Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по физике
На правах рукописи
Слюсарев Михаил Иванович
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОТЕРМИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ СВОБОДНОКОНВЕКТИВНОГО ПЕРЕНОСА КРИОГЕННЫХ ЖИДКОСТЕЙ В НАЗЕМНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ХРАНИЛИЩАХ Специальности:
05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 01.04.14 - Теплофизика и теоретическая теплотехника
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учёной степени доктора технических наук
Воронеж - 2011
Работа выполнена на кафедре процессов и аппаратов химических и пищевых производств ГОУ ВПО Воронежская государственная технологическая академия.
Научные консультанты: доктор технических наук, профессор Чертов Евгений Дмитриевич доктор технических наук, профессор Ряжских Виктор Иванович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Батаронов Игорь Леонидович (Воронежский государственный технический университет) доктор технических наук, профессор Попов Виктор Михайлович (Воронежская государственная лесотехническая академия) доктор физико-математических наук, профессор Дзюба Сергей Михайлович (Тамбовский государственный технический университет)
Ведущая организация: Южный федеральный университет
Защита диссертации состоится 20 октября 2011 года в 13 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 в ГОУ ВПО Воронежская государственная технологическая академия по адресу: 394036, г. Воронеж, пр. Революции, 19, конференц-зал.
Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, просим направлять по адресу: 394036, г. Воронеж, пр. Революции, 19, ГОУ ВПО ВГТА, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.035.02.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО ВГТА.
Автореферат разослан л____ ___________ 2011 года.
Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент И.А. Хаустов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность. Бурное развитие альтернативной энергетики и, в частности, водородной энергетики в контексте использования криогенных жидкостей в качестве компонент топлива транспортных средств приводит к необходимости их хранения в крупнотоннажных резервуарах. Несмотря на эффективную экранно-вакуумную теплоизоляцию, внешние теплопритоки приводят к повышению температуры криогенной жидкости и, как результат, к непропорциональному возрастанию давления в паровом пространстве резервуара, что создаёт угрозу аварийной ситуации с непредсказуемыми последствиями. Установлено, что причиной этого является температурная стратификация криогенной жидкости, возникающая в результате свободноконвективного теплообмена со смоченной поверхностью резервуара.
Очевидно, что идентификация гидротермической обстановки в криогенном резервуаре и закономерностей её формирования определяет эффективность хранения с точки зрения безопасности и потерь на испарительное охлаждение.
Информация о гидротермической структуре свободноконвективного течения имеет определяющее значение и для успешного прогнозирования локальной толщины осадка высококипящих отвержденных примесей, что также является ключевым моментом в проблеме безопасного хранения криогенных жидкостей.
Как отмечалось в работах ведущих учёных Филина Н.В., Белякова В.П., Потехина Г.С., Ходоркова И.Л., Харина В.М., Файнштейна В.И. и др., криогенный диапазон температур - главный сдерживающий фактор развёртывания полномасштабных экспериментальных исследований в этой области. Поэтому метод математического моделирования остаётся, по-существу, единственным инструментом получения новых знаний о явлениях переноса в жидкостных криогенных системах. Это наглядно продемонстрировано в работах отечественных и зарубежных ученых Авдуевского В.С., Черкасова С.Г., Полежаева В.И., Остроумова Г.А., Гершуни Г.З., Жуховицкого Е.М., Дрейцера Г.А., Кириченко Ю.А., Спэрроу Е.М., Остхейзена П., Бежана А., Гебхарта Б., Джалурии Й., Мартыненко О.Г. и др., которые исследовали свободноконвективный тепломассообмен в замкнутых объёмах, в том числе и в криогенных резервуарах, для сред с различными физико-химическими характеристиками и вариативными тепловыми нагрузками.
Несмотря на значительное число исследований по свободной конвекции в замкнутых объёмах, в большинстве из которых использовались среднеинтегральные характеристики гидротермических полей, до настоящего времени нет достаточно надёжных методик расчёта режимов эксплуатации криогенных хранилищ ввиду сложности происходящих в них явлений тепломассопереноса в условиях развитой турбулентности. Кроме того, необходимо учитывать, что процессы развития турбулентных свободноконвективных течений проходят стадии кондуктивного и ламинарного режимов, продолжительность которых в реальном времени достигает значений, соизмеримых с длительностью отдельных технологических операций хранения криогенных жидкостей.
В связи с этим возникает необходимость в детальном рассмотрении не только турбулентных, но и кондуктивных и ламинарных свободноконвективных течений.
Диссертационная работа выполнялась в соответствии с планом научноисследовательских работ Воронежской государственной технологической академии по теме "Разработка новых и совершенствование существующих технологических процессов и аппаратов в химической и пищевой технологиях" (№ г.
р. 0120.0603139), а также в рамках проектов по грантам РФФИ 07-08-001"Математическое моделирование образования осадка отвержденных микропримесей азота и кислорода при испарительном охлаждении жидкого водорода в криогенных резервуарах" и 10-08-00120 "Математическое моделирование растворения осадка отвержденных микропримесей азота и кислорода при хранении жидкого водорода в криогенных резервуарах".
Цель работы: синтез и анализ математических моделей явлений переноса во внутренних задачах кондуктивно-ламинарной свободной конвекции и установление на их основе закономерностей, позволяющих повысить степень безопасности функционирования наземных жидкостных криогенных систем.
Для достижения цели поставлены задачи:
1) разработать математические модели класса внутренних задач свободной конвекции для кондуктивного и ламинарного режимов и найти аналитические решения на основе интегральных преобразований для нестационарных формулировок при различных тепловых граничных условий и геометрий;
2) алгоритмизировать численное интегрирование уравнений модели свободной конвекции во внутренних задачах в виде уравнений Обербека-Буссинеска в переменных Гельмгольца и адаптировать полученные алгоритмы к комплексу предметно-ориентированных компьютерных программ, реализующему постановки и решения задач в декартовых, цилиндрических и сферических координатах;
3) провести вычислительные эксперименты по определению нестационарных гидротермических полей, соответствующих условиям хранения криогенных жидкостей в промышленных резервуарах цилиндрической и сферической формы, и на основе массива опытных данных определить локальные и интегральные коэффициенты теплоотдачи;
4) на основе предложенных математических моделей кондуктивно-ламинарного режима свободной конвекции создать методики расчёта времени бездренажного хранения криогенных жидкостей, оценки влияния теплового состояния внутреннего сосуда криогенных резервуаров на гидротермическую структуру криогенной жидкости при ее испарительном охлаждении и идентификации параметров осаждения, образования и растворения осадка твёрдой фазы высококипящих примесей в условиях свободноконвективного перемешивания.
Методическая, теоретическая и эмпирическая база исследования.
При выполнении исследования был применён метод математического моделирования, основы теории тепломассообмена, положения теории уравнений математической физики и вычислительной математики. Достоверность и обоснованность полученных результатов базируются на использовании фундаментальных законов явлений переноса и сравнительном анализе с известными данными.
Научные результаты, выносимые на защиту. 1. Предложена математическая модель для описания свободноконвективного течения вязкой несжимаемой жидкости в области малых чисел Грасгофа (кондуктивно-ламинарный режим) в виде системы уравнений Обербека-Буссинеска без конвективных компонент.
2. Аналитически решены внутренние задачи кондуктивного режима (отсутствие течения) свободной конвекции в ограниченном цилиндре при неоднородных граничных условиях 1-го и 2-го родов, а также при граничных условиях смешанного типа.
3. Найдены точные решения задач кондуктивно-ламинарного свободноконвективного переноса ньютоновских сред у бесконечной вертикальной границы с заданным законом изменения температуры и тепловым потоком, в случае сопряжённой термоконцентрационной свободной конвекции; а также получено аналитическое решение первой тестовой задачи.
4. Получено аналитическое решение задач ламинарной термоконвекции ньютоновской жидкости в неограниченном вертикальном плоском канале при граничных условиях 1-го и 2-го родов и в прямоугольной области с соотношением высоты к ширине намного больше единицы.
5. Разработаны полунеявная и неявная конечно-разностные схемы для численного решения уравнений Обербека-Буссинеска при ламинарном режиме с коррекцией значений функции тока в приграничных областях для удовлетворения физическому условию "прилипания" на стенках, в которых отпадает необходимость постановки сеточных граничных условий по типу Тома и Вудса для функции вихря с адаптацией их к различным системам координат.
6. На основе теоретических оценок и вычислительного эксперимента обнаружено явление инверсии (смена направления течения) при формировании поля скоростей во внутренних задачах свободной конвекции; получены расчетные соотношения для коэффициентов теплоотдачи в бесконечных плоских вертикальных открытых и закрытых каналах, в криогенных вертикальных цилиндрических и сферических резервуарах при различных граничных условиях.
7. Разработаны методика прогнозирования времени бездренажного хранения криогенных жидкостей, способ оценки температуры внутреннего сосуда криогенного вертикального цилиндрического резервуара при скоростном испарительном охлаждении и на его основе алгоритм определения коэффициента конвекции; в криогенных резервуарах в условиях свободноконвективного перемешивания идентифицированы кинетика осаждения высококипящих микро примесей, толщина их осадка на смоченной поверхности и скорость его растворения.
8. Разработан предметно-ориентированный комплекс программ для расчёта основных параметров явлений переноса во внутренних задачах свободной конвекции.
Научная новизна результатов исследования. 1. Теоретически обоснована и вычислительными экспериментами подтверждена корректность использования модельных представлений в виде уравнений Обербека-Буссинеска, модифицированных для описания кондуктивно-ламинарного режима свободной конвекции путём отождествления субстанциональной и локальной производных при переносе импульса и энергии, что позволяет перевести исходную постановку задачи в класс линейных.
2. Получены аналитические решения задач нестационарного кондуктивного тепломассопереноса в конечном цилиндре в классе непрерывных и дважды дифференцируемых функций, отличающиеся учётом конечного числа разрывов 1-го рода в однотипных граничных условиях первого, второго и смешанного типов.
3. Предложенные модельные представления позволили получить точные решения задач о развитии свободноконвективного течения вязкой несжимаемой жидкости у бесконечной вертикальной границы с заданным произвольным законом изменения температуры и тепловым потоком на ней и рассмотреть совместно тепловую и концентрационную конвекцию с определением условия невозникновения течения в зависимости от теплофизических параметров системы; найдено аналитическое решение первой тестовой задачи в нестационарной постановке для кондуктивно-ламинарной свободной конвекции в квадратной каверне, обобщённое на случай тепловыделяющей жидкости.
4. Аналитически решена задача ламинарной свободной конвекции ньютоновской жидкости в вертикальном плоском канале неограниченной высоты при мгновенном и одинаковом изменении температуры (тепловых потоков) на стенках, позволяющая описывать возникновение и развитие течения; использование принципа декомпозиции области течения на зоны с восходящим и нисходящим течением дало возможность идентифицировать структуру нестационарных гидротермических свободноконвективных полей в прямоугольной области неограниченной высоты.
5. Отличительным признаком разработанных конечно-разностных схем численного интегрирования уравнений Обербека-Буссинеска является реализация весового перераспределения невязки по граничному условию "прилипания" на смоченной поверхности в теле процедуры вычисления функции тока вместо необходимости постановки сеточного граничного условия для функции вихря;
на основе метода фон Неймана доказана устойчивость вычислительного процесса и установлена его сходимость.
6. Теоретически предсказано и вычислительным экспериментом подтверждено существование явления инверсии поля скоростей в момент возникнове ния свободноконвективного течения при мгновенном изменении температуры смоченной поверхности, что объяснено возникновением и затуханием гравитационных волн; предложены критериальные соотношения для коэффициентов теплоотдачи, полученные из детализации гидротермической структуры течения в бесконечных плоских вертикальных открытых и закрытых каналах, в вертикальных цилиндрических и сферических криогенных резервуарах.
7. Разработанная методика прогнозирования времени бездренажного хранения криогенных жидкостей отличается от существующих возможностью использовать модельные представления ламинарного режима при больших числах Грасгофа, соответствующих турбулентному режиму; предложенный способ оценки температуры смоченной поверхности при скоростном испарительном охлаждении криогенных жидкостей обосновывает применение граничных условий первого рода, что позволяет определить гидротермическую структуру течения в резервуарах через коэффициент конвекции, с помощью которого идентифицирована кинетика осаждения и образования осадка высококипящих отвержденных микропримесей на смоченных поверхностях резервуаров, а также скорость растворения осадка при повышении температуры криогенной жидкости.
8. Предметно-ориентированный комплекс программ для расчёта явлений переноса во внутренних задачах свободной конвекции реализует новые алгоритмы численного интегрирования уравнений Обербека-Буссинеска в переменных Гельмгольца, указанные в п. 5. научных результатов.
Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость результатов исследования характеризуется следующим: математическая модель кондуктивно-ламинарной свободной конвекции позволяет получать ранее неизвестный класс аналитических решений для различных геометрических и теплофизических постановок; новый численный метод интегрирования уравнений Обербека-Буссинеска реализует вычислительный алгоритм даже на грубых сетках с достаточной качественной и количественной степенью точности, имеет высокую скорость сходимости и устойчив, что существенно рационализирует проведение вычислительных экспериментов и может использоваться в научных исследованиях при поиске новых знаний о механизме явлений переноса при свободной конвекции; обнаруженное явление инверсии гидродинамического поля при свободной конвекции вносит существенный вклад в понимание возникновения и формирования свободноконвективного течения вязких несжимаемых жидкостей.
Разработанные в диссертационной работе методики прогнозирования времени бездренажного хранения криогенных жидкостей, определения коэффициента конвекции в криогенных резервуарах, идентификации параметров образования и осаждения твердой фазы высококипящих примесей в условиях свободно-конвективного перемешивания криопродуктов использованы в практической деятельности ОАО Линде Уралтехгаз (г. Екатеринбург) и ЗАО Крионорд (г. Санкт-Петербург), занимающихся проектированием, инсталля цией и эксплуатацией криогенного оборудования, при разработке рациональных технологий хранения криогенных жидкостей в крупнотоннажных хранилищах и повышении уровня их безопасности.
Апробация и реализация результатов диссертации. Основные результаты диссертационного исследования доложены и обсуждены на международных и всероссийских форумах "Advanced Problems in Thermal Convection" (Perm, Russia, 2003); "International Heat and Mass Transfer forum VI" (Minsk, Belorussia, 2008); "Математические методы в технике и технологиях - 16, 17, 18, 19, 21, 23" (С.-Петербург, 2003; Кострома, 2004; Казань, 2005; Воронеж, 2006; Саратов, 2008, 2010); "Кинетика и механизм кристаллизации" (Иваново, 2004); "Физико-математическое моделирование систем - V" (Воронеж, 2008);
"Авиакосмические технологии - VI, VIII, IX" (Воронеж, 2005, 2007, 2008);
"Современные методы теории краевых задач - Понтрягинские чтения - XVIII, XX, XXI" (Воронеж, 2007, 2009, 2010; "Математическое моделирование и краевые задачи - VI" (Самара, 2009); "V, VII, VIII, IX, X - Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике" (Сочи, 2004;
Кисловодск, 2006; Адлер, 2008; Волгоград, 2009; С.-Петербург, 2010).
Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 35 публикациях, из них 24 в реферируемых журналах из списка ВАК РФ.
ичный вклад автора заключается в постановке задач исследований; в разработке математических моделей свободной конвекции для кондуктивного, кондуктивно-ламинарного и ламинарного режимов свободноконвективных течений различной геометрии при различных тепловых граничных условиях и в получении их аналитических решений; в разработке конечно-разностных схем для численного интегрирования уравнений Обербека-Буссинеска с коррекцией функции тока в приграничных областях для удовлетворения физическому условию "прилипания" на стенках, в которых отсутствует необходимость постановки сеточных граничных условий для функции вихря в различных системах координат; в доказательстве устойчивости вычислительного процесса и установлении его сходимости; в обнаружении явления инверсии при формировании поля скоростей во внутренних задачах свободной конвекции; в получении расчетных соотношений для определения коэффициентов теплоотдачи в открытых и закрытых вертикальных плоских каналах, в цилиндрических и сферических криогенных резервуарах; в разработке методики прогнозирования времени бездренажного хранения криогенных жидкостей; в способе оценки смоченной поверхности резервуара при скоростном испарительном охлаждении криогенных жидкостей; в идентификации кинетики осаждения и образования осадка высококипящих отвержденных микропримесей на смоченных поверхностях резервуаров, а также скорости растворения осадка при повышении температуры криогенной жидкости; в разработке предметно-ориентированного комплекса программ для расчёта основных параметров явлений переноса во внутренних задачах свободной конвекции.
Написание кодов численных схем, проведение вычислительных экспериментов и обсуждение результатов проведено вместе с соавторами.
Все представленные в диссертации выводы и результаты получены лично автором.
Структура и объем. Диссертация состоит из введения, 6 глав, основных выводов, списка литературы и приложений. Материал изложен на 392 страницах и содержит 129 рисунков и 10 таблиц.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и её практическая значимость.
В первой главе проанализировано современное состояние проблемы математического моделирования свободноконвективных течений во внутренних задачах применительно к наземным криогенном хранилищам.
Отмечается, что особенностью таких задач является широкий диапазон изменения числа Грасгофа, предполагающий их анализ в кондуктивном, ламинарном и турбулентном режимах свободноконвективного течения на основе линеаризованных уравнений Навье-Стокса совместно с уравнением конвективного теплопереноса в виде уравнений Обербека-Буссинеска:
V V V P V GrT ; T V T Pr1 T ; (1) divV 0; P V V, (2) где , V, T, P - безразмерные время, вектор скорости, температура, давление;
Gr, Pr - числа Грасгофа и Прандтля. Такая формализация предполагает только один путь решения - численное интегрирование с соответствующим набором граничных условий, что сопряжено с существенными трудностями, главная из которых - недоказанность существования и единственности решения системы (1), (2) и, следовательно, их дискретных аналогов помимо выяснения устойчивости, сходимости и точности предлагаемых вычислительных процедур.
Круг приближённых аналитических решений крайне не широк, самое известное - решение Польгаузена о свободной конвекции ньютоновской жидкости у вертикальной полуограниченной пластины, позволяет определить структуру выражения для числа Нуссельта в зависимости от числа Грасгофа, на которой в настоящее время и базируется большинство критериальных зависимостей, полученных при обработке экспериментальных данных.
Возможности натурных и пилотных экспериментальных исследований при криогенных температурах ограничены из-за соображений безопасности и небольшого выбора контрольно-измерительной аппаратуры, что делает вычислительный эксперимент практически единственным инструментом получения новых знаний о локально-распределённых характеристиках в виде нестационарной гидротермической структуры течения при хранении сжиженных газов в крупнотоннажных криогенных резервуарах.
Подчёркивается ключевая роль свободной конвекции при хранении криогенных жидкостей. Основным элементом жидкостных криогенных систем хранения является резервуар, внутренний сосуд которого, согласно действующим технологическим регламентам, перед заполнением его криогенной жидкостью охлаждается до её температуры. Но в процессе хранения внешние теплопритоки через смоченную поверхность разогревают жидкость в резервуаре, возникающие свободноконвективные течения выносят прогретую жидкость к её свободной поверхности. Температура зеркала жидкости повышается быстрее, чем остальной её объём, а давление в паровом пространстве возрастает интенсивнее, чем следовало бы ожидать. Такая стратификация жидкости приводит к необходимости сброса давления из парового пространства во избежание возникновения аварийной ситуации.
В процессе хранения гидротермическая обстановка последовательно трансформируется в соответствии с кондуктивным, ламинарным и турбулентным режимами течения. Имеющиеся оценки длительности хранения показали, что существенный промежуток времени в резервуарах сохраняется кондуктивно-ламинарный режим, несмотря на значение числа Грасгофа, соответствующее турбулентному режиму свободноконвективного течения.
Показано, что важным моментом в проблеме обеспечения чистоты криогенных жидкостей является информация об интенсивности их перемешивания в объёме резервуара в условиях свободноконвективного течения, т. к. это обстоятельство определяет локальную толщину осадка высококипящих отвержденных примесей на смоченных поверхностях, с помощью которой также оценивается вероятность самопроизвольной детонации и последующего взрыва, например, в системе жидкий водород - отвержденный кислород.
Сделаны выводы о необходимости детального изучения кондуктивноламинарного режима свободной конвекции во внутренних задачах применительно к криогенным жидкостным системам на основе новых модельных подходов при математической формализации.
Во второй главе рассмотрен спектр аналитических решений внутренней задачи кондуктивного режима свободной конвекции для вертикального ограниченного цилиндра, а на примере квадратной каверны формируется и проверяется гипотеза по синтезу математической модели кондуктивно-ламинарного режима.
В основу анализа кондуктивного режима свободной конвекции положен теоретически обоснованный и экспериментально подтверждённый факт, что при малых Gr конвективное течение является незначительным, и оно практически не оказывает влияния на распределение температуры в жидкости. Поэтому система (1), (2) представлена только уравнением теплопереноса без конвективного слагаемого в левой части, что означает перенос энергии по механизму молекулярной теплопроводности, которое в цилиндрической системе координат таково:
T 2T 1 T 2T 2, (3) Fo R2 R R Z где Fo a r02 - число Фурье, R r r0, Z z h, r0 h ; r, z - локальные координаты с началом в центре верхнего торцевого сечения вертикального ограниченного цилиндра высотой h и радиусом r0, - время, a - температуропроводность среды. Уравнение (3) с соответствующими граничными условиями образует следующие постановки:
кондуктивный режим при граничных условиях I рода T R, Z,0 T0, T 0, Z, Fo R 0, T 1,Z, Fo 0, (4) T R,0, Fo T, T R,1, Fo Tb, (5) u где T t tw t0 ; t, t0, tu, tb, tw - текущая, начальная, верхнего и нижнего ,0,u,b,0,u,b оснований и боковой поверхности температура;
кондуктивный режим при граничных условиях II рода T R, Z,0 0, T R,0, Fo Z Ki, T R,1, Fo Z Kib,(6) u T 1, Z, Fo R Ki, T 0, Z, Fo R 0, (7) w где Ki qu,b,wh t0 - критерий Кирпичёва, T t t0 t0, t, t0 - текущая и u,b,w начальная температуры; qu, qb, qw - плотности тепловых потоков через верхнюю, нижнюю и боковую поверхности; - коэффициент теплопроводности среды;
кондуктивный режим при смешанных граничных условиях (1-я задача) T R, Z,0 0, T 0,Z, Fo R 0, T 1,Z, Fo R Bi, (8) w T R,0, Fo T, T R,1, Fo Tb, (9) u где Bi qwh t0 - критерий Био, T t t0 t0.
w,0,u,b,0,u,b кондуктивный режим при смешанных граничных условиях (2-я задача) T R, Z,0 0, T 0,Z,Fo R 0, T 1, Z, Fo T, (10) w T R,0, Fo Z Bi, T R,1, Fo Z Bib, (11) u где T tw t0 t0 ; Bi qu,br0 t0.
w u,b Задачи (3) - (5); (3), (6), (7); (3), (8), (9); (3), (10), (11) решены последовательным применением интегральных преобразований Лапласа и Ханкеля.
Анализ решения задачи (3) - (5) проведен для ситуации, довольно часто встречающейся в практике криогенной техники. При долговременном хранении криогенных жидкостей возникает необходимость сброса давления из парового пространства, что приводит к быстрому снижению температуры поверхностного слоя. В этом случае уравнения (3) - (5) можно считать модельным аналогом такой ситуации без детализации физико-химических и геометрических характеристик криогенных систем. В результате проведенных расчётов получено, что установление стационарного теплового режима в объёме криогенной жидкости наступает уже при Fo 0,1.
Анализ задачи (3), (6), (7) показывает, что в рамках принятой постановки предельные случаи и 0, соответствующие нестационарным задачам теплопроводности в неограниченных пластине и цилиндре, не могут быть получены явным образом из ее решения, которое, тем не менее, совпадает (рис. 1, 2) с классическими решениями А.В. Лыкова.
T T по Лыкову по Лыкову:
Ki* Ki 1 Fo=0,05 Fo=0,Fo=0,1 Fo=0,Fo=0,2 Fo=0,Fo=0,5 Fo=0,0,5 0,0 0,5 Z 0 0.5 R Рис. 1 Профили температуры в неогра- Рис. 2 Профили температуры в неограниченной пластине: _____ расчет при ниченном цилиндре: _____ расчет при =0,01 и Z=0,=100 и R=Проведенный анализ подтвердил корректность полученных решений, которые могут быть применены для оценки длительности кондуктивного режима при охлаждении криогенных жидкостей и служить тестами для проверки работоспособности вычислительных схем в контексте решения уравнений Обербека-Буссинеска.
Так как кондуктивно-ламинарный режим свободной конвекции характеризуется малыми значениями скорости, то уравнения Обербека-Буссинеска (1), (2) в переменных Гельмгольца путём отождествления субстанциональной и локальной производных при переносе импульса и энергии принимают следующий вид:
T T Gr ; ; rot T T, (12) Pr где , - векторные функции тока и вихря.
Формулировка первой тестовой задачи для квадратной каверны трансформирует систему (12) в уравнение 4 4 4 2 1 (13) 4 2 2 X X Y Y с граничными условиями 0,Y 1,Y X,0 X,1 0, (14) 0,Y 1,Y X,0 X, 0, (15) X X Y Y где Gr4, которое решено с использованием интегрального синус преобразования. Результаты расчётов (рис. 3) свидетельствуют о качественной и количественной адекватности модельного представления кондуктивноа б X ламинарного режима.
Y Такой подход позволяет расширить класс решаемых задач, что продемонстрировано на примере моделирова ния свободноконвективного течения тепловыделяющих жидкостей в квадратРис. 3 Поля функции тока (а) и скоро- ной каверне при постоянной температуре стей (б) в квадратной каверне на смоченной поверхности, а также сформулировать и решить задачи свободноконвективного переноса в нестационарной постановке для первой тестовой задачи T X, 2 2 4 4 4 ; (16) 2 2 4 2 2 X Y X X Y Y X X,Y,0 0; (17) 0,Y, 1,Y, X,0, X,1, 0; (18) 0,Y, 1,Y, X,0, X,1, 0 ; (19) X X Y Y p 2 pгде T X, 1 X .
sin 1 X pexp 2 p Pr p Решение (16) - (19) получено последовательным применением интегральных преобразований Лапласа по переменной и конечным синус-преобразованием по переменным X и Y:
X,Y, 4 n cosn 1 E 1 exp anm n n1 mcos 1 cosm n m cosm 1 F 1 exp amn m m n n cos n cos p cosm p 1 exp anm 2 1 2 p2 2 m pn sin n X sin mY anm 2 p exp anm, (20) 2 p2 exp Pr anm anm Pr где anm 2 2 ; n n ; m m.
n m Анализ нестационарной гидротермической структуры течения в квадратной каверне (рис. 4 - 6) позволил выявить явление инверсии гидродинамического поля, когда в процессе развития течения жидкость меняет своё направление движения, ранее не наблюдавшееся при исследовании внутренних задач изза малой длительности этого эффекта (рис. 6). Изученный спектр задач позволил сделать вывод о правомочности принятых модельных представлений при T T 3 4 4 X, T X Рис. 4 Поле температур Рис. 6 Динамика изменения норРис. 5 Эволюция функции для Pr=0,7 в различные мированных среднеинтегральных тока при Pr=0,7: 1 - =0,0001;
моменты времени :
значений функции тока (Ц) и 2 - =0,001; 3 - =0,005; 4 - 1 - 0,001; 2 - 0,01;
=0,01;5 - =0,02; 6 - =0,05; температур (-----) при Pr=0,7 (1);
3 - 0,1; 4 - 0,7 - =0,Pr=1 (2); Pr=7 (3) формулировке внутренних задач свободной конвекции. Достоинством такого подхода является то, что он может быть использован при моделировании не только внутренних, но и внешних задач свободной конвекции, что подчёркивает тем самым его универсальность и инвариантность.
В связи с этим в третьей главе проанализированы задачи тепловой и сопряжённой тепловой и концентрационной свободной конвекции у вертикальной границы, а также в неограниченном вертикальном плоском канале и в прямоугольной области с соотношением высоты к ширине намного больше единицы.
Рассмотрен объём вязкой несжимаемой жидкости, ограниченной слева бесконечной вертикальной плоскостью. В начальный момент времени температуры стенки и жидкости совпадают и равны t0, затем температура стенки изменяется по заданному закону от времени (). Из-за температурного напора вблизи стенки возникает течение жидкости. Математическая модель ламинарного режима формализована в виде модифицированной системы уравнений Обербека-Буссинеска в безразмерном виде:
2 * V 2V X T T ; T Pr1 2T X ; (21) V X,0 V 0, V , 0 ; T X,0 T , 0 ; T 0, f ,(22) * где T t t0 tw t0 ; T t* t0 tw t0 ; V ; X x x ; ;
f t0 tw t0 ; Pr v a ; v g tw t0 , 3 x v2 g tw t0 , vg tw t0 ; - текущее время; x - декартова коор дината, направленная от плоскости в сторону жидкости; , , a, - плотность, кинематическая вязкость, температуропроводность и коэффициент объёмного расширения жидкости; g - ускорение силы тяжести; t, t* - текущая и характерная температуры жидкости; tw - температура стенки, выбор которой определяется видом (). Аналитическое решение (21), (22):
1 Pr 1 Pr X T X, X f exp (23) d ;
2 4 2 X 1 Pr X X V X, Pr exp exp f dd. (24) 4 4 2 1 Pr 0 Корректность полученного решения иллюстрирует рис. 7, из которого следует, что при мгновенном изменении температуры стенки f 1 с увеличением Pr скорость уменьшается, причём толщина динамического пограничного слоя также имеет тенденцию к уменьшению ( 0,5 X - автомодельная переменная). В обобщённом случае, когда f 1 exp A и учитывается эффект релак сации температуры, можно оценить скорость распространения вязкостной волны по значению максимальной скорости. Например, при Pr=0,1, координаты максимального значения безразмерной скорости, соответствующие безразмерным временам 0,01; 0,1; 1, есть 0,12; 0,38; 1,06, откуда оценочные значения скорости распространения вязкостной волны будут 12; 3,8; 1,06, что свидетельствует о её затухающем характере.
При изменении температуры стенки по закону дельта-функции f (рис. 8, 9) бесконечному тепловому возмущению соответствует а V V б V V в г T T а б Г Ж Г Ж Г Ж Г Ж Рис. 9 Нестационарное гидродинамическое поле вблизи стенки при различных значениях T T чисел Pr: а - 0,01; б - 0,1; в - 0,7; г - в г конечный отклик гидродинамического поля, что позволяет оценить границу воздействия теплового удара на гидродинамическую структуру объёма жидкости. В главе также проанализирована задача изменения темпеРис. 8 Нестационарное температурное ратуры стенки по периодическому закону, поле при -импульсном изменении температуры стенки для различных Pr:
как модельной задачи, учитывающей колеа - 0,01; б - 0,1; в - 0,7; г - бания температуры внешней среды при хранении криогенных жидкостей, а также задача с мгновенным изменением теплового потока через стенку и получены их аналитические решения.
Предлагаемые модельные представления о кондуктивно-ламинарном режиме позволили поставить и аналитически решить задачу сопряжённой тепловой и концентрационной свободной конвекции путём добавления в левую часть уравнения движения безразмерной концентрации C со знаком минус в силу однонаправленности векторов силы тяжести и силы погружения и дополнения системы (21), (22) диффузионным уравнением с граничными условиями C 1 2C ; C X,0 C , 0, C 0, Cw, (25) Sc X и f 1, где C c c0 tw t0 ; Sc v D - число Шмидта; - ко ,w,w эффициент концентрационного расширения жидкости; с, сw, c0 - локальная, на стенке и начальная концентрации растворённого компонента; D - коэффициент диффузии, из которой следует, что при Cw 1 и Sc=Pr существует режим, когда на всём протяжении процесса жидкость остаётся неподвижной.
Решены также задачи свободно-конвективного течения в вертикальном канале неограниченной высоты VZ 2VZ T 4 2T 4 8Gr T T, , (26) 2 X Pr X VZ X,0 VZ 1, VZ 0, X 0; (27) как при мгновенном и одинаковом изменении на стенках теплового потока T X,0 T 0, X 0 ; T 1, X 1, (28) так и при мгновенном и одинаковом изменении температуры T X,0 1;T 1, T 0, X 0. (29) Аналитическое решение задачи (26), а б Рис. 10 Структура гидротермических полей при Pr=0,7 (a) и Pr=7 (б) для Рис. 11 Структура гидротермических полей при различных : 1 - 0,015; 2 - 0,03;
Pr=10 (a) и Pr=0,1 (б) для различных :
3 - 0,085; 4 - 0,1 - 0,002; 2 - 0,008;3 - 0,01; 4 - 0, (27), (29) иллюстрируется на рис. 10, из которого следует, что скорость среды в канале пропорциональна величине Gr; для жидкостей с одинаковой вязкостью v свободно-конвективное течение развивается интенсивнее у той, у которой температуропроводность больше.
При Pr 1 скорость течения затухает быстрее, чем наступает тепловое равновесие, при Pr 1 наблюдается противоположная картина. Определён безразмерный коэффициент теплоотдачи Nu=3. Детальная картина течения, полученная на основе аналитического решения задачи (26) - (28), представлена на рис. 11.
Полученные результаты легли в основу анализа термоконвекции в прямоугольной области с соотношением высоты к ширине намного больше единицы с использованием при синтезе математической модели декомпозиции области течения на зоны 1 и 2, граница между которыми x, z, :
VZ 2VZ T 4 2T 1,2 1,2 * 4 8Gr T T1,2 ; ; (30) 2 X Pr X VZ 0, VZ X,0 VZ X,0 VZ 1, VZ , VZ , 0; (31) 1 2 1 1 X T 0, T X,0 1; T 1, 0, (32) X где x, / h1. Это позволило аналитически решить систему (30) - (32), рас чёты по которой показывают, что в начальный момент времени рассматриваемая система характеризуется равновесным состоянием, что подтверждается начальным значением 0,5, инвариантным к теплофизическим свойствам среVZ ды. По мере разви VZ max тия течения система приходит к новому состоянию равновесия, при этом 0, 0,33 (рис. 12).
0,5 X Рассмотрение структуры течения указывает на его 0,--6 квазистационарный -2 lg Рис. 13 Профили скорости при характер в смысле Рис. 12 Изменение во времени поPr=7: 1 - =10-5; 2 - =10-4;
ожения границы между нисхогеометрического 3 - =510-3; 4 - =510-2; 5 - =0,дящим и восходящим потоками:
подобия профилей 1 - Pr=0,1; 2 - Pr=0,7; 3 - Pr=7;
4 - Pr=30; 5 - Pr=скорости, если их отнормировать на максимальную величину (рис. 13), что обосновывает наличие нового конечного равновесного состояния системы. Замечен интересный факт: при достаточно больших профиль скорости практически не зависит от Pr. Аналогичный анализ структуры тепловых потоков в системе подтверждает наличие динамического измене ния тепловой обстановки в системе подобно гидродинамической. Из идентификации числа Нуссельта видно, что с увеличением Pr, интенсивность теплоотдачи возрастает, при этом для больших значений времени предельное значение Nu 2,47. Время достижения состояния квазистационарной теплоотдачи предложено описывать уравнением exp 0,0138ln3 Pr 0,0172ln2 Pr 0,685ln Pr 2,258.
Определена закономерность теплоотдачи в прямоугольной каверне в период развития течения 0 0,005 :
Nu 0,912 Pr0,646 0,451, (33) и показано, что при 0 показатель степени при в (33) приближается к значению Ц0,5.
В четвёртой главе для проверки количественной адекватности предлагаемых модельных представлений кондуктивно-ламинарной свободной конвекции разрабатывается инструментарий в виде комплекса алгоритмов и программ проведения вычислительных экспериментов, адаптированных к задачам хранения криогенных жидкостей в наземных хранилищах различной геометрии.
Построение вычислительного экспериментального комплекса начато с его реализации в прямоугольной каверне с представления уравнений ОбербекаБуссинеска в переменных Гельмгольца дискретным аналогом на двухслойном шаблоне типа "крест" в виде:
8 1 1 1 k k 12 j i 12 i k 12 i k 12 j i 11 k ij j j 1 4 2 2 k 12 i k 212 j i Gr 12 i Tjk ; (34) 2 j 1 1 1 2 k k 12 i k 1 212 j i 1 i,1; (35) j j 8 1 1 1 k 12 j i 12 i Tjk 12 i k 12 j Tik 11 k Tij j 1 1 2 12 i Tjk 212 j Ti k , (36) Pr 1 где - -точечный (= 0, 1, 2 Е), с реперным номером точки 0 при >1, дискретный аналог -производной по индексу при постоянстве других индексов в сеточной функции; k, i, j - переменные индексы времени и координат точек дискретизации (n=max i, m=max j);
начальные условия i, j 0 Ti0 0 ; (37) i, j, j граничные условия для функции тока k k k k i,0 i,m 0; (38) 0, j n, j граничные условия для вихря 8 k 2 0 k ; k 2 n k ; (39) 0, j 0 j n, j 3 n j 1 1 8 k k k i,0 02 0 i ; i,m 2 m k (40) 3 3 m j 1 1 с возможностью варьирования порядка аппроксимации при = 2, 3, 4;
k k k T0k 1 0 i 1 m i 0 ; T 1. (41) , j 02 m2 n, j Учёт условий прилипания в системе (34) - (41) предлагается осуществлять пуk k k тём перераспределения невязок 1, j, k, i,1, i,m1 0 по коррекционным соn1, j отношениям n3 m k k k k k k k k k k 1, j k i, j i, j n1, j i,, k i,,(42) i, j j i, j 1 i,1 i,m1 i, j i, j j 1 i3 j считая, что смежный слой с границей не подлежит корректировке.
k Модифицированная сеточная функция i, j, имея в виду (42), размещается вместо немодифицированной и вычислительный процесс повторяется, при этом показано, что погрешность вычисления в процессе перехода от одного временного слоя к последующему уменьшается за счёт сохранения интегрального баланса количества движения. Следует отметить, что сеточные уравнения (34) и (36) являются явной формой записи уравнений переноса вихря и теплоты, а (35) - неявной для уравнения связи функции тока и вихря. В связи с этим алгоритм вычисления таков: значения T и на следующем временном слое вычисляются по значениям на предыдущем, при условии, что задано поле для функции тока. Такое обстоятельство как раз и привносит полунеявное свойство численной схемы, характерной особенностью которой является решение неявного сеточного уравнения (35) на временном (k+1) -ом слое, интегрируемое по методу верхней релаксации с итерационным параметром, равным 1,5, соответствующим наибольшей скорости сходимости итерационного процесса, выход из которого осуществляется по условию k k max abs 1 max i,1,s max i,,s , j j где s - номер итерации, - наперёд задаваемая точность.
Оценено влияние степени дискретности и порядка аппроксимации на результаты вычислений и найдено рациональное соотношение между точностью вычисления и затратами машинного времени, которое выполняется для сетки 1919 (рис. 14). Установлено, что в качестве рабочего варианта граничные условия для вихря (39), (40) следует принять при =4, что обеспечивает требуемую точность аппроксимации сеточной функции на границе, а также устойчивость и сходимость вычислительного процесса по предложенному алгоритму.
Получено, что кондуктивный режим сво а б в г бодной конвекции сохраняется практически 1 1 1 Y Y Y Y до Gr100. Дальнейшее увеличение Gr приводит к ещё большей неоднородности поля 0 X0 X 1 0 X 1 0 Xтемператур с постепенным формированием 1 1 1 пристеночных тепловых пограничных слоёв Y Y Y Y у холодной и горячей стенок со структурированным по однородности ядром.
0 X 1 0 X 1 0 X 1 0 XДля проверки количественной адекРис. 14 Изолинии поля функции тока (верхний ряд) и изотермы поля температур ватности предложенного алгоритма было (нижний ряд) для сетки 19х19 при Pr=1 и различных Gr: а - 1; б - 10; в - 100;
использовано полученное решение первой г - 1000 (=2,5) тестовой задачи для кондуктивноламинарного режима течения и решение задачи о свободной конвекции в прямоугольной области с соотношением высоты к ширине намного больше 1. Установлено, что при Gr 100 сохраняется кондуктивный режим, о чём свидетельствует практическая параллельность изотерм и линий функции тока, исключая области, близкие к верхней и нижней стенкам (рис.
15). Вычислительный эксперимент позволил сделать вывод о корректности принятых допущений при разработке вычислительного алгоритма и определить границы его правомерного использования (рис 16).
Это дало основание для обобщения изложенной процедуры в случае свободноконвективного течения в вертикальной цилиндРис. 15 Поля функции тока (справа) рической области, причём схема (34) - (42) и температуры (слева) для Pr=7, =0,05 и =0,1 при различных чис- представлена в цилиндрической системе колах Gr: а - 100; б - 10ординат, а также для сферической области в осесимметричной формулировке, на примере которой исследована теоретически её устойчивость с использованием алгоритма Неймана. В результате получены аналитические условия устойчивости, выражающие связь между шагами интегрирования по безразмерным радиусу R и азимутальному углу , представленные для удобства пользования в графическом виде (рис. 17) при выборе безразмерного шага по времени . Анализ Рис. 16 Профили функции тока показал, что для различных Gr (Pr=1) уменьшение (1-3) и температуры (4) в срединном сечении каверны (Z=0.5) R и приводит к монотонному уменьшению .
для Pr=7, =0,05 и =0.1 при разВ ламинарной области влияние на величину личных Gr: 1 - 2102; 2 Ц5102; 3 - 1103 (----- - модель; Ч - вычисоказывается паритетным по R и . При Gr 1лительный эксперимент) в области R 0,04 возникает неопределённость в а выборе для получения , что приб водит к неравнозначному влиянию ша гов интегрирования по пространственным координатам: преобладающее влияние на оказывает , что объяснено более существенной нелинейноR стью по координате в исходных R уравнениях.
Для сравнения с предложенным в г вычислительным алгоритмом по квазинеявной схеме разработана чисто неявная схема интегрирования, базирующаяся на тех же принципах дискретизации области интегрирования и R порядка аппроксимации производных R центральными конечными разностями второго порядка точности. При этом Рис. 17 Влияние на выбор шагов интегриудалось унифицировать процедуру вырования R и при Pr=1 для различных числений для каждого уравнения систеGr: а - 103; б - 105; в - 106; г - 1мы (12) с применением метода верхней релаксации. Получено, что наибольшую скорость сходимости вычислений обеспечивают релаксационные параметры, близкие к единице справа. По скорости вычисления неявная схема не имеет преимуществ перед квазинеявной, более того, несмотря на безусловную устойчивость, неявная схема остаётся чувствительной к величине . При Gr 107 сходимость вычислительного процесса по неявной схеме отсутствует, что объясняется физической некорректностью применения уравнений Обербека-Буссинеска в переходном режиме свободной конвекции от ламинарного к турбулентному течению.
Глава 5 посвящена проведению вычислительных экспериментов и анализу их результатов на базе разработанных алгоритмов и предметноориентированного программного комплекса численного решения внутренних задач свободной конвекции применительно к криогенным жидкостям.
На примере квадратной каверны рассмотрена модельная задача, имитирующая условия хранения криогенных жидкостей: верхняя граница каверны считается свободной, т.е. отсутствует контакт с твёрдой поверхностью, причём через неё тепловой поток пренебрежимо мал из-за наличия парового пространства с существенно меньшим коэффициентом теплопроводности, чем у жидкости; через смоченную поверхность задан тепловой поток, величина которого определяется характеристиками теплоизоляции реального резервуара. Из рис.
18 видно, что вплоть до Gr104 структура гидродинамических полей остаётся неизменной, но максимальные значения как функции тока, так и температуры возрастают с увеличением Gr, что подтверждает существование квазистационарного режима. При таком теплоподводе образуются два симметричных вихря а б в с разнонаправленным потоком жидкости в 1 них. Дальнейшее увеличение Gr приводит к Y Y Y деформации функции тока и поля температур со смещением максимума ко дну. Пред0 X 1 X 1 0 Xложен вариант определения интегрального 1 1 коэффициента теплоотдачи, основанный на Y Y Y рассмотрении теплового баланса и вычислении средней температуры жидкости.
Для свободной конвекции в верти0 X 1 0 X1 X г д е кальном цилиндрическом резервуаре введён 1 Y Y Y критерий точности получаемого численного решения из условия QТ QP , (43) 0 X 1 0 XX 1 1 1 где QТ 2r0q r0 h - фактическое Y Y Y количество теплоты, поступившее в резервуар за время ; QP cpmж t t0 - 0 X1 0 X 1 0 X найденное по температурному полю; r0, h - Рис. 18 Изолинии поля функции тока (верхний ряд) и изотермы поля темперарадиус основания и высота столба жидкотур (нижний ряд) для сетки 25х25 при сти в резервуаре; q - плотность теплового Pr=1 и различных Gr:
а - 1; б - 10;
потока через стенки; cp, mж - теплоём в - 100; г - 1000; д - 10000; е - 100000.
кость жидкости и её масса; t0, t начальная и средняя температуры жидкости. Из (43) следует выражение для невязки 1 QP QТ , где max T QP T Pr , QТ 2 1 1 T 2 RT R, Z, dRdZ, 0 r0 h.
0 5 5 Была проведена серия расчётов max 1 - значений температуры, функций тока и вихря, а также величины критерия точности. На рис. 19 приведены в ка1 честве примера результаты одного 1такого расчёта. Дискретизация осуществлялась на сетке 1515, =1, Pr=(соответствует жидкому водороду), 5 0 варьирование числа Грасгофа осуществлялось в диапазоне 1 Gr 105, Рис. 19 Результаты расчета max, max, T, выход из итераций происходил при |1-| при Gr=1 достижении 0,01. Как и следов б в а вало ожидать, по температуре наступает квазистационарный режим в том смысле, что за равные промежутки времени температура увеличивается на одну и ту же веа в личину. Из анализа поведения б функции тока и вихря следует, что моменты наступления стационарной гидродинамической обстановки в резервуаре уменьшаются с увеличением числа Gr.
а в б На рис. 20 приведены результаты расчёта динамики функции тока, из которой следует практическая неизменность её структуры. Полученные данные позволили Рис. 20 Динамика функции тока при различных знааппроксимировать поле скоростей чениях числа Gr и безразмерного времени: 1 - соотношениями (рис. 21):
Gr=1: а - =0,2; б - =0,4; в - =6; 2 - Gr=103: а - =0,04; б - =0,12; в - =1,2; 3 - Gr=105: а - =0,01;
VR KR 1 2Z 1 R 1 Z ;
б - =0,04; в - =0,VZ KZ 1 Z 2 3R 1 R, где K 20,2 26,4lgGr.
Для анализа теплообмена введено среднее число Нуссельта: Nuср 1 T T , где T, T - средние Vz ст oc ст oc значения безразмерных температур боковой стенки и жидкости на оси симметрии. Выявлена об2 ласть (рис. 22), в которой Nu соответствует реlg Nu жиму теплопровод0,5 1 R ности, и от точности определения Ц100 которой зависит точность определе- 0,ния коэффициентов Рис. 21 Профиль компоненты скорости VZ при Z = 0,5 для раз- m и n в обобщённом личных чисел Gr: 1Ц1; 2Ц10;
уравнении 3Ц102; 4Ц103; 5Ц104; 6Ц1Nuср mGrn для Ц1 0 2 lg Gr различных условий задания закона теплообмена Рис. 22 Результаты вычислительнона свободной и смоченной поверхностях. В наго эксперимента по теплообмену в вертикальном цилиндрическом решем случае эта граница находится в диапазоне зервуаре при =1: 1 - подвод теплоGr* 100 200. Для Gr Gr* предложены критеты от боковой поверхности; 2 - подвод теплоты от боковой поверхриальные уравнения, ности и дна; , - данные Полежаева В.И. и Черкасова С.Г.
а б в Nu 0,95Gr0,19, Nu 0,58Gr0,22, соответствующие прямым 1 и 2 на рис.
22. Массив результатов расчётов полей температуры приведён на рис. 23. Существенное отклонение от кондуктива б в ного режима наблюдается с Gr=104. Радиальные и вертикальные температурные градиенты перестают быть постоянными, нарушается со временем эквидистантность температурных полей, б а в образуется ярко выраженное ядро жидкости с пониженной температурой.
Анализ свободной конвекции в сферическом резервуаре начат с проверки полученного условия устойчивоРис. 23 Динамика безразмерной температуры сти для максимальных значений вихря при различных значениях числа Gr и безразмерного времени: 1 - Gr=10: а - =0,1; б - =0,4; в - , функции тока и температуры Т =6; 2 - Gr=104:а - =0,02; б - =0,06; в - =0,6;
(рис. 24). При 105, что соответст3 - Gr=105:а - =0,01; б - =0,04; в - =0,вует области неустойчивости вычислительного процесса, наибольшее возмущающее воздействие оказывается на вихрь, затем на функцию тока, а уже потом и на температуру. Помимо того, что процесс становится условно устойчивым для 0,5, наблюдается несоответствие по сходимости для с завышением его предельного значения примерно на 40 % по сравнению с устойчивым случаем (рис.
24, б). При 0,5 видны пикообразные возмущения, обусловленные тем, что более крупный шаг по не обеспечивает отслеживание градиентов физических полей, что и приводит к неточной количественной интерпретации. Полученная информация о величинах шагов интегрирования позволила перейти к анализу гидротермических полей.
Расчёты для граничных условий 1-го рода проводились при Gr=и Pr=0,707 (воздух), что соответстРис. 24 Исследование устойчивости явной схемы при вовало кондуктивному режиму.
Gr=105 и различных (R=0,06);
а - 10Ц5; б - 10 - Учитывая соотношение Fo Pr Zh и согласно определению числа Nu, а также принимая во внимание решение А.В. Лыкова задачи теплопроводности в сфере, получено соответствие точного и численного решений (рис. 25). Из анаРис. 26 Тангенциальная безРис. 25 Сравнение численного и размерная скорость в эквализа структуры гидротераналитического решения задачи ториальном сечении сферы мических полей следует, термоконвекции для кондуктивчто в момент изменения температуры стенки сферы ного режима при Pr=0,707 и Gr=в пристеночной области, состоящей из двух кон- центрически расположенных слоёв, возникает движение жидкости в противоположных направлениях, причём у стенки наблюдается движение вниз - явление инверсии, предсказанное теоретически для кондуктивно-ламинарного режима. В следующий момент времени область течения расширяется и состоит из шести концентрических слоев жидкости с чередующимся направлением движения (рис. 26), причём тангенциальную скорость в экваториальном сечении рассчитывали по формуле V R,0.5, V R,0.5, V R,0.5, V2 R,0.5, VR R,0.5,. На следующем 1 2 3 4 шаге по времени течением охвачен весь шаровой объём. С ростом числа Zh толщина концентрических слоёв жидкости начинает непрерывно увеличиваться, а их число соот6 7 8 9 ветственно уменьшаться. При Zh=0,0012 в Рис. 27 Динамика изменения функции шаровой тока при Gr=4,05.106; Pr=0,707 (расшифполости ровка рисунков в таблице) остается Таблица к рис. 27 Таблица к рис. только Шаг Шаг № Zh.104 min № Zh.104 изо- Tmin изолидве об1 2 3 4 нии линии ласти с 1 0,5 1 -2 1 4 0,5 2 12 20 -120 2 20 0,5 0 восходя3 24 50 -200 3 27 0,2 0,щим у 4 42 50 -300 4 44 0,2 0,стенки и 5 48 100 -300 5 50 0,2 0,6 54 100 -400 6 57 0,2 0,нисхо6 8 9 7 62 200 -600 7 64 0,2 0,дящим в 8 66 200 -800 8 72 0,2 0,4 Рис. 28 Динамика изменения температур9 72 200 -800 9 88 0,2 0,6 ного поля при Gr=4,05.106; Pr=0,707 (рас- осталь10 120 200 -800 10 150 0,1 0,шифровка рисунков в таблице) ной час ти сферы потоками (рис. 27). Нестационарная структура температурного поля приведена на рис. 28, на котором более холодная жидкость выделена тёмным фоном. Неустановившийся колебательный характер движения в сфере при небольших числах Zh подтверждают зависимости максимальных значений функций тока и вихря , а также среднеобъёмной безразмерной температуры Ts и среднего по поверхности сферы числа Nus от продолжительности конвекции (рис. 29 и 30). Положение пиков на графиках практически соответствует попеременному прохождению холодных и тёплых фронтов жидкости вдоль стенок сферы до их полного смешения за счёт теплопроводности и Рис. 29 Максимальные значеРис. 30 Среднеобъемная безконвекции. Интегральные ния функций тока и вихря размерная температура и средхарактеристики процесса Ts нее число Нуссельта и Nus вычисляли по форму1 1 3 лам T R,, R2 sin dRd; Nus Nu , sin d, s T 2 0 0 где локальное число Нуссельта Nu , вычисляли из его определения T , Nu , через односторонние разности второго порядка точно R Rсти. Как и следовало ожидать (рис. 31), при кондуктивном режиме локальное число Нуссельта постоянно по всей поверхности теплообмена.
С развитием конвекции градиент температуры на стенке начинает изменяться от угловой координаты, следуя за вариациями скоростей и температуры.
Минимальное значение локального числа Нуссельта составляет 43,5 и соответствует практически всегда верхней точке сферы. После установления квазистационарного режима течения максимальное значение Рис. 31 Зависимость локального числа Нуссельта от угловой коNu имеет место при =0,5.
ординаты при различных значениях числа Жуковского Анализ задачи свободной конвекции в сфере при тепловых граничных условиях 2-го рода был начат с обоснования выбора расчётной сетки. Показано, что для установившегося режима различие между числами Nu, которое определяли как Nu(,) 1 T () Tmin(), где T, Tmin - ст ст безразмерные температуры стенки и минимальная жидкости, на сетках 1616 и 37 37 составило 2,4 %, а на сетках 32 32 и 37 37 лишь 0,3 %. С целью снижения затрат машинного времени дальнейший анализ проводился на сетке 32 32. Шаг по безразмерному времени составлял 10Ц5 - 10Ц6. Числа Грасгофа а б в изменяли от 1 до 105. Полученные данные показали, что типичные для кондуктивного режима поля температур в виде концентрических окружностей существуют до чисел Gr=10 (рис.
32). При дальнейшем увеличении подъёмной силы возникает слабо конвективное движение, характеризующееся стратификацией жидкости и опусканием холодного ядра вниз по вертиРис. 32 Поле температур при различных кальному диаметру. При Gr>100 режим стразначениях числа Gr:а - 1; б - 103;в - 1тификации начинает разрушаться и ядро а б в холодной жидкости усиливающимся циркуляционным движением жидкости поднимается вверх и приближается к стенке ёмкости. Вид поля скоростей существенным образом от числа Gr не изменяется (рис.
33). На рис. 34 представлены профили безразмерной тангенциальной составляющей скорости, нормированной на величину поРис. 33 Поле функции тока при различных значениях числа Gr:а - 1; б - 103; в - 105 ной скорости, вдоль горизонтального радиуса. Отмечается в момент возникновения конвекции наличие восходящего потока жидкости не только у стенки, но и вблизи оси симметрии. Для кондуктивного режима и режима стратификации (рис. 35), т.е. при Gr 1100, максимальное значение температуры наблюдается в верхней, а минимальное - в нижней точке сферы. В режиме развитой конвекции минимальное значение температуры стенки перемещается к Рис. 34 Профиль скоростей горизонтальному радиусу сферы, что соответствует при Gr=1000 при различных безразмерных моментах максимальной теплоотдаче в этой области течения (рис.
времени : 1 - 0,02; 2 - 0,05;
36). На основании полученных результатов в диапазоне 3 - 0,1; 4 - 0,2; 5 - 2,1 Gr 105 предложена аппроксимационная зависимость для числа Нуссельта Nu 1,3Gr0,19 при Pr=1.
Шестая глава посвящена приложению результатов теоретического исследования к практическим задачам криогенной Рис. 36 Зависимость числа техники.
Рис. 35 Зависимость температуры Нуссельта от угловой коордиБыли классифициростенки от угловой координаты наты при различных числах при различных числах Gr: 1 - Gr: 1 - Gr=1; 2 - Gr=10; 3 - ваны и систематизироваGr=1; 2 - Gr=10; 3 - Gr=100; 4 - Gr=100; 4 - Gr=103; 5 - Gr=104;
Gr=103; 5 - Gr=104; 6 - Gr=16 - Gr=1 ны экспериментальные данные теплофизических характеристик (давление насыщенных паров, динамическая вязкость, плотность, теплопроводность, теплоёмкость, теплота испарения и др.) для наиболее часто используемых на практике криогенных жидкостей - водорода, кислорода и азота с их обобщением в виде аппроксимационных зависимостей. Кроме того по коэффициенту испаряемости были оценены величины тепловых потоков через внутреннюю поверхность резервуара.
Одной из важнейших характеристик при эксплуатации криогенных ёмкостей различного назначения является время бездренажного хранения. Это связано с тем, что существующая контрольно-измерительная аппаратура при низких температурах функционирует ненадёжно, а в некоторых криогенных системах, особенно малой тоннажности, отсутствует вовсе по экономическим причинам.
Изменение температуры, происходящее в теплоизолированной ёмкости с криогенной жидкостью, рассмотрено как задача внутренней свободной конвекции при граничных условиях второго рода, что позволило применить разработанный в главе 4 инструментарий. Результаты вычислительных экспериментов в сравнении с натурным экспериментом приведены на рис. 37, что указывает на качественную и количественную адекватность проведенной оценки.
Произведена оценка температуры стенки внутреннего сосуда для резервуара РЦВ-25/1,при скоростном испарительном охлаждении жидкого кислорода. Показано, что время установлеРис. 37 Изменение средней темперания стационарной гидротуры криогенных жидкостей при хранении в резервуаре РС-1400/0,термической структуры ( - экспериментальные данные по [Лакэ Г.]; масштабы по оси абсцисс составляет не более 2,4 - для водорода и азота соответственно 3,2 часов. В приближении 10:1 и 2:1) пограничного слоя рассмотрена кинетика захолаживания стенки на основе рассмотрения сопряжённого теплообмена в системе стенка - Рис. 38 Расчетная схема:
1 - стенка; 2 - пограприлегающий слой криогенной жидкости, движущейся со ничный слой; 3 - ядро жидкости скоростью (рис. 38) tw 2tw 2tw tl tl 2tl 2tl aw ; al , (44) x2 y2 x x2 y2 tw x, y,0 tl x, y,0 tн, при x 0, tw 0, y, tl 0, y, t0, (45) tw x,0, tw h, y, tl h, y, 0 ; tw x,w, tl x,w, ; (46) y x x tw x,w, tl x,w, tl x,w l, ; l tl x,w l, tн ,(47) y y y где , x, y - текущее время и локальные декартовы координаты; tw, tl - температура стенки и жидкости; al, aw - температуропроводности жидкости и стенки; l, - теплопроводность жидкости, коэффициент теплоотдачи между погранслоем и ядром. Система (44) - (47) решена численно. Получено, что время захолаживания стенок резервуара для условий проведения вычислительного эксперимента составляет 30 с, что намного меньше времени установления гидротермической структуры, которое в свою очередь намного меньше времени процесса охлаждения. Таким образом из приведенного анализа термической обстановки при испарительном охлаждении криогенных жидкостей следует, что время установления температуры стенок резервуара до температуры зеркала жидкости намного меньше времени охлаждения и поэтому в течение всего процесса можно считать температуру стенок равной температуре зеркала жидкости, т.е.
выполняются граничные условия 1-го рода. Это позволило предложить методику определения коэффициента конвекции по кривой кинетики охлаждения, которая продемонстрирована для жидкого кислорода (рис. 39). Из условия Fo Fo min 1 T Fo d Fo T Fo d Fo, expr 0 где Fo* - безразмерная продолжительность охлаждения; T Fo - экспериментальные значения expr Рис. 39 Кинетика охлаждения средней температуры жидкости; T Fo - теоре жидкого кислорода в резервуаре РЦВ-25/1,6:ЧЧ - расчёт; - тическое значение среднеобъёмной температуры, экспериментальные данные полученное по решению задачи (3) - (5). Найдено, что l=12,8 Вт/(мК), откуда коэффициент конвекции равен =75,7, что коррелирует с известными данными.
Рассмотрена задача осаждения малоконцентрированной взвеси в цилиндрическом резервуаре в условиях свободноконвективного перемешивания:
N N N 1 1 N 2N VR VR W R ; (48) R Z Sc R R R Z N R,0, 1 N R, Z,0 1; WN R,0, 0 ; (49) Sc Z N R, H, 1 WN R, H, KZ N R, H, ; (50) Sc Z N 1, Z, N 0, Z, 1 KR N 1, Z, ; 0, (51) Sc R R где N n n0, Z z r0, R r r0, v r02, VR rr0 v, VZ zr0 v, W wr0 v, H h r0, KR krr0 v, KZ kzr0 v, Sc v D ; , z, r - время и цилиндрические координаты; n, n0 - локальная и начальная концентрации взвеси; r, z - компоненты скорости; w - стоксовская скорость осаждения частиц; kr, kz - кинетические коэффициенты скорости встраивания частиц в структуру осадка на боковой стенке и дне; h, r0 - высота столба жидкости и радиус резервуара; v, D - кинематическая вязкость и коэффициент диффузии. Связь задачи (48) - (51) с внутренней задачей свободной конвекции осуществлялась через функцию тока 1 1 C С а a VR , VZ . АлгоR Z R R ритм расчёта состоял в следующем: вначале из решения гидродинамической задачи определялось поле , а затем по явной конечноразностной схеме из (48) - (51) идентифицировалось поле концентраций.
0 0,5 X 0,5 X Проведена оценка толщины осадка кристаллического азота на С С б боковую стенку резервуара РЦВ25/1,6 с жидким водородом, в ре2 зультате чего получено, что толщина осадка (1,8710Ц10 м) пре5 небрежимо мала и его величину в практических расчётах в промышленных резервуарах можно не учитывать.
1 0 0,5 X 0,5 X Такая оценка позволила Рис. 40 Профили концен- Рис. 41 Профили конценсформулировать математическую трации вещества на ста- трации вещества на стадии выстаивания при дии растворения осадка модель нестационарного поля D=0,01 м2/мин (а) и при D=0,01 м2/мин (а) и D=0,001 м2/мин (б) для концентрации растворённого азота D=0,001 м2/мин (б) для различных значений :
различных значений :
в жидком водороде в одномерной 1-5,0; 2-5,1; 3-10,1-0,01; 2-0,05; 3-0,1;
4-1,0; 5-3,0; 6-5,0 постановке на основе диффузионных представлений:
C X, 2C X, ; (52) X C X,0 1; C 0, CS ; C 1, X 0, (53) где X x h ; D h2 ; C X, c x, c0 ; CS cS T c0 ; c0 - началь ная концентрация азота в жидком водороде; cs - растворимость азота в жидком водороде. Решение (52), (53), полученное методом "теплового баланса", иллю стрируется на рис. 40 и 41. Аппроксимация экспериментальных данных (рис.
42):
T 25,83 4,2 103 2,08exp 0,92 ;
C1 26,50 25,50exp 103 ;
C2 3,84 2,84exp 1,5102 , где - время в мин; C1, C2 - концентрации растворённого азота в объёме на различных высотах по данным газового хроматографа; - с учётом стадий растворения, позволила определить из усРис. 42 Изменение температуры жидкого водорода ( - эксперимен- ловия тальные значения) и концентрации C1() C2() max растворенного азота на расстояниях 0,18 м () и 0,38 м () от дна резервремя растворения осадка, которое составило вуара (сплошные линии - аппроксимационные кривые) 36,65 мин, а из условия Э 1 C1 H, C H, d min, Б где Э,Б - время эксперимента и время прогрева жидкости в резервуаре;
C1 H, c1 c0 - экспериментальная безразмерная концентрация раство рённого азота на относительной высоте H h1 h ; C H, - теоретическая без размерная концентрация; - получить скорость растворения осадка равную 1,8910Ц9 м/с.
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ 1. Безопасность функционирования жидкостных криогенных систем определяется степенью температурной стратификации, которая формируется в процессе последовательной трансформации гидротермической структуры соответственно в кондуктивном, кондуктивно-ламинарном, ламинарном и турбулентном режимах свободноконвективных течений.
2. Показано, что уравнения Обербека-Буссинеска в случаях кондуктивного и кондуктивно-ламинарного режимов свободноконвективных течений, эквивалентны по физическому смыслу уравнению теплопроводности и линеаризованным уравнениям Обербека-буссинеска без учета конвективных слагаемых в уравнениях переноса импульса и теплоты, что дает преимущество при их анализе, заключающееся в возможности использования классических методов при получении аналитических решений, описывающих гидротермическую структуру течений.
3. Корректность модельных представлений о кондуктивном и кондуктивноламинарном режимах подтверждена результатами анализа полученных аналитических решений ряда важнейших как внутренних (распределение температуры в вертикальной цилиндрической емкости конечной высоты, стационарные и нестационарные течения в каверне), так и внешних (динамика течений у бесконечной вертикальной поверхности и между двумя вертикальными бесконечными плоскостями) задач свободной конвекции, представляющих также и самостоятельный интерес.
4. Разработаны эффективные (с точки зрения устойчивости, скорости сходимости и точности) конечно-разностные схемы и алгоритмы численного интегрирования уравнений Обербека-Буссинеска для ламинарного свободноконвективного режима течения, в основу которых положена коррекция функции тока в приграничных областях у смоченной поверхности для удовлетворения условию "прилипания", что позволяет отказаться от использования нефизичных граничных условий для вихря.
5. Создан предметно-ориентированный программный комплекс для проведения вычислительных экспериментов во внутренних задачах свободной конвекции различной геометрии и с возможностью варьирования типом гидродинамических и тепловых граничных условий.
6. Анализ результатов вычислительных экспериментов, имитирующих хранение сжиженных газов в криогенных резервуарах, позволил установить основные закономерности при формировании гидротермической структуры свободноконвективных течений (инверсия поля скоростей, квазистационарность температурного поля с пониженной температурой в ядре течения, распространение гравитационных волн и др.) и предложить уточняющие соотношения для расчета локальных и интегральных коэффициентов теплоотдачи в зависимости от тепловой обстановки на смоченной поверхности.
7. Предложенные методика прогнозирования времени бездренажного хранения криогенных жидкостей в резервуарах, способ вычисления температуры смоченной поверхности резервуаров с хранящейся в них криогенной жидкостью, подход при идентификации кинетики осаждения высококипящих отвержденных примесей и образования их осадка, оценка скорости растворения осадка при повышении температуры жидкости при хранении позволяют повысить безопасность функционирования жидкостных криогенных систем за счет своевременного предупреждения возникновения аварийных ситуаций, связанных с ростом давления в паровом пространстве и накоплением взрывоопасных примесей в осадке.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:
публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ 1. Кондуктивно-ламинарная естественная конвекция ньютоновской тепловыделяющей жидкости в квадратной каверне с постоянной температурой стенок [Текст] / М. И. Слюсарев, Е. Д. Чертов, В. И. Ряжских, А. А. Богер // Вестник ВГУ. Математика и физика. - 2011. - Т. 7, № 1. С. 214-218.
2. Нестационарная ламинарная свободная конвекция ньютоновской жидкости между вертикальными пластинами при граничных условиях второго рода [Текст] / М. И. Слюсарев, В. И. Ряжских, В. Г. Стогней и др. // Вестник ВГТУ. - 2010. - Т. 6, № 2. - С. 14-20.
3. Слюсарев, М. И. Аналитическое решение первой тестовой задачи свободной конвекции для кондуктивно-ламинарного режима [Текст] / М. И. Слюсарев, Е. Д. Чертов, В. И. Ряжских // Вестник ВГТУ. - 2010. - Т. 6, № 7. - С. 165-167.
4. Динамика кондуктивно-ламинарного свободно-конвективного движения жидкости в квадратной области [Текст] / М. И. Слюсарев, Е. Д. Чертов, В. И. Ряжских и др. // Вестник ВГТУ. - 2010. - Т. 6, № 11. - С. 217-222.
5. Расчёт кондуктивно-ламинарного режима термоконвекции ньютоновской среды в прямоугольной каверне с вертикальными изотермическими стенками [Текст] / А. А. Богер, С. В. Рябов, В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев // Изв. РАН.
Механика жидкости и газа. - 2010. - № 3. - С. 17-21.
6. Кинетика испарительного охлаждения криогенных жидкостей в вертикальных цилиндрических резервуарах [Текст] / М. И. Слюсарев, В. И. Ряжских, А.
А. Богер, М. В. Поздняков // Тепловые процессы в технике. - 2010. - № 3. - С. 110-114.
7. К формулированию граничных условий на смоченной поверхности вертикального цилиндрического резервуара при скоростном испарительном охлаждении криогенных жидкостей [Текст] / М. И. Слюсарев, В. И. Ряжских, А. А. Богер, М. В. Поздняков // Тепловые процессы в технике. - 2010. - № 2. - С. 75-79.
8. Нестационарная гидротермическая структура кондуктивно-ламинарной термоконвекции в плоском вертикальном канале при постоянной плотности теплового потока на стенках [Текст] / М. И. Слюсарев, В. И. Ряжских, А. А. Богер, М. В. Поздняков // Вестник ВГТА. - 2010. - Т. 1, № 1. - С. 63-68.
9. Об одном точном решении задачи свободной конвекции в прямоугольной области [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, М. В. Поздняков // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - Т. 16, вып. 6. - С. 1116-1117.
10. Свободно-конвективный перенос ньютоновской среды у вертикальной границы с заданным законом изменения ее температуры [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, М. В. Поздняков // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - Т. 16, вып. 3. - С. 559-560.
11. Теплоотдача от изотермических вертикальных стенок при свободной конвекции в замкнутой прямоугольной полости [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, С. В. Рябов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15, вып. 5. - С. 920-921.
12. Об одном аналитическом решении предельной внутренней задачи ламинарной свободной конвекции в прямоугольной области [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, С. В. Рябов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15, вып. 1. - С. 166.
13. Влияние аппроксимации граничных условий на результаты вычислительного эксперимента термоконвекции в полости квадратного сечения [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, С. В. Рябов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15, вып. 1. - С. 165.
14. Ряжских, В. И. Нестационарное температурное поле в цилиндре при неоднородных граничных условиях первого рода [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2007. - Т. 14, вып. 2. - С. 343-344.
15. Conductive regime of free convection in a bounded cylinder at second-kind boundary conditions [Text] / V. I. Ryazhskikh, M. I. Slyusarev, A. A. Boger, D. V. Pshenichnii // Journal of Engineering Thermophysics. - 2007. - Vol. 16, N 1. - P. 36-39.
16. Растворение осадка отверженного азота в жидком водороде [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, Д. В. Пшеничный // Изв. вузов.
Химия и химическая технология. - 2007. - Т. 50, вып. 1. - С. 96-99.
17. Ряжских, В. И. Кондуктивный режим свободной конвекции в ограниченном цилиндре при граничных условиях первого рода [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, Д. В. Пшеничный // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т. 12, вып. 4. - С. 1075.
18. Ряжских, В. И. Температурное поле приповерхностного слоя жидкости при сбросе избыточного давления из парового пространства резервуара [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т. 13, вып. 2. - С. 351.
19. Ряжских, В. И. Оценка толщины осадка малоконцентрированных стоксовских частиц на боковой поверхности цилиндрического вертикального резервуара [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер // Изв. вузов. Химия и химическая технология. - 2004. - Т. 47, вып. 10. - С. 145-147.
20. Ряжских, В. И. Определение границы между восходящими и нисходящими потоками жидкости в задаче о ламинарной свободной конвекции в сфере [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, В. А. Зайцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т.11, вып. 4. - С. 917-918.
21. Слюсарев, М. И. Термоконвекция в сферическом объеме при малых числах Жуковского [Текст] / М. И. Слюсарев, В. И. Ряжских, В. А. Зайцев // Вестник ВГТУ. - 2005. - Т. 1, № 6. - С. 92-100.
22. Ряжских, В. И. Анализ свободной термоконвекции в сферических резервуарах при граничных условиях второго рода [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, В. А. Зайцев // Вестник ВГТУ. - 2004. - Вып. 7.4. - С. 5-10.
23. Синтез математической модели естественной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в сферической емкости [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, В. А. Зайцев // Вестник ВГТУ. - 2003. - Вып. 7.3. - С. 14-17.
24. Вычислительный эксперимент по идентификации основных параметров теплообмена при хранении жидкого водорода [Текст] / В. И. Ряжских, А. А. Богер, М. И. Слюсарев, В. А. Зайцев // Вестник ВГТУ. - 2003. - Вып. 7.3. - С. 82-86.
статьи и материалы конференций 25. Calculation of a conductive-laminar thermo-convection regime of a Newtonian fluid in a rectangular cavity with isothermal vertical boundaries [Text] / A. A. Boger, S. V. Ryabov, V. I. Ryazhskikh, M. I. Slyusarev // Fluid Dynamics. - 2010. - V. 45, - N 3. - P. 355-358.
26. Чертов, Е. Д. Стационарная кондуктивно-ламинарная термоконвекция в прямоугольной области [Текст] / Е. Д. Чертов, М. И. Слюсарев, М. В. Поздняков // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы Понтрягинские чтения - XXI. - Воронеж:
ВГУ, 2010. - С. 275-276.
27. Dynamics of laminar free-convective flow of a newtonian fluid between vertical plane isothermal walls [Text] / V. I. Rjazhskih, M. I. Sljusarev, A. A. Boger, S. V. Rjabov / Journal of Engineering Physics and Thermophysics. - 2009. - V. 82, N 6. - P. 1163-1170.
28. Идентификация основных характеристик термоконвекции вязкой несжимаемой жидкости в области квадратного сечения [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, С. В. Рябов // Информационный бюллетень Алгоритмы и программы. - 2009. - № 2. - Рег. номер 50200702096.
29. Нестационарное гидротермическое поле ньютоновской жидкости в полуограниченной области при конечном импульсном скачке температуры на границе [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, С. В. Рябов // Актуальные проблемы математики и информатики. - 2008. - Вып. 3. - С. 51-55.
30. Нестационарное температурное поле ограниченного цилиндра при граничных условиях первого рода [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, Е. А. Соболева // Вестник ВГТА. - 2008. - № 2. - С. 79-81.
31. Ряжских, В. И. Теплообмен при хранении жидкого водорода в наземных криогенных резервуарах [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер // Альтернативная энергетика и экология. - 2007. - № 5. - С. 14-19.
32. Оценка температуры стенки внутреннего сосуда криогенного вертикального цилиндрического резервуара при скоростном испарительном охлаждении газов [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, Д. В. Пшеничный // Вестник ВГТУ. - 2006. - Т. 2, № 6. - С. 4-7.
33. Ряжских, В. И. Прогнозирование времени бездренажного хранения криогенных жидкостей [Текст] / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, В. А. Зайцев // Вестник ТГТУ. - 2006. - Т. 12, № 1 А. - С. 70-75.
34. Laminar thermoconvection of Newtonian fluid in the infinite vertical flat channel with isothermal walls. [Text] / V. I. Rjazhskih, M. I. Sljusarev, A. A. Boger, S. V. Rjabov // Abstract of the Reports and communications. VI Minsk International Heat and Mass Transfer forum. 19-23 May. - Minsk, 2008. - V. 1. - P. 151-152.
35. Ryazhskih, V. I. Sedimentation of diluted suspensions in the closed volumes in conditions of a free convection [Text] / V. I. Ryazhskih, M. I. Slioussarev, A. A. Boger // International Conference "Advanced Problems in Thermal Convection". - Perm. - Russia, 2003. - P. 84-86.