Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям
На правах рукописи
Халилова Мохчехра Шавкатовна
Моделирование и алгоритмы исследования бифуркационных явлений в негладких динамических системах
05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Автореферат Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Душанбе 2012
Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан
Научный консультант: доктор физикоЦматематических наук, Нуров Исхокбой Джумаевич
Официальные оппоненты: Мухамадиев Эргашбой Мирзоевич доктор физикоЦматематических наук, профессор, Вологодский государственный технический университет, кафедра информационных систем и технологий Муминов Хикмат Халимович доктор физикоЦматематических наук, профессор, директор физикоЦтехнического института имени С. Умарова АН Республики Таджикистан
Ведущая организация: Таджикский национальный университет
Защита состоится 28 ноября 2012 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/1.
С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики Академии наук Республики Таджикистан.
Автореферат разослан 12 октября 2012 года.
Ученый секретарь диссертационного совета Каримов У.Х.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Модели с негладкими эффектами имеют важное значение в различных областях науки: в физике и механике (теория фазовых переходов, электричество, магнетизм), в инженерных задачах, в задачах теории управления, в экономике, биологии и др. Модели негладких систем включают в себя дифференциальные уравнения с негладкими, релейными, гистерезисными нелинейностями. Примерами являются динамические модели с сухим трением, модели с перескоками, модели с релейными нелинейностями, возникающие при изучении систем автоматического регулирования температур, напряжения и др.
Многочисленные приложения стимулировали развитие теории дифференциальных уравнений с негладкими и разрывными правыми частями5. Широкое использование различных переключателей (реле) в системах автоматического управления привело к необходимости построения теории уравнений с релейными нелинейностями. Различным вопросам этой теории посвящены отдельные параграфы в работах многих авторов6,7,8.
Одной из наиболее интересных и в то же время важной с теоретической и практической точек зрения при изучении динамических моделей является задача о качественном изменении фазового портрета системы при изменении ее параметров в окрестности критических значений. Основным математическим аппаратом, используемым при изучении таких задач, являются теория бифуркаций и теория ветвления решений нелинейных уравнений. У истоков этих теорий были такие ученые как А.М.Ляпунов, А.Пуанкаре, А.А.Андронов, Л.С.Понтрягин. Существенный вклад в развитие современной теории бифуркаций и теории ветвлений внесли В.И.Арнольд, В.В.Вайнберг, Н.К.Гаврилов, Дж.Гукенхеймер, Д.Джосеф, Ю.С.Иляшенко, Ж.Йосс, Ю.А.Кузнецов, М.Мак-Кракен, Дж.Марри, Дж.Марсден, Ф.Такенс, М.Т.Терехин, В.А.Треногин, Ф.Холмс, Л.П.Шильников и др. Эти теории особенно хорошо и подробно разработаны для систем, описываемых гладкими дифференциальными уравнениями.
Значительно меньше исследованы вопросы о бифуркациях для динамических систем, содержащих неаналитические, негладкие (модульные) или разФилиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной частью.
Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика 2000, 368 с.
di Bernardo M.,Budd C., Champneys A.R., Kowalezyk P.,Nordmark A.B., Olivar Tost G., Piirionen P.T.
Bifurcations in nonsmooth dynamical system. SIAM Rev., 2008, vol. 50. 4 pp.629 - 671.
Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М. Наука, 1974, 576 с.
рывные нелинейности. Методы негладкой теории разрабатывались в трудах А.А.Андронова, Б.Д.Гельмана, М.А.Красносельского, А.Ласоты, R.I.Leine, А.В.Покровского, Я.З.Цыпкина, А.Ф.Филиппова и др. Большинство работ, посвященных исследованию таких моделей, имеют прикладную направленность, а предлагаемые в них методы часто носят эвристический характер.
Это, в частности, относится к исследованию локального поведения систем в окрестностях неподвижных точек. Здесь почти отсутствуют аналоги известных методов исследования динамических систем с гладкими нелинейностями.
Следует отметить, что исследование стационарного состояния динамической системы имеет важное значение. В практически важных случаях именно стационарные состояния оказывают основное влияние на структуру множества движений.
Задачи исследования бифуркаций в негладких динамических системах, как правило, достаточно сложны, и поэтому при их исследовании эффективным представляется применение численных методов исследования. Здесь особо важна разработка алгоритмов и программ. Представляется также важным, чтобы эти численные методы основывались на качественном исследовании данных моделей.
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию различных аспектов бифуркационных задач в ряде неклассических ситуаций, характеризующихся нарушением гладкости правой части системы. Эти исследования, примыкают к работам М.Г.Юмагулова и И.Д.Нурова. Основное внимание в настоящей работе уделяется вопросам разработки методов исследования математических моделей динамических систем, описываемых дифференциальными уравнения второго порядка и которые содержат модульные или кусочнолинейные функции.
Цель работы. В математических моделях, описываемых с использованием аппарата теории динамических систем, провести исследование эффекта бифуркации в случае нарушения гладкости правой части системы в окрестности состояния равновесия, разработать алгоритмы и программы приближенного исследования некоторых важных с теоретической и практической точек зрения соответствующих бифуркационных задач. Для негладких двумерных моделей, содержащих модульные и кусочно-линейные функции, провести качественное и численное исследование фазовых портретов в основных бифуркационных ситуациях, доказать теоремы о признаках локальных бифуркаций.
Выявить бифуркационные точки (особые точки), исследовать качественные эффекты негладкостей в бифуркационных явлениях.
Методы исследования. Используются методы математического моделирования, теории нелинейных колебаний, малого параметра, методы приближенного решения операторных уравнений, методы теории функциональнодифференциальных уравнений, теории управления, метод функционализации параметра исследования бифуркационных задач.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
Х разработан новый метод аналитического и численного исследования бифуркаций в системах, математические модели которых содержат модульные и кусочно-линейные функции, позволяющий строить фазовые портреты для основных типов негладких (модульных и и кусочно-линейных) динамических систем;
Х получены расчетные формулы для бифуркационных решений, возникающих в окрестностях состояний равновесия систем, математические модели которых содержат модульные и кусочно-линейные функции;
Х разработан пакет программ компьютерного моделирования бифуркационного поведения негладких (модульных и кусочно-линейных) динамических систем.
Практическая и теоретическая значимость. В работе предложен и обоснован метод аналитического и численного исследования бифуркационных задач в динамических системах с негладкими (модульными и кусочнолинейными) правыми частями. Предлагаемый метод может быть использован при исследовании систем управления с релейными нелинейностями, моделей с сухим трением, с перескоками, автоматических систем с гистерезисом и т.д.
Полученные результаты доведены до расчетных формул и алгоритмов; они программно реализованы в среде MATLAB с использованием возможностей языка C++.
Публикации и личный вклад. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Теоремы 2.7 и 2.8 получены совместно с И.Д.Нуровым.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на периодических семинарах в Институте математики АН Республики Таджикистан (2009-2012 гг.); апрельских конференциях Таджикского национального университета (2010-2012 гг.); VIII Всероссийской научно-практической конференции "Современные информационные технологии в науке, образовании и практике"(г. Оренбург, ОГУ, 2009 г.); Международной научной конференции, посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х. (г. Душанбе, 23-24 июня 2010 г.); Международной научной конференции, посвященной 70-летию членакорреспондента АН Республики Таджикистан Мухамадиева Э.М. (г. Душанбе, 28-30 июня 2011 г.); Международной школе-семинаре "Нелинейный анализ и спектральные задачи"(г. Уфа, БашГУ, 4-5 апреля 2012 г.); Международной научной конференции, посвященной 60-летию академика АН Республики Таджикистан Шабозова Мирганда Шабозовича (г. Душанбе, 29-30 июня 20г.).
Структура диссертации. Работа состоит из введения, и трех глав. Главы разбиты на параграфы. Список литературы содержит 91 наименование.
Краткое содержание работы Во Введении обосновывается актуальность рассматриваемых в диссертационной работе задач, приводится обзор литературных источников, формулируется цель исследований, кратко излагается основное содержание работы.
Первая глава (зз1.1-1.3) носит вспомогательный характер и содержит 3 параграфа.
В з1.1 вводятся в рассмотрение динамические системы вида dx = f(x), x Rn, dt в которых функция f(x) является непрерывным в Rn. Для таких систем приведены основные понятия и свойства.
В з1.2 приводятся вспомогательные сведения из теории бифуркаций. Речь в основном идет об устойчивости состояний равновесий и основных сценариях бифуркаций в динамических системах, описываемых уравнениями вида x = F (x, ), x RN, N 2, R1. (1) Приведен также ряд иллюстративных примеров.
В з1.3 приводятся основные положения некоторых методов приближенного исследования задач о бифуркации. В частности, приведены положения метода малого параметра, метода М.А.Красносельского функционализации параметров. В заключение первой главы приводятся иллюстративные примеры негладких динамических системы.
Вторая глава (зз2.1-2.5) содержит основные результаты диссертации, связанные c исследованием бифуркации в негладких динамических системах в окрестностях состояний равновесия.
В этой главе рассматриваются динамические системы, правые часты которых не являются гладкими в окрестности состояния равновесия. Изучаются основные сценарии бифуркационного поведения систем в окрестности состояния равновесии, вызванные изменением характера устойчивости решений системы.
Рассмотрим динамическую систему x = F (x) (2) Пусть F (0) = 0. Систему (2) называют гладкой, если существует шар T (0, ) такой, что для любого x T (0, ) существует Fx(0, ) -матрица Якоби, которая является непрерывной. Исследуется система (2), для которой гладкость или непрерывность нарушается на некотором N - 1-мерном многообразии 0, содержащем точку 0. Для простоты будем считать, что многообразие представляет собой гиперплоскость.
0 = {x : (x, b0) = 0} Этому соответствует рисунок 1.
Рис. Все последующие построения могут быть проведены и для более общих видов многообразий.
В з2.1 основным объектом исследования является нелинейная система (1) с негладкой или даже разрывной в окрестности стационарного решения x = правой частью F (x, ). Предполагаем, что правая часть системы либо представима в виде { F1(x, ), (x, b0) > 0, F (x, ) = F2(x, ), (x, b0) < 0.
где F1 и F2 являются гладкими в окрестности x = 0, либо определяются только при (x, b0) > 0 или при (x, b0) < 0.
В з2.2 приводятся сведения о модели фазовых переходов в физике. Описываются классификации фазовых переходов 1-го и 2-го родов.
В работе исследована динамическая система, в которой правая часть является непрерывной, но не дифференцируемой на некоторой гиперповерхности.
Коэффициенты системы являлись постоянными. Результаты, полученные в этом параграфе, фактически дополняют исследования [2].
На первом этапе исследуется квазилинейное уравнение второго порядка вида y + ay + by + c|y| = 0. (3) В з2.2 изучается поведение этой системы в окрестности состояния равновесия y = 0. В уравнении(3) бифуркационными параметрами являются ее коэффициенты a, b и c. Предполагаются выполненными условия:
b > (a/2)2, |c| 2 b - a. (4) Теорема 2.7. Пусть выполнены условия (4) и пусть a > 0. Тогда нулевое состояние равновесия уравнения (3) является устойчивым.
Теорема 2.8. Пусть выполнены условия (4) и пусть a < 0. Тогда нулевое состояние равновесие уравнения (3) не является устойчивым.
Таким образом, в условиях (4) при переходе параметра a через значение a = 0 изменяется характер устойчивости состояния равновесия y = 0. В данном параграфе изучаются происходящие при этом бифуркации. Показано, что переходе через значение a = 0 фазовый портрет системы качественно изменяется.
Рассматривается также квазилинейное уравнение (3) вида y + ay + by + c|y - | = 0. (5) В отличие от (3) в уравнении (5) присутствует скалярный параметр . Этот параметр рассматривается как бифуркационный. Изучается бифуркационное поведение системы (5) при переходе параметра через значение = 0. При Leine R.I.,Van Campen D.H.- European Journal of Mechanigs A/Solids 2006 25,рр.595-616.
этом рассматриваются следующие случаи:
{ } b > max (a-c)2, (a+c)2, 2 (a-c)2 < b < (a+c)2, 2 (a+c)2 < b < (a-c)2, (6) 2 b < 0, a, c, { } 0 < b < min (a-c)2, (a+c)2.
2 Здесь a, b, c коэффициенты из (5).
Состояние равновесия системы (5) при b = 0 - это решение ||c y() = -. (7) b Рассмотрим для определенности случай 1. Пусть a = 1, c = 2, b = 3. Показано, что при переходе через значение = 0 фазовый портрет системы в окрестности точки (7) качественно изменяется. Этот факт подтвержден численно. В частности, при = -1 и = 1 фазовые портреты уравнений (3) и (5) (в плоскости переменных (y, y)) качественно различны; они имеют, соответственно, вид:
Рис. 2. ( = -1) Рис. 3. ( = 1) Аналогично, подбираются параметры a, b, c и для других случаев (6). Проводятся сравнение их фазовых портретов.
В работе исследовано зависящее от скалярного параметра уравнение Льенара вида x + a1()x + a2()x = f(x, x; ), (8) Nurov I.,Yumagulov M. - Italian Journal of Pure and Applied Mathematics.,2003, 13,рр.71-81 (in Italian).
правая часть которого представима в виде f(x, y; ) = b1()(x; )y + b2() (; )d.
В указанной работе решение уравнения (8) было построено приближенно с помощью итерационной формулы Ньютона- Канторовича для операторных уравнений.
В з2.3 исследуется уравнение (8), когда его правая часть не является гладкой. А именно, рассматривается система нелинейных дифференциальных уравнений вида { x = y, (9) y = -a1()y - a2()x - c()|y - | - (x; ).
Здесь функция (x, ) удовлетворяет условию (x, ) = (x) при x 0.
Предполагается, что при = 0 = 0 коэффициенты системы (9) удовлетворяют следующим условиям a1(0) = c(0) = 0, a (0) = c(0) = 0, a2(0) > 0. (10) Состояния равновесия системы (9) - это точки (x, 0), где x определяются из уравнения a2()x + ||c() + (x, ) = 0.
Теорема 2.9. Пусть выполнены условия (10). Пусть вектор u = (x, 0) не лежит в гиперплоскости 0, т.е. (u, b0) = 0. Тогда 0 является точкой бифуркации стационарных решений уравнения (9).
В работе рассмотрены различные варианты типичных нелинейностей (x, ) (квадратичные и кубические), для каждого из которых проведено исследование бифуркационного поведения системы (9) в окрестности решения (x, 0).
В з2.3 проведено также исследование устойчивости стационарного решения (x, 0) уравнения (9). Обозначим () = a1() + a2().
Теорема 2.10. Пусть выполнено условие (0) > 0, a2(0) + (x, 0) > 0.
x Тогда состояние равновесия (x, 0) системы (9) является устойчивым.
Далее в этом параграфе исследуется уравнение вида (9) с кусочно-линейной нелинейностью:
x + a1()x + a2()x + c()sign(x - ) + (x; ) = 0 (11) Пусть (x, ) = x2. Пусть выполнены условия (10). При некоторых положительных числах 0 и 1 и малых |x| имеет место следующая оценка 2 0 < 0 a2(0) + x 1.
В этих условиях изучается бифуркационное поведение уравнения (11) в окрестности его стационарных решений. В частности, показано, что если выполнены условия { a1() + c() = 0, a2() + (x; ) > 0.
x то верна Теорема 2.11. При переходе через значение = 0 имеет место бифуркация Андронова-Хопфа в окрестности состояния равновесия уравнения (11), при этом возникающие периодические решения существуют при x < (см.
Рис. 4).
Рис. В з2.4 рассматривается задача исследования динамических систем с модульными нелинейностями для случай, когда параметр медленно меняется по периодическому закону в окрестности точки бифуркации 0. Здесь особый интерес вызывают вопросы об устойчивости системы в ситуациях, когда ее параметры периодически переходят границу устойчивости. Задачи такого рода изучались, например, в работах В.И. Арнольда, G.I.M. Maree, Ю.А. Митропольского, А.И.Нейштадта, А.М. Самойленко и др. При этом преимущественно изучались системы с медленно меняющимися параметрами по законам типа = 0 + t или = 0 + arctan t т.п. Менее изучены вопросы бифуркационного поведения динамической системы с параметрами, слабоосциллирующими по закону типа = 0 + sin t или = 0 + sin t.
Рассматривается система, описываемая уравнением x + a1(f[t])x + a2(f(t))x + c(f(t))|x - f(t)| + (x; f(t)) = 0. (12) где = f(t) = 0 + (t), (t + T ) (t), || < 1. (13) Установлено, что при достаточно общих предположениях бифуркация двукратного равновесия уравнения (9) в случае, когда параметр слабо осциллирует по закону (13), преобразуется в бифуркацию вынужденных колебаний уравнения (12). При этом в естественном смысле тип бифуркации и свойства устойчивости бифурцирующих решений сохраняются.
Третья глава посвящена исследованию некоторых приложений. В ней рассматриваются и обсуждаются модельные примеры, иллюстрирующие основные утверждения работы.
В указанной главе приводятся также описание основных алгоритмов аналитического и численного исследования рассматриваемых в диссертации бифуркационных задач для динамических систем, математические модели которых содержат модульные и кусочно-линейных нелинейности. Эти алгоритмы разработаны на основе теоретических положений, полученных во второй главе диссертации. В частности, разработаны:
1. алгоритм построения фазовых портретов в окрестностях состояний равновесия динамических систем, математические модели которых содержат модульные нелинейности. Приведена программная реализация этого алгоритма для некоторых моделей, в частности, для уравнения (5). Алгоритм предусматривает проверку выполнения основных требований (например, условий (4)), численное построение решений и их визуализацию;
2. алгоритм исследования устойчивости бифуркационных решений динамических систем, математические модели которых содержат кусочнолинейные нелинейности. Приведена программная реализация этого алгоритма для некоторых моделей, в частности, для уравнения (11). Алгоритм предусматривает проверку выполнения основных требований (например, условий (10)), он реализован для различных классов нелинейностей.
Предложенные алгоритмы программно реализованы в среде MATLAB, разработан соответствующий пакет программ, основные положения которого вынесены в Приложение.
Основные результаты диссертации 1. Проведено исследование бифуркаций стационарных и периодических решений в математических моделях, описываемых дифференциальными уравнениями с модульными и кусочно-линейными нелинейностями.
2. Предложены схемы аналитического и численного построения бифуркационных решений в окрестностях состояний равновесия динамических систем с негладкими (модульными и кусочно-линейными) нелинейностями.
3. Предложены и обоснованы алгоритмы приближенного исследования бифуркационного поведения негладких систем, на основе которых разработан пакет программ компьютерного моделирования решений и фазовых портретов негладких систем.
4. Проведено качественное и численное исследование фазовых портретов динамических систем с негладкими (модульными и кусочно-линейными) нелинейностями в основных бифуркационных ситуациях, доказаны теоремы о признаках локальных бифуркаций.
Публикации автора по теме диссертации В рецензируемых изданиях из списка ВАК 1. Назарова Х.Э., Нуров И.Д., Халилова М.Ш. Пакет программ численного построения бифуркационных явлений нелинейных систем // ДАН РТ, том 52, №8, 2009, с. 586-592.
2. Нуров И.Д.,Халилова М.Ш.Моделирование бифуркационных явлений в негладких динамических системах ДАН РТ, том 53, №10, 2010, с. 752-758.
3. Нуров И.Д.,Халилова М.Ш. Исследования устойчивости состояния равновесия негладких динамических систем // ДАН РТ, том 54, №10, 2011, с. 815-820.
4. Халилова М.Ш., Нуров И.Д. Бифуркационные явления со слабоосцилирующими параметрами негладких систем Известия АН РТ, отд.физ.-мат., хим., геол. и техн.наук, 2012, №2(146), с.
32- 39.
В других изданиях 5. Нуров И.Д., Халилова М.Ш. Моделирование бифуркационных явлений со сложными нелинейностями // VIII всероссийская научнопрактическая конференция с международным участием: Современные информационные технологии в науке, образовании и практике, Оренбург, 2009 г., с. 177-179.
6. Нуров И.Д., Халилова М.Ш. Исследование бифуркационных явлений в негладких динамических системах // Материалы международной научной конференции Современные проблемы математического анализа и их приложений, посвященной 60-летию академика К. Х. Бойматова, Душанбе, 23-24 июня 2010 г., с. 77-78.
7. Нуров И.Д., Халилова М.Ш. Об условиях устойчивости бифуркационных явлений в негладких двумерных системах // Материалы международнной конференции Современные проблемы математики и ее приложения посвященной 70-летию члена-корреспондента АН РТ Мухамадиева Э.М. Душанбе, 28-30 июня 2011г., с. 96-98.
8. Халилова М.Ш., Нуров И.Д. Об итерационных процедурах численного исследования бифуркации малых колебаний и анализа их устойчивости // Материалы международнной конференции Современные проблемы математики и ее приложения посвященной 70-летию членакорреспондента АН РТ Мухамадиева Э.М. Душанбе, 28-30 июня 2011г., с. 128-130.
9. Халилова М.Ш., Нуров И.Д. Компьютерный анализ бифуркаций в негладких динамических системах // Материалы международной конференции Современные проблемы математического анализа и теории функций, посвященной 60 - летию академика АН РТ Шабозова М.И.
Душанбе, 29-30 июня 2012 г., с. 173-175.
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям