Geum.ru
Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по техническим специальностям  

На правах рукописи

Мамонов Сергей Станиславович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Тула 2011

Работа выполнена в Рязанском государственном университете

имени С.А. Есенина

Официальные оппоненты:  доктор физико-математических наук, профессор 

Буркин Игорь Михайлович;

доктор физико-математических наук, профессор

Матросов Валерий Владимирович;

доктор технических наук, профессор

Баркин Александр Иванович

Ведущая организация:  Санкт-Петербургский государственный

университет

  Защита состоится  л01 марта 2011 года в л14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.05 при ГОУ ВПО Тульский государственный университет (300600, г. Тула, проспект им. Ленина, 92, 9-101).

  С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан  л 12 января  2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета 

  В.М. Панарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Система фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) наряду с основным свойством автоподстройки является системой с многофункциональными возможностями и используется для частотной модуляции и демодуляции, частотной фильтрации, умножения и преобразования частоты и др. Проблемы динамики таких систем до сих пор остаются в числе актуальных задач радиофизики и теоретической радиотехники. Наряду с многочисленными работами, посвященными исследованиям  систем ФАПЧ, направленными  на изучение синхронного режима (точность синхронизации, области захвата в синхронный режим, время вхождения системы ФАПЧ в режим синхронизации, использование ФАПЧ как генератора модулированных колебаний), делает  актуальной задачу исследования свойств асинхронных режимов и их устойчивости по отношению к вариации параметров системы.

Вопросам динамики систем фазовой автоподстройки частоты посвящено значительное число исследований. Наиболее известными в этой области  являются работы Л.Н. Белюстиной, В.Н. Белых, И.М. Буркина, Э.Д. Витерби, Г.А. Леонова, А.А. Ляховкина, В.В. Матросова,  В.Д. Шалфеева, В.В. Шахгиль-дяна и др.

Особенность модели ФАПЧ состоит в том, что она принадлежит к классу динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством, которые характеризуются большим разнообразием стационарных движений. Анализ нелинейных моделей ФАПЧ,  наряду с техническим приложением, представляет самостоятельный математический интерес. Различные виды структурных  элементов реальных систем ФАПЧ определяют совокупность математических моделей, являющихся  в пространстве состояний многомерными системами дифференциальных уравнений.  Поэтому актуальной для таких моделей является проблема определения оптимальной математической модели и развитие математических методов. Актуальность задачи нелинейной динамики рассматриваемых систем синхронизации связана также с их широким распространением в современной радиотехнике и с тем, что они  являются математическими моделями,  встречающимися  в механике, энергетике, биофизике, экономике.

Цель работы состоит в разработке новых методов, алгоритмов  и комплексов программ для исследования математических моделей радиотехнических систем: в создании методов и алгоритмов нахождения предельных циклов, в определении их числа и их устойчивости, методов исследования глобальной устойчивости систем, в определении областей притяжения состояний равновесия систем, в разработке новых методов решения матричных уравнений и систем матричных уравнений.

Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:

1. Разработан метод и алгоритм определения как устойчивых, так и седловых предельных циклов второго рода для многомерных моделей систем ФАПЧ. Алгоритм реализован в виде комплекса программ.

2. Разработаны методы  нахождения областей притяжения для состояний равновесия модели системы ФАПЧ.

3. Предложены новые методы для определения условий глобальной асимп-тотической устойчивости математической модели  системы ФАПЧ.

4. Получены методы нахождения решений матричных уравнений.

5. Разработаны алгоритмы и комплексы программ для нахождения нескольких предельных циклов второго рода для  многомерных  моделей систем частотно-фазовой автоподстройки частоты (ЧФАПЧ).

6.  Получены методы определения  глобальной асимптотической устойчивости многомерных моделей систем ЧФАПЧ.

7. Разработаны методы анализа влияния различных характеристик частотного детектора на динамику модели  ЧФАПЧ.

Методы исследования. В работе используются методы качественной  теории динамических систем, второй метод Ляпунова, метод интегральных многообразий, методы систем сравнения, метод нелокального сведения, методы функционального анализа, методы решения матричных уравнений.

Объектом исследования являются методы анализа математических моделей нелинейных радиотехнических систем в пространстве состояний.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, определяющие научную новизну:

1. Предложен метод для нахождения условий существования двух предельных циклов второго рода для многомерных математических моделей систем ФАПЧ, один их которых является устойчивым, а другой седловым. Наличие седлового предельного цикла позволяет выделить дополнительную область притяжения состояний равновесия.

2. Разработан численный метод определения седловых предельных циклов второго рода математических моделей систем ФАПЧ. Предложен алгоритм определения двух предельных циклов. Алгоритм реализован в виде комплекса программ.

3. Предложен метод нахождения решения матричного уравнения Ляпунова, основанный на использовании прямого произведения матриц, который позволяет применять полученное решение для нахождения решения системы матричных уравнений, удовлетворяющего заданным свойствам. Знание вида решения системы матричных уравнений дает возможность с помощью функций Ляпунова получить оценку области притяжения для состояний равновесия моделей систем ФАПЧ.

4. Исследованы математические модели систем ФАПЧ в случае фильтра нижних частот специального вида. Показано, что вопросы существования предельных циклов второго рода и глобальной асимптотической устойчивости многомерных систем сводятся к изучению систем дифференциальных уравнений второго порядка специального вида и нахождению условий разрешимости системы двух матричных уравнений, одно из которых нелинейное. Для многомерных моделей поисковых систем ФАПЧ разработаны численные методы и  алгоритмы определения двух седловых предельных циклов второго рода.

5. Разработан метод для нахождения условий существования предельных циклов второго рода для многомерных моделей систем ЧФАПЧ. Указаны условия существования трех предельных циклов второго рода, два из которых устойчивые, а один седловой. Предложен численный метод  и  алгоритм определения трех предельных циклов. Алгоритм реализован в виде комплекса программ.

6. Получены критерии глобальной асимптотической устойчивости многомерной модели системы ЧФАПЧ, основанные на изучении систем ЧФАПЧ второго порядка и нахождении условий для существования решений системы матричных уравнений. Показано, что найденные условия расширяют область значений параметров глобальной асимптотической устойчивости системы ЧФАПЧ. Установлено, что добавление частотного кольца увеличивает полосу захвата системы ФАПЧ.

7. Для математической модели системы ЧФАПЧ в случае фильтров нижних частот фазового и частотного кольца общего вида предложен метод определения условий существования предельных циклов и условий глобальной асимптотической устойчивости. Особенностью при изучении таких систем является то, что они сводятся к исследованию сложных систем второго порядка и нахождению решения системы матричных уравнений, одно из которых нелинейное.

8. Предложен метод для нахождения условий существования положительных и отрицательных предельных циклов второго рода для многомерной модели системы ЧФАПЧ с инвертированной нелинейной характеристикой частотного детектора. Показано, что использование инвертированной характеристики приводит к уменьшению полосы захвата. Приведены численные методы и алгоритмы определения четырех предельных циклов второго рода, что обусловливает  формирование на выходе управляемого генератора системы ЧФАПЧ различных частотно-модулированных сигналов.

Теоретическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, способствуют развитию методов исследования многомерных математических моделей систем ФАПЧ и систем ЧФАПЧ.

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при расчете систем фазовой и частотно-фазовой автоподстройки частоты, представляют интерес при изучении конкретных задач радиотехники, механики, биологии, химии, экономики, решение которых сводится к исследованию систем дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции Классические и не-классические краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, специальные функции, интегральные уравнения и их приложения (Куйбышев, 1987), Воронежской математической школе Понтрягинские чтения VII (Воронеж, 1996),  2-й, 8-й международных конференциях Дифференциальные уравнения и их приложения (Саранск, 1996, 2008), 3-й  Крымской международной математической школе Метод функций Ляпунова и его приложения (Симферополь, 1996), всероссийских конференциях Качественная теория дифференциальных уравнений и её приложения (Рязань, 2001, 2006), международных научных конференциях Современные проблемы математики, механики, информатики (Тула, 2004, 2007, 2008, 2009), 10-м международном семинаре Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (Москва, 2008), Международной конференции Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения (Тамбов, 2009), на 14-й научной конференции по радиофизике (Нижний Новгород, 2010), 11-й Международной конференции Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (Москва, 2010), на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (Москва, 1997), на семинаре Института математики АН Беларусь (Минск, 1998), на семинаре члена-корреспондента РАН В.А. Плисса (Санкт-Петербург, 1998), на семинаре члена-корреспон-дента РАН В.А. Якубовича (Санкт-Петербург, 1999), на семинаре Института системного анализа (Москва, 2000), на семинаре члена-корреспондента РАН Г.А. Леонова (Санкт-Петербург, 2008) на  рязанских городских семинарах по качественной теории дифференциальных уравнений под руководством профессора М.Т. Терёхина (1988Ц2010) .

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 45 статьях, в том числе в 10 статьях в изданиях, внесенных в список ВАК. Список основных публикаций по теме диссертации приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Диссертация занимает 414 страниц, 94 рисунка, приложение.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ведении обоснована актуальность выбранной темы  исследования, раскрываются научная новизна и значимость работы, сформулированы цели исследования, дан обзор литературы, приведены  результаты диссертации.

В первой главе рассматривается математическая модель системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ). В работах Н.С. Жилина, М.В. Капранова, В.Н. Кулешова, А.А. Ляховкина, Г.М., Уткина, В.Д. Шалфеева, В.В. Шахгильдяна, Б.И. Шахтарина  показано, что динамика системы ФАПЧ описывается дифференциальным уравнением

  , (1)

где текущая разность фаз сигналов подстраиваемого и эталонного гене-раторов, начальная расстройка частот,полоса удержания, оператор дифференцирования, -периодическая характеристика фазового детектора, операторный коэффициент передачи фильтра нижних частот.

Известно, что в случае дробно-рационального коэффициента передачи фильтра нижних частот , , уравнение (1) эквивалентно системе дифференциальных уравнений

  , , (2)

где постоянная матрица размерности , Т - знак транспонирования, , , -периодическая функция, имеющая нули на периоде. Система (2) имеет бесконечное число состояний равновесия и  определяет пространство состояний математической модели (1). Система ФАПЧ является системой с многофункциональными возможностями и используется для частотной модуляции и демодуляции, частотной фильтрации, умножения и преобразования частоты, выделения опорного колебания для когерентного детектирования и др. Система ФАПЧ может находиться в различных режимах, которым соответствуют математические модели, обладающие определенными свойствами. Для системы (2) используются следующие понятия.

Определение 1. Система (2) называется глобально асимптотически ус-тойчивой, если любая траектория при стремится к одному из состояний равновесия.

Определение 2. Решение системы (2) называется предельным циклом второго рода, если существуют такие и целое число , для которых  , .

Определение 3. Множество называется областью притяжения системы (2), если любое решение этой системы с начальными значениями из при стремится к одному из состояний равновесия.

Определение 4. Решение системы (2) называется круговым, если существуют такие числа и , что при всех справедливо неравенство .

Рабочим режимом системы ФАПЧ является режим синхронизации, при котором разность фаз эталонного и подстраиваемого генераторов стремится к постоянному значению, а частота управляемого генератора равна частоте эталонного сигнала, то есть стремится к нулю. В связи с этим возникает следующая задача: в пространстве параметров системы определить область глобальной асимптотической устойчивости системы (2). Нежелательным является асинхронный режим биений системы ФАПЧ, характерная особенность которого состоит в непрерывном нарастании разности фаз . Режим биения соответствует появлению у системы (2) круговых решений. Среди асинхронных режимов выделяют режим вращательных движений системы ФАПЧ, соответствующий предельному циклу второго рода. Вращательные движения  представляют интерес, так как они предшествуют режиму синхронизации и в этом случае систему ФАПЧ можно рассматривать как генератор модулированных колебаний. Наличие нескольких вращательных движений позволяет выделить в системе (2) область притяжения, определяющую начальные условия режимов синхронизации системы ФАПЧ. Для системы (2) формулируются следующие задачи: 1) найти условия существования предельных циклов второго рода, 2) найти условия существования нескольких предельных циклов второго рода и выяснить характер их устойчивости, 3) найти области притяжения системы (2), 4) найти условия глобальной асимптотической устойчивости.

Методам изучения систем вида (2) посвящены монографии Е.А. Барбашина, А.И. Баркина, Н.Н. Баутина, Л.Н. Белюстиной, В.Н. Белых, И.М. Буркина, А.Х. Гелига, Г.А. Леонова, Е.А. Леонтович, В.Б. Смирновой, В.А. Табуевой, Б.И. Шахтарина, А.И. Шепелявого,  В.А. Якубовича.

Система (2) при достаточно полно исследована в работах А.А. Андронова, А.А. Витта, С.Э. Хайкина, Н.Н. Баутина, Е.А. Леонтович, Е.А. Барбашина, В.А. Табуевой, Г.А. Леонова, В.Б. Смирновой, Ф. Трикоми, М.В. Капранова, В.Н. Белых, Л.Н. Белюстиной, Б.И. Шахтарина, В.И. Некоркина, В.Д. Шалфеева  и других авторов.

  В параграфе 1.2 диссертации рассмотрена математическая модель системы ФАПЧ с фильтром, где операторный коэффициент передачи фильтра нижних частот имеет первый порядок и система (2) является системой второго порядка, получены условия существования предельных циклов второго рода систем второго порядка, найдены границы изменения предельных циклов второго рода. Знание границ предельных циклов позволяет выявить признаки существования предельных циклов второго рода для многомерных систем (2), а использование метода сравнения для системы (2) второго порядка    условия существования двух предельных циклов второго рода, один из которых является неустойчивым. В случае неустойчивого предельного цикла второго рода для системы (2) выделена область притяжения состояний равновесия, что позволяет расширить область параметров системы (2), при которых система ФАПЧ имеет режим синхронизации. Полученные результаты были использованы для изучения системы (2) с функцией , .

В параграфе 1.3 рассматривается математическая модель системы ФАПЧ с фильтром нижних частот, где операторный коэффициент передачи имеет второй порядок и система (2) является математической моделью реальной системы ФАПЧ. Качественное исследование системы (2) размерности три и выше проводилось в работах Ю.Н. Бакаева, Е.А. Барбашина, В.Н. Белых, В.И. Некоркина, Л.Н. Белюстиной, Н.А. Губарь, Э.Д. Витерби, Б.И. Шахтарина, В.Д Шалфеева, В.В. Матросова. В монографиях А.Х. Гелига, Г.А. Леонова, В.А. Якубовича, И.М. Буркина, А.И. Шепелявого, В.Б. Смирновой  получены частотные условия глобальной асимптотической устойчивости и условия существования предельных циклов второго рода. В случае и различных видах функции система (2) качественно-численными методами детально исследована в работах В.В. Матросова. Тем не менее, открытыми остаются вопросы нахождения условий существования нескольких предельных циклов и определения областей притяжения системы (2), причем для системы (2) порядка выше второго могут появиться седловые предельные циклы второго рода. Трудности нахождения условий существования седловых циклов многомерных систем связаны с невозможностью применения теоремы  Брауэра. Для доказательства существования седловых циклов используется понятие вращения векторного поля. Наличие седловых предельных циклов второго рода позволяет выделить область притяжения состояний равновесия, определяющую для системы ФАПЧ условия режимов синхронизации. Для системы (2) получены результаты, представленные в теоремах 1,2. 

Теорема 1 (1.4).  Пусть для системы (2) выполнены условия:

1)

2) система уравнений

  , (3)

при , имеет предельный цикл второго рода , для любого  ;

  3) ;

  4) .

Тогда система (2) имеет предельный цикл второго рода.

Проверка  условий теоремы 1 сводится к нахождению значений как решения системы линейных уравнений и использования известных условий существования предельных циклов второго рода системы (3). Условия теоремы 1  не предусматривают проверки частотных условий. Доказательство теоремы 1 основано на  использовании линейных по координатам функций Ляпунова.

В параграфе 1.3 рассмотрена математическая модель системы ФАПЧ в случае дробно-рационального коэффициента передачи фильтра нижних частот и характеристике фазового детектора . Показано, что полученные условия теоремы 1 позволяют улучшить известные критерии существования предельных циклов второго рода.

Теорема 2 (1.6).  Пусть для системы (2)  выполнены  условия  теоремы 1 и справедливы утверждения:

  1) система уравнений (3) при , имеет  предельный  цикл второго рода , , для любого ;

  2) система уравнений (3) при  ,   имеет решение , определяющее функцию , для которой выполняются нера-венства: , при ;

  3) система уравнений (3) при   имеет решение , оп-ределяющее функцию , для которой выполняется неравенство при ;

  4) .

  Тогда система (2) имеет два предельных цикла второго рода, один из которых является седловым.

  Условия теорем 1, 2 определяют численный метод для нахождения седловых предельных циклов второго рода. В з1.3 предложен алгоритм определения двух предельных циклов системы (3). Алгоритм реализован в виде комплекса программ на базе системы Maple. Применение комплекса программ продемонстрировано в случае дробно-рационального коэффициента передачи фильтра нижних частот и характеристике фазового детектора . Для параметров коэффициента получены значения, при которых выполнены условия теоремы 2. Конструктивность теоремы 2 заключается в том, что она позволяет определить область фазового пространства системы (2), содержащую седловой предельный цикл второго рода. В диссертации приведены результаты численных экспериментов, подтверждающих,  что система (2) имеет седловой предельный цикл в области, определяемой теоремой 2.

  В з1.3 сформулированы теоремы, аналогичные теоремам 1, 2 для случая . Неравенство возможно, когда матрица системы (2) имеет комплексно-сопряженные собственные значения. В этом случае матрица , где единичная матрица, не может иметь ровно одно собственное значение с отрицательной вещественной частью, что является существенным для результатов, полученных на основе использования частотных критериев. Хотя для случая метод нелокального сведения Уне работаетФ, но, тем не менее,  для системы (2) получены условия существования двух предельных циклов второго рода.

Таким образом, в з1.3 разработан новый метод определения вращательных режимов математической модели системы ФАПЧ, впервые предложены конструктивные методы определения областей, содержащих седловые предельные циклы второго рода.

Использование результатов работ Г.А. Леонова, И.М. Буркина  позволило получить в параграфе 1.4 условия орбитальной устойчивости для предельного цикла второго рода системы (2) при . Установлено, что в случае двух предельных циклов второго рода один из них является седловым. 

В параграфе 1.5 находятся области притяжения системы (2). Показано, что область притяжения состояний равновесия определяется с помощью  седлового предельного цикла второго рода системы дифференциальных уравнений второго порядка. Из метода нахождения области притяжения для состояний равновесия следует, что основные трудности в этом вопросе связаны с решением матричных уравнений и знанием границ изменения предельных циклов второго рода для систем второго порядка. Актуальность нахождения областей притяжения связана с противоречием между стремлением к расширению полосы захвата и повышением фильтрующей способности системы ФАПЧ.  Фильтрующая способность системы ФАПЧ определяется коэффициентом фильтрации частоты, который зависит от операторного коэффициента передачи фильтра нижних частот . В работах В.В. Шахгильдяна, А.А. Ляховкина показано, что увеличение фильтрующей способности системы ФАПЧ ведет к снижению полосы захвата. Таким образом, потеря глобальной устойчивости системы, как показано в параграфе 1.5,  приводит к появлению области притяжения, определяющей начальные условия режимов синхронизации, и может быть использована для увеличения фильтрующей способности системы ФАПЧ.

Использование метода нелокального сведения  позволило получить условия глобальной асимптотической устойчивости системы (2).

Теорема 3 (1.11). Пусть для системы (2) при существуют такие , , , , , , при которых выполнены следующие условия:

1) матричные уравнения

, (4) 

  , (5)

где , , имеют решение , ;

2) система уравнений (3) при , имеет решение , для которого , при , ;

3) справедливы неравенства , ;

4) матричные уравнения (4), (5) при , , имеют решение .

Тогда система (2) является глобально асимптотически устойчивой.

Использование системы матричных уравнений (4), (5) позволило улучшить существующие условия глобальной устойчивости системы (2), соответствующие режимам синхронизации системы ФАПЧ. В з1.5 проведен анализ математической модели системы ФАПЧ для коэффициента передачи фильтра нижних частот .  Для параметров фильтра получены значения, при которых выполняются условия  теоремы 3 и система (2) является глобально асимптотически устойчивой.

Во второй главе рассматриваются математические модели системы ФАПЧ с операторным коэффициентом передачи фильтра нижних частот произвольного порядка. В параграфе 2.1 исследуется вопрос разрешимости матричных уравнений

, (6) 

  , (7)

где , , У* Ф - эрмитово сопряжение, и находится решение уравнений (6), (7). Вопросы, связанные с матричными уравнениями рассмотрены в работах А.И. Баркина, Р. Белмана, Ф.Р. Гантмахера, Х.Д. Икрамова, В.А. Якубовича, А.Я. Булгакова, В.Б. Ларина, А.Н. Чурилова и других авторов. Для определения области притяжения системы (2) необходимо знать решение уравнений (6), (7). Для матричного уравнения Ляпунова (6) известны условия существования решения , получены представления решения в виде экспоненциальной функции и в виде ряда. Имеющиеся способы  решения матричных уравнений основаны на численных методах и в большинстве случаев находятся приближенно. Для  точного решения матричных уравнений (6), (7) использован аппарат прямого произведения матриц и представление их вектор-столбцом. В монографии Х.Д. Икрамова уравнение (6) сводится к уравнению

, (8)

где прямое произведение матриц, единичная матрица, матрица, сопряженная для матрицы , вектор-столбец матрицы . Используя соотношение (8), в з2.1 получены условия разрешимости уравнения (6) в случае матрицы общего вида и приведено решение уравнения (6).

Теорема 4 (2.1). Пусть матрица имеет такие собственные значения, при которых , , матрица, сопряженная для матрицы . Тогда решение уравнения (6) имеет вид

  .  (9)

Если , , обобщенно обратная матрица для матрицы , , то решение уравнения (6) имеет вид

  , 

где произвольный вектор.

Для случая необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений (6), (7) определяются частотной теоремой Якубовича - Калмана, но они не определяют вид решения. Конкретизация решения , определяемого соотношением (9), связана с нахождением обратной матрицы . В зависимости от вида собственных значений матрицы и их кратности рассмотрены случаи, когда можно найти матрицу . Критерии разрешимости уравнений (6), (7) и вид решения получены для случаев: 1) , , ; 2) , , , Т - знак транспонирования, единичная матрица, матрица, у которой верхняя наддиагональ состоит из единиц, а все остальные элементы равны нулю; 3), , , , , ; 4) , , , .

В параграфе 2.2 рассматриваются многомерные математические модели системы ФАПЧ в пространстве состояний,  получены условия существования предельного цикла второго рода, условия существования не менее двух предельных циклов второго рода.

Теорема 5 (2.13). Пусть для системы (2) существуют ,  такие, что выполнены условия:

  1)  , , , ,  ,

, , , ;

  2) , , , , ;

3) система  уравнений (3) при  ,   имеет  предельный цикл второго рода, , для любого ;

  4) , , , , , , , ;

  5) , , , , , ;

  6)  матрица является  гурвицевой.

  Тогда система (2) имеет  предельный цикл второго рода.

Проверка условий теоремы 5 связана с нахождением значений . Для этого определяются значения из условия 1) теоремы 5 как решение системы линейных уравнений. Условия 2), 4), 5) определяют систему  алгебраических неравенств для значений . Доказательство теоремы 5 основано на построении положительно инвариантного многогранника в пространстве . Значения определяют границу инвариантного многогранника. Таким образом, результаты теоремы 5 определяют условия существования вращательных режимов системы ФАПЧ в случае операторного коэффициента передачи для фильтра нижних частот произвольного порядка и позволяют выявить область, содержащую предельные циклы второго рода.

Теорема 6 (2.15).  Пусть для системы (2) выполнены условия теоремы 5, условия 1), 2), 3) теоремы 2 и существуют такие , , что справедливы утверждения:

  1) , , , ;

2) .

Тогда система (2) имеет два предельных цикла второго рода, один из которых является седловым.

Проверка условий теоремы 6 связана с нахождением оценок для решений системы уравнений второго порядка (3) с использованием разработанного комплекса программ на базе системы Maple. Значения в соответствии с  условиями теоремы 6, позволяют выделить в пространстве многогранник, на границе которого вращение векторного поля, определяемого системой (2) не равно нулю. Вращение векторного поля системы (2) определяется структурой построенного многогранника и вспомогательным линейным векторным полем с известным вращением. Найденный многогранник содержит седловой предельный цикл второго рода. Аналогично теоремам 5,6 доказываются теоремы для случая , .

В параграфе 2.2 рассмотрена математическая модель системы ФАПЧ с операторным коэффициентом передачи для фильтра нижних частот . Для параметров получены условия, при которых выполнены условии теоремы 5. Проверка условий теорем 5,6 сводится к решению системы нелинейных уравнений и анализу системы дифференциальных уравнений второго порядка.

Таким образом, в з2.2 предложен новый метод для определения условий существования вращательных режимов системы ФАПЧ в случае операторного коэффициента передачи для фильтра нижних частот произвольного порядка.

В параграфе 2.3 рассматривается поисковая система ФАПЧ (рис. 1).

 

  Рис. 1. Поисковая система ФАПЧ

ЭГ - эталонный генератор; ФД - фазовый детектор; ФНЧ - фильтр нижних частот; ИЗ - индикатор захвата; СП - система поиска; С - сумматор; УЭ Цуправляю-щий элемент;  ПГ - подстраиваемый генератор.

  В книге В.В. Шахгильдяна, А.А. Ляховкина динамику поисковой системы ФАПЧ описывают дифференциальным  уравнением  вида

  ,  (10)

где - оператор дифференцирования, - разность фаз эталонного и подстраиваемого генераторов, - полоса удержания, - коэффициент передачи фильтров нижних частот, - характеристика фазового детектора, -периодическая непрерывно дифференцируемая функция, - начальная расстройка, - функция, характеризующая закон поиска фазовой автоподстройки. Уравнение (10) также описывает динамику системы ФАПЧ с изменяющейся частотой входного сигнала (Э.Д. Витерби). Функция   характеризует  закон  изменения  частоты  входного  сигнала. В случае дробно-рационального интегрирующего фильтра , где , - многочлены относительно оператора дифференцирования, для устранения зависимости фазовой ошибки от времени рассматриваются интегрирующие фильтры, для которых выполняется соотношение , при этом уравнение (10) описывает динамику астатической поисковой системы ФАПЧ. Поисковые системы ФАПЧ используют для преодоления противоречия между расширением полосы захвата и повышением фильтрующей способности. В поисковой системе ФАПЧ прибегают к принудительному изменению частоты подстраиваемого генератора.  В случае дробно-рациональных интегрирующих фильтров уравнение (10) аналогично уравнению (1) приводится к системе дифференциальных уравнений (2). Особенностью системы (2), соответствующей астатической поисковой системе ФАПЧ, является равенство определителя матрицы нулю .

В з2.3 система ФАПЧ рассматривается в случае коэффициента передачи фильтра нижних частот вида , при этом  матрица имеет нулевое собственное значение кратности . Матричные уравнения (6), (7) в случае их разрешимости имеют не единственное решение. Используя результаты з2.1, в качестве решения уравнений (6), (7) находится матрица , имеющая нулевые собственные значения, что позволило получить условия существования круговых решений системы (2). Отсутствие круговых решений системы (2) - необходимое условие глобальной асимптотической устойчивости. В качестве примера рассмотрена система ФАПЧ из монографии Э.Д. Витерби. Для случая , , , получены условия существования круговых решений системы (2). Математическая модель поисковой системы ФАПЧ не является глобально устойчивой, поэтому нахождение режимов синхронизации связано с определением областей притяжения и седловых предельных циклов второго рода. Особенностью математической модели поисковой системы ФАПЧ состоит в том, что она может иметь два седловых предельных цикла второго рода. Для коэффициента передачи фильтра нижних частот второго порядка предложен алгоритм определения трех предельных циклов второго рода, два из которых седловые. Для реализации алгоритма разработан комплекс программ на базе системы Maple.

В параграфе 2.3 определены условия существования седловых  циклов для  коэффициента передачи фильтра нижних частот произвольного порядка, в  частности, для системы (2) справедливо следующее утверждение.

Теорема 7 (2.24).  Пусть для системы (2) при справедливы утверждения:

1) , , , , , ;

2) система уравнений (3) при , имеет  предель-ный цикл второго рода для любого  ;

  3) система  уравнений  (3) при  ,   имеет  предель-ный цикл второго рода , для любого ;

4) система  уравнений  (3) при  , имеет  решение , определяющее функцию , ,   для любого , ;

5) система  уравнений  (3) при  ,   имеет  реше-ние , определяющее функцию ,  , для любого ;

6) .

Тогда система (2) имеет седловой предельный цикл второго рода.

Для уравнения (10) в случае  дробно-рационального фильтра нижних частот  , функций  , получены условия, при которых система (2) имеет седловой  предельный цикл второго рода и определена область, содержащая цикл. 

Рис. 2. Проекция седлового  Рис. 3.  Проекция седлового 

предельного цикла второго рода предельного цикла второго рода 

на плоскость   на плоскость  

Условия теоремы 7 определяют алгоритм определения седловых циклов математической модели поисковой системы ФАПЧ. Для реализации алгоритма комплекс программ на базе системы Maple. Проведено численное подтверждение результатов теоремы 7. Проведено численное подтверждение ре-зультатов теоремы 7. На рисунке 2 изображена проекция седлового предельного цикла второго рода на плоскость , на рисунке 3 изображена проекция седлового предельного цикла второго рода и траекторий из окрестности предельного цикла  на плоскость .

Таким образом, в з2.3 предложен новый метод определения условий существования седловых циклов математической модели поисковой астатической системы ФАПЧ. Разработан алгоритм и комплекс программ для нахождения нескольких предельных циклов второго рода. Предложен метод нахождения режимов синхронизации поисковой системы ФАПЧ.

В параграфе 2.4 рассматривается многомерная система ФАПЧ в случае фильтра нижних частот с характеристикой , для которой выполняется соотношение . Особенностью рассматриваемого случая является то, что для системы (2) выполняется равенство . Для изучения системы (2) определяется вспомогательная система дифференциальных уравнений второго порядка

  , . (11)

Качественная картина системы (11) имеет сложную структуру. Для  данной системы получены условия существования одного и двух предельных циклов второго рода и условия существования сепаратрисы для состояния равновесия, удовлетворяющей соотношениям , , при . Условие приводит к необходимости рассмотрения матричных уравнений

,  (12)

, (13)

где  , , , . Матричные уравнения (12), (13) являются нелинейными относительно . Для нахождения матрицы используются результаты з2.1. В случае для матрицы как решения уравнений (6), (7) находится значение , при котором выполняется неравенство . Результаты, полученные для системы (11) и матричных уравнений (12), (13), используются для изучения многомерной системы (2). В параграфе 2.4 получены  условия глобальной устойчивости и условия существовании предельных циклов второго рода системы (2). 

В третьей главе рассматривается математическая модель системы частотно-фазовой автоподстройки частоты (ЧФАПЧ). В работах М.В. Капранова, В.Н. Кулешова, Г.М. Уткина, Н.С. Жилина, В.В. Шахгильдяна, А.А. Ляховкина,  В.В. Матросова, В.Д. Шалфеева показано, что динамика системы ЧФАПЧ описывается дифференциальным уравнением

  ,  (14)

где оператор дифференцирования, текущая разность фаз сигналов подстраиваемого и эталонного генераторов, полоса удержания фазового кольца ФАПЧ, полоса удержания частотного кольца ЧАПЧ,  и коэффициенты передачи фильтров нижних частот в фазовой и частотных цепях управления, и - характеристики фазового и частотного детекторов, начальная расстройка частот. В случае дробно-рациональных коэффициентов передачи фильтров нижних частот , , где , , , - многочлены относительно оператора дифференцирования , ,  , , , нелинейной характеристики частотного детектора (расстройка по частоте, при которой напряжение на выходе частотного детектора максимально), периодической характеристики фазового детектора уравнение (14) сводится к системе дифференциальных уравнений

  , , (15)

где постоянная матрица размерности , , , , , -периодическая функция.

В параграфе 3.2 исследуется система ЧФАПЧ с коэффициентами фильтров нижних частот . В этом случае математической моделью системы ЧФАПЧ является система (15), для которой , . Система (15) при , рассмотрена в работах Н.Н. Баутина, В.Д. Шалфеева. В з3.2 получены условия существования трех предельных циклов второго рода, показано, что два предельных цикла являются устойчивыми, а один неустойчивый, определены границы их изменения. В случае двух предельных циклов второго рода в системе ЧФАПЧ появляется дополнительная область синхронных режимов, выявлены критерии глобальной асимптотической устойчивости, из которых следует, что добавление частотного кольца в систему ФАПЧ приводит к увеличению полосы захвата.

  В параграфе 3.3 рассматривается вопрос о существовании предельных циклов второго рода многомерной системы (15). Результаты  исследования системы (15) получены качественно-численными методами в работах В.В. Матросова, В.П. Пономаренко, Е.А. Тихонова.  До сих пор не было известно математических методов доказательства существования нескольких предельных циклов второго рода системы (15). С помощью метода сравнения и метода нелокального сведения сформулированы условия существования предельных циклов второго рода. Для изучения системы (15) применялись два подхода. Один основан на использовании решения системы трех матричных уравнений и качественном анализе системы второго порядка, другой на процедуре построения положительно инвариантного многогранника в пространстве . Результаты, полученные двумя способами,  дополняют друг друга. Преимущество второго подхода заключается в том, что он позволяет определить область, содержащую предельный цикл второго рода. В частности, для системы (15) в случае справедливым является результат, представленный в теореме 8.

Теорема 8 (3.8).  Пусть для системы (15)  справедливы утверждения:

1) ,  , ,  , , , 

, ;

  2) , ,, ;

3) система уравнений

    (16)

при , , , ,   имеет  предельный цикл второго рода для любого  , ;

4) система уравнений (16) при , , , ,   имеет  предельный цикл второго рода ,   , для любого  , ;

5) . 

Тогда система (15) имеет предельный цикл второго рода.

В параграфе 3.3 рассматривается система ЧФАПЧ с коэффициентами передачи фильтров нижних частот , , характеристикой фазового детектора  и характеристикой частотного детектора . Данная система изучалась в работах Г.А. Леонова, А.М. Тамаева, Т.Л. Чшиевой, В.В. Матросова, В.П. Пономаренко, Е.А. Тихонова, для которой были найдены значения параметров коэффициентов передачи фильтров нижних частот , , при которых выполняются условия 1), 2) теоремы 8 . Условия теоремы 8 определяют алгоритм для нахождения вращательных режимов системы ЧФАПЧ. Для реализации алгоритма нахождения вращательных режимов разработан комплекс программ на базе системы Maple. Результаты теоремы 8 позволили определить область фазового пространства, содержащую цикл и получить численное подтверждение существования цикла и границ области, содержащей цикл. На рисунках  4, 5 изображены траектории системы (15) из окрестности предельного цикла второго рода.

 

Рис. 4.  Траектории из окрестности   Рис. 5.  Проекции траекторий из 

предельного цикла второго рода окрестности предельного цикла 

  второго рода  на плоскость  

Особенностью математической модели системы ЧФАПЧ является то, что она может иметь три предельных цикла второго рода. В з3.3 определены условия существования трех циклов, один из которых является седловым. Полученные результаты применяются для системы ЧФАПЧ в случае дробно-рациональных фильтров , и функции , . Для рассматриваемого случая предложен алгоритм определения трех предельных цикла второго рода системы (15), один из которых, является седловым, разработан комплекс программ для определения областей, содержащих циклы.

Таким образом, в параграфе 3.3 разработан метод определения нескольких  вращательных режимов системы ЧФАПЧ, позволяющий определять области, содержащие циклы.

В з3.4 изучается вопрос глобальной асимптотической устойчивости и нахождение областей притяжения системы (15). Известно, что добавление частотного кольца в систему ФАПЧ приводит к увеличению области ее параметров для режимов синхронизации. Среди результатов исследования, полученных качественно-численными методами в работах В.В. Матросова, В.П. Пономаренко и Е.А. Тихонова, следует отметить применение метода нелокального сведения для системы ЧФАПЧ, предложенное Г.А. Леоновым.

В з3.4 сформулированы условия глобальной асимптотической устойчивости системы  (15) при . Справедливо утверждение, изложенное в теореме 9.

  Теорема 9 (3.11). Пусть для системы (15) при существуют такие ,,, , , , , , , , что выполнены условия:

1) матричные уравнения

,  (17) 

, (18) 

  , (19) 

где , , , имеют решение , ;

2) уравнения (17), (18), (19) при , ,, , имеют решение ;

3) система уравнений

  , , (20)

где , , , имеет решение , для ко-торого , , при , ;

4) справедливы неравенства

,  ,  . 

Тогда  система  (15) глобально асимптотически устойчива.

Приведенная теорема 9 применяется для системы ЧФАПЧ с коэффициентами передачи фильтров нижних частот , , характеристикой фазового детектора и характеристикой частотного детектора . Уравнение (14) сводится к системе (15), для которой , , , , ,  , , . Для рассматриваемой системы на основании теоремы 9 получены условия глобальной асимптотической устойчивости. В частности, для случая , , на рисунке 6 изображена линия 3, ниже которой расположены значения , , при которых система (15) глобально асимптотически устойчива в случае отсутствия частотного кольца. Линия 1 получена численными методами для системы (15) с частотным кольцом. Линия 2 получена численными методами для системы (20). Ниже линии 2 расположены значения , , при которых выполняется условие 3) теоремы 9. Линия 4 получена с помощью результатов работы Г.А. Леонова. Добавление частотного кольца увеличило область параметров  , глобальной асимптотической устойчивости.

 

Рис. 6.  Области параметров глобальной устойчивости системы (15)

 

Для случая , , на основании теоремы 9 на рисунке 7 в координатах изображена линия 4, ниже которой расположены значения , , при которых система (15) глобально асимптотически устойчива при  отсутствии частотного кольца. Линия 1 получена численными методами для системы (15) с частотным кольцом. Ниже линии 1 находятся значения , , при которых система (15) глобально асимптотически устойчива. Линия 2 получена численными методами для системы (20). Ниже линии 2 расположены значения , , при которых выполняется условие 4) теоремы 9. Линия 3 получена для системы (20) при . Ниже линии 3 расположены значения , , при которых выполняется условия  теоремы 9.  Добавление частотного кольца увеличило область параметров , глобальной асимптотической устойчивости.

Рис. 7.  Области параметров глобальной устойчивости системы (15)

Использование системы дифференциальных уравнений второго порядка (20) и системы матричных уравнений (17), (18), (19) позволило определить условия  глобальной асимптотической устойчивости. В з3.4 показано, что наличие у системы (20) двух предельных циклов второго рода, один из которых является седловым, приводит к появлению у системы (15) области притяжения состояний равновесий.

Таким образом, в параграфе 3.4 предложен метод определения полосы захвата системы ЧФАПЧ, разработан метод для нахождения области начальных значений режимов синхронизации.

В четвертой главе рассматривается система ЧФАПЧ в случае коэффициентов передачи для фильтров нижних  частот общего вида.

В параграфе 4.1 рассмотрены системы ЧФАПЧ в случаях:

1) , , ,;

2) , , .

В первом случае изучение системы (15) сводится к исследованию системы второго порядка

, , (21)

и решению системы нелинейных матричных уравнений

  , 

,  (22) 

,

где , , , относительно , , . В рассматриваемом случае для системы (15) определены условия существования предельного цикла второго рода. В з4.1 показано, что число предельных циклов системы (21) определяется числом промежутков знакопостоянства многочлена седьмой степени относительно , зависящего от параметра . Для анализа многочлена применяются численные методы.  Показано, что система (21) может иметь до трех предельных циклов второго рода. Для решения системы матричных уравнений (22) используются результаты, полученные в параграфе 2.1.

Во втором случае показывается, что изучение системы (15) сводится к исследованию системы второго порядка (21) и решению системы нелинейных матричных уравнений

,

  ,  (23)

,

где , , относительно , , , , , ,. В рассматриваемом случае для системы (15) найдены  условия существования предельного цикла второго рода.

В параграфе 4.2 получены условия глобальной асимптотической устойчивости многомерной системы (15) в случаях 1), 2) з4.1. Трудности, возникающие при исследовании таких систем, связаны с нахождением условий глобальной устойчивости системы второго порядка (21) и с нахождением условий разрешимости системы нелинейных матричных уравнений.

  В параграфе 4.3 проведено исследование системы ЧФАПЧ в случае , , для которых выполняется соотношение . В этом случае уравнение (14) стандартной заменой переменных сводится к многомерной системе дифференциальных уравнений, одно из уравнений которой не разрешено относительно . В рассматриваемом случае определена математическая модель системы ЧФАПЧ. В пространстве состояний математической моделью является следующая система

  , , (24)

где , ,  , , , , , , ,  , , -периодическая функция. Для системы (24) получены условия существования предельного цикла второго рода.

Теорема 10 (4.7). Пусть для системы (24) существуют такие , , , при которых  выполнены условия:

  1) , ,, ,

, , ,, ,;

  2) , , , , ;

  3) система уравнений

  (25)

при , , имеет предельный цикл второго рода для любого , , ;

  4),, , , ,, ,, , ,   ,;

  5) , , , , , , ;

  6)  матрица является гурвицевой.

Тогда система (24) имеет  предельный цикл второго рода.

В з4.3 указаны критерии того, что система второго порядка (25) имеет предельный цикл второго рода.

В параграфе 4.4 рассматривается поисковая система частотно-фазовой автоподстройки частоты. Динамика поисковой системы ЧФАПЧ описывается дифференциальным  уравнением  вида

  , (26)

где функция, характеризующая закон поиска кольца фазовой автоподстройки. Уравнение (26) также описывает динамику системы ЧФАПЧ с изменяющейся частотой входного сигнала, где - функция, характеризующая закон изменения частоты входного сигнала. В случае дробно-рациональных интегрирующих фильтров , , где , , - многочлены относительно оператора дифференцирования, для устранения зависимости фазовой ошибки от времени рассматриваются интегрирующие фильтры, для которых выполняется соотношение . В этом случае уравнение (26) описывает динамику астатической поисковой системы ЧФАПЧ. В случае нелинейной характеристики частотного детектора и дробно-рациональных интегрирующих фильтров уравнение (26) приводится к системе дифференциальных уравнений

, , (27)

где . Система (27) рассматривается в случае, когда является непрерывно дифференцируемой и -периодической функцией. Особенностью системы (27), соответствующей астатической поисковой системе  ЧФАПЧ,  является равенство определителя матрицы нулю ().

В параграфе 4.4 предложен метод нахождения областей притяжения для состояний равновесия. Доказано, что структура области притяжения определяется  седловым  предельным  циклом второго рода. На примере системы ЧФАПЧ с фильтрами второго порядка  исследовано влияние частотного кольца на область притяжения состояний равновесия. В данном параграфе показывается, что область притяжения системы (27) определяется неустойчивым предельным циклом второго рода  системы второго порядка

  ,    (28)

и решением системы нелинейных матричных уравнений

, 

, (29)

,

  . 

где , ,  относительно , , , , , ,  , , , .

Для математической модели системы ФАПЧ  получены условия существования седлового предельного цикла второго рода. 

Теорема 11(4.10). Пусть для системы (27) при выполнены условия:

1) , , , ,  , , , , ;

2) система уравнений (28) при , , имеет  предельный цикл второго рода для любого  ;

3) система уравнений (28)  при , , имеет  предельный цикл второго рода , для любого  ;

4) система уравнений  (28)  при , , имеет решение , определяющее функцию , для любого , ;

5) ;

6) .

Тогда система (27) имеет седловой предельный цикл второго рода.

В случае  дробно-рациональных фильтров , ,  нелинейной характеристики частотного детектора и функции  уравнение (26) приводится к системе дифференциальных уравнений (27), для которой , , , , , , . В параграфе  4.4 показано, что если справедливы соотношения  , ,  , , , , , , , то выполняется условие 1) теоремы 11. Условия теоремы 11 определяют алгоритм для определения области притяжения состояний равновесия системы (27). Для реализации алгоритма разработан комплекс программ. Система (27) имеет область притяжения состояний равновесия и седловой  предельный цикл второго рода. С использованием численных методов получено подтверждение того, что система (27) имеет седловой предельный цикл, определяющий область притяжения состояний равновесия этой системы. В з4.4 показано, что добавление частотного кольца в поисковую систему фазовой автоподстройки частоты привело к расширению области притяжения состояний равновесия более чем на 70 %.

Таким образом, в четвертой главе определены математические модели системы ЧФАПЧ для коэффициентов передачи фильтров нижних  частот специального вида, предложены методы исследования таких моделей. Предложен метод нахождения седлового предельного цикла, определяющего область притяжения состояний равновесия. Разработаны алгоритмы и комплексы программ  для исследования динамики поисковой системы ЧФАПЧ. Рассмотрено влияние частотного кольца поисковой системы ЧФАПЧ на начальные условия режимов синхронизации.

Пятая глава посвящена исследованию системы ЧФАПЧ в случае инвертированной характеристики частотного детектора (ЧД) , где расстройка по частоте, при которой напряжение на ЧД максимально. Инвертированная характеристика ЧД соответствует случаю, когда частотный детектор включен в управление так, что петля управления оказывает расстраивающее действие на частоту генератора.

В параграфе 5.1 рассматривается система ЧФАПЧ с инвертированной нелинейной характеристикой ЧД в случае коэффициентов передачи для фильтров нижних частот вида . Смена знака характеристики ЧД приводит к тому, что, наряду с предельными циклами второго рода, у системы (15) появляется предельный цикл первого рода, для которого . Предельные циклы первого рода соответствуют режимам синхронизации второго рода системы ЧФАПЧ, то есть режимам, для которых разность фаз сигналов подстраиваемого и эталонного генераторов является ограниченной функцией. В силу цилиндричности фазового пространства системы (15), если у нее существует предельный цикл первого рода, для которого , то она имеет бесконечно много предельных циклов такого  рода.

В случае характеристики частотного детектора  и интегрирующих фильтров уравнение (14) приводится к системе

, ,  (30)

где , , , . В з5.1 для системы (30) получены условия существования предельных циклов первого рода.

В з5.2 рассматривается система ЧФАПЧ в случае инвертированной нелинейной характеристики частотного детектора  и интегрирующих фильтров , . Заменой  , уравнение (14) приводится к системе

  , , (31)

где , , , , , .

  Теорема 12(5.2). Пусть для системы (31) выполнены условия: , -периодическая функция, , -периодичес-кая функция, ,   . Тогда  число предельных циклов второго рода системы (31) определяется количеством промежутков знакопостоянства функций , при любом .

В параграфе 5.2  предложен анализ функций , с использованием численных методов. 

Определение 5. Если для системы (15) существует предельный цикл второго рода , для которого при любом , то называется положительным предельным циклом второго рода, если  при любом , то называется отрицательным предельным циклом второго рода.

Показано, что система (31) может иметь одновременно предельные циклы первого и второго рода. В случае инвертированной характеристики ЧД у системы ЧФАПЧ могут быть как положительные, так и отрицательные предельные циклы второго рода. Для системы (31) получены условия существования двух положительных или двух отрицательных предельных циклов второго рода.  В з5.2 определены критерии существования четырех предельных циклов второго рода, два из которых положительные, а два отрицательные. Рассмотрен случай, когда между неустойчивыми положительным и отрицательным предельными циклами второго рода отсутствуют предельные циклы первого рода. Неустойчивые предельные циклы второго рода определяют область притяжения состояний равновесия.

В параграфе 5.3 исследуется многомерная система ЧФАПЧ с инвертированной характеристикой ЧД математической моделью, которой является система уравнений

  ,  ,  (32)

где , , , , - периодическая функция.

  В з5.3 получены условия существования положительных и отрицательных предельных циклов второго рода системы (32).

Теорема 13 (5.5).  Пусть для системы (32) выполнены  условия:

1) матрица гурвицева;

2) , , , , , , 

;

3) , , , ;

4) система уравнений

  ,   (33) 

при , , , , имеет предельный цикл второго рода , ;

5) система уравнений (33) при , , , ,   имеет  предельный цикл второго рода , , для любого  , , ;

6) . 

Тогда система (32) имеет положительный предельный цикл второго рода.

Аналогично теореме 13 для системы (32) получены условия существования отрицательного предельного цикла второго рода.

В параграфе 5.3 рассмотрено уравнение (14) в случае дробно-рациональ-ных фильтров , и инвертированной характеристики частотного детектора.

Для системы (32) определены также условия, при которых она имеет положительный и отрицательный предельные циклы второго рода. Условия теоремы 13 определяют алгоритм нахождения вращательных режимов системы ЧФАПЧ, для его реализации разработан комплекс программ.  Показано, что условия существования циклов связаны с нахождением решения матричных уравнений. Для их анализа используются результаты, полученные  в параграфе 2.1.

Особенностью системы (32) порядка выше второго является то, что, наряду с устойчивыми предельными циклами второго рода, у нее могут появиться седловые предельные циклы второго рода, наличие  которых  позволяет выделить область притяжения состояний равновесия, определяющую для системы ЧФАПЧ условия режимов синхронизации.

В параграфе 5.4 получены условия существования  седловых положительных и отрицательных предельных циклов второго рода, определены области фазового пространства, содержащие седловые циклы. Получены условия существования у системы (32) двух положительных и двух отрицательных предельных циклов второго рода. На примере системы ЧФАПЧ с фильтрами первого порядка  рассмотрено влияние инвертированной характеристики частотного кольца на область параметров для вращательных режимов.

В з5.4 рассмотрено уравнение (14) в случае ,   , , . При , , уравнение (14) является математической моделью системы ЧФАПЧ с неинвертированной характеристикой частотного детектора. Известно, что добавление частотного кольца с неинвертированной характеристикой частотного детектора приводит к расширению полосы захвата. В случае отсутствия частотного кольца и уравнение (14) сводится к хорошо изученной системе второго порядка (33), для которой , , , . Если  , , ,  , то уравнение (14) приводится к системе (32), для которой ,  , , , , , , , , ,  , .

 

  Рис. 7.  Области параметров существования пре-

дельных  циклов второго рода системы (32)

 

Для случая , , , на рисунке 7  в области параметров изображена линия 1, ниже которой расположены значения параметров глобальной устойчивости при отсутствии частотного кольца.  Линии 2, 3, 4  получены с использованием комплекса программ и результатов для системы (32) соответственно  при значениях , , . Выше линий 2, 3, 4 находятся значения параметров , при которых система (32) имеет положительный предельный цикл второго рода. Таким образом, добавление частотного кольца с инвертированной характеристикой частотного детектора привело к сужению полосы захвата.

В параграфе 5.4 рассмотрена система ЧФАПЧ с коэффициентами фильтров второго порядка, имеющая четыре предельных цикла второго рода. Разработан алгоритм и комплекс программ для определения двух положительных и двух отрицательных  предельных циклов. Отрицательный и положительный седловые предельные циклы второго рода определяют область начальных  условий синхронных режимов системы ЧФАПЧ с инвертированной характеристикой ЧД.

Таким образом, в пятой главе предложен метод анализа влияния частотного кольца с инвертированной характеристикой частотного детектора на динамику системы ЧФАПЧ. Разработан алгоритм и комплекс программ определения нескольких вращательных режимов системы ЧФАПЧ с инвертированной характеристикой частотного детектора. Показано, что использование частотного кольца с инвертированной характеристикой частотного детектора, хотя приводит к сужению полосы захвата, но одновременно предоставляет возможности для формирования на выходе управляемого генератора системы ЧФАПЧ различных частотно-модулированных сигналов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертации на основе качественных методов теории нелинейных колебаний исследованы регулярные режимы систем фазовой автоподстройки частоты и систем частотно-фазовой автоподстройки частоты. В частности, получены следующие результаты:

1. Определены условия существования у математической модели предельных циклов второго рода, соответствующих вращательным движениям систем ФАПЧ и систем ЧФАПЧ.

2. Разработаны алгоритмы и комплексы программ для определения нескольких предельных циклов второго рода у математических моделей систем ФАПЧ и систем ЧФАПЧ в пространстве состояний. 

3. Определен вид и предложен алгоритм решения системы матричных уравнений.

4. Разработан метод нахождения областей притяжения состояний равновесия математической модели, определяющих начальные условия режимов синхронизации систем ФАПЧ, ЧФАПЧ.

5. Определены условия глобальной асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с неединственным состоянием равновесия, позволяющие выделить область захвата систем ФАПЧ, ЧФАПЧ. 

Теоретическая новизна работы состоит в том, что с помощью метода двумерных систем сравнения и метода нелокального сведения разработаны мето-ды для нахождения условий существования нескольких предельных циклов второго рода у многомерных систем дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством. Доказаны теоремы, позволяющие находить решения систем матричных уравнений и использовать их для определения областей притяжения состояний равновесия систем дифференциальных уравнений. Определены системы матричных уравнений и новые системы дифференциальных уравнений второго порядка, к исследованию которых сводится задача нахождения условий  глобальной асимптотической устойчивости многомерной системы дифференциальных уравнений.

Практическая значимость работы состоит в возможности  применения полученных результатов к исследованию нелинейной динамики систем ФАПЧ, ЧФАПЧ, в частности, нахождению областей захвата, начальных условий режимов синхронизации, определению вращательных режимов и режимов биения. Рассмотренные в работе методы могут быть применены при анализе конкретных задач механики, биологии, химии, экономике, математическими моделями которых являются системы дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством.

Основные публикации по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

  1. Мамонов С.С. Определение числа предельных циклов второго рода сис-тем дифференциальных уравнений / C.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения.Ц1988.ЦТ. 24, № 6.ЦС. 1076Ц1078.
  2. Мамонов С.С. Дифференциальные уравнения с цилиндрическим фазовым пространством / C.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения. - 1997. ЦТ. 33, № 6. ЦС. 853.
  3. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода системы фазовой син-хронизации / C.С. Мамонов // Изв. Тульского гос. ун-та. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Ц2005. - Вып. 1. ЦС. 54Ц59.
  4. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода системы фазовой син-хронизации второго порядка / C.С. Мамонов // Вестник Рязанской государственной радиотехнической академии. Ц2006. - Вып. 16. - С. 17Ц21.
  5. Мамонов С.С. Предельные циклы системы частотно-фазовой автоподстройки частоты второго порядка с инвертированной характеристикой частотного кольца  / C.С. Мамонов // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. Ц2009. Ц№ 1/27. - С. 40Ц46.
  6. Мамонов С.С.  Вращательные режимы системы частотно-фазовой автоподстройки частоты с фильтрами первого порядка / C.С. Мамонов // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. Ц2009. Ц№ 2/28. - С. 42Ц48. 
  7. Мамонов С.С. Условия существования предельных циклов второго рода системы дифференциальных уравнений.I / C.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46, № 5. - С. 637Ц646.
  8. Мамонов С.С. Седловые предельные циклы второго рода поисковой системы фазовой  автоподстройки частоты / C.С. Мамонов // Изв. Тульского гос. ун-та. Сер. Естественные науки. - 2010. - Вып. 2. - С. 195Ц207.
  9. Мамонов С.С. Динамика астатической поисковой системы частотно-фазовой автоподстройки частоты / C.С. Мамонов // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета.Ц2010.Ц№ 2/32. - С. 48Ц55.
  10. Мамонов С.С. Условия существования предельных циклов второго рода системы дифференциальных уравнений.II / C.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46, № 8. - С. 1075Ц1084.

  Публикации в сборниках тезисов докладов и материалов

  конференций

  1. Мамонов С.С.  О числе предельных циклов второго рода систем дифференциальных уравнений / C.С. Мамонов // Классические и неклассические краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, специальные функции, интегральные уравнения и их приложения : тез. докл. Всесоюз.  конф. - Куйбышев, 1987. ЦС. 98.
  2. Мамонов С.С. Системы дифференциальных уравнений с точками равновесия высшего порядка / C.С. Мамонов // Современные методы в теории краевых задач Понтрягинские чтения - VII : тез. докл. Воронежской весенней математической школы. ЦВоронеж, 1996. - С. 122.
  3. Мамонов С.С. Система дифференциальных уравнений с кратным собственным значением / C.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения и их приложения : тез. докл. 2-й  Междунар. конф. - Саранск, 1996. - С. 90.
  4. Мамонов С.С. Построение функций Ляпунова и решение матричных уравнений / C.С. Мамонов // Метод функций Ляпунова и его приложе-ния : тез. докл. 3-й Крымской междунар. математической школы ЦСим-ферополь, 1996. - С. 15.
  5. Мамонов С.С. Предельные циклы системы фазовой синхронизации / C.С. Мамонов // Современные проблемы математики, механики, информатики : тез. докл. Междунар. науч. конф. - Тула, 2004. - С. 29Ц30.
  6. Мамонов С.С. Достаточные условия существования предельных циклов второго рода системы фазовой синхронизации / C.С. Мамонов // Современные проблемы  математики, механики, информатики : материалы  Междунар. науч. конф. - Тула, 2007. ЦС. 56Ц57.
  7. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки частоты / C.С. Мамонов // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: тез. докл. 10-й Междунар. семинар им. Е.С. Пятницкого. - М., 2008. - С. 188Ц190.
  8. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки частоты с инвертированной характеристикой частотного детектора / C.С. Мамонов //  Современные проблемы математики, механики, информатики : материалы  Междунар. науч. конф. - Тула,  2008. - С. 81Ц83.
  9. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода поисковой системы фазовой автоподстройки частоты / C.С. Мамонов // Современные проблемы математики, механики, информатики : материалы  Междунар. науч. конф. - Тула, 2009. - С. 69Ц71.
  10. Мамонов С.С. Области притяжения поисковой системы частотно-фазовой  автоподстройки частоты / C.С. Мамонов // Устойчивость и колебания нелинейных  систем  управления : тез. докл. 11-й Междунар. конф. - М., 2010. - С. 257Ц259.

  Публикации в рецензируемых изданиях.

  1. Мамонов С.С.  Условия существования предельного цикла второго рода фазовой системы / C.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения (качественная теория) : межвуз. сб. науч. тр. / Рязан. пед. ин-т. - Рязань, 1990. - С. 103Ц107.
  2. Мамонов С.С.  Решение матричных неравенств / C.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения (качественная теория) : межвуз. сб. науч. тр. - Рязань : Изд-во РГПУ, 1994. - С. 71Ц74.
  3. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода систем дифференциальных уравнений / C.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения (качественная теория) : межвуз. сб. науч. тр. - Рязань : Изд-во РГПУ, 1995. - С. 112Ц119.
  4. Мамонов С.С.  Матричное уравнение Риккати / C.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения (качественная теория) : межвуз. сб. науч. тр. - Рязань : Изд-во РГПУ, 1996. - С. 99Ц103.
  5. Мамонов С.С. Седловые предельные циклы второго рода / C.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения (качественная теория) : межвуз. сб. науч. тр. - Рязань : Изд-во РГПУ, 1996. - С. 104Ц107.
  6. Мамонов С.С. Матричное уравнение Ляпунова / C.С. Мамонов // Вестник Ряз. гос. пед. ун-та. - Рязань: Горизонт, 1996. - № 4. - С. 79Ц82.
  7. Мамонов С.С. Прямое и адамарово произведение матриц для построения функций Ляпунова / C.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения (качественная теория) : межвуз. сб. науч. тр. - Рязань : Изд-во РГПУ, 1997. - С. 55Ц60.
  8. Мамонов С.С. Предельные циклы системы дифференциальных уравнений с кратными комплексными собственными значениями / C.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения (качественная теория). - Рязань : Изд-во РГПУ, 1998. - № 1. - С. 71Ц74.
  9. Мамонов С.С. Круговые решения систем дифференциальных уравнений с нулевым собственным значением / C.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. - Рязань : Изд-во РГПУ, 1999. - № 2. - С. 67Ц71.
  10. Мамонов С.С. Устойчивость систем дифференциальных уравнений с кратным нулевым собственным значением / C.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Ц  Рязань : Изд-во РГПУ, 2000. - № 3. - С. 102Ц106.
  11. Мамонов С.С. Положительно инвариантные тороидальные многообразия систем дифференциальных уравнений / C.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. ЦРязань : Изд-во РГПУ, 2001. - № 4. - С. 46Ц51.
  12. Мамонов С.С. Структура однородных форм четвертого порядка / C.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. - Рязань : Изд-во РГПУ, 2001. - №  5. - С. 108Ц111.
  13. Мамонов С.С. Нахождение числа предельных циклов второго рода системы дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством / C.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. - Рязань : Изд-во РГУ, 2006. - № 11. - С. 161Ц166.
  14. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода многомерной системы фазовой синхронизации / C.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. - Рязань : Изд-во РГУ, 2007. - № 12. - С. 61Ц68.
  15. Мамонов С.С. Режимы синхронизации системы частотно-фазовой автоподстройки частоты второго порядка / C.С. Мамонов // Вестник Рязанской государственной радиотехнической академии. - Рязань, 2007. - Вып. 20. - С. 14Ц19.
  16. Мамонов С.С. Периодические решения системы фазовой синхронизации с дробно-рациональным фильтром / C.С. Мамонов // Вестник  Тульского государственного университета. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. - Тула : Изд-во ТуГУ, 2007. Ц  Вып. 1. - С. 13 - 22.
  17. Мамонов С.С. Достаточные условия существования предельных циклов второго рода системы частотно-фазовой синхронизации / C.С. Мамонов // Труды Средневолжского математического общества. - Саранск : Изд-во НИИ математики МГУ, 2008. Ц  Т.10, №1. - С. 203 - 210.
  18. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки частоты / C.С. Мамонов // Вестник  Тульского государственного университета. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. - Тула : Изд-во ТуГУ, 2008. Ц  Вып. 1. - С. 24 - 36.
  19. Мамонов С.С. Предельные циклы первого и второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки частоты / C.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Ц  Рязань : Изд-во РГУ, 2008. Ц  № 13. - С. 75 - 81.
  20. Мамонов С.С. Решение матричных уравнений / C.С. Мамонов // Вестник Рязанского государственного университета имени С.А. Есенина. - Рязань, 2009. - Вып. 21, № 1. - С. 115Ц136.
  21. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки частоты в случае фильтров специального вида / C.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. - Рязань : Изд-во РГУ, 2009. - № 14. - С. 87Ц94.
  22. Мамонов С.С. Глобальная устойчивость системы  частотно-фазовой автоподстройки / C.С. Мамонов // Изв. Тульского гос. ун-та. Сер. Естественные науки. Ц2009. - Вып. 2. - С. 174Ц183.
  23. Мамонов С.С. Вращательные режимы системы частотно-фазовой  автоподстройки с  инвертированной  характеристикой частотного детектора / C.С. Мамонов // Вестник Тамбовского ун-та. Сер. Естественные и технические  науки. Ц2009. ЦТ. 14, вып. 4. - С. 757Ц759.
  24. Мамонов С.С. Условия существования предельных циклов второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки с инвертированной характе-ристикой частотного кольца  / C.С. Мамонов // Вестник  Тульского государственного университета. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. - Тула : Изд-во ТуГУ, 2009. - Вып. 1. - С. 27-40.
  25. Мамонов С.С. Вращательные режимы поисковой системы фазовой  автоподстройки частоты / C.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. - Рязань : Изд-во РГУ, 2010. - № 15. - С. 64-72.
Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по техническим специальностям