Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по физике
На правах рукописи
УДК 538.9 Воронова
Нина Сергеевна Моделирование коллективных возбуждений и основного состояния низкоразмерных систем
Специальность 01.04.02 - теоретическая физика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва 2012
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте спектроскопии РАН (ИСАН).
Научный консультант: заведующий лабораторией, профессор Юрий Ефремович Лозовик
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, Миногин Владимир Георгиевич доктор физико-математических наук, Капуткина Наталия Ефимовна
Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования УСанкт-Петербургский государственный университетФ
Защита состоится 25 октября в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 002.014.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте спектроскопии РАН по адресу: 142190 г. Троицк Московской области, ул. Физическая,
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИСАН.
Автореферат разослан 24 сентября 2012 г.
Ученый секретарь Диссертационного совета Д 002.014.доктор физико-математических наук, профессор М.Н. Попова 1
Общая характеристика работы
Диссертация посвящена исследованию возбуждений, таких как экситоны и экситонные поляритоны, в полупроводниковых структурах пониженных размерностей. Исследован энергетический спектр экситона на поверхности однослойной и двухслойной нанотрубки. Рассмотрены коллективные явления в системе экситонных поляритонов в плоской полупроводниковой оптической микрополости. Развит новый подход к описанию системы, основанный на двухкомпонентном описании поляритонного конденсата, позволяющий определить в общем случае различные пространственные профили экситонной и фотонной составляющей поляритонного газа. Рассмотрено поведение системы при наличии внешнего удерживающего потенциала. Исследованы устойчивые вихревые решения в системе, а также проведен анализ временной эволюции плотности и фазы компонент поляритонного конденсата в равновесии и при наличии накачки и утечки частиц.
Актуальность работы Экситон является фундаментальным электронным возбуждением в полупроводнике с прямым межзонным оптическим переходом и представляет собой связанное состояние электрона в зоне проводимости и дырки в валентной зоне, в результате чего ведет себя как водородоподобный атом в среде с диэлектрической проницаемостью [1]. В настоящее время прогресс в техниках молекулярно-лучевой эпитаксии позволяет производить полупроводниковые материалы с точностью до атомных слоев, что привело к появлении новых квантовых структур, таких как двумерные (2D) квантовые ямы, одномерные (1D) квантовые проволоки и нульмерные квантовые точки. В отличие от трехмерного (3D) полупроводника, системы, обеспечивающие квантовый конфайнмент до 1D или 2D, существенно меняют свойства экситона. Так, радиус 2D экситона становится вдвое меньше по сравнению с соответствующим значением в 3D, а энергия связи двумерного экситона в 4 раза больше по сравнению с энергией связи трехмерного экситона [2].
Более строгое описание возбужденных состояний в кристалле предполагает также учет линейной связи экситонов со светом (электромагнитным полем). Из-за такой резонансной связи возникают новые состояния, которые являются линейной суперпозицией одной экситонной и одной фотонной моды, называемые экситонными поляритонами [3]. При этом, по сравнению с трехмерными полупроводниками, экситоны в 2D (в квантовых ямах) стабильны при более высоких температурах. Начиная с 19года, когда были экспериментально обнаружены поляритонные моды в полупроводниковой микрополости [4], они находятся в центре экспериментального и теоретического внимания.
Особенностью конфайнмента плоской оптической микрополости является то, что фотонная мода оказывается ограниченной в поперечном направлении, в результате чего фотон становится двумерным и приобретает эффективную массу [5]. При помещении квантовой ямы с экситоном в пучность МП, при некотором значении продольного импульса возникает резонанс между фотонной и экситонной модой, и образуются новые состояния с необычным законом дисперсии [6]. Важнейшим свойством экситонных поляритонов полости является малость их эффективной массы в области нулевых импульсов, унаследованная от фотона: будучи композитными бозонами, они демонстрируют квантовые коллективные явления при температурах вплоть до комнатных [7], [8].
Перспектива наблюдения фазового перехода экситонных поляритонов крайне привлекательна, поскольку существование макроскопически заселенного квантового состояния подразумевает такие свойства, как сверхтекучесть, джозефсоновские осцилляции, устойчивость к разрушению когерентности в системе. Кроме фундаментального интереса к этому новому квантовому коллективному явлению в твердых телах, развитие в этом направлении также имеет большой потенциал для приложений в устройствах [9], например, для получения так называемого поляритонного лазера (без инверсии заселенности состояний) или для обработки квантовой информации.
Возможность использовать газы экситонных поляритонов в микрополости для изучения физики многих тел и, конкретнее, динамики сверхтекучести была предложена в работе [10] и позднее реализована на эксперименте [11]. Другие экспериментальные работы были посвящены изучению вихрей и полувихрей в поляритонном конденсате [12], взаимодействию поляритонного потока с УвмороженнымиФ дефектами, было показано гидродинамическое образование пар вихрь-антивихрь [13] и тёмных солитонов [14] в движущейся сверхтекучей жидкости (теоретическое описание солитонов в бозе-жидкости см. в работе [15]). В связи с вышеописанными экспериментами, заметное теоретическое развитие в последние годы получила идея использовать сверхтекучие жидкости в плоских геометриях для изучения квантовых гидродинамических эффектов.
Цели диссертационной работы 1) Разработка двухкомпонентного подхода к описанию бозе-конденсированной системы экситонных поляритонов в плоской оптической микрополости на основе связанной системы уравнений типа Гросса-Питаевского с источниками, записанных для волновых функций фотонной и экситонной компонент конденсата;
2) исследование поведения связанных конденсатов фотонов и экситонов в аксиально-симметричной ловушке, создаваемой методом наложения на квантовую яму с экситонами внешнего потенциала;
3) исследование стационарных вихревых решений для волновых функций компонент поляритонного конденсата и определение характерных пространственных масштабов вихря в обеих компонентах;
4) исследование временной эволюции соотношения фотонов и экситонов в системе и относительной фазы компонент конденсата при сохраняющемся числе частиц, а также при наличии накачки и утечки частиц из системы;
5) теоретическое исследование поведения экситона Ванье-Мотта на поверхности однослойной и двухслойной нанотрубки как в системе пониженной размерности.
Научная новизна Большинство вошедших в диссертацию результатов обладает принципиальной научной новизной.
Построена модель, описывающая поведение бозе-конденсата экситонных поляритонов в оптической микрополости с точки зрения внутренней двухкомпонентной структуры поляритона. Данный подход позволяет получить различные в общем случае пространственные распределения для фотонной и экситонной составляющей в поляритонном конденсате, что невозможно в рамках традиционного однокомпонентного описания.
Впервые получены профили распределения экситонной и фотонной компонент в гармонической экситонной ловушке. Показано, что в случае сильного конфайнмента радиусы локализации экситонов и фотонов значительно различаются.
Впервые получены выражения для длин залечивания (размеров коров вихрей) в фотонной и экситонной компонентах поляритонного конденсата. Впервые показано, что в центре поляритонного вихря фракция экситона повышена по сравнению с периферией.
Исследована временная эволюция системы с точки зрения колебания долей экситонной и фотонной составляющей в конденсате поляритонов при наличии нерезонансной накачки частиц и диссипации фотонов из полости. Впервые получены поправки к собственной частоте системы за счет экситонного взаимодействия, накачки и утечки частиц.
Рассмотрена задача о движении электронно-дырочной пары на поверхности однослойного и двухслойного цилиндров, причем показано, что в системе реализуется кроссовер между одним и двумя измерениями (в зависимости от соотношения радиуса цилиндра и эффективного радиуса экситона). Результат, полученный для энергии основного состояния однослойной системы, является более точным по сравнению с опубликованным ранее [16].
Результаты, полученные теоретически для спектра возбужденных состояний экситона в однослойной нанотрубке, а также для энергии основного состояния экситона в двухслойной нанотрубке, являются новыми.
Практическая и научная ценность работы Разработанный подход к описанию поляритонной системы позволяет исследовать внутреннюю структуру бозе-конденсата экситонных поляритонов. Полученные в диссертации на основе данного подхода результаты существенно расширяют понимание структуры поляритонного газа и процессов, происходящих в нем.
Анализ различных в общем случае профилей фотонов и экситонов в поляритонном конденсате в ловушке и в поляритонном вихре представляет фундаментальный интерес. Полученные результаты могут быть проверены экспериментально при помощи спектроскопии микрополости в ближнем поле.
Полученные поправки к частоте межмодовых осцилляций в поляритонном конденсате и результат, показывающий фиксацию долей фотона и экситона в поляритонной системе с утечкой, открывают возможность для более глубоких теоретических исследований с точки зрения примешивания доли верхнего поляритона в бозе-конденсат нижних поляритонов.
Результат, полученный для значения энергии основного состояния экситона на поверхности одностенного цилиндра, является уточнением результата, опубликованного ранее другими авторами. Впервые получены результаты для характеристик экситона в двухслойной нанотрубке.
Достоверность полученных результатов Все положения и выводы диссертации обоснованы, достоверность результатов обеспечивается надежностью использованных методов и адекватностью использованных физических моделей.
Положения, выносимые на защиту 1. Формулировка двухкомпонентного подхода к описанию стационарных и нестационарных процессов в поляритонном бозе-конденсате, позволяющего выявить существенные различия в пространственном распределении компонент конденсата.
2. Результаты исследования поведения двух связанных конденсатов фотонов и экситонов в аксиально-симметричной экситонной ловушке.
Аналитическое выражение для профилей конденсатов в случае слабого конфайнмента. Исследование предела сильного конфайнмента, в котором компоненты имеют существенно различные радиусы локализации.
3. Результаты исследования вихревых решений в двухкомпонентном конденсате. Аналитическое выражение для отношения длин залечивания фотонного и экситонного бозе-конденсатов. Результаты расчетов профилей плотности фотонов и экситонов в поляритонном вихре.
4. Результаты исследования осцилляций относительной фазы двух связанных конденсатов. Аналитическое решение для случая постоянного числа частиц. Определение стационарных точек и частоты колебаний. Исследование затухающих колебаний относительной фазы в случае нерезонансной накачки и утечки частиц из полости. Выражения для коэффициента затухания, частоты колебаний, добротности колебаний плотности и относительной фазы. Поправки к частоте осцилляций за счет экситонного взаимодействия, накачки и утечки.
5. Результаты расчетов характеристик основного состояния экситона в однослойной и двухслойной нанотрубках в зависимости от радиуса стенок. Зависимость энергии возбужденных состояний экситона в однослойной нанотрубке от ее радиуса.
ичный вклад автора Все результаты, полученные в диссертации, получены лично автором или в соавторстве с научным руководителем.
Апробация результатов Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались автором и обсуждались на следующих российских и международных конференциях и школах:
1. Научная сессия МИФИ 2006, Москва.
