Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям
На правах рукописи
ГАЛИШНИКОВА ВЕРА ВЛАДИМИРОВНА
ОБОБЩЕННАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ И ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
05.23.17 - Строительная механика;
05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук
Москва 2011
Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования УВолгоградский государственный архитектурно-строительный университетФ.
Научный консультант: - доктор технических наук, профессор, действительный член РААСН Петров Владилен Васильевич
Официальные оппоненты: - доктор технических наук, профессор Белостоцкий Александр Михайлович - доктор технических наук, профессор Карпов Владимир Васильевич - доктор технических наук, профессор Гайджуров Петр Павлович Центральный научно-исследовательский
Ведущая организация:
институт строительных конструкций имени В.А. Кучеренко ОАО НИ - Строительство (ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко)
Защита состоится л___ л____________ 2011 года в _______ час. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете по адресу: Москва, Ярославское шоссе, 26, ауд. 420 УЛК.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета.
Автореферат разослан л_____ л_____________ 2011 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Анохин Н.Н.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследования. Современное состояние инженерной практики предъявляет к теории расчета конструкций два фундаментальных требования: 1) возможности оценки значимости нелинейных эффектов для данной конструктивной системы и применимости приближенной линейной теории; 2) способности надежно предсказать нелинейное поведение конструкций в пределах, представляющих практическую инженерную значимость.
Современные архитектурные концепции требуют применения конструктивных систем, создающих ощущение легкости при больших пролетах. К таким системам относятся, прежде всего, стержневые пластинки, плиты и оболочки, пространственные фермы и т.д. Из экономических соображений в современных условиях все чаще применяются облегченные конструкции, имеющие малую жесткость и, как следствие, повышенную деформативность. В этих конструкциях возникает опасность потери устойчивости, как в целом, так и отдельных элементов. Надежность их может быть обеспечена лишь при наличии методов расчета, позволяющих прогнозировать сложную нелинейную природу их поведения на различных стадиях работы.
Проблема устойчивости равновесия является неотъемлемой частью анализа нелинейного поведения стержневых систем и может быть корректно решена лишь с учетом предшествующей истории нагружения конструкции. Расчеты конструкций на устойчивость в нелинейной постановке сводятся к решению нескольких задач: определение возможных равновесных форм конструкции; установление области и границ существования каждой из этих форм, закономерностей перехода из одной равновесной формы в другую; отыскание значения параметра нагрузки, при котором происходит бифуркация равновесных форм; установление конфигураций этих форм; описание послекритического поведения конструкции и оценки опасности для конструкции смены форм равновесия.
В настоящее время в расчетах большепролетных пространственных конструкций широко используются коммерческие программные комплексы на основе метода конечных элементов. Решение задач нелинейной устойчивости с использованием этих комплексов сопряжено со значительными трудностями. Эти трудности связаны с недостаточным уровнем разработки теории и методов геометрически нелинейного анализа устойчивости стержневых конструкций.
В связи с этим, разработка на основе нелинейной теории упругости обобщенного численного метода геометрически нелинейного расчета пространственных стержневых систем, позволяющего надежно предсказывать их напряженнодеформированное состояние, а также возможные виды потери устойчивости, является актуальной задачей.
Целью диссертационной работы является развитие геометрически нелинейной теории пространственных стержневых систем, разработка на её основе метода численного анализа деформирования и устойчивости таких систем и реализующего этот метод алгоритма, позволяющего надежно определять их предкритическое состояние, критические точки и критические конфигурации предсказывать их напряженно-деформированное состояние на всех этапах, включая потерю устойчивости первого и второго рода (проскок и бифуркация) и закритическую область работы.
Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие задачи:
1. На основе библиографического обзора и анализа современного состояния нелинейной теории обобщен теоретический материал по исследованиям в области нелинейных расчетов.
2. Выполнена формулировка геометрически нелинейной теории упругости в форме, удобной для вывода разрешающих уравнений для различных типов конструктивных элементов.
3. Сформулирована геометрически нелинейная теория пространственных ферм, как частный случай геометрически нелинейной теории упругости. Выполнен переход к алгебраической форме разрешающих уравнений при помощи метода конечных элементов.
4. Разработан численный метод решения нелинейных разрешающих уравнений для пространственных ферм как задачи с начальным параметром, основанный на продолжении решения по длине дуги кривой равновесных состояницй.
5. Разработан метод точного вычисления критических конфигураций пространственных стержневых систем.
6. Разработан метод продолжения решения в критических точках.
7. Выполнена объектно-ориентированная реализация разработанных методов на языке Java в виде тестовой платформы, позволяющей исследовать влияние параметров, управляющих численным процессом.
8. Для тестирования численных методов и реализующих их алгоритмов решения геометрически нелинейных задач получено аналитическое решение нелинейного поведения регулярных трехстержневых ферм на всех этапах деформации, включая потерю устойчивости первого и второго рода.
9. На примерах расчета симметричных трехстержневых ферм и некоторых типов пространственных стержневых конструкций проиллюстрировано применение тестовой платформы для проверки достоверности результатов, получаемых по предлагаемому методу.
Научная новизна работы определяется следующими результатами:
1. На основе общей геометрически нелинейной теории упругости построена теория геометрически нелинейного поведения пространственных стержневых систем в конечно-элементной формулировке. Данная теория не имеет ограничений по величине перемещений, поворотов и деформаций в стержнях. Единственным ограничением подхода является принятый линейный физический закон деформирования материала. В рамках теории получена формулировка матрицы секущей жесткости инкрементальных разрешающих уравнений, обладающая свойством симметрии.
2. Разработан новый метод нелинейного деформационного анализа, основанный на использовании инкрементальной матрицы секущей жесткости, который позволяет сохранять в уравнениях метода конечных элементов все нелинейные члены исходных разрешающих нелинейных уравнений. Удержание нелинейных членов улучшает скорость сходимости итерационной процедуры, особенно на участках траектории нагружения с большой кривизной.
3. Предложен новый способ разложения секущей матрицы жесткости на основную симметричную матрицу и остаточный член, позволяющий избежать увеличения числа операций алгоритма решения и необходимого объема оперативной памяти, возникающих вследствие несимметричности инкрементальной матрицы секущей жесткости.
4. Разработана новая методика учета неуравновешенных сил, отличающаяся тем, что неуравновешенные силы не добавляются к внешней нагрузке, как принято во всех существующих в настоящее время методах, а используются для вычисления корректирующих перемещений и корректирующих реакций, которые затем вводятся в уравнения для уточнения матрицы секущей жесткости на шаге нагружения.
5. Разработан новый способ вычисления инкремента коэффициента нагружения в методе постоянных дуг, основанный на вычислении длины хорды через разность норм векторов перемещений и сил в начале и в конце шага, который позволяет добиться сходимости процедуры в окрестностях точек бифуркации, где траектория нагружения испытывает ветвление. Использование предложенного способа позволяет также повысить устойчивость и сходимость итерации на шаге нагружения.
6. Разработан новый прямой метод вычисления сингулярных точек, основанный на формулировке общей проблемы собственных значений, решением которой является значение инкремента коэффициента нагружения, приводящее из почти сингулярной точки траектории нагружения в сингулярную точку.
7. Выполнен анализ причин неустойчивости существующих вычислительных процедур в окрестностях точек бифуркации и предложена методика продолжения решения, основанная на использовании матрицы полной жесткости конструкции и обладающая высокой устойчивостью.
8. Предложен новый подход к продолжению траекторий нагружения, основанный на введении дополнительного условия в формулировку бифуркации, в соответствии с которым нагрузка в конце первого шага продолжения решения пропорциональна заданной модельной нагрузке. В отличие от известных методов, инкремент коэффициента нагружения на первом шаге продолжения решения не равен нулю, а принимается за неизвестную величину. Данный подход реализован в виде метода расширения.
9. Разработан новый способ учета погрешности вектора нагрузки (неуравновешенных сил), используемый в разработанном методе расширения, в котором к вектору погрешности добавляется некоторая часть заданной модельной нагрузки, так, чтобы инкремент перемещений от нагрузки был нормален инкременту перемещения от сингулярного состояния к последующему состоянию.
При помощи этого инкремента нагрузки корректируется пробное состояние конструкции, а также вычисляются инкременты перемещений и реакций.
10. Предложена новая формулировка и получено точное аналитическое решение основных уравнений, описывающих геометрически нелинейное поведение пространственных симметричных трехстержневых ферм под действием вертикальной нагрузки, позволившие избежать ошибок аппроксимации в аналитическом решении. В решении не используются тригонометрические функции.
11. Выявлены особенности геометрически нелинейного поведения пространственных симметричных трехстержневых ферм под действием вертикальной нагрузки, в частности, показано, что существует значение коэффициента соотношения геометрических размеров, для которого все коэффициенты матрицы жесткости, касательной ко вторичной ветви траектории нагружения в точке бифуркации равны нулю. Показано, что вторичные ветви траектории нагружения за точкой бифуркации лежат на поверхности сферы, проходящей через точку бифуркации. Каждая точка на этой поверхности содержится в траектории нагружения фермы. Матрица касательной жесткости фермы сингулярна не только в точке бифуркации, но и в каждой точке сферической поверхности. Это свойство оказывает большое влияние на построение алгоритмов продолжения траекторий нагружения за точками бифуркации.
12. Разработано программное приложение на базе объектноориентированной платформы Java, имеющее новые черты, которые позволили выполнить исследование и оценку новых методов, представленных в диссертации. Структура данных приложения, основанная на именованных объектах, является новой для конечно-элементных программ. Структура классов приложения разработана таким образом, что отдельные классы могут быть заменены без внесения значительных изменений в другие классы. Таким образом, приложение может быть использовано для исследования альтернативных вариантов решения с незначительными трудозатратами.
На защиту выносятся: положения, составляющие научную новизну диссертации, а также следующие результаты исследования:
1. Реализация предлагаемых методик в объектно-ориентированном программном приложении на основе платформы Java.
2. Аналитическое решение задачи геометрически нелинейного поведения и потери устойчивости симметричной трехстержневой фермы.
3. Анализ нелинейного деформирования и потери устойчивости типических пространственных ферм для модельных и реальных конструкций.
4. Исследование влияния возмущений на поведение симметричных пространственных трехстержневых ферм.
Практическая ценность результатов исследования. Обобщенный подход, представленный в данной работе, обеспечивает надежную основу для выявления геометрически нелинейного поведения, угрожающего появлением чрезмерных деформаций или потерей устойчивости пространственной фермы. Предлагаемая геометрически нелинейная теория пространственных ферм не имеет ограничений по величине перемещений, поворотов и деформаций в стержнях.
Разработанная тестовая платформа может быть использована для исследования характеристик приближенных методов расчета. Она может также быть использована для изучения и классификации особенностей поведения различных видов пространственных ферм, а также для исследования влияния начальных несовершенств и иных возмущений на их напряженно-деформированное состояние и устойчивость. Методы, используемые в данном исследовании, могут быть распространены на стержневые системы с жесткими и упругими узлами и континуальные системы, моделируемые стержневой расчетной схемой.
На основе предложенного обобщенного подхода могут быть разработаны теории и алгоритмы для других типов конструктивных элементов и физически нелинейных задач.
Программное приложение, разработанное в диссертационном исследовании, позволило выполнить ряд примеров, демонстрирующих возможности применения развиваемой теории и методов к практическим задачам. Показано, что используемые в коммерческих программных комплексах стандартные методы не всегда надежно предсказывают потерю устойчивости конструкций в результате бифуркации, в то время как разработанный в диссертации обобщенный метод решает эту задачу корректно. Поэтому он может с успехом заменить стандартные методы, используемые в коммерческих программных комплексах.
Достоверность научных положений и результатов, полученных в работе, обеспечивается корректностью постановки задач в рамках механики деформируемого твердого тела и классических методов строительной механики с использованием общепринятых гипотез и допущений, а также сопоставлением решений тестовых задач с решениями, полученными на основе других методов и подходов.
Принимая во внимание трудность верификации нового подхода, в работе получено точное аналитическое решение задачи деформирования и устойчивости равновесия симметричной пространственной трехстержневой фермы под действием вертикальной сосредоточенной силы.
Сравнение результатов численного расчета по разработанным алгоритмам с результатами аналитического решения демонстрирует высокую точность вычислений.
Достоверность и точность вычисления сингулярных конфигураций ферм доказывается также сравнением численных результатов расчета для тестовых примеров с результатами аналитического решения, полученного автором.
Внедрение результатов работы. Методика геометрически нелинейного расчета пространственных ферм на деформации и устойчивость равновесия реализована в виде объектно-ориентированного приложения на платформе Java 2.
Разработанное программное приложение, зарегистрированное в отраслевом фонде алгоритмов и программ Министерства образования и науки РФ, было использовано при расчете конструкций сетчатой оболочки и арочной пространственной фермы, разработанных НПП - СТРОЙКОМПЛЕКС (г. Саратов). При помощи данного программного приложения был выполнен анализ устойчивости равновесия сетчатого алюминиевого купола покрытия резервуара, разработанного в ЦНИИПСК им. Мельникова.
Апробация результатов исследования. Результаты исследования и основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих научно-технических конференциях и семинарах:
1. 60-я международная научно-техническая конференция молодых ученых:
СПбГАСУ, Санкт-Петербург, 2007.
2. XXVII Российская школа по проблемам техники и технологий: Миасс, 2007.
3. Симпозиум Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений: Нижний Новгород, 2007.
4. XXI международная научная конференция Математические методы в технике и технологиях: СГТУ, Саратов, 2008.
5. Ежегодная научно-техническая конференция ВолгГАСУ, секция Строительная механика и строительная информатика: Волгоград, 2009.
6. Научный семинар кафедры Строительная механика ВолгГАСУ:
Волгоград, 2009.
7. Объединенный научный семинар кафедр Строительная механика и Информатика МГСУ: Москва 2009.
8. Научный Межвузовский семинар Геометрия и расчет тонких оболочек неканонической формы. РУДН: Москва, 2010 г 9. Объединенный научный семинар кафедр строительной механики и прикладной математики Санкт-Петербургского государственного архитектурностроительного университета. СПбГАСУ, 2011 г.
10. Расширенное заседание кафедры строительной механики Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета.
ВолгГАСУ, Волгоград, 2011 г.
11. 7th International Congress on Civil Engineering: Tarbiat Modarres University, Tehran, Iran, 2006.
12. Scientific Seminar of the Department of Civil Engineering of Stellenbosch University: Stellenbosch, Republic of South Africa, 2007.
13. 12th International Conference on Computing in Civil and Building Engineering & 2008 International Conference on Information Technology in Construction: Beijing, China 2008.
14. 16th Annual Workshop of the European Group for Intelligent Computing in Engineering (EG-ICE): TU Berlin, Germany, 2009.
15. 13th International Conference on Computing in Civil and Building Engineering. Nottingham, UK 2010.
Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано печатных работы, в том числе 11 статей в изданиях, входящих в список ВАК, статей и 1 монография в российских издательствах, 4 статьи и 1 монография в иностранных журналах и издательствах.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, девяти глав, основных выводов, списка литературы из 269 наименований и приложений. Общий объем диссертации составляет 384 страницы, в том числе 378 страниц основного текста, 72 рисунков и 16 таблиц.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи работы, изложены основные положения, которые выносятся на защиту.
В первой главе выполнен обзор современного состояния исследований в области геометрически нелинейной теории упругости, методов решения нелинейных уравнений, анализа устойчивости равновесия конструкций, а также методов продолжения решения основных уравнений после достижения конструкциями сингулярных конфигураций.
Основы современной нелинейной теории упругости были заложены в начале 20 века в работах Ф.С. Ясинского, С.П. Тимошенко, И.Г. Бубнова, Е.Л. Николаи, Е.П. Попова. Нелинейная теория упругости в классической форме была сформулирована В.В. Новожиловым и получила свое дальнейшее развитие в трудах И.И. Гольденблатта, А.И. Лурье, А. Грина, Дж. Адкинса и других исследователей.
Развитию нелинейных теорий и алгоритмов расчета отдельных видов конструкций посвящены работы В.В. Новожилова, В.З. Власова, А.С. Вольмира, А.Л. Гольденвейзера, В.В. Петрова, В.И. Феодосьева, Х.М. Муштари и К.З. Галимова; М.В. Колтунова, М.В. Корнишина, П.М. Огибалова, П.А. Лукаша и др.
исследователей.
Первыми работами, посвященными конечно-элементному подходу к нелинейному анализу конструкций, признаются статьи М. Тернера и его соавторов.
Хотя эти работы и не были посвящены конкретно нелинейным расчетам конструкций, но они привели к развитию этой области, результаты которого были обобщены в монографии Одена, вышедшей в 1972 году.
Значимость нелинейной матричной строительной механики была ясно осознана в 1970-е годы, и в связи с этим появился целый ряд основополагающих публикаций: Вуда и Зенкевича; Вундерлиха и Беферунгена; Аргириса, Дунна и Шарпфа; Бате и Полурха. Метод конечных элементов в различных его формах использовался в работах Ф.В. Рекача, В.В. Ананяна, Р.А. Хечумова А.А. Покровского и других авторов для решения геометрически и физически нелинейных задач стержневых конструкций.
Нелинейные задачи строительной механики и теории упругости формулируются в виде систем нелинейных разрешающих уравнений с параметром. Наиболее распространенным способом решения нелинейных уравнений является отслеживание изменения решений с изменением параметра задачи. Впервые идея продолжения решения по параметру в вычислительных целях была реализована М. Лаэем. Другая формулировка метода принадлежит Д.Ф. Давиденко, который применил его (под названием метод вариации параметра) к широкому классу задач прикладной математики, требующих решения нелинейных операторных уравнений. Методы продолжения решения по параметру реализуются численно в виде различных шаговых алгоритмов.
Независимо от метода продолжения по параметру, В.В. Петровым в развитие идеи В.З. Власова был сформулирован известный метод последовательных нагружений для решения задач геометрически нелинейного деформирования оболочек. В.В. Карпов интерпретировал метод последовательных нагружений как алгоритм интегрирования начальной задачи методом Эйлера.
Шаговые методы и методы продолжения по параметру были обобщены Е.
Григолюком и В. Шалашилиным. Монография этих авторов содержит обширную библиографию по применению этих методов в нелинейных задачах механики. В. Шалашилин и Е. Кузнецов получили математически строгое доказательство того, что наилучшим параметром продолжения решения является длина дуги кривой, представляющей решение нелинейного уравнения.
В задачах дискретной нелинейной строительной механики метод продолжения по параметру, в котором в качестве параметра используется длина дуги кривой равновесных состояний, впервые был использован Риксом и Вемпнером.
Последующие модификации этого метода были выполнены Крисфилдом и рядом других авторов. Метод продолжения решения по длине дуги кривой равновесных состояний использовался в работах С.И. Трушина для построения конечно-элементного решения задач нелинейного деформирования оболочек.
Проблема устойчивости является основополагающей во многих областях науки и техники. Общая теорема об устойчивости равновесия консервативной механической системы была сформулирована Лагранжем и строго доказана Дирихле. Классическая теория устойчивости пластин и оболочек сформировалась в первой половине 20-го века. Основополагающими в этой области были работы Р.
Цоэлли, Р. Лоренца, С.П. Тимошенко, В. Флюгге. В 30-е годы начали развиваться исследования поведения оболочек после выпучивания (закритическое поведение), а также исследования влияния начальных несовершенств. В работе В. Койтера изложена концепция устойчивости континуальных упругих систем, которая позволяет асимптотически точно описать начальную стадию закритической области.
Особое место в исследовании нелинейной устойчивости занимает теория бифуркаций, позволяющая исследовать локальное поведение конструкций в окрестностях особых точек. Современная нелинейная теория бифуркаций основана на трудах В. Пуанкаре, А.М. Ляпунова и Е. Шмидта. В этих работах были предложены первые способы классификации особых точек. А.М. Ляпуновым было сформулировано математическое определение устойчивости для процессов, включающих несовершенства.
В 1969 году появилась первая работа, посвященная исследованию проблемы ветвления (бифуркации) при помощи численных методов (Thurston). Предложенный в ней метод исследования траектории вблизи точки ветвления может рассматриваться как численный аналог аналитического метода Койтера. Появление метода конечных элементов, вызвало прорыв в численных исследованиях проблем устойчивости. В этой области хорошо известны работы Белычко, Вагнера, Риггерса и Крисфилда.
Традиционный подход к определению критических точек нелинейных задач состоит в дополнении шагово-итерационных методов решения так называемыми сопровождающими действиями, направленными на исследование устойчивости поведения конструкции. Для вычисления критических точек Крисфилдом был предложен методом бисекции интервала. Этот метод не является достаточно надежным, так как в окрестности точек бифуркации могут находиться более двух ветвей нагружения, и две точки, задающие интервал, могут оказаться лежащими на разных ветвях решения. Кроме того, возникают сложности при вычислении равновесного состояния, которое является средним от двух вычисленных равновесных состояний на краях интервала. Метод Вагнера использует почти сингулярную точку для формулировки прямого метода вычисления сингулярной точки, но применяемый при этом метод линеаризации основных разрешающих уравнений, приводит к несимметричной системе линейных уравнений с высокой размерностью.
Вычисление продолжения траекторий нагружения по вторичным ветвям в точках бифуркации представляет собой задачу большой сложности. Известные специалисты в области теории устойчивости Крисфилд, Вагнер и Риггерс выявили эти сложности, но не сумели предложить удовлетворительного общего решения.
Говоря о методах касательной жесткости применительно к ветвям, где собственные значения матрицы отрицательны, что соответствует неустойчивости конструкции, Крисфилд заключает: Со всей очевидностью в данной области требуется дальнейшая работа.
В последнем разделе главы приведен обзор программных продуктов, позволяющих выполнять нелинейные расчеты.
Проведенный обзор современного состояния исследований показал, что в области анализа устойчивости равновесия легких конструкций все еще остаются существенные теоретические и вычислительные проблемы.
Во второй главе получено точное аналитическое решение задачи геометрически нелинейного деформирования и устойчивости равновесия симметричной пространственной трехстержневой фермы, загруженной вертикальной силой, действующей вдоль оси её симметрии (рис.1).
В традиционных формулировках разрешающих уравнений таких задач используются тригонометрические соотношения. Аналитические решения уравнений получаются путем аппроксимации тригонометрических функций рядами.
Получаемые решения являются приближенными. При необходимости сравнения численных методов с такими аналитическими решениями сложно определить, является ли расхождение в результатах следствием погрешности численного метода или погрешностью приближенного аналитического решения. Такая неопределенность существенно снижает значимость тестовых задач в оценке новых методов.
a a a a Рис. 1. Перемещения симметричной пространственной трехстержневой фермы.
В диссертационном исследовании получена новая формулировка и точное решение основных уравнений, описывающих геометрически нелинейное поведение пространственных симметричных трехстержневых ферм под действием вертикальной нагрузки. При формулировке задачи не используются тригонометрические функции, так как она основана на координатном подходе. Разрешающие уравнения приведены к безразмерному виду и содержат в качестве заданного параметра коэффициент соотношения геометрических размеров фермы m: a / h0 (радиус основания/высота вершины над основанием):
2 p1 w1 (m2 w1 w2 w3(2 w3)) ;
2 p2 w2(m2 w1 w2 w3(2 w3)); (1) 2 p3 (1 w3)(w1 w2 w3(2 w3)).
Решения этих уравнений получены для частного случая действия только вертикальной нагрузки:
решение 1: p1 p2 0; p3 w3(1 w3)(2 w3);
(2) w1 w2 0.
решение 2 : p1 p2 0; p3 m2(1 w3);
(3) 2 w1 w2 w3(2 w3) m2 0.
Из выражений (2) и (3) видно, что решение 1 не зависит от соотношения геометрических размеров фермы, тогда как решение 2 зависит от коэффициента ma h0, равного отношению радиуса основания к высоте.
Нелинейное поведение рассматриваемой пространственной фермы не является очевидным. Потеря устойчивости может происходить по двум сценариям, показанным на рисунке 2.
а б Рис. 2. Формы потери устойчивости трехстержневой фермы a: прощелкивание б: бифуркация В пологих фермах происходит прощелкивание верхнего узла, а в подъемистых фермах возможна потеря устойчивости по типу бифуркации. Вопросы о том, какому из решений (1 или 2) будет подчиняться конструкция, а также о том, какие именно сингулярные конфигурации будут достигнуты в процессе деформации, могут быть исследованы при помощи графического представления решения в виде кривых нагрузка-перемещение, показанных на рисунке 3.
Основная ветвь траектории нагружения с началом в незагруженной исходной конфигурации является единой для всех значений коэффициента соотношения геометрических размеров фермы.
Коэффициент соотношения геометрических размеров m определяет, будет ли траектория нагружения фермы иметь одну или несколько сингулярных точек и каков характер этих точек:
- для весьма пологих ферм с коэффициентом m 1,0000 возможно лишь решение 1 с траекторией a. Ферма достигает первого сингулярного состояния в точке C. Так как в этой точке существует только одно продолжение решения, то точка C - предельная.
- для пологих ферм с коэффициентом 0,8165 m 1,0 траектории a решения 1 и d решения 2 пересекаются в точке D. Сингулярная точка C на траектории a достигается раньше, чем точка пересечения решений D, и происходит прощелкивание узла.
- для подъемистых ферм с коэффициентом 0 m 0,8165 сингулярная точка B решения 2 достигается раньше, чем сингулярная точка C решения 1. Так как в точке B существует более одного направления возможных перемещений, то она является точкой бифуркации.
- для особого случая фермы с коэффициентом m = 0,8165 траектории a решения 1 и c решения 2 пересекаются в точке C, которая является сингулярной точкой обоих решений.
Рис. 3. Кривые нагрузка-перемещение верхнего узла фермы a - решение 1 для всех значений m d - решение 2 при m = 0.90b - решение 2 при m = 0.5000 e - решение 2 при m = 1.00c - решение 1 при ms = 0.81Полученные точные решения для нагрузок, реакций и перемещений на всем продолжении траектории нагружения позволили выявить следующие особенности геометрически нелинейного поведения ферм:
- Существует значение коэффициента m, для которого все коэффициенты матрицы жесткости, касательной ко вторичной ветви траектории нагружения в точке бифуркации равны нулю;
- Вторичные ветви траектории нагружения за точкой бифуркации лежат на поверхности сферы, проходящей через точку бифуркации. Каждая точка на этой поверхности содержится в траектории нагружения фермы.
- Матрица касательной жесткости фермы сингулярна не только в точке бифуркации, но и в каждой точке сферической поверхности. Это свойство оказывает большое влияние на построение алгоритмов продолжения траекторий нагружения за точками бифуркации.
Полученное новое аналитическое решение задачи геометрически нелинейного поведения симметричных пространственных трехстержневых ферм позволяет определить нелинейную траекторию нагружения, положение критических точек конструкции, определить вид потери устойчивости, отобразить последовательность событий на траектории нагружения, а также определить частный случай, когда точка бифуркации и предельная точка совпадают.
Это решение использовано как базовый тестовый пример для построения теории нелинейной деформации пространственных стержневых систем, обоснования разрабатываемых методов, апробации алгоритмов расчета, а также для оценки точности численных расчетов, выполненных с использованием программных комплексов.
В третьей главе диссертации выполнена формулировка общей геометрически нелинейной теории статического расчета упругих тел, подчиняющихся линейному физическому закону. Общая нелинейная теория упругих тел сформулирована таким образом, что на её основе можно получить частные теории для отдельных видов конструктивных элементов, применяя соответствующие гипотезы поведения. Целью такого подхода является унификация нелинейных теорий конструктивных элементов, позволяющая сократить затраты на их программную реализацию, а также добиться совместимости различных типов конструктивных элементов, объединяемых в сложные системы. Особенностью выполненной формулировки является то, что она не накладывает ограничений на величины перемещений и деформаций упругого тела.
При выводе разрешающих уравнений использовались как формулировка Лагранжа, так и формулировка Эйлера. Для описания напряжений и деформаций использовались следующие известные в нелинейной теории упругости тензоры:
тензор деформаций Грина E, тензор напряжений Коши T, второй тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа S.
Материальные точки характеризуются своим положением в исходной конфигурации. Координаты тензора деформаций Грина E вычисляются как функции производных перемещения по координатам:
ekm 0.5(uk,m um,k (4) u ui,m), i,k i где ui,k - производная перемещения ui по координате xk.
Напряженное состояние элемента в исходной конфигурации описывается тензором напряжений Коши T.
Уравнения равновесия элемента составляются в его мгновенной конфигурации. При этом осуществляется переход от тензора напряжений Коши ко второму тензору напряжений Пиолы-Кирхгофа S :
S (det F)F1TF1, (5) где F - градиент деформаций.
Дифференциальные разрешающие уравнения преобразуются к интегральному виду при помощи метода взвешенных невязок. В качестве весовых коэффициентов невязок приняты вариация перемещений u и вариация напря жения t Интегрирование взвешенных невязок по всей области C и преобразование полученного уравнения при помощи интегрирования по частям дает следующую форму интегрального разрешающего уравнения:
ui ( )dv da ui t da t u qi dv ui t im i0 i xm C i i i m (6) C Ct Cu ui Cu : ui ui Здесь Cu - область поверхности тела в мгновенной конфигурации, на ко торой заданы перемещения; Ct - область поверхности тела в мгновенной кон фигурации, на которой заданы напряжения; t - напряжения Коши.
im Уравнение (6) выведено для пространственных элементов тела (элементы Эйлера) в мгновенном состоянии, которое не известно заранее. Поэтому выполняется его преобразование к форме, записанной для исходного состояния (элемент Лагранжа). Используя преобразование (5) и выполняя дальнейшее преобразование векторов к исходному пространству, получим интегральное разрешающее уравнение задачи для исходного состояния:
uTpda uTp0 da T dv uTq dv C C Cu Ct (7) ui0 Cu : ui uiЗдесь - вектор деформаций, составленный из координат тензора Грина, - вектор напряжений, построенный на основе второго тензора ПиолыКирхгофа.
Инкрементальные разрешающие уравнения строятся для двух последова тельных мгновенных состояний: известного мгновенного состояния C и неизвестного мгновенного состояния C. Разность компонент тензора относительных деформаций Грина для двух мгновенных состояний раскладывается на линей0 n ную eim и нелинейную eim составляющие:
0 n eim eim eim eim (ui,m um,i (8) u uk,m uk,muk,i) / k,i k n eim ( u uk,m)/ 2, k,i k В качестве весовой функции в интегральной форме разрешающих уравнений для неизвестного мгновенного состояния используется вариация перемещения u в этом состоянии:
u (u u) (u) (9) Вариация перемещения u для известного мгновенного состояния в уравнении (9) принимается равной нулю.
Вариация относительной деформации в неизвестном мгновенном состоянии определяется аналогично вариации перемещения:
(eim) ((ui,m) (um,i ) u (uk,m) uk,m (uk,i )) k,i k (10) n (eim) (u (uk,m) uk,m(uk,i)) k,i k Подставляя значения вариаций в уравнения (7) и выполняя преобразования, получим следующий вид инкрементальных разрешающих уравнений:
(h )T S hi dv e i (0)T C0 dv i C C T (u)T p da (u)T p0 da (11) (u) q dv C Cu Ct Здесь C - матрица физических свойств тела (коэффициентов обратного закона Гука), hi - вектор производных перемещений.
Вариация невязки в уравнении (11) равна:
e (u)T q dv C (u)T p da (u)T p0 da (12) ( )T dv Cu Ct C (u)T p da (u)T p0 da ( )T dv Cu Ct C Из сравнения выражения (12) с интегральным уравнением (11) видно, что невязка равна нулю, если решение удовлетворяет основному уравнению (7).
Аналитические разрешающие уравнения нелинейной теории упругости получены для тел, поле перемещений которых может быть задано функциями, непрерывными по всему объему и по всей поверхности тела. Сложность формы и поведения строительных конструкций, как правило, не позволяют отыскать такие математические функции. Поэтому выполняется переход к алгебраическим разрешающим уравнениям путем разбиения тела на отдельные конечные элементы и введения интерполирующих функций перемещений.
В четвертой главе диссертации сформулирована геометрически нелинейная теория пространственных шарнирно-стержневых систем, полученная на основе общей геометрически нелинейной теории упругости. Особенности предлагаемого подхода состоят в том, что при выводе разрешающих уравнений задачи используется матрица секущей жесткости конструкции, формируемая на основе разностных операций. При этом в выражениях для коэффициентов матрицы секущей жесткости сохраняются все нелинейные члены исходных разрешающих уравнений.
Интегральная форма разрешающих уравнений, описывающих нелинейное поведение упругих тел, применяется к случаю пространственной шарнирностержневой системы. Каждый интеграл по объему тела заменяется суммой интегралов по объемам отдельных стержней. Поверхностные нагрузки и реакции заменяются нагрузками и реакциями в узлах фермы. Таким образом, интегральная форма разрешающих уравнений для описания нелинейного поведения пространственных шарнирно-стержневых систем сводится к виду:
s dv (ds)T (qs rs) (13) e Ce где Ce - объем, занимаемый стержнем e в исходной конфигурации; - осевая деформация в стержне (координата e11 тензора деформаций Грина); s - осевое напряжение в стержне (координата s11 второго тензора напряжений ПиолыКирхгофа); ds - инкремент вектора перемещений системы.
Инкремент деформаций стержня при переходе из известной мгновенной конфигурации C(s) в последующую неизвестную конфигурацию C(s1) раскладывается на линейную и нелинейную составляющие:
0 n, (14) 0 (1 v1,1)v1,1 v2,1v2,1 v3,1v3,1, (15) 2 2 n (v1,1 v2,1 v3,1) 2. (16) Здесь 0- линейная составляющая инкремента деформации; n - нелинейная составляющая инкремента деформации.
Вариации деформации следуют из выражений (15) и (16):
(0) (1 v1,1)(v1,1) v2,1(v2,1) v3,1(v3,1), (17) (n) v1,1 (v1,1) v2,1(v2,1) v3,1(v3,1). (18) Аналитическое инкрементальное разрешающее уравнение для шага нагружения пространственной фермы имеет вид ( )(s s)dv s dv e (ds)Tqs (ds)Trs, (19) e e Ce Ce где - осевая деформация мгновенного состояния C(s), s - осевое напряжение второго тензора Пиолы-Кирхгофа; ds, qs и rs - векторы перемещений, нагрузок и реакций системы. Невязка в уравнении (19) задана следующим выражением:
e (0) s dv (ds)T qs (ds)T rs, (20) e Ce Уравнения (19) и (20) линеаризуются на каждом шаге решения путем использования приближенных значений инкремента деформаций и его вариации, определяемых итерационно:
(1 v1,1 v1,1 / 2)v1,1 (v2,1 v2,1 / 2)v2,1 (v3,1 v3,1 / 2)v3,1, () (1 v1,1 v1,1)(v1,1) (v2,1 v2,1) (v2,1) (v3,1 v3,1) (v3,1), где vm,1 - приближенные значения производных инкрементов перемещения, определяемые в предыдущих циклах итераций на шаге нагружения.
При этом ни один из членов точного разрешающего уравнения (13) не опускается.
Для преобразования уравнений (19) в алгебраические разрешающие уравнения используется метод конечных элементов. Зависимость между перемещениями и нагрузками элемента описывается матрицей секущей жесткости, которая формулируется следующим образом:
1. Записываются алгебраические разрешающие уравнения задачи геометрически нелинейного деформирования конструкции для двух последовательных состояний конструкции s 1 и s.
2. Определяются разности соответствующих коэффициентов матриц полной жесткости Ks и Ks1 уравнений состояний s и s 1.
3. Формируются коэффициенты матрицы секущей жесткости KS для данного шага нагружения.
Инкрементальная матрица секущей жесткости обычно не является симметричной. Следствиями потери симметрии являются увеличение необходимого объема памяти, увеличение числа операций алгоритма решения. В диссертации разработан новый способ разложения секущей матрицы жесткости на основную симметричную матрицу и остаточный член. Остаточный член преобразуется в корректирующий член нагрузки, уточняемый в процессе итераций на шаге нагружения. Для предлагаемого способа разложения корректирующий член нагрузки стремительно убывает в процессе итераций.
Результирующие коэффициенты матриц секущей жесткости элементов сохраняют нелинейные члены исходных уравнений. Матрица секущей жесткости в цикле итераций на шаге нагружения последовательно аппроксимируется с использованием значений инкрементов перемещений, вычисленных в предыдущем цикле итераций.
Матрица секущей жесткости конструкции компонуется из матриц составляющих ее элементов по известным правилам. В результате получается следующая система алгебраических разрешающих уравнений относительно инкрементов перемещений и реакций пространственной стержневой системы на шаге нагружения:
Ksds es qs rs, (21) где Ks - матрица секущей жесткости системы, ds - вектор инкрементов перемещений, es - вектор погрешности, qs - вектор инкрементов нагрузок, rs - вектор инкрементов реакций системы.
В последнем разделе главы на примере рам продемонстрирована возможность расширения области применения обобщенной формулировки геометрически нелинейной теории и разработанного метода на нелинейный расчет стержневых систем с жесткими узлами.
В пятой главе представлен численный метод деформационного анализа пространственных стержневых систем. Точность и устойчивость метода достигаются путем сохранения всех нелинейных членов инкрементальных разрешающих уравнений. Метод основан на использовании матрицы секущей жесткости конструкции, разработанной в четвертой главе.
Разрешающие уравнения нелинейной теории упругости решаются пошагово. Так как нельзя предсказать заранее, какая из компонент перемещений станет критической в сингулярной точке, для задания характеристической кривой нагружения вводятся нормы перемещений и усилий. Процедура решения определяется нормализованной кривой зависимости перемещение-нагрузка.
Система разрешающих уравнений (21) упорядочивается и преобразуется к следующему блочному виду:
K11 K12 d1 q1 0 e , (23) K21 K22 d2 q2 r2 eгде d1 - инкременты свободных перемещений, d2 - инкременты заданных перемещений.
Нагрузка, действующая на конструкцию в некотором заданном состоянии, определяется коэффициентом нагружения . Инкремент коэффициента нагружения s определяет изменение нагрузки и заданных перемещений на шаге нагружения:
q1 q1t, q2 q2t, d2 d2t. (24) Инкременты свободных перемещений d1s и реакций r2s выражаются из уравнений (23) как функции инкремента коэффициента нагружения s :
d1s s d1t b1s, r2s s r2t b2s, где (25) 1 d1t K11s(q1t K12sd2t ); b1s K11s e1s;
r2t K21sd1t K22sd2t q2t; b2s K21s b1s e2s.
Инкремент коэффициента нагружения s на каждом шаге является неизвестной величиной. Он определяется из условия постоянства длины хорды дуги на каждом шаге нагружения. Исходной является длина хорды на первом шаге, которая вычисляется из следующего выражения:
2 2 h0 0 pT p0 20 dTd0. (26) 0 Длина хорды дуги h0, вычисленная по формуле (26), учитывает нагрузки, реакции и перемещения линейно упругой конструкции, но не учитывает поправочные перемещения b1 и поправочные реакции b2 в выражениях (25). В некоторых случаях эти поправки могут быть значительными. Для учета поправочных членов, начальная длина дуги h0 пересчитывается на каждом цикле итераций первого шага нагружения.
Размер шага s назначается так, чтобы длина хорды дуги hs между точками s и s+1 на кривой равнялась h0. При этом длина хорды должна вычисляться через разность норм векторов перемещений и сил в начале и в конце шага. Уравнение для определения инкремента шага нагружения при этом условии обладает высокой степенью нелинейности и включает тригонометрические функции, содержащие в качестве аргумента искомый инкремент. Для упрощения задачи в современных модификациях метода (Крисфилд и др.) используется приближенная методика замены разности норм векторов нормой их разности. Эта методика хорошо работает на гладких участках диаграммы нагружения. Однако в окрестностях точек бифуркации для обеспечения сходимости процедуры необходимо использовать уточненный метод. В диссертационном исследовании разработан новый численный метод, позволяющий вычислять инкремент длины дуги через нормы векторов перемещений и сил системы, а не нормы их инкрементов, что улучшает устойчивость и сходимость итерации на шаге нагружения.
Метод продолжения по длине дуги кривой равновесных состояний, используемый в данной работе, требует корректировки решения уравнений (25) на каждом шаге нагружения. Обычно такая корректировка выполняется итерационно путем вычисления неуравновешенных сил в конце каждого шага нагружения и приложения их к конструкции в виде внешней нагрузки. Неуравновешенные силы состояния s конструкции содержатся в векторе погрешности es системы уравнений (25).
В мгновенной конфигурации конструкции, для которой определен вектор es, этот вектор уравновешен перемещениями, реакциями и внутренними усилиями в конструкции. Неуравновешенные силы не дают вклада в нагрузку, действующую на конструкцию. Поэтому в данной работе разработана новая методика учета неуравновешенных сил. Вектор неуравновешенных сил не добавляется к внешней нагрузке, действующей на конструкцию, а используется для вычисления корректирующих перемещений и корректирующих реакций, которые затем используются для уточнения матрицы секущей жесткости на шаге нагружения. Данный подход существенно улучшает точность и скорость сходимости деформационного анализа.
В шестой главе диссертации излагается теория бифуркаций в виде, пригодном для использования в численном анализе по методу конечных элементов.
Приводятся методы классификации сингулярных точек. Основным результатом исследований, приведенным в данной главе, является формулировка нового прямого метода определения сингулярных конфигураций пространственных стержневых систем.
В этом методе матрица касательной жесткости в сингулярной точке выражается через инкременты перемещений и неизвестный инкремент коэффициента нагружения от почти сингулярной точки к сингулярной точке. Формулируется общая проблема собственных значений, в которой искомым собственным значением является инкремент коэффициента нагружения. При этом новый метод дает симметричную систему уравнений.
Коэффициент нагружения, перемещения и реакции в сингулярной точке определяются из условия, что определитель матрицы касательной жесткости в этой точке равен нулю. Диагональные коэффициенты матрицы секущей жесткости, которая используется в пошаговом расчете, при этом могут в ноль не обращаться. Поэтому критерием прохождения сингулярного состояния в данном алгоритме служит изменение на шаге знака хотя бы одного из диагональных коэффициентов разложения матрицы секущей жесткости K(s) LDLT. Состояние в s начале шага при этом считается почти сингулярным.
Если почти сингулярное состояние конструкции выявлено, то для некоторой точки N, предшествующей сингулярной точке S на траектории нагружения, вычисляются перемещения и реакции при помощи обычной процедуры метода постоянных дуг. Инкременты d перемещения из точки N в сингулярную точку S записываются как функции неизвестного инкремента коэффициента нагружения :
d dt f, (26) где dt - вектор перемещений от полной нагрузки при жесткости фермы, вычисленной для состояния N, а f - вектор перемещений от неуравновешенных сил того же состояния. Полученное в результате выражение для матрицы касательной жесткости фермы в сингулярном состоянии является нелинейной функцией неизвестного инкремента коэффициента нагружения :
t KS K0 K1(). (27) Определитель матрицы касательной жесткости в сингулярной конфигурации полагается равным нулю:
det (K0 K1) 0. (28) Значение вычисляется итерационно. В первой итерации члены, нелинейные относительно , опускаются. Значение определяется из решения общей задачи на собственные значения (28), соответствующей уравнению критического равновесия K0 x K1 x. (29) Здесь , x - собственные значения и собственные векторы матриц ( K0, K1). Так как в данном случае требуется отыскать лишь наименьшее собственное значение, то наиболее эффективен метод обратных векторных итераций.
Если состояние N, для которого вычисляются матрицы K0 и K1 близко к сингулярному состоянию, то итерации сходятся достаточно быстро.
В последующих циклах итераций на шаге от состояния N к состоянию S нелинейные члены, входящие в матрицу касательной жесткости состояния S, аппроксимируются с использованием значения инкремента коэффициента нагружения , полученного в предыдущем цикле итераций. Процедура может быть кратко описана следующим образом:
- цикл 0:
( 0 вычисление K10) решение проблемы СЗ относительно (0) ;
- цикл s :
(s) (s-1) вычисление K1 решение проблемы СЗ относительно (s).
Найденное значение min min подставляется в выражение (26) для вычисления инкремента перемещения в сингулярное состояние:
d min dt f. (30) Так как вектор d получен с использованием приближенного значения матрицы касательной жесткости, то точка S, вычисленная с его использованием, не будет являться точной сингулярной точкой кривой нагружения. Описанная выше процедура повторяется, используя S как новую почти сингулярную точку. Алгоритм прерывается, когда изменение инкремента коэффициента нагружения становится меньше заданного предельного значения.
В седьмой главе исследуется продолжение траекторий нагружения пространственных стержневых систем в точках сингулярности.
При помощи аналитического решения, описанного в главе 2, автором были выполнены исследования свойств решений основных нелинейных уравнений в окрестностях сингулярных точек и выявлено, что использование линеаризованной матрицы касательной жесткости не может обеспечить надежного продолжения решения в точках бифуркации. В сязи с этим, в диссертационном исследовании разработан новый подход к продолжению траекторий нагружения, основанный на применении матрицы полной жесткости конструкции.
Предлагаемый подход обладает следующими особенностями: а) сингулярная точка вычислятся прямым методом с использованием свойств основной ветви; б) алгоритм продолжения решения, не зависит от типа сингулярной точки; в) на первом шаге продолжения решения учитывается изменения коэффициента нагружения.
В результате разработан новый метод расчета, основанный на расширении системы разрешающих уравнений. Его отличие от методов, предложенных Крисфилдом, Вагнером и Риггерсом заключается в том, что в уравнения включается конечный инкремент коэффициента нагружения. Метод основан на следующих допущениях:
1) Направление инкремента свободных перемещений на первом шаге, следующем за сингулярной точкой примерно параллельно собственному вектору, соответствующему нулевому собственному значению, или произвольно выбранной линейной комбинации нескольких векторов, соответствующих нулевым собственным значениям.
2) Направление инкремента свободных перемещений на шаге нагружения s, следующем за первым шагом продолжения решения, примерно равно инкременту перемещения на предыдущем шаге s 1.
Построение ветви выполняется пошагово. Вектор перемещений в начале первого шага продолжения равен вектору перемещений в сингулрной точке.
На первом шаге продолжения ( s 0) пробное перемещение d назначается в соответствии с первым допущением:
d = dc x, где x - собственный вектор задачи (31) На последующих шагах s 0 продолжения пробное решение вычисляется при помощи второго допущения:
d = d(s) (d(s) d(s-1)), (32) где d(s) - перемещение в начале шага нагружения s.
Конструкция в пробном состоянии находилась бы в равновесии, если бы она была загружена вектором сил, определяемым из уравнения K d = f, где K - матрица полной жесткости для пробного перемещенного состояния d.
Матрица полной жесткости K здесь не формируется в явном виде. Вместо этого, матрицы жесткости отдельных элементов умножаются на векторы перемещений этих элементов и суммируются, составляя пробный вектор сил f.
Нагрузка в пробном состоянии s(1) в конце первого цикла итераций на первом шаге продолжения решения в сингулярной точке не является строго пропорциональной модельной нагрузке. Нежелательная нормальная составляющая нагрузки, обычно исключается путем вычитания из векторов пробного состояния перемещений и реакций, соответствующих этой составляющей нагрузки.
Исследования, проведенные при помощи тестовой платформы, показали, что эта процедура часто приводит к расхождению итераций, что отмечалось и другими исследователями.
В предлагаемом методе к вектору погрешности e добавляется некоторая часть заданной модельной нагрузки. Множитель к модельной нагрузке выбирается таким образом, чтобы инкремент перемещений от нагрузки e pt был нормален инкременту перемещения от сингулярного состояния к состоянию s(1). При помощи инкремента нагрузки e pt корректируется пробное состояние конструкции, а также вычисляются инкременты перемещений и реакций от этого инкремента нагрузки.
T T T f1 rf1p e1, где f1pe1 0 и r (f1pf1 ) (f1pf1p). (33) Прерывание итерации на шаге нагружения s. Считается, что пробное состояние имеет достаточную точность для прерывания итерационной коррекции на шаге нагружения s, если норма нормальной компоненты пробной нагрузки меньше заданной доли нормы параллельной компоненты пробной нагрузки:
T T e1 e1 s r f1pf1p Прерывание метода расширения. Вычисление продолжения решения при помощи метода расширения продолжается до тех пор, пока матрица касательной жесткости не станет достаточно хорошо определенной для возврата к методу постоянных дуг, использовавшемуся на основной ветви траетории нагружения. Это условие проверяется при помощи разложения D LDT матрицы касательной жесткости пробного состояния.
Алгоритм продолжения траектории нагружения, основанный на разработанном подходе, реализован в программном приложении. Исследование показало, что новый метод продолжения решения обладает численной устойчивостью и высокой точностью.
В восьмой главе описана реализация концепций данного диссертационного исследования в объектно-ориентированном программном приложении на базе платформы Java. Представлены структура данных, структура классов и структура методов приложения. В приложении реализован метод геометрически нелинейного анализа деформаций и устойчивости пространственных стержневых систем, предлагаемый автором.
Приложение основано на известной объектно-ориентированной технологии программирования. Для каждого вида компонентов пространственной стержневой системы (узлов, стержней, опор и нагрузок) заданы отдельные классы. Классы содержат атрибуты и конструкторы объектов класса, численные методы, которые могут выполнять эти объекты, а также процедуры вывода на печать атрибутов и переменных поведения объектов. Описание модели пространственной стержневой системы через объекты этих классов осуществляется агрегацией объектов в классе Truss. Масштабирование, преобразование форматов, форматированный вывод на печать и ключевые слова приложения размещены в сервисных классах.
В классе Truss реализованы алгоритмы нелинейного анализа перемещений, определения сингулярных точек и продолжения траекторий нагружения за сингулярными точками. Эти алгоритмы используют методы, содержащиеся в классах Node, Bar, Support и Load. Структура алгоритмов пошагового нелинейного расчета на деформации следует классической схеме метода конечных элементов. Если алгоритм обнаруживает почти сингулярное состояние конструкции, то выполняется отдельный независимый метод вычисления продолжения траектории нагружения.
Для составления и решения системы линейных уравнений, создан специальный класс Equation, включающий процедуру контролирования диагональных коэффициентов разложения матриц жесткости, необходимого для выявления почти сингулярных конфигураций. Решение общей проблемы собственных значений и определение наименьшего собственного значения локализовано в классе Eigen. Решение задачи производится при помощи метода обратной векторной итерации.
Структура данных приложения является новой для конечно-элементных программ. Основным элементом структуры данных является именованный объект. Имя именованного объекта может быть использовано в любой момент времени чтобы найти ссылку на тело объекта в памяти компьютера. Имя объекта может быть использовано как атрибут в других объектах приложения еще до того, как объект создан. На этом этапе ссылка именованного объекта равна нулю.
Именованный объект дает большую свободу в выборе последовательности создания и использования объектов приложения. Структура данных реализована в единственном классе Base, который может иметь различные версии в зависимости от используемого типа компьютера.
Анализируемая модель может быть определена последовательностью простых команд вызова методов программы или при помощи функций графического интерфейса пользователя. Модели хранятся в файлах и могут быть многократно использованы или модифицированы.
Графический интерфейс пользователя практически независим от классов, отвечающих за описание и расчет моделей, описанных выше. Конструкция представляется на экране компьютера в виде проекций, направление которых и область проекции могут задаваться. Проекция состоит из точек и отрезков, которые являются объектами классов Vertex и Edge. Алгоритмы, отвечающие за построение проекции части конструкции, заключенной в объемную область проекции, на заданную плоскость содержатся в классе View, который также содержит агрегацию объектов классов Vertex и Edge, описывающих проекцию.
Интерфейс пользователя состоит из Java-фрейма, который содержит панель управления, графическую панель и текстовое поле для сообщений. Для вызова меню моделей и редакторов вида, параметров расчета и параметров графического вывода результатов расчета используются кнопки на панели управления.
Графическая панель имеет масштабированную сетку, на которой отображается выбранный вид в заданном масштабе. Если на панели выбирается вершина или ребро, свойства этого объекта отображаются в редакторе, где они могут быть модифицированы. Интерфейс пользователя приложения показан на рисунке 4.
История перемещений или реакций в узле или усилия в элементе может также быть представлена на панели результатов, замещающей графическую панель. Пошаговые перемещения конструкции под нагрузкой могут быть отображены на отдельной панели, которая также замещает графическую панель. Если при этом выбрать вершину или стержень, то на панель будут выведены вычисленные результаты для этого узла или стержня в его текущем состоянии.
Рис. 4. Графический интерфейс пользователя приложения Редакторы графического интерфейса представляют собой расширения общего родительского класса BasicEditor и имеют общую структуру. Редакторы являются подвижными панелями, которые добавляются как компоненты к графической панели. Они остаются невидимыми до того момента, когда пользователь вызывает нужный редактор щелчком на кнопке панели управления или на компоненте графической панели. Вызванный редактор автоматически размещается в подходящей точке панели и становится видимым. В программе созданы классы-редакторы узлов, стержней, опор, нагрузок, формата, расчета и результатов.
Программное приложение имеет развитую структуру, соответствующую сложности нелинейного поведения конструкций. Структура классов приложения четко отражает логическую концепцию решения. Строгая локализация алгоритмов дает возможность внесения изменений в отдельные классы приложения в процессе проведения исследований без необходимости корректировки всего программного приложения.
Разработанные и реализованные автором специальная структура данных, алгоритмы и интерфейсы, обладают новыми чертами, необходимыми для эффективного функционирования тестовой платформы.
В девятой главе диссертации выполнена верификация численных результатов, полученных на основе разработанных в диссертации методов, и приведены примеры расчетов реальных конструкций, описаны результаты исследований влияния возмущающих параметров на поведение пологих и подъемистых симметричных трехстержневых ферм, выполненных при помощи разработанной тестовой платформы.
Исследования точности, устойчивости и надежности метода выполнены при помощи разработанного программного приложения на объектноориентированной платформе Java. В качестве тестового примера рассматривалась задача нелинейного деформирования симметричной пространственной трехстержневой фермы, показанной на рис. 1, для которой в главе 2 получено точное аналитическое решение. Выполненные примеры продемонстрировали высокую точность и сходимость метода. Показано, что предельные точки и точки бифуркации могут быть вычислены с любой заданной точностью. Продемонстрировано, что продолжение решения вычисляется с высокой точностью, как в предельных точках, так и в точках бифуркации.
Для частных случаев пологих и подъемистых пространственных трехстержневых ферм исследовано влияние возмущений нагрузки и геометрических параметров на их устойчивость. Рассматривались эффекты возмущающей горизонтальной нагрузки, приложенной в вершине фермы, горизонтальные и вертикальные смещения вершины фермы, а также изменение площади поперечного сечения одного из стержней.
В процессе исследований наблюдалось явление смены типа точки сингулярности для подъемистых ферм. Так, для симметричной фермы без возмущающей нагрузки имела место точка бифуркации, а при приложении малой горизонтальной возмущающей нагрузки точка бифуркации сменялась предельной точкой.
В 9 главе также приведен ряд примеров, демонстрирующих возможности применения разработанных методов к практическим задачам.
На рис. 5-7 приведены расчетная схема и результаты расчета сетчатого алюминиевого купола покрытия резервуара объемом 20 тыс. куб. метров. Диаметр купола по осям опор равен 40,34 м, радиус сферы - 29,00 м; стрела подъема - 8,25м. Стержневая сетка несущего каркаса разработана по звездчатой схеме.
Все элементы каркаса купола представляют собой прямолинейные стержни из прессованных двутавров высотой 240 мм. Материал стержней - алюминиевый сплав АД33Т1.
Расчет устойчивости купола выполнялся для двух сочетаний нагрузок: 1) собственный вес элементов купола и сииметричная снеговая нагрузка; 2) собственный вес элементов купола и несимметричная снеговая нагрузка. каждое из сочетаний задавалось в виде модельной нагрузки. Расчетное значение нагрузки при этом принималось за условную единичную нагрузку.
Рис.5. Сетчатый сферический купол: план и вид сбоку перемещение перемещение Рис.6. Диаграммы перемещение-нагрузка в узлах зоны потери устойчивости при симметричной нагрузке: a - вертикальная составляющая;
b, c - горизонтальные составляющие перемещения коэффициент нагружения коэффициент нагружения Потеря устойчивости купола при действии симметричной нагрузки наступает при значении коэффициента нагружения 2,194 (критическая нагрузка в 2,194 раза превышает расчетную нагрузку). Зона потери устойчивости симметрична и расположена вокруг вершины купола. Траектория нагружения состоит из основной ветви решения и вторичной ветви продолжения решения (рис. 6).
Сингулярная точка представляет собой точку бифуркации.
Потеря устойчивости купола при действии несимметричной нагрузки наступает при значении коэффициента нагружения 1,694. Потеря устойчивости происходит в четвертом от вершины кольце. Сингулярная точка представляет собой предельную точку. Диаграммы зависимости перемещение-нагрузка для двух узлов с максимальными перемещениями показаны на рисунке 7.
Рис.7. Диаграммы перемещение-нагрузка в узлах зоны потери устойчивости при несимметричной нагрузке: a - вертикальная составляющая;
b, c - горизонтальные составляющие перемещения Результаты геометрически нелинейного расчета конструкции купола на деформации и устойчивость сравнивались с расчетом по методу Уarc lengthФ программного комплекса ANSYS. Сравнение показало хорошее соответствие результатов деформационного анализа. Однако расчет по ПК ANSYS не позволил выявить потерю устойчивости вследствие бифуркации.
Основные результаты работы и выводы 1. Выполненный обзор современного состояния исследований в области анализа устойчивости равновесия конструкций показал, что в данной области всё ещё остаются существенные теоретические и вычислительные проблемы. Необходимо развитие общих методов анализа устойчивости, позволяющих надёжно оценивать общую устойчивость конструкции с учётом взаимодействия отдельных элементов, а также устойчивость каждого отдельного элемента этой конструкции.
2. В данном исследовании предложен обобщённый подход к разработке нелинейных методов расчёта конструкций. Нелинейная теория упругих тел сформулирована таким образом, что на её основе можно получить частные теории для отдельных видов конструктивных элементов, применяя соответствующие гипотезы поведения. В результате такого подхода возможна унификация нелинейных теорий конструктивных элементов, позволяющая сократить затраты на их программную реализацию и добиться совместимости различных типов конструктивных элементов, объединяемых в сложные системы.
3. Полученная на базе общей геометрически нелинейной теории упругости формулировка геометрически нелинейной теории пространственных стержневых систем, не имеет ограничений по величине перемещений, поворотов и деформаций в стержнях. Единственным ограничением подхода является принятый линейный физический закон деформирования материала. Несмотря на то, что основополагающие теории являются общепринятыми, их формулировка и применение в анализе устойчивости пространственных стержневых систем без введения дальнейших допущений и приближений обладает научной новизной. Благодаря отсутствию допущений стало возможным надежное исследование разрабатываемых новых методов, свободное от влияния погрешностей аппроксимации.
4. Разработанный в данной диссертации на основе обощенной теории деформирования и устойчивости равновесия пространственных стержневых систем интегрированный метод численного анализа позволяет: вычислять напряженно-деформированное состояние конструкций; выявлять критические конфигурации, для которых матрица касательной жесткости фермы становится сингулярной; точно вычислять критические состояния конструкции; вычислять продолжение траектории нагружения за критическими состояниями конструкции. В качестве составных частей метод включает нелинейный деформационный анализ, выявление и вычисление сингулярных точек, продолжение траекторий нагружения.
5. Разработанный в данной диссертации новый метод нелинейного деформационного анализа, основанный на использовании инкрементальной матрицы секущей жесткости, позволяет сохранять в уравнениях метода конечных элементов все нелинейные члены исходных разрешающих нелинейных уравнений.
Удержание нелинейных членов улучшает скорость сходимости итерационной процедуры, особенно на участках траектории нагружения с большой кривизной.
Сравнение численных результатов, полученных для тестовых задач с точными решениями доказало высокую точность метода секущей жесткости.
6. Предложенный в диссертации новый способ разложения секущей матрицы жесткости на основную симметричную матрицу и остаточный член, позволяет избежать увеличения числа операций алгоритма решения и необходимого объема оперативной памяти, возникающих вследствие несимметричности инкрементальной матрицы секущей жесткости. Остаточный член при этом преобразуется в корректирующий член нагрузки, уточняемый в процессе итераций на шаге нагружения. Для предлагаемого способа разложения корректирующий член нагрузки стремительно убывает в процессе итераций.
7. Новая методика учета неуравновешенных сил, разработанная в данном исследовании для корректировки решения на шаге нагружения, отличается тем, что неуравновешенные силы не добавляются к внешней нагрузке, как принято во всех существующих в настоящее время методах. Вместо этого, вектор неуравновешенных сил используется для вычисления корректирующих перемещений и корректирующих реакций, которые затем вводятся в уравнения для уточнения матрицы секущей жесткости на шаге нагружения. Данный подход существенно улучшает точность и скорость сходимости деформационного анализа.
8. В диссертационном исследовании разработан новый способ вычисления инкремента коэффициента нагружения в методе постоянных дуг, основанный на вычислении длины хорды через разность норм векторов перемещений и сил в начале и в конце шага. В отличие от метода Крисфилда, в котором использована упрощенная процедура использования норм разностей этих векторов, новый способ позволяет добиться сходимости процедуры в окрестностях точек бифуркации, где траектория нагружения испытывает ветвление. Использование предложенного способа позволяет также повысить устойчивость и сходимость итерации на шаге нагружения.
9. В диссертации разработан новый прямой метод вычисления сингулярных точек, основанный на формулировке общей проблемы собственных значений, решением которой является значение инкремента коэффициента нагружения, приводящее из почти сингулярной точки траектории нагружения в сингулярную точку. Сравнение вычисленных значений сингулярных точек тестовых задач с аналитическими решениями доказало высокую точность и надежность нового метода.
10. Разработанный в диссертации новый подход к продолжению траекторий нагружения обладает следующими особенностями: 1) известные разрешающие уравнения бифуркации в равновесных состояниях конструкций формулируются в виде, пригодном для расширения; 2) в отличие от подхода, использованного Крисфилдом, Вагнером, Риггерсом и другими исследователями, инкремент коэффициента нагружения на первом (конечном) шаге продолжения не принимается равным нулю, а принимается за неизвестную величину. Дополнительная неизвестная вычисляется путем расширения формулировки бифуркации дополнительным условием, в соответствии с которым нагрузка в конце первого шага продолжения решения пропорциональна заданной модельной нагрузке.
Способ учета погрешности вектора нагрузки (неуравновешенных сил), используемый в разработанном методе расширения, также является новым. Традиционно погрешность исключается путем вычитания из пробного решения перемещений и реакций, вызываемых этой погрешностью. Исследования, проведенные при помощи тестовой платформы, показали, что эта процедура часто приводит к расхождению итераций, что отмечалось и другими исследователями. В предлагаемом подходе к вектору погрешности добавляется некоторая часть заданной модельной нагрузки, так, чтобы инкремент перемещений от нагрузки был нормален инкременту перемещения от сингулярного состояния к последующему состоянию. При помощи этого инкремента нагрузки корректируется пробное состояние конструкции, а также вычисляются инкременты перемещений и реакций.
Алгоритм продолжения траектории нагружения, основанный на разработанном подходе, реализован в программном приложении. Исследование показало, что новый метод продолжения решения обладает численной устойчивостью и высокой точностью.
11. Новая формулировка и точное аналитическое решение основных уравнений, описывающих геометрически нелинейное поведение пространственных симметричных трехстержневых ферм под действием вертикальной нагрузки, полученные в работе, позволили избежать ошибок аппроксимации в аналитическом решении. В новом методе не используются тригонометрические функции.
12. Показано, что одни и те же нормализованные разрешающие уравнения справедливы для любых симметричных трехстержневых пространственных ферм. Геометрические соотношения, сечения стержней и модуль упругости влияют лишь на величины коэффициентов этих уравнений. Характер поведения фермы и вид потери устойчивости определяются соотношением её геометрических размеров (отношением радиуса основания к высоте) 13. Выявлены дополнительные особенности поведения исследуемых ферм.
В частности, показано, что существует значение коэффициента соотношения геометрических размеров, для которого все коэффициенты матрицы жесткости, касательной ко вторичной ветви траектории нагружения в точке бифуркации равны нулю. Показано, что вторичные ветви траектории нагружения за точкой бифуркации лежат на поверхности сферы, проходящей через точку бифуркации.
Каждая точка на этой поверхности содержится в траектории нагружения фермы.
Матрица касательной жесткости фермы сингулярна не только в точке бифуркации, но и в каждой точке сферической поверхности. Это свойство оказывает большое влияние на построение алгоритмов продолжения траекторий нагружения за точками бифуркации.
14. Полученное новое решение для симметричных пространственных трехстержневых ферм под действием вертикальной нагрузки является важным для понимания поведения конструкции и характерных свойств решений. Это исследование дало возможность выявить причины неудовлетворительного поведения алгоритмов при их тестировании и устранить их. Тщательное изучение литературы не выявило публикаций, в которых приводится сравнение результатов численных расчетов пространственных стержневых систем с точными аналитическими решениями.
15. Разработанное в диссертации программное приложение на базе объектно-ориентированной платформы Java имеет новые черты, которые внесли существенный вклад в развитие, исследование и оценку новых методов, представленных в диссертации. Структура данных приложения, основанная на именованных объектах, является новой для конечно-элементных программ. Структура классов приложения разработана таким образом, что отдельные классы могут быть заменены без внесения значительных изменений в другие классы. Таким образом, приложение может быть использовано для исследования альтернативных вариантов решения с незначительными трудозатратами.
16. Развитый графический интерфейс приложения позволяет эффективно отображать модель конструкции, её перемещения под нагрузкой, а также историю отдельных переменных, например узловых перемещений или усилий в стержнях. Интерфейс обладает большой скоростью и широко использовался для исследования свойств алгоритмов и поведения стержневых систем. Так как все классы интерфейса являются открытыми, они легко могут быть модифицированы и связаны с базой данных методами расчета таким образом, чтобы получить оптимальную тестовую платформу для решения конкретной исследуемой задачи.
Независимость классов графического пользовательского интерфейса тестовой платформы от классов создания модели и расчета стержневой системы позволяет вносить существенные изменения в алгоритмы расчета без серьёзных изменений в графическом интерфейсе.
17. Использование программного приложения для анализа ряда пространственных стержневых систем позволило выявить новые аспекты нелинейного поведения этих конструкций. Например, было обнаружено, что форма траектории нагружения сетчатого сферического купола под действием вертикальной нагрузки схожа с траекторией нагружения континуальной тонкой оболочки. Было также продемонстрировано, что коммерческие программные продукты не всегда способны надежно определить сингулярные точки на траектории нагружения пространственных стержневых конструкций. Эти сингулярные точки надежно определяются при помощи новых методов, разработанных в настоящем исследовании.
18. Сравнение численных результатов расчёта для тестовых примеров с результатами точного аналитического решения показало, что разработанные на основе предложенных методов алгоритмы обеспечивают достоверность и точность вычисления сингулярных конфигураций, позволяют определить тип сингулярных точек, получить значения деформаций и нагрузок в сингулярных точках.
Выполненные расчеты реальных пространственных стержневых систем на деформации и устойчивость подтвердили практическую значимость проведенного исследования.
Общность разработанного в диссертации подхода позволяет распространить теоретические положения, а также их реализацию в виде методов, алгоритмов и программного приложения на другие виды конструкций помимо пространственных стержневых систем. Таким образом, диссертация открывает широкую область исследований и совокупность её результатов можно квалифицировать как обоснование и развитие нового научного направления.
В список библиографии включены 269 использованных в диссертации научных трудов, содержащих информацию по теме исследования.
Основные положения диссертационного исследования опубликованы в следующих работах:
Статьи, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:
1. Игнатьев В.А. Расчет шарнирно-стержневых систем на устойчивость на основе принципа возможных перемещений [Текст]/В.А. Игнатьев, В.В. Галишникова // Вестник ВолгГАСУ, серия: Технические науки. - Волгоград, 2006.
Вып. 6(20). - С. 5 - 17.
2. Галишникова В.В. Унифицированный и общий подход к геометрически нелинейному расчету строительных конструкций [Текст]/ В.В. Галишникова // Вестник ВолгГАСУ, серия: Технические науки. - Волгоград, 2006. Вып. 6(20). - С. 42 - 66.
3. Галишникова В.В. Геометрически нелинейный расчет плоских рам [Текст]/ В.В. Галишникова, П.Я. Паль // Вестник ВолгГАСУ, серия: Строительство и архитектура. - Волгоград 2006. Вып. 6(21). - С. 24 - 52.
4. Галишникова В.В. Аналитическое решение нелинейной задачи устойчивости и исследование закритического поведения трехстержневой фермы [Текст]/ В.В. Галишникова // Вестник ВолгГАСУ, серия: Естественные науки. - Волгоград 2006. Вып. 6(23). - С. 53 - 64.
5. Галишникова В.В. Вывод разрешающих уравнений задачи геометрически нелинейного деформирования пространственных ферм на основе унифицированного подхода [Текст]/ В.В. Галишникова // Вестник ВолгГАСУ, серия:
Строительство и архитектура. - Волгоград 2009. Вып. 14(33). - С. 39-49.
6. Галишникова В.В. Постановка задачи геометрически нелинейного деформирования пространственных ферм на основе метода конечных элементов [Текст]/ В.В. Галишникова // Вестник ВолгГАСУ, серия: Строительство и архитектура. - Волгорад 2009. Вып.14(33). - С. 50-58.
7. Галишникова В.В. Модификация метода постоянных дуг, основанная на использовании матрицы секущей жесткости [Текст]/ В.В. Галишникова // Вестник МГСУ. - Москва, 2009. №2. - С. 63-69.
8. Галишникова В.В. Анализ устойчивости пространственных ферм (Stability Analysis of Space Trusses) [Текст]/ В.В. Галишникова // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering / Международный журнал по расчету гражданских и строительных конструкций. - Москва, 2009. Vol.5, Issue 1&2. - Pp. 35-44.
9. Галишникова В.В. Численный анализ устойчивости равновесия пространственных ферм в геометрически нелинейной постановке [Текст]/ В.В. Галишникова // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - Москва, 2010. №1. - С. 42-50.
10. Галишникова В.В. Вычислительные методы решения почти сингулярных систем линейных алгебраических уравнений в алгоритмах геометрически нелинейного анализа устойчивости стержневых систем [Текст]/ В.В. Галишникова // Известия Волгогр. гос. тех. ун-та, серия: Актуальные проблемы управления, вычислительной техники и информатики в технических системах. - Волгоград, 2010. Вып. 9, №11(71). - С. 9-12.
11. Галишникова В.В. Новый метод расширения для вычисления продолжения решения в сингулярных точках (A New Expansion Method for Continuation of Load Paths at Singular Points) [Текст]/ В.В. Галишникова // Вестник РУДН, серия Математика, информатика, физика. - Москва, 2011. № 2. - C. 104Ц113.
Публикации в других изданиях 1. Игнатьев В.А. Регулярные стержневые системы (теория и методы расчета) [Текст]/ В.А. Игнатьев, В.В. Галишникова. - Волгоград: Изд-во ВолгГАСУ, 2006. - 552 с.
2. Galishnikova V.V. Geometrically Nonlinear Analysis of Plane Trusses and Frames (Геометрически нелинейный анализ плоских ферм и рам) [Текст]/ V.V.
Galishnikova, P. Dunaiski, P.J. Pahl. - Stellenbosch (Republic of South Africa):
SUNMeDIA, 2009. - P.382.
3. Galishnikova V.V. A general method for the geometrically nonlinear analysis of structures (Обобщенный метод геометрически нелинейного расчета строительных конструкций) [Текст]/ V.V. Galishnikova, P.J. Pahl // Asian Journal of Civil Engineering (Building and Housing). - Tehran (Iran), 2006. Vol.7, No.4. - Pp. 411-428.
4. Галишникова В.В. Конечно-элементное моделирование геометрически нелинейного поведения пространственных шарнирно-стержневых систем [Текст]/ В.В. Галишникова // Вестник гражданских инженеров (СПбГАСУ). - СПб., 2007. № 2(11). - С. 101Ч106.
5. Галишникова В.В. Алгоритм геометрически нелинейного расчета пространственных шарнирно-стержневых конструкций на устойчивость [Текст]/ В.В. Галишникова // МСНТ Наука и технологии: труды XXVII Российской школы. - М.: РАН, 2007. - С. 235Ч244.
6. Галишникова В.В. Компьютерное моделирование геометрически нелинейного поведения конструкций [Текст]/ В.В. Галишникова // Тезисы симпозиума Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений. - Нижний Новгород, 2007. - С. 56-58.
7. Галишникова В.В. Продолжение решения по длине дуги в геометрически нелинейном расчете конструкций по МКЭ [Текст]/ В.В. Галишникова // Труды XXI междунар. науч. конференции Математические методы в технике и технологиях / СГТУ, Саратов, 2008. Т. 4. - С. 191Ч195.
8. Galishnikova V.V. Robust Numerical Stability Analysis of Space Trusses (Надежный численный анализ устойчивочти пространственных ферм) [Текст]/ В.В. Галишникова // Proceedings of 12th International Conference on Computing in Civil & Building Engineering. - Beijing, China, 2008. - P.25-26.
9. Galishnikova V.V. Solving the Unsolvable: Unusual Formulations in Computational Mechanics (Необычные формулировки в вычислительной механике) [Текст]/ В.В. Галишникова // Proceedings of EG-ICE Conference УComputing in EngineeringФ. - Berlin, 2009. - Pp. 113Ч123.
10. Galishnikova V.V. Nonlinear numerical stability analysis of space trusses (Нелинейный численный анализ устойчивости пространственных ферм) [Электронный ресурс]/ В.В. Галишникова // Proceedings of the International Conference on Computing in Civil and Building Engineering. - Nottingham, UK, 2010. Nottingham University Press. Paper 232. - P. 463.
URL:
11. Галишникова В.В. К расчету гибких упругих стержней с учетом больших перемещений и поворотов [Электронный ресурс]/ В.В. Галишникова, В.А.
Игнатьев // Интернет-вестник ВолгГАСУ, серия: Строительная информатика.
2006. Вып.1(2). - С. 4. URL:
12. Галишникова В.В. Расчет шарнирно-стержневых систем с большими перемещениями узлов [Текст]/ В.В. Галишникова, В.А. Игнатьев // Интернетвестник ВолгГАСУ, серия: Строительная информатика. 2006. Вып.1(2). - С. 4.
URL:
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям