МНОГОУРОВНЕВЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРОГРАММНО-АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук Москва

Авторефераты по всем темам >> Авторефераты по техническим специальностям

На правах рукописи

ДМИТРИЕВА ТАТЬЯНА ЛЬВОВНА

МНОГОУРОВНЕВЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРОГРАММНО-АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора технических наук

Москва - 2011

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Иркутский государственный технический университет

Научный консультант доктор технических наук, профессор

Соболев Владимир Иванович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Белостоцкий Александр Михайлович

доктор технических наук, профессор

Гайджуров Петр Павлович

доктор технических наук, профессор

Краковский Юрий Мечеславович

Ведущее предприятие: Красноярское специальное конструкторско-

технологическое бюро Наука

Красноярского научного центра СО РАН

Защита состоится л__ декабря 2011 года в 1400 часов на заседании дис-сертационного совета Д 212.138.12 при ФГБОУ ВПО Московский государственный строительный университет по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д.26, ауд. 420 УЛК.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО Московский государственный строительный университет.

Автореферат разослан л_____ _________2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Анохин Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Технологии проектирования инженерных объектов в настоящее время находят все более широкое практическое применение. Вместе с тем, методы и алгоритмы оптимизации в силу своей сложности, до сих пор не находят широкого, массового использования.

Методология оптимизации конструкций, как правило, сводится к выполнению требований по прочности, жесткости и устойчивости и др. соответственно заданному критерию оптимальности при обеспечении их безопасной эксплуатации. Эта задача не всегда может быть эффективно решена путём вариантного проектирования, либо на основе экспериментальных исследований. Следует особо отметить специфику задач оптимизации механических систем при нестационарных динамических воздействиях. Такие нагрузки могут возникать от работы различного рода технологического оборудования, ударные, взрывные, сейсмические и другие виды воздействий. Здесь часто возникает необходимость в снижении динамических перемещений, скоростей и ускорений до определенного уровня. Эти вопросы исследованы далеко не в полной мере, не смотря на их большую значимость для решения теоретических и прикладных проблем.

В течение последних 50 лет численные методы конечно-элементного анализа и методы оптимизации (или синтеза) конструкций находятся в непрерывном развитии. Однако для того чтобы эти методы были встроены в системы автоматизированного проектирования нового поколения, необходимо иметь высоко робастные алгоритмы и программы их современной реализации. Внедрение подобных программных комплексов дает возможность сократить сроки проектирования, а также повысить технико-экономические показатели проектируемых объектов. Тем не менее, следует признать, что в настоящее время в российском проектировании объектов промышленного и гражданского строительства не существует специализированного отечественного программного обеспечения, реализующего алгоритмы оптимизации. Наиболее широко используемые в отечественном проектировании зарубежные комплексы, такие как ANSYS и NASTRAN, не содержат российской нормативной базы. Кроме того, для возможной верификации результатов, полученных при подборе оптимальных параметров сооружений, желательно производить расчеты с использованием нескольких программ.

Этим обусловлена актуальность диссертационной работы, где исследованы и реализованы эффективные методы оптимизации, а также алгоритмы и программы на их основе, позволяющие подбирать оптимальные геометрические и физические параметры конструкции согласно заданному критерию оптимальность. При этом практическая реализация алгоритмов в статической постановке была ориентирована, прежде всего, на строительные объекты, многие практические и верификационные примеры решены применительно к строительным конструкциям, а алгоритмы и программы оптимизации стальных конструкций разработаны наиболее комплексно, с включением нормативных требований, библиотеки стандартных типов сечений и т.д. Однако основные принципы и методы, заложенные в эти алгоритмы, могут быть успешно применены для оптимального проектирования механических систем произвольного вида, которые кроме конструктивных элементов строительных сооружений включают различные механические устройства - пружины, демпферы и др. Такие системы были исследованы в задачах оптимизации при нестационарных динамических воздействиях. Алгоритмы оптимизации подобных механических моделей могут быть реализованы, например, при проектировании многоэтажных объектов в сейсмических районах, когда требуется установка специальных сейсмоизолирующих устройств, позволяющих снизить интенсивность сейсмического воздействия в два и более раза.

При разработке программно-алгоритмического обеспечения методов оптимизации были использованы многоуровневые модели. В одной из них, например, на первом уровне формировалась приближенная задача, где были реализованы методы анализа чувствительности 1-го и 2-го порядка. Следующий уровень включал методы решение условно-экстремальных задач, на третьем был использован широкий набор методов безусловной минимизации и т.д. Эффективность такой модели помимо комплексного подхода к задаче заключалась еще и в том, что позволяла решать рекурсивные задачи. Кроме того, каждый уровень разрабатывался независимо и мог функционировать автономно.

Цель исследований заключается в разработке и программно-алгоритмической реализации многоуровневых методов оптимизации механических систем при статических и динамических воздействиях.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

Разработать общую концепцию и принципы процессов оптимизации в расчетном обосновании проектируемых механических систем.
Предложить многоуровневую стратегию решения задачи нелинейного математического программирования, позволяющих работать с функциями произвольного вида на широком диапазоне непрерывных, дискретных и фиксированных параметров
Разработать эвристический механизм переключения поисковых методов оптимизации различных классов на основе самонастраивающихся технологий, обеспечивающих устойчивую работу алгоритма.
Формализовать и встроить в общий алгоритм оптимизации нормативные требования по прочности и устойчивости для элементов стальных конструкций с выполнением их тестирования.
Построить алгоритм формирования явной задачи НМП при оптимизации механических систем в условиях нестационарных динамических воздействий на основе методов анализа чувствительности динамических параметров состояния. Принять при этом линейную динамическую модель, где матрица демпфирования не является пропорциональной матрице масс и жесткости.
Разработать программный комплекс оптимизации механических систем при статических и нестационарных динамических воздействиях с предусмотрением его расширения, а также возможностью решения рекурсивных задач.
Выполнить апробацию комплекса программ путем решения тестовых и практических задач оптимизации физических и геометрических параметров механических систем при статических и динамических воздействиях.

Объект и предмет исследований. Объёктом исследований являются линейные механические системы, работающие в условиях статических и нестационарных динамических воздействий. Предмет исследования - методики, алгоритмы и программы оптимизации этих систем; настройка параметров, влияющих на сходимость, а также разработка эвристических механизмов переключения поисковых методов оптимизации на отдельных стадиях вычислительного процесса.

Методы проведения исследований. Использованы как численные методы инженерного анализа (метод конечных элементов), и методы синтеза механических систем, которые реализованы применительно к задаче оптимизации, поставленной в форме нелинейного математического программирования (НМП). Задача на условный экстремум решается методами модифицированных функций Лагранжа 1-го и 2-го порядка. При решении задачи на безусловный экстремум были использованы численные методы безусловной минимизации различных классов (прямые и градиентные методы 1 и 2 порядка), а также численные методы одномерного поиска. В задаче динамического анализа были использованы методы модального разложения, а также методы прямого интегрирования (метод Ньюмарка и θ-метод Вилсона). Задача динамического анализа чувствительности была решена методами прямого дифференцирования, через сопряженные переменные, а также путем покомпонентного синтеза чувствительностей, по требуемому числу форм колебаний.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

общая концепция решения задачи оптимизации линейных механических систем при статических и нестационарных динамических воздействиях;

многоуровневая модель, на основе которой реализовано решение задачи нелинейного математического программирования с использованием методов модифицинрованных функций Лагранжа первого и второго порядка, позволяющих работать с функциями произвольного вида на широком диапазоне непрерывных, дискретных и фиксированных параметров;

эвристический алгоритм настройки на наиболее эффективные методы условной и безусловной минимизации на каждой стадии вычислительного процесса;
алгоритм формирования явной задачи НМП при оптимизации механических систем в условиях нестационарных динамических воздействий, где предложено несколько подходов к решению задачи анализа чувствительности динамических параметров состояния: в пространстве прямых и сопряженных переменных, а также с помощью комбинированных схем, позволяющих сократить число перерасчетов уравнения состояния системы; вариант покомпонентного синтеза чувствительностей по требуемому числу форм колебаний;
общая архитектура программного комплекса оптимизации, состоящего из автономных блоков, таких как блок КЭ анализа, блок решения задачи НМП и блок конструктивного расчета, где предусмотрено решение рекурсивных задач оптимизации;
результаты апробации программного комплекса оптимизации, где подтверждаются практические рекомендации по назначению параметров, влияющих на сходимость алгоритма, дается сопоставление с решениями, полученными в других ПК, а также приводится решение практических задач оптимизации механических систем.

Научная новизна работы заключается в следующем:

построена многоуровневая модель решения задачи НМП с использованием методов модифицированных функций Лагранжа (МФЛ), где развиты двойственные и комбинированные подходы, а параметрические ограничения учитываются отдельно; выполнена настройка алгоритма на подбор параметров МФЛ, обеспечивающая широкую область сходимость алгоритма;
реализован эвристический механизм переключения методов условной и безусловной минимизации на основе анализа параметров вычислительного процесса, что обеспечивает устойчивую работу алгоритма и получение результатов требуемой точности;
в программной реализации оптимизационного алгоритма обмен данными выполняется через специальный модуль Global Control. Таким образом, данные отделены от программного кода, что дает возможность решать рекурсивные задачи оптимизации любой степени вложенности;

разработана методика формирования явных задач оптимального проектирования механических систем при нестационарных динамических воздействиях, где принята линейная динамическая модель с матрицей демпфирования общего вида, не обладающая свойствами пропорциональности матрице масс и жесткости. Для этой модели:

получены явные соотношения чувствительностей первого порядка динамических параметров состояния через прямые и сопряженные переменные для случаев, когда параметры состояния являются функциями перемещений, скорости и ускорений;
разработан комбинированный метод анализа чувствительности второго порядка, дающий меньшее число перерасчетов по сравнению с известным методом прямого дифференцирования;
предложен вариант покомпонентного синтеза чувствительностей по требуемому числу форм колебаний, где сделан переход от комплексных величин к действительным, что позволило сократить размерность задачи. Чувствительности собственных форм и собственных значений выражены через действительные величины.

Практическая ценность работы:

Разработаны эффективные, высоко робастные методы и алгоритмы оптимизации, на основе которых разработан комплекс программ, позволяющий решать практические задачи оптимизации механических систем при статических воздействиях.
Реализован комплексный подход к решению задачи оптимального проектирования стальных конструкций с включением нормативных требований по прочности и устойчивости, а также библиотеки стандартных сечений.
Разработано алгоритмическое и программное обеспечение решения задач оптимизации механических систем при динамических воздействиях, которое может быть использовано в проектировании объектов, защищаемых от сейсмических, ударных и других нестационарных воздействий.
Материалы представляемых исследований могут быть использованы научными работниками, аспирантами и студентами, занимающимися вопросами оптимального проектирования инженерных систем.

Внедрение результатов. Комплекс программ и результаты оптимального проектирования лопаток турбин авиационных двигателей внедрены на НПО им. В.Я.Климова. Комплекс программ для расчета и оптимального проектирования конструкций оборудования нефтехимических производств внедрен в ОАО ИркутскНИИхиммаш. Там же внедрен блок решения СЛАУ с хранением матрицы системы на внешнем носителе, а также блок перенумерации узлов КЭ сетки. Пакет прикладных программ решения задач нелинейного математического программирования внедрен в Отделе автоматизации и технической физики ИН - СО АН СССР. Алгоритм оптимизации и расчёта стальных конструкций с использованием нормативных требований, а также комплекс программ на основе этого алгоритма передан проектной организации ОАО Иркутский Промстройпроект с целью использования их в проектировании объектов строительства.

Имеются свидетельства о государственной регистрации в федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам (РОСПАТЕНТ) 3-х программ для ЭВМ: Программный комплекс для решения задач нелинейного математического программирования (НМПак) (авторы Дмитриева Т.Л., Безделев В.В.), Расчет и оптимизация стальных конструкций (РОСК) (автор Дмитриева Т.Л.), Конструктивный расчет стальных конструкций (КРаСК) (автор: Дмитриева Т.Л.)

Достоверность полученных результатов подтверждается строгой математической постановкой исследуемых задач, корректностью используемых методов расчета и оптимизации, а также сравнением полученных результатов с известными решениями тестовых задач.

Апробация работы. Основные положения диссертации и её отдельные результаты были обсуждены на научных конференциях Иркутского государственного технического университета (19932011 гг.), а также на 13-ти конференциях, из которых 7 международные:

Вычислительная механика деформируемого твёрдого тела. Международная научно-техническая конференция. Москва, Миит (2006).
Проблемы оптимального проектирования сооружений. 1 Всероссийская конференция, Новосибирск, НГАСУ, СО РААСН (2008).
Математика, её приложения и математическое образование. III Всероссийская конференция с междунар. участием. Вос-Сиб ГТУ, БГУ, ИГУ, СО РАН, ИрГУПС, Улан-Удэ (2008).
Методы оптимизации и их приложения. XIV международная школа-семинар. Иркутск-Северобайкальск, СО РАН (2008).
Нелинейные колебания механических систем. VIII Всероссийская конференция. Н Новгород, ННГУ им. Н.И. Лобачевского, НИИ прикладной математики и кибернетики ННГУ (2008).
Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений. II Международный симпозиум. Пермь. РААСН, Международная ассоциация строительных высших учебных заведений, МГСУ, ПГТУ (2008).
Математическое моделирование и компьютерный инженерный анализ. 5-я Российская научно-техническая конференция. Екатеринбург Уральский государственный технический университет (2008).
Проблемы механики современных машин 4-я международная конференция ВСГТУ, Улан-Удэ (2009).
Информационные и математические технологии в науке и управлении. XIV Байкальская Всероссийская конференция. Иркутск: ИСЭМ СО РАН (2009).
Динамика и прочность машин, зданий и сооружений. Международная научно-техническая конференция. Полтава, ПоНТУ (2009).
Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций. III Международный симпозиум. РААСН, Международная ассоциация строительных высших учебных заведений, МГСУ, Юж. Рос. гос. тех. ун-т (НПИ), Новочеркасск (2010).
Проблемы оптимального проектирования сооружений, 2 Всероссийская конференция, Новосибирск, НГАСУ, СО РААСН (2011).
лФундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности, 11-я Международная научно-практическая конференция, С-Петербург (2011).

Публикации. По результатам исследований имеется 36 публикаций. Из них 11 в журналах из перечня периодических изданий, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов диссертаций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, списка литературы и приложения, содержит 349 листов, включая оглавление и список литературы, 110 рисунков, 66 таблиц, 11 листов приложения, 260 наименований используемых источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведена общая характеристика работы, обоснована актуальность направления исследований, их практическая ценность. Отмечено, что большой вклад в развитие теории численной оптимизации внесли отечественные и зарубежные учёные: Н.П. Абовский, И.О. Адамович, Н.В. Баничук, А.И. Богатырёв, В.А. Бунаков, А.И. Виноградов, М.И. Волынский, В.Н. Гордеев, В.В. Васильев, В.П. Валуйских, Г.И. Гребенюк, Э.Р.Дэниелов, В.А. Комаров, И.Б. Лазарев, Л.С. Ляхович, В.П. Малков, Д.А. Мацюлявичюс, Ю.В. Немировский, Я.И. Ольков, А.В. Перельмутер, В.М. Почтман, Н.В. Пустовой, И.М. Рабинович, Л.А. Растригин, Р.В. Риккардс, А.Р. Ржаницын, H.H. Складнев, В.В. Трофимович, А.Г. Угодчиков, И.С. Холопов, А.А. Чирас, Я. Арора, Л. Берки, Г. Вандерплаац, Э. Васютински, В. Венкайя, Г.М. Доббс, О. Зенкевич, В. Комков, З. Мруз, Н. Ольхофф, В. Прагер, Р. Разани, Г. Розвани, К. Флери, Р. Фокс, Р. Хафтка, Э. Хог, Н. Хот, Л. Шмит, К. Чой и многие другие. Сформулирована цель работы и задачи, которые решены для её достижения. Даются положения, которые автор выносит на защиту.

В первой главе представлен аналитический обзор подходов, используемых при решении проблемы оптимизации конструкций различного вида. Отмечено, что методология численной оптимизации базируется как на методах оптимизации (или синтеза), так и на методах расчета (или анализа) конструкций. Таким образом, снижения вычислительных затрат в задачах оптимального проектирования можно добиться как приемами, заложенными в алгоритмы КЭ анализа, так и эффективной реализацией поисковых алгоритмов синтеза инженерных объектов. Перечислены подходы, используемые при оптимизации сложных крупногабаритных сооружений. Большинство их них используют поэтапный подход к рассматриваемой проблеме. Кроме того, часто используется прием, основанный на построение приближенной задачи путем аппроксимации параметров состояния системы (перемещений, усилий, частот и форм колебаний и др.), когда задача КЭ анализа решается на внешних итерациях алгоритма оптимизации, а поиск оптимальных решений осуществляется для приближенной задачи. Рассмотрен авторский вклад отечественных и зарубежных исследователей в разработку теории оптимизации конструкций. Показано, что фундаментальные основы большинства направлений оптимального проектирования на основе методов нелинейного математического программирования (НМП) были заложены в 60-80 годы прошлого века. К настоящему времени накоплен немалый опыт решения прикладных задач оптимизации в различных инженерных областях, которые можно классифицировать по материалу конструкций, по вопросам оптимизации топологии и формы, разделить на оптимизацию конструкций определенного вида: ферм, рам, пластин, балок на упругом основании, контактные задачи, вопросы дискретной оптимизации и др. В отдельную группу относят задачи оптимизации механических систем при динамических воздействиях. За последние 10-15 лет интенсивное развитие получили математические подходы, основанные на имитации биологических или физических явлений, наиболее известные среди которых - генетические и эволюционные алгоритмы, которые удобны тем, что не накладывает математических требований к характеру целевой и ограничительных функций. Эти алгоритмы используют стохастические методы поиска в многомерных пространствах, их параметры влияют друг на друга сложным образом, а их эффективность во многом зависят от выбранной модели.

Отмечено, что большинство алгоритмов оптимизации требуют вычисления не только значений функций, описывающих поведение системы, но их производных. Такая задача может быть востребована при использовании градиентных поисковых методов, либо при построении аппроксимаций. Но и помимо этого, исследование свойств оптимизируемой системы при малом варьировании параметров в окрестности заданной точки (так называемая задача анализа чувствительности) несет важную информацию, т.к. позволяет выявить те параметры, которые оказывают наибольшее влияние на поведение конструкции. Таким образом, анализ чувствительности, представляет собой один из важных этапов численной оптимизации и должен осуществляться эффективно. Для задач статики методы анализа чувствительности разработаны достаточно полно. Исследования в области оптимизации динамических систем ограничиваются в основном чувствительностями первого порядка.

Приведен обзор методов решения условно-экстремальных задач, поставленных в форме НМП. Одним из часто используемых здесь является подход, сводящий задачу поиска экстремума при наличии ограничений к задаче на безусловный экстремум, на основе использования методов штрафных функций, либо методы множителей Лагранжа. Показано, что одним из существенных недостатков методов множителей Лагранжа является их применимость к ограниченному классу задач сепарабельного программирования, где функция Лагранжа выпукла по исходным переменным, и допускает вычисление производных по двойственным переменным в явном виде. Для построения методов, применимых для отыскания локального экстремума в невыпуклых задачах, целесообразно воспользоваться модифицированными функциями Лагранжа (МФЛ). В результате этого множество седловых точек функции Лагранжа остается неизменным, но обеспечивается сходимость для более широкого класса задач и с большей скоростью. Фундаментальные исследования методов МФЛ приведены в работах А.С. Антипина, Д. Бертсекаса, Е.Г. Гольштейна, Ю.Г.Евтушенко, Б.Т.Поляка, Н.В. Третьякова и др. Однако в целом МФЛ в задачах оптимизации конструкций не имеют широкого использования. Нет четких рекомендаций по назначению параметров этих методов, с целью повышения их эффективности.

Рассмотрен вопрос оптимизации механических систем при динамических воздействиях. Такая задача может быть решена только на основе аппроксимаций функций ограничений, либо динамических параметров состояния, входящих в эти функции. Приведены особенности реализации МКЭ в задачах анализа, где динамическая модель строится с учётом демпфирования, изложены известные методики анализ чувствительности.

В отдельном разделе дается характеристика отечественных и зарубежных программных комплексов, реализующие алгоритмы оптимизации инженерных систем.

Вторая глава посвящена построению алгоритма автоматизированного проектирования стальных конструкций минимального веса при статических воздействиях:

	найти min f (x, P(x)), x∈ Enx	(1)
	при ограничениях	(2)
		(3)

Здесь целевая функция и ограничена системы, связаны с варьируемыми параметрами через параметры состояния

(4)

которые определяются решением КЭ уравнения состояния в линейной поста-

новке:

(5)

В качестве минимизируемой функции f(x) использован объём (вес) конструкции. Варьируются её геометрические и физические параметры, которые могут меняться непрерывно либо дискретно. В задачах оптимизации пластин, варьируется толщины в узлах конечно-элементной сетки. При дискретном изменении сечений согласно сортаментам варьируются позиции сортамента, включающие выборочные значения параметров, обеспечивающие монотонное возрастание площадей и моментов инерции сечений. Отдельный случай представляет рекурсивная задача оптимизации, когда варьируется положение груза (ищется его невыгодное положение), при одновременном варьировании параметров сечений.

Функции ограничений (2) представляют собой ограничения по прочности, жесткости, устойчивости. К параметрическим ограничениям (3), можно отнести ограничения по габаритам, свариваемости и др. Возможно также задание пользовательских вариантов ограничительных функций.

Вектор ограничений всей системы содержит вклады по элементам, которые могут быть объединены в группы по типоразмерам и материалу. Такой подход позволяет независимо задавать физические и геометрические свойства каждой группе. При этом вектор ограничений элемента (или группы элементов) формируется с учётом нескольких случаев загружения, а также нескольких характерных сечений в элементе. Задаётся массив выборки ограничений, c помощью которого любое ограничений может быть отключено.

Для решения поставленной задачи оптимизации (1-3) было разработано 2 подхода. В первом случае для получения явных зависимостей функций (2) от варьируемых параметров формировалась приближенная задача путём построения аппроксимаций самих функций, либо параметров состояния, входящих в них, в окрестности пробной точки x*:

	(6)
	(7)

Коэффициенты аппроксимации при этом вычисляются на основе методов анализа чувствительности 1-го и 2-го порядка. Взаимосвязь основных блоков алгоритма на основе аппроксимаций показана на рис. 1.

Эффективность такого подхода связана ещё и с тем, что даёт возможность реализовать двусторонние связи с известными конечно-элементными программными комплексами, что существенно расширяет область исследуемых объектов оптимизации.

Второй режим работы предполагает, что блок оптимизации обращается к вычислению целевой и ограничительной функциям напрямую (рис. 2). Такой подход может быть реализован при решении задач ограниченной размерности, когда мощности вычислительных средств позволяют находить значения усилий и перемещений прямым КЭ расчётом при каждом обращении к функциям ограничений (наиболее часто такой прием был использован при оптимальном проектировании стержневых систем). При этом было отмечено, что прямое вычисление этих функций даёт лучшую сходимость алгоритма и позволяет использовать более тонкие поисковые методы оптимизации (например, градиентные методы 1-го и 2-го порядка).

Блок конструктивного расчёта ориентирован на расчет стальных конструкций. Здесь реализованы проверки по прочности и устойчивости согласно нормативному документу СП 16.13330.2011 Стальные конструкции. Предусмотрено 6 вариантов напряжённо-деформированного состояния (НДС) конструкций, перечисленных в таблице 1.

Таблица 1. Виды напряженно-деформированного состояния
№	Вид НДС	Ссылка на параграф СП
	Центральное растяжение-сжатие	7.1Ц7.3
	Изгиб в одной плоскости	8.2, 8.4, 8.5
	Изгиб в двух плоскостях
	Изгиб в одной плоскости с учётом пластических деформаций
	Изгиб в двух плоскостях с учётом пластических деформаций
	Действие осевой силы с изгибом	9.1-9.4

Блок конструктивного расчета может функционировать также в режиме тестирования функций ограничений, для чего было выполнено построение их графиков на широком диапазоне изменения варьируемых параметров. Результаты тестирования дают возможность, во-первых, выявить ошибки в формировании функций g(x), во-вторых, подобная информация может быть полезна проектировщику, поскольку позволяет оценить чувствительность этих функций к изменению того или иного параметра, и наконец, на графиках были отслежены случаи, когда функции ограничений имеют скачки и изломы. Для встраивания этих функций в алгоритм оптимизации в ряде случаев в их выражения были внесены корректировки, направленные на то, чтобы обеспечить их непрерывность за пределами областей допустимых значений. Проведенные исследования показали, что при решении задач оптимального проектирования стальных конструкций наибольшую устойчивость могут обеспечить прямые методы безусловной минимизации (метод случайного поиска, метод деформируемого многогранника, метод покоординатного спуска и др.). Здесь не требуется выполнение таких условий как гладкость и дифференцируемость функций (1), (2). Однако эти методы требуют большого числа обращений к их вычислению, а соответственно большого числа перерасчетов задачи КЭ анализа (5). Градиентные методы 1-го и 2-го порядка могут дать лучшую сходимость при большей точности в невязках ограничений, однако не всегда устойчивы в работе. На основании перечисленных особенностей можно сформулировать такое требование к разработке поисковых алгоритмов оптимизации, как многометодность, которая позволяла бы получать устойчивую сходимость в решении условно-экстремальных задач (1), (2) с функциями произвольного вида на широком диапазоне непрерывных и дискретных параметров варьирования при меньших вычислительных затратах. Отмечено, что эффективность такого подхода может быть усилена, если в программной реализации алгоритма выбор того или иного поискового метода осуществляется не в диалоговом режиме, где вычислительным процессом управляет пользователь, а на основе эвристического механизма переключения методов и эффективной настройки параметров этих методов.

В третьей главе приведён многоуровневый алгоритм решения задачи нелинейного математического программирования с использованием методов модифицированных функций Лагранжа. Преимущество такого подхода состоит в том, что он позволяет рассматривать широкий класс условно-экстремальных задач как выпуклого, так и невыпуклого программирования.

В алгоритме используются 2 модифицированные функции Лагранжа:

	(8)
	(9)

где Ц функция Лагранжа, {Y} - вектор двойственных переменных (или множителей Лагранжа) размерностью m. В выражении (8) [K] - диагональная матрица штрафных коэффициентов. Элементы матрицы [δ] определяются из условия: если иначе

Zj - величина сдвига j-го ограничения в допустимую область. Параметры kf и τ , входящие в функции (8), (9) регулируют сходимость алгоритма.

Численный алгоритм решения задачи НМП основан на двух попеременных процедурах. На первом шаге при определенных {Xt}, {Yt} решается задача на безусловный экстремум при наличии параметрических ограничений:

(10)

в результате чего вычисляется вектор {Xt+1}. Для решения этой задачи могут быть реализованы методы безусловной минимизации различных классов. На первых итерациях при отсутствии хорошего начального приближения используется метод случайного поиска. Метод деформируемого многогранника обладает высокой надежностью и позволяет получать оптимальные решения для функций произвольного вида, но при этом требует большого числа обращений к вычислению целевой и ограничительных функций. В методе наискорейшего спуска поиск ведется вдоль градиента минимизируемой функции. Скорость этого метода на порядок выше, но он применим для гладких дифференцируемых функций. Метод покоординатного спуска предполагает спуск вдоль соответствующей координаты при фиксированных значениях других переменных. Этот метод используется в задачах дискретного программирования. На последних итерациях для получения результатов высокой точности, возможно переключение на метод Ньютона. Однако метод может быть реализован только для континуальных задач, если функция Fp выпукла и дифференцируема. В градиентных методах для определения длины вектора, вдоль которого осуществлялся спуск к экстремуму, используются методы одномерного поиска. В этом случае сначала выявлялся интервал, где расположена выпуклая тройка точек, а далее методом золотого сечения, либо методом квадратичной интерполяции этот интервал исследовался на экстремум.

Второй шаг итерационного процесса заключается в определении двойственных переменных {Yt+1}, для чего предусмотрено 3 способа.

Способ 1 предполагает, что вектор двойственных переменных определяется из сравнения условий стационарности функции Fp и функции Лагранжа FL. Этот способ дает линейную скорость сходимости по Y:

j = 1, 2, Е, m.

(11)

В способе 2 приращение двойственных переменных вычисляется путем максимизации Fp методом Ньютона в редуцированном пространстве потенциально-активных ограничений , что дает квадратичную сходимость по Y.

В 3-м способе вектор определяется непосредственно через прямые переменные путем максимизации функции FM по Y.

(12)

Этот способ не требует выполнения условий стационарности функции Fp по исходным переменным X.

В соответствие этим способам было поставлено 3 схемы решения задачи НМП:

В схеме 1 реализуются прямые поисковые методы либо градиентный метод 1-го порядка для решения задачи (10) в сочетании с 1-м способом пересчёта переменных Y . Этот приём был использован на 1-х итерациях алгоритма.

Схема 2 даёт квадратичную сходимость по прямым и двойственным переменным.

	(13)
	(14)
где ,

Добавки [D] и {V} учитывают влияние параметрических ограничений. Сочетание задач (13), (14) дает существенное сокращение вычислительных операций за счет того, что треугольное разложение матрицы вторых производных [A] здесь выполняется 1 раз. Практические расчёты показали высокую эффективность метода Ньютона и по времени вычислений, и в точности невязок ограничений, которая была на 5-7 порядков выше. Однако устойчивая работа этого метода имеет место лишь в том случае, если установилось множество потенциально активных ограничений, то есть на последних итерациях поискового процесса.

В схеме 3 был применен комбинированный подход с использованием сразу 2-х функций. Прямые переменные определялись их условия (10), однако, итерационный процесс при этом мог не достигать точности в её решении, а двойственные переменные вычислялись через функцию FM по выражению (12). Такой подход оказался эффективен в задачах на основе линейных аппроксимаций. В этом случае (особенно на первых итерациях) не всегда существует допустимое оптимальное решение, т.к. задача часто становится несовместной.

При решении задач дискретной минимизации поиск безусловного оптимума осуществляется методом покоординатного спуска в сочетании с 1-м либо 3-м способом пересчета двойственных переменных.

Алгоритм решения задачи НМП связан системой уровней, на каждом из которых используется своя группа методов (многоуровневая модель алгоритма приведена в главе 4). Комплексная реализация предложенных схем делает этот алгоритм надежным и устойчивым, т. к. если не срабатывают градиентные методы, то автоматически производится переключение к прямым поисковым методам. Решение тестовых задач показало эффективность многометодного, многоуровневого подхода. Была отмечена широкая области сходимости алгоритма, его устойчивость, а также в возможность получения результатов требуемой точности.

В четвёртой главе даётся описание программного комплекса расчета и оптимизации стальных конструкций РОСК, разработанного на основе алгоритмов, изложенных в главах 2-4. Этот комплекс может функционировать в двух режимах: на основе построения приближенной задачи и при прямом обращении к вычислению целевой и ограничительной функций.

Приведена общая архитектура ПК, включающая следующие блоки:

Блок построения приближенной задачи Aprox.
Блок статического анализа Statics.
Блок конструктивного расчета стальных конструкций Steel.
Блок решения задачи нелинейного математического программирования NMPack.
Библиотека сечений Section.

Показана взаимосвязь программных процедур каждого блока, дано описание основных процедур.

Выходными параметрами блока Aprox являются коэффициенты аппроксимации. В зависимости от заданного режима это могут быть аппроксимации первого либо второго порядка. При этом программы блока NMPack автоматически настраиваются на режим аппроксимаций.

Блок статического КЭ анализа Statics реализован в перемещениях для пластинчато-стержневых систем.

Блок поверочного конструктивного расчёта стальных конструкций включает в себя проверки на прочность и устойчивость соответственно нормативным требованиям СП 16.13330.2011 Стальные конструкции.

Блок решения задачи НМП NMPack рассмотрен наиболее подробно, как блок, обеспечивающий надежную работу всего алгоритма оптимизации. Здесь реализованы алгоритмы условной и безусловной минимизации, которые были приведены в главе 3. Блоки NMPack и Aprox связаны между собой системой уровней (рис. 3).

Уровень С (Control) Ц уровень контроля исходных данных.

Уровень А (Aprox) предназначен для построения приближенной задачи оптимизации.

Уровень М (Minimum) включает методы безусловной минимизации на интервале изменения варьируемых параметров, обозначенном параметрическими ограничениями.

Уровень L (Line) предназначен для решения задач одномерного поиска.

Уровни D (Derive) Ц уровень вычисления производных, где используются как аналитические методы, так и методы численного дифференцирования.

На Уровне F (Fun) Ц вычисляются значения целевой и ограничительных функций, а также значения модифицированных функций Лагранжа.

Приведен интерфейс ПК РОСК. Для ввода данных разработан табличный редактор, где задаются физические и геометрические параметры конструкции. Выходные данные выводятся в текстовые и графические файлы:

текстовый файл, куда выводятся параметры алгоритма оптимизации на каждой итерации (используемые методы, значения варьируемых параметров, целевой функции и невязок ограничений, штрафные коэффициенты и т.д.);
текстовый файл, где приведены исходные и оптимальные геометрические и физические параметры конструкции;
текстовый файл, где приведены данные КЭ анализа исходной и оптимальной системы;
графический файл, куда выведена расчетная схема исходной и оптимальной конструкции.

В данной версии ПК реализованы задачи расчёта и оптимизации стальных конструкций. Однако архитектура комплекса позволяет расширять его возможности. Предусмотрено встраивание пользовательских процедур, реализующих требования к поведению конструкции. Так, добавление модулей в блок КЭ анализа дает возможность для оптимизации конструкций с физическими, либо геометрическими нелинейностями. Блок конструктивного расчета может быть пополнен нормативными требованиями к расчету алюминиевых, ж/б и др. конструкций. Особого внимания заслуживает тот факт, что данные, передаваемые в различные блоки ПК, помещены в специальный модуль Global Control (таким образом, данные отделены от программного кода). Такая конструкция позволяет решать рекурсивные задачи оптимизации любой степени вложенности.

В пятой главе выполнена апробация ПК РОСК. Для этого были решены тестовые и практические задачи оптимального проектирования конструкций в статической постановке. Ниже приведены 2 верификационных теста.

Оптимизация 10-стержневой статически неопределимой фермы.

Минимизируется объем фермы (рис. 4). Варьировались площади сечений.

Дано сравнение решений, которые были получены в вариантах 1, 2, 3, с известным решением, приведенным в монографии Э. Xoга и Я. Ароры Прикладное оптимальное проектирование: Механические системы и конструкции. Точность результатов оценивалась по невязкам ограничений при условии, что они нормированы к единице.

В варианте 1 устойчивую работу показал метод деформируемого многогранника. В варианте 2 хорошая сходимость была получена методом деформируемого многогранника с переходом на метод Ньютона, что обеспечило получение результатов высокой точности. В оптимальном проекте варианта 3 площади стержней 3, 5, 6, 8 стремились к нулю (ферма близка к статически определимой). Невязки в активных ограничениях при этом были несколько выше. Сходимость к решению заданной точности (10-4), таким образом, не была достигнута, и итерационный процесс был остановлен по максимальному числу итераций (20). Метод Ньютона в этом варианте не показал сходимости, т.к. функция Fp была не выпукла по ряду переменных даже вблизи оптимума.

Таблица 2. Сравнение результатов расчетов
Вариант 1	Вариант 2		Вариант 3		Э. Xoг, Я. Арора
Значение целевой функции (м3)
0,82340573		0,82311129		0,81689703		0,8294476
Максимальные невязки ограничений
0,23601010-3		0,61839410-12		0,47482310-3		0,2710-4
Число итерций
7		6		20		15

В целом, сравнивая результаты варианта 2 с решением, приведенным в монографии Э. Xoга и Я. Ароры, следует отметить, что метод Ньютона в данной задаче дал большую точность в невязках ограничений при более низком значении целевой функции (на 0,77%). Число итераций алгоритма здесь также самое низкое.

Оптимизация консольной пластины

Приведено сопоставление решений задачи оптимизации консольной пластины (рис. 5), выполненных в ПК ANSYS Mechanical и в ПК РОСК. Варьировались значения полутолщин в четырех сечениях пластины. Были приняты ограничения по напряжениям и на максимальное перемещение точек пластины. Минимизировался её объем.

В ПК ANSYS конструкция рассчитывалась как пластина, работающая в условиях плоского напряженного состояния (к расчету была взята верхняя ее часть). КЭ схема моделировалась плоскими четырехузловыми элементами, что позволило получить хорошее приближение в задаче анализа на достаточно разряженной сетке (было использовано 16 элементов).

С помощью ПК РОСК задача была решена в нескольких вариантах.

Вариант 1. Расчетная схема принята в виде стержня переменного сечения. Так как размеры сечения на порядок меньше длины консоли, то это решение в дальнейшем рассматривается как точное.

Вариант 2. Расчетная схема принята в виде консольной пластины ломаного очертания, работающей в условиях плоского напряженного состояния с треугольной КЭ сеткой, имеющей шаг 2×192. Погрешность в решении задачи анализа в перемещениях при этом составила 14%. На рис. 6 показана сходимость алгоритма с 2-х начальных проектов на всех поисковых итерациях (рис. 6,а) и в более крупном масштабе на последних четырех (рис. 6,б).

Использование густой КЭ сетки в этом варианте привело к достаточно громоздким вычислениям в задаче анализа, решение которой занимало основное время счета. С этой точки зрения существенным показателем эффективности алгоритма явилось число обращений к функции ограничений, вычисление которой включало КЭ расчет. В вариантах 1,2 число таких обращений составило от 320 до 425. Сокращения вычислений при решении подобных задач можно добиться, если ослабить требование к точности в невязках ограничений, например, до 1% (оптимальное решение при этом будет получено уже на 2-3 итерации), либо использовать режим построения аппроксимаций.

Вариант 3. На внешних итерациях алгоритма строились линейные аппроксимации функции ограничений, что требовало ng обращений к прямому вычислению ограничений (ng=2nx+1). Таким образом, общее число решений задачи КЭ анализа было сокращено. На внутренних итерациях алгоритма задача поиска условного экстремума с использованием линеаризованной функции ограничений производилась по схеме 3. Как уже отмечалось, такой подход не требовал точности в поиске прямых переменных X , поэтому предельное число внутренних итераций было ограничено до 5-ти.

Таблица 3. Сопоставление результатов расчёта
		Объем, in 3	(%)	Число итераций
Источник		3,600
ANSYS Метод аппроксимации подзадачи		3,616	0,434	12
ANSYS Метод первого порядка		3,609	0,261	17
РОСК	в. 1	3,60332	0,092	9
	в. 2	3,60218 3,6026	0,061 0,072	6 7
	в. 3	3,60826	0,229	8

Рассмотренные примеры показали высокую робастность алгоритмов оптимизации, заложенных в ПК РОСК. При решении задачи безусловной минимизации была отмечена высокая устойчивость метода деформируемого многогранника. Метод Ньютона показал устойчивую работу на последних итерациях только в варианте 1, что позволило получить высокую точность в невязках ограничений (10-5). Во всех вариантах была продемонстрирована быстрая сходимость к решениям близким к оптимальным уже на 2-3 итерации (рис. 6). Последующие итерации доводили результат до требуемой степени точности.

В главе приведены также примеры решения практических задач оптимизации стальных конструкций.

Оптимизация стальной балки составного двутаврового сечения, работающей на изгиб в плоскости стенки

Целевая функция f(x) в этой задаче представляла площадь поперечного сечения балки, где варьировалось 4 параметра. В качестве ограничений были приняты проверки по прочности и устойчивости в соответствии с требованиями СП 16.13330.201 Стальные конструкции. Было выполнено исследование результатов задачи на единственность путем решения с 5-ти начальных проектов. Максимальная разница в варьируемых параметрах при этом составила 0,03%, т. е. решения практически совпали. Число итераций колебалось от 7 до 8, невязки ограничений имела порядок 10-4. В качестве методов безусловной минимизации были использованы метод деформируемого многогранника и градиентный метод 1-го порядка. На этой задаче было исследовано влияние параметров методов на сходимость алгоритма.

Оптимальное проектирование ферм

Решено несколько примеров оптимального проектирования ферм, в которых предусмотрено варьирование геометрией сечений, а также координатами узлов расчетной модели. Учтено несколько случаев загружения. Минимизировался объем при соблюдении нормативных требований по прочности, устойчивости и жесткости.

Один из вариантов оптимизируемых ферм показан на рис. 7. Эта задача была решена при различных типах сечений, меняющихся как непрерывно, так и дискретно (по сортаментам).

Таблица 4. Варианты решений при оптимизации 23-ти стержневой фермы
	Непрерывные параметры			Дискретные параметры
Показатели	Равнопрочная ферма	№ 1	№ 2	№ 3 ГОСТ 10704-91	№ 4 ТУ 36-2287-80
Сечения
h1 (см)	200	300	300	300	300
h2 (см)	200	250	260	250	260
h3 (см)	200	150	150	140	160
Объём (см3)	329433	168400	169117	168925	173037
Объём %	100 %	51,1 %	51,3 %	51,3 %	52,53 %

Решение задачи оптимизации фермы подтвердило, что на сходимость алгоритмов существенное влияние оказывают параметры методов, в частности, минимальное значение коэффициента штрафа, коэффициента нормировки ограничений и др., что делает затруднительным применение алгоритмов оптимизации пользователем, который не знаком с их особенностями. Эти исследования подтвердили актуальность разработки эвристических подходов, обеспечивающих автоматическую настройку параметров поисковых методов, что было сделано в дальнейшем при решении задач оптимизации конструкций более сложной конфигурации с большим числом элементов. Пример такой конструкции показан на рис. 8.

Элементы фермы были сгруппированы по типу сечений и материалу, что позволило сократить число варьируемых параметров, время вычислений и в конечном итоге повысило сходимость алгоритма. Оптимальные результаты были проверены на единственность путем выполнения расчётов с нескольких начальных проектов. При непрерывном изменении параметров все решения практически совпали (разница в объёме до 0,0012 %). В случае дискретных изменений сечений согласно сортаментам было получено несколько локальных оптимумов, дающих разницу в объёме до 4,3 %. В качестве оптимального в таком случае может быть выбран проект, имеющий лучшие показатели (наименьшее значение целевой функции и точность в невязках ограничений и т.д.).

Оптимальное проектирование рам

Рассмотрены примеры оптимизации рам. Одна из таких конструкций изображена на рис. 9. Приняты различные типы сечений: для стоек; для ригелей ; для связей. Задано 2 случая загружения. Назначены нормативные ограничения по прочности и местной устойчивости в элементах рамы. Ограничение по жесткости задано в виде допуска на горизонтальное перемещение узла 9. Варьировались параметры сечений, а также высота h с шагом 10 см. Задача была решена в 2-х вариантах. В первом случае параметры сечений менялись непрерывно (1 параметр кольцевого и коробчатого сечения, 2 параметра двутаврового сечения). Число варьируемых параметров с учетом того, что элементы рамы объединены в группы, равнялось 10-ти. Имело место 42 ограничения, включая ограничение по жесткости. Во втором случае параметры сечений менялись дискретно по сортаментам. Число варьируемых параметров сократилось до 8, число ограничений - 38.

Был отмечен ещё один эффект. Если варьировались 2 параметра сечений, например, диаметр и толщина кольцевого сечения, то с разных начальных проектов были получены разные оптимальные решения для параметров сечений (с отличием до 30%), в то время как разницы в площадях были существенно меньше (10-2 %), а значение объёма практически совпадало. Таким образом, при задании избыточного количества параметров варьирования имеет место множество локальных решений при одинаковом значении целевой функции (плато целевой функции).

Рассмотренные примеры показали высокую робастность алгоритма оптимизации, заложенного в ПК РОСК. При решении задачи безусловной минимизации была отмечена высокая устойчивость методов деформируемого многогранника и покоординатного спуска (во всех примерах). Градиентный метод 1-го порядка дал быструю сходимость в задаче оптимизации балки. Метод Ньютона показал устойчивую работу на последних итерациях вблизи оптимума в задачах оптимизации балок и ферм.

Шестая глава посвящена построению явных задач оптимизации механических систем при нестационарных динамических воздействиях:

найти min f (x, P(x,t)), x∈E nx	(16)
при ограничениях	(17)
	(18)

Здесь целевая функция и ограничения, накладываемые на систему, связаны с варьируемыми параметрами через динамические параметры состояния Р(x,t) :

(19)

Принята КЭ динамическая модель системы в линейной постановке

(20)

с начальными условиями , не зависящими от x. Таким образом, параметры состояния Р(x,t) являются неявными функциями варьируемых параметров. Рассмотрено несколько подходов к построению явной задачи НМП. Для исключения фактора времени отслеживались моменты времени (t CR), где функции ограничений принимали экстремальные значения на заданном временном интервале. Эти моменты времени определялись из условия

(21)

где функция hj может быть определена, например, следующим образом:

(22)

Размерность задачи при этом существенно возрастает. Для ее сокращения была установлена полоса отбора ограничений.

Явной зависимость функций ограничений от переменных x была получена на основе аппроксимаций. Скорость сходимости при этом сущестнвенно зависит от нелинейности ограничительных функций, которая обусловлена, во-первых, сложной зависимостью параметров соснтояния от варьируемых параметров, связанной со структурой механических систем. Во-вторых, сами ограничения, как правило, нелинейны относительно параметров состояния. Тогда аппрокнсимация параметров состояния может дать более качественные приближения, чем аппрокнсимация самих функций {g}, поскольку в последних сохраняются нелинейности второго типа. Это позволяет использовать полученные аппроксимации на более широкой области варьируемых параметров, что в конечном итоге принводит к сокращению числа итераций для поиска оптимума. С учетом этого разработана методика построения аппроксимаций параметров состояния системы, выполненных путём разложения функций в ряд Тейлора в окрестности пробной точки. Были получены выражения чувствительностей для частных случаев, когда параметры состояния являются функциями динамических перемещений, скоростей и ускорений. Приведем выражение производной k-го параметра состояния, связанного с перемещениями системы:

Предложено 2 схемы анализа чувствительности 1-го порядка.

а). Прямое дифференцирование: , где производные определяются из условия:

(23)

а вектор псевдонагрузки находится по выражению

(24)

с начальными условиями равными нулю.

Трудоемкость прямого метода пропорциональна числу варьирунемых параметров. Между тем, в задачах оптимизации механических систем число активных ограничений значительно меньше числа варьируемых параметров. Это обусловлено нелинейностью целевой и ограничитенльных функций, а также выходом некоторых варьируемых параметров на границу параметрических ограничений (18). В силу этого, при станбилизации числа активных ограничений более эффективным становитнся метод сопряженных переменных.

б). Дифференцирование через сопряженные переменные для k-го параметра состояния выполняется по следующей схеме:

(25)

где вектор определяется решением системы уравнений

(26)

Рассмотрено 2 способа формирования аппроксимаций 2-го порядка: прямое дифференцирование и комбинированный способ, который позволяет сократить число решений уравнения состояния системы. Во всех случаях решение задачи динамического анализа и анализа чувствительности совмещено. Для изменения знака у второго слагаемого в выражении (26) была произведена замена переменных.

Отдельно исследован случай, когда уравнение движения сначала раскладывается по собственным формам колебаний, а затем выполняется покомпонентный синтез чувствительностей по требуемому числу форм. Так как матрица демпфирования не является пропорциональной матрице масс и жесткости, такой переход приводит к разделённым уравнениям удвоенного порядка.

Выбор того или иного метода анализа чувствительности зависит от конкретной задачи. Наиболее рационально на первых итерациях, когда множество активных ограничений не выявлено, использовать метод прямого дифференцирования. На последующих итерациях, если число активных ограничений невелико, целесообразно перейти к определению чувствительностей через сопряженные переменные. Таким образом, эти два подхода могут хорошо дополнять друг друга.

Седьмая глава. Для решения практических задач оптимального проектирования механических систем при нестационарных динамических воздействиях было разработано специализированное программное обеспечение. Приведём описание основных блоков алгоритма, который был положен в основу программного комплекса оптимизации (рис. 10).

В блоке Dirans формируются коэффициенты аппроксимации на основе прямого метода анализа чувствительности. Для решения системы дифференциальных уравнений состояния (20) и (23) использовался метод прямого интегрирования (-метод Вилсона). Блок Aprox включает построение приближенной задачи оптимизации. Здесь строятся линейные аппроксимации параметров состояния по варьируемым параметрам. Блок NMPack предназначен для решения задачи условной минимизации по алгоритмам, которые изложены в главе 3.

Для апробации программного комплекса были решены задачи оптимизации системы виброударозащиты балочного типа, где установлены присоединенные массы, которые необходимо отстроить от кинематических воздействий на балку. Задача оптимизации была поставлена следующим образом: минимизировались ускорения верхних присоединённых масс. Ограничения накладывались на перемещения точек системы, а также на напряжения, возникающие в результате действия статических и динамических нагрузок. Варьировались геометрические и физические параметры: размеры поперечного сечения, величины масс, демпфирования и жесткости.

На рис. 11 показана расчетная схема амортизатора, имеющая l степеней свободы. Поперечное сечение балки принято в виде составного двутавра. Задано кинематическое воздействие на опоры оп в виде кратковременного импульса на временном интервале τp.

Рис. 11. Схема амортизатора балочного типа с l степенями свободы.

Ниже приведены результаты для наиболее простого случая, когда на балке имеют место только две массы и , расположенные посередине пролёта. Было принято несколько вариантов воздействий на опоры . В таблице 4 показаны результаты решения задачи, когда внешнее воздействие задано симметричным в виде импульса: (tp).

Таблица 5 . Сравнение исходных и оптимальных параметров

(т)	(кНс/м)	(кН/м)	B (м)	h (м)	b (м)	(м/с2)
Начальные параметры системы
0,3	40	1000	0,2	0,5	0,01	122,2
Оптимальные параметры системы
0,8	11	98	0,12	0,244	0,006	2,056

В примере были использованы прянмые методы анализа чувствительности, что для решения задач такого класса целесообразно вследствие их небольшой размерности, а также того обстоятельства, что число ограничений здесь соразмеримо с числом варьируемых параметров. Кроме того, кратковременнный характер импульсной нагрузки позволяет исследовать поведение конструкции за малый промежуток времени (хотя число временных шагов при этом может быть достаточно большим). Совмещение процендур динамического КЭ анализа и анализа чувствительности позволило существенно сократить вычислительный процесс оптимизации. Для повышения точности и надежности решения приближенной задачи могут быть реализованы аппроксимации второго порядка.

Задачи оптимизации механических систем при нестационарных динамических воздействиях решались с нескольких начальных проектов. В результате было выявлено, что в ряде случаев различные начальные проекты приводят к разным направлениям поиска по отдельным переменным. Для того, чтобы исследовать эту особенность были построены графики зависимости функций ограничений от варьируемых параметров. Было выявлено, что функции ограничений в большинстве своем существенно нелинейные, невыпуклые функции. Таким образом, проблема поиска глобального оптинмума в задачах оптимизации динамически систем является достаточно сложной. Для её численного решения можно выделить два основных подхода. Первый заключается в получении хороншего начального приближения путем прямого вычисления функций ограничений (например, методом случайного поиска). Второй предполагает исслендование нескольких случайных точек в области поиска, из которых осуществляется спуск с помощью локальных методов. В случае, если сущестнвует несколько локальных решений, в качестве оптимального берется проект, имеющий лучшие показатели (наименьшее значение целевой функции и точность в невязках ограничений и т.д.). Следующая проблема при решении задачи оптимизации заключалась в том, что вследствие аппроксимации задача на условный экстремум часто становилась несовместной (особенно в области тончек перегиба ограничительных функций, где градиенты ограничений близки к нулю, что существенно ухудшает сходимость задачи). Для того, чтобы добиться сходимости, на каждой итерации поиска регунлировалась величина шага изменения варьируемых параметров (обычнно 1/5-1/15 всего интервала). В случае, если нанблюдалась монотонная сходимость, этот шаг увеличивался, если же в ходе поискового процесса варьируемые параметры ударялись в разные границы, шаг уменьшался. В результате такой постановки приближенной задачи допустимое решение на итерации часто отсутствовало (особенно на первых итенрациях). Однако применение методов модифицированных функций Лагранжа позволило осуществлять поиск в направлении оптимума и за пределами допустимой области. При этом имело место резкое увелинчение двойственных переменных на внутренних итерациях условно-экстремальной задачи (уровень R). Для того, чтобы ограничить их значения, задавалось всего две итерации этого уровня (ближе к оптимуму число этих итераций было увеличено).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Разработана эффективная комплексная методика оптимизации механических систем на основе численных методов конечно-элементного анализа и нелинейного математического программирования (НМП), позволяющая варьировать физическими и геометрическими параметрами расчетных моделей этих систем, решать рекурсивные задачи оптимизации.
На основе этой методики разработан алгоритм оптимизации в статической постановке, который реализован в двух вариантах: при оптимизации сложных пластинчато-стержневых конструкций строится приближенная задача на основе аппроксимации статических параметров состояния с использованием методов анализа чувствительности первого и второго порядка. В задачах оптимизации стержневых систем предложена схема прямого вычисления функций ограничений. Модули КЭ при этом разработаны с учётом того, что матрица жесткости является функцией варьируемых физических и геометрических параметров оптимизируемой системы.
В алгоритм оптимизации встроены требования по прочности и устойчивости в соответствии с нормативным документом СП 16.13330.201 Стальные конструкции. Эти требования формализованы в виде функций ограничений задачи НМП. Для надёжной работы алгоритма оптимизации произведена корректировка этих функций таким образом, чтобы они были сглажены и обеспечивали сходимость к оптимальным результатам, как в пределах, так и за пределами допустимых решений. Таким образом, задача оптимизации стальных конструкций реализована наиболее полно с включением нормативных требований и библиотеки стандартных сечений.
Разработана многоуровневая концепция решения стандартной задачи НМП с использованием модифицированных функций Лагранжа первого и второго порядка, позволяющая работать с функциями произвольного вида на широком диапазоне непрерывных и дискретных параметров расчётной модели. В рамках этого концепции развиты двойственные и комбинированные подходы, работающие в редуцированном пространстве потенциально-активных ограничений.
Реализован эвристический механизм переключения методов условной и безусловной минимизации на основе анализа состояния вычислительного процесса оптимизации, позволяющий автоматически настраивать алгоритм на наиболее эффективный поисковый метод.
Рассмотрено несколько подходов к построению явной задачи НМП при решении задач оптимизации механических систем в условиях нестационарных динамических воздействий. Разработана методика построения аппроксимации на основе прямого дифференцирования и дифференцирование через сопряжённые переменные для частных случаев, когда параметры состояния системы являются функциями динамических перемещений, скоростей и ускорений. Отдельно исследован случай покомпонентного синтеза чувствительностей по требуемому числу форм колебаний. Так как в алгоритме использована динамическая модель с матрицей демпфирования не пропорциональной матрице масс и жесткости, такой переход приводит к разделённым уравнениям удвоенного порядка. Предложенные подходы могут хорошо дополнять друг друга на различных стадиях вычислительного процесса оптимизации.
Алгоритм реализован в виде программного комплекса расчета и оптимизации стальных конструкций РОСК, состоящий из 3-х основных блоков, каждый из которых может функционировать автономно: блок конструктивного расчета стальных конструкций, блок оптимизации и блок КЭ анализа. Такая структура ПК дает возможность его расширения, как в пополнении нормативной базы, так и в добавлении новых КЭ модулей.
Произведена апробация программного комплекса РОСК посредством решения тестовых и практических задачи оптимизации конструкций: балок, рам, ферм, пластин при статических и нестационарных динамических воздействиях. На этих задачах выполнено исследование сходимости алгоритма оптимизации. Определены параметры поисковых методов, влияющие на сходимость. Даны рекомендации их настройке, что позволило повысить устойчивость алгоритма. Выявлено, что в задачах, где варьируемые параметры меняются непрерывно, имеет место один глобальный оптимум. В задачах дискретной оптимизации присутствует несколько локальных решений, из которых выбирается проект, имеющий лучшие показатели.
Решение верификационных тестов подтвердило эффективность алгоритмов, на основе которых разработан ПК, как в части вычислительных затрат, так и по степени точности полученных результатов. При решении практических примеров в большинстве случаев сходимость к проектам близким к оптимальным, была получена уже на 2-3 итерации с последующим доведением на последующих итерациях до требуемой степени точности.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

Дмитриева Т.Л. Аппроксимация параметров состояния в задачах оптимизации систем, подверженных нестационарным динамическим воздействиям. //Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Иркутск: Из-во ИрГупс, 2008, № 1. С. 110-114.
Соболев В.В., Дмитриева Т.Л. Вибрационная защита промышленных конструкций на основе параметрической оптимизации дискретно-континуальных математических моделей Уконструкции - виброактивное оборудованиеФ // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Иркутск: Из-во ИрГупс, 2009, № 4. С. 149-158.
Безделев В.В., Дмитриева Т.Л. Использование многометодной стратегии оптимизации в проектировании строительных конструкций// Известия вузов. Строительство, 2010, № 2. С. 90-95.
Дмитриева Т.Л. Алгоритм автоматизированного проектирования ферм минимального веса // Известия вузов. Строительство, 2010, № 3. С. 98-105.
Дмитриева Т.Л. Оптимизация ферм с дискретными параметрами // Известия вузов. Строительство, 2010, № 8. С. 86-94.
Дмитриева Т.Л. К вопросу оптимизации однопролётной балки двутаврового сечения // Вестник Иркутского государственного технического университета, 2010, № 5. С. 88-94.
Дмитриева Т.Л. Алгоритм решения условно-экстремальных задач, использующий методы модифицированных функций Лагранжа первого и второго порядка // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование, № 4, Иркутск: Из-во ИрГупс, 2010. С. 115-121.
Дмитриева Т.Л., Безделев В.В. Алгоритм автоматизированного проектирования механических систем с оптимальными параметрами при импульсных воздействиях // International Journal for Computation Civil and Structural Engineering/ Международный журнал по расчету гражданских и строительных конструкций, 2011, v. 7, № 1. P. 85-94.
Дмитриева Т.Л. Программный комплекс OPTIDEST и его использование в задачах расчёта и оптимизации стальных конструкций // Вестник МГСУ , 2011, т.1, № 1. C. 100-105.
Дмитриева Т.Л. Решение тестовых задач оптимального проектирования стержневых систем // Вестник Иркутского государственного технического университета, 2011, № 7 (54), C. 40-46.
Дмитриева Т.Л. Оптимизация геометрических параметров стальных рам // Academia. Архитектура и строительство, 2011, № 3. C. 114-119.

СВИДЕТЕЛЬСТВА

о государственной регистрации в федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам (РОСПАТЕНТ) программ для ЭВМ

Свидетельство № 2011617406 от 23.09.2011 о государственной регистрации программы для ЭВМ Программный комплекс для решения задач нелинейного математического программирования (НМПак). Авторы: Дмитриева Т.Л., Безделев В.В.
Свидетельство № 2011617407 от 23.09.2011 о государственной регистрации программы для ЭВМ Расчет и оптимизация стальных конструкций (РОСК). Автор: Дмитриева Т.Л.
Свидетельство № 2011617408 от 23.09.2011 о государственной регистрации программы для ЭВМ Конструктивный расчет стальных конструкций (КРаСК). Автор: Дмитриева Т.Л.

Авторефераты по всем темам >> Авторефераты по техническим специальностям

Blog

B

h