Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Сулейманов Булат Ирекович
НЕКОТОРЫЕ ТИПИЧНЫЕ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ
01.01.02 -дифференциальные уравнения
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Уфа 2009
Работа выполнена в Учреждении Российской Академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Петр Георгиевич Гриневич, доктор физико-математических наук Сергей Юрьевич Доброхотов, доктор физико-математических наук Николай Николаевич Нефедов.
Ведущая организация: Физический институт им. П.Н.Лебедева РАН
Защита состоится 11 декабря 2009 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д002.057.01 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук в Учреждении Российской Академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу 450000, г.Уфа, ул. Чернышевского, 112, к.24.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ.
Автореферат разослан "__"_________2009 г.
Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, С.В.Попенов
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Одним из самых ярких достижений математики второй половины 20-го века явилось создание Р.Томом и последователями теории типичных особенностей гладких отображений (теории катастроф). Эта теория есть обобщение задачи исследования функций на экстремум, в котором функции заменены на семейства функций.
При этом рассматриваются критические (подозрительные на экстремум) точки, типичные для семейств функций, определяемых дополнительными к основным переменным параметрами, зависимость от которых описывает критические точки как функции. В дальнейшем, cледуя терминологии (Р.Гилмор. Прикладная теория катастроф, Т.1, M:
Мир,1984), эти дополнительные параметры называются управляющими.
Например (В.И.Арнольд. Теория катастроф, M: Наука, 1982), на плоскости X = (x1, x2) управляющих переменных типичны точки cборки X = (x, x), для которых найдутся такие V = V, что равны нулю 1 три первых коэффициента рядов Тейлора гладких функций f(X, V ) 1 jf (X, V )(V - V )j :
j j! V j= f(X, V ) = fV (X, V ) = fV (X, V ) = 0.
(Корни уравнений f(X, V ) = 0 (1) V определяют критические точки первообразных f(X, W )dW семейств функций f(X, V ).) Так как за счет величин x и x на разложения в 1 точках (X = X, V = V ) функций f(X, V ) можно наложить не более двух ограничений, то в их рядах Тейлора в этих точках f(X, V ) = a(x1-x)+b(x2-x)+(V -V )[c(x1-x)+d(x2-x)]+e(V -V )3+ 1 2 1 + cij0(x1-x)i(x2-x)j+(V -V ) cij1(x1-x)i(x2-x)j+ (2) 1 2 1 i+j>1 i+j> + c00k(V - V )k + (V - V )k cijk(x1 - x)i(x2 - x)j 1 k>3 k>1 i+j>в ситуации общего положения наряду с постоянной e отличны от нуля и постоянные a, b, c, d. Имеются такие постоянные ck (Р.Гилмор. Приij кладная теория катастроф, Т.1, M:Мир, 1984), что в малой окрестности точки (X, V) замены i i i 1 V - V = c0 Y Zj + U + c1 Y Zj + Uk ck Y Zj, ij ij ij i+j=1 i+j=1 k=2 i+j=(3) Y = c(x1 - x) + d(x2 - x), Z = a(x1 - x) + b(x2 - x), 1 2 1 определяемое рядом (2) уравнениe (1) переводят в кубическое уравнение (Y, Z) + (Y, Z)U + eU3 = 0 (4) с управляющими переменными i i (Y, Z) = Z + ijY Zj, (Y, Z) = Y + ijY Zj.
i+j>1 i+j>При e 0 уравнение (4) имеет единственный корень, а при e < 0 он единственен лишь вне интервала перехлеста || < (-43)1/2/(27e)1/2, (5) внутри которого решение (4) трехзначно. Трехзначен тут и весь ряд (3).
Большая часть результатов диссертации связана с особенностями типа только что описанной сборки, присущим решениям уравнений, которые при = 0 возникают из широкого ряда дифференциальных уравнений математической физики с малым параметром при производных.
В частности, ее главы 2 5 посвящены двум специальным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений u + u3 - tu - x = 0 (6) x и u = u3 - tu - x, (7) xx описывающих перестройки, которые происходят около точек сборки медленно меняющихся положений равновесия дифференциальных уравнений в частных производных i+jV L(S, DS)V (S) = Aij(S) = f(S, V ) (S = (s1, s2)). (8) si sj 1 i+j=C помощью решений нелинейных уравнений вида (8) описываются многочисленные явления в случае так называемых плавных неоднородностей (Островский Л.А. // Изв.вузов, Радиофизика. 1974. Т.174, №4.
C.454-476; Гуревич А.Вл., Минц Р.Г. // УФН. 1982. Т.142, в.1. С.61-99;
Берман В.С. // ПММ. 1978. Т. 42, в.3. C.450-457).
Описанию асимптотик при 0 решений (8) и эквивалентных им сингулярно возмущенных уравнений L(X, DX)V (X) = f(X, V ), (X = S) (9) посвящено множество работ. Решения (9) часто имеют асимптотические разложения V = V0(X) + V1(X) + 2V2(X) +..., (10) где V = V0(X) есть медленно меняющиеся положения равновесия уравнений (8),(9), определяемые корнями уравнения (1).
В работах, написанных на физическом уровне строгости, описываемые рядами (10) состояния обычно упоминаются мимоходом. При этом, однако, игнорируется проблема, связанная с типичностью (В.И.Арнольд.
Теория катастроф, УНаукаФ, М., 1982) на плоскости X линий нулей fV (X, V0(X)) (они состоят из образуемых точками складки гладких участков, соединенных в точках сборки), а значит, и с типичностью потери пригодности рядов (10) в точках складок и сборок V0(X).
Впрочем, случай складки в решении предельного уравнения (1) анализировался довольно много, особенно в случае обыкновенных дифференциальных уравнений вида (9). Упомянем, например, монографии Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1987 и Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975, а также работы Р.Хабермана, О.М.Киселева и С.Г.Глебова.
Случай же сборки, характерный для уравнений в частных производных вида (9) (для которых корни (1) в ситуации общего положения зависят от двух переменных), до работ автора данной диссертации не рассматривался. Именно в его работах [1] [3] с использованием идеологии метода согласования сделан вывод о том, что перестройки соответствующих решений (9) в окрестностях точек сборки их медленно меняющихся положений равновесия в ситуации Уобщего положенияФ задаются специальными решениями уравнений (6) и (7).
Основной вывод из проведенного в диссертации анализа поведения специального решения уравнения Абеля (6) состоит в том, что для решений уравнений вида (9) УзаФ точками сборки их медленно меняющихся положений равновесия типично формирование структур типа ударных волн с фронтами, локализованными в исчезающе (при 0) узкой окрестности одной из границ области перехлеста (5) корней уравнения (1).
Асимптотика в окрестности фронта соответствующей Уударной волныФ, сосредоточенного в узкой окрестности линии УслипанияФ корней уравнения F (, ) = 0, в главном порядке описывается согласно [9] c помощью специального решения дифференциального уравнения utt + ut + f(u) = 0 ( = 0). (11) Здесь функция f(u) бесконечно дифференцируема на всей вещественной прямой, а уравнение f(u) = 0 имеет лишь корни u = 0 и u = 1. При этом в точке u = 0 функции f(u) разлагаются в ряды Тейлора f(k)(0) f(u) = uk (f(2)(0) = 0), (12) k! k=а в точке u = 1 в ряды Тейлора f(k)(1) f(u) = (u - 1)k (f (1) = 0). (13) k! k=И, значит, либо f(u) 0 при u < 1, f(u) < 0 при u > 1, (14) либо f(u) 0 при u < 1, f(u) > 0 при u > 1. (15) Данный класс специальных решений, которому посвящена шестая глава диссертации, пересекается с классом монотонных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (11), изучавшимся в классической работе А.Н.Колмогорова, И.Г.Петровского и Н.С.Пискунова (//Бюл.
