Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по экономике
На правах рукописи
Журов Александр Николаевич
Модели оптимального распределения капитала страховой компании
08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук
Москва 2012
Работа выполнена на кафедре УПрикладная математикаФ ФГОБУВПО УФинансовый университет при правительстве Российской ФедерацииФ
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Шаповал Александр Борисович доктор физико-математических наук, профессор Официальные оппоненты Хохлов Юрий Степанович, ФГБОУ ВПО Российский университет дружбы народов, заведующий кафедрой УТеория вероятностей и математическая статистикаФ доктор экономических наук, доцент Коломак Евгения Анатольевна, ФГБУН Институт экономики и организации промышленного производства СО РАН, заведующая сектором межрегиональных народнохозяйственных проблем ФГБОУ ВПО Владимирский государственный Ведущая организация университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых
Защита состоится л21 ноября 2012г. в 10-00 часов на заседании диссертационного совета Д 505.001.03 на базе ФГОБУВПО Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации по адресу:
енинградский проспект, д.55, ауд. 213, г. Москва, 125993.
С диссертацией можно ознакомиться в диссертационном зале Библиотечноинформационного комплекса ФГОБУВПО Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации по адресу: Ленинградский проспект, д.49, комн. 203, г. Москва, 125993.
Автореферат разослан л19 октября 2012 г. Объявление о защите диссертации и автореферат диссертации л19 октября 2012 г. размещены на официальном сайте Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки Российской Федерации по адресу и на официальном сайте ФГОБУВПО Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации:
Ученый секретарь совета Д 505.001.03, к.э.н., доцент О.Ю. Городецкая 1.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность исследования. Решающим условием успешного функционирования страховых организаций является постоянное поддержание их финансовой устойчивости, что предполагает более жесткий контроль за изменением собственного капитала и разработку формализованных подходов к управлению капиталом.
Финансовая устойчивость страховой компании позволяет при наступлении страхового случая в установленные сроки и в полном объёме выплатить возмещение клиенту. Для обеспечения необходимой финансовой устойчивости страховая организация заинтересована в получении максимальной прибыли, которая является основным источником роста капитала. С этой целью временно свободные средства - часть страховых резервов и собственного капитала - компания инвестирует (с определенными ограничениями), как в условно безрисковые, так и рисковые финансовые активы. Поэтому страховые организации становятся активными участниками рынка ценных бумаг.
Инвестирование капитала на финансовых рынках представляет один из самых рискованных видов деятельности страховой организации. Если условно безрисковые активы (государственные ценные бумаги, банковские счета) характеризуются минимальным риском, то рисковые активы (акции, корпоративные облигации, производные ценные бумаги) сосредотачивают в себе опасность значительного колебания их стоимости, что может привести к существенным потерям. В этих условиях актуальным является выбор оптимальной инвестиционной стратегии, удовлетворяющей, с одной стороны, целям страховой компании, с другой стороны - ограничениям, накладываемым контролирующими органами.
Страховая компания заинтересована в мотивации своих сотрудников к более эффективному труду, в обновлении основных средств, проведении рекламных акций и других расходах, прямо не связанных со страховой деятельностью. Для этого часть средств выделяется на потребление, примером которого может быть выплата бонусов сотрудникам компании. На эти цели используется часть прибыли, а руководство компании должно решить задачу оптимального распределения прибыли между инвестированием в ценные бумаги и расходами на текущую деятельность.
Поскольку страховая компания использует часть средств страхователей для инвестирования в рисковые активы, ее инвестиционная стратегия должна удовлетворять ограничениям по списку ценных бумаг, в которые разрешено инвестирование, и максимальной доли страховых резервов (прибылей и убытков) инвестируемых в определенный вид активов. Эти ограничения периодически меняются и имеют главной целью предупредить страховую компанию о неблагоприятной конъюнктуре на финансовом рынке, обеспечив тем самым её платежеспособность и финансовую устойчивость.
Оптимизация инвестиционной деятельности позволяет согласовать интересы участников страхового процесса. Владельцы и управляющие страховой компании ставят перед собой цель улучшения финансовых показателей деятельности организации. Прежде всего, это связано с максимизацией прибыли, что (при некоторых условиях) позволяет обеспечить рост собственного капитала страховой компании. Страхователи (а вместе с ними контролирующие органы) заинтересованы в платежеспособности и устойчивом функционировании страховой компании, что математически означает стремление минимизировать вероятность разорения на заданном интервале времени.
Принимая на себя риски, страховая компания имеет дело с неопределенностью, выраженной в количестве и размере возмещений по страховым случаям. Одной из задач, решаемых страховой компанией, является прогноз страховых выплат как в целом по компании, так и отдельно по страховым группам. Основным показателем, прогноз которого необходимо предоставлять, является коэффициент актуарной убыточности, характеризующий суммарные убытки, нормированные на заработанную премию. Типичным допущением при расчете убыточности в целом по компании является комонотонность (максимальная положительная зависимость) актуарных убыточностей по различным группам страхования. В диссертации рассматриваются случаи, при которых зависимость между случайными величинами задается эллиптическими и архимедовыми копула-функциями. Копула-функции позволяют учесть как линейные, так и нелинейные зависимости актуарных убыточностей и построить адекватную модель диверсификации страховых рисков. Аппарат копула-функций в последнее время становится все более востребованным, поэтому задачи, рассматриваемые в диссертации, являются актуальными.
