Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям
На правах рукописи
Васильев Николай Владимирович
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ГИБКИХ СЛОИСТЫХ ПЛАСТИН ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ
Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
Тверь 2012
Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Тульский государственный университет.
Научный руководитель доктор технических наук, профессор Трещев Александр Анатольевич Официальные оппоненты Охлопков Николай Леонидович доктор технических наук, профессор ФГБОУ ТГТУ, профессор каф. Сопротивления материалов, теории упругости и пластичности Божанов Павел Валерьевич кандидат технических наук, доцент ООО Инженерный Центр Промышленного Проектирования, генеральный директор Ведущая организация ФГУП ГНПП Сплав, г. Тула
Защита состоится л31 мая 2012 г. в ______ на заседании диссертационного совета Д 212.262.02 при ФГБОУ ВПО Тверской государственный технический университет по адресу: 170026, г. Тверь, наб. Афанасия Никитина 22, ауд. Ц-312.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государственного технического университета.
Автореферат разослан л____ ___________ 2012 года.
Ученый секретарь диссертационного совета Гультяев Вадим Иванович
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В настоящее время в различных отраслях промышленности (машиностроении, ракетостроении, строительстве) многие элементы конструкций и детали машин изготавливаются из анизотропных материалов, механические характеристики которых зависят от вида напряженного состояния. К таким материалам относятся бетоны, керамика, чугуны, некоторые марки конструкционных графитов, полимеры, композиты.
Зависимость деформационных характеристик от вида напряженного состояния для таких материалов достаточно сложна и не сводится только к различающемуся поведению при одноосных растяжении и сжатии. Так, экспериментально установлено, что жесткость большинства разносопротивляющихся материалов может зависеть не только от знаков возникающих напряжений, но и от их относительных значений. Классические теории, базирующиеся на существовании однозначной зависимости между напряжениями и деформациями, очевидно, не могут описать подобные особенности.
Анализ экспериментальных данных показывает, что зависимость механических характеристик многих анизотропных материалов от вида напряженного состояния в большей мере проявляется при достаточно высоком уровне напряжений в нелинейной области деформирования, что особенно актуально при анализе конструкций в условиях развитых деформаций и больших перемещений.
Несмотря на сравнительно большое число предложенных моделей определяющих соотношений сред, чувствительных к виду напряженного состояния, прикладные исследования эффектов, вызванных разносопротивляемостью анизотропных материалов конструкций, сдерживаются наличием существенных недостатков в известных моделях, а также недостаточной ориентацией известных моделей механики разносопротивляющихся сред на их дальнейшее использование в приложениях.
Анизотропные разносопротивляющиеся материалы широко используются для изготовления элементов конструкций, таких как цилиндрические оболочки различных видов, оболочки положительной гауссовой кривизны, диски, пластины и плиты. Причем конструкции могут быть как однородными, так и неоднородными. К числу последних относятся круглые и прямоугольные многослойные пластины средней толщины из сложных композитов.
Расчеты трехслойных пластин в условиях геометрически нелинейного деформирования показали, что их жесткость при поперечном сдвиге заметно зависит от механических свойств материалов и от толщины слоев, откуда следует что нецелесообразно пренебрегать деформациями поперечного сдвига для достижения высокой точности определения напряженнодеформированного состояния конструкций.
Таким образом, можно констатировать, что учет явления разносопротивляемости материалов при определении напряженно-деформированного состояния элементов различных конструкций в виде многослойных пластин средней толщины различной геометрической конфигурации, с учетом больших прогибов и поперечных сдвигов, является актуальной задачей, как в научном, так и в прикладном плане.
Целью диссертационной работы является построение в рамках подхода, связанного с нормированным пространством напряжений, обобщенной модели деформирования слоистых пластин средней толщины, составленных из анизотропных материалов, свойства которых зависят от вида напряженного состояния, а также решение ряда прикладных задач упругого деформирования пластин с учетом поперечного сдвига в геометрически нелинейной постановке.
Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Выбрать наиболее точную модель для описания определения напряженнодеформированного состояния анизотропных сред, деформирование которых зависит от вида напряженного состояния в рамках подхода связанного с нормированными пространствами.
2. Выполнить сравнение принятой модели деформирования анизотропных разносопротивляющихся материалов и наиболее известных моделей с экспериментальными диаграммами по деформированию этих материалов.
3. На основе выбранной модели, построить математическую модель определения напряженно-деформированного состояния прямоугольных и круглых трехслойных пластин средней толщины с учетом больших прогибов и поперечных сдвигов, в условиях воздействия поперечной равномерно распределенной нагрузки;
4. Выбрать методы решения поставленной прикладной задачи и разработать алгоритм ее реализации на ЭВМ. Разработать соответствующий пакет прикладных программ.
5. Решить ряд прикладных задач по упругому деформированию трехслойных пластин с учетом поперечного сдвига при различных видах закрепления, сравнить полученные результаты с аналогичными, полученными на основе других моделей.
6. Проанализировать полученные результаты и выработать рекомендации по расчету элементов конструкций из материалов, чувствительных к виду напряженного состояния.
Объект исследования - трехслойные круглые и прямоугольные пластины средней толщины, жестко защемленные либо свободно опертые по контуру, работающие в условиях воздействия поперечной равномерно распределенной нагрузки с учетом больших прогибов.
Предмет исследования - новые оценки напряженно-деформированного состояния прямоугольных и круглых трехслойных пластин средней толщины с учетом больших прогибов.
Методы исследования, использованные в диссертационной работе:
Х общепринятые, строго обоснованные допущения и гипотезы теории расчета пластин при больших прогибах, базирующиеся на фундаментальных законах механики деформируемого твердого тела;
Х метод конечных разностей для построения дискретной модели прямоугольной и круглой пластин и проведения деформационного расчета;
Х двухшаговый метод последовательных возмущений параметров В.В. Петрова.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Х уравнения, описывающие упругое деформирование трехслойных круглой и прямоугольной пластин средней толщины при больших прогибах, с учетом поперечных сдвигов, выполненных из анизотропных материалов чувствительных к виду напряженного состояния;
Х вариант двухшагового метода последовательных возмущений параметров В.В. Петрова для решения задачи определения напряженно-деформированного состояния трехслойных пластин средней толщины с учетом поперечного сдвига, выполненных из анизотропных материалов чувствительных к виду напряженного состояния, с учетом геометрической нелинейности и его программная реализация Х полученные результаты расчетов, выявляющие новые эффекты деформирования трехслойных пластин, связанные с явлением разносопротивляемости анизотропных материалов и учетом конечной трансверсальной сдвиговой жесткости.
Достоверность представленных научных положений и выводов подтверждается получением теоретических результатов строгими математическими методами, основанными на фундаментальных положениях механики деформируемого твердого тела, решением тестовых задач, хорошим соответствием принятых уравнений состояния экспериментальным диаграммам деформирования, сравнением расчетных данных с результатами исследований на основе иных подходов.
Используемые определяющие соотношения исследовались на примере ряда анизотропных разносопротивляющихся материалов на предмет соответствия диаграмм деформирования полученных экспериментальным путем с теоретическими диаграммами, полученными с использованием указанных определяющих соотношений. Причем принятые соотношения более точно описывают экспериментальные диаграммы деформирования этих материалов, чем известные ранее модели.
Математическая модель решения задачи изгиба прямоугольных и круглых пластин средней толщины из материалов, обладающих чувствительностью к виду напряженного состояния, построена на основе традиционных зависимостей статико-геометрической природы с использованием общеизвестных гипотез. Данная модель реализована численно методом конечных разностей, все численные расчеты выполнены на ЭВМ, при этом полученные результаты апробированы сравнением с ранее известными моделями.
Практическая значимость работы, выполненной в рамках госбюджетной НИР ТуГУ № 27.06 "Актуальные проблемы технологии строительных материалов и проектирования конструкций", заключается в следующих результатах:
Х разработана математическая модель, позволяющая исследовать напряженнодеформированное состояние трехслойных пластин, выполненных из анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния, в процессе сопротивления воздействию внешних механических нагрузок;
Х разработан пакет прикладных программ, обеспечивающий возможность моделирования и исследования напряженно-деформированного состояния пластин средней толщины из анизотропных материалов, обладающих чувствительностью к виду напряженного состояния, в широком диапазоне изменения механических характеристик и силовых факторов;
Х результаты данной работы могут быть использованы для проектных расчетов и для экспертизы остаточного ресурса элементов слоистых конструкций, выполненных из различных конструкционных материалов обладающих неклассическими свойствами;
Х материалы диссертационной работы могут использоваться в теоретических курсах для студентов, обучающихся по направлению Строительство.
Внедрение результатов работы осуществлено в организациях: ООО Строительное проектирование (г. Тула), ОАО ТУЛАОБЛГАЗ (г. Тула). Программный продукт используется указанными предприятиями для экспертизы ресурса прочности конструкций при проведении проектных работ, НИР и ОКР.
Использование результатов работы подтверждено актами о внедрении.
Апробация работы. Основные материалы диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на международных и всероссийских конференциях:
Х IV молодежная научно-техническая конференция студентов Тульского государственного университета Молодежные инновации, Тула, ТуГУ, 2010 г.
Х XIV Международная научно-практическая конференция "Современные технологии в машиностроении", Пенза, Приволжский Дом знаний, 2010 г.
Х Международная научно-практическая конференция "Проблемы современного строительства", Пенза, Приволжский Дом знаний, 2010 г.
Х XII Международная научно-техническая конференция Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии, Тула, ТуГУ, 2011 г.
Х XII Международная научная конференция Новые идеи нового века ФАД ТОГУ, Хабаровск, Тихоокеанский государственный университет, 2012 г.
По результатам всех перечисленных конференций опубликованы тезисы и доклады.
В полном объеме диссертация докладывалась на расширенном заседании кафедры ССМиК Тульского государственного университета 2 апреля 2012 года, 31 января 2012 года на научном семинаре по МДТТ при ГОУ ВПО Тверской государственный технический университет, под руководством председателя совета доктора техн. наук, профессора В.Г. Зубчанинова, а также 14 марта 2012 года на научном семинаре по МДТТ им. Л.А. Толоконникова при ГОУ ВПО Тульский государственный университет, под руководством председателя совета доктора физ.-мат. наук, профессора А.А. Маркина.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 8 печатных работы. Основное содержание диссертации отражено в 8 публикациях, в том числе 3 работы в изданиях рекомендуемых ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы из 121 наименований и приложения. Диссертация содержит 117 страниц основного текста, в том числе 22 рисунка и приложение на 49 страницах, содержащего результаты и текст программы расчета круглой многослойной пластины, документы о внедрении. Общий объем работы - 166 страниц.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается важность и актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, отмечена научная новизна работы, представлены достоверность и практическая ценность полученных результатов, дается краткое содержание разделов работы и краткая характеристика в целом диссертации.
