Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям
На правах рукописи
ШЕФОВА Наталья Александровна
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ КВАЗИЭФФЕКТИВНЫХ ПОРТФЕЛЕЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ КОМБИНИРОВАННОГО ТИПА
Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Тверь - 2012
Работа выполнена на кафедре информационных технологий факультета прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета.
Научный руководитель - | доктор физико-математических наук, профессор Язенин А.В. |
Официальные оппоненты - | доктор технических наук, кандидат физико-математических наук, профессор Рыжов А.П. доктор физико-математических наук, доцент Соломаха Г.М. |
Ведущая организация - | Вычислительный центр им. А.А.Дородни-цына Российской академии наук. |
Защита состоится л16 ноября 2012 года в 14:00 на заседании диссертационного совета Д212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: 170100, г. Тверь, Садовый переулок, 35, ауд.200.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170100, г. Тверь, ул. Володарского, 44а.
Объявление о защите диссертации и автореферат опубликованы __ _______2012 года на официальном сайте Тверского государственного университета по адресу:
Автореферат разослан __ ___________2012 года.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Общая характеристика работы
Актуальность темы. На фоне стремительного развития экономики и постоянно повышающегося интереса к фондовому рынку особую актуальность приобрела проблема оптимизации фондовых портфелей и прогнозирования фондовых индексов. В условиях участившихся кризисов, принесших за последние два десятилетия миллиарды убытков инвесторам по всему миру, появилась необходимость в ревизии существующих методов фондового менеджмента и последующей модернизации моделей и методов портфельной оптимизации.
Задача выбора оптимальной структуры портфеля ценных бумаг была впервые комплексно изучена Г. Марковицем в 1952 году. Предложенная им методика и модель портфельной оптимизации, основанные на понятии ожидаемой доходности и риска ценных бумаг, стала ядром исследований и основой развития современной теории принятия инвестиционных решений.
Однако на фондовый рынок оказывает влияние не только внешняя среда, но и экспертные прогнозы, что совместно с ограниченной способностью инвестора распознавать и прогнозировать состояния фондового рынка, порождает фактор субъективной неопределенности. В результате рыночная неопределенность не обладает только классически понимаемой стохастической природой и носит комбинированный (гибридный) характер, а это ставит под сомнение возможность применения чисто классических методов теории вероятностей при построении инвестиционного портфеля.
В итоге, инвестор, отказываясь от классического вероятностного подхода, вынужден применять для анализа и прогнозирования состояния рыночной среды экспертные, минимаксные и другие детерминистские подходы, которые не в состоянии учитывать неопределенность фондовых рынков надлежащим образом.
Использование достижений теории нечетких множеств и теории возможностей в экономических исследованиях открыло новые горизонты для развития моделей и методов оптимизации инвестиционных портфелей ценных бумаг и прогнозирования фондовых индексов. Это позволяет более адекватно учитывать при моделировании неопределенности присущие знаниям эксперта проблемы и строить множества квазиэффективных (эффективных с заданной возможностью/необходимостью и вероятностью) оценок инвестиционных возможностей.
Для широкого применения данного подхода необходимо дальнейшее развитие моделей, позволяющих комбинированный (гибридный) типы неопределенности, обоснование соответствующих принципов принятия решений и методов оптимизации. Более того, на сегодняшний день существует необходимость создания соответствующего программного обеспечения.
Ввиду этого диссертационная работа, направленная на решение описанной проблемы является актуальной.
Цель работы. Исследование и развитие математического аппарата обработки нечеткой случайной информации в контексте портфельной теории, разработка моделей и методов возможностно-вероятностной оптимизации, ориентированных на поддержку принятия инвестиционных решений в условиях неопределенности комбинированного (гибридного) типа.
Основные задачи. Для достижения целей диссертационной работы решаются следующие задачи:
- разработка исчисления характеристик нечетких случайных величин с учетом сдвиг-масштабной экспликации неопределенности комбинированного типа;
- теоретическое обоснование и построение обобщённых возможностно-вероятностных моделей портфеля минимального риска при ограничении по возможности и вероятности на уровень ожидаемой доходности;
- разработка непрямых методов решения сформулированных задач возможностно-вероятностной оптимизации;
- исследование влияния взаимосвязи между нечеткими случайными переменными на степень диверсификации портфеля;
- обоснование влияния уровня возможности и вероятности на множество инвестиционных возможностей участников рынка;
- разработка архитектуры и реализация программного комплекса поддержки принятия решений для задач портфельной оптимизации в рамках возможностно-вероятностного подхода.
