Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям
На правах рукописи
Зубов Афанасий Владимирович
Методы качественного анализа систем
управления и стабилизации
Специальность 05.13.01 Ц системный анализ,
управление и обработка информации
(промышленность)
А в т о р е ф е р а т
диссертации на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук
Москва 2009
Работа выполнена на кафедре математической теории микропроцессорных
систем управления Санкт-Петербургского государственного университета
Официальные оппоненты:
Доктор физико-математических наук,
профессор Гребеников Е.А.
Доктор физико-математических наук,
профессор Бутусов О.Б.
Доктор физико-математических наук,
профессор Гусятников П.Б.
Ведущая организация: Учреждение Российской Академии Наук
Институт Автоматизации Проектирования РАН
Защита диссертации состоится 2010 г. в часов на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д002.017.03 при Учреждении Российской академии наук Вычислительном Центре им. А.А. Дородницына РАН по адресу: 119333, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40 в конференц-зале.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра им.аА.А.аДородницына РАН.
Автореферат разослан л______________ 2010 г.
Ученый секретарь совета по защите докторских
и кандидатских диссертаций
к. ф.-м.н. Мухин А.В.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Развитие современного промышленного производства невозможно без широкого использования систем автоматического управления и наблюдения, позволяющих значительно повысить его эффективность и обеспечить конкурентоспособность отечественных отраслей промышленности. В настоящее время разработка новых методов анализа систем управления и наблюдения, а также изучение динамики их функционирования обусловлено широким кругом прикладных задач, среди которых основными являются задачи управления сложными техническими объектами и технологическими процессами, а также бурным развитием компьютерной техники. Появляющиеся все новые возможности использования компьютеров, развитие их аппаратной части и программного обеспечения, систем сбора данных на базе микропроцессоров позволяют математикам при создании систем упра вления и наблюдения пересматривать существующие и создавать новые, имеющие большую практическую направленность аналитические, качественные и численные методы исследования этих систем, включающие не только построение законов управления в этих системах, но и качественный анализ поведения управляемых объектов при использовании различных законов управления.
Эти методы с одной стороны, позволяют еще на этапе создания систем управления и наблюдения решать вопросы их структурной оптимизации, а с другой, дают возможность более точного прогнозирования динамики функционирования этих систем, при использовании различных законов управления и тем самым определять границы их динамической безопасности.
Решение задач структурной оптимизации систем управления и наблюдения ещё на этапе их разработки крайне важно для промышленного производства в целом, так как позволяет сократить затраты на их создание и эксплуатацию. С другой стороны не менее важной задачей, в частности для систем стабилизации, является задача построения для этих систем законов управления обладающих такими требуемыми качествами как: точность и помехоустойчивость.
Для описания динамики функционирования управляемых систем обычно используются системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому для решения задач создания новых эффекти вных систем управления и наблюдения различными технологическими комплексами и т ехническими объектами, необходимо развивать методы исследования линейных и нелинейных систем дифференциальных уравнений, описывающих эту динамику.
Представленная работа посвящена развитию математических методов, позволяющих осуществлять общий и прикладной анализ систем управления и наблюдения, включающий не только структурный анализ этих систем, но и построение законов управления в этих системах, обладающих требуемыми качествами.
Качественные и аналитические методы исследования систем управления динамическими объектами были развиты в трудах зарубежных и российских математиков, начиная с Д.К. Максвелла, И.А. Вышнеградского, Р.Е. Калмана, Н.Н.аКрасовского, Я.З. Цыпкина, Е.П. Попова, А.М. Летова, В.И.аЗубова, А.А. Воронова, Ф.Л., С.В. Емельянова, Р. Габасова, Ф.М. Кириловой, Р. Беллмана, Ж.П. Ла-Салля и многих других, а также научных школ, созданных ими.
Разработке и созданию методов анализа систем управления и их динамики в последнее время посвящено большое число научных работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как С.Н. Васильев, П.С. Краснощеков, Ю.Г. Евтушенко, Ю. И. Журавлев, Ф.Л. Черноусько, Е.А. Федосов, А.Б. Куржанский, Ю.С. Попков, Б.Т. Поляк, А.И. Егоров, В.Н. Афанасьев, Н.П. Петров, В.Р. Носов, В.Б. Колмановский и многим другим.
Целью диссертационного исследования является развитие математиченских методов качественного анализа систем управления динамическими объектами. Данное исследование включает в себя как решение задач структурной оптимизации систем управления и наблюдения, так и задач построения программных управлений в импульсных и релейно-импульсных системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, а также разработку способов аналитического конструирования законов прямого и непрямого регулирования в системах стабилизации, содержащих петлю гистерезиса и обладающих заданной точностью и помехоустойчивостью.
Областью исследования являются математические модели динамических объектов, представляющие собой линейные и нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которые являются основой при создании и эксплуатации систем управления и наблюдения в промышленности.
Методы исследований. В работе применяются как классические методы исследования систем управления и наблюдения, так и методы качественной теории дифференциальных уравнений. Кроме того, используются методы теории устойчивости, математического анализа, линейной и высшей алгебры.
Достоверность и обоснованность полученных результатов основана на известных достижениях в рассматриваемой области, корректности постановок задач, строгом использовании методов качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, линейной и высшей алгебры. Все полученные результаты имеют строгие доказательства и подтверждены при использовании в конкретных разработках.
Научная новизна. В диссертации впервые дано конструктивное решение задачи структурной оптимизации для стационарных систем управления и наблюдения. При решении задач построения программных управлений в импульсных и релейно-импульсных системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, получены новые результаты, позволяющие найти управления дающие решение поставленной задачи, а также предложены новые способы конструирования законов прямого и непрямого регулирования стабилизации программных движений, содержащих петлю гистерезиса в этих законах управления и обладающих заданной точностью и помехоустойчивостью. Эти результаты вносят существенный вклад в развитие фундаментальных и прикладных методов системного анализа, как самих систем управления, так и законов управления в этих системах. Так как с одной стороны они дают возможность создавать системы управления (наблюдения), обладающие минимальным числом входов (выходов) или определять избыточность уже существующих систем, а с другой для импульсных и релейных систем управления и стабилизации предлагают способы построения законов управления этими системами обладающими требуемыми качествами.
Практическая полезность. На основе результатов полученных в диссертации созданы новые критерии и методы структурной оптимизации систем управления (наблюдения) дающих возможность конструировать системы управления (наблюдения), обладающие минимальным числом входов (выходов) или определять избыточность уже существующих систем управления (наблюдения). Это дает возможность значительно снизить затраты материальных ресурсов и времени на отработку вновь создаваемых, актуальных сиснтем управления и наблюдения. Результаты, полученные в диссертации, позволяют для релейно-импульсных систем, удовлетворяющих краевым условиям удерживающего и неудерживающего типа, находить программные управления и отвечающие им движения. Для систем стабилизации в механических системах с конечным числом степеней свободы результаты, полученные в диссертации, дают возможность исследовать качественные характеристики этих систем стабилизации при использовании в них законов прямого и непрямого регулирования содержащих петлю гистерезиса. При этом возникает возможность строить более эффективные системы стабилизации, так как рассматриваемые в работе законы прямого и непрямого регулирования при соответствующем выборе их параметров будут обладать заданной точностью и помехоустойчивостью. Кроме этого, отдельные теоретические результаты, полученные в диссертации, являются существенным вкладом в общую теорию автоколебательных динамических процессов в системах управления. Результаты работы использованы при разработке новых спецкурсов по теории управления.
Реализация результатов. Результаты диссертации использованы в научно-производственном объединении Машиностроение при разработке систем управления и стабилизации технических изделий специального назначения, а также в научно - исследовательских работах, проводящихся Санкт-Петербургском государственном университете. По результатам диссертации планируется издание нескольких учебных пособий и научно - методических работ, пять из которых уже вышли из печати.
ичный вклад автора в проведенные исследования. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично автором. Построен алгоритм, позволяющий для рассматриваемой открытой системы находить системы управления (наблюдения) обладающие минимальной структурой. Предложены методы позволяющие найти программные управления в импульсных и релейно-импульсных системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям. Получены новые способы конструирования законов прямого и непрямого регулирования стабилизации программных движений, содержащие петлю гистерезиса и обладающих заданной точностью и помехоустойчивостью.
Апробация работы. По основным результатам диссертационного исследования автором были сделаны доклады на 12 международных и всероссийских научных конференциях, проходивших в Москве, Санкт-Петербурге, Польше, Казани, Саранске, Гомеле, Могилеве, Гродно, Ярославле, Ижевске, Бресте, Минске. Результаты диссертации обсуждались также на научных семинарах Санкт-Петербургского госуниверситета, Вычислительного центра РАН, Московского физико-технического института, Института проблем управления РАН, а также на семинарах Института системного анализа РАН.
Публикации. По теме диссертации А.В. Зубовым опубликовано более 50 научных работ объемом более 80 п.л., среди которых 24 работы вышли в изданиях рекомендованных перечнем ВАК для публикации результатов по докторским диссертациям, объемом 10 п.л. Также опубликовано 5 учебных пособий и одна монография, объемом 60 п.л. В работах опубликованных с соавторами диссертанту принадлежит не менее 50 % материала.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Главы состоят из разделов. В каждой главе используется своя автономная нумерация формул и теорем. Объем диссертации - 227 страниц. Список литературы содержит 103 наименования.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
Разработаны конструктивные критерии и методы структурной оптимизации стационарных систем управления, наблюдения и линейной стабилизации.
Для линейных систем, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, установлены критерии существования и предложены аналитические методы построения импульсных и релейно-импульсных управлений и отвечающих им движений.
Для квазилинейных систем, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, доказаны достаточные условия существования и предложены итерационные методы построения импульсных управлений и отвечающих им движений.
Для систем стабилизации в механических системах с конечным числом степеней свободы предложено семейство законов прямого и непрямого регулирования, содержащих петлю гистерезиса, причем эти системы стабилизации обладают следующими свойствами:
- обеспечивают стабилизацию программных движений в рассматриваемых системах, как при отсутствии возмущений, так и при их наличии, причем при использовании законов из этого семейства можно увеличивать точность стабилизации путем изменения параметров в этих законах, т.к. она напрямую зависит от величины зоны гистерезиса и коэффициентов усиления в предложенных законах;
- обеспечивают стабилизацию кинематических траекторий в этих системах, причем точность стабилизации можно увеличивать путем изменения параметров законов из этого семейства, т.к. она также напрямую зависит от величины зоны гистерезиса и коэффициентов усиления в предложенных законах;
- при стационарных, постоянно действующих возмущениях в этих системах стабилизации, возникают стабильные периодические или почти периодические колебания, расположенные в достаточно малой окрестности расчетного режима, причем характер этих колебаний зависит от арифметических свойств компонент возмущения.
Краткое содержание диссертации
Во введении диссертации приведена общая характеристика работы, включающая актуальность темы исследования, ее цель, методы и область исследования, достоверность, научную новизну, практическую значимость, реанлизацию результатов, полученных в работе. Также во введении приведено краткое содержание диссертации и даны сведения о ее апробации.
В первой главе, которая носит обзорно-аналитический характер и содержит описание способов представления скалярных и векторных управлений в виде разложения по некоторой системе базовых функций, исследуются вопросы существования и единственности этих представлений. Приведены необходимые и достаточные условия линейной независимости скалярных и векторных функций и рассмотрены некоторые системы таких функций. Подробно рассмотрен случай, когда разложение программного управления по некоторой системе базовых функций не единственно.
Во второй главе для линейных стационарных управляемых систем решена актуальная задача определения минимального числа управляющих воздействий, при которых открытую систему можно сделать полностью управляемой. Этот результат позволяет найти всю совокупность систем управления, при которых имеет место полная управляемость и обладающих при этом минимальной размерностью. В отличие от критерия Калмана предлагаемый подход позволяет рассматривать задачу полной управляемости еще на этапе создания управляемой системы. Кроме того, предлагаемый подход позволяет оценить избыточность систем управления. Полученный результат, редуцирован на линейные стационарные системы наблюдения, т.к. задача управляемости и наблюдаемости для линейных стационарных систем являются двойственными. Таким образом, в работе также решена задача структурной оптимизации систем наблюдения. Также решена задача структурной оптимизации систем управления стабилизирующих программное движение по линейному закону.
В первом параграфе решена важная задача структурной оптимизации систем управления. Поставлена задача поиска минимального числа управляющих воздействий, при которых открытая система
(2.1)
может быть сделана полностью управляемой, путем выбора соответствующей матрицы полного ранга, т.е. задачу оптимизации структуры системы управления, при которой замкнутая система
, (2.2)
будет полностью управляемой. Задачи подобного рода возникают как при синтезе систем управления, так и на этапе их создания.
Введено определение.
Определение 1. Назовем характеристикой полной управляемости системы (2.1) ((2.2)) минимальное число управляющих воздействий такое, что для открытой системы (2.1) можно выбрать матрицу размера полного ранга, при которой замкнутая система (2.2) будет полностью управляемой. Иногда, для краткости, будем говорить о характеристике полной управляемости матрицы .
Доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. (Алгоритм оптимизации). Если ввести величину , где - число линейно независимых собственных векторов соответствующих различным собственным числам матрицы , то всегда можно выбрать линейно независимых векторов , являющихся столбцами матрицы так, что система (2.2) будет полностью управляемой.
Теорема 2. Если ранг матрицы меньше величины , где - число линейно независимых собственных векторов соответствующих различным собственным числам матрицы , то система (2.2) не является полностью управляемой.
Замечание. Из теорем 1 и 2 вытекает, что характеристика полной управляемости матрицы равна величине , где - число линейно независимых собственных векторов соответствующих различным собственным числам матрицы ,
Следствие. Если характеристический многочлен матрицы совпадает с его минимальным многочленом, то система (2.1) может быть сделана полностью управляемой с помощью скалярного управления.
Во втором параграфе решена задача структурной оптимизации систем наблюдения. Поставлена задача поиска минимального числа выходов, при которых открытая система может быть сделана наблюдаемой путем выбора соответствующей матрицы размера полного ранга, т.е. задачу структурной оптимизации системы наблюдения
, (2.3)
где вектор наблюдений (выходы системы).
Введено определение.
Определение 2. Назовем характеристикой наблюдаемости системы (2.3) минимальное число выходов, при которых открытая система может быть сделана наблюдаемой путем выбора соответствующей матрицы размера полного ранга. Иногда, для краткости, будем говорить о характеристике наблюдаемости матрицы .
Доказаны следующие теоремы.
Теорема 3. (Алгоритм оптимизации). Если характеристика полной управляемости матрицы равна , то всегда можно выбрать линейно независимых векторов , являющихся строками матрицы так, что система (2.3) будет наблюдаемой.
Теорема 4. Если ранг матрицы меньше характеристики полной управляемости матрицы , то система (2.3) не является наблюдаемой.
Следствие. Если характеристический многочлен матрицы совпадает с его минимальным многочленом, то система (2.1) может быть сделана наблюдаемой с помощью скалярной системы наблюдения.
Замечание. Из теорем 3 и 4 вытекает, что характеристика полной управляемости матрицы совпадает с характеристикой ее наблюдаемости.
В третьем параграфе решена задача структурной оптимизации систем линейной стабилизации. Поставлена задача поиска минимального числа управляющих воздействий, при которых для открытой системы (2.1) можно построить матрицу ранга , такую что, при выборе соответствующего линейного закона управления относительно фазовых переменных тривиальное решение системы
(2.4)
было асимптотически устойчивым, т.е. чтобы все собственные числа матрицы лежали в левой полуплоскости.
Введено определение.
Определение 3. Назовем характеристикой линейной стабилизации открытой системы минимальное число управляющих воздействий, при которых для этой системы можно построить матрицу ранга , такую что, при выборе соответствующего линейного закона управления относительно фазовых переменных тривиальное решение системы (2.4) было асимптотически устойчивым, т.е. чтобы все собственные числа матрицы лежали в левой полуплоскости. Иногда, для краткости, будем говорить о характеристике линейной стабилизации матрицы .
Доказаны следующие теоремы.
Теорема 5. Характеристика линейной стабилизации матрицы совпадает с величиной , где - число линейно независимых собственных векторов соответствующих различным собственным числам матрицы имеющих неотрицательные вещественные части ().
Теорема 6. Положение равновесия системы
можно сделать асимптотически устойчивым путем выбора матрицы и управления , удовлетворяющего условию
тогда и только тогда, когда , где - характеристика линейной стабилизации матрицы .
В четвертом параграфе описан алгебраический метод построения коэффициентов минимального многочлена, т.к. при исследовании скалярных систем управления и наблюдения решение этой задачи является основным.
В третьей главе разработан метод построения импульсных и релейно-импульсных управлений в динамических системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям. Для линейных систем получены необходимые и достаточные условия существования импульсных и релейно-импульсных управлений, как для двухточечных задач, так и для краевых условий удерживающего и неудерживающего типа. Предложены также аналитические методы построения таких управлений и отвечающих им движений. В квазилинейном случае получены условия существования таких управлений и движений и описаны итерационные методы их построения.
В первом параграфе приведены сведения справочного характера, касающиеся задач полной управляемости для импульсных и релейно-импульсных управлений.
Во втором параграфе для линейных нестационарных систем
, (3.1)
удовлетворяющих удерживающим
(3.2)
и неудерживающим
(3.3)
связям получены критерии существования и предложены методы построения импульсных управлений, при которых система (3.1) удовлетворяет удерживающим или неудерживающим связям. В случае отсутствия внешних возмущений (систем стабилизации) получены достаточные условия существования и предложены методы построения релейно-импульсных управлений при которых система (3.1) удовлетворяет удерживающим или неудерживающим связям.
Доказан ряд теорем.
Теорема 1. Для того, чтобы существовало семейство импульсных управлений таких, что решение системы (3.1) , удовлетворяющее произвольному начальному условию , при любом из этих импульсных управлений будет удовлетворять краевым условиям (3.2) для любого наперед заданного вещественного вектора , необходимо и достаточно, чтобы строки матрицы
были линейно независимыми функциями в произвольном промежутке .
Теорема 2. Пусть: 1. Выполняются условия теоремы 1; 2. при ; 3. ; Тогда существует положительное число такое, что для всех начальных положений системы (3.1) , удовлетворяющих неравенству существует семейство релейно-импульсных управлений таких, что решение системы (3.1) , при любом из этих управлений, будет удовлетворять краевым условиям (3.2).
Теорема 3. Если ранг расширенной матрицы равен , то существует такое начальное положение системы (3.1) и целое семейство импульсных управлений , что задача (3.1),(3.2) имеет решение.
Теорема 4. импульсное управление, являющееся решением задачи (3.1),(3.3) существует тогда и только тогда, когда гиперплоскость , описываемая уравнением
,
где - линейно независимые столбцы матрицы , и - произвольные вещественные постоянные, пересекается с - мерным параллелепипедом .
В условиях теорем 3 и 4 расширенная матрица определяется из свойств матриц и .
В третьем параграфе для квазилинейных управляемых систем
(3.4)
найдены условия существования и предложены методы построения импульсных управлений, при которых эта система будет удовлетворять удерживающим
(3.5)
и неудерживающим
(3.6)
связям.
Доказан ряд теорем.
Теорема 5. Если строки матрицы линейно независимы в произвольном промежутке , то можно указать положительное число такое, что при любом значеннии вещественного параметра , для любого начальнного положения системы (3.4) будет существовать семейство импульсных управлений, являющихся решением задачи (3.4),(3.5) для любого вещественного вектора .
Теорема 6. Если ранг расширенной матрицы равен , то существуют начальные положения системы (3.4) и положительное число такие, что при любом значении вещественного параметра , будет существовать семейство импульсных управлений , дающих решение задачи (3.4),(3.6) при .
Четвертая глава посвящена исследованию автоколебательных процессам в механических системах с конечным числом степеней свободы. В этой главе предлагаются законы прямого и непрямого регулирования, обеспечивающие стабилизацию программных движений в механических системах с конечным числом степеней свободы на основе релейного управления, содержащего петлю гистерезиса в этом законе управления.
Первый параграф носит постановочный характер. В нем дается формулировка задачи изучения автоколебаний в режиме стабилизации, излагаются известные определения устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову, дается понятие стабилизации программного движения, вводится понятие периодических колебаний, а также рассматривается различие устойчивости по Ляпунову и процесса стабилизации.
Во втором параграфе осуществляется построение законов управления в механических системах
(4.1)
с конечным числом степеней свободы. Приводятся теоремы, содержащие конструкцию законов прямого регулирования, обеспечивающих стабилизацию программных движений при отсутствии возмущений и при их наличии. Показано, что точность стабилизации при указанной конструкции закона прямого регулирования зависит от величины зоны гистерезиса и коэффициентов усиления в этом законе управления.
В соответствии с общепринятыми обозначениями вводится в рассмотрение релейная функция , зависящая от обобщенных координат и обобщенных скоростей системы (4.1)
(4.2)
где некоторая константа. Интервал называется зоной гистенрезиса функции [1].
Определение 1. Допустимым управлением будем называть управления вида , где известный вектор - столбец, определение которого каждый раз уточняется, - вектор-столбец, компоненты которого определяются соотношением: где линейные формы обобщенных скоростей и обобщенных координат, константы.
Справедливы теоремы.
Теорема I. Если матрицы и невырожденные, то при отсутствии постоянно действующих возмущений для любого существует управление =из класса допустимых, такое, что при , при этом величина зависит известным образом от начальных значений обобщенных координат и обобщенных скоростей. Более того, существует целое семейство управлений, обладающих указанным свойством, для которого зоны гистерезиса удовлетворяют условию , где некоторая константа, большая нуля.
Другими словами, если зоны гистерезиса достаточно малы , то система (4.1) будет совершать автоколебания в - окрестности точки .
Теорема 2. При наличии ограниченных постоянно действующих возмущений , для любого существует управление = () из класса допустимых, такое, что при , при этом величина зависит известным образом от начальных значений обобщенных координат, обобщенных скоростей и возмущений. Более того, существует семейство управлений , обладающих указанным свойством, для которого зона гистерезиса удовлетворяет условию , где некоторая константа, не зависящая от .
В третьем параграфе предлагается подход к устранению влияния постоянно действующих возмущений на систему управления путем построения законов непрямого регулирования, обеспечивающие стабилизацию программных движений, как при отсутствии возмущений, так и при их наличии. Приведено доказательство двух теорем о стабилизации программных движений при помощи закона непрямого регулирования, получены оценки на точность стабилизации программного движения через величины характеристик применяемых законов управления.
Предполагается, что закон непрямого регулирования имеет вид
(4.3)
Задача состоит в выборе вектора и закона регулирования в равенстве (4.3) таким образом, чтобы все движения располагались в достаточно малой окрестности точки по истечении некоторого времени пенреходного процесса.
Определение 2. Управление будем называть, допустим, если оно имеет вид , где векторную функцию можно выбирать каждый раз специальным образом, исходя из структуры управления объекта регулирования, а компоненты вектора управлений имеют вид
Справедливы теоремы.
Теорема 3. При отсутствии возмущений для любого существует управление из класса допустимых такое, что при . При этом известным образом зависит от начальных значений обобщенных координат и обобщенных скоростей. Более того, существует семейство управлений, обладающее указанным свойством, для которого зона гистерезиса удовлетворяет условию , где - некоторая константа.
Теорема 4. При наличии ограниченных возмущений для любого существует управление из класса допустимых, такое, что при . При этом известным образом зависит от нанчальных значений обобщенных координат и обобщенных скоростей.
В четвертом параграфе предложено решение задачи стабилизации, возникающей при ориентации оптической оси радиотелескопа, как задачи управления механической системой
(4.4)
в двух плоскостях - азимутальной и угломестной. Предлагается законы прямого и непрямого регулирования обеспечивающие стабилизацию его программного движения при наличии постоянно действующих возмущений.
Для удобства анализа систему (4.4) можно записать в векторном виде
, (4.5)
а закон прямого регулирования выбрать в виде
, (4.6)
где - постоянные матрицы, подлежащие определению, а , а - программное движение, т.е..
Справедлива теорема.
Теорема 5. При прямом регулировании, когда закон управления определяется формулой (4.6), точность отработки программного движения удовлетворяет соотношению
, (4.7)
которое имеет место в том случае, если положить , а величины выбраны так, чтобы собственные числа полинома были вещественны.
Из этой оценки вытекает, что при ограниченных возмущениях отработка программного управления может быть сколь угодно точной, если коэффициенты усиления выбраны из условия , а - достаточно большое положительное число (т.к. ).
В пятой главе содержится качественный анализ автоколебательных процессов в механических системах с конечным числом степеней свободы возникающих при применении законов прямого и непрямого регулирования построенных в предыдущей главе
В первом параграфе вводится понятие кинематической траектории и дается решение задачи их стабилизации на основе релейного управления, содержащего петлю гистерезиса в этом законе управления. В нем также предлагаются законы прямого и непрямого регулирования обеспечивающие решение задачи непрерывной стабилизации движения системы, описываемой системой уравнений Лагранжа второго рода общего вида.
Рассматриваются уравнения движения в форме (4.1)
(5.1)
и вводится определение.
Определение 1. Векторная функция называется кинематической траекторией управляемой системы (5.1), если она описывает возможную конфигурацию этой системы. Возможная конфигурация системы - это такая конфигурация, которая совместима со связями.
Замечание 1. Известно, что не всякая кинематическая траектория может быть фактически осуществлена точно, так как в механической системе также обычно имеются ограничения на силовые поля.
В системе (5.1) делается замена искомых функций по формуле . Тогда для новой искомой функции вектор-функции получим систему уравнений
(5.2)
где .
Справедлива теорема.
Теорема 1. Если матрицы и неособенные, а возмущения удовлетворяют условию при использовании законов прямого и непрямого регулирования построенных при доказательстве теорем 2 и 4 четвертой главы в системе (5.2) возникают стабильные колебания в окрестности точки , а все движения этой системы, начинающиеся в некоторой фиксированной окрестности этой точки, будут стремиться к этому стабильному колебанию. За счет выбора величины гистерезиса в законе управления можно добиться того, что стабильные колебания могут быть расположены в сколь угодно малой окрестности кинематической траектории, а мера отклонения от него любого движения может быть сделана сколь угодно малой.
Рассматриваются уравнения движения в форме Лагранжа в векторной форме записи имеющие вид
. (5.3)
Для стабилизации некоторого программного движения в этой системе предполагается, что стабилизирующее управление имеет вид
, (5.4)
где - постоянные матрицы, подлежащие определению, а величина , где - программное движение.
Справедлива теорема.
Теорема 2. При прямом регулировании, когда закон управления определяется формулой (5.4) при , точность отработки программного движения можно оценивать с помощью неравенства
, (5.5)
где величины выбраны так, чтобы собственные числа полинома были вещественны, а - запас устойчивости, т.е. .
При этом оказывается, что при ограниченных возмущениях отработка программного движения может быть сделана сколь угодно точной, если коэффициенты усиления выбраны из условия .
В случай непрямого регулирования, когда управляющий момент удовлетворяет уравнению
, (5.6)
вводится функция (функция удовлетворяет уравнению (5.4)), которая удовлетворяет уравнению
,
где - константы, выбранные так, чтобы нулевое решение этой системы было асимптотически устойчиво. Тогда при управлении
. (5.7)
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 3. При непрямом регулировании, когда закон управления определяется формулами (5.6), (5.7), точность отработки программного движения определяется формулой (5.5). При этом оказывается, что при ограниченных возмущениях отработка программного движения может быть сколь угодно точной, если коэффициенты усиления выбраны из условия , - достаточно большое число. Здесь различные корни уравнения: .
Во втором параграфе изучается аналитическая природа автоколебательных процессов в системах автоматического управления, а именно устанавливаются свойства периодичности и почти периодичности автоколебаний в системах прямого и непрямого регулирования при отсутствии возмущений.
Рассматривается механическая система с степенями свободы движения которой можно описать системой дифференциальных уравнений
(5.8)
и закон непрямого регулирования, имеющий вид:
. (5.9)
Управление выбирается в форме где
(5.10)
а компоненты вектора являются релейными функциями
, (5.11)
некоторая константа (коэффициент усиления), а закон обратной связи.
Доказана теорема.
Теорема 4. При отсутствии возмущений на стабилизируемую систему, если закон непрямого регулирования имеет вид (5.9), а управления имеют вид (5.10),(5.11), то все решения системы (5.8) асимптотически стремятся к соответствующим стационарным решениям. Причем, если периоды этих решений (линейно зависящие от коэффициентов усиления) попарно соизмеримы, то такими стационарными решениями будут являться периодические функции. Если же периоды попарно несоизмеримы, то стационарными решениями будут являться почти периодические функции, каждая из которых будет расположена всюду плотно в области многозначного управления.
Для систем с переменной структурой доказана аналогичная теорема с соответствующим выбором закона управления.
В третьем параграфе проводится качественный анализ влияния постоянно действующих возмущений на автоколебания в системе управления. В результате исследования установлено, что постоянно действующие возмущения в сильной степени влияют на аналитический характер автоколебаний, изменяя природу этих автоколебаний при изменении арифметических свойств возмущений.
Рассматривается линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений:
(5.12)
где постоянно действующее возмущение, а управление удовлетворяет соотношению
, (5.13)
причем управление таково, что все корни характеристического уравнения
(5.14)
имеют отрицательные вещественные части.
Вводятся два определения.
Определение 2. Точностью и мерой возмущения управляемой системы (5.12) называются величины и .
Доказаны теоремы.
Теорема 5. Точность управляемой системы (5.12) при управлении (5.13) - (5.14) пропорциональна ее мере возмущения, т.е.
(5.15)
Причем оценка (5.15) является точной в том смысле, что существуют управляемые системы, в которых она реализуется как равенство.
Теорема 6. При наличии ограниченных постоянно действующих стационарных возмущений на систему (5.8), если управления удовлетворяют соотношениям (5.10),(5.11) то в системе (5.8) возникают периодические или почти периодические автоколебания. Причем периодичность или почти периодичность автоколебаний зависит от арифметических свойств компонент вектора возмущений.
В заключение диссертации приведены основные научные результаты, полученные в работе.
Основные результаты диссертационной работы.
Результаты, полученные в данной работе, носят системный характер, т.к. с одной стороны они касаются общих задач теории управляемых систем, а с другой они касаются задач построения импульсных и релейно-импульсных программных управлений в этих системах, а также задач поиска законов прямого и непрямого регулирования в системах релейной стабилизации, обладающих заданной точностью и помехоустойчивостью. С этой точки зрения все представленные в работе результаты можно условно разделить на три группы.
1. Результаты, которые получены при решении общих проблем теории управляемых систем:
Разработаны новые критерии и методы структурной оптимизации систем управления, наблюдения и стабилизации, включающие:
- критерии и методы структурной оптимизации стационарных систем управления;
- критерии и методы структурной оптимизации стационарных систем наблюдения;
- критерии и методы структурной оптимизации стационарных систем линейной стабилизации.
2. Результаты, полученные при решении проблем построения импульсных и релейно-импульсных программных управлений:
- установлены критерии существования и предложены аналитические методы построения импульсных и релейно-импульсных управлений для линейных систем удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям;
- получены достаточные условия существования и предложены итерационные методы построения импульсных управлений для квазилинейных систем, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям.
3. Результаты, полученные при построении законов управления для систем стабилизации в механических системах с конечным числом степеней свободы:
- предложены законы прямого и непрямого регулирования, содержащие петлю гистерезиса и обеспечивающие стабилизацию программных движений в этих системах, как при отсутствии возмущений, так и при их наличии, причем эти законы позволяют увеличивать точность стабилизации путем изменения их параметров, т.к. она напрямую зависит от величины зоны гистерезиса и коэффициентов усиления в этих законах:
- показано, что использование законов прямого и непрямого регулирования, предложенных выше, также обеспечивает стабилизацию кинематических траекторий в этих системах, причем использование этих законов также позволяет увеличивать точность стабилизации путем изменения их параметров;
- показано, что при использовании законов прямого и непрямого регулирования, предложенных выше, при стационарных, постоянно действующих возмущениях в этих системах, возникают периодические или почти периодические колебания, причем эти законы позволяют увеличивать точность стабилизации путем изменения их параметров, т.к. она напрямую зависит от величины зоны гистерезиса и коэффициентов усиления в этих законах.
Основные публикации по теме диссертации
- Зубов А.В. Оценка точности отработки программного движения в одной сложной системе управления. В кн. Системы автоматизации в науке и производстве М., "Наука", 1984 с. 167-173.
- Зубов А.В. Построение законов непрямого регулирования механической системы при наличии внешних возмущений. В кн. Робототехнические комплексы для научных исследований М., "Наука", 1984, с. 57-65.
- Зубов А.В. Стабилизация кинематических траекторий механических систем. В кн. Методы и системы автоматизации в задачах науки и производства М., "Наука", 1986, с. 244-256.
- Зубов А.В. Вычисление вероятностных характеристик функционирования целлюлозно-бумажного оборудования с многими степенями свободы. В кн. Математические основы надежности механизмов ЦБП (Методические указания) Л., ЛТИ ЦБП, 1989, с. 3 - 9.
- Зубов А.В. Исследование стабилизации программного движения при помощи метода прямого регулирования. Материалы международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" - Саранск, 1995, с. 281-285.
- Zubov A.V. Stabilization of program multi-dimentional mechanical system movements in research of hydrogen power problems. Abstracts Hydrogen Power, Theoretical and Engineering Solutions, 3 Interna-tional Symposium. Saint-Petersburg State University, 1999, p.179.
- Зубов А.В. О стабилизации программных движений при помощи метода непрямого регулирования. Тезисы докладов на международной математической конференции "Еругинские чтения VI", ч. I, БГУ, Гомель, 1999, с. 93.
- Зубов А.В., Зубов Н.В. , Мухин А.В. . Релейно - импульсные управления и стабилизация динамических систем. СПб, Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2002, 174 с.
- Зубов А.В., Мухин А.В., Косюг В.И. Стабилизация программного движения с помощью кусочно - постоянных управлений. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. вып. 6(2). М., В - РАН, 2004, с. 5-56.
- Зубов А.В. О существовании управлений с переменной структурой. Труды IX Белорусской международной математической конференции - Гродно, БГУ, 2004, часть 3, с. 110-111.
- Зубов А.В. Стабилизация кинематических траекторий с помощью систем прямого регулирования. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. вып. 6(2). М., В - РАН, 2004, с. 57-63.
- Зубов А.В. Принципы аналитического конструирования автоматов опознания. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. Выпуск 9(1). Ч М.: КомКнига, 2005. с. 99-103.
- Зубов А.В. Исследование логических управляющих сетей в многомерных механических системах. //Научно - технические ведомости СПбГТУ, вып 4, 2005, с 105-107.
- Зубов А.В. Автоколебания в моделях динамики взаимодействия видов. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. Выпуск 9(2). Ч М.: КомКнига, 2005. с. 160-165.
- Зубов А.В., Шабурова О.А. Управление динамическими системами. Учебное пособие. Санкт-Петербург. СПбГУ. 2005, 78 с.
- Зубов А.В. Демпфирование внешних ограниченных воздействий с помощью законов прямого регулирования. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. Выпуск 10(1). Ч М.: КомКнига, 2006. с. 77-84.
- Зубов А.В. Аналитические свойства многомерной механической системы. // Математическое моделирование. Т.18, № 12. 2006. с 45-51.
- Зубов А.В., Дутов С. А., Радченко А. Ю. О существовании автоколебаний систем дифференциальных уравнений. Труды ИСА РАН. Динамика линейных и нелинейных систем: Т 25(1). М.: КомКнига. 2006. с. 72-74.
- Зубов А.В. Стабилизация программных движений и кинематических траекторий в динамических системах в случае прямого и непрямого регулирования. Ж. // Автоматика и телемеханика. 2007. № 3, с. 19-32.
- Зубов А.В. Стабилизация и управление в динамических системах. Учебное пособие. Санкт-Петербург. СПбГУ. Изд-во АООТ Мобильность-плюс, 2007, 131 с.
- Зубов А.В., Зубова О.А. Задача стабилизации кинематических траекторий. Сборник трудов XX Международной научной конференции. Математические методы в технике и технологиях. Ярославль, ЯГУ, 2007, с. 86.
- Зубов А.В., Стрекопытов С. А. Динамические системы и автоколебания. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. Т. 31(2). М.: Изд. ЛКИ, 2007. 89-90.
- Зубов А.В., Зубов Н.В., Лаптинский В.Н. Динамика управляемых систем. Санкт-Петербург. СпбГУ. Изд-во ВВМ. 2008, 356 с.
- Зубов А.В., Алидрисси М.А. Расчет и стабилизация программных траекторий механических систем. Учебное пособие. Санкт-Петербург. СПбГУ. Изд-во АООТМобильность-плюс, 2008, 69 с.
- Зубов А.В. и др. Построение законов управления при наличии ударных нагрузок. Труды Средневолжского математического общества, Том 10 № 2, СВМО, Саранск, 2008 г. 236-239.
- Зубов А.В., Дикусар В.В., Зубов Н.В. Задачы полной управляемости и структурной минимизации. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. Т. 32(2). М.: Изд. ЛКИ, 2008. 32-39.
- Зубов А.В. и др. Исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Санкт-Петербург. СПбГУ. Изд-во АООТ Мобильность-плюс, 2009, 223 с.
- A.V. Zubov, Dikusar V.V., Zubov N.V. Minimal value of control actions. 5 International Workshop, CASTR 2009, Siedlce, Poland, p. 61-62.
- A.V. Zubov, Dikusar V.V., Zubov N.V. Nonstationary matrices with superstabiluty. 5 International Workshop, CASTR 2009, Siedlce, Poland, p. 63-64.
- A.V. Zubov, Dikusar V.V., Zubov N.V.>- equivalence polynomials. 5 International Workshop, CASTR 2009, Siedlce, Poland, p. 59-60.
- A.V. Zubov, Dikusar V.V. Optimal control of feed-back systems. 5 International Workshop, CASTR 2009, Siedlce, Poland, p. 65-73.
- Зубов А.В., Дикусар В.В., Зубов Н.В. О минимизации числа управляющих воздействий в системах управления. Тезисы международной конференции. Математика, компьютер образование. Т. 2, вып. 16, Ижевск, 2009, с. 24.
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям