Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по разным специальностям

На правах рукописи

Ромакина Оксана Михайловна

Модифицированный метод сплайн-коллокации в задачах статики и динамики тонких пластин при произвольных граничных условиях

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2012

Работа выполнена на кафедре математической теории упругости и биомеханики ФГБОУ ВПО Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского.

Научный консультант:

доктор техниче ских наук профессор Недорезов Петр Феодосьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-мате матических наук профессор Козло в Владимир Анато льевич (Воронеж, ВГАСУ) доктор физико-мате матических наук профессор Шляхов Станис лав Михайлович (Саратов, СГТ У)

Ведущая организация:

Институт пробле м точной механики и управления РАН (Саратов)

Защита состоится л ноября 2012 г. в 1530 на заседании диссертационного совета Д 212. 243.10 при Саратовском государственном университете им. Н.Г.

Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, корп., 18 ауд

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Саран товского государственного университета.

Автореферат разослан л л 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф.-м. н., доцент Шевцова Ю.В.

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена разработке модифицированного метода сплайн-коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся кон лебаний токих идеально упругих и вязкоупругих пластин при различных условиях закрепления или нагружения контура пластины. В рамках предлагаемой модифин кации на граничные условия накладывается единственное ограничение - их вид в пределах каждой из сторон контура остается неизменным.

Актуальность работы.

Начало теории пластин и стержней положили работы великих математиков.

Изучением деформации стержней занимались Я. Бернулли, Л. Эйлер, Д. Бернулн ли. Уравнение изгиба пластины было получено С. Жермен, а Г. Кирхгоф и А.

Сен-Венан окончательно сформулировали идею понижения размерности. Изучен нию уравнений теории анизотропных пластинок посвящены работы С.Г. Лехницн кого. Случай изотропных пластинок рассматривается в работах Б.Г. Галеркина и С.П. Тимошенко. В статьях М.М. Фридмана были получены решения задач об изгибе различных изотропных пластинок. Теории пластин и оболочек посвящены также монографии С.А.Амбарцумяна, A.Л. Гольденвейзера. В работах Тимошенн ко и Войновского-Кригера основное внимание уделяется решению конкретных зан дач об упругих деформациях пластинок и оболочек. Здесь проводится различие между тонкими пластинками, подвергающимся малым, в сравнении с толщиной пластинки, прогибам, и тонкими пластинками, подвергающимся большим прогин бам. Чтобы вычислить напряжение для любой точки пластинки первого типа необходимо решить дифференциальное уравнение в частных производных, котон рое вместе с граничными условиями определяет прогиб пластинки, являющийся функцией двух координат в ее плоскости. Для таких пластинок разных геометрин ческих форм рассмотрены изгибы по цилиндрической поверхности, чистый изгиб, симметричный изгиб, поперечные нагрузки, различные условия опирания по кран ям; также описывается изгиб анизотропной пластинки.

В настоящее время усилиями многих поколений ученых построены различные теории, описывающие напряженно-деформированное состояние тонкостенных конн струкций, и разработаны эффективные методы их расчета. Несмотря на то, что достигнуты значительные успехи в развитии теории и разработке приближенных методов решения различных прикладных задач, круг проблем, требующих своего разрешения, по-прежнему обширен.

Одной из актуальных является проблема, связанная с разработкой таких прин ближенных методов решения краевых задач теории пластин, которые были бы универсальны, эффективны и не слишком требовательны к машинным ресурсам при реализации.

Цели диссертационной работы.

Разработка модифицированного метода сплайн-коллокации для решения зан дач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих прямоугольных пластинок при сложных способах закреплен ния контура.

Решение модельных задач для апробации разработанной методики, сравнен ние результатов с известными аналитическими решениями.

Решение различных задач при нестандартных условиях закрепления (план стинка с двумя смежными закрепленными сторонами, консольная пластинн ка, пластинка, подкрепленная в угловых точках и пр.).

Научная новизна. В работе впервые построена модификация метода сплайнн коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих прямоугольных пластинок для сложных спон собов закрепления контура. Все задачи, решенные в рамках апробации предлон женного метода, решены впервые (за исключением модельных). В ходе вычисн лительных экспериментов выявлен и исследован ряд механических эффектов и закономерностей.

Достоверность. Достоверность полученных результатов обеспечивается строн гостью математической постановки задачи и обоснованным применением соответн ствующего математического аппарата при построении метода и хорошим совпаден нием результатов для модельных задач при численном решении.

Практическая значимость. Работа имеет как теоретический, так и прин кладной характер. Предложенный в работе метод может найти применение при решении широкого спектра задач статического изгиба и установившихся колебан ний тонких пластин с разнообразными условиями закрепления или нагружения контура. Результаты, полученные в ходе численного решения задач, могут испольн зоваться при моделировании поведения различных тонких пластин в разнообразн ных прикладных областях.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доклан дывались на:

Второй Всероссийской научной конференции (Самара, СамГТУ, 2005г);

V Российской конференции с международным участием Смешанные задан чи механики деформируемого тела (Саратов, СГУ, 2005г);

XXI Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, СГТУ, 2005);

научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомехан ники Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского под руководством д.ф.-м.н., профессора Коссовича Л.Ю.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положен ния:

Модификация метода сплайн-коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих план стинок для сложных способов закрепления контура.

Результаты и выводы, сделанные по итогам вычислительных эксперименн тов по определению напряженно-деформированного состояния и резонансн ных частот прямоугольных пластинок со сложными условиями закрепления контура.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 5 статей в журналах из списка, рекомендованного ВАК, 4 публикации в трудах конференций и сборниках научных трудов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы. Материал работы изложен на 124 страницах, содержит 41 рисунок и 17 таблиц, список цин тированной литературы содержит 93 наименования.

Содержание работы Во введении обоснована актуальность выбора темы диссертационной рабон ты, сформулированы цели и задачи, дан краткий обзор публикаций по теории тонн ких пластин, и аргументирована научная новизна исследований, показана практин ческая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту положения.

В первой главе работы рассмотрена постановка задачи статического изгиба тонких пластинок из изотропного идеально упругого материала. Предполагаетн ся, что пластинка испытывает малые деформации, подчиняющиеся закону Гука.

Предполагаются справедливыми гипотезы Кирхгофа (рис.1).

Рассматривается прямоугольная пластинка малой толщины h с размерами плана a b. Стороны x = 0 и x = a деформированы или загружены заданным образом, вид условий на этих сторонах не меняется. Условия при y = 0 и y = b могут быть произвольными, в том числе не исключается случай разрывных граничных условий.

q(x, y) B O В безразмерных координатах = x/a, = y/b x Q M уравнение для определения безразмерного прогиба имеет вид y A C 4W 4W 4W q(, ) + 2c2 + c4 =, (1) 4 22 4 D* Рис. 1.

Ehгде обозначено W (, ) = w(x, y)/h, D* = Ч приведенная цилиндричен 12(1 - 2) ская жесткость пластинки на изгиб, h0 = h/a Ч безразмерная толщина, c = a/b, E и Ч модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала.

Внутренние моменты и перерезывающие силы связаны с функцией прогиба соотношениями 2W 2 W 2W Mx = -D*a2 + c2, Hxy = -(1 - )D*a2c, (2) 2 2 3W 3 W 2W 2 W Qx = -D*a + c2, Q* = -D*a + (2 - )c2, 3 2 x 2 (x y; /c).

Для численного решения задач об изгибе пластинки с двумя произвольно закрепн ленными противоположными сторонами Я.М.Григоренко и Н.Н.Крюковым был предложен ставший классическим метод сплайн - коллокации.

Согласно этому методу, решение краевой задачи для уравнения (1) ищется в виде N W (, ) = j()Wj(), (3) j=где j() Ч линейные комбинации B-сплайнов пятой степени, определенные на системе узлов i = ihx (i = -5; N + 5), hx = 1/N, при i-3 и i+B5,i() Функции Wj() определяются как решение краевой задачи для системы обыкн новенных дифференциальных уравнений, которые получаются в результате подн становки (3) в уравнение (1) из требования, чтобы последнее удовлетворялось в точках коллокации. Граничные условия (ГУ) для Wj() следуют из условий закрепления или нагружения при = 0 и = 1. Полученная краевая задача решается численно, например, методом дискретной ортогонализации С.К. Годун нова. Однако данный метод неприменим, когда стороны 0 и N деформированы заданным образом или загружены усилиями и моментами известной интенсивнон сти. В этих случаях в (3) не удается подобрать функции j() так, чтобы ГУ удовлетворялись в точках коллокации.

В диссертационной работе предложена модификация метода сплайн-коллокан ции, позволяющая рассмотреть различные варианты ГУ. Решение уравнения (1) ищется в виде N+W (, ) = B5,j()j(). (4) j=-В работе рассматриваются различные варианты ГУ на сторонах 0 и N.

В случае, если на стороне 0 заданы прогиб и угол поворота W (0, ) * W (0, ) = w0(), (0, ) = = *(). (5.1) или условия смешанного типа 2 W (0, ) 2 W (0, ) m(0)() * k W (0, ) = w0(), + c2 = -, (5.2.1) 2 2 D*aили W (0, ) 3 W (0, ) 3 W (0, ) p*() = *(), + c2(2 - ) = -, (5.2.2) 3 2 D*a тогда -k() = a(k)j() + m(0)(), (k = 1, 2) (*) j k j=Выражения для a(k) и m(0) для каждого варианта ГУ приводятся в работе.

j k В случае, когда на стороне 0 заданы условия 2 W (0, ) 2 W (0, ) m(0)() k + c2 = -, 2 2 D*a3 W (0, ) 3 W (0, ) p*() + c2(2 - ) = -. (5.3) 3 2 D*a имеем d2 -k 2 d2 j = b(k)j() + a(k) + m(0)(), (k = 1, 2) (**) j j d 2 d 2 k j=-2 j=Выражения для a(k) и m(0) для данного варианта ГУ также приводятся в работе.

j k Аналогичные результаты получаются на стороне N.

В зависимости от сочетания вариантов ГУ на сторонах 0 и N методика дальнейшего решения будет отличаться деталями. В случаях условий (5.1) и (5.2) на сторонах 0 и N функции W представляются в виде N W (, ) = j()j() + M1(, ). (6) j=Выражение для M1(, ) известно и приводится в работе. Далее выражение (6) подставляется в (1) и требуется, чтобы результат подстановки выполнялся в точн ках коллокации. В результате получается система обыкновенных дифференциальн ных уравнений, которое представляется в виде d4 d2 A0 = A2 + A4() + Q*(), (7) d 4 d где () = j(), (j = 0, N) (***) а коэффициенты A0, A2, A4 и компоненты Q*() - известны. Данная система ОДУ стандартным методом приводится к системе ОДУ 1 порядка, записанной в норн мальной форме Коши. ГУ для вектора () можно представить в виде H1 (0) = e1, H2 (1) = e2. (8) Полученная краевая задача (7),(8) решается численно методом дискретной ортон гонализации Годунова.

Если сторона 0 закреплена заданным образом, а при N задана внешняя нагрузка, то W имеет вид N+W (, ) = j()j() + M2(, ), (9) j=Тогда после подстановки (9) в (1) и требования, чтобы результат подстановки вын полнялся в точках коллокации, получается система N дифференциальных уравн нений 4 порядка, к которой следует добавить дифференциальные соотношения для N+1 и N+2, определяемых соотношением (**). Полученная в этом случае система уравнений после преобразований принимает вид d4 d2 1 B0 + B2 + B4 () + Ri N+1 + Ri N+2 = Q* (), (10) d 4 d и сводится к системе уравнений 1го порядка, записанной в нормальной форме Коши.

В случае, если на стороне 0 задана внешняя нагрузка, а сторона N закрепн лена заданным образом, то W имеет вид N W (, ) = j()j() + M3(, ). (11) j=-Ход рассуждений в этом случае повторяет предыдущий.

Последнее возможное сочетание граничных условий получается, когда сторон ны 0 и N загружены усилиями заданной интенсивности. В этом случае система N+1 уравнений получается в результате подстановки N+W (, ) = j()j() + M4(, ), (12) j=-в (1), к которой добавляются уравнения (**) и им подобные для N+1, N+2.

Тогда d4 d2 1 2 1 B0 + B2 + B4 () + Ri N+1 + Ri N+2 + Ri -1 + Ri -2 = Q* ().

d 4 d ГУ в данном случае должны выполняться как в точках коллокации, так и в конн цевых точках сторон пластинки.

Полученные краевые задачи во всех перечисленных случаях решаются чисн ленно устойчивым методом дискретной ортогонализации Годунова.

Для оценки эффективности предлагаемой модификации были решены три модельные задачи, которые допускают применение метода сплайн - коллокации в классической форме. Рассматривались стальные квадратные пластинки, изгибан емые равномерно распределенной по поверхности пластинки нагрузкой q(, ) = const, стороны = 0, = 0, = 1 которых жестко закреплены. При = 1 прин нимались три варианта граничных условий: 1) жесткая заделка; 2) шарнирное опирание и 3)свободная от закрепления незагруженная сторона. В этом случае прогиб ищется в виде N+W (, ) = j()Wj(). (13) j=Сравнение результатов, полученных как классическим, так и модифицированным методом, показывает их совпадение с точностью до трех значащих цифр.

Для иллюстрации возможностей предлагаемой модификации были решены несколько задач. Рассматривались задачи определения НДС квадратных изотропн ных пластинок с двумя свободными смежными сторонами, изгибаемых равномерн но распределенной по поверхности пластинки нагрузкой q(, ) = const, стороны = 1, = 1 свободны. В задаче 1 стороны = 0, = 0 свободно оперты, в задаче 2 стороны = 0, = 0 жестко защемлены, в задаче 3 сторона = 0 зан щемлена, а сторона = 0 свободно оперта. Точка = = 1 в перечисленных случаях считается свободной. По результатам вычислений построены графики изменения безразмерного прогиба W в точках диагонали = и вдоль стороны = 1 (рис.2). Номера кривых соответствуют номеру задачи, кривая 4 изображает поведение функции W (1, ).

Рис. 2.

Рассматривались аналогичные задачи, когда точка = = 1 подкреплен на шарниром. На рис. 3 и 4 приведены графики изменения функции w*(, ) = Рис. 4.

Рис. 3.

W (, )/ max |W (, )| соответственно для задач 2 и 3.

Также рассмотривалась задача определения НДС изотропной пластинки, чен тыре угловые точки которой подкреплены шарнирами. На пластинку действует распределенная нагрузка интенсивности q(, ) = const. При = 0, = 1 Mx = Qx = 0, при = 0, = 1 My = Qy = 0, в угловых точках O, A, B и C W = My = 0. Вычисления были выполнены для стальной и алюминиевой пластин нок. Рис.5 - поверхность функции W*(, ) = W (, )/ max |W (, )| для стальной пластинки.

Для стальной пластинки max W = 1, 39310-4, для пластинки, изготовленной из алюминия max W = 3, 893 10-4.

Рис. 5. Рис. 6.

Для пластинки, у которой точки О, А, В подкреплены шарнирами, а точка С свободна, график изогнутой срединной поверхности приведен на рис.6.

В работе также исследовались задачи изгиба консольной изотропной пластинн ки, где край = 0 жестко закреплен,а остальной контур свободен. Угловые точки В и С либо подкреплены шарнирами (My = 0, w = 0) (задача a), либо свободны (My = 0, Hxy = 0) (задача b). Изгиб пластинки осуществляется либо распределенн ными вдоль = 1 изгибающими моментами (задача 2), либо распределенными вдоль = 1 перерезывающими силами (задача 1), либо равномерно распределенн ной по всей поверхности пластинки нагрузкой (задача 3). Проведено подробное исследование влияния отношения сторон c на характеристики НДС.

Рис. 7. Ч задача 2.а Рис. 8. Ч задача 2.b Построены графики функции w(, 0.5) = W (, 0.5)/ max W (, 0.5).

Кривая 1(сплошная линия) построена для значения c = 0.03, кривая 2 (пункн тирная линия) - для c = 1. На рис.7 кривая 3 (штрих-пунктирная линия) соответн ствует значениям 0.1 w(, 0.5) при c = 20, на рис. 8 - 12 эта кривая изображает Рис. 9. Ч задача 1.а Рис. 10. Ч задача 1.b Рис. 11. Ч задача 3.а Рис. 12. Ч задача 3.b функцию w(, 0.5) при c = 33.

Также в первой главе работы рассмотрена задача изгиба пластинки, составн ленной из двух различных изотропных материалов (рис.13).

В этом случае для прогибов каждой из частей план стинки имеют место уравнения (k) (k) (k) 4W 4W 4W qk((k), ) +2c2 +c4 =, (k = 1, 2).

(k) (k)4 k (k)22 k D* (14) Решение этих уравнений должно быть подчинено услон Рис. 13.

виям закрепления краев и условиям на линии контакта.

Методика решения этих уравнений подробно изложена в работе.

Во второй главе работы рассматривается методика исследования НДС прян моугольных пластинок из ортотропного материала. Предполагается, что главные направления анизотропии параллельны краям пластинки. Тогда в соответствии с гипотезами Кирхгофа дифференциальное уравнение для безразмерного прогиба имеет вид 4 W 4W W D1 + 2D3c2 + D2c4 = q(, ). (16) 4 2 2 В этом случае численное решение также можно получить модифицированным методом сплайн - коллокации, изложение которого применительно к орторопным пластинкам приведено в работе. Данная методика была применена при решении задач, в которых стороны = 0 и = 0 жестко закреплены, остальная часть контура свободна. Угловая точка C либо свободна от закрепления - задача 1, либо подкреплена шарниром - задача 2. Пластинка деформируется равномерн но распределенной нагрузкой q(, ) = 1. На рис. 14 (задача 1) и рис.15 (зан Рис. 15.

Рис. 14.

дача 2) приводится изогнутая срединная поверхность пластинки из СВАМ 5:1.

Также исследовались задачи изгиба распределенной по поверхности нагрузкой q(, ) = const ортотропной план стинки при шарнирном закреплении четырех или трех угловых точек.

Графики изменения прогиба (для задачи 1) для Рис. 16.

различных материалов вдоль одной из диагоналей план стинки приведены на рис. 16. Здесь кривая, изображенная штриховой линией, соответствует материалу АГ-4с (E1 = 2.1 1010, E2 = 1.6 1010, 1 = 0.09188, 2 = 0.07), кривая, изображенная пунктирной линией Ч дельта - древесине (E1 = 3.05 1010, E2 = 0.457 1010 1 = 0.1328, 2 = 0.02), сплошная линия показывает изменение прогиба вдоль диагонали для стальной пластинки. В силу симметрии графики построены для значений 0.5.

В третьей главе работы рассматриваются установившиеся колебания план стинок из изотропного материала. По-прежнему деформации предполагаются ман лыми. Решение проводится в рамках справедливости гипотез Кирхгофа. Уравнен ние для амплитудного значения прогиба при динамическом изгибе изотропной пластинки имеет вид 4 W 4 W 4 W D + 2c2 + c4 - h02W (, ) = q0(, ). (17) 4 2 2 В данном случае численное решение также можно получить модифицированным методом сплайн - коллокации, изложение которого для случая установившихся колебаний изотропных пластинок приводится в работе.

Данный подход использовался для исследования колебаний изотропных квадн ратных пластинок с двумя свободными смежными сторонами под действием расн пределённой нагрузки q(, , t) = p0 sin(t), p0 = const. Здесь = 0, 3, стороны = 1, = 1 свободны. Стороны = 0, = 0 либо свободно оперты (задача 1), либо жестко защемлены (задача 2), либо сторона = 0 защемлена, а сторона = 0 свободно оперта (задача 3).

Рис. 17.

На рис. 17а - 18а (задача 1) и рис 17б - 18б (задача 3) изображены формы изогнутой поверхности при = k - , (k = 2, 3), Ч мало. График изогнун той поверхности пластинки для частоты, близкой к первой критической частоте, качественно подобен графику, приведенному для статического случая.

Рис. 18.

Исследовались задачи колебаний изотропных квадратных пластинок с шарнирн ным опиранием 4 угловых точек под действием распределенной нагрузки q(, , t) = p0 sin(t), p0 = const.

Рис. 19.

Рис. 20.

На рис. 19, 20 - формы изогнутой поверхности стальной пластинки с шарнирн ным опиранием в 4 угловых точках для частот k - , (k = 2, 3)).

В четвертой главе работы рассматриваются установившиеся колебания пластинок из ортотропного материала.

Уравнение для амплитудного значения прогиба при динамическом изгибе орн тотропной пластинки имеет вид 4 W 4 W 4 w + 4c2 + 1c4 - 4W = q0(, )/D1, (18) 4 2 2 где 4 = h2a22/D1 Ч безразмерный частотный параметр,1 = D2/D1, 2 = 2Dk/D1, 3 = (D3 + 2Dk)/D1, 4 = 2D3/D1. Выражения для амплитудных значен ний внутренних моментов и обобщенных поперечных усилий приводятся в работе.

Граничные условия для функции W (, ) определяются способом закрепления и нагружения контура пластинки. Для численного решения соответствующей кран евой задачи применяется модифицированный метод сплайн - коллокации. Для ортотропной пластинки также решались задачи определения амплитудных хан рактеристик НДС пластинок, изгибаемых равномерно распределенной нагрузкой q(, , t) = p0 sin(t), p0 = const, у которых смежные стороны = 0, = 0 жестн ко защемлены, стороны = 1, = 1 свободны, точка пересечения свободных сторон либо свободна (задача 1), либо подкреплена шарниром (задача 2). Матен риал АГ-4с, = 1900кг/м2.

Рис. 22.

Рис. 21.

На рис. 21, 22 изображены формы изогнутой поверхности для частот k , (k = 2, 3)) для задачи 1, а на рис. 23, 24 - для задачи 2.

Рис. 23. Рис. 24.

Аналогичные исследования были проведены для такой же пластинки, у кон торой все угловые точки подкреплены шарнирами. Соответствующие графики приводятся на рис. 25,26.

Для всех перечисленных случаев значения первых трех резонансных частот приведены в работе.

Рис. 25. Рис. 26.

В пятой главе работы модифицированный метод сплайн-коллокации прин меняется для исследования установившихся колебаний вязкоупругой пластинки при произвольных граничных условиях на боковой поверхности.

Для такой пластинки прогиб W (, , t) представляется в виде W (, , t) = W1(, ) cos t + W2(, ) sin t. Тогда для безразмерных составляющих прогиба Wk = h(-1)w(k) система уравнений в безразмерных переменных может быть запин сана в виде 4 Wk 4 Wk 4 w + 2c2 + c4 + (-1)k2 k+r-1Wr = (-1)k-1dkq0(, ), (19) 4 2 2 r=где Ek dk = 12(1 - 2)h-4, k = h2dk, (k = 1, 2), d3 = -d1, 3 = -1, 2 E1 + E E1 + iE2 = K(s)eisds Ч комплексный модуль материала, E3 = -E1, h0 = h/a Ч безразмерная толщина пластинки, Ч плотность материала.

Соответствующие формулы для составляющих внутренних моментов и усин лий в пластинке приведены в работе.

Были исследованы колебания вязкоупругой квадратной пластинки, стороны = 1, = 1 которой свободны, стороны = 0, = 0 жестко закреплены, под действием распределенной нагрузки q(, , t) = p0 sin(t), p0 = const. Материал ЭД-6 МА ( = 1250кг/м3, E1 = 2.7 109H/м2, E2/E1 = 0.015, = 0.4).

На рис. 27, 28 изображены графики поверхностей первой и второй составлян ющей прогиба для первой критической частоты 1, на рис. 29, 30 Ч для второй Рис. 27.

Рис. 28.

Рис. 29. Рис. 30.

Рис. 31.

Рис. 32.

критической частоты 2, на рис. 31, 32 - для третьей критической частоты 3. Пон дробные выкладки и результаты расчетов приведены в диссертационной работе.

Основные результаты и выводы Основной результат диссертационной работы состоит в построении модифин цированного метода сплайн-коллокации. Предложенная модификация сущен ственно расширяет класс численно разрешимых задач статического изгиба и установившихся колебаний при сложных условиях закрепления контура.

Для малых значений отношения сторон (c 0.2) НДС консольной пластинн ки близко к НДС соответствующим образом изгибаемого стержня прямон угольного сечения, а при больших значениях отношения сторон (c 10) прогибы пластинки конечных размеров стремятся к прогибам бесконечно длинной в направлении полосы.

Анизотропия материала оказывает существенное влияние на размеры и форн мы "горбовУ и "впадинУ на изогнутой срединной поверхности пластинки, а в случае установившихся колебаний, помимо этого, существенно влияет на значения резонансных частот.

В случае вязкоупругой пластинки при любых значениях частоты амплитуда прогиба остается ограниченной. Для значений частот, отличных от критин ческих, значение первой составляющей прогиба W1 значительно превышает по величине значение второй составляющей W2. При подходе к критической частоте обе составляющие возрастают, причем W2 растет быстрее W1. Когда частота внешнего возбуждения равна критической, W2 значительно превосн ходит W1.

Публикации 1. Ромакина, О.М. Метод сплайн-коллокации и его модификация в задачах статического изгиба тонкой ортотропной прямоугольной пластинки / О.М.

Ромакина, Ю.В. Шевцова // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика.

Механика. Информатика. 2010. Т. 10 вып. 1 С. 78 Ч 2. Ромакина, О.М. Модифицированный метод сплайнЦколлокации в задачах изгиба прямоугольных пластинок / П.Ф.Недорезов, Ю.В.Шевцова, О.М.Ромакина // Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. Второй Всерос. нан учн. конф. Самара: СамГТУ, 2005. Ч.1. С. 203Ц209.

3. Ромакина, О.М. Модифицированный метод сплайн - коллокации в задачах о колебаниях тонкой прямоугольной вязкоупругой пластинки // П.Ф.Недорезов, О.М. Ромакина, Р.А.Сафонов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. Сер.. 2010. т.10. Сер.

Математика. Механика. Информатика, выпуск 3. С.59-64..

4. Ромакина, О.М. О модификации метода сплайнЦколлокации в задаче статин ческого изгиба прямоугольных пластинок / П.Ф.Недорезов, О.М. Ромакина // Смешанные задачи механики деформируемого тела. Материалы. V Росс.

конф. с междунар. участием. Саратов: СГУ, 2005. С.237Ц242.

5. Ромакина, О.М. Об установившихся поперечных колебаниях прямоугольной пластинки из ортотропного материала / О.М. Ромакина // Изв. Сарат. унн та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Т. 10 вып. С. 71 Ч 6. Ромакина, О.М. Статическая и динамическая задача изгиба пластинки / А.В. Аристамбекова, О.М. Ромакина// Сб. науч. тр. Механика. Математика, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 12 вып., 2010. С. 132 Ч 135.

7. Ромакина, О.М. Установившиеся изгибные колебания прямоугольной изон тропной пластинки с частично закрепленным контуром / П.Ф. Недорезов, О.М. Ромакина // Труды XXI Mеждунаpодной конф. по теоpии оболочек и пластин. (Саратов, 14 - 16 ноябpя 2005 г.). - Саратов: СГТУ, 20.

8. Ромакина, О.М. Численное исследование изгиба кусочно - однородной прян моугольной пластинки из изотропного материала / П.Ф.Недорезов, О.М.

Ромакина // Изв. Сарат.ун-та. Нов. Сер.. 2008. т.8. Сер. Математика. Механ ника. Информатика. Выпуск 1. С.43-50.

9. Ромакина, О.М.. Численное исследование НДС при изгибе прямоугольных пластинок с двумя свободными смежными краями / П.Ф. Недорезов, О.М.

Ромакина // Смешанные задачи механики деформируемого тела. Тез. докл.

V Росс. конф. с междунар. участием. Саратов: СГУ, 2005. С.112.

Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по разным специальностям