Степень разработанности темы исследования. Модели выбора оптимальных стратегий страховых компаний исследуются специалистами по финансовой и актуарной математике, стохастическому оптимальному управлению. В основном, указанной задачей занимались зарубежные специалисты. Среди отечественных ученых следует выделить работы Ширяева А., исследовавшего вероятностные характеристики случайных процессов, возникающих в страховании. Теоретические основы исследуемой задачи описаны в работах Беллмана Р., Оксендаля Б., Танкова П.
Классические модели выбора оптимальных инвестиционных стратегий страховых компаний, основывающиеся на модели Крамера-Лундберга, рассматривались в трудах Гербера Х., Бульмана Х., Брауна С. В данных работах финансовый рынок представлен только рисковыми активами. Задача выбора оптимальных инвестиционных стратегий развита в работах Хиппа С., Плюма М., в которых наряду с рисковыми, был введен безрисковый актив. Янг Х. и Занг Л., опираясь на результаты Брауна С., получили аналитическое выражение оптимальной инвестиционной стратегии в задаче максимизации ожидаемой полезности капитала страховой компании. В перечисленных работах задача решается методами оптимального управления в стохастических условиях, управляющим параметром является капитал, инвестируемый в рисковый актив.
Существенным развитием задачи выбора оптимальных стратегий стало введение нового управляющего параметра - расходов страховой компании.
Асмуссен С., Таксар М., Паулсен Дж. предложили варьировать дивидендную политику страховой компании. Пример других управляемых расходов - потребление - было рассмотрено в классической работе Мертона Р. для произвольного инвестора. Потребление страховой компании как управляющего параметра было рассмотрено в статье Стамоса М. За последние годы было достигнуто существенное продвижение в задаче максимизации ожидаемой полезности капитала и потока потребления. При достаточно естественных ограничениях удалось получить явный вид оптимальной инвестиционной стратегии.
Существенную трудность в решении указанной задачи представляет уравнение Якоби-Гамильтона-Беллмана, в общем случае нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными, получение (единственного) решения которого эквивалентно решению задачи управления.
Аналитическое решение этого уравнения для широкого класса задач пока неизвестно. Один из технических приемов, позволяющих, с одной стороны, обойти указанную трудность, а с другой - получить информацию об оптимальной стратегии потребления, приведен в статье Сенневалд К., Валде К. Ученые использовали уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана и формулу Ито для вывода дифференциального уравнения, которому удовлетворяет управляющий параметр.
В работах Оксендаля Б. рассматривается обобщенная задача Мертона, в которой инвестор, вкладывая капитал в рисковый и безрисковый активы, заинтересован в получении максимального дохода в определенный момент времени в будущем. Обобщение модели Мертона заключается в рассмотрении динамики цены рискового актива, содержащего скачкообразную компоненту.
Модели диверсификации рисков страховых компаний, создаваемые с использованием аппарата копула-функций достаточно редко встречаются в отечественной и зарубежной научной литературе.
Теоретические аспекты копула-функций описаны у Шкляра А., Фреше М., Франка М. Обзор математических основ копула-функций и комонотонных (максимальных положительных) зависимостей представлен в монографиях Нелсен Р., Вандуффел С. Теоретические аспекты моделирования случайных векторов с нелинейными взаимосвязями на примере архимедовых копул приведен в работах Вальдса Е, Шериса М., Ву Ф. Поиск линейных зависимостей убыточностей по различным группам страхования Танг А, Вальдс Е. В работах указанных исследователей построена модель диверсификации страховых рисков.
В работах Батеуп Р. и Рид И., Коллингс С. и Уайт Г. обсуждается возможность применения результатов моделирования к страховой сфере. Нелинейные взаимосвязи между убыточностями по различным видам страхования рассмотрены в работе Иссакс Д., в которой используется копула Гумбеля - частный случай архимедовых копула-функций.
Таким образом, по данной проблематике в научной литературе существует ряд работ. Тем не менее, тематика диссертационной работы содержит несколько нерешенных задач. Во-первых, до настоящего момента времени не получена динамика оптимального потребления страховой компании даже в частных случаях. Во-вторых, в задаче диверсификации страховых рисков исследователями не рассматривались одновременно линейные и нелинейные степени зависимости коэффициентов актуарных убыточностей по различным видам страхования. В диссертации, в частности, получены результаты, позволяющие существенно продвинуться в решении указанных задач.
Цели и задачи исследования. Целью диссертации является построение оптимальных стратегий инвестирования, потребления и диверсификации рисков страховых компаний в условиях стохастической неопределенности.
Поставленную цель позволяет достичь решения следующих задач:
1. Получить динамику оптимального потребления для различных функций полезности.
2. Получить точную формулу оптимальной доли капитала, инвестируемого в рисковый актив, в обобщенной задаче Мертона.
3. Проанализировать влияние ограничений, накладываемых контролирующими органами на формирование инвестиционных портфелей страховых компаний.
4. Сравнить согласованность критериев различных групп лиц - владельцев страховой компании и страхователей. Целью первых является максимизация ожидаемого капитала в определенный момент времени, вторых - минимизация вероятности разорения.
5. Построить модель, учитывающую взаимосвязи между убыточностями по различным видам страхования и разработать методику оценки финансового результата при объединении многопродуктовой с монопродуктовой страховой компанией с учетом: 1) маргинальных функций распределений и 2) диверсификации убыточностей по различным видам страхования. Для осуществления указанной задачи предприняты следующие этапы:
o Статистический анализ коэффициентов актуарных убыточностей по различным линиям бизнеса с целью определения параметров зависимости указанных показателей.
o Расчет показателя Value-at-Risk - минимальной величины, которая не превысит с заданной вероятностью убыточность как по страховой компании (рынку) в целом и переход к убыточностям по различным линиям страхования.
o Построение системы критериев, на основе которых принимается решение о присоединении новой страховой группы. Показывается взаимосвязь критериев и рассчитывается финансовый результат при различных сценариях.
Объектом исследования является страховая компания.
Предметом исследования являются стратегии распределения капитала страховой компании.
Теоретико-методологической основой диссертации являются труды по стохастическому оптимальному управлению, теории случайных процессов, математической статистики российских и зарубежных ученых. Среди используемых методов математической статистики основными являются проверка гипотез о согласии вероятностных распределений признаков и аппарат копула-функций.
Анализ статистических данных был осуществлен с помощью программ Matlab R2007a, MS Excel 2002, R project, Easy Fit 5.5, StatAssist 5.5.
Информационная база диссертации. Единственным подходящим источником данных является статистика убыточностей по различным группам страхования Австралийского страхового рынка. Указанная статистика была взята из информационных ресурсов организаций APRA [www.apra.com] и из статей, посвященных анализу зависимостей актуарных убыточностей.
Область исследования. Содержание исследования полностью соответствует Паспорту специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики (экономические науки).
Научная новизна диссертации заключается в построении совокупностей моделей, направленных на получение оптимальных стратегий инвестирования, потребления страховой компании и диверсификации страховых рисков.
Основные результаты, полученные в рамках диссертации и выносимые на защиту:
1. Найдена динамика оптимального потребления в модели распределения капитала страховой компании, инвестирующей свои средства в финансовый рынок. Полученный результат для степенной функции полезности потребления распространен на случай обобщенной функции полезности потребления.
2. Доказано существование и получена монотонность по параметрам модели оптимального управления в обобщенной модели Мертона без потребления для степенной и логарифмической функции полезности. В случае логарифмической функции полезности получена точная формула оптимальной доли капитала, инвестируемого в рисковый актив.
3. Установлено с помощью численного моделирования, что согласованность целей владельцев страховой компании и страхователей существенно зависит от степени относительного неприятия риска. При высоком уровне относительного неприятия риска указанные цели согласованны, при низком уровне относительного неприятия риска согласованность целей нарушается.
4. Построена модель диверсификации рисков страховой компании на реальных данных. Частные распределения и часть параметров зависимости между актуарными убыточностями оценивались по выборке, остальные параметры были поставлены экспертно.
5. Продемонстрирована зависимость двух способов оценки финансового результата от объединения страховых компаний, учитывающих латентные стохастические взаимосвязи убыточностей по различным страховым группам.
Первым критерием является величина дополнительного (высвобождаемого) капитала в результате объединения компаний, вторым - изменение прибыли многопродуктовой страховой компании.
Теоретическая и практическая значимость результатов. Теоретическую значимость исследования можно сформулировать в следующем виде:
1. Получена динамика оптимального потребления страховой компании для произвольных функций полезности потребления, удовлетворяющих естественным ограничениям.
2. Получена аналитическая формула оптимальной доли капитала, инвестируемого в рисковый актив в обобщенной модели Мертона.
3. Построена модель диверсификации страховых рисков, учитывающая латентные зависимости актуарных убыточностей по различным страховым группам на реальных статистических данных.
Практическая значимость работы заключается в следующем:
1. Полученное уравнение динамики оптимального потребления может быть использовано страховыми компаниями при формировании потока дополнительных расходов.
2. Доказательство согласованности целей владельцев страховой компании и страхователей позволяет по-новому оценить роль контролирующих органов.
Результаты численного моделирования могут быть использованы при расчете верхних границ доли капитала, инвестируемого в рисковые активы.
3. Использование нового подхода принятия решения об открытии новой страховой линии, учитывающего зависимости убыточностей по различным группам страхования позволит более точно оценить финансовый результат новой компании.
Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты диссертации прошли апробацию в экспертном сообществе в рамках следующих международных и Всероссийских конференциях и круглых столах: Первый Российский Экономический Конгресс. (Москва, МГУ, ИЭ РАН, 2009 г.);
Международная конференция УМатематика. Компьютер. ОбразованиеФ (г. Дубна, МГУ, 2010 г.); Всероссийская молодежная конференция УЭкономический рост:
Математическое моделированиеФ. (Москва, РЭУ им. Г.В. Плеханова, 2011 г.);
Конференция лауреатов и стипендиатов 2011 г. Международного научного фонда экономических исследований (МНФЭИ) академика Н.П. Федоренко (Москва, ЦЭМИ РАН, 2012 г.); Всероссийская конференция УПрикладная теория вероятностей и теоретическая информатикаФ (г. Москва, РУДН, ИПИ РАН, 2012г.).
Диссертация связана с исследованиями, проведенными в Финансовом университете в рамках комплексной темы: Пути развития финансовоэкономического сектора России по кафедральной подтеме Развитие математических инструментов исследования финансово-экономических процессов.
Материалы диссертации используются в практической деятельности Финансово-экономического отдела ЗАО Капитал Перестрахование, в частности используется методика оценки совокупного риска перестраховочной компании, учитывающая латентные линейные и нелинейные зависимости между актуарными убыточностями по различным линиям страхования. По материалам исследования внедрена модель принятия решения об открытии новой страховой группы, основанная на статистических закономерностях в страховой сфере. Указанная модель позволяет принимать научно обоснованные решения об открытии новой группы страхования.
Выводы и основные результаты диссертации Журова А.Н. используются в практической работе Финансово-экономического отдела и способствуют более точному расчету финансового результата перестраховочной компании.
Материалы диссертации используются кафедрой Прикладная математика Финансового университета в преподавании учебных дисциплин Математические методы финансового анализа и Актуарная математика.
Внедрение результатов подтверждено соответствующими документами.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 статей общим объемом 3,8п.л. (в т.ч. авторский объем 3,58 п.л.). Все статьи опубликованы в журналах, определенных ВАК Минобрнауки России.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка из 56 источников. Исследование приведено на 110 страницах, иллюстрировано 11 таблицами и 10 рисунками.
Во введении приводится краткое описание решаемой задачи, обзор результатов исследователей указанной сферы.
Глава 1 посвящена полученным аналитическим результатам, относящимся к оптимальным стратегиям потребления и инвестирования. Здесь обсуждаются математические методы теории оптимального управления в стохастических условиях, элементы стохастического анализа.
В главе 2 сравниваются оптимальные стратегии страховых компаний в моделях с различными целевыми функционалами, отвечающими интересам двух групп: страхователей и владельцев компаний.
В главе 3 построена модель диверсификации страховых рисков, учитывающая (линейные и нелинейные) зависимости актуарных убыточностей по различным видам страхования. Показана взаимосвязь критериев, на основе которых принимается решение об объединении однопродуктовой и многопродуктовой страховой компании.
В заключении обсуждаются полученные результаты и дальнейшее развитие исследования.
2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
2.1 Получено дифференциальное уравнение динамики оптимального потребления страховой компании в случае степенной функции полезности потребления.
Рассмотрена модель функционирования страховой компании, инвестирующей полностью свой капитал на финансовый рынок и расходующей часть средств на потребление.
В диссертации рассматривается (B, S)-рынок, т.е. финансовый рынок с одним рисковым и безрисковым активом. Предполагается, что цена безрискового актива Bt изменяется как банковский счет: dBt r0Bt dt, а цена рискового актива Pt удовлетворяет геометрическому броуновскому движению:
dPt Pt (dt dWt ), где r0 доходность безрискового актива; r0 доходность рискового актива; волатильность цены рискового актива;
Wt винеровский процесс. Размер возмещения по одному страховому событию задается неотрицательной непрерывной случайной величиной L ; количество страховых случаев, произошедших за промежуток времени [0,t], моделируется пуассоновским процессом Nt,t 0 с постоянной интенсивностью . Таким Nt образом, суммарные выплаты St по Nt страховым случаям задаются Li iсложным пуассоновским процессом. Величина премии p предполагается постоянной в модели и рассчитывается по следующей формуле: p (1 )E(L), где 0- рисковая надбавка.
Под потреблением ct 0 страховой компании подразумеваются дополнительные расходы, не связанные с выплатами возмещений по страховым случаям. Типичный пример потребления - выплата бонусов сотрудникам страховой компании. Управляющими параметрами являются ut - доля капитала, инвестируемого в рисковый актив, и ct - величина текущего потребления. При сделанных допущениях капитал X страховой компании удовлетворяет t следующему уравнению:
dPt dBt dXt ut Xt (1 ut )X pdt dSt ct.
t Pt Bt (1) Страховая компания оптимизирует будущее значение капитала и текущее потребление по переменным ut, ct в соответствии с целевым функционалом:
E es f1(cs )ds e f2 (X1 ) max, cs 0,us (2) где 0 ставка дисконитирования, 1 min(,T ), где T горизонт планирования, min(t, X 0) момент разорения страховой компании, t c1 f1(c) , 0 1, 1 (3) f (x) функции полезности потребления и капитала соответственно, удовлетворяющие ограничениям fi 0, fi 0. Оптимальная инвестиционная * * стратегия состоит в выборе значений ut и ct, максимизирующих целевой функционал (2).
Поставленная задача относится к классу задач оптимального управления в стохастических условиях. Для решения подобных задач, как и принято, используется функция Беллмана, которая в данной модели имеет вид:
(1t) V (t, x) = sup E (st) f1(cs )ds e f2 (X ) X = x. (4) t e 1 u,c t s s Функция V (t, x) обозначает максимальное значение целевого функционала, который достижим с начальным капиталом x в момент времени t.
Классическая теория оптимального управления в стохастических условиях утверждает, что решение задачи оптимального управления эквивалентно решению уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (HJB) - в общем случае нелинейного дифференциального уравнения с частными производными. В рассматриваемом случае уравнение HJB имеет вид:
( 2 V = Vt sup r0 )xutVx x ut2Vxx sup f1(ct ) ctVx 2 (5) ut ct r0 xVx pVx E(V (t, x L) V (t, x)).
В классической модели Мертона (без страхования) в случае бесконечного * горизонта T времени оптимальная доля ut капитала, инвестируемого в рисковый rактив, задается формулой: u* , в то время как точная формула * оптимального потребления ct до сих пор не найдена. Основная трудность заключается в том, что для получения аналитической формулы оптимального * * управления ct, необходимо (в отличие от ut ) решать уравнение HJB.
При достаточно общих условиях, накладываемых на функцию Беллмана * V (t, x), получено уравнение динамики оптимального потребления ct :
r0 1 1 * * * * rdct (ct ) ELi (c*(t, x Li ) (ct ) )ct dt 2 (6) r0 * ct dWt (c*(t, xt dSt ) c*(t, xt ))dqt, где dqt 1, если в полуинтервале (0,t] произошел хотя бы один скачок и dqt в противном случае. Результат (6) получен с использованием формулы Ито и уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана для процессов со сносом, диффузией и скачками и свойств стохастического интеграла Ито.
2.2 Получено дифференциальное уравнение динамики оптимального потребления для произвольной функции полезности Рассмотрена модель, эквивалентная задаче, поставленной п. 2.1, в которой f1(c) задается произвольной функцией, удовлетворяющей естественным ограничениям f1(c) 0, f1(c) 0. С помощью формулы Ито для процессов со сносом, диффузией и скачками показано, что динамика оптимального потребления задается формулой:
df 1 f (df )* dct = (c*(t, Xt dSt ) c*(t, X ))dqt, (7) t f ( f )где dqt - случайная величина, принимающая значение 0, если за время dt не было ни одного скачка, и 1 в противном случае. Величина df задается уравнением:
( r0 ) f df = (( r0 ) f E( f (c*(t, X L)) f (c*)))dt dWt.
t Уравнение (7) является обобщением результата, полученного в п 2.1, на случай произвольной функции полезности, удовлетворяющей естественным ограничениям.
2.3 Получена аналитическая формула оптимальной инвестиционной стратегии при логарифмической функции полезности и доказано существование оптимального управления при степенной функции полезности в обобщенной задаче Мертона Указанный результат не относится явным образом к выбору оптимальных стратегий страховых компаний, но показывает, как скачкообразные процессы, имеющие нестраховую природу, влияют на оптимальное инвестиционное управление. Статистический анализ изменения цен финансовых активов показывает, что существуют интервалы времени, в которые котировки изменяются достаточно резко. Отрицательная асимметрия и тяжелые хвосты являются статистическим доказательством наличия значительного числа резких отрицательных изменений доходностей финансовых инструментов. Тем не менее, в научной литературе существует недостаточно аналитических моделей, учитывающих скачки в доходностях финансовых инструментов.
В диссертационном исследовании рассмотрена обобщенная задача Мертона, в которой цена рискового актива Pt задается процессом со сносом, диффузией и скачками:
dPt Pt ( dt dWt dNt ), (8) где неслучайный размер одного скачка, dNt количество скачков в интервале времени dt. Процесс Nt предполагается пуассоновским с интенсивностью .
В модели рассматривается инвестор, вкладывающий доли ut и 1 ut своего капитала Xt соответственно в рисковый актив, цена которого задана уравнением (8), и безрисковый актив. Предполагается, что инвестор заинтересован в максимизации функционала E( f (XT )), где рассматриваются степенная f (x) (x1 1) /(1 ) и логарифмическая f (x) ln(x) функции полезности.
Указано, что в рассматриваемой задаче отрицательные значения X невозможны, t т.е. разорение инвестора никогда не наступает, поэтому имеет смысл строить модель на конечном неслучайном горизонте времени T.
* При достаточно общих условиях получено уравнение на ut :
u* r0 (1 u*) 0. (9) Показано, что корень уравнения (9) при логарифмической функции полезности, т.е. в случае 1, определяется формулой:
( r0 ) D u* , (10) 2 2 где D ( ( r0 )2 )2 4 2.
Для степенной функции полезности, т.е.0 1, и случая 0 доказано существование оптимального управления на положительной числовой оси, т.е.
u* (0,).Доказана монотонность u* по параметрам модели при логарифмической и степенной функциях полезности. В случае 1 при u*(, r0,, , ) положительно зависит от параметров , , и отрицательно от r0 и . В случае 1 при отрицательном размере скачка, т.е. 0, зависимость от меняется на отрицательную. В случае 0 1 u* положительно зависит от параметров ,, и отрицательно от r0,, . Отличительной особенностью указанного результата является то, что при выводе уравнения (9), используемое при получении u*, применялись только формулы Дынкина и свойства стохастических интегралов Ито и Пуассона.
2.4 Проведен сравнительный анализ оптимальных инвестиционных стратегий в задачах с различными целевыми функциями В целях обеспечения устойчивости и платежеспособности контролирующие органы ограничили множество инвестиционных стратегий страховых компаний.
Как результат, страховая компания становится более устойчивой в смысле исполнения принятых на себя рисков. Количественной мерой устойчивости является вероятность разорения, определяемая следующим образом () P( T ), (12) где mint 0 : Xt 0 момент разорения, T горизонт планирования.
В исследовании осуществлено сравнение оптимальных инвестиционных стратегий двух различных критериев: 1) максимизация ожидаемой полезности капитала E( f (X1 )), где 1 min(T, ) и 2) минимизация вероятности разорения, заданной формулой (12). Сравнение инвестиционных стратегий проводилось с использованием метода Монте-Карло. Из-за ограничения вычислительных мощностей на управляющий параметр было сделано ограничение постоянства во времени.
При большинстве значений параметров модели величины оптимальных инвестиционных управлений находились в непосредственной близости, что подтверждает согласованность рассмотренных критериев. Первый график демонстрирует, что минимум критерия (u) и максимум критерия Ef X1 достигаются на широком интервале u* (0.25,0,25) :
0.0.35 3 (u) (u) E(f(X )) E(f(X )) 1 0.3 0.0.25 0.4 0.2 0.2 -0.15 -0.1 -2 0 --1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 -1 -0.8 -0.5 -0.2 0 0.2 0.5 0.8 u u Рис.1 Зависимость E( f (X1 )) и () от u Рис.2 Зависимость E( f (X1 )) и () от u при типичных значениях параметров при относительно высоком При относительно высоких значениях рисковой доходности (рис.2) увеличение доли капитала, инвестируемого в рисковый актив, приводит к (u) (u) E (f(X )) E(f(X )) возрастанию значения E( f (X1 )), при этом вероятность разорения ограничена сверху. С другой стороны, увеличение управляющего параметра u приводит к уменьшению вероятности разорения ().Таким образом, при увеличении параметра u страховая компания максимизирует ожидаемую полезность капитала при ограниченной (невысокой) вероятности разорения.
Согласованность критериев нарушается при относительно малых значениях параметра , характерных для страховых компаний, с низким относительным неприятием риска, что демонстрирует рис.3:
0.35 50 1 10(u) (u) 0.9 9E(f(X )) E(f(X )) 1 0.3 45 0.8 80.7 70.25 40 0.6 60.5 50.2 35 0.4 40.3 30.15 30 0.2 20.1 10.1 25 0 -1 0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 u u Рис.3. Зависимость E( f (X1 )) и () от u Рис.4 Зависимость E( f ( X1 )) и () от u при относительно низком значении 0.1. при относительно низком и высоком .
Результат одновременного увеличения рисковой доходности и уменьшение коэффициента относительного неприятия риска показан на рис.4.
Рис.3 показывает, что максимум 1-ого критерия достигается при u* 1 в то время как точка минимума критерия (u) находится на интервале u* (0.2,0.3).
2.5 На реальной страховой статистике построена модель диверсификации страховых рисков, учитывающая линейные и нелинейные зависимости между актуарными убыточностями по различным группам страхования.
Рассматривается страховая компания, принимающая на себя риски по N линиям страхования. Пусть i ая страховая линия характеризуется двумя (i) показателями: величиной полных убытков L(i) и заработанной премией EPm за m m ый период наступления страховых случаев, где m 1,...,T и T временной (u) (u) E (f(X )) E (f(X )) (i горизонт. Коэффициентом актуарной убыточности LRm) по i -ой группе по (i ( m ому периоду равен: LRm) L(i) / EPmi), где i 1,.., N и m 1,..,T. Убыточность m в целом по страховой компании за m ый временной период обозначается через () LRm.
Группировка актуарной убыточности на дату страхового события позволяет выявить статистические закономерности в одновременном наступлении страховых случаев по различным видам страхования. Например, при ДТП часто наносится ущерб имуществу и здоровью, как виновника, так и потерпевшего.
Таким образом, одно страховое событие порождает появление страховых случаев по трем различным линиям страхования: КАСКО, ОСАГО, медицина. Учет данных зависимостей позволяет страховой компании более точно оценить собственные риски, сформировать адекватные страховые резервы и рассчитать (i размер необходимого капитала. Предполагается, что убыточности LRm), представляют собой выборку из генеральной совокупности случайного вектора LR LR(1),..., LR(N ). Убыточность в целом по страховой компании LR() допускает следующее представление:
N EP(i) LR(i) L() i LR() wi LR(i), (14) EP() EP() где wi EP(i) / EP() обозначает вес i ой группы в общей заработанной премии.
В качестве исходных данных использовалась статистика по актуарной убыточности по 5 страховым группам австралийского страхового рынка:
1)страхование квартир/домов, 2)КАСКО, 3)ОСАГО, 4)Страхование коммерческих рисков, 5)Страхование ответственности. Полученный объем выборки - наблюдений по каждой страховой группе.
Задача, поставленная в диссертации, заключается в расчете диверсифицированных показателей рисков страховой компании с учетом взаимосвязей убыточностями по различным страховым группам. В качестве меры риска используется показатель VaRq (X ) infx : F(x) q. В диссертации сравниваются два различных подхода к расчету величины VaRqLR(): 1) в случае комонотонных (максимальных положительных) зависимостей LR(i), 2) в допущении, что зависимости убыточностей LR(i) описываются различными копула-функциями. В первом случае совокупный риск рассчитывается по N ( формуле: VaRqc)LR() VaRqLR(i).
wi iВо втором случае показатель риска страховой компании с учетом ( диверсификации, обозначаемый через VaRqd )LR(), рассчитывается численно посредством симуляции компонент случайного вектора LR. Сравнение убыточностей, рассчитанных двумя способами, осуществляется через расчет показателя относительной экономии капитала по ( ( VaRqc)LR()VaRqd )LR() формуле: DBVaR .
( VaRqc)LR() ( Расчет диверсифицированных VaRqd )LR(i) осуществляется по формуле:
( VaRqd )LR(i) (1 DBVaR )VaRqLR(i). (15) Выбранные маргинальные распределения приведены в следующей таблице:
Случайная Линия страхования Наилучшее Значение p value величина распределение параметров Квартиры Гамма 0, LR(1) 0,0КАСКО Логнормальное 0, 0,1LR(2) 0,1ОСАГО Гамма 0, 27, LR(3) 0,0Коммерческое Гамма 0, LR(4) страхование 0,0Страхование Гамма 0, LR(5) ответственности 0,1Таблица 1. Оценки параметров маргинальных распределений случайных величин LR(i).
Оцененные по выборке коэффициенты ранговой корреляции Кендалла убыточностей LR(i) приводятся в следующей таблице.
LR(1) LR(2) LR(3) LR(4) LR(5) 1 -0,30 -0,13 -0,41 -0,LR(1) -0,30 1 0 0,17 0,LR(2) -0,13 0 1 -0,08 0,LR(3) -0,41 0,17 -0,08 1 0,LR(4) -0,36 0,19 0,52 0,10 LR(5) Таблица 2. Оценки ранговых коэффициентов корреляции Кендалла.
Из таблицы 2 видно, что убыточности по некоторым страховым линиям отрицательно коррелированны. Данный факт не соответствует ни здравому смыслу, ни актуарной практике, а объясняется отсутствием достаточной статистики. Поэтому все отрицательные коэффициенты были заменены нулевыми, а коэффициент 1,4 в соответствии с экспертным мнением автора настоящей диссертации и исследователей в данной области был принудительно приравнен к 0,5.
Гистограммы распределения случайной величины LR() в случае эллиптических и архимедовых копул показаны на следующих графиках.
Histogram of LRS Histogram of LRS Histogram of LRS 0.6 0.8 1.0 1.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 0.4 0.6 0.8 1.0 1.LRS LRS LRS Рис.5. Гистограммы частот распределения случайной величины LR() в случае эллиптических копул (слева направо): Гаусса, Стьюдента, Коши.
Histogram of LRS Histogram of LRS Копула Клейтона 0.6 0.8 1.0 1.2 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 0.4 0.6 0.8 1.0 1.LRS Loss Ratio LR Рис.6. Гистограммы частот распределения случайной величины LR() в случае архимедовых копула-функций (слева направо): Франка, Гумбеля, Клейтона.
Frequency Frequency Frequency 1020304050607010203040501020304050Частота Частота Frequency 1020304050102030405060102030405060Из рис. 5 следует, что при уменьшении числа степеней свободы v копулы Стьюдента, распределение случайной величины LR() прирастает тяжелыми хвостами. На рис. 6 характерно отсутствие хвостовой зависимости у копулы Франка, наличие тяжелого правого хвоста копулы Гумбеля и левого хвоста копулы-функции Клейтона. Данная статистическая закономерность объясняется нулевым коэффициентом нижней и верхней хвостовой зависимости копулы Франка, положительного коэффициентом U верхней хвостовой зависимости копулы Гумбеля и положительного коэффициента L нижней хвостовой зависимости копулы Клейтона.
Кроме случая копулы Клейтона, все рассматриваемые гистограммы случайной величины LR() характеризуются правосторонней асимметрией.
Указанный статистический факт является закономерным, так как в качестве маргинальных используются Гамма и логнормальное распределения, характеризующихся правосторонней асимметрией. В случае копула-функции Клейтона распределение является практически симметричным. Объясняется это наличием положительного коэффициента нижней хвостовой зависимости L 0.14, нивелирующей влияние правосторонних маргинальных распределений.
Следующая таблица аккумулирует полученные результаты: значения ( ( VaR0d) LR(), DBVaR, VaR0d ) LR(i).
,99,Копула ( ( DBVaR,% (i) VaR0d ) LR(), VaR0d ) LR ,%,,% i 2 i 3 i 4 i i Гаусса 100 12 73 94 118 79 1Стьюдента 103 10 75 96 122 81 1Коши 104 8 76 98 123 82 1Гумбеля 107 5 78 101 127 85 1Клейтона 98 14 71 92 116 77 1Франка 99 13 72 93 117 78 1( ( Таблица 3. Значения VaR0d) LR(), DBVaR, VaR0d ) LR(i) в случае шести различных копулам.
,99,2.6 Осуществлено сравнение методов оценки финансового результата от объединения монопродуктовой и многопродуктовой страховых компаний Достаточно часто страховые компании рассматривают возможность принятия на себя рисков по новым линиям страхования. Одним из способов расширить бизнес заключается в том, что более крупные страховые компании поглощают более мелкие.
Пусть величина L(6) обозначает полный убыток монопродуктовой страховой компании. Тогда, использовав обозначение L(1) суммарного убытка по 5 страховым группам первой страховой компании, величина суммарного убытка по новому (объединенному) портфелю L(2) определяется следующим образом:
L(2) L(1) L(6). (16) Предполагается, что зависимость убыточностей в новом портфеле описывается эллиптическими и архимедовыми копула-функциями, рассмотренными в модели диверсификации страховых рисков. Пусть, как и в модели диверсификации рисков, мерой риска является показатель Value-at-Risk. Тогда основные задачи настоящей модели формулируются следующим образом: 1)Определение ( ( величины X дополнительного капитала: X VaR0d ) LR(2 ) VaR0d ) LR(1), a a,99,требуемого для покрытия новых обязательств. 2) Расчет абсолютной выгоды (или ( ( убытка) от объединения 1 VaR0d ) LR(2 ) VaR0d ) LR(1) VaR0,99LR(6).3),99,Расчет изменения прибыли после объединения двух страховых компаний (2) (1) (1) ( 2 ,где 1 VaR0d) LR(1)EP(1) и,(2) ( 1 VaR0d ) LR(2 )EP(2 ).
,Предполагается, что новая линия бизнеса имеет Гамма-распределение с параметрами k 0,11 и 8,03, соответствующими математическому ожиданию 0,85 и стандартному отклонению 0,1. В следующей таблице приводятся сравнительные характеристики старого и нового страховых портфелей в случае 0.1 где i 1,...,5.
6i Копула (1) (2) X, 1, VaR0,99LR1, , , a млн. у.е. млн. у.е.
млн. у.е. млн. у.е.
% Гаусса 99,8 -7,1 1,8 141,0 -27,Стьюдента 100,9 -16,4 -10,7 144,3 -23,Коши 103,0 -38,2 -34,3 146,1 -22,Гумбеля 104,9 -45,7 -56,3 160,6 -7,Франка 98,5 7,6 17,5 140,1 -28,Клейтона 96,5 29,1 40,1 139,0 -29, Таблица 4. Сравнительные характеристики старого и нового портфелей при 0,1, где i 1,...,5.
6i При значении 0.3, i 1,...,5 результаты изменяются:
6i Копула (1) (2) X, 1, VaR0,99LR1, , , a млн у.е. млн у.е.
млн. у.е. млн. у.е.
% Гаусса 100,6 -6,7 -7,2 150,5 -17,Стьюдента 102,1 -19,9 -23,8 153,9 -14,Коши 103,9 -30,6 -45,1 164,5 -3,Гумбеля 106,6 -46,9 -75,7 178,8 10,Франка 99,9 8,0 1,0 157,0 -11,Клейтона 97,3 29,3 31,0 148,3 -Таблица 5. Сравнительные характеристики старого и нового портфелей при 0,3, где i 1,...,5.
6i Таблицы 4, 5 позволяют сделать следующие выводы:
1) Увеличение коэффициента хвостовой зависимости нивелирует эффект диверсификации. Действительно, величина 1 увеличивается при уменьшении степеней свободы эллиптических копул, что эквивалентно увеличению хвостовой зависимости.
2) В случае 0,1 значение 1 для всех копула-функций является 6i отрицательным. Поэтому с точки зрения экономии капитала двум страховым компаниям выгодно объединиться. В случае 0,3 и использовании копулы 6i Гумбеля эффект диверсификации сводится на нет.
3) Для относительно невысокого при всех копула-функциях, кроме 6i Гумбеля, добавление новой линии страхования увеличивает финансовый результат объединенного портфеля. Увеличение указанного коэффициента до 0,3 приводит к тому, что прибыль новой компании становится меньше 6i прибыли многопродуктовой компании для всех типов зависимости, кроме копулы Клейтона.
Приведенные вычисления демонстрируют, что критерии экономии капитала за счет диверсификации и увеличения финансового результата не всегда эквивалентны друг другу. В следующей теореме приведены условия, при которых указанные критерии согласуются друг с другом.
(1) (2) Теорема 1. Пусть , и 1 обозначают соответственно финансовый результат старого портфеля, финансовый результат нового (объединенного) портфеля и абсолютную выгоду от диверсификации. Тогда следующие неравенства являются эквивалентными:
(2) (1) 1 0 EP(2 ) EP(1) VaRqL(6), (17) (2) (1) 1 0 EP(2) EP(1) VaRqL(6). (18) Вывод, относящийся к результатам всего исследования: использование математико-статистических методов позволит страховым компаниям сформировать оптимальные стратегии инвестирования, потребления и более точно оценить величину страховых выплат. Использование модели диверсификации страховых рисков позволит сформировать адекватные страховые резервы.
3. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в журналах, определенных ВАК Минобрнауки России:
1. Журов А.Н. Оптимальные стратегии страховых компаний [текст] / Журов А.Н., Шаповал А.Б. // Социально-экономические явления и процессы. - 2011.
- № 5-6. - С. 105-109. (0,45/0,23 п.л.).
2. Журов А.Н. Поиск оптимальных инвестиционных стратегий в случае степенной и логарифмической функций полезности капитала [текст] / Журов А.Н.
// Управление риском. - 2011. - № 4 (60). - С. 38-42. (0,56 п.л.).
3. Журов А.Н. Сравнение оптимальных стратегий страховых компаний [текст] / Журов А.Н. // Страховое дело. - 2012. - №2. - С. 23-33. (0,93 п.л.).
4. Журов А.Н. Динамика оптимального потребления страховой компании в случае произвольной функции полезности [текст] / Журов А.Н. // Страховое дело.
- 2012. - № 6. - С. 44-48. (0,51 п.л).
5. Журов А.Н. Анализ латентных зависимостей убыточностей по различным страховым группам [текст] / Журов А.Н. // Управление риском. - 2012. -№ 2 (62).
- С. 46-56. (1,35 п.л.).