются следующими уравнениями:
- уравнение Навье-Стокса:
u u u u 1 P 2u 2u 2u + u + v + w = - + + +, (7) t x y z x x2 y2 zv v v v 1 P 2v 2v 2v + u + v + w = - + + +, (8) t x y z y x2 y2 zw w w w 1 P 2w 2w 2w + u + v + w = - + + + + g. (9) t x y z z x2 y2 z- уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости:
u v w + + = 0, (10) x y z - полное гидродинамическое давление с учетом глубины определяется:
P(x, y, z,t) = p(x, y, z,t) + gz, (11) где u, v, - горизонтальные и w - вертикальная составляющие вектора скорости V(u,v, w) движения частиц водной среды, , - горизонтальная и вертикальная составляющие коэффициента турбулентного обмена.
Рис.5. Геометрия задачи наката поверхностных гравитационных волн На дне области предполагаются условия непротекания и скольжения:
Vn (x, y, z,t) = 0, P(x, y, z,t) = 0, n u(x, y, z,t) = 0 v(x, y, z,t) = 0 w(x, y, z,t) = 0, (12),, x y z u(x, y, z,t) = - (t) v(x, y, z,t) = - (t) w(x, y, z,t) = - (t) ;
,, x y z z z x - на свободной поверхности жидкости - динамическое и кинематическое условия:
u(x, y, z,t) = 0 v(x, y, z,t) = 0, w(x, y, z,t) = 0,, n n n 1 P w(x, y, z,t) =, P(x, y, z,t) = 0 ; (13) g t n - на боковых границах - условие непротекания:
u(x, y, z,t) = 0 v(x, y, z,t) = 0 w(x, y, z,t) = 0 P(x, y, z,t) = , (14),,, n n n n где (t), (t), (t) - компоненты тангенциального напряжения на дне жидx y z кости, параметр - задается исходя из начальных условий.
В разделе 3.2 строиться дискретная модель трехмерной задачи. Расчетная область по пространственным направлениям представляет собой куб. Для численной реализации дискретной математической модели задачи используется равномерная сетка. С помощью метода расщепления по физическим процессам проводится аппроксимация уравнений (7) (11) по временной переменной:
un+ - un u u u 2u 2u 2u + u + v + w = + +, (15) x y z x2 y2 zvn+ - vn v v v 2v 2v 2v + u + v + w = + +, (16) x y z x2 y2 zwn+ - wn w w w 2w 2w 2w + u + v + w = + + + g, (17) x y z x2 y2 z 2P 2P 2P un+ vn+ wn+ + + = + +, (18) x y z x2 y2 z2 un+1 - un+ 1 P vn+1 - vn+ 1 P wn+1 - wn+ 1 P = -, = -, = -. (19) x y z Расчет осуществляется в три этапа:
- на первом этапе на основе уравнений (15) и (17) считается поле скоростей;
- на втором этапе рассчитывается давление по уравнению (18);
- на третьем этапе на основе уравнений (19) уточняется поле скоростей по давлению.
С помощью интегро-интерполяционного метода проводится аппроксимация исходных дифференциальных уравнений по пространственным координатам.
В разделе 3.3 была разработана дискретная конечно-объемная модель исследуемой гидродинамической задачи с учетом коэффициента заполненности ячеек. Получены дискретные аналоги уравнений для расчета составляющих вектора скорости, поля давления.
В разделах 3.43.6 было проведено исследование консервативности дискретной модели, найдена погрешность аппроксимации конечно-разностной схемы ( + hx + hz 2 ). Исследована устойчивость задачи на основе принципа максимума. Сеточные уравнения решаются методом верхней релаксации. Разработана программа л3DBayWavesадля расчета трехмерного поля скоростей и давления водной среды, представлено описание структуры и алгоритма работы программы.
В разделе 3.7 представлены результаты трехмерного численного моделирования наката нелинейных поверхностных гравитационных волн. Предложена конструкция трехмерного бассейна с учетом особенностей берегов Азовского моря (сооружение откосного типа с вертикальной волноотбойной стенкой согласно СНиП 33-01-2003 Гидротехнические сооружения).
На рис.6 представлен процесс наката нелинейной поверхностной гравитационной волны на береговой откос с вертикальной стенкой. Волна выходить на сухой берег, из-за возрастания нелинейных эффектов происходит укручение переднего фронта гребня волны. Далее передний фронт волны становятся отвесным, и происходит его обрушение. Волна, обрушиваясь, рассыпается и ударяется о правую вертикальную стенку бассейна. Потом водная масса начинает стекать обратно по береговому откосу, происходит откат волны.
Для проверки корректности разработанной модели, в разделе 3.8 результаты трехмерного численного моделирования были сравнены с существующими численными и экспериментальными данными. Проведена также оценка силовых воздействий на берегозащитное сооружение.
а) б) Рис.6. Накат поверхностной гравитационной волны на береговой откос с вертикальной стенкой, начальные параметры волны: f =0,13Гц; =50м; c=6,6м/с;
H=5м; a=4,2м; kH=0,6; =0,8; а) t =4,3с; б) t =6,3с.
В четвертой главе проведено исследование и моделирование волновых процессов, происходящих при рассеянии поля акустической параметрической антенны на цилиндре. В разделе 4.1 описаны особенности применения метода малого параметра в акустике при решении нелинейного волнового уравнения. В разделе 4.2 проведен анализ работ по рассеянию акустических волн на цилиндре. Рассмотрены существующие работы, которые посвящены теоретическим и экспериментальным исследованиям рассеяния акустических волн на цилиндрических рассеивателях, как для линейного, так и для нелинейного случая. Рассмотрены вопросы диагностики водной толщи с помощью акустической параметрической антенны. Предложен акустико-гидрофизический комплекс для мониторинга толщи и поверхности мелководной среды.
В разделе 4.3 сформулирована постановка задачи рассеяния на цилиндре нелинейно взаимодействующих плоских акустических волн. Предполагается что, цилиндрический рассеиватель находится в области нелинейного взаимодействия первичных волн накачки параметрической антенны (т.к. за областью нелинейного взаимодействия рассеяние вторичных волн носит линейный характер). Необходимо соблюдение плосковолнового падения волн накачки на цилиндр. Цилиндрический рассеиватель в нашем случае является акустически жестким, удовлетворяющим граничному условию Неймана. Исходя из того, что волны накачки параметрической антенны являются высокочастотными (рассеяние для них носит геометрический характер), поиск решения исследуемой задачи будет производиться в высокочастотном пределе.
Геометрия задачи представлена на рис.7. Ось цилиндра бесконечной длины совпадает с осью z цилиндрической системы координат. На цилиндр параллельно оси z падает плоская высокочастотная волна. После рассеяния на цилиндре плоской волны в пространстве будет распространяться рассеянная цилиндрическая волна. Общее первичное поле акустического давления при этом будет состоять из полей с двумя частотами 1 и ( ( p(1) = p11) + p21). (20) Выражения для акустических давлений представлены в виде разложения в ряд по цилиндрическим функциям. Данная задача рассеяния решается с помощью нелинейного уравнения, которое описывает нелинейные процессы, происходящие в первичном поле:
1 2 p b p - + p = -Q, (21) 2 t c0 t2 c0 1 p - 1 2 p2 где Q = + + v2 + 0vv - группа нелинейных чле 4 4 t c0 0 c0 0 t нов, c0Ц скорость звука в среде (в нашем случае среда водная), - параметр квадратичной нелинейности, 0 - плотность невозмущенной среды, b - диссипативный коэффициент среды, v - колебательная скорость.
Рис.7. Геометрия задачи рассеяния на цилиндре Нелинейное волновое уравнение (21) решается методом последовательных приближений разложения в ряд по малому параметру (число Маха):
p = Mp(1) + M p(2) ;
- в первом приближении нелинейные члены в уравнении не учитываются, полагается Q = 0, находится решение линейной задачи рассеяния волн в диссипативной среде, т.е. решением задачи первого приближения p(1)является выражение (20);
- определяются спектральные компоненты функции Q на частотах волн вторичного поля, для нахождения акустического давления вторичного поля p(2) во втором приближении решается линейное неоднородное волновое уравнение, правую часть которого образуют частотные компоненты функции Q по вторичному полю:
1 2 p(2) 2 p(1) p(2) - = -Q = -. (22) 2 c0 t2 c0 0 tДля поиска акустического давления вторичного поля p(2) выражение (20) для общего акустического давления первичного поля p(1) возводится в квадрат и дважды дифференцируется:
2 2 2 ( (1 (1 (2 p(1) 2 pI1) 2 pII) 2 pIII) 2 pIV) = + + +. (23) t2 t2 t2 t2 tВ результате преобразований вторичное акустическое поле будет состоять из четырех спектральных составляющих на частотах 21, 2 -1 = , 2 + 1 и 22. Первое слагаемое выражения (23) характеризует функцию источников Q2 на второй гармонике первой волны накачки 21, второе слагаемое - функцию Q- на разностной частоте, третье слагаемое - на суммарной частоте Q+ и четвертое слагаемое Q2 - на второй гармонике второй волны накачки 22.