МГУ. Мат. и мех. 1937. Т.1, №6. С.1-26). Как в з2 этой работы, так в главе 6 диссертации рассматриваются решения уравнений (11), которые определены для всех t и удовлетворяют условиям lim u = 0, lim u = 1, lim u (t) = 0, lim u (t) = 0. (16) t- t t- t (В упомянутое пересечение попадает, в частности, функция f(u) = c2u2(u - 1). Cоответствующая этой функции конкретная биологическая проблема послужила импульсом к написанию упомянутой классической работы А.Н.Колмогорова, И.Г.Петровского и Н.С.Пискунова.) Описываемые в разделах 1 и 2 главы 7 диссертации перестройки решений двух вариантов гидродинамической системы h + (hv) = 0, vT + vvX + (h)h = 0, (17) T X X (неравенства (h) > 0 и (h) < 0 определяют ее гиперболический и, соответственно, эллиптический варианты) около их точек градиентных катастроф также связаны со сборкой.
Сингулярности решений уравнений гидродинамики вызывают интерес издавна и до наших дней см., например, монографии Гуревич А.В., Шварцбург А.Б. Нелинейная теория распространения радиоволн в ионосфере. М: Наука. 1973, Шварцбург A.Б. Геометрическая оптика в нелинейной теории волн. М: Наука. 1976, Жданов C.K., Трубников Б.А.Квазигазовые неустойчивые среды. М.: Наука. 1991 и относительно недавние публикации Кузнецов Е.А., Рубан В.П. (//Письма в ЖЭТФ. 1998, Т.67, в.1. 1015-1020), Зубарев Н.М.(//ЖЭТФ. 1998. Т.114, в.6. С.2043-2054).
В первых двух разделах главы 7 для анализа типичных сингулярностей решений (17) применяется локальный подход работ [10], [14], который показывает, что по сути для анализа типичных особенностей решений гидродинамических задач можно иногда пользоваться рассуждениями и выводами теории катастроф. Конечно, данный подход применим не всегда. (Скажем, с его помощью не обосновать общую гипотезу В.П. Маслова о типичности особенности складки для решений гиперболических систем в случае системы уравнений мелкой воды с переменной силой Кориолиса для обоснования этой гипотезы в данной ситуации в cерии работ C.Ю.Доброхотова с соавторами применялись очень нетривиальные рассуждения и вычисления.) Но уже ясно, что и описываемый в главе 7 локальный подход применим не только к рассматриваемым в ней ситуациям.
Отметим, например, работу Б.А.Дубровина, Т. Гравы и K.Клейна (//arXiv:0704.0501.(2007)), в которой с помощью рассуждений, близких к используемым в описываемом ниже локальном подходе, был сделан вывод об универсальности особенности типа комлексно-аналитической складки (эта особенность, описанная в примере, приведенном в [Гл.1,з1.8] книги Арнольд В.И., Варченко, Гусейн-Заде С.Г. (Особенности дифференцируемых отображений. Т.1. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. M.: Наука. 1982.), нетипична для множества всех гладких отображений R2 R2) для решений эллиптического варианта системы (17). Этот результат показывает, что типичные особенности решений нелинейных систем с двумя независимыми переменными не исчерпываются каноническими особенностями вещественных отображений.
И гиперболический, и эллиптический варианты системы (17) в приложениях часто возникают как пределы систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. Как правило, эти уравнения с малым параметром не интегрируемы.
Например, гиперболический вариант (17) при значении = 0 возникает из уравнений движения изоэнтропического газа с малой вязкостью vXX h + (hv) = 0, vT + vvX + (h)h = 4 ( < 1), (18) T X X h а также из ряда не интегрируемых уравнений с малой дисперсией. К числу последних относится широко используемое уравнение iGT + 2GXX + K(|G|2)G = 0, (19) где K(h) дифференцируемая функция, такая что K (h) = -(h)/2.
Система (17) из уравнения (19) не интегрируемого при отличной от константы функции K возникает при подстановке в него выражения G(T, X) = h(T, X, )1/2 exp(i(T, X, )/) (предполагается, что вещественная функция, a h вещественная, положительная функция) c последующим переходе в результате этой подстановки hT + 2(hX) = 0, T + (X)2 - K(h) = 2( h) X XX к значению = 0: эта предельная система дифференцированием второго уравнения по переменной X сводится к системе (17) c v = 2().
X В случае же отрицательности K в результате только что описанной процедуры из уравнения (19) возникает элипптический вариант (17).
Решения систем (17) в главном по малому параметру порядке часто представляют собой главные члены асимптотических решений подобных сингулярно возмущенных систем. Понятно, однако, что в достаточно малых окрестностях точек градиентных катастроф решений (17) последние уже не могут служить для правильного приближения решений таких сингулярно возмущенных уравнений с высшими производными. Помимо самостоятельного интереса, описываемые в двух первых разделах главы 7 результаты о структуре решений системы (17) в окрестностях их точек градиентных катастроф, нужны и в качестве предварительного анализа для изучения соответствующих перестроек решений систем с малыми диссипативными, либо малыми дисперсионными сингулярными возмущениями уравнений (17).
Например, из результатов первого раздела этой главы и соображений, диктуемых идеологией метода согласования, следует, что для изучения таких перестроек решений систем уравнений (18) нужно сделать замены масштабные преобразования, которые зависят от малого параметра. После осуществления таких преобразований в пределе = система (18) переходит (Утверждение 3.1 главы 7) в систему двух дифференциальных уравнений, первое из которых представляет собой уравнение Бюргерса, а второе есть обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Тривиальными растяжениями это уравнение Бюргерса сводится к виду t + x = xx. (20) При этом асимптотическое решение системы (35), описанное в Теореме 1.1 раздела 1 главы 7, в результате таких преобразований сводится к кубическому уравнению сборки (см. Утверждение 3.2 главы 7) H3 - tH + x = 0. (21) Последний факт согласно соображениям, обычно используемым в методе согласования, означает, что соответствующее решение уравнения (20) должно при x2 + t2 для большинства направлений x, t плоскости в качестве главного члена асимптотики иметь корень уравнения сборки (21). Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что для многих дисперсионных сингулярных возмущений гиперболического варианта (17) (например, для возникающего описанным выше образом из уравнения (19)) подобные перестройки их решений в главном порядке описываются специальным решением интегрируемого уравнения Кортевега де Вриза ut + uux + uxxx = 0, (22) асимптотика которого при при x2 + t2 для большинства направлений x, t плоскости в качестве главного члена асимптотики также имеет корень канонического кубического уравнения сборки (21).
А из утверждения 3.3 главы 7 и рассуждений, изложенных в ее конце, следует, что для решений уравнения (19), соответствующих асимптотическим решениям эллиптического варианта системы (17) из Теоремы 2.1 главы 7, перестройки в окрестностях точек провального самообострения последних в главном по порядке должны описываться специальными решениями интегрируемого Нелинейного уравнения Шредингера ipt + pxx + 2|p|2p = 0 (23) c = 1. Асимптотика этих специальных решений при x2 + t2 для большинства направлений также должна описываться в терминах кубического уравнения сборки.
Таким образом, при описании перестроек решений широкого класса гидродинамических задач с малой дисперсией или диссипацией в окрестностях точек градиентных катастроф решений их бездисперсионных (бездиссипативных) пределов систем (17) в ситуации Уобщего положенияФ используются специальные решения интегрируемых уравнений Бюргерса, Кортевега де Вриза и Нелинейного уравнения Шредингера. В главе восьмой описывается и ряд других специальных решений этих нелинейных интегрируемых уравнений, асимптотики которых при больших значениях аргументов задаются в терминах решений канонических уравнений теории катастроф, и которые также универсальным образом возникают в задачах нелинейной математической физики, описываемых посредством сингулярно возмущенных уравнений в частных производных.
Из результатов главы 8 диссертации следует, что с асимптотиками этих специальных решений, совместны стационарные части высших симметрий интегрируемых эволюционных уравнений, которые как раз выделяют интегрируемые уравнения среди прочих.
Замечание. Под симметрией системы уравнений в частных производных Ut = F (U, U1,..., Uk), (U, F Rm) (24) ( нижний индекс вектора U означает порядок его производной по переменной x) понимается система эволюционных уравнений U = G(, , U, U1,..., Un), (G Rm), (25) dF правая часть которой удовлетворяет условию коммутирования = d dG. При его выполнении общая теория гарантирует, что с системой (24) d совместны, в частности, стационарные части G = 0 симметрий (25).
Здесь U,F и G векторы размерности n, Uk вектор, который из вектора U возникает при замене каждой компоненты на ее производную порядка порядка k по переменной x. Под классической симметрией понимается случай функции, представимой в виде G = H(t, x, F (U, U1,..., Uk), Ux), а остальные симметрии системы (24) называются высшими.
В главе 8 излагается как история, так и современное состояние общей теории такого сорта нелинейных специальных функций решений нелинейных интегрируемых уравнений. В частности, в ней описываются два альтернативных способа выбора симметрий интегрируемых уравнений, стационарным частям которых могут удовлетворять подобные функции.
Основные цели работы 1) Изучить специальные решения обыкновенных дифференциальных уравнений (6) и (7), которые при x и фиксированных t стремятся к корню кубического уравнения сборки u3 - tu - x = 0. (26) 2) Исследовать аналитические и асимптотические свойства решений краевых задач типа Колмогорова Петровского Пискунова (11) (16).
3) Описать поведение при X X(v, h), T T(v, h) решений гиперболического варианта гидродинамической системы (17), где v, h = 0 точка обращения в нуль якобиана гладкого отображения (v, h) (X, T ) общего положения (в точке градиентной катастрофы T, X при этом происходит зарождение ударной волны). Аналогичную задачу решить для случая h = 0 решить для эллиптического варианта системы (17) (точка T, X есть точка провального самообострения интенсивности решений эллиптического варианта системы (17).) 4) Продемонстрировать универсальную роль высших симметрий интегрируемых эволюционных нелинейных уравнений, которую эти симметрии играют при описании перестроек решений задач нелинейной математической физики с малым параметром около типичных особых точек приближений, возникающих при равенстве данного параметра нулю.
Методы исследования В диссертации применяются результаты и идеология теории катастроф, методов согласования асимптотических разложений и экспоненциально убывающих пограничных функций (А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, В.Ф.Бутузов), симметрии интегрируемых уравнений в частных производных. При обосновании формальных асимптотических разложений сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений применяется метод дифференциальных неравенств, который стал особенно популярен после работ Н.Н.Нефедова (//Дифференц. ур. 1995. Т.31, №4. C.719-722).
В главе шестой используются результаты, полученные с помощью метода нормальных форм (Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. M: Наука. 1979.) Научная новизна Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Основные из них следующие:
1) Построены и обоснованы полные и равномерные асимптотические разложения при x2 +t2 специальных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (6) и (7), которые всюду кроме узкой окрест ности линии x = 4t3/27, (соответственно, луча x = 0, t > 0) стремятся к корню кубического уравнения сборки (26).
2) Исследованы аналитические свойства решений краевых задач (11) (16). Для случаев разрешимости построены асимптотики этих решений при t с точностью до любой целочисленной степени t.
3) Описаны полные формальные асимптотические решения при X X(v, h), T T(v, h) гиперболического варианта системы (17), где X, T = 0 точка градиентной катастрофы общего положения. Для случая h = 0 такая же задача решена для эллиптического варианта системы (17). Главные члены этих обоих формальных асимптотических решений задаются решениями кубического уравнения сборки.
4) Указаны такие стационарные части высших симметрий уравнения Кортевега де Вриза (22) и Нелинейного уравнения Шредингера (23), что асимптотики гладких решений этих стационарных частей при x при фиксированных t и, соответственно, t на прямой x = 0 в главном порядке совпадают с требуемыми асимптотиками решений уравнений (22) и (23). Для решения уравнения Кортевега де Вриза главный член таких асимптотик задается корнем кубического уравнения сборки (21). Для решения Нелинейного уравнения Шредингера такие асимптотики, также задаваемые в терминах решений уравнения сборки, были ранее описаны в известной статье Р.Сана и Р.Хабермана (Stud. Appl.Math. 1985. V.72, №1. P. 1-37).
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут иметь применения в теории сингулярно возущенных нелинейных дифференциальных уравнений, в различных областях механики, гидродинамики, оптики, теории плазмы и при решении задач, связанных с распространением тепла или учетом диффузии.
Апробация работы Результаты диссертации докладывались на семинарах Института Математики с В - (Уфа), Института Проблем Механики (Москва), Санкт Петербургского отделения Математического Института им. В.А.Стеклова, Физического института им.П.Н.Лебедева, Челябинского государственного университета и на конференциях: 15-ая сессия семинара им. И.Г.Петровского и Московского Математического общества (Москва, 1993), 17-ая сессия семинара им. И.Г.Петровского и Московского Математического общества (Москва, 1995), Международная конференция по математической физике и функциональному анализу (Челябинск, 1995), Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения (Уфа, 1996), САМГОП 98: Cеминар по аналитическим методам в газовой динамике и оптимизации вычислений (Уфа, 1998), Точно решаемые модели математической физики (Челябинск, 1998), Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы (Уфа, 2000), Конференция, посвященная 70-летию А.М.Ильина (Уфа, 2001), Конференция, посвященная 100-летию А.Н.Тихонова (Москва, 2006), Математика. Механика. Информатика (Челябинск, 2006); Нелинейные уравнения и комплексный анализ (Якты-Куль, 2008).
Публикации Материалы данной диссертации отражены в работах [1] [23], из них в перечень ВАК, рекомендуемый для защит докторских диссертаций, входят cтатьи [3], [5] [9], [11], [12], [14], [16] [18], [22].
Часть из данных работ написаны совместно. О вкладе соавторов в такие публикации:
1) большая часть материалов глав 2 4 основана на результатах публикаций [1] [7], из которых пять последних написаны в соавторстве с А.М.Ильиным. Последнему принадлежит доказательство утверждения о существовании гладкого по переменной x решения уравнений (7) (Леммы 3.1 3.3 Главы 2) и доказательство факта дифференцируемости по переменной t специального решения уравнения Абеля (6) (Теорема 2.Главы 3);
2) главы 7 и 8 частично основаны на совместных статьях автора диссертации с В.Р. Кудашевым [10] [14] и И.Т.Хабибуллиным [18]. Из всех этих статей, кроме [10],[14], в диссертации отражены лишь результаты, принадлежащие автору. Вклад В.Р. Кудашева в статьи [10],[14], отраженный в диссертации, заключался в использовании в данных работах варианта В.Р.Кудашева правил выбора симметрий интегрируемых уравнений, достоинства и недостатки которого подробно анализируется в заключительной главе диссертации.
Структура и объем диссертации Работа состоит из введения (глава первая), еще семи глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 223 страницы, библиография содержит 157 наименований.
Содержание работы Введение содержит обзор полученных в диссертации результатов. В нем также описывается значение этих результатов для различных задач нелинейной математической физики Вторая глава посвящена нечетному и монотонному по переменной x решению обыкновенного дифференциального уравнения (7). Вне линии скачка (M : x = 0, t > 0) главным членом его асимптотического разложения при x2 + t2 является гладкий вне луча M корень кубического уравнения (26).
Сравнительно нетрудно построить полное формальное асимптотическое разложение при x2 + t2 соответствующего нечетного по x специального решения уравнения (7): основная трудность здесь состоит в построении асимптотики в окрестности ударного луча M, которая в разделе 5 второй главы решается с помощью известной методики экспоненциально убывающих пограничных функций (Васильевa А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений.
М: Наука. 1973.).
Более тонкими являются исследуемые в главе 2 вопросы строгого математического обоснования аналитических и асимптотических свойств этого решения. В ее третьем разделе, в частности, доказана Теорема 3.1. Для любого конечного положительного T существуют такие положительные постоянные x(T), что для любого натурального n найдутся положительные постоянные Mn(T) и Qn(T), для которых в полуполосе = (x, t : x > x(T), 0 |t| 2T), функция u(x, t) и коэ ффициенты cj(t) формального решения ОДУ (7) вида u = x1/3(1 + cj(t)x-2j/3),связаны неравенствами j=n- |u(x, t) - x1/3(1 + cj(t)x-2j/3)| Mn(T)x(1-2n)/3, j=n- 1 (1 - 2j)cj(t) |u (x, t) - x-2/3( + x-2j/3)| Qn(T)x-2(1+n)/3.
x 3 j=В теореме 3.2 третьего раздела второй главы доказана единственность такого решения уравнения (7).
В четвертом разделе главы 2 доказано, что для значений t < -T равномерное асимптотическое разложение при -t + x2 этого специального решения u(x, t) задается рядом u = |t|1/2 |t|-4kwk(s), s = x|t|-3/2 (27) k=где w0(s) есть единственный корень кубического уравнения s + sgn(t)g - g3 = 0, (28) а остальныеwj(s) однозначно находятся в результате подстановки этого ряда в дифференциальное уравнение, которое из уравнения (7) получается в результате замен (27).
В пятом разделе второй главы, показывается, что при t > T всюду вне малой окрестности точки s = 0 асимптотическое разложение u(x, t) также описывается рядом вида (27), где w0(s) есть гладкий при s 0 корень gr(s) уравнения (28). Равномерная же асимптотика при t > T, s 0 и s + t этого нечетного по переменной x уравнения (7) описывается в Теореме 5.2 Главы 2 с помощью добавки к этому ряду ряда из функций, которые экспоненциально малы вне малой окрестности точки s = 0.
Главы 3 5 посвящены математически строгому исследованию специального решения уравнения Абеля (6). В частности, доказано cуществование и единственность функции u(x, t), которая явлется бесконечно дифференцируемым по x и t решением этого уравнения, которое монотонно растет по переменной x, и для которого справедлива доказанная в главе Теорема 2.3. Для любого t функция u(x, t) при x - и при x разлагается в cтепенной асимптотический ряд u(x, t) = x1/3(1 + cj(t)x-j/3), (29) j=где коэффициенты cj(t) это многочлены, которые однозначно определяются после формальной подстановки ряда (29) в уравнение (6).
Для любого положительного T асимптотическое разложение (29) равномерно при |t| T : для любого натурального n существуют постоянные Mn(T ) такие, что при |t| T, |x| > 1 справедливы неравенства 2n |u(x, t) - x1/3(1 + cj(t)x-j/3)| Mn(T )|x|-2n/3.
j=В Теореме 3.2 этой же главы доказывается, что при t < T и -t+s2 для данного специального решения уравнения Абеля справедливо дифференцируемое по переменным x и t асимптотическое разложение u(x, t) - |t|1/2 |t|-5j/2vj(s), (30) j=где v0(s) совпадает с корнем g(s) кубического уравнения (28). Дифференцируемое по x и t асимптотическое разложение в виде ряда (30), коэффициент v0(s) которого определен соотношением gl(s), s < s, g(s) = (s = 4/27), gr(s), s s справедливо для этого решения u(x, t) также при t и t + s2 всюду, кроме малой окрестности УударнойФ кривой x = st3/2 (Теорема 1.1 главы 4 и Теорема 3.2 главы 5).
Замена x s =, u(x, t) = |t|1/2v(s, t) |t|3/решения эталонного уравнения (6) сводит к решению обыкновенного дифференциального уравнения t-5/2vs = s + sgn(t)v - v3, (31) которое при t >> 1 является представителем класса уравнений, описанных в монографии Е.Ф.Мищенко, Н.Х.Розова (Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975). И, следуя этой монографии, асимптотику при t исследуемого специального решения уравнения(31) можно полностью описать и в окрестности ударной кривой x = st3/2. Однако, в главе 4 приводится иное описание асимптотического разложения v(s, t) в окрестности точки s = s, которое представляется более простым, чем общие рассмотрения монографии Е.Ф.Мищенко и Н.Х.Розова. Оно сводится к описанию двух характерных асимптотических разложений, которые согласованы как между собой, так и с внешним асимптотическим разложением (30).
Эти два характерных асимптотических разложения функции u(x, t) (по аналогии с терминологией [гл.II, з3] книги А.М.Ильина (Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1987), где рассмотрена похожая задача, называемые далее промежуточным и внутренним) на уровне полных асимптотических разложений описаны в главе 4.
В главе 5 c помощью рассуждений, аналогичных использованным в двух предыдущих главах, доказывается и дифференцируемость по x и по t асимптотических разложений функции u(x, t).
В разделе 2 главы 6, посвященной решениям краевых задач (11) (16), доказано, что при всех достаточно больших значениях -t существуют решения уравнений (11), которые при t - имеют асимптотические разложения pm(j)(ln |t|) 2 4 ln |t| f(3)(0) 2 g u(t) = - (1 + ) + +, f(2)(0)t f(2)(0)t2 3 (f(2)(0))2 t2 tj+j=(32) где g произвольная постоянная, а функции pm(j) многочлены.
Следующие четыре теоремы, доказанные в главе 6, аналитические и асимптотические свойства решений краевых задач (11) (16) описывают с почти исчерпывающей полнотой.
Теорема 3.1. Пусть функция f(u) бесконечно дифференцируема на всей оси, нигде кроме точек u = 0 и u = 1 в нуль не обращается, и пусть ее разложения в ряды Тейлора при u 0 и u 1 заданы рядами (12) и (13).
Для любой постоянной все монотонные решения ОДУ (11), удовлетворяющие краевым условиям lim u(t) = 0, lim u(t) = 1, (33) t- t получаются друг из друга сдвигом аргумента t на постоянную величину. Эти решения удовлетворяют всем краевым условиям (16).
Необходимыми и достаточными условиями существования монотонных решений задач (11), (33) являются следующие неравенства:
1) в случае справедливости неравенств (14) неравенства для некоторой постоянной < 0;
2) в случае справедливости неравенств (15) неравенства для некоторой постоянной > 0.
При выполнении неравенств (14) и монотонные решения задач (11), (33) удовлетворяют следующим предельным соотношениям:
u (t) 1 u (t) lim = -, если < , lim = -, если = .
t- t- f(u) u Теорема 3.2. Пусть функция f(u) бесконечно дифференцируема на всей оси, нигде кроме точек u = 0 и u = 1 в нуль не обращается, и пусть ее разложения в ряды Тейлора при u 0 и u 1 заданы рядами (12) и (13). Допустим еще, что она удовлетворяет неравенствам (14).
Cуществует такая отрицательная постоянная , что необходимым и достаточным условием существования решения краевой задачи (11),(16) является неравенство . Такое решение необходимо монотонно растет и при t для него имеют место оценки |u(t) - 1| = O(t-n), |u (t)| = O(t-n). (34) Для = оно при t < -1 удовлетворяет оценкам |u(t)| = O(t-n), |u (t)| = O(t-n). В случае же < для него при t - справедливо АР (32). Это АР дифференцируемо по переменной t.
Теорема 3.3. Пусть функция f(u) бесконечно дифференцируема на всей оси, нигде кроме точек u = 0 и u = 1 в нуль не обращается, и пусть ее разложения в ряды Тейлора при u 0 и u 1 заданы рядами (12) и (13). Допустим также, что для функции f(u) справедливы неравенства (15), и что > 0.
Тогда любое решение ОДУ (11), обладающее при t - дифференцируемым АР (32), определено при всех t. Такое решение положительно и при t для него имеют место оценки (34).
Теорема 3.4. Пусть функции f(u) удовлетворяют условиям предыдущей теоремы. Тогда необходимым и достаточным условием существования решений краевой задачи (11),(16) является неравенство > 0. Для каждого > 0 все эти решения положительны и получаются друг из друга сдвигом аргумента t на постоянную величину. При t - они обладают АР (32), которые дифференцируемы по переменной t.
При 0 < 2 f (1) данные решения бесчисленное множество раз пересекают прямую u = 1. Последовательности максимумов немонотонных решений задачи (11),(16) монотонно убывают, а последовательности их минимумов монотонно возрастают.
Для любого натурального n при всех достаточно больших значений t решения задачи (11),(16) удовлетворяют оценкам (34).
Первый раздел главы 7 посвящен гиперболическому варианту системы (17) (определяемого неравенством (h) > 0 для бесконечно дифференцируемой функции (h)), который описывает одномерное движение изоэнтропического газа. В этом разделе анализируется процесс зарождения ударных волн Уобщего положенияФ, происходящий в окрестностях точек градиентных катастроф решений (17) с не равной тождественно нулю величиной I = hT vX - vT hX. Для таких v и h уравнения (17) преобразованием годографа локально сводятся к линейным: рассмотрение T и X в качестве координат, а h и v в качестве независимых переменных дает систему Xh = vTh - (h)Tv, Xv = vTv - hTh. (35) Точкам обращения в бесконечность производных решений системы (17) Уобщего положенияФ отвечают нули якобиана J = XhTv - XvTh = h(Th)2 - (h)(Tv)2 (36) гладкого отображения (h, v) (X, T ). Учет этого факта позволяет получить в этих точках полные формальные АР v и h.
Для анализа решений системы (17) в окрестности точки катастрофы (T, X) (соответствующей точке (h, v) обращения якобиана J в нуль), в диссертации использованы разложения Тейлора B = bijvij ( = h - h) (37) i,j=гладких в точке (h = 0, v) решений (их существование гарантировано в силу теоремы Коши Ковалевской) линейного уравнения (38) hBhh + 2Bh = (h)Bvv, (38) к которому система (35) сводится при помощи соотношений T = Bv; X = -B - hBh + vBv. (39) В ситуации общего положения за счет вариации значений h, v возможно наложение двух (и не более!) ограничений в виде равенств на множество коэффициентов bij, которые не следуют из уравнения. С учетом этого замечания в диссертации без ограничения общности считается, что X = T = v = 0 (40) (общий случай сводится к этому с помощью перехода в системе (17) от переменных X, T и v соответственно к переменным X -X -v(T -T), T - T и v - v), и что коэффициент (h) системы (17) в точке h = h = 0 бесконечно дифференцируем. Также без ограничения общности считается, что (h) = 4. Тогда справедливо разложение Тейлора (h) = 4 + 1 + kk. (41) k=В диссертации рассматривается случай h > 0 и газ Уобщего положенияФ, для которого 1 + 12/h = 0. (42) Подстановка в уравнение (38) рядов Тейлора (41) и (37) с учетом cоотношений (39) и равенств (40) дают следующие связи между коэффициентами ряда (37):
b00 = -hb01, b10 = 0, 4b20 = b01 + hb02, 4b21 + 1b20 = 3(b02 + hb03), 12b30 = b11 + hb12,... (43) Обращение же при v = 0, = 0 якобиана (36) в нуль в силу справедливости первого из соотношений (39) означает, что b11 и b20 выражаются при этом друг через друга по одной из двух формул 4b20 = h1/2b11. (44) Из соотношений (41) (44) следует, что компоненты отображения (39) разлагаются в ряды Тейлора T = b11( h1/2v/2) + (b11 + hb12)v2/4 + 2b21v + b122 + Tijvij, i+j=X = T v - b11(hv 2h1/2) - (b21h h1/2b11/4)v2 -2(b11 + hb12)v - 3(b02 + hb03)2 + Xijvij.
i+j=Для дальнейшего анализа удобно перейти к переменным Y = X - 2h1/2T, Z = X + 2h1/2T (45) и неизвестным R = v + 2h-1/2, L = v - 2h-1/2 ( = h - h) (46) Эти новые неизвестные в главном порядке совпадают с отклонениями инвариантов Римана h 1/2 h 1/(z) (z) r = v + dz, l = v - dz, z z h h определяемых по системе (17), от их значения в точке градиентной катастрофы:
1 r = R + (1 - )h1/2(R - L)2 + O(|R|3 + |L|3) 128 h 1 l = L - (1 - )h1/2(R - L)2 + O(|R|3 + |L|3) 128 h (Прямые Y = 0 и Z = 0 в точке (T = 0, X = 0) касаются характеристики C+, вдоль которой постоянен инвариант r, и, соответственно, характеристики C-, вдоль которой постоянен инвариант l.) В диссертации для подробно рассмотрен случай, когда в правой части соотношения (44) стоит знак минус.( Случай знака плюс совершенно аналогичен). При таком знаке 1 Z = F (R, L) = -2hb11L - h1/2b11(1 - 1h)R2+ 16 1 + h1/2b11(1 - 1h)RL + a02L2 + aijRiLj, 8 i+j=в котором в ситуации Уобщего положенияФ b11 = 0. (47) Так как FL(0, 0) = -2hb11 = 0, то L из уравнения Z = F (R, L) выражается через Z и R в виде ряда Z 1 4 ZR L = - + h1/2(1- )(R2+ )+c20Z2+ cijZiRj, (48) 2hb11 128 h hbi+j=где cij некоторые постоянные, однозначно определяемые через bij и h.
Из вида этого ряда вытекает уравнение на R 1 Y = h1/2(1 + )ZR + g20Z2 + g02R2 + gijZiRj, (49) 64 h i+j=постоянные gij из правой части которого также задаются через bij и h. Это уравнение при T = 0 кратко записывается в виде соотношения X = g02R2(1 + o(1)), из которого немедленно следует вывод о том, что g02 = 0. (50) (Иначе при малых X и T = 0 решения системы (17) были бы определены лишь по одну сторону прямой X = 0.) При этом в ситуации Уобщего положенияФ g03 = 0 (51) и, следовательно, формальное преобразование j R = C0(Z)Z + R0 + Cj(Z)R0, (52) j= коэффициенты (Cij постоянные) Cj(Z) = CijZi которого опреj=деляются явно сводит (49) к уравнению (Y, Z) + (Z)R0 + kR0 = 0, (53) где (ij, j -постоянные) (Y, Z) = Y + 0jZj + 1jY Zj, (54) j=2 j= 1 (Z) = - h1/2(1 + )Z + jZj (55) 64 h j=а постоянная k = -g03 такова, что (1 + 12/h)k > 0. (Последнее неравенство cоответствует тому факту, что до момента ГК r гладкая функция переменных T и X.) Уравнение (53) не имеет однозначно определенных при всех и корней. Cогласно (52) в рассматриваемой ситуации в качестве R0(, ) следует брать однозначный вне линии разрыва решений системы (17) корень уравнения (53), терпящий на этой линии разрыв первого рода. Для так определенной функции R0(, ) точка (Y = 0, Z = 0) является точкой градиентной катастрофы. Поэтому в начале координат градиентная катастрофа будет иметь место и для функций R(Y, Z) и L(Y, Z), асимптотики которых при Y + Z2 задаются формулами (52) (55) и (48).
Градиентная катастрофа в точке (Y = 0, Z = 0) при этом имеет место и для инварианта Римана r(Y, Z). Однако для второго инварианта Римана это уже не так.
Совершенно сходным образом исследуется случай выбора в (44) знака плюс, которому также соответствует градиентная катастрофа лишь одного из инвариантов Римана - инварианта l. Следующее утверждение подводит итог проведенному в диссертации анализу случая градиентной катастрофы инварианта Римана r.
Теорема 1.1. Пусть коэффициент (h) системы (17) в окрестности точки h = h > 0 бесконечно дифференцируем и разлагается в этой точке в ряд Тейлора (41), коэффициент 1 которого удовлетворяет неравенству (42). Допустим также, что коэффициенты bij разложения Тейлора (37) гладкого в точке (h = h, v = 0) решения B(h, v) уравнения (38) таковы, что выполнены равенства (44) (со знаком минус), (50) и неравенства (47), (51). Тогда замены (45), (46) и формальные ряды (48), (52) задают формальное асимптотическое решение сиcтемы (17), которое выражается через решение кубического уравнения сборки (53) c коэффициентами, представляющими собой формальные ряды (54), (55).
Второй раздел главы 7 посвящен эллиптическому варианту системы (17) h + (hv) = 0, vT + vvX - (h)h = 0, (56) T X X в дальнейшем называемому системой нелинейной геометрической оптики, который рассматривается при ограничениях h 0, (h) > 0. Для решений системы нелинейной геометрической оптики типичны не бегущие волны, а дробления на разделенные провалами (на них h(x, t) = 0) самостягивающиеся сгустки (Жданов C.K., Трубников Б.А., Квазигазовые неустойчивые среды. М.: Наука. 1991). С помощью рассуждений, схожих с изложенными в первом разделе cедьмой главы, в ее втором разделе проводится локальный анализ процессов провального самообострения интенсивности h(x, t), характерных решений системы нелинейной геометрической оптики. Согласно приводимым в седьмой главе формулам, провал при таком процессе сперва появляется в виде точки, а потом начинает расширяться. На двух границах возникающего провала амплитуда h(x, t) имеет типичную особенность типа складки. С течением времени естественно ожидать появления все новых таких провалов, которые также начинают расширяться в полном соответствии с упомянутой выше тенденцией образования отдельных самостягивающихся сгустков.
В диссертации предполагается, что функция (h) бесконечно дифференцируема в малой окрестности точки h = 0. При этом без существенного ограничения общности считается, что функция (h) при h 0 разлагается в ряд Тейлора (h) = 4 + khk. (57) k=Cистему нелинейной геометрической оптики также локально можно свести к линейной, рассматривая T и X как зависимые, а h и v как независимые переменные:
Xh = vTh + (h)Tv, Xv = vTv - hTh (58) Посредством соотношений T = Bv; X = -B - hBh + vBv (59) cистема (58) cводится к одному линейному уравнению на функцию B(v, h):
hBhh + 2Bh + (h)Bvv = 0. (60) В дальнейшем анализируются процессы падения интенсивности h(x, t) до нуля, определяемые решениями уравнения (60), которые при h представляются рядами вида B(v, h) = Bj(v)hj.
j=Легко видеть, что уравнение (60) имеет следующее ФАР при h 0, v v (v произвольная постоянная, bij постоянные):
B = (Tv-X)+T(v-v)+b01[h-(v-v)/4]+b11(v-v)[h-(v-v)2/12]+ +b02h2 - (12b02 - 1b01)(v - v)2h/16 + b12(v - v)h2 + b03h3+ (61) + bij(v - v)ihj, i+j=вид которого диктуется соотношениями (59) здесь точки (T, X) соответствуют расположенным на плоскости годографа точкам (v, 0).
Из последнего обстоятельства следует, что, желая оставаться в ситуации Уобщего положенияФ, на коэффициенты этого формального решения можно наложить еще только одно ограничение в виде равенства.
Эта свобода используется в диссертации для обращения в нуль постоянной b01.
После замены T - T = , (X - X) - (T - T )v = (62) подстановка ряда (61) в равенства (59) дает соотношения = -2b01h + ij(v - v)ihj, (63) i+j= = -b01(v - v)/2 + b11h + ij(v - v)ihj, (64) i+j=где ij, ij постоянные, однозначно определяемые постоянными T, X и коэффициентами рядов (57) и (61).
Если якобиан J(v, h) = XhTv - XvTh = h(Th)2 + (h)(Tv)формального отображения (h, v) (X, T ) не обращается в точке (v, 0) в нуль, то коэффициент b01 = -2Tv(v, 0) формального ряда (61) отличен от нуля. Cоотношениe (63) показывает, что в этом случае амплитуда h в точке = 0 имеет особенность типа квадратного корня. И из таких точек состоит неособая часть линии провала интенсивности T = T (X):
T = Bv(v, 0), X = -B(v, 0) + vBv(v, 0). (65) При этом значения /b01 > 0 трактуются как значения нулевой интенсивности h(x, t). Однако при эволюции изначально гладких решений системы нелинейной геометрической оптики (56) провалы интенсивности в момент T = T их возникновения естественно ждать лишь в отдельных точках. Именно окрестности такого сорта особых точек (T, X) рассматриваются в диссертации.
Согласно сказанному в предыдущем абзаце, необходимым условием изолированности точек (T, X) провала является равенство b01 = J = 0. (На кривой провала (65) эти точки являются особыми, так как в них Tv = Xv = 0.) При выполнении этого равенства соотношения (63), (64) можно переписать в виде (gij,hij постоянные):
b = (v - v) - 2b11h(v - v) - 6b02h2 + (v - v)3 + g21(v - v)2h+ +g12(v - v)h2 + g03h3 + gij(v - v)ihj, (66) i+j= (v - v)2 (12b02 - 1) = b11(h- )- (v -v)h+b12h2 + ij(v -v)ihj.
4 i+j=(67) В диссертации рассматривается ситуация Уобщего положенияФ, когда b11 = 0. (68) Тогда h из уравнения (67) однозначно находится в виде формального ряда (hij постоянные) (v - v)h = + + h11(v - v) + h202 + hiji(v - v)j. (69) b11 i=j=Из последнего соотношения и неотрицательности интенсивности h следует следующее уточнение неравенства (68) b11 < 0.
Подстановка в правую часть (66) вместо h формального ряда (69) дает формальное равенство вида 5b11(v - v) + jj = -(v - v) - + 12(v - v)2 + 21(v - v)2+ j= + iji(v - v)j, (70) i+j=где j,i,j постоянные. Формальным преобразованием (v - v) = C0() + Q + Cj()Qj, (71) j= коэффициенты (Ci,j постоянные) Cj() = Ciji, которого i+j=определяются явно, уравнение (70) сводится к кубическому уравнению cборки (, ) + ()Q + kQ3 = 0, (72) где (i,j, j постоянные) (, ) = (1 + 1jij) + 0jj, (73) j=1 j= () = + jj, (74) j=а постоянная k = 5b11/12 отрицательна. Итог рассуждениям второго раздела главы 7 подводит доказанная в ней Теорема 2.1. Пусть коэффициент (h) системы (56) в окрестности точки h = 0 бесконечно дифференцируем и разлагается в ряд Тейлора (57). Допустим, что коэффициент b01 формального решения (61) уравнения (60) равен нулю, и что коэффициент b11 этого формального решения отрицателен. Тогда замены (62), формальный ряд (69) и формальное преобразование (71), задают формальное асимптотическое решение сиcтемы (56), которое выражается через решение кубического уравнения (72) c коэффициентами, представляющими собой формальные ряды (73), (74).
Как уже сказано выше, результаты главы 8 отражают выявленную автором диссертации универсальную роль высших симметрий интегрируемых уравнений эти симметрии описывают перестройки решений задач нелинейной математической физики ( как правило, неинтегрируемых) с малым параметром, происходящие вблизи типичных особенностей решений уравнений, которые возникают при равенстве этих малых параметров нулю.
Так, справедлива доказанная во втором разделе главы Теорема 2.2. Существует единственное совместное решение обыкновенного дифференциального уравнения 5 5 uxxxx + uuxx + u2 + (x - tu - u3) = 0, (75) x 3 6 и уравнения Кортевега де Вриза (22), которое для каждого фиксированного t = T при x удовлетворяет оценкам t u(t, x) = -x1/3 + + O( ). (76) 3x1/3 |x| Уравнение (75) есть стационарная часть симметрии уравнения (22) u = (u4 + 5uu2/3 + 5u2/6 + 5u3/18) + 5(1 - tvx)/18 (77) 1 x (комбинации стационарных частей его симметрии Галилея u = 1 - tuи первой из высших УавтономныхФ симметрий см. [Гл.5.2] монографии П.Олвера(Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.:Мир. 1989.). А оценки (76) означают, что главный член асимптотик x данного совместного решения уравнений (22) и (75) есть корень кубического уравнения (21). Именно такому условию, согласно работам А.В. Гуревича и Л.П. Питаевского должно удовлетворять раcсматриваемое в них специальное решение уравнения Кортевега де Вриза (22). Из Теоремы 2.1 главы 8 cледует, что совместные решения (22) и обыкновенного дифференциального уравнения (75) совместны также с автомодельными решениями уравнений Уизема, которые согласно А.В.Гуревичу и Л.П. Питаевскому описывают асимптотику при t рассматриваемого ими специального решения (22) в области его незатухающих быстрых осцилляций. Эти строгие результаты главы 8 дают, согласно часто используемому полуэмпирическому принципу инвариантности (Ибрагимов Н.Х. // УМН. 1992. Т.47, в.4. С.83-145.) основание cчитать, что универсальное специальное решение Гуревича Питаевского уравнения Кортевега де Вриза (22) одновременно есть решение стационарной части высшей симметрии (22), определяемой уравнением (75).
У уравнения Бюргерса (20) также имеется (В.Р.Кудашев) высшая симметрия, стационарная часть которой совместна с требованием, чтобы главный член асимптотики решения этой стационарной части при x определялся корнем кубического уравнения (21):
Еще М.Лайтхилл (In: Surveys in Mechanics., Batchelor G.K. and Davies R.M., eds, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1956, P.250-351) указал на явное решение уравнения (20) (t, x) = -2[ln (t, x)], (t, x) = exp(-(4x- 2t2 +4)/8)d, (78) x R главный член асимптотики которого при x2 +t2 всюду кроме луча M : (x = 0, t > 0) есть корень (21). Непосредственно из представления (78) следует факт удовлетворения этим решением обыкновенному дифференциальному уравнению x - t + 4xx - 6x + 3 = 0, (79) один раз продифференцированная по х форма которого представляет собой стационарную часть симметрии уравнения Бюргерса.
В главе 8 указывается и стационарная часть высшей симметрии интегрируемого Нелинейного уравнения Шредингера (23) 4tpx 2ixp pxxx - + 6|p|2px + = 0, (80) c которой совместны асимптотики двух принципиально разных его специальных решений (но обе эти асимптотики в главном порядке также задаются кубическим уравнением сборки).
В главе 8 приводится сравнительный анализ двух способа выбора симметрий интегрируемых уравнений, стационарным частям которых могут удовлетворять их подобные нелинейные специальные решения.
Первый из этих способов, описываемый во втором разделе главы 8, принадлежит автору диссертации. Данный способ апеллирует к линейной части нелинейных интегрируемых уравнений и к аналогиям к частным решениям этих линейных частей, называемых специальными функциями волновых катастроф (з4 Гл.VI монографии М.В.Федорюк Асимптотика: Интегралы и ряды. М: Наука, 1987.) каноническим интегралам Фурье Лапласа, удовлетворяющих одновременно обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям. Исходя из вида последних, при данном подходе предлагается стационарные части симметрий исходного нелинейного интегрируемого уравнения выбирать так, чтобы линеаризации этих стационарных частей совпадали с упомянутыми линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями.
(Важную роль в выработке этого подхода сыграла статья А.В. Китаева (// Записки ЛОМИ. 1991. Т.187. С.53-74) о свойствах изомонодромных иерархий нелинейных обыкновенных уравнений, решения которых трактуются А.В. Китаевым как аналоги специальных функций волновых катастроф. Однако в статье А.В. Китаева речь изначально идет о решениях обыкновенных дифференциальных уравнений.) Этот подход вначале был применен в работах [8], [18] к специальным решениям интегрируемых уравнений, для которых при больших значениях аргументов нелинейность играет подчиненную роль. Cамым ярким примером из этих специальных решений является совместное решение уравнений (23) и (80), исследовавшееся ранее в работах [15], [16] автора диссертации.
Cогласно [15], [16] существует полное и равномерное формальное асимптотическое (при x2 + t2 ) совместное решение уравнений (23) и (80), которое при |t| в главном порядке описывается асимптотиками специального решения Нелинейного уравнения Шредингера (23) из работы Р.Хабермана и Р.Сана (Stud. Appl.Math. 1985. V.72, №1. P.
1-37.), и которое в пределе = 0 cовпадает с асимптотическим разложением при x2 + t2 произведения постоянной на специальную функцию волновой катастрофы сборки Q = exp[-2i(4 + 2t2 + x)]d, (81) - известную как интеграл Пирси.
В главе 8 доказана Теорема 1.1. Cуществует бесконечно дифференцируемое для всех t совместное решение ОДУ (23) и (80), которое при x = 0 и t - обладает АР q(t, x) = |4t|-1/2-id /2(d + qjt-2j).
j=Из этой теоремы с учетом результатов статьи А.В.Китаева (//Journal of Mathematical Physic. V.35, №6. Р.2934-2954) следует, что по крайней мере в окрестности прямой x = 0 существует и дифференцируемое по переменным x и t совместное решение уравнений (23) и (80), асимптотики которого при x = 0, t совпадают с асимптотиками из упомянутой статьи Р.Хабермана и Р.Сана.
Как отмечено в [18], левая часть обыкновенного дифференциального уравнения (80) есть сумма правых частей высшей коммутативной симметрии Нелинейного уравнения Шредингера (23) p = pxxx + 6|p|2px (82) и его классической симметрии Галилея p = (-4tpx + 2ixp). Таким образом, обыкновенное дифференциальное уравнение (80) из линейного уравнения Qxxx = 4tQx - 2ixQ, решением которого является интеграл Пирси (81), получается заменой Qxxx на его нелинейное обобщение правую часть симметрии (82). Именно обобщение этого наблюдения легло в основу первого подхода для выбора симметрий интегрируемых уравнений см.правила 1) 3) в конце раздела 2 главы 8.
Чуть позже выяснилось, что эти правила иногда применимы и к специальным решениям нелинейных интегрируемых уравнений, в асимптотиках которых при больших значениях аргументов доминирует нелинейность. Впервые это обстоятельство было обнаружено в работах [20],[21] автора диссертации, где данные правила были применены к специальному решению уравнения Кортевега де Bриза (22), главный член асимптотики которого при x задается корнем кубического уравнения сборки (21) см. начало раздела 3 главы 8.
В работе [21], в частности, выведено обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка (75), cовместное как с уравнением (22), так и с условием, чтобы решение (22) при x выходило на корень кубического уравнения (21). Однако то обстоятельство, что уравнение (75), будучи продифференцированным по x, дает стационарную часть симметрии (77) в [21] замечено не было.
Справедливость этого факта была указана позже В.Р.Кудашевым.
Им же отмечены факт удовлетворения функцией (78) обыкновенному дифференциальному уравнению (79), описанная выше связь этого обыкновенного дифференциального уравнения с высшей симметрией уравнения Бюргерса и то обстоятельство, что решения кубического уравнения (21), cовпадая с бездиссипативным (бездисперсионным) пределом (79) (соответственно, (75)), есть точные решения бездиссипативного (бездисперсионного) предела ut + uux = 0 (83) уравнения Бюргерса(20) (соответственно, уравнения Кортевега де Вриза (22)). Обобщая это наблюдение, В.Р.Кудашев предложил в публикации (Kdv shock-like waves as invariant solutions of KdV equation symmetries, C.70-79. В: УИнтегрируемость в динамических системахФ. Ин-т математики с ВЦ, Уфа, 1994.) свой вариант правил выбора симметрий. В применении к функциям волновых катастроф, удовлетворяющих уравнениям Бюргерса (20) и КдВ (22) с доминирующей при x2+t2 нелинейностью суть подхода, предложенного в этой публикации В.Р.Кудашевым, сводится к следующему:
Главные члены асимптотик таких решений предполагаются корнями канонических уравнений соответствующих катастроф x - tw = G(w). (84) Корни (84) задают общее решение уравнения (83), являющегося УбездиссипативнымФ (УбездисперсионнымФ) пределом уравнения Бюргерса (Кортевега де Вриза). Логично поэтому, как было предложено В.Р.Кудашевым, и стационарные части симметрий уравнения (20) ((22)), которым одновременно удовлетворяют такие cпециальные функции, искать, полагая, что их УбездиссипативныеФ (УбездисперсионныеФ) пределы имеют вид 1 - tw1 + G (w)w1 = 0. То есть, считать, что эти функции удовлетворяют суммам 1 - tw1 + K(w, w1, w2,..., wn) = 0 стационарных частей симметрии Галилея уравнения (20) (( 22)) и его УавтономныхФ симметрий w = K(w, w1, w2,..., wn), определяемых условиями K(w, w1, 0,..., 0) = G (w)w1. (По-крайней мере для всех многочленов G(w) такие симметрии имеются: Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.:Мир. 1989.) В разделе 3 главе 8 на примере анализа симметрийных свойств универсального специального решения уравнения (20) (t, x) = -2[ln (t, x)], (t, x) = exp (x + t2 - 3/3)d (85) x из работы С.В.Захарова и А.М.Ильина (//Functional differential equations.
2001. V.8, №3,4. P.257-271) проводится сравнительный анализ двух описанных подходов к выбору симметрий. Из этого анализа (показывающего, в частности, что к функции (85) подход, предложенный в упомянутой публикации В.Р.Кудашева, напрямую неприменим) делается вывод о необходимости уточнения обоих вариантов. И основное заключение раздела 3 главы 8 cостоит в том, что при рассмотрении подобного рода нелинейных специальных функций волновых катастроф наряду с какойЦлибо стационарной частью симметрии интегрируемого уравнения, решением которого является такая спецфункция, надо в качестве подходящих кандидатов рассматривать и результаты применения к этой стационарной части целочисленных степеней оператора рекурсии. ( Для уравнений Кортевега де Вриза и Бюргерса вид этого оператора указан в цитировавшейся в данном автореферате монографии П.Олвера. Оператор рекурсии для Нелинейного уравнения Шредингера был найден А.В.Жибером в //Динамика сплошной среды. 1980. №44.
С.3-14.) Список литературы [1] Сулейманов Б.И. О катастрофе сборки в медленно меняющихся положениях равновесия. В:УКомплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. IIФ, Уфимский научный центр, Институт математики с ВЦ: Уфа, 2000.
[2] Сулейманов Б.И. Катастрофа сборки в медленно меняющихся положениях равновесия. // ЖЭТФ. 2002. Т.122, в.6. С.1093-1106.
[3] Ильин А.М., Сулейманов Б.И. О двух специальных функциях, связанных с особенностью сборки. // Доклады РАН. 2002. Т.387, №2.
С.156-158.
[4] Ильин А.М., Сулейманов Б.И. Коэффициенты внутреннего разложения при исследовании асимптотики некоторых сингулярно возмущенных краевых задач. //Дальневосточный математический журнал. 2003. Т.4, №1. C.78-85.
[5] Ильин А.М., Сулейманов Б.И. Зарождение контрастных структур типа ступеньки, связанное с катастрофой сборки. //Матем. сб. 2004.
Т.195, №12. C.27-46.
[6] Ильин А.М., Сулейманов Б.И. Асимптотика специального решения уравнения Абеля, связанного с особенностью сборки. // Матем. сб.
2006. Т.197, №1. С. 55-70.
[7] Ильин А.М., Сулейманов Б.И. Асимптотика специального решения уравнения Абеля, связанного с особенностью сборки II. Большие значения параметра t. Матем. сб. 2007. Т.198, №1. С. 81-106.
[8] Сулейманов Б.И. О влиянии малой нелинейности на высокочастотные асимптотики при перестройках каустик. // ТМФ. 1994. Т.98, №2. С.198-206.
[9] Сулейманов Б.И. Некоторые типичные особенности движения с торможением в случае плавной неоднородности. //Доклады РАН.
2006. T.407, №4. C.460-462.
[10] Кудашев В.Р., Сулейманов Б.И. Некоторые типичные особенности падения интенсивности в неустойчивых средах. // Письма в ЖЭТФ. 1995. Т.62, в.4. С.358-362.
[11] КудашевВ.Р., Сулейманов Б.И. Малоамплитудные дисперсионные колебания на фоне приближения нелинейной геометрической оптики. //ТМФ. 1999. Т.118, №3. С.413-422.
[12] Kudashev V., Suleimanov B. A soft mechanism for generation the dissipationless shock waves. // Physics Letters Ser.A. 1996. V.221, №3,4. Р.204-208.
[13] Кудашев В.Р., Сулейманов Б.И. Мягкий режим формирования бездиссипативных ударных волн. В:УКомплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. IIIФ, Уфимский научный центр, Институт математики с ВЦ: Уфа, 1996.
[14] Кудашев В.Р., Сулейманов Б.И. Влияние малой диссипации на процессы зарождения одномерных ударных волн. // ПММ. 2001.
Т.65, в.3. С.456-466.
[15] Сулейманов Б.И. Второе уравнение Пенлеве в одной задаче о нелинейных эффектах вблизи каустики. // Записки ЛОМИ. 1991. Т.187.
С.110-128.
[16] Сулейманов Б.И. Изомонодромное явление Стокса и нелинейные эффекты вблизи каустики. //Доклады АН СССР. 1992. Т. 323, №1.
С.40-44.
[17] Сулейманов Б.И. О УнелинейномФ обобщении специальных функций волновых катастроф, описываемых двукратными интегралами.
// Математические Заметки. 1992. Т.52, в.5. С.102-106.
[18] Сулейманов Б.И, Хабибуллин И.Т. Cимметрии уравнения Кадомцева Петвиашвили, изомонодромные деформации и УнелинейныеФ обобщения специальных функций волновых катастроф. // ТМФ.
1993. Т.97, №2. С.213-226.
[19] Сулейманов Б.И. О связи нелинейного уравнения Шредингера со вторым уравнением Пенлеве. // Тезисы конференции молодых ученых. 1989. Уфа, БН - УрО АН СССР. С.138.
[20] Сулейманов Б.И. О решении уравнения Кортевега-де Вриза, возникающего вблизи точки опрокидывания в задачах с малой дисперсией. //Письма в ЖЭТФ. 1993. Т.58, в.2. С.906-910.
[21] Сулейманов Б.И. Возникновение бездиссипативных ударных волн и УнепертурбативнаяФ квантовая теория гравитации. // ЖЭТФ.
1994, Т.105, в.5. С.1089-1099.
[22] Сулейманов Б.И. О решениях краевых задач типа Колмогорова Петровского Пискунова. // Математические Заметки. 2008. Т.83, в.4. С.618-628.
[23] Сулейманов Б.И. О функциях волновых катстроф, удовлетворяющих нелинейным интегрируемым уравнениям. В:УТруды института математики с В - УН - РАН. Вып.1Ф, Российская академия наук, Уфимский научный центр, Институт математики с ВЦ: Уфа, 2008.