Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
ЦАРЕВ Андрей Валерьевич
Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторно делимые группы
01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва - 2009
Работа выполнена на кафедре алгебры математического факультета Московского педагогического государственного университета
Научный консультант:
доктор физико-математических наук, профессор ФОМИН Александр Александрович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор КРЫЛОВ Петр Андреевич доктор физико-математических наук, профессор МИХАЛЕВ Александр Васильевич доктор физико-математических наук, профессор ТУГАНБАЕВ Аскар Аканович
Ведущая организация:
Санкт-Петербургский государственный университет
Защита состоится 5 апреля 2010 года в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. 108.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. М. Пироговская, д. 1.
Автореферат разослан 2009 г.
Ученый секретарь диссертационного совета О. В. Муравьева
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. На начальном этапе изучение абелевых групп шло в рамках общей теории групп, однако, самобытность применяемых здесь методов привела во второй половине XX века к выделению теории абелевых групп в самостоятельную ветвь алгебры.
Замечателен тот факт, что любая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел, что сближает теорию абелевых групп с теорией модулей, являясь для последней источником аналогий. Отметим, что, исследуя модули над некоторым фиксированным кольцом, мы также получаем информацию и о самом кольце, следовательно, изучение абелевых групп можно рассматривать и как один из подходов к исследованию целых чисел.
Из всего вышесказанного видно, что теория абелевых групп, находясь на стыке важных математических разделов (теории групп, теории модулей, теории чисел и др.), представляет собой актуальное направление современной алгебры.
Важную роль в теории абелевых групп играют факторно делимые группы.
В самом общем случае абелеву группу A можно назвать факторно делимой, если она содержит такую свободную подгруппу F, что A/F делимая периодическая группа. Эти группы впервые были рассмотрены Бьюмонтом и Пирсом (именно они ввели термин факторно делимая группа ) в [3] при изучении аддитивных групп колец без элементов конечного порядка. Для факторно делимых групп без кручения конечного ранга они построили систему инвариантов, задающих эти группы с точностью до квазиизоморфизма. Это был один из первых примеров описания абелевых групп не с точностью до изоморфизма, а с точностью до квазиизоморфизма, что весьма актуально в свете работ Йонссона [9] и А. В. Яковлева [20]. Данный подкласс факторно делимых групп (без кручения конечного ранга) широко известен также благодаря тому, что относительно квазигомоморфизмов он образует самодвойственную категорию [2]. В этом прослеживается явная аналогия с известной самодвойственностью линейных пространств.
В диссертации рассматриваются только факторно делимые группы конечного ранга без кручения, не содержащие делимых периодических подгрупп.
Эти группы впервые рассмотрели Уиклесс и А. А. Фомин в [4], где они построили категорию факторно делимых групп с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов и показали, что данная категория двойственна хорошо известной категории групп без кручения конечного ранга с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов.
Одним из самых действенных способов изучения абелевых групп является привлечение модулей над какими-либо кольцами. Классическими примерами этого является использование модулей над кольцом целых p-адических чисел при описании абелевых групп без кручения конечного ранга (так называемое описание Куроша - Мальцева - Дерри [16]) и рассмотрение абелевых групп как модулей над своими кольцами эндоморфизмов (подробнее об этом см. в [11]).
. Я. Куликов при изучении p-локальных групп [14] (он называл их обобщенно примарными) активно использовал модули над кольцами Zp целых p-адических чисел и Qp рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с p, а при изучении алгебраически компактных групп [15] (он называл их универсально полными) использовал кольцо Z = Zp, котоpP рое он называл кольцом универсальных чисел. Обобщая целые p-адические и универсальные числа, А. А. Фомин построил класс колец -адических чисел. С их помощью он получил ряд новых важных результатов относительно групп без кручения конечного ранга (см., например, [17], [18]). При изучении аддитивных групп регулярных и -регулярных колец Фукс, Гальперин и Рангасвами [7], [8] использовали модули над кольцами R, частным случаем которых является кольцо псевдорациональных чисел. Позже, П. А. Крылов [12], [13] и А. А. Фомин [5] использовали R-модули для изучения абелевых групп из класса G, состоящего из всех таких самомалых групп G, что G/t(G) делимая группа конечного ранга.
В данной работе развивается идея А. А. Фомина из [6] о возможности привлечения модулей над кольцом псевдорациональных чисел R для изучения факторно делимых групп. Это связано с тем, что каждую факторно делимую группу можно вложить в некоторый конечно порожденный R-модуль (называемый ее псевдорациональной оболочкой), который, как правило, устроен проще самой группы и при этом несет достаточно много информации о ней.
Этот подход позволяет вводить для факторно делимых групп новые понятия и инварианты, такие как псевдорациональный ранг, модуль псевдорациональных отношений, кослед кольца псевдорациональных чисел и др. Кроме того, техника работы с модулями над кольцом псевдорациональных чисел существенно используется при доказательстве основных фактов о факторно делимых группах.
Отметим также, что в силу оригинальности и красоты результатов теория модулей над кольцом псевдорациональных чисел заслуживает и независимого внимания. Более того, на сегодняшний день существуют конструкции, обобщающие кольцо псевдорациональных чисел. Прежде всего, это кольца псевдоалгебраических чисел. Видимо, впервые они встречаются в работе Альбрехта, Гетерса и Уиклесса [1]. Изучению этих колец и модулей над ними полностью посвящена диссертационная работа Е. Г. Зиновьева [10].
Цель работы. Основной целью диссертации является построение теории факторно делимых групп с использованием взаимосвязи последних с модулями над кольцом псевдорациональных чисел. Для достижения этого ставятся и решаются следующие задачи.
1. Описать основные классы модулей над кольцом псевдорациональных чисел, такие как проективные, плоские, конечно представленные, образующие и кообразующие модули.
2. Разработать технику исследования конечно порожденных модулей над кольцом псевдорациональных чисел.
3. Выявить связи между факторно делимыми группами и конечно порожденными модулями над кольцом псевдорациональных чисел.
4. Применить технику, построенную при рассмотрении конечно порожденных модулей над кольцом псевдорациональных чисел, для изучения факторно делимых групп.
5. Построить и исследовать класс групп (колец), обобщающий факторно делимые группы (кольца) ранга 1.
Общая методика исследования. Исследование базируется на общих методах теории абелевых групп и теории модулей. Важную роль в диссертации играет псевдорациональная оболочка факторно делимой группы, что позволяет использовать теорию модулей над кольцом псевдорациональных чисел для изучения факторно делимых групп.
Основные результаты работы.
1. Построена полная система инвариантов для проективных и конечно представленных модулей над кольцом псевдорациональных чисел.
2. Описаны некоторые легко проверяемые условия, при которых конечно порожденные модули над кольцом псевдорациональных чисел раскладываются в прямую сумму циклических модулей.
3. Показано, что категория плоских конечно порожденных модулей над кольцом псевдорациональных чисел с псевдогомоморфизмами в качестве морфизмов двойственна сама себе.
4. Описаны некоторые условия, при которых факторно делимые группы раскладываются в прямую сумму факторно делимых групп ранга 1.
5. Построена система инвариантов, задающая факторно делимую группу с точностью до квазиизоморфизма.
6. Описаны группы с конечно порожденными модулями псевдорациональных отношений.
7. Для колец L(x) обобщающих факторно делимые кольца ранга полностью решен вопрос о разложении в прямую сумму существенно неразложимых идеалов.
8. Построена полная и независимая система инвариантов для класса колец L(x) с минимальным многочленом элемента x вида (u - 1)2.
9. Показано, что для аддитивных групп колец L(x) конечного ранга имеет место теорема типа Бэра - Капланского.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер и может быть использована при дальнейших исследованиях в области абелевых групп.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всероссийских симпозиумах по абелевым группам (Бийск, 2005, 2006 гг.), на Международной конференции Алгебра и ее приложения, посв. 75-летию В. П. Шункова (Красноярск, 2006 г.), на Международной алгебраической конференции, посв. 100-летию Д. К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 2007), на Международной алгебраической конференции, посв. 100-летию А. Г. Куроша (Москва, 2008), на Международной научной конференции X Белорусская математическая конференция (Минск, 2008), на Всероссийской конференции по математике и механике (Томск, 2008), на Международной алгебраической конференции, посв. 100-летию А. И. Мальцева (Новосибирск, 2009), на 4-м Международном семинаре Универсальная алгебра, теория чисел и их приложения (Волгоград, 2009), а также на научных семинарах кафедры высшей алгебры Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова и кафедры алгебры Томского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 17 работах, 7 из которых опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 196 страницах и состоит из введения, четырех глав, разделенных на 27 параграфов, и списка литературы, включающего 84 наименования.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введение дается обзор результатов, обосновывающих актуальность исследования, и краткая характеристика работы.
В первой главе определяется кольцо псевдорациональных чисел, и описываются некоторые классы модулей над ним. Результаты, полученные здесь, используются в следующих главах, однако, многие из них имеют не только вспомогательное, но и самостоятельное значение.
Под группой всюду понимается абелева группа записанная аддитивно, под кольцом коммутативное кольцо, но не обязательно содержащее единичный элемент. Рангом (без кручения) называется мощность максимальной линейно независимой системы элементов группы. Через Z, Q и Zp обозначаются кольца целых, рациональных и целых p-адических чисел соответственно. Под характеристикой (mp) подразумевается последовательность, состоящая из целых неотрицательных чисел и символов , занумерованная простыми числами. Для произвольного непустого подмножества M группы G через M будем обозначать линейную оболочку множества M, а через M сервант ную оболочку множества M, состоящую из всех таких g G, что ng M при некотором n N. В частности, M всегда содержит периодическую часть t(G) группы G.
Параграфы 1 и 2 являются вводными. В них строится кольцо псевдорациональных чисел, рассматриваются его свойства и даются основные понятия и определения, необходимые для изучения модулей над этим кольцом.
Пусть = (mp) произвольная характеристика. Поставим ей в соответ p ствие набор колец Kp, где Kp = Zp или Kp = Z/pm Z соответственно при mp = и mp < . Через Z обозначим кольцо Kp, а через p будем pP обозначать единицу кольца Kp или ее образ в кольце Z.
Определение 1.1. Если характеристика содержит бесконечно много ненулевых p-компонент, то рассмотрим подкольцо R кольца Z = Kp, pP сервантно порожденное идеалом Kp и единицей кольца:
pP R = 1, Kp Z.
pP Если все p-компоненты характеристики , за исключением p1,..., pn, равны нулю, то определим кольца K = Kp... Kp и R = Q K. Если 1 n = () характеристика группы рациональных чисел, то кольцо R будем называть кольцом псевдорациональных чисел и обозначать просто R.
Важным результатом этой вводной части первой главы является теорема 1.1, в которой описываются идеалы кольца псевдорациональных чисел.
Теорема 1.1. [12] Множества следующего вида, и только они, являются идеалами кольца R:
p 1. ps Kp, где P1 P, sp Z {0};
pPp 2. (1 - p -... - p )R ps Kp, где P1 {p1,..., pn}.
1 n pPВ параграфах 3Ц5 рассматриваются проективные, инъективные, плоские, конечно представимые и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел.
Пусть M произвольный R-модуль, T = Zp идеал кольца R, тогда pP R/T Q, и следовательно, M/T M векторное пространство над полем Q.
= Величина dimQ M/T M называется псевдорациональным рангом R-модуля M и обозначается r(M).
Модуль над кольцом псевдорациональных чисел называется делимым, если структура R-модуля на нем совпадает со структурой Q-пространства.
R-модуль, не содержащий делимых подмодулей, называется редуцированным.
А. А. Фомин в [5] показал, что всякий R-модуль M содержит наибольший делимый подмодуль divM, divM = {m M | T m = 0}, который выделяется в M прямым слагаемым. Отметим, что существуют редуцированные R-модули с делимыми аддитивными группами. Например, аддитивная группа поля Qp всех p-адических чисел является делимой без кручения, но Qp редуцированный R-модуль.
Теорема 3.4. Пусть M1 и M2 произвольные проективные R-модули, тогда, если T M1 T M2 и M1/T M1 M2/T M2, то M1 M2.
= = = Пусть M произвольный проективный R-модуль. Рассмотрим его подмодуль T M. Он также проективен, более того T M = pM, где pM pP свободный Zp-модуль. Каждое слагаемое pM с точностью до изоморфизма задается кардинальным числом rp, равным мощности множества прямых слагаемых вида Zp в его свободном разложении. Далее, фактормодуль M/T M является векторным пространством над полем рациональных чисел, следовательно, задается величиной dimQ M/T M, равной по определению псевдорациональному рангу R-модуля M.
Из вышесказанного и теоремы 3.4 следует, что псевдорациональный ранг и множество кардинальных чисел {rp}pP составляют полную систему инвариантов проективного R-модуля M.
В [19] показано, что вопрос об инъективности R-модуля M сводится к вопросу инъективности Zp-модулей pM для каждого p P.
Теорема 4.1. Модуль над кольцом псевдорациональных чисел является плоским тогда и только тогда, когда в нем нет отличных от нуля элементов конечного порядка.
Следствие 4.8. R-модуль конечно представим тогда и только тогда, когда он раскладывается в прямую сумму проективного и конечного Rмодулей.
Наконец, в пятом параграфе доказывается, что R-модуль является образующим тогда и только тогда, когда содержит прямое слагаемое вида R (теорема 5.2).
Последний параграф главы 1 посвящен описанию R-модулей с коммутативными, нетеровыми и артиновыми кольцами эндоморфизмов. Отметим, что наличие у R-модулей большого числа прямых слагаемых делает работу с их кольцами эндоморфизмов сродни работе с кольцами эндоморфизмов периодических абелевых групп. Эта аналогия прослеживается как в приемах, так и в результатах. Примером этого служат следующие теоремы.
Теорема 6.2. Произвольный редуцированный R-модуль M имеет коммутативное кольцо эндоморфизмов тогда и только тогда, когда его подмодуль Mp = pM изоморфен одному из модулей Z/pkZ, Zp, Zp, Qp или Qp Z/pkZ при каждом простом p.
Теорема 6.10. R-модуль M имеет нетерово слева кольцо эндоморфизмов тогда и только тогда когда выполняются следующие условия.
1. Делимая часть R-модуля M конечно порождена;
2. pM = 0 почти для всех простых p;
3. Если pM = 0, то он имеет один из следующих двух видов:
(i) pM Zpk1... Zpkn Zp m;
= (ii) pM Zpk1... Zpkn Zp k Qp l.
= Теорема 6.11. R-модуль M имеет нетерово справа кольцо эндоморфизмов тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия.
1. Делимая часть R-модуля M конечно порождена;
2. pM = 0 почти для всех простых p;
3. Если pM = 0, то он имеет один из следующих двух видов:
(i) pM Zpk1... Zpkn Zp k;
= (ii) pM Zpk1... Zpkn Zp m Qp l.
= Во второй главе диссертации рассматриваются конечно порожденные модули над кольцом псевдорациональных чисел. Этот класс нами выделяется, прежде всего, в силу своей близости к факторно делимым группам.
Важная роль при изучении конечно порожденных R-модулей принадлежит обобщенной кохарактеристике и модулю псевдорациональных отношений.
Если M = x1, x2,..., xn, то pM = px1, px2,..., pxn, а значит, R Zp pM раскладывается в конечную прямую сумму циклических Zp-модулей, 1p tp pM Z/pk Z... Z/pk Z Zp (t + s = n), = s Данное разложение определяет следующую упорядоченную последовательность целых неотрицательных чисел и символов :
0 k1p... knp , где последние s членов есть символы (0 s n). Данная последовательность по всем простым p определяет последовательность характеристик.
Несколько первых характеристик могут быть нулевыми, если их отбросить, то получим последовательность 1... k, которая называется обобщенной кохарактеристикой конечно порожденного R-модуля M.
Если X = {x1, x2,..., xn} система образующих R-модуля M, то MX = {(r1, r2,..., rn) Rn | r1x1 + r2x2 +... + rnxn = 0} называется модулем псевдорациональных отношений R-модуля M.
Отметим также, что при рассмотрении R-модулей наряду с характеристиками и типами существенную роль играют квазитипы множества характеристик, отличающихся конечным числом позиций (независимо от того конечные или бесконечные элементы стоят на этих позициях).
В параграфах 7 и 8 вводятся описанные выше понятия, и доказывается ряд связанных с ними вспомогательных результатов, необходимых для дальнейшего изложения. В з 9 доказываются некоторые достаточные условия, при которых конечно порожденный R-модуль раскладывается в прямую сумму циклических R-модулей. Наибольший интерес представляет Теорема 9.6. Если обобщенная кохарактеристика конечно порожденного редуцированного R-модуля M состоит из принадлежащих одному квазитипу характеристик 1, 2,..., n, количество которых равно наименьшему числу порождающих модуля M, то M R R... R или M K K... K.
= = 1 2 n 1 2 n В параграфах 10Ц11 рассматриваются различные морфизмы R-модулей:
гомоморфизмы, квазигомоморфизмы и псевдогомоморфизмы.
Определение 10.1. Квазигомоморфизмами из R-модуля M1 в R-модуль M2 называются элементы множества Q HomR (M1, M2). Обратимые квазигомоморфизмы называются квазиизоморфизмами.
Теорема 10.8. Конечно порожденные R-модули квазиизоморфны тогда и только тогда, когда они различаются (с точностью до изоморфизма) конечными прямыми слагаемыми.
Квазигомоморфизмы играют существенную роль при изучении групп без кручения, однако, для работы с R-модулями более выгодно использовать не квазигомоморфизмы, а близкие к ним псевдогомоморфизмы.
Определение 11.1. Пусть M1 и M2 произвольные R-модули. Элементы R-модуля HomR (M1, M2)/HomR (M1, T M2) называются псевдогомоморфизмами из M1 в M2. Обратимые псевдогомоморфизмы называются псевдоизоморфизмами.
Нами показано, что R-модули M1 и M2 псевдоизоморфны тогда и только тогда, когда M1 X M2 Y для некоторых R-модулей X и Y псевдора= ционального ранга 0 (предложение 11.1).
Категорию псевдогомоморфизмов конечно порожденных R-модулей выгодно использовать и потому, что любой ее объект раскладывается в конечную прямую сумму неразложимых объектов, причем единственным образом, в том смысле, что в этой категории имеет место теорема Крулля - Ремака - Шмидта.
В 12-м параграфе рассматривается категория псевдогомоморфизмов плоских конечно порожденных R-модулей. Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 12.4. Категория плоских конечно порожденных R-модулей с псевдогомоморфизмами в качестве морфизмов двойственна сама себе.
Эта двойственность аналогична двойственности Арнольда для факторно делимых групп без кручения с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов.
Третья глава является основной в диссертации. Она посвящена изучению факторно делимых групп, при этом нами существенно используется тот факт, что любая факторно делимая группа вкладывается в некоторый конечно порожденный R-модуль.
Определение 13.1. Группа G называется факторно делимой, если она не содержит периодических делимых подгрупп, но содержит такую свободную подгруппу F конечного ранга, что G/F периодическая делимая группа.
Подгруппа F называется фундаментальной подгруппой группы G, а любой базис подгруппы F фундаментальной системой группы G.
Пусть G произвольная факторно делимая группа, divG ее делимая часть и : G G естественный гомоморфизм из группы G в ее Z-адическое пополнение G. Группа G является Z-модулем, а значит, и Rмодулем.
Определение 13.2. R-модуль divG (G) будем называть псевдораR циональной оболочкой факторно делимой группы G и обозначать R(G).
Предложение 13.4. Свободная подгруппа F факторно делимой группы G, такая что r(F ) = r(G) является фундаментальной подгруппой группы G тогда и только тогда, когда F = R(G).
R Из данного предложения, в частности, следует, что псевдорациональная оболочка факторно делимой группы обязательно является конечно порожденным R-модулем.
Использование псевдорациональной оболочки позволяет определить для факторно делимых групп ряд инвариантов и понятий из теории конечно порожденных R-модулей. Так, псевдорациональным рангом и обобщенной кохарактеристикой факторно делимой группы мы будем называть соответственно псевдорациональный ранг и обобщенную кохарактеристику ее псевдорациональной оболочки.
Особенно важную роль при работе с факторно делимыми группами играет модуль псевдорациональных отношений. Пусть X = {x1, x2,..., xn} произвольная система элементов факторно делимой группы G, рассмотрим множество GX = {(r1, r2,..., rn) Rn | r1x1 + r2x2 +... + rnxn divG}.
Если X фундаментальная система группы G, то GX называется модулем псевдорациональных отношений факторно делимой группы G.
В параграфах 15 и 16 рассматриваются гомоморфизмы и прямые разложения факторно делимых групп. Существенную роль при этом играет модуль псевдорациональных отношений. С его помощью, например, получен следующий результат, аналогичный теореме 9.6.
Теорема 15.9. Если обобщенная кохарактеристика факторно делимой группы состоит из характеристик, принадлежащих одному типу, и их количество равно рангу группы, то эта группа разлагается в прямую сумму факторно делимых групп ранга 1.
Полностью решен вопрос о существовании гомоморфизма, переводящего фундаментальную систему группы в произвольную систему элементов другой группы.
Теорема 16.3. Пусть G и H произвольные факторно делимые группы, X = {x1, x2,..., xn} фундаментальная система элементов группы G, Y = {y1, y2,..., yn} система произвольных элементов группы H. Тогда гомоморфизм f : G H, такой что f(xi) = yi (1 i n) существует тогда и только тогда, когда GX HY.
Основным результатом 17-го параграфа является Теорема 17.2. Факторно делимые группы G и H квазиизоморфны тогда и только тогда, когда для произвольных фундаментальных систем X и Y из групп G и H соответственно существует целочисленная матрица.
A GL (n, Q), такая что GX A = HY.
В этой теореме фактически утверждается, что факторно делимая группа G с точностью до квазиизоморфизма задается своим модулем псевдорациональных отношений, а точнее классом эквивалентных подмодулей свободно.
го модуля Rr(G) (два подмодуля M, L Rn эквивалентны, если M A = L, где A некоторая обратимая целочисленная матрицы). Отметим также, что в силу наследственности кольца R модуль псевдорациональных отношений всегда проективен.
В з 18 основные результаты предыдущего параграфа переведены на категорный язык.
В заключительных параграфах третьей главы, наряду с модулем псевдорациональных отношений, для факторно делимой группы G вводятся еще два сопутствующих R-модуля:
r G = {(r1,..., rn) Rn | GX = 0} и KG(R) = ker ,...
X : GR rn для которых имеет место следующее соотношение:
(G )/GX KG(R)/divG.
= X Используя эти модули, удалось доказать ряд утверждений, наибольший интерес из которых представляют Теорема 19.1. Редуцированная факторно делимая группа G имеет конечно порожденный модуль псевдорациональных отношений тогда и только тогда, когда ее обобщенная кохарактеристика имеет вид 1,..., k, 1,..., m, где характеристики 1,..., k принадлежат квазитипу || = |()|, характеристики 1,..., m принадлежат нулевому квазитипу и k = r(G).
Теорема 20.7. Для факторно делимой группы G следующие условия равносильны:
1. G/t(G) почти делимая группа;
2. r(G) = r KG(R) ;
3. R(G) = KG(R) K, где K плоский конечно порожденный R-модуль псевдорационального ранга 0;
4. G = KG(R) H, где H почти делимая группа без кручения.
Ключевым понятием четвертой главы является кольцо L(x), точнее, целый класс колец L(x), так как построение кольца L(x) зависит от выбора элемента x в некотором кольце Z. Кольца L(x) обобщают факторно делимые кольца ранга 1 (последние это в точности кольца L(x) ранга 1) и тесно связаны с кольцами псевдоалгебраических чисел (частным случаем которых является кольцо псевдорациональных чисел), подкольцами полей алгебраических чисел и кольцами Мерли. Аддитивные группы колец L(x) во многом схожи с факторно делимыми группами, более того, если L(x) кольцо с единицей, то его аддитивная группа является факторно делимой. Таким образом, теория колец L(x) органично связана и с теорией факторно делимых групп, и с теорией модулей над кольцом псевдорациональных чисел.
Так как кольца L(x) образуют новый неизученный класс колец, то первостепенной задачей является построение аппарата для их изучения. Решение этой задачи сопряжено с исследованием взаимосвязей колец L(x) с другими уже известными, близкими к ним объектами, в первую очередь с кольцами псевдоалгебраических чисел и факторно делимыми группами. О факторно делимых группах многое сказано выше, поэтому первый параграф четвертой главы (з 21) посвящен кольцам псевдоалгебраических чисел.
В з 22 дается определение колец L(x), рассматриваются примеры и некоторые свойства этих колец.
Пусть x = (xp) произвольный ненулевой элемент кольца Z. Ему соответствует идемпотент = (p) Z, такой что p = p при xp = 0 и p = при xp = 0. Рассмотрим группу L(x), сервантно порожденную множеством всех натуральных степеней элемента x в идеале Z, L(x) = xk | k N Z.
Нетрудно видеть, что L(x) замкнуто относительно операций + и , определенных в кольце Z, и удовлетворяет всем условиям кольца. Отметим также, что Z = Z. Характеристику 1 будем называть кохарактеристикой кольца L(x) и обозначать cochar L(x).
Основным результатом 22-го параграфа является Теорема 22.3. L(x) является кольцом с единицей тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
1. L(x) имеет конечный ранг;
2. Элемент x почти не имеет ненулевых нильпотентных p-компонент.
Из этой теоремы вытекает следующий важный результат.
Теорема 22.6. Пусть L(x) кольцо конечного ранга, тогда L(x) = L(x1) L(x2), где x1 нильпотентный элемент, а L(x2) кольцо с единицей.
В 23-м параграфе вводится понятие минимального многочлена элемента x Z, с помощью которого полностью решается вопрос о разложении колец L(x) в прямую сумму существенно неразложимых идеалов.
Пусть x элемент кольца Z, f = a0 + a1u +... + anun целочисленный многочлен. Если a0 = 0, то положим f(x) = a1x +... + anxn, если же a0 = 0, то определим значение f(x) только для тех x, для которых L(x) кольцо с единицей, следующим образом:
f(x) = a0 + a1x +... + anxn, где единица кольца L(x).
Многочлен f будем называть минимальным многочленом элемента x, если f целочисленный многочлен наименьшей степени, такой что f(x) = 0.
Напомним, что кольцо (абелева группа) называется существенно неразложимым (ой), если любое его (ее) прямое разложение содержит конечные прямые слагаемые.
Предложение 23.1. Если элемент x Z имеет минимальный многочлен, являющийся степенью неприводимого над Z многочлена, то L(x) существенно неразложимое кольцо.
Теорема 23.5. Если L(x) бесконечное кольцо с единицей, f миr1 r2 rk нимальный многочлен элемента x и f = f1 f2... fk его каноническое разложение в кольце Z[u], то i 1. L(x) = L(x1) L(x2)... L(xk), причем fir является минимальным многочленом элемента xi для каждого i {1, 2,..., k};
2. Слагаемые в разложении из п. 1 определяются однозначно с точностью до порядка следования и конечных прямых слагаемых.
В следующих двух параграфах рассматриваются кольца L(x), у которых минимальный многочлен элемента x удовлетворяет специальным условиям.
Так, в з 24 рассматривается случай, когда минимальный многочлен элемента x неприводим, а в з 25 случай, когда минимальный многочлен имеет вид un или (u - 1)n. Оказалось, что в первом случае кольца L(x) тесно связаны известными классами колец.
Напомним, что характеристика, не содержащая символов , называется локально свободной, а характеристика, состоящая только из символов 0 и называется идемпотентной. Группа G называется группой Мерли, если G группа без кручения и dimZ G/pG 1 для любого простого p.
p Следствие 24.2. Если элемент x Z имеет локально свободную кохарактеристику, содержащую бесконечно много ненулевых элементов, и неприводимый минимальный многочлен, то L(x) является кольцом псевдоалгебраических чисел.
Теорема 24.7. Для кольца с единицей K следующие утверждения равносильны.
1. Кольцо K является подкольцом поля алгебраических чисел, а его аддитивная группа является редуцированной группой Мерли.
2. Кольцо K изоморфно кольцу L(x) с идемпотентной кохарактеристикой и неприводимым минимальным многочленом элемента x.
Кольца L(x) с минимальным многочленом элемента x вида un это в точности кольца L(x) с нильпотентным элементом x. Из следующей теоремы видно, что описание таких колец сводится к кольцам с единицей L(1 + x).
Теорема 25.7. Если x и y нильпотентные элементы, то L(x) L(y) = тогда и только тогда, когда L(1 + x) L(1 + y).
= Особый интерес представляют кольца L(x) локально свободной кохарактеристики = (mp) с минимальным многочленом элемента x вида (u - 1)2.
Для каждого простого p, такого что mp = 0, имеет место равенство p xp = p + pk p, (1) mp где p Zp и 2kp mp. Нетрудно видеть, что в качестве kp можно взять mp mp число mp - (ниже через kp будем обозначать именно mp - ).
2 mp Рассмотрим кольцо Z, где =, и элемент = (p) Z, который определяется следующим образом: если mp = 0, то p = 0, а если mp = 0, то в качестве p возьмем образ элемента p из равенства (1) при естественmp ном гомоморфизме Zp Zpmp-kp. Элемент x определяет элемент Z, а значит, и группу (x) = Z.
Заметим, что элемент p из равенства (1) определяется не однозначно, p mp а с точностью до слагаемого из множества pm -kpZp. Но при естественном p mp mp гомоморфизме Zp Zpmp-kp множество pm -kpZp отображается в ноль, следовательно, элемент p определен однозначно, а значит, и группа (x) определена однозначно.
Теорема 25.9. Если элементы x и y имеют общий минимальный мно гочлен (u - 1)2 и локально свободные кохарактеристики, то L(x) L(y) = тогда и только тогда, когда cochar L(x) = cochar L(y) и (x) = (y).
В 26-м параграфе рассматриваются особенности колец L(x) в p-локальном случае, т. е. когда L(x) подкольцо кольца целых p-адических чисел Zp.
Интересно, что в этом случае L(x) = Zp Q(x) и поэтому L(x) однозначно задается полем Q(x).
В последнем параграфе изучаются аддитивные группы колец L(x). Основные полученные здесь результаты связаны с кольцами эндоморфизмов этих групп. Если L(x) кольцо с единицей, то легко показать, что кольцо эндоморфизмов группы L(x)+ изоморфно самому кольцу L(x). Случай же, когда x нильпотентный элемент, уже нетривиален.
Теорема 27.5. Если x нильпотентный элемент, то p mp E(L(x)+) 1, x,..., xn-2, pm -kpZp R, = pP где n индекс нильпотентности элемента x, (mp) кохарактеристика кольца L(x), kp = hp(x) при mp = 0 и kp = 0 при mp = 0.
Замечательным является тот факт, что для аддитивных групп колец L(x) конечного ранга имеет место теорема типа Бэра - Капланского об определяемости группы своим кольцом эндоморфизмов.
Теорема 27.8. Если E(L(x)+) E(L(y)+), где L(x) и L(y) кольца = конечного ранга, то группы L(x)+ и L(y)+ изоморфны.
Автор благодарен своему научному консультанту профессору Александру Александровичу Фомину за введение в данную тематику и обсуждение изложенных в диссертации вопросов, профессору Генннадию Александровичу Карасеву за постоянную поддержку и всестороннюю помощь и доценту Егору Александровичу Тимошенко за внимание к работе и полезные замечания.
Список литературы [1] Albrecht U. F., Goeters H. P., Wickless W. The flat dimension of mixed abelian groups as E-modules // Rocky Mountain J. Math., 25, No. 2, 1995, 569Ц590.
[2] Arnold D. M. Finite rank abelian torsion free groups and rings // Lecture Notes in Math., 931, Springer, New York, 1982.
[3] Beaumont R., Pierce R. Torsion free rings // Illinois J. Math., 5, 1961, 61Ц98.
[4] Fomin A. A., Wickless W. Quotient divisible abelian groups // Proc. Amer.
Math. Soc., 126, No. 1, 1998, 45Ц52.
[5] Fomin A. A. Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers // Abelian Groups and Modules, Trends in Math., Birkheuser, Basel, 1999, 87Ц100.
[6] Fomin A. A. Quotient divisible mixed groups // Contemp. Math., 273, 2001, 117Ц128.
[7] Fuchs L., Halperin I. On the imbedding of a regular ring with identity // Fund. Math., 54, 1964, 285Ц290.
[8] Fuchs L., Rangaswamy K. M. On generalized regular rings // Math. Z., 107, 1968, 71Ц81.
[9] Jonsson B. On direct decompositions of torsion free abelian groups // Math.
Scand., 5, 1957, 230Ц235; 7, 1959, 361Ц371.
[10] Зиновьев Е. Г. Кольца псевдоалгебраических чисел и модули над ними, диссертация, Москва, МПГУ, 2009.
[11] Крылов П. А., Михалев А. В., Туганбаев А. А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов, М.: Факториал Пресс, 2006.
[12] Крылов П. А., Пахомова Е. Г., Подберезина Е. И. Об одном классе смешанных абелевых групп // Вестник ТГУ, Томск, 2000, Т. 269, С. 47Ц51.
[13] Крылов П. А. Смешанные абелевы группы как модули над своими кольцами эндоморфизмов // Фунд. и прикл. матем., 2000, Т. 6, № 3, С. 793 - 812.
[14] Куликов Л. Я. Обобщенно примарные группы // Труды ММО, 1952, Т. 1, С. 247Ц326; 1953, Т. 2, С. 85Ц167.
[15] Куликов Л. Я. Универсально полные абелевы группы // Труды III Всесоюз. матем. съезда, Т. 1, Москва, 1965, С. 26Ц28.
[16] Курош А. Г. Теория групп, М.: Наука, 1967.
[17] Фомин А. А. Абелевы группы с одним -адическим соотношением // Алгебра и логика, 1989, Т. 28, № 1, C. 83Ц104.
[18] Фомин А. А. Абелевы группы без кручения ранга 3 // Матем. сб., 1989, Т. 180, № 9, C. 1155Ц1170.
[19] Чеглякова С. В. Инъективные модули над кольцом псевдорациональных чисел // Фунд. и прикл. матем., 2001, Т. 7, № 2, 627Ц629.
[20] Яковлев А. В. К проблеме классификации абелевых групп без кручения конечного ранга // Записки научного семинара ЛОМИ АН СССР, 1976, Т. 57, 171Ц175.
Результаты диссертации опубликованы в следующих статьях 1. Царев А. В. Псевдорациональный ранг абелевой группы // Сиб.
матем. ж., 2005, т. 46, № 1, с. 217Ц229.
2. Царев А. В. Псевдорациональный ранг факторно-делимой группы // Фундам. и прикл. матем., 2005, Т. 11, № 3, С. 201Ц213.
3. Царев А. В. Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторноделимые группы // Алгебра и анализ, 2006, Т. 18, № 4. С. 198Ц214.
4. Царев А. В. Проективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел // Матем. заметки, 2006, Т. 80, № 3, С. 437Ц448.
5. Царев А. В. Двойственность конечно порожденных плоских Rмодулей // Вестник Самарского гос. университета, 2008, № 2, С. 102Ц114.
6. Царев А. В. Некоторые морфизмы модулей над кольцом псевдорациональных чисел // Сиб. матем. ж., 2008, Т. 49, № 4, С. 945Ц953.
7. Царев А. В. Сервантные подкольца колец Z // Матем. сб., 2009, Т. 200, № 10, С. 123Ц150.
8. Царев А. В. Конечно порожденные R-модули // Научные труды математического факультета МПГУ, М.: Прометей, 2000, С. 285Ц289.
9. Царев А. В. Модуль псевдо-рациональных отношений группы // Чебышевский сборник, 2002, Т. 3, № 1, C. 120Ц134.
10. Царев А. В. Проективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел // Абелевы группы, Труды Всероссийского симпозиума, Бийск: РИО БПГУ, 2005, С. 50Ц51.
11. Царев А. В. Группы без кручения конечного ранга, факторно делимые группы и конечно порожденные R-модули // Абелевы группы, Материалы Всероссийского симпозиума, Бийск: РИО БПГУ, 2006, С. 44Ц47.
12. Царев А. В. Псевдогомоморфизмы модулей над кольцом псевдорациональных чисел // Международная конференция Алгебра и ее приложения, Тезисы докладов, Красноярск, 2007, С. 142Ц143.
13. Царев А. В. Псевдорациональный тип факторно делимой группы // Международная алгебраическая конференция, посв. 100-летию Д. К. Фаддеева, Тезисы докладов, С.-Петербург, 2007, С. 75Ц77.
14. Царев А. В. Некоторые сервантные подкольца ранга 2 колец Z // Международная алгебраическая конференция, посв. 100-летию А. Г. Куроша, Тезисы докладов, Москва, МГУ, 2008, С. 247Ц248.
15. Царев А. В. Квазиизоморфизм факторно делимых групп // Всероссийская конференция по математике и механике, посв. 130-летию ТГУ и 60-летию мех.-мат. факультета, Тезисы докладов, Томск, 2008, С. 66Ц67.
16. Царев А. В. Сервантные подкольца колец Z // Международная научная конференция X Белорусская математическая конференция, Тезисы докладов, Минск, 2008, C. 60.
17. Царев А. В. Кослед кольца псевдорациональных чисел // Международная конференция Мальцевские чтения, Тезисы докладов, Новосибирск, 2009, С. 98.