Исходя из практического применения параметрических антенн, рассматривается в первую очередь низкочастотная компонента вторичного поля - волна разностной частоты.
Раздел 4.4 посвящен исследованию и моделированию рассеянного акустического поля на волне разностной частоты. Во втором приближении с учетом комплексного представления неоднородное волновое уравнение (22) приводится к неоднородному уравнению Гельмгольца (2) 2 (2) P- + k- P- = -q- (r,, z), (24) где k- - волновое число разностной волны, q- (r,, z) - функция плотности источников вторичных волн. Решение неоднородного уравнения Гельмгольца записывается в виде объемного интеграла от произведения функции Грина на плотность источников вторичных волн (2) P- (r,, z) = (25) q (r',', z')G(r1)r'd'dz'dr', 4 V где G(r1) = exp(- ik- (r - r' cos( - ')) r - функция Грина в дальней зоне r' < r, r - расстояние до точки наблюдения M (r,, z), r1- расстояние между текущей ' ' ' ' точкой объема M (r,, z') и точкой наблюдения M (r,, z), r',, z' - коорди' наты текущей точки объема M (r',', z') (рис.7). Интегрирование в выражении (25) ведется по объему V, занимаемому источниками вторичных волн.
Учитывая, что задача рассматривается в высокочастотном пределе, после ' интегрирования по координатам z' и выражение (25) преобразуется к виду (2) (2) (2) (2) (P- (r,, z) = P-1 (r,, z) + P-2 (r,, z) + P-3 (r,, z) + P-4) (r,, z) = (26) d = C- (1+ isin) l Jl (k1r')coslmJm (k2r')cos m exp[i (m - l) 2]+ l=0 m=l a ( ( ( + l Jl (k1r')cosl Am2)Dm2) cos m exp[i(l 2 - m2) 2)]+ l=0 m=l (1 (1 (1) + l Jl (k2r')cosl Am)Dm) cos m exp[i(l 2 + m + 2)]+ l=0 m=l (1) (1 (1) + m A Dm) cosm Al(2)Dl(2) cosl exp[i(l(2) m )] cos k-r' r' dr', m=0l=m где C- = - exp(-ik-r)K- 2r 2k-, K- = 412201020 c0, Jm (kna)- ци( (n) линдрическая функция Бесселя m -ого порядка, Dmn) и - модуль и фаза циm ( ( линдрической функции Ханкеля второго рода m -ого порядка - Hm2) (knr), Amn) определяется из граничных условий Неймана, a - радиус цилиндра.
Выражение (26) для общего акустического давления волны разностной ( частоты P-2) (r,, z) состоит из четырех пространственных слагаемых. Здесь происходит нелинейное взаимодействие между акустическими волнами, имеющими как одинаковую, так и различную пространственную конфигурацию волнового фронта.
Далее проводится окончательное интегрирование слагаемых общего аку( стического давления волны разностной частоты P-2) (r,, z). Была разработана программа CylScatt для расчета и трехмерного моделирования поля рассеяния акустического давления вторичных волн на цилиндре. С помощью алгоритма на основе полученного выражения были построены диаграммы рассеяния на цилиндре для различных значений волнового размера k-a =0,5; 1; 5 и расстояния d =0,0125; 0,015; 0,035 м.
На основе анализа построенных диаграмм рассеяния было установлено, что они имеет основные максимумы в направлениях = 00, 2 и , как направлениях минимальных фазовых различий нелинейно взаимодействующих высокочастотных волн. Падающие плоские волны формируют поле рассеяния в обратном и прямом направлениях, а рассеянные цилиндрические волны создают боковые поля. Увеличение протяженности цилиндрического объема вокруг рассеивателя приводит к обужению основных максимумов, что является характерным для параметрических антенн, т.к. увеличиваются размеры переизлучающего объема. Увеличение волнового размера цилиндрического рассеивателя, приводит к незначительным изменениям диаграммы рассеяния.
Раздел 4.5 посвящен исследованию акустического поля волны суммарной частоты. Несмотря на аналогичность выражений, рассеяние для высокочастотной суммарной волны относится к области геометрического рассеяния ( ka >>1), в отличие от волны разностной частоты, охватывающей рэлеевскую ( ka < 1) и резонансные области ( ka 1) рассеяния. Следовательно, поле рассеяния волны суммарной частоты будет иметь свои отличительные особенности. Решение во втором приближении для акустического давления волны суммарной частоты, имеет вид аналогичный для волны разностной частоты (26).
Были построены диаграммы рассеяния акустического давления волны суммарной частоты. В отличие от разностной частоты, диаграмма рассеяния второго и третьего слагаемых имеет максимум в прямом направлении. Влияние высокочастотности рассеяния проявляется в появлении дополнительных максимумов и обужении основных.
Раздел 4.6 посвящен исследованию акустического поля вторых гармоник.
Акустическое поле вторых гармоник исходных волн представляет также немалый интерес, т.к. рассеяние этих волн находится в области геометрического рассеяния, что может дополнить информативность принимаемого сигнала.
Рассмотрим первое слагаемое выражения (23), которое характеризует функцию источников Q2 на второй гармонике первой волны накачки 21. После интегрирования по координатам ' и z' выражение для общего акустического давления второй гармоники имеет вид ) ) ) P2(2) (r,, z) = P2(2I (r,, z) + P2(2II (r,, z) + P2(2III (r,, z). (27) Однако выражение (27) состоит из трех пространственных слагаемых, поэтому вклад каждого пространственного слагаемого для второй гармоники существенно возрастает. Для получения окончательного выражения проводится интегрирование слагаемых выражения (27). На основе полученных асимптотических выражений были построены диаграммы рассеяния. Эти диаграммы характеризуют геометрическое рассеяние, т.к. рассеяние вторых гармоник носит только геометрический характер k2a >> 1.
На рис.8 представлена трехмерная модель диаграммы рассеяния волны второй гармоники на цилиндре. Диаграмма имеет основные максиP2(2) (r,, z) , и мумы в направлениях = 00 2 . Трехмерная модель в виде выдавленного тела с вырезом четвертой части приведена в прямоугольной диметрии.
Кривая диаграммы рассеяния находится на горизонтальной плоскости xOy, направлением выдавливания является ось z.
Акустическое поле второй гармоники 22 второй волны накачки 2 будет иметь аналогичные особенности с одним волновым размером k2a =84, так как частота второй волны накачки оставалась постоянной f2=1000 кГц.
В разделе 4.7 для проверки адекватности полученных результатов по рассеянию вторичных волн на цилиндре проведено сравнение их с некоторыми расчетными и экспериментальными диаграммами. На основе проведенных сравнений отмечено, что по основным направлениям рассеяния (обратное, боковое и прямое) наблюдается хорошее совпадение полученных результатов с су- Рис.8. Трехмерная модель диаграммы рассеяния волны ществующими в литературе второй гармоники на цилиндре с радиусом P2(2) (r,, z) расчетными и эксперименa =0,01 м при: =1000 кГц, =880 кГц, =1760 кГц, f2 f1 2 fтальными диаграммами рас=74 ( =5), =0,19 м d k2a k-a сеяния.
В разделе 4.8 была также исследована сходимость метода последовательных приближений по малому параметру для рассмотренной задачи, было определено значение радиуса круга сходимости используемого метода.
В пятой главе проведено исследование и моделирование волновых процессов, происходящих при рассеянии на вытянутом сфероиде нелинейно взаимодействующих плоских акустических волн.
В разделе 5.1 сделан анализ работ по рассеянию на сфероидах. Рассмотрены работы по рассеянию звука на вытянутом сфероиде с различными граничными условиями, угловые характеристики рассеяния акустических волн на мягком и жестком вытянутом сфероиде. В качестве сфероидальных рассеивателей описываются также объекты биологического происхождения: газонаполненные сфероидальные рыбные пузыри и китообразные. Приведены некоторые работы, посвященные нелинейной акустической диагностики дефектов в материалах и конструкциях.
В разделе 5.2 представлены особенности волновых задач в сфероидальных координатах. В разделе 5.3 сформулирована постановка задачи рассеяния на жестком вытянутом сфероиде нелинейно взаимодействующих плоских акустических волн. Предполагается что, сфероидальный рассеиватель находится в области нелинейного взаимодействия первичных волн накачки параметрической антенны, соблюдается плосковолновое падение волн накачки. Сфероидальный рассеиватель является акустически жестким, удовлетворяющим граничному условию Неймана.
Для представления задачи выбирается система вытянутых сфероидальных координат ,,. Фокусы сфероида совпадают с фокусами сфероидальной системы координат. Сфероид образуется вращением эллипса 0 вокруг большой оси, совпадающей с осью x декартовой системы координат. Геометрия задачи представлена на рис.9. Координатными поверхностями при этом являются сфероиды = const и двуполостные гиперболоиды = const.
Идеальный вытянутый сфероид помещается в однородную среду. Поверхность сфероида характеризуется радиальной координатой 0. Предполагается, что на сфероид падают взаимодействующие плоские высокочастотные акустические волны с единичными амплитудами давления pni под произвольным полярным углом 0 (0=arccos0) и азимутальным углом 0. После рассеяния плоской волны на сфероиде в окружающем пространстве будет распространяться рассеянная сфероидальная волна pns.
Рис.9. Геометрия задачи рассеяния на вытянутом сфероиде С появлением рассеянной сфероидальной волны общее акустическое давление первичного поля вокруг сфероида будет иметь вид:
p(1) = pni + pns, (28) где n = 1,2 соответственно для волн с частотами 1 и 2.
Выражения для акустических давлений представлены в виде разложения в ряд по сфероидальным функциям. Нелинейные волновые процессы, происходящие между падающими и рассеянными волнами вокруг сфероида, описываются нелинейным уравнением (выражение (21)). Данное уравнение решается методом последовательных приближений p = Mp(1) + M p(2). В первом приближении нелинейные члены не учитываются, т.е. Q = 0 и задача становится линейной. Решением первого приближения является выражение (28) для полного акустического давления первичного поля p(1).
Во втором приближении решается линейное неоднородное уравнение, для поиска акустического давления вторичного поля p(2) выражение (28) общего акустического давления первичного поля p(1) возводится в квадрат и дважды дифференцируется. В результате преобразований получено выражение аналогичное выражению (23). Вторичное акустическое поле будет состоять из четырех спектральных составляющих на частотах 21, 2 - 1 = , 2 + 1 и 22.
Раздел 5.4. посвящен исследованию и моделированию акустического поля волны разностной частоты при рассеянии нелинейно взаимодействующих волн на вытянутом сфероиде. Аналогично неоднородное волновое уравнение преобразуется в неоднородное уравнение Гельмгольца. Решение неоднородного уравнения Гельмгольца записывается в виде объемного интеграла от произведения функции Грина на плотность источников вторичных волн ( ' ' ' ' ' ' P-2) (,,) = (,, )G(r1)h ' h' h' d d d, (29) q V ' ' ' 2 '2 ' где - функция G(r1) exp- ik- h0 - h0 - h0 (1- )(1- ) cos( - ) h0 Грина в дальней зоне, r1- расстояние между текущей точкой объема ' ' ' ' M (,, ) и точкой наблюдения M (,,) (рис.9), h ', h', h' - масштабные множители (коэффициенты Ламэ). Интегрирование в выражении (29) ведется по объему V, занимаемому источниками вторичных волн.
В результате окончательного интегрирования по координатам 'и ' с учетом выражения для источников вторичных волн, выражение (29) преобразуется к виду ( (2) (2 (2 (P-2) (,,) = P-1 (,,) + P-2) (,,) + P-3) (,,) + P-4) (,,) = (30) SS ' 1 sin(k-h0 ) ' ' ' ' = C- T sin(k-h0 )d - T d, ' k-h0 0 8h02 exp(-ik-h0 ) где C- =, h0 = d 2, d - межфокусное расстояние, c0 0 T = ml ml B (k1h0)Bml (k2h0) +B (k1h0)Dml (k2h0)exp[i(l 2 - m)]+ m=0l m m=0l m + ml ml B (k2h0)Dml (k1h0)exp[i(m - l 2)]+D (k1h0)Dml (k2h0), m=0l m m=0l m (Bml (knh0 ) = 2Sml (knh0,0 )Sml (knh0,)Rml) (knh0, ) cos m( - 0 ), (Dml (knh0 ) = 2Aml (knh0,0 )Sml (knh0,0 )Rml) (knh0, ) cos m, Sml (knh0,) - нормированная угловая сфероидальная функция первого рода, (Rml) (knh0, ) - радиальная сфероидальная функция третьего рода, Aml (knh0,0 ) - коэффициент, зависящий от граничных условий на поверхности сфероида.
Выражение (30) общего акустического давления волны разностной часто( ты P-2) (,,) состоит из четырех слагаемых характеризующих взаимодействия с разной конфигурацией волнового фронта. Далее проведено окончательное интегрирование слагаемых выражения (30) для общего акустического давления волны разностной частоты. Была разработана программа SpheroidScatt для расчета и трехмерного моделирования поля акустического давления волн вторичного поля. На основе полученных асимптотических выражений были построены диаграммы рассеяния акустического давления волны разностной частоты.
На рис.10 представлена трехмерная модель диаграммы рассеяния волны ( разностной частоты P-2) (,,) на жестком вытянутом сфероиде 0 =1,0при: f2=1000 кГц, f1=880 кГц, F- =120 кГц, =7 (соотношение полуосей 1:10, h0=0,01м), 0 =300, k-h0 =5. Трехмерная модель приведена в виде тела вращения с вырезом четвертой части. Кривая диаграммы рассеяния находится на фронтальной плоскости xOz, осью вращения является большая ось вытянутого сфероида, ось x.
Диаграммы рассеяния волны ( разностной частоты P-2) (,,) имеют максимумы в обратном направлении, по направлению угла падения, в боковых направлениях и в прямом направлении по углам симметричным углам падения плоских волн. Падающие плоские высокочастотные волны формируют поле рассеяния в обратном и прямом направлениях (по углам падения и отражения), а рассеянные сфероидальные волны в боковых направлениях. Увеличение Рис.10. Трехмерная модель диаграммы рассеяния (2) волнового размера сфероидально- волны разностной частоты на жестком P- (,,) го рассеивателя приводит к измевытянутом сфероиде =1,005 при угле падения нению уровней максимумов, а = ( = 5, =7) 30 k-h0 увеличение размеров области взаимодействия вокруг вытянутого сфероидального рассеивателя (координаты =3; 7;15) приводит к обужению этих максимумов.
Были построены также диаграммы рассеяния волны разностной частоты при различных значениях угла падения исходных волн накачки 0 =00; 600;
900. Изменение значений угла 0 приводит в основном к изменению расположения максимумов по направлениям угла падения и отражения.
Раздел 5.5. посвящен исследованию и моделированию акустического поля волны суммарной частоты при рассеянии нелинейно взаимодействующих волн на вытянутом сфероиде. Рассеяние для высокочастотной суммарной волны носит чисто геометрический характер k+h0 >> 1. Выражение для акустического давления волны суммарной частоты будет аналогичным выражению для разностной частоты (выражение (31)) с соответствующей заменой значений частот на (1 + 2 ), и волновых чисел k- на k+.
На основе полученных асимптотических выражений пространственных слагаемых с помощью разработанного алгоритма были построены их диаграммы рассеяния. В отличие от волны разностной частоты, диаграммы рассеяния волны суммарной частоты не претерпевают особых изменений при изменении волновых размеров сфероида ( k+h0 =83; 82; 79 в соответствии k-h0 =0,5; 1; 5) и имеют более заостренные максимумы. Эти особенности связаны геометрическим характером рассеяния.
Раздел 5.6. посвящен исследованию и моделированию акустического поля вторых гармоник при рассеянии нелинейно взаимодействующих плоских акустических волн на жестком вытянутом сфероиде. Акустическое поле вторых гармоник исходных волн охватывает область геометрического рассеяния ( k+h0 >> 1) и принимаемый сигнал может содержать дополнительную информацию о рассеивателе. После окончательного интегрирования по координатам ' и ' (с учетом функции источников вторичных волн) выражение для акустического давления второй гармоники принимает вид ) ) ) P2(2) (,,) = P2(2I (,,) + P2(2II (,,) + P2(2III (,,) (31) Для получения окончательного выражения акустического давления второй гармоники проводится интегрирование слагаемых выражения (31). На основе полученных асимптотических выражений по разработанному алгоритму были построены диаграммы рассеяния. Диаграммы рассеяния имеют максимумы в обратном направлении, по направлению угла падения, в боковых направлениях.
А в прямом направлении имеются максимумы по углам симметричным углам падения плоских волн. В результате расчетов было установлено, что изменение волнового размера сфероидального рассеивателя ( k2h0 =7483) приводит к незначительному изменению уровня дополнительных максимумов, так как рассеяние является геометрическим.
В разделе 5.7. для проверки достоверности построенных диаграмм рассеяния на вытянутом сфероиде было проведено их сравнение с результатами работ других авторов. В результате сравнения было установлено, что в целом диаграммы рассеяния находятся в хорошем согласии по основным направлениям рассеяния. Также отмечено, что результаты достаточно хорошо согласуются в дальнем поле с результатами экспериментальных исследований рассеяния на сфере. Однако в отличие от сферы, где рассеянное поле не зависит от угла падения , для сфероида появляются лепестки по направлениям падения и отражения плоских волн накачки.
В заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.
Основные результаты диссертационной работы.
1. Для моделирования распространения нелинейных поверхностных гравитационных волн в условиях мелководья методом малого параметра получены решения нелинейного уравнения. На основе разработанного графоаналитического метода представлены профили нелинейных поверхностных волн для различных расстояний пробега, анализированы и впервые описаны не только причины заострения, но и дальнейшего укручения гребней поверхностных волн.
2. Для моделирования распространения и рефракции нелинейной поверхностной гравитационной волны созданы трехмерные модели мыса, бухты и ровного берега в рамках залива. Разработаны программы для расчета скорости частиц поверхностной волны при распространении л3DSurfWave и рефракции по мелководью л3DRefrWave. В целях прогнозирования построены трехмерные модели распространения и рефракции поверхностной волны по заливу без учета и с учетом дисперсии.
3. Для численного моделирования распространения нелинейных поверхностных волн в условиях мелководья использованы уравнения мелкой воды.
Разработана программа BayWaves для расчета скорости частиц и функции возвышения свободной поверхности на основе уравнений мелкой воды. Приведены результаты численного расчета скорости частиц и функции возвышения свободной поверхности волны для различных значений начальной крутизны и глубины мелководья. Численно смоделирована рефракция нелинейных гравитационных поверхностных волн на береговых склонах разной крутизны.
4. Для двумерного численного моделирования процесса набегания нелинейных поверхностных гравитационных волн использованы уравнения НавьеСтокса. Разработана дискретная конечно-объемная модель исследуемой задачи с учетом коэффициента заполненности ячеек. Для расчета двумерного поля скоростей и поля давления водной среды разработана программа л2DBayWaves, представлены результаты двумерного численного моделирования наката нелинейных поверхностных гравитационных волн. Для адекватного описания физического процесса исследовано влияние геометрии дна на процесс набегания волны, установлены особенности для разных длин волн, и глубины мелководья.
5. Для трехмерного численного моделирования процесса наката нелинейных поверхностных гравитационных волн использован метод расщепления уравнения Навье-Стокса. Для расчета трехмерного поля скоростей и давления водной среды создана программа л3DbayWaves. Предложена конструкция берегозащитного сооружения откосного типа для условий исследуемой модели мелководья. Представлены и анализированы и в целях адекватности сравнены результаты трехмерного численного моделирования.
6. Для диагностики водной среды мелководных бассейнов смоделированы процессы рассеяния нелинейных акустических волн на неоднородностях водной среды цилиндрической и сфероидальной формы. Впервые разложением в ряд по малому параметру получены решения нелинейного волнового уравнения в первом и втором приближениях, описывающие нелинейные волновые процессы вокруг рассеивателей.
7. Для расчета и трехмерного моделирования диаграмм рассеяния на цилиндре и вытянутом сфероиде разработаны программы CylScatt и SpheroidScatt. Для анализа происходящих волновых процессов на основе разработанных программ были построены диаграммы рассеяния, как слагаемых, так и общего акустического давления волн разностной, суммарной частот, вторых гармоник волн накачки.
Основные публикации по теме диссертации Монографии:
- Аббасов И.Б. Рассеяние нелинейно-взаимодействующих акустических волн: сфера, цилиндр, сфероид. М.: Физматлит, 2007. 160 с.
- Аббасов И.Б. Моделирование нелинейных волновых явлений на поверхности мелководья. М.: Физматлит, 2010. 128 с.
- Abbasov I.B. Research of the Scattering of Non-Linearly Interacting Plane Acoustic Waves by an Elongated Spheroid. Acoustic Waves. Edited by: Don Dissanayake, Sciyo, Rijeka, Croatia. 2010. P.73-90.
( Основные статьи в научных журналах рекомендованных ВАК:
1. Аббасов И.Б., Заграй Н.П. Исследование вторичного поля волны разностной частоты при рассеянии нелинейно взаимодействующих плоских акустических волн на цилиндре //Акустический журнал. 1999. Т.45. № 5.
С.590-596.
2. Аббасов И.Б. Вторичное поле волны суммарной частоты при рассеянии взаимодействующих акустических волн на жестком цилиндре //Акустический журнал. 2000. Т.46. № 6. С.850-852.
3. Аббасов И.Б. Пространственное моделирование волновых явлений на поверхности залива //Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2001. №4. С.56-57.
4. Аббасов И.Б. Исследование вторых гармоник при рассеянии нелинейно взаимодействующих акустических волн на жестком цилиндре //Акустический журнал. 2001. №6. Т.47. С.725-731.
5. Аббасов И.Б., Заграй Н.П. Использование параметрической антенны для исследования заливов //Известия вузов. Электромеханика. 2002. №1. С. 66-67.
6. Аббасов И.Б. Исследование и геометрическое моделирование задачи рассеяния взаимодействующих акустических волн на вытянутом сфероиде //Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2002.
№3. С.46-52.
7. Аббасов И.Б. Исследование и моделирование нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелководье //Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2003. Т.39.№4. С.568-573.
8. Аббасов И.Б. Трехмерное моделирование диаграмм рассеяния взаимодействующих акустических волн на вытянутом сфероиде //Известия вузов.
Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2004. №3. С.27-29.
9. Аббасов И.Б. Исследование и моделирование рефракции нелинейных поверхностных гравитационных волн в заливе// Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2004. №3. Т.40. С.423-426.
10. Аббасов И.Б. Рассеяние поля акустической параметрической антенны на объектах сфероидальной формы //Доклады Академии наук. 2006. Т.410.
№1. С.42-44.
11. Аббасов И.Б. Моделирование диаграмм рассеяния вторых гармоник взаимодействующих акустических волн на вытянутом сфероиде //Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2006. №3. С.11-15.
12. Abbasov I.B. Study of the scattering of nonlinearly interacting plane acoustic waves by an elongated spheroid //Journal of Sound and Vibration. 2008. V.309.
№1-2. P.52-62. Аббасов И.Б. Моделирование нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелкой воде с учетом дисперсии //Доклады Академии наук. 2009.
Т. 429. №6. С.825-827.
14. Аббасов И.Б. Моделирование рефракции нелинейных поверхностных гравитационных волн на береговых склонах разной крутизны //Известия ЮФУ. Технические науки. 2010. Т.107. №6. С.149-154.
15. Abbasov I.B. Modelling of nonlinear surface gravity waves under shallow-water conditions with account of dispersion //Waves in Random and Complex Media.
2011. V.21. №1. P. 13-22. Аббасов И.Б. Моделирование укручения профиля нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелководье //Фундаментальные исследования. 2011. №8. С.584-588.
17. Аббасов И.Б., Неверов А.А. Численное моделирование рефракции нелинейных поверхностных гравитационных волн на основе уравнения мелкой воды// Известия ЮФУ. Технические науки. 2011. Т.121. №8. С.147-153.
Другие статьи и материалы конференций 18. Аббасов И.Б. Прикладная геометрия задачи рассеяния нелинейно взаимодействующих плоских волн на цилиндре // Известия вузов. СевероКавказский регион. Естественные науки. 2000. №4. С. 29-31.
19. Аббасов И.Б. Исследование гидродинамических волн в прибрежных акваториях. Депонирована в ВИНИТИ РАН. №3223-В00. М.; 2000. 31с.
20. Аббасов И.Б. Исследование экологического состояния мелководья с использованием параметрической антенны // Известия ЮФУ. Технические науки. 2001. Т.20. №2. С.60-64.
21. Аббасов И.Б. Геометрическое моделирование процесса рассеяния взаимодействующих акустических волн на вытянутом сфероиде// Известия ТРТУ.
2002. №2. С. 26-29.
22. Аббасов И.Б. Исследование и пространственное моделирование нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелководье //Известия вузов.
Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2003.№1.С.33-36.
23. Аббасов И.Б. Волновые задачи в области больших значений радиальной сфероидальной координаты // Известия ЮФУ. Технические науки. 2006. Т.64.
№9-2. С.97-98.
24. Аббасов И.Б. Моделирование пространственной рефракции нелинейных поверхностных гравитационных волн в условиях мелководья. Сборник трудов XII Всероссийской школы-семинара Современные проблемы математического моделирования. 2007. Ростов на-Дону. Изд-во ЮФУ. С.7-12.
25. Аббасов И.Б. Исследование нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелководье с учетом дисперсии //Известия вузов. СевероКавказский регион. Естественные науки. 2009. №6. С. 67-71.
26. Аббасов И.Б. Моделирование нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелкой воде с учетом дисперсии. Сборник трудов XIII Всероссийского школы-семинара Современные проблемы математического моделирования. Ростов на-Дону. Изд-во ЮФУ. 2009. С.10-16.
27. Abbasov I.B. Transformation of nonlinear surface gravity waves under shallowwater conditions //Applied Mathematics. 2010. V.1. №4. P.260-264.
doi:10.4236/am.2010.14032 28. Аббасов И.Б. Численное моделирование поверхностных гравитационных волн на основе нелинейных уравнений мелкой воды. Тематический сборник научных статей. Краевые задачи и математическое моделирование.
Т.1. Новокузнецк, НФИ КемГУ. 2010. С.12-14.
29. Аббасов И.Б. Численное моделирование рефракции нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелководье //Вестник ХНТУ. Херсон. 2011.
№ 3 (42). С.9-13.
30. Аббасов И.Б., Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Численное моделирование наката нелинейных поверхностных гравитационных волн на основе уравнения Навье-Стокса. Сборник трудов XIV Всероссийской конференциишколы Современные проблемы математического моделирования. Ростов на-Дону. Изд-во ЮФУ. 2011. С.10-15.
ичный вклад автора в опубликованных совместных работах: в работе [1] решение задачи рассеяния на цилиндре и получение результатов, в работе [5] разработка модели и получение результатов диагностирования среды, в работе [17] формулировка постановки задачи, разработка модели и получение результатов по рефракции волн, в работе [30] разработка модели и получение результатов по накату поверхностных волн.
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям