Geum.ru
Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по техническим специальностям

На правах рукописи

МОСКАЛЕНКО ЛЮДМИЛА ПАВЛОВНА

МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И ЗАКРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК, ПОДКРЕПЛЕННЫХ РЕБРАМИ ПЕРЕМЕННОЙ ВЫСОТЫ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2012

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет на кафедре Прикладная математика и информатика

Научный консультант: доктор технических наук, профессор Карпов Владимир Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Бауэр Светлана Михайловна профессор кафедры Теоретическая и прикладная механика ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный университет кандидат технических наук, доцент Галишникова Вера Владимировна зав. кафедрой Строительные конструкции и сооружения ФГБОУ ВПО Российский университет дружбы народов (РУДН)

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого

Защита состоится л26 июня 2012 г. в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 218.008.06 на базе Петербургского государственного университета путей сообщения по адресу: 190031, Санкт-Петербург, Московский проспект, д. 9, ауд. 1-217.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Петербургского государственного университета путей сообщения.

Автореферат разослан л25 мая 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, Кудряшов кандидат технических наук, профессор Владимир Александрович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Оболочки, обладающие разнообразием форм и достаточно высокой жесткостью, находят применение в различных областях техники. Недостатком тонкостенных оболочечных конструкций является возможность потери ими устойчивости. Изначально для исследования устойчивости оболочек применялся метод, сводящий проблему к исследованию собственных значений и собственных векторов (метод Эйлера). С появлением нелинейной теории оболочек появилась возможность исследовать устойчивость таких конструкций с учетом нелинейных факторов. Среди методов решения нелинейных задач для пластин и оболочек наибольшее применение получил метод последовательных нагружений, разработанный В.В. Петровым, позволяющий свести решение нелинейной задачи к последовательности решения линейных задач. Этот метод является частным случаем метода продолжения решения по параметру, когда в качестве параметра принята нагрузка. Для нахождения критической нагрузки строится кривая нагрузка - прогиб в какой-либо характерной точке. Нагрузка, соответствующая максимуму этой кривой, принимается за критическую.

Исследованию устойчивости оболочек посвящено большое число публикаций. Это монографии Григалюка Э.И. и Кабанова В.В., Товстика П.Е., Якушева В.Л., Петрова В.В., Амиро И.Я. и Заруцкого В.А., Андреева Л.В., Ободан Н.И., Лебедева А.Г., Рейсснера Е., Доннелла Л. Г. и др.

Теория оболочек в нелинейной постановке допускает существование нескольких состояний равновесия при одной и той же нагрузке. Поэтому кривых нагрузка - прогиб может быть несколько. Точки пересечения таких кривых называются точками бифуркации. В этих точках может быть переход с одной формы равновесного состояния на другую.

Существование точек бифуркации и переход из одного равновесного состояния в другое исследованы недостаточно, поэтому весьма актуальным является анализ этой проблемы для конкретных видов оболочек.

Для повышения жесткости оболочки подкрепляются ребрами.

Достаточно хорошо исследована устойчивость пологих оболочек, подкрепленных ребрами постоянной высоты, но мало исследованы оболочки, подкрепленные ребрами переменной высоты, что обеспечивает актуальность исследования устойчивости таких оболочек.

В строительстве при проектировании покрытий или перекрытий большепролетных сооружений чаще всего используются пологие оболочки прямоугольного плана. Подкрепление ребрами жесткости переменной высоты пологих оболочек позволяет снизить опасную концентрацию напряжений, что является весьма актуальной задачей строительства. В машиностроении, самолетостроении, ракетостроении необходимо знать как верхние, так и нижние критические нагрузки, местные и общие формы потери устойчивости, понимать закритическое поведение конструкции, уметь определять точки бифуркации и связанное с ними бифуркационное поведение.

Таким образом, актуальным является исследование эффективности подкрепления оболочек ребрами переменной высоты, а также исследование докритического и закритическое поведения рассматриваемых оболочек с помощью разработанной математической модели. Поэтому актуальным является построение на основе предлагаемой модели алгоритма, основанного на методе продолжения решения по наилучшему параметру, а также его программная реализация.

Объектом диссертационного исследования являются пологие оболочки прямоугольного плана, подкрепленные ребрами переменной высоты (жесткости).

Предметом диссертационного исследования является докритическое и закритическое поведение пологих оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты.

Целью настоящей работы является наиболее полное исследование прочности и устойчивости пологих ребристых оболочек, подкрепленных ребрами переменной жесткости.

В связи с этим ставятся следующие задачи исследования:

1. Разработка математической модели для исследования устойчивости ребристых пологих оболочек при переменной жесткости ребер.

2. Разработка алгоритмов исследования закритического поведения пологих ребристых оболочек.

3. Разработка программы для расчета устойчивости пологих ребристых оболочек.

4. Проведение исследований закритического поведения пологих ребристых оболочек.

5. Проведение исследований напряжено-деформированного состояния и устойчивости пологих ребристых оболочек при переменной жесткости ребер и обоснование эффективности такого подкрепления.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработана математическая модель деформирования пологих ребристых оболочек при учете переменной жесткости ребер.

Модифицирован метод конструктивной анизотропии, учитывающий сдвиговую и крутильную жесткость ребер. В модели учитывается геометрическая нелинейность и поперечные сдвиги.

2. Проанализировав несколько вариантов метода продолжения решения по параметру, был выбран наилучший параметр продолжения - длина дуги кривой в пространстве множества решений. Разработан алгоритм исследования модели, основанный на методе продолжения решения по наилучшему параметру, с использованием адаптивного выбора сетки. Алгоритм позволяет эффективно обходить особые точки, находить верхние и нижние критические нагрузки, местные и общие формы потери устойчивости, точки бифуркации.

3. Разработанный алгоритм реализован в виде программы DefShell: strength and stability of thin shells (свидетельство о регистрации в Реестре программ для ЭВМ №2012612774 от 19.03.2012 г.). С использованием данной программы было проведено исследование докритического и закритического поведения пологих оболочек, особых точек, их классификация, проведен анализ соответствующих бифуркационных проблем.

4. Показано, что для оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты, по сравнению с равновеликими по объему ребрами постоянной высоты, существенно снижается уровень максимальных напряжений и поле напряжений становится более гладким.

Практическое значение работы состоит в том, что разработанная программа для исследования прочности и устойчивости пологих ребристых оболочек может быть использована в проектных организациях, научных исследованиях и учебном процессе.

Результаты работы внедрены в отчет по проекту №2.1.2/61Аналитическая ведомственная целевая программа Министерства образования и науки РФ Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 г.г.), в отчет по проекту №2.1.2/10824 Аналитическая ведомственная целевая программа Министерства образования и науки РФ Развитие научного потенциала высшей школы (2011 г.г.) и в учебный процесс.

Полученные результаты по деформированию оболочки при подкреплении ее ребрами переменной высоты использованы при расчете и проектировании покрытий и перекрытий большепролетных сооружений в проектно-конструкторском бюро Ремарк.

Основные научные результаты, выносимые на защиту:

1. Математическая модель деформирования пологих оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты, сводящая оболочку дискретно-переменной толщины к оболочке непрерывно-переменной толщины, с учетом геометрической нелинейности, поперечных сдвигов, сдвиговой и крутильной жесткости ребер.

2. Модифицированный алгоритм, основанный на методе продолжения решения по наилучшему параметру, позволяющий исследовать прочность и устойчивость подкрепленных оболочек, их закритическое поведение, соответствующие бифуркационные проблемы, а также дающий возможность находить верхние и нижние критические нагрузки.

3. Проведенный с помощью разработанной программы DefShell:

strength and stability of thin shells анализ закритического поведения пологих ребристых оболочек и их особых точек.

4. Результаты исследования напряженно-деформированного состояния и устойчивости пологих оболочек, подкрепленных ребрами постоянной и переменной высоты.

Методы исследования: метод Ритца, метод продолжения решения по наилучшему параметру, метод Эйлера с адаптивным выбором сетки, метод Симпсона для вычисления интегралов.

Достоверность научных положений обеспечивается сравнением результатов тестовых задач с результатами, полученными другими авторами по другим алгоритмам, а также качественным согласованием с результатами эксперимента.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 67-ой и 68-ой научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета, СПбГАСУ (3-февраля 2010 г., 2-4 февраля 2011 г.), на седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием Математическое моделирование и краевые задачи (3-6 июня 2010 г., Самара), на десятой международной научно-практической конференции Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности (9-декабря 2010 г., Санкт-Петербург), на XVII Международном симпозиуме Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред им. А.Г. Горшкова (14-18 февраля 2011 г., Москва).

Полностью диссертация докладывалась в 2011 году на научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики под руководством д.т.н. Кирьянова Б.Ф. в Новгородском государственном университете, на межкафедральном научном семинаре факультета Городского строительства и жилищно-коммунального хозяйства СПбГАСУ, на 98 заседании объединенного семинара СПбГУ и ПГУПС Компьютерные методы в механике сплошной среды (Computer Methods in Continuum Mechanics).

Публикации. По результатам исследования опубликовано 9 статей, в том числе 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, списка основных обозначений и сокращений, четырех глав с краткими выводами, заключения, списка использованной литературы, включающего 108 наименований, и приложения. Работа изложена на 1страницах, содержит 62 рисунка и 11 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности темы исследования, формулировку цели и задач исследования, научные результаты, выносимые на защиту, сведения об опубликовании и апробации результатов исследования, краткое содержание глав диссертации.

В первой главе представлена математическая модель деформирования пологих оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты с учетом геометрической нелинейности, поперечных сдвигов.

Рассматривается пологая оболочка, подкрепленная ортогональной сеткой ребер, параллельных координатным линиям, высота которых переменна (рисунок 1). В срединной поверхности оболочки расположена ортогональная система координат: по линиям главных кривизн оболочки kx, k направлены криволинейные координаты x и y, а в сторону y вогнутости оболочки, перпендикулярно срединной поверхности, направлена координата z. Радиусы кривизны оболочки вдоль осей x, y - 1 R1 , R2 , размеры оболочки вдоль осей x, y, z - a, b, h kx k y соответственно.

Рисунок 1 - Пологая оболочка, подкрепленная ортогональной сеткой ребер В направлении оси x расположены n ребер шириной ri, высотой i hx (x), i 1..n, в направлении оси y расположены m ребер шириной rj, высотой hyj ( y), j 1..m. Расположение ребер задается функцией H (x, y) n m n m i j ij H(x, y) (x)(x xi ) (y)(y yj ) h h h (x xi )(y yj ), x y i1 j1 i1 ji где hij minhx (xi ); hyj ( y ); (x x ), (y yi ) единичные столбчатые j j функции, равные единице в местах присоединения ребер rj rj ri ri ( xi x xi ; y y y ) и равные нулю вне таких мест.

j j 2 2 2 Математическая модель деформирования пологих оболочек состоит из геометрических, физических соотношений и функционала полной энергии деформации.

Геометрические соотношения (деформации удлинения вдоль осей x, y и деформации сдвига в плоскости XOY в срединной поверхности оболочки) для пологих оболочек при учете поперечных сдвигов берутся в виде, предложенном В.З. Власовым.

При этом неизвестными (искомыми) функциями перемещений точек срединной поверхности оболочки вдоль осей x, y, z являются функции U (x, y), V (x, y), W (x, y) соответственно. Также неизвестными являются функции изменения углов поворота нормали в плоскостях XOZ, YOZ - (x, y), (x, y).

x y Нормальные напряжения в направлении осей x, y и касательные напряжения в плоскостях, действующие в произвольной точке оболочки, выполненной из изотропного упругого материала, записываются по закону Гука.

Интегрируя эти напряжения по толщине оболочки по z в пределах от h h до H (x, y), получаются нормальные усилия вдоль осей x, y, 2 сдвиговые усилия в плоскости XOY, изгибающие моменты в направлении осей x, y, крутящий момент, поперечные (перерезывающие) силы в плоскостях XOZ, YOZ, приведенные к срединной поверхности оболочки и приходящиеся на единицу длины сечения.

При этом полученные физические соотношения усложняются за счет учета переменной высоты ребер. В этих соотношениях используются площадь поперечного или продольного сечения ребра ( Fx (x, y), Fy (x, y) ), приходящаяся на единицу длины сечения, статический момент ( Sx (x, y), S (x, y) ) и момента инерции этого сечения ( J (x, y), J (x, y)), зависящие y x y от координат x и y:

i n hx (x)ri m hyj ( y)rj n hij (x, y)rirj rj Fx (x, y) ;

b a ab a i1 j1 i i m hyj ( y)rj n hx (x)ri m hij (x, y)rirj ri Fy (x, y) ;

a b ab b j1 i1 j i n Sx (x)ri m S yj ( y)rj n S ij (x, y)rirj rj Sx (x, y) ;

b a ab a i1 j1 i ij i m Syj (y)rj n Sx (x)ri m S (x, y)rirj ri S (x, y) ;

y a b ab b j1 i1 j i n J (x)ri m J yj ( y)rj n J ij (x, y)rirj rj x J (x, y) ;

x b a ab a i1 j1 i j ij i m J (y)rj n J x (x)ri m J (x, y)rirj ri y J (x, y) .

y a b ab b j1 i1 j Здесь i i i j Sx (x) 0,5hx (x)h hx (x); S (y) 0,5hyj (y)h hyj (y);

y 2 i i i i J (x) 0,25h2hx (x) 0,5hhx (x) hx (x) ;

x 2 j J (y) 0,25h2hyj (y) 0,5hhyj (y) hyj ( y) ;

y i ij i hij (x, y) minhx (x);hyj (y); S (x, y) minSx (x); Syj (y);

ij i j J (x, y) minJ (x); J (y).

x y Функционал полной энергии деформации оболочки представляет собой сумму работ внутренних и внешних сил, его составляющими являются деформации, усилия и моменты. Учет переменной высоты ребер усложняет выражение усилий и моментов, тем самым усложняется и функционал полной энергии деформации.

Полученная математическая модель деформирования пологих оболочек, подкрепленных ребрами переменной толщины, в геометрическинелинейной постановке, с учетом сдвиговой и крутильной жесткости ребер позволяет свести оболочку дискретно-переменной толщины к оболочке непрерывно-переменной толщины.

Во второй главе приведен модифицированный алгоритм, основанный на методе продолжения решения по наилучшему параметру.

Для сведения вариационной задачи к системе нелинейных алгебраических уравнений в работе применяется метод Ритца ( N - приближение по методу Ритца). Искомые функции U (x, y), V (x, y), W (x, y), x(x, y), (x, y) представляются в виде линейной комбинации y неизвестных числовых параметров U (I), V (I ), W (I), PS(I), PN(I ) и известных аппроксимирующих функций X 1(x) X 5(x), Y1( y) Y 5( y), подбираемых в зависимости от вида закрепления оболочки по контуру.

Для пологих оболочек прямоугольного плана, подкрепленных ребрами переменной жесткости, после применения метода Ритца к функционалу полной энергии деформации оболочки, получается система нелинейных алгебраических уравнений, относительно U (I), V (I ), W (I), PS(I), PN(I ).

Коэффициенты системы представляют собой двойные интегралы от произведений коэффициентов функционала и аппроксимирующих функций метода Ритца.

Кратко полученную систему можно записать в векторной форме F(X, P) 0, (1) T где вектор X U (I),V (I),W (I), PSI, PN (I), P - нагрузка.

Известно, что в ненагруженном состоянии перемещения и углы поворота нормали равны нулю, т.е.

0 F(X, P0 ) 0, X 0, P0 0 (2) В некоторой окрестности A точки X, P0 в виде прямоугольного параллелепипеда с центром в этой точке свойства решений системы (1) устанавливает теорема о неявных функциях.

Продифференцировав систему (1) по параметру нагрузки P получим dX систему линейных относительно уравнений dP dX F J 0. (3) dP P Здесь J - якобиан вектор-функции F (определитель det(J ) матрицы Якоби J). Точки, в которых выполняется условие det(J ) 0, называются регулярными, а точки, в которых det(J ) 0, - особыми. В особых точках возможность продолжения решения обычно сохраняется, но само продолжение может стать неоднозначным, т.е. появляется возможность разветвления кривой K множества решений системы. Если в особой точке наблюдается разветвление кривой K, то эта особая точка называется точкой бифуркации.

Если применить для решения полученной задачи Коши (2), (3) процедуру метода Эйлера, то получается расчетная схема X X X, Pi1 Pi Pi, i1 i i где Pi задается, а X находится из уравнения i F F X, Pi X X, Pi Pi 0.

i i i X P Этот метод также называется методом последовательных нагружений, впервые предложенный Петровым В.В.

Основная сложность исследования устойчивости оболочек при использовании метода продолжения решения по параметру состоит в обходе особых точек. Один из способов такого обхода состоит в смене параметра продолжения. В диссертационном исследовании разработано несколько алгоритмов, позволяющих автоматически производить смену параметра продолжения. При этом показано, что сам параметр продолжения можно выбрать не единственным способом. Поэтому возникает вопрос об оценке качества параметра и о выборе оптимального в некотором смысле параметре продолжения. В то же время в процессе решения все переменные и параметр задачи должны быть равноправными.

В настоящее время В.И. Шалашилин и Е.Б. Кузнецов разработали вариант наилучшей параметризации, доказав следующую теорему: Для того, чтобы система линеаризированных уравнений была наилучшим образом обусловленной, необходимо и достаточно в качестве параметра продолжения решения системы нелинейных уравнений принять длину дуги кривой K множества решений этой системы уравнений.

Систему нелинейных уравнений (1) можно записать в виде ~ ФX 0, (4) ~ T где X U (I),V (I),W (I), PS (I), PN (I), P или в координатном ~ T представлении X X1, X, X, X, X, X . Здесь X1 U (I), X2 V (I ), 2 3 4 5 X3 W (I), X PS(I), X5 PN (I), X P, I 1..N.

4 Для обеспечения в каждой точке кривой K наилучшей вычислительной ситуации выбирается в качестве параметра продолжения длина дуги , отсчитываемая вдоль кривой K. Тогда в окрестности текущей точки кривой K, выбранная дуга по направлению совпадает с ~ dX касательной к этой кривой, т.е. с вектором.

d Параметр не входит явно в систему уравнений (4) и связан с переменными задачи X1, X, X, X, X, X следующим образом 2 3 4 5 2 2 2 2 2 2 d dX1 dX dX dX dX dX .

2 3 4 5 ~ ~ Продифференцировав (4) по параметру , считая X X , получим ~ dX систему дифференциальных уравнений J 0, с начальным условием d ~ ~ ФX X0 0, 0 0. Здесь J - расширенная матрица Якоби, ~ X имеющая n строк и (n+1) столбцов.

Процесс продолжения решения по наилучшему параметру системы нелинейных уравнений (4) на каждом шаге является решением задачи Коши J ~ dX ~ ~ dX T (5) 1, X0 0.

d d ~ dX Система (5) относительно является нелинейной. Для решения d система линеаризуется и применяется итерационный процесс, в рамках T ~ ~* ~ dX dX dX которого вместо берется известный вектор, близкий к, d d d ~* dX где - вектор, определенный в предыдущей точке (на предыдущем d шаге) кривой K.

Итак, задача Коши для эволюции кривой K от k-ой точки к (k+1)-ой точке запишется в виде J ~ dX ~ ~ ~* dX T k k 1, Xk Xk, .

d d ~ ~ ~ ~ * dX dX dX dX Здесь ( ) (k 1), J J (k ), ( ).

k k d d d d Эта задача может быть решена с помощью любого из классических методов, например, метода Эйлера, модифицированного метода Эйлера, метода Рунге-Кутта.

~ dX Чем больше векторы на текущем и предыдущем шагах d непараллельны, тем хуже обусловленность матрицы системы и, следовательно, меньше устойчивость вычислительного процесса. В этой ситуации целесообразно применять адаптивный выбор сетки.

Проанализировав особенности различных алгоритмов, для программной реализации был выбран алгоритм, основанный на методе продолжения решения по наилучшему параметру. Составлена программа DefShell: strength and stability of thin shells, позволяющая исследовать напряженно-деформированное состояние и устойчивость пологих оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты.

В третьей главе приводится методика исследования закритического поведения пологих ребристых оболочек и их особых точек C использованием программы DefShell: strength and stability of thin shells были проведены исследования пологих оболочек с различными параметрами. Показано, что для оболочек большой кривизны (к тому же, достаточно тонких) характер распределения прогибов и особенно напряжений весьма сложный. Для оболочек малой кривизны наибольший прогиб наблюдается в ее центре, в любом сечении имеет синусоидальный характер, а поле напряжений гладкое с максимумом также в центре.

Например, для гладкой стальной пологой оболочки с параметрами a b 5.4 м, R1 R2 20.25 м, h 0.09 м, шарнирно-неподвижно закрепленной по контуру и находящейся под воздействием равномернораспределенной поперечной нагрузки, получена зависимость нагрузка P - максимальный прогиб W, показанная на рисунке 2.

Рисунок 2 - Зависимость максимального прогиба оболочки от нагрузки Из рисунка 2 видно, что имеется верхняя критическая нагрузка в точке А при P 3.1 МПа и нижняя критическая нагрузка в точке В при P 0.75 МПа. При этих нагрузках происходит прощелкивание оболочки, т.е. скачкообразный переход в новое равновесное состояние: из точки А в АТ и из точки В в ВТ. Причем участок кривой АВ, находящийся на нисходящей ветви кривых нагрузка - прогиб, является физически нереализуемым (неустойчивое состояние), поэтому он показан пунктиром.

На рисунках 3-4 показаны поля прогибов и напряжений вблизи точки А, а на рисунках 5-6 поля прогибов и напряжений вблизи точки АТ.

Как видно из рисунков 3-6, при прощелкивании оболочки мгновенно изменяется характер напряжений, при этом максимальные значения полей прогибов и напряжений увеличиваются скачкообразно.

Рисунок 3 - Поле прогибов Рисунок 4 - Поле напряжений в точке А в точке А Рисунок 5 - Поле прогибов Рисунок 6 - Поле напряжений в точке АТ в точке АТ На рисунке 7 показан график зависимости Якобиана ( det(J ) ) от нагрузки и максимального прогиба.

Рисунок 7 - График det(J ) - нагрузка - прогиб Wmax Из рисунка 7 следует, что при нагрузках P 3.1 МПа и P 0.МПа Якобиан обращается в ноль, эти точки соответствуют верхней и нижней критической нагрузке. Других точек, в которых определитель равен нулю (необходимое условие наличия точки бифуркации), нет, следовательно, точки бифуркации отсутствуют для данного варианта оболочек.

На рисунке 8 показана зависимость нагрузка P - максимальный прогиб W для гладкой стальной шарнирно-неподвижно закрепленной по контуру пологой оболочки с параметрами a b 10.8 м, R1 R2 40.5 м, h 0.09 м, находящейся под воздействием равномерно-распределенной поперечной нагрузки.

Как видно из рисунка 8, имеется первая верхняя критическая нагрузка в точке А при P 0.82 МПа, нижняя критическая нагрузка в точке В при P 0.75 МПа и вторая верхняя критическая нагрузка в точке С при P 0.89 МПа. Данная оболочка не может прийти в новое устойчивое состояние равновесия и, прохлопываясь, колеблется, то есть появляется подобие бифуркационного цикла.

Рисунок 8 - График нагрузка P - максимальный прогиб Wmax Для обоснования точности вычислений проведено сравнение результатов при различном числе аппроксимирующих функций в методе Ритца и различных величинах параметра продолжения .

Для обоснования достоверности результатов расчета проведено сравнение решения эталонных задач с работами других авторов и показано хорошее совпадение, а также качественное согласование с результатами эксперимента.

В четвертой главе представлены результаты исследования напряженно-деформированного состояния и устойчивости пологих оболочек, подкрепленных ребрами постоянной и переменной высоты.

Проведенные исследования устойчивости пологих ребристых оболочек показали, что для оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты, по с равнению с равновеликими по объему ребрами постоянной высоты, существенно снижается уровень максимальных напряжений и характер напряжений выравнивается. При этом величина критической нагрузки несущественно уменьшается.

Так для стальной пологой подкрепленной оболочки, шарнирнонеподвижно закрепленной по контуру и находящейся под воздействием равномерно-распределенной поперечной нагрузки, с параметрами a b 600h м, R1 R2 1510h м, h 0.09 м были получены результаты, показанные в таблице 1.

Рассматривалось два вида подкрепляющих оболочку ребер шириной i ri rj 2h: постоянной толщины hx hyj 3h и переменной толщины 12h 12h 12h 12h i hx (x) x2 x 5h; hyj ( y) y2 y 5h, при этом объем a2 a b2 b подкреплений одинаковый.

Таблица 1 - Сравнение эффективности подкрепления оболочки ребрами постоянной и переменной высоты Параметр Ребра постоянной высоты Ребра переменной высоты Критическая 0.273 МПа 0.271 МПа нагрузка Поле прогибов при Р=0.27 МПа Поле напряжений при Р=0.27 МПа Максимальное значение поля 289.13 МПа 260.21 МПа напряжений При нагрузке Р=0.20 МПа максимальный прогиб оболочки составил 0.077 м при подкреплении пологой оболочки ребрами переменной высоты и при подкреплении ребрами постоянной высоты, а максимальные напряжения - 0.164 МПа при подкреплении пологой оболочки ребрами переменной высоты и 0.211 МПа при подкреплении ребрами постоянной высоты, то есть уменьшились почти на 25%.

Концентрация напряжений вблизи угловых точек и точек контура оболочки при подкреплении оболочки ребрами переменной высоты существенно понижается по сравнению с неподкрепленными оболочками или оболочками, подкрепленными ребрами постоянной высоты. При этом увеличивается нагрузка, при которой оболочка теряет прочность.

В заключении работы приводятся основные результаты, полученные в процессе диссертационных исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ Разработана математическая модель деформирования пологих ребристых оболочек при учете переменной жесткости ребер. Использован метод конструктивной анизотропии, учитывающий сдвиговую и крутильную жесткость ребер. Учитываются геометрическая нелинейность и поперечные сдвиги.

Модифицирован алгоритм, основанный на методе продолжения решения по параметру с учетом наилучшей параметризации. Алгоритм позволяет находить верхние и нижние критические нагрузки и точки бифуркации.

Разработана программа DefShell: strength and stability of thin shells, реализующая представленный алгоритм, а также методика исследования особых точек, которая позволяет определять: а) точки, соответствующие критическим нагрузкам, при которых оболочка теряет устойчивость; б) точки бифуркации, в которых возможен переход на другую ветвь равновесных состояний.

Рассмотрено поведение гладких пологих оболочек в докритическом и закритическом состоянии. Показано, что для тонких оболочек с большим радиусом кривизны распределения прогибов и особенно напряжений по полю оболочки имеет сложную структуру.

Исследования устойчивости пологих ребристых оболочек показали, что при использовании ребер переменной высоты существенно снижается уровень максимальных напряжений (до 25%), а характер напряжений выравнивается по сравнению с равновеликими по объему ребрами постоянной высоты.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи, опубликованные в рекомендованных ВАК РФ изданиях:

1. Карпов В.В., Москаленко Л.П. Алгоритм решения задач устойчивости подкрепленных оболочек, основанный на методе продолжения решения по параметру // Вестник гражданских инженеров №4(25), 2010., С. 40 - 42.

2. Москаленко Л.П. Эффективность подкрепления пологих оболочек ребрами переменной высоты // Вестник гражданских инженеров №3(28), 2011, С. 46 - 50.

3. Москаленко Л.П. Методика исследования устойчивости пологих ребристых оболочек на основе метода продолжения решения по наилучшему параметру // Вестник гражданских инженеров №4(29), 2011, С. 161 - 164.

Статьи, опубликованные в других научных изданиях:

4. Карпов В.В., Москаленко Л.П.. Математические модели деформирования ребристых оболочек при переменной высоте ребер // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: межвуз. темат. сб. тр. Вып. 16 / СПбГАСУ. - СПб., 2010. С. 1 - 207.

5. Москаленко Л.П. Пологие оболочки, подкрепленные ребрами переменной высоты // Труды 67-ой научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета, СПбГАСУ, 2010, С. 15 - 21.

6. Москаленко Л.П. Математическая модель деформирования пологих оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты. // Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием Математическое моделирование и краевые задачи. Ч. 1: Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. - Самара: СамГТУ, 2010. С. 215 - 219.

7. Москаленко Л.П., Семенов А.А. Алгоритм нахождения точек бифуркации для тонкостенных оболочек // Высокие технологии и фундаментальные исследования. Т.4 : сборник трудов Десятой международной научно-практической конференции Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности. 0911.12.2010, Санкт-Петербург, Россия / под ред. А.П. Кудинова. - СПб. :

Изд-во Политехн. ун-та, 2010. С. 215 - 216.

8. Москаленко Л.П. Бифуркационные проблемы для тонкостенных оболочек // Материалы XVII Международного симпозиума Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред им. А.Г. Горшкова. Т.1. - М.: ООО ТР-принт, 2011. - С.149-150.

9. Москаленко Л.П. Бифуркационные проблемы теории оболочек // Труды 68-ой научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета, СПбГАСУ, 2011, С. - 63.

Подписано к печати 17.05.2012 г. Печ.л. 1,Печать - ризография. Бумага для множит. апп. Формат 6084 1/Тираж 100 экз.

-------------------------------------------------------------------------------------------- ПГУПС 190031, г. С-Петербург, Московский пр., Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по техническим специальностям