Методы исследований. Для формализованного описания проблемы принятия решений в нечеткой случайной среде используется математический аппарат современной теории возможностей, нечеткой случайной переменной и теории вероятностей. Построение эквивалентных детерминированных аналогов поставленных задач базируется на методах возможностной оптимизации, математического программирования, математического и функционального анализа. Методологическую основу исследования составляют современная портфельная теория и базовые принципы принятия инвестиционных решений. Разработка программного комплекса выполнена на языке высокого уровня Borland Delphi.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми:
- получены формулы для исчисления характеристик нечетких случайных величин с учетом разделения нечеткого и случайного факторов, что позволяет расширить круг исследуемых задач и учитывать влияние гибридной неопределенности на множество инвестиционных возможностей;
- построена модель портфеля минимального риска в нечёткой случайной среде при ограничении по возможности и вероятности на уровень доходности;
- разработан непрямой метод решения задач портфельной оптимизации, позволяющий получить эквивалентные детерминированные аналоги задач в возможностно-вероятностном контексте;
- исследовано влияния взаимосвязи между нечеткими случайными переменными на степень диверсификации портфеля;
- обосновано влияние уровней возможности и вероятности на множество инвестиционных возможностей участников рынка.
Теоретическая и практическая значимость. Разработанные в диссертации модели принятия инвестиционных решений в условиях неопределенности комбинированного типа дополняют современную теорию портфельного анализа. Представленное в работе исследование влияния параметров модели на множество инвестиционных возможностей позволяет проводить сравнительное изучение разработанных моделей и методов принятия решений при различных уровнях возможности и вероятности. Полученные в работе методы могут быть использованы для линтеллектуального анализа фондовых индексов. Разработанная на базе диссертационного исследования система поддержки принятия решений может быть применена для практического решения задач портфельного анализа в режиме реального времени.
Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты:
- исчисление нечетких случайных величин, ориентированное на решение задач портфельного анализа;
- математическая модель портфеля минимального риска в условиях гибридной неопределенности;
- непрямой метод решения портфеля минимального риска в условиях гибридной неопределенности;
- исследование возможностей диверсификации портфеля в условиях нечетких случайных данных на примере двумерного портфеля;
- исследование инвестиционных возможностей и поведения критериев оценки портфеля в зависимости от уровня возможности и вероятности;
- программный комплекс поддержки моделей и методов портфельного анализа.
Внедрение результатов работы. Проведенные научные исследования поддержаны грантом РФФИ: проект №10-01-00052a Модели и методы оптимизации и принятия решений при гибридной неопределенности и проектом №01201168129 Разработка математических моделей и методов возможностно-вероятностного программирования и их реализация в прикладных программных системах. Результаты диссертации внедрены в учебный процесс на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета. Кроме того, с целью овладения практическими навыками анализа и оценки информации в условиях неопределенности комбинированного типа на базе теоретических знаний, получаемых в рамках курсов Теория неопределенностей и Неклассические логики разработаны Методические рекомендации по использованию программного комплекса поддержки моделей и методов принятия инвестиционных решений в условиях гибридной неопределенности.
Апробация работы. Основные результаты исследования были представлены на 17-м Международном коллоквиуме (Zittau East-West Fuzzy Colloquium 2010, Циттау, Германия), конференции с международным участием для молодых ученых Математика, информатика, их приложения и роль в образовании (Тверь, 2010), международной научно-практической конференции Факторы развития экономики России (Тверь, 2011), а также на семинарах в Тверском государственном университете.
Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах, приведенных в конце автореферата, две из которых опубликованы в журналах, рекомендуемых ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и изложена на 159 страницах. Список литературы содержит 114 наименований, включая работы автора.
Содержание работы. Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи исследования, проводится обзор литературы и осуществляется краткое изложение основных положений и результатов диссертационной работы.
В первой главе подготавливается и систематизируется необходимый математический аппарат теории возможностей, формулируются базовые определения и теоремы, составляющие теоретическую основу дальнейших исследований.
В разделе 1.1 вводятся понятия нечетких величин, проводится обзор методов агрегирования и обработки нечеткой информации, описываются наиболее значимые для практических исследований классы параметризованных распределений.
Рассмотрим основные понятия, которые потребуются нам в дальнейшем.
Пусть есть возможностное пространство. Здесь - множество всех подмножеств , - возможностная мера, - двойственная ей мера необходимости, - числовая прямая.
Определение 1.5. Возможностной (нечеткой) величиной (переменной) называется отображение . Распределение возможных значений величины описывается функцией , определяемой по правилу
,
где есть возможность того, что нечеткая величина может принять значение .
Возможностная величина называется выпуклой, если ее распределение является квазивогнутым, то есть для любых , мы имеем .
Приведем понятие минисвязанных возможностных величин.
Функция распределения совокупности возможностных величин определяется следующим образом:
,
где - -мерное евклидово пространство.
Определение 1.9. Возможностные величины называются взаимно минисвязанными, если для любого подмножества множества
.
Здесь есть одномерные функции распределения возможностей.
Следующая теорема определяет бинарные операции над минисвязанными возможностными величинами.
Теорема 1.3. Пусть есть множество арифметических операций , , - минисвязанные возможностные величины, определенные на возможностном пространстве , тогда возможностная величина , где , определяется функцией распределения , где , есть соответственно взятие минимума и максимума на отрезке .
Для работы с нечеткой информацией важным является понятие -уровневого множества возможностной величины.
Определение 1.10. Множеством -уровня возможностной величины называется множество .
На практике для моделирования нечетких величин, как правило, используются распределения - типа
Определение 1.15. Нечеткая величина называется величиной - типа, если ее распределение имеет вид:
Здесь , имеют смысл границ интервала толерантности нечеткой величины , а , есть левый и правый коэффициенты нечеткости соответственно. Тогда нечеткая величина может быть обозначена следующим образом .
В разделе 1.2 приводится понятие нечеткой случайной величины, описываются основные свойства и характеристики нечетких случайных величин.
Пусть есть вероятностное пространство.
Определение 1.16. Нечеткая случайная величина (переменная) есть вещественная функция , такая, что при любом фиксированном , величина является случайной величиной, определенной на .
Распределение нечеткой случайной величины можно рассматривать также, как и в случае нечеткой величины, а именно:
.
Определение 1.17. - уровневым множеством нечеткой случайной величины при фиксированном называется множество
.
При этом границы определенного Цуровневого множества являются случайными величинами: , .
Определение 1.18. Математическое ожидание нечеткой случайной величины есть нечеткая величина, такая что
.
Определение 1.19. Ковариация нечетких случайных величин и определяется следующим образом:
.
Определение 1.20. Дисперсия нечеткой случайной величины определяется следующим образом: .
При практической работе с нечеткими случайными величинами ключевой задачей является экспликация комбинированного вида неопределенности, а именно, выделение нечеткой и случайной составляющей рассматриваемой величины. В разделе 1.3 проводится исследование модели нечеткой случайной величины, имеющей сдвиг-масштабное представление, разрабатываются формулы для оценки основных характеристик нечетких случайных величин с учетом разделения нечеткой и случайностной составляющей, осуществляется конкретизация формул для триангулярного класса возможностных распределений. Получены следующие результаты.
емма 1.4. Пусть , где , - случайные величины с математическими ожиданиями , и дисперсиями , соответственно, и являются некоррелированными случайными величинами, - нечеткая величина. Тогда является нечеткой случайной величиной и имеет матема-тическое ожидание и дисперсию с возможностью .
емма 1.5. Пусть , где , - случайные величины с математическими ожиданиями , и дисперсиями , соответственно, , , - минисвязанные нечеткие величины. Тогда ковариация случайных величин и с возможностью исчисляется по формуле:
емма 1.7. Пусть , где , - случайные величины, имеющие конечные моменты первого и второго порядка, , . Тогда ковариация нечетких случайных величин и определяется по формуле:
В разделе 1.4 приводятся формулы для расчета моментов первого и второго порядка взвешенной суммы нечетких случайных величин, доказываются леммы, определяющие свойства числовых характеристик нечетких случайных величин.
емма 1.9. Пусть , где , - случайные величины, имеющие конечные моменты второго порядка и математические ожидания , , - взаимно минисвязанные нечеткие величины, , . Тогда с возможностью дисперсия взвешенной суммы нечетких случайных величин исчисляется по формуле:
,
емма 1.10. Функция является выпуклой функцией относительно переменных .
емма 1.11. Функция является выпуклой функцией относительно переменных .
Вторая глава диссертации посвящена исследованию двумерной модели портфеля минимального риска в условиях гибридной неопределенности.
В разделах 2.1, 2.2 приводится комплексный анализ классической двумерной модели портфеля ценных бумаг. Полученный анализ дополнен исследованием величины раствора параболы в зависимости от значений коэффициента корреляции.
В разделе 2.3 проведено обобщение двумерного портфеля ценных бумаг на случай нечетких случайных данных при ограничении по возможности на уровень доходности, построена соответствующая модель портфеля.
Формируемый инвестором портфель описывается парой: ,
где - веса финансовых активов в портфеле ценных бумаг, для которых выполняется основное ограничение .
Пусть доходности финансовых активов моделируются нечеткими случайными величинами, имеющими сдвиг-масштабное представление: , где , , - есть класс нормальных вероятностных распределений, - нечеткая величина, .
Тогда характеристики двумерного портфеля являются нечеткими случайными величинами и могут быть представлены следующим образом:
ожидаемая доходность портфеля:
, где ;
риск портфеля:
,
Исследование модели проводится для случая, когда нечеткие факторы имеют нормированное симметричное триангулярное распределение, т.е. .
Двумерная модель портфеля ценных бумаг исследуется при ограничении по возможности на уровень ожидаемой доходности:
В данной модели, - заданный уровень возможности, , - уровень доходности, приемлемый для инвестора (в общем случае параметр может быть нечёткой случайной величиной).
Эквивалентный детерминированный аналог системы (1) имеет вид:
где есть границы - уровневых множеств соответствующих нечетких случайных величин, моделирующих ожидаемую доходность i-го финансового актива .
В разделе 2.4 на уровне эквивалентного детерминированного аналога проведено исследование влияния коэффициентов корреляции на множество инвестиционных возможностей в случае двумерной возможностно-необходимостной модели портфеля ценных бумаг; реализовано графическое представление результатов исследований.
Для исследования влияния коэффициентов корреляции на множество инвестиционных возможностей предлагается следующая схема:
- определяется траектория движения вершины параболы в зависимости от значений коэффициентов корреляции и проводится её исследование;
- определяется раствор параболы в зависимости от коэффициентов корреляции.
В итоге получено два множества граничных парабол и , где и - есть -уровневые дисперсии. На рисунке, приведенном ниже (рис. 2.12), представлены граничные множества инвестиционных возможностей для модели по Блеху, соответствующие значениям корреляции .
Рис. 2.12. Граничные параболы множества инвестиционных возможностей для модели по Блеху при .
При рассмотрении квазиэффективных решений принимаем во внимание только правые ветви парабол. С возможностью получаем коридор, который представляет множество квазиэффективных оценок инвестора. Вершины парабол, лежащие внутри полученного коридора, в зависимости от значений коэффициентов корреляции, перемещаются по гиперболе. При приходим, фактически, к классической модели портфельного анализа.
Для модели Марковица критериальные множества граничных кривых на плоскости , соответствующие значениям представляют собой части парабол. Полученные множества квазиэффективных оценок представлены на рисунке 2.13.
Рис. 2.13. Множество квазиэффективных инвестиционных возможностей
для модели по Марковицу при .
Таким образом, при крайних значениях коэффициентов корреляции инвестор может полностью элиминировать риск. Однако, если мы рассматриваем коэффициенты корреляции равные 1, элиминирование риска возможно только при разрешенных коротких продажах ценных бумаг. В случае, когда коэффициенты корреляции равны -1, инвестор может элиминировать риск как на коротких, так и на длинных позициях, что согласуется с результатами классической теории портфельного анализа.
В разделе 2.5 продемонстрировано влияние коэффициентов корреляции на множество решений инвестора для конкретных числовых данных: акции компаний Газпром и Норильский Никель. Осуществлена графическая визуализация полученных результатов.
Третья глава диссертации посвящена комплексному исследованию портфеля минимального риска в условиях неопределенности комбинированного типа.
В разделе 3.1 анализируется многомерный портфель ценных бумаг при ограничении по возможности на уровень ожидаемой доходности. В этом случае доходности финансовых активов моделируются нечеткими случайными величинами.
В разделе 3.2 проведен обзор существующих моделей и методов возможностной оптимизации, ориентированных на решение этой задачи при ограничении по возможности/необходимости на уровень ожидаемой доходности.
Модель портфеля минимального риска в нечёткой случайной среде при ограничении по возможности (необходимости) на уровень ожидаемой доходности может быть записана в следующей форме:
В данной модели , есть четкое бинарное отношение: .
Раздел 3.3 посвящен обобщению рассмотренной модели. В нём вводится модель портфеля минимального риска в нечёткой случайной среде при ограничении по возможности и вероятности на уровень доходности и предлагается метод решения сформулированной задачи, который основан на построении эквивалентных детерминированных аналогов.
Модель портфеля минимального риска в условиях нечётких случайных данных при ограничении по возможности (необходимости) / вероятности на уровень доходности, приемлемый для инвестора, имеет вид:
Здесь - заданный уровень вероятности, .
При сделанных ранее предположениях относительно элементов задачи в диссертационной работе доказана следующая теорема.
Теорема 3.4. Пусть в модели (3), . Тогда (3) имеет эквивалентный детерминированный аналог:
где есть решение уравнения , - функция стандартного нормального распределения.
Здесь и - есть правые границы ожидаемой доходности и дисперсии портфеля при уровне возможности , определяемые по формулам:
,
,
есть левые и правые границы - уровневых множеств соответствующих нечетких величин .
В разделе 3.3 также исследуется модель портфеля минимального риска в условиях неопределенности комбинированного (гибридного) типа при ограничении по Блеху:
Для модели (5) доказана следующая теорема.
Теорема 3.6. Пусть и есть решения задачи (5) (, ) при и соответственно, причем . Тогда функция является неубывающей по параметру и .
В разделе 3.4 проведено исследование влияния уровня вероятности на множество инвестиционных возможностей для возможностно-вероятностной модели при уровне возможности .
Обозначим через множество решений задачи (5) для отношения типа и уровня возможности .
При сделанных предположениях и обозначениях в диссертационной работе доказана теорема.
Теорема 3.7. Пусть . Тогда .
Раздел 3.5 посвящен исследованию влияния уровня возможности на множество допустимых и квазиэффективных решений для возможностной модели портфеля минимального риска.
Рассматривается возможностная модель портфеля минимального риска при ограничении по Блеху. Множество допустимых и квазиэффективных решений рассматриваемой задачи обозначим через . При сделанных предположениях и обозначениях в диссертационной работе доказана теорема.
Теорема 3.8. Пусть , тогда .
Таким образом, при увеличении уровня возможности вершины парабол, ограничивающие инвестиционные возможности, смещаются влево, а сами параболы сближаются, то есть коридор, представляющий множество квазиэффективных оценок портфеля сужается. Результат исследований в пространстве представлен на рисунке 3.4.
Рис. 3.4. Инвестиционные возможности в контексте возможность/необходимость при уровне возможности .
Четвертая глава посвящена созданию программного комплекса поддержки принятия инвестиционных решений на основе разработанных в диссертации методов портфельного анализа в условиях гибридной неопределенности.
В разделе 4.1 представлены цели разработки программного комплекса и его общее описание, обоснована актуальность его разработки. Целью разработки было создание программного комплекса поддержки принятия инвестиционных решений, позволяющего проводить оперативную интеллектуальную обработку ретро-данных о продажах активов, строить модели принятия решений в условиях гибридной неопределённости и получать объективную информацию о множестве инвестиционных возможностей и множестве эффективных портфелей, обеспечивающих минимальный риск при различных уровнях доходности инвестиционного портфеля.
В разделе 4.2 приводится структура программного комплекса, подробно описываются общие схемы работы каждого из модулей программного комплекса.
Структура разработанного программного комплекса поддержки принятия решений представлена на рисунке 4.1.
Рис. 4.1. Структура программного комплекса поддержки принятия решений в условиях гибридной неопределенности.
Функциональные возможности программного комплекса продемонстрированы на базе реальной текущей информации о ценах финансовых инструментов на фондовом рынке в разделе 4.3. В рамках данного раздела осуществлено тестирование и проверка работоспособности программного комплекса путем сравнения результатов расчетов, проведенных аналитически с последующим применением системы Maple и результатов, полученных с использованием разработанной компьютерной модели.
В разделе 4.4 приводятся результаты решения модельного примера, полученные с использованием разработанного программного комплекса.
Предполагается, что инвестор может вкладывать деньги в ценные бумаги следующих трех компаний: ОАО Автоваз, ОАО Газпром и ОАО Мосэнерго.
Для построения множества квазиэффективных оценок портфелей решается соответствующая задача возможностно-вероятностной оптимизации со следующими параметрами:
уровень возможности ;
уровень вероятности .
На рынке разрешены короткие продажи (т.е. исследуется модель ограничений по Блеху).
Процесс решения данной задачи представлен на рисунках 4.18-4.21.
Рис. 4.18. Ввод исходных данных
Рис. 4.19. Результаты интеллектуальной обработки данных
Рис. 4.20. Результаты оценки параметров возможностно-вероятностной модели портфеля минимального риска.
Рис. 4.21. Множество квазиэффективных инвестиционных возможностей
Основные результаты. В ходе решения поставленных в диссертационной работе задач были достигнуты следующие результаты:
- разработано исчисление характеристик нечетких случайных величин с учетом сдвиг-масштабной экспликации неопределенности комбинированного типа;
- построена обобщённая возможностно-вероятностная модель портфеля минимального риска в условиях гибридной неопределенности при ограничении по возможности/необходимости и вероятности на уровень доходности;
- установлена взаимосвязь полученной модели с моделью портфеля минимального риска при ограничении по возможности/необходимости на уровень ожидаемой доходности;
- разработан непрямой метод решения задачи возможностно-вероятностной оптимизации, основанный на построении эквивалентных детерминированных аналогов;
- проведено комплексное исследование возможностно-вероятностной модели портфеля минимального риска на уровне эквивалентного детерминированного аналога для различных значений уровней возможности, вероятности и коэффициентов корреляции;
- реализован программный комплекс поддержки принятия решений, основанный на разработанных методах портфельного анализа в условиях гибридной неопределенности, который является практическим инструментом инвестора при оценке эффективности портфелей ценных бумаг.
Результаты диссертационной работы позволяют не только расширить теоретическую базу оснований теории возможностей, портфельного анализа и непрямых методов решения оптимизационных задач в условиях неопределенности гибридного типа, но также предоставляют инструментарий для исследования практических задач, решаемых в рамках возможностно-вероятностного программирования.
Публикации автора по теме диссертации в изданиях, рекомендованных ВАК
- Язенин А.В., Шефова Н.А. Об одной возможностно-вероятностной модели портфеля минимального риска // Вестник Тверского государственного университета, cерия Прикладная математика. - Тверь, №14, выпуск 2 (17), 2010, с. 85 - 95.
- Шефова Н.А., Язенин А.В. Модель портфеля минимального риска в условиях неопределенности комбинированного типа // Вестник Тверского государственного университета, серия Прикладная математика. - Тверь, №8, выпуск 1 (20), 2011, с. 89 Ц103.
Прочие публикации автора по теме диссертации
- A.Yazenin, N. Shefova, M.Wagenknecht. Possibilistic-Probablistic Models of Minimal Risk Portfolio: Comparison Study // Proceedings of 17th Zittau Fuzzy Colloquium. - Germany, 2010, pp. 155-164.
- Шефова Н.А., Язенин А.В. Оптимизация инвестиционного портфеля в нечеткой случайной среде // Математика, информатика, их приложения и роль в образовании: Материалы Второй Российской школы-конференции с международным участием для молодых учёных: статьи, обзоры, тезисы докладов. - Тверь: Твер.гос.ун-т, 2010, с. 333-339.
- Шефова Н.А. Исследование портфеля ценных бумаг в условиях неопределенности комбинированного типа. Факторы развития экономики России: Материалы Международной научно-практической конференции, 20-21 апреля 2011года. г.Тверь. - Тверь: Твер.гос.ун-т, 2011, с.145-147.
- Шефова Н.А., Язенин А.В. Исследование двумерной модели портфеля ценных бумаг в условиях гибридной неопределенности // Нечеткие системы и мягкие вычисления. - Тверь: ТвГУ, 2011, том 6, №2, 2011, с. 123-143.
- Шефова Н.А. Программный комплекс поддержки моделей и методов принятия инвестиционных решений в условиях гибридной неопределенности. - Методические рекомендации для студентов факультета прикладной математики и кибернетики. - Тверь: ТвГУ, 2012, 24 с.
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям