Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по физике
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ТИХООКЕАНСКИЙ ОКЕАНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В.И. ИЛЬИЧЕВА На правах рукописи
Трофимов Михаил Юрьевич Математическое моделирование звуковых и внутренних волн в океане методом параболического уравнения
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
01.04.06 акустика Владивосток 2009
Работа выполнена в Тихоокеанском океанологическом институте им. В.И. Ильичева ДВО РАН.
Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, член-корреспондент РАН, профессор А.А. Буренин доктор физ.-мат. наук, член-корреспондент РАН, профессор М.А. Гузев доктор физ.-мат. наук, профессор И.О. Ярощук
Ведущая организация: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
Защита состоится 11 декабря 2009 года в часов на заседании диссертационного совета Д 005.017.01 при Тихоокеанском океанологическом институте по адресу: г. Владивосток, ул. Балтийская, 43, ТОИ ДВО РАН.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТОИ ДВО РАН.
Автореферат разослан 2009 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д 005.017.доктор технических наук, профессор В.И. Коренбаум
Общая характеристика работы
Актуальность темы Математическое моделирование распространения звуковых и внутренних волн в океане важно не только для более глубокого понимания этих процессов, но и для решения различных прикладных задач. В последнее время интересные для практики задачи относятся в основном к океанскому шельфу, мелким морям и заливам, что приводит к необходимости разработки математических моделей, учитывающих особенности таких акваторий.
Типичные задачи подводной акустики состоят в определении звукового поля в некоторой области пространства по данным, измеренным в отдельной точке или на кривой (трассе). Таким образом, соответствующие математические модели должны допускать постановку начально-краевых задач, эволюционных по выделенной пространственной переменной. Такие задачи для типичных волновых уравнений (уравнение Гельмгольца, классическое волновое уравнение) являются, как правило, некорректными. Поэтому на практике большое распространение получили модели однонаправленного распространения, которые получаются лучевым методом (методом ВКБ), а также методом параболического уравнения.
Метод параболического уравнения, широко применяющий также для решения задач распространения электромагнитных и поверхностных волн, появился в работах М. А. Леонтовича и В. А. Фока при рассмотрении задач приземного распространения радиоволн, далее развивался трудами многочисленных отечественных и зарубежных исследователей, в (далеко не полный) список которых входят Г. В. Малюжинец (электромагнитные волны), F. D. Tappert, Н. Е. Мальцев, К. В. Авилов, О. А. Годин,M. D. Collins, S. T. McDaniel, B. J. Orchard, P. Joly, J. A. Kriegsmann, L. Fishman и W. L. Siegmann (подводная акустика и сейсмика), J. T. Kirby, R. A. Dalrymple, C. C. Mei, P. L. Liu (поверхностные волны). Количество работ, связанных с этим методом, достаточно велико.
Наиболее распространенным методом получения параболических моделей является метод факторизации с последующей рациональной аппроксимацией операторного квадратного корня. Следует отметить, что в этом методе коммутатор операторного квадратного корня с оператором дифференцирования по эволюционной переменной считается пренебрежимо малым и тем самым предполагается лишь слабая зависимость коэффициентов исходного волнового уравнения от эволюционной переменной. Поэтому такой подход применим при рассмотрении только достаточно крупномасштабных задач, в случаях, когда допустимо усреднение по вариациям параметров среды более мелких масштабов.
При рассмотрении мезомасштабных и мелкомасштабных задач подводной акустики необходим тщательный учет переменности свойств среды, как водной, так и морского дна. В таких задачах большое значение имеет горизонтальная рефракция звука, а также рефракция и рассеяние звука на внутренних волнах (Наугольных и др., Кацнельсон и др.). Для учета этих факторов вывод параболических моделей следует производить с использованием асимптотических методов, их которых наиболее подходящим представляется метод многих масштабов. Известные ранее примеры применения этого метода (Orchard et al.) содержат неточности и в целом не достигают указанной цели.
Классический метод параболического уравнения применим только для сред с бесконечно малым изменением показателя преломления по поперечным переменным. Этот вопрос подробно разобран в третьем разделе первой главы диссертации. Поскольку при включении в рассмотрение морского дна вертикальные изменения скорости звука и плотности не могут считаться бесконечно малыми, большое значение для подводной акустики среднего и малого масштабов имеет разработка моделей, использующих модовое представление волнового поля по вертикали и параболических по горизонтальным переменным. Впервые такое уравнение (adiabatic mode parabolic equation) получил Collins (1993) методом факторизации и применил к одной крупномасштабной задаче. Проблема получения таких моделей (как стационарных, так и нестационарных), пригодных для расчета звуковых полей в мелком море, является актуальной. Для таких уравнений следует ставить условия прозрачности на искусственных границах, ограничивающих расчетную область. Граничные условия такого типа рассматривались в многочисленных работах, но задача их получения остается весьма актуальной.
Задача разработки простых моделей распространения внутренних волн в непрерывно стратифицированном океане с переменной топографией дна важна как сама по себе, так и в связи с существенным влиянием этих волн на звуковое поле. Развитие для этих волн метода параболического уравнения, хорошо работающего для поверхностных волн, является актуальной задачей.
Цель работы Получить новые параболические модели для двумерных и трехмерных задач распространения звуковых и внутренних волн в океане, рассмотреть и исследовать постановки основных начально-краевых (смешанных) задач для полученных уравнений, численно реализовать полученные модели и провести тестирующие модельные расчеты.
Вывести новые граничные условия прозрачности для параболических и волновых уравнений.
В качестве первого шага к построению модовых моделей распространения волн в движущейся среде построить теорию возмущений спектральных задач для звуковых и внутренних волн с учетом течения.
Методы исследования Для вывода уравнений применялся обобщенный метод многих масштабов и метод разложений по собственным функциям самосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов. Для анализа начально-краевых задач применялись классические методы общей теории уравнений в частных производных. В отдельных задачах использовались элементы спектральной теории операторных пучков и теории упорядоченных операторов. Для проверки полученных моделей были использованы тестовые численные расчеты и выполнено сравнение с точными и приближенными (приближение Борна) аналитическими решениями.
Научная новизна В диссертационной работе получены следующие новые результаты:
- Разработаны параболические модели для задач распространения звука в нестационарных морских волноводах с зависящими от пространственных переменных и времени параметров и течениями;
- Рассмотрена в характерном для задач распространения звука в океане случае проблема применения стандартного параболического уравнения для двумерных волноводов, имеющих границу раздела, на которой показатель преломления имеет конечный скачок (разрыв первого рода);
- Систематически развит метод многих масштабов в сочетании с методом разложения по собственным функциям для вывода широкоугольных модовых параболических уравнений;
- Выведены широкоугольные модовые параболические уравнения, учитывающие все основные характеристики звуковых волноводов в мелком море и излучение звука в другие моды;
- Разработан метод параболического уравнения для внутренних волн;
- На основе лучевого метода получены и численно реализованы простые абсорбирующие граничные условия для численного решения краевых задач для параболического и волнового уравнений в неограниченных областях;
- Методом упорядоченных операторов получены абсорбирующие граничные условия для численного решения смешанных задач для волнового уравнения в неограниченных волноводах с сильной стратификацией скорости звука;
- Разработаны методы асимптотического решения спектральных задач для операторных пучков, относящихся к звуковым нормальным волнам на слабом течении и внутренним нормальным волнам на течении со слабым сдвигом, являющиеся расширением классического метода Рэлея для самосопряженных задач.
Практическая значимость работы Полученные результаты могут быть использованы для акустического мониторинга акваторий и проектирования систем обнаружения подводных объектов на акваториях.
Выведенные уравнения могут быть использованы для новых постановок обратных задач нахождения свойств морской среды по измеряемому звуковому полю или полю внутренних волн.
Параболическое уравнение для внутренних волн может быть использована для прогноза внутреннего волнения в морях и заливах, включая акватории портов.
Апробация работы и публикации Б ольшая часть результатов работы доложены на семинаре УНелинейная динамикаФ Тихоокеанского океанологического института ДВО РАН(руководитель д.ф.-м.н, профессор С. В. Пранц.). Часть результатов докладывалась на школе-семинаре им. Бреховских (Москва)(1998 и 2003 гг), VII Дальневосточной научно-технической конференции по судовой радиоэлектронике (1-мая 1994 г.) Владивосток,1994, IV Всероссийской акустической конференции УИсследование и освоение Мирового океанаФ, 22-23 декабря 1998 г. Владивосток, 1998, The 8th International Symposium on Acoustic Remote Sensing and Associated Technique of the Atmosphere and Oceans, Moscow, Russia, 27-31 May 1996, The Sixth Pan Ocean Remote Sensing Conference (PORSEC), Bali, 3-September 2002, Дальневосточной школе-семинаре им. Золотова, МЭС УВостокФ, 2008, конференции памяти Шишмарева, Владивосток, 2008, международном семинаре УАкустика неоднородных сред ХФ, Новосибирск, 1-6 июня 2009. Полностью материалы диссертации были доложены на расширенном семинаре лаборатории механики деформируемого твердого тела Института автоматики и процессов управления ДВО РАН (руководитель д.ф.-м.н, чл.корр. РАН А. А. Буренин), расширенном семинаре отдела физики океана и атмосферы (руководитель д.ф.-м.н, профессор С. В. Пранц), объединенном семинаре Института прикладной математики ДВО РАН (руководитель д.ф.-м.н, чл.-корр. РАН М. А. Гузев), Акустическом семинаре Тихоокеанского океанологического института (руководитель д.ф.-м.н, чл.-корр. РАН Г. И. Долгих).
Основные результаты работы опубликованы в 13 статьях, вышедших в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов докторских диссертаций. Список этих, а также некоторых дополнительных работ приведен в конце реферата.
ичный вклад автора В работах теоретического характера автору принадлежат постановки задач и основные результаты, в работах, выполненных совместно с экспериментаторами, автором сделан определяющий вклад в теоретическую часть работы.
Структура и объем работы Диссертация состоит из предисловия, введения, четырех глав и заключения.
Объем работы 274 страницы, в ней содержится 44 рисунка и библиография из 169 наименований.
Содержание диссертации В предисловии кратко обсуждается история вопроса и отмечается вклад различных авторов в решение основных задач.
Во введении обсуждаются особенности постановок задач распространения акустических волн в океане, на характерном примере излагается основной метод предлагаемой работы метод многомасштабных разложений и его применение для получения параболических моделей.
В первой главе получены параболические уравнения для квазимонохроматических пакетов звуковых волн в нестационарных волноводах и обсуждена проблема применения стандартного параболического уравнения для двумерных волноводов с границами раздела, при переходе через которые показатель преломления имеет конечный скачок.
В первом разделе приведен вывод некоторых волновых уравнений, описывающих распространение звука в нестационарных движущихся средах, которые будут применяться в последующих частях работы.
Во втором разделе рассмотрено построение параболических приближений для уравнения распространения звука в нестационарных волноводах (переменные обезразмерены) 1 1 1 px + py + pz - n2pt = 0, x y z t где p акустическое давление, = (x, y, z, t) плотность, n = 1/c показатель преломления, c = c(x, y, z, t) скорость звука.
Построение математических моделей распространения звука в нестационарных средах актуально для изучения влияния на звуковое поле волн другой природы, например, внутренних.
Применяя метод многих масштабов с медленными переменными T = t, X = x, Y = 1/2y, Z = 1/2z, одной быстрой переменной = (1/)(X, Y, Z, T ) и разложениями n2 = n2(X, T ) + (X, Y, Z, T ), p = p0(X, Y, Z, T, ) + p1(X, Y, Z, T, ) +..., мы находим, что pj = Aj(X, Y, Z, T ) exp((i/)(X, Y, Z, T ), где фаза удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби (X)2 - n2 (T )2 = (X + n0T ) (X - n0T ) = 0, (1) и получаем уравнения для амплитуд Aj 1 1 2in0 [Aj,X + n0Aj,T ] + Aj,Y + Aj,Z + Aj = -F, (2) Y Z где = -T локальная частота, 1 1 F = Aj-1,X - n2Aj-1,T + 2i Aj-1,T X T (3) 1 + i T Aj-1 - Aj-2,T.
T T Эти уравнения записаны для волн, распространяющихся в положительном направлении и мы полагаем, что Al = 0 для l < 0.
Полученные уравнения проще, чем известные ранее (Orchard et al., Collins). Показано, что система из первых двух уравнений обобщает известное широкоугольное уравнение, полученное методом факторизации с дробнолинейной аппроксимацией квадратного корня из вертикального оператора, причем наши уравнения содержат некоторые дополнительные члены, которые методом факторизации не улавливаются.
Из уравнения для A0 и уравнения Гамильтона-Якоби получается замкнутое уравнение для p0, имеющее первый порядок по переменной x. Это уравнение обобщает известное 15o уравнение сейсмической миграции (Клаербоут), для которого в литературе имеются только эвристические выводы.
Далее излагается только двумерный случай, допускающий, как это видно из полученного уравнения, прямое обобщение на трехмерный.
Для задач моделирования звуковых волн в океане наибольший интерес представляют начально-краевые задачи для уравнения Гамильтона-Якоби (1) и параболических уравнений (2) с начальными данными при X = 0 в области = {Z0 < Z < Z1} {T0 < T < T1}.
Для энергетической нормы T1 ZE(X) = |XA0|2 dZdT.
T0 Zпри выполнении некоторых простых и естественных требований к граничным условиям, поставленных на , имеет место Теорема 1. Энергетическая норма решения начально-краевой задачи для уравнения (2) при j = 0 удовлетворяет неравенству X n0,s(s, T ) E(X) E(0) exp sup ds (4) n0(s, T ) T Если n0 представим в виде n0 = n0(X)a(T ), верно неравенство n0(X) E(X) E(0) sup a(T ). (5) n0(0) T Непосредственным следствием этой теоремы является единственность решения цепочки начально-краевых задач для уравнений (2), решаемых последовательно, в пространствах вида C([0, X], L2()).
Предложенный подход к широкоугольным параболическим моделям в виде треугольной системы уравнений дает естественную параллелизацию алгоритмов численного решения начально-краевых задач.
Полученные уравнения, записанные в характеристических координатах, принимают вид однопараметрического семейства формально стационарных параболических уравнений, что дает метод их решения, допускающий высокую степень распараллеливания.
В последнем подразделе рассмотрены параболические уравнения, учитывающие течения. Показано, что для них выполняются приведенные выше оценки и верны теоремы единственности. С целью проиллюстрировать значимость введения скоростей течений в параболическое уравнение приведен численный пример.
В третьем разделе рассмотрена задача о применении стандартного (узкоугольного) параболического уравнения к расчету поля в двумерном волноводе с границей раздела, на которой показатель преломления имеет конечный скачок. Здесь рассматривается стационарный случай, когда волновое поле описывается уравнением Гельгольца uxx + uzz + k0n2u = Основатели метода параболического уравнения (Фок, Тапперт) неоднократно подчеркивали то обстоятельство, что вывод этого уравнения, эвристический или формальный, требует, чтобы вариации показателя преломления n по отношению к трансверсальной (вертикальной) переменной были бесконечно малыми (порядка при асимптотическом выводе). Тем не менее, это уравнение используется в многочисленных работах по подводной акустике для вычисления звуковых полей в слоистых средах с конечным скачком показателя преломления на границах раздела, причем условия на этих границах ставятся такие же, как для уравнения Гельмгольца.
В разделе рассмотрен вопрос о применении метода параболического уравнения к для задач в двуслойной среде с конечным скачком показателя преломления на границе слоев в типичном для подводной акустики случае, когда показатель преломления в нижнем слое меньше, чем в верхнем (водном) слое.
Предположим, что, в верхнем слое волновое поле описывается стандартным параболическим уравнением, записанным в нерастянутых координатах координатах (x, z) 2ikBx + ikxB + Bzz + k0B = 0, где волновое поле представлено в виде u = B exp(i), k = x, квадрат показателя преломления представляется в виде n2 = n2(x) + (x, 1/2z), и фаза есть решение уравнения Гамильтона-Якоби (x)2 = k0n2.
Стандартные условия сопряжения на границе раздела, состоящие в непрерывности давления и колебательной скорости, включают как амплитуду волнового поля, так и фазу (что ранее упускалось) и приводят к тому, что в нижнем слое параболическое приближение неприменимо и волновое поле может описываться только полным уравнением Гельмгольца. Учитывая форму представления поля, это уравнение удобно записывать в форме приведенного уравнения Гельмгольца 2ikBx + 2ilBz + i(kx + lz)B + Bxx + Bzz + k0B = 0, где волновое поле и показатель преломления представляются так же, как и в верхнем слое, k = x, l = z, и фаза удовлетворяет уравнению ГамильтонаЯкоби (x)2 + (z)2 - k0n2 = 0.
Условия на границе раздела, записанные с учетом фазы, вместе с условием непрерывности фазы на этой границе, приводят к тому, что в нижнем слое фаза должна иметь положительную мнимую составляющую. Поэтому волновое поле в нижнем слое имеет характер экспоненциального пограничного слоя. Далее применяются идеи метода ВКБ с комплексной фазой (Маслов), которые состоят в том, что в таком случае можно рассматривать решения, асимптотические при стремлении мнимой части фазы к нулю. При некоторых предположениях о поведении показателя преломления в нижнем слое --------0 2000 4000 6000 8000 10000 120Distance, m Рис. 1: Зависимость относительной интенсивности волнового поля (потери на распространение) на оси волновода для решения с полученными в разделе граничными условиями (сплошная линия) и решения методом нормальных мод (штриховая линия).
такое асимптотическое решение для нижнего слоя может быть найдено в явном виде, а поскольку оно определяется значениями поля на границе слоя, то дает граничные условия для волнового поля в верхнем слое. Тем самым задача сводится к решению начально-краевой задачи для параболического уравнения в верхнем слое с найденными граничными условия, после решения которой поле в нижнем слое находится по явным формулам.
Попытки найти граничные условия, замыкающие задачу для верхнего слоя, предпринимались и ранее (Papadakis et al, Arnold, Ehrhardt) но в этих работах комплексный характер фазы в нижнем слое (как, впрочем, и сама фаза) не принимался во внимание, что привело к неверным результатам.
Численные примеры, выполненные для волновода Пекериса с глубиной водного слоя, равной 100 м, подтвердили теоретические соображения. На рис. 1 приведены графики зависимости относительной интенсивности волноTransmission loss, dB --------0 2000 4000 6000 8000 10000 120Distance, m Рис. 2: Зависимость относительной интенсивности волнового поля (потери на распространение) на оси волновода для решения с традиционными условиями на границе раздела (сплошная линия) и решения методом нормальных мод (штриховая линия).
вого поля на оси волновода от расстояния (кривые потерь при распространении). В качестве начальных условий использовалась сумма распространяющихся мод с равными коэффициентами. Отметим, что такое начальное условие является достаточно трудным для узкоугольного (стандартного) параболического уравнения. Приведенные на рис. 2 результаты вычислений с традиционными граничными условиями практически совпадают результатами использования граничных условий из работы (Papadakis et al).
Вторая глава посвящена построению и анализу параболических моделей распространения трехмерных звуковых полей и полей внутренних волн в морских волноводах.
В первом разделе параболические модели трехмерного распространения звука построены в стационарном случае, когда волновое поле описывается Transmission loss, dB уравнением Гельмгольца (Px)x + (Py)y + (Pz)z + n2P = 0, (6) записанного в безразмерных переменных, где P акустическое давление, n показатель преломления, = 1/, плотность, обезразмеренная с использованием типичного значения плотности .
Полагая, что ось x задает преимущественное направление распространения волн, медленные переменные вводятся соотношениями X = x, Y = 1/2y, Z = z. Такие масштабы приводят к параболическим уравнениям в горизонтальных переменных, по вертикальному направлению естественным образом выявляется модовая структура. Малый параметр имеет, как обычно, геометрический смысл и показывает соотношение длин рассматриваемых волн и характерных размеров неоднородностей среды. Показатель преломления представляется в виде n2 = n2(X, z) + (X, Y, z), где n0 вещественно, а мнимая часть показателя преломления, связанная с поглощением звука, отнесена к . Параметр имеет аналогичное представление = 0(X, z) + 1(X, Y, z). Параметры среды могут иметь разрывы на поверхностях z = h(x, y), для которых в медленных переменных постулируется представление h = h0(X) + h1(X, Y ). Таким образом, приняты во внимание все характерные особенности акустической среды мелкого моря, включая дно, за исключением течений.
Применение метода многих масштабов в этом случае дает узкоугольное модовое параболическое уравнение 2ikjAX + ikjXA + AY Y + A = 0, (7) для амплитуды нормальной моды с волновым числом kj, звуковое поле здесь представляется в виде P = A(X, Y ) exp((i/)(X, Y ))j(X, z), где j есть решение известной спектральной задачи с собственным значением kj, в которую входит только главная часть показателя преломления n0. В качестве уравнения Гамильтона-Якоби здесь выступает соотношение X = kj.
Коэффициент выражается формулой умеренной сложности, в которую входят интегралы от собственных функций по вертикали и скачки на поверхности раздела некоторых величин, выражааемые через собственные функции, плотность и показатель преломления.
Следующее приближение по параметру дает параболическое уравнение для широкоугольной поправки 2ikjBX + ikjXB + BY Y + B + AXX + 2ikjAX + (AY )Y + AY + A = 0.
Звуковое поле широкоугольной поправки имеет вид (Bj + A Ejll) exp((i/)), l =j где Ejl коэффициент возбуждения моды с номером l. Таким образом, учтено то обстоятельство (впервые в рассматриваемом методе), что, взаимодействуя с неоднородностями среды, распространяющаяся мода излучает энергию во все остальные моды и тем самым порождает поле порядка иного модового состава. При этом не учитывается резонансное взаимодействия мод с периодическими неоднородностями среды, которое происходит в ведущем порядке и требует для описывается уже системой связанных параболических уравнений для амплитуд взаимодействующих мод.
Коэффициенты последнего уравнения довольно сложным образом зависят от показателя преломления, плотности и значений модовых функций и их вертикальных производных на границах разделов, причем эти параметры могут зависеть от медленных переменных X = x, Y = 1/2y. В выражения для этих коэффициентов входят также коэффициенты Ejl и коэффициенты Cjl разложения производных jX собственных функций по эволюционной переменной X по самим собственным функциям jX = Ejll. Для коэфl фициентов Ejl и Cjl найдены явные формулы.
Впервые широкоугольное уравнение адиабатического распространения мод было выведено Коллинзом (Collins) для среды с более простой структурой. В разделе показано, что полученные уравнения являются расширением уравнения Коллинза, причем содержат существенные дополнительные члены.
В случае, когда плотность не зависит от горизонтальных координат, имеется закон сохранения потока энергии через плоскость (y, z). Показано, что решения выведенных уравнений удовлетворяют этому закону сохранения с точностью O(3).
Поскольку именно учет внутренних границ, на которых происходят скачки показателя преломления и плотности, усложняет формулы для коэффициентов уравнений, приведена попытка получить формулы при наличии этих границ из формул, когда таковых нет, с помощью -образных возмущений плотности и показателя преломления. Показано, что такой подход позволяет получить часть искомых формул.
Для энергетической нормы YE(X) = |kjA|2 dY, Yпри выполнении некоторых естественных требований к граничным условиям на границах Y = Y0,2 (которым, в частности, удовлетворяют однородные условия Дирихле и Неймана), установлена Теорема 2. Энергетическая норма решения начально-краевой задачи для уравнения (7) удовлетворяет неравенству kj(0) E(X) E(0). (8) kj(X) Из этой теоремы непосредственно следует единственность решений начально-краевых задач для полученных уравнений в пространствах вида C([0, X), L2([Y0, Y1])), если на полуинтервале [0, X) kj(X) const > 0.
Проведенные численные эксперименты имели цель качественного и в простых случаях количественного тестирования выведенных уравнений. Для обеспечения поглощения волн на боковых границах расчетной области использовался метод совершенно согласованных (perfectly matched) абсорбирующих слоев (PML), где первые два слова в названии метода означают отсутствие отражения волн на границе между первоначальной расчетной областью и поглощающим слоем. Показано, что введение этих слоев увеличивает устойчивость и не приводит к нарушению теоремы 2. Сравнение результатов решения методом параболических уравнений задачи рассеяния плоской волны на компактных неоднородностях дна специфической формы с результатами решения этой же задачи в борновском приближении показало их удовлетворительную согласованность.
В конце раздела помещено приложение с описанием решения задачи межмодового рассеяния плоской волны на компактных неоднородностях дна в борновском приближении (А. Д. Захаренко).
Во втором разделе приведен краткий вывод нестационарного модового параболического уравнения 1 AX + AT - i AY Y + A = 0, cg 2k где A амплитуда моды с волновым числом k, cg групповая скорость моды.
Приведены (без вывода) формулы, выражающие коэффициент через характеристики среды и вертикальных модовых функций. При выводе этого уравнения среда предполагается не только неоднородной, но и медленно меняющейся по времени. Уравнение Гамильтона-Якоби в этом случае, в отличие от случая стационарных уравнений, не является тривиальным. Поэтому существенной частью раздела являются формулы для пространственновременных лучей, отвечающих уравнению Гамильтона-Якоби. Приведен вид полученного параболического уравнения в соответствующих лучевых координатах. Отмечено, что приведение уравнения к лучевым координатам дает способ решения этого уравнения методами, разработанными для стационарных уравнений.
В третьем разделе из системы линейных уравнений, описывающей движения малой амплитуды невязкой стратифицированной жидкости с гармонической зависимостью от времени t вида e-it получено узкоугольное модовое параболическое уравнение для внутренних волн 1 1 kx Ax + Ayy - A - 0(-H0) H1 (z(x, -H0))2 A = 0, 2ik 2 k 2ik в котором A амплитуда моды с модовой функцией и волновым числом k, частота внутренних волн, H0 + H1 топография дна, причем H0 может медленно меняться вдоль оси x, а H1 H0 также и по оси y.
Параболическое уравнение выведено для непрерывно стратифицированной среды с фоновой плотностью, не меняющейся по горизонтали. Поле внутренних волн выражается через амплитуду A, собственную функцию и фазу формулой, совершенно аналогичной соответствующей формуле для стационарного акустического случая, причем в качестве уравнения ГамильтонаЯкоби также выступает спектральная задача для мод, куда k входит как спектральный параметр.
Отметим, что хотя для внутренних волн известно уравнение КадомцеваПетвиашвили для двуслойной жидкости (Chen, Liu, 1995), простое линейное параболическое уравнение для среды с непрерывной стратификацией нами выведено впервые. Несмотря на то, что нелинейность играет существенную роль в распространении внутренних волн, переменность коэффициентов уравнения имеет превалирует над нелинейностью в задачах с сильно переменной топографией дна и небольшой дистанцией распространения. Таким образом, полученное уравнение пригодно для расчетов внутренних волн в небольших морях и заливах.
Постановка и анализ начально-краевых задач для полученного уравнения во многом аналогична акустическому случаю. Для введенной выше энергетической нормы установлена Теорема 3. Энергетическая норма решения начально-краевой задачи для параболического уравнения удовлетворяет равенству k(x) E(x) = E(0).
k(0) Из этой теоремы непосредственно следует единственность решений начально-краевых задач для полученного уравнения в пространствах вида C([0, X), L2([Y0, Y1])).
Проведенные численные эксперименты имели цель тестирования выведенных уравнений. На боковых границах в этом случае были применены нелокальные граничные условия прозрачности Баскакова-Попова, вывод которых был немного модифицирован для того, чтобы охватить интересующие нас случаи. Этот вывод приведен в приложении к первому разделу главы 3.
На примере задачи рассеяния плоской волны на компактных неоднородностях дна специфической формы проведено сравнение результатов, полученных применением параболического уравнения с результатами решения в борновском приближении.
В конце раздела помещено приложение с описанием решения задачи межмодового рассеяния плоской волны на компактных неоднородностях дна в борновском приближении (А. Д. Захаренко).
В третьей главе рассмотрена задача построения абсорбирующих граничных условий для параболического (нестационарного уравнения Шредингера) и волнового уравнений. Такие условия необходимо ставить на тех границах расчетной области, отражение волн от которых нежелательно. Это особенно актуально для расчетов с использованием модовых параболических уравнений, где границы расчетной области редко имеют физический смысл.
Построение таких граничных условий состоит в выделении из уравнения, описывающего распространяющиеся волны той его части, которая описывает волны, распространяющиеся в определенном направлении. Наиболее популярный метод такого выделения состоит в факторизации уравнения. Например, для уравнения типа нестационарного уравнения Шредингера iux + (x)uyy + (x, y)u = 0, факторизация iux + uyy + u i - i + i x y - i - i u = 0, x y которая имеет приближенный характер, поскольку операторы i /y и /x - i вообще говоря, не коммутируют, дает два множителя. Один из них описывает волны, распространяющиеся вдоль оси y влево, а другой вправо. Поэтому эти множители можно использовать для формулировки абсорбирующих граничных условий на границах вида x = a, просто приравнивая соответствующий множитель нулю.
Следует, однако, заметить, что множители являются уже псевдодифференциальными операторами, применение метода конечных разностей к которым не просто. Иногда удается построить приемлемую вычислительную процедуру, как в методе Баскакова-Попова, который изложен в приложении к первому разделу данной главы. Чаще используют дифференциальные аппроксимации псевдодифференциальных операторов, получая тем самым приближенные граничные условия. Впервые это было сделано в семидесятых годах в статье Энгквиста и Майды, в основном для случая уравнений с постоянными коэффициентами.
В последнее время большую популярность приобрели абсорбирующие условия, называемые условиями Хигдона. Они имеют вид J + Cj u = 0, (9) t x j=где Cj некоторые константы. Эти условия получены формальным рассмотрением плоской волны, падающей под углом на границу, и тем самым предназначены для уравнений с постоянными коэффициентами, хотя имеются попытки распространить их на более общий случай. В качестве коэффициентов в этих условиях предлагается брать фазовые или групповые скорости волн, но в общем случае удовлетворительный алгоритм подбора коэффициентов отсутствует. Хигдон доказал (в случае постоянной скорости звука c) что класс этих условий содержит все граничные условия, получаемые аппроксимациями Паде однонаправленных множителей волнового оператора (граничные условия Энгвиста-Майды).
Метод многих масштабов также позволяет построить приближенные однонаправленные уравнения. При этом, имея в своем распоряжении фазовую функцию , можно более гибко выделять требуемое направление волн. Это соображение и используется в главе 3.
Другими словами, предлагается вместо плоских волн рассматривать ВКБ-приближения, имеющие более общую форму.
Эти идеи имеют отношение к первым двум разделам третьей главы, последний раздел использует другие соображения.
В первом разделе проведено построение новых простых условий прозрачной границы для параболического уравнения iux + (x)uyy + (x, y)u = 0, Для этого мы растягиваем переменные одинаковым образом X = x, Y = y, вводим продолженные производные и получаем обычным образом уравнение Гамильтона-Якоби для фазовой функции и амплитудные уравнения для амплитуд нулевого порядка A0 и первого порядка A1. Задача теперь заключается в том, чтобы получить уравнения для нулевого приближения поля u A0 exp((i/)) и первого приближения u (A0 + A1) exp((i/)) Решая эту задачу, мы получаем для расчетной области a y b приближенные абсорбирующие граничные условия нулевого порядка ux 2|k|uy - ik2u |k|y = 0 при y = a, y = b, (10) и условия первого порядка i( + 3k2)uy - uxy 3i|k|ux |k|(k2 + 3)u+ (11) iyu |k|yyu 3i|k||k|yu 6|k|yuy = 0 при y = a, y = b, --------0 1 2 3 4 x Рис. 3: Зависимость относительной интенсивности от x: сплошная линия при использовании граничных условий Баскакова-Попова, штриховая линия при использовании граничных условий (11), штрих-пунктирная линия при использовании граничных условий (10).
где k = Y и знаки Т-Т и Т+Т соответствуют y = a и y = b соответственно.
Эти граничные условия для простоты записаны в предположении исчезновения потенциала на границе области. Это предположение для данного метода не является существенным и приведенные граничные условия допускают соответствующее обобщение.
Показано, что эти условия являются обобщением граничных условий, полученных ранее с использованием факторизации и аппроксимации Паде P и P1 квадратного корня /x - i (Shibata), (Kuska).
Численные эксперименты были проведены с гауссовскими пучками, задаваемыми начальными условиями u(0, y) = exp(-y2/a2 + ik0y). Результаты расчетов на области 0 x 5, -10 y 10 с использованием сетки 500 400 точек представлены на рис. 3 в виде графика зависимости от x величины = |u(x, y)|2 dy/ |u(0, y)|2 dy. Поскольку моделируемый y y гауссовский пучок с параметрами a = 3, k0 = -5 проходит через боковую границу области, величина при больших x в основном показывает относительную интенсивность волн, отразившихся от боковых границ y = -10, y = 10. Следует отметить, что на грубой сетке условия нулевого порядка работают лучше условий первого порядка, преимущество последних проявляется в данном случае на сетках, б ольших 1250 1000. Приведенные результаты (см. рис. 3) показывают удовлетворительную работоспособность полученных граничных условий.
Во втором разделе построены аналогичные граничные условия для волнового уравнения с двумя пространственными переменными uxx + uyy - ut = 0.
ct При этом, в силу однородности волнового уравнения, допустима более общая зависимость приближенного решения от фазы u A(X, Y, T )(), что позволяет рассматривать также и асимптотики по гладкости, используя в качестве ступенчатую функцию Хевисайда и её (обобщенные) производные.
0.0.-0.-0.-0.8 10 12 14 16 18 20 22 t Рис. 4: Зависимость среднеквадратичной ошибки от времени. Сплошная линия ошибка при использовании граничных условий (12), Штрих-пунктирная и штриховая линии ошибки при использовании граничных условий Энгквиста-Майды первого и второго порядков соответственно.
Аналогично предыдущему разделу получены приближенные абсорбирующие граничные условия 1 u + ut + (ku)x + kux + (lu)y + luy = 0 (12) c2 ct где = -T, k = X и l = Y и вектор (k, l) на границе направлен вовне области. Показана корректность смешанной задачи для волнового уравнения с этими граничными условиями.
Численные эксперименты были проведены с волной, произведенной отработавшим малое время точечным источником. В качестве бралась функция Хевисайда, входящая в фундаментальное решение двумерного волнового уравнения. В данном случае сравнение с граничными условиями нулевого и первого порядков Энгквиста-Майды (Engquist, Majda, 1977), полученных методом факторизации, показало л учшее качество условий (12). Так, после 380 шагов по времени ошибка (L2-норма разности рассчитанного и точного решений) составила для условий (12) 0.7575, а для условий Энгквиста-Майды нулевого и первого порядков 1.6343 и 0.83соответственно. Для сравнения укажем, что ошибки при использовании условий Дирихле и Неймана составляют соответственно 11.8878 и 11.8248.
Зависимость ошибок от времени приведена на рис. 4.
В третьем разделе получено новое параболическое уравнение нестационарная форма range refraction параболического уравнения Тапперта и исследовано применение этого уравнения в качестве абсорбирующих граничных условий для волнового уравнения в волноводе с сильной зависимостью скорости звука от вертикальной координаты y. Именно, рассматривается распространение волн в двумерном волноводе = {(x, y)| - < x < , a < y < b}, описываемое волновым уравнением 1 2u 2u 2u L u = - - = 0, c2 t2 x2 yи для нахождения абсорбирующих граничных условий на вертикальных границах рассматривается факторизация волнового оператора на однонаправленные псевдодифференциальные множители 1 2 L = L+ L-, L = D, D = -, (13) x c2 t2 yгде используется полностью положительная ветвь квадратного корня. В аппроксимации квадратного корня в этих множителях обычно используется предположение об узкоугольном распространении по отношению к оси x, то есть считается, что оператор (1/c2)(2/t2) = A имеет порядок O(1), а (2/y2) = B имеет порядок относительного некоторого малого параметра . В случае постоянной скорости звука c, когда операторы A и B коммутируют, использование обычных рациональных аппроксимаций функции квадратного корня дает локальные (дифференциальные) волновые уравнения.
При сильной зависимости c от y операторы A и B не коммутируют даже приближенно и применимость стандартных рациональных приближений к операторному квадратному корню в уравнении (13) становится проблематичной. На самом деле трудности возникают уже при рассмотрении аппроксимации первого порядка (линейной по B). Эта задача в частном случае впервые была решена Фейнманом, который в своей статье начала пятидесятых годов ввел исчисление упорядоченных операторов и формулы выпутывания для них.
В конце семидесятых годов Ф. Тапперт вывел так называемое range refraction параболическое уравнение для одночастотного распространения звука в волноводах с произвольной зависимостью показателя преломления от глубины:
n1 1 v 1 nyy y ivx + + k0 n + - v = 0, 2k0 y n y 4k0 n3 nгде n показатель преломления и k0 опорное волновое число. Он использовал формулу выпутывания 1/2 1/C = e-sA Be-sA ds.
для разложения (A + B)1/2 = A1/2 + C + O(2) В этом разделе получена формула выпутывания Тапперта из формулы Далецкого и Крейна, относящейся к исчислению упорядоченных операторов, и верной для некоторого общего класса операторных функций f 1 f( ) - f( ) A A f(A + B) = f(A) + + O(2), B 1 A A где номера над операторами (называемые Фейнмановскими номерами) определяют порядок, в котором они действуют.
Из приведенной формулы выпутывания получена нестационарная форма уравнения Тапперта для волн, распространяющихся вправо и влево c2 1 y ux ut cyy - u(t - s, x, y)ds c 4 c (cuy(t - s, x, y))y ds = 0.
Далее рассмотрено применение этого уравнения как абсорбирующего граничного условия на вертикальных границах волновода. Доказана корректность смешанной задачи для волнового уравнения с таким граничным условием.
Проведенные расчеты (в диссетации не приводятся) показывают полученные граничные условия, которые формально являются условиями первого порядка, работают лучше, чем условия Хигдона второго и третьего порядков.
В четвертой главе рассмотрена проблема вычисления нормальных мод полей звука и внутренних волн на течении, что сводится к решения некоторых спектральных задач для операторных пучков. Эта проблема естественно возникает при попытке вывести соответствующие модовые параболические уравнения, и поскольку наиболее приемлемый для практических задач результат можно получить только для слабых в том или ином смысле течений, то естественно и эту задачу рассматривать методом возмущений.
Рассмотренные в главе спектральные задачи, в случае полиномиальных пучков, могут быть (не однозначно) сведены к спектральной задаче для некоторого оператора, то есть к спектральной задаче для линейного операторного пучка, но этот оператор обычно не является самосопряженным. Таким образом, в этих задачах обычно отсутствует внутренним образом определенная эрмитова метрика, хотя многие задачи определяют так называемую индефинитную метрику (то есть метрику, определенную индефинитным скалярным произведением). В построении рэлеевской теории возмущений для получения некоторых явных формул необходима нормировка собственных функций, естественное определение которой в рассматриваемых задачах отсутствует. Нами предложена, при рассмотрении собственных значений кратности единица, нормировка собственных функций в виде условия отсутствия присоединенных функций. На приведенных в главе примерах показано, что такая нормировка обеспечивает построение теории возмущений и переходит в обычную нормировку собственных функций спектральной задачи для неподвижной среды при стремлении параметра возмущения к нулю.
В первом разделе методами теории возмущений решается задача о вычислении с точностью до первого порядка числа Маха вертикальных модовых функций акустических нормальных мод в слоистой среде с низкоскоростным горизонтальным течением.
d 1 d 2 + n22 = k2, dz 2 dz 1 d = 0, = 0, 2 dz z=0 z=-H где = (z) плотность, n(z) = 1/c(z) показатель преломления, c = c(z) скорость звука, k волновое число, = 1 - kv, v = v(z) скорость те чения. Переменные обезразмерены с использованием шкалы длины h = c/, шкалы времени -1 (где круговая частота звука, c типичное значение скорости звука) и шкалы плотности (типичное значение плотности).
Для собственной функции с собственным значением k2 из условия l l отсутствия присоединенных функций выводится условие нормировки 1 1 - d l + 2 dz = 1, l 3 lk2 dz -H которое совпадает с обычным условием нормировки для неподвижной среды при = 1.
С числом Маха в качестве малого параметра разыскиваются члены разложения = 0 + M 1 + M2 2 +... ;
j j j j k = k0 + M k1 + M2 k2 +..., j j j j где 0 и k0 собственная функция и волновое число для неподвижной j j среды. Например, для поправки первого порядка к волновому числу k1 поl лучается 1 d 0 d l l k1 = - v k0 l0 l0 + dz.
l l dz dz -H -------0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -M x Рис. 5: Зависимость относительных ошибок аппроксимации собственного числа первой моды от числа M для иллюстративного примера: сплошная линия 1, штриховая линия 2, пунктирная линия eff, штрих-пунктирная линия pade.
Первое приближение для мод на течении представлялось в виде ряда по собственным функциям оператора для неподвижной среды. Для коэффициентов ряда найдены простые выражения, в которые входят квадратуры собственных функций неподвижной среды и некоторые другие характеристики спектральной задачи для неподвижной среды.На основе этих результатов получено выражение для приближения второго порядка по числу Маха для волнового числа. Показано, что найденные приближения для собственных функций удовлетворяют условию псевдоортогональности с точностью до O(M2).
Представлен иллюстрирующий выведенные формулы простой пример, допускающий явное аналитическое решение. В этом примере течение имеет постоянную скорость в нижней половине волновода и отсутствует (скорость течения равна нулю) в верхней половине. Вычисленные собственные значения сравнивались с вычисленными с помощью приближения эффективной скорости звука (Годин и др., 1993) и в целом оказались значительно точнее.
На рис. 5 приведены графики зависимостей от числа Маха относительных ошибок аппроксимаций собственного числа первой моды: 1 относительной ошибки при аппроксимации первого порядка, 2 второго, eff приближения эффективной скорости звука и pade аппроксимации Паде, полученной из аппроксимаций первого и второго порядков. Результаты для других мод аналогичны.
Во втором разделе в рамках первого порядка регулярной теории возмущений, где в качестве малого параметра берется отношение характерного сдвига скоростей течения к фазовой скорости моды, получено приближенное решение спектральной задачи Тейлора-Гольдштейна на отрезке [-H, 0], записанной для амплитуды изопикнического поднятия w (z) = k(U - c) d d d (U - c)2 - k2(U - c)2 - G = 0, dz dz dz с граничными условиями (-H) = 0, (0) = 0, где w вертикальная компонента скорости, U = U(z) скорость горизонтального течения, c фазовая скорость, k горизонтальное волновое число, = (z) плотность. Переменные обезразмерены, параметр G есть gh-1N-2, где g ускорение свободного падения.
Условие нормировки для собственных функций, полученное из требования отсутствия присоединенных функций и переходящее в общепринятое в случае неподвижной среды, здесь такое:
d c (c - U) + k22 dz = 1. (14) dz -H ------0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0. Рис. 6: Зависимость относительных ошибок приближений фазовой скорости второй моды примера 2 от малого параметра : сплошная линия ошибок первого приближения, штриховая линия ошибок второго приближения и штрих-пунктирная линия ошибок аппроксимации Паде.
Разыскиваются члены разложений = 0 + 1 +...
l l l (15) c = c0 + c1 +...
l l l малый параметр, 0, c0 решение задачи для неподвижной среды.
l l Например, поправка первого порядка для фазовых скоростей имеет вид d l c1 = c2 U1 + k2 2 dz.
l l l 0 dz -H Собственные функции на течении находятся в форме ряда по собственным функциям неподвижной среды. Приводятся формулы для коэффициентов этих рядов. На основе этих результатов получено выражение для второго приближения к фазовой скорости, а также дробно-линейной аппроксимации Паде.
Представлены иллюстрирующие выведенные формулы простые примеры. В первом примере течение имеет постоянную скорость в нижней половине волновода и исчезает в верхней половине. Такой пример имеет явное аналитическое решение. Во втором примере течение имеет линейный сдвиг по вертикали. Этот пример допускает аналитической решение при принятии приближения Буссинеска и динноволнового приближения. В обоих примерах базовая стратификация плотности экспоненциальная.
На рис. 6 приведены графики зависимостей относительных ошибок первого и второго приближений, а также аппроксимации Паде фазовой скорости первой моды для первого примера.
В Заключении сформулированы основные результаты работы:
1. Методом многомасштабных разложений получены параболические приближения произвольного порядка для задач распространения звука в нестационарных волноводах, в том числе при наличии течений.
Рассмотрены постановки начально-краевых задач, получены условия устойчивости и единственности решений.
2. Произведен анализ особенностей применения метода параболического уравнения для волноводов, имеющих границы раздела, на которых индекс рефракции терпит разрыв первого рода с конечным скачком. Теоретически показана неправомерность использования в такой задаче метода параболического уравнения с обычно применяемыми условиями на границе раздела. Численными экспериментами подтверждены теоретические выводы.
3. Методом многомасштабных разложений в первом порядке малого параметра получено параболическое уравнение для амплитуды акустической нормальной моды в общности, достаточной для применения этого уравнения в трехмерных задачах акустики океана. В следующем порядке получено параболическое уравнение для широкоугольной поправки к этой амплитуде. Показано, что эти два уравнения вместе могут рассматриваться как широкоугольное модовое параболическое уравнение. Рассмотрены постановки начально-краевых задач для полученных уравнений, получены условия устойчивости и единственности решений.
Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.
4. Методом многомасштабных разложений выведено нестационарное параболическое уравнение для амплитуды акустической нормальной моды, распространяющейся в неоднородной и нестационарной среде. Получены уравнения характеристик и условия на характеристиках для этого уравнения.
5. Методом многомасштабных разложений выведено линейное параболическое уравнение для амплитуд нормальных мод внутренних волн, распространяющихся в непрерывно стратифицированной среде над неровным дном. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.
6. Получены новые приближенные абсорбирующие граничные условия для уравнений типа нестационарного уравнения Шредингера, основанные на факторизации уравнения Гамильтона-Якоби вместо факторизации оператора уравнения. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.
7. Получены новые приближенные абсорбирующие граничные условия для волнового уравнения, основанные на построении однонаправленных приближений к этому уравнению методом многомасштабных разложений. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.
8. Построена регулярная теория возмущений низших порядков для получения приближенного решения спектральной задачи для акустических мод на слабом течении. Проведено сравнения с другими приближенными методами.
9. Построена регулярная теория возмущений низших порядков для приближенного решения спектральной задачи Тейлора-Голдштейна для мод внутренних волн на течении со слабым сдвигом. На простых примерах подтверждена эффективность полученных формул.
Публикации по теме диссертации в журналах, рекомендованных ВАК 1. Борисов Н. Г., Гриценко А. В., Козицкий С. Б., Никора О. И., Рутенко А. Н., Трофимов М. Ю., Филонов А. Е. Флуктуации гидроакустических сигналов, обусловленные внутренними волнами // Акуст. журн.
1994. T. 40, № 5. C. 749-755.
2. Коротченко Р. А., Кузнецов Ю. А., Рутенко А. Н., Трофимов М. Ю.
Акустико-гидрофизические эффекты, порождаемые рыболовным судном с донным тралом // Акуст. журн. 1995. T. 41, № 2. C. 260-266.
3. Борисов С. В., Коротченко Р. А., Рутенко А. Н., Трофимов М. Ю.
Пример численного моделирования влияния нелинейных внутренних волн на распространение звука в мелком море // Акуст. журн. 1996.
T. 42, № 5.
4. Трофимов М. Ю. Узкоугольные параболические уравнения адиабатического распространения звука одной моды в горизонтальнонеоднородном мелком море // Акуст. журн. 1999. Т. 45. № 5. С. 647-652.
5. Трофимов М. Ю. Параболические уравнения с зависимостью от времени для двумерных акустических волноводов // Письма в ЖТФ. 2000.
Т. 26, № 17. С. 94-98.
6. Трофимов М. Ю. Вычисление собственных значений и функций акустических нормальных мод в слоистой среде с горизонтальным течением // Акуст. журн. 2000. T. 46, № 2. C. 274-278.
7. Трофимов М. Ю. О вычислении нормальных мод внутренних волн на течении со слабым сдвигом // Известия АН. Физика атмосферы и океана. 2000. T. 36, № 2. C. 294-301.
8. Трофимов М. Ю. Широкоугольные модовые параболические уравнения // Акуст. журн. 2002. T. 48, № 6. C. 274-278.
9. Трофимов М. Ю. Новый вывод граничных условий прозрачности для параболических уравнений // Письма ЖТФ. 2005. Т. 31, вып. 9. C. 8994.
10. Трофимов М. Ю. О новом подходе к асимптотическим абсорбирующим граничным условиям для волнового уравнения // Письма ЖТФ. 2007.
T. 33, вып. 3. C. 21-26.
11. Trofimov, M. Yu. On the interface and boundary conditions in the parabolic equation method // Europhysics letters. 2007 V. 77. P. 64005-64011.
12. Trofimov, M. Yu., Kozitskiy, S. B., Zakharenko, A. D On the parabolic equation method in internal wave propagation // Ocean Modelling. 2007.
V. 17, No. 4. P. 327-337. arXiv:physics/0609189.
13. Petrov, P. S., Trofimov, M. Yu., A nonstationary form of the range refraction parabolic equation and its application as an artificial boundary condition for the wave equation in a waveguide // Europhysics Letters.
2009. V. 85. P. 34001-p1-34001-p6. arXiv:math-ph/0908.1249.
Публикации в сборниках трудов и препринты 14. Trofimov M. Yu. Modal acoustic tomography with mode interaction // Proceedings of the 8th International Symposium on Acoustic Remote Sensing and Associated Technique of the Atmosphere and Oceans, Moscow, Russia, 27-31 May 1996. P. 2.31-2.15. Korotchenko R. A., Rutenko A.,N., Trofimov M. Yu. Experimental investigations of internal waves influence on the propagation of lowfrequency sound in shallow sea // Proceedings of the 8th International Symposium on Acoustic Remote Sensing and Associated Technique of the Atmosphere and Oceans, Moscow, Russia, 27-31 May 1996. P. 2.19-2.16. Бондарь Л. Ф., Гриценко А. В., Рутенко А. Н., Трофимов М. Ю.
Акустико-гидрофизическая трасса в шельфовой зоне Японского моря // В кн. "Акустика океана." Сб. трудов школы-семинара акад. Л. М.
Бреховских. М.:ГЕОС, 1998. С. 178-117. Трофимов М. Ю. Использование брэгговского рассеяния звука на поверхностных и внутренних волнах для акустического зондирования неоднородностей скорости звука в мелком море // В кн. "Труды IV Всероссийской акустической конференции "Исследование и освоение Мирового океана 22-23 декабря 1998 г. Владивосток, 1998. C. 52-54.
18. Трофимов М. Ю. Модовое параболическое уравнение для расчета трехмерных звуковых полей в мелком море // В кн. "Труды IV Всероссийской акустической конференции "Исследование и освоение Мирового океана 22-23 декабря 1998 г. Владивосток, 1998. C. 55-57.
19. Трофимов М. Ю. Об использовании брэгговского рассеяния звука на поверхностных и внутренних волнах для акустического зондирования гидро- и геофизических неоднородностей в мелком море // В кн. "Информатика и моделирование в океанологических исследованиях". Владивосток: Дальнаука, 1999. С. 180-185.
20. Трофимов М. Ю. Акустическая модовая томография с учетом взаимодействия мод // В кн. "Морская акустика и гидрофизика"(Труды ДВГТУ, вып. 121, сер. 9. Акустика) Владивосток: изд-во ДВГТУ, 1999.
C. 35-47.
21. Trofimov M. Yu. Time dependent adiabatic mode parabolic equation // Proceedings of The Sixth Pan Ocean Remote Sensing Conference (PORSEC), Bali, 3-6 September 2002, Vol. II, pp. 773-777.
22. Трофимов М. Ю., Коротченко Р. А. Характеристики нормальных мод в упругом волноводе при малых скоростях сдвиговых волн // В кн.
"Акустика океана." Доклады X Школы-семинара акад. Л. М. Бреховских. М.:ГЕОС, 2004. С. 173-176.
23. Trofimov M. Yu. A new approach to the absorbing boundary conditions for the Schrdinger type equations // arXiv:math-ph/0611031.
24. Трофимов М. Ю., Козицкий С. Б., Захаренко А. Д. Модовые параболические уравнения в акустике океана // Дальневосточные моря России.
М.: Наука, 2007. Кн. 4: Океанологические исследования. С. 385-395.
25. Trofimov M. Yu. An adiabatic mode time-dependent parabolic equation // arXiv:physics/0909.0204.
26. Trofimov M. Yu. Non-stationary parabolic equations for the quasimonochromatic sound propagation in media with a non-stationary background flow // arXiv:physics/0909.0205.