Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям
На правах рукописи
ШЕРЫХАЛИНА Наталия Михайловна
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ И ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ МНОГОКОМПОНЕНТНОГО АНАЛИЗА РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (технические наук
и)
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук Уфа - 2012
Работа выполнена на кафедре компьютерной математики Уфимского государственного авиационного технического университета
Научный консультант: д-р физ.-мат. наук, проф.
Житников Владимир Павлович
Официальные оппоненты: д-р техн. наук, проф.
Гимранов Эрнст Гайсович, Уфимский государственный авиационный технический университет, кафедра прикладной гидромеханики д-р техн. наук, проф.
Прохоров Сергей Антонович, Самарский государственный аэрокосмический университет, кафедра информационных систем и технологий д-р физ.-мат. наук, проф.
Спивак Семен Израилевич, Башкирский государственный университет, кафедра математического моделирования Ведущее предприятие Институт механики Уфимского научного центра РАН, г. Уфа
Защита диссертации состоится 30 мая 2012 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д-212.288.при Уфимском государственном авиационном техническом университете по адресу: 450000, Уфа, ул. К. Маркса,
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уфимского государственного авиационного технического университета
Автореферат разослан л апреля 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета В. В. Миронов д-р техн. наук, проф.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность. Практически во всех областях современных научных исследований одним из основных инструментов изучения поведения сложных объектов является математическое моделирование, которое позволяет заменить натурный эксперимент математическим, т.е. численным. С помощью математического моделирования можно исследовать различные процессы и явления, а также отслеживать изменения различных параметров, их взаимовлияние, что позволяет принимать обоснованные решения.
Поскольку невозможно отразить все свойства реального объекта, любая математическая модель является приближенной. Целью математического моделирования и не является отражение всех свойств. Моделью придется пользоваться, а значит она должна быть достаточно простой. Поэтому разработка новых методов математического моделирования, развитие качественных приближенных численно-аналитических методов исследования математических моделей, а также тестирование и обоснование их эффективности является на сегодняшний день крайне важным.
Возрастающие потребности в математическом моделировании сложных объектов приводят к необходимости рассматривать задачи, решение которых даже на современных компьютерах представляет большие трудности. В последние годы рост быстродействия вычислительной техники достигается, как правило, за счет увеличения числа процессоров. Поэтому поиск подходов к математическому моделированию, позволяющих наиболее полно использовать результаты нескольких вычислительных процессов является актуальным.
Комплексное исследование научных проблем с применением современных технологий математического моделирования, вычислительным экспериментом и разработкой комплексов программ для проведения этого эксперимента представляет собой очень сложный процесс, достоверность результатов которого необходимо обосновывать, поскольку решение многопараметрической задачи сопровождается появлением на всех этапах различных видов погрешности, а именно погрешности математического моделирования, погрешности исходных данных, погрешности округления, погрешности численного метода и дополнительной ненаблюдаемой погрешности. Источниками этих видов погрешности является ограниченность времени, памяти, разрядности и надежности.
Анализ большого количества работ по этой тематике показывает, что в настоящее время достаточно мало внимания уделяется вопросам обоснования достоверности полученных с помощью математического моделирования результатов. В вычислительной практике преобладают упрощенные методы обоснования достоверности и оценки погрешности, которые не обладают необходимой надежностью. Во многих опубликованных численных результатах содержатся ошибки в разрядах, которые декларируются как верные. Проверка опубликованных численных данных представляет существенно большую сложность по сравнению с математическими преобразованиями, поскольку значительная часть работы (например, программа расчета) остается скрытой. Качество анализа численных погрешностей существенно зависит от опыта и интуиции иссле дователя, применяющего различные приемы, не поддающиеся описанию и остающиеся за рамками научных публикаций. Сравнение численных данных с результатами физических экспериментов, которое часто используется для оценки погрешности, дает возможность оценить только погрешность аппроксимации, которая содержит в себе погрешность модели, погрешность эксперимента и погрешность вычислений. При отсутствии оценки вычислительной погрешности эта сумма не дает возможности оценить погрешность математической модели.
В связи с этим разработка методов оценки погрешности и обоснования достоверности этих оценок является весьма актуальной проблемой.
Целями исследований является:
Повышение достоверности результатов математического моделирования с помощью разработки методов многокомпонентного анализа результатов вычислительного эксперимента, а также численных методов и комплексов программ, оценка эффективности этих методов при решении прикладных задач.
Для достижения этих целей необходимо решить следующие задачи:
1. Разработать методы фильтрации и идентификации результатов вычислительного эксперимента на базе различных математических моделей технических объектов и процессов в рамках концепции многокомпонентного анализа.
2. Разработать методы проверки адекватности результатов вычислительного эксперимента на основе сравнения интервалов неопределенности, полученных с помощью численной фильтрации.
3. Обосновать и протестировать методы многокомпонентного анализа результатов вычислительного эксперимента для типовых численных методов математического моделирования.
4. Разработать численно-аналитические методы решения задач математического моделирования, реализовать их виде комплексов программ, обосновать и протестировать посредством многокомпонентного анализа.
5. Провести комплексное исследование прикладных задач математического моделирования с помощью предложенных методов многокомпонентного анализа и разработанных комплексов программ, оценить эффективность предложенных методов.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Методы повторной численной фильтрации результатов вычислительного эксперимента, заключающиеся в последовательном исключении компонент и идентификации оставшихся. Способ обоснования оценок погрешности моделей с помощью визуализации многокомпонентной модели погрешности.
2. Методы проверки адекватности результатов вычислительного эксперимента основанные на проверке факта пересечения интервалов неопределенности. Оценки доверительной вероятности и возможности ее увеличения при сравнении нескольких интервалов и повышении точности.
3. Результаты применения предложенных методов многокомпонентного анализа к исследованию составляющих погрешности типовых численных мето дов с различными типами моделей погрешности. Выявленные закономерности изменения погрешностей округления и численных методов от шага дискретизации и других параметров.
4. Численно-аналитические методы решения задач моделирования процессов течений идеальной весомой жидкости и электрохимической обработки со свободными границами. Их реализация в виде комплексов программ. Результаты идентификации модели крутых волн (численное обоснование гипотезы Стокса).
5. Результаты комплексных исследований задач гидродинамики и электрохимического формообразования, проведенных с помощью разработанных численно-аналитических методов и многокомпонентного анализа, и полученные приближенные аналитические модели.
Научная новизна 1. Новизна разработанных методов численной фильтрации и идентификации результатов вычислительного эксперимента заключается в предложенном способе получения и обоснования оценок погрешности и эталона с помощью двухэтапной фильтрации на основе многокомпонентной модели погрешности, что в отличие от методов экстраполяции и регуляризации, позволяет получить непротиворечивые оценки составляющих погрешностей искомых параметров.
2. Новизна разработанных методов проверки адекватности результатов вычислительного эксперимента заключается в том, что в отличие от применяемого на практике сравнения приближенных значений, проверяется попадание тестового решения в полученный интервал или факт пересечения интервалов неопределенности, что согласно полученным оценкам, позволяет уменьшить вероятность необнаружения ошибки на несколько порядков. Этим существенно повышается эффективность тестирования.
3. С помощью многокомпонентного анализа получены достоверные данные о закономерностях накопления погрешности округления, интерполяции и др.
Проведенный вычислительный эксперимент показал, что зависимость погрешности численных методов от параметра дискретизации в различных (в том числе и сингулярных) случаях представляется в виде суммы компонент различного вида, что позволяет эффективно использовать многокомпонентный анализ.
4. Новизна результатов, полученных с помощью разработанных методов многокомпонентного анализа и предложенных численно-аналитических методов при решении известной задачи (численное обоснование гипотезы Стокса) заключается в выявлении 4 новых компонент модели крутых волн, что позволило с высокой точностью аппроксимировать их характеристики.
5. Новизна результатов комплексного исследования модели течения жидкости в центробежной форсунке заключается в разрешении парадокса, связанного с принципом максимального расхода. Найдены решения с расходом, отличающимся от максимального на 2Ц3% при сверхкритическом режиме течения. Проведенный многокомпонентный анализ задач электрохимической обработки дал возможность получить новые приближенные аналитические модели нестационарных процессов электрохимической обработки.
Достоверность результатов Достоверность результатов подтверждается тестированием моделей и методов оценок погрешности с помощью сравнения с известными решениями и применением нескольких способов решения задач.
Практическая ценность Практическую ценность представляют разработанные методы фильтрации результатов численного эксперимента и комплексы программ, которые могут быть использованы в вычислительной практике для уточнения и оценки погрешности решения прикладных задач, а также полученные численные результаты, которые могут быть использованы при проектировании технологических процессов, что подтверждается актом о внедрении в ООО ЕСМ.
Результаты исследований внедрены также в учебный процесс УГАТУ при реализации учебных планов по дисциплинам Численно-аналитические методы, Экстраполяционные методы оценки погрешности, Вычислительная математика по направлениям 01.03.00ЦМатематика. Компьютерные науки, 23.01.00-Информатика и вычислительная техника.
Работа проводилась по тематике госбюджетных НИР УГАТУ Создание математических моделей естествознания, Исследование взаимосвязи вычислительных алгоритмов и архитектур высокопроизводительных вычислительных систем, в рамках Федеральной целевой программы Интеграция науки и высшего образования России на 2002 - 2006 годы, программы Президента Ведущие научные школы РФ (проект НШ-65497.2010.9).
Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на Междунар. науч.техн. конф. Ленинские горы - 95 (Москва), на Междунар. конгр. Молодежь и наука - третье тысячелетие (YSTM'96) (Москва), на Междунар. конф. по гидродинамике больших скоростей (HSH ЦГБС), (Чебоксары, 1996, 2002, 2004, 2008, Кемерово, 2006), на Междунар. конф. Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы (Уфа, 1996, 2000), на Междунар.
науч.-техн. конф. Механика машиностроения (Набережные Челны, 1995, 1997, 2000, 2005, 2010), на Междунар. конф. Оптимизация численных методов (Уфа, 1998), на XIV Междунар. конф. Интервальная математика (Новосибирск, 1998), на VI Междунар. конф. Вычислительные методы в задачах волновой гидродинамики (Новосибирск, 1998), на 2-ой и 4-ой Сибирской школесеминаре Матем. проблемы механики сплошных сред (Новосибирск, 1998, 2000), на Междунар. симп. по вычислительной гидродинамике (Бремен, 1999), на всеросс. науч. конф. Краевые задачи и их приложения (Казань, 1999, 2000), на Междунар. конф. Матем. модели и методы их исследования (Красноярск, 1999), на межотрасл. конф. Снежинск и наука (Снежинск, 2000), на IV-м сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000, Новосибирск), на 7-м русско-японском симп. по вычислит.
гидродинамике (Москва, 2000), на Междунар. конф. Компьютерные науки и информационные технологии (CSIT) (Уфа, 2000, 2001, 2003, 2005, 2007, Пат ры, 2002, Будапешт, 2004, Карлсруэ, 2006, Анталия, 2008, Крит, 2009, М.-СПб, 2010), на европ. конгр. по вычислит. методам в прикл. науках (ECCOMAS-2000, Барселона), на Междунар. симп. по вычислит. методам, компьютерной арифметике и доказательным вычислениям (SCAN-2000, Interval-2000, Карлсруэ, SCAN-2002, Париж, SC4N-2006, Дуйсбург), на Междунар. конф. по вычислит.
механике (ECCM-2001, Краков), на европ. конф. по вычислит. гидродинамике (ECCOMAS CFD 2001, Свонси), на VIII и X Всеросс. съездах по теор. и прикл.
механике (Пермь, 2001, Н. Новгород, 2011), на 2-м всеросс. симп. по прикл. и промышл. матем. (Йошкар-Ола, 2001), на 5,6,10-й Междунар. конф. Актуальные проблемы машиностроения и механики сплошных и сыпучих сред (Москва, 2002, 2003, 2007), на всемирном конгр. по вычислительной механике, (WCCM-2002, Вена), на V Междунар. конф. по прикл. матем. и механике (GAMM 2003, Падуя), на V Междунар. симп. по кавитации (CAV 2003, Осака), на 7 нац. конгр. США по вычислит. механике (USNCCM7, Альбукерка, 2003), на Междунар. матем. конф. (Уфа, 2007), на Росс. конф. Механика и химическая физика сплошных сред (Бирск, 2007), на Всеросс. научно-практ. конф.
Обратные задачи в приложениях (Бирск, 2008), на Росс. конф. Многофазные системы: природа, человек, общество, технологии (Уфа, 2010), на Междунар.
науч. конф. Параллельные вычислительные технологии (ПаВТТ2010, Уфа), на Междунар. науч.-техн. конф. Электроэрозионные и электротехнические технологии в производстве наукоемкой продукции (Москва, 2010).
Публикации Основные результаты работы отражены в 64 научных трудах, в том числе 21 статье в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 40 в других изданиях, 2 свидетельствах о регистрации программного продукта, 1 патенте на изобретение.
Структура и объем работы Диссертация изложена на 376 стр. текста и состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложения.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении кратко изложено содержание работы и сформулированы результаты, выносящиеся на защиту.
В первой главе обоснованы цель и актуальность работы, приведен обзор известных методов экстраполяции и ускорения сходимости последовательностей и исследованы границы их применения.
При реальных вычислениях необходимо учитывать ограниченность различного вида ресурсов.
По времени. При вычислениях используются конечные суммы, разности, конечные последовательности. По поведению конечных последовательностей судят о пределе. Это, вообще говоря, некорректная задача. Свойства функций при конечных значениях аргумента могут существенно отличаться от асимптотических. В частности, малые более высокого порядка могут быть сравнимы по значению или даже больше, чем малые меньшего порядка.
По памяти. Используются конечномерные пространства, конечные системы уравнений. Например, при решении краевых задач методом коллокаций задача сводится к конечной системе нелинейных уравнений. Эта система может иметь несколько решений или не иметь вовсе, в отличие от бесконечномерной.
По разрядности. Ограниченность мантиссы означает невозможность представления иррациональных чисел. Работа производится с конечным подмножеством рациональных чисел; ошибка, возникающая при арифметических операциях, может накапливаться и существенно исказить результат.
По надежности. Любой алгоритм реализуется в виде программы на языке высокого уровня. Поэтому ошибки, совершенные программистом, разработчиками транслятора, операционной системы, процессора, могут исказить результат на непредсказуемую величину. Всевозможные способы тестирования дают только частные результаты. Поэтому, если окончательный результат получается с помощью компьютерных вычислений, речь может идти только о способах повышения надежности, а не об абсолютной достоверности результатов.
Известно большое количество методов и алгоритмов ускорения сходимости численных последовательностей, например, методы Ричардсона, Ромберга, Нэвилла, 2, , -алгоритмы. Как показали результаты исследований, в некоторых случаях они позволяют существенно увеличить точность определения предела, используя конечную подпоследовательность. В других случаях (или с некоторого момента) увеличения точности не происходит или она ухудшается.
Это связано с наличием погрешностей разных видов, связанных с перечисленными ограничениями ресурсов.
Применяя методы регуляризации, можно получить оценку точного решения и оценку погрешности. Однако известные методы регуляризации требуют задания некоторой дополнительной априорной информации о неизвестных погрешностях и, возможно, об искомых параметрах. Оценки, полученные такими методами, зависят от этой дополнительной информации, поэтому их вряд ли можно рассматривать как оценки погрешности.
Большие успехи в проведении доказательных вычислений достигнуты методами интервального анализа. Тем не менее, существует множество разработанных численных методов и их программных реализаций, которые либо должны быть заменены практически полностью, либо они могут быть дополнены некоторыми методами постпроцессорной обработки результатов.
Предлагается во избежание некорректности разделить задачу на две: задачу идентификации математической модели по результатам численного эксперимента и задачу тестирования с помощью известных частных решений или других методов.
Первая задача заключается не в определении теоретических значений искомых параметров, а в представлении вычисленной зависимости от дискретных значений некоторого параметра в виде суммы нескольких компонент по известному заранее или определяемому экспериментально базису.
Вторая задача - тестирование - заключается в сравнении с известным частным точным решением (проверке попадания его в полученный интервал) или с приближенным решением, полученным независимо другим численным методом (проверке факта пересечения интервалов неопределенности). Этот способ использования дополнительной информации не влияет на оценки, полученные ранее независимым способом, а только подтверждает их или опровергает.
Во второй главе предложены методы фильтрации результатов численного эксперимента. Рассмотрим априорную математическую модель некоторого процесса, который характеризуется зависимостью параметра z от (например, времени, размера, числа узловых точек и т. п.), представимую в виде суммы z = z + c1 f1()+ c2 f2()+ K + cL fL()+ (), (1) где fj() - некоторые известные функции; z, cj - неизвестные константы.
В частности, при решении задач многими численными методами зависимость приближенного результата zn от числа узловых точек (или числа слагаемых суммы) n принимает вид zn = z + c1n-k1 + c2n-k2 + K + cLn-kL + (n), (2) где z - искомое; k1,Е, kL - произвольные действительные числа (k1 В (n) могут входить не вошедшие в сумму слагаемые степенного вида, остаточный член, погрешность округления и многие другие составляющие, обусловленные как численным методом, так и конкретной программной реализацией. Поэтому (n) не стремится к нулю и в общем случае даже не уменьшается при увеличении n. ( Пусть имеется последовательность zn0) = zn, i = 1,K, I вычисленных реi i зультатов. Тогда имеем систему равенств типа (1) или (2). Если считать (ni ) неизвестными искомыми параметрами наряду с z, c1,ЕcL, то неизвестных в системе всегда больше, чем уравнений, и она имеет бесконечное множество решений. Для j=1,Е,n рассмотрим линейную комбинацию ( ( ( znij) = znij-1) + znij-1) = ( + )z + f (ni-1)+ f (ni )+K j j j j j j j j -причем и определяются из решения системы двух уравнений j j + =1, f (ni-1)+ f (ni)= 0. j j j j j j Отсюда получаем формулу фильтрации ( ( zn j-1) - znj-1) f (ni-1) j ( ( i i - zn j) = zn j-1) +, R = (3) j i i R -1 f (ni). j j -k k j j При f (n)= n и при ni=n1Q i-1 число R = Q, и (3) совпадает с формуj j лой Ричардсона. Проводя фильтрацию по всем парам соседних значений zni-1, zni, получим зависимость, не содержащую члена с f (n) j R - Rl j zn - z = c(j+)1 f (n)+K+ c(jL) fL(n)+ ( j)(n), cl( j) = cl( j-1) j. (4) j++R -j Если зависимость zn от n имеет нерегулярную составляющую (0)(n), модуль которой оценивается сверху величиной (0), то модуль нерегулярной части ( ), погрешности ( j), содержащейся в значениях znj при каждой фильтрации можно оценить сверху следующим рекуррентным соотношением R +j ( j) = ( j-1). (5) R -j В результате повторных фильтраций получается треугольная или трапе( циевидная матрица znj). Оценка погрешности по правилу Рунге сводится к ( ( сравнению znj) с znj+1). Недостатком этого способа является то, что значения остальных составляющих погрешности изначально считаются малыми по срав-k j j+нению с c(j+)1n. При нарушении этого условия возможно получение ошибочных оценок погрешности (рис. 1, а). На. рис. 1 в логарифмической шкале представлены результаты обработки данных, полученных при вычислении второй разностной производной d y y(x + h)- 2y(x)+ y(x - h) (x)= + O(h2). Шаг сетки h=1/n. По оси ординат отdx2 h( ложены десятичные логарифмы относительных погрешностей = (nj) znij), i т.е. точность, выраженная в количестве точных десятичных значащих цифр. инии, обозначенные цифрой 0 на рис. 1 соответствуют погрешности вычисленных непосредственно значений разностной производной, цифрами 1,2 и т.д. - погрешности результатов первой, второй и т.д. фильтрации. В диапазоне, где преобладает нерегулярная погрешность, оценка по Рунге дает завышенные по точности результаты (рис. 1, а). С этим связан сдвиг вверх (при увеличении количества фильтраций) участков линий, соответствующих условию преобладания нерегулярной погрешности. а б Рис. 1. Оценки погрешности при вычислении второй производной: а - по правилу Рунге; б - сравнение с точным значением. Прямая у=19-2lg n Сравнивая рис. 1, а и 1, б нетрудно заметить, что оценка по Рунге соответствует реальной погрешности в диапазоне, отделенном хотя бы половиной масштабной единицы от уровня нерегулярной погрешности у=19-2lg n. Повторяя фильтрацию, каждый раз приходим к равенствам (1), которые содержат, по крайней мере, два неизвестных: искомое z и погрешность. Во избежание неопределенности предлагается разделить этапы оценки погрешности и определения искомого z. Для этого на первом этапе проводится фильтрация, исключающая из последовательности zni неизвестное искомое z: ( zn0) = zni - zni+1. (6) i Тем самым, дальнейшая фильтрация по формуле (3) служит оценкой погрешности, независимой от выбора z (рис. 2, а). Такая оценка лишена указанного выше недостатка правила Рунге (лкажущегося уточнения), вызванного зависимостью оценки от конкретной закономерности изменения погрешности. Полученная этим способом оценка позволяет выбрать наилучшие, с точки зрения минимума погрешности (или комбинации близких по погрешности значений), соотношения ni и j=j0, которые ис( пользуются для определения приближенного значения z znij0 ) (эталона). Фильтрация по формуле (6) приводит к изменению коэффициентов составляю( ( j-1) щих zn0) = K+[1- R-1]c f (ni )+K, которое может быть учтено (рис. 2, б), j j j i что позволяет сравнить результаты и убедиться в правильности вычисления константы с определенной точностью. Тем самым, предложено правило выбора эталона, с которым сравниваются все приближенные значения. а б Рис. 2. Результаты двухэтапной оценки погрешности с исключением искомого по формуле (6): а - оценка погрешности; б - сравнение с эталоном Фильтрация по формуле Ричардсона приводит к увеличению нерегулярной погрешности, см. (5). Избежать этого можно, если вместо фильтрации применить вычитание регулярных составляющих. Для этого необходимо найти коэффициенты cj и оценки их погрешности. Это можно осуществить путем повторной фильтрации, приводящей к последовательности вида, аналогичного (2): -k +k -kL +k k ( ( znip) = c(0) + c( p) ni p+1 p +...+ cLp)ni p + ni p ( p)(ni ), i=p+1,Е,I. p p+Фильтрация осуществляется с помощью формулы ( p-1) ( p p-2 p-zni - zni--1) k p -k p-Qk -kl -( znip) = - ni, = p p k -k p p-Q -1 l=0 Qkp -kl -с последующей двухэтапной фильтрацией (6) с определением эталона. На рис. 3, а приведены результаты использования вычитания найденных компонент на рис. 3, а (кривые 1 - 4); оценка суммарной погрешности определения коэффициентов (п) и ее точное значение (т). При достаточно больших n влияние степенных слагаемых уменьшается, и вычитанием компонент погрешность (n) может быть идентифицирована с точностью эталона в исходном неискаженном виде. Однако, как видно на рис. 3, б, где сравниваются результаты идентификации и фильтрации по формуле (3), изменение нерегулярной погрешности при фильтрации достаточно мало. а б Рис. 3. Результаты идентификации математической модели (2): а - результаты покомпонентного вычитания и суммарные оценки; б - сравнение результатов вычитания компонент и фильтрации (тонкие линии) Во многих случаях многокомпонентная модель представляет собой сумму показательных функций. Например, как показал многокомпонентный анализ численного эксперимента, при решении нелинейного уравнения z=(z) методом простых итераций zn=(zn-1) зависимость погрешности представляется в виде zn - z = c1n + c22n +K + cLLn + (n), (7) где = (x); x* - точное решение. Применяя метод фильтрации (3), получим формулу ( ( j ( ) znj-1) - zn--1) j ( j 1 ) - zn--zn--1 j ( ( znj) = znj-1) +, - . (8) ( ( ) j ) - j -1 znj-1 - zn--Использование фильтрации (3) при интерполяции приводит к рекуррентному соотношению Эйткена, т.е. к интерполяционному многочлену со степенью на единицу выше используемых. В разд. 2.3 рассматриваются методы фильтрации при неизвестных показателях k1,Е, kL в (2) и числе в (7). Метод трехточечной идентификации, в отличие от 2-алгоритма не предполагающий кратного увеличения числа узлов, сводится к решению системы 3-х нелинейных уравнений h2 hk k k y1 = z + c, y2 = z + cq1, y3 = z + cq1 q2, где q1 = <1, q2 = <1. (9) h1 h k 1- q2 y2 - yk Из (9) получим q1 k =. (10) 1- q1 y1 - yy2 - y3 ln qПри 0 < решение трансцендентного уравнения (10) сущестy1 - y2 ln qвует и единственно. Тогда из (10) численным методом определяется k. При этом решение системы (9) записывается в виде y2 - y3 y3 - y2 k c = q2. (11) k k k q1 (1- q2), z = y3 + 1- qПри значительном влиянии нерегулярной составляющей погрешности (n) сгладить ее позволяет метод наименьших квадратов. Если известно не менее 3-х вычисленных значений искомого параметра zi при различных n, то задачу можно записать в виде системы равенств типа (9), возмущенных погрешностями uj k k z1 = z + c + u1, z2 = z + cq2 + u2,K, zm = z + cqm + um, где q = n1 n. (12) j j Эту задачу более удобно решать, если прологарифмировать (12): ln z - z = a + k ln q + v, j = 1,..., m, a = ln c, v u (cqk ). j j j j j j При применении метода наименьших квадратов задача сводится к поиску m минимума функции (a,k, z)= [a (13) -2 + k ln q - ln z - z], j j j j =где m3, j - оценки погрешностей vj. Эта задача сводится к решению системы нелинейных уравнений a = 0, k = 0, z = 0. Таким образом, во второй главе предложена концепция численной фильтрации, которая использована для различных моделей погрешности. В некоторых случаях эта идея приводила к известным методам, для других получены новые формулы и методы. В гл. 5,6 фильтрация применяется также к зависимостям от времени и других параметров с целью выделения нужных компонент. В третьей главе предложены методы оценки и повышения достоверности результатов расчетов. В качестве метода тестирования предлагается применение нескольких (2Ц4) методов решения одной и той же задачи, оценки погрешности каждого результата с помощью фильтрации или полной идентификации и сравнении полученных интервалов неопределенности (проверке их пересечения). Отсутствие противоречия означает, что дополнительная погрешность не обнаружена. Но из этого не следует, что ошибка отсутствует. Погрешность xk может существовать в каждом результате и иметь значение, большее допустимого. Но дополнительные (ненаблюдаемые) погрешности разных результатов должны совпадать с точностью вычислений. В качестве численной характеристики достоверности используется вероятность того, что фактическая погрешность не выходит за указанные пределы P{xi A}= Pдовер =1- Pош, (14) где A - полуширина доверительного интервала. Будем подходить к ошибкам как к случайным событиям и считать их независимыми. Будем считать, что большие погрешности встречаются с меньшей вероятностью и функция плотности вероятности f (x) не может иметь других экстремумов, кроме максимума при нуле, то есть f(0)f(x1)f(x2) при 0 Дополнительной информацией при оценке количественной меры достоверности является исходное (априорное) значение доверительной вероятности (14) по каждому используемому методу в отдельности, которая обозначается k. При отсутствии статистических оценок можно принять k=0,5. Необходимо оценить вероятность того, что m независимых случайных величин xk совпадают с точностью вычислений k. Для упрощения процедуры оценки выберем самый точный результат (с номером 1) в качестве базового, все остальные будем сравнивать с ним. Обозначим k = 2(k + 1), (k = 1,K,m). Представляет интерес нахождение пессимистической оценки, т.е. наихудшего распределения (при сохранении унимодальности) с точки зрения максимума вероятности погрешности, превышающей некоторое пороговое значение - A m m Pош 2 = P (y,k )f1(y)dy + P (y,k )f1(y)dy, k k k =- Ak =y+k где Pk (y,k )= P{xk - y k}= fk (xk )dxk. y-k Наихудшим оказалось равномерное распределение, а оценка вероятности m-m m mk + max 1 m 2 Pош 2 (1 - k ) k km =, k =. (15) (A - k ), m m +1 m + k =1 k =При использовании (15) пороговая величина A выбирается равной требуемой точности . Такой подход требует получения реальных результатов с погрешностью k меньшей, чем величина . Тем самым увеличение достоверности достигается за счет дополнительной точности расчетных данных. Предложены критерии размытости оценки погрешности. При оценке по( ~ ~ грешности сравнением с эталоном z разность (nj) = zn j) - z представляет со~ бой оценку погрешности приближенного значения z. В этом случае результат ~ расчета с оценкой погрешности представляется в виде интервала z = z (nj). ~ Оценки погрешности зависят от выбора эталона z, с которым сравниваются все приближенные значения. Чтобы оценить это влияние, обеспечить надежность оценки и связать это с величиной размытости, используем условие досто( ~ ~ верности оценки z - z znj) - z. Обозначив относительную размытость оцен( ~ ~ znj +1) - z z - z 1 - rn ~ ~ ки rn =, rn = и преобразовав, получим rn . ( ( ~ rn zn j) - z znj +1) - z ~ Величина rn связана с неопределенностью выбора эталона. Выразим z че рез rn и подставим в выражение ( ) ( ( ~ znj+1 - z znj +1)(1- rn)- z(1- rn) znj +1) - z - lg = -lg = -lg -lg - lg1- rn. ~ ~ z z z В диссертации приводится обоснование границ диапазона неопределенно~ сти - 3 rn 0,75. Тогда пороговым может считаться значение rn 1 3, т.е. при ~ ~ rn 1 3 оценка принимается, а при rn >1 3 отвергается. Методы тестирования, предложенные в данном разделе не дают полной гарантии достоверности, их целью является увеличение надежности оценок погрешности за счет сравнения интервалов неопределенности численных результатов нескольких методов. При этом при повышении точности вычислений происходит существенное уменьшение вероятности необнаружения ошибки, что существенно повышает эффективность тестирования. В четвертой главе многокомпонентный анализ применен к результатам типовых численных методов. В разд. 4.1 рассмотрены примеры пределов числовых последовательностей и численного решения уравнений. Рассмотрим процесс численного решения методом простых итераций уравнения z = (z), (z)=(3 + 2z - z2) 2. Видно (рис. 4, а), что путем многократной фильтрации (8) точность удается поднять с 3 до 16Ц17 значащих цифр. а б Рис. 4. Результаты решения уравнений: а - в случае сходимости; б - в случае расходимости Рассмотрим расходящуюся последовательность, возникающую при реше нии уравнения z = (z), (z)= z2 (при z=1 = (z)= 2 >1) (рис. 4, б). Рассматривая эту последовательность в обратном порядке, получаем последовательность с уменьшающейся погрешностью, ограниченную первым членом. Фильтрацией (8) можно ускорить сходимость этой последовательности и уменьшить погрешность. При необходимости можно повторить расходящийся процесс с этого уточненного значения и обратный процесс уточнения. В разд. 4.2 представлены результаты интегрирования методом средних прямоугольников функции, представляющей собой сумму постоянной и переменной составляющих f(x)=0,1+A sin x. На рис. 5 приведены графики относительной погрешности, соответствующие A=10-5, 10-12. Видно, что для A=10- величина погрешности округления близка к зависимости y=16,5-lgn, при увеличении A она приближается к зависимости y=16,5-lgn (вначале для меньших n). Характер погрешности округления переменной составляющей функции, как показывает эксперимент, близок к случайному (с математическим ожиданием, равным нулю и среднеквадратичным отклонением, по порядку совпадающим с единицей последнего разряда для данного процессора). Поэтому накопление этой погрешности происходит примерно как 10-M n. Погрешность округления константы, согласно эксперименту, накапливается быстрее (примерно как n10-M), т.е. этот процесс хорошо описывается моделью предельной погрешности. Это объясняется тем, что при интегрировании константы погрешность округления определяется в основном суммой последних, больших по порядку одинаковых погрешностей. а б Рис. 5. Численное интегрирование функции f(x)=0,1+Asinx: а - при A=10-5; б - при A=10-12. Прямые y=16,5-lgn и y=16,5-lgn При интегрировании суммы константы и переменной функции последняя возмущает значение суммы в округляемом разряде и поэтому результат хорошо описывается случайной моделью. Но при увеличении n порядок максимального значения переменной составляющей функции становится меньше порядка округляемого разряда. Тогда погрешность округления суммы определяется погрешностью округления константы. а б Рис. 6. Фильтрация результатов вычисления интеграла на отрезке [0,1] от разрывных функций: а - sin(x 2) sign(x - 0.5) ; б - x-1 2. Прямая y=16,5-0,5lg n При моделировании различных процессов возможны разрывы искомых функций или их производных (например, при срабатывании клапана, касании, соударении тел). Установлено, что при интегрировании функций и дифференциальных уравнений в таких ситуациях отличие поведения зависимостей результатов фильтрации проявляется только в появлении дополнительных слагаемых в (2) и в уменьшении порядка точности (рис. 6). Рассмотрены также методы интерполяции, решение задач для уравнений математической физики. В пятой главе предложены численно-аналитические методы решения задач моделирования течений весомой жидкости и электрохимического формообразования. Задачи решаются с помощью методов ТФКП. Решение представляется в параметрическом виде: w(), z(), где z=x+iy - точки физической плоскости (рис. 7, а), w - комплексный потенциал, - параметрическая плоскость (рис. 7, б). Кроме этого метода прямого конформного отображения применяется метод, использующий вместо z() функцию Жуковского ()=ln(dw/dz). В соответствии с методом Леви-Чивиты искомые функции представляются в виде суммы аналитических функций, удовлетворяющие краевым условиям на прямолинейных участках границы. Первая из них представляет грубую модель решения, учитывающую главные особенности (полюса и т.д.). Вторая функция неизвестна и может представляться в виде сходящегося ряда Тейлора или Лорана (если - кольцо) с неизвестными коэффициентами. Вторая функция предназначена для возможности удовлетворения краевому условию на свободной границе. Модификация метода Леви-Чивиты заключается в добавлении в сумму слагаемых, учитывающих особенности более высокого порядка малости (обычно дробно-степенных), для повышения степени гладкости функции, представляемой рядом. Это повышает порядок точности метода и позволяет получить более точные результаты. Третий метод заключается в восстановлении искомой функции по граничным значениям ее мнимой или действительной части в узловых точках с помощью интеграла Шварца. Таким образом, для каждой задачи имеется три различные метода решения. В разд. 6.4 описаны алгоритмы и комплексы программ, реализующих эти алгоритмы. В разд. 6.5 в качестве тестового примера рассмотрены задачи о периодических волнах и уединенной волне на поверхности идеальной весомой жидкости конечной и бесконечной глубины. Эти задачи исследуются в течение многих лет в связи с многочисленными техническими приложениями и теоретическим значением. Рассмотрим сначала уединенную волну (солитон) максимальной высоты (в пределе на свободной границе образуется излом с внутренним углом 120 - волна Стокса, см. рис. 7, а). Жидкость движется вдоль горизонтальной прямолинейной стенки ADC, скорость на бесконечности равна V0, асимптотическая толщина струи - h. Ускорение силы тяжести g действует вертикально вниз. Задача определения поля скоростей и формы свободной поверхности сводится к поиску аналитической функции комплексного переменного z() или (), которая удовлетворяет на свободной границе следующему нелинейному краевому условию (уравнению Бернулли) V 2y 2 V + = 1+, Fr =. (16) V 2 gh Fr h Fr 0 а б в Рис. 7. Задача о солитоне Стокса: а - физическая плоскость; б - плоскость параметрического переменного, в - плоскость логарифмического годографа Все границы считаются непроницаемыми, дно - прямолинейным. Для фильтрации применялись -алгоритм и алгоритм, использующий метод наименьших квадратов. Результаты фильтрации показаны на рис. 8. а б Рис. 8. Результаты фильтрации решений задачи о солитоне Стокса: а - числа Фруда; б - циркуляции В табл. 1, 2 представлены результаты, полученные разными авторами по этой задаче. В скобках после чисел указаны погрешности в единицах последнего приведенного разряда (там, где погрешность превышает эту единицу). Таблица 1. Значения числа Фруда, полученные разными авторами Longuet-Higgins M.S.,Fenton J.D.Proc.R. Sos.London,A340.1974. Fr=1,286 (5) Fox M.J.H. Ph.D. thesis. Cambridge Univ. 1977. Fr=1,29Hunter J.K., Vanden-Broek J.-M. J.F.M. 1983. Fr=1,290906 (15) Williams J.M. Phil. Trans. Roy. Soc., London, 1981. Fr=1,290889 (1) Evans W.A.B., Ford M.J. Proc. R. Soc. London, 1996. Fr=1,29089053 (8) Шерыхалина Н.М. ВИНИТИ. №2550-В95-деп. 1995. Fr=1,2908904Маклаков Д.В. Euro. Journal of Applied Mathematics. V.13,2002. Fr=1,29089045Житников В.П., Шерыхалина Н.М. Физика волновых Fr=1,290890455процессов, № 2-3, 1998. Житников В.П., Шерыхалина Н.М. Computational Fluid Fr=1,29089045586Dynamics Journ. Vol. 10, №3, 20Получено в диссертации Fr=1,290890455863 Таблица 2. Значения параметров солитона, полученные разными авторами Williams Evans & Ford Житн.&Шер. Житн.&Шер.(2001) (1981) (1996) Вычисленные Экстраполиров. 1,290890455863 1,290890455861,290889(1) 1,29089053 (8) Fr 0,833197(2) 0,833199179(94) 0,833199084519 0,83319908451амплит. 1,97032019 (47) 1,9703206602 1,970320660131,970319(2) масса 2,543463(5) 2,54346767 (46) 2,5434681352 2,54346813515импульс 1,714569 1,71456873 (50) 1,7145692406 1,71456924053циркул. 0,535005(4) 0,535008913(77) 0,5350088360 0,53500883597кин. эн. 0,437670(3) 0,437672702 (9) 0,43767269344 0,43767269344пот. эн. 0,972675(6) 0,972681614(85) 0,9726815294 0,97268152941полн. эн. При решении различных задач особую сложность для исследования представляют предпредельные случаи, когда какой-нибудь из геометрических или физических параметров приближается к своему максимальному или минимальному значению. Как правило, в таких случаях задача распадается на две связанные подзадачи, имеющие различные характерные масштабы. В задаче о волнах на поверхности жидкости такая ситуация возникает, когда длина волны бесконечно растет по сравнению с глубиной жидкости (образование уединенной волны - солитона). а б в Рис. 9. Задача о волнах на поверхности весомой жидкости: а - физическая плоскость; б - плоскость комплексного потенциала; в - плоскость изменения параметрического переменного Одной из основных целей диссертации является разработка методов определения асимптотических характеристик (с оценкой погрешности) по данным, полученным в ограниченном диапазоне, когда характер зависимости еще нельзя считать близким к асимптотическому. Фильтрация при решении задачи применяется на трех этапах. Первый - непосредственное решение задачи (например, при вычислении интегралов). Второй этап - окончательное уточнение вычисленных значений параметров. Рис. 10, а, б иллюстрируют результаты обработки данных, полученных при решении задачи о волне предельной высоты для бесконечно глубокой жидкости. Из рис. 10, а видно, что зависимость логарифма модуля погрешности F от lgn плохо аппроксимируется прямой. Вблизи точки lgn=1,5 погрешность меняет знак, поэтому логарифмическая зависимость имеет особенность. Тем не менее, в результате первой фильтрации (множество точек 1 на рис. 10, б) получается зависимость, которая ложится на прямую намного лучше, чем исходная. Это можно объяснить тем, что исходная зависимость состоит из суммы нескольких степенных функций с коэффициентами разного знака. Первая фильтрация позволяет выделить наиболее медленно убывающее слагаемое. Другие слагаемые выделяются последующими фильтрациями. В результате наилучший результат имеет погрешность около 1,510-14 при размытости 0,2. На рис. 10, в показаны результаты фильтрации чисел Фруда в предпредельном случае. Следует отметить, что при отсутствии излома границы функция () является гладкой на границе и численное решение сходится экспоненциально. Погрешность вычислений составляет 10-10, после фильтрации - около 10-13. а б в Рис. 10. Оценка погрешности вычисленных значений числа Фруда: а,б - предельное решение; в - A=2,Третий этап анализа результатов решения задачи заключается в проведении интерполяции и фильтрации с целью получения данных о параметрах течений, которые не были рассчитаны или были рассчитаны с большой погрешностью. Рассмотрим задачу о длинных волнах (). Следует отметить, что при приближении r=p2 (рис. 9, в) к единице точность расчетов ухудшается (например, при r=0,9 погрешность на два порядка больше, чем при r<0,6. Для r=1 значение числа Фруда (Fr) определялось специальным методом и имеет высокую точность. Тем самым, хуже всего вычисляются значения при r, близких к 1. Как показывает численный эксперимент (рис. 11, а), зависимость 1(r) = (1- r)lg Fr(r)- Fr(), вблизи r=1 близка к линейной. Это дает возможность вычислять значения числа Fr при r (0,8;1) используя для этого более точные значения (для r0,8). По этим значениям строится интерполяционный многочлен и с его помощью проводится экстраполяция на область r>0,8. Увеличивая степень многочлена n и сравнивая полученные значения можно найти оценку погрешности экстраполяции и ее относительную размытость. На рис. 11, б показаны результаты применения этого способа экстраполяции. Видно, что погрешности, обусловленные экстраполяцией, очень быстро убывают при приближении r к 1. При увеличении степени полинома n выше кривые сближаются, что говорит об увеличении размытости оценки. а б Рис. 11. Результаты уточнения и оценки погрешностей экстраполяции при r, близких к 1: а Цзависимость 1(r); б - оценки погрешности интерполяции Другой пример предпредельного случая - это крутые волны, то есть волны, высота которых приближается к максимальной (волне Стокса - см. рис. 9, а). Такие волны удобно характеризовать параметром A=ln(VD/VC), где VC и VD - скорости в впадинах и горбах волны. Известно, что при A зависимости параметров волны имеют осцилирующий характер F = F (1+ aM e-3A cos(A - bM ))+ O(e-A), причем известна только частота (>3). При определении параметров асимптотических зависимостей крутых волн в качестве примера рассмотрим задачу о волнах на поверхности бесконечно глубокой жидкости. Число Фруда для этой задачи Fr = V0 2 (g). ЗависиF(A)- F мость z(A)= e3A (где F* - предельное значение), весьма близка к коF синусоиде (рис. 12, а). Если отфильтровать эту косинусоиду, то получим функцию a2e-6A cos(2A - bj) (рис. 12, а). Полученная в результате многокомпонентного анализа математическая модель имеет вид m F = F1+ aM e-3A cos(A - bM )+ e-6Ac2 + cos(jA - bj). a j j= а б Рис. 12. Результаты фильтрации (a) и оценки параметра aM (б) Если пренебречь более быстро затухающим слагаемым с e-6A, то зная достаточно точное значение F* (рис. 10, а, б) и два значения F при разных A, можно получить приближенные значения aM, но получаются грубые оценки (рис 12, б, кривая 0). Поэтому имеет смысл последовательно отфильтровать все составляющие этих быстро затухающих компонент (кривые 1Ц3). Видно, что по сравнению с другими, кривая 3 устанавливается довольно быстро. Кроме того, применение многоуровневой фильтрации позволило получить пять компонент модели: aM=0,8268; bM=-1,0648; a2=0,5658; b2-=1,5148; c2=0,2508; a3=0,01292; b3=1,494; a4 0; a5=1,05410Ц4; b5=0,3595. В результате полученные значения коэффициентов позволяют получить модель, приближающую зависимость F(A) с точностью 13 значащих цифр при2,5. В главе 6 с помощью разработанных методов решены прикладные задачи о течениях весомой жидкости и об электрохимическом формообразовании. В разд. 6.1 рассмотрена задача об обтекании весомой жидкостью пластины с образованием каверны (рис. 13, а), которая является моделью течения в центробежной форсунке. Рассматриваются три схемы замыкания каверны: Рябушинского (замыкание на вертикальную пластину - рис. 13, а), Кузнецова (замыкание на горизонтальную полубесконечную пластину - рис. 14, б) и Тулина - Терентьева (незамкнутая каверна - рис. 14, б). а б Рис. 13. Формы области течения: а - на физической плоскости (схема Рябушинского); б - на плоскости изменения параметрического переменного Рассмотрим зависимость безразмерного расхода Q от числа Qкав -3 V0h Fr2 2(P0 - Pcav) Vcav -1-. Q = = Fr1+,Qcav = = yA gyA V02 V0 Fr Результаты решения представлены на рис. 14, а кривой 3. Для сравнения цифрой 1 отмечен максимальный расход, цифрой 4 расход при отсутствии подсасывающей силы, цифрой 2 расход, рассчитанный при упрощенных условиях (постоянства давления) на внутренней свободной границе. Видно, что при больших числах кавитации (Qкав 0,5) отличие полученного расхода от максимального весьма мало (2Ц3%). Результаты вычислений показывают, что зависимости безразмерного расхода для всех трех схем от числа кавитации на рис. 14, а практически совпадают (кривая 3). Это вызывает вопрос, дает ли возможность точность расчетов различить эти результаты. Для ответа на этот вопрос проведем фильтрацию результатов численного эксперимента. а б Рис. 14. Зависимость безразмерного расхода от числа 1/ Qкав (а); отличие форм свободных поверхностей для разных схем замыкания каверны (б) Фильтрация с уверенностью показывает точность не хуже 7-и значащих цифр (рис. 15). Полученные значения безразмерного расхода приведены в табл. 3. Видно, что различие значений для разных схем хотя и малы, но вполне обнаруживаются при данной точности. а б Рис. 15. Оценка погрешности величины безразмерного расхода для схемы Рябушинского при Qкав = 0,5 : а - уравнение Бернулли выполняется на обеих свободных границах; б - на одной границе Таблица 3. Значения безразмерного расхода для разных кавитационных схем Qкав =0 Qкав =0,Схема Рябушинского 0,4875201 0,51176схема Кузнецова 0,4875422 0,51181схема ТулинаЦТерентьева 0,4875438 0,51181В разд. 6.2 многокомпонентный анализ применен при численном решении задач формообразования при электрохимической обработке (ЭХО). Задача заключается в определении комплексного потенциала W(Z), причем на границах, соответствующих поверхностям анода и катода потенциал ReW(Z)=const1,2. Скорость движения границы Vecm, согласно закону Фарадея, пропорциональна нормальной составляющей напряженности электрического поля En : Vecm = kEn, где = (En) - анодный выход по току (доля тока участвующая в реакции растворения металла). В диссертации используется следующая зависимость выхода по току 0, En , (En )= En - , En > , En - где , (<) - эмпирические коэффициенты. В соответствии с этим законом нестационарная задача состоит в вычислении на каждом временном шаге частной производной z t (,t) путем решения краевой задачи РиманаЦГильберта с краевым условием в виде уравнения типа Z Z W -k()Im. ПолубариновойЦГалина Im = t Задача решается методом коллокаций так же, как и рассмотренные выше задачи. Затем по известным значениям z t (,t) с помощью метода Эйлера (2-го порядка точности) изменяется форма обрабатываемой поверхности и процесс повторяется. На рис. 16 приведены формы обрабатываемой поверхности при различных ( = L Sst, = E0 = 0,5). Кривые соответствуют t=j, j=1 - 10. а б Рис. 16. Формы обрабатываемой поверхности при различных l: =1 (=0,25); б - =3 (=2,5) При решении этой задачи в числе параметров, представляющих интерес для исследования, рассмотрим величину растворенного слоя в верхней части выступа, которая должна быть учтена при проектировании процесса (рис. 17, б). Имеется в виду установившееся (при t) значение этого параметра. В работе с помощью фильтрации была получена приближенная аналитическая модель в виде асимптотической зависимости обратной и приведенной к безразмерному виду величины Sst y = -3,65 + 1,342 от безразмерной ширины щели . Величина Sst определяется по формуле Sst = kU Vet, где U - напряжение на электродах. На рис. 17, б показаны результаты оценки погрешности коэффи циента перед . Так же с помощью фильтрации устанавливаются приближенные асимптотические зависимости для других параметров. а б Рис. 17. Зависимость отношения Sst y от (а); оценка погрешности коэффициента перед (б) В разд. 6.3 рассмотрены вопросы, связанные с уточнением временных характеристик решений нестационарных задач ЭХО. Рассмотрим модель ЭХО точечным ЭИ, находящимся в начале координат C (рис. 18). При автомодельном режиме форма поверхности остается геометрически подобной самой себе. Автомодельные решения представляют большой интерес, поскольку являются аттракторами, т.е. определяют асимптотическое решение при обработке неподвижным ЭИ, расположенным над поверхностью, имевшей вначале достаточно произвольную форму; возникает также локально в сингулярных случаях и т. п. Рис. 18. Схема обработки точечным электрод-инструментом При определении формы имеет интерес вычисление конкретных параметров, например, максимального по модулю значения кривизны. Вычисление кривизны требует вычисления второй производной от зависимостей координат от параметра, а это приводит к потере примерно половины значащих цифр исходной зависимости. Кроме того, определение максимума требует интерполяции, а это приводит к появлению нерегулярной погрешности, связанной с переменностью положения точки максимума кривизны от ближайших узлов интерполяции при измельчении шага сетки. Непосредственная фильтрация численных данных при использовании формулы (3) показала наличие большой нерегулярной составляющей (рис. 19,а). Предварительная фильтрация на этапе интерполяции позволила существенно уменьшить нерегулярную погрешность и увеличить обоснованную точность с значащих цифр до 8 (рис. 19,б). а б Рис. 19. Оценки погрешности максимальной кривизны автомодельной формы: а - без дополнительной фильтрации; б - с дополнительной фильтрацией При решении нестационарной задачи Хеле-Шоу ограничения ресурсов существенно более жесткие, чем при решении автомодельной задачи, так как требуется многократное решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. В связи с этим потеря точности при вычислении кривизны более значима. Кроме того, как показывают численные исследования, с течением времени происходит установление значения максимальной кривизны на некотором предельном значении. Интерес представляет как определение при~ ближенного значения этого предела z, так и закона установления предельного значения z = z + c1e-1 + c2e-2 + K На рис. 20,а представлены зависимости десятичного логарифма разности вычисленного значения кривизны с приближенным значением предела, соответствующего стационарному значению. Относительную погрешность этой зависимости можно оценить как z - z + 1 z - z y = lg =10-k, =, =. z - z ln10 z z Исходный уровень погрешности округления -lg (порядка 8-и зн. цифр) отмечается колебательным нерегулярным характером кривой при >3,5. Для получения оценки с заданным числом значащих цифр k приходится ограничить исследуемую часть кривой ниже уровня y - lg i - k + lg ln10. На рис. 20,б видно, что при >0,2 возрастание нерегулярной погрешности ограничивает точность расчета коэффициента 1 на уровне 4-х значащих цифр. При исследовании установления максимальной по модулю кривизны финальной формы необходимо использовать интерполяцию, в результате возникает нерегулярная погрешность. Не улучшает результат и увеличение степени интерполяционного многочлена (рис. 21,а). Это объясняется тем, что при применении метода коллокаций возникает дополнительная погрешность интерполяции, вызванная погрешностью ci значений кривизны в узловых точках k +m k +m - j = ci. i - j i=k j =k j i а б Рис. 20. Оценки параметров временной зависимости кривизны при установлении стационарной формы: а - логарифма разности кривизны с предельным значением (2,7166601210-7); б - логарифма разности углового коэффициента с предельным значением (2,0888210-4) а б Рис. 21. Исследование процесса установления максимальной кривизны финальной формы: а - без дополнительной фильтрации; б - с дополнительной фильтрацией Для уменьшения влияния этой составляющей погрешности было предложено изменить способ вычисления кривизны. Если до этого узловые значения кривизны вычислялись при решении задачи и далее по узловым значениям кривизны строился интерполяционный многочлен, то в предложенном способе интерполяционный многочлен строится по узловым значениям координат, а кривизна вычисляется с помощью дифференцирования интерполяционного многочлена. Выигрыш заключается в более высокой скорости убывания погрешностей ci в узловых точках (результат эксперимента показывает 4-й порядок точности против 2-го в первом способе). Это позволило провести фильтрацию по числу узлов n, что еще больше увеличило точность (примерно до 4 зн. цифр, см. рис. 21,б по сравнению с 2Ц2,5, рис. 21,а ). Увеличение точности позволило обнаружить новый эффект, который был не виден за погрешностью ранее: кривизна вначале растет по модулю примерно до Ц15,073, а затем убывает до Ц15,065 (рис. 21,б). При этом характерная скорость убывания существенно меньше, чем возрастания (угловой коэффициент около 0,05 против 2,0810-2, рис. 22,а,б). а б Рис. 22. Оценки параметров временной зависимости кривизны при установлении финальной формы: а - логарифма разности кривизны с предельным значением (Ц15,06510-3); б - логарифма разности углового коэффициента с предельным значением (2,0810-2) В приложении дается математическое обоснование многокомпонентного представления погрешностей методов интерполяции, численного дифференцирования и интегрирования для функций, имеющих разрывы 1-го и 2-го рода. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1. На базе предложенной концепции для различных математических моделей процессов (степенной, показательной, колебательной и др.) разработаны методы численной фильтрации результатов вычислительного эксперимента, заключающиеся в последовательном исключении компонент и идентификации оставшихся. Предложен эффективный способ обоснования оценок погрешности моделей с помощью разделения процесса оценки погрешности и определения эталона на два этапа и визуализации результатов этих этапов. Предложенный метод идентификации, в отличие от методов экстраполяции и регуляризации позволяет получить непротиворечивые оценки погрешностей искомых параметров и уточнить результаты на несколько порядков. 2. Разработаны методы проверки адекватности результатов вычислительного эксперимента, основанные на сравнении с известным частным точным решением или с приближенным решением, полученным независимо другим численным методом. При этом проверяется попадание тестового решения в полученный интервал или факт пересечения интервалов неопределенности. Этот способ использования дополнительной информации не влияет на оценки, полученные ранее независимым способом, а только подтверждает их или опровергает. Получены оценки доверительной вероятности и возможности ее увеличения при сравнении нескольких интервалов и повышении точности, которые показали, что относительно применяемых на практике методов сравнения приближенных чисел вероятность необнаружения ошибки может быть уменьшена на несколько порядков, чем существенно повышается эффективность тестирования. 3. Экспериментальные численные исследования показали, что зависимость погрешности численных методов от параметра дискретизации в различных (в том числе и сингулярных) случаях представляется в виде суммы компонент различного вида. Предложенные методы повторной фильтрации позволили исследовать составляющие погрешности различных типов моделей, а также нерегулярную часть погрешности. Впервые получены достоверные данные о закономерностях изменения погрешности округления, интерполяции и др. 4. Разработаны численно-аналитические методы решения задач моделирования процессов течений идеальной весомой жидкости и электрохимической обработки со свободными границами, которые реализованы в виде комплексов программ. С помощью разработанного метода многокомпонентного анализа (включающего проведение расчетов по определенному плану, использование разных методов для решения одной задачи, повторную фильтрацию на этапах проведения вычислений и постпроцессорной обработки результатов, анализ и сравнение результатов) проведено тестирование предложенных методов при идентификации модели крутых волн (численное обоснование гипотезы Стокса). Выявлены 4 новые компоненты зависимости, что позволило с высокой точностью аппроксимировать их характеристики. 5. Проведено комплексное исследование задач, моделирующих течения жидкости в центробежной форсунке. Показано, что, хотя максимальный расход имеет место при равномерном течении, нереализуемом физически, но в то же время существуют решения с расходом, отличающимся от максимального на 2-3%, что вполне приемлемо для подтверждения справедливости принципа максимального расхода. Проведенный многокомпонентный анализ задач электрохимической обработки дал возможность получить новые приближенные аналитические модели нестационарных и установившихся процессов. ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В рецензируемых журналах из списка ВАК РФ 1. Оценка достоверности численных результатов при наличии нескольких методов решения задачи / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Вычислительные технологии. 1999. Т. 4, № 6. С. 77Ц87. 2. Исследование закритических режимов в нелинейной задаче о движении вихря под свободной поверхностью весомой жидкости / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина, О. И. Шерыхалин // Прикладная механика и техническая физика. 2000. Т. 41, № 1. С. 70Ц76. 3. Численно-аналитические методы решения задач об обтекании препятствий под поверхностью весомой жидкости с образованием солитона / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Вычислительные технологии. 2000. Т. 5, № 2. С. 35Ц45. 4. Методы верификации математических моделей в условиях неопределенности / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Вестник УГАТУ: науч. журн. Уфимск. гос. авиац. техн. ун-та. 2000. № 2. С. 53Ц60. 5. О проблеме повышения достоверности результатов численных расчетов / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8, вып. 2. С. 590Ц591. 6. Численная фильтрация данных, искаженных нерегулярной погрешностью / Н. М. Шерыхалина, А. А. Ошмарин // Вестник УГАТУ: науч. журн. Уфимск. гос. авиац. техн. ун-та. 2006. Т. 8, № 1 (17). С. 138Ц141. 7. Применимость принципа максимального расхода при исследовании течений в центробежной форсунке / Н. М. Шерыхалина, А. А. Ошмарин, Е. М. Ошмарина // Вестник УГАТУ: науч. журн. Уфимск. гос. авиац. техн. унта. 2007. Т. 9, №1 (19). С. 47Ц51. 8. Методы обработки результатов численного эксперимента для увеличения их точности и надежности / Н. М. Шерыхалина // Вестник УГАТУ: науч. журн. Уфимск. гос. авиац. техн. ун-та. 2007. Т. 9, №2 (20). С. 127Ц137. 9. Обоснование методов фильтрации результатов численного эксперимента / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Вестник УГАТУ: науч. журн. Уфимск. гос. авиац. техн. ун-та. 2007. Т. 9, №3 (21). С. 71Ц79. 10. Применение фильтрации для обработки результатов численного эксперимента / Н. М. Шерыхалина // Вестник УГАТУ: науч. журн. Уфимск. гос. авиац. техн. ун-та. 2007. Т. 9, № 7 (25). С. 90Ц96. 11. Применение фильтрации численных результатов для увеличения надежности САПР / Н. М. Шерыхалина // Информационные технологии. 2008. № 9. С. 16Ц22. 12. Моделирование погрешности и численная фильтрация при решении смешанных задач / Н. М. Шерыхалина, С. С. Поречный // Вестник УГАТУ: науч. журн. Уфимск. гос. авиац. техн. ун-та. 2008. Т. 11, № 1 (28). С. 181Ц188. 13. Уточнение решений сложных вычислительных задач с помощью постпроцессорной обработки численных результатов / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13, № 6 С. 61Ц65. 14. Применение методов многокомпонентного анализа для решения некорректных задач / Н. М. Шерыхалина, С. С. Поречный // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2008. № 6 (69). С. 89Ц96. 15. Особенности установления предельных решений нестационарных осесимметричных задач Хеле-Шоу / В. П. Житников, О. Р. Зиннатуллина, Н. М. Шерыхалина, С. С. Поречный // Прикладная механика и техническая физика. 2009. Т. 50. №4. С. 87Ц99. 16. Об одном подходе к практической оценке погрешностей численных результатов / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина, С. С. Поречный // Научнотехнические ведомости СПбГПУ. 2009. - №3(80). С. 105Ц110. 17. Фильтрация численных результатов для решения волновых задач гидродинамики / Н. М. Шерыхалина // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2009. Т. 12, № 2. С 121Ц128. 18. Решение задачи идентификации при оценке погрешностей численных результатов / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина, С. С. Поречный // Научнотехнические ведомости СПбГПУ. 2010. №1(93). С. 60Ц63. 19. Задача о течении весомой жидкости над щитом при наличии вихря / В. П. Житников, А. А. Ошмарин, С. С. Поречный, Н. М. Шерыхалина // Прикладная механика и техническая физика. 2011. Т. 52, № 1. С. 54Ц59. 20. Задачи Хеле-Шоу с ограничениями на подвижность свободных границ / В. П. Житников, Р. Р. Муксимова, Н. М. Шерыхалина // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. №4 (3). С. 779Ц780. 21. Метод фильтрации численных результатов с восстановлением значений коэффициентов / Н. М. Шерыхалина // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 1(143)/2012, СПб, 2012. С. 60Ц65. В других изданиях 22. Применение метода выделения особенностей для решения задач гидродинамики весомой жидкости и электрохимического формообразования / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина, А. Р. Ураков // Динамика сплошных сред со свободными границами. Чебоксары: Чуваш. ун-т. 1996. С. 97Ц106. 23. Задача о погруженном источнике / Н. М. Шерыхалина // Принятие решений в условиях неопределенности. Уфа: УГАТУ. 1996. С. 131Ц135. 24. Задача о затопленном источнике. Неоднозначность решения / Н. М. Шерыхалина // Гидродинамика больших скоростей: тр. VI Всерос. научной школы. Чебоксары: изд. Чуваш. ун-та. 1996. С. 202Ц209. 25. Сравнительное исследование решений задач о течении весомой жидкости при наличии источника и вихря / Н. М. Шерыхалина, О. И. Шерыхалин // Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении: тр. Междунар. науч. конф. Том 2. Казань. 1997. С. 113Ц117. 26. Расчет формы уединенных волн с помощью численно-аналитических методов / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 1998. Т.1. № 2Ц3. С. 103Ц107. 27. Численно-аналитические методы решения задач гидродинамики с особенностями на свободной границе / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Проблемы математики и теории управления. Уфа: УГАТУ. 1998. С. 228Ц238. 28. Обтекание диполя под поверхностью весомой жидкости с образованием солитона / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина, О. И. Шерыхалин // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики. 1999. Вып. 114. С. 31Ц34. 29. Критерий применимости правила Рунге для оценки погрешности численных результатов / Н. М. Шерыхалина // Принятие решений в условиях неопределенности. Уфа: УГАТУ. 1999. С. 295Ц300. 30. Аппроксимация результатов численного эксперимента / Н. М. Шерыхалина // Моделирование, вычисления, проектирование в условиях неопределенности - 2000: труды Междунар. науч. конф. Уфа: УГАТУ. 2000. С. 262Ц269. 31. Оценка погрешности с помощью трехточечной экстраполяции / Н. М. Шерыхалина, В. В. Гаврилов // Моделирование, вычисления, проектирование в условиях неопределенности - 2000: тр. Междунар. науч. конф. Уфа: УГАТУ. 2000. С. 270Ц273. 32. Суммирование медленно сходящихся рядов методом повторной экстраполяции частичных сумм / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина, В. В. Гаврилов // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы: тр. Междунар. конф. Т. IV: Уфа: Изд. ИМВ - УН - РАН. 2000. С. 23Ц28. 33. Информационные принципы прикладного анализа / Г. Н. Зверев, В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы: тр. Междунар. конф. Т. IV: Уфа: Изд. ИМВ - УН - РАН. 2000. С. 173Ц178. 34. Применение сплайн-аппроксимации для решения задач для уравнения Лапласа со свободными границами / Н. М. Шерыхалина, А. А. Розенман // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы: тр. Междунар. конф. Т. IV: Уфа: Изд. ИМВ - УН - РАН. 2000. С. 136Ц141. 35. Информационные технологии в вычислительной математике / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина, В. В. Гаврилов // Компьютерные науки и информационные технологии (CSITТ2000): матер. 2-го Междунар. семинара Уфа, 2000. Т.2. P. 174Ц176. (Статья на англ. яз.) 36. Задача о погруженном источнике / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Теоретическая информатика - 2000: тр. Междунар. науч. конф., Уфа, 2000. С. 37Ц49. (Статья на англ. яз.) 37. Оценка погрешности интерполяции методом сравнения / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Теоретическая информатика - 2000: тр. Междунар. науч. конф. Уфа: УГАТУ. 2000. С. 133Ц142. (Статья на англ. яз.) 38. Информационные технологии в вычислительной математике. Интерполяция и оценка погрешности / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина, В. В. Гаврилов // Компьютерные науки и информационные технологии (CSITТ2001): матер. 3го Междунар. семинара (CSITТ2001). Янгантау, 2001. Т. 3. С. 158Ц161. (Статья на англ. яз.) 39. Применение повторной экстраполяции для ускорения сходимости последовательностей и рядов / Н. М. Шерыхалина, В. В. Гаврилов // Принятие решений в условиях неопределенности: межвуз. науч. сб. Уфа: УГАТУ, 2001. С. 67 - 73. 40. О проблеме повышения достоверности численных результатов / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Управление в сложных системах: межвуз. науч. сб. ЦУфа: УГАТУ, 2002. ЦС. 233Ц244. 41. Применение многоуровневой экстраполяции для решения задач гидродинамики / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Гидродинамика больших скоростей (HSH ЦГБС 2002): матер. Междунар. конф. Чебоксары, 2002. С. 407Ц418. (Статья на англ. яз.) 42. Применение методов экстраполяции численных результатов для уточнения решений задач гидродинамики / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Журнал вычислительной гидродинамики. Т. 11, № 2, 2002. С. 155Ц160. (Статья на англ. яз.) 43. Капиллярные и гравитационные волны на ограниченной области свободной поверхности жидкости / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Успехи математики и механики (PAMM). 2003. Т.3, №1 С. 436Ц437. (Статья на англ. яз.) 44. Программно-методический комплекс Параллельные алгоритмы и программы / В. П. Житников, А. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Высокопроизводительные вычислительные ресурсы России: состояние и перспективы развития: Материалы науч.-техн. совещ. Уфа: УГАТУ. 2003. С. 151Ц161. 45. Увеличение эффективности вычислений методом многокомпонентного анализа / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Компьютерные науки и информационные технологии (CSITТ2003): матер. 5-го Междунар. семинара (CSITТ2003). Уфа, 2003. Т. 1. С. 6Ц9. (Статья на англ. яз.) 46. Численное моделирование течений с вихрем / Н. М. Шерыхалина, А. А. Ошмарин // Компьютерные науки и информационные технологии (CSITТ2003): матер. 5-го Междунар. семинара). Уфа, 2003. Т. 1. С. 199Ц204. (Статья на англ. яз.) 47. Задача об обтекании вихря в круглом канале / Н. М. Шерыхалина, А. А. Ошмарин // Принятие решений в условиях неопределенности: межвуз. науч сб. ЦУфа: УГАТУ. 2003. ЦС. 65Ц72. 48. Обтекание щита потоком весомой жидкости при наличии свободного вихря / Н. М. Шерыхалина, А. А. Ошмарин // Гидродинамика больших скоростей (HSH ЦГБС 2004): матер. Междунар. конф. Чебоксары, 2004. С. 273Ц286. (Статья на англ. яз.) 49. Техническая поддержка верификации результатов вычислений / Н. М. Шерыхалина, Г. И. Федорова, А. А. Ошмарин // Компьютерные науки и информационные технологии (CSITТ2004): матер. 6-го Междунар. семинара. Будапешт, 2004. Т. 2. С. 149Ц152. (Статья на англ. яз.) 50. Устойчивость свободного вихря в потоке весомой жидкости / А. А. Ошмарин, Н. М. Шерыхалина // Компьютерные науки и информационные технологии (CSITТ2005): матер. 7-го Междунар. семинара. Уфа, 2005. Т. 1. С. 149Ц151. (Статья на англ. яз.) 51. Применение численной фильтрации как средства уточнения результатов вычисления и оценки погрешности / В. П. Житников, О. Р. Зиннатуллина, Н. М. Шерыхалина, А. А. Ошмарин // Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование. матер. 3-й науч. школы. Кемерово. 2006. С. 73Ц77. 52. Численная фильтрация как метод уточнения результатов вычислений и оценки погрешности / В. П. Житников, О. Р. Зиннатуллина, Н. М. Шерыхалина, А. А. Ошмарин // Компьютерные науки и информационные технологии (CSITТ2006): матер. 8-го Междунар. семинара. Карлсруэ, 2006. Т. 1. С. 134Ц137. (Статья на англ. яз.) 53. Численные исследования нестационарного формообразования на основе аналитического решения задачи Хеле-Шоу / В. П. Житников, Г. И. Федорова, Н. М. Шерыхалина, А. Р. Ураков // Журнал инженерной математики. 2006 Т. 55, № 1Ц4. Springer. С. 255Ц276. (Статья на англ. яз.) 54. Многокомпонентный анализ результатов численного эксперимента как метод выделения полезной информации из зашумленного сигнала / Н. М. Шерыхалина // Компьютерные науки и информационные технологии (CSITТ2007): матер. 9-го Междунар. семинара. Уфа, 2007. Т. 1. С. 240Ц243. (Статья на англ. яз.) 55. Моделирование электрохимической обработки секционированным электрод-инструментом / Н. М. Шерыхалина, С. С. Поречный, А.Р. Маннапов, Н.И. Житникова // Компьютерные науки и информационные технологии (CSITТ2007): матер. 9-го Междунар. семинара. Уфа, 2007. Т. 3. С. 250Ц252. (Статья на англ. яз.) 56. Мктоды ускорения сходимости рядов и контроль надежности вычислений / Н. М. Шерыхалина, С. С. Поречный // Компьютерные науки и информационные технологии (CSITТ2007): матер. 9-го Междунар. семинара. Уфа, 2007. Т. 4. С. 86Ц89. (Статья на англ. яз.) 57. Многокомпонентный анализ результатов вычислений с целью повышения их надежности и точности / Н. М. Шерыхалина, М. А. Тимофеева // Гидродинамика больших скоростей: матер. X Междунар. науч. школы. Чебоксары. 2008. - С. 357Ц366. 58. Эмпирическое исследование результатов численного эксперимента с помощью фильтрации / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Обратные задачи в приложениях: сб. статей межрегион. конф. Бирск: БирСПА, 2008. С. 23Ц30. 59. Моделирование течений весомой жидкости с применением методов многокомпонентного анализа / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина. Уфа: Гилем. 2009. - 336 с. 60. Исследование влияния неравномерности сетки на результат вычислений / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Компьютерные науки и информационные технологии (CSITТ2007): матер. 12-го Междунар. семинара. М.-СПб. 2010. Т. 2. С. 153Ц156. (Статья на англ. яз.) 61. Задачи гидродинамики с неопределенностью / Н. М. Шерыхалина, А. А. Ошмарин, С. С. Поречный. Саабрюкен, Германия: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2011. 114 c. 62. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ РФ № 950008. Программа расчета параметров гравитационных волн с помощью метода Леви-Чивиты / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина, О. И. Шерыхалин. Зарег. М.: РосАПО. 1995. 63. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ РФ № № 614474. Программа идентификации математической модели погрешностей численных результатов методом фильтрации / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина, С. С. Поречный. Зарег. М.: РОСПАТЕНТ. 2009. 64. Патент 2389588 (RU), МКИ B23H 3/00. Способ электрохимической обработки секционным электродом-инструментом и устройство для его осуществления / С. П. Павлинич, Р. Р. Кутушев, А. Н. Зайцев, С. А. Симонов, А. Р. Маннапов, Н. З. Гимаев, Р. М. Салахутдинов, Н. М. Шерыхалина - Опубл. в БИ №36. 2009. C. 89.
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям