Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по техническим специальностям

На правах рукописи

СТРОГАНОВ АНДРЕЙ ВАЛЕНТИНОВИЧ

МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ФОРМАЛИЗАЦИИ ОПЕРАЦИЙ КОМПЬЮТЕРА

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2012

Работа выполнена на кафедре Высшей математики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики (МГТУ МИРЭА)

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Аристов Владимир Владимирович

Официальные оппоненты: Заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ МИРЭА, доктор физико-математических наук, профессор Самохин Александр Борисович Заместитель заведующего отделом математики НИИСИ РАН кандидат физико-математических наук, Коганов Александр Владимирович

Ведущая организация: Механико-математический факультет Московского Государственного Университета им. М. В. Ломоносова.

Защита диссертации состоится л 23 мая 2012г. в л 1300 на заседании диссертационного совета Д212.131.03 при МГТУ МИРЭА по адресу:

119454 г. Москва, проспект Вернадского, д. 78, ауд. Г-4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ МИРЭА.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просим отправлять по адресу: 119454 г. Москва, проспект Вернадского, д. 78, диссертационный совет Д212.131.03.

Автореферат диссертации разослан л 9 апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д212.131.доктор технических наук, профессор О.А. Тягунов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие научные, технические, экономические и другие задачи приводят к необходимости решения дифференциальных уравнений, в том числе и нелинейных, большинство из которых аналитического решения не имеет. Поэтому приходится использовать численные подходы с применением вычислительных устройств (компьютеров). По сравнению с численным, явное решение предоставляет больше информации о задаче, позволяет увидеть решение в целом с его качественными особенностями, асимптотиками и т.д., что важно, например, для физического описания явлений. Также существенно, что аналитические решения, даже частные, могут являться тестами, играющими большую роль при разработке различных численных методов (численный и аналитические подходы дополняют друг друга). В классических численных методах используется вычислительное устройство, определяющее представление решения фактически в виде чисел.

При этом теряется общность, присущая явному представлению решения в аналитической форме. Отметим также вопросы выбора подходящей численной схемы, исследования ее на устойчивость, трудности, связанные с программированием. Поэтому поиск новых методов, которые приводили бы к получению явных аналитических решений является несомненно актуальной задачей.

Для построения решений в явном виде существуют различные методы, однако они не обладают достаточной общностью. Среди численных методов решения задач особое место принадлежит методу конечных разностей ввиду его универсальной применимости. Однако, конечно-разностные методы, представляющие собой рекуррентные формулы, требуют использования компьютеров для вычисления значения искомой функции на каждом слое.

В диссертационной работе предлагается новый метод решения дифференциальных уравнений (основной интерес представляют нелинейные, но он применим и к линейным уравнениям), основанный на математической модели компьютера, в которой формализуются и обобщаются фундаментальные свойства компьютера при работе с числами.

Заметим, что метод нацелен на получение именно аналитического представления решения, которое, в принципе, не требует применения вычислительной машины, то есть идеологически метод лнаправлен от компьютера к аналитике.

Заметим, что, например, в современном направлении компьютерной алгебры развиваются новые алгоритмы и аналитические методы с применением в вычислительных устройствах.

На основе предложенной модели разрабатывается метод для решения нелинейных дифференциальных уравнений и систем, в котором исключаются вычисления на промежуточных слоях в разностной схеме и тем самым получается явное представление решения, где выражение на последнем слое выражается через начальные условия (в задаче Коши). Для построения решения используется произвольная сходящаяся к решению исходного уравнения разностная схема, которую мы называем лруководящей. Решение ищется в виде отрезков ряда по степеням шага независимой переменной. При построении решения проводится математическая формализация основных операций над числами в компьютере, а именно, ограничения количества разрядов при задании числа и переноса значений из разряда в разряд. Поэтому данный метод может быть назван лметодом компьютерной аналогии. В процедуре переноса разрядов также используются операции выделения остатка от деления чисел, старшие разряды фактически являются генераторами псевдослучайных чисел. С использованием вероятностных методов проводится осреднение и исключение промежуточных действий.

Цель работы состоит в создании новой математической модели компьютера и формализации представления чисел в классической вычислительной машине и разработке алгоритма, который в принципе может привести к получению явного вида решения нелинейных дифференциальных уравнений.

Методика исследования основана на общих методах вычислительной математики, математического моделирования, теории вероятностей, математической статистики и анализа. Для сравнения результатов и проверки гипотез производилось численное моделирование на компьютере, использовались язык программирования C++ и программа Gnuplot.

Научная новизна. Предлагаемый подход является принципиально новым. Строится математическая модель работы компьютера с числами, что при использовании разностных схем позволяет получить явное представление решения для нелинейных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение при решении дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

Разработанный метод может применяться в итерационных задачах приближения. Практическая значимость работы заключается в получении аналитических приближений для задач, не разрешимых в квадратурах. Метод может позволить получать тестовые решения, необходимые для отладки новых численных алгоритмов и решения сложных нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений. Представление численного решения в виде отрезка ряда по степеням шага независимой переменной допускает параллельное вычисление коэффициентов, может привести к ускорению вычислений даже в тех случаях, когда явный вид приближения выписать не удается. Явное представление решения также может быть вычислено быстрее и эффективнее по сравнению с традиционными методами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции Тихонов и современная математика в 2006 г.; на 14-й, 16-й, 17-й международной конференции Математика, компьютер, образование в Пущино и Дубне в 2007, 2009, 2010 г.;

международной конференции Infinite and Infinitesimal in Mathematics, Computing and Natural Sciences (Четраро, Италия, 2010); ежегодных научно-технических конференциях МИРЭА; на семинаре кафедры вычислительных методов ВМК МГУ под руководством профессора, д.ф.-м.н. А.В. Гулина; семинаре сектора информатики и биофизики сложных систем биологического факультета МГУ под руководством профессора, д.ф.-м.н, Г.Ю. Ризниченко; семинаре кафедры прикладной математики МИРЭА под руководством профессора, д.ф.-м.н. А.Б.

Самохина. Методологические аспекты метода обсуждались на конференциях Философия математики. Актуальные проблемы в МГУ им. М.В.Ломоносова в 2007 и 2009 годах; конференции Искусственный интеллект. Философия, методология, инновации, МИРЭА в 2010 году.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12] (из списка ВАК [1-4]), вклад соавторов в работу равный.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит 106 страниц и состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. В заключении сформулированы положения, выносимые на защиту.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждаются актуальность и новизна диссертационной работы, представлены общие идеи, на которых строится метод. Определяются задачи исследования и кратко описывается содержание работы по главам.

В главе 1 рассматривается задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка в виде dy / dt f t, y, t t0,T (1) с начальным условием y t0 y0, где f t, y - некоторая, в общем случае, нелинейная функция двух переменных. Параметр t для краткости назовем лвременем. Будем считать, что для данной задачи Коши выполняются требования, обеспечивающие существование и единственность на отрезке t0,T ее решения y y t.

Уравнение (1) удается решить традиционными методами точно лишь для некоторых специальных типов функций f t, y.

Рассмотрим явную разностную схему задачи (1) в виде:

yn1 yn G tn, yn, (2) где - шаг по времени, а G t, y - некоторая функция, зависящая как от функции в правой части (1), так и от параметров t и y.

Будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом b t0 / N, расчетными точками (узлами) служат точки tn t0 n, n 0,1,..., N промежутка t0,b. Фактически (2) определяет разностную схему, решение которой предполагается сходящимся к решению (1).

В простейшем случае точное решение можно получить непосредственно из разностного за счет последовательного раскрытия рекуррентной зависимости в (2) и предельного перехода при 0.

В качестве модели, иллюстрирующей основные этапы данного метода решения, рассматривается простая нелинейная задача Коши, на примере которой изучаются основные стороны алгоритма. Для этой задачи показывается, что решение в виде отрезка степенного ряда, где коэффициенты при степенях ничем не ограничены, не будет обеспечивать сходимость к точному решению.

В главе 2 вводится понятие лпозиционной -системы счисления, в которой в качестве основания выбирается обратная величина к шагу разностной схемы (2), то есть .

Предполагается, что выбран так, что 0 1.

Сформулирована и доказана теорема.

Пусть для задачи Коши dy / dt f y, y 0 y0 (3) выбрана некоторая разностная схема вида (2) и допустим, что шаг выбран достаточно малым чтобы схема (2), аппроксимирующая задачу (3), была устойчивой. Если значение y0 может быть представлено в виде полинома степени p по степеням с действительными коэффициентами, тогда yn также может быть представлено в виде полинома степени p и некоторого остаточного члена.

В соответствии с этой теоремой будем выражать численное решение дифференциального уравнение с помощью -системы счисления, то есть в виде отрезка ряда по степеням с положительными коэффициентами am и определенным набором знаков между слагаемыми:

p m yn mam,n, (4) mгде i - коэффициенты, определяющие знаки перед коэффициентами, то есть m 1,1.

Для получения представления решения на n 1-м слое функция G yn раскладывается в ряд в окрестности y* 0a0,n :

k k p d G y 1 m G yn G y * mam,n.

k! dyk k1 m y y* Здесь каждое k -е слагаемое содержит полином относительно степени pk. Следовательно выражение G yn может быть перегруппировано и записано в виде ряда по степеням . Представление решения по схеме (2) для автономного ОДУ на (n 1)-м слое будет иметь вид:

k pp mm k , (5) yn1 mam,n G y * mam,n k! m0 k1 m где k d G y .

k dyk y y* В общем случае нельзя обеспечить сходимость к решению, если на каждом слое удерживать фиксированное количество членов в (4). Без дополнительных условий представление решения в виде отрезка ряда по степеням с p(n) const приводит к расходящемуся ряду. Если коэффициенты ai,n при степенях в (4) превысят 1/, то приближение станет неэффективным, так как с ростом n придется вводить дополнительные слагаемые в (4) с более высокими степенями .

Введем процедуру переноса разрядов, которая будет гарантировать, что величины коэффициентов ai,n на каждом слое будут меньше 1/. Так, если коэффициент становится равным или большим величины 1/, его часть должна быть перенесена в младший коэффициент (то есть в коэффициент с меньшим индексом). Если абсолютное значение коэффициента меньше величины 1/, то коэффициент называется нормализованным, иначе - ненормализованным и отмечается волной (например:

ai,n ). Если на (n 1)-м слое выписано нормализованное представление решения в виде (4), то, используя (5), и обрывая полученное выражение после p-го слагаемого, получается ненормализованное представление решения на n -м слое:

p m yn mam,n.

mВыражения для нормализации коэффициентов будут иметь вид (квадратные скобки обозначают взятие целой части числа):

amn amn mm1m1,n mod, (6) ,, mn amn mm1m1,n , 0, ,, p1,n где значения ненормализованных коэффициентов находятся из предыдущего слоя с помощью формулы (6). Таким образом, процедура нормализации позволяет гарантировать, что при переходе от n -го шага к (n 1)-му коэффициенты не превысят величину 1/ 1, а, следовательно, представление решения (4) будет отрезком сходящегося ряда.

Учитывая операцию переноса разрядов, выражение (4) можно записать следующим образом:

p m yn m am,n mm1m1,n mod.

mЛокальное представление решения (на данном слое) и глобальное (на n слоях) в предлагаемом методе могут различаться количеством членов p представления решения, о чем говорит доказанная в диссертации теорема:

Пусть в качестве руководящей разностной схемы выбрана r схема с точностью O , и решение на данном шаге представляется в виде отрезка ряда (4). Тогда после применения операции переноса разрядов, в (4) достаточно удерживать r члены до включительно, то есть:

r mr yn mam,n O .

mВ (4) необходимо удерживать такое количество членов p, чтобы ошибка, вносимая при отбрасывании в (5) членов со степенями , превосходящими p, была порядка ошибки разностного решения (2), следовательно, представление (4) будет сходиться к решению задачи (1) с точностью выбранной разностной схемы.

Доказана следующая теорема:

Пусть решение на n-ом шаге представлено в виде (4). Для получения представления на (n+1) - ом шаге используется выражение (5), которое может быть перегруппировано по степеням . Затем члены со степенями , превосходящими p отбрасываются. Обозначим их сумму как sp1,n1. Тогда справедливо следующее неравенство:

p p1 1k e k sp1,n1 .

k k! k! 2 1 e k1 k p В главе 3 описываются стохастические свойства старших разрядов решений в методе компьютерной аналогии.

Использование этих свойств позволяет избавляться от рекуррентной зависимости на промежуточных шагах по времени.

Выражение для коэффициентов представления решения (6) в общем виде соответствуют выражению для конгруэнтного генератора псевдослучайных чисел, который дается следующей рекуррентной формулой:

xn1 axn c mod M, где a и c Ч некоторые целочисленные коэффициенты, причем 0 a,c, x0 M. Можно рассматривать выражения для коэффициентов a в (6) как отдельные линейные конгруэнтные генераторы, связанные между собой через операции переноса разрядов.

Такая зависимость приводит к сильно запутанному состоянию, что, однако, не гарантирует улучшение свойств генератора случайных чисел. С другой стороны, в зависимости от функции G в правой части (2), такой генератор может менять свои свойства с ростом n.

Можно рассматривать величины переноса разрядов m, 0 m r как случайные. Они определяются стохастическими свойствами коэффициентов ar1, Е, ap, где r - порядок точности разностного метода (2). На отрезках, где коэффициенты с номерами 0 m r не меняются, можно заменить m своим математическим ожиданием, обозначим его как M m. Тем самым будут исключены все промежуточные слои, на которых коэффициенты a0, a1, Е, ar не меняют свои значения.

Рассматривается численное моделирование стохастического поведения коэффициентов и проверяется справедливость предположения о случайном распределении величин старших коэффициентов. Важнейшим критерием в изучаемом случае является приближенное совпадение математического ожидания и дисперсии с идеальными теоретическими аналогами, что подтверждается численными экспериментами.

Формулируется и проверяется в численных экспериментах следующее утверждение.

Если величины переноса разрядов 2 слабо коррелируют на последовательных слоях, то выполняется закон больших чисел:

nn lim P 2,m M 2,m n nn m1 m или nn 11 c 2,m M 2,m , c const.

nn n m1 mВ последнем неравенстве подразумевается сходимость в обычном смысле, поскольку принимается, что старшие разряды ведут себя как квазислучайные числа с равномерным заполнением соответствующей плоскости изменения, что подтверждают компьютерные эксперименты. Поэтому суммирование величин переноса заменяются суммированием соответствующих математических ожиданий. Фактически речь может идти о методе обратном к методу Монте-Карло: сумма реализаций случайной величины заменяется теоретически определяемым математическим ожиданием. Для простоты записи используем обозначение a a1. Удобно искать представление решения обратной зависимости, т.е. n a, которая ставит в соответствие некоторому значению оси ординат a значение на оси абсцисс (рассматривается система координат n,a ). Задаем приращение a 1, ему будет соответствовать приращение na na1 na. Так как коэффициент линеаризации a1 постоянен на отрезке [na,na1), вероятность переноса 2,n также постоянна во всех точках этого отрезка и равна P a.

При стремлении шага по времени к нулю статистические свойства алгоритма улучшаются, и можно ожидать, что данная аппроксимация обеспечивает сходимость к точному решению.

В главе 4 вначале приводятся основные этапы алгоритма решения задачи методом компьютерной аналогии.

1. С помощью выбранной сходящейся разностной схемы записывается представление в виде отрезка ряда по степеням шага аргумента .

2. Перенос разрядов: требуем, чтобы коэффициенты этого отрезка ряда были меньше 1/ ; если оказывается, что это не так, то берется целая часть произведения коэффициента на и прибавляется к младшему коэффициенту, а на прежнем месте остается остаток от деления коэффициента на 1/.

3. Выбор необходимого количества членов отрезка ряда.

4. Определение вероятности переноса разряда в r коэффициент при , где r - порядок выбранной разностной схемы.

5. Нахождение зависимости номера шага n от значения коэффициента линеаризации; используя закон больших чисел при уменьшении , определяем обратную зависимость для решения исходной задачи, восстанавливается и прямая зависимость на интервалах монотонности искомой функции.

6. Предельный переход к решению исходной задачи осуществляется при уменьшении шага .

В этой главе приводятся примеры решения дифференциальных уравнений методом компьютерной аналогии.

Решение получается в виде обратной зависимости t y.

Пример 1. Построение решения модельной задачи:

dy / dt y2, y 0 1, t 0, .

Представление решения в виде (4):

yn a0,n a1,n a2,n a3,n.

Полученное решение:

ay a 1 a, t a 1 m.

mПример 2. Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (система Карлемана):

du / dt v2 u2, u 0 , t 0, dv / dt u2 v2, v 0 Представление решения в виде (4):

un a0,n a1,n a2,n, vn 1 un.

Полученное решение:

a u a 1 a, v a a, t a .

1 2m mВ главе 5 приведены примеры построения решения методом компьютерной аналогии для задач, неразрешимых в квадратурах или не имеющих решения в элементарных функциях. Для задач из примеров 3 и 5 были проведены тесты с целью оценить производительность вычислений, которые показывают, что решение, полученное методом компьютерной аналогии, находится быстрее, чем решение, полученное по руководящей разностной схеме.

Пример 3. Решение задачи Коши, неразрешимой в элементарных функциях:

dy / dt ln y, y 0 2, t 0, .

Представление решения в виде (4):

p m yn 1 am,n, p [log 1/ ] 1.

m ymПолучено решение в следующем явном виде:

a y a 1 a, t a .

j j pm mln y0 jy0 j jПриводится сравнение, демонстрирующее близость полученного решения к разностному решению (рис. 1), здесь 0.01.

Рис. 1. Сравнение решений (верхний график) и оценка времени вычислений по двум алгоритмам (нижний график).

Пример 4. Решение задачи Коши для уравнения Риккати:

dy / dt y2 t, y(0) 1, t 0,1.

Рассматривается область, где y 0, тогда решение можно представить в виде отрезка ряда (4) с p 2:

yn a0,n a1,n a2,n.

Полученное решение (на отрезке [0,1]):

ay a 1 a, t a .

mm(1 m )2 (1 j )2 ...

j (1 ) Пример 5. Решение системы дифференциальных уравнений, не имеющей аналитического решения du / dt v2 u2, u(0) , t 0, dv / dt u2 2v, v(0) Представление решения в виде (4):

un 1 a1,n a2,n 2 a3,n .

vn b1,n b2,n 2 b3,n В качестве независимой переменной здесь будем использовать a, тогда n (номер слоя по времени) и b должны быть выражены через a:

a1 aua 1 a, va ba 1 2 1 k, m1kmata na 1 m.

mПоказано, что решение методом компьютерной аналогии может быть вычислено на компьютере быстрее, чем прямое вычисление с использованием разностного решения (см. рис. 2).

Далее показывается, что из анализа детерминированных коэффициентов (то есть в данной схеме - для коэффициентов aи b1) возможно получить простую асимптотику решения для начальных моментов времени:

a ua 1 a, va ba 1 2 a 1, 1 2m ma ta na .

1 2m m Рис. 2. Сравнение решений (верхний график) и оценка времени вычисления по двум алгоритмам (нижний график).

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ 1. Построена модель вычислительного устройства, в которой формализуются важные свойства компьютера при работе с числами (компьютерная аналогия). С помощью этой модели можно исключать промежуточные слои в разностных схемах для решения дифференциальных уравнений.

2. Разработан новый алгоритм, который может привести к явному виду решения нелинейных дифференциальных уравнений и систем. Выявлены вероятностные свойства старших коэффициентов в представлении решения в виде отрезка ряда по степеням шага аргумента, что дает возможность получать решение в явном виде.

3. Применение нового метода может быть сопряжено с достаточно большой аналитической работой. Но алгоритм обладает рядом достоинств, в частности - он может быть более быстрым по сравнению с традиционными численными методами, возможно эффективное распараллеливание, выявление качественных свойств решения, получение простых асимптотик.

4. Решение по предложенному алгоритму является приближением точного решения. Точное решение получается в предельном переходе при устремлении шага по времени к нулю.

Приведены многочисленные примеры построения решений для задач, не разрешимых в квадратурах или элементарных функциях. При этом показано, что при уменьшении шага по времени решения сходятся к предельному с ожидаемой точностью.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в журналахиз списка ВАК:

1. Аристов В.В. Строганов А.В. Построение решений дифференциальных уравнений с помощью метода лкомпьютерной аналогии // Доклады академии наук РАН, том. 434, N2, 2010, с. 151-157.

2. Аристов В.В. Строганов А.В. Вероятностные аспекты метода лкомпьютерной аналогии для решения дифференциальных уравнений // Компьютерные исследования и моделирование, 2009, Т. 1, N 1, с. 21-31.

3. Аристов В.В. Строганов А.В. Перспективы метода решения дифференциальных уравнений на основе компьютерной аналогии // Прикладная информатика, 2008, 6(18), с. 91-99.

4. Aristov V.V., Stroganov A.V. A method of formalizing computer operations for solving nonlinear differential equations // Applied Mathematics and Computation, 2012, Vol. 218, p.8083-8098. doi:10.1016/ j.amc.2011.09.029.

Другие публикации:

5. Аристов В.В., Строганов А.В. Метод решения дифференциальных уравнений на основе лкомпьютерной аналогии // Тезисы докладов международной конференции Тихонов и современная математика. М.: МГУ. 2006 г. Ч с26-27.

6. Аристов В.В. Строганов А.В. Новый метод решения дифференциальных уравнений с формализацией математических операций компьютера // Cб. научн. трудов. Математика. Компьютер. Образование.

Ред. Г.Ю.Ризниченко. М.-Ижевск: НИ - Регулярная и хаотич. динамика.

2006. т.2. с.295-307.

7. Аристов В.В. Строганов А.В. Полуаналитический подход для решения дифференциальных уравнений // 54-я Научно-техническая конференция МИРЭА: Сб.тр. Ч М.: МИРЭА, 2005. Ч Ч.2. Ч Физико математические науки. Ч с.35-40.

8. Аристов В.В. Строганов А.В. Развитие метода решения дифференциальных уравнений на основе лкомпьютерной аналогии // 55-я Научно-техническая конференция МИРЭА: Сб. тр. Ч М.: МИРЭА, 2006.

Ч Ч.2. Ч Физико-математические науки. Ч с.92-95.

9. Аристов В.В. Строганов А.В. Решение дифференциальных уравнений на основе метода компьютерной аналогии // 56-я Научнотехническая конференция МИРЭА: Сб. тр. Ч М.: МИРЭА, 2007. Ч Ч.2. Ч Физико-математические науки. Ч с.51-56.

10. Аристов В.В., Строганов А.В. Развитие метода лкомпьютерной аналогии для решения дифференциальных уравнений. Математика.

Компьютер. Образование. Ред. Г.Ю. Ризниченко. М.-Ижевск: НИ - Регулярная и хаотич. динамика. 2008. вып.12, т.2. с.110-120.

11. Аристов В.В., Строганов А.В. Развитие метода решения дифференциальных уравнений с формализацией математических операций компьютера // Cб. научн. трудов. Математика. Компьютер. Образование.

Ред. Г.Ю. Ризниченко. М.-Ижевск: НИ - Регулярная и хаотич. динамика.

2010. т.2. с.227-235.

12. Aristov V.V., Stroganov A.V. Method of formalizing computer operations for solving nonlinear differential equations // Intern. Conf. Infinite and Infinitesimal in Mathematics, Computing and Natural Sciences. Book of Abstracts. Cetraro. 2010, p.16.

Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по техническим специальностям