2. VII-я Школа молодых ученых ИБРАЭ РАН (2006), Москва.
3. Международная научно-техническая школа-конференция УМолодые ученые-2006Ф, МИРЭА, Москва.
4. Workshop on atomic physics 2006, Max-Planck Institut, Dresden (Германия).
5. VIII-я научная школа молодых ученых ИБРАЭ РАН (2007), Москва.
6. 50-я научная конференция МФТИ - Всероссийская молодёжная научная конференция УСовременные проблемы фундаментальных и прикладных наукФ, 2007, Москва.
7. VII Международная научно-техническая конференция МИРЭА INTERMATIC-2010, Москва.
8. Optics of excitons in confined systems (OECS-12), 2011, Paris (Франция).
9. 1st MIFP Latin American Meeting, 2012, Campinas (Бразилия).
10. ESF Workshop on Polaritonics: From Basic Research to Device Applications, 2012, Rome (Италия).
11. 5th International School on Nanophotonics and Photovoltaics (ISNP2012), Phuket (Тайланд).
12. ESF POLATOM School УCold atoms, excitons and polaritonsФ, 2012, Toledo (Испания).
13. POLATOM Network Conference: Cold Atoms, Excitons, Polaritons, BoseEinstein condensates, 2012, Cambridge (Великобритания).
Объем и структура диссертации Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем диссертации 110 страниц, включая 35 рисунков и 83 наименования в списке цитируемой литературы.
2 Содержание работы Во Введении кратко описываются физические объекты, рассматриваемые в диссертации, обсуждается современное состояние теоретических и экспериментальных исследований в области экситонов и экситонных поляритонов в оптических микрополостях, обосновывается актуальность работы, охарактеризована ее научная новизна, кратко изложена структура диссертации и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе, состоящей из восьми параграфов, рассмотрена задача о движении связанной пары электрон-дырка на поверхности однослойного и двухслойного цилиндров.
В первом параграфе обсуждается геометрия задачи, введены необходимые обозначения и сформулированы общие уравнения движения частиц на двухслойном цилиндре, погруженном в среду с диэлектрической проницаемостью . Гамильтониан системы в общем случае имеет вид 2 me 1 mh 1 H = - + + 2M Z2 M 2 M 2 e h 2 mh 1 me 1 - + + 2 z2 M 2 M 2 e h 1 1 2 e- - -, (1) M 2 2 D e h где выполнен переход от координат отдельных частиц к относительным переменным z, и переменным центра инерции Z, и от масс частиц к суммарной и приведенной массам M = me + mh, = (memh)/(me + mh).
D расстояние между электроном и дыркой.
Во втором параграфе рассматривается однослойный цилиндр, что в (1) соответствует e = h = . В уравнении Шредингера переменные (z, ) и (Z, ) разделяются, волновая функция системы может быть представлена в виде = (Z, ) (z, ). Вначале аналитически решается задача о движении центра масс экситона. Найдены волновые функции и энергии, отвечающие движению центра инерции:
m(Z, ) = C1 eim eikZ ; Ec = + k2, m Z, k 0. (2) 2M В третьем, четвертом и пятом параграфах проводится аналитическое исследование относительного движения электрона и дырки. Показано, что единственным управляющим параметром в системе является радиус нанотрубки b (отнесенный к эффективному радиусу экситона). Показано, что в случае малых радиусов b 1 (т. е. a) задача сводится к движению частицы массы в периодическом потенциале, поэтому волновая функция должна формально представлять собой блоховскую волну, причем, в силу цилиндрической симметрии задачи, единственным возможным решением является функция u0(). Для решения уравнения Шредингера используется адиабатическое приближение. После усреднения потенциала по быстрой переменной , задача сводится к уравнению Шредингера для одномерного движения в потенциальной яме:
2 2 l- - = 2 E - , l Z. (3) z2 z2 + 4b2 2bВ результате, энергия относительного движения частиц на цилиндре имеет вид:
l2 1 l2 2e4 E - = -2 ln2 Erel = - ln2, l Z. (4) 2b2 b 22 2 e2 Для возбужденных состояний получается уравнение, аналогичное уравнению для радиальных функций s-состояний в трехмерной задаче с кулоновским притяжением. Искомые волновые функции и уровни энергии имеют вид:
2 n! 2z l2 n(z) = z ez/nL1 ; E - = -, (5) n n2 (n - 1)! n 2b2 2nгде L1(2z/n) - обобщенные полиномы Лагерра [17], n = 1, 2, 3,...
n Для решения задачи о движении частиц на цилиндре большого радиуса ( a) была применена теория возмущений. В нулевом приближении задача представляет собой эквивалент задачи о двумерном атоме водорода, поэтому спектр энергий и волновые функции описываются следующими формулами:
1 eEn = -, Erel = -, n = 0, 1, 2,...
2(n + 1/2)2 22 (n + 1/2)(6) (, ) = eimRnm() = const |m|e-/2L2|m| (). (7) n+|m| Показано, что поправка теории возмущений к энергиям (6) пренебрежимо мала для радиусов цилиндра b > 2. Таким образом, экситон на поверхности нанотрубки большого радиуса представляет собой, фактически, водородоподобную систему на плоскости.
В шестом параграфе описываются численные расчеты энергии основного состояния методом мнимого времени [18] для произвольРис. 1. Энергия основного состояния пары ных значений радиуса нанотрубэлектрон-дырка на поверхности одностенки (см. Рис. 1). Полученная завиного цилиндра в зависимости от радиуса симость уточняет результы статьи нанотрубки (в единицах эффективного эк[19], в которой расчет энергии про- ситонного радиуса a), рассчитанная методом мнимого времени.
изводился вариационным методом.
В седьмом параграфе исследуется движение пространственно разделенных электрона и дырки на двухслойном цилиндре. Уравнение Шредингера с гамильтонианом (1) допускает отделение только переменной Z, поэтому в данном случае задача не имеет аналитического решения. Для нахождения энергии основного состояния мы воспользовались методом вариации функционала энергии E = (T - U)/N с Рис. 2. Зависимость энергии основного сопробной волновой функцией стояния экситона и дырки, движущихся на поверхности двухслойного цилиндра, от u = eime-z + bebh cos , m Z.
его радиуса, при фиксированном радиусе внутренней стенки.
В результате вычислений имеем:
N = 2 I0(2 bebh), (8) 2 3/ T = N - 2 I0(2 bebh)+ me 1 mh 1 + bebh I1(2 bebh), (9) 2 M b2 M b2 2 e h 2 e e h U = e(b +b2 ) e2b bh(-) cos K0 (b2 + b2) - 2 bebh cos d, (10) e h где I0 модифицированная функция Бесселя, K0 функция Макдональда, , вариационные параметры. Минимизация функционала E производилась в общем случае численно, в результате чего была получена зависимость энергии основного состояния от радиуса внешнего цилиндра при фиксированном внутреннем радиусе, что соответствует зависимости энергии основного состояния от отношения радиусов h/e (см. Рис. 2).
В восьмом параграфе сформулированы основные результаты этой главы и отмечено, что аналитический результат (4) является уточнением численной оценки, опубликованной ранее [16].
Во второй главе, состоящей из четырех параграфов, рассмотрена задача о бозе-эйнштейновском конденсате экситонных поляритонов в гармонической ловушке плоской оптической микрополости ширины L.
В первом параграфе записан функционал энергии связанной слабонеоднородной системы фотонов и экситонов, зависящий от фотонной и экситонной волновых функций ((r) и (r), соответственно):
c c E[, , , ] = - L(r) + ||2 - 2+ 2 L(r) 2mex g R + Eex + V (r) ||2 + ||4 + ( + ) - ||2 + ||2 dr, 2 (11) где V (r) внешний потенциал, g константа экситонного взаимодействия, R частота Раби, химический потенциал, общий для всей системы. В (11) первый член отвечает квантовой кинетической энергии фотонов в случае меняющейся ширины микрополости L(r). Перекрестный член R/2( + ) отражает резонансное превращение экситонов в фотоны (и наоборот), и обеспечивает фиксацию относительной фазы двух конденсатов: минимуму функционала (11) отвечает относительная фаза Sph - Sex = . Последнее слагаемое возникает из условия сохранения суммарного числа частиц (фотонов и экситонов). Вариация функционала (11) по и приводит к связанной системе уравнений типа Гросса-Питаевского (ср. с [20]) для двухкомпонентного конденсата с резонансными превращениями частиц одного типа в частицы другого типа:
c c R - L(r)(r) + - (r) + (r) = 0, 2 L(r) 2 R - 2(r) + V (r) + E0 - (r) + g|(r)|2(r) + (r) = 0.
2mex (12) Из (12) видно, что существует два способа создать ловушку для поляритонного конденсата: при помощи специального профилирования микроплости f(r) можно создать конфайнмент фотонов, при этом экситонная компонента будет эффективно удерживаться в ловушке за счет присутствия функции (r) во втором уравнении, тогда как наложение внешнего потенциала V (r) на квантовую яму с экситонами, наоборот, создаст экситонный конфайнмент, и фотоны в этом случае будут эффективно удерживаться в пространстве за счет своей резонансной связи с экситонами.
Во втором параграфе рассмотрена аксиально-симметричная гармоническая экситонная ловушка: f(r) = 1, V (r) = V0r2/2. Подобная ловушка была использована в эксперименте [8], где конфайнмент для экситонов создавался иглой сканирующего туннельного микроскопа, давящей на образец. Теоретически поляритоны в гармонической ловушке рассмотрены в работе [21]. Первое уравнение системы (12) решается при помощи свертки (фундаментальное решение для оператора Гельмгольца в двумерном пространстве [22]), что после подстановки во второе уравнение дает - 2(r) + V (r) + - (r) + |(r)|2(r) 2 - - d() K0 2 r2 + 2 - 2r cos d = 0, (13) 4 0 2 где , , , обезразмеренные параметры задачи /mex, Eex, g и R, соответственно. Для типичных экспериментальных значений величин, входящих в используемые безразмерные параметры, получены следующие оценки: 1, 10-4, 102, 10-3. Полученное интегральное уравнение на волновую функцию экситонного конденсата в пренебрежении взаимодействиями может быть приведено к однородному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром, после чего решено методом Келлога [22]. Учет взаимодействий после этого производился численно при помощи неявной итерационной схемы с прогонкой.
В третьем параграфе главы рассмотрен предел относительно слабого экситонного конфайнмента V0 106 эВ/см2. Показано, что в данном пределе применимо приближение Томаса-Ферми, и система уравнений (12) может быть решена аналитически. Профили компонент конденсата ||и ||2 в данном случае пропорциональны друг другу и повторяют параболическую форму внешнего потенциала. Протяженности фотонного и экситонного конденсатов одинаковы: обе компоненты локализованы в одной и той же области r < rmax. Амплитуды плотностей могут различаться в зависимости от накачки системы. Этот результат был подтвержден точным численным расчетом на основе вышеуказанной системы уравнений типа Гросса-Питаевского (см. Рис. 3).
В четвертом параграфе представлены результаты точного численного расчета волновых функций (r) и (r) согласно методу, описанному во втором параграфе, для различных величин экситон- ного конфайнмента и величин на- качки и их обсуждение. Результаты расчетов для слабого конфайнмента приведены на Рис. 3. При увеличении силы конфайнмента до V0 10-8 эВ/см2, полученные распределения уже заметно отлича- Рис. 3. Профили фотонного и экситонного конденсатов в гармонической ловушке ются от результатов, полученных для V0 = 5 10-10 эВ/см2: сплошные линии аналитически в пределе Томаса аналитический расчет в приближении Ферми: во-первых, меньшей плотТомаса-Ферми, точки численный расчет.
ностью в центре ловушки за счет отталкивания частиц, во-вторых у распределений появляется УхвостФ на периферии. Однако профили по-прежнему остаются подобными друг другу, и радиусы локализации фотонной и экситонной компоненты совпадают. При увеличении накачки (химического потенциала системы) при фиксированном V0 распределение вновь становится подобным профилям в приближении Томаса-Ферми, как и следует ожидать: определяющим становится взаимодействие между частицами, а не квантовые нелокальные эффекты. При дальнейшем увеличении величины конфайнмента приближение Томаса-Ферми становится совершенно неприменимым и дает сильно завышенные амплитуды профилей. Кроме того, протяженность фотонного конденсата становится большей, чем протяженность экситонРис. 4. Профили фотонного и экситонного конденсатов в гармонической ловушке для V0 = 10-4 эВ/см2: слева для большого числа частиц в системе, справа для N 20.
ной компоненты: фотоны начинают демонстрировать тенденцию к делокализации. При этом, число частиц в фотонной подсистеме всегда остается б ольшим числа частиц в экситонной подсистеме. Наиболее ярко нелокальное поведение фотонов продемонстрировано в случае сильного конфайнмента (см. Рис. 4 для V0 = 10-4 эВ/см2). Профили фотонного и экситонного конденсатов становятся совершенно отличны друг от друга.
Пространственная протяженность распределения фотонов во много раз больше размера экситонного конденсата, который зажат сильной ловушкой.
В третьей главе, состоящей из четырех параграфов, исследованы стационарные вихревые решения в двухкомпонентном поляритонном конденсате.
В первом параграфе рассмотрена временная система связанных уравнений типа Гросса-Питаевского, которая при переходе к переменным плотность частиц фаза дает:
n + divj = R nn sin(S - S), t n + divj = -R nn sin(S - S), t 2n S mphvph 2 R n + - + cos(S - S) = 0, t 2 2mph n 2 n 2n S mexvex 2 R n + - + V + gn + cos(S - S) = 0, t 2 2mex n 2 n (14) где n, n плотности фотонов и экситонов, S, S фазы конденсатов, j, j и vph, vex плотности и скорости потоков, соответственно. Первые два уравнения при сложении, очевидно, дадут уравнение непрерывности для двухкомпонентного бозе-конденсата, из которого следует условие сохранения числа частиц. Также эти уравнения отображают тот факт, что в стационарном случае относительная фаза подсистем должна равняться либо 0 либо . При этом равновесное состояние нижнего поляритона, о котором идет речь в данной работе, подразумевает S - S = , в то время как значение S - S = 0 отвечает верхнему поляритону.
Второй параграф посвящен анализу пространственных масштабов задачи, необходимому при поиске топологических дефектов типа вихрей.
При подстановке волновых функций в стационарном виде в (14), в случае однородной микрополости и отсутствия внешних потенциалов временная система уравнений сводится к виду (12) с f(r) = 1, V (r) = 0. Данная система уравнений допускает различные решения. Для пространственно однородных конденсатов она сведется к простой алгебраической системе, решением которой является равновесное значение плотности:
( R/2)2 E0 - gn0 = 1 -. (15) (E0 - ) R/Из (15) следует, что химический потенциал системы ограничен: E0 R/2 < E0 для нижних поляритонов и > E0 + R/2 для верхних поляритонов. n0 является тем значением, к которому должна стремиться плотность экситонной компоненты на бесконечности в случае наличия вихря в конденсате: в силу цилиндрической симметрии такого реn eif(r/ph), шения, волновые функции должны иметь вид (r) = (r) = -n0 eif(r/ex), где ph, ex длины залечивания конденсатов (характерные размеры вихрей в фотонной и экситонной системах, соответственно):
ph = ; ex =. (16) 2mexgn2mph(E0 - ) Поскольку эффективные массы фотона и экситона различаются на 4 порядка, в общем случае длины залечивания в фотонной и экситонной компоненте конденсата сильно отличаются (в зависимости от количества частиц в системе, см. (15)), и, таким образом, в задаче есть два характерных масштаба.
В третьем параграфе проводится исследование вихревых решений исходной системы уравнений, которая на разных масштабах r ex и r ex обнаруживает различное поведение функций f и f, причем граничные условия одинаковы для обеих компонент: f,(0) = 0 и f,() = 1.
Для простоты исследования мы вводим безразмерный параметр a = 2(E0 - )/ R, меняющийся в пределах от 0 до 1. Как можно видеть из (16), отношение длин залечивания ph/ex 1 всегда, кроме случая a 1, который соответствует отсутствию частиц в системе. Поэтому вдали от кора экситонного вихря задача может быть решена аналитически, если считать что отличие f от единицы мало. Численные решения системы (12) для профилей компонент во всем пространстве показаны на Рис. 5. Для малых a, отвечающих большому химическому потенциалу (т.е. большому количеству поляритонов) эффект пространственноРис. 5. Вихревые решения для двухкомпо- го УразделенияФ вихря на две разнентного конденсата поляритонов f (черличные по масштабу компоненты ным) и f (красным) как функции = наиболее отчетлив: кор экситонноr/ex для (a) a = 0.1; (b) a = 0.5; (c) a = 0.9.
но вихря примерно в сто раз меньше кора фотонного вихря (Рис. 5, a). При уменьшении количества частиц в системе компоненты становятся менее разделенными в пространстве.
Кроме того, стоит отметить, что значения плотностей фотонов и экситонов на бесконечности n0 и nтакже различны: n0/n0 = a2, поэтому пространственное распределение компонент в зависимости от центра вихря имеет вид, показанный на Рис. 6.
В четвертом параграфе сформулированы основные результаты исследования вихревых решений и Рис. 6. Плотности n (черным) и n (красным) как функции = r/ex для a = 0.5.
предложена возможность экспериментального обнаружения полученного эффекта.
В четвертой главе, состоящей из четырех параграфов, исследуется временная эволюция плотностей и фаз экситонной и фотонной компонент бозе-конденсата поляритонов.
В первом параграфе из системы временных уравнений типа ГроссаПитаевского с учетом нерезонансной накачки и утечки частиц получены общие уравнения временной эволюции для плотностей и фаз фотонной и экситонной компонент конденсата:
n = - n2S + nS - nn sin (S - S) - 2n, t S (n)2 2n n = - - + (S)2 - cos (S - S), t 2 4n2 2n 2 n n = - n2S + nS + nn sin (S - S) + 2 ( - n) n, t S (n)2 2n n = - - + (S)2 - n - cos (S - S), t 2 4n2 2n 2 n (17) где скорость утечки фотонов из полости, a ( - ||2) представляет собой так называемую насыщаемую нерезонансную накачку. Феноменологический вывод членов уравнения, описывающих накачку и утечку, представлен в статье [23]. В этой главе мы будем интересоваться только временной эволюцией связанных конденсатов, считая их распределение в пространстве однородным. Поэтому пространственными производными в (17) можно пренебречь.
Во втором параграфе рассмотрена эволюция системы в случае постоянного числа частиц (n + n = n =const, , , = 0). При переходе к новым переменным относительной фазы S = S - S и разности плотностей = (n - n)/2, система (17) сводится к гамильтоРис. 7. Колебания относительной фазы новой системе = -H/S, = компонент конденсата S = S - S вокруг H/ с гамильтонианианом, не равновесного положения S = и разности зависящим явно от времени. Сиплотностей = (n - n)/2 вокруг значестема совершает финитное движе- ния = -gn2/4 R.
ние вокруг положения устойчивого равновесия S = . Получено решение S(t), (t) в квадратурах. Разложение в окрестности точки S = , = 0 приводит к уравнению гармонических колебаний для S и с частотой 0 = R 1 + gn/2 R вокруг положений равновесия S = и = -gn2/4 R (см. Рис. 7). Таким образом, получена поправка к собственной частоте системы за счет экситон-экситонного взаимодействия.
Смещение положения равновесия для от нуля в отрицательную область также является следствием отталкивания экситонов и демонстрирует, что в равновесии фотонов в поляритонной системе всегда немного больше [5].
В третьем параграфе исследованы эффекты, к которым приводит включение накачки и утечки в уравнениях (17). Непостоянство полного числа частиц n приводит к тому, что поляритонная система теперь описывается системой трех эволюционных уравнений n 2 n n = ( - ) + ( + ) - + , t 2 n2 1 n n = - 2 sin S + ( + ) + ( - ) - + , (18) t 4 2 S n = + - cos S.
t n - Разложение в окрестности точек равновесия в этом случае приводит к уравнению вынужденных (затухающих) колебаний с коэффициентом затухания = (3n/4 - + )/ и собственной частотой gn 3 n 0 = R 1 + + - +.
2 R ( R)2 2 2 Рис. 8. Траектория поляТаким образом, мы получили поправки к собритона на фазовой плоскоственной частоте системы за счет накачки и сти (, S). Синим изображеутечки частиц. Показано также, что при любых на траектория в случае отначальных условиях полная плотность полярисутствия накачки и утечки частиц.
тонов в системе стремится к фиксированному значению - n(t) 2 при t . (19) На Рис. 8 изображена фазовая траектория поляритонного конденсата: в отсутствие возмущений (при постоянном n) частица движется по круговой траектории вокруг точки S = , = -gn2/4 R, что во временной развертке соответствует колебаниям, изображенным на Рис. 7. При Рис. 9. Слева: зависимость = (n - n)/2 от времени (синим) при наличии накачки и утечки частиц из полости. Из-за затухания система выходит на некоторое фиксированное соотношение фотонной и экситонной компоненты в конденсате. Пунктиром показано положение равновесия в зависимости от t. Справа: зависимость относительной фазы подсистем от времени при наличии накачки и утечки, для трех различных скоростей утечки фотонов: при = 0 S , при включении утечки конечное значение S сдвигается.
включении накачки в экситонное уравнение и утечки для фотонов траектория вырождается в затухающую спираль с фокусом в точке S > , = -gn()2/4 R, где n() определяется выражением (19). Отметим, что частота колебаний относительной фазы S в данном случае не зависит явно от накачки и утечки, а имеет прежний вид.
Зависимость и S от времени, полученная численно решением системы уравнений (17), показана на Рис. 9. Мы показали, что при наличии утечки фотонов из полости положение фокуса по S смещается от равновесного значения в положительную сторону, причем величина смещения приблизительно равна 2/ R.
В четвертом параграфе проводится обсуждение полученных в этой главе результатов.
В Заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.
3 Основные результаты и выводы 1. Разработано описание бозе-конденсата экситонных поляритонов в оптической микрополости, основанное на рассмотрении поляритонного газа как двухкомпонентной системы. Связанные временные уравнения типа Гросса-Питаевского, записанные отдельно для фотонного и экситонного конденсатов и содержащие источники, позволяют исследовать по отдельности как пространственные распределения двух компонент поляритонного конденсата (различные в общем случае), так и временную эволюцию соотношения долей фотонов и экситонов в поляритонном конденсате.
2. Изучено поведение двухкомпонентного конденсата при наличии аксиально-симметричной экситонной ловушки. Получено аналитическое выражение для профилей компонент в случае слабого конфайнмента (в приближении Томаса-Ферми). Численно задача решена для любых конфайнментов. Результаты, полученные аналитически и численно, совпадают в соответствующем пределе. Показано, что в сильной ловушке фотонная и экситонная компоненты имеют существенно различные пространственные протяженности.
3. Исследованы стационарные вихревые решения в связанных конденсатах фотонов и экситонов. Получено аналитическое выражение для длин залечивания (размеров кора) вихрей в каждой компоненте. Показано, что в общем случае они существенно различны. Вычислены профили фотонов и экситонов в поляритонном вихре. Показано, что в центре вихря в поляритонном конденсате преобладает экситонная компонента.
4. Исследована временная эволюция плотностей и фаз фотонной и экситонной подсистем в поляритонном газе. Показано, что при постоянном числе частиц система совершает финитное движение вокруг положения равновесия, и доли экситонной и фотонной составляющих постоянно колеблются. Изучена динамика системы при включении нерезонансной накачки и ухода фотонов из полости: колебания относительной фазы и долей компонент становятся затухающими с некоторой собственной частотой, определяющейся частотой Раби, взаимодействием, а также накачкой и утечкой частиц. Показано, что полное число поляритонов в системе стремится к некоторому фиксированному значению, зависящему от коэффициентов накачки и утечки, а относительная фаза к равновесному значению в отсутствии утечки и смещенному значению при наличии утечки.
5. Исследована зависимость энергетических уровней экситона на поверхности однослойной и двухслойной нанотрубок от радиуса нанотрубки и диэлектрической проницаемости окружающей среды. Продемонстрировано, что, в зависимости от параметров системы, задача эффективно сводится к двумерной либо одномерной. Получены аналитические выражения для энергии основного и возбужденных состояний экситона, а также отвечающих им волновых функций, в предельных случаях большого и малого радиусов нанотрубки. Для промежуточных значений радиусов, как и для случая двухслойной трубки, расчет энергии основного состояния проведен численно. В предельных случаях результаты аналитического и численного расчетов совпадают.
Основные результаты работы опубликованы в 13 статьях, из них: 6 статей в журналах, рекомендованных ВАК, и 5 статей в трудах российских и международных конференций. Результаты работы представлены также в тезисах докладов российских и международных конференций.
Публикации автора по теме диссертации Публикации в реферируемых журналах:
1. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Бозе-конденсация экситонных поляритонов в оптической микрополости, Физика твёрдого тела 50(8), 1496-1500 (2008).
2. M. Willander, Yu. E. Lozovik, A. Wadeasa, O. Nur, A. G. Semenov, and N. S. Voronova, Light emission from different ZnO junctions and nanostructures, Phys. stat. sol. A 206, 853-859 (2009).
3. Н. С. Воронова, А. А. Елистратов, Ю. Е. Лозовик, Бозе-конденсат экситонных поляритонов в ловушке, Письма в ЖЭТФ 93(10), 643646 (2011).
4. A. Deinega, N. Voronova, Yu. Lozovik, Coulomb problem on single- and double-wall cylinders, J. Phys.: Condens. Matter 24, 255301 (2012).
5. N. S. Voronova, A. A. Elistratov and Yu. E. Lozovik,Coupled condensates of excitons and photons in the trap, J. Nanophoton. 6(2), (2012).
6. N. S. Voronova and Yu. E. Lozovik, Excitons in cores of exciton-polariton vortices, Phys. Rev. B принято к печати.
Труды и тезисы конференций:
1. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Экситон в нанотрубке, Труды научной сессии МИФИ 2006, том 5, стр. 191-192 (2006).
2. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Экситон в нанотрубке, Труды VII-й Школы молодых ученых ИБРАЭ РАН, с. 11-13 (2006).
3. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Экситон в нанотрубке, Материалы Международной научно-технической школы-конференции УМолодые ученые 2006Ф, МИРЭА, Часть 2, стр. 27-30 (2006).
4. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Бозе-конденсация поляритонов в оптической микрополости, Сборник трудов VIII-й научной школы молодых ученых ИБРАЭ РАН, Москва (2007).
5. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Бозе-конденсация поляритонов в оптической микрополости, Труды 50-й научной конференция МФТИ - Всероссийской молодёжной научной конференции УСовременные проблемы фундаментальных и прикладных наукФ (2007).
6. Н. С. Воронова, А. А. Елистратов, Ю. Е. Лозовик, Бозе-конденсированное состояние экситонных поляритонов в ловушке оптической микрополости, Материалы VII Международной научно-технической конференции МИРЭА INTERMATIC-2010, ч.1, стр. 7-12 (2010).
7. N. S. Voronova, A. A. Elistratov, and Yu. E. Lozovik, Phase oscillations in exciton and photon subsystems of polariton condensate, ESF Polatom Network Conference УCold Atoms, Excitons, Polaritons, Bose-Einstein condensatesФ Abstract Book, p. 39 (2012).
Цитируемая литература [1] R. S. Nox, Theory of excitons, New York: Academic (1963).
[2] R. Leavitt and J. Little, Simple method for calculating exciton binding energies in quantum-confined semiconductor structures, Physical Review B 42, 11774 (1990).
[3] J. J. Hopfield, Theory of the contribution of excitons to the complex dielectic constant of crystals, Phys. Rev. 112(5), 1555 (1958).
[4] C. Weisbuch, M. Nishioka, A. Ishikawa, and Y. Arakawa, Observation of the Coupled Exciton-Photon Mode Splitting in a Semiconductor Quantum Microcavity, Phys. Rev. Lett. 69, 3314 (1992).
[5] A. Kavokin and G. Malpuech, Cavity Polaritons, Elsevier, Amsterdam (2003).
[6] R. Houdr, C. Weisbuch, R. P. Stanley, U. Oesterle, P. Pellandini, and M. Ilegems, Measurement of Cavity-Polariton Dispersion Curve from Angle-Resolved Photoluminescence Experiments, Phys. Rev. Lett. 73, 2043Ц2046 (1994).
[7] J. Kasprzak, M. Richard, S. Kundemann, A. Baas, P. Jeambrun, J. M. J. Keeling, F. M. Marchetti, M. H. Szymanska, R. Andre, J. L. Staehli, V. Savona, P. B. Littlewood, B. Deveaud, and Le Si Dang, Bose-Einstein condesation of exciton polaritons, Nature (London) 443, 409 (2006).
[8] R. Balili, V. Hartwell, D. Snoke, L. Pfeiffer, K. West, Bose-Einstein Condensation of Microcavity Polaritons in a Trap, Science 316, 10(2007).
[9] Ю. Е. Лозовик, Сильные корреляции и новые фазы в системе экситонов и поляритонов, поляритонный лазер, УФН 179, No.3, 309-3(2009).
[10] I. Carusotto and C. Ciuti, Probing Microcavity Polariton Superfluidity through Resonant Rayleigh Scattering, Phys. Rev. Lett. 93, 1664(2004).
[11] A. Amo, J. Lefrre, S. Pigeon, C. Adrados, C. Ciuti, I. Carusotto, R. Houdr, E. Giacobino and A. Bramati, Superfluidity of polaritons in semiconductor microcavities, Nature Phys. 5, 805 (2009).
[12] K. G. Lagoudakis, M. Wouters, M. Richard, A. Baas, I. Carusotto, R. Andre, L. S. Dang, and B. Devaud-Pldran, Quantized vortices in an excitonЦpolariton condensate, Nature Phys. 4, 706 (2008).
[13] D. Sanvitto, S. Pigeon, A. Amo, D. Ballarini, M. D. Giorgi, I. Carusotto, R. Hivet, F. Pisanello, V. G. Sala, P. S. S. Guimaraes, R. Houdr, E. Giacobino, et al., All-optical control of the quantum flow of a polariton condensate, Nature Phot. 5, 610 (2011).
[14] A. Amo, S. Pigeon, D. Sanvitto, V. G. Sala, R. Hivet, I. Carusotto, F. Pisanello, G. Lemenager, R. Houdr, E. Giacobino, C. Ciuiti, A. Bramati, Polariton superfluids reveal quantum hydrodynamic solitons Science 332, 1167 (2011).
[15] A. M. Kamchatnov and L. P. Pitaevskii, Stabilization of Solitons Generated by a Supersonic Flow of Bose-Einstein Condensate Past an Obstacle, Phys. Rev. Lett. 100, 160402 (2008).
[16] M. K. Kostov, M. W. Cole, and G. D. Mahan, C. Carraro, M. L. Glasser, Enhanced cohesion of matter on a cylindrical surface, Phys. Rev. B 67, 075403 (2003).
[17] И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, 4 изд., М.: Наука (1963).
[18] Yu. E. Lozovik and S. Yu. Volkov, Hydrogen atom moving across a magnetic field, Phys. Rev. A 70, 023410 (2004).
[19] T. G. Pedersen, Variational approach to excitons in carbon nanotubes, Phys. Rev. B 67, 073401 (2003).
[20] L. P. Pitaevskii, S. Stringari, Bose-Einstein Condensation, Oxford University Press, Oxford (2003).
[21] O. L. Berman, Yu. E. Lozovik, and D. W. Snoke, Evaporative cooling and condensation of two-dimensional polaritons in an in-plane harmonic potential, Phys.Stat.Sol.(c)3, No.10, 3373-3377 (2006).
[22] В. С. Владимиров, Уравнения математической физики, - изд.4-е, М.: Наука (1981).
[23] J. Keeling and N. Berloff, Spontaneous Rotating Vortex Lattices in a Pumped Decaying Condensate, Phys. Rev. Lett. 100, 250401 (2008).