Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям
CАНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ На правах рукописи
ВИНОГРАДОВА Екатерина Михайловна
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ ФОРМИРОВАНИЯ И ТРАНСПОРТИРОВКИ ПУЧКОВ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИ - НА ОСНОВЕ ПОЛЕВЫХ КАТОДОВ
Специальность 05.13.18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Санкт-Петербург - 2011
Работа выполнена на кафедре моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского Государственного Университета
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Егоров Николай Васильевич (СПбГУ)
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор профессор Овсянников Дмитрий Александрович (СПбГУ) доктор физико-математических наук, профессор Ворогушин Михаил Феофанович (ФГУП "НИИЭФА им. Д. В. Ефремова СПб) доктор физико-математических наук, профессор Яковлев Борис Васильевич (ФТИ СВФУ им. М.К.Амосова, Якутск)
Ведущая организация: Московский физико-технический институт (государственный университет) (МФТИ, Москва)
Защита состоится " "декабря 2011 года в часов на заседании совета Д.212.232.по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9, Менделеевский Центр.
C диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке им. А.М. Горького СанктПетербургского государственного университета по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9. Автореферат размещен на сайте ВАК.
Автореферат разослан " " 2011г.
Ученый секретарь доктор физико-математических наук, диссертационного профессор (СПбГУ) совета Д.212.232.50 Курбатова Галина Ибрагимовна
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы Работа посвящена математическому моделированию систем формирования и транспортировки пучков заряженных частиц на основе полевых катодов. Пучки заряженных частиц имеют широкое применение во многих областях науки и техники. В связи с открытием эмиссионных свойств углеродных материалов в последние десятилетия значительно возрос интерес к разработке электронных приборов на основе полевых катодов.
Этот интерес обусловлен тем, что решение одной из важнейших задач современной микро- и наноэлектронной технологии освоение нанометрового диапазона возможно только на основе диагностического и технологического оборудования с использованием электронных и ионных зондов. Задача освоения нанометрового диапазона принципиально может быть осуществлена только при условии применения в соответствующих электронно-оптических системах (ЭОС) в качестве эмиттера полевого катода (ПК).
Основные достоинства ПК безынерционность, отсутствие потребления мощности на накал катода, компактность, возможность получения высоких плотностей тока. Одним из самых важных преимуществ ПК, существенно отличающим их от термокатодов (особенно, если иметь ввиду их применение в приборах для пучковой диагностики поверхности: дифракция медленных электронов, электронная ожеЦспектроскопия), является возможность получения с их помощью практически монокинетического электронного пучка. Имеющиеся в настоящее время отдельные работы по этому вопросу, пока не позволили решить практически ни одной проблемы. Существенное отличие характера полевой эмиссии (ПЭ) от фото- и термоэмиссии состоит в том, что в случае ПЭ поле, создаваемое электродами системы, выполняет двойную роль: во-первых, вызывает эмиссию, а, во-вторых, обладает электроннооптическими свойствами. Следовательно, задача фокусировки и транспортировки пучка заряженных частиц должна решаться совместно с задачей получения требуемых эмиссионных характеристик системы.
Естественный путь решения проблем эксперимент. Однако, с повышением сложности экспериментальных установок, с необходимостью применения высокого напряжения, прецизионных измерительных приборов, сверхвысокого вакуума, привлечением высококвалифицированного персонала, практическая реализация экспериментальных исследований, хотя и является принципиально осуществимой, связана с большими временными и материальными затратами. Кроме того, интерпретация полученных результатов часто затруднена. При этом встает важная задача создания математических моделей и эффективных методов их анализа. Детальный количественный анализ таких моделей необходим при сравнении теории и эксперимента. Он становится важным элементом проектирования, что позволяет предварительно проанализировать возможности нового прибора, или одного из элементов электровакуумного прибора системы формирования и транспортировки пучка заряженных частиц.
Таким образом, актуальность моделирования систем формирования и транспортировки пучка заряженных частиц на основе полевого эмиттера определяется необходимостью теоретического обоснования новых технологий пучковой диагностики и приборов современной твердотельной микро- и наноэлектроники на базе полевых катодов.
Цель работы Целью настоящей работы является: разработка математических моделей и методов для расчета систем формирования и транспортировки пучков заряженных частиц на основе полевых катодов; апробация разработанных математических моделей с использованием численного эксперимента.
Методы исследования В работе основными методами исследования являются методы математического и компьютерного моделирования, математической физики, теории дифференциальных уравнений, численные методы оптимизации и прикладного программирования.
Научная новизна.
Все научные результаты, изложенные в оригинальной части диссертационной работы получены впервые и являются новыми. В настоящей работе представлены методы математического моделирования, направленные на решение математических задач, возникающих при расчете электронно-вакуумных приборов на основе полевых катодов и предложены математические модели (методики и формулы) для расчета электростатического потенциала в следующих системах формирования и транспортировки пучков заряженных частиц:
системы бесконечно тонких сферических луночек, расположенных на концентрических и неконцентрических сферах;
системы соосных круговых дисков и диафрагм, разделяющих области с различными диэлектриками;
многоэмиттерные осесимметричные и неосесимметричные системы с полевыми катодами произвольной формы, моделируемые с помощью системы зарядов и круговых заряженных нитей;
диодные и триодные системы с полевыми катодами как произвольной формы, так и специальной (сфера на веретенообразной поверхности вращения, сфера на конусе, острие с "кратером");
электронная пушка с тонким полевым острием произвольной формы и системой фокусирующих электродов в виде круговых диафрагм.
Кроме того, разработаны алгоритмы и пакеты вычислительных программ для реализации предложенных математических моделей электронных пушек с полевыми катодами.
Обоснованность и достоверность полученных результатов.
В диссертации обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается: корректной постановкой исследуемых задач; применением строгих аналитических выкладок при использовании фундаментальных принципов математического моделирования; совпадением в тестовых задачах результатов расчетов по созданным математическим моделям с соответствующими экспериментальными данными.
Практическая значимость.
Все изложенные в диссертации результаты получены автором лично или при его непосредственном участии и имеют прикладное значение. Представленные модели систем формирования и транспортировки пучков заряженных частиц на основе полевых катодов и вычисленные физические характеристики могут быть использованы для анализа экспериментальных данных и оценки возможности применения исследуемых острийных систем в реальных приборах электронной и ионной оптики (например, в электронных микроскопах, ускорителях, дисплеях нового поколения и т.д.). Математические модели и методики, разработанные в диссертационной работе, явились основой спецкурсов, читаемых на факультете Прикладной математики и процессов управления.
Апробация работы.
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях, семинарах и симпозиумах: VIII-ой Всесоюзной конференции "Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях"(Ленинград, 1986); 12-ом Всесоюзном семинаре по линейным ускорителям заряженных частиц (Харьков, 1991); Международном семинаре по динамике пучков и оптимизации (International Workshop Beam Dynamics and Optimization, BDO) (Санкт-Петербург, 1994, 1995, 1996,1998, 2002, 2007;
Дубна, 1997; Саратов, 1999, 2001, 2003); International Symposium on Hydrogen Power Theoretical and Engineering Solution (HYPOTHESIS III) (Санкт-Петербург, 1999); International workshop on New Approaches to High-Tech: Nondestructive Testing and Computer Simulations in Science and Engineering (Санкт-Петербург, 2000); 10-ом международном совещании по применению ускорителей заряженных частиц в промышленности и медицине (Санкт-Петербург, 2001); 47-th International Field Emission Symposium (Berlin, Germany, 2001); VIII Международной конференции по вычислительной ускорительной физике (8th International Computational Accelerator Physics Conference, ICAP-2004), (Санкт-Петербург, 2004); Международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова УУстойчивость и процессы управленияФ (Санкт-Петербург, 2005);
Всероссийской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения В.И. Зубова УУстойчивость и процессы управленияФ (Санкт-Петербург, 2010).
Результаты диссертационной работы в течении ряда лет неоднократно докладывались на заседаниях кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета Прикладной математики и процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета; на ежегодной международной научной конференции "Процессы управления и устойчивость", проводимой на факультете Прикладной математики и процессов управления.
Публикации.
Материалы, отражающие основное содержание диссертации, опубликованы в 41 печатной работе, из которых 11 в статьях, входящих в Перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.
Структура и объем диссертационной работы.
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы, включающего 227 наименований. Работа изложена на 276 страницах, содержит 39 рисунков и 9 таблиц.
Основные положения, выносимые на защиту:
физические и математические модели электронных пушек на основе полевых катодов различных конфигураций, физические и математические модели многоэмиттерных систем, физические и математические модели систем фокусировки и транспортировки пучков заряженных частиц, методики расчета и алгоритмы для нахождения распределения электростатического потенциала в электронно-оптических системах с учетом и без учета полевых катодов, оптимальные геометрические параметры острийных систем с фокусирующими электродами в виде круговых диафрагм по критерию минимума отклонения тока от заданного значения при постоянной величине анодного напряжения на основе разработанных алгоритмов, комплекс программ, реализующий математические модели электронных пушек с полевыми катодами.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определена цель работы, поставлены задачи, указаны научная новизна и практическая значимость работы, сформулированы основные защищаемые положения.
В первой главе дается обзор литературы по основным методам, применяемым для расчета характеристик электронно-оптических систем. Основное внимание уделяется работам, в которых представлены методы формирования и транспортировки пучков малой интенсивности (где влияние собственного объемного заряда пучка можно не учитывать).
Последующие главы являются оригинальными.
Во второй главе, посвященной моделированию многоэлектродных эмиссионных систем, представлен и реализован метод, позволяющий рассчитывать электростатический потенциал, создаваемый электродами (и системами электродов), имеющими форму, характеризуемую осевой симметрией, т.е. поверхности которых представляют собой соосные тела вращения с произвольными образующими.
Уравнение Лапласа имеет единственное решение, поэтому, любую эквипотенциальную поверхность можно считать виртуальным катодом. Можно подобрать геометрические параметры рассчитываемой системы таким образом, чтобы определенная эквипотенциальная поверхность совпала с заданной поверхностью острия при выполнении остальных граничных условий.
Подобный принцип положен в основу моделирования электронной пушки с полевым острием. Нахождение распределения потенциала в таких системах представляет собой наиболее сложную часть задачи, так как геометрические размеры электродов отличаются на несколько порядков, что затрудняет применение численных методов расчета.
При решении задач данной главы используется метод парных уравнений, основой которого является метод разделения переменных.
В з2.1 представлена математическая модель системы, состоящей из произвольного числа бесконечно тонких сферических "луночек", являющихся частями неконцентрических сфер, расположенных между двумя замкнутыми сферами. Данная осесимметричная задача решается в бисферической системе координат (, ). Параметры модели:
число луночек; , = поверхности луночек ( < при < ); ( ) граничные условия первого рода на соответствующих луночках ( = 1, ); 0 , =, = поверхности сфер; ( ), ( ) граничные условия первого ро0 +1 0 +да на сферах. Если выполняется равенство = 0, то одна из сфер размыкается 0 +в плоскость = 0.
Распределение электростатического потенциала (, ) удовлетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям (, ) = 0, (, ) = ( ), = 1,, ( 2.1) (, ) = ( ), 0 (, ) = ( ).
+1 +Для решения граничной задачи ( 2.1) вся область электронно-оптической системы разбивается на + 1 подобластей: . Для каждой из подобластей распре +деление потенциала (, ) = (, ) ( = 0, ) представимо в виде разложения по полиномам Лежандра (cos ) sh ( + )( - ) (, ) = ch - cos +, =sh ( + )( - ) +( 2.2) sh ( + )( - ) ++ (cos ), <, = 1,.
+1, +sh ( + )( - ) +Для вычисления неизвестных коэффициентов в (2.2) используется метод парных, уравнений. Определим через коэффициенты и,,, sh ( + )( - ) + = sh ( + )( - ) +, 0, sh ( + )( - ) = +1 ( 2.3) sh ( + )( - ) + sh ( + )( - ), = 1,, 0, sh ( + )( - ) = + +1 0, +1, = - +, = - +, 1, 1,,, 1 sh ( + )( - ) sh ( + )( - ) ( 2.4) 1 0 +2 =, = 2, - 1,,, и вычисляются в явном виде из граничных условий.
0, +1, В соответствии с методом парных уравнений положим = ( ) sin( + ), ( 2.5), где ( ) неизвестные функции. Тогда граничные условия в (2.1) и условия сопряжения на границах раздела подобластей приводят к системе связанных интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода относительно функций ( ) в (2.5) 1 ( ) + ( ) (, ) = ( ), ( 2.6) =2 ( ) sin ( ) =, <, = 1,, ( 2.7) 2( ch - cos ) где функции ( ) определяются из граничных условий.
Ядра уравнений ( 2.7) (, ) являются симметричными и могут быть выписаны в явном виде:
1 (, ) = sin ( + ) sin ( + ), ( 2.8) 2 =где -( + )( - ) 1 +1 = - sh ( + )( - ) + 2 ( 2.9) -( + )( - ) 0 1 + sh ( + )( - ), +sh ( + )( - ) +1 1 sh ( + )( - ) sh ( + )( - ) +1 2 = -, <. ( 2.10) sh ( + )( - ) +1 Формулы ( 2.2) ( 2.10) позволяют свести решение исходной граничной задачи (2.1) о распределении электростатического потенциала в любой точке области к решению системы связанных интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода.
В з2.2. представлена математическая модель системы бесконечно тонких сферических луночек, являющихся частями концентрических сфер, расположенных между двумя замкнутыми сферами. В отличии от математической модели параграфа 2.1, данная осесимметричная задача решается в сферической системе координат (,, ). Параметры модели: число сегментов; 0 , = поверхности луночек ( < при < ); ( ) граничные условия первого рода на соответствующих луночках ( = 1, ); 0 , =, = поверхности сфер; ( ), ( ) 0 +1 0 + граничные условия первого рода на сферах.
Распределение электростатического потенциала (, ) удовлетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям (, ) = 0, (, ) = ( ), = 1,, ( 2.11) (, ) = ( ), 0 (, ) = ( ).
+1 +Вся область электронно-оптической системы разбивается на + 1 подобластей: . Для каждой из подобластей распределение потенциала (, ) = (, ) +( = 0, ) можно представить в виде разложения по полиномам Лежандра (cos ) 2 +1 - - + (, ) = +, 2 + =1 +( 2.12) -2 -1 + (cos ), <.
+1, +2 + +1 +Как и для математической модели параграфа 2.1, определяя коэффициенты в, (2.12) через новые неизвестные коэффициенты и,, 2 +1 +1 2 +1 - 1 + = +,, 2 + =1 +( 2.13) 2 +1 2 +1 - 1 ++, = 1,.
, 2 + = +1 + +1 + = - +, = - 2 +1 +1,, +, 1, 0, 1,, 2 +( 2.14) 1 - 1 1 + =, = 2, - 1,,, и используя подстановку (2.5), получаем систему связанных интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода относительно неизвестных функций ( ) ( ) + ( ) (, ) = ( ), ( 2.15) =где правые части уравнений ( ) определяются по формулам (2.7), ядра (, ) по формулам (2.8), а коэффициенты, входящие в ядра, по следующим формулам 2 +1 2 + = - 2 +1 0 1 - + +( 2.16) 1 +2 +1 2 + + 1 -, +2 +1 +1 2 +1 - 1 +( 2.17) =, <.
2 +1 +Итак, нахождение неизвестных коэффициентов (2.13)Ц(2.14) в разложении потенциала (2.12) для исходной граничной задачи (2.11) сводится к решению системы связанных интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода (формулы (2.15)Ц(2.17), (2.7), (2.8)).
В з2.3 представлена математическая модель осесимметричной системы, состоящей из произвольного числа соосных дисков, расположенных между двумя проводящими плоскостями. Задача решается в цилиндрической системе координат (, ). Параметры модели: число дисков; (, ) координаты дисков; потенциалы дисков ( = 1, );, координаты плоскостей. Не нарушая общности задачи считаем, 0 +что = 0 и потенциал этой плоскости равен нулю, потенциал второй плоскости равен. При отсутствии объемных зарядов распределение потенциала (, ) удовлетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям (, ) = 0, (, ) =, = 1,, ( 2.18) (, 0) = 0, (, ) =.
+Для решения граничной задачи (2.18) вся область электронно-оптической системы разбивается на + 1 подобластей: . Для каждой из подобластей распреде +ление потенциала (, ) можно представить в виде разложения Ханкеля по функциям Бесселя ( ) sh ( - ) (, ) = + ( ) + - sh ( - ) +1 -( 2.19) sh ( - ) -+ ( ) ( ), <, = 1, + 1.
0 -sh ( - ) -Неизвестные функции ( ) в разложении (2.19) вычисляются через новые функции ( ) sh ( ) sh ( ( - )) + ( ) = ( ) + sh ( ) + =( 2.20) sh ( ) sh ( ( - )) ++ ( ).
sh ( ) + = +Метод парных уравнений, содержащих разложения по функциям Бесселя, с помощью подстановки ( ) = ( ) cos ( 2.21) приводит к системе связанных интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода относительно искомых функций ( ) 2 ( ) + ( ) ( - ) + ( + ) =, <, = 1,. ( 2.22) =Ядра ( - ), ( + ) уравнений (2.22) являются симметричными и могут быть выписаны в явном виде ( ) = ( ) cos, ( 2.23), где sh ( ) sh ( ( - )) + ( ) =, >,, sh ( ) +exp( ) sh ( ( - )) + exp( ( - )) sh ( ) +1 +( 2.24) ( ) =,, sh ( ) + = -.
+Формулы (2.19)Ц(2.21) позволили свести решение граничной задачи (2.18) к решению системы уравнений Фредгольма 2-го рода (2.22)Ц(2.24).
Расчет по этим алгоритмам вошел в комплекс программ. В качестве примера рассмотрена модель электронной пушки, состоящей из катода аксиально-симметричного острия произвольной формы на плоской металлической подложке, и анода бесконечной плоскости. Потенциал катода и подложки равен нулю, потенциал анода равен, поверхность острия в цилиндрической системе координат задается функцией ( ). Острие заменяется совокупностью соосных дисков так, чтобы эквипотенциальная поверхность с потенциалом, равным нулю, совпала с поверхностью острия ( ). На рисунках 1, представлены результаты численных расчетов распределения потенциала для полевых острий с различными формами поверхности. На рис.1,а, рис.2,а представлены графики распределения поля и картины эквипотенциалей во всей области электронной пушки, на, рис.1,б, рис.2,б вблизи острий. Рис.1 дает распределение потенциала для острия, поверхность которого имеет форму полуэллипсоида вращения; рис.2 для острия, поверхность которого имеет форму сфера - на - конусе. Во всех случаях использованы безразмерные единицы измерения потенциал на аноде равен 1, длина острия равна 0,1, расстояние между подложкой острия и анодом равно 1.
Рис.1. Распределение электростатического потенциала эмиссионной системы с полевым острием, поверхность которого имеет форму полуэллипсоида вращения.
В з2.4 представлена математическая модель фокусирующей осесимметричной электронно-оптической системы, состоящей из произвольного числа бесконечно тонких плоских круговых диафрагм, расположенных между двумя плоскостями, при этом области между диафрагмами заполнены различными диэлектриками. Параметры модели:
число диафрагм ( = 1, ); (, ) координаты диафрагм; ( ) граничные условия на диафрагмах;, координаты плоскостей; ( ), ( ) граничные 0 +1 0 +условия на плоскостях; диэлектрические проницаемости ( = 1, + 1). Функция распределения электростатического потенциала (, ) является решением граничной задачи Рис.2. Распределение электростатического потенциала эмиссионной системы с полевым острием, поверхность которого имеет форму сфера - на - конусе.
(, ) = 0, (, 0) = ( ), (, ) = ( ), ( 2.25) +1 + (, ) = ( ), = 1,.
Как и для математической модели предыдущего параграфа, вся область электроннооптической системы разбивается на + 1 подобластей: и для каждой +из подобластей распределение потенциала (, ) = (, ) ( = 1, ) представляется в виде разложения Ханкеля по функциям Бесселя ( ) sh ( - ) sh ( - ) + (, ) = ( ) + ( ) ( ) + +1 sh ( - ) sh ( - ) +1 +( 2.26) ( ) - ( ) ++ ( ) + ( - ), <.
+ - +Граничные условия и условия непрерывности нормальной составляющей вектора электрического поля на плоскостях = приводят к системе парных интегральных уравнений, содержащих разложения по функциям Бесселя нулевого порядка. Данная система с помощью подстановки ( ) = ( ) sin ( 2.27) приводит к системе связанных интегральных уравнений Фредгльма 2-го рода относительно функций ( ) -1 - (, ) ( ) + ( ) + (, ) ( ) - ( 2.28) -1 -0 +1 2 ( ) - (, ) ( ) = ( ) =, +1 +2 - 0 где (, ) = -2 ( ) sin sin, ( 2.29), 1 ( ) = - + +1, ( ) = - ++1,, -1, + +sh ( - ) sh ( - ) -1 +exp(- ( - ) exp(- ( - ) +-( 2.30) ( ) = - +1 +1 +1 +,, sh ( - ) sh ( - ) +1 - ( ) - ( ) ( ) - ( ) +1 - + ( ) = + +1 +1 - + +1 - -1.
- Итак, решение граничной задачи (2.25) с помощью разложений (2.26) и подстановки (2.27) сводится к решению системы уравнений Фредгольма 2-го рода (2.28)Ц(2.30).
В з2.5 представлена математическая модель более общей (объединяющей две предыдущие математические модели) фокусирующей осесимметричной электронно-оптической системы, состоящей из бесконечно тонких плоских круговых дисков и диафрагм, расположенных в произвольном порядке между двумя плоскостями.
Рис.3 Распределение электростатического потенциала и картины эквипотенциалей всей области для полевого острия, поверхность которого представляет собой сферу на конусе, фокусирующей системой является линза из трех диафрагм.
0 0 Параметры модели: число дисков; (, ) координаты дисков; потенциалы дисков ( = 1, ); число диафрагм; (, ) координаты диафрагм;
потенциалы диафрагм ( = 1, );, координаты плоскостей. Решение 0 + +данной задачи базируется на решении задач двух предыдущих параграфов и задача нахождения неизвестных коэффициентов в разложении потенциала сведена к решению системы связанных интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода. Все геометрические размеры и потенциалы дисков, диафрагм и плоскостей являются параметрами модели.
Рис.4 Распределение электростатического потенциала и картины эквипотенциалей вблизи полевого острия, поверхность которого представляет собой сферу на конусе, фокусирующей системой является линза из трех диафрагм.
Расчет по данной модели вошел в комплекс программ. На рисунках 3, 4 представлены результаты численных расчетов распределения потенциала для полевого острия, поверхность которого представляет собой сферу на конусе, фокусирующей системой является линза из трех диафрагм. На рис.3 представлен характер распределения поля и картины эквипотенциалей во всей области электронной пушки, на рис.4 вблизи острия. Во всех случаях использованы безразмерные единицы измерения потенциал на аноде равен 100, длина острия равна 0,1, расстояние между подложной острия и анодом равно 1, координаты диафрагм и потенциалы: ( = 0, 3; = 0, 3), = 30, 1 1 ( = 0, 2; = 0, 5), = 20, ( = 0, 1; = 0, 9), = 70.
2 2 2 3 3 В третьей главе представлены физические и математические модели многоэмиттерных систем.
Одним из основных недостатков полевых катодов является то, что они позволяют получать небольшие значения полного эмиссионного тока для одиночных катодов.
Многоострийные системы дают возможность получить нужные значения эмиссионного тока для практических реализаций электронно-оптических приборов на основе полевых катодов. Для этого необходимо прежде всего знать распределение электростатического потенциала как функцию координат и параметров задачи как геометрических размеров, так и значений задаваемых напряжений на электродах системы.
В данной главе представлены методы, позволяющие рассчитывать электростатический потенциал, создаваемый электродами (и системами электродов), имеющими произвольную форму, как характеризуемую осевой симметрией, так и не обладающие осевой симметрией. Данная методика позволяет рассчитывать большой класс электроннооптических систем и эмиссионных, и систем формирования и транспортировки пучка заряженных частиц. Согласно предложенной методике влияние некоторых электродов заменяется влиянием системы точечных зарядов или круговых заряженных нитей. Таким образом, как и в предыдущей главе 2, реальный полевой катод заменяется виртуальным, поверхность которого совпадает с определенной эквипотенциальной поверхностью.
В з3.1 рассмотрена математическая модель многоострийной системы, представляющей собой бесконечную периодическую систему катодов на плоской металлической подложке, расположенных в прямоугольной решетке, анод плоскость. Данная задача решалась в декартовой системе координат (,, ). Параметры модели: = + поверхность анода; = 0 поверхность подложки острий; длина острия;
(, ) поверхность острия; полупериод по оси ; полупериод по оси ;
0 1 (,, ) = граничные условия на аноде; (,, 0) = 0 граничные условия +1 на подложке острий. Потенциал на катодах совпадает с потенциалом подложки и равен нулю. Для решения задачи расчета потенциала была рассмотрена одна ячейка периодической многоострийной системы, в которой влияние отдельного острия заменялось влиянием системы точечных зарядов ( = 1, ) таким образом, чтобы поверхность реального полевого катода совпала с нулевой эквипотенциальной поверхностью (виртуальным катодом). Параметры системы точечных зарядов: число зарядов;
величины зарядов; (0, 0, ) координаты зарядов.
Функция распределения потенциала (,, ) системы точечных зарядов представляет собой решение граничной задачи для уравнения Пуассона (,, ) = - 1 (,, ), (,, ) = 0, (,, ) =, ( 3.1) = 0 = + (,, ) (,, ) = 0, = 0.
= 1 = Считая, что каждый из зарядов (0, 0, ) распределен в малом объеме ( <, <, - < ) с постоянной объемной плотностью заряда так, что при 0, 2 = 1, 2, = lim 8, ( 3.2) 1 2 функцию (,, ) в правой части уравнения Пуассона для граничной задачи (3.1) можно представить в виде:
, <, <, - <, 1 2 (,, ) = ( 3.3) 0, >, или >, или - >.
1 2 Решение граничной задачи (3.1)Ц(3.3) найдено в явном виде (,, ) = + ++ 4 1 ( - ) + ( - ) + +1 +0 1 =0 = + 1 sh ( - ) sh ++ + sh +0 1 =0 =0 =( 3.4) sh ( - ) sh + +1 cos cos, 0 sh + = + <.
+где 1, > 0, > 0, = 2 2, = 0 или = 0, ( + = 0).
Заряды определяются таким образом, чтобы нулевая эквипотенциаль совпадала в точках с поверхностью катода (, ). Тогда формула (3.4) для точек (,, = (, )) задает систему линейных алгебраических уравнений для определения зарядов :
+ =, <, + =1 = +где 1 1 sh ( - ) sh + = ( - ) + cos cos, +1 0 4 sh +0 1 =0 = 1 1 sh ( - ) sh + = ( - ) + cos cos, +1 0 4 sh +0 1 =0 = = -, <, = 0,, = 1,. ( 3.5) + +Распределение потенциала (,, ) (3.4) в одной ячейке периодической системы найдено в аналитическом виде во всей области данной ячейки, а следовательно, во всей области многоэмиттерной системы. Заряды определяются как решение системы линейных алгебраических уравнений (3.5) таким образом, чтобы нулевая эквипотенциаль совпадала с поверхностью катода в произвольных точках.
В з3.2 представлена математическая модель диодной системы на основе одиночного полевого острия на плоской металлической подложке, анод представляет собой плоскость. Как и для модели предыдущего параграфа, влияние отдельного острия заменяется влиянием системы точечных зарядов ( = 1, ) таким образом, чтобы поверхность реального полевого катода совпала с нулевой эквипотенциальной поверхностью виртуальным катодом. Параметры модели: = поверхность анода; = +поверхность подложки острия; длина острия; (, ) поверхность острия;
0 граница ячейки по оси ; граница ячейки по оси ; (,, ) = гранич2 +1 ные условия рода на аноде; (,, 0) = 0 граничные условия на подложке острия;
0 (,, ) = граничные условия по переменной ; (, , ) = 1 +1 + граничные условия по переменной ; число зарядов; величины зарядов;
(0, 0, ) координаты зарядов. Потенциал на катоде совпадает с потенциалом подложки и равен нулю.
Распределение электростатического потенциала системы точечных зарядов рассматриваемой модели как решение уравнения Пуассона, удовлетворяющее заданным граничным условиям, найдено в следующем аналитическом виде:
1 sh ( - ) sh + (,, ) = + + + sh +0 1 =0 =0 =( 3.6) sh ( - ) sh + +1 ) cos cos, <, = 0,.
0 0 +sh + = +Как и для математической модели параграфа 3.1, формула (3.6) позволяет определить заряды таким образом, чтобы нулевая эквипотенциаль совпадала с поверхностью катода (, ) в точках (,, = (, )).
0 В з3.3 исследуется математическая модель многоэмиттерной системы осесимметричных полевых катодов в гексогональной решетке на плоской подложке. Каждая граница решетки одной ячейки лежит в плоскости, которая является плоскостью симметрии для данной задачи. Таким образом, на границе раздела ячеек нормальная составляющая электростатического поля равна нулю. Поверхность каждого острия является осесимметричной, поэтому, полагая что граница каждой ячейки представляет собой цилиндрическую поверхность, исходная трехмерная задача сведена к осесимметричной задаче. Влияние отдельного острия заменяется влиянием системы точечных зарядов ( = 1, ).
Данная задача решена в цилиндрической системе координат (, ). Параметры модели: = поверхность анода; = 0 поверхность подложки острия; длина +острия; ( ) поверхность острия; радиус ячейки; (, ) = 0 гра = ( ) ничные условия на катоде; (, ) = граничные условия на аноде; (, 0) = +1 (, ) = 0 граничные условия граничные условия на подложке острия;
= по переменной ; число зарядов; величины зарядов; (0, ) координаты зарядов.
Функция (, ) распределения электростатического потенциала системы точечных зарядов в ограниченной цилиндрической области удовлетворяет уравнению Пуассона и граничным условиям (, ) = - 1 (, ), (, ) = 0, (, ) =, ( 3.7) = 0 = + (, ) = 0.
= Каждый из зарядов распределен в малом объеме ( <, - < ) с постоянной 1 объемной плотностью заряда при 0, = 1, 2 так, что = lim 2. ( 3.8) Функция (, ) в правой части уравнения Пуассона для граничной задачи (3.7) определяется следующим образом, <, - <, 1 (, ) = ( 3.9) 0, >, или - >.
1 Решение граничной задачи (3.7)Ц(3.9) найдено в аналитическом виде sh ( - ) sh + (, ) = + + ( ) +1 =1 =sh + ( 3.10) sh ( - ) sh ++, , = 0,, 0 + = +sh +где 0 функции Бесселя, корни функций Бесселя первого порядка ( ) = 0.
Заряды из (3.10) определены так, чтобы поверхность виртуального катода совпадала с поверхностью моделируемого катода в произвольных точках.
В з3.4. моделируется осесимметричная диодная система, граница которой представляет собой цилиндрическую поверхность, на основе осесимметричного одиночного полевого острия на плоской металлической подложке, анод представляет собой часть плоскости.
В з3.5 моделируется осесимметричное одиночное острие в цилиндрической неограниченной области.
Данные две математические модели решались аналогичным методом, что и модель з3.3. Распределение электростатического потенциала найдено в аналитическом виде в случае, когда реальный катод заменен виртуальным с помощью системы точечных зарядов.
В з3.6. рассмотрена математическая модель периодической многоэмиссионной системы полевых катодов произвольной формы. Полевые катоды могут иметь весьма сложную форму, при этом эмиссионные центры могут быть расположены достаточно хаотично, например, когда полевой катод состоит из пучка углеродных нанотрубок (УНТ). Расчет подобных систем представляет собой сложную задачу, так как число отдельных УНТ достигает больших значений. Однако можно выделить некоторую область, содержащую определенное число эмиттеров, считая ее одной ячейкой периодической структуры многоэмиссионной системы. Каждый эмиссионный центр моделируется точечным зарядом. Таким образом, рассчитывается система точечных зарядов, произвольно расположенных внутри цилиндрической области. Данная задача не является осесимметричной и решается в цилиндрической системе координат (,, ). Как и для математической модели параграфа 3.3., полагается, что периодичность по переменной определяется равенством нулю производной по нормали к боковой поверхности цилиндрической ячейки. Кроме того, для уменьшения числа зарядов рассматривалась секторальная область цилиндра, т.е. по переменной система также является периодичной с периодом =, где целое число.
Параметры модели: радиус ячейки; = поверхность анода; = +1 +поверхность подложки системы; = период по переменной ; ( ) поверхность острия; (, ) = 0 граничные условия на катоде; (, 0, ) = 0 граничные = ( ) условия на подложке острия; (,, ) = граничные условия на аноде;
+1 число зарядов; величины зарядов; (,, ) координаты зарядов.
Для нахождения распределения потенциала решалась следующая граничная задача (,, ) = - 1 (,, ), (,, ) = 0, (,, ) =, ( 3.11) = 0 = + = 0, = 0.
= +1 = 0, Каждый из зарядов (,, ) распределен в малом объеме ( - <, - <, - < ) с постоянной объемной плотностью заряда так, что при 0, 2 = 1, 2, = lim 8, ( 3.12) 1 2 функция (,, ) в уравнении Пуассона для граничной задачи (3.11) представлена в виде, - <, - <, - <, 1 2 (,, ) = ( 3.13) 0, - >, или - >, или - >.
1 2 Решение граничной задачи (3.11)Ц(3.13) найдено в аналитическом виде. Распределение потенциала (,, ) записано в виде суммы функций (,, ) = (,, ) + (,, ) + 0, ( 3.14) 1 + 1 ( 3.15) (,, ) = cos 2 ( ) 0 + +1 + =0 =sh ( - ) sh + +1 + cos + +sh =1 + + sh ( - ) sh + +1 ++ cos, +sh = +1 + + <, = 1,, + 1 (,, ) = cos sin 0 + + =0 = + cos +( 3.16) + -1 +1 = + +1 + sin ( ( ) - ( )) +1 -1 + +1 + 2 2 ( ) + =+ +1 +где функции Бесселя; модифицированные функции Бесселя +1 +первого рода; корни уравнений ( ) = 0;
, = 0, = ( 3.17) 1, > 0;
число различных значений координат точечных зарядов по переменной.
Формулы (3.14)Ц(3.18) дают аналитическое решение граничной задачи (3.11)Ц(3.13)и.
Для численного эксперимента в з3.6 рассмотрена функция (,, ) как сумма функций (,, ) = (,, ) + 0, ( 3.18) 3 +представляющая собой решение граничной задачи для уравнения Пуассона со следующими граничными условиями первого рода по переменной (,, ) = - 1 (,, ), (,, ) = 0, = +1 + = 0, = 0, (,, ) = 0, (,, ) =.
3 3 = 0 = +Расчет по данной модели вошел в комплекс программ. На рисунках 5,6 представлены картины эквипотенциалей для функции распределения потенциала (,, ) (3.19) при следующих значений параметров задачи (все величины указаны в безразмерных единицах): = 1 радиус ячейки; = 4 поверхность анода; = период +1 +по переменной ; (,, ) = 1 граничные условия на аноде; = 3 число +зарядов; = -2, = -1, = -3 величины зарядов; ( = 0, 2; = 1; = ), 1 2 3 1 1 ( = 0, 3; = 2; = ), ( = 0, 4; = 3; = ) координаты зарядов.
2 2 2 3 3 5 На рис.5 представлена эквипотенциальная поверхность со значением (,, ) = 0, на рис.6 со значением (,, ) = 0, 95, Рис.5 Эквипотенциальная поверхность со значением (,, ) = 0.
В з3.7 рассмотрена математическая модель периодической системы осесимметричных полевых катодов произвольной формы. Для форм полевых катодов, представляющих собой осесимметричные полые фигуры, подобные многоэмиттерные системы моделируются с помощью круговых заряженных нитей. Таким образом, в данном параграфе Рис.6 Эквипотенциальная поверхность со значением (,, ) = 0, 95.
решена задача нахождения распределения электростатического потенциала в области, содержащей соосную систему круговых заряженных нитей с линейными плотностями зарядов ( = 1, ), произвольно расположенных внутри цилиндрической области.
Данная осесимметричная задача решена в цилиндрической системе координат (, ).
Как в предыдущих параграфах данной главы, полагается, что периодичность по переменной определяется равенством нулю производной по нормали к боковой поверхности цилиндрической ячейки.
Параметры модели: радиус ячейки; = поверхность анода; = +1 +поверхность подложки системы; (, 0) = 0 граничные условия на подложке острия;
(, ) = граничные условия на аноде; величины линейных плотностей +1 зарядов нитей; (, ) координаты соосных круговых заряженных нитей.
Решение данной задачи (, ) найдено в явном виде как сумма функций (, ) = (, ) + (, ) + 0, ( 3.19) 1 +где 1 (, ) = 1 ( ) 0 + + = ( - ) +sh sh + +1 + ( 3.20) + + =sh + ( - ) +sh sh ++ +1, <, = 1,, 0 + + + = +sh + + (, ) = sin ( 3.21) +1 + + = + 2+1 sin, +1 + =1 = ( ) + +1 + корни уравнений ( ) = 0, ( ) функции Бесселя, ( ) модифицированные функции Бесселя ( = 0, 1). Формулы (3.20)Ц(3.22) дают решение исходной граничной задачи в аналитическом виде.
В четвертой главе рассмотрены математические модели систем формирования и транспортировки пучков электронов, представляющих собой диодные и триодные системы: катод специальной формы (сфера на конусе, сфера на веретенообразной поверхности вращения) на сферической подложке анод (сфера, часть сферы).
В главах 2 и 3 были представлены методы, позволяющие рассчитывать электростатический потенциал, создаваемый электродами (и системами электродов), имеющими произвольную форму, как характеризуемую осевой симметрией, так и не обладающие осевой симметрией. Данная методика позволяет рассчитывать большой класс электронно-оптических систем и эмиссионных, и систем фокусировки и транспортировки пучка заряженных частиц. Согласно предложенной методике реальный полевой катод заменялся виртуальным, поверхность которого совпадает с определенной эквипотенциальной поверхностью. Важным параметром эмиссионной системы на базе полевого катода при расчете эмиссионных характеристик является радиус кривизны на вершине острия. В предыдущих главах значение данного параметра можно найти как радиус кривизны в соответствующей точке эквипотенциальной поверхности, задающей виртуальный катод. Поэтому является целесообразным построение математических моделей полевых эмиссионных систем, в которых значение радиуса кривизны на вершине острия является заданной величиной. Кроме того, в современной микро- и наноэлектронике расчет диодных и триодных систем имеет большое практическое значение, так как во многих электронно-вакуумных приборах последнего поколения используются именно подобные системы, как для одиночных катодов, так и для многоэмиттерных систем.
Параграфы 4.1, 4.2, 4.3 четвертой главы посвящены моделированию диодных систем, параграфы 4.4, 4.5, 4.6 триодных.
В з4.1. представлена математическая модель электронной пушки: полевой электронный катод (сфера на конусе) анод (сфера). Данная осесимметричная задача решена в сферической системе координат (, ).
Параметры модели: =, < поверхность тела острия (усеченный 0 0 конус); =, 0 < поверхность вершины острия (часть сферы) =, 0 0 0 < поверхность анода (часть сферы); (, ) = ( ) граничные усло0 вия первого рода на аноде; (, ) = 0, (, ) = 0 потенциал анода. Влияние 0 пространственного заряда не учитывается.
Распределение потенциала (, ) представлено в виде ряда по функциям Лежандра (cos ) - - (, ) = - (cos ), ( 4.1) 0 = = ( ) (cos ) sin, ( 4.2) - -1 0 = [ (cos )] sin, ( 4.3) где корни уравнения (cos ) = 0.
Если на аноде задан постоянный потенциал ( ) = = const, то коэффициенты имеют вид - sin (cos ) 0 =.
- -1 0 Расчет по данным зависимостям вошел в комплекс программ. В соответствии с формулами (4.1)Ц(4.3) для распределения потенциала диодной системы определены значения эмиссионных характеристик (напряженность поля и плотность тока на вершине острия, площадь эмиссии, полный ток системы). Результаты вычислений представлены в Табл.1, Табл.2, где потенциал на аноде, напряженность поля на вершине острия, плотность тока на вершине острия, площадь эмиссии, полный 0 эм ток. Табл.1 для различных значений потенциала на аноде, Табл.2 для различных значений радиуса сферической поверхности, задающей поверхность анода. Результаты расчетов в Табл.1 представлены для работы выхода = 2эВ. Величины других параметров системы: радиус кривизны на вершине острия = 10-6см, радиус сферической поверхности, задающей поверхность анода = 8 10-6см, полуугол раствора конуса тела острия =. Результаты расчетов в Табл.2 представлены для работы выхода = 2эВ, потенциал на аноде = 100В. Величины других параметров системы: радиус кривизны на вершине острия = 10-6см, полуугол раствора конуса тела острия =.
Таблица 1. Значения эмиссионных характеристик в зависимости от потенциала на аноде (В) (В/см) (A/см2) (см2) (A) 0 0 эм 50 1.0107 1.0103 5.610-13 5.7010-70 1.4107 3.2105 1.010-12 3.2710-100 2.0107 2.5107 2.610-12 6.7810-140 2.8107 5.2108 1.210-10 6.1510-Таблица 2. Значения эмиссионных характеристик в зависимости от радиуса (см) (В/см) (A/см2) (см2) (A) 1 0 0 эм 6.510-6 2.67107 3.66108 1.9510-11 7.1510-8.010-6 2.01107 2.57107 2.610-12 6.7810-1.010-5 1.47107 6.10105 1.1310-12 6.9110-1.510-5 8.40106 1.99101 4.2510-13 8.4810-В з4.2 найдено аналитическое решение уравнения Лапласа для распределения электростатического потенциала в диодной системе, основанием которой является сфера, с полевым катодом специальной формы сфера на веретенообразной поверхности вращения, т.е. в качестве поверхности, описывающей тело острия, рассмотрен не конус, а поверхность вращения, образующей которой является часть окружности. Вершина острия моделируется частью сферы. Анод (подложка острия) также моделируется частью сферы (cм. рис. 4.2.1). При этом длина катода и расстояние от катода до анода могут принимать любые значения. В предыдущем параграфе исследовалась математическая модель полевого острия, поверхность которого моделировалась как "сфера на конусе". Однако, в действительности, тело острия представляет собой некоторую искривленную поверхность, а не конус. Кроме того, для модели з4.1 длина катода ( + ) 1 жестко связана с расстоянием от катода до анода ( - ) и в силу малого радиуса 1 кривизны на вершине острия ( 1), эти две величины практически равны. Данная осесимметричная задача решена в бисферической системе координат (, ).
Параметры модели: = (0 <, ) поверхность тела острия 1 1 0 (веретенообразная поверхность вращения); =, 0 < поверхность верши1 ны острия (часть сферы); = (0 < ) поверхность анода (часть сферы);
0 (, ) = ( ) граничные условия первого рода на аноде.
Общее решение уравнения Лапласа (, ) для данной диодной системы найдено в виде sh ( + )( - ) (, ) = ch - cos (cos ), ( 4.4) sh ( + )( - ) =1 1 1 ( ) = (cos ) sin, ( 4.5) ch - cos где (cos ) функции Лежандра, корни уравнения (cos ) = 0, нормирующие коэффициенты, аналогичные (4.3).
Формулы (4.3), (4.4) представляют собой аналитические выражения распределения электростатического потенциала для электронной пушки с полевым острием, поверхность которого можно задать как сферу на веретенообразной поверхности вращения.
В з4.3. рассмотрена математическая модель диодной системы, в которой поверхность острия задается веретенообразной поверхностью вращения, образующей которой является часть сферы, со сферической выемкой на вершине кратером. Также как и в предыдущем разделе, поверхности полевого катода (с "кратером") и анода (часть сферы) представляют собой части координатных поверхностей бисферической системы координат.
Параметры модели: =, 0 <, поверхность тела острия 1 0 (веретенообразная поверхность вращения); =, < поверхность кра1 тера (часть сферы); =, 0 <, 0 < поверхность анода (часть 0 1 0 сферы). (, ) = ( ), < граничные условия первого рода на катоде;
1 1 (, ) = ( ), 0 <, граничные условия первого рода на катоде;
1 2 0 (, ) = ( ) граничные условия первого рода на аноде. Вся область системы 0 разбивалась на подобласти, в каждой из которых решение строилось в виде рядов по функциям Лежандра, аналогичным рядам (4.4). Определение неизвестных коэффициентов в разложении потенциала сведено к системе связанных уравнений.
з4.4. В предыдущих параграфах настоящей главы моделировались диодные системы на основе полевых катодов. Диодные системы можно рассматривать как простейшие электронно-оптические системы при расчете катодных узлов электронных пушек. Однако, как уже отмечалось в Главе 1, в силу особенности явления полевой эмиссии, при которой поле, вызывающее эмиссию, является одновременно и управляющим и фокусирующим, требуется учет влияния всех электродов исследуемой системы. Триодные системы, по сравнению с диодными, позволяют учитывать влияние дополнительного электрода. В данном разделе представлена математическая модель электронной пушки, основанием которой является сфера (или плоскость), с полевым катодом (сфера на веретенообразной поверхности вращения). В качестве анода рассматривается часть сферы, расположенной на расстоянии от вершины острия. Данная осесимметричная задача решалась в бисферической системе координат (, ). Параметры модели: =, 0 <, 0 поверхность тела острия (веретенообразная поверхность вра1 щения); =, 0 < поверхность вершины острия (часть сферы); =, 1 1 0 < поверхность подложки (часть сферы); =, 0 < поверхность 1 0 анода (часть сферы); (, ) = ( ) граничные условия первого рода на аноде.
0 (, ) = ( ) граничные условия первого рода на подложке системы.
2 В з4.5. представлена математическая модель электронной пушки, основанием которой является сфера, с полевым катодом (сфера на конусе). В качестве анода рассматривалась часть сферы, расположенной на расстоянии - от вершины острия.
1 Параметры модели в сферической системе координат (,,): =, < 0 0 поверхность тела острия (усеченный конус); =, 0 < поверхность вершины 0 острия (часть сферы); =, 0 < поверхность анода (часть сферы); =, 1 0 0 < поверхность подложки (часть сферы); (, ) = ( ) граничные 0 условия первого рода на аноде, (, ) = 0, (, ) = 0 потенциал на катоде.
0 В з4.6. рассмотрена математическая модель осесимметричную триодной системы на основе полевого эмиттера. Полевой эмиттер моделировался следующим образом: вершина его представляет собой проводящую сферу, "тело"эмиттера сплошной диэлектрик, формой поверхности которого является веретенообразная поверхность вращения.
Анод представляет собой часть сферической поверхности, подложка эмиттера (граница системы) представляет собой сферическую поверхность или плоскость. Параметры модели в бисферической системе координат: 0 , =, сфера на вершине острия; 0 , = поверхность анода; 0 , = поверх1 1 ность подложки острия; (, ) = ( ) граничные условия первого рода на аноде;
1 (, ) = ( ) граничные условия первого рода на подложке острия; , 0 0 "тело"острия, состоящее из диэлектрика с диэлектрической проница0 емостью ; 0 , внутреняя область системы, заполненная 1 2 0 диэлектриком с диэлектрической проницаемостью. Если = 0, то поверхность под 0 ложки острия представляет собой сферу. В случае = 0 данная сфера размыкается в плоскость. Потенциал сферы на вершине катода равен нулю.
В параграфах 4.4, 4.5, 4.6 при решение поставленных задач применялся метод парных уравнений, содержащих разложения по функциям Лежандра. В результате решение исходных задач сведено к решению уравнений Фредгольма 2-го рода, подобных уравнениям (2.6)Ц(2.7) для зз4.4, 4.5, и к решению системы уравнений, включающей в себя линейные алгебраические уравнения и уравнение Фредгольма 2-го рода для з4.6.
В пятой главе предложены математические модели осесимметричных электроннооптических систем, представляющих собой электронные пушки с полевыми катодами. В качестве катодов рассматриваются тонкие острия различных форм, а в качестве систем фокусирующих электродов рассматриваются осесимметричные диафрагмы.
В з5.1 представлена математическая модель диода: полевой электронный катод (произвольной формы) анод (плоскость). В качестве физической модели рассмотрена осесимметричная электронно-оптическая система, состоящая из катода аксиально-симметричного тонкого острия произвольной формы (толщина острия много меньше его длины) на плоской металлической подложке и анода бесконечной плоскости.
Потенциал подложки совпадает с потенциалом острия (примем его равным нулю:
= 0).
Параметры модели в цилиндрической системе координат (, ): радиус кривизны на вершине острия; длина острия; ( ) поверхность острия; расстояние 0 от подложки до анода; (- < , = ) поверхность анода; потенци1 ал анода. Влияние пространственного заряда не учитывается. Для расчета основных физических характеристик (напряженности, тока, траекторий и т.д.) требуется знать распределение электростатического потенциала (, ).
Потенциал (, ) в рассматриваемой диодной системе удовлетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям (, ) = 0, =, =. ( 5.1) 0 ( ) = Решение представлено в виде (, ) = (, ) + (, ) + (, ), ( 5.2) 0 1 - ( ) (, ) =, ( 5.3) 2 + ( - )где = /2, а функции и являются решениями следующих граничных задач 0 1 = 0, 1 = ; ( 5.4) 1 = = 0, 2 = -. ( 5.5) 2 = Функция (, ) представляет собой решение граничной задачи без учета острия. Решение граничной задачи (5.4) очевидно (, ) =. ( 5.6) Функция представлена в виде - (, ) = (, ; ) ( ), ( 5.7) 2 где функция (, ; ) в силу (5.5) представляет собой решение граничной задачи -1/ (, ; ) = 0, (, ; ) = - + - .
2 2 = Выpажение (5.2), очевидно, удовлетвоpяет уpавнению Лапласа и кpаевым условиям на гpанице =. Распpеделение заpяда ( ) в (5.3) определено таким образом, чтобы эквипотенциальная повеpхность потенциала (, ) со значением потенциала совпала с повеpхностью остpия. Рассмотрены эквипотенциальные повеpхности модельного потенциала (5.2), pасположенные близко к оси остpия. При 0 использовано асимптотическое pазложение потенциала (5.2), (5.3) вблизи оси остpия. Функция ( ) представлена в виде ряда - (0, ) 0 ( ) = ( ), ( ) =, ( 5.8) 2 4( - ) =ln ( ) - - -2 ( ) - ( ) 4( - ) ( ) = - ln + (0, ; ) ( ). ( 5.9) +1 ( ) - 0 Граничную задачу (5.1) по принципу антисимметрии можно распространить на отрица тельную полуплоскость < 0, так как (, 0) = 0. Тогда, функция (, ; ) решение граничной задачи (, ; ) = 0, (, ; ) = -.
2 = + - Функция (, ; ) найдена в явном виде (, ; ) = - 2 + (4 + 2 - ( + ))1 =( 5.10) - + 2 + (4 + 4 - ( - ))1 1 + -.
2 2 + (4 + 2 + ( + ))2 + (4 + 4 + ( - ))1 1 1 Формулы (5.2), (5.3), (5.6) (5.10) дают решение исходной граничной задачи (5.1), т.е.
определяют электростатический потенциал во всем пространстве исследуемой диодной системы.
В з5.2 представлена математическая модель электронной пушки: полевой катод (тонкое острие произвольной формы) и система фокусирующих электродов (диафрагмы).
Параметры модели: радиус кривизны на вершине острия, длина острия, ( ) поверхность острия, расстояние от подложки до анода, потенциал 0 1 анода, число диафрагм, расположение диафрагм, радиусы отверстий диафрагм, потенциалы диафрагм.
Согласно методу, представленному в з5.1, распределение электростатического потенциала (, ) найдено в виде суммы функций (5.2)Ц(5.3), для определения которых решены две граничные задачи (, ) = 0, (, 0) = 0, (, ) =, 1 (, ; ) = 0, -1/ (, ) = - + - .
Функции (, ) и (, ; ), аналогично (2.26), представлены в виде разложений Хан1 келя ( <, = 0, ) по функциям Бесселя ( ) +1 sh ( - ) sh ( - ) + (, ) = ( ) + ( ) ( ) + 1 +1 sh ( - ) sh ( - ) +1 +( 5.11) - ++ + ( - ), - + sh ( - ) + ( ) + exp(- - ) + sh ( - ) + = - ( 5.12) sh ( - ) + ( ) + exp(- - ) ( ).
+1 +1 sh ( - ) +Подстановка (2.27), условия непрерывности вектора электрического поля и граничные условия задают систему интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода относительно функций ( ), подобную системе (2.28)Ц(2.30), решение которой, согласно (5.11)Ц(5.13) дает решение исходной задачи распределение электростатического потенциала во всем пространстве исследуемой острийной системы.
В з5.3 рассмотрена математическая модель электронной пушки с системой фокусирующих диафрагм с малыми радиусами отверстий. В этом случае расчетные формулы для определения распределения потенциала значительно упрощаются.
В шестой главе представлен расчет оптимальных характеристик электронной пушки с полевым катодом и системой фокусирующих электродов (диафрагм). При этом, задача оптимизации входных параметров электронной пушки с полевым катодом и системой фокусирующих диафрагм заключается в том, чтобы выбором соотношений между этими параметрами, а также выбором формы острия получить минимальное отклонение значения полного тока с острия от заданного значения при постоянном анодном напряжении.
Расчет зависимости величины плотности тока от величины интенсивности вызывающего эмиссию воздействия (в данном случае таким воздействием является само поле) дается известной формулой Фаулера - Нордгейма 3 4(2 )1/23/ = exp - ( ). ( 6.1) 8 2( ) 3 Здесь заряд электрона; работа выхода электрона из металла; напряженность поля у поверхности катода; ( ) и ( ) известные в теории полевой электрон ной эмиссии эллиптические функции Ноpдгейма аргумента = 3.79 10-4-1.
Таким образом, требуется минимизировать функционал -, где определяется по формуле (6.1).
Показано, что наибольшее влияние на эмиссионные характеристики при заданном значении анодного напряжения оказывает введение дополнительной "прикатодной"диафрагмы (модулятор, затвор) с координатами (, ), при 0 < ( длина острия).
1 1 Потенциал "прикатодной"диафрагмы совпадает с потенциалом острия и подложки. В силу этого, в качестве параметров оптимизации принимаются расположение и радиус "прикатодной"диафрагмы.
В качестве метода оптимизации выбран метод комплексов, для которого имеется достаточно эффективный алгоритм, позволяющий применить прямой поиск по симплексу к решению задач с ограничениями-неравенствами.
Проведенные расчеты показали, что 1) Предложенные физические и математические модели систем формирования и транспортировки электронных пучков на основе полевых катодов с диафрагмами в качестве фокусирующих электродов дают удовлетворительное описание распределения электростатического потенциала в данных системах.
2) Расчет эмиссионных характеристик электронного пучка (плотности тока, напряженности поля в вершине острия, площади эмиссии) согласуется с физическими представлениями о характере их изменения при варьировании геометрических параметров системы и потенциалов фокусирующих диафрагм.
3) Результаты расчетов совпали с известными экспериментальными данными.
В заключении сформулированы основные результаты и практическая значимость работы.
Список публикаций по теме диссертации Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК 1. Egorov N.V., Vinogradova E.M. Mathematical model of electron gun on the field emission electron cathode basis. // Vacuum. Vol.57. 2000. Pp.267 - 281.
2. Виноградова Е.М., Егоров Н.В. К расчету диодной пушки на основе полевого электронного катода. // Радиотехника и электроника. 2002. Т.47. № 3. С.369-371.
3. Виноградова Е.М., Егоров Н.В. Математическое моделирование электронной пушки на основе полевого электронного катода. // Радиотехника и электроника. 2004.
Т.49, № 2. С.251-256.
4. Egorov N.V., Vinogradova E.M. Mathematical modeling of the electron beam formatting systems on the basis of field emission cathodes with various shapes. // Vacuum. Vol.72.
2004. Pp.103 - 111.
5. Виноградова Е.М., Егоров Н.В., Баранов Р.Ю. Математическое моделирование катодного узла полевой электронной пушки. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10:
Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2006. Вып.3. С.3-9.
6. Виноградова Е.М., Долгов С.Л., Егоров Н.В.. Расчет электростатического потенциала в многоострийных и одноострийных полевых системах. // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып.1. С.29-37.
7. Виноградова Е.М., Егоров Н.В., Баранов Р.Ю. Расчет электростатического поля системы соосных аксиально-симметричных электродов. // Радиотехника и электроника. Т.52. № 2. 2007. С.212-217.
8. Виноградова Е.М., Егоров Н.В., Кримская К.А. Расчет электростатического поля системы сферических сегментов. // Журнал технической физики. 2008. Т.78.
Вып.8. С.128-131.
9. Виноградова Е.М., Кримская К.А. Математическое моделирование триодной электронно-оптической системы с модулятором на основе полевого острия. // Вестн.
С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 1. С.3-9.
10. Виноградова Е.М., Егоров Н.В., Мутул М.Г., Шэнь Чэ-Чоу. Расчет электростатического потенциала диодной системы на основе полевого катода с острой кромкой.
// Журнал технической физики. 2010. Т.80. Вып.5. С.1-4.
11. Виноградова Е.М., Егоров Н.В. Математическое моделирование диодной системы на основе полевого эмиттера. // Журнал технической физики. 2011. Т.81. Вып.9.
С.1-5.
Публикации в других изданиях 12. Vinogradova E. M. Mathematical model of electron gun with field cathode // Proceeding of The First Intern. Conferences on Beam Dynamics and Optimization - BDO. 1994.
St.Petersburg. Russia. Pp.179 185.
13. Виноградова Е.М., Лебедева Т.Б., Томкина Т.В. Расчет системы формирования электронного пучка электронной пушки с круговыми апертурами. // Деп. № 30 - В94 от 27 декабря. Вестник СПбГУ. Сер. 1 мат. мех. астр. 1996. Вып. 2. № 8.
С.120-125.
14. Егоров Н.В., Виноградова Е.М. Математическая модель электронной пушки с полевым катодом. // it Вопросы механики и процессов управления. Вып. 17, Математические методы моделирования и анализа управляемых объектов. - СПб.:
Изд-во С.-Петербургского ун-та. 1996. C.57Ц62.
15. Vinogradova E. M. Mathematical Modelling and Calculation Trajectories for Electron Guns // Proceeding of The Third Intern. Conferences on Beam Dynamics and Optimization - BDO. July 1 5. 1996. St.Petersburg. Russia. Pp.274Ц278.
16. 16 Vinogradova E. M. Solution of Boundary-value Problem in Bispherical Coordinates // Proceeding of The Third Intern. Conferences on Beam Dynamics and Optimization - BDO. 1996. St.Petersburg. Pp.279 283.
17. 17 Vinogradova E. M. Emissing and electric-optical processies modeling for electron gun with the field cathode. // Proceedings of the 4-th Beam Dynamics and Optimization (BDO-1997). Moscow. Dubna. 1998. Pp.153-157.
18. Denisov V.P., Egorov N.V., Varajun M.I., Vinogradova E.M., Vishnevkin A.V. Fieldemission electron gun optimization. // International workshop on New Approaches to High-Tech: Nondestructive Testing and Computer Simulations in Science and Engineering. Preprint and Program. Alexander I Melker. Proceedings of SPAS. 2000. Vol.4.
Pp.A24-A26.
19. Egorov N.V., Vinogradova E.M. Emissing and electron-optical processes modeling for electron gun with field cathode. // Динамика и оптимизация пучков. Труды Шестого междунар. совещания. - Саратов.: Изд-во Сарат. ун-та. 2000. С.28-31.
20. Виноградова Е.М., Егоров Н.В. Расчет и оптимизация электронной пушки с полевым электронным катодом. // Сборник докладов 10-го международного совещания по применению ускорителей заряженных частиц в промышленности и медицине. С-Петербург. 1-4 октября. 2001г. 4020. Pp.350-353.
21. Vinogradova E.M. Diode system mathematical modeling. // Proc. of Intern. Conferences on Beam Dynamics and Optimization - BDO. June 24 - 27. 2002. S-Petersburg. Russia.
Pp.379-382.
22. Vinogradova E.M., Yusha Eu. Electron-optical system with dielectrics. // Proceeding of Intern. Workshop: Beam Dynamics and Optimization - BDO. June 24 - 27. 2002.
S-Petersburg. Russia. Pp.383-386.
23. Виноградова Е.М. Расчет электронно-оптических систем на основе полевых катодов. // Математические методы моделирования и анализа управляемых объектов.
Сборник статей под ред. Д.А.Овсянникова. - СПб.: Изд-во СПбГУ. 2003г. (Вопросы механики и процессов управления, Вып. 19) С.99-110.
24. Виноградова Е.М., Долгов С.Л.,Егоров Н.В.. Моделирование многоострийной эмиссионной системы. // Труды международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В.И.Зубова "Устойчивость и процессы управления". - СПб.: СПбГУ. 2005. С.102-107.
25. Vinogradova E.M., Yashina A.V.. Mathematical modeling of the diode systems with the field cathode. // Труды международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В.И.Зубова "Устойчивость и процессы управления". - СПб.: СПбГУ.
2005. C.298-308.
26. Виноградова Е.М., Кримская К.А. Расчет эмиссионной системы на основе углеродного полевого катода. // Труды 34-й международной научной конференции "Процессы управления и устойчивость". СПб.: изд-во СПбГУ. 2008. С.111-115.
Тезисы докладов на научных конференциях 27. Виноградова Е.М., Егоров Н.В., Карпов А.Г., Прудников А.П. Система регистрации и обработки результатов автоэмиссионного эксперимента // Тезисы докладов VIII Всесоюзной конференции "Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях". Секция 4. Ленинград. 1986. С.37.
28. Aлмазов А.А., Виноградова Е.М., Егоров Н.В. Математическая модель электронной пушки с полевым катодом // Тезисы докладов 12-го Всесоюзного семинара по линейным ускорителям заряженных частиц. Харьков. -1991.- С.39.
29. Vinogradova E. M. Trajectory Analisy of Electron Gun with a Field Cathode. // Abstracts of The Second Intern. Conferences on Beam Dynamics and Optimization - BDO. July 4 8. 1995. St.Petersburg. Russia. Pp.23.
30. Vinogradova E. M. Field Distribution for Field Emission "Crater"Cathode. // Abstracts of The Third Intern. Conferences on Beam Dynamics and Optimization - BDO. July 1 5. 1996. St.Petersburg. Russia. Pp. 35.
31. Vinogradova E.M. The calculation of the potential distribution in electron-optical system with circular apertures. // Abstracts of The Fifth Intern. Conferences on Beam Dynamics and Optimization - BDO. June 29 - July 3. 1998. St.Petersburg. Russia.
Pp.34.
32. Vinogradova E.M. The mathematical model of the thin field cathode and the apertures as the focusing electrodes. // Abstracts of The Fifth Intern. Conferences on Beam Dynamics and Optimization - BDO. June 29 - July 3. 1998. St.Petersburg. Russia.
Pp.35.
33. Vinogradova E.M. The mathematical modelling of the field emission cathodes. // Abstracts of Inter. Symposium on Hydrogen Power Theoretical and Engineering Solution (HYPOTHESIS III). 5 - 8 July. 1999. St.Petersburg. Russia. Pp.165.
34. Egorov N.V., Vinogradova E.M. Mathematical model and field emission cathode optimization. // Abstracts 47-th International Field Emission Symposium. Berlin. Germany.
2001. Pp.E013.
35. Vinogradova E.M., Ivanova M.Yu. The mathematical model of the electron-optical system with the disks. // Abstracts of The Eighth Intern. Conferences on Beam Dynamics and Optimization - BDO. Jule 25 - 29. 2001. Saratov. Russia. Pp.17.
36. Антонов А.Ю., Виноградова Е.М. Моделирование электростатического потенциала для системы с полевым катодом. // Тезисы X международного семинара "Динамика пучков и оптимизация". Саратов. 2003. С.13.
37. Egorov N.V., Vinogradova E.M. Field emitter mathematical modeling. // Тезисы X международного семинара "Динамика пучков и оптимизация". Саратов. 2003.
С.10.
38. Egorov N.V., Vinogradova E.M. Field emitter electron gun mathematical modeling and optimization. // Abstacts of The 8-th International Computational Accelerator Physics Conferences - ICAP: ICAP-2004. June 29 - July 2. 2004. S-Petersburg. Russia. Pp.188.
39. Egorov N.V., Antonov A.Yu., Klemeshev V.A., VarajunТ M.I., Vinogradova E.M.
Software-methodical complex development on the beam formation and experiment data processing. // Abstacts of The 13-th Intern. Conferences on Beam Dynamics and Optimization - BDO. 2006. S-Petersburg. Pp.25.
40. Vinogradova E.M. The electron gun with the multi-tip field cathode mathematical modeling. // Abstracts of The 14-th Intern. Conferences on Beam Dynamics and Optimization - BDO. S-Petersburg. 2007. Pp.58.
41. Виноградова Е.М., Фоменко М.Г. Моделирование триодной эмиссионной системы.
// Тезисы докладов Всероссийской конференции, посвященной 80-ти летию со дня рождения В.И. Зубова "Устойчивость и процессы управления". - СПб.: СПбГУ.
2010. С.114-115.
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям