Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Иродова Ирина Павловна
МЕТОДЫ КУСОЧНО-ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ В ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ НИКОЛЬСКОГО-БЕСОВА
01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва - 2010
Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Ярославского государственного университета им. П.Г.Демидова
Официальные оппоненты:
Доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, заведующий отделом теории функций МИАН им. В.А. Стеклова О.В. Бесов.
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН М.Л. Гольдман.
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры функционального анализа и операторных уравнений ВГУ И.Я. Новиков.
Ведущая организация:
Московский государственный университет
Защита диссертации состоится 29 марта 2011 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117419, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 3, ауд. 495а.
С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационном библиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета дружбы народов) по адресу: 117419, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.
Автореферат разослан ________ 20__ г.
Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент Л.Е. Россовский
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Теория пространств функций обобщенной гладкости является интенсивно развивающейся областью исследований, активно взаимодействующей со многими разделами современного анализа (теория функций многих вещественных переменных, теория дифференциальных уравнений в частных производных, теория приближения, гармонический анализ и др.). При этом изучение каждого из классов пространств, являющихся основными объектами теории, основывается на использовании базовых методов современного анализа. В частности, в теории пространств Никольского-Бесова основными средствами исследований являются приближение целыми функциями экспоненциального типа, интегральные представления, сингулярные интегралы, локальные приближения многочленами, гармонический анализ, теория нелинейного потенциала и др. По этому поводу см., в частности, монографии С.М. Никольского1, О.В. Бесова, В.П. Ильина, С.М. Никольского2, И.М. Стейна3, Х. Трибеля4, Д. Адамса, Л. Хедберга5, а также статью Ю.А. Брудного6.
В свою очередь решение актуальных проблем теории стимулирует появление новых концепций, методов и результатов, имеющих общематематическое значение.
Цель работы. В настоящей работе предложен новый подход к изучению пространств Никольского-Бесова, который состоит из двух этапов. На первом этапе мы вводим и детально изучаем свойства диадических аналогов пространств Никольского-Бесова, которые определяются с помощью кусочно-полиномиальной аппроксимации на подмножестве почти диадических кубов. Благодаря более простой структуре при изучении этих пространств наряду с классическими методами мы применяем разработанные автором комбинаторные алгоритмы. Эти алгоритмы могут Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения// М.: Наука.
1977.
Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения// М.: Наука. 1975.
Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций// М.: Мир. 1972.
Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы//М.: Мир. 1980.
Adams D., Hedberg L. Function Spaces and Potential Theory// Springer-Verlag. Berlin. 1996.
Брудный Ю.А. Пространства, определяемые с помощью локальных приближений// Тр. ММО.
1971. № 24. С. 69-132.
быть использованы в прикладных задачах (распознавание образов, сжатие информации).
На втором этапе мы изучаем связь между диадическими и классическими пространствами Никольского-Бесова и на этой основе доказываем ряд известных и новых результатов для классических пространств.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Для их изложения нам потребуются некоторые определения. Одним из центральных понятий работы является диадическое пространство Никольского-Бесова, с определения которого мы и начнем.
Обозначим через Dn семейство замкнутых диадических кубов из Q0 = [0, 1]d с длиной ребра 2-n. Определим наилучшее приближение функции f Lp(Q0), 0 < p с помощью кусочно-полиномиальных функций вида gQQ, где gQ является полиномом степени не более QDn k - 1 по каждой из d переменных, а Q обозначает характеристическую функцию куба Q. Обозначим эту величину через ek(f, Dn)p. Таким образом, ek(f, Dn)p = inf ||f - gQQ||L, p QDn где нижняя грань взята по всем наборам полиномов gQ. Здесь и всюду ниже Lp = Lp(Q0).
Тогда диадическое пространство Никольского-Бесова, построенное по семейству D, определяется с помощью квазинормы (нормы при p 1) 1/ f B := 2nek(f, Dn)p + f L ; (1) (D) p p n=здесь D = {Dn, n = 0, 1,...} - семейство диадических кубов.
Чтобы мотивировать это определение, напомним результат Ю.А. Брудного7, который показал, что если в этой формуле Dn заменить на произвольное семейство замкнутых попарно непересекающихся кубов с длиной ребра 2-n и взять верхнюю грань по всем таким семействам, то получит ся величина эквивалентная квазинорме классического пространства Bp, определяемого с помощью k-модуля непрерывности.
Брудный Ю.А. Адаптивная аппроксимация функций с особенностями// Тр. ММО 1994. № 55.
С. 123-185.
По ряду причин нам удобно расширить эту шкалу, заменяя семейство {Dn, n = 0, 1,...} на семейство {Fn, n = 0, 1,...} почти диадических квазикубов. Для их определения будем пользоваться особыми разбиениями куба Q0.
Для краткости будем называть разбиением куба Q0 множество замкнутых параллелепипедов, внутренности которых попарно не пересекаются, а объединение дает Q0.
Положим F0 = {Q0}; разбиения Fn, n 1, состоят из замкнутых параллелепипедов, получающихся при делении Q0 гиперплоскостями, параллельными координатным гиперплоскостям и удовлетворяющих условиям:
1) длины ребер параллелепипедов из Fn эквивалентны 2-n c фиксированными константами эквивалентности, не зависящими от n. В дальнейшем такие параллелепипеды будем называть квазикубами;
2) для любого квазикуба Q Fn+1 существует единственный квазикуб Q Fn такой, что Q Q.
Разбиение Fn будем называть почти диадическим разбиением порядка n. Семейство F = {Fn, n = 0, 1,...} будем называть почти диадическим семейством. Отметим, что диадическое семейство является частным случаем этого понятия.
Заменяя в формуле (1) разбиение Dn на Fn, мы получим определение диадического пространства Никольского-Бесова Bp (F ), построенного по p семейству F. Далее диагональное пространство Bp (F ) будем обозначать Bp (F ).
Еще одним объектом, изучаемым в диссертации, является пространство функций с ограниченной средней осцилляцией, построенных по семейству F. В дальнейшем это пространство будем обозначать BMO(F ).
Отметим, что в случае, когда F совпадает с семейством диадических кубов D, это пространство впервые было введено в работе Дж. Гарнетаи изучено многими авторами. Укажем в частности, что один из наиболее глубоких результатов в этой области получен в статье Дж. Гарнета, П. Джонса9.
Гарнет Дж. Ограниченные аналитические функции// М.: Мир. 1980.
Garnett J. B., Jones P. W. BMO from dyadic BMO// Pacific J. Math. 1982. Vol. 99. № 2. P. 351-371.
Далее изложим новые результаты, которые получены в диссертации.
Прежде всего отметим серию результатов, в которых изучаются основные свойства кусочно-полиномиальных приближений, построенных по почти диадическим разбиениям. Доказаны теоремы, в которых сравнивается скорость приближения кусочно-полиномиальными функциями в разных нормах, построенными по разным разбиениям, c разными степенями многочленов, составляющих кусочно-полиномиальные функции.
Основываясь на этих результатах и развитой при их доказательстве технике, мы подробно изучаем свойства диадических пространств Никольского-Бесова: теоремы вложения, интерполяционные теоремы, порядок диадической гладкости.
Существенную роль при доказательстве играют комбинаторногеометрические свойства дерева, порожденного почти диадическим семейством. Основная теорема, использующая эти свойства, дает разбиение дерева с конечным множеством выделенных n вершин в виде объединения O(n) попарно непересекающихся путей.
С помощью этой теоремы, мы конструируем алгоритмы, которые дают два центральных результата работы: теорему о нелинейной аппроксимации и неравенство типа неравенства Бернштейна.
Первый из этих результатов оценивает скорость приближения функ ции из Bp (F ) в метрике пространства Lq, 0 < p < q < или 0 < p 1, n q = с помощью кусочно-полиномиальных функций вида pQ Q, i i i=где pQ - полиномы, а Qi - квазикубы из F. Здесь - это предельный i показатель, который определяется равенством = d(1 - ). В случае, p q когда p > 1, q = аналогичный результат верен в метрике пространства BMO(F ).
Особенностью этой теоремы является тот факт, что скорость приближения остается такой же, как если бы мы приближали эту функцию в более слабой Lp - метрике (эффект нелинейной аппроксимации).
Вторая теорема, неравенство типа неравенства Бернштейна, дает оценку Bp (F ) - квазинормы, вообще говоря, разрывной кусочно n полиномиальной функции sn = pQ Q, Qi F через ее квазинорму i i i=в пространстве Lq, здесь, как и выше, = d(1 - ).
p q Этот результат основан на алгоритме в каком-то смысле обратном к аппроксимационному алгоритму предыдущей теоремы. Отметим, что его можно рассматривать, как обращение теоремы вложения Bp (F ) в Lq.
Используя эти результаты, мы получаем описание диагонального диадического B-пространства в терминах нелинейного приближения кусочно-полиномиальными функциями.
Диадические B-пространства тесно связаны с классическими Bпространствами. Как доказано в диссертации, каждое диадическое пространство содержит соответствующее классическое, а для малых гладко стей эти пространства совпадают. Для остальных гладкостей Bp является пересечением конечного числа диадических B-пространств с подходящим образом подобранными семействами разбиений F. Благодаря этому свойству многие трудные результаты для классических пространств удалось получить из аналогичных, существенно более просто доказываемых результатов для диадических пространств либо с помощью алгоритмов, развитых в теории диадических пространств.
Отметим некоторые из основных результатов, установленных подобным образом.
1) Теорема о нелинейной аппроксимации сплайнами функций из 1 пространства Bp в метрике пространства Lq, где = d -, p q 0 < p < q < или 0 < p 1, q = .
d p Отметим, что вопрос о приближении функций из пространства Bp, p > 1 остается открытым.
Трудность доказательства этой теоремы классическими методами состоит в том, что граф пересечений носителей B-сплайнов, которые участ вуют в разложении функции f Bp, носит сложный характер. Поэтому предварительно представляем этот граф в виде объединения попарно непересекающихся c(d) деревьев, порожденных почти диадическими семействами. Это позволяет разбить f на сумму c(d) функций, а затем к каждой из этих функций применить слегка модифицированный алгоритм, разработанный для диадических пространств.
2) Неравенство типа неравенства Бернштейна для функций sn, которые являются линейными комбинациями n гладких B-сплайнов.
Для доказательства этого неравенства используется аналогичное неравенство для диадических пространств и интерполяционная техника.
3) Конструктивная характеристика пространства Bp в терминах нелинейной аппроксимации сплайнами в метрике пространства Lq(Q0) или BMO.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории функций, в теории приближений, а также в прикладных задачах (распознавание образов, сжатие информации и др.).
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседании следующих научных семинаров: Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, механикоматематический факультет, семинар под руководством профессора В.М. Тихомирова; математического института им. В.А. Стеклова, семинар под руководством академика С.М. Никольского и чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева; Российского университета дружбы народов, факультет физико-математических и естественных наук, семинар под руководством чл.- корр. РАН В.Д. Степанова и профессора А.Л. Скубачевского; Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, семинар под руководством профессора Ю.А. Брудного и семинар под руководством профессора Н.Я. Кругляка. По материалам диссертации были сделаны доклады на международных конференциях, список которых приведен в конце автореферата.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 28 работ, из них 11 статей в научных журналах списка ВАК и 11 тезисов докладов на международных конференциях.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, и списка литературы из 1наименований.
Основное содержание работы
.
Во введении кратко изложено содержание диссертации по главам, указаны цели диссертации, актуальность темы и научная новизна результатов.
Перейдем к более подробному изложению полученных результатов.
В первой главе приведены основные свойства кусочнополиномиальных приближений и геометрия связанных с ними почти диадических разбиений.
Напомним, что локальное приближение многочленами функции f Lp, 0 < p является функцией множества Y Ek(f, Y )p, Y Q0 определяемой формулой Ek(f, Y )p := inf ||f - g||L (Y ).
p gPk Здесь Pk - пространство полиномов степени не более k - 1 по каждой из d переменных.
Начнем с результата, где оценивается локальное приближение полиномами в одной норме через локальные приближения в другой норме.
Очевидно, если 0 < p < q , то это легко сделать, используя неравенство Гельдера:
1 p q Ek(f, Y )p |Y | Ek(f, Y )q, здесь Y F.
Однако оценить Ek(f, Y )q через локальные приближения в Lp значительно сложнее. Для этого потребуется использовать все квазикубы Q из F, вложенные в Y. Чтобы сформулировать соответствующий результат, для произвольного квазикуба Y из почти диадического семейства F символом Fn(Y ) обозначим разбиение Y на квазикубы Q F, длина d ребра которых 2-n|Y |. В частности, Fn(Q0) = Fn. Далее обозначим через Pk() пространство кусочно-полиномиальных функций, подчинен ных разбиению , то есть функций вида gQQ, где gQ Pk. Наконец, Q символом ek(f, )p обозначим наилучшее приближение f функциями из множества Pk() в пространстве Lp.
Теорема 1. Пусть f Lq(Y ), = d(1 - ), 0 < p < q < . Тогда p q q q d Ek(f, Y )q c |Y |- 2n ek(f, Fn(Y ))p.
n=Константа в формулировке теоремы 1, как и всюду ниже, не зависит от f.
В доказательстве теоремы используем подход, предложенный Ю.А. Брудным10.
Брудный Ю.А. О перестановке гладкой функции// Успехи мат. наук. 27. Вып. 2. 1972. С. 165-166.
Как следствие из теоремы 1 можно получить более слабый результат, который, однако, нагляднее демонстрирует связь локальных приближений в разных нормах.
Следствие 1. Пусть f Lq(Y ), Y F, 0 < p < q < . Тогда p p 1 q p Ek(f, Y )q c |Q| Ek(f, Q)p .
QY,QF Отметим, что теорема 1 неверна при q = . Однако можно получить такой результат.
Теорема 2. Пусть f L(Y ), Y F. Тогда p Ek(f, Q)p p Ek(f, Y ) c .
|Q| n=QFn(Y ) Здесь 0 < p < .
Результат, приведенный в следующей теореме, можно рассматривать как диадический аналог неравенства типа неравенства Маршо. Он дает возможность сравнить скорости приближения кусочнополиномиальными функциями с разными степенями. Пусть здесь и всюду ниже p = min(1, p).
Теорема 3. Для k < m имеет место неравенство n p m ek(f - PQ (f), Fn)p c 2-nk 2ikp em(f, Fi)p.
p i=m Здесь PQ (f) - многочлен наилучшего приближения функции f на кубе Q0 из пространства Pm.
Чтобы сформулировать очередной результат, нужно ввести понятие специальных диадических разбиений.
Пусть x - вершина куба Q0. От Q0 перейдем к кубу Qx, который получается гомотетией Q0 относительно вершины x с коэффициентом 3. Куб Qx разделим на 2nd равных кубов, а затем возьмем пересечение этих кубов с кубом Q0. Получившееся разбиение Q0 на параллелепипеды обозначим Fn(x). В дальнейшем разбиения Fn(x) будем называть специальными диадическими разбиениями, а F (x) = {Fn(x), n = 0, 1,...} будем называть специальным диадическим семейством.
Специальные диадические разбиения в некотором смысле универсальны. С их помощью, например, можно описать k-й модуль непрерывности и, как следствие, сравнить диадические и классические пространства.
Поэтому важно изучить, как связаны скорости приближений кусочнополиномиальными функциями, подчиненными разным специальным диадическим разбиениям.
Теорема 4. Пусть f Lp, 0 < p < и x, y - вершины куба Q0, тогда 1/p n p n i p p ek(f, Fn(x))p c 2- 2 ek (f, Fi(y))p ;
i=здесь p = min(1, p).
Покажем теперь, как можно оценить скорость приближения кусочнополиномиальными функциями, подчиненными специальным диадическим разбиениям через равномерные кусочно-полиномиальные приближения Un. Хотя по постановке задача похожа на предыдущую (переход от одного разбиения к семейству разбиений другого рода), способы доказательства этих результатов совершенно различны. Это объясняется тем, n что равномерные разбиения Un (в отличие от Dn = U2 ) не являются диадическими, что значительно усложняет доказательство. Теорема, которая сформулирована ниже, позволяет получить новое свойство модуля непрерывности (см. теорему 21, свойство 3).
Теорема 5. Пусть Fn(x) специальное диадическое разбиение. Тогда 1/p 2n+ e 2-n n ek(f, Fn(x))p c (f, U2 )p + ek(f, Ur)p , k p r=2n+здесь 0 < p < , а через Ur обозначено разбиение куба Q0, состоящее из равных кубов с длиной ребра.
r Вторая глава начинается с определения диадического пространства Никольского-Бесова Bp (F ).
Определение 1. Диадическим пространством Никольского-Бесова Bp (F ), построенным по почти диадическому семейству F, называется множество функций f из Lp, для которых конечна величина 1/ |f|B := 2nek(f, Fn)p ;
(F ) p n= здесь k > > 0 и 0 < p, . Квазинорма в Bp (F ) определяется равенством f B = |f|B + f L.
(F ) (F ) p p p Для изучения свойств функций из Bp (F ) используем подход, предложенный при p 1 О.В. Бесовым11. Отличие состоит в том, что если раньше свойства функций описывались в терминах приближений целыми функциями экспоненциального типа, то сейчас приближать будем кусочно-полиномиальными функциями.
Отметим, что в силу теоремы 3 квазинормы в Bp (F ) при различных k > эквивалентны. Этим объясняется отсутствие параметра k в определении пространства.
Дадим описание функций из Bp (F ). Перед тем, как сформулировать результат, обозначим через Q единственный квазикуб из Fn-1, который содержит или совпадает с Q Fn. Пусть Q будет пустым множеством.
Кроме того, через PQ(f) обозначим многочлен наилучшего приближения функции f из пространства Pk в норме пространства Lp(Q).
Теорема 6. Функция f принадлежит пространству Bp (F ), k > > 0, 0 < p, тогда и только тогда, когда a) имеет место равенство f = (PQ(f) - PQ (f)) Q (сходимость в Lp);
QF b) конечна величина p 2n PQ(f) - PQ (f) p N1(f, F ) := + f L.
p Lp(Q) n=1 QFn Бесов О.В. Исследования одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения// Труды МИАН СССР. 1961. Т. 60. С. 42-81.
Кроме того, N1(f, F ) f B.
(F ) p Далее приводятся еще две эквивалентные перенормировки диадических B-пространств, которые полезны в приложении.
Теорема 7. Пусть k > > 0, 0 < , p . Следующие квазинормы эквивалентны квазинорме f B :
(F ) p 1) N2(f, F ) := 2n gn - gn-1 L, p n=где gn = gn(f) является элементом Pk(Fn) ближайшим к f в пространстве Lp. Положим g-1 0;
2) N3(f, F ) := inf 2n n - n-1 L, p n=здесь нижняя грань взята по всем представлениям f в виде ряда f = (n - n-1), n=где n Pk(Fn), -1 0.
Все приведенные выше квазинормы были описаны в терминах приближения в пространстве Lp. Оказывается, можно написать эквивалентную квазинорму, в которой функции будут приближаться в более широком пространстве Lr, 0 < r < p .
Теорема 8. Квазинорма функции f в пространстве Bp (F ) эквивалентна величине 1/ 1/p 2n |Q| - p r N4(f, F ) := Ek(f, Q)p + f L, r p n=0 QFn Здесь k > > 0, 0 < r p , 0 < .
Впервые аналогичный результат для классического пространства Бесова в случае p 1 другим методом получен Ю.А. Брудным12.
Позднее (теорема 18) будет приведена еще одна эквивалентная квазинорма, где приближение будет осуществляться в более узком пространстве Lq.
Брудный Ю.А. Пространства, определяемые с помощью локальных приближений (цит. выше).
Перейдем теперь к формулировке теорем вложения разных метрик.
Сформулируем наиболее сложно доказываемую теорему вложения на 1 ФпредельномФ показателе = d(p - ). Остальные теоремы вложения q получаются аналогично тому, как это сделано, например, в цитируемой выше монографии С.М. Никольского. Обозначим через Lq/Pk факторпространство Lq по Pk. Квазинорму в Lq/Pk зададим формулой f L /Pk := Ek(f, Q0)q.
q Так же можно ввести фактор-пространство Bp (F )/Pk с квазинормой f B := |f|B.
(F )/Pk (F ) p p 1 Теорема 9. Если = d -, 0 < p < q < , k > , то p q q Bp (F )/Pk Lq/Pk.
d Для случая =, q = можно получить следующий результат.
p d Теорема 10. Если =, k > , то p ,Bp (F )/Pk L/Pk.
Из теоремы 10 следует, что если p 1, то Bp (F )/Pk L/Pk.
Однако этот результат неверен для p > 1. В этом случае L/Pk нужно k заменить на более широкое почти диадическое пространство BMOs (F ).
По аналогии с тем, как это было сделано в цитируемой выше монограk фии Дж. Гарнета, определим почти диадическое пространство BMOs(F ), построенное по семейству F, как множество функций f из Ls, для которых величина Ek(f, Q)s |f|BMOk := sup (F ) s s QQ0,QF |Q| конечна.
d Теорема 11. Если 0 < p < s < , k >, то p d p k Bp (F )/Pk BMOs (F ).
Следующий раздел работы связан с K-функционалами и интерполяционными теоремами. Приведем здесь результат об интерполяции диагональных диадических B-пространств с различными показателями интегрируемости.
Теорема 12. При интерполяции вещественным методом имеет место равенство 0 1 Bp (F ), Bp (F ) = Bp (F );
0 1 p 1 1- здесь = (1 - )0 + 1, = +, 0 < 1, 0, 1 > 0, p p0 p0 < p0, p1 .
Для формулировки очередного результата введем понятие диадической производной. Пусть f Lp, 0 < p . Через n обозначим кусочнополиномиальную функцию из Pk(Fn). Тогда n = pQQ.
QFn Будем считать, что Dn := DpQQ.
QFn Пусть f Lp, 0 < p . Через gn = gn(f) обозначим кусочнополиномиальную функцию из Pk(Fn) такую, что f - gn L = distL (f, Pk(Fn)).
p p Отметим, что gn может быть не единственной функцией при 0 < p < 1.
Определение 2. Будем говорить, что функция f обладает F - диадической производной порядка , если существует такое k > ||, что последовательность Dgn(f) сходится относительно нормы пространства Lp и этот предел не зависит от выбора gn(f). Предел последова тельности Dgn(f) обозначим DF,kf.
Заметим, что F -диадическая производная функции f из Bp (F ) не зависит от k, если k > .
Теорема 13. Если f Bp (F ), то для любого k > существуют F -диадические производные DF,kf порядка , || < и |DF,kf|B (F ) c |f|B.
-||, (F ) p p В последнем результате главы 2 устанавливается связь между диадическими пространствами, построенными по разным специальным диадическим семействам.
Теорема 14. Если 0 <, то p Bp (F (x)) = Bp (F (y)).
Третья глава посвящена изучению аппроксимационных свойств диадических B-пространств. Для формулировки первого результата главы дадим определение класса приближающих функций.
n Определение 3. Будем говорить, что функция P Pk (F ), если существует разбиение куба Q0, состоящее из не более чем n квазикубов из F, такое, что на каждом Q из является многочленом из Pk.
n Таким образом, кусочно-полиномиальная функция из P Pk (F ) имеет вид m = pQ Q, i i i=m где квазикубы Qi F, Qi Qj = , (i = j) и Qi = Q0, m n.
i= 1 Теорема 15. Пусть f Bp (F ), = d - + r, r > 0 и p q 0 < p < q . Тогда для любого натурального n существует кусочноn полиномиальная функция n = n(f) из P Pk (F ), k > такая, что -|| d DF,k(f - n) q c n-( )|f|B ;
(F ) p здесь || < r и k > .
Впервые результат о нелинейной аппроксимации был получен в известной статье М.Ш. Бирмана и М.З. Соломяка13. В ней функции из простран ства Соболева-Слободецкого Wp (Q0), p 1 приближались функциями из 13 Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Кусочно-полиномиальные приближения функций классов Wp // Мат. сборник. 1967. Т. 73. № 3. С. 331-355.
n множества P Pk (D). Теорема 15 является аналогом результата М.Ш. Бирмана и М.З. Соломяка. Отметим, что в отличие от результата этой статьи сейчас одновременно можно приближать функцию и ее производные.
Для построения функции n используем адаптивный алгоритм приближения, который называют ФжаднымФ алгоритмом. Для этого с каждым квазикубом Q из F связываем некоторое число Q. Затем выбираем n квазикубов, которым соответствуют самые большие коэффициенты Q.
Однако выбранные квазикубы не всегда образуют разбиение Q0. Требуется дополнительная реконструкция, с помощью которой удается построить нужное разбиение.
Отметим, что ФжадныйФ алгоритм не работает на ФпредельномФ показателе. Существуют примеры показывающие, что построенные выше функ 1 ции n(f) не сходятся к f при = d -. Чтобы получить аппроксиp q мационную теорему на ФпредельномФ показателе, нужно расширить аппарат приближения.
Определение 4. Будем говорить, что функция s принадлежит n Pk (F ), если существует такой набор квазикубов {Q1,..., Qm} из F, m n, что m s = pQ Q ;
i i i=здесь pQ Pk.
i n В отличие от множества P Pk (F ) на расположение квазикубов {Q1,..., Qm} нет ограничений. Например, они могут быть вложены друг n n в друга. Очевидно, что P Pk (F ) Pk (F ).
Теорема 16. Если f Bp (F ), тогда существует кусочноn полиномиальная функция sn Pk (F ), k > такая, что d f - sn L c n- |f|B ;
(F ) q p 1 здесь = d -, 0 < p < q < и 0 < p 1, если q = . Если p q же q = и p > 1, то пространство Lq слева нужно заменить на k BMO1(F ).
Ключевой момент доказательства этой теоремы заключается в переходе от задачи об аппроксимации к задаче о функции заданной на дереве, порожденном почти диадическим семейством F.
Сформулируем теперь результат в некотором смысле обратный результату теоремы 16. Речь идет о неравенстве типа неравенства Бернштейна.
1 1 n Теорема 17. Пусть = d -. Если sn Pk (F ), то p q d |sn|B c n sn L ;
(F ) q p здесь 0 < p < q , k > .
d В случае =, q = теорему можно усилить, заменив L на более p k широкое пространство BMOp(F ).
При доказательстве теоремы 17 вновь используются комбинаторногеометрические свойства дерева, порожденного семейством F.
Объединяя предыдущие результаты, можно представить Bp (F ) как аппроксимационное пространство, используя нелинейное приближение в Lq или BMO(F ).
Напомним, (см., например, Я. Петре, Г. Спарр14), что аппроксимационное пространство E,(A, Lq), A = {An Lq, n = 1, 2,...} определяется как множество функций f Lq, для которых конечна величина d f E (A,Lq) = n en(f)q + f L, q n n=где en(f)q = distL (f, An).
q 1 Теорема 18. Пусть = d -, где 0 < p < q < или 0 < p < 1, p q q = . Тогда Bp (F ) = Ep(A(F ), Lq).
Кроме того, если 0 < p < , q = , то Bp (F ) = Ep(A(F ), BMO1(F ));
n здесь A(F ) = {Pk (F ), n = 1, 2...}.
Peetre J., Sparr G.// Interpolation of normed Abelian groups// Ann. Mat. Pura Appl. 1972. 92. № 4.
P. 217-262.
Такое описание играет существенную роль при доказательстве теорем вещественной интерполяции. Приведем результат, где интерполируются пространства с различными показателями интегрируемости.
1 Теорема 19. Пусть = d -, 0 < p < q < . Тогда p q Lq, Bp (F ) = Bs (F ).
s Если 0 < p < , q = , то 1 BMO1(F ), Bp (F ) = Bs (F );
s (1-) 1 здесь (0, 1), = , = +.
s p q Если 0 < p < 1, q = , то L, Bp (F ) = Bs (F );
s 1 здесь (p, 1), = , =.
s p Отметим, что подобная теорема есть и в классическом анализе. Например, в статье Я. Петре, И. Свенсона15 решен вопрос об интерполяции пространства BMO и пространства Никольского-Бесова Bp при p > 1.
Кроме того, из результатов статьи Ю.В. Нетрусова16 как следствие получается теорема об интерполяции пространства непрерывных функций и Bp при 0 < p < 1.
В финальной части третьей главы отмечается, что можно ввести диадические пространства и других гладких функций. В качестве примера приводятся диадические пространства Лизоркина-Трибеля L(F ).
p Перейдем к результатам четвертой главы, где показано, как техника кусочно-полиномиальных приближений работает в классическом анализе.
Начнем со свойств модуля непрерывности. Напомним, что модуль непрерывности k-ого порядка функции f в пространстве Lp определяется формулой k(f, t)p := sup kf L (Qkh), h p |h|t Peetre J., Svensson E. On the Generalized HardyТs inequality of Mcgehee, Pigno and Smith and the problem of interpolation between BMO and Besov Space// Math. Scand. 54. 1984. P. 221-241.
Нетрусов Ю.В. Нелинейная аппроксимация функций из пространства Бесова-Лоренца в равномерной метрике// Записки науч. семинара ЛОМИ. 1993. Т. 204. С. 61-81.
где Qkh = {x Q0 : x + jh Q0, j = 1,..., k}.
Если здесь верхнюю грань брать лишь по векторам коллинеарным оси (i) Oei, то получим определение частного модуля непрерывности k (f, t)p.
Обозначим d (i) wk(f, t)p := wk (f, t)p.
i=Следующая теорема дает описание модуля непрерывности в терминах кусочно-полиномиальных приближений, построенных по специальным диадическим разбиениям.
Теорема 20. Пусть f Lp, 0 < p , тогда wk(f, 2-n)p ek (f, Fn(x))p ;
x здесь суммирование идет по всем вершинам x куба Q0.
Для доказательства этого результата используется теорема об ФатомномФ разложении модуля непрерывности, доказанная Ю.А. Брудным17.
Применяя теорему 20, можно перенести свойства кусочнополиномиальных приближений, доказанные в первой главе, на свойства модуля непрерывности.
Теорема 21. Если f Lp, то:
q q 1 p q 1) k(f, 2-n)q c 2id( - )k(f, 2-i)p, i=n здесь 0 < p < q < ;
n p p m 2) k(f - PQ (f), 2-n)p c 2-nk 2ikm(f, 2-i)p, i=здесь k < m, p = min(1, p) и p > 0;
p 2n+ n 3) k(f, 2-n)p ek(f, U2 )p + 2-n ek (f, Ur)p, p r=2n+здесь, как и выше, Ur - равномерное разбиение Q0 на кубы с длиной ребра равной r-1 и 0 < p < .
Теорема о соотношении модуля непрерывности в различных метриках доказана, например, в статьях П.Л. Ульянова18, Я. Петре19, К.К. ГоловкиБрудный Ю.А. Адаптивная аппроксимация функций с особенностями (цит. выше).
Ульянов П.Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках// Мат. сборник. 1970. Т. 81, № 1. С. 104-131.
Peetre J. Espaces dТinterpolation et thorme de Soboleff// Ann. Inst. Fourier, 1966. Vol. 16.
P. 279 317.
на20, К. Герса21. Второй пункт теоремы 21 является обобщением одномерного неравенства Маршо (см., например, монографию А.Ф. Тимана22).
Следующий результат интересен тем, что он позволяет перейти от приближения кусочно-полиномиальными функциями к приближению сплайнами, не меняя порядок аппроксимации.
Напомним определение множества сплайнов степени не выше k - по каждой переменной, дефекта 1, подчиненных разбиению куба Q0.
Обозначим его Sk(), тогда Sk() := Pk() Ck-2(Q0);
здесь Ck-2(Q0) - пространство функций, имеющих на Q0 производные до порядка k - 2 включительно по каждой переменной.
Теорема 22. Для функции f из Lp, 0 < p и любого натуральn ного n найдется сплайн из пространства Sk(U2 (k-1)), k 2 такой, что f - sn p c ek(f, Fn(x))p;
x здесь суммирование идет по всем вершинам x куба Q0.
Следствие 2. Для функции f из Lp, p > 0 и любого натурального n n найдется сплайн из пространства Sk(U2 (k-1)), k 2 такой, что f - sn p c k(f, 2-n)p.
Этот результат впервые в одномерном случае получен Ю.А. Брудными обобщен автором на многомерную ситуацию [23]. Нужно еще отметить результат Р. Девора, В. Попова24, где на другом пути получен аналогичный результат.
Перейдем теперь к определению пространств Никольского-Бесова.
Напомним, что пространства Никольского-Бесова Bp (Rd), p 1, Головкин К.К. Об одном обобщении интерполяционной теоремы Марцинкевича// Тр. МИАН СССР. 1967. Т. 102. С. 5 28.
Herz С.S. Lipschitz spaces and Bernstein theorem of absolutely convergent Fourier transforms// J. Math, and Mech. 1968. Vol. 18. № 4. P. 283-323.
Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного// М. Физматгиз. 1960.
Брудный Ю.А. Кусочно-полиномиальная аппроксимация и локальные приближения// Докл. АН СССР. Т. 201. 1971. № 1. С. 16-Devore R.A., Popov V.A. Interpolation of Besov Spaces// Trans. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 305.
P. 397-414.
0 < , 1 < были введены и изучены О.В. Бесовым как обобщение пространств Никольского Hp (Rd), p 1 (Hp (Rd) = Bp (Rd)).
Эти пространства оказались очень полезными в приложениях. Основной областью их применения являются теория линейных и нелинейных уравнений в частных производных. Кроме того, пространства НикольскогоБесова играют важную роль в теории функциональных пространств. Так, например, О.В. Бесов25 дал полное решение задачи о точном описании пространства следов функций из пространства Соболева в терминах диагональных B-пространств.
Классические пространства Bp (Rd), p 1 определяются с помощью производных и разделенных разностей или, что равносильно, с помощью модуля непрерывности. Так как мы работаем с пространствами Никольского-Бесова не только при p 1, но и при 0 < p < 1, то есть две возможности определения этих пространств, которые при p 1 совпадают.
Первое определение, как и классическое, использует понятие модуля непрерывности. Второе определение, введенное Я. Петре26, основано на преобразовании Фурье обобщенных функций. Первое пространство обо (Rd). Пространство Bp (Rd), 0 < p < 1 созначим Bp (Rd), второе - Bp стоит только из интегрируемых функций, что позволяет использовать методы, основанные на интегральных представлениях. В случае шка лы пространств Bp (Rd) это уже невозможно, по крайней мере при 1 < d - 1, так как Bp (Rd) может содержать и неинтегрируемые p (Rd) вложено в Bp (Rd), а если функции. Как доказал Я. Петре, Bp > d - 1, то пространства совпадают.
p В работах автора [1], [24] (см. также монографию Х Трибеля27) изу чены свойства шкалы пространств Bp (Rd) при 0 < p < 1. Оказалось, что можно обобщить результаты О.В. Бесова об описании функций из Bp (Rd), p 1 c помощью целых функций и на случай 0 < p < 1. В дальнейшем мы будем использовать определение пространства НикольскогоБесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения// ДАН СССР. 1959. Т. 126. С. 1163-1165.
Peetre J. Remarques sur les espaces de Besov. Le cas 0 < p < 1//C.R. Acad. Sci. Paris. 1973. 277.
P. 947-949.
Трибель Х. Теория функциональных пространств// М. Мир. 1986.
Бесова, основанное на понятии модуля непрерывности.
Определение 5. Функция f из Lp, 0 < p принадлежит про странству Bp = Bp (Q0), если конечна величина 1/ |f|B = 2nwk(f, 2-n)p ;
p n=здесь 0 < k, 0 < .
Квазинорму, как обычно, определим формулой f B = |f|B + f L.
p p p В определении квазинормы сумму частных модулей непрерывности wk(f, t)p можно заменить на модуль непрерывности wk(f, t)p. При p это доказано, например, в цитированной выше монографии С.М. Никольского, а при 0 < p < 1 - в статье автора [26].
Приведем два результата о связи классических и диадических Bпространств.
Теорема 23. Пусть > 0, 0 < p, . Тогда Bp = Bp (F (x));
x где x пробегает множество всех вершин куба Q0.
Теорема 24. Если 0 <, то p Bp = Bp (F );
здесь F - это или специальное диадическое семейство F (x) или F = D.
Теорема 24 показывает, что если 0 <, то функцию из p пространства Bp можно описать в терминах приближения кусочнополиномиальными функциями, причем это описание не зависит от выбора почти диадического семейства. Это же свойство верно и для про странств Bp, , только приближать нужно будет не кусочноp полиномиальными функциями, а сплайнами.
Чтобы сформулировать соответствующий результат, обозначим для функции f через sk = sk(f) сплайн наилучшего приближения из проn n странства Sk(Fn), то есть f - sk L = distL (f, Sk(Fn)).
n p p Теорема 25. Функция f принадлежит Bp, 0 < p, , k > + тогда и только тогда, когда a) имеет место равенство f = (sk - sk ) (сходимость в Lp);
n n-n=здесь sk 0;
-б) конечна величина 2n f - sk L.
n p n=Кроме того, ||f||B 2n f - sk L.
n p p n=-Отметим, что похожая характеристика в одномерном случае при p > впервые была дана З. Чисельским28.
Теорема 25 в случае F = D доказана автором в [1], [24]. Независимо, но существенно позже, это утверждение было получено в цитированной выше статье Р. Девора, В. Попова.
Важным следствием теоремы 25 является ФатомноеФ разложение функ ций из Bp. Чтобы сформулировать соответствующий результат, выберем базис пространства Sk(Fn), состоящий из B-сплайнов.
Для этого продолжим разбиение Fn с куба Q0 на Rd. По получившемуся разбиению Fn(Rd) построим последовательность B-сплайнов, (см., например, монографию К. де Бора29 ). С каждым квазикубом Q из Fn(Rd) можно связать B-сплайн, который будем обозначать bk. Выберем только Q те bk, носители которых пересекают Q0. Таким образом, Q Fn = Q Fn(Rd) : supp bk Q0 = .
Q Тогда bk является базисом пространства Sk(Fn).
Q QFn Ciesielski Z. Constructive function theory and spline systems// Studia Math. 52. 1973. P. 277-302.
De Boor C. Practical Guide to Splines//Springer Verlag. New York. 1978.
Теорема 26. Функция f Bp, 0 < p, тогда и только тогда, когда существует такой набор чисел k : Q Fn, n = 0, 1..., k > +2, Q что а) имеет место равенство f = k bk (сходимость в Lp); (2) Q Q n=0 QFn б) конечна величина p 1 |Q| - |k | p p d N(f) :=.
Q n=1 QFn При этом |f|B inf N(f), p где нижняя грань берется по всем представлениям (2).
Теорема 26 была доказана автором в [25] в случае Bp и F = D. Для пространства Bp и F = D результат был получен в упоминавшейся ранее статье Р. Девора, В. Попова.
Теорема об ФатомномФ разложении функций играет ключевую роль для доказательства теорем нелинейной аппроксимации с помощью сплайнов.
Так же, как в диадических пространствах, рассмотрим два варианта аппроксимационных теорем:
а) функции из Bp приближаются в пространстве Lq, где 1 = d - + r, r > 0;
p q б) функции из Bp приближаются в пространстве Lq, где 1 = d -.
p q Из вложения пространства Bp в Bp (F ) следует, что при = 0 резуль тат теоремы 15 верен и для функций из Bp. Однако несколько изменив доказательство, можно получить более сильный результат, в котором приближение будет осуществляться нелинейными сплайнами из множества n n SSk := P Pk (D) Ck-2(Q0).
1 Теорема 27. Пусть f Bp, = d - + r, r > 0 и p q n 0 < p < q . Тогда для любого n существует сплайн n из SSk такой, что -+|| d D(f - n) L c n |f|B, q p здесь || < r и k > + 2.
Отметим, что теорема 27 не является следствием соответствующей теоремы для диадического пространства Никольского-Бесова, однако доказательства этих теорем идут по одной схеме.
Коротко обсудим некоторые предшествующие теореме 27 результаты. Как отмечалось ранее, основополагающей здесь явилась работа М.Ш. Бирмана и М.З. Соломяка. В ней предложен нелинейный алгоритм, сопоставляющий каждой функции из пространства Соболева n Слободецкого Wp (Q0) кусочно-полиномиальную функцию n P Pk (D), такую, что d f - n L = O(n- );
q 1 здесь > d -, p 1.
p q Получение аналогичных результатов для случая нелинейной сплайнаппроксимации потребовало нового подхода. Такой подход был развит в частном случае в работе В.Е. Майорова30, а затем в работе К.И. Осколкова31. В полной общности этот подход развит в работе автора [25], где получена теорема 27. Отметим еще работу П. Освальда32, где функции 1 из Bp приближаются в пространстве Bq, = d - + r, 0 < r, p q 0 < . Метод, примененный при доказательстве теоремы 27, позволяет получить и результат П. Освальда.
1 Ситуация еще более усложняется в случае = d -. Если бы p q теорема 27 была верна на ФпредельномФ показателе, то, как отмечается в работе М.Ш. Бирмана и М.З. Соломяка, отсюда следовало бы, что есть компактное вложение Bp Lq. Известно, однако, что это вложение не является компактным. Смена аппарата приближения и совершенно иной подход позволили получить результат в данной ситуации.
30 r Майоров В.Е. О наилучшем приближении классов W1 (Is) в пространстве L(Is)//Мат. заметки.
1976. Т. 19. № 5. С. 699-706.
Осколков К.И. Полигональная аппроксимация функций двух переменных// Мат. сборник. 1978.
Т. 107. № 4. С. 73-86.
Oswald P. On the degree for nonlinear spline approximation in Besov-Sobolev spaces// J. Approxim.
Theory. 1990. 61. P. 131-157.
Для формулировки следующей теоремы по аналогии с множеством n кусочно-полиномиальных функций Pk (F ) введем множество сплайнов со n свободными узлами Sk (F ):
n n Sk (F ) := Pk (F ) Ck-2(Q0).
1 Теорема 28. Пусть = d -, 0 < p < q < и p q 0 < p 1 при q = . Если f Bp, тогда для любого n N n существует функция sn Sk (D) такая, что 1 q f - sn L c n- + |f|B;
q p здесь k > + 2, k-нечетное число.
Сделаем несколько замечаний по поводу доказательства теоремы 28.
1 Если доказательства прямых теорем при > d - в диадическом p q и классическом случае почти не различались, то перенести доказательство теоремы 16 на классический случай сложнее. Это объясняется тем, что носители B-сплайнов (см. теорему 26) не образуют почти диадического семейства. Поэтому сначала исходную функцию нужно представить в виде суммы kd функций fi так, что в определении fi участвуют только B-сплайны, носители которых образуют почти диадическое семейство.
Это можно сделать, если k - нечетное число. Затем к каждой функции fi применить несколько видоизмененный алгоритм из теоремы 16.
Отметим результаты о приближении функции из диагонального про странства Bp. Впервые теорема 28 о приближении сплайнами со свободными узлами на ФпредельномФ показателе в одномерном случае была получена Ю.А. Брудным33. Позднее аналогичный результат доказал П. Петрушев34. Многомерный случай анонсирован в работе Ю.А. Брудного, И.П. Иродовой [27] (более подробное доказательство см. в [2]). Независимо этот же результат другим методом в случае приближения линейными комбинациями характеристических функций был получен Р. Девором, Брудный Ю.А. Рациональная аппроксимация и теорема вложения//ДАН СССР. 1979. № 247.
Вып. 2. С. 269-272.
Petruschev P.P. Direct and converse theorems for spline and rational approximation and Besov spaces// Function Spaces and Applications Lund. 1986. Lecture Notes in Math. Vol. 1302. Springer Verlag. Berlin. 1988. P. 363-377.
В. Поповым35, вейвлет-аппроксимация при 0 < p < q < рассмотрена в статье Р. Девора, Б. Яверса, В. Попова36, случай q = изучен в статье Р. Девора, П. Петрушева, Х. Ю37.
Заметим, что теорема 28 доказана и для недиагонального случая, который не был рассмотрен в указанных выше работах.
Теперь приведем неравенство типа неравенства Бернштейна для сплайнов со свободными узлами в многомерном случае. Впервые такое неравенство в одномерной ситуации доказано Ю.А. Брудным.
1 1 n Теорема 29. Пусть = d -, d > 1. Если sn Sk (D), k > +2, p q то d sn B c n sn q;
p здесь 1 < p < q .
Если q = , p > 1, то результат можно усилить, заменив Lq на более широкое пространство BMO. Напомним, что BMO отличается от BMO1(F ) тем, что верхняя грань берется по всем кубам Q из Q0 (а не по Q F ).
Для доказательства теоремы 29 используется неравенство типа неравенства Бернштейна для диадических пространств (теорема 17), свойство функций из Bp и интерполяционная техника.
Если sn - линейная комбинация характеристических функций и 0 <, то теорема 29 доказана Р. Девором, В. Поповым38. В стаp тье Ронг-Кинга Джи39, а также в цитированных выше статьях Р. Девора, Б. Яверса, В. Попова и Р. Девора, П. Петрушева, Х. Ю. приведено доказательство аналогичного неравенства, но для другого аппарата приближения, когда sn является линейной комбинацией n вейвлет с компактными носителями.
Devore R.A., Popov V.A. Free multivariate splines// Constr. Approx. Vol. 3. 1987. P. 239-248.
Devore R. A., Jawerth B., Popov V.A. Compression of wavelet decompositions// Amer. J. Math. 1992.
Vol. 114. P. 737-785.
Devore R.A., Petruschev P.P., Yu X.M. Nonlinear wavelet approximation in the space C(Rd)// Progress in Approximation Theory (Tampa, FL. 1990), Springer Ser. Comput. Math. Vol. 19. Springer.
New York. 1992. P. 261-283.
Devore R.A., Popov V.A. Free multivariate splines (цит. выше).
Rong-Qing Jia A Bernstein-Type Inequality Associated with Wavelet Decomposition// Constr.
Approx. 1993. Vol. 9. P. 299-318.
Объединение прямых и обратных теорем (теоремы 28, 29) с приме нением интерполяционной техники позволяет получить описание Bp в терминах приближения сплайнами со свободными узлами в пространстве Lq.
1 Теорема 30. Пусть = d -, d > 1. Тогда существует такое p q k > + 2, что Ep(A, Lq), 1 < p < q < ;
Bp = Ep(A, BMO), p > 1, q = ;
n здесь A = {Sk (D), n N}.
Впервые теорема 30 в одномерном случае была получена Ю.А. Брудным. Многомерный случай приближения характеристическими функциями рассмотрен Р. Девором, В. Поповым. В статьях Р. Девора, Б. Яверса В. Попова и Р. Девора, П. Петрушева, Х. Ю дано аналогичное описание пространства Bp в терминах приближений в Lq с помощью вейвлет.
Другими возможными приложениями теории диадических пространств могут служить теоремы вложения разных метрик и теоремы о K-функционалах.
Прежде всего отметим, что если выполняется теорема вложения для диадических пространств, то соответствующая теорема верна и для классических пространств. Это объясняется тем, что классическое пространство является пересечением 2d диадических пространств. Таким образом, результаты теорем 9-11 переносятся и на случай классических пространств, давая тем самым другой способ доказательства теорем вложения.
Приведем теперь результат о связи между K-функционалами, построенными по парам диадических и классических пространств.
Теорема 31. Равномерно по f имеет место эквивалентность K(f, t, B0, B1) K(f, t, B0(x), B1(x));
x jj здесь суммирование идет по всем вершинам x куба Q0, и Bj = Bp, jj Bj(x) = Bp (F (x)), j = 0, 1.
Вычисление K-функционала пары (B0(x), B1(x)) не является сложной задачей. Сохраняя обозначения теоремы 31, получим Следствие 3. Пусть 1 > 0 > 0, тогда 1 K(f, 2-n( -0), B0, B1) 2i i + i=n n 1 + 2-n( -0) 2i i + f p ;
i=здесь i := k(f, 2-i)p, k > 1 + 2.
В случае 0 = 0 пространство B0 нужно заменить на Lp и справа исключить первое слагаемое.
Ранее для вычисления K-функционала пары B-пространств использовалась теорема реитерации (см., например, Й. Берг, Й. Лефстрем40).
Продолжим вычисление K-функционалов. Сейчас мы рассмотрим паk k ру (Lp, p ). Дадим определение пространства p. Пусть k = k - 1+.
p k Определение 6. Пространство p состоит из тех f Lp, 0 < p < , для которых величина |f| = sup 2nk k(f, 2-n)p k p n конечна.
При 1 < p < это пространство совпадает с однородным пространством Соболева.
Теорема 32. Пусть 0 < p , тогда k K(f, 2-jk, Lp, p ) k(f, 2-j)p.
k Точный порядок K-функционала пары (Lp, p ) при p 1 получен Я. Петре41. В случае 0 < p < 1 предложенный им метод не пригоден, так как функции из Lp при 0 < p < 1 не интегрируемы. Случай 0 < p < рассмотрен автором в [23]. При доказательстве теоремы 32 для оценки Берг Й., Лёфстрем Й. Интерполяционные пространства// М. Мир. 1980.
Peetre J. Thoughts on Besov spaces// Lecture notes. Lund. 1966.
K-функционала в случае p > 0 предложен новый подход, использующий технику диадических пространств.
В заключение дадим еще одно описание пространства Bp в терминах локальных приближений, полученное с помощью перехода к диадическим B-пространствам. В отличие от предыдущих описаний кубы, с помощью которых строятся приближения, группируются не по размерам, а по наличию общего центра. Такое описание позволяет сравнить пространства Никольского-Бесова и пространства бесселевых потенциалов.
Для формулировки соответствующего результата обозначим через Qxt куб с центром в точке x, размер ребра которого равен t, а через Qxt - его пересечение с Q0.
Теорема 33. Пусть > 0, k > , 0 < r p < . Тогда f Lp принадлежит Bp тогда и только тогда, когда функция 1 p dt p d r f() = t-- Ek(f, Qt)r t принадлежит Lp. Кроме того, |f|B f L + Ek(f, Q0)r.
p p Отметим, что похожий результат для пространств бесселевых потенциалов получен в статье Ж. Доронсоро42.
В заключение автор выражает искреннюю благодарность профессору Ю.А. Брудному за полезные обсуждения изложенных выше результатов.
Dorronsoro J.R. A characterization of Potential Spaces// Amer.Math.Soc.1985. Vol. 95. № 1. P. 21-31.
Публикации по теме диссертации Статьи в научных журналах из списка ВАК 1. Иродова И.П. О свойствах шкалы пространств Bp при 0 < p < 1// Докл. АН СССР. 1980. Т. 250, № 2. С. 273-275.
2. Брудный Ю.А., Иродова И.П. Нелинейная сплайн-аппроксимация и B-пространства// Алгебра и анализ. 1992. Т. 4, № 6. С. 45-79.
3. Иродова И.П. О неравенствах Джексона и Бернштейна для диадических пространств Бесова// Известия Тульского Государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Тула. 1998. Т. 4.
Вып. 1. C. 83-86.
4. Иродова И.П. Диадические пространства Бесова// Алгебра и анализ.
2000. Т. 12. Вып. 3. С. 40-80.
5. Иродова И.П. Об описании модуля непрерывности в терминах кусочно-полиномиальной аппроксимации// Известия Тульского Государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика.
Тула. 2005. Т. 11. Вып. 1. С. 148-155.
6. Иродова И.П. О вычислении K-функционала пары B-пространств// Известия Тульского Государственного университета. Серия Математика.
Механика. Информатика. Тула. 2006. Т. 12. Вып. 1. С. 109-123.
7. Иродова И.П. О диадических пространствах Никольского-Бесова и их связи с классическими пространствами// Мат. заметки. Т. 83. Вып. 5.
2008. С. 683-696.
8. Иродова И.П. О неравенстве типа неравенства Бернштейна// Моделирование и анализ информационных систем. 2008. Т. 15, № 4. С. 31-41.
9. Иродова И.П. Диадические производные и их свойства// Известия Тульского Государственного университета. Серия естественных наук. Тула. 2008. Вып. 1. С. 29-36.
10. Иродова И.П. О вычислении К-функционалов// Алгебра и анализ.
2009. Т. 21, № 4. С. 95-125.
11. Иродова И.П. О неравенстве типа неравенства Джексона в диадическом пространстве ВМО// Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, № 3. С. 29-46.
Тезисы международных конференций 12. Иродова И.П. Диадические пространства Бесова// Тезисы Международной конференции по теории приближений, посвященной памяти профессора П.П. Коровкина. Калуга. 1996. Т. 1. С. 26.
13. Иродова И.П. О некоторых свойствах диадических пространств Бесова// Тезисы Международной конференции ФФункциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образованияФ, посвященной 75-летию Л.Д. Кудрявцева. Москва. 1998. С. 30.
14. Иродова И.П. Неравенства Джексона и Бернштейна для диадических пространств Бесова// Тезисы Международной конференции ФТеория приближений и гармонический анализФ. Тула. 1998. С. 121-122.
15. Иродова И.П. Неравенство Джексона для диадических недиагональных пространств Бесова// Abstract of international conference ФOptimization of finite element approximation, splines and waveletsФ. St.
Petersburg. 2001. С. 138-139.
16. Irodova I.P. On the connection between the dyadic Besov spaces// Abstract of international conference ФWavelets and splinesФ. St. Petersburg.
2003. P. 49-50.
17. Иродова И.П. О диадических пространствах Никольского-Бесова// Тезисы Международной конференции ФФункциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализФ, посвященной столетию С.М. Никольского. Москва. 2005. С. 115.
18. Иродова И.П. О некоторых свойствах кусочно-полиномиальной аппроксимации// Тезисы Международной конференции ФМатематика. Экономика. Образование Ф. Ростов-на-Дону. 2005. С. 73-74.
19. Иродова И.П. О неравенстве Бернштейна// Тезисы Международной конференции ФФункциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образованияФ, посвященной 85-летию Л.Д. Кудрявцева. Москва. 2008. С. 138-140.
20. Irodova I.P. On the connection between the continuity module with piecewise - polynomial approximations// Abstract of international conference ФWavelets and applicationsФ St. Petersburg. 2009. P. 24-25.
21. Иродова И.П. О приближении кусочно-полиномиальными функциями// Тезисы ХI Международной конференции ФСовременные проблемы математики, механики, информатикиФ. Тула. 2009. С. 55-57.
22. Иродова И.П. О приближении в диадическом пространстве BMO// Тезисы Международной конференции ФТеория приближенийФ. СанктПетербург. 2010. С. 41-43.
Прочие публикации 23. Иродова И.П. Свойства функций, заданных скоростью убывания кусочно-полиномиальной аппроксимации// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. ЯрГУ, Ярославль. 1980. C.
92-117.
24. Иродова И.П. О свойствах шкалы пространств Bp при 0 < p < 1// Исследования по теории функций многих вещественных переменных.
ЯрГУ, Ярославль. 1982. C. 57-79.
25. Иродова И.П. Совместное приближение функции и ее производных в Lp ([0, 1]n) с помощью нелинейных сплайнов// Ярославль. 1982. C. 23.
Рукопись представлена ЯрГУ. Деп. в ВИНИТИ 15 марта 1982, № 1135-82.
C. 1-23.
26. Иродова И.П. Обобщение неравенства Маршо// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. ЯрГУ, Ярославль.
1984. С. 64-70.
27. Брудный Ю.А., Иродова И.П. Нелинейная сплайн-аппроксимация и B-пространства// Труды Международной конференции по теории приближений. Киев. 1983. М: Наука. 1987. С. 71-75.
28. Иродова И.П. Некоторые свойства диадических пространств Бесова// Труды Международной конференции ФФункциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы мат. образованияФ.
Москва. РУДН, Т. 1. 1998. С. 78-81.
Иродова И.П.
Методы кусочно-полиномиальной аппроксимации в теории пространств Никольского-Бесова Аннотация В настоящей работе предложен новый подход к изучению пространств Никольского-Бесова, который состоит из двух этапов. На первом этапе мы вводим и детально изучаем свойства диадических аналогов пространств Никольского-Бесова, которые определяются с помощью кусочно-полиномиальной аппроксимации на подмножестве почти диадических кубов. Доказаны теоремы вложения, интерполяционные теоремы, теоремы о нелинейной аппроксимации кусочно-полиномиальными функциями и неравенство типа неравенства Бернштейна. Благодаря более простой структуре диадических пространств наряду с классическими методами применяются и комбинаторные алгоритмы.
На втором этапе изучается связь между диадическими и классическими пространствами и на этой основе доказывается ряд известных и новых результатов для классических пространств. Исследуются различные перенормировки пространств, доказываются теоремы вложения разных метрик, теоремы о нелинейной аппроксимации сплайнами, дается характеристика пространства Никольского-Бесова в терминах нелинейной аппроксимации сплайнами.
Irodova I.P.
Piecewise approximation methods in the theory of Nikolskij-Besov spaces Absract In this work we propose a new approach to study Nikolskij-Besov spaces, which consists of two stages. In the first stage, we introduce and study in detail the properties of dyadic analogues of Nikolskij-Besov spaces, which are defined with the help of piecewise-polynomial approximations on a subset of almost dyadic cubes. We also prove embedding theorems, interpolation theorems, the Bernstein type inequality and theorems of nonlinear approximation by piecewise-polynomial functions. Because of the simpler structure of dyadic spaces, we use combinatorial algorithms along with>
In the second stage, we study the connection between dyadic and>