В первом разделе приводится обзор основных направлений в моделировании свойств анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния, а также в описании напряженно-деформированного состояния многослойных пластин.
Первую группу составляют модели, в основу которых положена зависимость механических характеристик материала от знаков возникающих напряжений или развивающихся деформаций. В рамках данной модели выделены определяющие соотношения, предложенные в работах С.А. Амбарцумяна, А.А. Хачатряна, М.С. Саркисян, Р.М. Джонса, К.В. Берта, Ф. Табаддора, В.В. Петрова, И.Г. Овчинникова и других.
Вторая группа моделей определяет жесткость материалов в зависимости от непрерывных функций вида напряженного состояния, и базируется на работах Н.М. Матченко, А.А. Трещева, Е.В. Ломакина, А.А. Золочевского, А.В. Березина, П.Л. Пономарева, П.В. Божанова и других. В качестве функций, зависящих от вида напряженного состояния, указанные авторы использовали нормированные напряжения, отношение средних напряжений к интенсивности напряжений, эквивалентное напряжение.
Экспериментальные исследования, связанные с деформированием анизотропных материалов проводились В.Г. Зубчаниновым, Н.Л. Охлопковым, А.В. Березиным, В.И. Строковым, Г.С. Писаренко, Е.В. Ломакиным, К.Н. Русинко, В.А. Паняевым, М.Я. Леоновым, Р.М. Джонсом, Д.А.Р. Нельсоном.
Отмечено, что большинство известных определяющих соотношений для анизотропных разносопротивляющихся материалов имеют ряд недостатков, таких как Х не учет влияния сложных видов напряженного состояния при определении жесткости материала;
Х привлечение к расчету кусочных и непотенциальных зависимостей;
Х большое количество констант, входящих в определяющие соотношения;
Х наличие ограничений, накладываемых на некоррелируемые константы материалов;
Х узкая область устойчивости потенциалов деформаций или напряжений.
Возрастающее использование трехслойных пластин и оболочек во многих отраслях промышленности (например, пластин типа сэндвич или ламинат в строительстве) требует теоретически обоснованного предсказания механического поведения этих конструктивных элементов. Начиная с основополагающих работ Рейсснера, были разработаны различные теории многослойных пластин и оболочек, ориентированные на применение в инженерной практике.
Существенный вклад в развитие теории слоистых конструкций внесли А.Я. Александров, С.А Амбарцумян, В.В. Болотин, К.З. Галимов, Э.И. Григолюк, Я.М. Григоренко, Х.М. Муштари, В.В. Пикуль, А.А. Маркин и др.
Материалы, из которых изготавливаются многослойные элементы конструкций, могут быть как однородными, так и неоднородными. Главная особенность таких конструкций - неоднородное распределение механических свойств, а значит напряжений и деформаций по толщине.
Анализируя известные исследования НДС трехслойных пластин и оболочек, можно сделать вывод о том, что теории, построенные на гипотезах С.П. Тимошенко и Е. Рейсснера, имеют ряд принципиальных преимуществ по сравнению с классическим подходом, основанным на теории Кирхгофа-Лява.
Во втором разделе рассматривается вариант определяющих соотношений структурно анизотропных упругих материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Использованный подход основан на инвариантах тензора напряжений, связанных с нормированным пространством напряжений Матченко-Трещева.
Напряженное состояние в точке анизотропного деформируемого тела в нормированном пространстве главных напряжений количественно предложено определить модулем вектора полного напряжения S = k, а качественно - косинусами направляющих углов k k = cos k, которые связаны условием нормировки k k =1, где k = 1,2,3.
Модуль вектора S можно рассматривать как норму векторного пространства главных напряжений, а направляющие косинусы k - как главные нормированные напряжения.
При переходе от главных осей к произвольной ортогональной системе координат имеем следующие зависимости S = ij ij ; ij = ij / S ; ij ij = 1. (1) На базе введенных количественной и качественных характеристик напряженного состояния в работах Н.М. Матченко, З.В. Аркания и А.А. Трещева определяющие соотношения для анизотропных разносопротивляющихся материалов было предложено формулировать в виде потенциала деформаций W = A(ij )S2, где A(ij) - степенной полином от нормированных напряжений бij, конкретизация которого производится в зависимости от вида структурной анизотропии.
В этих работах для удобства выполнения тензорных преобразований рекомендовано отойти от общепринятых обозначений напряжений ij и деформаций eij, представив их в девятимерном пространстве с координатами S1 = 11; S2 = 22 ; S3 = 33 ; S4 = 23 ;
S5 = 31; S6 = 12 ; S7 = 32 ; S8 = 13 ; S9 = 21. (2) При определении функции A(k ) рассмотрены два уровня точности, первый из которых ограничен полиномом второй степени A(k ) = a0 + akk + akmkm / 2 ; W = BkSkS + BkmSkSm / 2 ; (3) а второй уровень - полиномом третьей степени A(k ) = a0 + akk + akmkm / 2 + akmnkmn / 3;
W = BkmSkSm / 2 + BkmnSkSmSn / 3S ; (4) где S = (SkSk )1/2 ; k = Sk / S ; kk =1; (k,m,n = 1,2,Е,9).
Соотношения (3), (4) обобщают ряд известных уравнений состояния. Однако, как показали исследования, первый уровень точности потенциала деформаций (3) приводит к грубым ограничениям на механические характеристики материалов, а второй уровень соотношений (4) зависит от большого количества констант, подлежащих экспериментальному определению и требующих привлечения опытов по сложному напряженному состоянию.
В произвольной ортогональной системе координат закон упругости для анизотропного разносопротивляющегося материала при линейной аппроксимации диаграмм деформирования примем в виде, предложенным Трещевым А.А.
eij = Cijkm(ij )km ; (i,j,k,m=1,2,3); (5) где Ckkkk = Akkkk + Bkkkkkk ; Ciijj = Aiijj + Biijj (ii + ) ; ij; (здесь и далее по индексам не сумjj мировать);
Ciiij = Aiiij + Biiij (ii + 2ij ) ; Cijij = Aijij + Bijij 2ij ; ij;
Ciijk = Aiijk + Biijk (ii + 2 ) ; jk;
jk Cijkm = Aijkm + Bijkm 2(ij +km) ; ij; km; Cijkm = Ckmij ;
Aijkm, Bijkm - компоненты тензоров четвертого ранга, определяющие физико-механические характеристики материалов из простейших экспериментов (в общем случае число независимых констант равно 42);
Рассмотрены традиционные формы структурной организации анизотропных материалов.
Для оценки непротиворечивости предложенных зависимостей было проведено исследование устойчивости определяющих соотношений в малом по Друккеру. В результате установлена область ограничений на механические характеристики материалов, вытекающих из условия единственности решения. Физико-механические характеристики всех исследуемых в работе материалов укладывались в рамки данных ограничений.
Для определения констант принятых определяющих соотношений ортотропного и трансверсально изотропного тела достаточно простейших опытов по одноосному растяжению и сжатию в направлении главных осей анизотропии и под углом 45О к ним в плоскостях упругой симметрии данного материала.
Проведя испытание стандартных образцов ортотропного материала на одноосное растяжение и сжатие поочередно вдоль материальных осей x1, x2, x3 и под углом 45О к ним, получено + - + Akkkk = (1/ Ek +1/ Ek ) / 2; Bkkkk = (1/ Ek -1/ Ek ) / 2;
+ - + Aiijj = -(ij / E+ +ij / E-) / 2; Biijj = -(ij / E+ -ij / E-) / 2;
j j j j + Aijij = (1/ Eij +1/ Eij ) - 0,25[(1/ Ei+ +1/ E+ + j + +1/ Ei- +1/ E- - 2( / Ei+ + / Ei-)]; (6) j ji ji + Bijij = 2(1 / Eij -1 / Eij ) - 0,125 2[(1 / Ei+ +1/ E+ -1 / Ei- - j + -1/ E-) - 4( / Ei+ - / Ei-)];
j ji ji где Ei, ij - модули упругости и коэффициенты поперечной деформации в направлениях со ответствующих главных осей анизотропии; Eij - модули деформации в направлениях под углом 45О к соответствующим главным осям анизотропии.
Следует заметить, что результаты экспериментов могут представляться с использованием различных вариантов набора констант. Если вместо данных экспериментов по одноосному растяжению и сжатию под углом 45О к направлениям главных осей анизотропии имеются результаты испытаний на сдвиг в главных плоскостях x1x2, x2x3, x1x3, то уравнения состояния для ортотропных материалов, связывающие касательные напряжения с деформациями сдвига можно упростить, представив следующим образом eij = Cijijij ; где Cijij =1/ 2Gij ; (i,j=1,2,3; ij); (7) (по индексам не суммировать).
Обоснование уравнений состояния также выполнялось путем сравнения экспериментальных диаграмм пропорционального деформирования ортотропного материала (стеклоткань - эпоксидная смола и графита AVCO Mod 3a) в направлении главных осей анизотропии и под углом 22,50, 450 к ним с теоретически предсказанными по моделям А.А. Трещева, С.А. Амбарцумяна и Р.М. Джонса-Д.А.Р. Нельсона. При определении констант за основу были приняты данные экспериментов по одноосному растяжению, сжатию контрольных образцов вдоль главных осей анизотропии и результаты испытаний на чистый сдвиг в главных плоскостях анизотропии. Коэффициенты анизотропии при повороте осей координат вычисляются по обычным формулам преобразования компонентов тензора четвертого ранга, кроме этого пересчету подлежат нормированные напряжения.
Результаты, полученные согласно использованным зависимостям, хорошо согласуются с аналогичными экспериментальными данными. Это подтверждает адекватность принятой модели анизотропных разносопротивляющихся сред реальным состояниям материала.
В третьем разделе на основе принятого варианта определяющих соотношений разработана общая методика решения задач упругого деформирования трехслойных пластин из анизотропных разносопротивляющихся материалов с учетом влияния поперечного сдвига. Решены задачи о поперечном изгибе круглой, и прямоугольной пластин при различных видах опирания.
Детально рассмотрена постановка задач, описана численная реализация и особенности расчета. Проведен анализ расчетов.
НДС прямоугольных пластин средней толщины Рассмотрим упругое равновесие прямоугольной трехслойной пластины, отнесенной к декартовой системе координат (см. рис. 1). Внешние слои пластины одинаковы по своим свойствам и при этом в произвольной точке каждого слоя одна из плоскостей упругой симметрии параллельна срединной плоскости, а остальные две перпендикулярны к координатным линиям x1 = const, x2 = const. Примем, что пластина нагружена нормально приложенной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q. Вертикальную ось x3 в сторону прогибов.
Рис. 1. Схема пластины При решении поставленной задачи для всего пакета слоев в целом введены традиционные для данного класса задач технические гипотезы:
1) нормальное к срединной плоскости перемещение w не зависит от координаты x3 (e3 = 0) ;
2) нормаль к срединной плоскости после деформации поворачивается на угол 1 относительно оси x1 и на угол относительно оси x2 ;
3) при определении параметров напряженного состояния влиянием нормальных напряжений 3 пренебрегаем.
Деформированное состояние пластин определим компонентами перемещений точек срединной поверхности u, u, u = w.
1 2 Компоненты тензора деформаций выразятся через параметры деформации и криij визны ij срединной поверхности (i, j = 1, 2) согласно общим формулам eij = ij + x3ij. (8) Здесь рассматривается геометрически нелинейная задача изгиба слоистой пластины в декартовой системе координат при величинах максимальных прогибов порядка толщины этой пластины. Таким образом, точность рассматриваемой теории ограничим рамками геометрических соотношений Т. Кармана. Применительно к конкретным условиям задачи деформации и кривизны срединной поверхности запишем следующим образом:
ij = ui, + uj,i + w,i w,. (9) ( ) j j Выражения для деформаций с учетом принятых гипотез представим в виде 1 e11 = u1,1 + (w,1 )2 - x3,1, e22 = u2,2 + (w,2 )2 - x31,2, (10) 2 12 = u1,2 +u2,1 +w,1 w,2 -x3(1,1 +,2 ), 13 = + w,1, =1 + w,2.
2 2 Для конкретизации структурной анизотропии материала пластин примем ортотропное тело. Тогда общие уравнения упругости для ортотропного разносопротивляющегося материала примем в соответствии с указанными выше гипотезами:
e11 C1111 C1122 0 0 0 e C C2222 0 0 0 22 1122 e = 0 0 C1313 0 0 , (11) 13 e 0 0 0 C2323 23 0 0 0 0 C1212 12 e12 где константы Ciijj имеют следующий вид:
C1111 = A1111 + B111111; C1122 = A1122 + B1122(11 +22) ;C2222 = A2222 + B222222 ;
C1212 = (A1212 + B1212 212)12 ; C1313 = (A1313 + B1313 213)13 ; C2323 = (A2323 + B2323 223)23, где ij ij = /S.
При этом физические константы Aijkm, Bijkm для ортотропного тела вычисляются по данным опытов на простое растяжение и сжатие вдоль главных осей ортотропии как показано в разделе 2.
Дифференциальные уравнения равновесия для пластины примем в традиционной для данного класса задач форме:
N11,1 +N12,2 = 0; N22,2 +N12,1 = 0;
Q1,1 +Q2,2 +N11,1 w,11 +N12,2 w,12 +N12,1 w,12 +N22,2 w,22 = -q; (12) M11,1 +M12,2 -Q1 = 0; M22,2 +M12,1 -Q2 = 0.
Решаемая задача изгиба пластинки имеет нелинейность двоякого характера, вследствие чего появляются определенные трудности при решении ее конечных разрешающих дифференциальных уравнений. Для решения поставленной задачи используется методика последовательных нагружений, предложенную В.З.Власовым и в последующем усовершенствованную В.В.Петровым в форме двухшагового метода последовательных возмущений параметров.
Проведем лианеризацию с одновременным построением разрешающих уравнений.
Пусть некоторое деформированное состояние пластинки будет начальным, а искомые функции ui,w, будут определены на заданном уровне нагружения. Рассмотрим состояние, соответствующее некоторому малому возмущению нагрузки q + q, которой будут соответствовать малые возмущения искомых функций w + w, ui + ui и 1 + 1,2 + 2.
Опуская очевидные преобразования сразу выпишем уравнения статики в приращениях:
N11,1 + N12,2 = 0;
N22,2 + N12,1 = 0;
M11,1 + M12,2 -Q1 = 0;
(13) M22,2 + M12,1 -Q2 = 0;
Q1,1 +Q2,2 + N11,1 w,11 + N22,2 w,22 + w,11 N11,+ w,22 N22,2 + N12,2 w,12 + N12,1 w,12 + w,12 N12,2 +N12,1 w,12 = - q.
Для получения значений приращений внутренних усилий и собственно величин внутренних усилий на первоначальном этапе необходимо записать исходные геометрические соотношения в приращениях по вышеописанной методике, соответственно получим:
e11 = u1,1 +w,1 w,1 -x3(,1 ), e22 = u2,2 +w,2 w,2 -x3(1,2 ), 12 = u1,2 +u2,1 +w,1 w,2 +w,2 w,1 + w,1 w,2 -x3(1,1 +,2 ), (14) 13 = + w,1 ;
= 1 + w,2.
Представим выражения приращений деформаций для прямоугольной пластинки через приращения напряжений рядом Тейлора и удержим все члены не выше первого порядка малости:
e11 e11 e11 e11 e+ 12 + 13 + e11 = 11 11 + 22 12 13 23 e22 e22 e22 e22 e e22 = 11 + 22 + 12 + 13 + 11 22 12 13 e12 e12 e12 e12 e e12 = 11 + + 12 + 13 + 23, (15) 11 22 22 12 13 e13 e13 e13 e13 e e13 = 11 + 22 + 12 + 13 + 11 22 12 13 e23 e23 e23 e23 e e23 = 11 + + 12 + 13 + 11 22 22 12 13 или e11 = P111111 + P112222 + P111212 + P111313 + P1123 e22 = P221111 + P222222 + P221212 + P221313 + P2223 e12 = P121111 + P122222 + P121212 + P121313 + P122323. (16) e13 = P131111 + P132222 + P131212 + P131313 + P1323 e23 = P231111 + P232222 + P231212 + P231313 + P2323eij где = Pijkm (i, j,k,m = 1,2,3).
kl Обращая указанные выражения получим:
- = Cijkm Pijkm 11 = C1111 e11 + C1122 e22 + C1112 e12 + C1113 e13 + C1123 e22 = C2211 e11 + C2222 e22 + C2212 e12 + C2213 e13 + C2223 e23. (17) 12 = C1211 e11 + C1222 e22 + C1212 e12 + C1213 e13 + C1223 e13 = C1311 e11 + C1322 e22 + C1312 e12 + C1313 e13 + C1323 e23 = C2311 e11 + C2322 e22 + C2312 e12 + C2313 e13 + C2323 eПриращения внутренних сил и моментов определяют традиционным образом, интегрируя выражения для приращений напряжений по толщине пластины, т.е. получим выражения для приращений усилий:
h / 2 h / 2 h / N11 = 11dx3; N22 = 22dx3; N12 = 12dx3;
-h / 2 -h / 2 -h / h / 2 h / Q1 = k 3dx3; Q2 = k 3dx3; (18) -h / 2 -h / h / 2 h / 2 h / M11 = 11x3dx3; M22 = 22x3dx3; M12 = 12x3dx3.
-h / 2 -h / 2 -h / Вычислив (18), учитывая (14) и подставив в (13) получим конечную линеаризованную систему разрешающих дифференциальных уравнений в приращениях перемещений.
Окончательно система разрешающих уравнений имеет следующий вид:
1 u1,11 D1111 + u1,22 D1212 + u2,12 D1122 + u2,12 D1212 -1,12 G1122 - 1,12 G1212 2 -,11 G1111 -,22 G1212 = F1( w,u1,u2,1,, w,u1,u2,1, ), 2 2 2 1 u1,22 D2222 + u1,11 D1212 + u2,12 D1122 + u2,12 D1212 - 1,22 G2222 -1,11 G1212 2 -,12 G1122 -,12 G1212 = F2( w,u1,u2,1,, w,u1,u2,1, ), 2 2 2 1 - w,1 D1313 + u1,11 G1111 + u1,22 G1212 + u2,12 G1122 + u2,12 G1212 2 -1,12 K1122 - 1,12 K1212 - ,11 K1111 - ,22 K1212 - D1313 = (19) 2 2 = F3( w,u1,u2,1,, w,u1,u2,1, ), 2 1 - w,2 D1313 + u1,22 G2222 + u1,11 G1212 + u2,12 G1122 + u2,12 G1212 2 -,12 K1122 - ,12 K1212 -1,22 K2222 - 2 -1,11 K1212 - 1D1313 = F4( w,u1,u2,1,, w,u1,u2,1, ), 2 1 w,11 D1313 + w,22 D2323 + 1,2 D2323 + ,1 D1313 - q = 2 = F5( w,u1,u2,1,, w,u1,u2,1, ), 2 где h / Dijkm x1, x2 = Cijkm x1, x2, x3 dx( ) ( ) -h / h / Gijkm x1, x2 = Cijkm x1, x2, x3 x3dx3.
( ) ( ) -h / h / Kijkm x1, x2 = Cijkm x1, x2, x3 x3dx( ) ( ) -h / Правые части Fi( w,u1,u2,1,2,w,u1,u2,1, ) уравнений (19) имеют весьма громоздкий вид, поэтому в тексте автореферата не приводятся.
Для полноты системы разрешающих уравнений (19) необходимо задать граничные условия. В частности для жесткого опирания они примут вид ui = 0 ; i = 0; w = 0 и соответственно в приращениях ui = 0; i = 0 ; w = 0, а для шарнирного опирания ui = 0 ; Mii = 0 ;
w = 0 и соответственно в приращениях ui = 0; Mii = 0 ; w = 0.
Начальные или накопленные к следующему этапу нагружения параметры системы обозначены буквами w,u1,u2,1,, а w,u1,u2,1,2 - текущие приращения, полученные за очередной этап нагружения.
Вид переменных коэффициентов Dijkm, Qijkm, Kijkm входящих в систему уравнений определяет НДС пластины, накопленное к рассматриваемому этапу расчета. В отличие от традиционного двухшагового метода последовательных возмущений параметров, для повышения точности решения исходной задачи с учетом геометрической и физической нелинейности, на первом шаге нагружения после решения классической задачи необходимо учесть влияние разносопротивляемости материала пластинки на ее НДС. Для решения этой задачи на первом шаге необходимо решить задачу о малом изгибе пластины с учетом лишь физической нелинейности по методу лупругих решений А.А. Ильюшина. Решение полученной системы разрешающих дифференциальных уравнений в приращениях (19) проводится численным методом - методом конечных разностей.
Решение линеаризованных уравнений в конечно-разностной форме проводится в два этапа: на первом шаге решается задача изгиба пластинки при малых прогибах по методу упругих решений А.А. Ильюшина с учетом лишь физической нелинейности, а на втором - по двух шаговому методу последовательных возмущений параметров В.В. Петрова с учетом нелинейностей двух видов.
Для апробации описанного выше подхода была решена модельная задача об изгибе жестко защемленной ортотропной пластины из слоистого композита (см. рис.1). Обкладки пластины выполнены из стеклопластика, а средняя часть пластины из графита марки ATJ-S (см.
табл. 1, 2). Размеры в плане пластины 0,4x0,4 м; толщина пластины 0,06 м, толщина обкладок 0,01 м; равномерно распределенная нагрузка принималась от 0 до 650 кПа.
Таблица Константы Материал Е Е Е Е Е 1+ 2+ 3+ 12+ 12Е Е Е 1-МПа 2-МПа 3-МПа МПа МПа МПа МПа МПа Стекло140000 70000 280000 140000 140000 70000 170000 8750пластик Графит 11850 10480 11850 10480 9450 7950 11040 93ATJ-S Таблица Константы + - - + - Материал Е Е 12 12 13 13 23 13+ 13- МПа МПа МПа МПа МПа МПа МПа МПа Стекло170000 875000 0,2 0,3 0,2 0,3 0,2 0,пластик Графит 11040 9315 0,1 0,09 0,1 0,09 0,1 0,ATJ-S Для решения задачи разработан пакет прикладных программ на базе системы MATLAB R2009.
Было проведено сравнение полученных результатов с данными классической теории, причем разница по величинам перемещений составляла для различных величин нагрузки от до 25 %. Для силовых факторов, в том числе моментов, разница колебалась в пределах от 6 до 40 %, и до 70 % процентов для максимальных напряжений.
На рис. 2-3 показаны графики изменения некоторых параметров напряженнодеформированного состояния пластины.
Величина прогиба W в центре плана пластины 0.0.0.0.0.Расчет по предлагаемой модели Классическая теория анизотропии без учета поперечных сдвигов 0.С.А. Амбарцумян Д.В. Берт / Р.М. Джонс 0 1 2 3 4 5 Величина нагрузки, Па x Рис. 2. Изменение прогиба W, м в центре пластины в зависимости от величины нагрузки Напряжения вдоль диагонали пластины сверху 7 xx x Расчет по предлагаемой модели Классическая теория анизотропии без учета поперечных сдвигов С.А. Амбарцумян Р.М. Джонс - Д.А.Р. Нельсон ------0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.Расстояние вдоль диагонали пластины, м Рис. 3. Распределение напряжений , (сверху), Па вдоль диагонали пластины x x W, м, Па xx НДС круглых прямоугольных пластин средней толщины Аналогично приведенному выше, строятся разрешающие уравнения для определения напряженно-деформированного состояния круглой пластины в цилиндрической системе координат.
Решалась следующая прикладная задача об изгибе круглой пластины. Обкладки выполнены из стеклопластика, а средняя часть пластины из графита марки ATJ-S (см. табл. 1, 2).
Радиус пластины 0,2 м; толщина пластины 0,06 м; толщина обкладок 0,0125 м; равномерно распределенная нагрузка принималась от 0 до 2 МПа.
Было проведено сравнение полученных результатов с данными классической теории, причем разница по величинам перемещений составляла для различных величин нагрузки от до 20 %. Для силовых факторов, в том числе моментов, разница колебалась в пределах от до 10 %, и до 60 % процентов для максимальных напряжений.
На рис. 4 показан график изменения вертикальных прогибов в зависимости от приложенной равномерно распределенной нагрузки по предлагаемой модели.
Величина прогиба W в центре плана пластины 0.0.0.0.0.Расчет по предлагаемой модели Классическая теория анизотропии без учета поперечных сдвигов 0.С.А. Амбарцумян Д.В. Берт / Р.М. Джонс 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Величина нагрузки, Па x Рис. 4. Зависимость величины прогиба в центре пластины от величины равномерно распределенной нагрузки Проведенные исследования напряженно-деформированного состояния трехслойной пластины из анизотропного материала показали, что пренебрегать учетом явления разносопротивляемости при расчете многослойных пластин в условиях больших прогибов на поперечный изгиб нельзя, так как это может привести к значительным погрешностям в определении параметров напряженно-деформированного состояния.
Разработанные методики расчета приобретают особую актуальность в связи с широким распространением анизотропных разносопротивляющихся материалов в строительных конструкциях, авиастроении и технологическом оборудовании и в отсутствии надежной теории для расчета таких материалов.
Результаты диссертации статьи могут быть полезны для специалистов в области прогнозирования поведения конструкций, а также для выполнения проектировочных и проверочных расчетов.
В заключении приведены основные результаты и выводы по работе.
W, м В приложениях представлен графический материал как результат выполненных расчетов, листинг разработанной программы для реализации этих расчетов, а также акты внедрения.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1. Проведенные исследования позволили получить новое решение научно-технической задачи механики деформируемого твердого тела, заключающееся в разработке математической модели и программного комплекса, ориентированных на решение задач по исследованию напряженно-деформированного состояния слоистых пластин, выполненных из анизотропных разносопротивляющихся материалов, с учетом больших перемещений. Получены решения для трехслойных пластин различной геометрической конфигурации, которыми подтверждено наличие известных фактов и обнаружены новые эффекты деформирования. В частности показано, что совместный учет поперечных сдвигов и явления разносопротивляемости оказывает существенное влияние на работу многослойных элементов конструкций, что свидетельствует о необходимости учета указанных неклассических свойств материала и конструкций при проведении расчетов любых видов.
2. В рамках методики нормированных пространств напряжений, предложенных в работах Н.М. Матченко, Л.А.Толоконникова и А.А.Трещева, на основе определяющих соотношений предложенных А.А. Трещевым, построена математическая модель для описания НДС слоистых пластин из анизотропных разносопротивляющихся материалов. Указанные определяющие соотношения исследованы на предмет соответствия экспериментальным данным. Проведены сравнения теоретических диаграмм деформирования для ряда известных моделей, в частности С.А. Амбарцумяна, Р.М. Джонса - Д.А.Р. Нельсона с определяющими соотношения предложенными А.А. Трещевым и данными экспериментов. Показано, что принятые соотношения более точно описывают экспериментальные диаграммы деформирования, чем известные ранее модели.
3. Получены разрешающие уравнения для расчета НДС для круглой и прямоугольной трехслойных пластин из 2-х различных по своим физико-механическим свойствам материалов в условиях воздействия поперечной равномерно распределенной нагрузки.
4. Разработан алгоритм численного решения полученных систем дифференциальных уравнений на базе двухшагового метода последовательных возмущений параметров В.В. Петрова. Алгоритм реализован в виде программного комплекса в среде Matlab R2011a.
5. С использованием разработанного программного обеспечения решены следующие задачи по определению характеристик НДС:
- жестко защемленной по контуру и шарнирно опертой трехслойной квадратной пластины из ортотропных материалов: графита ATJ-S с внешними прокладками из стеклопластика под действием равномерно распределенной нагрузки, с учетом больших перемещений. Результаты расчета показали, что за счет учета эффекта разносопротивляемости и поперечных сдвигов удалось получить уточнение результатов, по сравнению с классической теорией и другими известными моделями в среднем до 25% для перемещений и углов поворота сечений и до 70% для максимальных напряжений;
- жестко защемленной по контуру и шарнирно опертой трехслойной круглой пластины из ортотропных материалов: графита ATJ-S с внешними прокладками из стеклопластика по действием равномерно распределенной нагрузки, с учетом больших перемещений. Уточнение результатов составило, по сравнению с классической теорией и другими известными моделями в среднем до 20% для перемещений и углов поворота сечений и до 60% для максимальных напряжений.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ (публикации в изданиях, включенных в перечень ВАК российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук):
1. Васильев Н.В., Трещёв А.А., Теличко В.Г. Моделирование напряженнодеформированного состояния гибких слоистых пластин из анизотропных разносопротивляющихся материалов с учетом геометрической нелинейности // Известия ТуГУ. Технические науки. Вып. 2. Проблемы специального машиностроения. Тула: Издво ТуГУ, 2011. - с. 541-547.
2. Васильев Н.В., Трещев А.А. Расчет напряженно-деформированного состояния трехслойной гибкой пластины из анизотропного разнсопротивляющегося материала с учетом больших прогибов // Строительная механика и расчет сооружений. Научнотехнический журнал №6(239). М.: ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко, 2011. - с. 42-48.
3. Васильев Н.В., Трещёв А.А. Расчет напряженно-деформированного состояния трехслойной гибкой пластины из анизотропных разносопротивляющихся материалов с учетом больших прогибов // Известия ТуГУ. Технические науки. Вып. 2. Тула: Изд-во ТуГУ, 2012. - с. 179-188.
(публикации в остальных изданиях):
4. Васильев Н.В., Трещёв А.А. Напряженно-деформированное состояние гибких слоистых пластин из анизотропных, разносопротивляющихся материалов // IV-я молодежная научнотехническая конференция студентов Тульского государственного университета Молодежные инновации: сборник докладов. Часть 2 / под общей редакцией д-ра техн. наук, проф.
Ядыкина Е.А. - Тула: Изд-во ТуГУ, 2010. - с. 33-35.
5. Васильев Н.В., Трещёв А.А. К расчету гибких слоистых пластин из анизотропных, разносопротивляющихся материалов // Современные технологии в машиностроении: сборник статей XIV Международной научно-практиктической конференции. - Пенза: Приволжский Дом знаний, 2010. - с. 271-272.
6. Васильев Н.В., Трещёв А.А. Поперечный изгиб гибких трехслойных пластин из анизотропных разносопротивляющихся материалов с учетом геометрической нелинейности // Проблемы современного строительства: сборник статей международной научно-практической конференции. - Пенза: Приволжский Дом знаний, 2011. - с. 33-37.
7. Васильев Н.В. К расчету гибких слоистых пластин из анизотропных, разносопротивляющихся материалов // XII Международная научно-техническая конференция с заочным участием Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии, Тула: Изд-во ТуГУ, 2011. - с. 5-6.
8. Васильев Н.В., Трещёв А.А. Расчет напряженно-деформированного состояния трехслойной гибкой пластины из анизотропных разносопротивляющихся материалов // Новые идеи нового века - 2012 : материалы двенадцатой международной научной конференции ФАД ТОГУ: в 2 т. / Тихоокеанский государственный университет. - Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2012. - Т. 2. - с. 148-153.
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям