Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
БАРАНОВ Антон Дмитриевич
МОДЕЛЬНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ПРОСТРАНСТВ ХАРДИ (НЕРАВЕНСТВА БЕРНШТЕЙНА, СИСТЕМЫ ВОСПРОИЗВОДЯЩИХ ЯДЕР, ТЕОРЕМЫ ТИПА БЕРЛИНГАЦМАЛЬЯВЕНА)
01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2011
Работа выполнена на кафедре математического анализа математикомеханического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.
НАУЧНЫЙ КОНСУЛЬТАНТ доктор физико-математических наук, профессор В.П. ХАВИН ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ доктор физико-математических наук, профессор В.В. Власов доктор физико-математических наук, профессор Н.К. Никольский доктор физико-математических наук, профессор Б.Н. Хабибуллин ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ Математический институт им. В. А. Стеклова РАН
Защита диссертации состоится 27 июня 2011 г. в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В.А. Стеклова РАН по адресу 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, к. 311.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института имени В.А. Стеклова.
Автореферат разослан _____ ____________ 2011 г.
Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук А. Ю. Зайцев
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Теория модельных пространств представляет собой обширный и активно развивающийся раздел современного анализа. В важном частном (скалярном) случае модельные пространства K определяют равенством K = H2 H2, где H2 - пространство Харди в единичном круге D (или в верхней полуплоскости C+), а - внутренняя функция. Согласно классической теореме А. Берлинга подпространства K и только они инвариантны относительно оператора обратного сдвига в H2.
Становление теории модельных пространств относится к 1960-м годам, когда Б. Секефальви-Надь и Ч. Фойаш построили свой замечательный вариант спектральной теории - функциональную модель операторов сжатия в гильбертовом пространстве. Как оказалось, всякий оператор n сжатия T такой, что последовательность {T }n0 поточечно сходится к нулю, может быть реализован как сужение оператора "кратного сдвига" на некоторое инвариантное подпространство оператора обратного сдвига. В простейшем варианте теории, когда I - T T - оператор ранга 1, соответствующее подпространство совпадает с подпространством K в скалярном пространстве Харди. Отсюда происходит ныне широко используемый термин модельное (под)пространство.
Модельные пространства играют исключительно важную роль как в теории операторов, так и в комплексном анализе. В 1960-х годах они возникают в работах Х. Шапиро, А. Шилдса, Н.К. Никольского о базисах Рисса (безусловных базисах) из ядер Коши в пространстве H2 (соответственно в Hp). В 1970-е годы существенный вклад как в изучение аналитических свойств элементов модельных пространств, так и в теорию операторов на модельных пространствах, внесли работы П. Ахерна и Д.
Кларка (существование граничных значений, меры Кларка), а позднее работы Д. Сарасона и У. Кона. Модельные пространства связаны с теорией гильбертовых пространств целых функций Л. де Бранжа, имеющей важнейшие приложения в спектральной теории одномерных операторов Шредингера и двумерных канонических систем. А именно, имеется естественный унитарный изоморфизм между пространствами де Бранжа и модельными пространствами в C+, порожденными мероморфными внутренними функциями).
Теория модельных пространств стала одним из важнейших направлений деятельности ленинградской школы теории функций. Значительные результаты в этой области были получены Н.К. Никольским. А.Б.
Александровым, В.И. Васюниным, А.Л. Вольбергом, С.Р. Треилем, К.М.
Дьяконовым, А.Г. Полторацким. В работах А.Л. ВольбергаЦС.Р. Треиля и А.Б. Александрова были получены важные результаты по поставленной в 1982 году У. Коном и до сих пор полностью не решенной задаче об описании вложений карлесоновского типа для модельных пространств.
Эта задача представляет особый интерес в свете недавних работ Д. Сарасона об усеченных операторах Теплица. Неравенства типа Бернштейна для модельных пространств были получены в серии работ К.М. Дьяконова (отметим, что очень частным случаем модельных пространств являются пространства рациональных функций с фиксированными полюсами, в которых неравенства Бернштейна изучались М.Б. Левиным, В.Н. Русаком, П. Борвейном и Т. Эрдейи и др.). В работе Н.К. Никольского, С.В. Хрущева и Б.С. Павлова были получены основополагающие результаты об описании базисов Рисса из воспроизводящих ядер в модельных пространствах. Как частный случай их результаты содержат решение знаменитой задачи Пэли и Винера о базисах из экспонент.
В настоящее время теория модельных пространств представляет собой активно развивающуюся область операторно-ориентированной теории функций. Недавние продвижения в ней связаны с работами В.П. Хавина (в соавторстве с Дж. Машреги и Ф.Л. Назаровым) о допустимых мажорантах для модельных пространств и с работами Н.Г. Макарова и А.Г. Полторацкого о полноте систем воспроизводящих ядер и инъективности операторов Теплица. В первом цикле работ был предложен существенно новый подход к теореме БерлингаЦМальявена о мультипликаторе и доказаны теоремы о допустимых мажорантах для модельных пространств. В работах Макарова и Полторацкого построен аналог теории БерлингаЦМальявена, получены результаты о полноте систем воспроизводящих ядер, обобщающие теорему БерлингаЦМальявена о радиусе полноты для семейств экспонент, и рассмотрены приложения к проблемам полноты собственных функций операторов Шредингера.
Цель работы. Целью диссертации является исследование теоретикофункциональных и геометрических свойств модельных подпространств пространства Харди и пространств целых функций де Бранжа, а именно:
исследование граничного поведения производных элементов модельного подпространства; доказательство весовых оценок для производных;
доказательство новых теорем вложения карлесоновского типа; получение критериев компактности оператора вложения и его принадлежности идеалам ШаттенаЦфон Неймана; исследование геометрических свойств систем воспроизводящих ядер в модельных пространствах и их устойчивости; описание допустимых мажорант для модельных подпространств, доказательство новых теорем типа БерлингаЦМальявена, исследование зависимости класса допустимых мажорант от распределения нулей порождающей целой (или мероморфной) функции.
Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке.
1. Доказаны существенно новые весовые неравенства типа Бернштейна, то есть весовые оценки производных для элементов модельных подпространств, и в частности, для пространств мероморфных функций с фиксированными полюсами; установлена оптимальность участвующих весов.
2. Выяснена связь неравенств Бернштейна в модельных подпространствах с теоремой П. Кусиса о внутреннеЦкомпактных подпространствах.
Решена задача К.М. Дьяконова о необходимости условия ограниченности производной внутренней функции для справедливости неравенства Бернштейна в модельных подпространствах в H1.
3. Доказаны новые варианты теорем вложения карлесоновского типа для модельных подпространств. Найдены критерии компактности оператора вложения и его принадлежности идеалам ШаттенаЦфон Неймана.
4. Доказаны неравенства типа Бернштейна для элементов пространств де БранжаЦРовняка. Впервые рассмотрена задача о вложениях пространств де БранжаЦРовняка.
5. Доказаны теоремы об устойчивости базисов Рисса из воспроизводящих ядер в модельных подпространствах относительно малых возмущений, найдены качественно оптимальные условия устойчивости.
6. Исследованы критерии полноты системы воспроизводящих ядер (множества единственности для модельных подпространств). Получены результаты об устойчивости свойства полноты и критерии полноты в терминах некоторой плотности.
7. Доказаны теоремы типа БерлингаЦМальявена для модельных подпространств, получены новые описания допустимых мажорант, доказано существование минимальных мажорант.
8. Исследована зависимость класса допустимых мажорант от распределения нулей порождающей внутренней функции, для некоторых типовых распределений (степенное распределение в полосе и полуполосе) найдены как необходимые, так и достаточные условия допустимости.
9. Получены геометрические критерии существования минимальной мажоранты и плотности полиномов в пространствах де Бранжа, обобщающие результаты Н.А. Ахиезера и В.П. Гурария.
10. Исследована связь допустимых мажорант со структурой подпространств в пространствах де Бранжа. Доказано, что любое подпространство может быть получено с помощью мажорирования. Полностью описаны подпространства, получаемые мажорированием на вещественной прямой, мнимой оси и на лучах.
Методы исследования. Общая черта вышеперечисленных исследований заключается в том, что рассматриваемые задачи естественным образом сводятся к вопросам теории сингулярных интегральных операторов, в частности, операторов КальдеронаЦЗигмунда и их модификаций (в том числе весовых). Помимо методов теории сингулярных интегралов в работе существенно используются результаты и техника теории целых функций (функции вполне регулярного роста, различные варианты принципа ФрагменаЦЛинделефа), а также теории квазианалитических классов.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании модельных подпространств пространства Харди и пространств целых функций де Бранжа, а также действующих в них операторов; в частности, при изучении мер Карлесона и задач интерполяции в модельных подпространствах, при исследовании усеченных операторов Теплица на модельных подпространствах, при исследовании геометрических свойств воспроизводящих ядер и их применении к вопросам полноты и базисности собственных функций дифференциальных операторов.
Апробация. Результаты диссертации неоднократно докладывались на международных конференциях: "American Mathematical Society Meeting" (Майнц, 2005), "Spaces of Analytic Functions and Their Operators" (Марсель, 2006), "Modern Complex Analysis and Operator Theory and Applications" (Эль-Эскориал, Испания, 2009), "Operator Theory and Harmonic Analysis" (Обервольфах, 2010), "St. Petersburg Summer Meeting in Mathematical Analysis" (С.-Петербург, 2003, 2004, 2006, 2008), на Зимней математической школе в Воронеже (2009), а также на ряде семинаров по анализу и теории функций: на семинаре по комплексному анализу под руководством академика РАН А.А. Гончара, член-корр. РАН Е.М. Чирки и проф. А.И. Аптекарева в Математическом институте РАН (2007), на семинаре С.-Петербургском отделении Математического института РАН (2003-2010), на семинаре по многомерному комплексному анализу (семинар Витушкина) в Московском государственном университете (2010), на семинаре под руководством проф.
Б.Н. Хабибуллина в Башкирском государственном университете (Уфа, 2010), на семинаре по теории функций и комплексному анализу под руководством чл.-корр. РАН В.В. Напалкова в Институте математики с В - УН - РАН (Уфа, 2010), а также в университете Париж 6, в университетах Марселя, Бордо, в Королевском техническом университете (Стокгольм) и в Венском техническом университете.
Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в 17 работах, список которых приведен в конце автореферата. Из этих работ статьи [1]Ц[15] опубликованы в журналах из списка ВАК (6 статей в российских журналах и 9 статей в ведущих зарубежных журналах). Из совместных работ [8, 10, 11, 13, 14, 15] в диссертацию включены только результаты автора.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и глав. Общий объем работы - 285 страниц, библиография включает 1наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
В диссертации получены новые результаты, относящиеся к теоретикофункциональным и геометрическим свойствам модельных пространств.
Можно выделить следующие основные направления исследований: весовые неравенства Бернштейна для модельных пространств; приложения неравенств Бернштейна к теоремам вложения карлесоновского типа; геометрические свойства систем воспроизводящих ядер (полнота, описание базисов Рисса и их устойчивость); допустимые мажоранты для модельных пространств, теоремы типа БерлингаЦМальявена.
Между вышеназванными задачами имеется целый ряд внутренних связей. Неравенства Бернштейна используются при доказательстве теорем вложения и результатов об устойчивости базисов, а задача о допустимых мажорантах тесно связана с вопросами единственности и полноты систем воспроизводящих ядер.
Введение. Во Введении приведены основные определения и начальные сведения по теории модельных пространств и пространств де Бранжа, после чего дан подробный обзор результатов по исследуемой тематике, и сформулированы все основные результаты диссертации.
Символом Hp, 1 p < , мы будем обозначать стандартное пространство Харди в единичном круге D. Ограниченную аналитическую в D функцию называют внутренней, если || = 1 m-п.в. на T в смысле некасательных граничных значений (m - нормированная мера Лебега на единичной окружности T). Каждой внутренней функции мы сопоставим инвариантное подпространство оператора обратного сдвига K = K = H2 H2.
Ввиду выдающейся роли, которую подпространства K играют в функциональной модели НадяЦФойаша, мы, следуя Н.К. Никольскому, будем называть подпространство K модельным подпространством пространства Харди (или просто модельным пространством). Мы также будем p p рассматривать Lp-шкалу модельных подпространств K = Hp Hp пространства Hp, 1 p , где H0 = {f Hp : f(0) = 0} = zHp.
Отметим, что в том случае, когда = B - произведение Бляшке с p различными нулями zn с кратностями mn, пространство KB имеет простое геометрическое описание: оно совпадает с замыканием в Hp (или, что равносильно, в Lp(T, m)) линейной оболочки простых дробей с полюсами соответствующих кратностей в точках 1/zn. В частности, если B - p конечное произведение Бляшке, то KB есть пространство рациональных функций с фиксированными полюсами вне замкнутого круга.
Мы будем также рассматривать модельные пространства в верхней полуплоскости, определяемые как p K = Hp(C+) Hp(C+), где Hp(C+), 1 p , - пространство Харди, а - внутренняя функция в полуплоскости. В случае, когда - произведение Бляшке, проp странство K также совпадает с Lp-замыканием дробей с фиксированными полюсами. С другой стороны, если (z) = exp(iaz), a > 0, то p пространство K по существу совпадает с пространством ПэлиЦВинера.
p P Wa (пространством целых функций экспоненциального типа не выше a, сужение которых на вещественную прямую принадлежит Lp(R)), а p p именно K = exp(iaz/2)P Wa/2.
Особый интерес представляет случай, когда функция мероморфна во всей комплексной плоскости C. В этом случае, модельное пространство K канонически изоморфно некоторому пространству де Бранжа H(E) (где E - целая функция класса ЭрмитаЦБилера HB).Теория пространств H(E), построенная Л. де Бранжем, имеет важные приложения в математической физике. В то же время, как показали исследования Ю.И. Любарского, К. Сейпа и Х. Ортега-Серда, Н.Г. Макарова и А.Г.
Полторацкого, М. Кальтенбека и Х. Ворачека, пространства де Бранжа представляют большой интерес с точки зрения теории функций.
Глава 2. Неравенства Бернштейна для модельных пространств.
Неравенства Бернштейна для рациональных функций изучались в работах Е.П. Долженко, В.И. Данченко, А.А. Пекарского, В.В. Пеллера и многих других авторов для различных норм (ХардиЦСоболева, ХардиЦБесова, BMOA). Как правило, рассматриваются оценки вида f (n) f, f Rn, где Rn - пространство всех правильных раX Y циональных функций со степенью знаменателя не выше n и с полюсами в {|z| > 1}, X и Y - некоторые нормированные пространства аналитических в круге функций, а - некоторая возрастающая (часто степенная) функция. Таким образом, для данной пары функциональных пространств X и Y представляет интерес зависимость нормы оператора дифференцирования, действующего из (Rn, ) в Y, от степени n. ПоX добные неравенства оказываются важным инструментом при решении обратных задач наилучших рациональных приближений.
В диссертации рассмотрены оценки производных в модельных подпространствах пространства Харди в круге и в полуплоскости, и, в частности, в пространствах KB, где B - произведение Бляшке, то есть для функций, допускающих аппроксимацию рациональными функциями с фиксированными полюсами. При этом интересен случай бесконечных произведений Бляшке, и поэтому необходимо получить оценки, зависящие не от степени рациональной функции, а от некоторых характеристик распределения нулей.
Одно из первых неравенств такого рода было получено М.Б. Левиным1 (другие доказательства и обобщения были предложены в работах В.Н. Русака, П. Борвейна и Т. Эрдейи2, В.Н. Дубинина и С.И. Калмыкова3). Пусть - внутренняя функция в круге. Если для некоторой точки T функция имеет в точке конечную угловую производную (), то для всякой функции f K производная f () существует в смысле некасательных граничных значений и |f ()| | ()| f. (1) Другое близкое к нашей теме направление - неравенства Бернштейна для целых функций экспоненциального типа. Классическим результатом в этом направлении является неравенство Бернштейна для пространства М.Б. Левин, Оценка производной от мероморфной функции на границе области, Докл. АН СССР 15 (1974), 3, 831Ц834.
P. Borwein, T. Erdelyi, Sharp extensions of BernsteinТs inequality to rational spaces, Mathematika 43 (1996), 2, 413Ц423.
В.Н. Дубинин, С.И. Калмыков, Принцип мажорации для мероморфных функций, Матем. сб. 198 (2007), 12, 37Ц46.
p ПэлиЦВинера: f a f, f P Wa, 1 p . Это неравенство поp p служило основой для многочисленных обобщений в работах Б.Я. Левина, Ю.А. Брудного и Е.А. Горина, К. Рахмана и Г. Шмайссера, В. Тотика и других.
p Для модельных пространств K в верхней полуплоскости неравенства Бернштейна были исследованы К.М. Дьяконовым, показавшим, p что дифференцирование ограничено как оператор из K в Lp(R) при 1 < p , тогда и только тогда, когда H(C+)4, и компактно тогда и только тогда, когда C0(R)5. При этом p f C(p) f, f K. (2) p p В диссертации получены оценки, сходные с неравенством (2), но применимые к более общим (произвольным) внутренним функциям. Поскольку производная внутренней функции может, вообще говоря, не принадлежать даже классу Неванлинны, необходимо рассматривать весовые неравенства для производных. Преимущество весовых оценок состоит в том, что вес способен компенсировать возможный рост элементов проp странства K и их производных около границы.
Воспроизводящее ядро пространства K в круге, отвечающее точке 1-()(z) D, имеет вид k(z) =. Вес, участвующий в неравенстве 1-z p n+Бернштейна для K, зависит от нормы ядра kz в Lq (то есть, фактиp чески, от нормы функционала f f(n)(z), f K). Положим pn n+1 pn+wp,n(z) = kz.
q n+Мы считаем k = и wp,n() = 0, как только T и q S(n+1)q() = ; таким образом, взвешенный оператор дифференцироp вания f(n)(z)wp,n(z) корректно определен для всех f K, z D. Сформулируем основной результат Главы 2:
Теорема 2.1.1. Пусть - мера Карлесона в круге, 1 p < . Тогда оператор (Tp,nf)(z) = f(n)(z)wp,n(z) p имеет слабый тип (p, p) как оператор, действующий из K в Lp(), и r ограничен как оператор из K в Lr() для всякого r > p; более того, существует константа C = C(, p, r, n) такая, что r f(n)wp,n C f, f K. (3) Lr() r К.М. Дьяконов, Целые функции экспоненциального типа и модельные подпространства в Hp, Зап. научн. семин. ЛОМИ 190 (1991), 81Ц100.
K.M. Dyakonov, Differentiation in star-invariant subspaces I: Boundedness and compactness, J. Funct. Anal. 192 (2002), 364Ц386.
Неравенство (1) представляет собой предельный случай теоремы 2.1.(wp,1() | ()|-1 при p ). В з2.5 построены примеры, показывающие, что вес wp,n(z) в неравенстве Бернштейна из теоремы 2.1.1 в определенном смысле оптимален. Он тесно связан с нормой функционала вычисления производной в точке z, а также с геометрическими свойствами множеств уровня функции . Для (0, 1) положим (, ) = {z D : |(z)| < } и d() = dist (, (, )), T. Тогда dn() wp,n(), T (мы пишем g h, если g Ch для некоторой положительной константы C и всех допустимых значений переменных).
Таким образом, как следствие теоремы 2.1.1 мы получаем, что на граp нице рост производных функций из K контролируется расстоянием до множества уровня.
Следствие 2.1.2. Пусть (0, 1), 1 < p < . Тогда p f(n) dn C(p, n, ) f, f K.
p p Существенную роль в дальнейшем изложении будут играть однокомпонентные внутренние функции, то есть такие внутренние функции , что множество (, ) связно для некоторого (0, 1). В этом случае справедлива следующая оценка, аналогичная неравенству М.Б. Левина (1).
Следствие 2.1.4. Пусть - однокомпонентная внутренняя функция, 1 < p < . Тогда pn 1 - |z| p p |f(n)(z)|p d(z) C(, p, n, ) f, f K, p 1 - |(z)| для всякой меры Карлесона , и, в частности, p f(n) | |-n C(, p, n) f, f K.
p p Доказательство теоремы 2.1.1 основано на теоремах об ограниченности некоторых сингулярных интегральных операторов в пространствах Lp(), связанных с мерами Карлесона. Эти результаты (теоремы 2.2.1 и 2.2.2) представляют, на наш взгляд, самостоятельный интерес.
Глава 3. Неравенства типа Бернштейна для модельных пространств в C+. В Главе 3 рассмотрен еще один тип неравенств Бернштейна для модельных пространств, отличных от неравенств из Главы 2.
p А именно, рассмотрены неравенства вида f | |- C f, f K.
p p В з3.1 устанавливается следующая теорема:
Теорема 3.1.1. Пусть - мероморфная внутренняя функция такая, что L(R), 1 p < и (0, 1/2). Тогда + p p |f (t)|p| (t)|-p+ +dt C-1 f, f K, (4) p R где константа C зависит только от p.
Показатель p - в неравенстве (4) точен.
Одной из мотиваций для изучения именно таких весов служит для нас их роль в теореме К.М. Дьяконова об ограниченности и компактноp сти оператора дифференцирования в K. Очевидно, неравенство (4) существенно сильнее неравенства (2), поскольку возможно, что infR | | = или даже C0(R). Неравенство (4) представляет интерес даже p для случая пространств K, порожденных конечными произведениями Бляшке, т.е. для рациональных функций с фиксированными полюсами.
В з3.2 получены близкие оценки для случая произведений Бляшке с нулями, отделенными от вещественной оси (теорема 3.2.1).
Параграф 3.3 посвящен свойствам оператора дифференцирования в модельных подпространствах в H1. Основной результат параграфа состоит в построении Теорема 3.3.3. Существует произведение Бляшке B, такое, что KB KB и оператор дифференцирования D : f f ограничен из KB в L1(R), но B L(R).
/ Теорема 3.3.3 отвечает на вопрос поставленный К.М. Дьяконовым6, о необходимости условия L(R) для справедливости неравенства 1 Бернштейна в пространстве K и для вложения K L(R).
В з3.4 рассмотрена связь ограниченности и компактности операторов дифференцирования с теоремой П. КусисаЦП.Д. Лакса о внутренней компактности. Показано, что теорема Кусиса непосредственно следует из компактности оператора дифференцирования в модельных пространствах. Также найдена интерпретация ограниченности оператора дифференцирования в терминах операторов сдвига (теорема 3.4.3).
Глава 4. Теоремы вложения карлесоновского типа для модельных пространств. В 1982 году У. Кон7 поставил следующую задачу:
К. М. Дьяконов, Целые функции экспоненциального типа и модельные подпространства в Hp, Зап. научн. семин. ЛОМИ 190 (1991), 81Ц100.
B. Cohn, Carleson measures for functions orthogonal to invariant subspaces, Pacific J. Math. 103 (1982), 2, 347Ц364.
для данных внутренней функции и показателя p 1 описать бореp левские меры в замкнутом круге D T такие, что пространство K вложено в Lp() или такие, что вложение компактно. Вложениям модельных пространств посвящены работы У. Кона, А.Л. Вольберга и С.Р.
Треиля, А.Б. Александрова, Д. Сарасона, А.Л. Вольберга и Ф.Л. Назарова, Дж. Симы и А. Мейтсона, Несмотря на целый ряд интересных чаp стичных результатов, вопрос остается открытым. Вложение K Lp() равносильно оценке p f C f, f K.
Lp() p Множество мер с вышеуказанным свойством мы обозначим через Cp().
Геометрическое условие на меру , достаточное для вложения проp странства K в Lp(), принадлежит А.Л. Вольбергу и С.Р. Треилю8:
p вложение K Lp() имеет место, если найдется (0, 1) такое, что (S(I)) C|I| для всех квадратов Карлесона S(I), удовлетворяющих условию S(I) (, ) = .
Таким образом, достаточно проверить условие Карлесона только для квадратов, пересекающих множество уровня. Обозначим через C() класс мер, удовлетворяющих условию теоремы ВольбергаЦТреиля для некоторого (0, 1).
Особый интерес представляет случай, когда = an - дисn n кретная мера; тогда вложение равносильно свойству Бесселя для системы воспроизводящих ядер {k }. С другой стороны, если = wm, где n w L2(T), то проблема вложения оказывается связанной со свойствами усеченного оператора Теплица Awf = P(wf). В настоящее время происходит интенсивное изучение усеченных операторов Теплица, инициированное работой Д. Сарасона.
Мы используем подход к теоремам вложения, основанный на неравенp ствах Бернштейна для пространств K, полученных в Главе 2. Этот подход позволил получить существенно новые теоремы вложения, обобщающие теорему ВольбергаЦТреиля и результаты Кона, а также результаты о компактности оператора вложения и его принадлежности идеалам ШаттенаЦфон Неймана. Теорема вложения 4.1.1 дает наиболее общее из известных на данный момент условие, достаточное для ограниченности или компактности вложения.
А.Л. Вольберг, С.Р. Треиль, Теоремы вложения для инвариантных подпространств оператора обратного сдвига, Зап. научн. семин. ЛОМИ 149 (1986), 38Ц51.
Обобщенным квадратом Карлесона со стороной длины h в единичном круге будем называть множество вида h S(h0, 0, h) = {ei : h0 - h0, 0 0 + h}, 2 где h0 (0, 1], 0 R и 0 < h < 2h0. Мы будем обозначать через J(S) внешнюю сторону квадрата S, то есть J(S) = {h0ei : 0 0 + h}.
Пусть {Sk}kN - последовательность квадратов в D, пусть Jk обозначает внешнюю сторону квадрата Sk, и пусть J обозначает меру Лебега k на дуге Jk. Предположим, что 1 < r < p, а квадраты Sk удовлетворяют следующим двум условиям: мера J является мерой Карлесона, и k k p -sup |Jk| wr < , (5) Lq(Jk) k r r+где wr(z) = wr,1(z) = kz, 1/r + 1/r = 1, - вес из теоремы 2.1.1.
r Иначе говоря, последовательность квадратов {Sk} достаточно редкая, а их размеры контролируются неравенством (5).
Теорема 4.1.1. Пусть семейство квадратов {Sk}kN удовлетворяет вышеуказанным условиям, и пусть - борелевская мера на Sk. Тогда k (i) если (Sk) C|Jk|, то Cp();
p (ii) если, к тому же, (Sk) = o(|Jk|), k , то вложение K Lp() компактно.
Заметим, что, как и в теореме ВольбергаЦТреиля, мы рассматриваем меры с условием Карлесона для специального класса достаточно больших квадратов. Однако квадраты в теореме 4.1.1 могут быть существенно больше, чем в теореме ВольбергаЦТреиля. В частности, если C(), то = 1 + 2, где мера 1 удовлетворяет условиям теоремы 4.1.1 (i) для всех p > 1 и r (1, p) (при некотором выборе семейства квадратов {Sk}), в то время, как 2 C (предложение 4.2.3).
Одно из следствий теоремы 4.1.1 - геометрическое условие, достаточное для компактности вложения, аналогичное теореме Вольберга - Треиля. В случае однокомпонентных функций это условие оказывается также и необходимым. Данная теорема отвечает на вопрос, заданный в 2003 году Дж. Симой и А. Мейтсоном.
Теорема 4.1.2. Пусть 1 < p < , пусть - борелевская мера на D и пусть (0, 1). Тогда условие (i) влечет за собой условие (ii), где (i) для всякого > 0 найдется > 0 такое, что (S(I))/|I| < , как только |I| < и S(I) (, ) = ;
p (ii) вложение пространства K в Lp() компактно.
Если внутренняя функция однокомпонентная, то верно и обратное:
из условия (ii) следует (i).
В з4.4Цз4.5 исследована принадлежность оператора вложения J :
K L2(), Jf = f, идеалам ШаттенаЦфон Неймана Sr. Мы дадим полное описание таких мер для случая однокомпонентной внутренней функций и r 1. Для (0, 1) мы рассмотрим разбиение типа Уитни множества T \ () (где () - спектр внутренней функции ) в объединение дуг Ik со свойством dist (Ik, (, )) |Ik|. Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 4.1.3. Пусть - борелевская мера такая, что supp S(Ik). Предположим, что для некоторого r > k r/(S(Ik) Mr() = < . (6) |Ik| k r Тогда J Sr и J Mr().
Sr Через Rn,m мы обозначим элементы стандартного диадического разбиения круга. Имеет место следующее необходимое условие, аналогичное теореме Д. Люкинга для классических пространств Харди и Бергмана.
Теорема 4.1.4. Пусть (0, 1). Если J Sr, r 1, то r/2n(Rn,m) < . (7) Rn,m(,) = Для однокомпонентных внутренних функций верны утверждения, обратные теоремам 4.1.4 и 4.1.5; в этом случае мы получим полное описание вложений класса Sr, r 1, обобщающее результаты О.Г. Парфенова о вложениях пространств ПэлиЦВинера.
Теорема 4.1.5. Пусть - однокомпонентная внутренняя функция, и пусть - борелевская мера на D T \ (). Тогда оператор вложения J принадлежит идеалу Sr, r 1, в том и только в том случае, когда мера удовлетворяет условиям (6) и (7) для всякого (0, 1).
В Главе 5 результаты Глав 2 и 4 распространены на несколько более широкий класс пространств аналитических функций, а именно на пространства де БранжаЦРовняка H(b) (где b - функция из единичного шара пространства H). Доказаны неравенства Бернштейна для пространств H(b) и впервые рассмотрена задача о вложениях карлесоновского типа для H(b).
Глава 6. Устойчивость базисов Рисса из воспроизводящих ядер.
Исследование свойств полноты и минимальности, описание базисов Рисса и фреймов для систем функций специального вида (и, в частности, для систем воспроизводящих ядер в различных функциональных пространствах) является классической задачей анализа. Однако для изучения геометрических свойств воспроизводящих ядер модельных пространств имеются особые причины. Первая из них связана с тем, что данная задача представляет собой очень естественное обобщение классической задачи гармонического анализа о свойствах систем экспонент в пространстве L2(0, a) (преобразование Фурье сопоставляет системе комn плексных экспонент {e} = {ei t} систему воспроизводящих ядер пространства ПэлиЦВинера). Таким образом, задачи о системах воспроизводящих ядер в модельных пространствах включают в себя как частный случай знаменитую проблему Пэли и Винера о негармонических рядах Фурье, описание фреймов из экспонент и полноту систем экспонент. Вторая важная мотивация для изучения свойств семейств воспроизводящих ядер модельных пространств связана с приложениями к исследованию спектральных задач для операторов Шредингера9.
В этой главе мы рассматриваем модельные пространства в верхней полуплоскости (все результаты переносятся и на случай пространств в круге). Символом k будем обозначать нормированное воспроизводящее ядро пространства K, т.е. k = k/ k.
Полное описание базисов Рисса из экспонент было найдено Н.К. Никольским, Б.С. Павловым и С.В. Хрущевым10. Ими рассмотрен также случай общих модельных пространств, и найдено описание базисов Рисса при дополнительном предположении sup |(n)| < 1. (8) n В этом случае система {k } будет базисом Рисса в K тогда и только n тогда, когда последовательность = {n} удовлетворяет интерполяционному условию Карлесона, и оператор Теплица TB (где B - произ ведение Бляшке с нулями {n}) обратим. Описание базисов из воспроизводящих ядер в общем случае остается открытым вопросом. Более того, C. Remling, Schrdinger operators and de Branges spaces, J. Funct. Anal. 196 (2002), 2, 323Ц394; N. Makarov, A. Poltoratski, Meromorphic inner functions, Toeplitz kernels and the uncertainty principle, Perspectives in analysis, Math. Phys. Stud. 27, Springer, Berlin, 2005, 185Ц252.
S.V. Hruscev, N.K. Nikolskii, B.S. Pavlov, Unconditional bases of exponentials and of reproducing kernels, Lecture Notes in Math. 864 (1981), 214Ц335.
неизвестно даже, в любом ли модельном пространстве есть базис Рисса из воспроизводящих ядер (вопрос, связанный с возможностью аппроксимации произвольной внутренней функции интерполяционными произведениями Бляшке).
Результаты об устойчивости базисов Рисса из экспонент восходят к работам Пэли и Винера, М.И. Кадеца и др. Для воспроизводящих ядер модельных пространств устойчивость базисов из ядер при малых возмущения "частот" n рассматривалась в работах Э. Фрикена и У. Кона.
Так Фрикен11 показал, что при условии (8) базисы Рисса устойчивы при z-w возмущениях, малых в псевдогиперболической метрике (z, w) =.
z-w У. Коном были получены результаты другого рода, относящиеся к возмущению ортогональных базисов де БранжаЦКларка {kt }, tn R.
n В статье12 показано, что для однокомпонентной функции базисы де БранжаЦКларка устойчивы относительно возмущений, малых по отношению к изменению аргумента функции .
В Главе 6 мы применим неравенства Бернштейна из Главы 2 к доказательству новых результатов об устойчивости базисов Рисса из вос производящих ядер. Пусть {k } - базис Рисса в K. Мы рассматриn ваем следующую задачу: для каких малых возмущений n точек n система {k } тоже будет базисом Рисса? В дальнейшем мы будем n рассматривать возмущения, остающиеся внутри некоторых окрестностей точек n. Через u, v мы будем обозначать интервал с концами u и v;
u,v будет обозначать меру Лебега на интервале u, v. Пусть множество G = Gn C+ R, где n Gn, удовлетворяет следующим условиям:
n (i) существуют положительные константы c и C, такие, что c kz / k C, zn Gn;
2 n n (ii) для всех zn Gn мера = n,zn будет мерой Карлесона, и, к n тому же, константы Карлесона таких мер ограничены равномерно по n и zn. Следует отметить, что для n C+ всегда найдутся нетривиальные множества Gn, удовлетворяющие условиям (i)Ц(ii).
Теперь мы сформулируем основной результат об устойчивости, применимый к произвольной внутренней функции и последовательности .
Теорема 6.1.1. Пусть система нормированных воспроизводящих ядер E. Fricain, Bases of reproducing kernels in model spaces, J. Oper. Theory 46 (2001), 3, 517Ц543.
W.S. Cohn, Carleson measures and operators on star-invariant subspaces, J. Oper.
Theory 15 (1986), 1, 181Ц202.
{k } - базис Рисса в K, p (1, 2), 1/p + 1/q = 1. Тогда для всякого n семейства окрестностей G = Gn, удовлетворяющего условиям (i) - n (ii), найдется число > 0, такое, что система {k } - базис Рисса в n K для любого набора n Gn, удовлетворяющего условию 2p 2 p+sup kz |dz| < . (9) q k n n n,n Величина в формуле (9), измеряющая малость возмущения, выглядит несколько громоздко, однако мы покажем, что в частных случаях она сводится к более простым геометрическим характеристикам (например, к евклидову или псевдогиперболическому расстоянию). Эта величина существенно зависят от свойств функции и плотности ее спектра вблизи от рассматриваемых точек. Чем дальше от спектра мы находимся, тем большие возмущения допустимы. Мы полагаем, что функция расстояния в левой части неравенства (9) содержит в себе всю существенную информацию о геометрических свойствах внутренней функции и является качественно оптимальной (мы не затрагиваем здесь количественные аспекты задачи, т.е. поиск точных констант, как в теореме Кадеца об 1/4).
Приведем ряд следствий теоремы 6.1.1, основанных на оценках норм воспроизводящих ядер из з2.3.
Следствие 6.1.2. Пусть {k } - базис Рисса в K, и пусть > 1/3.
n Тогда найдется такое число = (, A), что система {k } будет баn зисом для любой последовательности {n}, удовлетворяющей условию (n, n) < (1 - |(n)|). (10) При условие (8) вышеупомянутая теорема Фрикена об устойчивости в псевдогиперболической метрике немедленно вытекает из следствия 6.1.2.
Следствие 6.1.3. Пусть - однокомпонентная функция, а {k } - баn зис Рисса в K. Тогда найдется число > 0, такое, что из неравенства -|n - n| < k = 4 Im n(1 - |(n)|)-1 (11) n следует, что система {k } также будет базисом Рисса в K.
n В частности, из условия (11) вытекает, что в случае однокомпонентной внутренней функции базисы из воспроизводящих ядер устойчивы относительно возмущений, малых в псевдогиперболической метрике.
Теорема 6.1.5. Пусть tn R и пусть {kt } - базис Рисса n (соответственно, фрейм) в K. Тогда найдется такое число > 0, что система {ks } будет базисом Рисса (соответственно, фреймом) в n K, как только выполнено неравенство [| (t)| + | (t)|-1d-2(t)] dt < , tn,sn где d0(t) = dist (t, ()), а () - спектр внутренней функции .
Как показано в з6.4, условие однокомпонентности существенно, и теорема Кона не может быть распространена на случай произвольных (даже мероморфных) внутренних функций. Теорема 6.1.5 представляет собой аналог теоремы Кона, справедливый для произвольных модельных пространств и совпадающий с ней в случае однокомпонентной функции.
В з6.5 рассматривается задача о справедливости гипотезы Фейхтингера для систем воспроизводящих ядер в модельных пространствах. Х.
Фейхтингер задал следующий вопрос: верно ли, что всякая последовательность Бесселя {hn} в гильбертовом пространстве (т.е. система удовлетворяющая оценке |(f, hn)H|2 B f, f H, для некоторой n H положительной константы B) представима как объединение конечного числа последовательностей Рисса (т.е. базисов Рисса в своей линейной оболочке)? Этот вопрос вызывает большой интерес и является в настоящее время объектом интенсивных исследований. В работах П. Касаззы, Р. Вершинина и др. было показано, что гипотеза Фейхтингера равносильна знаменитой гипотезе КадисонаЦЗингера о чистых состояниях, а также многим другим важным проблемам анализа. Естественным классом систем функций для проверки гипотезы Фейхтингера служат системы нормированных воспроизводящих ядер в гильбертовых пространствах аналитических функций. Этот частный случай гипотезы Фейхтингера был введен в рассмотрение Н.К. Никольским, как в абстрактной постановке, так и применительно к модельным пространствам.
К.М. Дьяконов показал, что гипотеза Фейхтингера для воспроизводящих ядер модельных подпространств справедлива при условии (8).
Используя этот результат и теоремы об устойчивости базисов из ядер из Главы 6, мы докажем, что гипотеза Фейхтингера верна в модельных пространствах, порожденных однокомпонентными внутренними функциями.
Теорема 6.5.2. Пусть - однокомпонентная внутренняя функция в D. Тогда всякая последовательность Бесселя нормированных воспроиз водящих ядер {k } в пространстве K представима как объединение n конечного числа последовательностей Рисса.
Простым частным случаем теоремы 6.5.2 является утверждение о справедливости гипотезы Фейхтингера для всякой последовательности Бесселя из нормированных экспонент {e / e } в L2(-a, a) (следствие n n 6.5.3).
Глава 7. Теоремы типа БерлингаЦМальявена для модельных пространств. В диссертации рассмотрен один из аспектов принципа неопределенности в гармоническом анализе, а именно, теоремы типа БерлингаЦМальявена о допустимых мажорантах (или мультипликаторах) для модельных пространств в H2 = H2(C+) (в этой части мы постоянно работаем в верхней полуплоскости C+). Глава 7 посвящена развитию методов и усилению результатов работ В.П. Хавина и Дж. Машреги13 о допустимых мажорантах.
Неотрицательную заданную на R функцию w будем называть допустимой мажорантой для пространства K, если найдется ненулевая функция f K такая, что |f(x)| w(x) почти везде на R. Множество всех допустимых мажорант для K мы будем обозначать Adm().
Необходимое условие допустимости мажоранты w - сходимость логарифмического интеграла log+ w-1(x) L(w) = dx < , (12) 1 + xR где log+ t = max(log t, 0). В дальнейшем мы всегда предполагаем, что выполнено условие = - log w L1(), где - мера Пуассона на R, d(t) = -1(1 + t2)-1dt.
Одна из классических задач гармонического анализа - описание допустимых мажорант для пространства ПэлиЦВинера P Wa, то есть для L2-функций с ограниченным спектром в интервале (-a, a). Ее частичное решение дает знаменитая теорема БерлингаЦМальявена о мультипликаторе: если функция w удовлетворяет условию (12), а функция липшицева на R, то w допустима для всякого пространства P Wa, a > 0.
Это - глубокий результат, и в настоящее время известно несколько его доказательств.
V.P. Havin, J. Mashreghi, Admissible majorants for model subspaces of H2. Part I:
slow winding of the generating inner function, Can. J. Math. 55 (2003), 6, 1231Ц1263; Part II: fast winding of the generating inner function, Can. J. Math. 55 (2003), 6, 1264Ц1301.
Новый подход к теореме БерлингаЦМальявена был недавно предложен в работах В.П. Хавина и Дж. Машреги. Этот подход основан на изучении преобразования Гильберта функции . В сочетании с последующими результатами Ф.Л. Назарова этот подход привел к новому (и, вероятно, самому короткому из известных) доказательству теоремы БерлингаЦМальявена. Это доказательство использует только методы вещественного анализа.
В работе В.П. Хавина и Дж. Машреги14 найдено полное описание допустимых мажорант для данного пространства K. В диссертации получено заметное упрощение этого результата (символ g обозначает пре образование Гильберта функции g L1()):
Теорема 7.1.1. Неотрицательная функция w такая, что L1(), принадлежит классу Adm() тогда и только тогда, когда существует неотрицательная функция m L(R) такая, что mw L2(R), log m L1() и arg + 2 = 2log m + 2k + п.в. на R, (13) где k - измеримая целочисленная функция на R.
Чтобы применять теорему 7.1.1, необходимо иметь описание функций f, допускающих представление (13). Мы получим условие, достаточное для такого представления. Для этого выделим класс почти возрастающих функций, впервые возникший в работе15.
Обозначим через Osc(f, I) колебание функции f на множестве I, т.е.
Osc(f, I) = sups,tI(f(s) - f(t)). Абсолютно непрерывную функцию f будем называть почти возрастающей, если найдется такая строго возрастающая последовательность {dn}, что f(dn+1) - f(dn) 1, n Z, для некоторой константы C > 0 выполнено Osc(f, In) C, n Z, и |f (x) - f (t)| dt C |In| In при почти всех x In и для всех n Z. Здесь In = (dn, dn+1), а символ |I| обозначает длину интервала I.
Свойство "почти возрастания" означает, что функция f мало отличается от достаточно регулярной возрастающей функции. Следующая V.P. Havin, J. Mashreghi, Admissible majorants for model subspaces of H2. Part I:
slow winding of the generating inner function, Can. J. Math. 55 (2003), 6, 1231Ц1263.
V.P. Havin, J. Mashreghi, Admissible majorants for model subspaces of H2. Part II:
fast winding of the generating inner function, Can. J. Math. 55 (2003), 6, 1264Ц1301.
теорема дает условие на функцию f, достаточное для представимости (с точностью до ступенчатой функции) как преобразование Гильберта логарифма ограниченной функции.
Теорема 7.2.1. Пусть функция f почти возрастающая. Тогда f представима как f = 2log m + 2k + п.в. на R, где m L(R) L1(R), m 0, log m L1(), R, а k - измеримая целочисленная функция.
Теорема 7.2.1 была доказана в работе16 при дополнительных ограничениях на длины интервалов |In| = dn+1 - dn, а именно, что система интервалов "короткая" в смысле теории БерлингаЦМальявена. Теорема 7.2.1 показывает, что это условие можно исключить.
Допустимую для K мажоранту w будем называть минимальной, если для всякой мажоранты w1 Adm() такой, что w1 Cw п.в. на R справедлива двусторонняя оценка w1 w, то есть cw w1 Cw п.в. для некоторой константы c > 0. Одно из интересных следствий представления (13) заключается в том, что у любого модельного пространства есть минимальные мажоранты.
Следствие 7.4.3. Для всякой внутренней функции существует минимальная мажоранта w Adm().
Как видно из доказательства, минимальные мажоранты могут иметь много вещественных нулей. Естественно задать следующий вопрос: у каких модельных пространств есть "строго положительные" (т.е. отделенные от нуля на любом ограниченном промежутке) минимальные мажоранты? В том случае, когда - мероморфная внутренняя функция, имеет место следующая дихотомия.
Теорема 7.4.7. Пусть E - целая функция нулевого экспоненциального типа из класса ЭрмитаЦБилера HB, и пусть = E/E. Следующие утверждения равносильны:
1. 1/E L2(R), или, что равносильно, функция, тождественно равная 1, принадлежит пространству де Бранжа H(E);
2. у пространства K есть положительная и непрерывная минимальная мажоранта.
Эта теорема была доказана В.П. Хавиным и Дж. Машреги при дополнительном предположении о сходимости ряда |zn|-1 log |zn|. Новое n и очень короткое доказательство теоремы 7.4.7 дано в з7.4.
V.P. Havin, J. Mashreghi, Admissible majorants for model subspaces of H2. Part II:
fast winding of the generating inner function, Can. J. Math. 55 (2003), 6, 1264Ц1301.
Глава 8. Мажоранты мероморфных функций с фиксированными полюсами. Здесь мы более подробно изучим зависимость допустимых мажорант от распределения нулей мероморфного произведения Бляшке (напомним, что в этом случае K - пространство мероморфных функций с фиксированными полюсами в нижней полуплоскости).
Первая часть главы посвящена случаю редких нулей и анализу условия 1/E L2(R) из теоремы 7.4.7 (критерия существования минимальной мажоранты, отделенной от нуля на компактных подмножествах прямой).
Мы также рассмотрим близкую задачу: для каких функций E HB множество всех полиномов P содержится и всюду плотно в H(E)? Простые геометрические условия на нули функции E, обеспечивающие плотность полиномов были получены Н.И. Ахиезером и В.П. Гурарием (для случая, когда функция E HB симметрична, то есть E(z) = E(-z)). Дальнейшие геометрические критерии плотности полиномов в пространствах де Бранжа были получены М. Кальтенбеком и Х. Ворачеком.
Следующая теорема дает простые геометрические условия, обобщающие результаты Ахиезера и Гурария.
Теорема 8.1.1. Следующие утверждения равносильны:
(i) Множество C- обладает тем свойством, что для всякого канонического произведения E рода нуль с нулями в множестве имеет место включение P H(E);
(ii) xlim sup < .
|y|(1 + log |x|) z , |x| Если равносильные условия (i)Ц(ii) выполнены, то ClosH(E)P = H(E).
Следующая теорема дает еще одно условие, достаточное для плотности полиномов. Чтобы его сформулировать, введем величину, измеряющую приближение нулей zn = xn + iyn к вещественной прямой для произвольной функции E HB. Для R > 0 положим 1 |xn| S(R) = Re =.
zn |xn|>R |zn||xn|>R Теорема 8.1.2. Пусть E - каноническое произведение рода нуль и infn yn > 0. Если для некоторой константы A > 0 выполнено S(R) AR-1, R > 0, то ClosEP = H(E).
Близкие результаты были независимо получены Кальтенбеком и Ворачеком17, однако теорема 8.1.2 полностью их перекрывает. Отметим, что теоремы 8.1.1 и 8.1.2 в тексте диссертации содержат аналогичные результаты для симметричных функций E, которые мы здесь не приводим.
Хорошее понимание структуры множества допустимых мажорант для модельных пространств, порожденных мероморфными функциями, было достигнуто в двух ситуациях. Первая из них - случай медленного роста аргумента функции (случай редких нулей), рассмотренный выше. При этом может существовать положительной минимальная мажоранта. Второй хорошо изученный класс модельных пространств - пространства, для которых рост аргумента (фазовой функции) функции почти линеен (т.е. 1). Этот класс включает пространства Пэли - Винера, и к нему применима классическая теория БерлингаЦМальявена.
Между этими двумя случаями имелся определенный зазор. В диссертации рассмотрен ряд промежуточных ситуаций и исследована зависимость класса допустимых мажорант Adm(B) от распределения нулей произведения Бляшке B.
Введем понятие односторонней мажоранты, которое естественно использовать в случае асимметрии нулей: будем говорить, что w Adm+() (соответственно, w Adm-()), если найдется такая ненулевая функция f K, что |f(x)| w(x) для почти всех x > 0 (соответственно, для почти всех x < 0 ).
Пусть фазовая функция мероморфного произведения Бляшке B удовлетворяет условию (x) 1, x > 1, (x) |x|-1, x < -1, (14) т.е. имеет почти линейный рост на положительной полуоси и логарифмический рост на отрицательной полуоси. Условие (14) выполнено, в частности, если последовательность {zn} равномерно распределена в полуполосе [0, ) [, M], M > > 0.
Теорема 8.2.3. Пусть мероморфное произведение Бляшке B с фазовой функцией удовлетворяет условию (14). Пусть w - неотрицательная функция на [0, ), а = - log w.
1. Если w Adm+(B), то t-3/2(t)dt < . (15) M. Kaltenbck, H. Woracek, Hermite-Biehler functions with zeros close to the imaginary axis, Proc. Amer. Math. Soc. 133 (2005), 1, 245Ц22. Если функция w положительная, невозрастающая и интеграл в формуле (15) сходится, то w Adm+(B) и w(|x|) Adm(B).
3. Мажоранта w(t) = exp(-A|t|1/2) принадлежит классу Adm-(B1) для всякого A > 0. В то же время, если |t|1/2 = o((t)) при t -, то w Adm-(B1).
/ Рассмотрим теперь класс произведений Бляшке со степенным ростом нулей. Для > 1/2 обозначим через B произведение Бляшке с простыми нулями в точках zn = n + i, n N (если 1/2, то условие Бляшке не выполнено). Нас интересует возможная скорость убывания допустимых мажорант для KB. А именно, для (0, 1) положим w(x) = exp(-|x|) и () = sup{ : w Adm(B)}.
Аналогичным образом можно определить числа +() и -() (заменив класс Adm(B) на Adm+(B) или Adm-(B)). Следующая теорема показывает, что даже такая простая характеристика убывания ведет себя довольно неожиданным образом.
Теорема 8.2.4. () = +() и > 2, 1/, 1/, > 2, +() = 1/2, 2/3 2, -() = 1/2, 1 2, -1 + 1/, 1/2 < 2/3; 1, 1/2 < 1.
Интересная особенность предельного показателя () заключается в его постоянстве при [2/3, 2], хотя для > 1 нули редки, в то время как в случае < 1 нули намного более часты (последовательность не является интерполяционной). Похожее явление можно наблюдать в задаче о полиномиальной аппроксимации на дискретных подмножествах вещественной прямой (см. з8.5). Эта задача оказывается тесно связанной с задачей о допустимых мажорантах.
В доказательстве вышеприведенных теорем используются общие критерии допустимости из Главы 7 и методы статей В.П. ХавинаЦДж. Машреги в сочетании с некоторыми результатами о квазианалитичности.
Глава 9. Полнота систем воспроизводящих ядер. В Главе 9 рассматривается задача о полноте системы воспроизводящих ядер в K, а также о полноте системы, биортогональной к полной системе воспроизводящих ядер.
Значительный прогресс в задаче о полноте систем воспроизводящих ядер был достигнут недавно в работах Н.Г. Макарова и А.Г. Полторацкого, где был получен критерий (в терминах инъективности операторов Теплица) полноты систем воспроизводящих ядер в пространствах K, порожденных мероморфными внутренними функциями. Приведем следующий критерий полноты системы воспроизводящих ядер, являющийся (небольшим) обобщением теоремы, доказанной в статье18 для случая мероморфных внутренних функций. Отметим, что критерий полноты имеет почти тот же вид, что и критерий допустимости мажоранты в теореме 7.1.1.
Теорема 9.1.1. Пусть = {n} C+ и пусть B - произведение Бляшке с нулями {n}. Тогда система K() не полна в K тогда и только тогда, когда найдутся неотрицательная функция m L2(R), log m L1(), измеримая целочисленная функция k и вещественное число такие, что arg - arg B = 2log m + 2k + п.в. на R.
В частности, если мероморфна и функция - почти возрастает, то система K() не полна в K (здесь и - фазовые функции для B и B соответственно).
Аналогичные результаты (теорема 9.1.2) справедливы и для случая, когда часть точек лежит на R в предположении, что функция аналитична в окрестностях этих точек.
Первое приложение теоремы 9.1.1 связано с устойчивостью свойства полноты. В случае систем экспонент результаты такого рода были получены Н. Левинсоном и Р. Редхеффером. Для систем ядер в общих модельных пространствах теорема об устойчивости была получена Э.
n-n Фрикеном19: если система {k } полна в K и < , то сиn n n-n стема {k } также полна в K. Мы получим следующее обобщение n этого результата.
Теорема 9.2.1. Пусть = {n}, M = {n}, где n, n C+, и предположим, что система K(M) полна в K. Если для некоторого выбора аргументов и M произведений Бляшке B и BM выполнено - M L1() и ( - M) L(R), (16) N. Makarov, A. Poltoratski, Meromorphic inner functions, Toeplitz kernels and the uncertainty principle, Perspectives in analysis, Math. Phys. Stud. 27, Springer, Berlin, 2005, 185Ц252.
E. Fricain, Compltude des noyaux reproduisants dans les espaces modles, Ann. Inst.
Fourier (Grenoble), 52 (2002), 2, 661Ц686.
то система K() также полна в K. Условие (16) выполнено, в частности, если n - n R L(R), где R(t) =. (17) n - n t Очевидно, условие теоремы Фрикена равносильно тому, что |n n n|/Im n < , откуда немедленно вытекает ограниченность функции (17). Таким образом, теорема Фрикена (содержащая, в частности, известную теорему Редхеффера об устойчивости полноты экспонент) является частным случаем теоремы 9.2.1. Преимущество условия (17) в том, что оно учитывает распределение последовательности {n}.
В следующей теореме мы получим критерии полноты системы K(T ), T R, в терминах некоторых верхней и нижней плотностей. Идея состоит в том, чтобы сравнить плотность последовательности T с плотностью некоторой канонической полной системы, а именно, носителя базиса де БранжаЦКларка. Пусть - мероморфная внутренняя функция с фазовой функцией . Пусть {ks } - некоторый базис де БранжаЦКларка, т.е.
n точки sn представляют собой решения уравнения (sn) = + 2n для некоторого [0, 2).
Чтобы определить. будет ли вещественная последовательность T = {tm} множеством единственности для K, рассмотрим следующие плотности. Для r N положим D+(T, r) = sup #{m : tm [sn, sn+r)} n (аналогично определим D-(T, r) как инфимум того же самого выражения), а затем положим D+(T, r) D-(T, r) D+(T ) = lim, D-(T ) = lim.
r r r r Плотности D+(T ) и D-(T ) были введены Ю.И. Любарским и К.
Сейпом для специального класса так называемых весовых пространств ПэлиЦВинера; для стандартных пространств ПэлиЦВинера они совпадают с классическими плотностями Берлинга.
Теорема 9.2.5. Пусть - мероморфная внутренняя функция такая, что L(R), и пусть {sn}, T = {tm}, D+(T ) и D-(T ) те же, что и выше. Предположим также, что 1 sk sup + < . (18) sn - sk s2 + n k k =n Тогда T не будет множеством единственности для K при D+(T ) < и будет множеством единственности для K при D-(T ) > 1.
Геометрически условие (18) означает, что последовательность {sn} либо достаточно редкая, либо обладает значительной симметрией. Отметим, что для справедливости первого утверждения в теореме 9.2.условие регулярности L(R) очень существенно. Можно построить пример мероморфной внутренней функции , удовлетворяющей условию (18), для которой однако существует система ядер K(T ) с D+(T ) < 1, обладающая свойством сверхполноты (т.е. любая бесконечная подпоследовательность которой остается полной).
Еще одна задача о полноте, которую мы рассмотрим в з9.3, относится к полноте системы, биортогональной к полной минимальной системе воспроизводящих ядер - вопрос, представляющий интерес с точки зрения задач спектрального синтеза в модельных пространствах. Р.М. Янг показал, что система, биортогональная к системе экспонент в L2(-a, a) (или, что то же самое, к системе воспроизводящих ядер пространства P Wa), всегда полна. Этот результат был обобщен Э. Фрикеном на системы воспроизводящих ядер в модельном пространстве K при условии L(R).
Мы еще расширим класс модельных пространств, в которых система, биортогональная к полной и минимальной системе воспроизводящих ядер, всегда полна. Будем говорить, что - внутренняя функция умеренного роста, если мероморфна и | (t)| C(1 + |t|)N, t R, для некоторого N > 0.
Теорема 9.3.1. Пусть - внутренняя функция умеренного роста и - L2(R) для всякого с || = 1. Если система {k }, n C+, / n полна и минимальна, то и биортогональная к ней система полна в K В Главе 10 рассмотрена связь допустимых мажорант со структурой подпространств в пространствах де Бранжа H(E) (напомним, что один из основных результатов теории де Бранжа состоит в упорядоченности его подпространств, которые сами являются пространсвами де Бранжа).
Для множества D C+ R и функции m : D [0, ) положим Rm(H(E)) = ClosH(E) F H(E) : |F (z)|, |F (z)| m(z), z D Основным результатом главы является следующая теорема.
Теорема 10.5.7. Пусть H(E) - пространство де Бранжа, а H(E1) - его подпространство. Тогда найдется такая мажоранта m, что Rm(H(E)) = H(E1).
Если при этом функция E1/E не обращается в нуль на R, то можно выбрать мажоранту m, заданную на iR+ (теорема 10.5.1), а при условии Emt = 0 (где mt f - средний тип функции f класса Неванлинны) подE пространство H(E1) можно получить с помощью мажорирования на R (теорема 10.3.1).
Отметим также следствие 10.3.7: если заданная на R и отделенная от нуля на компактах функция m - допустимая мажоранта для P Wa (например, допустимая мажоранта из теоремы БерлингаЦМальявена), то функции F P Wa, удовлетворяющие оценке |F | m на R, всюду плотны в P Wa.
Основные публикации по теме диссертации [1] Весовые неравенства Бернштейна и теоремы вложения для модельных подпространств, Алгебра и Анализ, 15 (2003), 138Ц168.
[2] Об оценках Lp-норм производных в пространствах целых функций, Записки научных семинаров ПОМИ им. В.А. Стеклова, 303 (2003), 5Ц33.
[3] Weighted Bernstein-type inequalities for shift-coinvariant subspaces and their applications to Carleson embeddings, Journal of Functional Analysis, 223 (2005), 1, 116Ц146.
[4] Stability of bases and frames of reproducing kernels in model spaces, Annales de lТInstitut Fourier (Grenoble), 55 (2005), 7, 2399Ц2422.
[5] Внутренне-компактные подпространства и дифференцирование в модельных подпространствах, Записки научных семинаров ПОМИ им. В.А. Стеклова, 327 (2005), 17Ц24.
[6] Polynomials in the de Branges spaces of entire functions, Arkiv for Matematik, 44 (2006), 1, 16Ц38.
[7] On L1-norms of meromorphic functions with fixed poles, Proceedings of American Mathematical Society, 134 (2006), 10, 3003Ц3012.
[8] Допустимые мажоранты для модельных подпространств и аргументы внутренних функций, Функциональный анализ и его приложения, 40 (2006), 4, 2Ц21 (совместно с В.П. Хавиным).
[9] Completeness and Riesz bases of reproducing kernels in model subspaces, International Mathematics Research Notices, vol. 2006, Article ID 81530, 34 pages, 2006.
[10] Admissible majorants for meromorphic functions with fixed poles, Indiana University Mathematics Journal, 56 (2007), 4, 1595Ц1628 (совместно с В.П. Хавиным и А.А. Боричевым).
[11] Subspaces of de Branges spaces generated by majorants, Canadian Journal of Mathematics, 61 (2009), 3, 503Ц517 (совместно с Х. Ворачеком).
[12] Вложения модельных подпространств класса Харди: компактность и идеалы ШаттенаЦфон Неймана, Известия РАН. Серия Математическая, 73 (2009), 6, 3Ц28.
[13] Weighted norm inequalities for de BrangesЦRovnyak spaces and their applications, American Journal of Mathematics, 132 (2010), 1, 125Ц1(совместно с Э. Фрикеном и Дж. Машреги).
[14] Majorization in de Branges spaces I. Representability of subspaces, Journal of Functional Analysis, 258 (2010), 8, 2601Ц2636 (совместно с Х. Ворачеком).
[15] Majorization in de Branges spaces. III. Division by Blaschke products, Алгебра и анализ, 21 (2009), 6, 3Ц46 (совместно с Х. Ворачеком).
[16] Изометрические вложения пространств K в верхней полуплоскости, Проблемы математического анализа, 21, Научная книга, Новосибирск, 2000, 27Ц68.
[17] Неравенства Бернштейна в пространствах де Бранжа и теоремы вложения, Труды С.-Петербургского математического общества, 9 (2001), 23Ц53.