Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям
111На правах рукописи
Астахов Сергей Владимирович
Нелинейные эффекты в динамике
волнового твердотельного и микромеханического гироскопов в условиях медленно меняющихся параметров
(01.02.06 - динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры)
Автореферат
диссертации на соискание степени
кандидата технических наук
Москва 2012 г.
Работа в ФГБОУ ВПО Национальный исследовательский университет МЭИ на кафедре теоретическая механика и мехатроники.
Научный руководитель: доктор технических наук, профессор
Подалков Валерий Владимирович
Официальные оппоненты: доктор технических наук,
старший научный сотрудник
Банах Людмила Яковлевна
доктор физико-математических наук,
профессор
Басараб Михаил Алексеевич
Ведущая организация: ЗАО Инерциальные технологии
Технокомплекса (Моск. обл., г. Раменское)
Защита состоится 24 мая 2012 года в 13-00 в аудитории Б-112 на заседании диссертационного совета Д 212.157.11 при ФГБОУ ВПО Национальный исследовательский университет МЭИ по адресу 111250, Москва, Красноказарменная ул., д.17.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Национального исследовательского университета МЭИ.
Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенных печатью организации, просим направлять по адресу 111250, Москва, Красноказарменная ул., д.14, Ученый совет НИУ МЭИ.
Автореферат разослан л апреля 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
Д 212.157.11 к.т.н., доцент П.В.Волков
Актуальность проблемы. В последние десятилетия наиболее интенсивно и динамично развивающимся направлением была признана микросистемная техника, в состав которой входят миниатюрные датчики инерциальной и внешней информации, микродвигатели и преобразователи. Применение новых технологий позволило уменьшить массово - габаритные показатели, энергопотребление, а также стоимость приборов, что в свою очередь расширило области применения данных датчиков в различных областях и сферах жизни человека. Из них особо стоит выделить микромеханические гироскопы (ММГ), волновые твердотельные гироскопы (ВТГ) и акселерометры, как наиболее перспективные датчики инерциальной информации.
Исследования ВТГ ведутся уже более тридцати лет, интересом к нему послужило сочетание ряда его уникальных свойств: небольшие габаритные размеры и энергопотребление, практически неограниченный технический ресурс, простота конструкции и изготовления, высокая потенциальная точность, малое энергопотребление, малые требования к обслуживанию вследствие отсутствия вращающихся частей и т.д..
Другим перспективным датчиком является ММГ, разработка этих датчиков ведется уже более четверти века, когда были начаты интенсивные поиски путей создания недорогих, миниатюрных и пригодных для выпуска крупными сериями гироскопов. Данный прибор выпускается крупными сериями. В настоящее время лидерами в серийном производстве являются компании AnalogDevices, InvenSense, Kionix, Panasonic, RobertBoschGmbH, SeikoEpson, STMicroelectronics и другие.
Проблема повышения точности ММГ и ВТГ является актуальной для прецизионного электронного приборостроения, которая может быть решена за счет применения новых технических решений, использования новых технологий, создания новых математических моделей, описывающих динамику датчиков. Проблема достижения высоких точностей ВТГ и ММГ ставит перед исследователями целый ряд новых задач: при миниатюризации датчиков требуется уход от исследования линейных моделей к нелинейным; влияние инструментальных погрешностей изготовления чувствительного элемента, а также медленно изменяющихся параметров функционирования прибора на его динамику; учет конечных деформаций материала прибора и изменяющейся среды функционирования гироскопа.
Части из перечисленных выше проблем и посвящена данная работа, как весьма актуальным и интересным с научной и практической точки зрения.
Цель диссертации состоят в
- определении влияния упругой и геометрической нелинейности на динамику волнового твердотельного и микромеханического гироскопов,
- исследовании влияния медленно изменяющихся условий функционирования приборов, температуры и неравномерной толщины резонатора на динамику прибора,
- разработке новых математических моделей колебаний чувствительных элементов ММГ и ВТГ в разных режимах работы приборов.
Цели диссертационной работы соответствуют Приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники Российской Федерации, работа направлена на развитие технологий, входящих в Перечень критических технологий Российской Федерации по направлению Технологии наноустройств и микросистемной техники.
Методы исследования определялись спецификой изучаемых объектов и их математических моделей. В работе были использованы методы классической механики, теории упругости, математическая теория устойчивости, асимптотические методы нелинейной механики, теория дифференциальных уравнений, методы математического моделирования и аналитических вычислений, методы малых параметров и возмущений.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением методов теоретической механики, теории упругости, методов малого параметра и теории дифференциальных уравнений, а также сравнением полученных результатов с экспериментальными данными и результатами, полученными другими исследователями.
Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в следующем:
- решен комплекс фундаментальных задач, определяющих динамические свойства ММГ и ВТГ, получены новые математические модели, описывающие динамику приборов в условиях медленно изменяющихся параметров функционирования приборов (медленное изменение скорости вращения основания, на которое установлен прибор, амплитуды и частоты вынуждающей силы, также собственной частоты колебания резонатора),
- исследовано влияние медленного равномерного роста температуры среды, в которой функционирует прибор, влияние нелинейных упругих свойств и неравномерной толщины резонатора ВТГ на его динамику и точность; изучено влияние нелинейных эффектов на динамику ММГ стержневого типа, в условиях медленно меняющихся параметров,
- изучено влияние скорости изменения частотной настройки прибора в режиме вынужденных колебаний на амплитудно-частотные характеристики.
Практическая значимость результатов работы заключается в разработке методики экспериментальных испытаний ММГ с кольцевым резонатором в целях повышения точностных характеристик и определения влияния нелинейных слагаемых, медленно изменяющихся параметров системы, температуры, неравномерной толщины резонатора на динамику прибора. Полученные результаты могут быть использованы в разработке новых моделей, методов, алгоритмов и программных средств, позволяющих решать задачи проектирования новых типов датчиков инерциальной информации, а также доработке уже существующих приборов в ЗАО Инерциальные технологии Технокомплекса (г. Раменское, Моск. обл.).
Апробация работы и публикации.Результаты работы докладывались и обсуждались на:
- заседаниях научного семинара кафедры теоретической механики и мехатроники МЭИ (Москва, 2009 - 2012 г.г.),
- заседании научного семинара кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством чл. - корр. РАН, проф. Белецкого В.В., проф. Голубева Ю.Ф. (Москва, 2010 г.),
- XXXIV и XXXVIакадемических чтений по космонавтике Актуальные проблемы российской космонавтики (Москва, 2010 г. и 2012 г.),
- XVI и XVIIIмеждународной научно-технической конференции Радиотехника, электроника и энергетика (Москва, 2010 г. и 2012 г.),
- международной молодежной научно-практической конференции МГУ им. Ломоносова (Москва, 2011 г.).
Публикации. По результатам работы опубликовано 8 работ, в том числе 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАКомМинобрнауки РФ и 5 тезисов докладов.Личный вклад автора в совместных публикацияхзаключается в разработке новых математических моделей движения чувствительных элементов, постановке натурных экспериментов и проведении численных расчетов.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 136 наименований. Общий объем работы составляет 157 страниц и содержит 71 иллюстрацию.
Содержание работы
Во введении дана общая характеристика рассматриваемой проблемы и обоснована ее актуальность. Сформулирована цель диссертации и дан обзор предшествующих исследований. Приведен краткий обзор работ, посвященных разработке и исследованию ММГ и ВТГ.
В первой главе исследовано влияние медленно изменяющейся скорости вращения основания прибора, изменения температуры среды прибора, влияние неравномерной толщины резонатора волнового твердотельного гироскопа в виде тонкой оболочки вращения (рис. 1) на его динамику и точность в нелинейной постановке задачи.
Вектор перемещений , вызванный упругими деформациями, искали в следующей форме:
223 |
где номер формы колебаний, и искомые функции, собственные формы свободных колебаний оболочки, которые соответствуют частоте колебаний резонатора постоянной толщины.
Рис. 1. Расчетная схема прибора
Для нахождения собственных форм колебаний асимметричной оболочки воспользовались следующими формулами
435 |
При составлении выражения для потенциальной энергии упругой деформации резонатора были учтены нелинейные слагаемые, возникающие из-за нелинейной упругости материала резонатора.Используя формализм Лагранжа, были получены нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие в одномодовом приближении колебания упругой оболочки вращения на подвижном основании. Для описания внутреннего трения была применена модель Кельвина - Фохта.
,
,
6 47
где
- характерная частота колебаний резонатора, коэффициент Брайана, приведенная масса резонатора, безразмерный малый коэффициент внутренних потерь при колебаниях, и приведенные жесткости резонатора для линейных и нелинейных компонент выражения потенциальной энергии соответственно.
В з1.2 были получены основные формулы для расчета параметров системы для полусферического резонатора.
В з 1.3. рассмотрена динамика резонатора, вращающегося с постоянной скоростью при наличии силы диссипации в нелинейной постановке задачи.Решение системы искали в виде (1.3):
859 |
здесь - медленно изменяющиеся переменные амплитуда - фаза были найдены из уравнений первого приближения.
Применяя метод многих масштабов, были получены аналитические выражения для амплитуд и фаз первичных и вторичных колебаний.Далее в орбитальных координатах была рассмотрена эволюция медленных переменных:
10611 |
где дополнительная медленная прецессия волновой картины, характеризующая уход прибора, фаза колебаний.
Рассмотренрезонатор, изготовленный из плавленого кварца, постоянной толщины , плотностью модуль упругости коэффициент Пуассона радиус резонатора , коэффициент демпфирования , коэффициент нелинейной упругости материала .Числовые параметры резонатора в этом случае принимают значения:
Скорость вращения основания считалипостоянной:
Дополнительные погрешность гироскопа , которая для постоянной угловой скорости вращения основания составила на интервале времени наблюдения 1 мин, что является существенной погрешностью для гироскопа такого класса. Изменение фазы за минуту наблюдения составило 120 угл. сек., что соответствует изменению частоты изгибных колебаний резонатора на Гц. Отметим, что нелинейная упругость материала оказывает существенное влияние на прецессию волновой картины колебаний резонатора, установленного на основание, вращающееся даже с постоянной скоростью.
з 1.4 посвящен изучению динамики резонатора, вращающегося с медленно меняющейся во времени скоростью, при наличии силы диссипации. Угловая скорость основания является медленной функцией времени Используя метод многих масштабов, для амплитуд и фаз, входящих в (1.4), получены решения:
12713 |
где - некоторые постоянные, которые найдены из начальных условий (i=1,2),
Анализ решения (1.6) в орбитальных координатах для данных прошлого примера при позволяет сделать вывод, что медленное изменение угловой скорости основания приводит к дополнительным погрешностям при нахождении угла прецессии. Таким образом, наибольшее влияние нелинейная упругость материала оказывает на прецессию волновой картины колебаний резонатора.
Вз 1.5. изученадинамика резонатора, на подвижном основании в случае медленного роста температуры среды. Модуль упругости изменяется по следующему закону:
14815 |
где - модуль упругости при номинальной температуре, - температурный коэффициент модуля упругости, - номинальная температура. Проведен анализ полученной системы уравнений и найдено ее решение в переменных амплитуда - фаза.
Анализ полученных зависимостей позволяет сделать вывод, что равномерно изменяющаяся температура не влияет на точность прибора, а оказывает влияние лишь на фазу колебаний. Рассмотрены данные прошлого примера, при этом принято изменение температуры по закону:Тогда дополнительное (из-за температуры) изменение (рост) фазы за минуту наблюдения составило 2угл. сек., что соответствует незначительному изменению частоты изгибных колебаний резонатора на Гц.
В з 1.6. рассмотреновлияние неравномерной толщины резонатора на динамику волнового твердотельного гироскопа в одномодовом приближении. Рассмотрены собственные колебания резонатора ВТГ, установленного на подвижное основание, скорость которого медленно изменяется во времени. Изменение толщины резонатора h по окружной координате задано в следующем виде:
16917 |
где - толщина однородного материала резонатора, - малый параметр.
Было получено решение в переменных для амплитуды и фазы, с последующим численным анализом в орбитальных координатах.
Неоднородная толщина резонатора приводит к дополнительным погрешностям в работе прибора, а также изменениям фазы колебаний. При геометрической неоднородности материала резонатора происходит расщепление частот изгибных колебаний по заданной форме на две близких, разность между которыми пропорциональна малому параметру, характеризующему неоднородность материала. В нелинейной задаче уход гироскопа из-за нелинейных упругих свойств материала, а также ненулевых значений квадратурной волны колебаний составил , что является существенной погрешностью для гироскопа такого класса.
Во второй главе рассмотрены вынужденные колебания волнового твердотельного гироскопа с резонатором в виде осесимметричной оболочки.
з 2.1 посвящен выводу уравнений динамики в режиме вынужденных колебаний в нелинейной постановке задачи. В режиме вынужденных колебаний с помощью электродов управления создается переменное во времени силовое поле, неизменно ориентированное относительно основания прибора. Разность потенциалов в выражении для плотности электростатических сил будем задавать следующим образом:
где - медленно изменяющееся опорное напряжение, Цмедленно изменяющаяся частота гармонического возбужденияkЦой моды колебания резонатора.
Также сделано предположение, что частота собственных колебаний медленно меняется во времени, что обусловлено медленным изменением модуля упругости во времени из-за влияния температуры (1.7).
Тогда принимая во внимание (2.1) получена система дифференциальных уравнений, описывающих динамику резонатора в режиме вынужденных колебаний в нелинейной постановке задачи с учетом влияния силы диссипации. Она представляет собой систему (1.3), но в правой части первого уравнения стоит слагаемое :
где - безразмерный параметр, - электростатическая постоянная, lЦвысота электродов, - зазор между недеформируемым резонатором и электродами, - приведенная масса оболочки.
з 2.2. посвящен динамике волнового твердотельного гироскопа в режиме вынужденных колебаний в линейной постановке задачи. Отбрасывая нелинейные слагаемые в системе (1.3), уравнения имеют вид:
,
Вдали от резонанса. Анализируя полученные решения системы (2.3) можно сделать следующие замечания: в режиме вынужденных колебаний в случае, когда работа прибора происходит на нерезонансных частотах, гироскоп является интегрирующим, при этом медленно изменяющаяся частота свободных колебаний не оказывает влияния на точность прибора.
Вблизи резонанса. Решение системы (2.3) в резонансном случае ищем в виде:
Получены решения в переменных в резонансном режиме. Введеначастотная настройка Далее, для полусферического резонатора была построена серия амплитудно-частотных характеристик (высота электродовl= 60 мкм, - зазор между недеформируемым резонатором и электродами, .
Случай 1.Заданы следующие законы изменения параметров.
- относительная частотная настройка, отнесенная к угловой скоростиоснования.
Рис. 2. Амплитудно - частотная характеристика и (черная линия
стационарный случай, светлая - случай 1)
Случай 2. Заданы следующие законы изменения параметров.
Рис. 3. Амплитудно - частотная характеристика и (черная линия
стационарный случай, светлая - случай 2)
Анализируя представленные зависимости, можно сделаны следующие выводы о поведении прибора в условиях медленно изменяющихся частотной настройки и амплитуды вынуждающей силы:
- При увеличении скорости изменения частотной настройки максимум амплитуды снижается, а также острота первого максимума резонансной кривой становится меньше остроты стационарной резонансной кривой, и при этом тем меньше, чем выше скорость прохождения через резонанс.
- После достижения первого максимума наблюдается биение амплитуд, чем выше скорость прохождения через резонанс, тем меньше выражены после первого максимума максимумы меньшей величины.
- Более симметричные резонансные кривые наблюдаются при более быстром прохождении через резонанс. Максимум амплитуды имеет место не в момент совпадения частоты возбуждающей силы с частотой собственных колебаний, а позже.
з 2.3. посвящен динамике волнового твердотельного гироскопа в режиме вынужденных колебаний в нелинейной постановке задачи. Решение ищем в виде (2.4). Получена система уравнений, описывающая динамику прибора в режиме вынужденных колебаний в резонансном случае в нелинейной постановке. Далее построены амплитудно-частотные характеристики для разных случаев (на стационарном графике черная линия - неустойчивые решения, серая - устойчивые).
Случай 1.Заданы следующие законы изменения параметров.
Случай 2.Заданы следующие законы изменения параметров.
Рис. 4. Амплитудно - частотная характеристика и
(черная и серая линии - стационарный случай)
После анализа полученных графиков, было отмечено:
- Отсутствует симметрия резонансных кривых, наблюдаемая в линейных системах, при увеличении частотной настройки графики значительно отличается от тех, которые получаются при прохождении в обратную сторону.
- При прохождении через резонанс наблюдаются резкие изменения амплитуд, после достижения первого максимума происходят биения амплитуд.
- При проходе вправо наблюдается снижение максимума амплитуды, которое зависит от скорости прохода.
- Вид зависимостей существенно зависит от скорости изменения частотной настройки, и чем она выше, тем график более прижимается к стационарному графику. При низких скоростях изменения частотной настройки после прохода через резонанс наблюдаются биения с большей амплитудой, чем при более высоких скоростях изменения частотной настройки.
з 2.4. Экспериментальная часть. При проведении опыта в состав лабораторного оборудования входили: четырехканальный осциллограф, двухканальный генератор сигнала, технологическая плата, используемая для соединения резонатора гироскопа с устройствами. На основании опыта и одновременного решения модельной задачи для различных входных напряжений показаны амплитудно-частотные характеристики.
Анализ полученных зависимостей показывает, что параметры могут быть определены по результатам стендовых испытаний, причем относительная погрешность, с которой проводится идентификация параметров математического моделирования, составляет порядка Систематическая же погрешность вызванная несбалансированностью упругой системы резонатор - торсионы может быть скомпенсирована с помощью технологической процедуры балансировки.
Для входного напряжения была получена амплитудно - частотная характеристика, показывающая нелинейную природу поведения резонатора.
Рис. 5. Амплитудно-частотная характеристикадля результатов измерений (линии с точками) и расчетных зависимостей (сплошная линия)для
входного напряжения
Полученная характеристика показывает, что существуют срывы колебаний и скачки амплитуд при работе гироскопа, что объясняется нелинейной упругостью резонатора.
В третьей главе рассмотрены свободные колебания микромеханического гироскопа стержневого типа с учетом влияния геометрической нелинейности.
а) б)
Рис. 6. Кварцевый вибрационный гироскоп Quapason™ фирмы Sagem (Франция) а) и расчетная схема гироскопа б)
Уравнения, описывающие динамику прибора (рис. 6) имеют вид:
где квадрат характерной собственной частоты колебаний упругого стержня, безразмерный малый коэффициент внутренних потерь при колебаниях, который может быть определен экспериментально.
Полученную систему исследовали методом многих масштабов в переменных орбиты для следующих данных длины мм, квадратного поперечного сечения толщиной мм, изготовленного из плавленого кварца с плотностью кг/м3 и модулем Юнга . С учетом числовых данных, получена номинальная частота изгибных колебаний стержня (3 кГц). Принята добротность колебательного контура в условиях вакуума равной . Заданы начальные условия для медленных переменных В начальный момент времени возбуждены колебания резонатора вдоль оси с начальной амплитудой (0,25 мм), тогда имеем малую поправку к частоте колебаний меньшую 0,1 Гц.
Рис. 7. Зависимость погрешности гироскопа от начального значения амплитуды колебаний и угловой скорости основания
Анализ полученной зависимости на рис. 7 показывает, что погрешность гироскопа пропорционально нарастает с увеличением угловой скорости основания и увеличивается пропорционально квадрату начальной амплитуды колебаний. Приведенные числовые данные свидетельствуют о существенном влиянии нелинейных амплитуд колебаний резонатора на динамику и точность гироскопа.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей диссертации изложены научно-обоснованные решения, имеющие существенное значение для проектирования и создания новых типов датчиков инерциальной информации, а также повышении технических и эксплуатационных характеристик систем на их основе.
Основные результаты, полученные в работе, заключаются в следующем:
- Получены новые математические модели описывающие влияние нелинейных упругих свойств резонатора на динамику ВТГ, было показано, что нелинейная упругость материала оказывает существенное влияние на прецессию волновой картины колебаний резонатора, установленного на основание, вращающееся даже с постоянной скоростью.
- Медленное изменение угловой скорости вращения основания приводит к дополнительным погрешностям в измерении угла прецессии прибора.Медленный равномерный рост температуры среды не оказывает влияние на точность прибора, а приводит только к изменению фазы колебаний, с ростом температуры она увеличивается, с уменьшением температуры она снижается.
- Неравномерная толщина резонатора сильно влияет на масштабный коэффициент, а также частоты собственных колебаний резонатора и приводит к дополнительным погрешностям в измерение угла прецессии прибора и увеличении фазы колебаний даже в линейной задачи. При геометрической неоднородности материала резонатора происходит расщепление частот изгибных колебаний по заданной форме на две близких, разность между которыми пропорциональна малому параметру, характеризующему неоднородность материала.
- В режиме вынужденных колебаний вблизи резонанса скорость изменения частотной настройки существенно влияют на амплитудно-частотную характеристику, как в линейной, так и нелинейной постановках задачи. Было показано, что для линейной задачи максимум амплитуды имеет место не в момент совпадения частоты возбуждающей силы с частотой собственных колебаний, а позже; после достижения первого максимума наблюдается биение амплитуд, чем выше скорость прохождения через резонанс, тем меньше выражены после первого максимума максимумы меньшей величины; при увеличении скорости изменения частотной настройки максимум амплитуды снижается, а также острота первого максимума резонансной кривой становится меньше остроты стационарной резонансной кривой, и при этом тем меньше, чем выше скорость прохождения через резонанс. В нелинейной задаче, наоборот, отсутствует симметрия резонансных кривых, наблюдаемая в линейных системах, при увеличении частотной настройки графики значительно отличается от тех, которые получаются при прохождении в обратную сторону, не наблюдается явление максимума амплитуды не в момент совпадения частоты вынуждающей силы с собственной частотой, а позже. При этом в нелинейной задаче, как и линейной. Вид зависимостей существенно зависит от скорости изменения частотной настройки, и чем она выше, тем график более прижимается к стационарному графику.
- Полученная в ходе эксперимента характеристика (амплитудно-частотная) показывает, что существуют срывы колебаний и скачки амплитуд при работе гироскопа, что объясняется нелинейными эффектами динамики гироскопа.
- Было показано, что при геометрической нелинейности погрешность гироскопа пропорционально нарастает с увеличением угловой скорости основания и увеличивается пропорционально квадрату начальной амплитуды колебаний. Приведенные числовые данные свидетельствуют о существенном влиянии нелинейных амплитуд колебаний резонатора на динамику и точность гироскопа. В нелинейном случае колебания вдоль большой и малой полуосей эллипса имеют разные полупериоды. И невозможно существование траектории средней точки стержня в виде эллипса, неизменно ориентированного в инерциальном пространстве.
- В работе было показано, что нелинейность существенно влияет на динамику приборов и вносит дополнительную погрешность в измерениях.
Основное содержание диссертации опубликовано в работах:
- Астахов С.В., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Влияние конечных деформаций резонатора на динамику и точность микромеханического гироскопа камертонного типа // Вестник МЭИ. 2010. №4. С.148-154
- Астахов С.В., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Погрешности волнового твердотельного гироскопа при учете нелинейных упругих свойств материала резонатора // Вестник МЭИ. 2011. №4. С.5-11
- Астахов С.В., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Влияние нелинейных упругих свойств резонатора на динамику волнового твердотельного гироскопа // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. №4 (2). С.47-49
- Астахов С.В., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Влияние конечных деформаций упругой стержневой системы на точность микромеханического гироскопа камертонного типа // XVIмежд. науч.-техн. конф. Радиотехника, электроника и энергетика: Тез. Докл. В 3-х т. М: МЭИ. 2010. Т.3. С. 325-326
- Астахов С.В., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Влияние нелинейных упругих свойств конструкционного материала на динамику и уходы волнового твердотельного гироскопа // Материалы XXXIVакадемических чтений по космонавтике Актуальные проблемы российской космонавтики: Труды. М.: Комиссия РАН по разработке научного наследия пионеров освоения космического пространства. 2010. С. 609-610
- Астахов С.В., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Исследование динамики волнового твердотельного гироскопа в условиях медленно изменяющихся условиях функционирования // межд. молодеж. науч.-практ. конф.: Тез. Докл. М.: Изд. МГУ. 2011. С.35-36
- Астахов С.В. Поведение волнового твердотельного гироскопа с учетом нелинейной упругости материала резонатора в режиме вынужденных колебаний// XVIIIмежд. науч.-техн. конф. Радиотехника, электроника и энергетикаТез. Докл. В 4-х т. М: МЭИ. 2012. Т.4. С. 314-315
- Астахов С.В. Динамика волнового твердотельного гироскопа в режимах свободных и вынужденных колебаний при условии медленно изменяющихся параметрах функционирования // Материалы XXXVI академических чтений по космонавтике Актуальные проблемы российской космонавтики: Труды. М.: Комиссия РАН по разработке научного наследия пионеров освоения космического пространства. 2012. С. 614-615
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям